Lista de Exercícios Resolvidos - Processamento Digital de Sinais - UFABC

EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 01 e 02 Claudio José Bordin Júnior v7 Fernando Freitas Alves fernandofreitasufabcedubr 220615 pág 13 BIBLIOGRAFIA OPPENHEIM A SCHAFER R DISCRETETIME SIGNAL PROCESSING 2ND ED 1 OPPENHEIM 21 Para cada um dos sistemas seguintes determine quando o sistema é 1 estável 2 causal 3 linear 4 invariante no tempo e 4 sem memória i 𝑇𝑥𝑛 𝑔𝑛𝑥𝑛 com 𝑔𝑛 arbitrário ii 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑘 𝑛 𝑘𝑛0 iii 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑘 𝑛𝑛0 𝑘𝑛𝑛0 iv 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑛0 v 𝑇𝑥𝑛 𝑒𝑥𝑛 vi 𝑇𝑥𝑛 𝑎𝑥𝑛 𝑏 vii 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 viii 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3𝑢𝑛 1 2 OPPENHEIM 22 a A resposta ao impulso ℎ𝑛 de um sistema linear e invariante no tempo é conhecido como nula exceto no intervalo 𝑁0 𝑛 𝑁1 A entrada 𝑥𝑛 é também conhecida como nula exceto no intervalo 𝑁2 𝑥 𝑁3 Como resultado a saída é forçada a também ser nulo exceto em algum intervalo 𝑁4 𝑛 𝑁5 Determine 𝑁4 e 𝑁5 em termos de 𝑁0 𝑁1 𝑁2 e 𝑁3 b Se 𝑥𝑛 for nulo exceto quando 𝑁 for pontos consecutivos e ℎ𝑛 também for nulo exceto quando 𝑀 for pontos consecutivos qual é o número máximo de pontos consecutivos para o qual 𝑦𝑛 pode ser não nulo 3 OPPENHEIM 23 Por verificação direta do somatório de convolução determine a resposta degrau para um sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é ℎ𝑛 𝑎𝑛𝑢𝑛 0 𝑎 1 4 OPPENHEIM 27 Determine se cada um dos seguintes sinais é periódico Se o sinal for periódico encontre seu período a 𝑥𝑛 𝑒𝑗𝜋𝑛 6 b 𝑥𝑛 𝑒𝑗3𝜋𝑛 4 c 𝑥𝑛 sen𝜋𝑛 5 𝜋𝑛 d 𝑥𝑛 𝑒𝑗𝜋𝑛 2 5 OPPENHEIM 28 Um sistema linear e invariante no tempo possui a resposta ao impulso ℎ𝑛 5 1 2 𝑛 𝑢𝑛 Use a transformada de Fourier para encontrar a saída desse sistema for 𝑥𝑛 1 3 𝑛 𝑢𝑛 6 OPPENHEIM 210 Determine a saída de um sistema linear e invariante no tempo se a resposta ao impulso ℎ𝑛 e a entrada 𝑥𝑛 forem a 𝑥𝑛 𝑢𝑛 e ℎ𝑛 𝑎𝑛 𝑢𝑛 1 com 𝑎 1 b 𝑥𝑛 𝑢𝑛 4 e ℎ𝑛 2𝑛 𝑢𝑛 1 c 𝑥𝑛 𝑢𝑛 e ℎ𝑛 052𝑛 𝑢𝑛 d 𝑥𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛 10 e ℎ𝑛 2𝑛 𝑢𝑛 1 Utilize o seu conhecimento de linearidade e invariância no tempo para minimizar o trabalho nos itens b ao d EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 01 e 02 Claudio José Bordin Júnior v7 Fernando Freitas Alves fernandofreitasufabcedubr 220615 pág 23 7 OPPENHEIM 211 Considere um sistema linear e invariante no tempo com resposta em frequência 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 𝑒𝑗2𝜔 1 1 2 𝑒𝑗4𝜔 𝜋 𝜔 𝜋 Determine a saída 𝑦𝑛 para todo 𝑛 se a entrada 𝑥𝑛 para todo 𝑛 for 𝑥𝑛 sen 𝜋𝑛 4 8 OPPENHEIM 213 Indique qual dos seguintes sinais em tempo discreto são autofunções de sistemas em tempo discreto estáveis lineares e invariantes no tempo a 𝑒𝑗2𝜋𝑛 3 b 3𝑛 c 2𝑛 𝑢𝑛 1 d cos𝜔0𝑛 e 1 4 𝑛 f 1 4 𝑛 𝑢𝑛 4𝑛 𝑢𝑛 1 9 OPPENHEIM 214 Uma relação única de entrada e saída é dada para cada um dos três sistemas a seguir a Sistema A 𝑥𝑛 1 3 𝑛 𝑦𝑛 2 1 3 𝑛 b Sistema B 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑦𝑛 1 4 𝑛 c Sistema C 𝑥𝑛 2 3 𝑛 𝑢𝑛 𝑦𝑛 4 2 3 𝑛 𝑢𝑛 3 1 2 𝑛 𝑢𝑛 Baseado nessa informação escolha a conclusão mais geral possível sobre cada sistema da seguinte lista de afirmações i O sistema não pode ser linear e invariante no tempo ii O sistema obrigatoriamente é linear e invariante no tempo iii O sistema pode ser linear e invariante no tempo e existe somente um sistema linear e invariante no tempo que satisfaça essa relação de entrada e saída iv O sistema pode ser linear e invariante no tempo mas não pode ser unicamente determinado por essa informação de entrada e saída Se você escolher a opção iii dessa lista especifique a resposta ao impulso ℎ𝑛 ou a resposta em frequência 𝐻𝑒𝑗𝜔 para o sistema linear e invariante no tempo 10 OPPENHEIM 215 Considere o sistema ilustrado na figura abaixo A saída de um sistema linear e invariante no tempo com uma resposta ao impulso ℎ𝑛 1 4 𝑛 𝑢𝑛 10 é multiplicada por uma função degrau unitário 𝑢𝑛 para fornecer a saída do sistema completo Responda cada uma das seguintes questões justificando brevemente sua resposta a O sistema completo é linear e invariante no tempo b O sistema completo é causal ℎ𝑛 1 4 𝑛 𝑢𝑛 10 𝑢𝑛 𝑥𝑛 𝑦𝑛 EN2610 Processamento Digital de Sinais UFABC Lista 01 e 02 Claudio José Bordin Júnior v7 Fernando Freitas Alves fernandofreitasufabcedubr 220615 pág 33 c O sistema completo é estável no sentido BIBO acrônimo do inglês Bounded Input Bounded Output que significa Entrada Limitada Saída Limitada 11 OPPENHEIM 217 a Determine a transformada de Fourier da sequência 𝑟𝑛 1 0 0 𝑛 𝑀 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 b Considerando a sequência 𝑤𝑛 1 2 1 cos 2𝜋𝑛 𝑀 0 0 𝑛 𝑀 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Esboce 𝑤𝑛 e expresse 𝑊𝑒𝑗𝜔 a transformada de Fourier de 𝑤𝑛 em termos de 𝑅𝑒𝑗𝜔 e a transformada de 𝑟𝑛 Dica primeiramente expresse 𝑤𝑛 em termos de 𝑟𝑛 e os complexos exponenciais 𝑒𝑗2𝜋𝑛 𝑀 e 𝑒𝑗2𝜋𝑛 𝑀 c Esboce a magnitude de 𝑅𝑒𝑗𝜔 e 𝑊𝑒𝑗𝜔 para o caso que 𝑀 4 12 OPPENHEIM 218 Para cada uma das respostas ao impulso dos sistemas lineares e invariantes no tempo indique se o sistema é ou não é causal a ℎ𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 b ℎ𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 1 c ℎ𝑛 1 2 𝑛 d ℎ𝑛 𝑢𝑛 2 𝑢𝑛 2 e ℎ𝑛 1 3 𝑛 𝑢𝑛 3𝑛 𝑢𝑛 1 13 OPPENHEIM 219 Para cada uma das respostas ao impulso dos sistemas lineares e invariantes no tempo indique se o sistema é ou não é estável a ℎ𝑛 4𝑛 𝑢𝑛 b ℎ𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛 10 c ℎ𝑛 3𝑛 𝑢𝑛 1 d ℎ𝑛 sen𝜋𝑛 3 𝑢𝑛 e ℎ𝑛 3 4 𝑛 cos𝜋𝑛 4 𝜋 4 f ℎ𝑢 2 𝑢𝑛 5 𝑢𝑛 𝑢𝑛 5