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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Curso de Engenharia Civil Teoria das Estruturas I Aula 2 Vigas Isostáticas Prof Dr André Felipe Ap de Mello Conteúdo da aula 21 Convenção de sinais 22 Relações 23 Diagramas típicos 24 Tipos de vigas 25 Exemplos 21 Convenção de sinais TE I Aula 2 p 3 Força normal Q ou N será positiva se tracionar a seção e negativa se comprimila Força cortante S ou V será positivo no sentido para baixo quando o corte for feito considerando a parte esquerda Quando o corte for feito considerando o lado direito será positivo para cima Momento fletor M será positivo quando tiver tendência de deformar a barra com a concavidade para cima e negativo em caso contrário 22 Relações TE I Aula 2 p 4 Considerando a seguinte viga submetida a um carregamento arbitrário todos agindo em suas direções positivas Analisando o equilíbrio num elemento 𝑑𝑥 temse 𝐹𝑦 0 𝑆 𝑤 𝑑𝑥 𝑆 𝑑𝑆 0 𝑑𝑆 𝑤 𝑑𝑥 ou 𝑑𝑆 𝑑𝑥 𝑤 Intensidade de distribuição de carga nesse ponto Inclinação do diagrama da força cortante num ponto 22 Relações TE I Aula 2 p 5 Área sob a carga distribuída entre esses dois pontos Variação de cortante entre dois pontos Para determinar a variação no cortante entre os pontos A e B ao longo do elemento integrase a equação para obter 𝑆𝐵 𝑆𝐴 න 𝐴 𝐵 𝑑𝑆 න 𝐴 𝐵 𝑤 𝑑𝑥 Esta integral representa a área sob a carga distribuída entre os pontos A e B 22 Relações TE I Aula 2 p 6 Força cortante neste mesmo ponto Inclinação do diagrama de momento fletor num ponto Aplicando o equilíbrio de momento para o corpo livre 𝑑𝑥 temse 𝑀𝑎 0 𝑀 𝑤 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝑥 𝑀 𝑑𝑀 0 𝑑𝑀 𝑆 𝑑𝑥 ou 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑆 22 Relações TE I Aula 2 p 7 Área sob o diagrama de força cortante entre estes dois pontos Variação do momento fletor entre dois pontos Para obter a variação entre os pontos A e B integrase a equação 𝑀𝐵 𝑀𝐴 න 𝐴 𝐵 𝑑𝑀 න 𝐴 𝐵 𝑆 𝑑𝑥 Esta integral representa a área sob o diagrama de força cortante entre os pontos A e B 22 Relações TE I Aula 2 p 8 Magnitude da força concentrada Variação do cortante no ponto de aplicação de força concentrada Força concentrada Analisando agora um elemento 𝑑𝑥 que é submetido a uma força P 𝐹𝑦 0 𝑆 𝑃 𝑆 𝑑𝑆 0 𝑑𝑆 𝑃 22 Relações TE I Aula 2 p 9 Magnitude do momento concentrado Variação do momento fletor no ponto de aplicação momento concentrado Momento concentrado Analisando agora um elemento dx que é submetido a um momento ഥ 𝑀 𝑀𝑎 0 𝑀 ഥ 𝑀 𝑀 𝑑𝑀 0 𝑑𝑀 ഥ 𝑀 23 Diagramas típicos TE I Aula 2 p 10 Carga concentrada A carga distribuída é nula 𝑞 0 Por consequência o diagrama de força cortante terá trechos constantes com saltos nos pontos das reações e das forças 𝑉1 𝑃𝑏 𝐿 e 𝑉2 𝑃𝑏 𝐿 𝑃 O diagrama de momento será uma função de x 𝑀1 𝑃𝑏 𝐿 𝑥 e 𝑀2 𝑃𝑏 𝐿 𝑥 𝑃 𝑥 𝑎 23 Diagramas típicos TE I Aula 2 p 11 Carga uniformemente distribuída A carga distribuída q é constante 𝑞 𝑥 𝑞 Por consequência o diagrama de força cortante será uma função de x grau 1 𝑉 𝑥 𝑞𝐿 2 𝑞𝑥 O diagrama de momento será uma função de x grau 2 𝑀 𝑥 𝑞𝐿 2 𝑥 𝑞 2 𝑥2 23 Diagramas típicos TE I Aula 2 p 12 Carga distribuída em formato triangular A carga distribuída p é uma função de x grau 1 𝑝 𝑥 𝑝𝑥 𝐿 O diagrama de força cortante será uma função de x grau 2 𝑉 𝑥 𝑝𝑙 6 𝑝𝑥 𝐿 𝑥 2 O diagrama de momento será uma função de x grau 3 𝑀 𝑥 𝑝𝑙 6 𝑥 𝑝𝑥2 2𝐿 𝑥 3 23 Diagramas típicos TE I Aula 2 p 13 Momento concentrado A carga distribuída é nula 𝑞 0 O diagrama de força cortante será constante 𝑉 𝑥 𝑀 𝐿 O diagrama de momento será uma função de x e haverá um salto no ponto de aplicação do momento concentrado 𝑀1 𝑥 𝑀 𝐿 𝑥 e 𝑀2 𝑥 𝑀 𝐿 𝑥 𝑀 24 Tipos de vigas TE I Aula 2 p 14 Vigas biapoiadas Vigas engastadas 24 Tipos de vigas TE I Aula 2 p 15 Vigas biapoiadas com balanço Vigas Gerber 24 Tipos de vigas TE I Aula 2 p 16 Vigas inclinadas 25 Exemplos TE I Aula 2 p 17 Exemplo 1 Determine os diagramas de esforços internos para a viga biapoiada 25 Exemplos TE I Aula 2 p 18 Exemplo 2 Determine os diagramas de esforços internos para a viga engastada 25 Exemplos TE I Aula 2 p 19 Exemplo 3 Determine os diagramas de esforços internos para a viga biapoiada 25 Exemplos TE I Aula 2 p 20 Exemplo 4 Determine os diagramas de esforços internos para a viga com balanço 25 Exemplos TE I Aula 2 p 21 Exemplo 5 Determine os diagramas de esforços internos para a viga com balanços 25 Exemplos TE I Aula 2 p 22 Exemplo 6 Determine os diagramas de esforços internos para a viga Gerber 25 Exemplos TE I Aula 2 p 23 Exemplo 7 Determine os diagramas de esforços internos para a viga Gerber 25 Exemplos TE I Aula 2 p 24 Exemplo 8 Determine os diagramas de esforços internos para a viga inclinada Considerar a distância de aplicação da carga distribuída como 8 m 25 Exemplos TE I Aula 2 p 25 Exemplo 9 Determine os diagramas de esforços internos para a viga inclinada Referências KASSIMALI A Análise Estrutural Tradução da 5º Edição Norte Americana 1 ed São Paulo Cengage Learning 2015 SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural 6 ed Rio de Janeiro Globo 1983 v 1 MARTHA Luiz Fernando Análise de estruturas conceitos e métodos básicos 2 ed Rio de Janeiro GEN LTC 2017
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Curso de Engenharia Civil Teoria das Estruturas I Aula 2 Vigas Isostáticas Prof Dr André Felipe Ap de Mello Conteúdo da aula 21 Convenção de sinais 22 Relações 23 Diagramas típicos 24 Tipos de vigas 25 Exemplos 21 Convenção de sinais TE I Aula 2 p 3 Força normal Q ou N será positiva se tracionar a seção e negativa se comprimila Força cortante S ou V será positivo no sentido para baixo quando o corte for feito considerando a parte esquerda Quando o corte for feito considerando o lado direito será positivo para cima Momento fletor M será positivo quando tiver tendência de deformar a barra com a concavidade para cima e negativo em caso contrário 22 Relações TE I Aula 2 p 4 Considerando a seguinte viga submetida a um carregamento arbitrário todos agindo em suas direções positivas Analisando o equilíbrio num elemento 𝑑𝑥 temse 𝐹𝑦 0 𝑆 𝑤 𝑑𝑥 𝑆 𝑑𝑆 0 𝑑𝑆 𝑤 𝑑𝑥 ou 𝑑𝑆 𝑑𝑥 𝑤 Intensidade de distribuição de carga nesse ponto Inclinação do diagrama da força cortante num ponto 22 Relações TE I Aula 2 p 5 Área sob a carga distribuída entre esses dois pontos Variação de cortante entre dois pontos Para determinar a variação no cortante entre os pontos A e B ao longo do elemento integrase a equação para obter 𝑆𝐵 𝑆𝐴 න 𝐴 𝐵 𝑑𝑆 න 𝐴 𝐵 𝑤 𝑑𝑥 Esta integral representa a área sob a carga distribuída entre os pontos A e B 22 Relações TE I Aula 2 p 6 Força cortante neste mesmo ponto Inclinação do diagrama de momento fletor num ponto Aplicando o equilíbrio de momento para o corpo livre 𝑑𝑥 temse 𝑀𝑎 0 𝑀 𝑤 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝑥 𝑀 𝑑𝑀 0 𝑑𝑀 𝑆 𝑑𝑥 ou 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑆 22 Relações TE I Aula 2 p 7 Área sob o diagrama de força cortante entre estes dois pontos Variação do momento fletor entre dois pontos Para obter a variação entre os pontos A e B integrase a equação 𝑀𝐵 𝑀𝐴 න 𝐴 𝐵 𝑑𝑀 න 𝐴 𝐵 𝑆 𝑑𝑥 Esta integral representa a área sob o diagrama de força cortante entre os pontos A e B 22 Relações TE I Aula 2 p 8 Magnitude da força concentrada Variação do cortante no ponto de aplicação de força concentrada Força concentrada Analisando agora um elemento 𝑑𝑥 que é submetido a uma força P 𝐹𝑦 0 𝑆 𝑃 𝑆 𝑑𝑆 0 𝑑𝑆 𝑃 22 Relações TE I Aula 2 p 9 Magnitude do momento concentrado Variação do momento fletor no ponto de aplicação momento concentrado Momento concentrado Analisando agora um elemento dx que é submetido a um momento ഥ 𝑀 𝑀𝑎 0 𝑀 ഥ 𝑀 𝑀 𝑑𝑀 0 𝑑𝑀 ഥ 𝑀 23 Diagramas típicos TE I Aula 2 p 10 Carga concentrada A carga distribuída é nula 𝑞 0 Por consequência o diagrama de força cortante terá trechos constantes com saltos nos pontos das reações e das forças 𝑉1 𝑃𝑏 𝐿 e 𝑉2 𝑃𝑏 𝐿 𝑃 O diagrama de momento será uma função de x 𝑀1 𝑃𝑏 𝐿 𝑥 e 𝑀2 𝑃𝑏 𝐿 𝑥 𝑃 𝑥 𝑎 23 Diagramas típicos TE I Aula 2 p 11 Carga uniformemente distribuída A carga distribuída q é constante 𝑞 𝑥 𝑞 Por consequência o diagrama de força cortante será uma função de x grau 1 𝑉 𝑥 𝑞𝐿 2 𝑞𝑥 O diagrama de momento será uma função de x grau 2 𝑀 𝑥 𝑞𝐿 2 𝑥 𝑞 2 𝑥2 23 Diagramas típicos TE I Aula 2 p 12 Carga distribuída em formato triangular A carga distribuída p é uma função de x grau 1 𝑝 𝑥 𝑝𝑥 𝐿 O diagrama de força cortante será uma função de x grau 2 𝑉 𝑥 𝑝𝑙 6 𝑝𝑥 𝐿 𝑥 2 O diagrama de momento será uma função de x grau 3 𝑀 𝑥 𝑝𝑙 6 𝑥 𝑝𝑥2 2𝐿 𝑥 3 23 Diagramas típicos TE I Aula 2 p 13 Momento concentrado A carga distribuída é nula 𝑞 0 O diagrama de força cortante será constante 𝑉 𝑥 𝑀 𝐿 O diagrama de momento será uma função de x e haverá um salto no ponto de aplicação do momento concentrado 𝑀1 𝑥 𝑀 𝐿 𝑥 e 𝑀2 𝑥 𝑀 𝐿 𝑥 𝑀 24 Tipos de vigas TE I Aula 2 p 14 Vigas biapoiadas Vigas engastadas 24 Tipos de vigas TE I Aula 2 p 15 Vigas biapoiadas com balanço Vigas Gerber 24 Tipos de vigas TE I Aula 2 p 16 Vigas inclinadas 25 Exemplos TE I Aula 2 p 17 Exemplo 1 Determine os diagramas de esforços internos para a viga biapoiada 25 Exemplos TE I Aula 2 p 18 Exemplo 2 Determine os diagramas de esforços internos para a viga engastada 25 Exemplos TE I Aula 2 p 19 Exemplo 3 Determine os diagramas de esforços internos para a viga biapoiada 25 Exemplos TE I Aula 2 p 20 Exemplo 4 Determine os diagramas de esforços internos para a viga com balanço 25 Exemplos TE I Aula 2 p 21 Exemplo 5 Determine os diagramas de esforços internos para a viga com balanços 25 Exemplos TE I Aula 2 p 22 Exemplo 6 Determine os diagramas de esforços internos para a viga Gerber 25 Exemplos TE I Aula 2 p 23 Exemplo 7 Determine os diagramas de esforços internos para a viga Gerber 25 Exemplos TE I Aula 2 p 24 Exemplo 8 Determine os diagramas de esforços internos para a viga inclinada Considerar a distância de aplicação da carga distribuída como 8 m 25 Exemplos TE I Aula 2 p 25 Exemplo 9 Determine os diagramas de esforços internos para a viga inclinada Referências KASSIMALI A Análise Estrutural Tradução da 5º Edição Norte Americana 1 ed São Paulo Cengage Learning 2015 SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural 6 ed Rio de Janeiro Globo 1983 v 1 MARTHA Luiz Fernando Análise de estruturas conceitos e métodos básicos 2 ed Rio de Janeiro GEN LTC 2017