Testes de Hipóteses e Erros de Tipo na Indústria de Parafusos

121 Introdução 122 Um Exemplo Capítulo 12 Testes de Hipóteses 122 UM EXEMPLO 33 pais produziu tais parafusos O edital do leiloeiro afirma que pouco antes do leilao sera divulgada a resisténcia média de uma amostra de 25 parafusos do lote Qual regra de decisaéo deve ser usada pela industria para dizer se os parafusos sao do pais A ou B Uma resposta que ocorre imediatamente é a que considera como pais produtor aquele para o qual a média da amostra mais se aproximar da média da populacao Assim uma possivel regra de decisao seria Se X 150 0 ponto médio entre 145 e 155 diremos que os parafusos sao do pais A caso contrario isto 6 x 150 sao do pais B Na Figura 121 ilustramos essa regra de decisao Figura 121 Regra de decisdo para o Exemplo 121 A B a 145 150 155 x Suponha que no dia do leilao f6ssemos informados de que x 148 de acordo com nossa regra de decisao diriamos que os parafusos sao de origem A Podemos estar enganados nessa conclusao Ou em outras palavras é possivel que uma amostra de 25 parafusos de origem B apresente média x 148 Sim é possivel Entao para melhor entendermos a regra de decisao adotada é interessante estudarmos os tipos de elros que podemos cometer e as respectivas probabilidades Podemos cometer dois tipos de erros e vamos numeralos para facilitar a linguagem Erro de tipo I dizer que os parafusos sao de A quando na realidade sao de B Isso ocorre quando uma amostra de 25 parafusos de B apresenta média x inferior ou igual a 150 kg Erro de tipo II dizer que os parafusos sao de B quando na realidade eles sao de A Isso ocorre quando uma amostra de 25 parafusos de A apresenta média x superior a 150 kg Para facilitar ainda mais vamos definir duas hipdteses também numeradas H os parafusos sao de origem B Isso equivale a dizer que a resisténcia X de cada parafuso segue uma distribuicao com média yz 155 e desvio padrao o 20 H os parafusos sao de A isto 6 a média ys 145 e o desvio padrao o 12 Finalmente vamos indicar por RC a regiao correspondente aos valores menores que 150 ou seja RC y IRly 150 Com as notacées indicadas acima a probabilidade de se cometer cada um dos erros pode ser escrita Perro I PX E RCIH é verdadeira o 332 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES e Perro Il PX RCIH é verdadeira B Quando H for verdadeira isto é os parafusos forem de B sabemos do TLC que X tera distribuicdo aproximadamente normal com média 155 e desvio padrao igual a 20V25 4 isto é X N15516 Denotando por Z a va com distribuicéo M0 1 temos Perro I PX RCHé verdadeira PX 150X N15516 z 150 155 4 PZ 125 010565 1056 a De modo analogo quando H for a alternativa verdadeira teremos que a va Xé tal que aproximadamente X N145 576 Teremos entao Perro Il PX RCIH é verdadeira PX 150X N145 576 PZ 150 145 PZ 208 001876 188 B Observando esses dois resultados notamos que com a regra de decisao adotada estaremos cometendo o erro de tipo I com maior probabilidade do que o erro de tipo II De certo modo essa regra de decisao privilegia a afirmacao de que os parafusos sao de A No Quadro 121 ilustramos as conseqiiéncias que podem advir da regra de decisao adotada Quadro 121 Resumo do teste Ay w 155 A w 145 com RC J 150 Parafusos aS SB B 188 Erro tipo I S o 1056 em erro Desse quadro podemos notar que se os parafusos forem realmente de B segunda linha e a amostra tiver média superior a 150 segunda coluna diremos que sao de B 122 UM EXEMPLO 333 e nao cometeremos erro algum Por outro lado se a média x for inferior a 150 primei ra coluna devemos dizer que sdo de A e estaremos cometendo um erro cuja probabi lidade nesse caso é de 1056 De modo analogo teremos uma interpretacao para o caso de os parafusos serem realmente de A primeira linha Para cada regra de decisao adotada isto é se escolhermos um valor x em vez de 150 no Quadro 121 apenas as probabilidades a e 8 mudarao Se x for escolhido menor que 150 notamos que a diminuira e 6 aumentara Logo deve existir um ponto em que seja igual a B ou seja uma regra de decisao em que a probabilidade de errar contra A seja a mesma que errar contra B Mostre que esse ponto é x 14875 e nesse caso B 594 Do exposto acima constatamos que escolhido um valor de x podemos achar as probabilidades a e 6B de cometer cada tipo de erro Mas também podemos proceder de modo inverso fixar um dos erros digamos a e encontrar a regra de decisdo que ira corresponder a probabilidade de erro de tipo I igual a a Por exemplo fixemos a em 5 e vejamos qual a regra de decisao correspondente Temos 5 Plerro I PX xX N15516 PZ 1645 mas da transformacao para a normal padrao sabemos que xX 155 1645 4 ou seja x 14842 Entao a regra de decisao sera Sex for inferior a 14842 dizemos que o lote é de A caso contrario dizemos que é de B Com essa regra a probabilidade do erro de tipo II sera B Plerro I PX 14842X 145 576 PZ 1425 793 Veja a ilustracao na Figura 122 Figura 122 llustragdo dos erros de tipo e Il para o Exemplo 121 A B 12005 YB 00793 u145 14842 w 155 x RC 334 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES Esse segundo tipo de procedimento é bastante utilizado porque usualmente a de cisdo que devemos tomar nao é apenas entre duas possiveis populacées Os parafusos poderiam ser produzidos por outros paises além daqueles citados e portanto com outras caracteristicas quanto a resisténcia média Suponha ainda que interessa a in dustria fazer uma proposta apenas no caso de o parafuso ser de origem B Qual a regra de decisao que deve adotar A hip6étese que nos interessa agora é H os parafusos sao de origem B u 155 e o 20 Caso essa nado seja a hipotese verdadeira a alternativa é muito mais ampla e pode ser expressa como H os parafusos nao sao de origem B u e o desconhecidos Aqui nao podemos especificar os parametros sob a hipotese alternativa H pois se nao forem de origem B os parafusos podem ser de varios outros paises cada um com suas proprias especificacdes Alguns paises podem ter técnicas mais sofisticadas de producao e portanto produzir com resisténcia média superior a 155 Outros como no exemplo dado com resisténcia menor A especificacao da hipotese alternativa depende muito do grau de informacao que se tem do problema Por exemplo vamos admitir que a industria do pais B para esse caso seja a mais desenvolvida e nenhum outro pais possa produzir uma resistén cia média superior a dela Entao nossa hipotese alternativa seria mais explicita H os parafusos nao sao de origem B uu 155 e o qualquer Isso significa que s6 iremos desconfiar de H se for muito menor do que 155 Ou seja a nossa regra de decisao devera ser semelhante a vista anteriormente Como os parametros sob a hipotese alternativa s4o muitos a melhor solucao para construir a regra de decisao é fixar a a probabilidade do erro de tipo I rejeitar H quando ela for verdadeira Se fixarmos novamente 05 e nesse caso a regra de decisdo depende apenas das informacoes de H a regra de decisao sera a mesma anterior Se X for superior a 14842 diremos que o lote é de origem B caso contrario diremos que nao é de origem B Com essa regra de decisdo e com a hipotese alternativa mais ampla nao podemos encontrar pois nado temos um Unico parametro u como alternativa e nada sabemos sobre o Entao nao podemos controlar o erro de tipo II As implicacdes dessa regra de decisaéo estao resumidas na Figura 123 e no Quadro 122 Figura 123 Teste H w 155 vs A wu 155 com RC 14842 yo yo 7 B 7 7 7 1s Se 5 14842 w 155 x ds RC 122 UM EXEMPLO 335 Quadro 122 Resumo do teste H 155 H 155 com RC 14842 Origem Real B Brotipoa 5 Semen Podemos reescrever as hip6teses nessa situacao da seguinte maneira Ay w 155 AL Ww 155 O calculo de B depende do valor de wu que nao é especificado Mas podemos considerar a seguinte e importante funcao Definicao A fungao caracteristica de operacao funcao CO do teste acima é definida como Bw Placeitar Hu PX 148421 Ou seja Bu é a probabilidade de aceitar H considerada como uma funcao de LU Usualmente considerase a funcao zu 1 Bu que é a probabilidade de se rejeitar H como funcao de yw Essa funcao é chamada fundo poder do teste e sera estudada abaixo com certo detalhe Nesses casos consideramos que o é 0 mesmo para todos os valores de wU Admitamos agora que nao exista razao alguma para acreditarmos que a resisténcia média dos parafusos de B seja maior ou menor do que a de outros paises Isso ira nos levar a duvidar que os parafusos nao sao de B se a média observada for muito maior ou muito menor do que 155 Esta situacao corresponde 4 seguinte hipotese alternativa H os parafusos nao sao de origem B u 155 Aqui a regra de decisao devera indicar dois pontos x e X tais que Se x estiver entre X eX diremos que os parafusos sdo de origem B se x estiver fora do intervalo diremos que nao sao de origem B Fixado a a probabilidade do erro I existirao muitos valores que satisfazem a essa condicao Daremos preferéncia aquelas solucées x e X simétricas em relacdo a mé dia Veja a Figura 124 Voltando ao nosso problema e fixado em 5 temos 005 Plerro I PX X ou X X X N15516 PZ 196 ou Z 196 e daqui encontramos 196 x 1554 xX 14716 e 196 x 1554 x 16284 336 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES Figura 124 Teste H 155 vs H uw 155 yO N SN os ve 7 a2 fy N iw é oO é a SS Xe 155 Xe x RC RC Portanto nesse caso a regido de rejeicao da hipotese H é veja o Quadro 123 RC x IR x 14716 ou x 16284 Do apresentado nesta secdo vemos que dependendo do grau de informacao que se tem do problema podemos ter regras de decisao unilaterais ou bilaterais Na secao seguinte iremos dar os passos para a construcao de um teste de hipotese Quadro 123 Resumo do teste H f 155 H uw 155 com RC 14716 U 16284 Origem Real sai arafusos SS it MST Y 1 Para decidirmos se os habitantes de uma ilha sGo descendentes da civilizagdo A ou B iremos proceder do seguinte modo i selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha e determinamos a altura média deles ii se essa altura média for superior a 176 diremos que sGo descendentes de B caso contrario sao descendentes de A Os pardmetros das alturas das duas civilizagdées sGo A p175e 010 Buw177e o10 Detinamos Erro de tipo I dizer que os habitantes da ilha sGo descendentes de B quan do na realidade sdo de A Erro de tipo II dizer que so de A quando na realidade sdo de B a Qual a probabilidade do erro de tipo I E do erro de tipo II 123 PROCEDIMENTO GERAL DO TESTE DE HIPOTESES 337 b Qual deve ser a regra de decisdo se quisermos fixar a probabilidade do erro de tipo Iem 5 Qual a probabilidade do erro de tipo II nesse caso c Se 65 como ficariam as respostas de b2 d Quais as probabilidades do erro de tipo II nas condicdes da questdo b se a média p 1782 E p 1802 E u 1812 Coloque num grafico os pares 1 Plerro II 11 2 Fazendo o teste H 1150 o 150 contra H w 1200 o 200 e n 100 estabeleceuse a seguinte regido critica RC 1170 a Qual a probabilidade a de rejeitar H quando verdadeira b Qual a probabilidade B de aceitar H quando H é verdadeira c Qual deve ser a regido critica para que a Be 3 Nas situagées abaixo escolha como hipétese nula H aquela que para vocé leva a um erro de tipo I mais importante Descreva quais os dois erros em cada caso a O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas Quando surge alguma coisa estranha na tela ele deve decidir entre as hipdteses 1 esta comecando um ataque 2 tudo bem apenas uma leve interferéncia b Num juri um individuo est sendo julgado por um crime As hipdteses sujeitas ao jUri sdo 1 0 acusado é inocente 2 0 acusado é culpado c Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado Ele iré conduzir uma pesquisa de laboratério para veriticar a veracidade da afirmacdo De acordo com o resultado ele langard ou néo a vacina no mercado As hipdteses que pode testar sGo 1 a vacina é eficaz 2 a vacina nao é eficaz 4 Se ao lancarmos trés vezes uma moeda aparecerem 3 coroas decidimos rejeitar a hipd tese de que a moeda é honesta Quais as probabilidades de erro de tipo I e erro de tipo II se p 232 5 Avaridvel X custo de manutencdo de um tear pode ser considerada como tendo distribui Go normal de média Le desvio padrao 20 unidades Os valores possiveis de i podem ser 200 ou 210 Para veriticar qual dos dois valores é 0 mais provdvel usarseG uma amostra de 25 teares Defina a Uma hipdtese a ser testada b Uma regra de decisdo e encontre as probabilidades dos erros de tipo le II 123 Procedimento Geral do Teste de Hipoteses A construcao de um teste de hip6teses para um parametro populacional pode ser colocada do seguinte modo Existe uma variavel X associada a dada populacao e temse uma hipotese sobre determinado parametro dessa populacao Por exemplo afirmamos 338 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES que o verdadeiro valor de 6 é 6 Colhese uma amostra aleatoria de elementos dessa populacao e com ela desejase comprovar ou nao tal hipotese Como ja vimos anteriormente iniciamos nossa andlise explicitando claramente qual a hip6tese que estamos colocando a prova e a chamamos de ipotese nula e escrevemos H 0 6 Em seguida convém explicitar também a hip6tese que sera considerada aceitavel caso H seja rejeitada A essa hipdtese chamamos de hipotese alternativa e a sua caracterizacao estatistica ira depender do grau de conhecimento que se tem do proble ma estudado A alternativa mais geral seria H 0 6 Poderiamos ainda ter alternativas da forma H 0 ou HH 0 6 dependendo das informacées que o problema traz Qualquer que seja a decisao tomada vimos que estamos sujeitos a cometer erros Para facilitar a linguagem introduzimos as definicées Erro de tipo fF rejeitar a hipotese nula quando essa é verdadeira Chamamos de a a probabilidade de cometer esse erro isto é a Perro do tipo I Ptejeitar HH é verdadeira Erro de tipo IT nao rejeitar H quando H é falsa A probabilidade de cometer esse erro é denotada por logo B Perro do tipo II Pnao rejeitar HH é falsa O objetivo do teste de hipéteses é dizer usando uma estatistica 0 se a hipétese H é ou nao aceitavel Operacionalmente essa decisdo é tomada através da conside racao de uma regiao critica RC Caso o valor observado da estatistica pertenca a essa regiao rejeitamos H caso contrario nao rejeitamos H Esta regiao é construida de modo que P RCIH é verdadeira seja igual a a fixado a priori RC recebe o nome de regiao critica ou regido de rejeicao do teste Um fato importante a ressaltar é que a regiao critica 6 sempre construida sob a hipétese de H ser verdadeira A determinacao do valor de B ja é mais dificil pois usualmente nao especificamos valores fixos para o parametro sob a hipotese alternativa Mais adiante trataremos dessa situacgdo ao considerarmos o poder de um teste A probabilidade de se cometer um erro de tipo I ou de primeira espécie é um valor arbitrario e recebe 0 nome de nivel de significancia do teste O resultado da amos tra é tanto mais significante para rejeitar H quanto menor for esse nivel a Ou seja quanto menor for menor é a probabilidade de se obter uma amostra com estatistica pertencen te a regiao critica sendo pouco verossimil a obtencao de uma amostra da populacao para a qual H seja verdadeira Usualmente o valor de é fixado em 5 1 ou 01 125 TESTES SOBRE A MEDIA DE UMA POPULACAO COM VARIANCIA CONHECIDA 339 A fixacao do valor de a envolve uma questionavel arbitrariedade Neste sentido ha um modo alternativo de se proceder que sera considerado na secao 128 124 Passos para a Construcdo de um Teste de Hipoteses Vimos nas secoes anteriores 0 procedimento que se deve usar para realizar um teste de hipdteses Daremos abaixo uma seqiiéncia que pode ser usada sistematica mente para qualquer teste de hipoteses Passo 1 Fixe qual a hipotese H a ser testada e qual a hipotese alternativa H Passo 2 Use a teoria estatistica e as informacées disponiveis para decidir qual estatistica estimador sera usada para testar a hipdtese H Obter as propriedades dessa estatistica distribuicao média desvio padrao Passo 3 Fixe a probabilidade de cometer o erro de tipo I e use este valor para construir a regiao critica regra de decisao Lembre que essa regiao é construida para a estatistica definida no passo 2 usando os valores do parametro hipotetizados por H Passo 4 Use as observacées da amostra para calcular o valor da estatistica do teste Passo 5 Se o valor da estatistica calculado com os dados da amostra nao pertencer a regiao critica nao rejeite H caso contrario rejeite H Procuraremos sempre que fizermos teste de hipoteses distinguir bem esses cinco passos Finalmente um comentario sobre H e 0 erro de tipo I Devemos tomar como H aquela hipotese que rejeitada conduza a um erro de tipo I mais importante de evitar Vejamos um exemplo devido a Neyman 1978 Suponha um experimento para se deter minar se um produto A é ou nao cancerigeno Apos realizado o teste podemos concluir i A é cancerigeno ou ii A nao é cancerigeno Cada uma dessas conclusées pode estar errada e temos os dois tipos de erro ja mencionados dependendo de qual hipotese seja H Do ponto de vista do usuario do produto a hipdtese a ser testada deve ser A A cancerigeno pois a probabilidade de erro na rejeicao dessa hipotese se ela for verdadeira deve ser um valor muito pequeno Outros exemplos estao contidos no Problema 3 125 Testes sobre a Média de uma Populacao com Varidncia Conhecida Vejamos agora uma aplicacao dos cinco passos definidos na secao anterior para testar a hip6tese de que a média de uma populacao py seja igual a um numero fixado LU supondose a variancia o dessa populacao conhecida Exemplo 122 Uma maquina automatica para encher pacotes de café encheos segundo uma distribuicao normal com média ju e variancia sempre igual a 400 g A maquina foi regulada para ut 500 g Desejamos periodicamente colher uma amostra de 16 pacotes e 340 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES verificar se a producao esta sob controle isto é se 4 500 g ou nao Se uma dessas amostras apresentasse uma média x 492 g vocé pararia ou nao a producao para regular a maquina Vejamos como testar essa hipotese Passo 1 Indiquemos por X o peso de cada pacote entao X Mu 400 E as hipéteses que nos interessam sao H 1 500 g H u 500 g pois a maquina pode desregular para mais ou para menos Passo 2 Pela afirmacao do problema o 400 sera sempre a mesma logo para todo a média X de 16 pacotes tera distribuicdo Mu 40016 de modo que o desvio padrao ou erro padrao de X é o 5 Em particular se H for verdadeira X M50025 Passo 3 Vamos fixar a 1 pela hipdtese alternativa vemos que H deve ser rejeita da quando X for muito pequena ou muito grande dizemos que temos um teste bilate ral Portanto nossa regiao critica sera como a da Figura 125 Figura 125 Regido critica para o teste H 500 vs H 500 do Exemplo 122 02 05 o2 05 dt Xe 500 Xe x Da tabela da curva normal padronizada obtemos que Z 258 X 5005 x 4871 Z 298 x 5005 x 5129 Seguese que a regido critica é RC x RX 4871 ou 5129 Passo 4 A informacao pertinente da amostra é sua média que nesse caso particular é x 492 Passo 5 Como x nao pertence a regiao critica nossa conclusao sera nao rejeitar H Ou seja o desvio da média da amostra para a média proposta por H pode ser conside rado como devido apenas ao sorteio aleatorio dos pacotes A situacdo analisada nao é muito realista conhecer a variancia da populacao O caso mais geral de média e variancia desconhecidas sera tratado na secao 1210 126 TESTE PARA PROPORCAO 34 MST 6 Sabese que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuicado normal com desvio padrdo 2 kg A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resol veu que retiraria o produto da linha de produgdo se a média de consumo per capita fosse menor que 8 kg Caso contrdrio continuaria a fabricdélo Foi realizada uma pesquisa de mercado tomandose uma amostra de 25 individuos e verificouse que X 180 kg onde X representa o consumo mensal do iésimo individuo da amostra a Construa um teste de hipdtese adequado utilizando a 005 e com base na amostra colhida determine a decisdo a ser tomada pela diretoria b Qual a probabilidade B de se tomar uma decisGo errada se na realidade a média populacional for u 78 kg c Sea diretoria tivesse fixado 001 a decisGo seria a mesma Justifique sua resposta d Se o desvio da populagao fosse 4 kg qual seria a decisdo com 005 Justitique sua resposta 7 Aassociagéo dos proprietdrios de industrias metalurgicas estd muito preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho cuja média nos Ultimos tempos tem sido da ordem de 60 horashomem por ano e desvio padrao de 20 horashomem Tentouse um programa de prevencdo de acidentes apds o qual foi tomada uma amostra de nove industrias e medido o numero de horashomens perdidas por acidente que foi de 50 horas Vocé diria no nivel de 5 que hd evidéncia de melhoria 8 O saldrio médio dos empregados das indUstrias siderUrgicas de um pais é de 25 saldrios minimos com um desvio padrao de 05 saldrios minimos Uma industria é escolhida ao acaso e desta é escolhida uma amostra de 49 empregados resultando um saldrio médio de 23 saldrios minimos Podemos afirmar que esta industria paga saldrios inferiores 4 média nacional com o nivel de 5 9 Uma companhia de cigarros anuncia que o indice médio de nicotina dos cigarros que fabrica apresentase abaixo de 23 mg por cigarro Um laboratério realiza 6 andlises desse indice obtendo 27 24 21 25 26 22 Sabese que o indice de nicotina se distribui normalmente com varidncia igual a 486 mg Podese aceitar no nivel de 10 a atirmagdo do fabricante 126 Teste para Proporcao Vamos usar os passos descritos na secdo 124 para mostrar a construcao do teste para proporcoes Passo 1 Temos uma populacao e uma hipotese sobre a proporcao p de individuos por tadores de certa caracteristica Esta hipotese afirma que essa proporcao é igual a certo valor p Entao Hi Pp Py O problema fornece informacées sobre a alternativa que pode ter uma das trés formas abaixo 342 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES i H p p teste bilateral ii H p p teste unilateral a direita e iii H p p teste unilateral 4 esquerda Passo 2 Como vimos na secao 109 a estatistica p a proporcao amostral tem uma distribuicao aproximadamente normal a saber 1 p p Mp ah Passo 3 Fixado um valor de a devemos construir a regiao critica para p sob a suposi cao de que o parametro definido por H seja o verdadeiro Ou seja podemos escrever 1 p D Np Po 7 Po e conseqiientemente teremos a regiao critica da Figura 126 supondo a alternativa i acima sendo que d Z1 a2 V p1 pne Zp o pquantil da normal padrao O quarto e quinto passos irao depender da amostra e 0 procedimento esta descrito no exemplo seguinte Figura 126 Regido critica para o teste H p p vS H p p Exemplo 123 Uma estacao de televisao afirma que 60 dos televisores estavam ligados no seu programa especial da ultima segundafeira Uma rede competidora deseja contestar essa afirmacao e decide usar uma amosira de 200 familias para um teste Qual deve ser o procedimento adotado para avaliar a veracidade da afirmacao da estacao No passo 4 a seguir daremos o resultado da amostra pois é importante ficar claro que esse resultado nao deve influenciar a escolha da alternativa Passo 1 Vamos colocar a prova a afirmacao da estacao isto 6 H p 060 Sabemos que se essa hipotese nao for verdadeira esperase uma proporcao menor nunca maior A estacao divulgaria o maximo possivel Isso nos leva a hipotese alternativa H p 060 126 TESTE PARA PROPORCAO 343 Passo 2 A estatistica a ser usada é f a proporcao de 200 familias que assistiram ao programa na ultima segundafeira e da teoria sabemos que 7 4 Pap Pe eP 200 Passo 3 Fixaremos a 005 e sob a suposicao que H seja verdadeira Pp N060 024200 o que ira fornecer a regiao critica veja a Figura 127 RC pe Rip 0544 Figura 127 Regido critica para o teste H p 060 vs H p 060 do Exemplo 123 0544 P De fato devemos achar o valor p tal que P p 005 e usando a aproxima cao normal acima teremos p 060 PZ L 005 V 024200 o que implica 060 1 645 V024200 o valor 1645 sendo obtido da normal padronizada Seguese que p 0544 correspondendo a regiao critica acima Passo 4 Admitamos que da pesquisa feita com as 200 familias obtivemos 104 pessoas que estavam assistindo ao programa A proporcao da amostra sera p 104200 052 Passo 5 Do resultado do passo anterior vemos que 052 RC portanto somos leva dos a rejeitar H Isto é ha evidéncias que a audiéncia do programa de segundafeira nao foi de 60 e sim inferior a esse numero 344 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES ae TT i 10 Uma pessoa gabase de adivinhar qual seré 0 resultado do lance de uma moeda mas é preciso que os presentes ndo o perturbem com pensamentos duvidosos Para testar tal capacidade langouse uma moeda perteita 6 vezes e o adivinhador acertou 5 Qual seria sua conclusdo 11 O consumidor de um certo produto acusou o fabricante dizendo que mais de 20 das unidades fabricadas apresentam deteito Para contirmar sua acusagdo ele usou uma amostra de tamanho 50 onde 27 das pecas eram defeituosas Mostre como o fabrican te poderia refutar a acusagao Utilize um nivel de signiticdncia de 10 12 Um fabricante garante que 90 dos equipamentos que fornece a uma fdbrica estGo de acordo com as especificacgdes exigidas O exame de uma amostra de 200 pecas desse equi pamento revelou 25 defeituosas Teste a atirmativa do fabricante nos niveis de 5 e 1 13 Os produtores de um programa de televisdGo pretendem moditicdlo se for assistido regular mente por menos de um quarto dos possuidores de televisao Uma pesquisa encomendada a uma empresa especializada mostrou que de 400 familias entrevistadas 80 assistem ao programa regularmente Com base nos dados qual deve ser a decisGo dos produtores 127 Poder de um Teste Vimos que na construcao de um teste de hipdteses procuramos controlar o erro de tipo I fixando sua probabilidade de ocorréncia a e construindo a regiao critica de modo que PRCH verdadeira o Ou seja admitindo que H seja verdadeira estamos admitindo conhecidos os parametros que definem a distribuicdo da estatistica usada no teste Por outro lado a probabilidade do erro do tipo II na maioria dos casos nao pode ser calculada pois a hipotese alternativa usualmente especifica um conjunto de valo res para 0 parametro Voltemos ao exemplo da secao anterior Exemplo 122 continuacao No exemplo da maquina de encher pacotes de café a va X que descrevia 0 peso de cada pacote tinha uma distribuicao normal com média u e variancia 400 de modo que a média amostral X N500 25 sob a hipotese H Esse fato foi utilizado para determinar a regiao critica RC x JR x 4871 ou x 5129 e nossa regra de decisdo para verificar se a maquina estava ou nao produzindo sob controle foi Se x RA a maquina esta sob controle se x RC nao esta onde RA é a regiao de aceitacao do teste isto é o complementar de RC em relacao a IR e portanto dada no nosso caso por RA x R4871 x 5129 A probabilidade do erro de tipo II nao pode ser calculada a menos que se especifique um valor alternativo para uu Seguese que a funcao caracteristica de operacao do teste é dada por Bu Placeitar Hu PX RA P4871 X 5129 127 PODER DE UM TESTE 345 Por exemplo se a maquina se desregular para fi 505 teremos B505 PX RAy 505 P358 Z 158 9428 usando o fato que agora Y M505 25 Lembrese de que supomos que o 400 sempre Para qualquer outro valor do parametro 41 podemos encontrar o respectivo valor de B para a regra de decisao adotada No Quadro 124 temos as decisdes que podemos tomar e suas respectivas implicacoes Quadro 124 DecisGes possiveis para o teste H 4 500 versus H u 500 Decisao te a maquina esta PRA H B PRA H 099 depende de valor sob controle u 500 alternativo de a maquina nao esta PRC H 1 B sob controle 1 500 PRC H 001 depende de valor alternativo de UW Observe por exemplo que 1 8500 Prejeitar Hu 500 a 001 A quantidade 1 Bu é usualmente chamada de poder ou poténcia do teste e é a probabilidade de rejeitar a hipdtese H dado um valor qualquer de uu especificado ou nao pela hipotese alternativa e sera denotado por zu No nosso exemplo ul Prejeitar Hu PX 4871 ou X 5129u Na Tabela 121 temos alguns valores de Bu e de zu para diferentes valores de Ll e na Figura 128 a representacao grafica da determinacao dessa probabilidade Ob serve que quanto maior for a distancia entre o valor fixado em Hu 500 e o valor atribuido para a hipotese alternativa maior sera a probabilidade de tomar a decisao correta Na Figura 129 temos o grafico de 2u para os valores de u da Tabela 121 Tabela 121 Valores de Buu e 2u usando a regra de decisGio RC x IR x 4871 ov 5129 Verdadeiro valor de u tu em Blu em y y TU em 2 em 7 A esquerda de 500 A direita de 500 n n 00 500 10 990 498 502 17 983 495 505 57 943 492 508 164 836 490 510 281 719 487 513 490 510 A85 515 663 347 A80 520 921 79 475 525 992 08 346 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES Figura 128 Determinacdo do poder para o teste do Exemplo 122 a1 05 05 4871 500 5129 Figura 129 Curva de poder para o Exemplo 122 1B17 mH 502 62819 ee J 1B 281 ai X 7 ae jas i 16 510 A 1B 663 50 40 3 515 10 oy j 1p57 480 490 500 510 520 495 1B 49 487 As seguintes propriedades de zu sao facilmente verificadas i a m 1 ii 72500 a iii 2 decresce para jl 500 isto é dzdu 0 para pt 500 e zm cresce para pt 500 isto é dzdu 0 para uw 500 Vemos que 711 indica a probabilidade de uma decisao correta para as diversas alternativas do parametro e pode ser usada para decidir entre dois testes para uma mesma hipotese Exemplo 124 Se no Exemplo 122 a amostra colhida fosse de 100 pacotes em vez de 16 e mantivéssemos 0 mesmo nivel de significancia a 1 a nova regiao critica seria RC x Rx 4948 ou x 5052 Construindo a funcao poder para esse teste obtemos a curva tracejada na Figura 129 Verifique essas afirmacées Observando as duas curvas na Figura 129 notamos que para todos os valores sob a hipotese alternativa a probabilidade de uma decisao correta é maior para amostras de 127 PODER DE UM TESTE 347 tamanho 100 do que de tamanho 16 Dizemos nesse caso que 0 teste baseado em amostras de tamanho 100 é mais poderoso do que o teste baseado em amostras de tama nho 16 Esse fato esta de acordo com a intuicao de que um teste com amostras maiores deve levar a melhores resultados De modo geral se quisermos testar H 0 6 H 0 6 e determinada a RC do teste baseada na estatistica 0 podemos dar a seguinte defi nicao geral Definicao A funcao poder ou poténcia do teste de H contra H é definida por 0 P RCI6 ou seja é a probabilidade de rejeitar a hipotese nula como funcao de 8 O grafico dessa funcao é semelhante aqueles da Figura 129 e 20 tem as proprie dades iiii acima substituindo 500 por 6 Se tivermos hipoteses alternativas unilaterais da forma H 0 ou H 6 6 obteremos os graficos da Figura 1210 Figura 1210 Curvas de poder para alternativas unilaterais 8 8 ded 8 6 8 8 H 89 H 30 Q Nos exemplos anteriores fixamos 0 tamanho da amostra 7 e o nivel de significancia o Suponha que queiramos determinar o tamanho da amostra e os limites da RC para alcancarmos dado poder para determinado valor do parametro No Exemplo 122 po deriamos por exemplo fixar 7510 080 e 7500 005 0 nivel de significancia Dados esses valores podemos determinar n e a RC Veja o Problema 33 348 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES MnP 14 Suponha que estejamos testando H p05 contra H p 05 e que para uma amostra de tamanho n 10 decidimos pela regido critica RC 0 1 2 8 9 10 a Determine o nivel de significdncia b Calcule o poder do teste para p 02 04 06 08 Faga um gratico do poder como fungdo de p c Qual o poder do teste para p 05 15 Sendo Xo custo de manutencdo de um tear sabese que X Mu 400 Para testar a hipdtese H 200 contra a alternativa A 200 sera usada uma amostra de 25 teares a Fixandose 5 encontre a correspondente RC b Atribuindose valores arbitrdrios para LU esboce a funcdo poder do teste c Para que valores de 10 poder serd maior do que 50 128 Valorp O método de construcao de um teste de hipdteses descrito nas secdes anteriores parte da fixacao do nivel de significancia a Podese argumentar que esse procedi mento pode levar a rejeicao da hipétese nula para um valor de e a naorejeicao para um valor menor Outra maneira de proceder consiste em apresentar a probabilidade de significancia ou nivel descritivo ou ainda valorp do teste Os passos sao muito pare cidos aos ja apresentados a principal diferenca esta em nao construir a regiao critica O que se faz é indicar a probabilidade de ocorrer valores da estatistica mais extremos do que o observado sob a hipdtese de H ser verdadeira Exemplo 125 Voltemos ao Exemplo 123 onde Ai p 060 Como vimos admitindo essa hipotese verdadeira p MO060 024200 Colhida a amostra obtivemos f 104200 052 Portanto podemos calcular qual a probabilida de de ocorrerem valores de p mais desfavoraveis para H do que esse E evidente que quanto menor for maior sera a evidéncia contra H p 060 Assim calculemos Pp 052 p 060 PZ 200052 060 V 024 PZ 230 001 1 Esse resultado mostra que se a audiéncia do programa fosse de 60 realmente a probabilidade de encontrarmos uma amostra de 200 familias com 52 ou menos de audiéncia é de 1 Isso sugere que ou estamos diante de uma amosira rara de ocorrer 1 em 100 ou entao a hipotese formulada nao é aceitavel Nesse caso somos levados a essa segunda opcao ou seja os dados da amostra sugerem que a hipdtese H deve ser rejeitada 128 VALORP 349 O procedimento esta ilustrado na Figura 1211 O valorp do teste sera 001 Figura 1211 Determinagdo do valorp para o Exemplo 125 1 a 052 060 P Exemplo 126 Um antibiotico A traz em sua bula a seguinte citacao Nas broncopneumonias a acao antiinflamatoria de A é colocada em evidéncia pelo estudo dos parametros ventilatorios em duplocego contra placebo Durante o tratamento com A podese observar uma melhora significativa em relacao ao placebo da capacidade vital p 005 e 0 VEMSp 0001 e do débito respirat6rio maximo p 0001 Esse exemplo ilustra 0 uso cada vez mais difundido em muitas areas aplicadas do conceito de valorp As afirmacgées do tipo p 005 acima referemse a esse conceito Vale a pena comentar um pouco sobre estudos duplocego menciona dos acima Nesse tipo de estudo um numero n de individuos é dividido em dois grupos de tamanhos aproximadamente iguais a selecao dos individuos que vao per tencer a cada grupo é aleatoria Os individuos de um grupo recebem o tratamento 0 antibidtico A no caso e os do outro grupo recebem placebo uma substancia indqua Os pesquisadores que acompanham o experimento nao sabem quem recebeu trata mento e quem recebeu placebo 0 mesmo acontecendo com os pacientes dai 0 nome duplocego Podemos considerar probabilidades de significancia bilaterais Um procedimento é tomar o valorp bilateral como sendo igual a duas vezes o valorp unilateral Esta pratica é razoavel quando a distribuicao da estatistica do teste sob H for simétrica Exemplo 127 Uma companhia de servicos de 6nibus intermunicipais planejou uma nova rota para servir varios locais situados entre duas cidades importantes Um estudo preliminar afirma que a duracado das viagens pode ser considerada uma va normal com média igual a 300 minutos e desvio padrao 30 minutos As dez primeiras viagens realizadas nessa nova rota apresentaram média igual a 314 minutos Esse resultado comprova ou nao o tempo médio determinado nos estudos preliminares Passo 1 Indicando por X a duracao de cada viagem e por ys ELX queremos testar Hi 300 A uw 300 350 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES Passo 2 Amostras de dez viagens terao média XN u 0710 Passo 3 Sob a hipotese de que H é verdadeira e pelo fato de o ser conhecido o 30 teremos X N300 90010 Passo 4 Como o valor observado xX 314 podemos encontrar a probabilidade de ocorrerem amostras com valores de X mais extremos do que esse PX 314 PZ 314 300 PZ 148 007 949 Como a distribuicao de XY é normal portanto simétrica tomamos 014 Nosso problema consiste em decidir se essa probabilidade corresponde ou nao a chance de ocorrer um evento raro Por ser uma probabilidade nao muito pequena podemos con cluir que nao existe muita evidéncia para rejeitar H Assim os estudos preliminares parecem estar corretos Um problema que pode ocorrer com o procedimento acima de dobrar a probabi lidade que o valor de pode ser maior do que um Por isso as vezes preferivel anunciar o valor do valorp unilateral e a direcao segundo a qual a observacao afastase de H No exemplo o resultado indica que a chance de ocorrerem amostras com mé dias iguais ou superiores a 314 é 7 que é um valor ainda nao pequeno Para outro método ver o Problema 43 Se indicarmos genericamente por 0 valorp rejeitaremos H para aqueles niveis de significancia a maiores do que No Exemplo 127 rejeitaremos H por exemplo se a 010 mas nao a rejeitaremos se a 005 ou o 001 Ou seja se o nivel descritivo for muito pequeno como o caso 001 do Exemplo 126 ha evidéncias de que a hipdtese nao seja valida Como vimos nesse exemplo a probabilidade de significancia é muitas vezes denotada por p na literatura pvalue Em nosso procedimento de testar uma hip6otese estamos usando uma escala de evidén cias sugerida por Fisher 1954 Suponha que estejamos testando H contra H e como vimos rejeitamos H se o valorp for bastante pequeno A Tabela 122 extraida de Efron e Gous 1997 ilustra a escala de Fisher contra H ou a favor de 1 Tabela 122 Escala de significdncia de Fisher evidéncia Assim um valor de 001 indica uma evidéncia forte contra a validade de H a 005 indica uma evidéncia moderada etc E interessante notar que Fisher tomou como ponto de referéncia o valor 005 valores do valorp menores do que 005 indi cam que devemos rejeitar a hipotese nula As consideragoes feitas por Fisher referiam se a testes do quiquadrado veja o Capitulo 14 129 TESTE PARA A VARIANCIA DE UMA NORMAL 35 Mee 16 Suponha que queiramos testar H 50 contra H u 50 onde pt é a média de uma normal Mu 900 Extraida uma amostra de n 36 elementos da populacdo obtemos X 52 Calcule 0 valorp do teste 17 Os novos operdrios de uma empresa sdo treinados a operarem uma mdquina cujo tempo X em horas de aprendizado é anotado Observouse que X segue de perto a distribuicdo M25 100 Uma nova técnica de ensino que deve melhorar o tempo de aprendizado foi testada em 16 novos empregados o quais apresentaram 205 horas como tempo médio de aprendizado Usando 0 valorp vocé diria que a nova técnica é melhor que a anterior 129 Teste para a VariGncia de uma Normal Um teste sobre a variancia desconhecida de uma variavel com distribuicao nor mal ira usar a distribuicao quiquadrado introduzida na secao 76 Considere a média amostral X e a variancia amostral S ambas obtidas de uma amostra de tamanho n X X de X Mu 0 A soma H H Ae te AQ tera distribuicao X nm pois cada X yo tera distribuicao M01 Logo se definirmos 1s Gi X 121 vemos que noe y Xi My y 122 tem distribuicao Xn Observe que o estimador 6 é muito parecido com o estimador 6 definido em 116 com 4 tomando o lugar de X E muito importante conhecer a distribuicao de X X para se ter a distribuicao de S que sera usada no teste desta secao Note inicialmente que X WP 4 X X WP 2 X XY 2X Ww 2 X X WX 1 e de X X 0 vem que DX WP X XY nX 123 352 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES Dividindo ambos os membros por o e reescrevendo 123 de forma conveniente teremos X wy Ss X X Val wy o o o 124 O primeiro membro da expressao 124 tem distribuicao Xn como vimos aci ma O ultimo termo de 124 tem distribuicao 771 Seria entao razoavel supor que 0 primeiro termo do segundo membro tenha distribuicao n 1 A comprovacao desse fato exige recursos fora do alcance deste livro mas podemos resumir 0 resulta do da seguinte maneira Teorema 121 Seja Z Z uma amostra aleatoria simples retirada de uma popula cao M01 Entao i Z tem distribuicio N01n ii as varidveis Z e Z Z sao independentes e iii SZ Z tem distribuicao n 1 Corolario 121 A variavel aleatoria n 1So tem distribuigao yn 1 Prova De fato 1 m wv XX fn US 2 nl Siy xyes Z 2 oO o n1 iv i1 O il bastando escrever X XO X wo X pO A expressao 124 e a propria definicao de X garantem uma propriedade muito Util a soma de duas va independentes cada uma com distribuicaéo é uma va também com distribuicao Xp Xq Xp q Voltemos ao nosso problema original Queremos testar H 0 oO H o oF Nossas suposices sao que X Mu 0 i 1 me os X sao independentes A estatistica do teste sera sob H gee MaDS yy 1 125 07 Como temos um teste bilateral a regiao critica sera da forma RC 0 XN VU 1G tal que P RCIN POK 2 X ox xX a sendo o nivel de significancia do teste fixado a priori 129 TESTE PARA A VARIANCIA DE UMA NORMAL 353 Observado o valor s da estatistica S obteremos o valor X n Vs Se RC Oo rejeitamos H caso contrario aceitamos H Exemplo 128 Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto é controlar sua variabilidade Uma maquina de encher pacotes de café esta regulada para enchélos com média de 500 g e desvio padrao de 10 g O peso de cada pacote X segue uma distribuigéo Mu o Colheuse uma amostra de 16 pacotes e observouse uma variancia de S 169 g Com esse resultado vocé diria que a maquina esta desregulada com relacgao a variancia Estamos interessados em testar entao H 0 100 H o 100 A estatistica para realizar o teste é 125 com n 16 Fixado o nivel de significancia a em 5 teremos da Tabela IV que a regiao critica é dada por RC 0 S X 6262 ou X 27488 Veja a Figura 1212 O valor observado da estatistica é n 1s 15169 N oe 2535 o 100 Como RC somos levados a aceitar H isto 6 a maquina esta sob controle quanto a variancia Figura 1212 Regido critica para o teste do Exemplo 128 25 25 o 6262 27488 x 15 A construcao do ICo y é feita a partir da expressao n 1S Pz ms x0 y 126 que permite obter a seguinte desigualdade n DS 2 n DS 127 x xi que sera o IC procurado Veja a Figura 1213 354 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES Figura 1213 Valores criticos para a construgGo de um inter valo de confianca para a varidncia 1Y 2 1Y 2 Oo x x3 xn 1 Exemplo 129 Os dados abaixo referemse as vendas diarias em reais durante uma semana de carros de uma revendedora Construir um ICo 90 Vendas 253 187 96 450 320 105 Inicialmente calculamos a variancia amostral que é 5 18460 em seguida os valores X e X que satisfacam 126 P1145 75 11070 090 Substituindo em 127 obtemos ICo 090 8338 80611 MTs 18 De uma populacgado X M50 100 retirase uma amostra de dez elementos e calculamse os valores de 02 eS Encontre os valores pedidos abaixo com a maior precisdo possivel a Se Po a 10 encontre o valor de a b Sabendose que PS a 5e PS b 5 encontre ae b c PS 16316 a encontre d PS 100 a encontre a e PS 18 a encontre a f Seo valor observado de foi 180 qual a probabilidade de encontrar uma amostra que produza um maior do que o observado 19 Observouse a producdo mensal de uma industria durante varios anos veriticandose que ela obedecia a uma distribuicdo normal com varidincia 300 Foi adotada uma nova técnica de producdo e durante 24 meses observouse a producdo mensal Apds esse periodo constatouse que X 10000 e s 400 Hd razdes para se acreditar que a varidncia mudou ao nivel de 20 20 Numa linha de producdo é muito importante que o tempo gasto numa determinada operacgdo nao varie muito de empregado para empregado a Que pardmetro estatistico poderia ser usado para avaliar esse fato Por qué 1210 TESTE SOBRE A MEDIA DE UMA NORMAL COM VARIANCIA DESCONHECIDA 355 b Se 11 empregados apresentam os tempos abaixo para realizar essa operacédo qual seria a estimativa para a pardmetro acima 125 135 115 120 150 130 125 145 125 140 130 1210 Teste sobre a Média de uma Normal com Varidncia Desconhecida Vimos na secao 125 como testar a média de uma normal supondo que a variancia seja conhecida Comentamos que essa nao é uma suposicao realista logo iremos su por agora que temos uma va X com distribuicaéo normal com média yu e variancia 0 desconhecidas No Capitulo 7 introduzimos a distribuicao de Student Veremos a seguir como ela pode ser usada para testar hipoteses sobre wu nessa situacao Consideremos a estatistica X a 128 SIN ni Inicialmente dividamos o numerador e denominador pelo desvio padrao o da populacao e teremos VW nl X Wo So O numerador Z Vn X yo tem distribuicéo MO 1 como ja foi visto O quadrado do denominador pode ser escrito como n DS n1 Y Oo n1 onde Y n 1So Mas como foi visto na secao anterior se os X forem normais Y tem distribuicao Xn 1 logo a estatistica 128 6 o quociente entre uma va M0 1 e a raiz quadrada de uma va Xn 1 dividida pelo nimero de graus de liberdade e pelo Teorema 71 temos que WnX Ww yn 1 129 Observe que Ze Y sao independentes pois X e S sao independentes pelo Teorema 121 ii Estamos agora em condicées de testar as hipdteses Hy Ly Ay MF My A hipotese alternativa poderia ser u 1 ou LL U 0 que mudaria apenas a regiao de rejeicao de bilateral para unilateral a direita ou a esquerda respectivamente 356 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES A estatistica a ser usada é T nee Mo 1210 que sabemos agora ter uma distribuicao de Student com n 1 graus de liberdade Fixado o valor de o podemos usar a Tabela V e encontrar o valor t tal que PIT 1 a Veja a Figura 1214 Figura 1214 Valores criticos para o teste t o2 ol2 te te t Colhida a amostra de n individuos calculamos os valores xX e s das estatisticas X e S respectivamente e depois o valor f V nX Us de T Se o valor dessa estatistica for inferior a ou superior a rejeitase H Caso contrario aceitase H Para a construcao de intervalos de confianca temos que VinX w P1 a Y da qual segue o intervalo de confianca Cu y Xt 1211 uy Ta muito parecido com aquele da variancia conhecida Exemplo 1210 Um fabricante afirma que seus cigarros contém nao mais que 30 mg de nicotina Uma amostra de 25 cigarros fornece média de 315 mg e desvio padrao de 3 mg No nivel de 5 os dados refutam ou nao a afirmacao do fabricante Passo 1 As hipéteses aqui sao A uw 30 Hu 30 Passo 2 Supondo que X a quantidade de nicotina por cigarro tenha distribuigao Mu 0 a estatistica 1125X 30 T GO tera distribuicao 24 1210 TESTE SOBRE A MEDIA DE UMA NORMAL COM VARIANCIA DESCONHECIDA 357 Passo 3 Por ser um teste unilateral devemos procurar o valor tf tal que PT t 005 Da Tabela V obtemos 1711 ou seja a regiao critica para a estatistica T é RC1711 l Passo 4 O valor observado da estatistica é 9315 30 25 3 Passo 5 Como pertence a regiao critica rejeitamos Hj ou seja ha evidéncias de que os cigarros contenham mais de 30 g de nicotina Outra maneira de proceder é calcular o valorp ou seja a PT A PT 25H 001 Esse valor pequeno de leva a rejeicao de H Para construir um ICu 095 verificamos na Tabela V que o valor 2064 e portanto ICu 095 315 2064 3V 25 ou seja ICu 095 3026 3274 Antes de encerrar este capitulo cabe uma observacao Quando aceitamos uma hipotese estamos concluindo que temos algum conhecimento sobre a distribuicao da variavel de interesse Ja quando rejeitamos a hipotese a distribuicao da variavel nao fica especificada A construcao de intervalos de confianca desempenha um papel im portante nessa situacao Ressaltamos também que temos usado a expressao aceita mos a hipotese quando o mais correto talvez fosse nao rejeitamos a hipotese MS 211 nYe 21 Da populagéo X M50 100 retirouse uma amostra casual simples de tamanho n 10 calculandose 0 valor de X Se 0 respectivo valor de a Se P X50 tSV 10 90 encontre o valor de t b Se X48e S 120 qual a probabilidade de encontrar um valor de tmenor que o produzido por essa amostra c Se S 120 calcule a P X 50 2 22 O tempo médio por operdrio para executar uma tarefa tem sido 100 minutos com um desvio padrdo de 15 minutos Introduziuse uma modificagdo para diminuir esse tempo e apés certo periodo sorteouse uma amostra de 16 operdrios medindose o tempo de execucdo de cada um O tempo médio da amostra foi 85 minutos e o desvio padrGo foi 12 minutos Estes resultados trazem evidéncias estatisticas da melhora desejada Em caso 358 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES atirmativo estime o novo tempo médio de execucdo Apresente as suposicdes tedricas usadas para resolver o problema 23 Estamos descontiados de que a média das receitas municipais per capita das cidades pequenas 0 20000 habitantes 6 maior do que a das receitas do estado que é de 1229 unidades Para comprovar ou nao essa hipdtese sorteamos dez cidades pequenas e obtivemos os seguintes resultados 1230 582 576 2093 2621 1045 1439 717 1838 1359 Obs Para facilitar os cdlculos informamos que a soma das observacées é 13500 e a soma dos quadrados das observacées é 22335650 13500 182250000 a Mostre que o teste de hipdtese usado com a 005 levard 4 aceitagdo de que a média das cidades pequenas é igual 4 do estado b Vocé nao acha estranha essa conclusGo quando observa que a média da amostra obtida é bem maior do que a média do estado Como vocé explicaria isso 24 Desejase estimar qual a porcentagem média da receita familiar gasta com alimentagao pelos moradores de uma grande vila industrial Para isso selecionouse uma amostra de 16 familias que apresentou os seguintes resultados 4 44 35 42 34 22 42 42 38 62 29 63 38 45 48 4 a Dé um IC de 95 para a porcentagem média de todas as familias de moradares da vila b Que suposigo vocé fez para responder a pergunta anterior 1211 Problemas e Complementos 25 Aprecipitagdo pluviométrica anual numa certa regido tem desvio padréo o 31 e média desconhecida Para os Ultimos 9 anos foram obtidos os seguintes resultados 305 341 279 350 269 302 283 317 258 a Construa um teste de hipdteses para saber se a média da precipitacdo pluviométrica anual é maior que 300 unidades Utilize um nivel de significdncia de 5 b Discuta o mesmo problema considerando odesconhecido c Supondo que na realidade tt 330 qual a probabilidade de tirarmos uma conclu sGo errada 26 Supdese que determinado tipo de industria deva ter em média 30 empregados Para testar tal hipdtese colhese uma amostra de 50 industrias cujo resultado esté abaixo Caso rejeite a hipdtese dé um intervalo de confianga para a verdadeira média suponha que 0 Ne de empregados Freqiéncia 25 35 8 35 45 10 45 55 13 55 65 10 65 75 9 27 Uma tdbrica de automéveis anuncia que seus carros consomem em média 11 litros por 100 km com desvio padrdo de 08 litro Uma revista resolve testar essa afirmagdo e 1211 PROBLEMAS E COMPLEMENTOS 359 analisa 35 automéveis dessa marca obtendo 113 litros por 100 km como consumo médio considerar distribuigGo normal O que a revista pode concluir sobre o anuncio da fdbrica no nivel de 10 28 Um dos maiores problemas de uma grande rede de vendas a varejo 6 a adequacdo do estoque declarado com o real existente Decidiuse fazer a veriticagdo através de procedi mentos amostrais Indicando por Xo total em unidades monetdrias de cada produto em estoque veriticouse que X Nu 400 Serdo sorteados 4 produtos O total Xde cada um sera veriticado e calcularse4 a média X que serd a estatistica de decisdo Numa determinada filial o valor declarado de 1 é 50 Havendo falta esse pardmetro deve ser 45 no caso de excesso 58 a Detina H e H b Descreva os erros do tipo Te II c Fixando a 10 qual a regra de decisdo para julgar se o estoque estd correto ou nao d Calcule o erro B e Qual o significado de we Bnesse problema 29 Seja Xuma va com distribuigdo binomial com n 15 Considere H p 05 contra H p 05 com RC 0 1 2 a Calcule a probabilidade do erro de tipo I b Calcule a probabilidade do erro de tipo II quando p03 c Esboce o grafico do poder do teste 30 O custo Xde manutencdo de teares segue uma distribuicdo normal X Mu 400 Durante muito tempo o pardmetro LL tem sido adotado como igual a 200 Suspeitase que esse pardmetro aumentou e s6 nos interessa saber se 0 novo pardmetro superior a 210 Assim queremos planejar um teste em que a 5 quando LU 200 e B 10 quando p 210 a Qual deve ser o tamanho da amostra b Qual a RC nesse caso 31 Ontmero médio didrio de clientes de um posto de gasolina tem sido 250 com um desvio padrdo de 80 clientes Durante uma campanha de 25 dias em que os clientes recebiam um brinde o nUmero médio de clientes foi 280 com um desvio padrdo de 50 Vocé diria que a campanha moditicou a distribuigao do numero de clientes do posto Descreva as suposicoes feitas para a resolucdo do problema 32 Areceita média em porcentagem dos quase 600 municipios de um estado tem sido 7 O governo pretende melhorar esse indice e para isso esté estudando alguns incentivos Para veriticar os efeitos desses incentivos sorteou 10 cidades e estudou quais seriam as porcenta gens investidas neles Os resultados foram em porcentagem 8 10 9 11 8 12 16 9 12 13 Admitindose que esses numeros realmente venham a ocorrer os dados trazem evidéncia de melhoria Caso altere a média do estado dé um intervalo de confianca para a nova média 33 Para o problema anterior construa ICo 90 e descreva as suposicdes consideradas para obtencdo da resposta 34 A preteitura de uma cidade quer estimar a proporcdo p dos moradores favordveis 4 mudanca do hordrio comercial com o intuito de economizar combustivel Essa propor cdo deverd ser estimada com um erro maximo de 5 a um nivel de 90 de confianga 360 CAPITULO 12 TESTES DE HIPOTESES a Que tamanho deveré ter a amostra se a proporcédo pesperada deve estar entre 20 e 50 Justifique a resposta b Numa amostra de 400 moradores 160 foram favordveis G mudanga qual seria o intervalo de confianga para p nesse caso com y 0952 35 Numa pesquisa realizada com 2000 proprietdrios de carros na cidade de Sao Paulo 800 responderam que pretendem mudar de carro no decorrer do préximo ano Dé um IC de 90 para a proporcdo de todos os proprietdrios de carros de Sdo Paulo que pretendem mudar de carro no préximo ano 36 Um fabricante de um certo tipo de aco especial afirma que seu produto tem um severo servico de controle de qualidade traduzido pelo desvio padrdo da resisténcia a tensdo que ndo é maior do que 5 kg por cm Um comprador querendo verificar a veracidade da atirmacdo tomou uma amostra de 11 cabos e submeteua a um teste de tensdo Os resultados foram os seguintes X 263 e s 48 Estes resultados trazem alguma evidéncia contra a atirmacdo do fabricante Use a 005 37 Um escritério de investimento acredita que o rendimento das diversas agdes movimenta das por ele foi de 24 Mais ainda a nova estratégia definida deve garantir uma maior uniformidade nos rendimentos das diversas agdes No passado o desvio padréo do rendimento era da ordem de 5 Para veriticar as duas hipdteses tomaramse 8 empre sas ao acaso obtendose os seguintes rendimentos dados em 236 228 257 248 264 243 239 e 25 Quais seriam as conclusdes 38 Sendo X o numero de sucessos em n 10 provas de Bernoulli queremos testar A p 06 a Se o teste for unilateral e rejeitarmos H para valores pequenos de X determine se o valor observado de X tor 3 b Determine se 0 teste for bilateral na situagdo de a isto é X 3 39 Considere a situacdo do problema anterior e suponha que o valor observado seja X 6 O que acontece no caso b do problema anterior O resultado X 6 suporta ou ndo A 40 Valorp bilateral Vimos no texto um procedimento para determinar no caso bilateral Outra possibilidade é fazer as probabilidades nas duas caudas complementares em ter mos da distncia 4 média ou mediana da distribuicdo sob H Assim se x for o valor observado de Xe mtor a média da distribuigdo colocamos a PX x PX mxm se Xestiver na cauda superior e a PX x PX m mx se Xestiver na cauda inferior Calcule usando esse critério para os Problemas 41 e 42