Trabalho Acadêmico ELE2001 - Análise de Estabilidade e Resposta em Frequência de Amplificadores

TRABALHO DE ELE2001 20232 ESTABILIDADE E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA Alunoa 1 Para o diagrama em blocos ilustrado na Figura 1 considerando que cada bloco e constituído de um amplificador operacional com ganho de malha aberta de 105 VV e frequência de ganho unitário igual a 1 MHz desprezando os efeitos das impedâncias de entrada e saída e de outras não idealidades considerando somente os efeitos de frequência determinar a Desenhar e projetar o amplificador correspondente a cada bloco determinando o valor dos resistores e a respectiva frequência de corte 3 dB b Ilustrar o diagrama de Bode módulo e fase do amplificador total o i v v c Analise a estabilidade do amplificador total constituído pelos três blocos o i v v determinando a frequência de ganho unitário a margem de ganho e a margem de fase d A partir do resultado obtido no item c caso seja necessário ajuste função de transferência justificando o resultado Obs Simular o circuito obtido a partir da Figura 1 e compare os resultados obtidos A letra A no interior dos blocos da Figura 1 indica o ganho de malha fechada para o circuito a ser projetado Figura 1 Amplificador da questão 1 2 Dada a função de transferência Hs 𝐾 𝑠𝑠2𝑠8 determinar a Análise de estabilidade para K 50 100 e 150 obtendo a margem de ganho e de fase b Através de simulação via MATLAB compare os resultados obtidos MATLAB possível código numeradorK denominador1 10 16 0 Gptfnumerador denominador BodeGp nyquistGp marginGp 3 Dada a função de transferência HS que é a relação da tensão de saída pela entrada de um amplificador filtro ativo projetar o circuito contendo no máximo dois amplificadores operacionais bem como os respectivos resistores e capacitores Ilustra o diagrama de Bode módulo e fase e obter a banda passante a máximo ganho e a frequência central FT Hs o i v v s 10 6283𝑥103𝑠 𝑠26283𝑥103𝑠39478𝑥109 Entrega do trabalho escrito com as simulações até o dia 05122023 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA Eletrônica Analógica Estabilidade e resposta em frequência Vitor de Castro Alves Professor Raimundo Nonato Gonçalves Robert JOINVILLE 2023 Sumário 1 Introdução Teórica 1 11 Objetivos 1 2 Desenvolvimento 2 21 Análise Teórica 2 22 Materiais e Métodos 15 221 Atividade 1 15 222 Atividade 2 15 223 Atividade 3 16 3 Resultados 17 31 Resultados Teóricos 17 311 Atividade 1 17 312 Atividade 2 22 313 Atividade 3 30 4 Conclusão 32 5 Referências 33 6 Apêndice 34 1 Introdução Teórica O Amplificador operacional AOP são amplificadores de alto ganho Possuem uma construção interna composta por diversos transistores e é constituído de multi estágios com entrada diferencial podendo ser aproximado de um amplificador ideal Possui aplicações em instrumentação industrial controle áudios entre outras aplicações Suas principais características são alta impedância de entrada impedância nula na saída ganho de tensão infinito resposta a frequência infinita Além disso existem dois tipos de circuitos básicos chamados circuitos ativos e circuitos passivos Os circuitos ativos são capazes de fornecer energia como fontes de tensão e fontes de corrente enquanto os passivos são incapazes de fornecer energia como resistores indutores e capacitores O AOP é um circuito passivo o qual fornece anergia a um sistema a partir de uma alimentação externa Por exemplo um circuito amplificador de áudio através de uma fonte de alimentação externa consegue amplificar o sinal de áudio da entrada obtendo um valor maior de potência na saída 11 Objetivos Projetar o amplificador em cascata Estudar a estabilidade de um sistema a partir da função de transferência Projetar um filtro ativo com dois amplificadores operacionais em cascata a partir de uma função de transferência 1 2 Desenvolvimento Esta seção é responsável por apresentar os cálculos que fundamentam o projeto do circuito e mostrar sua montagem em laboratório bem como sua simulação 21 Análise Teórica Na atividade 1 foi projetado o circuito da Figura 21 Figura 21 Diagrama de blocos do circuito A partir da Figura 21 observase que o diagrama em blocos é composto por 3 circuito É considerado que cada bloco é constituído de um amplificador operacional com ganho de malha aberta de Ao 105VV e frequência de ganho unitário igual a fu 1 MHz desprezando os efeitos das impedâncias de entrada e saída e de outras não idealidades considerando somente os efeitos de frequência A equação 21 apresenta a relação entra o ganho em malha aberta Ao a frequência central fc e a frequência de ganho unitário fu Ao fu fc 21 A partir da equação 21 e substituindo os valores Ao 105 e fu 1 MHz obtemos fc 10Hz 2 CAPÍTULO 2 DESENVOLVIMENTO 3 O primeiro circuito é um amplificador não inversor de ganho A2VV O ganho A VoVi O circuito não inversor é dado pela Figura 22 Figura 22 Circuito não inversor Para se obter a função de transferência do circuito é análise nodal feita no nó inversor e obtendo a seguinte Equação 22 V 0 R1 V Vo R2 0 22 Considerando V V observase que o V Vi por isso obtemos a seguinte Equação 27 Vi R1 Vi Vo R2 0 23 Vi R1 Vi R2 Vo R2 0 24 Vi 1 R1 1 R2 Vo R2 0 25 Vi 1 R1 1 R2 Vo R2 26 CAPÍTULO 2 DESENVOLVIMENTO 4 Vo Vi R2 1 R1 1 R2 27 A partir da Equação 27 substituindo o valor A 2VV e escolhendo o valor comercial para o resistor R11kΩ obtemos R2 1kΩ O segundo circuito é um amplificador inversor de ganho A15VV O ganho A VoVi O circuito inversor é dado pela Figura 23 Figura 23 Circuito não inversor Para se obter a função de transferência do circuito é análise nodal feita no nó inversor e obtendo a seguinte Equação 28 V V 1 R3 V Vo R4 0 28 Considerando V V observase que o V0V por isso obtemos a seguinte Equação 210 V 1 R3 Vo R4 0 29 Vo Vi R4 R3 210 CAPÍTULO 2 DESENVOLVIMENTO 5 A partir da Equação 210 substituindo o valor A 15VV e escolhendo o valor comercial para o resistor R11kΩ obtemos R2 15kΩ Para o terceiro circuito é um amplificador inversor de ganho A3VVPara a análise do circuito é utilizado o mesmo procedimento matemático do circuito não inversor e obtémse a Equação 27 A partir da Equação 27 substituindo o valor A 3VV e escolhendo o valor comercial para o resistor R11kΩ obtemos R2 2kΩ A Figura 24 apresenta o circuito não inversor com os resistores projetados Figura 24 Circuito não inversor A equação 211 apresenta o ganho de tensão em decibéis AdB 20log10AV 211 Para calcular ganho em decibéis do circuito do primeiro segundo e terceiro estágio basta utilizar a equação 211 O ganho é dado como AdB1 6 dB AdB2 35 dB e AdB3 95 dB O ganho total AT é dado pela seguinte equação 212 Atotal A1A2A3 212 Substituindo na equação 212 os valores de A1 2VV A2 15VV e A3 3VV obtemos o valor AT 9 VV O valor de AT em decibéis é calculador pela equação 211 obtendo o valor AdB 1908 A largura de banda do amplificador é calculada pela equação 219 fc2 AoATfc 213 Substituindo Ao 106 VV fc 10 Hz e fc2 11111 kHz obtemos para apenas um amplificador com realimentação fc2 1069 10 11111kHz 214 O ganho do amplificador na frequência é dado pela equação 215 ATjw Ao1 jwwc 215 A equação 216 representa o ganho total do circuito na frequência AT Ao1 jwwcAo1 jwwcAo1 jwwc 216 Resolvendo a equação 219 obtemos a seguinte função de transferência obtemos AT 9 1 jwwc3 217 Tirando o módulo da função de transferência obtemos a seguinte equação 219 AT 9 1 jwwc3 9 sqrt2 218 sqrt1 wc2wc23 sqrt2 219 1 wc2wc23 2 220 1 wc2wc2 213 221 wc2wc2 213 1 222 Logo a largura de faixa resultante é dada pela equação 223 wc2 wc sqrt213 1 223 Substituindo wc 2pifc e atribuindo a frequência fc fc2 11111kHz obtemos wc 2pi11111kHz A equação 224 apresenta o módulo do amplificador em cascata com a frequência de corte de cada estágio AT 21 jw2pi11111k 151 jw2pi11111k 31 jw2pi11111k 224 Para o amplificador em cascata para se obter a margem de ganho e a margem de fase e saber se o mesmo está é estável phijw180 0 3arctgw1802pi11111k pi 225 arctgw1802pi11111k pi3 226 w1802pi11111k 1732 227 w180 2pi11111k 2pi19244kHz 12Mrads 228 Para obter a frequência de ganho unitário para ser estável wuw180 Na frequência de ganho unitário 69812 Krads temse a margem de fase a seguinte equação 229 Ajw180MG AT sqrt1 w180wc2 229 A partir da equação 229 substituindo os valores obtemos Ajw180MG 9 sqrt1 2pi19244k 2pi11111k 2 544VV 230 CAPÍTULO 2 DESENVOLVIMENTO 8 A atividade 2 consiste em estudar a estabilidade de um sistema a partir da função de transferência presente na equação 231 Hs K ss 2s 8 231 O valor de K será analisado para 50 100 e 150 Para verificar se o sistema é estável podemos analisar através do critério de Routh O método consiste em um teste matemático da a condição necessária e suficiente para a estabilidade de um sistema dinâmico linear invariante no tempo ou sistema de controle A Figura 25 apresenta a tabela de Routh preenchida a partir da função de transferência apresentada na equação 231 Figura 25 Critério de Routh O coeficiente a é calculado a partir da equação 232 a a11a22 a21a12 10 232 A equação 232 é o determinante os coeficientes a11 1 a12 16 a21 10 a22 0 Calculando através da equação 232 obtemos o a 16 A Figura 26 apresenta a tabela de Routh preenchida Figura 26 Critério de Routh Como não há variação de sinais na primeira coluna da tabela garante que o sistema é estável A partir do critério de Routh é possível verificar a estabilidade do sistema independente do valor de K CAPÍTULO 2 DESENVOLVIMENTO 9 Para a atividade 3 foi feito a partir da função de transferência dada na equação 233 Diante disso foi projetado um amplificador filtro ativo Hs 62 83103s s2 62 83103s 394 78109 233 Para o seguinte projeto observase que pode ser projetado a partir de um filtro ativo passa baixa em cascata com um filtro ativo passa alta A Figura 28 apresenta o circuito em cascata Figura 27 Circuito nem cascata É necessário calcular a função de transferência para o circuito do primeiro e segundo estágio O circuito do primeiro estágio é um filtro passa baixa A Figura 28 apresenta o circuito passa baixa Para se obter a função de transferência do estágio 1 é necessário realizar a análise nodal no CAPÍTULO 2 DESENVOLVIMENTO 10 Figura 28 Circuito passa baixa A análise nodal é feita no nó da entrada inversora V O circuito é analisado no domínio da frequência Por isso o capacitor pode ser representado como C2 1sC2 Para isso substituise Zi R3 e a impedância Zf é composta de um resistor R4 em paralelo com o capacitor C2 logo Zf R41sC2 A Figura 29 apresenta o circuito em termos de impedâncias Figura 29 Circuito passa baixa A equação 234 apresenta a tensão nodal no circuito e também observase que V V 0V 0 Vi Zi 0 Vo Zf 0 234 CAPÍTULO 2 DESENVOLVIMENTO 11 A função de transferência do circuito é dada por Hs VoVi Manipulando matematicamente a equação 234 e substituindo Zi R3 e Zf R41sC2 obtemos a equação 238 Vo Vi R4 1 sC2 R3 235 Vo Vi R4 sC2 R4 1 sC2 R3 236 Vo Vi R4 sC2 R4sC21 sC2 R3 237 Vo Vi R4 R4sC21 R3 238 Colocando R4 em evidência obtemos Vo Vi R4 R3 1 R4sC2 1 239 Dividindo o numerado e o denominador por 1R4C2 e K1 R4R3 obtemos a equação 240 Vo Vi K1 1 R4C2 s 1 R4C2 240 A função de transferência para o circuito passa baixa ativo é dado pela 241 Hs K1 wc2 s wc2 241 Para o circuito do segundo estágio observase que é um filtro passa alta ativo A Figura 210 apresenta o circuito passa alta ativo CAPÍTULO 2 DESENVOLVIMENTO 12 Figura 210 Circuito passa alta Para isso notase que a impedância está em série com o capacitor C substituise Zi R11sC1 e Zf R2 A Figura 36 apresenta o circuito em termos de impedâncias Figura 211 Circuito passa alta Observase que o circuito com impedâncias da Figura 36 é igual ao circuito da Figura 36 por isso podemos usar a mesma equação 234 Substituindo Zi R1 1sC1 e Zf R2 obtemos a equação 244 Vo Vi R2 R1 sC1 242 Colocando em evidência o resistor R1 obtemos a seguinte equação Vo Vi R2 R11 1 sC1R1 243 CAPÍTULO 2 DESENVOLVIMENTO 13 Dividindo o numerador e o denominador da equação 244 por s e K2R2R1 obtemos Vo Vi K2 s s 1 R1C1 244 A função de transferência para o circuito passa baixa ativo é dado pela equação 245 Hs K2 s s wc1 245 Como o circuito está em cascata basta multiplicar o as funções de transferência do circuito passa baixa e do circuito passa alta obtendo a equação 246 Hs K1 wc2 s wc2 K2 s s wc1 246 Desenvolvendo a multiplicação obtemos a equação 248 e considerando K K1K2 Hs K wc2s s wc2s wc1 247 Hs K wc2s s2 wc1 wc2s wc1wc2 248 Observase que a frequência wc1 wc2 logo obtemos a equação 249 Hs K wc2s s2 wc2s wc1wc2 249 Comparando a função de transferência 233 com a função de transferência 249 obtemos o valor de wc2 2 83103 Mas sabemos que wc2 1R4C2 Podemos calcular o valor de R2 ao considerarmos o valor de C2 1nF 1 R4109 2 83103 250 R4 1 10962 83103 15 92kΩ 251 Para encontrar o resistor R1 basta considerar wc1wc2 394 78109 substituindo wc1 1R1C1 e considerando C1 1nF CAPÍTULO 2 DESENVOLVIMENTO 14 wc1wc2 394 78109 252 wc1 394 78109 wc2 394 78109 62 83103 6 28106 253 1 R1C1 6 28106 254 R1 1 1096 28106 159 24Ω 255 A partir do valor do ganho K é possível determinar os valores de resistências de R2 e R3 K K1K2 256 10 R2 R1 R4 R3 257 10 R2 R3 15 92kΩ 159 24Ω 258 R2 R3 99 97Ω 10 259 R2 0 1R3 260 Definindo R3 1kΩ obtemos R2 100 A frequência angular miníma é dada por wc2 62 83103 Para encontrar a frequência em Hertz miníma é feito o seguinte cálculo wc2 2πfc1 261 fc1 1 2πwc2 1 2π62 83103 10kHz 262 A frequência angular máxima é dada por wc1wc2 394 78109 Para encontrar a frequência em máxima em Hertz é feito o seguinte cálculo wc1wc2 394 78109 263 wc1 1 wc2394 78109 1 62 83103394 78109 6 28106 264 fc2 1 2piwc1 1 2pi628106 1 MHz 265 A frequência central é dada pela seguinte equação 266 fc fc1 fc2 2 266 A partir da equação 266 obtevese a frequência central fc 505kHz Por fim com todos os componentes escolhidos foi simulado no software TINATI o amplificador da Figura 21 e plotado o gráfico de bode do circuito Foi desenvolvido um programa em Python com a finalidade de obter análise de estabilidade para K 50 100 e 150 obtendo a margem de ganho e de fase além disso foi obtido o gráfico de Bode Nyquist e Margin Para o filtro passa ativo da Figura 28 foi obtido o gráfico de bode Ambas simulações foram usadas com a finalidade de validar os cálculos realizados 22 Materiais e Métodos 221 Atividade 1 Para o Atividade 1 foi montado o circuito no software TINATI Foram utilizados os componentes foram usados R1 1kΩ R2 1kΩ R3 1kΩ R4 15kΩ R5 1kΩ R6 2kΩ 3 amplificadores UA741 222 Atividade 2 Para o Atividade 2 foi feito um código em Pyhton para a obtenção dos gráficos Medindo a resistências das Décadas para o circuito estrela temos os seguintes valores de resistências 223 Atividade 3 Para o experimento 3 foi montado o circuito no software TINATI Foram utilizados os componentes foram usados R₁ 15924Ω R₂ 100Ω R₃ 1kΩ R₄ 1592kΩ 2 amplificadores UA741 3 Resultados No atividade em questão para o Atividade 1 e 3 foi simulado no circuito no software TINATI e o experimento 2 foi feito utilizando a linguagem de programação Python 31 Resultados Teóricos 311 Atividade 1 Figura 31 Diagrama de bode estágio 1 17 CAPÍTULO 3 RESULTADOS 18 Figura 32 Circuito não inversor estágio 1 Figura 33 Diagrama de bode estágio 2 CAPÍTULO 3 RESULTADOS 19 Figura 34 Circuito inversor estágio 2 Figura 35 Diagrama de bode estágio 3 CAPÍTULO 3 RESULTADOS 20 Figura 36 Circuito não inversor estágio 3 Figura 37 Diagrama de bode da saída do amplificador em cascata CAPÍTULO 3 RESULTADOS 21 Figura 38 Tensão de saída do amplificador em cascata Figura 39 Circuito em cascata CAPÍTULO 3 RESULTADOS 22 312 Atividade 2 Figura 310 Gráfico de bode para K50 CAPÍTULO 3 RESULTADOS 23 Figura 311 Gráfico de Nyquist para K50 CAPÍTULO 3 RESULTADOS 24 Figura 312 Gráfico de Bode margem do ganho e fase para K50 CAPÍTULO 3 RESULTADOS 25 Figura 313 Gráfico de bode para K100 CAPÍTULO 3 RESULTADOS 26 Figura 314 Gráfico de Nyquist para K100 CAPÍTULO 3 RESULTADOS 27 Figura 315 Gráfico de Bode margem do ganho e fase para K50 CAPÍTULO 3 RESULTADOS 28 Figura 316 Gráfico de bode para K150 CAPÍTULO 3 RESULTADOS 29 Figura 317 Gráfico de Nyquist para K150 CAPÍTULO 3 RESULTADOS 30 Figura 318 Gráfico de Bode margem do ganho e fase para K50 313 Atividade 3 Figura 319 Circuito filtro ativo CAPÍTULO 3 RESULTADOS 31 Figura 320 Tensão de saída do circuito filtro ativo Figura 321 Gráfico de bode com as respectivas frequências fc1 e fc2 4 Conclusão Por fim verificouse que ao longo das atividades a validade da teoria calculada foi confirmada por meio do uso do software TINATI e da linguagem de programa ção Python Os valores calculados simulados e medidos apresentaram resultados próximos do esperado Entretanto os valores não possuem alta precisão visto que como observado os valores simulados exibem pequenas discrepâncias em relação aos valores reais calculados Isso ocorre porque os componentes eletrônicos possuem tolerâncias mesmo quando simulados não sendo equivalentes aos componentes com valores reais Na atividade 1 o circuito foi simulado no TINATI e as frequências de corte obtidas estavam próximas do esperado Na atividade 2 foi possível verificar que o sistema representado pela função de transferência apresenta a estabilidade esperada conforme o critério de Routh Na atividade 3 foi possível simular o circuito a partir da função de transferência além de verificar a partir do gráfico de Bode as frequências máximas e mínimas Os demais experimentos apresentaram valores coerentes 32 5 Referências 1 Roteiro do Experimento Estabilidade e resposta em frequência JOINVILLE 2023 33 6 Apêndice Figura 61 Código em Python Figura 62 Código em Python 34 CAPÍTULO 6 APÊNDICE 35 Figura 63 Código em Python