Equação de Bernoulli e sua Dedução na Mecânica dos Fluidos

FENÔMENOS DE TRANSPORTE Prof FABIANO CAP 04 EQUAÇÃO DA ENERGIA 1 A EQUAÇÃO DE BERNOULLI A equação de Bernoulli é uma relação aproximada entre pressão velocidade e elevação e é válida em regiões de escoamento incompressível e em regime permanente onde as forças de atrito resultantes são desprezíveis Apesar de sua simplicidade essa provou ser uma ferramenta muito útil na Mecânica dos Fluidos A principal aproximação na dedução da equação de Bernoulli é que os efeitos viscosos são desprezivelmente pequenos quando comparados aos efeitos da inércia da gravidade e da pressão Como todos os fluidos têm viscosidade não existe um fluido não viscoso essa aproximação não pode ser válida para o todo de um campo de escoamento de interesse prático Em outras palavras não podemos aplicar a equação de Bernoulli em toda a parte em um escoamento mesmo quando a viscosidade do fluido é pequena Entretanto a aproximação é razoável em determinadas regiões de muitos escoamentos de caráter prático Chamamos tais regiões de regiões de escoamento sem viscosidade e enfatizamos que elas não são regiões nas quais o próprio fluido não tem viscosidade nem atrito mas sim que elas são regiões nas quais as forças viscosas ou resultantes de atrito são desprezivelmente pequenas quando comparadas a outras forças que atuam sobre as partículas do fluido O movimento de uma partícula e o caminho que ela segue são descritos pelo vetor velocidade como função do tempo das coordenadas espaciais e da posição inicial da partícula Quando o escoamento é em regime permanente nenhuma alteração com o tempo em um local especificado todas as partículas que passam através do mesmo ponto seguem o mesmo caminho que é a linha de corrente e os vetores velocidade permanecem tangentes ao caminho em todos os pontos DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI Considere o movimento de uma partícula de fluido no campo de escoamento em regime permanente Aplicando a Segunda Lei de Newton chamada de conservação do momento linear na mecânica dos fluidos na direção s a uma partícula que se movimenta ao longo de uma linha de corrente temos Nas regiões de escoamento onde as forças resultantes de atrito são desprezíveis as forças significativas que atuam na direção s são a pressão agindo em ambos os lados e o componente do peso da partícula na direção s Portanto a equação acima tornase Onde é o ângulo entre a norma da linha de corrente e o eixo vertical z naquele ponto m dA ds é a massa W m g g dA ds é o peso da partícula e sen dzds Substituindo temos Cancelando dA de cada termo e simplificando temos Observando que V dV ½ dV2 e dividindo cada termo por temos FENÔMENOS DE TRANSPORTE Prof FABIANO CAP 04 EQUAÇÃO DA ENERGIA 2 Integrando Uma vez que os dois últimos termos são diferenciais exatas No caso de escoamento incompressível o primeiro termo também se torna uma diferencial exata e sua integração resulta em Essa é a famosa equação de Bernoulli usada normalmente em mecânica dos fluidos para escoamento em regime permanente incompressível ao longo de uma linha de corrente nas regiões do escoamento sem viscosidade O valor da constante pode ser calculado em qualquer ponto da linha de corrente em que a pressão densidade velocidade e elevação sejam conhecidas A equação de Bernoulli também pode ser escrita entre dois pontos quaisquer na mesma linha de corrente como A equação de Bernoulli é obtida por meio da conservação do momento de uma partícula de fluido que se move ao longo de uma linha de corrente Ela também pode ser obtida pela Primeira Lei da Termodinâmica aplicada a um sistema com escoamento em regime permanente A equação de Bernoulli foi enunciada pela primeira vez pelo matemático suíço Daniel Bernoulli 17001782 em um texto escrito em 1738 época em que ele trabalhava em São Petersburgo Rússia Em 1755 ela foi deduzida na forma de equação por seu colega Leonhard Euler Reconhecemos V22 como energia cinética gz como a energia potencial e P como a energia de escoamento todas por unidade de massa Portanto a equação de Bernoulli pode ser vista como uma expressão de balanço da energia mecânica e enunciada da seguinte maneira A soma das energias cinética potencial e de escoamento de uma partícula de um fluido é constante ao longo de uma linha de corrente um escoamento em regime permanente quando os efeitos da compressibilidade e do atrito são desprezíveis A equação de Bernoulli afirma que durante o escoamento em regime permanente com atrito desprezível as diversas formas de energia mecânica são convertidas entre si mas sua soma permanece constante Em outras palavras não há dissipação de energia mecânica durante tais escoamentos uma vez que não há atrito que converta a energia mecânica em energia térmica sensível interna Apesar das aproximações altamente restritivas utilizadas nessa dedução a equação Bernoulli é comumente usada na prática uma vez que com ela uma variedade de problemas práticos de escoamento de fluidos pode ser analisada com realismo razoável Isso acontece porque muitos escoamentos de interesse prático para a engenharia são em regime permanente ou pelo menos em regime permanente em média os efeitos da compressibilidade são relativamente pequenos e as forças de atrito resultantes são desprezíveis nas regiões de interesse do escoamento LIMITAÇÕES DO USO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI A equação de Bernoulli é uma das equações mais frequentemente utilizada e mais mal empregada na mecânica dos fluidos Sua versatilidade simplicidade e facilidade de uso a tornam uma ferramenta muito valiosa para análise mas FENÔMENOS DE TRANSPORTE Prof FABIANO CAP 04 EQUAÇÃO DA ENERGIA 3 os mesmos atributos também tornam muito tentadora a sua má utilização Portanto é importante entender as restrições de sua aplicabilidade e observar as limitações de seu uso como explicase a seguir Escoamento em regime permanente A primeira limitação da equação de Bernoulli que ela se aplica somente ao escoamento em regime permanente Portanto ela não deve ser usada durante os períodos em regime permanente de início e fechamento de escoamentos ou durante os períodos de modificação nas condições do escoamento Escoamento sem atrito Cada escoamento envolve um certo atrito independentemente de quão pequeno seja e os efeitos do atrito podem ou não ser desprezíveis A situação é complicada ainda mais pela quantidade de erro que pode ser tolerada Em geral os efeitos do atrito são desprezíveis para trechos curtos de escoamento com grandes seções transversais especialmente em baixas velocidades de escoamento Em geral os efeitos do atrito são significativos em longas e estreitas passagens de escoamento na região de esteira a jusante de um objeto e nas seções de escoamento divergente como os difusores devido a maior possibilidade de separação do escoamento das paredes nessas geometrias Nenhum trabalho no eixo A equação de Bernoulli foi deduzida de um balanço de forças sobre uma partícula que se move ao longo de uma linha corrente Portanto a equação de Bernoulli não se aplica a uma seção de escoamento que envolve uma bomba turbina ventilador ou qualquer outra máquina pois tais dispositivos destroem as linhas de corrente e desenvolvem troca de energia com as partículas do fluido Escoamento incompressível Uma das hipóteses utilizadas na dedução da equação de Bernoulli é que o escoamento seja incompressível Portanto devese ter cuidado ao usar a equação para gases já que de forma geral os líquidos são incompressíveis Nenhuma transferência de calor A densidade de um gás é inversamente proporcional à temperatura e portanto a equação de Bernoulli não deve ser usada nas seções de escoamento que envolvem variação significativa de temperatura com as seções de aquecimento ou resfriamento Escoamento ao longo de uma linha de corrente A rigor a equação de Bernoulli pode ser aplicada ao longo de uma linha de corrente e o valor da constante H soma dos termos da equação em geral é diferente para diferentes linhas de corrente Mas quando uma região do escoamento é irrotacional e portanto não há vorticidade no campo do escoamento o valor da constante H permanece igual para todas as linhas de corrente e portanto a equação de Bernoulli aplicase também transversalmente às linhas de corrente LINHA PIEZOMÉTRICA E LINHA DE ENERGIA Com frequência é conveniente representar o nível de energia mecânica graficamente usando alturas para facilitar a visualização dos diversos termos da equação de Bernoulli Isso é feito dividindo cada termo da equação de Bernoulli por g para obter Cada termo dessa equação tem a dimensão de comprimento e representa algum tipo de carga de um fluido em escoamento da seguinte maneira P é a carga da pressão representa a altura de uma coluna de fluido que produz a pressão P V2 2g é a carga da velocidade representa a elevação necessária para que um fluido atinja a velocidade V durante a queda livre sem atrito FENÔMENOS DE TRANSPORTE Prof FABIANO CAP 04 EQUAÇÃO DA ENERGIA 4 z é a carga da elevação representa a energia potencial do fluido Desta forma H é a carga total do escoamento Assim a equação de Bernoulli pode ser expressa em termos de cargas como a soma das cargas da pressão velocidade e elevação ao longo de uma linha de corrente é constante durante o escoamento em regime permanente quando a compressibilidade e os efeitos de atrito são desprezíveis RESUMO ABORDAGEM SIMPLIFICADA AUTOR Franco Brunetti TEOREMA DE BERNOULLI O princípio de Bernoulli também denominado equação de Bernoulli ou Trinômio de Bernoulli ou ainda Teorema de Bernoulli descreve o comportamento de um fluido movendose ao longo de uma linha de corrente e traduz para os fluidos o princípio da conservação da energia A equação de Bernoulli devido ao grande número de hipóteses simplificadoras dificilmente poderá produzir resultados compatíveis com a realidade No entanto é de importância fundamental seja conceitualmente seja como alicerce da equação geral da energia As hipóteses simplificadoras são a Regime permanente b Sem máquina no trecho bomba ou turbina c Sem perdas por atrito no escoamento do fluido d Propriedades uniformes na seção e Fluido incompressível f Sem trocas de calor A equação de Bernoulli pode ser enunciada da seguinte forma Se entre duas seções de escoamento o fluido foi incompressível sem atritos e o regime permanente se não houver máquina nem trocas de calor então as cargas totais se manterão constantes em qualquer seção não havendo nem ganhos nem perdas de carga 𝑉1 2 2𝑔 𝑝1 𝑧1 𝑉2 2 2𝑔 𝑝2 𝑧2 A equação acima é a Equação de Bernoulli que permite relacionar cotas velocidades e pressões entre duas seções do escoamento do fluído Da forma que está apresentada cada um dos termos da equação é expresso em metros m constituindose o que se denomina carga carga é a energia por unidade de peso Senão vejamos 𝑉12 2𝑔 𝑚2 𝑠2 𝑚 𝑠2 𝑚 carga da velocidade ou carga cinética 𝑝1 𝑁𝑚2 𝑁𝑚3 𝑚 carga da pressão 𝑧1 𝑚 carga geométrica ou de posição FENÔMENOS DE TRANSPORTE Prof FABIANO CAP 04 EQUAÇÃO DA ENERGIA 5 Outras formas de escrever o Teorema de Bernoulli Na forma de pressão onde P maiúsculo é pressão 𝑉2 2 𝑃 𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Na forma de energia 𝑉2 2 𝑃 𝑔𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 FENÔMENOS DE TRANSPORTE Prof FABIANO CAP 04 EQUAÇÃO DA ENERGIA 6 EXEMPLO RESOLVIDO SOLUÇÃO