·
Matemática Aplicada ·
Cálculo 4
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EXERCÍCIOS 134 1 Prove que a série n0 1ⁿχ²ⁿ 2n representa cos x para todos os valores de x 2 Prove que a série n0 x²ⁿ 1 2n 1 representa senh x para todos os valores de x 3 Prove que a série n0 x²ⁿ 2n representa cosh x para todos os valores de x 4 Obtenha a série de Maclaurin para a função coseno derivando a série de Maclaurin para a função seno Também obtenha a série de Maclaurin para a função seno derivando a série da função coseno 5 Obtenha a série de Maclaurin para a função seno hiperbólico derivando a série de Maclaurin para a função coseno hiperbólico Também derive a série de Maclaurin para a função seno hiperbólico de modo a obter a série da função coseno hiperbólico 6 Ache a série de Taylor para eˣ em 3 usando a série de Maclaurin para eˣ Nos Exercícios de 7 a 14 ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada 7 fxy 3x² 2y³ 8 fxy 2x⁴ 5x²y² 4y⁴ 9 fxy tg¹ x²y 10 fxy yeˣ xeʸ 11 fxyz 2x³ 3x²y xy² 4y³ 12 fxyz x² y² z² EXERCÍCIOS 133 Nos Exercícios de 1 a 4 ache a representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência 1 ₀ˣ eᵗ dt 2 ₀ˣ dt t² 4 3 ₂ˣ dt 4 t 4 ₀ˣ ln1t dt Nos Exercícios de 5 a 8 calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral dada por dois métodos a use o segundo teorema fundamental do Cálculo b use o resultado do exercício indicado 5 ₀¹ eᵗ dt Exercício 1 6 ₀¹ dt t² 4 Exercício 2 7 ₂³ dt 4t Exercício 3 8 ₀ ¹₃ ln1t dt Exercício 4 Nos Exercícios de 9 a 12 ache a série de potências que representa a integral dada e determine o seu raio de convergência 9 ₀ˣ ft dt onde ft eᵗ 1t se t 0 1 se t 0 10 ₀ˣ ft dt onde ft ln1tt se t 0 1 se t 0 11 ₀ˣ ht dt onde ht senh t t se t 0 1 se t 0 12 ₀ˣ gt dt onde gt tg¹ t t se t 0 1 se t 0 Nos Exercícios de 13 a 16 calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral definida obtida quando substituimos x pelo número dado no exercício indicado 13 x 1 Exercício 9 14 x ½ Exercício 10 15 x 1 Exercício 11 16 x ¼ Exercício 12 Nos Exercícios de 17 a 24 calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral dada usando séries 17 ₀¹₂ dx 1 x³ 18 ₀¹₂ eˣ³ dx 19 ₀¹ eˣ² dx 20 ₀¹₃ dx 1 x⁴ 21 ₀¹₂ tg¹ x² dx 22 ₀¹₂ cosh x² dx 23 ₀¹ x senh x dx 24 ₀¹ gx dx onde gx cosh x 1x se x 0 0 se x 0 13 fxyz x2ye4z 14 fxyz z senx2 y Nos Exercícios de 15 a 20 determine se o campo vetorial dado é conservativo 15 Fxy 3x2 2y2i 3 4xyj 16 Fxy exey 6e2xi exey 2eyj 17 Fxy y cosx yi x senx yj 18 Fxyz 3x2 2yzi 2xz 6yzj 2xy 3y2 2zk 19 Fxyz 2ye2x ezi 3ze3y e2xj xez e3yk 20 Fxyz y sec2 xi tg x z sec2 yj x sec z tg zk Nos Exercícios de 21 a 32 prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial 21 Fxy yi xj 22 Fxy xi yj 23 Fxy ex sen yi ex cos yj 24 Fxy sen y senh x cos y cosh xi cos y cosh x sen y senh xj 25 Fxy 2xy2 y3i 2x2y 3xy2 2j 26 Fxy 3x2 2y y2 exi 2x 2yexj 27 Fxyz x2 yi x 3zj z 3yk 28 Fxyz yzi xzj xyk 29 Fxyz zex eyi xey ezj yez exk 30 Fxyz tg y 2xy sec zi x sec2 y x2 sec zj sec zx2 y tg z sec zk 192 INTEGRAIS DE LINHA Exercícios 133 1 Sabemos que et Σ tn n para todo t Logo o raio de convergência é R Substituindo et na integral 0 to x et dt 0 to x Σ tn n dt Σ 0 to x tn n dt Σ xn1 n1 3 Temos 2 to x dt 4 t Primeiramente façamos t u 2 dt du Logo 2 to x dt4t 0 to x2 du 2u 12 0 to x2 du1 u2 Mas sabemos que 11 u2 Σ u2n Série geométrica Portanto 2 to x dtt4 12 0 to x2 du1u2 12 Σ n0 to 0 to x2 u2n du 12 Σ n0 to un1n12n 0 to x2 2 to x dtt4 12 Σ n0 to x2n1 n12n 12 Σ n1 to x2n n2n Para calcularmos o raio de convergência R lim n cn cn1 lim n n12n1 n2n lim n 2n1n 2 5 a 0 to 1 et dt et 0 to 1 e 1 2718 1 1718 b Utilizando o exercício 1 com x 1 temos 0 to 1 et dt Σ n0 to 1m1 Σ n0 to 1n1 1 12 16 124 1120 1720 1718 7 a 2 to 3 dt4t ln4t 2 to 3 ln1 ln2 ln2 0693 b Usando o exercício 3 com x 3 2 to 3 dt4t Σ n1 to 1n2 2n 12 18 124 164 1160 1384 1806 12048 0693 9 Queremos calcular 0x bt dt com bx ex 1x x 0 1 x0 Mas expandindo bt n0 tn n 1 t t 0 1 t0 Podemos eliminar t do denominador se começarmos a soma em n1 bt 1 n1 tn n 1 t t 0 1 t0 Logo bt n1 tn1n t 0 1 t0 n1 tn1n para todo t ou seja βn Logo 0x bt dt n1 0x tn1n dt n1 xn nn 11 Queremos expandir 0x ht dt com ht sinh t t t 0 1 t0 Mas ht n0 t2n1 2n1 t t 0 1 t0 Logo ht n0 t2n 2n1 t 0 1 t0 n0 t2n 2n1 Essa série vale para todo t de modo que β Por fim 0x ht dt n0 0x t2n 2n1 dt n0 x2n1 2n12n1 Exercício 134 1 Vamos usar o teorema 1341 do livro texto Precisamos mostrar que limn Rnx limn bn1ξn xn1 n1 0 Como bx cos x bn1ξn será senξn cosξn senξn ou cosξn Em todos os casos bn1ξn 1 de modo que 0 Rn xn1 n1 Mas limn xn1 n1 0 como foi mostrado na equação 15 da seção 1341 do livro Então pelo teorema do confronto limn Rnx 0 Logo a série representa a função para todo x Agora vamos mostrar que essa é a série bx n0 bn0 xn n Se bx cos x cos x cos0 sen0 x cos0 x22 sen0 x33 cos0 x44 cos x 1 x22 x44 x66 n0 1n x2n 2n 3 Novamente vamos partir de bx n0 bn0 xn n Logo coshx cosh0 sinh0 x cosh0 x22 sinh0 x33 como cosh0 1 e sinh0 0 coshx 1 x2 2 x4 4 n0 x2n 2n Agora vamos verificar se limn Rnx limn bn1ξn xn1 n1 0 com bx coshx Como fn1εₙ será sinhεₙ ou coshεₙ então fn1εₙ cosh x pois 0 εₙ x Logo 0 Rₙ cosh x xn1n1 e novamente como lim n xn1n1 0 pelo teorema do confronto lim n Rₙ 0 e a série representa a função para todo x 5 Como vimos acima coshx n0 x2n 2n Mas sinhx ddx coshx n0 ddx x2n2n n1 2n x2n12n sinhx n1 x2n12n1 Resscrevendo a série para começar em n0 sinhx n0 x2n12n1 Agora coshx ddx sinhx Logo coshx n0 ddx x2n12n1 n0 2n1 x2n2n1 n0 x2n2n Exercícios 191 7 fxy 3x² 2y³ Queremos encontrar Fxy tal que f F Ou seja F fx î fy ĵ Como fx 6x e fy 6y² F 6x î 6y² ĵ 9 fxy tg¹x²y Temos fx 2xyx²y² 1 e fy x²x²y² 1 Logo F fx î fy ĵ F 1x4 y² 1 2xy î x² ĵ 15 Se F é conservativo então x F 0 Como F 3x² 2y² î 3 4xy ĵ temos x F î ĵ k x y z 3x² 2y² 3 4xy 0 Calculando o determinante x F z 3 4xy î z 3x² 2y² ĵ x 3 4xy y 3x² 2y² k 4y 4y k 0 Logo F é conservativo 17 Se F y cosxy î x senxy ĵ logo x F î ĵ k x y z y cosxy x senxy 0 x F z x senxy î z y cosxy ĵ x x senxy y y cosxy k senxy x cosxy cosxy y senxy k 0 Logo F não é conservativo 21 Deja F y î x ĵ logo x F î ĵ k x y z y x 0 z y î z x ĵ x x y y k 0 Queremos fxy tal que f F Logo fx x fy y yx xy Ou seja fx y e integrando fxy y dx yx gy Mas fy x então y yx gy x gy x logo g C Portanto fxy xy C 23 Seja F ex sen y x ex cos y y Temos x F x ex cos y y ex sen y z x F ex cos y ex cos y z 0 Logo F é conservativo Agora queremos fxy tal que f F Temos fx ex sen y e integrando fxy ex sen y dx fxy ex sen y gy Mas fy ex cos y ou seja y ex sen y gy ex cos y gy ex cos y Logo g C Então fxy ex sen y C
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EXERCÍCIOS 134 1 Prove que a série n0 1ⁿχ²ⁿ 2n representa cos x para todos os valores de x 2 Prove que a série n0 x²ⁿ 1 2n 1 representa senh x para todos os valores de x 3 Prove que a série n0 x²ⁿ 2n representa cosh x para todos os valores de x 4 Obtenha a série de Maclaurin para a função coseno derivando a série de Maclaurin para a função seno Também obtenha a série de Maclaurin para a função seno derivando a série da função coseno 5 Obtenha a série de Maclaurin para a função seno hiperbólico derivando a série de Maclaurin para a função coseno hiperbólico Também derive a série de Maclaurin para a função seno hiperbólico de modo a obter a série da função coseno hiperbólico 6 Ache a série de Taylor para eˣ em 3 usando a série de Maclaurin para eˣ Nos Exercícios de 7 a 14 ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada 7 fxy 3x² 2y³ 8 fxy 2x⁴ 5x²y² 4y⁴ 9 fxy tg¹ x²y 10 fxy yeˣ xeʸ 11 fxyz 2x³ 3x²y xy² 4y³ 12 fxyz x² y² z² EXERCÍCIOS 133 Nos Exercícios de 1 a 4 ache a representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência 1 ₀ˣ eᵗ dt 2 ₀ˣ dt t² 4 3 ₂ˣ dt 4 t 4 ₀ˣ ln1t dt Nos Exercícios de 5 a 8 calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral dada por dois métodos a use o segundo teorema fundamental do Cálculo b use o resultado do exercício indicado 5 ₀¹ eᵗ dt Exercício 1 6 ₀¹ dt t² 4 Exercício 2 7 ₂³ dt 4t Exercício 3 8 ₀ ¹₃ ln1t dt Exercício 4 Nos Exercícios de 9 a 12 ache a série de potências que representa a integral dada e determine o seu raio de convergência 9 ₀ˣ ft dt onde ft eᵗ 1t se t 0 1 se t 0 10 ₀ˣ ft dt onde ft ln1tt se t 0 1 se t 0 11 ₀ˣ ht dt onde ht senh t t se t 0 1 se t 0 12 ₀ˣ gt dt onde gt tg¹ t t se t 0 1 se t 0 Nos Exercícios de 13 a 16 calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral definida obtida quando substituimos x pelo número dado no exercício indicado 13 x 1 Exercício 9 14 x ½ Exercício 10 15 x 1 Exercício 11 16 x ¼ Exercício 12 Nos Exercícios de 17 a 24 calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral dada usando séries 17 ₀¹₂ dx 1 x³ 18 ₀¹₂ eˣ³ dx 19 ₀¹ eˣ² dx 20 ₀¹₃ dx 1 x⁴ 21 ₀¹₂ tg¹ x² dx 22 ₀¹₂ cosh x² dx 23 ₀¹ x senh x dx 24 ₀¹ gx dx onde gx cosh x 1x se x 0 0 se x 0 13 fxyz x2ye4z 14 fxyz z senx2 y Nos Exercícios de 15 a 20 determine se o campo vetorial dado é conservativo 15 Fxy 3x2 2y2i 3 4xyj 16 Fxy exey 6e2xi exey 2eyj 17 Fxy y cosx yi x senx yj 18 Fxyz 3x2 2yzi 2xz 6yzj 2xy 3y2 2zk 19 Fxyz 2ye2x ezi 3ze3y e2xj xez e3yk 20 Fxyz y sec2 xi tg x z sec2 yj x sec z tg zk Nos Exercícios de 21 a 32 prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial 21 Fxy yi xj 22 Fxy xi yj 23 Fxy ex sen yi ex cos yj 24 Fxy sen y senh x cos y cosh xi cos y cosh x sen y senh xj 25 Fxy 2xy2 y3i 2x2y 3xy2 2j 26 Fxy 3x2 2y y2 exi 2x 2yexj 27 Fxyz x2 yi x 3zj z 3yk 28 Fxyz yzi xzj xyk 29 Fxyz zex eyi xey ezj yez exk 30 Fxyz tg y 2xy sec zi x sec2 y x2 sec zj sec zx2 y tg z sec zk 192 INTEGRAIS DE LINHA Exercícios 133 1 Sabemos que et Σ tn n para todo t Logo o raio de convergência é R Substituindo et na integral 0 to x et dt 0 to x Σ tn n dt Σ 0 to x tn n dt Σ xn1 n1 3 Temos 2 to x dt 4 t Primeiramente façamos t u 2 dt du Logo 2 to x dt4t 0 to x2 du 2u 12 0 to x2 du1 u2 Mas sabemos que 11 u2 Σ u2n Série geométrica Portanto 2 to x dtt4 12 0 to x2 du1u2 12 Σ n0 to 0 to x2 u2n du 12 Σ n0 to un1n12n 0 to x2 2 to x dtt4 12 Σ n0 to x2n1 n12n 12 Σ n1 to x2n n2n Para calcularmos o raio de convergência R lim n cn cn1 lim n n12n1 n2n lim n 2n1n 2 5 a 0 to 1 et dt et 0 to 1 e 1 2718 1 1718 b Utilizando o exercício 1 com x 1 temos 0 to 1 et dt Σ n0 to 1m1 Σ n0 to 1n1 1 12 16 124 1120 1720 1718 7 a 2 to 3 dt4t ln4t 2 to 3 ln1 ln2 ln2 0693 b Usando o exercício 3 com x 3 2 to 3 dt4t Σ n1 to 1n2 2n 12 18 124 164 1160 1384 1806 12048 0693 9 Queremos calcular 0x bt dt com bx ex 1x x 0 1 x0 Mas expandindo bt n0 tn n 1 t t 0 1 t0 Podemos eliminar t do denominador se começarmos a soma em n1 bt 1 n1 tn n 1 t t 0 1 t0 Logo bt n1 tn1n t 0 1 t0 n1 tn1n para todo t ou seja βn Logo 0x bt dt n1 0x tn1n dt n1 xn nn 11 Queremos expandir 0x ht dt com ht sinh t t t 0 1 t0 Mas ht n0 t2n1 2n1 t t 0 1 t0 Logo ht n0 t2n 2n1 t 0 1 t0 n0 t2n 2n1 Essa série vale para todo t de modo que β Por fim 0x ht dt n0 0x t2n 2n1 dt n0 x2n1 2n12n1 Exercício 134 1 Vamos usar o teorema 1341 do livro texto Precisamos mostrar que limn Rnx limn bn1ξn xn1 n1 0 Como bx cos x bn1ξn será senξn cosξn senξn ou cosξn Em todos os casos bn1ξn 1 de modo que 0 Rn xn1 n1 Mas limn xn1 n1 0 como foi mostrado na equação 15 da seção 1341 do livro Então pelo teorema do confronto limn Rnx 0 Logo a série representa a função para todo x Agora vamos mostrar que essa é a série bx n0 bn0 xn n Se bx cos x cos x cos0 sen0 x cos0 x22 sen0 x33 cos0 x44 cos x 1 x22 x44 x66 n0 1n x2n 2n 3 Novamente vamos partir de bx n0 bn0 xn n Logo coshx cosh0 sinh0 x cosh0 x22 sinh0 x33 como cosh0 1 e sinh0 0 coshx 1 x2 2 x4 4 n0 x2n 2n Agora vamos verificar se limn Rnx limn bn1ξn xn1 n1 0 com bx coshx Como fn1εₙ será sinhεₙ ou coshεₙ então fn1εₙ cosh x pois 0 εₙ x Logo 0 Rₙ cosh x xn1n1 e novamente como lim n xn1n1 0 pelo teorema do confronto lim n Rₙ 0 e a série representa a função para todo x 5 Como vimos acima coshx n0 x2n 2n Mas sinhx ddx coshx n0 ddx x2n2n n1 2n x2n12n sinhx n1 x2n12n1 Resscrevendo a série para começar em n0 sinhx n0 x2n12n1 Agora coshx ddx sinhx Logo coshx n0 ddx x2n12n1 n0 2n1 x2n2n1 n0 x2n2n Exercícios 191 7 fxy 3x² 2y³ Queremos encontrar Fxy tal que f F Ou seja F fx î fy ĵ Como fx 6x e fy 6y² F 6x î 6y² ĵ 9 fxy tg¹x²y Temos fx 2xyx²y² 1 e fy x²x²y² 1 Logo F fx î fy ĵ F 1x4 y² 1 2xy î x² ĵ 15 Se F é conservativo então x F 0 Como F 3x² 2y² î 3 4xy ĵ temos x F î ĵ k x y z 3x² 2y² 3 4xy 0 Calculando o determinante x F z 3 4xy î z 3x² 2y² ĵ x 3 4xy y 3x² 2y² k 4y 4y k 0 Logo F é conservativo 17 Se F y cosxy î x senxy ĵ logo x F î ĵ k x y z y cosxy x senxy 0 x F z x senxy î z y cosxy ĵ x x senxy y y cosxy k senxy x cosxy cosxy y senxy k 0 Logo F não é conservativo 21 Deja F y î x ĵ logo x F î ĵ k x y z y x 0 z y î z x ĵ x x y y k 0 Queremos fxy tal que f F Logo fx x fy y yx xy Ou seja fx y e integrando fxy y dx yx gy Mas fy x então y yx gy x gy x logo g C Portanto fxy xy C 23 Seja F ex sen y x ex cos y y Temos x F x ex cos y y ex sen y z x F ex cos y ex cos y z 0 Logo F é conservativo Agora queremos fxy tal que f F Temos fx ex sen y e integrando fxy ex sen y dx fxy ex sen y gy Mas fy ex cos y ou seja y ex sen y gy ex cos y gy ex cos y Logo g C Então fxy ex sen y C