Lista de Exercicios Resolvida Processamento Digital de Sinais UFABC

EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 03 Claudio José Bordin Júnior v10 Fernando Freitas Alves fernandofreitasalunoufabcedubr 060814 pág 19 BIBLIOGRAFIA OPPENHEIM A SCHAFER R DISCRETETIME SIGNAL PROCESSING 2ND ED 1 OPPENHEIM 41 O sinal 𝑥𝑐𝑡 sen2𝜋100𝑡 foi amostrado com período amostral 𝑇 1 400 𝑠 para obter um sinal de tempo discreto 𝑥𝑛 Qual é o sinal resultante 𝑥𝑛 2 OPPENHEIM 42 A sequência 𝑥𝑛 cos 𝜋 4 𝑛 𝑛 foi obtida amostrando um sinal de tempo contínuo 𝑥𝑐𝑡 cosΩ0𝑡 𝑛 a uma taxa de amostragem de 1000 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠𝑠 Quais são os dois valores positivos possíveis de Ω0 que tenha resultado na sequência 𝑥𝑛 3 OPPENHEIM 43 O sinal de tempo contínuo 𝑥𝑐𝑡 cos4000𝜋𝑡 é amostrado com um período amostral 𝑇 para obter o sinal de tempo discreto 𝑥𝑛 cos 𝜋𝑛 3 a Determine a escolha de 𝑇 consistente com essa informação b A sua escolha de 𝑇 no item a é única Se for explica o porquê Se não especifique outra escolha de 𝑇 consistente com a informação fornecida 4 OPPENHEIM 44 O sinal de tempo contínuo 𝑥𝑐𝑡 sen20𝜋𝑡 cos40𝜋𝑡 é amostrado com um período amostras 𝑇 para obter o sinal de tempo discreto 𝑥𝑛 sen 𝜋𝑛 5 cos 2𝜋𝑛 5 a Determine a escolha de 𝑇 consistente com essa informação b A sua escolha de 𝑇 no item a é única Se for explica o porquê Se não especifique outra escolha de 𝑇 consistente com a informação fornecida EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 03 Claudio José Bordin Júnior v10 Fernando Freitas Alves fernandofreitasalunoufabcedubr 060814 pág 29 5 OPPENHEIM 45 Considere o sistema da figura abaixo com o sistema de tempo discreto um filtro ideal passabaixa com frequência de corte 𝜋 8 𝑟𝑎𝑑𝑠 a Se 𝑥𝑐𝑡 é limitado na banda para 5 𝑘𝐻𝑧 qual é o valor máximo de 𝑇 que evitará aliasing sobreposição espectral no conversor AD b Se 1 𝑇 10 𝑘𝐻𝑧 qual será a frequência de corte do filtro de tempo contínuo efetivo c Repita o item b para 1 𝑇 20 𝑘𝐻𝑧 6 OPPENHEIM 46 Seja ℎ𝑐𝑡 a resposta ao impulso do filtro linear e invariante no tempo contínuo e ℎ𝑑𝑛 a resposta ao impulso do filtro linear e invariante no tempo discreto a Se ℎ𝑐𝑡 𝑒𝑎𝑡 0 𝑡 0 𝑡 0 onde 𝑎 é uma constante real positiva determine a resposta em frequência do filtro de tempo contínuo e esboce sua magnitude b Se ℎ𝑑𝑛 𝑇ℎ𝑐𝑛𝑇 com ℎ𝑐𝑡 como definido no item a determine a resposta em frequência do filtro de tempo discreto e esboce sua magnitude c Para um valor de 𝑎 dado determine em função de 𝑇 a magnitude mínima da resposta em frequência do filtro de tempo discreto 7 OPPENHEIM 47 Um simples modelo de canal de comunicação multipath multicaminho é indicado na figura abaixo Assuma que 𝑠𝑐𝑡 é limitado em banda tal que 𝑆𝑐𝑗Ω 0 para Ω 𝜋 𝑇 e que 𝑥𝑐𝑡 é amostrado com um período amostral 𝑇 para obter a sequência 𝑥𝑛 𝑥𝑐𝑛𝑇 a Determine a transformada de Fourier de 𝑥𝑐𝑡 e a transformada de Fourier de 𝑥𝑛 em termos de 𝑆𝑐𝑗Ω b Suponha que se queira simular o sistema multipath com um sistema de tempo discreto escolhendo 𝐻𝑒𝑗𝜔 da figura abaixo tal que a saída 𝑟𝑛 𝑥𝑐𝑛𝑇 quando a entrada é 𝑠𝑛 𝑥𝑐𝑛𝑇 Determine 𝐻𝑒𝑗𝜔 em termos de 𝑇 e 𝜏𝑑 c Determine a resposta ao impulso ℎ𝑛 da figura abaixo quando i 𝜏𝑑 𝑇 e ii 𝜏𝑑 𝑇 2 EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 03 Claudio José Bordin Júnior v10 Fernando Freitas Alves fernandofreitasalunoufabcedubr 060814 pág 39 8 OPPENHEIM 48 Considere o sistema da figura abaixo com as seguintes relações 𝑋𝑐𝑗Ω 0 Ω 2𝜋 104 𝑥𝑛 𝑥𝑐𝑛𝑇 𝑦𝑛 𝑇 𝑥𝑘 𝑛 𝑘 a Para esse sistema qual é o máximo valor aceitável de 𝑇 se aliasing sobreposição espectral é evitado ou seja tal que 𝑥𝑐𝑡 pode ser recuperado de 𝑥𝑛 b Determine ℎ𝑛 c Em termos de 𝑋𝑒𝑗𝜔 qual é o valor de 𝑦𝑛 para 𝑛 d Determine se há algum valor de 𝑇 para o qual 𝑦𝑛 𝑛 𝑥𝑐𝑡𝑑𝑡 Se existir algum valor de 𝑇 determine o valor máximo Se não existir explique e especifique como 𝑇 deve ser escolhido para que a igualdade acima seja melhor aproximada 9 OPPENHEIM 49 Considere um sinal estável de tempo discreto 𝑥𝑛 cuja transformada de Fourier de tempo discreto 𝑋𝑒𝑗𝜔 satisfaz a equação 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔𝜋 e tenha simetria par ou seja 𝑥𝑛 𝑥𝑛 a Mostre que 𝑋𝑒𝑗𝜔 é periódico com um período 𝜋 b Encontre o valor de 𝑥3 Dica encontre valores para todos os pontos de índices ímpares c Seja 𝑦𝑛 a versão dizimada de 𝑥𝑛 ou seja 𝑦𝑛 𝑥2𝑛 Você pode reconstruir 𝑥𝑛 de 𝑦𝑛 para todos 𝑛 Se sim como Se não justifique sua resposta EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 03 Claudio José Bordin Júnior v10 Fernando Freitas Alves fernandofreitasalunoufabcedubr 060814 pág 49 10 OPPENHEIM 410 Cada um dos seguintes sinais de tempo contínuo é utilizado como entrada 𝑥𝑐𝑡 para um conversor ideal 𝐴𝐷 como exibido na figura abaixo com um período amostral 𝑇 especificado Em cada caso encontre o sinal resultado de tempo discreto 𝑥𝑛 a 𝑥𝑐𝑡 cos2𝜋1000𝑡 𝑇 1 3000 𝑠 b 𝑥𝑐𝑡 sen2𝜋1000𝑡 𝑇 1 1500 𝑠 c 𝑥𝑐𝑡 sen2𝜋1000𝑡 𝜋𝑡 𝑇 1 5000 𝑠 11 OPPENHEIM 411 O seguinte sinal de tempo contínuo 𝑥𝑐𝑡 e correspondente sinal de saída de tempo discreto 𝑥𝑛 são aqueles de um conversor AD ideal como exibido na figura abaixo Especifique uma escolha para o período amostral 𝑇 que seja consistente com cada par de 𝑥𝑐𝑡 e 𝑥𝑛 Adicionalmente indique quando sua escolha de 𝑇 é única Se não especifique uma segunda escolha de 𝑇 consistente com a informação dada a 𝑥𝑐𝑡 sen10𝜋𝑡 𝑥𝑛 sen𝜋𝑛 4 b 𝑥𝑐𝑡 sen10𝜋𝑡 10𝜋𝑡 𝑥𝑛 sen𝜋𝑛 2 𝜋𝑛 2 12 OPPENHEIM 412 No sistema da figura abaixo assuma que 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑗𝜔 𝑇 𝜋 𝜔 𝜋 e 𝑇 1 10 𝑠 a Para cada uma das seguintes entradas 𝑥𝑐𝑡 encontre a saída 𝑦𝑐𝑡 correspondente i 𝑥𝑐𝑡 cos6𝜋𝑡 ii 𝑥𝑐𝑡 cos14𝜋𝑡 b Essas saídas 𝑦𝑐𝑡 são aquelas que você esperaria de um diferenciador EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 03 Claudio José Bordin Júnior v10 Fernando Freitas Alves fernandofreitasalunoufabcedubr 060814 pág 59 13 OPPENHEIM 413 No sistema da figura abaixo ℎ𝑐𝑡 𝛿𝑡 𝑇 2 a Suponha que a entrada 𝑥𝑛 sen𝜋𝑛 2 e 𝑇 10 Encontre 𝑦𝑛 b Suponha que você utilize a mesma entrada 𝑥𝑛 do item a mas com 𝑇 ao meio sendo agora 5 Encontre o resultante 𝑦𝑛 c Em geral como um sistema LIT de tempo contínuo ℎ𝑐𝑡 limita o intervalo do período amostral 𝑇 para que possa ser utilizado sem alterar 𝑦𝑛 14 OPPENHEIM 414 Qual dos seguintes sinais pode ser reamostrado em downsampling menos amostras por um fator de 2 utilizando o sistema da figura abaixo sem nenhuma perda de informação a 𝑥𝑛 𝛿𝑛 𝑛0 para 𝑛0 algum valor inteiro desconhecido b 𝑥𝑛 cos𝜋𝑛 4 c 𝑥𝑛 cos𝜋𝑛 4 cos3𝜋𝑛 4 d 𝑥𝑛 sen𝜋𝑛 3 e 𝑥𝑛 1𝑛 sen𝜋𝑛 3 𝜋𝑛 3 15 OPPENHEIM 415 Considere o sistema da figura abaixo Para cada um dos sinais de entrada 𝑥𝑛 indique quando a saída 𝑥𝑇𝑛 𝑥𝑛 a 𝑥𝑛 cos𝜋𝑛 4 b 𝑥𝑛 cos𝜋𝑛 2 c 𝑥𝑛 sen𝜋𝑛 8 𝜋𝑛 2 Dica utilize a propriedade de modulação da transformada de Fourier para encontrar 𝑋𝑒𝑗𝜔 EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 03 Claudio José Bordin Júnior v10 Fernando Freitas Alves fernandofreitasalunoufabcedubr 060814 pág 69 16 OPPENHEIM 416 Considere a figura abaixo onde 1 representa um sistema de mudança de taxa de amostragem por um fator não inteiro e 2 representa o mesmo sistema simplificado onde os filtros dizimador e interpolador são combinados A entrada 𝑥𝑛 e sua saída 𝑥𝑑𝑛 correspondente são dados para uma escolha específica de 𝑀 𝐿 em cada um dos seguintes itens Determine uma escolha para 𝑀 𝐿 baseada na informação dada e especifique quando a sua escolha é única a 𝑥𝑛 sen𝜋𝑛 3 𝜋𝑛 3 𝑥𝑑𝑛 sen5𝜋𝑛 6 5𝜋𝑛 6 b 𝑥𝑛 cos3𝜋𝑛 4 𝑥𝑑 cos𝜋𝑛 2 EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 03 Claudio José Bordin Júnior v10 Fernando Freitas Alves fernandofreitasalunoufabcedubr 060814 pág 79 17 OPPENHEIM 417 Cada um dos seguintes itens lista um sinal de entrada 𝑥𝑛 e as taxas 𝐿 e 𝑀 das reamostragens em upsampling mais amostras e downsampling menos amostras para o sistema da figura abaixo onde 1 representa um sistema de mudança de taxa de amostragem por um fator não inteiro e 2 representa o mesmo sistema simplificado onde os filtros dizimador e interpolador são combinados Determine a saída correspondente 𝑥𝑑𝑛 a 𝑥𝑛 sen2𝜋𝑛 3 𝜋𝑛 𝐿 4 𝑀 3 b 𝑥𝑛 sen3𝜋𝑛 4 𝐿 3 𝑀 5 EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 03 Claudio José Bordin Júnior v10 Fernando Freitas Alves fernandofreitasalunoufabcedubr 060814 pág 89 18 OPPENHEIM 418 Para o sistema ilustrado na figura abaixo onde 1 representa um sistema de mudança de taxa de amostragem por um fator não inteiro e 2 representa o mesmo sistema simplificado onde os filtros dizimador e interpolador são combinados 𝑋𝑒𝑗𝜔 a transformada de Fourier do sinal de entrada 𝑥𝑛 é ilustrado em 3 Para cada uma das seguintes escolhas de 𝐿 e 𝑀 especifique o máximo valor possível de 𝜔0 tal que 𝑋𝑑𝑒𝑗𝜔 𝑎𝑋𝑒𝑗𝑀𝜔 𝐿 para alguma constante 𝑎 a 𝑀 3 𝐿 2 b 𝑀 5 𝐿 3 c 𝑀 2 𝐿 3 EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 03 Claudio José Bordin Júnior v10 Fernando Freitas Alves fernandofreitasalunoufabcedubr 060814 pág 99 19 OPPENHEIM 419 O sinal de tempo contínuo 𝑥𝑐𝑡 com transformada de Fourier 𝑋𝑐𝑗Ω ilustrado em 1 da figura abaixo é passado através do sistema ilustrado em 2 Determine o intervalo de valores pra 𝑇 no qual 𝑥𝑟𝑡 𝑥𝑐𝑡 20 OPPENHEIM 420 Considere o sistema em 1 da figura abaixo O sinal de entrada 𝑥𝑐𝑡 tem transformada de Fourier ilustrado em 2 com Ω0 2𝜋1000 𝑟𝑎𝑑 𝑠 O sistema de tempo discreto é um filtro passabaixa ideal com resposta em frequência 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 0 𝜔 𝜔𝑐 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 a Qual é a mínima taxa de amostragem 𝐹𝑥 1 𝑇 tal que nenhum aliasing sobreposição espectral aconteça na amostragem da entrada b Se 𝜔𝑐 𝜋 2 qual é a mínima taxa de amostragem tal que 𝑦𝑐𝑡 𝑥𝑐𝑡