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Engenharia Agrícola ·
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3y 3 2 x₁ 16 x₂ 56 x₃ 12 2 x 3 y 2 z 5 x 2 y 3 z 2 6 x y 4 z 1 2 3 2 1 5 L1 26L3 L2 16L3 6 1 4 1 0 13 193 13 0 16 73 16 6 1 4 1 0 13 13 13 0 12 23 6 1 4 1 1 0 13 13 13 0 12 23 6 1 4 1 1 6 x y 4 z 1 103 y 103 z 143 23 z 223 x y 4 55 445 Estratégia de Pivotação Completaintegral É semelhante à estratégia de pivotação parcial e ao invés de escolher o maior elemento em módulo do coluna agora vamos escolher o maior elemento em módulo da matriz inteira para ser o pivô posteriormente o maior elemento das equações restantes Exemplo Resolvo o seguinte sistema x y 2 z 8 x 2 y 3 z 1 3 x 7 y 2 z 10 1 1 2 8 L1 47L3 L2 23L3 1 2 2 3 1 3 7 4 10 103 0 187 67 137 0 173 173 L2 L1 L2 37 L1 318 L1 103 0 183 67 0 0 23 3 7 4 10 3 x 7 y 2 z 10 x y z 2 1 3 Ex Resolver 3 x1 2 x2 4 x3 1 x1 x2 2 x3 2 4 x1 3 x2 2 x3 3 3 2 1 1 L1 23L2 L2 14L3 0 14 54 54 0 0 3 2 3 24 2 3 3 0 x3 0 x1 3 0 0 2 0 x2 5 x1 5 A I I A 2x 3y 3z 18 3x 2y 5z 23 5x 4y 2z 27 2 3 3 18 L2 32L1 3 1 5 23 L3 52L1 5 4 2 27 2 3 3 18 L1 32L1 L1 32L2 4 L0 321 18 L3 52L1 2 0 15 35 65 0 52 12 4 0 35 15 0 0 0 0 6 det A 1 5235 det A 31 Decomposição Lu Eliminação L v Essa decomposição é um variante dos métodos de eliminação de Gauss Dizemos que uma matriz Anxn admite decomposição L e U se existem as matrizes L e U triangulares Inferior e superior respectivamente tais que ALU Dizemos que uma matriz Anxn é diagonalmente dominante Se Σaij Σaij j1 ji a11 a21 a31 an1 Teorema toda matriz diagonalmente dominante tem inversa Alm disso o processo da eliminação de Gauss pode ser realizado sem a necessidade da permutação de linhas e colunas A decomposição em Lu de uma matriz é útil e facilita resolução de um SEL em Axb Supomos que a matriz A tem uma decomposição L e U de forma que ALU V x y então Lyb sistema triangular inferior soluções substituições inversas Procedimento A 1 0 0 0 m21 1 0 0 0 m33 m32 1 0 0 L U Sendo que m ij são os multiplicadores obtidos no processo de eliminações de Gauss condensações Pivotal Cálculo dos fatores A matriz triangular superior U é obtida pelo método de eliminação de Gauss usando a estratégia de condensação Pivotal L é a matriz triangular L aii 1 aij 0 ji ij superior aij mij ij m inferior Ly b a Ly b resolver o seguinte SEL pelo fatoração LU x1 4x2 2x3 3 x1 5x2 3x3 5 2x1 4x2 8x3 14 Ex01 Resolver o seguinte sistema linear utilizando o M de Jacob 20 x y z 17 x 10y z 13 x y 10z 18 1 x 12017 y z 2 y 11013 x 3 3 z 11018 x y Iteração 0 1 2 3 4 x 0 085 1005 10025 10000 y 0 13 1035 0982 0999953 z 0 18 2015 2004 2000 x 12017 13 18 y 11013 085 18 z 11018 085 13 iteração 4 x 12017 0998 2004 y 11013 Métodos Numéricos Ex determinar o erro do truncamento em x21 da função fx sinx e2x nos seguintes pontos x₀ 13 x₁ 19 e x₂ 25 fx 089228 092393 095973 P₂x a₀ a₁x a₂x² ETx x x₀x x₁x x₂Mn1 M Mₐₓ fx sinx e2x fx cosx 2e2x fx sinx 2e2x fx cosx 42e2x x₀ 13 M 032669 x₁ 19 M 050226 x₂ 25 M 085505 ETx 21 21 1321 1921 25 085505 3 ETx21 1 000912051 Erro Abs fx P2x Forma de Lagrange A forma de Lagrange é representada da seguinte forma L3x x y0 x1 x0 erro de truncamento Max de M Lido 2 Aula 1 21 01 a1 005 a2 037846 32 01 a1 002 a2 059017 6 transformamos td em negativo pa é mais depand t distriçã o de dç 32 f icos 01 a1 007 a2 059017 002 a2 021671 a2 108355 pordem a1 01 a1 007 a2 059017 01 a1 002108355 059017 a1 168315 pordem a0 a0 0364412 02 a1 004 a2 a0 0364412 02 168315 004108355 a0 026763 P2x a26763 168315 x 108355 x² 168315 x 025 108355 x 025² 17081 Ex Registar um polinômio interpolador de Grau 3 pelo método de Lagrange Produto da interpolação das funções fx x²40 e gx 5x2 nos intervalos que contêm os limites inferiores e maiores valores da interseção das funções e o intervalo superior igual a 2 Representações Gráficas X 12 fx x²40 5x2 0 X² 5x 2 0 Bafancy x1 037228 x2 537228 função 1 y²4 X X0 037228 25 1 2 Y 386181 384 3 0 função 2 5x2 X X0 0352222 25 1 2 Y 386141 0 3 8 P3x L0x y0 L1x y1 L2x y2 L3x y3 L0x xx1xx2 y0y2 y0y1 L1x mário falado X0 x1 037228 2 386141 8 L0x x2y0 y0y1 x2386141 0372282 L1x xx0y1 y1y0 x0372288 8037228 P1 L0x y0 L1x y1 P1x 162772xx1 1x037228095553 162772x 1627722 095553x 095553037228 P1x 2583565x 289971 tomo o ultimos numeros dr x3 e zero então o P1x fica P3x 1xx1y0 11xy1 12xy2 L0x xx1xx2y0y1y0y2 L1x
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3y 3 2 x₁ 16 x₂ 56 x₃ 12 2 x 3 y 2 z 5 x 2 y 3 z 2 6 x y 4 z 1 2 3 2 1 5 L1 26L3 L2 16L3 6 1 4 1 0 13 193 13 0 16 73 16 6 1 4 1 0 13 13 13 0 12 23 6 1 4 1 1 0 13 13 13 0 12 23 6 1 4 1 1 6 x y 4 z 1 103 y 103 z 143 23 z 223 x y 4 55 445 Estratégia de Pivotação Completaintegral É semelhante à estratégia de pivotação parcial e ao invés de escolher o maior elemento em módulo do coluna agora vamos escolher o maior elemento em módulo da matriz inteira para ser o pivô posteriormente o maior elemento das equações restantes Exemplo Resolvo o seguinte sistema x y 2 z 8 x 2 y 3 z 1 3 x 7 y 2 z 10 1 1 2 8 L1 47L3 L2 23L3 1 2 2 3 1 3 7 4 10 103 0 187 67 137 0 173 173 L2 L1 L2 37 L1 318 L1 103 0 183 67 0 0 23 3 7 4 10 3 x 7 y 2 z 10 x y z 2 1 3 Ex Resolver 3 x1 2 x2 4 x3 1 x1 x2 2 x3 2 4 x1 3 x2 2 x3 3 3 2 1 1 L1 23L2 L2 14L3 0 14 54 54 0 0 3 2 3 24 2 3 3 0 x3 0 x1 3 0 0 2 0 x2 5 x1 5 A I I A 2x 3y 3z 18 3x 2y 5z 23 5x 4y 2z 27 2 3 3 18 L2 32L1 3 1 5 23 L3 52L1 5 4 2 27 2 3 3 18 L1 32L1 L1 32L2 4 L0 321 18 L3 52L1 2 0 15 35 65 0 52 12 4 0 35 15 0 0 0 0 6 det A 1 5235 det A 31 Decomposição Lu Eliminação L v Essa decomposição é um variante dos métodos de eliminação de Gauss Dizemos que uma matriz Anxn admite decomposição L e U se existem as matrizes L e U triangulares Inferior e superior respectivamente tais que ALU Dizemos que uma matriz Anxn é diagonalmente dominante Se Σaij Σaij j1 ji a11 a21 a31 an1 Teorema toda matriz diagonalmente dominante tem inversa Alm disso o processo da eliminação de Gauss pode ser realizado sem a necessidade da permutação de linhas e colunas A decomposição em Lu de uma matriz é útil e facilita resolução de um SEL em Axb Supomos que a matriz A tem uma decomposição L e U de forma que ALU V x y então Lyb sistema triangular inferior soluções substituições inversas Procedimento A 1 0 0 0 m21 1 0 0 0 m33 m32 1 0 0 L U Sendo que m ij são os multiplicadores obtidos no processo de eliminações de Gauss condensações Pivotal Cálculo dos fatores A matriz triangular superior U é obtida pelo método de eliminação de Gauss usando a estratégia de condensação Pivotal L é a matriz triangular L aii 1 aij 0 ji ij superior aij mij ij m inferior Ly b a Ly b resolver o seguinte SEL pelo fatoração LU x1 4x2 2x3 3 x1 5x2 3x3 5 2x1 4x2 8x3 14 Ex01 Resolver o seguinte sistema linear utilizando o M de Jacob 20 x y z 17 x 10y z 13 x y 10z 18 1 x 12017 y z 2 y 11013 x 3 3 z 11018 x y Iteração 0 1 2 3 4 x 0 085 1005 10025 10000 y 0 13 1035 0982 0999953 z 0 18 2015 2004 2000 x 12017 13 18 y 11013 085 18 z 11018 085 13 iteração 4 x 12017 0998 2004 y 11013 Métodos Numéricos Ex determinar o erro do truncamento em x21 da função fx sinx e2x nos seguintes pontos x₀ 13 x₁ 19 e x₂ 25 fx 089228 092393 095973 P₂x a₀ a₁x a₂x² ETx x x₀x x₁x x₂Mn1 M Mₐₓ fx sinx e2x fx cosx 2e2x fx sinx 2e2x fx cosx 42e2x x₀ 13 M 032669 x₁ 19 M 050226 x₂ 25 M 085505 ETx 21 21 1321 1921 25 085505 3 ETx21 1 000912051 Erro Abs fx P2x Forma de Lagrange A forma de Lagrange é representada da seguinte forma L3x x y0 x1 x0 erro de truncamento Max de M Lido 2 Aula 1 21 01 a1 005 a2 037846 32 01 a1 002 a2 059017 6 transformamos td em negativo pa é mais depand t distriçã o de dç 32 f icos 01 a1 007 a2 059017 002 a2 021671 a2 108355 pordem a1 01 a1 007 a2 059017 01 a1 002108355 059017 a1 168315 pordem a0 a0 0364412 02 a1 004 a2 a0 0364412 02 168315 004108355 a0 026763 P2x a26763 168315 x 108355 x² 168315 x 025 108355 x 025² 17081 Ex Registar um polinômio interpolador de Grau 3 pelo método de Lagrange Produto da interpolação das funções fx x²40 e gx 5x2 nos intervalos que contêm os limites inferiores e maiores valores da interseção das funções e o intervalo superior igual a 2 Representações Gráficas X 12 fx x²40 5x2 0 X² 5x 2 0 Bafancy x1 037228 x2 537228 função 1 y²4 X X0 037228 25 1 2 Y 386181 384 3 0 função 2 5x2 X X0 0352222 25 1 2 Y 386141 0 3 8 P3x L0x y0 L1x y1 L2x y2 L3x y3 L0x xx1xx2 y0y2 y0y1 L1x mário falado X0 x1 037228 2 386141 8 L0x x2y0 y0y1 x2386141 0372282 L1x xx0y1 y1y0 x0372288 8037228 P1 L0x y0 L1x y1 P1x 162772xx1 1x037228095553 162772x 1627722 095553x 095553037228 P1x 2583565x 289971 tomo o ultimos numeros dr x3 e zero então o P1x fica P3x 1xx1y0 11xy1 12xy2 L0x xx1xx2y0y1y0y2 L1x