Unidade VII: Tensões Compostas e Carregamentos Combinados

Unidade VII Tensões Compostas e Carregamentos Combinados Prof Rafael Beck Versão 01 Julho de 2022 Estrutura da unidade 1 Introdução 2 Procedimento de Análise 3 Concentração de Tensão 4 Introdução à Mecânica da Fratura 5 Tensões de Contato Conteúdo 3 Nesta unidade discutiremos a solução de problemas nos quais várias cargas agem simultaneamente na estrutura do modo a resultarem na mesma tensões normais de tração ou compressão tensões normais de flexão e tensões de cisalhamento seja pelo torque ou pela cortante De fato na maioria das estruturas reais teremos estas diferentes tensões já que é muito comum em projeto que a estrutura seja capaz de suportar diferentes carregamentos Observe por exemplo o caso do painel de sinalização mostrado na figura 1 Que tensões ocorrem na seção ABCD à 2 m da base 1 Introdução 4 Figura 1 Exemplo de um painel de sinalização 5 O método que utilizaremos para analisar tais distribuições de tensões é o método da superposição Para aplicar o método em primeiro lugar é necessário determinar a distribuição de tensão devido a cada carga e então essas distribuições são sobrepostas para determinar a distribuição de tensão resultante Para aplicar o método da superposição é necessário que exista uma relação linear entre a tensão e a correspondente carga aplicada Além disso a geometria do elemento não deve sofrer mudança significativa quando as cargas são aplicadas Isso é necessário para assegurar que a tensão produzida por uma carga não esteja relacionada com a tensão produzida por qualquer outra carga 6 A seguir apresentaremos um procedimento geral de análise deste tipos de problema O seguinte procedimento nos dá um modo geral para definir as componentes da tensão normal e da tensão cisalhante em cada ponto de um elemento quando ele é submetido a vários tipos de carga simultaneamente Consideramos que o material é homogêneo e se comporta de um modo linear elástico Além disso o princípio de Saint Venant exige que o ponto onde a tensão deve ser determinada esteja bem distante de quaisquer descontinuidades na seção transversal ou de pontos de carga aplicada Procedimento geral 2 Procedimento de análise 7 Forças internas Selecione o elemento perpendicular a seu eixo no ponto onde a tensão deve ser determinada e obtenha as componentes internas da força normal e da força de cisalhamento resultantes bem como as componentes dos momentos fletor e de torção As componentes da força devem agir passando pelo centróide da seção transversal e as componentes do momento devem ser calculadas em torno dos eixos do centróide os quais representam os eixos principais de inércia para a seção transversal 8 Calcule a componente da tensão associada a cada força interna Para cada caso represente o efeito como uma distribuição de tensão que age sobre toda a área da seção transversal ou mostre a tensão sobre um elemento do material localizado em um ponto específico da seção transversal Tensão normal devido à carga axial A tensão normal interna devido à força axial é desenvolvida por uma distribuição de tensão uniforme determinada por 𝜎 Τ 𝑃 𝐴 9 Tensão de cisalhamento devido à cortante A tensão interna de cisalhamento em um elemento devido à cortante é determinada pela fórmula do cisalhamento 𝜏 Τ 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Tensão normal devido ao momento fletor Para elementos retos o momento fletor interno é desenvolvido por uma distribuição de tensão normal que varia linearmente de zero no eixo neutro a máxima no contorno externo do elemento A distribuição de tensão é determinada pela fórmula da flexão 𝜎 Τ 𝑀𝑦 𝐼 10 Tensão de cisalhamento devido à torção Para eixos circulares o momento de torção interno é desenvolvido por uma distribuição de tensão de cisalhamento que varia linearmente da linha central do eixo até um máximo no contorno externo do eixo A distribuição de tensão de cisalhamento é determinada pela fórmula da torção 𝜏 Τ 𝑇𝜌 𝐽 Concentração de tensão é um efeito altamente localizado Em alguns exemplos ela pode ser devida a um risco de superfície Se o material for dúctil e a carga estática a carga de projeto pode causar escoamento em uma porção crítica num entalhe Esse escoamento pode envolver encruamento por deformação do material e um aumento na resistência ao escoamento na porção do entalhe crítico Uma vez que as cargas são estáticas e o material dúctil a peça pode aguentálas sem escoamento geral Nesses casos o projetista considera o fator de concentração geométrico 𝐾𝑡 igual à unidade 3 Concentração de tensão O raciocínio pode ser expresso como segue O cenário do pior caso é aquele do material idealizado sem encruamento por deformação mostrado na figura abaixo Figura 21 Uma curva tensãodeformação idealizada A linha tracejada mostra um material com encruamento por deformação A curva tensãodeformação elevase linearmente até a resistência ao escoamento 𝑆𝑦 depois procede em tensão constante que é igual a 𝑆𝑦 Considere uma barra entalhada com a mostrada na figura 22 na qual a seção transversal da extremidade pequena é 645 mm2 Se o material for dúctil com um ponto de escoamento de 280 MPa e o fator teórico de concentração de tensão 𝐾𝑡 igual a 2 Uma carga de 90 kN induz uma tensão de tração de 140 MPa na extremidade representada pelo ponto A na figura 21 Na localidade crítica do filete a tensão é 280 MPa e o 𝐾𝑡 Τ 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑜 Τ 280 140 2 Figura 21 Barra retangular filetada adelgaçada em tração ou compressão simples Uma carga de 135 kN induz uma tensão de tração de 210 MPa na extremidade representada pelo ponto B na figura 21 A tensão no filete é ainda 280 MPa ponto D e o 𝐾𝑡 Τ 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑜 Τ 𝑆𝑦 𝜎 Τ 280 210 133 Uma carga de 180 kN induz uma tensão de tração de 280 MPa na extremidade representada pelo ponto C na figura 21 A tensão no filete é ainda 280 MPa ponto E e o 𝐾𝑡 Τ 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑜 Τ 𝑆𝑦 𝜎 Τ 280 280 1 Para materiais que deformam e encruam a posição crítica no entalhe tem uma 𝑆𝑦 mais elevada A área da extremidade que está a um nível de tensão um pouco abaixo de 280 MPa está suportando a carga e está muito próxima da falha por escoamento generalizado Essa é a razão pela qual os projetistas não aplicam 𝐾𝑡 em carregamento estático de material dúctil carregado elasticamente estabelecendo ao invés disso 𝐾𝑡 1 Quando usar essa regra para materiais dúcteis certifiquese de que o material não terá uma fratura frágil no ambiente de uso A definição do fator geométrico de concentração de tensão para a tensão normal 𝐾𝑡 e para a tensão cisalhante 𝐾𝑡𝑠 é 𝜎𝑚á𝑥 𝐾𝑡𝜎𝑛𝑜𝑚 𝜏𝑚á𝑥 𝐾𝑡𝑠𝜏𝑛𝑜𝑚 1 2 Materiais frágeis não exibem uma região plástica logo os fatores de concentração de tenção 𝐾𝑡e 𝐾𝑡𝑠são aplicados diretamente quando o material é frágil Uma exceção à regra é um material frágil que inerentemente contém concentração de tensão por microdescontinuidades Moldagem em areia introduz partículas de areia ar e bolhas de vapor dágua A estrutura de grão do ferro fundido possui flocos de grafita que são literalmente trincas introduzidas durante o processo de solidificação Quando um ensaio de tração de um ferro fundido é executado a resistência à tração obtida já inclui essa concentração de tensão Em tais casos 𝐾𝑡 ou 𝐾𝑡𝑠 não necessitam ser aplicados Uma fonte importante de fatores de concentração de tensão é R E Peterson que compilou em um livro ensaios de sua autoria e de demais autores Os dados ali presentes foram obtidos com a ajuda do método de fotoelasticidade Fotoelasticidade é uma técnica experimental para a medição de tensões Baseiase no uso da luz para desenhar figuras sobre peças de materiais transparentes que estão a ser submetidas a esforços A medição conseguese ao avaliar a mudança do índice de refração da peça ao submeter a uma carga No caso de uma peça não transparente se cobre a peça com uma resina Observe a imagem da figura 23 Figura 23 Linhas de tensão em um transportador de plástico vistas com luz polarizada A análise pelo método dos elementos finitos MEF pode também ser aplicada para a obtenção dos fatores de concentração de tensão 21 A ideia de que existem trincas em peças mesmo antes de entrarem em serviço e de estas poderem aumentar em serviço nos remete ao termo projeto tolerante ao dano A ferramenta de análise é a Mecânica da Fratura Elástica Linear MFEL Inspeções periódicas são necessárias e em casos que envolvem risco à vida humana normas e leis governamentais definem estas inspeções 4 Introdução à mecânica da fratura 22 Na presença de uma trinca os fatores de concentração de tensão não mais representam a realidade uma vez que tendem ao infinito A tensão necessária para crescimento da trinca é calculada medindo a energia necessária para originar novas superfícies de fratura Dependendo das condições de carregamento uma trinca poderá ser estável e não de propagar ou instável e se propagar até a ruptura total da peça 23 41 Fratura Quase Estática O fundamento da mecânica da fratura foi estabelecido por Griffith em 1921 usando os cálculos de campo de tensão para uma imperfeição elíptica em uma placa Figura 41 Placa infinita carregada com tensão uniaxial 24 Para a placa infinita carregada por uma tensão uniaxial σ mostrada na figura 41 a tensão máxima ocorre em a 0 e é dada por 𝜎𝑦 𝑚á𝑥 1 2 𝑎 𝑏 𝜎 17 Se a b a elipse tornase um círculo e a equação resulta em um fator de concentração de tensão igual a 3 como diz a literatura Por outro lado se Τ 𝑏 𝑎 0 a equação prediz que 𝜎𝑦 𝑚á𝑥 Na realidade uma trinca infinitamente pontiaguda é fisicamente impossível e quando uma deformação plástica ocorre a tensão será finita na ponta na trinca 25 Griffith mostrou que a trinca se propaga quando a energia aplicada pelo carregamento é maior do que a energia necessária para propagação da trinca 26 42 Modos de Trinca e fator de Intensidade de Tensão Existem três modos distintos de propagação da trinca Tensões de tração dão origem ao modo I São os mais comuns na prática Tensões cisalhantes dão origem ao modo II O modo III é o de rasgamento e ocorre por tensões cisalhantes fora do plano O restante do desenvolvimento trata apenas do modo I Figura 42 Modos de propagação da trinca 27 Considere uma trinca de modo I de comprimento 2a na placa infinita mostrada abaixo Usando funções de tensão complexa tem sido mostrado que o campo de tensão em um elemento 𝑑𝑥𝑑𝑦 na vizinhança da ponta da trinca é dado por Figura 43 Chapa infinita com trinca de modo I 28 𝜎𝑥 𝜎 𝑎 2𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 2 𝜎𝑦 𝜎 𝑎 2𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 2 𝜏𝑥𝑦 𝜎 𝑎 2𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠 3𝜃 2 𝜎𝑧 ൝ 0 para tensão plana 𝜈 𝜎𝑥 𝜎𝑦 para deformação plana 18 19 20 21 29 A tensão 𝜎𝑦 perto da ponta com 𝜃 0 é ቚ 𝜎𝑦 𝜃0 𝜎 𝑎 2𝑟 Tal qual como a trinca elíptica vemos que ห 𝜎𝑦 𝜃0 na medida em que 𝑟 0 e novamente o conceito de concentração infinita de tensão na ponta da trinca é inapropriado A quantidade ห 𝜎𝑦 𝜃0 2𝑟 𝜎 𝑎 contudo permanece constante na medida em que 𝑟 0 22 30 𝐾 𝜎 𝜋𝑎 cujas unidades são 𝑀𝑃𝑎 𝑚 ou 𝑘𝑝𝑠𝑖 𝑖𝑛 Como estamos no modo I escrevemos 𝐾𝐼 𝜎 𝜋𝑎 Assim é prática comum definir um fator 𝐾 chamado de fator de intensidade de tensão dado por 23 24 31 O fator de intensidade de tensão não deve ser confundido com os fatores de concentração de tensão estáticos 𝐾𝑡 e 𝐾𝑡𝑠 As equações podem então ser reescritas como 𝜎𝑥 𝐾𝐼 2𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 2 𝜎𝑦 𝐾𝐼 2𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 1 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 2 𝜏𝑥𝑦 𝐾𝐼 2𝜋𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠 3𝜃 2 𝜎𝑧 ൝ 0 para tensão plana 𝜈 𝜎𝑥 𝜎𝑦 para deformação plana 25 26 27 28 32 O fator de intensidade de tensão é uma função da geometria do tamanho e da forma da trinca e do tipo de carregamento Para várias configurações geométricas a equação de 𝐾𝐼 pode ser reescrita como 𝐾𝐼 𝛽𝜎 𝜋𝑎 em que 𝛽 é o fator de modificação da intensidade de tensão Tabelas para 𝛽 estão disponíveis na literatura para configurações básicas As figuras seguintes apresentam uns poucos exemplos de 𝛽 para propagação da trinca de modo I 29 33 Trinca fora do centro em uma placa com tração longitudinal Curvas sólidas para ponta da trinca em A e tracejadas ponta da trinca em B Placa carregada com tensão longitudinal com trinca na borda Curvas sólidas sem restrições de flexão Curva tracejada com restrições 34 Vigas de seção transversal retangular tendo uma trinca na borda 35 Placa em tração contendo um furo circular em duas trincas Cilindro carregado em tração axial tendo uma trinca radial de profundidade a estendendose completamente ao redor de sua circunferência 36 Cilindro sujeito à pressão interna tendo uma trinca na direção longitudinal de profundidade a 37 43 Tenacidade à Fratura Quando a magnitude do fator de intensidade de tensão do modo I 𝐾𝐼 alcança um valor crítico 𝐾𝐼𝐶 a propagação da trinca começa O fator de intensidade de tensão crítico 𝐾𝐼𝐶 é uma propriedade do material que depende deste do modo de trinca do processamento do material da temperatura da razão de carregamento e do estado de tensão ao redor da trinca estado plano de tensão ou plano de deformação 38 𝐾𝐼𝐶 também é chamado de tenacidade à fratura do material Alguns valores típicos são apresentados abaixo Para o aço 4340 no qual a resistência ao escoamento devido à tratamento térmico passa de 800 para 1600 MPa 𝐾𝐼𝐶 decresce de 190 𝑝𝑎𝑟𝑎 40 MPa 𝑚 Metais 𝟐𝟎 𝑲𝑰𝑪 𝟐𝟎𝟎 𝑴𝑷𝒂 𝒎 Polímeros de engenharia e materiais cerâmicos 1 𝐾𝐼𝐶 5 𝑀𝑃𝑎 𝑚 39 A norma de ensaio para determinação de 𝐾𝐼𝐶 é a ASTM E399 Valores para alguns materiais são apresentados abaixo à temperatura ambiente Material 𝑲𝑰𝑪 MPa 𝒎 𝝈𝒆 MPa Alumínios 2024 26 455 7075 24 495 7178 33 490 Titânios Ti6AL4V 115 910 Ti6AL4V 55 1035 Aços 4340 99 860 4340 60 1515 52100 14 2070 40 Um dos problemas encontrados pelo projetista é decidir se há propensão à fratura frágil Operação à baixa temperatura é um grande indicativo deste tipo de falha No entanto tabelas com temperaturas de transição dúctilfrágil não tem sido publicadas devido possivelmente à uma grande variação de valores ainda que para um mesmo material Um indicadorchave de fratura frágil é a relação Τ 𝜎𝑒 𝜎𝑟 Uma razão alta indica que existe somente uma pequena habilidade para absorver energia na região plástica e portanto uma possibilidade de fratura frágil 41 𝐶 𝑆 𝐾𝐼𝐶 𝐾𝐼 A razão Τ 𝐾𝐼𝐶 𝐾𝐼 pode ser usada como fator de segurança Assim 30 Exemplo 56 Shigley 8 ed 67 Shigley 5 ed Uma placa de aço do estrado de um navio tem 30 mm de espessura e 12 m de largura Ela é carregada com uma tensão de tração uniaxial de 50 MPa e é operada abaixo de sua temperatura de transição dúctilfrágil com 𝐾𝐼𝐶 283 MPa Se uma trinca transversal central de 65 mm estiver presente estime a tensão de tração na qual uma falha catastrófica ocorrerá Compare com a tensão de escoamento deste aço que é 240 MPa Quando dois corpos de superfícies curvas são pressionados um contra o outro o contato pontual ou linear muda para contato de área e as tensões desenvolvidas nos corpos são tridimensionais Problemas de contato surgem entre rodas e trilhos tuchos e cames dentes de engrenagens e na atuação de rolamentos Falhas típicas são fissuras cavidades ou escamação na superfície do material 5 Tensões de contato O caso mais geral de contato ocorre quando cada corpo em contato tem um raio de curvatura duplo isto é o raio no plano de rolamento é diferente do raio em um plano perpendicular Ambos os planos são tomados por meio do eixo da força de contato Aqui consideraremos o caso de esferas em contato e de cilindros em contato Os resultados apresentados aqui se devem a Hertz daí serem frequentemente conhecidos como tensões hertzianas 51 Contato Esférico Quando duas esferas sólidas são pressionadas uma contra a outra com uma força 𝐹 uma área circular de contato de raio 𝑎 é obtida Especificandose 𝐸1 𝜈1 e 𝐸2 𝜈2 como as respectivas constantes elásticas das duas esferas o raio 𝑎 será dado pela equação 𝑎 3 3𝐹 8 1 𝜈12 Τ 𝐸1 1 𝜈22 Τ 𝐸2 Τ 1 𝑑1 Τ 1 𝑑2 18 A distribuição de pressão dentro da área de contato de cada esfera é semiesférica como mostra a figura 51 Figura 51 a Duas esferas mantidas em contato pela força 𝐹 b Distribuição semiesférica da tensão ao longo do diâmetro 2𝑎 A pressão máxima ocorre no centro da área de contato e é igual a 19 𝑝𝑚á𝑥 3𝐹 2𝜋𝑎2 As equações 18 e 19 são absolutamente gerais e aplicamse também ao contato entre uma esfera e uma superfície plana ou de uma esfera e uma superfície esférica interna Para um superfície plana use 𝑑 Para uma superfície interna o diâmetro é expresso como uma quantidade negativa As tensões máximas ocorrem no eixo 𝑧 e são tensões principais Seus valores são 20 𝜎1 𝜎2 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝑝𝑚á𝑥 1 𝑧 𝑎 𝑡𝑎𝑛1 1 Τ 𝑧 𝑎 1 𝜈 1 2 1 𝑧2 𝑎2 𝜎3 𝜎𝑧 𝑝𝑚á𝑥 1 𝑧2 𝑎2 21 Essas equações são válidas para ambas as esferas porém o valor usado para a razão de Poisson deve corresponder àquele da esfera considerada Observe que as equações são ainda mais complicadas quando estados de tensão fora do eixo 𝑧 devem ser determinados pois nesse caso as coordenadas 𝑥 e 𝑦 também precisam ser incluídas Porém isso não é necessário para fins de projeto pois os máximos ocorrem no eixo 𝑧 O valor da tensão cisalhante máxima é dada por onde podese observar que 𝜎1 𝜎2 𝜏𝑚á𝑥 𝜎1 𝜎3 2 𝜎2 𝜎3 2 22 Figura 52 Magnitude das tensões abaixo da superfície em função da pressão máxima das esferas A figura 52 é um gráfico das equações 20 21 e 22 para uma distância 3𝑎 abaixo da superfície Note que a tensão de cisalhamento atinge um valor máximo um pouco abaixo da superfície mais precisamente em 048𝑎 sendo seu valor de 03𝑝𝑚á𝑥 É opinião de muitas autoridades de que essa tensão de cisalhamento máxima é responsável pela falha de fadiga de superfície dos elementos de contato A explicação é que uma trinca se origina no ponto de tensão de cisalhamento máxima abaixo da superfície que avança até a superfície e que a pressão do lubrificante causa uma cunha ao retirar a lasca solta Note ainda que as tensões normais representadas na figura 52 são todas de compressão e que as curvas baseiamse em um material com coeficiente de Poisson de 03 52 Contato Cilíndrico A figura 53 ilustra uma situação similar em que os elementos em contato são dois cilindros de comprimento 𝑙 e diâmetros 𝑑1 e 𝑑2 Figura 53 a Dois cilindros mantidas em contato pela força 𝐹 b Distribuição elíptica da tensão ao longo do diâmetro 2𝑏 Conforme a figura 53b a área de contato é um retângulo estreito de largura 2𝑏 e comprimento 𝑙 e a distribuição de pressão é elíptica A meia largura 𝑏 é dada pela seguinte equação 23 𝑏 2𝐹 𝜋𝑙 1 𝜈12 Τ 𝐸1 1 𝜈22 Τ 𝐸2 Τ 1 𝑑1 Τ 1 𝑑2 A pressão máxima é 𝑝𝑚á𝑥 2𝐹 𝜋𝑏𝑙 24 As equações 23 e 24 se aplicam a um cilindro e uma superfície plana como um trilho adotando 𝑑 para a superfície plana As equações também se aplicam para o contato de um cilindro com uma superfície cilíndrica interna Nesse caso adotase 𝑑 negativo para a superfície interna O estado de tensões ao longo do eixo 𝑧 é dado pelas equações 25 26 27 𝜎𝑥 2𝜈𝑝𝑚á𝑥 1 𝑧2 𝑏2 𝑧 𝑏 𝜎𝑦 𝑝𝑚á𝑥 1 2 𝑧2 𝑏2 1 𝑧2 𝑏2 2 𝑧 𝑏 𝜎3 𝜎𝑧 𝑝𝑚á𝑥 1 𝑧2 Τ 𝑏2 Figura 54 Magnitude das tensões abaixo da superfície em função da pressão máxima dos cilindros Essas três equações estão representadas graficamente na figura 54 até uma distância de 3𝑎 abaixo da superfície Para 0 𝑧 0436𝑏 𝜎1 𝜎𝑥 e 𝜏𝑚á𝑥 𝜎1 𝜎3 Τ 2 𝜎𝑥 𝜎𝑧 Τ 2 Para 𝑧 0436𝑏 𝜎1 𝜎𝑦 e 𝜏𝑚á𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 Τ 2 A figura também mostra um gráfico de 𝜏𝑚á𝑥 em que o maior valor ocorre em Τ 𝑧 𝑏 0786 com um valor de 03𝑝𝑚á𝑥 Hertz em 1881 forneceu os modelos matemáticos acima do campo de tensão quando a zona de contato está livre de cisalhamento Outra tensão de contato importante é a linha de contato com fricção fornecendo a tensão de cisalhamento na zona de contato Tais tensões de cisalhamento são pequenas em cames e roletes porém em cames com seguidores de face plana contatos rodatrilho e dentes de engrenagens as tensões são elevadas acima do campo hertiziano Investigações do efeito sobre o campo de tensão por causa de tensões de cisalhamento e normal na zona de contato foram iniciadas no campo teórico por Lundberg 1939 e continuadas pro Mindlin 1949 SmithLiu 1949 e Poritsky 1949 independentemente Exemplo 378 Shigley Duas esferas de açocarbono cada uma com 25 mm de diâmetro são pressionadas juntas por uma força 𝐹 Em termos de 𝐹 determine os valores máximos da tensão principal bem como da tensão de cisalhamento máxima em MPa