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BCJ0204 Fenômenos Mecânicos Experimento 4 Roteiro Colisão com Momento Angular Introdução Motivação as leis de Keppler A palavra planeta significa estrela andarilha que se movimenta de maneira irregular ou imprevisível Entender o movimento dos planetas era um grande mistério para a Humanidade até o século XVII Usando as anotações de Tycho Brahe Kepler foi forçado a jogar fora todas as suas idéias Ele percebeu que nada do que havia pensado funcionava no mundo real Em lugar de se desesperar Kepler manteve sua fé no design perfeito O que mudou foi o que ele passou a chamar de perfeito Depois de anos de trabalho Kepler escreveu 3 leis do movimento planetário 1 os planetas se movimentam em elipses sendo que o Sol está em um dos focos da elipse 2 o vetor posição do planeta a partir do Sol percorre área iguai em tempos iguais Johannes Kepler Johannes Kepler viveu na Europa do século XVII Era um homem de seu tempo protestante e com uma crença muito forte que o design de Deus para o Universo seria perfeito Durante anos tentou entender o movimento dos planetas usando os sólidos perfeitos de Platão o que provaria essa beleza do design de Deus Para provar suas idéias Kepler aceitou trabalhar com Tycho Brahe Tycho Brahe era o oposto de Kepler em muitas coisas desde seu comportamento no dia a dia até como melhor fazer ciência Tycho Brahe observava os céus com cuidado meticulosamente fazendo mapas celestiais dos movimentos das estrelas e planetas Seus mapas e anotações eram considerados os melhores que haviam na Europa e por isso Kepler foi procuralo Tycho Brahe Para começarmos a entender essa lei precisaríamos calcular essas áreas Isso parece muito difícil mas com a ajuda do produto vetorial é possível de ser feito de maneira rápida Esse tipo de produto deve ter sido apresentado já no começo do curso e será visto em detalhes no Ciclo 4 O produto vetorial de dois vetores é perpendicular ao plano que contêm os dois vetores como representado na figura ao lado 3 a razão entre o quadrado do tempo de revolução do planeta e o cubo do semieixo maior da elipse é constante para todos os planetas Essas 3 leis foram revolucionárias porque mostravam que o funcionamento do Universo podia ser entendido com bases em leis simples obtidas a partir da observação da natureza Vamos nos concentrar principalmente na segunda lei de Kepler que diz que o vetor posição do planeta varre áreas iguais em tempos iguais como na figura abaixo Veja que isso significa que a velocidade angular do planeta não pode ser constante Como as órbitas são elipses e não círculos a distância do planeta ao Sol varia quando ele está mais próximo do Sol ele precisa girar mais rápido para que a área varrida pintada em azul seja igual à quando ele está mais distante Como veremos daqui a pouco essa lei tem um princípio físico importante por trás dela ela irá nos mostrar uma nova lei de conservação O que vamos precisar usar aqui é apenas que o módulo do produto escalar entre dois vetores 𝑎 e 𝑏 é 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 sin Onde é o ângulo entre os vetores Se você olhar para a figura abaixo deve perceber que o módulo do produto vetorial é igual à área do paralelogramo definido pelos dois vetores Agora vamos relacionar o produto vetorial com a área varrida pelo vetor posição do planeta Veja na figura ao lado um pedaço da trajetória e queremos calcular a área delimitada pelos três vetores representados que é a área varrida pela posição do planeta durante um intervalo de tempo infinitesimal dt Note que há uma aproximação aqui a área compreendida pela curva não é exatamente a área do triângulo da figura mas no limite em que dt tende a zero a aproximação fica progressivamente melhor Essa é a magia do cálculo diferencial funcionando nessa situação A área que queremos calcular é a do triângulo que é a metade da área do quadrilátero definido pelos vetores 𝑟 e 𝑟 𝑣𝑑𝑡 ou seja 𝑑𝐴 1 2 𝑟 𝑟 𝑣𝑑𝑡 abrindo o produto e usando que 𝑟 𝑟 se anula e dividindo por dt chegamos a 𝑑𝐴 𝑑𝑡 1 2 𝑟 𝑣 A segunda lei de Keppler nos diz que a área tem que ser igual em tempos iguais isso é o mesmo que dizer que a taxa de variação da área em função do tempo é constante ou seja 1 2 𝑟 𝑣 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 esta é a expressão matemática da segunda lei de Keppler usando o produto vetorial Áreas iguais em tempos iguais As leis de Kepler são um fato experimental mas elas não são de forma alguma inesperadas Imagine o problema que estudamos no laboratório 1 do carrinho movendose sobre o trilho sem a ação de nenhuma força Olhando o problema de cima teríamos algo como a figura abaixo Podemos novamente calcular a área hachurada varrida pelo vetor posição conforme o carro se desloca com velocidade constante por um intervalo de tempo dt usando o produto vetorial 𝑑𝐴 1 2 𝑟 𝑣𝑑𝑡 Vamos calcular essa área usando trigonometria A figura abaixo vai ajudar a fazer isso O que fizemos foi mover os vetores para que fiquem com a mesma origem A área do paralelogramo definido por 𝑟 e 𝑣𝑑𝑡 é igual à base que é o comprimento de 𝑟 𝑣𝑑𝑡 vezes a altura que pela figura é 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜋 𝜃 Mas usando um pouco de trigonometria 𝑠𝑖𝑛𝜋 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜋𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 onde usamos que 𝑠𝑖𝑛𝜋 0 e 𝑐𝑜𝑠𝜋 1 Usando isso na figura vemos que a altura do paralelogramo é 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑏 que é a distância entre o trilho e a origem que estamos considerando para o vetor posição Esse parâmetro b é muito importante e ganha um nome parâmetro de impacto O que descobrimos então é que 𝑑𝐴 𝑑𝑡 1 2 𝑟 𝑣 1 2 𝑏𝑣 que é constante Ou seja o carrinho se deslocando com velocidade constante sobre o trilho também obedece uma lei exatamente como na segunda lei de Kepler Preste atenção que isso aqui decorreu de dois fatos 1 a projeção do vetor posição do carrinho na direção perpendicular ao vetor velocidade é constante 2 a primeira lei de Newton que diz que a velocidade do carro deve ser constante já que não há forças atuando sobre ele A primeira lei de Newton na sua forma mais geral envolve o momento linear por isso é interessante reescrever nossa expressão em função do momento linear Basta multiplicamos e dividimos pela massa do carrinho 𝑑𝐴 𝑑𝑡 1 2𝑚 𝑟 𝑝 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 A quantidade 𝐿 𝑡 𝑟 𝑡 𝑝𝑡 ganha o nome especial de momento angular Tanto no problema do movimento dos planetas estudado por Kepler como nesse problema do carro andando o momento angular é uma quantidade conservada Um dos nossos objetivos nesse relatório é aprender um pouco sobre essa quantidade O que pode mudar o momento angular Para sabermos isso vamos tomar sua derivada com relação ao tempo 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑝 𝑟 𝑑𝑝 𝑑𝑡 Como o vetor 𝑑𝑟 𝑑𝑡 é sempre paralelo à velocidade então o primeiro produto vetorial da equação é exatamente zero 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝑟 𝑑𝑝 𝑑𝑡 A derivada do momento angular é chamada de torque e ela é proporcional a projeção da força sobre o corpo na direção perpendicular ao vetor posição usado Por isso o torque é zero se 1 a força é zero ou 2 se a força faz 0 ou 180 graus com o vetor posição ou 3 se o vetor posição tem tamanho zero Tanto o torque quanto o momento angular DEPENDEM da escolha da origem do sistema de coordenadas que escolhemos Muitas vezes as pessoas dizem que essas quantidades estão associadas com rotação mas isso está incorreto O momento angular e o torque SEMPRE podem ser definidos independente se há rotação ou não O que acontece é que quando os movimentos considerados não envolvem rotações essas grandezas não acrescentam nenhuma informação que já não esteja contida no que aprendemos até o momento Mas quando existe rotação aí é essencial considerar essas quantidades para entender o que está acontecendo Em resumo para encontrar o momento angular 1 Escolhemos a origem do sistema de coordenadas inercial 2 escrevemos o vetor posição do objeto e fazemos o produto vetorial do vetor posição com o momento do objeto 3 o momento angular é uma quantidade que não muda de valor se não há força agindo sobre o objeto ou se a força faz 0 ou 180 graus com o vetor posição usado ou se a força está sendo aplicada sobre a origem casos em que o torque será zero Uma nova lei de conservação Aprendemos e verificamos experimentalmente no experimento anterior de colisões que o momento linear total é conservado para um sistema quando não há forças externas Podemos chegar a uma conclusão parecida para o momento angular total O argumento completo será visto na parte teórica da disciplina mas a conclusão é a seguinte No caso de um sistema isolado sem forças externas em que as forças internas sejam centrais ou de contato então o momento angular total é conservado Esta é a Lei de Conservação do Momento Angular Quando um objeto está girando em um sistema fechado e nenhum torque externo é aplicado a ele não haverá mudança no momento angular Um exemplo de conservação do momento angular é uma patinadora no gelo executando um giro na ponta de seu patim com os braços estendidos Há relativamente pouco atrito entre seus patins e o gelo ou 𝐹 é pequeno e o atrito é exercido muito próximo ao ponto de pivô a distância relevante 𝑟 é muito pequena Portanto 𝜏 𝑟 𝐹 é desprezível ou seja o torque resultante sobre a bailarina é muito próximo de zero Consequentemente seu momento angular é conservado e ela pode girar por algum tempo Ela também pode aumentar sua taxa de rotação imagem b puxando os braços e as pernas do eixo vertical de rotação Quando ela faz isso a distribuição espacial de sua massa muda o que afeta sua rotação A maneira mais simples de entender como ela consegue mudar sua velocidade de rotação é olhando para uma bola de massa 𝑚 girando em uma órbita circular quando presa a uma corda como na figura O momento angular da bola é em módulo 𝐿 𝑚𝑟𝑣 Como o movimento é circular a velocidade pode ser escrita como 𝑣 𝑟𝜔 com 𝜔 a velocidade angular 𝐿 𝑚𝑟2𝜔 A quantidade 𝐼 𝑚𝑟2 é chamada de momento de inércia Ela faz o papel de massa quando estamos estudando objetos que estão girando Essa quantidade tem a informação não apenas da massa do objeto mas como ela está distribuída no espaço Se movermos o peso para cima ou para baixo então o raio 𝑟 de rotação muda Como a força que fazemos sobre a bola é radial ao longo do raio o momento angular se mantém constante 𝐿 𝑚𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 2 𝜔𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑚𝑟𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 2 𝜔𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 para que isso se mantenha verdade a velocidade angular da bola tem de mudar O caso da bailarina é análogo O momento de inércia dela diminui e a velocidade angular aumenta para manter o momento angular 𝐿 𝐼𝑏𝑎𝑖𝑙𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎𝐼𝜔 uma constante onde 𝐼 é o momento de inércia e 𝜔 é a velocidade angular dela Por que o momento angular aparece em muitos lugares na Física Quando estudamos as leis de Kepler a razão do momento angular ser constante foi que a força da gravidade que um planeta sente aponta exatamente na direção da origem do sistema de coordenadas onde está o Sol Quando isso acontece a força é chamada de força central aponta na direção entre os dois corpos A força elétrica e a força gravitacional são desse tipo A maior parte dos fenômenos do dia a dia é governada por essas forças sendo assim a conservação do momento angular aparece em vários fenômenos que observamos no dia a dia A conservação do momento angular é uma das principais leis de conservação da física juntamente com as leis de conservação da energia e do momento linear Essas leis são aplicáveis mesmo em domínios microscópicos onde a mecânica quântica governa elas existem devido às simetrias fundamentais presentes na natureza pesquise sobre o Teorema de Noether Colisões Rotacionais Em um sistema isolado o momento angular total é sempre conservado após uma colisão de maneira semelhante ao momento linear Usando o momento angular para estudar rotações Já estudamos o momento angular para pontos materiais mas agora precisamos aprender a usalo no caos de corpos extensos Objetos Pontuais Point object na figura O objeto considerado como um ponto material está realizando um movimento circular ou giratório em torno de um ponto fixo por exemplo a Terra girando em torno do Sol Aqui o momento angular é definido como 𝐿 𝑟 𝑝 onde 𝑟 é a distância entre o objeto e o ponto fixo sobre o qual ele gira e 𝑝 é o momento linear do objeto Objeto Estendido Extended object na figura O objeto com um tamanho finito que está girando em torno de um ponto fixo ou eixo dentro de seu corpo Por exemplo a Terra gira em torno de seu eixo Aqui o momento angular é dado por 𝐿 𝐼 𝜔 onde 𝐼 é o momento de inércia e 𝜔 é a velocidade angular Essas equações são análogas à definição de momento linear como 𝑝 𝑚𝑣 que tem a unidade 𝑘𝑔 𝑚𝑠 A unidade de momento angular é 𝒌𝒈 𝒎𝟐𝒔 Como seria de esperar um objeto que tem um grande momento de inércia 𝐼 como a Terra tem um momento angular muito grande Um objeto que tem uma grande velocidade angular 𝜔 como uma centrífuga também tem um momento angular bastante grande Objetivos Neste experimento será feita a análise de colisão entre um carrinho que percorre um trilho de ar e um disco giratório Esta análise permitirá que o estudante verifique a validade do princípio de conservação do momento angular Materiais Trilho de ar linear Gerador de fluxo de ar Chave inversora Cronômetro digital Sensores fotoelétricos 1 Carrinho deslizante dotado de uma haste vertical para bloqueio dos fotossensores 1 Disco plástico fixado em suporte apropriado Fio de nylon Suporte para pesos Balança Régua Advertência Para não produzir arranhões na superfície do trilho de ar nunca movimente os carrinhos sobre o mesmo sem que o gerador de fluxo de ar esteja funcionando Verifique se a pista e a parte inferior do carrinho se encontram bem limpas caso contrário limpeas com um pano úmido Evite choques mecânicos fortes entre o carrinho e o trilho Tenha cuidado com o equipamento Uma queda de alguns centímetros pode inutilizar o carrinho por completo Procedimento Experimental Você deve assistir o vídeo explicativo httpswwwyoutubecomwatchvf6TfOcq3st8s Este experimento vai envolver duas etapas uma em que o carrinho percorre o trilho sem acontecer a colisão com o disco e a outra em que ocorre a colisão MEDIDAS INICIAIS 1 Pese o carrinho apenas o carrinho não o peso pendurado pela polia 2 Anote a massa do disco está escrita no próprio disco ou pergunte ao seu professor 3 Meça o raio do disco distância do seu centro até a borda 4 Meça o parâmetro de impacto a distância do seu centro até a cabeça do alfinete PRIMEIRA ETAPA SEM COLISÃO O trilho de ar deverá estar numa configuração como representada acima Nesta etapa não haverá colisão entre o carrinho e o disco Seu objetivo nesta etapa será estudar a velocidade e o momento angular final que o carrinho possui ao passar pelo último par de sensores 1 Meça com a régua os comprimentos LI LII e LIV Note que você não precisa anotar o comprimento LIII que é o espaço maior onde vai acontecer a colisão com o disco Meça cada comprimento de três formas diferentes como feito nos outros experimentos 2 O carrinho deverá ser solto sempre do mesmo ponto Se possível use o botão disparador que devidamente configurado permite soltar o carrinho sem fornecer uma velocidade inicial Caso ele não esteja disponível tenha o cuidado de sempre soltar o carrinho do mesmo ponto sem empurrálo 3 O carrinho será acelerado pelo contrapeso de forma similar ao experimento 2 Verifique que o fio desimpedido e que o contrapeso tem espaço para cair livremente 4 Solte o carrinho e anote todos os intervalos de tempo Você deverá repetir este processo três vezes como nos demais experimentos SEGUNDA ETAPA COM COLISÃO 1 Ajuste a posição do disco para que ele fique entre os sensores três e quatro ou seja no intervalo LIII Ajuste o disco para que a cabeça do alfinete vá colidir exatamente com a antena do carrinho 2 É importante que o carrinho seja solto exatamente do mesmo ponto que na primeira etapa garantindo as mesmas condições iniciais do movimento 3 Se assegure de que o disco não está girando e que o alvo está fazendo 90 graus com a direção de movimento do carrinho Isso pode exigir alguma tentativa e erro pois o disco tem bastante facilidade para girar e o próprio movimento do ar do trilho pode fazêlo girar espontaneamente Faça o melhor que conseguir para garantir que o disco esteja parado no momento da colisão 4 Para medir a velocidade angular do disco em cada colisão você deve filmar a colisão e depois em casa obter desta gravação o tempo que o disco leva para fazer a primeira volta T para daí calcular a velocidade angular Veja no vídeo algumas dicas de como fazer isso de forma eficiente 5 Libere o carrinho e anote os tempos relativos aos intervalos entre todos os sensores Repita o procedimento três vezes Considere que em nosso experimento a régua tem uma incerteza instrumental de σi05 mm e os relógios do laboratório de σi0001 s vamos assumir que não há erros sistemáticos σs0
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BCJ0204 Fenômenos Mecânicos Experimento 4 Roteiro Colisão com Momento Angular Introdução Motivação as leis de Keppler A palavra planeta significa estrela andarilha que se movimenta de maneira irregular ou imprevisível Entender o movimento dos planetas era um grande mistério para a Humanidade até o século XVII Usando as anotações de Tycho Brahe Kepler foi forçado a jogar fora todas as suas idéias Ele percebeu que nada do que havia pensado funcionava no mundo real Em lugar de se desesperar Kepler manteve sua fé no design perfeito O que mudou foi o que ele passou a chamar de perfeito Depois de anos de trabalho Kepler escreveu 3 leis do movimento planetário 1 os planetas se movimentam em elipses sendo que o Sol está em um dos focos da elipse 2 o vetor posição do planeta a partir do Sol percorre área iguai em tempos iguais Johannes Kepler Johannes Kepler viveu na Europa do século XVII Era um homem de seu tempo protestante e com uma crença muito forte que o design de Deus para o Universo seria perfeito Durante anos tentou entender o movimento dos planetas usando os sólidos perfeitos de Platão o que provaria essa beleza do design de Deus Para provar suas idéias Kepler aceitou trabalhar com Tycho Brahe Tycho Brahe era o oposto de Kepler em muitas coisas desde seu comportamento no dia a dia até como melhor fazer ciência Tycho Brahe observava os céus com cuidado meticulosamente fazendo mapas celestiais dos movimentos das estrelas e planetas Seus mapas e anotações eram considerados os melhores que haviam na Europa e por isso Kepler foi procuralo Tycho Brahe Para começarmos a entender essa lei precisaríamos calcular essas áreas Isso parece muito difícil mas com a ajuda do produto vetorial é possível de ser feito de maneira rápida Esse tipo de produto deve ter sido apresentado já no começo do curso e será visto em detalhes no Ciclo 4 O produto vetorial de dois vetores é perpendicular ao plano que contêm os dois vetores como representado na figura ao lado 3 a razão entre o quadrado do tempo de revolução do planeta e o cubo do semieixo maior da elipse é constante para todos os planetas Essas 3 leis foram revolucionárias porque mostravam que o funcionamento do Universo podia ser entendido com bases em leis simples obtidas a partir da observação da natureza Vamos nos concentrar principalmente na segunda lei de Kepler que diz que o vetor posição do planeta varre áreas iguais em tempos iguais como na figura abaixo Veja que isso significa que a velocidade angular do planeta não pode ser constante Como as órbitas são elipses e não círculos a distância do planeta ao Sol varia quando ele está mais próximo do Sol ele precisa girar mais rápido para que a área varrida pintada em azul seja igual à quando ele está mais distante Como veremos daqui a pouco essa lei tem um princípio físico importante por trás dela ela irá nos mostrar uma nova lei de conservação O que vamos precisar usar aqui é apenas que o módulo do produto escalar entre dois vetores 𝑎 e 𝑏 é 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 sin Onde é o ângulo entre os vetores Se você olhar para a figura abaixo deve perceber que o módulo do produto vetorial é igual à área do paralelogramo definido pelos dois vetores Agora vamos relacionar o produto vetorial com a área varrida pelo vetor posição do planeta Veja na figura ao lado um pedaço da trajetória e queremos calcular a área delimitada pelos três vetores representados que é a área varrida pela posição do planeta durante um intervalo de tempo infinitesimal dt Note que há uma aproximação aqui a área compreendida pela curva não é exatamente a área do triângulo da figura mas no limite em que dt tende a zero a aproximação fica progressivamente melhor Essa é a magia do cálculo diferencial funcionando nessa situação A área que queremos calcular é a do triângulo que é a metade da área do quadrilátero definido pelos vetores 𝑟 e 𝑟 𝑣𝑑𝑡 ou seja 𝑑𝐴 1 2 𝑟 𝑟 𝑣𝑑𝑡 abrindo o produto e usando que 𝑟 𝑟 se anula e dividindo por dt chegamos a 𝑑𝐴 𝑑𝑡 1 2 𝑟 𝑣 A segunda lei de Keppler nos diz que a área tem que ser igual em tempos iguais isso é o mesmo que dizer que a taxa de variação da área em função do tempo é constante ou seja 1 2 𝑟 𝑣 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 esta é a expressão matemática da segunda lei de Keppler usando o produto vetorial Áreas iguais em tempos iguais As leis de Kepler são um fato experimental mas elas não são de forma alguma inesperadas Imagine o problema que estudamos no laboratório 1 do carrinho movendose sobre o trilho sem a ação de nenhuma força Olhando o problema de cima teríamos algo como a figura abaixo Podemos novamente calcular a área hachurada varrida pelo vetor posição conforme o carro se desloca com velocidade constante por um intervalo de tempo dt usando o produto vetorial 𝑑𝐴 1 2 𝑟 𝑣𝑑𝑡 Vamos calcular essa área usando trigonometria A figura abaixo vai ajudar a fazer isso O que fizemos foi mover os vetores para que fiquem com a mesma origem A área do paralelogramo definido por 𝑟 e 𝑣𝑑𝑡 é igual à base que é o comprimento de 𝑟 𝑣𝑑𝑡 vezes a altura que pela figura é 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜋 𝜃 Mas usando um pouco de trigonometria 𝑠𝑖𝑛𝜋 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜋𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 onde usamos que 𝑠𝑖𝑛𝜋 0 e 𝑐𝑜𝑠𝜋 1 Usando isso na figura vemos que a altura do paralelogramo é 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑏 que é a distância entre o trilho e a origem que estamos considerando para o vetor posição Esse parâmetro b é muito importante e ganha um nome parâmetro de impacto O que descobrimos então é que 𝑑𝐴 𝑑𝑡 1 2 𝑟 𝑣 1 2 𝑏𝑣 que é constante Ou seja o carrinho se deslocando com velocidade constante sobre o trilho também obedece uma lei exatamente como na segunda lei de Kepler Preste atenção que isso aqui decorreu de dois fatos 1 a projeção do vetor posição do carrinho na direção perpendicular ao vetor velocidade é constante 2 a primeira lei de Newton que diz que a velocidade do carro deve ser constante já que não há forças atuando sobre ele A primeira lei de Newton na sua forma mais geral envolve o momento linear por isso é interessante reescrever nossa expressão em função do momento linear Basta multiplicamos e dividimos pela massa do carrinho 𝑑𝐴 𝑑𝑡 1 2𝑚 𝑟 𝑝 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 A quantidade 𝐿 𝑡 𝑟 𝑡 𝑝𝑡 ganha o nome especial de momento angular Tanto no problema do movimento dos planetas estudado por Kepler como nesse problema do carro andando o momento angular é uma quantidade conservada Um dos nossos objetivos nesse relatório é aprender um pouco sobre essa quantidade O que pode mudar o momento angular Para sabermos isso vamos tomar sua derivada com relação ao tempo 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑝 𝑟 𝑑𝑝 𝑑𝑡 Como o vetor 𝑑𝑟 𝑑𝑡 é sempre paralelo à velocidade então o primeiro produto vetorial da equação é exatamente zero 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝑟 𝑑𝑝 𝑑𝑡 A derivada do momento angular é chamada de torque e ela é proporcional a projeção da força sobre o corpo na direção perpendicular ao vetor posição usado Por isso o torque é zero se 1 a força é zero ou 2 se a força faz 0 ou 180 graus com o vetor posição ou 3 se o vetor posição tem tamanho zero Tanto o torque quanto o momento angular DEPENDEM da escolha da origem do sistema de coordenadas que escolhemos Muitas vezes as pessoas dizem que essas quantidades estão associadas com rotação mas isso está incorreto O momento angular e o torque SEMPRE podem ser definidos independente se há rotação ou não O que acontece é que quando os movimentos considerados não envolvem rotações essas grandezas não acrescentam nenhuma informação que já não esteja contida no que aprendemos até o momento Mas quando existe rotação aí é essencial considerar essas quantidades para entender o que está acontecendo Em resumo para encontrar o momento angular 1 Escolhemos a origem do sistema de coordenadas inercial 2 escrevemos o vetor posição do objeto e fazemos o produto vetorial do vetor posição com o momento do objeto 3 o momento angular é uma quantidade que não muda de valor se não há força agindo sobre o objeto ou se a força faz 0 ou 180 graus com o vetor posição usado ou se a força está sendo aplicada sobre a origem casos em que o torque será zero Uma nova lei de conservação Aprendemos e verificamos experimentalmente no experimento anterior de colisões que o momento linear total é conservado para um sistema quando não há forças externas Podemos chegar a uma conclusão parecida para o momento angular total O argumento completo será visto na parte teórica da disciplina mas a conclusão é a seguinte No caso de um sistema isolado sem forças externas em que as forças internas sejam centrais ou de contato então o momento angular total é conservado Esta é a Lei de Conservação do Momento Angular Quando um objeto está girando em um sistema fechado e nenhum torque externo é aplicado a ele não haverá mudança no momento angular Um exemplo de conservação do momento angular é uma patinadora no gelo executando um giro na ponta de seu patim com os braços estendidos Há relativamente pouco atrito entre seus patins e o gelo ou 𝐹 é pequeno e o atrito é exercido muito próximo ao ponto de pivô a distância relevante 𝑟 é muito pequena Portanto 𝜏 𝑟 𝐹 é desprezível ou seja o torque resultante sobre a bailarina é muito próximo de zero Consequentemente seu momento angular é conservado e ela pode girar por algum tempo Ela também pode aumentar sua taxa de rotação imagem b puxando os braços e as pernas do eixo vertical de rotação Quando ela faz isso a distribuição espacial de sua massa muda o que afeta sua rotação A maneira mais simples de entender como ela consegue mudar sua velocidade de rotação é olhando para uma bola de massa 𝑚 girando em uma órbita circular quando presa a uma corda como na figura O momento angular da bola é em módulo 𝐿 𝑚𝑟𝑣 Como o movimento é circular a velocidade pode ser escrita como 𝑣 𝑟𝜔 com 𝜔 a velocidade angular 𝐿 𝑚𝑟2𝜔 A quantidade 𝐼 𝑚𝑟2 é chamada de momento de inércia Ela faz o papel de massa quando estamos estudando objetos que estão girando Essa quantidade tem a informação não apenas da massa do objeto mas como ela está distribuída no espaço Se movermos o peso para cima ou para baixo então o raio 𝑟 de rotação muda Como a força que fazemos sobre a bola é radial ao longo do raio o momento angular se mantém constante 𝐿 𝑚𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 2 𝜔𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑚𝑟𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 2 𝜔𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 para que isso se mantenha verdade a velocidade angular da bola tem de mudar O caso da bailarina é análogo O momento de inércia dela diminui e a velocidade angular aumenta para manter o momento angular 𝐿 𝐼𝑏𝑎𝑖𝑙𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎𝐼𝜔 uma constante onde 𝐼 é o momento de inércia e 𝜔 é a velocidade angular dela Por que o momento angular aparece em muitos lugares na Física Quando estudamos as leis de Kepler a razão do momento angular ser constante foi que a força da gravidade que um planeta sente aponta exatamente na direção da origem do sistema de coordenadas onde está o Sol Quando isso acontece a força é chamada de força central aponta na direção entre os dois corpos A força elétrica e a força gravitacional são desse tipo A maior parte dos fenômenos do dia a dia é governada por essas forças sendo assim a conservação do momento angular aparece em vários fenômenos que observamos no dia a dia A conservação do momento angular é uma das principais leis de conservação da física juntamente com as leis de conservação da energia e do momento linear Essas leis são aplicáveis mesmo em domínios microscópicos onde a mecânica quântica governa elas existem devido às simetrias fundamentais presentes na natureza pesquise sobre o Teorema de Noether Colisões Rotacionais Em um sistema isolado o momento angular total é sempre conservado após uma colisão de maneira semelhante ao momento linear Usando o momento angular para estudar rotações Já estudamos o momento angular para pontos materiais mas agora precisamos aprender a usalo no caos de corpos extensos Objetos Pontuais Point object na figura O objeto considerado como um ponto material está realizando um movimento circular ou giratório em torno de um ponto fixo por exemplo a Terra girando em torno do Sol Aqui o momento angular é definido como 𝐿 𝑟 𝑝 onde 𝑟 é a distância entre o objeto e o ponto fixo sobre o qual ele gira e 𝑝 é o momento linear do objeto Objeto Estendido Extended object na figura O objeto com um tamanho finito que está girando em torno de um ponto fixo ou eixo dentro de seu corpo Por exemplo a Terra gira em torno de seu eixo Aqui o momento angular é dado por 𝐿 𝐼 𝜔 onde 𝐼 é o momento de inércia e 𝜔 é a velocidade angular Essas equações são análogas à definição de momento linear como 𝑝 𝑚𝑣 que tem a unidade 𝑘𝑔 𝑚𝑠 A unidade de momento angular é 𝒌𝒈 𝒎𝟐𝒔 Como seria de esperar um objeto que tem um grande momento de inércia 𝐼 como a Terra tem um momento angular muito grande Um objeto que tem uma grande velocidade angular 𝜔 como uma centrífuga também tem um momento angular bastante grande Objetivos Neste experimento será feita a análise de colisão entre um carrinho que percorre um trilho de ar e um disco giratório Esta análise permitirá que o estudante verifique a validade do princípio de conservação do momento angular Materiais Trilho de ar linear Gerador de fluxo de ar Chave inversora Cronômetro digital Sensores fotoelétricos 1 Carrinho deslizante dotado de uma haste vertical para bloqueio dos fotossensores 1 Disco plástico fixado em suporte apropriado Fio de nylon Suporte para pesos Balança Régua Advertência Para não produzir arranhões na superfície do trilho de ar nunca movimente os carrinhos sobre o mesmo sem que o gerador de fluxo de ar esteja funcionando Verifique se a pista e a parte inferior do carrinho se encontram bem limpas caso contrário limpeas com um pano úmido Evite choques mecânicos fortes entre o carrinho e o trilho Tenha cuidado com o equipamento Uma queda de alguns centímetros pode inutilizar o carrinho por completo Procedimento Experimental Você deve assistir o vídeo explicativo httpswwwyoutubecomwatchvf6TfOcq3st8s Este experimento vai envolver duas etapas uma em que o carrinho percorre o trilho sem acontecer a colisão com o disco e a outra em que ocorre a colisão MEDIDAS INICIAIS 1 Pese o carrinho apenas o carrinho não o peso pendurado pela polia 2 Anote a massa do disco está escrita no próprio disco ou pergunte ao seu professor 3 Meça o raio do disco distância do seu centro até a borda 4 Meça o parâmetro de impacto a distância do seu centro até a cabeça do alfinete PRIMEIRA ETAPA SEM COLISÃO O trilho de ar deverá estar numa configuração como representada acima Nesta etapa não haverá colisão entre o carrinho e o disco Seu objetivo nesta etapa será estudar a velocidade e o momento angular final que o carrinho possui ao passar pelo último par de sensores 1 Meça com a régua os comprimentos LI LII e LIV Note que você não precisa anotar o comprimento LIII que é o espaço maior onde vai acontecer a colisão com o disco Meça cada comprimento de três formas diferentes como feito nos outros experimentos 2 O carrinho deverá ser solto sempre do mesmo ponto Se possível use o botão disparador que devidamente configurado permite soltar o carrinho sem fornecer uma velocidade inicial Caso ele não esteja disponível tenha o cuidado de sempre soltar o carrinho do mesmo ponto sem empurrálo 3 O carrinho será acelerado pelo contrapeso de forma similar ao experimento 2 Verifique que o fio desimpedido e que o contrapeso tem espaço para cair livremente 4 Solte o carrinho e anote todos os intervalos de tempo Você deverá repetir este processo três vezes como nos demais experimentos SEGUNDA ETAPA COM COLISÃO 1 Ajuste a posição do disco para que ele fique entre os sensores três e quatro ou seja no intervalo LIII Ajuste o disco para que a cabeça do alfinete vá colidir exatamente com a antena do carrinho 2 É importante que o carrinho seja solto exatamente do mesmo ponto que na primeira etapa garantindo as mesmas condições iniciais do movimento 3 Se assegure de que o disco não está girando e que o alvo está fazendo 90 graus com a direção de movimento do carrinho Isso pode exigir alguma tentativa e erro pois o disco tem bastante facilidade para girar e o próprio movimento do ar do trilho pode fazêlo girar espontaneamente Faça o melhor que conseguir para garantir que o disco esteja parado no momento da colisão 4 Para medir a velocidade angular do disco em cada colisão você deve filmar a colisão e depois em casa obter desta gravação o tempo que o disco leva para fazer a primeira volta T para daí calcular a velocidade angular Veja no vídeo algumas dicas de como fazer isso de forma eficiente 5 Libere o carrinho e anote os tempos relativos aos intervalos entre todos os sensores Repita o procedimento três vezes Considere que em nosso experimento a régua tem uma incerteza instrumental de σi05 mm e os relógios do laboratório de σi0001 s vamos assumir que não há erros sistemáticos σs0