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Introdução às Equações Diferenciais e Ordinárias 20172 Lista 3 EDOs de segunda ordem lineares e homogêneas 1 Dado o PVI 2y 3y y 0 y0 2 y0 12 a determine sua solução b determine o valor máximo da sua solução c determine o ponto em que sua solução vale zero 2 Considere os PVIs abaixo I y y 2y 0 y0 α y0 2 II 4x x 0 x0 2 x0 β a Determine o valor de α para que a solução de I se aproxime de zero quando t b Determine o valor de β para que a solução de II se aproxime de zero quando t 3 Considere as EDOs abaixo I y 2α 1y αα 1y 0 II x 3 βx 2β 1x 0 a Para quais valores de α podemos garantir que todas as soluções de I se aproximam de zero quando t b Para quais valores de α podemos garantir que todas as soluções de I com exceção da solução trivial são ilimitadas quando t c Para quais valores de β podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando t d Para quais valores de β podemos garantir que todas as soluções de II com exceção da solução trivial são ilimitadas quando t 4 Dados os pares de funções abaixo que são so luções de alguma EDO de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes contínuos em toda a reta encontre o Wronskiano em cada caso e deter mine se cada conjunto de funções é linearmente inde pendente ou linearmente dependente em a e2t te2t b sen 2t sen t cos t c eλ1t eλ2t d t2 4t 3t2 e t2 5t t2 5t f e3x e3x1 5 Dado um PVI do tipo y pty qty gt yt0 y0 yt0 y 0 onde pt qt e gt são funções contínuas em um intervalo aberto I R contendo o ponto t0 ou seja t0 I existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução y φt para o problema O teorema garante tam bém que o domínio da solução é no mínimo o pró prio intervalo I Sabendo disso determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual pode mos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade Não tente resolver explicitamente as equações a ty 3y t y1 1 y1 2 b t 1y 3ty 4y sen t y0 0 y0 2 c tt 4y 3ty 4y sen t y2 2 y2 1 d y cos ty 3ln ty 0 y2 3 y2 1 e x 3y xy ln xy 0 y1 0 y1 1 f x 2y y x 2tg xy 0 y3 1 y3 2 6 Considerando o princípio da superposição de soluções de EDOs a Verifique que y1t t2 e y2t t1 são duas soluções da equação diferencial t2y 2y 0 para t 0 Mostre que c1t2 c2t1 também é solução dessa equação quaisquer que sejam c1 e c2 b Verifique que y1t 1 e y2t t são duas soluções da equação diferencial yy y2 0 para t 0 Mostre que c1 c2 t não é em geral solução dessa equação Explique por que esse resultado não contradiz o princípio da superpo sição 7 Considerando a definição do Wronskiano res ponda a Se o Wronskiano entre ft e gt é 3e4t e ft e2t encontre gt b Se o Wronskiano entre ft e gt é t2et e ft t encontre gt c Suponha que o Wronskiano entre ft e gt é t cos t sen t Se ut ft 3gt e vt ft gt encontre o Wronskiano entre ut e vt 8 Verifique que as soluções y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada Elas constituem um conjunto fundamental de soluções a y 4y 0 y1t cos 2t y2t sen 2t b y 2y y 0 y1t et y2t tet c 1 x cotg xy xy y 0 0 x π y1x x y2x sen x 9 Resolva as seguintes equações diferenciais a 4y y 0 b y 16y 0 c y 2y 3y 0 d 2y 3y y 0 e y 5y 4y f y 2y y 0 g y y 6y 0 h y 8y 0 i y 2y 2y 0 j d2y dt2 10 dy dt 25y 0 k 9d2y dt2 6dy dt y 0 l y 6y 13y 0 10 Encontre a solução dos problemas de valor ini cial dados abaixo Em cada caso faça um esboço da solução encontrada opcional e determine os limites lim t yt e lim t yt a y 4y 0 y0 0 y0 1 b y 6y 9y 0 y0 0 y0 2 c y 4y 3y 0 y0 2 y0 1 d 4y 12y 9y 0 y0 1 y0 4 e y 2y 5y 0 yπ2 0 yπ2 2 f y 4y 5y 0 y0 1 y0 0 g y 8y 9y 0 y1 1 y1 0 11 Considerando as soluções nãotriviais das equações abaixo determine quando possível os li mites lim t yt e lim t yt a 6y 7y 2y 0 b y 8y 16y 0 c y 2y 5y 0 12 Encontre uma equação diferencial cuja solu ção geral é a y c1e3t c2e5t b y c1e2t c2te2t c y c1 cos 3t c2 sen 3t 13 Neste exercício iremos obter a fórmula de Eu ler seguindo os seguintes passos a Mostre que y1 cos t e y2 sen t formam um conjunto fundamental de soluções de y y 0 b Em seguida prove que y eit também é solução de y y 0 c Justifique o fato de podermos escrever eit c1 cos t c2 sen t para c1 e c2 apropriados d Faça t 0 em eit c1 cos t c2 sen t para mos trar que c1 1 e Derive eit c1 cos t c2 sen t e faça t 0 para concluir que c2 i f Obtenha a fórmula de Euler 14 Algumas EDOs de segunda ordem com coe ficientes nãoconstantes podem ser resolvidas com o auxílio de uma mudança de variáveis É o caso da equação t2y αty βy 0 onde α β R e t 0 Neste exercício iremos aprender a resolver a equação acima que é genericamente conhecida como equação de Euler a Faça a substituição x ln t e calcule dy dt e d2y dt2 em termos de dy dx e d2y dx2 b Usando os resultados do item a mostre que a EDO original é equivalente a d2y dx2 α 1dy dx βy 0 Repare que essa é uma equação com coeficientes constantes e portanto fácil de ser resolvida Após resolvêla e encontrar sua solução geral fazemos nov mente a transformação x ln t para encontrarmos a solução geral em termos da variável original t c Utilizando o método descrito acima resolva c1 t2y ty y 0 c2 t2y 3ty 5 4y 0 c3 t2y 4ty 6y 0 c4 t2y 5ty 4y 0 2 i xy xy x2Fy 0 x 0 yilx sen x 15 Considere os PVIs abaixo vx Dy y 1 0 y02 y0 a 17 Diferentemente dos problemas de valor inicial 4 PVI nos quais séo dados yt e yto nos pro blemas de valor de contorno PVC sao dados yt II 9x 12x4x0 x0f0 x0 1 9x0 12x 4x x0 B 0 e yt2 sendo ty ty Para se resolver um PVC a Para que valores de a solugéo deIé sempre procedemos como no caso de um PVI apés encon crescente trar a solucdo geral da EDO em termos de constan b Para que valores de 8 a solucdo de II é sempre tes arbitrarias C1 e Co utilizamos as condic6es da positiva das para determinar C e C2 Considerando a EDO y 2y2y 0 reponda 16 Em cada item abaixo so dadas uma EDO e a Utilizando oO teorema de existencia e unicidade uma de suas solucdes Usando 0 método da reducdo enunciado no exercicio 5 em quais pontos t y de ordem encontre uma segunda solugao que é line do plano ty t odemos garantir a existencia e unt armente independente em relacdo a primeira cidade de solug6es ayy 5y 0 yit 1 b Se tivermos as condigées de contorno y0 1 ot y72 1 qual a solucao do PVC associado a by 4y4y 0 yilt e EDO dada c Py 4ty 6y 0 t0 yit t c Se tivermos as condigées de contorno y0 0 d ty 2ty2y 0 t0 yi t t y7 0 qual a solugdéo do PVC associado a EDO dada e ty tt2y t2y 0 t0 yt ace t d Se tivermos as condicées de contorno y0 1 71 1 qual a solucdo do PVC associado a f xy y 4x3y 0 x 0 y1x senx BDO dada Woy ox 8 Ty ry ty O x 1 yl e e As respostas dos itens bd contrariam as con h xy x y0x0 yix xV4e2Vx clusGes do item a Esclarega Respostas dos Exercicios a Quando a 0e a1 0 simultaneamente ou seja quando 0 1 a yt 3eet b Quando 0ea1 0 ouseja quando a 1 b 94 c Quando B 1 0 ou seja quando 1 c t21n3 d Nunca pois todas as solugdes que possuem C 0 tendem a zero quando t oo 2 11 2 2 a Temos yt 3ale 3a2e Logo 4 Se existir pelo menos um to tal que o Wronskiano é para que lim yt 0 devese ter a 2 diferente de zero ie Wto 4 0 as fung6es serao LI caso contrario sao LD b Temos xt 1 Be2B Ve Logo a Wt e4t LE para que im xt 0 devese ter 8 1 b Wt 0 LD 3 As soluc6es gerais sao yt Cye Vt Crete c Wt AgAye AVE LI se Ay Aye LD se xt CyeBVt Cyet Logo AL Ay 3 d Wt 4t LI j yt cye cotet e Wt 10t LI k yt cye3 cyte 9 f Wt 0 LD 1 yt e3cy cos 2t cz sen 2t 10 a t 4sen 2t 5 a 000 b 001 04 4 000 ul 2 e 03 f 2372 b yt 2te 5pt 13t 6 b Porque a equacao é naolinear c ult 3 26 d yt e3t2 2te St2 7 a Usando a definicéo do Wronskiano encontra tom2 mos a seguinte EDO para gt gt 2gt e yt e sen 2t 3et Resolvendo descobrimos que gt pode ser f yt e2cost 2sent qualquer funcao do tipo Ce 3te 19t1 9 4t1 8 yt oe 79e b Usando a definigéo do Wronskiano encontramos a seguinte EDO para gt tgtgt ett 11 a yt cye23 coet Logo jim yt 0 Resolvendo descobrimos que gt pode ser qual quer funcdo do tipo Ct et bis yt oo seC Oouse C 0e Co 0 2 im Yy c Epossivel mostrar que Wu v 4WIf g e por too oo se C Douse C Oe Co 0 tanto Wuv 4sent tcost b yt cye cyte Logo lim yt 0e 0o 8 a Sim pois calculando o Wronskiano temos Wt 2 Como existe pelo menos um valor de t oo se Cp Douse Cp O0e C 0 n lim yt para o qual Wt 4 0 concluimos que as fungdes S40 t 50 oo se Cp Douse Cp 0eC 0 Ll e portanto formam um conjunto completo de so luc6es c yt cyetsen2t coe cos2t Logo b Sim pois calculando 0 Wronskiano temos Wt lim yt 0e 0 limite nao existe quando t 00 et Como existe pelo menos um valor det parao qual Wt 4 0 concluimos que as fungdes sao Lle 12 Em cada caso perceba primeiro que a solucao ge portanto formam um conjunto completo de solucgdes ral dada é compativel com uma EDO de segunda or c Sim pois calculando o Wronskiano temos Wx dem linear homogénea com coeficientes constantes x cos x senx Como existe pelo menos um valorde Sabendo disso identifique quais sao as raizes do po x para o qual Wx 4 0 concluimos que as fungdes lindmio caracteristico e use isso para determinar o sao LI e portanto formam um conjunto completo de polinémio caracteristico A partir do polinémio ca soluc6es racteristico determine a EDO a Raizes sao Ay 3 e Ap 5 Logo o polinédmio 9 a yt c1 coe t4 caracteristico é t3t5 t2t15e por tanto a EDO é y 2y 15y 0 b yt ci cos 4t c2 sen 4t b Raizes séo 4 Az 2 Logo o polind c yt cretc2e mio caracteristico 6 t 2 t4t4e por tanto a EDO é y 4y4y 0 c Raizes sao t t2 d yt cre cre Ay 3ie Ap 3i Logo o polinémio caracteris e yt ec cost cp sent tico é t 3it 3i t 9 e portanto a EDO é y9y 0 f yt cietcytet 3t ot 13 c Mostre que cos t sen t é um conjunto completo g yt cie c2e de solucGes e portanto yt ci cost c sent é h yt cyertv2 4 cen 2tv2 solucdo geral da EDO isto é qualquer outra solugado em particular et pode ser escrita como combinacao i yt ec cost cz sent linear de cost e sent 4 14 a yt C cosInt CysenInt g Yox x b yt sen 45 P cos 45 h yox x4e2v c yt Cit i Yox 3 d yt S Sint dy voe 17 a Em qualquer ponto do plano 15 a Temos yt et2a1t 2 e yt tL Let220 x 1t Logo para garantir que A solugado geral da EDO é yt Cie cost yt 0 sempre precisamos de 1 Coe sent Usando as condicdes de contorno ot encontrase b Temos xt ze 3B 2B 3t Logo para t 2 garantir que xt 0 sempre precisamos de 8B b yt e cost e sent 32 c yt Cye sent sendo C arbitrario y 16 a yt e d nao ha solugao para o PVC dado b yot te e O TEU enunciado no exercicio 5 garante a exis yt 3 téncia e unicidade de solugdes de um PVI apenas Como estamos resolvendo PVCs nao faz sentido d yott tentar aplicar esse TEU OBS existe também uma t versdo do TEU para problemas de valor de con y2t ter torno vej 1 Veja por exemplo httpwwwcemsuvm f y2x cosx edutlakobamath337notes6pdf 5
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Introdução às Equações Diferenciais e Ordinárias 20172 Lista 3 EDOs de segunda ordem lineares e homogêneas 1 Dado o PVI 2y 3y y 0 y0 2 y0 12 a determine sua solução b determine o valor máximo da sua solução c determine o ponto em que sua solução vale zero 2 Considere os PVIs abaixo I y y 2y 0 y0 α y0 2 II 4x x 0 x0 2 x0 β a Determine o valor de α para que a solução de I se aproxime de zero quando t b Determine o valor de β para que a solução de II se aproxime de zero quando t 3 Considere as EDOs abaixo I y 2α 1y αα 1y 0 II x 3 βx 2β 1x 0 a Para quais valores de α podemos garantir que todas as soluções de I se aproximam de zero quando t b Para quais valores de α podemos garantir que todas as soluções de I com exceção da solução trivial são ilimitadas quando t c Para quais valores de β podemos garantir que todas as soluções de II se aproximam de zero quando t d Para quais valores de β podemos garantir que todas as soluções de II com exceção da solução trivial são ilimitadas quando t 4 Dados os pares de funções abaixo que são so luções de alguma EDO de segunda ordem linear e homogênea com coeficientes contínuos em toda a reta encontre o Wronskiano em cada caso e deter mine se cada conjunto de funções é linearmente inde pendente ou linearmente dependente em a e2t te2t b sen 2t sen t cos t c eλ1t eλ2t d t2 4t 3t2 e t2 5t t2 5t f e3x e3x1 5 Dado um PVI do tipo y pty qty gt yt0 y0 yt0 y 0 onde pt qt e gt são funções contínuas em um intervalo aberto I R contendo o ponto t0 ou seja t0 I existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução y φt para o problema O teorema garante tam bém que o domínio da solução é no mínimo o pró prio intervalo I Sabendo disso determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual pode mos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade Não tente resolver explicitamente as equações a ty 3y t y1 1 y1 2 b t 1y 3ty 4y sen t y0 0 y0 2 c tt 4y 3ty 4y sen t y2 2 y2 1 d y cos ty 3ln ty 0 y2 3 y2 1 e x 3y xy ln xy 0 y1 0 y1 1 f x 2y y x 2tg xy 0 y3 1 y3 2 6 Considerando o princípio da superposição de soluções de EDOs a Verifique que y1t t2 e y2t t1 são duas soluções da equação diferencial t2y 2y 0 para t 0 Mostre que c1t2 c2t1 também é solução dessa equação quaisquer que sejam c1 e c2 b Verifique que y1t 1 e y2t t são duas soluções da equação diferencial yy y2 0 para t 0 Mostre que c1 c2 t não é em geral solução dessa equação Explique por que esse resultado não contradiz o princípio da superpo sição 7 Considerando a definição do Wronskiano res ponda a Se o Wronskiano entre ft e gt é 3e4t e ft e2t encontre gt b Se o Wronskiano entre ft e gt é t2et e ft t encontre gt c Suponha que o Wronskiano entre ft e gt é t cos t sen t Se ut ft 3gt e vt ft gt encontre o Wronskiano entre ut e vt 8 Verifique que as soluções y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada Elas constituem um conjunto fundamental de soluções a y 4y 0 y1t cos 2t y2t sen 2t b y 2y y 0 y1t et y2t tet c 1 x cotg xy xy y 0 0 x π y1x x y2x sen x 9 Resolva as seguintes equações diferenciais a 4y y 0 b y 16y 0 c y 2y 3y 0 d 2y 3y y 0 e y 5y 4y f y 2y y 0 g y y 6y 0 h y 8y 0 i y 2y 2y 0 j d2y dt2 10 dy dt 25y 0 k 9d2y dt2 6dy dt y 0 l y 6y 13y 0 10 Encontre a solução dos problemas de valor ini cial dados abaixo Em cada caso faça um esboço da solução encontrada opcional e determine os limites lim t yt e lim t yt a y 4y 0 y0 0 y0 1 b y 6y 9y 0 y0 0 y0 2 c y 4y 3y 0 y0 2 y0 1 d 4y 12y 9y 0 y0 1 y0 4 e y 2y 5y 0 yπ2 0 yπ2 2 f y 4y 5y 0 y0 1 y0 0 g y 8y 9y 0 y1 1 y1 0 11 Considerando as soluções nãotriviais das equações abaixo determine quando possível os li mites lim t yt e lim t yt a 6y 7y 2y 0 b y 8y 16y 0 c y 2y 5y 0 12 Encontre uma equação diferencial cuja solu ção geral é a y c1e3t c2e5t b y c1e2t c2te2t c y c1 cos 3t c2 sen 3t 13 Neste exercício iremos obter a fórmula de Eu ler seguindo os seguintes passos a Mostre que y1 cos t e y2 sen t formam um conjunto fundamental de soluções de y y 0 b Em seguida prove que y eit também é solução de y y 0 c Justifique o fato de podermos escrever eit c1 cos t c2 sen t para c1 e c2 apropriados d Faça t 0 em eit c1 cos t c2 sen t para mos trar que c1 1 e Derive eit c1 cos t c2 sen t e faça t 0 para concluir que c2 i f Obtenha a fórmula de Euler 14 Algumas EDOs de segunda ordem com coe ficientes nãoconstantes podem ser resolvidas com o auxílio de uma mudança de variáveis É o caso da equação t2y αty βy 0 onde α β R e t 0 Neste exercício iremos aprender a resolver a equação acima que é genericamente conhecida como equação de Euler a Faça a substituição x ln t e calcule dy dt e d2y dt2 em termos de dy dx e d2y dx2 b Usando os resultados do item a mostre que a EDO original é equivalente a d2y dx2 α 1dy dx βy 0 Repare que essa é uma equação com coeficientes constantes e portanto fácil de ser resolvida Após resolvêla e encontrar sua solução geral fazemos nov mente a transformação x ln t para encontrarmos a solução geral em termos da variável original t c Utilizando o método descrito acima resolva c1 t2y ty y 0 c2 t2y 3ty 5 4y 0 c3 t2y 4ty 6y 0 c4 t2y 5ty 4y 0 2 i xy xy x2Fy 0 x 0 yilx sen x 15 Considere os PVIs abaixo vx Dy y 1 0 y02 y0 a 17 Diferentemente dos problemas de valor inicial 4 PVI nos quais séo dados yt e yto nos pro blemas de valor de contorno PVC sao dados yt II 9x 12x4x0 x0f0 x0 1 9x0 12x 4x x0 B 0 e yt2 sendo ty ty Para se resolver um PVC a Para que valores de a solugéo deIé sempre procedemos como no caso de um PVI apés encon crescente trar a solucdo geral da EDO em termos de constan b Para que valores de 8 a solucdo de II é sempre tes arbitrarias C1 e Co utilizamos as condic6es da positiva das para determinar C e C2 Considerando a EDO y 2y2y 0 reponda 16 Em cada item abaixo so dadas uma EDO e a Utilizando oO teorema de existencia e unicidade uma de suas solucdes Usando 0 método da reducdo enunciado no exercicio 5 em quais pontos t y de ordem encontre uma segunda solugao que é line do plano ty t odemos garantir a existencia e unt armente independente em relacdo a primeira cidade de solug6es ayy 5y 0 yit 1 b Se tivermos as condigées de contorno y0 1 ot y72 1 qual a solucao do PVC associado a by 4y4y 0 yilt e EDO dada c Py 4ty 6y 0 t0 yit t c Se tivermos as condigées de contorno y0 0 d ty 2ty2y 0 t0 yi t t y7 0 qual a solugdéo do PVC associado a EDO dada e ty tt2y t2y 0 t0 yt ace t d Se tivermos as condicées de contorno y0 1 71 1 qual a solucdo do PVC associado a f xy y 4x3y 0 x 0 y1x senx BDO dada Woy ox 8 Ty ry ty O x 1 yl e e As respostas dos itens bd contrariam as con h xy x y0x0 yix xV4e2Vx clusGes do item a Esclarega Respostas dos Exercicios a Quando a 0e a1 0 simultaneamente ou seja quando 0 1 a yt 3eet b Quando 0ea1 0 ouseja quando a 1 b 94 c Quando B 1 0 ou seja quando 1 c t21n3 d Nunca pois todas as solugdes que possuem C 0 tendem a zero quando t oo 2 11 2 2 a Temos yt 3ale 3a2e Logo 4 Se existir pelo menos um to tal que o Wronskiano é para que lim yt 0 devese ter a 2 diferente de zero ie Wto 4 0 as fung6es serao LI caso contrario sao LD b Temos xt 1 Be2B Ve Logo a Wt e4t LE para que im xt 0 devese ter 8 1 b Wt 0 LD 3 As soluc6es gerais sao yt Cye Vt Crete c Wt AgAye AVE LI se Ay Aye LD se xt CyeBVt Cyet Logo AL Ay 3 d Wt 4t LI j yt cye cotet e Wt 10t LI k yt cye3 cyte 9 f Wt 0 LD 1 yt e3cy cos 2t cz sen 2t 10 a t 4sen 2t 5 a 000 b 001 04 4 000 ul 2 e 03 f 2372 b yt 2te 5pt 13t 6 b Porque a equacao é naolinear c ult 3 26 d yt e3t2 2te St2 7 a Usando a definicéo do Wronskiano encontra tom2 mos a seguinte EDO para gt gt 2gt e yt e sen 2t 3et Resolvendo descobrimos que gt pode ser f yt e2cost 2sent qualquer funcao do tipo Ce 3te 19t1 9 4t1 8 yt oe 79e b Usando a definigéo do Wronskiano encontramos a seguinte EDO para gt tgtgt ett 11 a yt cye23 coet Logo jim yt 0 Resolvendo descobrimos que gt pode ser qual quer funcdo do tipo Ct et bis yt oo seC Oouse C 0e Co 0 2 im Yy c Epossivel mostrar que Wu v 4WIf g e por too oo se C Douse C Oe Co 0 tanto Wuv 4sent tcost b yt cye cyte Logo lim yt 0e 0o 8 a Sim pois calculando o Wronskiano temos Wt 2 Como existe pelo menos um valor de t oo se Cp Douse Cp O0e C 0 n lim yt para o qual Wt 4 0 concluimos que as fungdes S40 t 50 oo se Cp Douse Cp 0eC 0 Ll e portanto formam um conjunto completo de so luc6es c yt cyetsen2t coe cos2t Logo b Sim pois calculando 0 Wronskiano temos Wt lim yt 0e 0 limite nao existe quando t 00 et Como existe pelo menos um valor det parao qual Wt 4 0 concluimos que as fungdes sao Lle 12 Em cada caso perceba primeiro que a solucao ge portanto formam um conjunto completo de solucgdes ral dada é compativel com uma EDO de segunda or c Sim pois calculando o Wronskiano temos Wx dem linear homogénea com coeficientes constantes x cos x senx Como existe pelo menos um valorde Sabendo disso identifique quais sao as raizes do po x para o qual Wx 4 0 concluimos que as fungdes lindmio caracteristico e use isso para determinar o sao LI e portanto formam um conjunto completo de polinémio caracteristico A partir do polinémio ca soluc6es racteristico determine a EDO a Raizes sao Ay 3 e Ap 5 Logo o polinédmio 9 a yt c1 coe t4 caracteristico é t3t5 t2t15e por tanto a EDO é y 2y 15y 0 b yt ci cos 4t c2 sen 4t b Raizes séo 4 Az 2 Logo o polind c yt cretc2e mio caracteristico 6 t 2 t4t4e por tanto a EDO é y 4y4y 0 c Raizes sao t t2 d yt cre cre Ay 3ie Ap 3i Logo o polinémio caracteris e yt ec cost cp sent tico é t 3it 3i t 9 e portanto a EDO é y9y 0 f yt cietcytet 3t ot 13 c Mostre que cos t sen t é um conjunto completo g yt cie c2e de solucGes e portanto yt ci cost c sent é h yt cyertv2 4 cen 2tv2 solucdo geral da EDO isto é qualquer outra solugado em particular et pode ser escrita como combinacao i yt ec cost cz sent linear de cost e sent 4 14 a yt C cosInt CysenInt g Yox x b yt sen 45 P cos 45 h yox x4e2v c yt Cit i Yox 3 d yt S Sint dy voe 17 a Em qualquer ponto do plano 15 a Temos yt et2a1t 2 e yt tL Let220 x 1t Logo para garantir que A solugado geral da EDO é yt Cie cost yt 0 sempre precisamos de 1 Coe sent Usando as condicdes de contorno ot encontrase b Temos xt ze 3B 2B 3t Logo para t 2 garantir que xt 0 sempre precisamos de 8B b yt e cost e sent 32 c yt Cye sent sendo C arbitrario y 16 a yt e d nao ha solugao para o PVC dado b yot te e O TEU enunciado no exercicio 5 garante a exis yt 3 téncia e unicidade de solugdes de um PVI apenas Como estamos resolvendo PVCs nao faz sentido d yott tentar aplicar esse TEU OBS existe também uma t versdo do TEU para problemas de valor de con y2t ter torno vej 1 Veja por exemplo httpwwwcemsuvm f y2x cosx edutlakobamath337notes6pdf 5