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Engenharia Mecânica ·
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Dinâmica de Corpos Rígidos Professor Rafael Avanço de Birigui Conteúdo programático Cinemática do movimento plano 2D de corpos rígidos translação e rotação em torno de um eixo fixo Movimento plano geral análise do movimento absoluto e relativo centro instantâneo de rotação sistema de eixos em rotação DinâmicaCinética do movimento plano 2D de corpos rígidos forca e aceleração trabalho e energia impulso e quantidade de movimento Cinemática e DinâmicaCinética do movimento tridimensional 3D de corpos rígidos Vibrações mecânicas introdução ao estudo Referências 1 BEER FP JOHNSTON Jr ER MAZUREK DF EISENBERG ER Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9a ed São Paulo McGrawHill Grupo A 2012 776p 2 HIBBELER RC Dinâmica mecânica para engenharia 12a ed São Paulo Pearson Prentice Hall Grupo PEARSON 2011 608p 3 MERIAM JL KRAIGELG Mecânica para engenharia dinâmica 6a ed São Paulo Ed LTC Grupo GEN 2009 510p Dinâmica de uma partícula Enigma A 3ª Lei de Newton trata da ação e reação Por exemplo quando se abre uma gaveta a força com que você puxa a gaveta é a mesma com que a gaveta puxa você Se realmente é assim como é possível conseguir abrir a gaveta que estava inicialmente em repouso Significado de corpo rígido Em mecânica clássica um corpo rígido é definido como um conjunto finito de N partículas de massas mi e posições ri i1N tal que a distância entre duas partículas i e j rirj é constante no tempo Em outras palavras um corpo rígido é uma nuvem de partículas cuja distância entre elas não muda no tempo Coordenadas xy em Translação Rotação em torno de um ponto fixo v ω r Movimento geral Velocidade relativa drB drA drBA drBdt drAdt drBAdt Aqui sim a EQUAÇÃO CERTA EXEMPLO 168 Num dado instante o colar C mostrado na Figura 1615a está descendo com uma velocidade de 2 ms Determine as velocidades angulares de CB e AB nesse instante Solução SOLUÇÃO I ANÁLISE VETORIAL Diagrama cinemático O movimento para baixo de C faz com que B se desloque para a direita ao longo de uma trajetória curva Da mesma forma CB e AB giram no sentido antihorário Equação de velocidade Barra de ligação CB movimento plano geral ver Figura 1615b SOLUÇÃO II ANÁLISE ESCALAR As equações das componentes escalares de vB vC vBC podem ser obtidas diretamente O diagrama cinemático na Figura 1615c mostra o movimento circular relativo que produz vBC Temos vB vC vBC vB 2 ms ωCB022 m 45 Decompondo estes vetores nas direções x e y resulta em vB 0 ωCB022 cos 45 0 2 ωCB022 sen 45 que é o mesmo que as equações 1 e 2 NOTA Visto que a barra de ligação AB gira em torno de um eixo fixo e vB é conhecido 2 ms ωAB Análise do movimento absoluto Através do uso de coordenadas espaciais e os devidos vínculos podese determinar posição velocidade e aceleração Exemplo 163 A extremidade da barra R mostrada na Figura 167 mantém contato com o came através de uma mola Se o came gira em torno de um eixo passando pelo ponto O com uma aceleração angular α e uma velocidade angular ω determine a velocidade e aceleração da barra quando o came está na posição arbitrária θ SOLUÇÃO Equação da coordenada de posição As coordenadas θ e x são escolhidas a fim de relacionar o movimento de rotação do segmento de linha OA no came com a translação retilínea da barra Essas coordenadas são medidas a partir do ponto fixo O e podem ser relacionadas uma com a outra utilizando trigonometria Visto que OC CB r cos θ Figura 167 então x 2r cos θ Derivadas temporais Utilizando a regra da cadeia de cálculo temos dxdt 2rsen θdθdt v 2ωsen θ dvdt 2rdωdtsen θ 2rωcos θdθdt a 2rαsen θ ω²cos θ NOTA Os sinais negativos indicam que v e a são opostos à direção positiva de x Isto parece razoável quando você visualiza o movimento CENTRO INSTANTANEO DE VELOCIDAD Centro Instantâneo de velocidade nula Localização do CI conhecendose vA e vB CI rACI rBCI rCCI vA ω rACI vB ω rBCI vC ω rCCI Exemplo 1610 Mostre como determinar a localização do centro instantâneo de velocidade nula para a o membro BC mostrado na Figura 1620a e b a barra de ligação CB mostrada na Figura 1620c Análise do Movimento relativo Aceleração Trajetória do ponto A aA ω Trajetória do ponto B Movimentação plano geral II Translação Rotação em torno do ponto base A aB aA α rBA ω²rBA Exemplo 1614 A barra AB mostrada na Figura 1627a está confinada a se deslocar ao longo dos planos inclinados em A e B Se o ponto A tem uma aceleração de 3 ms² e uma velocidade de 2 ms ambas direcionadas para baixo do plano no instante que a barra está na horizontal determine a aceleração angular da barra nesse instante SOLUÇÃO I ANÁLISE VETORIAL Aplicaremos a equação da aceleração aos pontos A e B na barra Para fazer isso é necessário primeiro determinar a velocidade angular da barra Mostre que ela é ω 0283 rads utilizando ou a equação da velocidade ou o método dos centros instantâneos Diagrama cinemático Visto que ambos os pontos A e B se deslocam ao longo de trajetórias de linha reta eles não têm componentes da aceleração normais às trajetórias Há duas incógnitas na Figura 1627b nominalmente aB e α Equação de aceleração aB aA α rBA ω²rBA aB cos 45i aB sen 45j 3 cos 45i 3 sen 45j αk 10i ω²10i Realizar o produto vetorial e equacionar as componentes i e j resulta em aB cos 45 3 cos 45 0283²10 aB sen 45 3 sen 45 α10 Resolvendo temos aB 187 ms² 45 α 0344 rads² Exemplo 1617 O anel C na Figura 1630a se desloca para baixo com uma aceleração de 1 ms² No instante mostrado ele tem uma velocidade de 2 ms que dá aos membros CB e AB uma velocidade angular ωAB ωCB 10 rads ver Exemplo 168 Determine as acelerações angulares de CB e AB nesse instante aC 1 ms² vC 2 ms ωCB 10 rads ωAB 10 rads Solução SOLUÇÃO ANÁLISE VETORIAL Diagrama cinemático Os diagramas cinemáticos dos segmentos AB e CB são mostrados na Figura 1630b Para resolver vamos aplicar a equação cinemática apropriada a cada segmento Equação de aceleração Segmento AB rotação em torno de um eixo fixo aB αAB rB ω²ABrB aB αABk 02j 10²02j aB 02αABi 20j Observe que aB tem componentes n e t visto que ele se desloca ao longo de uma trajetória circular aB aC aCB rBC ω²CB rBC Exemplo 1618 A manivela AB gira com uma aceleração angular no sentido horário de 20 rads² Figura 1631a Determine a aceleração do pistão no instante que AB está na posição mostrada Nesse instante ωAB 10 rads e ωBC 243 rads Ver Exemplo 1613 Segemento BC movimento plano geral utilizando o resultado de aB e aplicando a Equação 1618 temos SOLUÇÃO ANÁLISE VETORIAL Diagrama cinemático Os diagramas cinemáticos para ambas as barras AB e BC estão mostrados na Figura 1631b Aqui aC é vertical visto que C se desloca ao longo de uma trajetória em linha reta Equação de aceleração Expressando cada um dos vetores posição na forma de um vetor cartesiano rB 025 sen 45i 025 cos 45j m 0177i 0177j m rCB 075 sen 136i 075 cos 136j m 0177i 0729j m Manivela AB rotação em torno de um eixo fixo aB αAB rB ω²ABrB 20k 0177i 0177j 10²0177i 0177j 2121i 1414j ms² Barra de conexão BC movimento plano geral Utilizando o resultado de aB e observando que aC está na direção vertical temos aCj 2121i 1414j αBCk 0177i 0729j 243²0177i 0729j aCj 2121i 1414j 0177αBCj 0729αBCi 104i 430j Resolvendo resulta em αBC 277 rads² aC 135 ms² Bônus Massa Variável Exemplo 1518 A massa inicial combinada de um foguete e seu combustível é m0 Uma massa total mf de combustível é consumida a uma taxa constante dmdt c e expelida a uma velocidade constante u em relação ao foguete Determine a velocidade máxima do foguete ou seja no instante em que o combustível acaba Despreze a variação do peso do foguete com a altitude e a resistência ao arrasto do ar O foguete é lançado verticalmente partindo do repouso Design de Fogetes Análise do movimento relativo usando sistemas de eixos em rotação drBAdt ddtxB i yB j dxBdt i dyBdt j yB djdt dxBdt i dyBdt j xB didt djdt drBAdt vBAxyz Omega imes xB i yB j vBAxyz Omega imes rBA aB aA dotOmega imes rBA Omega imes Omega imes rBA 2 Omega imes vBAxyz aBAxyz aB aceleração absoluta de B iguais aA aceleração absoluta da origem do sistema x y z mais dotOmega imes rBA efeito de aceleração angular causado pela rotação do sistema x y z mais Omega imes Omega imes rBA efeito de velocidade angular causado pela rotação do sistema x y z mais 2Omega imes vBAxyz efeito combinado de B deslocandose em relação às coordenadas x y z e da rotação do sistema x y z mais aBAxyz aceleração de B em relação a A movimento de B observado a partir do sistema X Y Z movimento do sistema x y z observado a partir do sistema X Y Z Exemplo 1619 No instante heta 60º a barra na Figura 1633 tem uma velocidade angular de 3 rads e uma aceleração de 2 rads² No mesmo instante o anel C se desloca para fora ao longo da barra de tal maneira que quando x 02 m a velocidade é 2 ms e a aceleração é 3 ms² ambas medidas em relação à barra Determine a aceleração de Coriolis e a velocidade e aceleração do anel nesse instante Movimento da referência móvel Este vetor é mostrado tracejado na Figura 1633 Se desejado ele pode ser decomposto em componentes I J atuando ao longo dos eixos X e Y respectivamente A velocidade e aceleração do anel são determinadas substituindose os dados nas equações 1 e 2 e avaliando os produtos vetoriais o que resulta em
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Dinâmica de Corpos Rígidos Professor Rafael Avanço de Birigui Conteúdo programático Cinemática do movimento plano 2D de corpos rígidos translação e rotação em torno de um eixo fixo Movimento plano geral análise do movimento absoluto e relativo centro instantâneo de rotação sistema de eixos em rotação DinâmicaCinética do movimento plano 2D de corpos rígidos forca e aceleração trabalho e energia impulso e quantidade de movimento Cinemática e DinâmicaCinética do movimento tridimensional 3D de corpos rígidos Vibrações mecânicas introdução ao estudo Referências 1 BEER FP JOHNSTON Jr ER MAZUREK DF EISENBERG ER Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9a ed São Paulo McGrawHill Grupo A 2012 776p 2 HIBBELER RC Dinâmica mecânica para engenharia 12a ed São Paulo Pearson Prentice Hall Grupo PEARSON 2011 608p 3 MERIAM JL KRAIGELG Mecânica para engenharia dinâmica 6a ed São Paulo Ed LTC Grupo GEN 2009 510p Dinâmica de uma partícula Enigma A 3ª Lei de Newton trata da ação e reação Por exemplo quando se abre uma gaveta a força com que você puxa a gaveta é a mesma com que a gaveta puxa você Se realmente é assim como é possível conseguir abrir a gaveta que estava inicialmente em repouso Significado de corpo rígido Em mecânica clássica um corpo rígido é definido como um conjunto finito de N partículas de massas mi e posições ri i1N tal que a distância entre duas partículas i e j rirj é constante no tempo Em outras palavras um corpo rígido é uma nuvem de partículas cuja distância entre elas não muda no tempo Coordenadas xy em Translação Rotação em torno de um ponto fixo v ω r Movimento geral Velocidade relativa drB drA drBA drBdt drAdt drBAdt Aqui sim a EQUAÇÃO CERTA EXEMPLO 168 Num dado instante o colar C mostrado na Figura 1615a está descendo com uma velocidade de 2 ms Determine as velocidades angulares de CB e AB nesse instante Solução SOLUÇÃO I ANÁLISE VETORIAL Diagrama cinemático O movimento para baixo de C faz com que B se desloque para a direita ao longo de uma trajetória curva Da mesma forma CB e AB giram no sentido antihorário Equação de velocidade Barra de ligação CB movimento plano geral ver Figura 1615b SOLUÇÃO II ANÁLISE ESCALAR As equações das componentes escalares de vB vC vBC podem ser obtidas diretamente O diagrama cinemático na Figura 1615c mostra o movimento circular relativo que produz vBC Temos vB vC vBC vB 2 ms ωCB022 m 45 Decompondo estes vetores nas direções x e y resulta em vB 0 ωCB022 cos 45 0 2 ωCB022 sen 45 que é o mesmo que as equações 1 e 2 NOTA Visto que a barra de ligação AB gira em torno de um eixo fixo e vB é conhecido 2 ms ωAB Análise do movimento absoluto Através do uso de coordenadas espaciais e os devidos vínculos podese determinar posição velocidade e aceleração Exemplo 163 A extremidade da barra R mostrada na Figura 167 mantém contato com o came através de uma mola Se o came gira em torno de um eixo passando pelo ponto O com uma aceleração angular α e uma velocidade angular ω determine a velocidade e aceleração da barra quando o came está na posição arbitrária θ SOLUÇÃO Equação da coordenada de posição As coordenadas θ e x são escolhidas a fim de relacionar o movimento de rotação do segmento de linha OA no came com a translação retilínea da barra Essas coordenadas são medidas a partir do ponto fixo O e podem ser relacionadas uma com a outra utilizando trigonometria Visto que OC CB r cos θ Figura 167 então x 2r cos θ Derivadas temporais Utilizando a regra da cadeia de cálculo temos dxdt 2rsen θdθdt v 2ωsen θ dvdt 2rdωdtsen θ 2rωcos θdθdt a 2rαsen θ ω²cos θ NOTA Os sinais negativos indicam que v e a são opostos à direção positiva de x Isto parece razoável quando você visualiza o movimento CENTRO INSTANTANEO DE VELOCIDAD Centro Instantâneo de velocidade nula Localização do CI conhecendose vA e vB CI rACI rBCI rCCI vA ω rACI vB ω rBCI vC ω rCCI Exemplo 1610 Mostre como determinar a localização do centro instantâneo de velocidade nula para a o membro BC mostrado na Figura 1620a e b a barra de ligação CB mostrada na Figura 1620c Análise do Movimento relativo Aceleração Trajetória do ponto A aA ω Trajetória do ponto B Movimentação plano geral II Translação Rotação em torno do ponto base A aB aA α rBA ω²rBA Exemplo 1614 A barra AB mostrada na Figura 1627a está confinada a se deslocar ao longo dos planos inclinados em A e B Se o ponto A tem uma aceleração de 3 ms² e uma velocidade de 2 ms ambas direcionadas para baixo do plano no instante que a barra está na horizontal determine a aceleração angular da barra nesse instante SOLUÇÃO I ANÁLISE VETORIAL Aplicaremos a equação da aceleração aos pontos A e B na barra Para fazer isso é necessário primeiro determinar a velocidade angular da barra Mostre que ela é ω 0283 rads utilizando ou a equação da velocidade ou o método dos centros instantâneos Diagrama cinemático Visto que ambos os pontos A e B se deslocam ao longo de trajetórias de linha reta eles não têm componentes da aceleração normais às trajetórias Há duas incógnitas na Figura 1627b nominalmente aB e α Equação de aceleração aB aA α rBA ω²rBA aB cos 45i aB sen 45j 3 cos 45i 3 sen 45j αk 10i ω²10i Realizar o produto vetorial e equacionar as componentes i e j resulta em aB cos 45 3 cos 45 0283²10 aB sen 45 3 sen 45 α10 Resolvendo temos aB 187 ms² 45 α 0344 rads² Exemplo 1617 O anel C na Figura 1630a se desloca para baixo com uma aceleração de 1 ms² No instante mostrado ele tem uma velocidade de 2 ms que dá aos membros CB e AB uma velocidade angular ωAB ωCB 10 rads ver Exemplo 168 Determine as acelerações angulares de CB e AB nesse instante aC 1 ms² vC 2 ms ωCB 10 rads ωAB 10 rads Solução SOLUÇÃO ANÁLISE VETORIAL Diagrama cinemático Os diagramas cinemáticos dos segmentos AB e CB são mostrados na Figura 1630b Para resolver vamos aplicar a equação cinemática apropriada a cada segmento Equação de aceleração Segmento AB rotação em torno de um eixo fixo aB αAB rB ω²ABrB aB αABk 02j 10²02j aB 02αABi 20j Observe que aB tem componentes n e t visto que ele se desloca ao longo de uma trajetória circular aB aC aCB rBC ω²CB rBC Exemplo 1618 A manivela AB gira com uma aceleração angular no sentido horário de 20 rads² Figura 1631a Determine a aceleração do pistão no instante que AB está na posição mostrada Nesse instante ωAB 10 rads e ωBC 243 rads Ver Exemplo 1613 Segemento BC movimento plano geral utilizando o resultado de aB e aplicando a Equação 1618 temos SOLUÇÃO ANÁLISE VETORIAL Diagrama cinemático Os diagramas cinemáticos para ambas as barras AB e BC estão mostrados na Figura 1631b Aqui aC é vertical visto que C se desloca ao longo de uma trajetória em linha reta Equação de aceleração Expressando cada um dos vetores posição na forma de um vetor cartesiano rB 025 sen 45i 025 cos 45j m 0177i 0177j m rCB 075 sen 136i 075 cos 136j m 0177i 0729j m Manivela AB rotação em torno de um eixo fixo aB αAB rB ω²ABrB 20k 0177i 0177j 10²0177i 0177j 2121i 1414j ms² Barra de conexão BC movimento plano geral Utilizando o resultado de aB e observando que aC está na direção vertical temos aCj 2121i 1414j αBCk 0177i 0729j 243²0177i 0729j aCj 2121i 1414j 0177αBCj 0729αBCi 104i 430j Resolvendo resulta em αBC 277 rads² aC 135 ms² Bônus Massa Variável Exemplo 1518 A massa inicial combinada de um foguete e seu combustível é m0 Uma massa total mf de combustível é consumida a uma taxa constante dmdt c e expelida a uma velocidade constante u em relação ao foguete Determine a velocidade máxima do foguete ou seja no instante em que o combustível acaba Despreze a variação do peso do foguete com a altitude e a resistência ao arrasto do ar O foguete é lançado verticalmente partindo do repouso Design de Fogetes Análise do movimento relativo usando sistemas de eixos em rotação drBAdt ddtxB i yB j dxBdt i dyBdt j yB djdt dxBdt i dyBdt j xB didt djdt drBAdt vBAxyz Omega imes xB i yB j vBAxyz Omega imes rBA aB aA dotOmega imes rBA Omega imes Omega imes rBA 2 Omega imes vBAxyz aBAxyz aB aceleração absoluta de B iguais aA aceleração absoluta da origem do sistema x y z mais dotOmega imes rBA efeito de aceleração angular causado pela rotação do sistema x y z mais Omega imes Omega imes rBA efeito de velocidade angular causado pela rotação do sistema x y z mais 2Omega imes vBAxyz efeito combinado de B deslocandose em relação às coordenadas x y z e da rotação do sistema x y z mais aBAxyz aceleração de B em relação a A movimento de B observado a partir do sistema X Y Z movimento do sistema x y z observado a partir do sistema X Y Z Exemplo 1619 No instante heta 60º a barra na Figura 1633 tem uma velocidade angular de 3 rads e uma aceleração de 2 rads² No mesmo instante o anel C se desloca para fora ao longo da barra de tal maneira que quando x 02 m a velocidade é 2 ms e a aceleração é 3 ms² ambas medidas em relação à barra Determine a aceleração de Coriolis e a velocidade e aceleração do anel nesse instante Movimento da referência móvel Este vetor é mostrado tracejado na Figura 1633 Se desejado ele pode ser decomposto em componentes I J atuando ao longo dos eixos X e Y respectivamente A velocidade e aceleração do anel são determinadas substituindose os dados nas equações 1 e 2 e avaliando os produtos vetoriais o que resulta em