Fluxos de Caixa e Juros: Conceitos e Cálculos

FGVIDT FGVIDT FGVIDT Sumário APRESENTAÇÃO 9 UNIDADE 01 CONCEITOS BÁSICOS 10 11 DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA 10 12 FLUXO POSITIVO E FLUXO NEGATIVO 10 13 DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA 11 14 LEITURA DA ESCALA MENSAL 12 15 EXEMPLO 1 12 16 EXEMPLO 2 13 17 PRAZO 14 18 REPRESENTAÇÃO DA OPERAÇÃO 14 19 COMPRA SEM ENTRADA 15 110 EXEMPLO 15 111 POUPANÇA 16 112 REPRESENTAÇÃO DA POUPANÇA 16 113 PRIMEIRO E ÚLTIMO FLUXOS 17 114 VALOR PRESENTE 18 115 VALOR FUTURO 19 116 DIFERENÇA ENTRE OS VALORES 19 UNIDADE 02 JUROS SIMPLES 21 21 NOTAÇÕES 21 22 FÓRMULA 21 23 EXEMPLO CÁLCULO DO VF EM DOIS MESES 22 24 EXEMPLO CÁLCULO DO VF EM DIAS 23 25 EXEMPLO CÁLCULO DA TAXA DE JUROS EM MESES 24 26 EXEMPLO CÁLCULO DA TAXA DE JUROS EM DIAS 25 27 EXEMPLO DE VALOR APLICADO 26 28 CAPITAIS EQUIVALENTES A JUROS SIMPLES 27 29 CÁLCULO 28 210 CÁLCULO COM OUTRA TAXA DE JUROS 29 211 CÁLCULO COM DATA FOCAL NO PONTO 0 30 212 CÁLCULO COM DATA FOCAL NO PONTO 1 31 213 EXEMPLO CAPITAL EM T 2 E PONTO FOCAL EM T 4 32 214 EXEMPLO CAPITAL EM T 9 E PONTO FOCAL EM T 4 33 215 EXEMPLO EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO PONTO FOCAL EM T 4 33 FGVIDT 216 EXEMPLO 34 217 CÁLCULOS 35 UNIDADE 03 JUROS COMPOSTOS 37 31 CONCEITO 37 32 CÁLCULO DA QUARTA VARIÁVEL 37 33 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE 38 34 CÁLCULO DA TAXA DE JUROS 38 35 CÁLCULO DO PRAZO 39 36 LOGARITMO 40 37 EXEMPLO CÁLCULO DE VF 40 38 CÁLCULO DE FV PELA HP12C 41 39 CÁLCULO DE FV PELO EXCEL 42 310 CÁLCULO DE FV PARA PRAZO DE 15 DIAS 43 311 EXEMPLO CÁLCULO POR PV JUROS E PRAZO 46 312 EXEMPLO CÁLCULO DE VP 47 313 EXEMPLO CÁLCULO DA TAXA DE JUROS I 49 314 EXEMPLO CÁLCULO DE N PELA FÓRMULA 51 315 EXEMPLO CÁLCULO DE N PELA HP12C 51 316 TAXAS EQUIVALENTES 53 317 EXEMPLO I DIÁRIA 53 318 EXEMPLO CÁLCULO DE I DIÁRIA 55 319 EXEMPLO CÁLCULO DE PRAZO 56 320 CAPITAIS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS 57 321 EXEMPLO CÁLCULO DA EQUIVALÊNCIA 58 322 EXEMPLO CÁLCULO COM DATA FOCAL T 2 58 323 EXEMPLO CÁLCULO COM DATA FOCAL T 3 59 324 AVALIAÇÃO DA EQUIVALÊNCIA 60 325 FLUXOS EQUIVALENTES 60 326 EXEMPLO 61 327 EQUIVALÊNCIA ENTRE ENTRADAS E SAÍDAS DE CAIXA 62 328 EXEMPLO 63 329 CÁLCULO DA APLICAÇÃO 64 330 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 65 UNIDADE 04 TAXAS DE JUROS 68 41 ORDEM DAS TAXAS DE JUROS 68 42 CÁLCULO COM INVERSÃO DA ORDEM DE VALORES 69 43 TAXA DE JUROS REPETIDA 70 44 MÉDIA GEOMÉTRICA 71 45 EXEMPLO 72 46 MELHOR OPÇÃO 72 47 PRIMEIRA MANEIRA 73 48 SEGUNDA MANEIRA 74 49 TERCEIRA MANEIRA 74 410 RESULTADOS OBTIDOS 75 FGVIDT 411 OBTENÇÃO DA TAXA DE JUROS 75 412 VALOR PRESENTE LÍQUIDO 76 413 TIR E TMA 76 UNIDADE 05 SÉRIES UNIFORMES E NÃO UNIFORMES 78 51 CONCEITOS E CLASSIFICAÇÕES 78 52 PRESTAÇÕES QUANTO À PERIODICIDADE 79 53 PRESTAÇÕES PERIÓDICAS 79 54 PRESTAÇÕES NÃO PERIÓDICAS 80 55 PRESTAÇÕES QUANTO AO VALOR 80 56 PRESTAÇÃO UNIFORME 81 57 PRESTAÇÕES QUANTO AO PRAZO 81 58 SÉRIE UNIFORME FINITA 82 59 PRESTAÇÕES QUANTO AO MOMENTO 83 510 SÉRIE POSTECIPADA 83 511 PRESTAÇÕES POSTECIPADAS 84 512 SÉRIE ANTECIPADA 85 513 EXEMPLO DE SÉRIE ANTECIPADA 85 514 PRAZO TOTAL DA OPERAÇÃO 86 515 DESAFIO 86 UNIDADE 06 SÉRIES UNIFORMES 88 61 DENOTAÇÃO DAS VARIÁVEIS 88 62 RECEBIMENTOS POSTECIPADOS 88 63 UM RECEBIMENTO 88 64 DOIS RECEBIMENTOS 89 65 VALOR DE PRESTAÇÃO 90 66 TRÊS RECEBIMENTOS 91 67 CÁLCULO 92 68 DIAGRAMAS EQUIVALENTES 92 69 QUATRO PERÍODOS 92 610 RECEBIMENTOS UNIFORMES 93 611 SOMA DE PARCELAS 94 612 EXEMPLO 94 613 CÁLCULO DO VALOR FUTURO 95 614 EXPRESSÃO DEDUZIDA 95 615 DEFINIÇÕES 96 616 COMBINAÇÃO DAS FÓRMULAS 97 617 CÁLCULO COM SÉRIE ANTECIPADA 98 618 TRANSFORMAÇÃO DA SÉRIE 99 619 USO DA FÓRMULA 99 620 EXEMPLO SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA 100 621 EXEMPLO SÉRIE ANTECIPADA 102 622 EXEMPLO 2 CÁLCULO DE PRESTAÇÕES MENSAIS 103 623 CÁLCULO PELA HP12C E PELO EXCEL 104 FGVIDT 624 CONVERSÃO EM TAXA EQUIVALENTE 105 625 CÁLCULO PELA HP12C E PELO EXCEL 106 626 EXEMPLO 2 CÁLCULO DE PRESTAÇÕES 107 627 EXEMPLO 3 TAXA DE JUROS 108 628 EXEMPLO 4 NOVO DEPÓSITO 110 629 RESOLUÇÃO 111 630 VALOR DO DEPÓSITO 112 UNIDADE 07 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 115 71 PRESTAÇÕES PERPÉTUAS 115 72 OBTENÇÃO DA FÓRMULA 115 73 EXPLICAÇÕES 116 74 QUOCIENTE 117 75 DIAGRAMA 118 76 QUANTIA NECESSÁRIA 119 77 EXPRESSÃO PELO DIAGRAMA 119 78 DIAGRAMAS IDÊNTICOS 119 79 EXPRESSÃO PELA FÓRMULA 120 710 EXEMPLO 120 UNIDADE 08 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 122 81 VALOR DAS PRESTAÇÕES 122 82 JUROS ENVOLVIDOS 123 83 AMORTIZAÇÃO 123 84 EXEMPLO 124 85 REGRAS GERAIS 124 UNIDADE 09 SFA E SAC 126 91 INTRODUÇÃO 126 92 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO 127 93 EXEMPLO 127 94 PRESTAÇÕES 127 95 REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA 128 96 PERÍODO K 1 128 97 LINHA K 2 129 98 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE 130 99 EXEMPLO 131 910 CÁLCULO DA AMORTIZAÇÃO 131 911 CÁLCULO DO SALDO DEVEDOR 132 912 PERÍODO K 1 132 913 CÁLCULO DOS JUROS E DAS PRESTAÇÕES 133 914 REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA 133 915 VANTAGENS DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 134 916 ENFOQUE NO SOMATÓRIO DE JUROS 134 FGVIDT 917 ENFOQUE NO PERFIL DO CLIENTE 135 918 NÚMEROS DO EXEMPLO 135 919 RECEBIMENTO DE JUROS 136 920 PAGAMENTO MENOR DE JUROS 137 UNIDADE 10 SÉRIES NÃO UNIFORMES 138 101 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE 138 102 DESCONTO DOS FLUXOS 138 103 CÁLCULO DO VALOR FUTURO 138 104 EXEMPLO 139 UNIDADE 11 PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO E TAXAS DE JUROS 141 111 TAXA DE JUROS EFETIVA E TAXA DE JUROS NOMINAL 141 112 TAXA DE JUROS EFETIVA 141 113 EXEMPLO 141 114 TAXA DE JUROS NOMINAL 142 115 EXEMPLO 143 116 EQUIVALÊNCIA DAS TAXAS DE JUROS 144 117 INFLUÊNCIA DOS JUROS COMPOSTOS 144 118 CÁLCULO DA DÍVIDA 145 119 SOMATÓRIO DOS JUROS 145 1110 VALOR EFETIVO DOS JUROS 146 1111 CHEQUE ESPECIAL 147 1112 TAXA EFETIVA MENSAL 147 UNIDADE 12 TAXA DE JUROS APARENTE E TAXA DE JUROS REAL 149 121 PODER DE COMPRA 149 122 GANHO REAL 149 123 EXEMPLO 150 124 EXEMPLO 150 125 CÁLCULO 151 126 EXEMPLO DE TAXA DE JUROS REAL 152 127 TAXA MENSAL DE JUROS 153 UNIDADE 13 SPREAD 155 131 SPREAD 155 132 EXEMPLO 1 155 133 EXEMPLO 2 156 134 DIAGRAMA 157 FGVIDT 135 FV CAPTAÇÃO 158 UNIDADE 14 TEMPO DE RECUPERAÇÃO 159 141 PAYBACK SIMPLES 159 142 MÉTODO DA RECUPERAÇÃO 159 143 RECUPERAÇÃO DO INVESTIMENTO INICIAL 160 144 VANTAGENS DO PAYBACK SIMPLES 160 145 INVESTIMENTOS 161 146 PAYBACK DESCONTADO OU AJUSTADO 161 147 CÁLCULOS 162 148 ENTRADAS ANUAIS 162 149 SUBTRAÇÃO DE VALORES 163 1410 ABATIMENTO DE VALORES 163 1411 CÁLCULOS DO INVESTIMENTO 164 1412 DIFERENÇA DE SALDO 164 1413 MÉTODO DO PAYBACK 165 1414 MENOR PAYBACK 166 1415 SOMA DOS FLUXOS POSITIVOS 166 1416 PROBLEMA DO MÉTODO DO PAYBACK 167 UNIDADE 15 VPL E TIR 168 151 CRITÉRIO PRINCIPAL 168 152 EXEMPLO 168 153 PRIMEIRA FORMA DE AVALIAÇÃO 169 154 SEGUNDA FORMA DE AVALIAÇÃO 170 155 GRÁFICO DA SEGUNDA FORMA DE AVALIAÇÃO 170 156 VALOR PRESENTE LÍQUIDO 171 157 CRITÉRIO DO VPL 171 158 TERCEIRA FORMA DE AVALIAÇÃO 172 159 QUARTA FORMA DE AVALIAÇÃO 172 1510 VALOR DO DEPÓSITO 173 1511 TAXA INTERNA DE RETORNO 173 1512 TAXA INTRÍNSECA À OPERAÇÃO 173 1513 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE 174 1514 CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO 174 1515 OPERAÇÃO PELO LADO DO TOMADOR 175 1516 VALOR DAS PRESTAÇÕES 175 1517 VALOR PRESENTE LÍQUIDO NEGATIVO 176 1518 TAXA MÁXIMA DE ATRATIVIDADE 176 1519 EMPRÉSTIMO MAIS VANTAJOSO 177 1520 CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO PELA TIR 177 UNIDADE 16 DIFERENÇA ENTRE OS CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 179 FGVIDT 161 DIFERENÇA DE CRITÉRIOS 179 162 DOIS CONCEITOS DE TMA 179 163 OPERAÇÃO VANTAJOSA 180 164 VALOR PRESENTE LÍQUIDO 180 165 CÁLCULO 180 166 EXEMPLO 181 167 INVESTIMENTO MAIS ATRATIVO 181 168 INVESTIMENTO INICIAL 182 169 INVESTIMENTOS INICIAIS DIFERENTES 183 1610 RENTABILIDADE GARANTIDA 183 1611 DFC 183 1612 APLICAÇÃO DO VALOR RESTANTE 184 1613 COMPARAÇÃO DAS PROPOSTAS 184 1614 ANÁLISE INCREMENTAL 185 1615 INTERPRETAÇÃO 186 1616 TROCA DE PROPOSTAS 187 1617 VPLS IGUAIS 187 1618 INCREMENTO 188 1619 INCREMENTO ATRATIVO 188 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 190 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 190 FGVIDT Apresentação Uma boa gestão financeira é fundamental para que empresas e indivíduos atinjam os objetivos a que almejam em seus negócios e em suas vidas E o ponto de partida para conseguir executar uma gestão financeira de qualidade é a compreensão de como fluxos capitais taxas e prazos se relacionam e geram valor para o gestor A disciplina de iniciação à gestão financeira tem por objetivo apresentar os principais conceitos envolvidos em operações financeiras e as ferramentas que possibilitam sua análise Ao término do curso você será capaz de entender a relação entre as variáveis de uma operação financeira analisar os diversos aspectos destas operações e comparar alternativas de investimento com base em indicadores objetivos FGVIDT Unidade 01 CONCEITOS BÁSICOS Uma boa representação gráfica de uma dada operação financeira é muito útil no processo de análise Nesta unidade veremos como construir um diagrama de fluxos de caixa ferramenta que utilizaremos ao longo de todo o curso 11 DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA EIXO ESCALONADO Para representarmos graficamente uma operação financeira usamos o diagrama de fluxos de caixa DFC A elaboração do DFC facilita o raciocínio e auxilia a interpretação dos resultados Esse diagrama é unidimensional e é formado por um eixo escalonado No eixo escalonado as divisões são períodos de tempo dia mês ano 12 FLUXO POSITIVO E FLUXO NEGATIVO Os fluxos de caixa são inseridos em forma de setas obedecendo aos seguintes critérios Fluxos positivos de caixa São entradas de caixa ou embolsos recebimentos captações empréstimos recebidos e receitas São representados por setas acima do eixo as quais apontam para cima Fluxos negativos de caixa São saídas de caixa ou desembolsos pagamentos FGVIDT investimentos empréstimos concedidos e despesas São representados por setas abaixo do eixo as quais apontam para baixo 13 DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA O diagrama de fluxos de caixa apresentado a seguir representa uma entrada de caixa seta apontando para cima na data 4 O diagrama de fluxos de caixa apresentado a seguir representa uma saída de caixa na data 2 e outra saída de caixa na data 5 setas apontando para baixo O diagrama de fluxos de caixa apresentado a seguir representa uma entrada de caixa daqui a 3 meses FGVIDT 14 LEITURA DA ESCALA MENSAL Observemos que a escala de tempo já está identificada com uma escala mensal Além disso identificamos a data daqui a 3 meses com a data 3 do diagrama pois é costume considerar a data 0 como a data de hoje Nesse ponto devemos lembrar que a data 3 não significa o mês 3 mas o final do mês 3 a data 1 significa o final do primeiro período a data 0 significa o início do primeiro período O espaço da data 0 à data 1 é o primeiro período a data 2 significa o final do segundo período e a data 1 é o início do segundo período O espaço entre as datas 1 e 2 é o segundo período Devemos perceber que a data 1 pode ser entendida tanto como o fim do período 1 quanto como o início do período 2 15 EXEMPLO 1 Vejamos a representação de um DFC com as seguintes características uma aplicação de R 10000 feita hoje recebimentos no final do primeiro do segundo e do terceiro meses de R 1500 R a título de remuneração resgate do valor original ao final do quarto mês FGVIDT O valor aplicado está posicionado na data 0 A seta da data 1 representa a remuneração daqui a um mês A seta da data 2 representa a remuneração depois de 2 meses A seta da data 3 representa a parcela de remuneração depois de 3 meses A última seta da data 4 representa o resgate do valor aplicado 16 EXEMPLO 2 Se em um mesmo período houver uma entrada e uma saída de caixa podemos representar esse fluxo de duas maneiras indicar o fluxo positivo com uma seta para cima e o fluxo negativo com uma seta para baixo como de costume indicar a resultante com uma seta no sentido do fluxo de maior valor absoluto Por exemplo uma entrada de R 40000 e uma saída de R 50000 na mesma data seriam indicadas por uma única seta de R 10000 apontando para baixo FGVIDT 17 PRAZO O que é o prazo de uma operação financeira É a duração total da operação Mais precisamente o prazo de uma operação financeira é o tempo decorrido entre a data do primeiro fluxo de caixa e a data do último fluxo de caixa Por exemplo imaginemos que o Sr José efetue a compra de um carro por y reais financiandoo em 36 meses com entrada de 20 do valor do carro Qual é o prazo dessa operação Essa operação tem um prazo de 3 anos ou seja 3 x 12 36 meses Existe um primeiro fluxo de 20 do valor do carro na data de hoje que consideraremos data 0 Geralmente esse fluxo é chamado de entrada Existirá também um último fluxo última prestação ao final de 36 meses 18 REPRESENTAÇÃO DA OPERAÇÃO Graficamente representamos a operação da compra do carro com o seguinte DFC FGVIDT De acordo com o problema tanto a entrada de 20 20 de y quanto o valor total do carro y estão posicionados na data 0 As 36 parcelas são representadas por 36 setas da data 1 à data 36 Lembremonos de que a seta da data 1 representa a parcela de daqui a um mês a seta da data 2 representa a parcela de um mês depois da primeira parcela a seta da data 3 representa a parcela de um mês após a segunda parcela e assim por diante 19 COMPRA SEM ENTRADA Qual seria o prazo se o Sr José efetuasse a compra sem entrada Vejamos Não houve entrada Dessa forma não houve fluxo de caixa na data 0 O primeiro fluxo de caixa acontece ao final do primeiro mês na data 1 O último fluxo acontece na data 36 Consequentemente o prazo é de 36 meses Afinal na data 0 mesmo não tendo desembolsado nada o Sr José levou o carro para casa Esse carro deve ser considerado um fluxo de caixa mesmo que em forma de um bem 110 EXEMPLO No exemplo da compra sem entrada o primeiro fluxo de caixa acontece na data 0 e o último na data 36 O prazo da operação é de 36 meses FGVIDT 111 POUPANÇA Temos ainda um outro exemplo de prazo Imaginemos que o Sr Joaquim decida poupar certa quantia a partir de hoje para retirar R 2000000 daqui a 1 ano Essa operação tem prazo de 1 ano independentemente do número de depósitos O que importa é que a operação financeira poupança iniciase com o primeiro fluxo de caixa o primeiro depósito na data de hoje data 0 termina com a retirada na data 12 Suponhamos que o Sr Joaquim efetue depósitos mensais Dessa forma seriam 12 depósitos durante o ano o primeiro na data 0 o último na data 11 112 REPRESENTAÇÃO DA POUPANÇA Vejamos a representação do prazo no caso da poupança FGVIDT O último depósito mensal não o último fluxo de caixa acontece na data 11 um mês antes da retirada Não faz sentido supor que o último depósito aconteça na mesma data da retirada data 12 113 PRIMEIRO E ÚLTIMO FLUXOS Para efeito de prazo não importa se o Sr Joaquim efetuou ao longo do ano 40 depósitos em datas aleatórias O importante é que o primeiro depósito seja efetuado na data 0 afinal a operação começa na data 0 Ademais o último depósito deve ser efetuado antes da data 12 pois a operação acaba com o resgate na data 12 O que acontece no meio dessas datas não influencia o prazo da operação O prazo só leva em conta o primeiro e o último fluxos FGVIDT 114 VALOR PRESENTE Valor presente VP ou PV1 é a quantia equivalente ao valor monetário da operação na data inicial da operação É também chamado de principal valor disponível e valor realizável No caso do Sr José o valor presente da operação com entrada é o valor do carro menos 20 No caso da operação sem entrada o valor presente é o valor do carro como mostra o diagrama apresentado a seguir 1 Do inglês Present Value FGVIDT 115 VALOR FUTURO Valor futuro VF ou FV2 é a quantia equivalente ao valor monetário da operação no final do prazo da operação data final O FV é também chamado de valor realizado e de montante No caso do Sr José a última parcela paga no financiamento do carro não é o valor futuro da operação Não é o valor futuro porque não é a quantia equivalente ao valor presente PV valor do carro na data final da operação No caso do Sr Joaquim o valor futuro é igual à quantia acumulada no final do ano ou seja após 12 depósitos mensais 116 DIFERENÇA ENTRE OS VALORES Não podemos confundir o valor presente da operação com o fluxo de caixa da data 0 Nem podemos confundir o valor futuro da operação com o fluxo de caixa da data final da operação Algumas vezes o valor presente pode ser o primeiro fluxo de caixa mas isso não é 2 Do inglês Future Value FGVIDT obrigatório Algumas vezes o valor futuro pode ser o último fluxo de caixa mas isso tampouco é obrigatório FGVIDT Unidade 02 JUROS SIMPLES Como o próprio nome sugere o regime de juros simples é uma das operações financeiras mais simples principalmente quanto aos cálculos que envolve Apesar disso é uma estrutura pouco utilizada em operações financeiras quando comparada com o regime de juros compostos Os principais exemplos de utilização de juros simples envolve algumas operações em moeda estrangeira e o cheque especial para operações com prazos menores do que 1 mês Nesta unidade vamos conhecer mais a fundo este regime de juros 21 NOTAÇÕES Juros são a remuneração paga pelo uso do dinheiro PV capital durante um intervalo de tempo calculados por uma taxa de juros Vamos aprender o que são juros simples J acompanhando alguns exemplos Para todos eles consideremos o ano comercial 1 ano 360 dias 1 mês 30 dias Estamos usando as seguintes notações n prazo da operação i taxa de juros da operação PV valor presente FV valor futuro J juros 22 FÓRMULA Para todos os exemplos utilizaremos a fórmula FV PV x 1 i x n FGVIDT n prazo da operação i taxa de juros da operação PV valor presente FV valor futuro J juros Em alguns deles precisaremos somente dos juros aqui chamados de J Os juros são a remuneração paga pelo uso do PV durante um tempo calculados por uma taxa conhecida como taxa de juros Naturalmente o valor futuro pode ser entendido como o valor presente acrescido dos juros Ou ainda J FV PV Dessa forma J PV x 1 i x n PV J PV PV x i x n PV J PV x i x n Não faz sentido usar a calculadora financeira ou o Excel para calcular juros simples Como o nome já diz eles são simples demais No regime de juros simples a HP12C funcionará como uma calculadora comum 23 EXEMPLO CÁLCULO DO VF EM DOIS MESES Um banco oferece uma taxa de 12 ao mês no regime de juros simples em suas aplicações Temos a taxa de aplicação oferecida pelo banco i 12 ao mês 12100 012 o valor presente PV 60000 o prazo n 2 meses Quais os juros e qual o capital formado em uma aplicação de R 6000000 por 2 FGVIDT meses Queremos encontrar o valor futuro FV Como a taxa de juros i e o prazo n estão na mesma unidade não precisamos de maiores cuidados Para encontrarmos o capital formado na aplicação em 2 meses teríamos FV PV PV x i x n FV 6000000 6000000 x 012 x 2 FV 6000000 14400 FV 74400 O capital formado seria de R 7440000 e os juros iguais a R 1440000 24 EXEMPLO CÁLCULO DO VF EM DIAS Podemos também calcular o valor futuro para outros períodos Por exemplo vejamos como ficaria o valor futuro para n 36 dias Primeiramente precisamos uniformizar as unidades Vamos colocar o prazo de 36 dias em meses Tratase de uma regrinha de três simples 1 mês 30 dias x mês 36 dias Multiplicando em diagonal temos 30x 36 x 1 Isolando o x da equação x 3630 1210 65 12 mês Portanto FV PV x 1 i x n FV 60000 x 1 12 x 12 FV 60000 x 1 012 x 12 FGVIDT FV 60000 x 1 0144 60000 x 1144 68640 O capital formado seria de R 6864000 25 EXEMPLO CÁLCULO DA TAXA DE JUROS EM MESES Qual é a taxa de juros mensal que transformaria uma aplicação de R 30000 em R 45000 após 5 meses E após 75 dias Temos valor presente PV 300 valor futuro FV 450 prazo n 5 meses Queremos saber a taxa de juros i Se utilizarmos n 5 na fórmula a resposta taxa de juros i virá em unidade mensal para acompanhar a unidade do prazo FV PV x 1 i x n 450 300 x 1 i x 5 450300 1 5 x i 15 1 5 x i 05 5 x i i 055 i 01 i 10 ao mês Em um prazo de 5 meses a taxa de juros deveria ser de 10 ao mês FGVIDT 26 EXEMPLO CÁLCULO DA TAXA DE JUROS EM DIAS Se fizermos os cálculos para sabermos a taxa de juros mensal que transformaria uma aplicação de R 30000 em R 45000 após 75 dias teremos o seguinte Utilizando n 75 na fórmula a resposta taxa de juros virá em unidade diária para acompanhar a unidade do prazo Vamos utilizar mais uma vez uma regra de três simples Se quisermos a resposta taxa de juros em unidade mensal é interessante que mudemos a unidade do prazo Desse modo 1 mês 30 dias x mês 75 dias Multiplicando em diagonal obtemos 30x 75 x 1 Isolando o x x 7530 25 meses Aplicando a fórmula FV PV PV x i x n 450 300 300 x i x 25 450 300 750 x i 450 300 750 x i 150 750 x i i 150750 i 02 FGVIDT Calculando i 02 02 x 100 20 ao mês Portanto em um prazo de 75 dias a taxa de juros deveria ser de 20 ao mês 27 EXEMPLO DE VALOR APLICADO Imaginemos que após ter aplicado à taxa de 9 ao mês am por 36 dias um investidor tenha resgatado R 5096800 Qual é o valor que originalmente esse investidor aplicou Temos taxa de juros i 9 ao mês 9100 009 prazo n 36 dias valor futuro FV 50968 Queremos saber o valor presente Devemos uniformizar as unidades da taxa de juros e do prazo transformando os dias em meses Os 36 dias equivalem a quanto na unidade meses Tratase de uma regra de três básica 1 mês 30 dias x mês 36 dias Multiplicando cruzado 30x 1 x 36 x 3630 65 mês 12 Substituindo na fórmula FV PV PV x i x n 50968 PV PV x 009 x 12 FGVIDT 50968 PV PV x 0108 50968 PV 0108 PV 50968 1108 PV PV 509681108 PV 46000 O valor aplicado inicialmente por esse investidor foi de R 4600000 28 CAPITAIS EQUIVALENTES A JUROS SIMPLES O que são capitais equivalentes a juros simples Quais são as informações necessárias para avaliar essa questão Vejamos um exemplo Os seguintes fluxos de caixa são equivalentes Para que possamos comparar esses fluxos de caixa precisamos de uma base para comparação de uma referência A primeira referência seria a taxa de juros para podermos deslocar os fluxos ao longo do eixo do tempo Em seguida a data focal data de referência Vamos testar se esses dois fluxos são equivalentes e em que data especial FGVIDT Precisamos da taxa de juros e da data focal 29 CÁLCULO Suponhamos que a taxa de juros seja igual a 10 ao mês e que a data focal esteja no ponto 2 Avaliar se os dois fluxos de caixa são equivalentes nessa data significa levar o fluxo de caixa da data 0 para a data 2 o fluxo de caixa da data 2 para a data 2 nesse caso nada precisa ser feito já que o fluxo está na data 2 O transporte do fluxo de qualquer data para a data focal é feito com base na taxa de juros informada O fluxo de caixa 100 na data 0 valerá na data 2 Vale lembrar que 10 é igual a 10100 01 FGVIDT O fluxo de caixa 120 na data 2 vale 120 Portanto esses fluxos de caixa são equivalentes na data focal 2 para uma taxa de 10 am 210 CÁLCULO COM OUTRA TAXA DE JUROS Se mudarmos a taxa de juros será que os fluxos de caixa continuarão equivalentes Suponhamos que a taxa de juros seja igual a 15 ao mês e a data focal esteja no ponto 2 Avaliar se esses dois fluxos de caixa são equivalentes nessa data significa levar o fluxo de caixa da data 0 para a data 2 o fluxo de caixa da data 2 para a data 2 mais uma vez nada precisa ser feito já que o fluxo está na data 2 Vale lembrar que o transporte do fluxo de qualquer data para a data focal é feito com base na taxa de juros informada O fluxo de caixa 100 da data 0 na data 2 valerá FV PV PV x i x n FV 100 100 x 015 x 2 FV 100 30 FV 130 FGVIDT O fluxo de caixa 120 na data 2 vale 120 Esses fluxos de caixa portanto não são equivalentes na data focal 2 para uma taxa de 15 ao mês Bastou a taxa de juros mudar para que os fluxos deixassem de ser equivalentes na mesma data focal em que eram equivalentes para outra taxa 211 CÁLCULO COM DATA FOCAL NO PONTO 0 Voltemos à taxa de juros igual a 10 ao mês porém consideremos que a data focal esteja no ponto 0 Avaliar se esses dois fluxos de caixa são equivalentes nessa data significa levar o fluxo de caixa da data 0 para a data 0 o que não precisa ser feito pois o fluxo já está lá o fluxo de caixa da data 2 para a data 0 com base na taxa de juros desejada O fluxo de caixa 100 na data 0 vale 100 O fluxo de caixa 120 da data 2 valerá na data 0 FV PV x 1 i x n 120 PV x 1 10 x 2 120 PV x 1 01 x 2 FGVIDT 120 PV X 12 PV 12012 100 Esses fluxos de caixa portanto também são equivalentes na data focal 0 para uma taxa de 10 ao mês 212 CÁLCULO COM DATA FOCAL NO PONTO 1 Consideremos finalmente que a taxa de juros seja igual a 10 ao mês e que a data focal esteja no ponto 1 Avaliar se esses dois fluxos de caixa são equivalentes nessa data significa levar o fluxo de caixa da data 0 para a data 1 o fluxo de caixa da data 2 para a data 1 por meio da taxa de juros desejada O fluxo de caixa 100 da data 0 na data 1 valerá FV PV PV x i x n FV 100 100 x 01 x 1 FV 100 10 FV 110 FGVIDT O fluxo de caixa 120 da data 2 na data 1 valerá FV PV PV x i x n 120 PV PV x 01 x 1 120 PV PV x 01 120 PV 01PV 120 11PV 12011 PV 10909 PV PV 10909 Esses fluxos de caixa portanto não são equivalentes na data focal 1 para uma taxa de 10 ao mês O fato de os fluxos de caixa serem equivalentes nas datas focais 0 e 2 não garante que eles sejam equivalentes em qualquer data focal No regime de juros compostos veremos que ser equivalente em uma data focal garante a equivalência em qualquer data focal 213 EXEMPLO CAPITAL EM T 2 E PONTO FOCAL EM T 4 Qual taxa mensal de juros simples tornaria o capital de R 21000 em t 2 equivalente ao capital de R 58800 em t 9 Para essa questão considere t 4 como data focal e o prazo dado em meses Exigir que esses dois fluxos de caixa sejam equivalentes na data focal 4 significa exigir que o fluxo de caixa da data 2 levado para a data 4 por alguma taxa de juros tenha o mesmo valor do fluxo de caixa da data 9 levado para a data 4 pela mesma taxa de juros O fluxo de caixa da data 2 terá o seguinte valor na data focal 4 FV PV PV x i x n FV 210 210 x i x 2 FGVIDT FV 210 420 x i Como não conhecemos a taxa de juros o valor futuro FV do fluxo de caixa de R 21000 ficará na dependência dessa taxa como mostra a equação FV 210 420 x i 214 EXEMPLO CAPITAL EM T 9 E PONTO FOCAL EM T 4 O fluxo de caixa R 58800 a ser calculado também existe em função da taxa de juros i O fluxo de caixa R 58800 da data 9 terá o seguinte valor na data focal 4 FV PV x 1 i x n 588 PV x 1 i x 5 PV 5881 i x 5 Repare que como não conhecemos a taxa de juros o valor presente do fluxo de caixa R 58800 ficará em função do valor de i justamente a incógnita da questão 215 EXEMPLO EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO PONTO FOCAL EM T 4 Como queremos que esses dois valores R 21000 em t 2 e R 58800 em t 9 sejam equivalentes devemos ter 210 420 x i 5881 5 x i 210 x 1 5 x i 420 x i x 1 5 x i 588 210 1050 x i 420 x i 2100 x i2 588 2100 x i2 1470 x i 378 0 Resolvendo essa equação do 2º grau do tipo ax² bx c calculamos primeiramente o delta FGVIDT Δ b² 4ac Em seguida as raízes da equação x b Δ 2𝑎 x b b2 4 a c 2𝑎 Para o exemplo em questão A solução 90 não nos interessa porque não estamos trabalhando com taxas de juros negativas Desse modo a taxa de juros que torna os dois fluxos de caixa equivalentes na data focal t 4 é 20 ao mês 216 EXEMPLO Determine o total de juros cobrados durante o mês de abril de um cliente que tenha apresentado o seguinte extrato FGVIDT Sabemos que a taxa de juros cobrada pelo Banco ABC para utilização do cheque especial é de 9 ao mês Nos dias que não aparecem destacados na tabela não houve movimentação isto é o saldo em conta corrente se manteve inalterado 217 CÁLCULOS Os juros são cobrados sempre que o saldo estiver negativo pelo prazo que se manteve negativo à taxa de juros de 9 ao mês Do dia 0104 ao dia 0504 Prazo de 4 dias 430 mês 0133 e saldo negativo de R 50000 J PV x i x n J 500 x 9 x 0133 J 500 x 009 x 0133 J 600 Do dia 0504 ao dia 0704 Prazo de 2 dias 230 mês e saldo positivo de R 150000 J R 000 Do dia 0704 ao dia 1104 Prazo de 4 dias 430 mês e saldo positivo de R 20000 J R 000 Do dia 1104 ao dia 1904 FGVIDT Prazo de 8 dias 830 mês 0267 e saldo negativo de R 70000 J PV x i x n J 700 x 9 x 0267 J 700 x 009 x 0267 J R 1682 Do dia 1904 ao dia 2504 Prazo de 6 dias 630 mês 02 e saldo negativo de R 20000 J PV x i x n J 200 x 9 x 02 J 200 x 009 x 02 J R 360 Do dia 2504 ao dia 0105 Prazo de 6 dias 630 mês 02 e saldo negativo de R 90000 J PV x i x n J 900 x 9 x 02 J 900 x 009 x 02 J R 1620 Dessa forma o total de juros cobrados durante o mês de abril foi de J 600 1682 360 1620 4262 FGVIDT Unidade 03 JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais utilizado e portanto o mais importante regime de capitalização constituindose em ferramenta fundamental para a análise do valor do dinheiro no tempo Nesse sistema os juros acumulados em um determinado período juntamse ao valor do capital para servir como base do cálculo de juros do período seguinte Nesta unidade iremos estudar esse regime de capitalização de juros também chamado de regime exponencial 31 CONCEITO Juro composto é o regime de capitalização em que o juro é incorporado ao capital principal ao final de cada período passando também a render juros Vamos começar acompanhando alguns exemplos Para todos eles quando nada mais for dito consideraremos o ano comercial 1 ano 360 dias 1 mês 30 dias Os exemplos podem ser resolvidos por meio de 3 recursos diferentes a fórmula a HP12C o Excel 32 CÁLCULO DA QUARTA VARIÁVEL A resolução de todos os exemplos que iremos ver relativos a juros compostos passa FGVIDT pela fórmula FV PV x 1 in Naturalmente essa fórmula serve para os casos em que são dados no exercício o valor presente PV a taxa de juros i o prazo da operação n Buscamos pelo valor futuro São sempre quatro variáveis Três delas são fornecidas e queremos determinar a quarta 33 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE Para resolvermos os problemas em que a incógnita não é mais o valor futuro fazemos alterações na fórmula FV PV x 1 in Dessa forma isolamos a nova incógnita de um dos lados da igualdade Por exemplo suponhamos que nos tenham sido fornecidos o valor futuro a taxa de juros o prazo da operação Queremos determinar o valor presente A partir da fórmula FV PV x 1 in obtemos PV FV1 in ou PV FV x 1 in Lembrese de que dividir por 1 in é o mesmo que multiplicar por 1 in 34 CÁLCULO DA TAXA DE JUROS FGVIDT Suponhamos agora que nos tenham sido fornecidos o valor presente PV o valor futuro FV o prazo da operação n Queremos então determinar a taxa de juros i A partir da fórmula FV PV x 1 in obtemos FVPV 1 in FV PV 1 𝑛 1 i i FV PV 1 n 1 Lembrese de que FV PV 1 𝑛 𝐹𝑉 𝑃𝑉 𝑛 35 CÁLCULO DO PRAZO Suponhamos finalmente que nos tenham sido fornecidos o valor presente PV o valor futuro FV a taxa de juros i da operação A partir da fórmula FV PV x 1 in obtemos FV PV 1 in ln 𝐹𝑉 𝑃𝑉 ln1 in ln 𝐹𝑉 𝑃𝑉 𝑛 ln 1 𝑖 FGVIDT 𝑛 ln𝐹𝑉 𝑃𝑉 ln1𝑖 36 LOGARITMO Observe que para calcular o prazo posicionado no expoente de 1 i foi preciso usar a seguinte propriedade de logaritmos logB An n logB A onde B é a base do logaritmo e A é o logaritmando Desse modo temos Nesse caso tanto faz a base base10 a base neperiana ou qualquer outra base 37 EXEMPLO CÁLCULO DE VF Se uma corretora oferece uma taxa de 3 ao mês qual é o valor resgatado a partir da aplicação de R 1500000 por 4 meses Temos o valor presente PV 15000 a taxa de juros i 3 ao mês 3100 003 o prazo n 4 meses Queremos encontrar o valor futuro FV Pela fórmula FV PV x 1 in FV 15000 x 1 34 FV 15000 x 1 0034 FV 15000 x 1034 FGVIDT FV 15000 x 1125509 FV 1688263 38 CÁLCULO DE FV PELA HP12C A partir de agora vamos utilizar a calculadora HP12C em nossos cálculos Para trabalhar com duas casas decimais teclamos primeiramente f em seguida 2 Voltando ao exemplo em que temos o valor presente PV 15000 a taxa de juros i 3 ao mês 3100 003 o prazo n 4 meses Vamos teclar o seguinte f CLx 15000 CHS PV 4 n 3 i FV No visor temos a resposta isto é 1688263 Para que teclamos f CLx antes de inserir os dados Teclando f CLx limpamos a memória da HP12C e não corremos o risco de obter resultados incorretos devido a resíduos de cálculos anteriores Temos de teclar obrigatoriamente CHS para inserir o valor presente Não é obrigatório mas é interessante que seja assim A tecla CHS significa change signal ou mudar sinal FGVIDT Segundo o enunciado a quantia 1500000 representa uma aplicação portanto uma saída de caixa O dinheiro saiu do caixa e foi para a aplicação E nós estamos preocupados com o que acontece com o dinheiro do caixa Por isso é interessante inserir na HP exatamente o que informa o enunciado uma saída de caixa de 15000 ou seja um fluxo negativo de 1500000 Tendo essa preocupação a resposta virá em afinidade com a pergunta do problema A resposta da HP12C foi 1688263 positivo Isso significa que esse valor é uma entrada de caixa Exatamente como dizia o enunciado O resgate do final do prazo significa uma entrada de caixa no final do prazo Fluxo Positivo Devemos teclar obrigatoriamente na sequência valor presente prazo taxa de juros e valor futuro Não A ordem de entrada das informações do enunciado não tem importância Podemos entrar com os dados valor presente VP prazo n e taxa de juros i em qualquer ordem Só devemos nos preocupar em inserir todos os dados antes de teclar FV Essa sim deve ser a última tecla 39 CÁLCULO DE FV PELO EXCEL Selecione a célula da planilha onde você deseja que a resposta apareça Clique no ícone fx inserir função Selecione a categoria Financeira Selecione a função VF valor futuro Clique OK O espaço denotado por Taxa está reservado para a taxa de juros Coloque 3 usando o símbolo de porcentagem ou escrevendo 003 O espaço denotado por Nper está reservado para o número de períodos o prazo Escreva 4 O espaço denotado por Pgto está reservado para as prestações Deixe em branco por enquanto Deixando em branco o Excel entende que é igual a zero FGVIDT O espaço denotado por Vp está reservado para o valor presente Escreva 15000 Como na HP12C não é imprescindível colocarmos esse símbolo de negativo antes do 15000 Vale a pena apenas para ser coerente com o enunciado do problema O espaço denotado por Tipo também trata de prestações Por enquanto deixemos em branco Logo abaixo da linha reservada para o Tipo há um símbolo de igualdade e o número 1688263215 Essa já é a solução Clique OK ou aperte Enter no teclado A solução aparece na célula previamente selecionada 310 CÁLCULO DE FV PARA PRAZO DE 15 DIAS E se o prazo fosse de 15 dias Temos o valor presente PV 15000 a taxa de juros i 3 ao mês o prazo n 15 dias Queremos encontrar o valor futuro FV Nossa primeira providência é transformar a unidade do prazo para a unidade da taxa de juros 1 mês 30 dias x mês 15 dias 30x 15 x 1 x 1530 x ½ mês Pela fórmula FV 15000 x 1 312 FGVIDT 15000 x 10312 15000 x 10148892 15223338 Pela HP12C Tecle o seguinte 15000 CHS PV 05 n 3 i FV O visor indica a resposta 1522500 Por que o resultado ficou diferente Foi erro de arredondamento Não Olhe para sua HP12C Está aparecendo um C no canto inferior direito do visor Não está não é mesmo Pois bem Quando esse C está aparecendo a HP12C está considerando o regime de juros compostos em seus cálculos Quando o C não está aparecendo a HP12C está trabalhando com um misto de regime de juros compostos e regime de juros simples Como assim Antes de responder vamos colocar o C no visor Tecle STO EEX ou seja STORAGE EXPONECIAL ou ARMAZENAR EXPONENCIAL A HP12C vai considerar operações com funções exponenciais Exatamente do que trata o regime de juros compostos Para tirar o C basta teclar novamente STO EEX Vamos fazer o teste Deixe o C no visor Repita o procedimento de resolução pela HP12C Tecle o seguinte 15000 CHS PV 05 n FGVIDT 3 i FV O visor indica a resposta 15223337 Agora sim a diferença se deve aos arredondamentos Voltando à dúvida Suponha uma operação com prazo igual a 25 meses Com o C no visor a HP entende a seguinte operação da data 0 para a data 1 regime de juros compostos da data 1 para a data 2 regime de juros compostos da data 2 para a data 25 regime de juros compostos Com o C no visor a HP12C considera a operação inteira no regime de juros compostos Sem o C no visor a HP12C entende o seguinte da data 0 para a data 1 regime de juros compostos da data 1 para a data 2 regime de juros compostos da data 2 para a data 25 regime de juros simples A HP12C considera regime de juros compostos sempre que o período for inteiro Na parte fracionária a HP12C entende que o regime é de juros simples Esse é o motivo de o resultado a princípio ter sido superior Ademais para prazo menores do que 1 o juro no regime de juros simples é maior do que o juro no regime de juros compostos A única explicação para essa interpretação é se você deseja trabalhar com prazos menores do que 1 Nesse caso você tem a possibilidade de escolher o regime ao qual a operação pertence Para prazos maiores do que 1 não faz sentido trabalhar sem o C mesmo que o prazo seja fracionário Não existe uma operação que começa com juros compostos e termina com juros simples FGVIDT Vamos deixar portanto o C no visor Daqui para frente só trabalharemos no regime de juros compostos Pelo Excel Selecione a célula da planilha onde você deseja que a resposta apareça Clique no ícone fx inserir função Selecione a categoria Financeira Selecione a função VF valor futuro Clique OK No espaço denotado por Taxa escreva 3 ou 003 No espaço denotado por Nper escreva 05 Deixe em branco o espaço denotado por Pgto No espaço denotado por Vp escreva 15000 Deixe em branco o espaço denotado por Tipo Observe a solução 1522333735 Clique OK ou aperte Enter no teclado para que a solução apareça na célula previamente selecionada 311 EXEMPLO CÁLCULO POR PV JUROS E PRAZO Cálculo do PV Que capital após uma aplicação de 2 meses a 15 ao mês gerou R 19837500 PV FV1 in PV 198375001 0152 PV 198375001152 PV 1983750013225 PV 150000 Cálculo da taxa de juros i Um cliente aplicou R 100000 capitalizados de forma composta por 2 anos Passados os dois anos ele resgatou R 121000 FGVIDT Qual foi a taxa de juros que incidiu sobre seu capital inicial i FVPV1n 1 i 1210100012 1 i 121005 1 i 11 1 i 01 10 Cálculo do prazo n Em quanto tempo R 250000 aplicados a uma taxa de 18 ao mês transformamse em R 410758 n lnFVPVln1 i n ln410758250000ln1 018 n ln1643032ln118 n 0496543315401655144384 n 3 meses 312 EXEMPLO CÁLCULO DE VP Que quantia deve ser investida hoje a uma taxa de 3 ao mês para possibilitar o resgate de R 1688263 daqui a 4 meses Temos a taxa de juros i 3 ao mês o valor futuro FV 1688263 o prazo n 4 meses Queremos encontrar o valor presente PV Pela fórmula PV 1688263 1 34 1688263 1034 1688263 1125509 FGVIDT 15000 Pela HP12C Tecle o seguinte 1688263 FV 4 n 3 i PV No visor temos a resposta 14999998 Arredondando 15000 Por que não teclamos CHS para inserir o valor futuro Para ser coerente com o enunciado O valor futuro é um resgate portanto uma entrada de caixa Desse modo devemos inserilo na HP12C na forma de um fluxo positivo A resposta sim será um desembolso portanto um fluxo negativo Obviamente devemos ter uma aplicação hoje para podermos ter um resgate no futuro Podemos observar que a HP12C retornou uma resposta negativa para indicar que esse fluxo foi uma saída de caixa Pelo Excel Selecione a célula da planilha onde você deseja que a resposta apareça Clique no ícone fx inserir função Selecione a categoria Financeira Selecione a função VP valor presente Clique OK No espaço denotado por Taxa escreva 3 ou 003 No espaço denotado por Nper escreva 4 Deixe em branco o espaço denotado por Pgto O espaço denotado por Vf está reservado para o valor futuro Escreva 1688263 Não colocamos o sinal negativo porque o fluxo referente ao valor futuro entra no caixa já que é um resgate FGVIDT Deixe em branco o espaço denotado por Tipo Observe a solução 1499999809 Clique OK ou aperte Enter no teclado para que a solução apareça na célula previamente selecionada 313 EXEMPLO CÁLCULO DA TAXA DE JUROS i Que taxa de juros mensal transforma uma aplicação de R 1500000 em R 1688263 após 4 meses Temos o valor presente PV 15000 o valor futuro FV 1688263 o prazo n 4 meses Queremos encontrar a taxa de juros i Pela fórmula i 1688263 1500014 1 1125508714 1 103 1 003 3 ao mês Como sabemos que a unidade da taxa de juros é o mês Sempre que prazo e taxa de juros são dados do problema devemos uniformizar suas unidades antes de passar aos cálculos Quando um deles for a incógnita sua unidade será naturalmente a unidade do outro para que a solução esteja de acordo com os dados Pela HP12C Tecle o seguinte 1688263 FV 15000 CHS PV 4 n FGVIDT i No visor temos a resposta 3 Você deve interpretála como 3 ao mês Observe que teclamos CHS antes do valor presente Sabemos que esse valor foi um desembolso na data de hoje para permitir o embolso daqui a 4 meses Por isso esses sinais A resposta seria a mesma se você mudasse o sinal do valor futuro para negativo e deixasse o valor presente positivo O único incômodo seria não estar sendo coerente com as informações repassadas no enunciado Ademais nenhum problema Contudo se você esquecer de teclar CHS então será um problema A HP12C não entende como um desembolso na data de hoje pode gerar outro desembolso daqui a 4 meses Faça o teste Tecle 1688263 FV 15000 PV 4 n i Você verá no visor a mensagem Error 5 indicando que houve erro na entrada de dados Pelo Excel Selecione a célula da planilha onde você deseja que a resposta apareça Clique no ícone fx inserir função Selecione a categoria Financeira Selecione a função TAXA Clique OK No espaço denotado por Nper escreva 4 Deixe em branco o espaço denotado por Pgto No espaço denotado por Vp escreva 15000 No espaço denotado por Vf escreva 1688263 Fomos coerentes com o enunciado colocando o sinal de negativo apenas antes do FGVIDT fluxo de caixa referente ao valor presente Deixe em branco o espaço denotado por Tipo Observe a solução 002999967 Arredondando 003 que é igual a 3 Se não trocarmos o sinal de um dos fluxos de caixao Excel não fará a contaFaça o teste e verá que depois de inserir o valor futuro não aparecerá nada como solução 314 EXEMPLO CÁLCULO DE N PELA FÓRMULA Após que prazo uma aplicação de R 1500000 a uma taxa de 3 ao mês possibilita um resgate de R 15223337 Temos o valor presente PV 15000 o valor futuro FV 15223337 a taxa de juros i 3 ao mês Queremos encontrar o prazo Desde já sabemos que o prazo virá em unidade mensal Pela fórmula n ln FVPV ln 1 i n ln 1522333715000 ln 1 3 ln 10148891 ln 103 00147794 00295588 0499999 mês Arredondando a resposta é 05 mês que são 15 dias 315 EXEMPLO CÁLCULO DE N PELA HP 12C FGVIDT Considerando os mesmos dados o valor presente PV 15000 o valor futuro FV 15223337 a taxa de juros i 3 ao mês Podemos calcular o prazo n pela HP12C Tecle o seguinte 15223337 FV 15000 CHS PV 3 i n No visor temos a resposta 1 Você deve interpretála como 1 mês Como assim 1 mês A solução não eram 15 dias É verdade Aqui temos um probleminha da HP12C A HP12C não retorna valores fracionários como resposta para o prazo A HP12C sempre arredonda para o primeiro inteiro imediatamente superior à solução exata Assim sendo ela arredondou 05 para 1 Pior ainda a HP12C não diz nada sobre a possibilidade de a resposta estar superdimensionada Somos nós que devemos perceber E a única maneira de testar é verificando a resposta 15000 CHS PV 3 i 1 n FV A solução no visor é 1545000 Bem maior do que o valor futuro informado no enunciado Podemos concluir que esse prazo é maior do que o prazo correto para a resposta FGVIDT Para solucionar casos como esse precisamos detalhar mais a resposta Detalhar mais significa considerar uma unidade menor para o prazo Como o prazo está em meses uma ideia seria considerálo em dias No entanto sabemos que o prazo está na unidade mês porque a taxa de juros está na unidade ao mês Para que a resposta do prazo venha na unidade dias a taxa de juros deve ser inserida na unidade ao dia Portanto precisamos transformar essa unidade O que queremos no fim das contas é encontrar a taxa de juros diária equivalente a taxa de juros mensal de 3 Equivalente porque dá no mesmo 316 TAXAS EQUIVALENTES O que são exatamente taxas equivalentes Taxas equivalentes são taxas que transformam o mesmo capital inicial valor presente no mesmo montante valor futuro Podemos entendermais precisamenteque taxas equivalentes transformam o mesmo valor presente no mesmo valor futuro durante prazos iguais Em outras palavras Duas taxas são equivalentes se aplicadas ao mesmo valor presente originarem o mesmo valor futuro após o mesmo prazo 317 EXEMPLO i DIÁRIA Vamos usar a definição de taxas equivalentes para encontrar a taxa de juros ao dia equivalente à taxa de juros de 3 ao mês Suponhamos um valor presente VP de R 10000 Após 1 mês de aplicação à taxa de 3 ao mês o valor presente será R 10300 FGVIDT Aplicação de R 10000 hoje fluxo de caixa negativo na data 0 seta para baixo no DFC Resgate de R 10300 após um mês fluxo de caixa positivo na data 1 seta para cima no DFC A pergunta agora é Que taxa de juros transformará R 10000 em R 10300 no prazo de 30 dias Todo esse trabalho tem um objetivo que colocando o prazo em dias a taxa de juros venha na unidade ao dia FGVIDT A nova taxa de juros é justamente a taxa diária equivalente a 3 ao mês 318 EXEMPLO CÁLCULO DE i DIÁRIA Podemos fazer os cálculos para encontrar i pela HP12C e pela fórmula considerando os dados Pela HP12C Tecle na HP12C 100 CHS PV 103 FV 30 n i No visor temos a solução 00985779 Isso significa 00985779 ao dia Se no lugar de 30 inseríssemos 1 o prazo estaria na unidade mês e a resposta para a taxa de juros seria obviamente 3 Perceba que realmente utilizamos a definição de taxas equivalentes Tanto a taxa de 3 ao mês quanto a taxa de 00985779 ao dia transformam o valor presente de R 10000 no valor futuro de R 10300 após 1 mês ou 30 dias Pela fórmula O mesmo resultado pode ser encontrado pela fórmula usando novamente a definição de taxas equivalentes Sabemos que VF VP x 1 in Substituindo os valores 103 100 x 1 31 Queremos saber que taxa de juros diária teria o mesmo efeito sobre o valor presente de R 10000 após o mesmo prazo apresentado logicamente em dias Temos então a seguinte expressão FGVIDT 103 100 x 1 i30 Como as duas expressões são iguais a 103 podemos escrever 100 x 1 31 100 x 1 i30 103 1 i30 i 103130 1 1000985781 100098578 1 i i 0000985779 00985779 ao dia 319 EXEMPLO CÁLCULO DE PRAZO Com o valor encontrado para a taxa de juros isto é 0098578 voltamos ao problema original Após que prazo uma aplicação de R 1500000 a uma taxa de 0098578 ao dia possibilita um resgate de R 15223337 Pela HP12C 15000 CHS PV 15223337 FV 0098578 i n No visor temos a solução 15 na unidade dia Uma boa notícia Esse problema só ocorre quando o prazo é a incógnita Se o prazo for um dado do problema a HP12C o entende exatamente como você informa mesmo que o prazo seja fracionário Pelo Excel Selecione a célula da planilha onde você deseja que a resposta apareça Clique no ícone fx inserir função Selecione a categoria Financeira Selecione a função NPer FGVIDT Clique OK No espaço denotado por Taxa escreva 3 Deixe em branco o espaço denotado por Pgto No espaço denotado por Vp escreva 15000 No espaço denotado por Vf escreva 15223337 Novamente fomos coerentes com o enunciado colocando o sinal de negativo apenas antes do fluxo de caixa referente ao valor presente Deixe em branco o espaço denotado por Tipo Observe a solução 04999992 Arredondando 05 mês ou 15 dias Lembremos que se não trocarmos o sinal de um dos fluxos de caixa o Excel não fará a conta 320 CAPITAIS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS O que são capitais equivalentes a juros compostos Quais são as informações necessárias para avaliar essa questão Vejamos um exemplo Os capitais apresentados a seguir são equivalentes FGVIDT Para sabermos se os capitais são equivalentes temos de conhecer a taxa de juros que será considerada Suponhamos que a taxa de juros seja de 10 ao mês Também temos de saber em que data focal os capitais são equivalentes Suponhamos que sejam equivalentes na data 5 321 EXEMPLO CÁLCULO DA EQUIVALÊNCIA Avaliar se os dois capitais são equivalentes na data focal 5 considerando a taxa de juros de 10 ao mês significa levar os dois fluxos de caixa para a data 5 Essa avaliação dever ser feita arrastandose os fluxos de caixa ao longo do tempo e tendo como base a taxa de 10 ao mês O fluxo de caixa de R 909091 da data 2 vale na data 5 PV 909091 i 10 10100 010 n 5 2 3 FV PV x 1 in FV 909091 x 1 103 FV 909091 x 113 FV 909091 x 1331 FV 121000 O fluxo de caixa de R 121000 da data 5 já está na data 5 e não precisa ser transportado Portanto esses dois fluxos são equivalentes na data focal 5 para a taxa de 10 ao mês 322 EXEMPLO CÁLCULO COM DATA FOCAL T 2 Se a data focal fosse 2 será que os fluxos de caixa continuariam equivalentes FGVIDT O fluxo de caixa da data 2 já está na data 2 portanto não precisa ser transportado O fluxo de caixa de R 121000 da data 5 vale na data 2 FV 1210 i 10 10100 010 n 5 2 3 PV FV1 in PV 12101 103 PV 1210113 PV 12101331 PV 909091 Dessa forma os dois capitais também são equivalentes na data focal 2 para a taxa de 10 ao mês 323 EXEMPLO CÁLCULO COM DATA FOCAL T 3 Se a data focal fosse a data 3 o que aconteceria Na data 3 o fluxo de caixa de 909091 da data 2 vale PV 909091 i 10 10100 010 n 3 2 1 FV PV x 1 in FV 909091 x 1 101 FV 909091 x 11 FV 1000 FGVIDT O fluxo de caixa de 1210 da data 5 que já está na data 3 vale FV 1210 i 10 10100 010 n 5 3 2 PV FV1 in PV 12101 102 PV 1210112 PV 1210121 PV 1000 Mais uma vez os capitais foram equivalentes Esses capitais serão equivalentes em qualquer data focal para essa taxa de juros Essa é uma propriedade do regime de juros compostos se dois capitais forem equivalentes em uma data focal para uma determinada taxa de juros eles serão equivalentes em qualquer data focal considerando aquela mesma taxa de juros 324 AVALIAÇÃO DA EQUIVALÊNCIA Para avaliarmos a equivalência de capitais no regime de juros compostos basta levarmos em consideração a taxa de juros usada no transporte dos fluxos É diferente do que ocorre no regime de juros simples Podemos definir capitais equivalentes da seguinte maneira dois capitais são ditos equivalentes em uma determinada taxa de juros se tiverem o mesmo valor em uma data qualquer 325 FLUXOS EQUIVALENTES Os fluxos a seguir são equivalentes FGVIDT Atenção esses dois fluxos de caixa não são exatamente os que avaliamos anteriormente Avaliamos a equivalência entre um fluxo positivo de caixa na data 2 e outro fluxo positivo na data 5 Temos agora um fluxo positivo e um fluxo negativo Fluxos de sinais contrários não serão equivalentes jamais 326 EXEMPLO Imaginemos que queiramos vender uma HP12C Aceitamos duas possibilidades de pagamento receber R 30000 à vista receber R 40000 daqui a dois meses Mais detalhadamente entregamos a HP saída de caixa e recebemos R 30000 entrada de caixa hoje data 0 FGVIDT Ou entregamos a HP saída de caixa hoje e recebemos R 40000 entrada de caixa daqui a dois meses ou seja data 2 Se tanto faz qualquer uma das duas operações é porque essas duas operações são equivalentes Se tanto faz receber R 30000 hoje como receber R 40000 daqui a dois meses é porque esses dois capitais são equivalentes 327 EQUIVALÊNCIA ENTRE ENTRADAS E SAÍDAS DE CAIXA Veja que para nós tanto faz recebermos R 30000 hoje como recebermos R 40000 daqui a dois meses FGVIDT Os dois fluxos são entradas de caixaTêm o mesmo sentido Contudo não dá no mesmo entregarmos a HP hoje e recebermos R 30000 também hoje entregarmos a HP hoje e pagarmos mais R 40000 daqui a dois meses Uma entrada de caixa só pode ser equivalente a outra entrada de caixa E uma saída de caixa só pode ser equivalente a outra saída de caixa 328 EXEMPLO Imaginemos que o SrDeturpo Solares tenha aplicado R 500000 em um fundo de investimento que rendeu nos últimos 3 meses respectivamente 8 2 e 6 Qual é o saldo do fundo hoje Para facilitar o entendimento do problema vale a pena montarmos o DFC FGVIDT 329 CÁLCULO DA APLICAÇÃO O que aconteceu cronologicamente foi o seguinte o Sr Deturpo aplicou R 500000 esse valor rendeu por um mês à taxa de 8 ao mês após um mês ele poderia resgatar o valor aplicado acrescido dos juros Desse modo PV 5000 i 8 8100 008 n 1 mês A fórmula seria FV PV x 1 in FV 5000 x 1 8¹ FV 5000 x 108 FV 5400 Como o SrDeturpo não resgatou o dinheiro o valor total foi reaplicado Esse novo valor rendeu 2 ao mês por um mês Após esse períodoo SrDeturpo poderia resgatar o valor aplicado mais os juros Nesse caso foram negativos devido à taxa de juros negativa FV PV x 1 in FV 5400 x 1 2¹ FV 5400 x 098 FV 5292 Esse valor foi novamente reaplicado por mais um mês Nesse período rendeu 6 ao mês atingindo FV PV x 1 in FGVIDT FV 5292 x 1 6¹ FV 5292 x 106 FV 560952 Nesse momento então o dinheiro foi finalmente resgatado O saldo do fundo do Sr Deturpo é hoje de R 560952 330 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Vejamos a representação gráfica do que ocorreu com o Sr Deturpo FGVIDT Lembremos que a seta para baixo representa o valor presente sendo aplicado e a seta para cima o valor futuro a ser resgatado Como esse valor futuro não é resgatado ele é reaplicado a seta que estava para cima passa para baixo do eixo de cabeça para baixo FGVIDT Unidade 04 TAXAS DE JUROS As taxas de juros são utilizadas para avaliar operações financeiras como investimentos e financiamentos Cada operação financeira tem imbutida em si uma taxa de juros que podemos comparar com aquelas de outras operações na hora de analisar a atratividade de um investimento ou a conveniência de um financiamento Nesta unidade iremos explorar o papel das taxas de juros além de introduzir conceitos de análise de investimentos como o Valor Presente Líquido VPL e a Taxa Interna de Retorno TIR 41 ORDEM DAS TAXAS DE JUROS Vamos lembrar o investimento do Sr Deturpo Solares Ele aplicou R 500000 em um fundo de investimento que rendeu nos últimos 3 meses respectivamente 8 2 e 6 Se os rendimentos mensais tivessem acontecido na seguinte ordem primeiramente a perda de 2 em seguida o ganho de 6 depois o ganho de 8 qual seria o valor resgatado após os 3 meses Seria maiormenor ou igual Estamos avaliando o seguinte DFC FGVIDT A resposta correta é igual Tanto faz a ordem das taxas de juros Vamos repetir o procedimento anterior para verificarmos que o valor final é o mesmo 42 CÁLCULO COM INVERSÃO DA ORDEM DE VALORES Vale a pena ver matematicamente o que ocorre Para o primeiro período temos PV 5000 i 2 2100 002 n 1 FV PV x 1 in FV 5000 x 1 0021 FV 5000 x 0981 FV 5000 x 098 FV 4900 Esse valor futuro se transforma no valor presente do período seguinte Para o segundo período temos PV 4900 i 6 6100 006 n 1 FV PV x 1 in FV 4900 x 1 0061 FV 4900 x 1061 FV 4900 x 106 FV 5194 FGVIDT Esse valor futuro se transforma no valor presente do período seguinte Para o terceiro período temos PV 5194 i 8 8100 008 n 1 FV PV x 1 in FV 5194 x 1 0081 FV 5194 x 1081 FV 5194 x 108 FV 560952 O valor encontrado é portanto semelhante ao anterior independentemente da troca na ordem dos fatores 43 TAXA DE JUROS REPETIDA Que taxa de juros mensal repetida pelos 3 meses proporcionaria o mesmo resultado anterior Ou seja estamos interessados em encontrar a taxa de juros que transforma o valor presente de R 500000 no valor futuro de R 560952 após 3 meses Usando a fórmula temos FV PV x 1 in FV 5000 x 1 i³ Sendo FV 560952 FGVIDT Logo 44 MÉDIA GEOMÉTRICA Podemos resolver o problema da repetição da taxa de juros de outra maneira Basta lembrar que o crescimento procurado nada mais é do que a média geométrica dos crescimentos individuais e sucessivos do exemplo apresentado anteriormente 1 i 1 8 1 2 1 6 3 1 i 121904 3 1 i 1039087 i 39087 ao mês Tanto faz a ordem das 3 taxas de juros como tanto faz a taxa de 39087 repetida pelos 3 meses FGVIDT 45 EXEMPLO Vamos imaginar que fomos até uma loja comprar um DVD anunciado por R 200000 Lá chegando após pechincharmos um pouco o vendedor nos ofereceu duas possibilidades de pagamento um cheque prédatado para 90 dias à vista com um desconto de 10 sobre o preço anunciado As opções são pagarmos o preço anunciado sem pechinchar primeiro DFC pagarmos o preço à vista com desconto segundo DFC pagarmos o preço anunciado com cheque prédatado para 90 dias terceiro DFC Vale ou não vale a pena financiarmos a compra sabendo que dispomos de uma aplicação financeira que rende 3 ao mês 46 MELHOR OPÇÃO Pagar o preço anunciado sem pechinchar a primeira opção está fora de cogitação FGVIDT É claro que a segunda opção pagar o preço à vista com desconto é mais vantajosa que a primeira Dessa forma nosso trabalho é avaliar qual é a opção mais interessante a segunda ou a terceira Para tanto usaremos a taxa de juros que dispomos em nossa aplicação 3 ao mês Por quê Vejamos como a resolução se desenrola para comprarmos à vista precisamos ter R 180000 disponíveis hoje para comprarmos a prazo precisamos ter R 200000 daqui a 3 meses A questão é É melhor pagarmos R 180000 hoje ou R 200000 daqui a 3 meses Ou resumidamente vale a pena financiar a compra Podemos resolver o problema de três maneirasTodas elas supõem que temos R 180000 em mãos Se não tivermos esse dinheiro não há avaliação nenhuma já que a compra à vista é impossível 47 PRIMEIRA MANEIRA Considerando que temos R 180000 em mãos Financiar a compra significa passarmos um cheque prédatado de R 200000 Os R 180000 que temos no bolso obviamente não ficarão sem rendimento iremos depositá los no banco para render 3 ao mês Decidindo financiar a compra após três meses 90 dias os R 180000 depositados no banco valem FV PV x 1 in FV 1800 x 1 33 FV 1800 x 1033 FV 1800 x 1092727 FV 196691 FGVIDT Conclusão O saldo no banco não cobre o cheque prédatado Após a compensação do cheque o saldo ficou negativo em R 3309 Não valeu a pena financiar 48 SEGUNDA MANEIRA Para que o cheque prédatado possa ser honrado o saldo em contacorrente daqui a três meses deve ser de R 200000 Sabendo que a aplicação rende 3 ao mês quanto devemos depositar hoje PV FV1 in PV 20001 3³ PV 2000103³ PV 20001092727 PV 183028 Ou seja precisamos depositar R 183028 em nossa aplicação para que o saldo daqui a três meses seja de R 200000 Mais uma vez não vale a pena financiar Era de se esperar Na primeira maneira vimos que R 180000 aplicados a 3 ao mês originam um valor futuro menor que R 200000 Dessa forma é claro que para originar R 200000 com a mesma taxa de juros precisaríamos de um valor presente superior a R 180000 Financiar nesse caso não é a melhor opção em nenhuma circunstância 49 TERCEIRA MANEIRA Relembrando o exemplo dado Para que o cheque prédatado possa ser honrado o saldo em contacorrente daqui a três meses deve ser de R 200000 Para termos esse valor daqui a três meses precisamos de R 183028 Ocorre que só temos R 180000 Só nos resta buscar por uma aplicação que renda mais do que 3 ao mês FGVIDT Quanto essa aplicação deve render i FVPV1n 1 i 2000180013 1 i 111111113 1 i 1035744 1 i 0035744 i 35744 am Mais uma vez não vale a pena financiar Precisamos de uma taxa de juros maior do que aquela que possuímos 410 RESULTADOS OBTIDOS Vamos interpretar os resultados obtidos nas três diferentes maneiras que utilizamos para resolver o problema anterior Segundo a primeira maneira após três meses você não conseguirá os R 200000 aplicando R 180000 à taxa de 3 ao mês De acordo com a segunda maneira à taxa de 3 ao mês é preciso aplicar mais do que dispomos hoje para conseguirmos os R 200000 daqui a 3 meses Na terceira maneira o que significa a taxa de 35744 ao mês Essa é a taxa de juros dos financiamentos feitos na loja Por isso não vale a pena financiar Ao financiarmos comprometemonos a pagar 357445 ao mês para a loja quando nossas aplicações só rendem 3 ao mês 411 OBTENÇÃO DA TAXA DE JUROS Se a loja possibilita o pagamento de R 180000 à vista e o pagamento de R 200000 daqui a três meses é porque para ela tanto faz um como o outro Esses dois recebimentos são equivalentes Ora se dois fluxos de caixa em datas diferentes são equivalentes é porque existe uma FGVIDT taxa de juros que faz com esses dois fluxos sejam iguais em qualquer data focal Essa taxa é de 35744 ao mês obtida anteriormente como i FVPV1n 1 i 2000180013 1 i 111111113 1 i 1035744 1 i 0035744 i 35744 am Podemos aproveitar esse exemplo para anteciparmos alguns conceitos de avaliação de investimentos 412 VALOR PRESENTE LÍQUIDO O problema em questão é se vale a pena financiar De acordo com a segunda maneira que utilizamos para saber se valia a pena comprar o DVD a prazo seria preciso depositar R 183062 hoje para honrar o cheque prédatado Entretanto levamos para casa hoje um DVD avaliado em R 180000 Entraram em nosso caixa na data 0 R 180000 em forma de DVD Saíram de nosso caixa também na data 0 R 183062 Esse valor é equivalente a R 200000 na data 3 Tivemos um prejuízo de R 3062 em valores atuais Essa quantia é chamada de valor presente líquido VPL É a diferença entre o valor presente das entradas e o valor presente das saídas Quando o VPL é negativo como no caso em questão o investimento que está sendo avaliado não é atrativo 413 TIR E TMA Logicamente só nos interessa financiar se a taxa de financiamento for inferior a taxa de juros de nossas aplicações FGVIDT A taxa de financiamento da loja é comumente chamada de taxa interna de retorno TIR A taxa de juros de nossas aplicações é chamada de taxa máxima de atratividade TMA Só nos interessam taxas de financiamento até esse máximo estipulado Quando a TIR for superior à TMA o investimento que está sendo avaliado não é atrativo FGVIDT Unidade 05 SÉRIES UNIFORMES E NÃO UNIFORMES Boa parte das operações financeiras é composta por uma série de pagamentos e recebimentos durante o prazo da operação como no financiamento de uma compra ou no recebimento de proventos de aposentadoria Nesta unidade vamos apresentar alguns conceitos e algumas definições relativos a essas séries 51 CONCEITOS E CLASSIFICAÇÕES SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO Alguns autores costumam denominar esse módulo de séries uniformes de pagamento O motivo principal é que os exemplos deste módulo tratam de prestações para quitar um financiamento prestações para acumular certa quantia Nos dois casos as prestações são fluxos negativos de caixa Nesta disciplina vamos ser mais otimistas Suprimiremos a palavra pagamento Dessa forma a série poderá ser de pagamento ou de recebimento Uma série de prestações pode ser classificada segundo vários aspectos quanto à periodicidade quanto ao valor quanto ao prazo quanto ao momento Talvez a classificação menos conhecida do grande público seja a classificação quanto ao momento Entretanto ela não deixa de ser simples Vamos vêlas uma a uma FGVIDT 52 PRESTAÇÕES QUANTO À PERIODICIDADE As prestações quanto à periodicidade referemse ao intervalo de tempo entre as parcelas Uma série de prestações pode ser periódica quando é possível definir um período constante entre os fluxos não periódica quando não é possível definir um período constante entre os fluxos 53 PRESTAÇÕES PERIÓDICAS Como exemplo de série de prestações periódicas consideremos a compra financiada de um carro A compra será sem entrada para pagamento em prestações mensais Tratase de uma série de prestações com periodicidade mensal Supondo o primeiro pagamento ao final do primeiro mês da operação o segundo ao final do mês 2 e assim por diante até o último pagamento ao final do último mês Temos o seguinte diagrama de fluxos de caixa para esse financiamento FGVIDT Observemos que o valor monetário do carro foi indicado com uma seta para cima pois é uma entrada de capital As setas para baixo representam as saídas de caixa oriundas dos pagamentos das parcelas Como não foi informado o número de prestações decidimos denotálo por n meses 54 PRESTAÇÕES NÃO PERIÓDICAS O DFC a seguir representa o pagamento de um empréstimo em série não periódica Observemos que o intervalo entre as parcelas é respectivamente 1 2 4 e 3 meses 55 PRESTAÇÕES QUANTO AO VALOR As prestações quanto ao valor referemse obviamente ao valor monetário da parcela Os valores podem ser constantes ou não constantes Dessa forma a série de prestações pode ser constante ou não constante Por exemplo o empréstimo anterior será quitado em 4 prestações de R 35000 Independentemente da não periodicidade essa série é constante Se pelo menos uma das prestações tivesse valor diferente deR 35000 a série não seria mais constante como no exemplo a seguir FGVIDT 56 PRESTAÇÃO UNIFORME Uma série de prestações é dita uniforme se for periódica e constante Por exemplo se o financiamento do carro for quitado em n prestações constantes além de periódicas a série em questão é uniforme Para podermos usar a tecla PMT da HP12C a série de prestações envolvida deve ser uniforme 57 PRESTAÇÕES QUANTO AO PRAZO As prestações quanto ao prazo referemse à duração da operação Se as prestações forem finitas dizemos que a série é finita Se as prestações forem infinitas a série é dita infinita ou perpétua FGVIDT A definição de série uniforme não leva em conta o prazo Dessa forma existem séries uniformes finitas e séries uniformes infinitas Existem também séries finitas e infinitas que não são uniformes Todos os diagramas de fluxos de caixa que vimos até agora representavam séries finitas Um exemplo de série infinita são os recebimentos da quantia acumulada em uma operação de previdência privada O cliente efetua depósitos durante algum tempo série finita para acumular uma quantia que permita retiradas constantes para sempre série perpétua 58 SÉRIE UNIFORME FINITA Um cliente depositou ou seja fluxo negativo visto que o dinheiro saiu de seu caixa R 50000 todo mês série uniforme Fez os depósitos durante 240 meses série finita para acumular certa quantia após 20 anos Esta é portanto uma série uniforme finita FGVIDT A quantia acumulada era representada no DFC anterior por uma seta para cima pois poderia ser resgatada Nesse DFC ela é representada por uma seta apontando para baixo pois não foi resgatada A quantia tendo permanecido aplicada é interpretada como se tivesse sido depositada naquela data para permitir os saques dos meses seguintes Observemos que esse DFC vem imediatamente após o DFC anterior Sua data inicial se confunde com a data final do anterior As retiradas são fluxos positivos já que entram no caixa do cliente Além disso o símbolo de infinito na ponta do DFC indica que elas duram para sempre série perpétua 59 PRESTAÇÕES QUANTO AO MOMENTO As prestações quanto ao momento referemse à data do pagamento de cada parcela Por esse critério as séries de prestações são classificadas como postecipadas ou antecipadas 510 SÉRIE POSTECIPADA A série postecipada ocorre quando as parcelas possuem vencimento ao final de cada período FGVIDT Por exemplo pensemos na compra financiada de um carro com parcelas periódicas mensais no valor constante de R 50000 e vencimentos ao final de cada mês Esse financiamento significa que a primeira prestação será paga ao final do mês1 final do primeiro período a segunda ao final do mês 2 final do segundo período E assim por diante até a última parcela ao final do último mês confundindose com o final do prazo da operação Supondo um prazo de 20 meses teremos o seguinte DFC 511 PRESTAÇÕES POSTECIPADAS Olhando novamente o DFC notamos que o pagamento da data 1 se refere ao primeiro período que vai da data 0 à data 1 Desse modo esse pagamento está acontecendo no final desse período O pagamento da data se refere ao segundo período que vai da data1 à data 2 Desse modo mais uma vez o pagamento está acontecendo no final do período O mesmo vale para o pagamento da data 3 e para os demais pagamentos até o último na data 20 O último pagamento se refere ao vigésimo mês Esse período se inicia na data 19 e termina na data 20 e claramente acontece ao final desse período Quando uma prestação acontece no final do período a que ela se refere dizemos que essa prestação é postecipada com relação ao período FGVIDT Quando todas as prestações são postecipadas dizemos que a série é postecipada 512 SÉRIE ANTECIPADA A série antecipada ocorre quando as parcelas possuem vencimento no início de seu período de referência Por exemplo consideremos o financiamento anterior financiamento em 20 prestações primeira prestação ocorrendo na data do fechamento do negócio data 0 que equivale ao início do primeiro período segunda prestação sendo paga na data 1 início do segundo período até a 20ª prestação acontecendo no início do vigésimo período data 19 O diagrama de fluxos de caixa dessa operação é o seguinte Vejamos que ao todo são 20 prestações A última acontece na data 19 porque a primeira aconteceu na data 0 513 EXEMPLO DE SÉRIE ANTECIPADA A primeira prestação referente ao primeiro mês período que vai da data 0 à data 1 acontece na data 0 portanto no início do período FGVIDT O segundo pagamento referente ao segundo mês período que vai da data 1 à data 2 acontece na data 1 portanto no início do segundo mês Dessa forma mais uma vez o pagamento está acontecendo no início do período de referência O mesmo vale para o pagamento do mês 3 para os demais pagamentos até o último pagamento na data 19 Esse aqui se refere ao vigésimo mês período que se inicia na data 19 e termina na data 20 e claramente acontece no início desse período Quando uma prestação acontece no início do período a que ela se refere dizemos que essa prestação é antecipada com relação ao período Quando todas as prestações são antecipadas dizemos que a série é antecipada 514 PRAZO TOTAL DA OPERAÇÃO Há um ponto que não podemos deixar de comentar Como a primeira das 20 prestações ocorre na data 0 a última delas ocorrerá na data 19 Por isso é comum confundirmos o prazo total da operação Muitos pensam que o prazo dessa operação de prestações antecipadas é de 19 meses Entretanto o fato de a primeira prestação ser na data 0 vem justamente da característica da série antecipada Quer dizer que o pagamento se dá na data 0 mas é referente ao primeiro período O último pagamento é efetuado na data 19 mas é referente ao vigésimo período O último pagamento apenas ocorre no início do último período que é determinado pela data 19 Dessa forma temos um total de 20 períodos e consequentemente um prazo de 20 meses 515 DESAFIO Quem termina pagando mais o cliente que paga 20 prestações mensais postecipadas de R 50000 ou o cliente que paga as 20 prestações mensais antecipadas de R 50000 FGVIDT Com certeza o cliente que paga as prestações antecipadas pois ele paga o mesmo valor antes do outro cliente Levando em conta que o dinheiro poderia render mesmo que durante apenas um mês o cliente que paga depois leva essa vantagem Essa conclusão só é válida para contextos em que a taxa de juros rentabilidade dos clientes é positiva Se o cliente tem uma aplicação que rende negativamente é melhor pagar logo antes que o dinheiro termine Imaginemos por exemplo um cliente que tem dólares guardados Se o dólar perde valor frente ao real é melhor que ele converta seu dinheiro e pague a dívida de uma vez Da mesma forma que para a classificação quanto ao prazo não há qualquer relação da classificação quanto ao momento com o fato de a série ser ou não ser uniforme Existem séries uniformes postecipadas e antecipadas Existem também séries postecipadas e antecipadas que não são uniformes FGVIDT Unidade 06 SÉRIES UNIFORMES Uma vez definidos os conceitos nesta unidade iremos explorar como calcular os diversos parâmetros de séries uniformes finitas Para tanto iremos explorar exemplos das principais aplicações práticas encontradas no mercado os investimentos periódicos e os financiamentos parcelados 61 DENOTAÇÃO DAS VARIÁVEIS Para facilitar o manuseio da calculadora HP12C vamos relembrar a notação das variáveis n número de prestações i taxa de juros da operação PV valor presente FV valor futuro PMT valor das prestações 62 RECEBIMENTOS POSTECIPADOS Observemos que a tecla n representa agora o número de prestações e não mais o prazo da operação A abreviação PMT vem do inglês payment pagamento Para facilitar a dedução da expressão genérica envolvendo o valor futuro FV e uma série de prestações vamos considerar uma série uniforme com recebimentos postecipados 63 UM RECEBIMENTO FGVIDT Para uma operação contendo apenas um recebimento na data 1 Queremos encontrar um valor futuro na data 1 equivalente à parcela dada PMT isto é queremos encontrar o FV representado pelo seguinte diagrama de fluxos de caixa Como tanto FV quanto PMT estão na mesma data temos imediatamente que FV PMT 64 DOIS RECEBIMENTOS Para uma operação contendo 2 parcelas uniformes temos FGVIDT O que queremos encontrar Queremos encontrar um valor futuro na data 2 equivalente a essa série de recebimentos isto é queremos transformar o diagrama anterior no diagrama a seguir que contém apenas FV Para tanto é o bastante levar os dois recebimentos para a data2 O recebimento da data 1 será arrastado 1 período para frente com a taxa de juros fornecida O recebimento da data permanecerá imóvel pois já está na data 2 65 VALOR DE PRESTAÇÃO Pelo que foi estudado A prestação do final do primeiro período vale ao final do segundo período Ela é obtida pela fórmula FV PV x 1in na qual PV é substituído por PMT A prestação do final do segundo período vale PMT O FV equivalente às duas prestações em n 2 vale a soma dos valores anteriores FGVIDT Observemos que as parcelas da soma anterior são respectivamente a prestação da data 2 que já estava na data 2 e a prestação da data 1 capitalizada um período 66 TRÊS RECEBIMENTOS Vejamos uma operação de 3 recebimentos uniformes dada por um diagrama de fluxos de caixa Vejamos o diagrama O que queremos encontrar Queremos encontrar o valor futuro FV situado no final do prazo n data 3 equivalente à série de recebimentos anterior Procuramos o FV dado pelo seguinte diagrama de fluxos de caixa FGVIDT 67 CÁLCULO Para calcularmos o valor futuro FVprecisamos transportar cada uma das parcelas de recebimento de suas respectivas datas para a data final da operação na qual FV acontece O valor de cada prestação dependerá de sua data original Quanto mais períodos antes do prazo final mais períodos para capitalização de juros Dessa forma a parcela originalmente situada na data1 corresponde na data 3 a PMT x 1 i² O expoente igual a 2 indica duas capitalizações de n 1 até n 3 A parcela da data 2 terá o valor PMT x 1 i¹ PMT x 1 i na data 3 O expoente igual a 1 indica uma capitalização de n 2 até n 3 A parcela da data 3 permanece com o mesmo valor PMT pois já está na data desejada 68 DIAGRAMAS EQUIVALENTES Finalmente para que os diagramas sejam equivalentes o valor futuro deve ser igual a FV PMT PMT x 1 i PMT x 1 i² Essa soma corresponde à soma das três parcelas respectivamente as de n 3 n 2 e n 1 levadas para a data 3 69 QUATRO PERÍODOS FGVIDT Para um prazo com 4 períodos de capitalização qual deve ser a expressão que relaciona valor futuro e série de prestações Para a operação com uma parcela tínhamos FV PMT Para a operação com duas parcelas tínhamos FV PMT PMT x 1 i E para a operação com três parcelas FV PMT PMT x 1 i PMT x 1 i² É intuitivo que para uma operação com quatro parcelas tenhamos FV PMT PMT x 1 i PMT x 1 i² PMT x 1 i³ 610 RECEBIMENTOS UNIFORMES Como deve ser então a expressão genérica para uma operação com n recebimentos uniformes Responder a essa questão é o mesmo que resolver o seguinte problema Para que valor de FV os diagramas de fluxos de caixa 1 e 2 a seguir são equivalentes FGVIDT 611 SOMA DE PARCELAS Observando o comportamento das expressões anteriores deduzimos que a expressão procurada seja a soma de parcelas do tipo PMT x 1 i Elas se diferenciam apenas pelo expoente do fator 1 i Esses expoentes estão em ordem crescente desde 0 para uma operação com apenas um recebimento até n 1 FV PMT PMT x 1 i PMT x 1 i² PMT x 1 i³ PMT x 1 in1 Dessa forma a expressão não simplifica nosso trabalho O objetivo principal de toda expressão matemática é generalizar um resultado de forma a simplificar o trabalho necessário para obtenção da solução 612 EXEMPLO Suponhamos que o Sr Brandão deposite mensalmente a quantia de R 100000 em uma poupança Essa poupança lhe garante uma remuneração mensal calculada com base na taxa de 3 am FGVIDT Quanto terá acumulado o Sr Brandão após 2 anos de poupança supondo que a série seja postecipada 613 CÁLCULO DO VALOR FUTURO Estamos interessados em encontrar o valor futuro FV situado na data 24 isto é 2 anos x 12 meses equivalente à série de 24 depósitos mensais de R 100000 à taxa de 3 ao mês dada pelo diagrama a seguir O primeiro depósito acontece na data 1 porque a série é postecipada por hipótese O prazo de 2 anos é equivalente a 24 períodos de um mês 614 EXPRESSÃO DEDUZIDA Pela expressão deduzida o valor futuro FV será a soma de 24 parcelas aplicando a fórmula FV PMT PMT x 1 i PMT x 1 i2 PMT x 1 i3 PMT x 1 in1 FV 1000 1000 x 1 i 1000 x 1 i2 1000 x 1 i3 1000 x 1 i23 O último expoente é 23 resultado do número de períodos menos 1 ou seja 24 1 Para obtermos o resultado procurado devemos calcular cada uma das parcelas e em seguida somálas E se ao invés de 24 meses fossem 100 meses Nesses casos precisamos de uma expressão mais simplificada que será vista adiante FGVIDT 615 DEFINIÇÕES Vamos usar nossos conhecimentos de progressão geométrica PG para desenvolver uma expressão mais aplicável Antes contudo lembremos algumas definições sobre o tema Temos a sequência de números 1 3 9 27 81 243 Essa sequência tem primeiro termo denotado por a1 1 último termo denotado por an 243 razão denotada por q 3 A razão é o quociente entre dois termos consecutivos sendo que o primeiro deles é o denominador O segundo termo é o numerador Por exemplo na sequência apresentada a seguir temos a razão dada por 31 93 279 8127 24381 Todos esses quocientes valem 3 Podemos entender a razão de uma PG como o número pelo qual um termo deve ser multiplicado para obtermos o próximo termo Por exemplo para obtermos o quinto termo da sequência dada no caso 81 devemos multiplicar o quarto termo no caso 27 por 3 Para o caso da expressão temos a sequência PMT PMT x 1 i PMT x 1 i2 PMT x 1 i3 PMT x 1 in1 O primeiro termo é PMT O último termo é PMT x 1 in1 A razão é 1 i Para obtermos o segundo termo PMT x 1 i precisamos multiplicar o primeiro termo PMT por 1 i Para obtermos o terceiro termo PMT x 1 i² precisamos multiplicar o segundo termo PMT x 1 i por 1 i FGVIDT E assim para quaisquer dois termos sucessivos Queremos uma fórmula para simplificar a soma PMT PMT x 1 i PMT x 1 i2 PMT x 1 i3 PMT x 1 in1 A soma de uma PG é dada por Sn a1 𝑞𝑛 1 𝑞 1 Identificando termo a termo temos a seguinte expressão para nossa sequência Como essa soma é equivalente ao valor futuro FV temos a expressão procurada 616 COMBINAÇÃO DAS FÓRMULAS Vamos combinar a fórmula simplificada com a fórmula que relaciona o valor presente com o valor futuro que foi obtida no módulo anterior Dessa forma podemos encontrar a fórmula para relacionar o valor presente com as prestações de uma série uniforme Temos que FGVIDT E que Substituindo FV na segunda relaçãopor seu valor na primeira expressão encontramos a relação desejada 617 CÁLCULO COM SÉRIE ANTECIPADA Se a série fosse antecipada como seriam as fórmulas Queremos encontrar o valor futuro na data n equivalente à série de prestações antecipadas dada pelo diagrama FGVIDT 618 TRANSFORMAÇÃO DA SÉRIE A melhor maneira de encontrarmos a fórmula desejada é transformar a série antecipada em uma série postecipada e usar a fórmula já desenvolvida Para tanto basta que cada parcela avance um período no diagrama anterior a parcela da data inicial vai para a data 1 a parcela da data 1 vai para a data 2 E assim por diante até que a última parcela em n 1 vá para o final do prazo Como cada parcela é afastada por um período seus valores devem ser acrescidos do juro referente a um período à taxa i totalizando PMT x 1 i Dessa forma temos o seguinte diagrama 619 USO DA FÓRMULA FGVIDT Usando a fórmula para relacionar o valor presente com as prestações de uma série uniforme temos Pelo mesmo procedimento anterior podemos obter a expressão para PV e PMT antecipada 620 EXEMPLO SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA Quanto devemos depositar hoje em uma poupança que renda 2 ao mês para podermos fazer 15 retiradas mensais de R 200000 já a partir do próximo mês A frase já a partir do próximo mês informa que a primeira retirada acontecerá dentro de 1 mês Tratase pois de uma série uniforme postecipadaTemos então a taxa de juros i 2 ao mês o número de prestações n 15 o valor das prestações PMT 2000 FGVIDT Queremos encontrar o valor presente PV O DFC é o seguinte Pela fórmula Temos FGVIDT Aplicando R 2569885 hoje em uma conta que rende 2 ao mês podemos retirar mensalmente R 200000 já a partir do próximo mês durante 15 meses 621 EXEMPLO SÉRIE ANTECIPADA E se a série fosse antecipada Qual deveria ser o saldo da aplicação hoje para permitir 15 retiradas de R 2000 Vamos refletir primeiramente sem fazer contas Esse saldo é maior ou menor do que o saldo que encontramos na série postecipada R 2569853 Intuitivamente Como vamos retirar os R 200000 um mês antes o valor aplicado terá menos tempo para proporcionar os juros Para compensar essa perda de prazo precisamos aumentar o valor aplicado já que a taxa continua a mesma O DFC dessa operação é apresentado a seguir Para calcular esse valor podemos usar a fórmula da série antecipada PV PMT 1 in 1 i 1 in1 Temos PV 2000 1 215 1 2 1 214 FGVIDT PV 2000 034586 002638 PV 2622137 Que é efetivamente maior do que na série postecipada 622 EXEMPLO 2 CÁLCULO DE PRESTAÇÕES MENSAIS Um financiamento de R 1200000 deve ser liquidado em 10 prestações mensais iguais sucessivas e postecipadas com uma taxa de juros efetiva de 2 ao mês Queremos determinar o valor da prestação mensal PMT Temos o valor presente PV 12000 o número de prestações n 10 a taxa de juros i 2 ao mês O DFC dessa operação é FGVIDT O valor presente é representado por uma seta para cima pois é um fluxo de caixa positivo O PV entrou na conta em forma de financiamento As prestações são fluxos de caixa negativos pois são pagamentos 623 CÁLCULO PELA HP12C E PELO EXCEL Vejamos como podemos calcular o valor das prestações PMT utilizando a calculadora HP12C e do Excel Temos o valor presente PV 12000 o número de prestações n 10 a taxa de juros i 2 ao mês Pela HP12C f CLx g END 3 12000 PV 10 n 2 i PMT No visor temos 133592 Pelo Excel Selecione a célula da planilha onde você deseja que a resposta apareça Clique no ícone fx inserir função Selecione a categoria Financeira 3 Esse comando indica para a calculadora que se trata de uma série postecipada Para uma série antecipada deveríamos utilizar g BEG FGVIDT Selecione a função Pgto pagamento Clique OK O espaço denotado por Taxa continua reservado para a taxa de juros Coloque 2 com o símbolo de porcentagem ou 002 O espaço denotado por Nper está reservado para o número de períodos o prazo Escreva 10 O espaço denotado por Vp está reservado para o valor presente Escreva 12000 Deixe o espaço denotado por Vf em branco O espaço denotado por Tipo define o momento da série Para trabalhar com séries postecipadas escreva 0 ou deixe em branco Observe que logo abaixo da linha reservada para o Tipo há um símbolo de igualdade e o número 1335918334 Essa já é a solução Clique OK ou aperte Enter no teclado A solução aparece na célula previamente selecionada Como já sabíamos visto que montamos corretamente o DFC a prestação é negativa pois representa o pagamento do financiamento 624 CONVERSÃO EM TAXA EQUIVALENTE E se a taxa fosse de 24 ao ano Primeiramente teríamos de transformar a taxa de juros anual em sua taxa equivalente mensal Não podemos trabalhar com prestações mensais e taxa de juros anual Além disso Diferentemente dos problemas envolvendo apenas valor futuro e valor presente em que podíamos optar por adequar a unidade do prazo à unidade da taxa de juros ou adequar a unidade da taxa à unidade do prazo quando temos prestações envolvidas a única possibilidade é mexermos na unidade da taxa de juros O n da fórmula deixou de representar o prazo e passou a representar o número de prestações Por isso temos de encontrar a taxa de juros mensal equivalente a 24 ao ano Pela HP12C FGVIDT 100 CHS PV 124 FV 12 n i No visor temos 181 isto é 181 ao mês 625 CÁLCULO PELA HP12C E PELO EXCEL Agora que já temos taxa de juros e periodicidade das prestações na mesma unidade podemos passar aos cálculos do problema Pela HP12C f CLx g END 12000 PV 10 n 181 i PMT No visor temos 132267 Pelo Excel Selecione a célula da planilha onde você deseja que a resposta apareça Clique no ícone fx inserir função Selecione a categoria Financeira Selecione a função Pgto pagamento Clique OK O espaço denotado por Taxa continua reservado para a taxa de juros Coloque FGVIDT 18088 ou 0018088 O espaço denotado por Nper está reservado para o número de períodos o prazo Escreva 10 O espaço denotado por Vp está reservado para o valor presente Escreva 12000 Deixe o espaço denotado por Vf em branco O espaço denotado por Tipo define o momento da série Para trabalhar com séries postecipadas escreva 0 ou deixe em branco Logo abaixo da linha reservada para o Tipo há um símbolo de igualdade e o número 13225867 Essa já é a solução Clique OK ou aperte Enter no teclado A solução aparece na célula previamente selecionada A prestação foi menor porque a taxa de juros era menor Já o valor financiado e o número de prestações se mantiveram inalterados 626 EXEMPLO 2 CÁLCULO DE PRESTAÇÕES O Sr Joaquim deseja acumular a quantia de R 2000000 daqui a um ano Para tanto efetuará 12 depósitos mensais a partir de hoje em um fundo de renda fixa com taxa anual de 18 Vamos calcular o valor dos depósitosTemos o valor futuro FV 20000 a taxa de juros i 18 ao ano o número de prestações antecipadas n 12 Atenção Antes de resolver o problema perceba que as prestações têm periodicidade mensal e que a taxa de juros é anual Precisamos encontrar a taxa equivalente O DFC do problema é FGVIDT 18 ao ano é equivalente a que taxa mensal 100 CHS PV 118 FV 12 n i No visor temos 13888 ou seja taxa de 13888 ao mês Resolvendo o problema pela HP12C f CLx g BEG 20000 FV 12 n 13888 i PMT No visor temos 152202 627 EXEMPLO 3 TAXA DE JUROS Vamos supor que para acumular os mesmos R 2000000 daqui a um ano a partir de FGVIDT 12 depósitos mensais iguais e sucessivos o Sr Joaquim só disponha de R 130000 por mês Qual deve ser a taxa do fundo para que seu objetivo seja alcançado Certamente essa taxa deverá ser superior a 13888 ao mês valor futuro igual mesmo número de prestações porém em menor valor taxa de juros maior Temos o valor das prestações PMT 1300 o número de prestações antecipadas n 12 o valor futuro FV 20000 O DFC é dado por Pela HP12C f CLx g BEGIN 20000 FV 12 n 1300 CHS PMT i No visor temos 37666 ou seja taxa de 377 ao mês FGVIDT Pelo Excel Selecione a célula da planilha onde você deseja que a resposta apareça Clique no ícone fx inserir função Selecione a categoria Financeira Selecione a função Taxa Clique OK No espaço denotado por Nper escreva 12 No espaço denotado por Pgto escreva 1300 Deixe o espaço denotado por Vp em branco No espaço denotado por Vf escreva 20000 No espaço denotado por Tipo escreva 1 pois a série é antecipada Clique OK ou aperte Enter no teclado A solução aparece na célula previamente selecionada 00376 ou 377 Bem maior do que a taxa anterior 628 EXEMPLO 4 NOVO DEPÓSITO Quanto deverá ser depositado pelo Sr Joaquim além da prestação ao final do 6º mês após o início da operação para que ele acumule os R 2000000 com 12 depósitos mensais iguais e sucessivos de R 130000 no fundo que rende 18 ao ano Se dispusermos de uma aplicação que rende 18 ao ano ou 13888 ao mês as 12 prestações antecipadas precisarão ser iguais a R 152202 para que o Sr Joaquim acumule R 2000000 em um ano Se cada uma das 12 prestações for igual a apenas R 130000 a aplicação deverá render 377 ao mês para que o Sr Joaquim consiga os R 2000000 em um ano Quanto menor é a taxa de juros maior deve ser o valor das prestações depositadas Agora Se o Sr Joaquim depositar 12 prestações antecipadas de apenas R 130000 em uma aplicação que rende 13888 ao mês é claro que ele não conseguirá acumular R 2000000 em um ano Sabendo disso ele deseja depositar uma quantia a mais junto com a parcela do final do 6º mês A pergunta é Quanto deve ser depositado O DFC da operação é FGVIDT A seta Q representa essa quantia Ela se encontra no final do 6º mês na mesma data do 7º depósito Cuidado Essa questão pode confundir Muitos colocam Q junto com a sexta parcela Não é isso que está no enunciado O final do 6º mês não coincide sempre com a data da 6ª parcela Portanto devemos nos ater simplesmente a informação final do 6º mês 629 RESOLUÇÃO O processo de resolução é o seguinte Primeiramente calculamos quanto o Sr Joaquim conseguirá acumular após um ano depositando 12 parcelas antecipadas de R 130000 à taxa de 13888 ao mês Pela HP12C f CLx g BEGIN 12 n 1300 CHS PMT 13888 i FV FGVIDT No visor temos 1708251 Pelo Excel Selecione a célula da planilha onde você deseja que a resposta apareça Clique no ícone fx inserir função Selecione a categoria Financeira Selecione a função VF Clique OK No espaço denotado por Taxa escreva 13888 No espaço denotado por Nper escreva 12 No espaço denotado por Pgto escreva 1300 Deixe o espaço denotado por Vp em branco No espaço denotado por Tipo escreva 1 pois a série é antecipada Clique OK ou aperte Enter no teclado A solução aparece na célula previamente selecionada 1708251 Como previsto o Sr Joaquim não atinge os R 2000000 Ficam faltando R 291749 ou seja 20000 1708251 ao final de um ano Esse montante em falta deve ser suprido pelo depósito adicional ao final do 6º mês Como esse depósito renderá juros por 6 meses ele será menor do que R 291749 630 VALOR DO DEPÓSITO Vamos calcular o valor do depósito que será necessário Temos o seguinte DFC FGVIDT Queremos saber quanto depositar na data 6 para obtermos a diferença para R 2000000 na data 12 Pela HP12C f CLx 6 n 291749 FV 13888 i PV No visor temos 268576 FGVIDT Pelo Excel Selecione a célula da planilha onde você deseja que a resposta apareça Clique no ícone fx inserir função Selecione a categoria Financeira Selecione a função VP Clique OK No espaço denotado por Taxa escreva 13888 No espaço denotado por Nper escreva 6 Deixe o espaço denotado por Pgto em branco Escreva 291749 no espaço denotado por Vf Deixe o espaço denotado por Tipo em branco Clique OK ou aperte Enter no teclado A solução aparece na célula previamente selecionada 2685775985 O Sr Joaquim precisa depositar R 268576 junto com os R 130000 da sétima parcela ao final do 6º mês FGVIDT Unidade 07 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Após analisarmos as séries uniformes finitas veremos como adaptar os resultados para as séries infinitas também chamadas de perpétuas Apesar de precisarmos nos valer de conceitos como limite para derivar as fórmulas os resultados finais são bem simples 71 PRESTAÇÕES PERPÉTUAS Como o nome já diz prestações perpétuas são prestações que não acabam jamais Por exemplo um plano de aposentadoria Muitas vezes poupamos dinheiro por meio de depósitos periódicos Dessa forma acumulamos a quantia necessária para permitir a partir de uma determinada data retiradas periódicas de valores constantes sem prazo final 72 OBTENÇÃO DA FÓRMULA Para obtermos a fórmula para o caso de prestações uniformes perpétuas é o bastante fazer o número de prestações tender a infinito nas fórmulas anteriores envolvendo PV e PMT Como temos de escolher uma delas usemos a expressão para série postecipada FGVIDT 73 EXPLICAÇÕES A partir da terceira linha não escrevemos mais limite de PMT quando n tende a infinito porque não há variável n desse lado da igualdade O lado esquerdo é independente de n Os termos PV e i são colocados para fora do limite na terceira linha porque também independem de n O quociente que permaneceu dentro do limite é a única parte da igualdade que realmente será afetada com o crescimento do número de períodos Na quarta linha esse quociente desaparece pois seu limite é igual a1 Sabemos que não é preciso escrever o número 1 na multiplicação por 1 Para verificar esse fato chamemos 1 in de A Temos então algo do tipo FGVIDT Se A 10 temos Se A 100 temos Se A 1000 temos 74 QUOCIENTE À medida que A cresce o quociente se aproxima de 1 Dessa forma quando A estiver perto do infinito o quociente estará perto de 1 sendo considerado igual a 1 Da mesma forma quando n tende a infinito o valor de 1 in cresce para infinito originando a mesma sequência de quocientes anterior Dessa forma FGVIDT 75 DIAGRAMA O diagrama de fluxos de caixa que representa uma série postecipada de prestações perpétuas é o seguinte Ao escrevermos o símbolo infinito abaixo da linha pontilhada queremos indicar que ocorrerão prestações iguais a PMT indefinidamente Pela fórmula desenvolvida queremos encontrar o valor presente equivalente à série postecipada de prestações perpétuas dada pelo diagrama anterior Em outras palavras queremos o valor de PV no diagrama apresentado a seguir para que os diagramas sejam equivalentes Tanto a seta que representa o PV como as que representam os PMTs estão apontando para o mesmo lado no caso para cima pois são fluxos equivalentes FGVIDT 76 QUANTIA NECESSÁRIA Obviamente podemos entender os diagramas de mais de uma maneira Se a intenção for encontrar a quantia necessária a ser depositada hoje valor presente para permitir infinitas retiradas periódicas postecipadas o PVpor ser uma saída de caixa deve ser representado por uma seta apontando para baixo Já as retiradas serão representadas por setas apontando para cima pois são entradas de caixa Vejamos o diagrama 77 EXPRESSÃO PELO DIAGRAMA No caso de uma série antecipada como deve ser a expressão A resposta é simples Vejamos a resposta pelo diagrama de fluxos de caixa Como a série é antecipada haverá uma prestação na data inicial 78 DIAGRAMAS IDÊNTICOS FGVIDT Notemos que os diagramas para série perpétua postecipada e série perpétua antecipada são idênticos exceto pela prestação na data 0 já que não há prazo para terminar Na série antecipada haverá uma prestação a mais exatamente na data do valor presente Dessa forma para que PV continue equivalente à série de prestações seu valor deve ser acrescido de um PMT na fórmula para série postecipada Vejamos a fórmula 79 EXPRESSÃO PELA FÓRMULA O PMT que não está sendo dividido pela taxa é justamente o PMT da data inicial Se quisermos obter a expressão diretamente da fórmula envolvendo PV e PMT para séries antecipadas temos 710 EXEMPLO Quanto precisamos ter hoje em uma conta que rende 3 ao mês para dispormos já a partir do próximo mês de uma renda perpétua de R 300000 mensais Em problemas desse tipo supomos sempre que o saldo em conta após cada retirada permanece rendendo à taxa informada FGVIDT Temos valor das prestações PMT 3000 taxa de juros i 3 am 3100 003 ao mês O prazo é infinito e queremos saber o valor presente VP Pela fórmula FGVIDT Unidade 08 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Em uma operação de financiamento o devedor paga ao credor o principal mais juros No entanto há diversas maneiras distintas para estuturar a forma como os juros são pagos e o principal amortizado Nesta unidade estudaremos os conceitos fundamentais dessas estruturas de pagamentos os sistemas de amortização 81 VALOR DAS PRESTAÇÕES Imaginemos que um financiamento de R 10000000 tenha sido contratado para pagamento em 4 parcelas mensais e postecipadas à taxa de juros de 5 ao mês Qual o valor das prestações supondo uma série uniforme de pagamentos Usando a HP12C teclar g END para séries postecipadas digitar 100000 mais a tecla PV digitar 5 mais a tecla i digitar 4 mais a tecla n pressionar PMT No visor temos 2820118 O DFC dessa operação é o seguinte FGVIDT 82 JUROS ENVOLVIDOS De acordo com os dados do exemplo apresentado na seção anterior Atentemos para o fato de que a soma das 4 parcelas é maior do que R 10000000 4 x R 2820118 R 11280472 Essa soma é maior porque também há juros envolvidos 83 AMORTIZAÇÃO Voltando a nosso exemplo introdutório do financiamento no valor de R 10000000 entendemos que A devolução dos R 10000000 cabe à amortização O pagamento pelo uso desse dinheiro é por conta dos juros Em outras palavras Se a soma das prestações é uma soma de principal juros isto é 11280472 100000 1280472 cada prestação é a soma de um pouco de principal mais um pouco de juros Um pouco de principal ou um pedaço do principal é justamente a amortização PMT AMORTIZAÇÃO JUROS Apesar de matematicamente AMORTIZAÇÃO JUROS ser igual a JUROS AMORTIZAÇÃO financeiramente consideramos PMT JUROS AMORTIZAÇÃO A razão disso é simples No pagamento de um empréstimo em primeiro lugar pagamos os juros Se sobrar dinheiro amortizamos o principal FGVIDT 84 EXEMPLO Por exemplo vamos supor um empréstimo de R 100000 à taxa de 10 ao mês Ao final do 1º mês o montante devido é de R 110000 pois foram acrescentados R 10000 de juros Se pagarmos R 90000 nessa data ainda restarão R 20000 de saldo devedor Podemos entender esse resultado de duas maneiras 200 1100 900 ou 200 1000 800 A segunda maneira só considera o saldo devedor e a amortização Ao pagarmos uma prestação de R 90000 tiramos R 10000 dos juros e sobram R 80000 que serão abatidos do saldo devedor original Se ao final do 1º mês pagarmos uma prestação de R 30000 o saldo devedor será amortizado em R 20000 já que R 10000 são para pagamento dos juros Se a prestação for de R 10000 o saldo devedor não será amortizado pois a totalidade da prestação foi consumida pelo pagamento dos juros Não sobrou nenhum centavo para a amortização 85 REGRAS GERAIS Existem numerosos tipos de sistemas de amortização Podemos inclusive criar um aqui nesse texto Nada mais simples Todos os sistemas são baseados na decomposição da prestação em juros mais amortização Mais detalhadamente em juros sobre o saldo devedor e amortização do saldo devedor No pagamento da terceira parcela por exemplo a prestação PMT3 será dada por PMT3 J3 A3 FGVIDT onde J3 é o juro sobre o saldo devedor após o pagamento da segunda parcela à taxa i dado por J3 SD2 x i A3 é a amortização e SD2 é o saldo devedor ao final do período 2 Por definição a amortização e o saldo devedor ao final do terceiro período são dados por A3 PMT3 J3 SD3 SD2 A3 Essas relações servem para qualquer tipo de sistema de amortização Entretanto nosso interesse está voltado para apenas dois tipos de sistemas de amortização o Sistema Francês de Amortização SFA o Sistema de Amortização Constante SAC FGVIDT Unidade 09 SFA E SAC Sabemos que os sistemas de amortização podem ser dos mais variados tipos No entanto dois sistemas em particular são muito importantes devido à sua amplautilização em operações financeiras o sistema francês de amortização e o sistema de amortização constante Nesta unidade iremos conhecer mais detalhadamente esses dois sistemas 91 INTRODUÇÃO Vamos supor um financiamento de R 10000000 contratado para pagamento em 4 parcelas mensais e postecipadas à taxa de juros de 5 ao mês Qual será o valor das prestações considerando uma série uniforme de pagamentos Pela HP12C g END 100000 PV 5 i 4 n PMT No visor temos 2820118 O DFC dessa operação é o seguinte FGVIDT Percebemos que a soma das 4 parcelas é maior do que R 10000000 4 x R 2820118 R 11280472 Isso ocorre porque também há juros envolvidos Cada prestação PMT é composta por uma parcela de juros e uma parcela de amortização 92 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO O Sistema Francês de Amortização SFA é também conhecido como Tabela Price ou simplesmente Sistema Price O SFA é o sistema mais utilizado pelo mercado financeiro O SFA caracterizase por apresentar prestações constantes periódicas postecipadas e sucessivas O critério para o cálculo da prestação no SFA é semelhante ao critério de uma série de prestações uniformes 93 EXEMPLO Suponhamos um financiamento de R 10000000 a ser amortizado em 4 prestações mensais à taxa de 5 ao mês Queremos preencher a seguinte tabela 94 PRESTAÇÕES FGVIDT Devemos calcular o valor das prestações constantes Como vimos esse cálculo é semelhante ao cálculo da prestação em séries uniformes digite 100000 mais a tecla PV digite 4 mais a tecla n digite 5 mais a tecla i pressione PMT no visor temos como resposta 2820118 Dessa forma preenchemos as colunas das prestações 95 REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA Em termos de diagrama de fluxos de caixa temos o seguinte 96 PERÍODO K 1 Vamos montar a linha do período k 1 para as outras três colunas tendo como base FGVIDT as expressões apresentadas J1 SD0 x i SD0 100000 i 5 005 J1 100000 x 005 5000 A1 PMT J1 A1 2820118 5000 2320118 SD1 SD0 A1 SD1 100000 2320118 7679883 Preenchemos então a segunda linha 97 LINHA K 2 Vamos montar a linha de k 2 J2 SD1 x i J2 7679882 x 5 383994 A2 PMT J2 A2 2820118 383994 2436124 SD2 SD1 A2 FGVIDT SD2 7679882 2436124 5243758 A tabela se transforma em Usando o mesmo procedimento podemos montar as linhas de n 3 e n 4 obtendo Ao final da tabela o saldo devedor deve ser nulo Muitas vezes como no exemplo existe uma diferença já que o resto é simplesmente fruto dos sucessivos arredondamentos durante o processo Podemos utilizar a calculadora HP12C para desenvolver esses cálculos Contudo o plano de amortização envolve muitas prestações não faz sentido usar a HP já que o processo é muito lento É bem mais indicado nesse caso utilizarmos o Excel 98 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE O Sistema de Amortização Constante como o próprio nome indica caracterizase por amortizações em valores constantes As prestações são postecipadas imediatas e seus valores dependem da quota de amortização Esse valor depende do número de períodos da operação e é dado por Ak SDn FGVIDT SD é o saldo devedor no início da operação enquanto n é o número total de períodos Os valores dos juros e do saldo devedor em cada período são dados pelas mesmas expressões anteriores A prestação continua sendo a soma dos juros com a amortização 99 EXEMPLO Suponhamos o mesmo financiamento de R 10000000 amortizado em quatro prestações mensais com taxa de juros igual a 5 ao mês Queremos preencher a seguinte tabela Observemos que em relação à tabela do exemplo anterior a coluna da prestação PMT trocou de lugar com a coluna da amortização Essa troca de posição é apenas para efeito didático já que vamos começar a montagem pela amortização Poderíamos ter mantido a tabela em sua forma original 910 CÁLCULO DA AMORTIZAÇÃO Vamos calcular o valor da amortização constante A SDn A 1000004 25000 O plano de amortização prevê que os R 10000000 sejam devolvidos em 4 amortizações iguais Obviamente basta dividirmos o saldo devedor por 4 R 2500000 não é o valor das prestações Esse valor é somente a amortização A Ainda precisamos calcular os juros e somálos à amortização para termos o valor das prestações FGVIDT A coluna amortização é preenchida 911 CÁLCULO DO SALDO DEVEDOR O cálculo do saldo devedor depende unicamente do saldo devedor do período anterior e da amortização do período em questão Dessa forma podemos preencher a última coluna 912 PERÍODO K 1 Os juros são calculados aplicandose a taxa ao saldo devedor SD Dessa forma para o período k 1 temos J1 SD0 x i J1 100000 x 005 5000 A prestação valerá PMT1 J1 A PMT1 5000 25000 30000 FGVIDT Atualizando a tabela temos 913 CÁLCULO DOS JUROS E DAS PRESTAÇÕES Usando o mesmo procedimento podemos calcular os juros e as prestações para cada um dos períodos obtendo 914 REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA Com as prestações calculadas podemos montar o diagrama de fluxos de caixa FGVIDT 915 VANTAGENS DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Qual dos dois sistemas é mais interessante Qual deles devemos preferir Essa escolha depende primeiramente de que lado da operação nós estamos Nossa opinião deve variar conforme nossa posição se somos o banco ou se somos os clientes Em outras palavras se somos nós que emprestamos ou se somos nós que tomamos emprestado Suponhamos uma vez pelo menos que nós somos o banco Qual dos dois sistemas de amortização é a melhor escolha A melhor escolha depende basicamente de dois fatores somatório de juros perfil do cliente 916 ENFOQUE NO SOMATÓRIO DE JUROS Se nossa preocupação for simplesmente com o somatório dos juros recebidos na operação devemos optar pelo Sistema Price Nesse sistema o total de juros pagos pelo cliente é maior Relembremos os valores utilizados no exemplo anterior Vejamos o Sistema Price Vejamos agora o Sistema de Amortização Constante FGVIDT No Sistema Price a soma é de R 1280472 Já no Sistema de Amortização Constante a soma é de R 1250000 Portanto embolsamos a maior quantia por meio do Sistema Price Os bancos por definição vivem de juros Logoquanto maiores forem os juros melhor Ocorre que nem sempre os juros cobrados se transformam em juros recebidos Isso depende do perfil do cliente 917 ENFOQUE NO PERFIL DO CLIENTE Se o cliente se mostrar um mau pagador é melhor que ele devolva o dinheiro emprestado o mais rápido possível Quanto mais tempo o cliente retiver o empréstimo mais arriscada será a operação Por esse aspecto é mais interessante trabalharmos com o Sistema de Amortização Constante Nesse sistema as prestações são maiores no início Nesse sentido tal sistema proporciona maior amortização nos primeiros períodos Além disso quando comparado ao Sistema Price esse sistema proporciona menor saldo devedor ao longo de toda a operação 918 NÚMEROS DO EXEMPLO Vejamos os números de nosso exemplo no Sistema Price FGVIDT Vejamos os números do exemplo no Sistema de Amortização Constante Percebamos que a amortização foi maior nos primeiros meses para o SAC Dessa forma o saldo devedor se manteve sempre menor 919 RECEBIMENTO DE JUROS Se o cliente se mostrar um bom pagador é preferível trabalharmos com o Sistema Price Como vimos receberemos mais juros no Sistema Price Na verdade se o risco de inadimplência for muito pequeno o ideal é que a operação não acabe nunca O ideal é que o cliente fique pagando juros para sempre Podemos dizer que se a prestação for exatamente igual ao valor dos juros cobrados FGVIDT pelo período não haverá amortização O cliente estará sempre devendo o principal e pagando juros 920 PAGAMENTO MENOR DE JUROS Se estivermos do outro lado da operação isto é se formos o cliente o que importa mesmo é nosso fluxo de caixa Se pudermos pagar prestações maiores é melhor trabalharmos com o SAC pois pagaremos menos juros Caso contrário só nos resta o Sistema Price Mais detalhadamente Suponhamos que tenhamos apenas R 2400000 mensais para pagamento das prestações Não poderemos nem avaliar a amortização via SAC pois nosso fluxo de caixa não nos permite isso As primeiras prestações têm valores maiores do que isso FGVIDT Unidade 10 SÉRIES NÃO UNIFORMES Conseguirmos desenvolver fórmulas analíticas simples para as séries uniformes mas esse não é o caso para as séries não uniformes as quais frequentemente nos deparamos em situações reais Veremos nesta unidade como tratar tais séries 101 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE Podemonos deparar com casos em que a série de fluxos de caixa não é uniforme Seus valores são distintos entre si As datas de pagamento não mantêm uma periodicidade constante Não existe uma lei de formação capaz de simplificar o cálculo do valor presente PF ou do valor futuro FV equivalente à série Nesses casos podemonos esquecer do Excel e da função PMT da HP12C 102 DESCONTO DOS FLUXOS Uma forma de encontrar o valor presente PV equivalente à série é descontar um por um todos os seus fluxos para a data inicial É preciso trazer um a um os fluxos da série para o valor presente e em seguida somálos 103 CÁLCULO DO VALOR FUTURO O raciocínio de trazer um a um os fluxos da série para o valor presente e em seguida somálos pode ser usado para encontrar o valor futuro equivalente Nesse caso precisamos levar um a um os fluxos da série para o final do prazo capitalizandoos com a taxa de juros envolvida na operação FGVIDT 104 EXEMPLO Outra forma de fazer os cálculos de valor presente e valor futuro é usar as teclas NPV CF0 e CFj da HP12C ou a função VPL do Excel Por exemplo qual o valor presente da seguinte série de pagamentos O primeiro passo é inserir todas as entradas e saídas de caixa do nosso fluxo na HP 12C fCLx 0 CF0 120 CFj 160 CFj 200 CFj 100 CFj 5 i fNPV O visor exibirá o valor de 51445 No Excel Selecione a célula da planilha onde você deseja que a resposta apareça Clique no ícone fx inserir função Selecione a categoria Financeira FGVIDT Selecione a função VPL Clique OK No espaço denotado por Taxa escreva 5 No espaço denotado por Valor1 escreva 120 No espaço denotado por Valor2 escreva 160 No espaço denotado por Valor3 escreva 200 No espaço denotado por Valor4 escreva 100 Clique OK ou aperte Enter no teclado A solução aparece na célula previamente selecionada 51445 FGVIDT Unidade 11 PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO E TAXAS DE JUROS Nesta unidade veremos as diferenças entre taxa de juros efetiva e taxa de juros nominal 111 TAXA DE JUROS EFETIVA E TAXA DE JUROS NOMINAL PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO O período de capitalização de uma taxa de juros é o período necessário para que o capital aplicado seja capitalizado Por exemplo se determinada taxa transforma R 10000 em R 12000 após 1 ano temos que essa taxa é de 20 ao ano com capitalização anual Se outra taxa transforma uma aplicação de R 50000 em R 51000 após 1 mês essa taxa é de 2 ao mês com capitalização mensal Esse conceito a princípio pode parecer irrelevante Para que informar o período de capitalização se já foi informada a unidade da taxa 112 TAXA DE JUROS EFETIVA Algumas vezes a unidade do período de capitalização não coincide com a unidade da taxa de juros Nesses casos precisamos de alguns ajustes antes de iniciarmos de fato os cálculos Uma taxa de juros é dita efetiva se sua unidade coincide com a unidade do período de capitalização 113 EXEMPLO FGVIDT Considerando 20 ao ano com capitalização anual unidade da taxa ano período de capitalização ano Considerando 8 ao mês com capitalização mensal unidade da taxa mês período de capitalização mês Considerando 05 ao dia com capitalização diária unidade da taxa dia período de capitalização dia Quando a taxa de juros é efetiva não é necessário informarmos o período de capitalização já que as unidades são as mesmas Só não informamos o período de capitalização se a taxa for efetiva Se nada for dito a respeito do período de capitalização é porque nada precisava ser dito Naturalmente devemos pensar que a unidade do período de capitalização nesse caso coincide com a unidade da taxa de juros Dessa forma a taxa de juros é efetiva As taxas são efetivas quando nos fornecem efetivamente o valor dos juros capitalizados a cada período Após um ano à taxa de juros efetiva de 20 ao ano com capitalização anual uma aplicação de R 20000 se transforma em R 24000 Nem precisávamos dizer que a capitalização é anual já que a taxa é efetiva Os juros de R 4000 correspondem exatamente a 20 de R 20000 114 TAXA DE JUROS NOMINAL FGVIDT Uma taxa de juros é dita nominal se sua unidade não coincide com a unidade do período de capitalização Por exemplo 20 ao ano com capitalização mensal unidade da taxa ano período de capitalização mês 8 ao mês com capitalização diária unidade da taxa mês período de capitalização dia 15 ao mês com capitalização anual unidade da taxa mês período de capitalização ano Suponhamos que o problema nos informe uma taxa de juros nominal Antes de resolver a questão propriamente dita precisamos encontrar a taxa efetiva correspondente à taxa nominal Em outras palavras precisamos encontrar a taxa de juros efetiva equivalente à taxa de juros nominal informada 115 EXEMPLO Nos financiamentos de casa própria a taxa de juros é normalmente de 12 ao ano com capitalização mensal Como a unidade da taxa não corresponde à unidade do período de capitalização essa taxa é nominal Suponhamos que essa taxa fosse efetiva Por exemplo 12 ao ano com capitalização anual Os juros cobrados pelo financiamento de R 10000 durante 1 ano seriam efetivamente FGVIDT iguais a R 1200 Esse quadro não acontece no caso de taxa de juros nominal Precisamos portanto transformar a taxa de juros nominal em taxa de juros efetiva 116 EQUIVALÊNCIA DAS TAXAS DE JUROS O processo para transformação da taxa de juros nominal em efetiva é bem simples A unidade da taxa de juros é ano A unidade do período de capitalização é mês Dessa forma durante o prazo dado pela unidade da taxa de juros haverá 12 capitalizações mensais Cabem 12 períodos de capitalização já que 1 ano tem 12 meses Por definição portanto A taxa efetiva equivalente à taxa nominal de 12 ao ano com capitalização mensal é Após a última igualdade apenas informamos a unidade da taxa de juros Nada mais foi dito sobre o período de capitalização Afinal as unidades são as mesmas Ao dividirmos a taxa nominal por 12 estamos dividindo a unidade da taxa por 12 Por esse motivo o ano vira mês O período de capitalização permanece inalterado Dessa forma 12 ao ano com capitalização mensal é equivalente a 1 ao mês com capitalização mensal ou simplesmente 1 ao mês 117 INFLUÊNCIA DOS JUROS COMPOSTOS FGVIDT A taxa de 1 ao mês é efetiva Os juros cobrados portanto pelo financiamento de R 10000 durante um mês são efetivamente iguais a R 100 Após um mês a dívida de R 10000 se transforma em R 10100 Se esse valor não for quitado no próximo mês os juros serão cobrados em cima de R 10100 Lembremonos de que estamos sob o regime de juros compostos Dessa forma após o segundo mês devemos acrescentar à dívida o valor R 101 referente aos juros do segundo mês Esse valor é efetivamente igual a 1 de R 10100 118 CÁLCULO DA DÍVIDA A cada novo mês se nenhuma quantia for devolvida os juros serão cada vez maiores Os juros sempre serão equivalentes a 1 do valor presente do período Dessa forma após um ano o somatório dos juros devidos será naturalmente superior a R 1200 Vamos ver em quanto estará essa dívida Sendo valor presente PV 100 taxa de juros efetiva i 1 am prazo n 1 ano ou 12 meses para uniformizar essa unidade com a unidade da taxa de juros FV PV x 1 in 100 x 1 112 100 x 10112 100 x 1126825 1126825 119 SOMATÓRIO DOS JUROS FGVIDT Após um ano o somatório dos juros é igual a 1126825 100 R 126825 Ao tomarmos um empréstimo de R 10000 à taxa de 12 ao ano com capitalização mensal não estaremos pagando no fim das contas efetivamente R 1200 de juros após um ano mas sim R 126825 Dessa forma podemos dizer que a taxa anual efetiva é de126825 Essa taxa é equivalente à taxa efetiva de 1 ao mês Essa taxa é equivalente à taxa nominal de 12 ao ano com capitalização mensal Todas essas taxas transformam um valor presente PV de R10000 em R1126825 após um ano 1110 VALOR EFETIVO DOS JUROS Muitas vezes nos boletos de pagamento das parcelas de um financiamento de casa própria temos a informação de que a taxa de juros é de12 ao ano Não há nenhuma referência ao período de capitalização o que nos induz a pensar que essa taxa é efetiva o que não é verdade A informação do boleto está incompleta A informação deveria contemplar o período de capitalização Entretanto se formos ler o contrato veremos o seguinte serão cobrados juros a uma taxa nominal de 12 ao ano efetivamente 1268 ao ano Dessa forma fica afastada qualquer dúvida quanto ao valor efetivo dos juros FGVIDT 1111 CHEQUE ESPECIAL Outro exemplo são os juros do cheque especial O banco nos cobra uma taxa de 6 ao mês Essa taxa entretanto é nominal pois o período de capitalização é diário Para sabermos quanto de juros pagamos efetivamente após um mês precisamos encontrar a taxa efetiva equivalente a 6 ao mês com capitalização diária Após a última igualdade apenas informamos a unidade da taxa de juros Nada mais se falou sobre período de capitalização Dividimos a taxa nominal por 30 pois utilizamos o ano comercial no qual todo mês tem 30 dias Essa conta transforma a unidade da taxa de mês para dia O período de capitalização permanece inalterado Dessa forma 6 ao mês com capitalização diária é equivalente a 02 ao dia com capitalização diária ou simplesmente 02 ao dia 1112 TAXA EFETIVA MENSAL Precisamos encontrar a taxa efetiva mensal equivalente a 02 ao dia e portanto equivalente a 6 ao mês com capitalização diária Consideraremos Uma aplicação fictícia de R 10000 à taxa de 02 ao dia pelo prazo de 30 dias Pela HP12C tecle 100 CHS PV tecle 02 i tecle 30 n tecle FV No visor teremos 10618 FGVIDT Os juros efetivamente cobrados pelo saldo negativo de R 10000 durante um mês de cheque especial são de 10618 100 R 618 Dessa forma a taxa efetiva mensal é de 618 FGVIDT Unidade 12 TAXA DE JUROS APARENTE E TAXA DE JUROS REAL As taxas de juros nos permitem transportar valores monetários no tempo Outro efeito do tempo nos valores monetários é dado pela inflação Nesta unidade veremos como levar em consideração o efeito da inflação nas taxas de juros 121 PODER DE COMPRA Imaginemos que tenhamos emprestado R 100000 para um amigo e tenhamos concordado em receber R 110000 depois de um ano Quanto realmente ganhamos R 10000 Mais Menos Depende de quanto foi a inflação durante esse ano Se a inflação foi de 10 ao ano não ganhamos realmente nada Os R 10000 de juros são apenas um ganho aparente Com uma inflação de 10 ao ano o que comprávamos por R 100000 há um ano uma TV nova por exemplo hoje é comprado por R 110000 Como tínhamos R 100000 há um ano poderíamos comprar a televisão Passado um ano temos R 10000 a mais em conta Nosso poder de compra no entanto ficou inalterado já que a inflação elevou o preço da televisão para R 110000 Se nosso poder de compra ficou inalterado não houve ganho real 122 GANHO REAL Vamos resolver um problema para ver como podemos transformar o ganho aparente em ganho real Fizemos uma aplicação que rendeu 32 no ano FGVIDT Se durante esse mesmo ano a inflação foi de 20 qual foi nosso ganho real Será que o cálculo pode ser feito do modo a seguir 32 20 12 Não é bem assim Descontar a inflação do ganho aparente no regime de juros compostos não significa subtrair Significa dividir 123 EXEMPLO Para entendermos a transformação do ganho aparente em ganho real vejamos o problema da aplicação a 32 ao ano sob outra ótica Suponhamos que fosse possível comprar uma caneta esferográfica por R 100 há um ano Dessa forma 100 canetas custavam R 10000 Como a inflação foi de 20 no ano anterior cada caneta custa hoje R 120 e as 100 canetas saem a R 12000 Se uma pessoa tivesse R 10000 no início do ano ela poderia comprar 100 canetinhas a R 100 Vamos ver o lado da aplicação Após um ano seus R 10000 virariam R 13200 pois eles teriam sido aplicados à taxa de 32 ao ano de acordo com a fórmula FV PV x 1 in FV 100 x 1 032 132 Como cada caneta custa agora R 120 a mesma pessoa pode comprar 110 canetas R 13200R 120 110 canetas 124 EXEMPLO FGVIDT Dessa forma descontando o efeito da inflação de 20 ao ano o rendimento aparente de 32 ao ano se transforma no rendimento real de 10 ao ano e não de 12 125 CÁLCULO Relembremos o cálculo de quantas canetas podem ser compradas hoje em dia Multiplicando os dois lados por 1100 o resultado final não é alterado Essa expressão é equivalente a FGVIDT Desse modo 110 1 10 1 taxa real 132 1 32 1 taxa aparente 120 1 20 1 inflação A fórmula para encontrarmos a taxa real é Uma taxa de juros efetiva é dita taxa de juros real se já teve descontado o efeito da inflação 126 EXEMPLO DE TAXA DE JUROS REAL Há 3 meses Migenius comprou R 1000000 em ações da Maycrosoft negociadas na B3 Sabemos que nesses 3 meses a inflação média mensal no Brasil foi de 18 a ação da Maycrosoft passou de R 1075 para R 1214 Calculemos a taxa real conseguida pelo Migenius no trimestre isto é nos 3 meses Com R 1000000 Migenius comprou R 1000000R 1075 9302326 cotas de ações da Maycrosoft Após 3 meses essas cotas valem 9302326 x 1214 R 1129302 Para o Migenius comprar hoje o que comprava com os R 1000000 há 3 meses ele precisa ter R 1054978 FGVIDT Pela fórmula FV PV x 1 in Sendo PV 10000 i 18 18100 0018 n 3 Substituindo FV 10000 x 1 00183 FV 10000 x 10183 FV 10000 x 105498 FV 1054978 127 TAXA MENSAL DE JUROS Há outra forma de resolvermos a questão da taxa real conseguida por Migenius no trimestre Devemos encontrar a taxa mensal de juros da aplicação em ações da Maycrosoft Pela fórmula temos PV 1075 FV 1214 n 3 i Aplicando a fórmula Substituindo os valores FGVIDT Calculando i 104137 1 i 0 04137 i 0 04137 x 100 i 4137 ao mês Essa é a taxa aparente da aplicação pois ainda não descontamos a inflação Da fórmula para encontrarmos a taxa real Temos FGVIDT Unidade 13 SPREAD Boa parte da remuneração das Instituições Financeiras advém da diferença entre as taxas que oferecem a investidores e tomadores também chamada de spread4 Iremos explorar esse conceito na presente unidade 131 SPREAD A noção de spread é muito parecida com a noção de taxa real A diferença está nos fatores envolvidos Para o cálculo da taxa real precisamos descontar a inflação da taxa aparente No spread descontamos a taxa de captação da taxa de aplicação 132 EXEMPLO 1 Imaginemos que um banco tenha captado R 500000 prometendo uma remuneração de 2 ao mês O banco aplicou esse valor comprando títulos do governo que pagam 5 ao mês Qual foi o spread obtido pelo banco Vamos entender a operação antes de resolver a questão Um banco está captando dinheiro quando o cliente aplica na caderneta de poupança ou em algum fundo de investimento adquire um certificado de depósito bancário CDB 4 A palavra spread pode ser traduzida como margem para o português FGVIDT compra suas ações na Bolsa de Valores Para conseguir esse dinheiro o banco se compromete a devolvêlo mais adiante acrescido de juros e de acordo com a taxa do investimento Em nosso problema o banco de alguma forma captou R 500000 prometendo uma remuneração de 2 ao mês Lá na frente ele deverá pagar FV PV1 in FV 5000 x 1 0021 FV 5000 x 102 FV 5100 O banco aplicou o dinheiro captado comprando títulos do governo que pagam 5 ao mês Desse modo o banco terá a receber FV PV1 in FV 5000 x 1 0051 FV 5000 x 105 FV 5250 O spread obtido é então 1 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 5250 5100 102941 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 102941 1 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 002941 2941 133 EXEMPLO 2 Vejamos outro exemplo Um banco aplicou em um título público de 30 dias corridos a uma taxa de 6 ao mês Quanto deverá ser a remuneração de um CDB também de 30 dias de forma que obtenhamos um spread de 3 para o período em termos efetivos FGVIDT Nesse problema nossa incógnita não é mais o spread Nossa incógnita é a taxa de captação Vejamos o que está acontecendo O banco captou certa quantia vendendo um CDB Suponhamos R 10000 para facilitar nossos cálculos Após 1 mês o banco deverá devolver os R 10000 acrescidos dos juros Esses juros dependerão da taxa de remuneração do CDB 134 DIAGRAMA A taxa de remuneração do CDB é a taxa de captação ou seja quanto o banco paga para ter o dinheiro O DFC dessa operação é O dinheiro captado foi utilizado para a compra de um título público que remunera 6 ao mês Dessa forma temos o seguinte DFC FGVIDT 135 FV CAPTAÇÃO O problema nos informa que o spread foi de 3 Isso significa que os R 10600 são 3 maiores do que o valor devolvido pelo CDB Chamemos esse valor de FV captação 1 003 106FV captação 103 106FV captação 103 x FV captação 106 FV captação 106103 10291 Para pagar R 10291 por uma captação de R 10000 por um mês o banco pagará uma taxa de 291 ao mês pelo CDB FGVIDT Unidade 14 TEMPO DE RECUPERAÇÃO Um dos principais elementos a ser analisado em uma operação financeira é o o tempo de recuperação ou tempo de retorno que é diferente do prazo da operação O tempo de recuperação ou mais comumente período de payback se propôe a medir o prazo para que o capital investido inicialmente seja restituído ao investidor Esse é o tema no qual nos aprofundaremos nesta unidade 141 PAYBACK SIMPLES Vamos imaginar a seguinte operação Alguém quer investir R 10000000 hoje para ter um lucro de R 2500000 todos os anos durante 9 anos O primeiro fluxo é negativo pois se trata de um investimento um desembolso Já os demais fluxos são positivos pois representam lucros entradas 142 MÉTODO DA RECUPERAÇÃO Após o primeiro ano com a entrada dos primeiros R 2500000 restarão R 10000000 R 2500000 R 7500000 a serem recuperados Ao final do segundo ano com a entrada de mais R 2500000 restarão apenas R FGVIDT 7500000 R 2500000 R 5000000 a recuperar E assim por diante de acordo com a tabela A coluna fluxos acumulados apresenta o saldo do investimento após as sucessivas entradas de R 2500000 Após quatro anos o investidor terá recuperado seu investimento inicial Esse método também é conhecido como método da recuperação 143 RECUPERAÇÃO DO INVESTIMENTO INICIAL Vamos ver se existe algum tipo de falha no método do payback simples Os R 2500000 do final do primeiro ano valem mais do que os R 2500000 do final do segundo ano Estes por sua vez valem mais do que os R 2500000 do final do terceiro ano e assim por diante Isso não está sendo levado em conta Dito de outra forma os R 2500000 do final do primeiro ano valem menos do que R 2500000 na data 0 Os R 2500000 do final do segundo ano valem menos ainda Dessa forma a recuperação do investimento inicial não se dará ao final do quarto ano 144 VANTAGENS DO PAYBACK SIMPLES É estranho que estejamos subtraindo valores de datas diferentes FGVIDT Sabemos que só podemos somar ou subtrair fluxos que estejam na mesma data Subtrair do jeito que foi feito no método do payback simples só faz sentido e não viola essa regra se a taxa de juros da operação for igual a 0 Dessa forma unicamente os R 2500000 das diferentes datas são exatamente R 2500000 na data 0 Apesar dessa falha o método do payback simples tem duas vantagens é muito simples existindo uma taxa de juros positiva é evidente que o payback verdadeiro será posterior ao payback simples 145 INVESTIMENTOS Podemos descartar alguns investimentos com payback Vamos usar como exemplo a operação do investimento de R 10000000 hoje para termos um lucro de R 2500000 todos os anos durante 9 anos Digamos que nesse caso o investidor tenha como critério de aceitação do projeto que o investimento seja recuperado em no máximo 4 anos Com base no payback simples ele pode descartálo O investidor pode descartálo porque os 4 anos obtidos pelo método são com certeza menores do que o tempo no caso de haver taxa de juros envolvida O problema de não levarmos em conta a taxa de juros é solucionado pelo método do payback descontado 146 PAYBACK DESCONTADO OU AJUSTADO Suponhamos que exista uma taxa de juros de 15 ao ano para a operação anterior Ao final do primeiro ano os R 10000000 investidos valem R 11500000 R 10000000 015 x R 10000000 Nesse momento acontece a primeira entrada de caixa de R 2500000 que é abatida FGVIDT do investimento a recuperar Dessa forma ficam faltando R 9000000 Ao final do segundo ano os R 9000000 estão valendo R 10350000 R 9000000 015 x R 9000000 90000 13500 103500 A outra entrada de R 2500000 será descontada desse montante Dessa forma ao final do segundo ano data 2 restam 103500 25 000 R 7850000 a recuperar 147 CÁLCULOS A tabela a seguir resume os cálculos até o final da vida útil do investimento que é de 9 anos Ao final do ano 6 ainda existia um saldo de R 1246262 a recuperar Ao final do ano 7 após a sétima entrada de R 2500000 o saldo acumulado do investimento passou a ser positivo Isso indica que o desembolso inicial deR 10000000 já foi recuperado 148 ENTRADAS ANUAIS Na verdade a recuperação aconteceu em algum momento durante o sétimo ano nos meses de agosto ou setembro FGVIDT Como estamos no entanto contabilizando as entradas apenas anualmente só podemos responder na unidade ano Deveríamos também decidir se a taxa anual seria ou não aplicada às entradas mensais O custobenefício desse detalhamento muitas vezes não é interessante Por esse motivo contentamonos com a resposta em anos Para respondermos mais precisamente precisaríamos supor por exemplo que os R 2500000 anuais são embolsados em quantias mensais iguais ao longo dos anos R 250000012 R 208333 149 SUBTRAÇÃO DE VALORES Há outra forma de resolver o problema quando há taxa de juros envolvida A solução é levar cada um dos fluxos de R 2500000 para a data 0 por intermédio dessa taxa de 15 e subtraílos dos R 10000000 Os R 2500000 da data 1 valem R 2173913 na data 0 Pela fórmula PV FV1 in PV 25000 x 1 0151 PV 25000115 PV 2173913 Após o fluxo positivo de R 2500000 do final do ano 1 faltaria recuperar R 100000 R 2173913 R 7826087 em termos atuais 1410 ABATIMENTO DE VALORES Em termos atuais o abatimento de valores significa que estamos fazendo as contas na data 0 Os primeiros R 2500000 estão na data 1 Dessa forma não podem ser abatidos dos R 10000000 da data 0 Podemos no entanto abater dos R 10000000 o capital equivalente aos R 2500000 na data 0 que é exatamente R 2173913 FGVIDT Essa conta naturalmente acontece na data 0 Consequentemente o resultado está na data 0 Os R 2500000 da data 2 valem R 1890359 na data 0 PV FV1 in PV 250001 0152 PV 2500013225 PV 1890359 Após o fluxo positivo de R 2500000 do final do ano 2 faltaria recuperarmos R 7826097 R 1890359 R 5935738 em termos atuais 1411 CÁLCULOS DO INVESTIMENTO A tabela a seguir resume todos os cálculos até o final da vida útil do investimento Ao final do sexto ano ainda existia um saldo a recuperar qual seja R 538793 em termos atuais Ao final do ano 7 o investimento foi totalmente recuperado Tanto que o saldo acumulado do investimento já é positivo de R 401050 1412 DIFERENÇA DE SALDO FGVIDT Por que o saldo ao final do sétimo ano por essa última conta foi deR 401050 e pela conta anterior foi de R 1066799 Muito simples O valor R 1066799 está na data 7 ao final do sétimo ano Já o valor R 401050 está na data 0 Eles nunca poderiam ser iguais Esses valores entretanto são equivalentes na taxa de juros de 15 ao ano Utilizando a fórmula FV PV x 1 in Sendo VP 401050 i 15 15100 015 n 7 FV 401050 x 1 0157 FV 401050 x 1157 FV 401050 x 2660019 FV 10668 A diferença mínima se deve aos arredondamentos ao longo dos cálculos 1413 MÉTODO DO PAYBACK O problema de não levarmos em conta a taxa de juros já foi resolvido Ainda há algum outro problema nesse método Imaginemos que tenhamos de escolher entre os dois seguintes projetos A e B de vida útil igual a 6 anos Para facilitar vamos considerar que não há taxa de juros Queremos apenas destacar o outro problema intrínseco ao método do payback FGVIDT 1414 MENOR PAYBACK Para o projeto A devemos investir inicialmente R 10000000 para recebermos ao longo dos anos seguintes os valores apresentados na tabela anterior Para o projeto B o investimento inicial também é de R 10000000 porém os recebimentos anuais são diferentes Qual dos dois tem o menor payback O investimento no projeto A é recuperado em 3 anos O investimento no projeto B é recuperado em 4 anos Será que o projeto A é realmente melhor do que o projeto B O projeto A possui as maiores entradas de caixa logo nos primeiros anos Dessa forma seu tempo de recuperação do investimento inicial é menor O projeto B possui as maiores entradas para o final da vida útil do projeto 1415 SOMA DOS FLUXOS POSITIVOS A data da completa recuperação do investimento inicial é o final do ano 3 para o projeto A e o final do ano 4 para o projeto B Após essa data ainda existem fluxos positivos Para o projeto B os fluxos positivos são aqueles de maior valor A soma desses fluxos positivos após a recuperação é R 3000000 para o projeto A e R 9000000 para o projeto B FGVIDT Vamos levar em conta todos os fluxos do projeto desde o investimento inicial até o final de sua vida útil Temos que o projeto A origina um saldo positivo final de R 3000000 Já o projeto B origina R 9000000 Fica fácil apontarmos qual é o melhor deles 1416 PROBLEMA DO MÉTODO DO PAYBACK O grande problema do método do payback seja ele simples ou ajustado é o fato de que ele não leva em consideração os fluxos após a recuperação do investimento inicial É óbvio que não podemos desprezar esses fluxos Eles fazem parte do projeto Por esse motivo precisamos de um método que incorpore e solucione todos esses problemas de uma vez FGVIDT Unidade 15 VPL E TIR Estudaremos nesta unidade os dois métodos mais utilizados na avaliação de projetos de investimento o Valor Presente Líquido VPL e a Taxa Interna de Retorno TIR Estes métodos ao contrário do método do tempo de retorno payback leva em consideração todas as entradas e saídas de caixa do projeto 151 CRITÉRIO PRINCIPAL Vamos estudar os dois critérios de avaliação de um investimento mais utilizados Muitas vezes os dois critérios de avaliação de um investimento valor presente líquido e taxa interna de retorno proporcionam a mesma resposta Entretanto nem sempre isso acontece Vamos perceber no fim das contas que o critério principal é o do valor presente líquido Notaremos que o da taxa interna de retorno é apenas confirmativo 152 EXEMPLO Imaginemos que nosso dinheiro esteja aplicado em um CDB que rende 2 ao mêsVamos considerar que não há incidência de imposto de renda Vale a pena emprestarmos R 10000000 hoje para recebermos R 1200000 mensais durante os próximos 10 meses FGVIDT Como avaliar esse investimento 153 PRIMEIRA FORMA DE AVALIAÇÃO A primeira forma de avaliarmos o investimento é pensarmos no seguinte Se deixarmos os R 10000000 no CDB quanto teremos após os 10 meses Vejamos a fórmula FV PV x 1in Sendo VP 100000 i 2 2100 002 n 10 Desse modo FV 100000 x 1 00210 FV 100000 x 10210 FV 100000 x 12189944 FV 12189944 Recapitulando Deixando os R 10000000 no CDB desde a data 0 teremos R 12189944 ao final do prazo Emprestando os R 10000000 e aplicando as parcelas recebidas no CDB teremos R 13139665 ao final do prazo5 Fica evidente qual é a melhor opção Dessa forma estamos comparando os valores futuros Dá certo e parece ser a maneira mais intuitiva mas nem sempre é interessante Pode não ser sempre interessante porque nem sempre as alternativas de 5 Na HP 12 C podemos fazer f CLx g END 12000 PMT 10 n 2 i FV para obter o valor de 13139665 FGVIDT investimentos têm o mesmo prazo Muitas vezes iremos nos deparar com projetos de diferentes vidas úteis Nesse caso comparar os valores futuros significaria comparar valores em datas diferentes 154 SEGUNDA FORMA DE AVALIAÇÃO A segunda forma de avaliar o investimento é calcular quanto deveríamos depositar hoje em CDB para conseguirmos sacar 10 parcelas mensais postecipadas e sucessivas no valor de R 1200000 já a partir do próximo mês Temos duas maneiras de conseguir 10 parcelas de R 1200000 aplicando em CDB precisaríamos de R 10779102 na data 06 emprestando bastariam R 10000000 Vale mais a pena emprestar os R 10000000 Podemos entender o valor de R 10779102 de outra forma R 10779102 é o capital na data 0 equivalente às 10 parcelas de R 1200000 à taxa de juros de 2 ao mês 155 GRÁFICO DA SEGUNDA FORMA DE AVALIAÇÃO Vejamos um gráfico que exemplifica a segunda forma de avaliação 6 Na HP 12 C podemos fazer f CLx g END 12000 PMT 10 n 2 i 0 FV PV para obter o valor de 10779102 FGVIDT 156 VALOR PRESENTE LÍQUIDO Ao emprestarmos os R 10000000 acordamos em receber 10 parcelas de R 1200000 Essas 10 parcelas de R 1200000 na taxa de que dispomos para aplicação equivalem a R 10779102 Resumindo emprestar significa desembolsar R 10000000 na data 0 para embolsar o equivalente a R 10779102 na mesma data Temos então valor presente PV das entradas de caixa R 10779102 valor presente PV das saídas de caixa R 10000000 Só houve uma saída justamente na data 0 Portanto valor presente das entradas de caixa valor presente das saídas de caixa R 10779102 R 10000000 R 779102 Esse resultado é o valor presente líquido do empréstimo Como ele foi positivo vale a pena emprestar 157 CRITÉRIO DO VPL Se o VPL é positivo foi embolsado mais do que desembolsado Esse é o critério do VPL se VPL 0 a operação avaliada é atrativa se VPL 0 a operação não é atrativa Se o VPL for igual a zero tanto faz Devemos decidir com base em outros fatores FGVIDT 158 TERCEIRA FORMA DE AVALIAÇÃO A terceira maneira de avaliar o investimento é pensar Se na data 0 aplicássemos R 10000000 no CDB quanto poderíamos sacar uniformemente por 10 meses seguidos Traduzindo a pergunta Vamos aplicar R 10000000 no CDB Queremos no entanto sacar todo mês durante 10 meses a mesma quantia Que quantia é essa Se aplicarmos os R 10000000 em CDB embolsaremos mensalmente menos do que se emprestássemos7 R 1113265 R 1200000 Então é melhor emprestarmos 159 QUARTA FORMA DE AVALIAÇÃO Existe ainda uma quarta forma de avaliar o investimento Alguém pode pensar Pelas três maneiras de resolução anteriores obtivemos a indicação de que é melhor emprestar do que aplicar no CDB A operação de empréstimo deve pagar então uma taxa de juros superior a 2 ao mês Especificamente nesse caso podemos chegar a essa conclusão Vejamos qual é a taxa i 346 2 8 A taxa é maior do que 2 ao mês como esperávamos 7 Na HP 12 C podemos fazer f CLx g END 100000 CHS PV 10 n 2 i 0 FV PMT para obter o valor de 1113265 8 Na HP 12 C podemos fazer f CLx g END 100000 CHS PV 12000 PMT 10 n PMT para obter o valor de 346 FGVIDT 1510 VALOR DO DEPÓSITO Podemos dizer que os R 10000000 na data 0 são equivalentes às 10 parcelas de R 1200000 à taxa de 346 ao mês Dizemos ainda que podemos conseguir 10 parcelas mensais de R 1200000 depositando apenas R 10000000 na data 0 Para isso precisamos de uma aplicação que renda 346 ao mês Vejamos como tudo se encaixa Aplicando R 10000000 hoje no CDB não conseguimos obter as 10 parcelas de R 1200000 Conseguimos apenas parcelas no valor de R 1113265 Para conseguirmos as parcelas de R 1200000 aplicando no CDB precisaríamos depositar mais do que R 10000000 Deveríamos depositar R 10779102 1511 TAXA INTERNA DE RETORNO Suponhamos que queiramos a todo custo 10 parcelas de R 1200000 a partir da aplicação de apenas R 10000000 hoje Devemos então buscar uma taxa maior do que aquela de 2 ao mês oferecida pelo CDB Precisaríamos depositar os R 10000000 em uma aplicação que rendesse 346 ao mês Essa taxa de 346 ao mês transforma os R 10000000 em 10 parcelas de R 1200000 Essa taxa é conhecida como taxa interna de retorno TIR 1512 TAXA INTRÍNSECA À OPERAÇÃO A taxa interna de retorno TIR recebe esse nome pois é a taxa que está intrínseca à operação FGVIDT Ao emprestar os R 10000000 recebemos de volta 10 parcelas de R 1200000 Isso significa receber uma taxa de 346 ao mês pela operação Como a TIR é maior do que a taxa de que dispomos em nossa aplicação em CDB o empréstimo é uma operação atrativa 1513 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE Precisamos definir um conceito importante a taxa mínima de atratividade TMA Imaginemos que dispomos de uma aplicação em CDB que nos garante um rendimento de 2 ao mês Uma alternativa de investimento nos foi oferecida emprestar R 10000000 para receber as 10 parcelas de R 1200000 nas condições especificadas Ora essa alternativa só vai nos interessar se o rendimento por ela proporcionado for superior ao rendimento já garantido pela aplicação no CDB Se a taxa de juros intrínseca à operação de empréstimo for menor do que 2 ao mês é mais atrativo continuar investindo em CDB Será mais vantajoso emprestar apenas se a taxa de juros for superior a 2 ao mês Foi o que aconteceu 1514 CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO Considerando o exemplo anterior podemos dizer que se a taxa interna de retorno for inferior a 2 ao mês não vale a pena emprestar Se a TIR for superior a 2 ao mês vale a pena emprestar A taxa de 2 ao mês é o mínimo de rendimento que nós exigimos para a operação de empréstimo que está sendo avaliada por isso essa taxa é chamada de taxa mínima de atratividade TMA O critério de avaliação pelo método da TIR é TIR TMA investimento atrativo FGVIDT TIR TMA investimento não atrativo Se a TIR for igual à TMA tanto faz A escolha deve ser feita com base em fatores adicionais 1515 OPERAÇÃO PELO LADO DO TOMADOR Vejamos agora a operação pelo lado do tomador do empréstimo Suponhamos que o tomador do empréstimo tenha garantido de antemão um empréstimo de R 100000 com taxa de 2 ao mês em seu banco Será que a operação de tomar R 10000000 emprestados conosco para devolver em 10 parcelas de R 1200000 é interessante para ele Ou melhor será que tomar emprestado conosco é mais atrativo do que tomar emprestado a 2 ao mês como ele já tem garantido Todas as contas já foram feitas só que para a operação contrária vista do lado do emprestador 1516 VALOR DAS PRESTAÇÕES Vamos ver a quanto equivalem em valor presente as 10 prestações mensais de R 1200000 Esse DFC é justamento o inverso do que vimos anteriormente Quando o emprestador desembolsa os R100000 o tomador do empréstimo embolsa FGVIDT os Quando o tomador do empréstimo paga as parcelas o emprestador recebeas Essa conta já foi feita PV R 10779102 1517 VALOR PRESENTE LÍQUIDO NEGATIVO Ao tomar emprestados os R 10000000 o tomador se compromete a pagar 10 parcelas de R 1200000 Essas 10 parcelas de R 1200000 na taxa disponível para empréstimos em seu banco equivalem a R 10779102 Resumindo tomar emprestado significa embolsar R 10000000 na data 0 para desembolsar o equivalente a R 10779102 na mesma data Temos então valor presente das entradas de caixa R 10000000 valor presente das saídas de caixa R 10779102 Só houve uma entrada que ocorreu justamente na data 0 Observemos valor presente das entradas de caixa valor presente das saídas de caixa R 10000000 R 10779102 R 779102 Como o valor presente líquido foi negativo não vale a pena tomar emprestado conosco Vale mais a pena tomar emprestado no banco à taxa de 2 ao mês 1518 TAXA MÁXIMA DE ATRATIVIDADE Podemos ir mais além A operação de tomar emprestado conosco tem uma taxa interna de retorno igual a 346 Ao tomar emprestados os R 10000000 o tomador se compromete a pagar 10 parcelas de R 1200000 FGVIDT Não importa de que lado estejamos avaliando A taxa interna de retorno é da operação Quem empresta recebe 346 ao mês quem toma paga 346 ao mês Dessa forma podemos definir outro conceito importante o de taxa máxima de atratividade 1519 EMPRÉSTIMO MAIS VANTAJOSO O potencial tomador do empréstimo já dispõe de um empréstimo no banco e pagará 2 ao mês A operação que está fechando ou não conosco é uma alternativa Tomar emprestado R 10000000 para pagar as 10 parcelas de R 1200000 nas condições especificadas Essa alternativa só vai interessar se a taxa de juros cobrada for inferior à taxa de juros já garantida pelo empréstimo no banco Se a taxa de juros intrínseca à operação avaliada for menor do que 2 ao mês é mais atrativo tomar emprestado conosco Se essa taxa de juros for superior a 2 ao mês então é mais vantajoso tomar emprestado no banco Foi o que aconteceu 1520 CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO PELA TIR Considerando o exemplo anterior podemos dizer que se a taxa interna de retorno for inferior a 2 ao mês vale a pena tomar emprestado conosco Se a TIR for superior a 2 ao mês não vale a pena A taxa de 2 ao mês é a maior taxa de rendimento que o potencial tomador aceita pagar na operação de empréstimo que está sendo avaliada Por isso essa taxa é chamada de taxa máxima de atratividade TMA Se a TIR for igual à TMA tanto faz Devemos basear nossa escolha em fatores adicionais FGVIDT O critério de avaliação pelo método da taxa interna de retorno é TIR TMA investimento atrativo TIR TMA investimento não atrativo FGVIDT Unidade 16 DIFERENÇA ENTRE OS CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Os critérios do Valor Presente Líquido e da Taxa Interna de Retorno possuem bastantes pontos em comum mas também apresentam diferenças importantes Nesta Unidade iremos avaliar seus pontos comuns e principalmente suas diferenças 161 DIFERENÇA DE CRITÉRIOS Ao avaliarmos do ponto de vista de quem empresta utilizamos o critério se TIR TMA investimento atrativo se TIR TMA investimento não atrativo Ao avaliarmos do ponto de vista de quem toma emprestado o critério muda se TIR TMA investimento atrativo se TIR TMA investimento não atrativo 162 DOIS CONCEITOS DE TMA O grande fato esclarecedor é que TMA não quer dizer a mesma coisa nos dois critérios Para o primeiro critério TMA é taxa mínima de atratividade pois quem empresta exige um mínimo de rentabilidade para aceitar um investimento alternativo Quem toma emprestado só aceita esse investimento até uma taxa máxima que não deixe que o valor supere o valor do investimento de que ele já dispõe Podemos observar que é mais interessante avaliar pelo VPL Para nós valeria a pena avaliar o investimento pelo VPL Para quem toma emprestado não vale Vale a pena para uma parte e não vale a pena para a outra parte FGVIDT Como então pode haver negócios na economia Veremos mais adiante outras vantagens do método do VPL em relação ao método da TIR 163 OPERAÇÃO VANTAJOSA Os negócios acontecem na economia porque normalmente a taxa mínima de atratividade de quem empresta é bem menor do que a taxa máxima de atratividade de quem toma emprestado Se a TIR da operação em avaliação estiver entre essas duas taxas de referência o negócio é atrativo para as duas partes Suponhamos que o potencial tomador do empréstimo tenha garantido em seu banco o empréstimo de R 10000000 à taxa de 6 ao mês Dessa forma a operação de empréstimo conosco passa a ser mais vantajosa do que com o banco pois 346 ao mês TIR taxa máxima de atratividade 6 ao mês É melhor pagar uma taxa de 346 ao mês do que pagar 6 ao mês ao banco 164 VALOR PRESENTE LÍQUIDO Podemos chegar à conclusão de que é melhor pagarmos uma taxa de 346 ao mês do que pagar 6 via valor presente líquido Suponhamos que o potencial tomador do empréstimo dispusesse mensalmente de no máximo R 1200000 para pagar as 10 prestações de um empréstimo Que quantia poderia ser tomada já que o banco cobra uma taxa de 6 ao mês 165 CÁLCULO Podemos chegar à conclusão de que é melhor pagarmos uma taxa de 346 ao mês do que pagar 6 via valor presente líquido Pagando 10 prestações de R 1200000 o tomador só conseguiria R 8832104 de FGVIDT empréstimo no banco Podemos também entender esse valor como o capital da data 0 equivalente às 10 saídas de caixa de R 1200000 No diagrama de fluxos de caixa a interpretação é a seguinte Temos então valor presente das entradas de caixa R 100000 valor presente das saídas de caixa R 8832104 Só houve uma entrada justamente na data 0 VPL valor presente das entradas de caixa valor presente das saídas de caixa R 100000 R 8832104 R 1167896 Como o valor presente líquido foi positivo tomar os R 10000000 emprestados conosco é uma operação atrativa 166 EXEMPLO Imaginemos que competindo com o empréstimo de R 10000000 exista a possibilidade de emprestarmos R 14000000 a outra pessoa para recebermos 10 parcelas mensais e sucessivas de R 1650000 já a partir do próximo mês O que devemos preferir Qual dos empréstimos é mais interessante 167 INVESTIMENTO MAIS ATRATIVO FGVIDT Stephen Ross em Administração Financeira de 20029 dá o seguinte exemplo para a escolha de investimentos Certo dia em sala de aula um professor disse aos alunos Qual das seguintes opções é mais atrativa Vocês podem me dar R 100 agora para receberem R 150 no final da aula ou vocês podem me dar R 1000 para receberem R 1100 no final da aula Pode ser escolhida uma opção ou outra E mais Eu não vou dar calote A primeira opção tem rentabilidade de 50 mas está associada a um ganho de R 050 Já a segunda opção tem uma rentabilidade de apenas 10 porém tem um ganho de R 100 As duas opções têm risco zero De que adianta ter uma rentabilidade de 50 se isso apenas proporciona R 050 de ganho Vejamos que esse valor está diretamente ligado ao valor investido Como foi pequeno nem mesmo a alta rentabilidade tornou o investimento mais atrativo do que a segunda opção 168 INVESTIMENTO INICIAL No exemplo anterior supomos que o aluno disponha de R 1000 para emprestar Se não fosse assim a segunda opção não seria viável Se o aluno emprestasse apenas R 100 para receber R 150 os outros R 900 ficariam parados sem rentabilidade Os alunos continuariam com R 900 Os R 1000 virariam R 1050 no fim da aula A rentabilidade seria de apenas 5 Se o aluno emprestasse R 1000 para receber R 1100 sua rentabilidade seria de 10 Vendo dessa forma a segunda opção seria a mais interessante inclusive no que diz respeito à rentabilidade O que mudou em relação à primeira forma de encarar o problema foi que dessa vez 9 Referência bibliográfica ROSS Stephen Administração Financeira São Paulo Atlas 2002 FGVIDT o investimento inicial foi igual nas duas opçõesR 1000 e R 1000 169 INVESTIMENTOS INICIAIS DIFERENTES Vamos encarar nosso problema do empréstimo de R 10000000 versus o empréstimo de R 14000000 de outra forma Pode ser que alguém pense do seguinte modo O VPL do segundo empréstimo é maior Entretanto esse empréstimo exige maior investimento inicial Se optarmos pelo empréstimo de R 10000000 ainda nos restariam por premissa R 4000000 a investir no que quiséssemos Mas não é bem assim É verdade que para podermos avaliar os dois empréstimos devemos ter disponíveis R 14000000 É verdade também que os R 4000000 ficarão livres Só não é verdade que conseguiremos investir em qualquer coisa 1610 RENTABILIDADE GARANTIDA No exemplo há somente a garantia de uma aplicação que renda 2 ao mês Os R 4000000 só têm essa rentabilidade garantida Se conseguíssemos uma taxa superior a 2 ao mês para a aplicação dos R 4000000 também seria possível conseguirmos pelo menos essa taxa para a aplicação dos R 14000000 inteiros Nesse caso os VPLs calculados anteriormente estariam furados já que a TMA mudou A aplicação para os R 4000000 seria portanto somente a 2 ao mês Aplicando R 4000000 no CDB conseguiríamos sacar durante 10 meses a quantia de R 445306 1611 DFC FGVIDT O DFC do exemplo é o seguinte 1612 APLICAÇÃO DO VALOR RESTANTE Poderíamos optar pelo empréstimo de R 10000000 para receber 10 parcelas de R 1200000 Dessa forma ainda conseguiríamos aplicar os R 4000000 restantes no CDB e retirar 10 parcelas de R 445306 Juntando tudo desembolsaríamos R 14000000 ou seja R 10000000 do empréstimo R 4000000 na aplicação em CDB Dessa forma receberíamos 10 parcelas mensais de R 1645306 ou seja R 1200000 do empréstimo R 445306 do CDB 1613 COMPARAÇÃO DAS PROPOSTAS Na verdade a comparação das propostas é Proposta 1 de empréstimo FGVIDT Proposta 2 de empréstimo Encarando dessa forma temos que os valores iniciais investidos são iguais o número de prestações é igual os prazos são iguais para as duas propostas Basta avaliar em qual das propostas as parcelas são maiores Nesse caso é a proposta 2 empréstimo dos R 14000000 inteiros 1614 ANÁLISE INCREMENTAL Ainda existe outra maneira de percebermos porque a proposta 2 é mais atrativa por FGVIDT meio da análise incremental A tabela a seguir expõe os valores referentes aos fluxos de caixa dos dois empréstimos e os resultados de VPL e TIR A última coluna apresenta o incremento a diferença entre as duas propostas ou seja proposta 1 proposta 2 1615 INTERPRETAÇÃO Na data 0 temos 140000 100000 140000 100000 40000 Da data 1 em diante temos 16500 12000 4500 Como interpretar as informações que possuímos Imaginemos que a coluna incremento represente um projeto à parte em que investiríamos R 4000000 para receber 10 parcelas mensais de R 450000 Vale a pena FGVIDT O VPL e a TIR já foram calculados Observemos VPL 42163 0 investimento atrativo TIR 22009 ao mês 2 ao mês taxa mínima de atratividade investimento atrativo Pelos 2 métodos esse projeto é interessante O que significa esse projeto Significa trocar a proposta 1 pela proposta 2 1616 TROCA DE PROPOSTAS Vejamos mais claramente a troca de propostas Interpretemos da seguinte forma Imaginemos que já saibamos que o empréstimo de R 10000000 é atrativo Estamos agora avaliando se o empréstimo de R 14000000 é ainda melhor Valeria a pena desembolsarmos R 4000000 a mais hoje para recebermos todo mês R 450000 a mais durante 10 meses Já vimos que vale a pena Portanto a proposta 2 é melhor do que a proposta 1 Dessa forma podemos concluir que nossa escolha ao comparar investimentos recai sobre o critério do VPL A TIR é um critério complementar 1617 VPLs IGUAIS Para que taxa mínima de atratividade os dois empréstimos seriam equivalentes Se são equivalentes então tanto faz um ou o outro Isso só é possível se seus VPLs forem iguais VPL proposta 2 VPL proposta 1 VPL proposta 2 VPL proposta 1 0 O valor presente líquido tem a seguinte propriedade FGVIDT a diferença entre os VPLs de duas propostas é igual ao VPL da diferença entre as duas propostas 1618 INCREMENTO A diferença entre duas propostas como já vimos é o incremento Resolver a questão significa encontrar a taxa que zera o VPL do incremento Vejamos o incremento e os resultados de VPL para TMA 2 ao mês e TIR 1619 INCREMENTO ATRATIVO O que acontece com o VPL à medida que a TMA aumenta Se a TMA aumenta o retorno mínimo exigido para avaliarmos a atratividade de um projeto também aumenta Consequentemente fica mais difícil encontrarmos projetos interessantes Para TMA 2 ao mês o incremento era interessante Sua TIR era maior do que a TMA além obviamente de o VPL ser positivo FGVIDT Para TMA 21 ao mês o incremento continuaria interessante A TIR continuaria maior do que a TMA 22009 ao mês 21 ao mês O VPL por sua vez continuaria positivo já que o incremento era atrativo Assim como a diferença entre a TIR e a TMA diminuiu a diferença entre um VPL positivo e um VPL 0 também diminuiu Em outras palavras o limite entre ser ou não ser atrativo ficou mais próximo tanto no critério da TIR quanto no critério do VPL Já não há mais tanta folga FGVIDT BIBLIOGRAFIA BÁSICA HUMMEL P R V TASCHNER M R B Análise e decisão sobre investimentos e financiamentos São Paulo Atlas 1995 LAPPONI J C Matemática Financeira usando Excel São Paulo Lapponi 2001 Projetos de investimentos na empresa São Paulo Lapponi 2000 MOTTA R R CALÔBA G M Análise de investimentos 2ª ed São Paulo Atlas 2002 POLO Edison Engenharia das operações financeiras São Paulo Atlas 2000 PUCCINI Abelardo Matemática Financeira objetiva e aplicada 7ª ed São Paulo Saraiva 2004 ROSS S WESTERFIELD R JAFFE J Administração Financeira São Paulo Atlas 2002 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ASSAF Neto A Matemática Financeira e suas aplicações São Paulo Atlas 2006 BERNSTEIN Peter L Desafio aos deuses a fascinante história do risco Rio de Janeiro Elsevier 1997 BRUNI Adriano L FAMA Rubens Matemática Financeira com HP 12C e Excel São Paulo Atlas 2005 GOMES J M MATHIAS W F Matemática Financeira 5ª ed São Paulo Atlas 2008 GUNTHER Max Os axiomas de Zurique 20ª ed Rio de Janeiro Record 2008 HAUGEN Robert A Os segredos da bolsa São Paulo Pearson Prentice Hall 2000 HAZZAN S POMPEO J N Matemática Financeira 6ª ed São Paulo Saraiva 2007 LAPPONI J C Modelagem Financeira com Excel e VBA 1ª ed São Paulo Campus 2008 NOFSINGER John R A lógica do mercado São Paulo Fundamento Educacional 2006 PAULOS John Allen A lógica do mercado de ações uma análise prática do 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