Análise de Força Normal em Estruturas de Poste e Tubos

Forca Normal 11 P1 2014 Questao 1 O poste da Figura 11 e submetido a uma carga de 20 kN e o solo ofereca resistˆencia ao atrito distribuıda ao longo de seu comprimento a qual varia linearmente de w 0 em y 0 a w 3 kNm em y 2 m Utilizando equacoes diferenciais de equilıbrio e funcoes de singularidade tracar o diagrama da forca normal atuante no poste e tambem determinar a forca F em sua parte inferior necessaria para o equilıbrio Desprezar o peso do poste Figura 11 3 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 12 II Modelo Figura 13 Temos uma forca w aplicada em todo o poste que tem valor maior em y 2m mas que diminui conforme se aproxima da superfıcie Na superfıcie tambem temos uma forca normal de 20kN que serve como condicao de contorno III Equacao do Carregamento Para o caso de uma forca triangularconsideramos o seu maior valor de 3kNm e dividimos por 2 para a equacao do carregamento px 3 2x 01 11 IV Condicoes de Contorno Dada a convencao da secao I a forca de 20kN aplicada na extremidade e negativa Nxx 0 20 12 V Equacao Diferencial do Equilıbrio dNxx dx px 3 2x 01 13 4 VI Integracgao LJ 3 2 N 1 0 c 14 VII Determinagao das Constantes de Integracgao 12 14 Na 0 c20 c 20 15 VIII Equagao final 3 2 N2 at 0 20 16 IX Andlise Para Diagrama Nx 0 20 Nx 2 2 2017 X Diagrama Figura 14 Grafico de Na Next 20 195 19 185 18 175 17 0 1 2 Temos F 17 kN de compressao no solo de acordo com a equagao final 12 P2 2014 Questao 1 Os segmentos de tubos e conexoes usados na perfuracao de um poco de petréleo com 15000 pés de profun didade sao feitos de aco A36 E 29 10 ksi cujo peso especifico é 20 Ibpé conforme a Figura 15 Tem diametro externo de 550 pol e diametro interno de 475 pol Determinar a forca P necessaria para retirar o tubo excluindo o atrito ao longo dos seus lados e requerendo F 0 Qual é 0 alongamento do tubo quando ele comeca a ser levantado Dados 1 ksi 1000 lbpol 1 pé12 pol e 1kip 1000 lb 5 Figura 15 Fonte Hibbeler2004 Exercıcio adaptado de Hibbeler2004 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 16 6 II Modelo Figura 17 Temos que N deve ser igual a P forca peso sendo que o peso especıfico do aco usado e 20 lbpe entao N P P γ L 20 lb ft 15000 ft P 300000 lb 300 kip N 300 kip Figura 18 Para o carregamento vamos considerar o peso especıfico agindo sobre toda a estrutura como uma forca constante e que a extremidade da superfıcie esta presa engastada em uma parede III Equacao do Carregamento px 20x 00 11 IV Condicoes de Contorno u0 0 12 NxL 0 13 V Equacao Diferencial do Equilıbrio AE d2ux dx2 px 20x 00 7 VI Integracao Lf dux 1 Lf 20 5 AEu2x at 0 c C2 15 VII Determinacao das Constantes de Integragao 13 14 Na L 20Lc 0 c1 20 x 15000 c 300000 16 12 15 AEu 0 e 0 17 VIII Equagoes finais Nx 20a 0 300000 18 AEux 10x 0 300000x 19 IX Andlise Na equagao 9 temos a area Ti pn2 72 A D x 55 475 5 E também B 20x 108 x 10 pol 29 x 19 7 12 fP2 is Ft lb gee 4176 x 1055 Entao AEu2 L 10L 300000L 00419 x 4176 x 109 x uL 1015000 30000015000 uL 1286ft Entao o alongamento do tudo quando ele é levantado é de 1286 pés 8 13 P1 2015 Questao 1 Uma barra uniforme e submetida a cargas axiais em trˆes secoes transversais como mostrado na Figura 19 Com auxılio das Equacoes Diferenciais de Equilıbrio construir o diagrama de forca normal Nxx Figura 19 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 110 II Modelo Figura 111 Temos duas forcas aplicadas no interior da barra uma no sentido positivo em C e uma no sentido negativo em B A terceira forca aplicada em D serve como condicao de contorno III Equacao do Carregamento px 80x 2 51 100x 5 51 11 IV Condicoes de Contorno NxL 60 kN 12 V Equacao Diferencial do Equilıbrio dNxx dx px 80x 2 51 100x 5 51 13 9 VI Integragao LJ Nx 80a 25 100a 55 ey 14 VII Determinagao das Constantes de Integracgao 12 14 Nx 9 809 25 1009 55 c 60 Portanto c 80 15 VIII Equagao final Nx 80a 25 100a 55 80 16 IX Andlise Para Diagrama Esse diagrama vai ser composto de constantes j4 que sé temos termos elevados a zero Nxz 0 80 kN Nx 55 160 kN N x 25 80 kN Na 55t 60 kN Na 25 160 kN Nx 9 60 kN X Diagrama Figura 112 Grafico de Nx 180 160 140 120 z 100 2 a0 60 40 20 0 Ode 25 25 de55 55 a9 x m 14 P2 2015 Questao 1 Uma barra uniforme de diametro d é submetida a cargas axiais em trés secoes transversais como mostrado na Figura 113 Se o deslocamento na extremidade direita up nao puder exceder 5 mm e a maxima tensao 10 axial na barra nao puder exceder 80 MPa qual sera o mınimo diˆametro admissıvel para essa barra cilındrica circular Utilize E 70 GPa Figura 113 Fonte Craig Jr2003 Exercıcio adaptado de Craig Jr2003 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 114 II Modelo Figura 115 Assim como na P1 de 2015 temos duas forcas aplicadas no interior da barra uma no sentido positivo em C e uma no sentido negativo em B A terceira forca aplicada em D serve como condicao de contorno Como outra condicao de contorno temos que em A o deslocamento u deve ser nulo Para o dimensionamento teremos que considerar uD 5 mm e que a maxima tensao na barra tem que ser 80 MPa III Equacao do Carregamento px 80x 2 51 100x 5 51 11 11 IV Condigoes de Contorno u0 0 12 Na 9 60 kN 13 V Equagao Diferencial do Equilibrio 2 Ape px 80a 25 100 5 5 dx VI Integracao LJ Nx 80a 25 100a 55 ey 14 Lf AEux 80a 25 100a 55 e c2 15 VII Determinacao das Constantes de Integragao 12 15 Temos que cp 0 16 13 14 Nz x 9 809 25 1009 55 ec 60 80 100 c 60 Temos que c 80 17 VIII Equagoes finais Nx 80a 25 100a 55 80 18 AEux 80a 25 100a 55 80a 19 IX Andlise Para Diagramas Na 0 80 kN AEux 0 0 Nx 257 80 kN AEua 257 200 x 10 Na 25 160 kN AEu2 25 200 x 10 N 557 160 kN AEua 557 680 x 10 N 55 60 kN AEua 55 680 x 10 Nx 9 60 kN AEua 9 890 x 10 12 X Diagramas Figura 116 Grafico de Nx 120 160 140 120 z 100 20 60 40 20 oO Ode 25 25 de55 55 a9 x m Figura 117 Grafico de AEux 1000 900 800 700 S 600 500 400 300 100 9 bent cc oO 25 55 9 xm XI Dimensionamento Tensao Normal Considerando que a tenséo maxima é de 80 MPa e que do diagrama achamos que N 160kN N Pa N 160 x 10 o 80 x 10 A mr r 00252 m r 252 mm d 505mm 13 Deslocamento Maximo Considerando que up deve ser no maximo 5 mm e que AEux 9 890 x 103 em D AEux 890 x 10 Pa m mr x 70 x 10 x 5 x 1077 890 x 10 r 00284 m r 284 mm d 568mm Portanto d 568 mm 15 Pl 2017 Questao 1 Uma barra de secao transversal varidvel engastada em uma das extremidades esta submetida a trés forcgas axiais como mostra a Figura 118 Tracar os diagramas de forga e tensao normais indicando seus valores maximos Figura 118 1300 mm 650 2 35 kN 10 kN 9v mm praia ei ree uid Sceimeed 20 kN cos yn ln ae ce aera Fonte Popov1978 Exercicio retirado de Popov1978 I Coordenadas da estatica e convengao da resisténcia dos materiais Figura 119 y Se Ee Zz II Modelo Temos duas forcas aplicadas no interior da estrutura em B e C ambas tem coeficiente 1 na equacao do carregamento Também podemos extrair a condicao de contorno da forga aplicada na extremidade D No calculo da tensao cuidado deve ser tomado com as diferentes areas transversais 14 Figura 120 1300 mm 650 mm2 35 kN 10 kN 20 kN PN ES D A B C III Equagao do Carregamento pa 35 L1 10 LZ L27 11 IV Condigoes de Contorno Considerando a extremidade D Na L 20 12 V Equagao Diferencial do Equilibrio dN aa p 35 Ly 10a Ly L2 13 VI Integracao Lf Nx 35a L1 10 Li L2 a 14 VII Determinacao das Constantes de Integragao 12 14 1 1 cc Na L 35 L L1 10 L Ly L2 e 20 Temos que 3510c 20 Entao cq 45 15 VIII Equagao final Nx 35a Ly 10a LZ L2 45 16 IX Andlise Para Diagrama Na 0 45kN oor Me SW 346M Pa Na Ly 45kN oe 346MPa Na Lf 35 45 10kKN op 1000 154M Pa 15 Nxx L1 L2 35 45 10kN σxx 15 4MPa Nxx L1 L2 35 10 45 20kN σxx 20000 650 30 8MPa Nxx L 35 10 45 20kN σxx 30 8MPa X Diagramas Figura 121 Diagrama para Nxx Figura 122 Diagrama para σxxx 16 16 P1 2020 Questao 1 Objetivando terminar um trabalho de construcao um empreiteiro recupera algumas pilastras verticais puxandoas para fora do chao conforme ilustrado na Figura 123 a Em um ponto dessa operacao 4 5 do comprimento total da pilastra ainda esta enterrada no chao e o atrito entre ela e o solo exerce uma forca axial distribuıda mostrada na Figura 123 b Construa o diagrama de forca normal Nxx ao longo da pilastra Dados comprimento L da pilastra em metros primeiro algarismo do seu N USP Se for 1 ou 0 utilize 10 p0 em kNm penultimo algarismo do seu N USP multiplicado por 10 P em kN penultimo algarismo do seu N USP multiplicado por 100 Figura 123 Fonte Adaptado de Craig Jr2003 Exercıcio adaptado de Craig Jr2003 17 I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convengao da Resisténcia dos Materiais Figura 124 at y 3 x II Equagao do Carregamento L 2p L napel2F a8r 25 L 10p L px pa a 7 Eee Temos entao que a equacao do carregamento fica L 5p L pte pow Z e 2 17 III Condigao de Contorno Como conhecemos a forga peso P aplicada temos que N0 P 18 IV Equagao Diferencial do Equilibrio dN EN px 19 x dN x L 5p L de ONY BS V Integragao A integracaéo fica L 5p L Na Poa 25 c 110 18 VI Determinagao das constantes de equilibrio 18 110 N0cP Portanto cP 111 VII Equagao final L 5p L Nzpox 2 22 2 P 112 2 p2Z a2 4 112 VIII Andlise para o Diagrama Para as andlises consideramos L 5m po 20kNm e P 200kN N0 P L E 5 Lt ay N p0 0 P P 4 vto ey 4L 5p4L 8poL NL p 2 P2 4p L Pos 5 r 5 Observe que temos uma reacao no fim da pilastra Figura 125 Explicagao Reacao em x L A A lm 1m Po 20kNm Vy 80 KN em 4 metros 80 KN da area 4m 4m 80 kN JJ Reacao na pilastra tem que ser 40 kN 3po 20kN 40 kN 60kN 19 VIII Diagrama Figura 126 Diagrama de Nxx 20 Torcao de Secoes Circulares 21 P1 2014 Questao 2 Um eixo de secao variavel como o mostrado na Figura 21 suporta em torque T1 90π kgfm e T2 30π kgfm Para este eixo a 45 m e b 15 m Utilizando equacoes diferenciais de equilıbrio e funcoes de singularidade tracar o diagrama do momento torsor atuante no eixo bem como determinar a reacao no ponto A Resolver literalmente e substituir os valores nas equacoes finais e nos diagramas Figura 21 Fonte Popov1978 Exercıcio adaptado de Popov1978 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 22 21 II Modelo Figura 23 Ti To 8 oo Temos um torque J aplicado em x ae outro torque T aplicado na extremidade x a b do eixo Enquanto T aparece na equacao do carregamento T é condicgao de contorno III Equagao do Carregamento tz Tx a 21 IV Condigoes de Contorno Mx L Tp 22 V Equagao Diferencial do Equilibrio dM x t2 Ta a 23 dx VI Integracao Lf Ma Tx a e 24 VII Determinacao das Constantes de Integragao 22 24 M a 2 T x lcT C T T 25 VIII Equagao final Ma Ti a a T To 26 Ou numericamente Ma 90ra 45 1207 27 IX Andlise Para Diagrama M 0 1200 kgfm Ma 45 1200 kgfm M 2 45 907 1207 307 kg fm Ma 6 907 1207 300 kg fm 22 Entao a reacao no apoio A e 120π kgfm X Diagrama Figura 24 Grafico de Mxx 22 P2 2014 Questao 2 Vocˆe se lembra da figura abaixo Vamos explorala um pouco mais com o enunciado que segue Um eixo de secao transversal variavel E 20 103 kgfmm2 e G 85 103 kgfmm2 como o mostrado na Figura 25 suporta um torque T1 90π kgf m e T2 30π kgf m Sao conhecidas as dimensoes a 45 m b 15 m e o diˆametro d2 de B a C que e 50 mm Achar o mınimo diˆametro necessario d1 para o eixo de A a B se a tensao de cisalhamento admissıvel do material e de 4 kgfmm2 e a torcao total ˆangulo de rotacao entre A e C e limitada a 3 Figura 25 Fonte Popov1978 Exercıcio retirado de Popov1978 23 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 26 II Modelo Figura 27 Temos um torque T1 aplicado em x a e outro torque T2 aplicado na extremidade x a b do eixo Enquanto T1 aparece na equacao do carregamento T2 e condicao de contorno Como queremos o dimensionamento teremos uma equacao diferencial de equilıbrio diferente da que apareceu da primeira prova Acertando as unidades T1 90π kgfm 90π 9 81Nm 2773 7 Nm T2 924 6 Nm d2 50 mm 5 102 Nm2 E 20 103 kgfmm2 196 2 109 Nm2 G 8 5 103 kgfmm2 83 4 109 Nm2 Tmax 4 kgfmm2 39 2 106 Nm2 ϕ 3o 0 0524 rad III Equacao do Carregamento tx T1x a1 21 IV Condicoes de Contorno φ0 0 22 Mxa b T2 23 24 V Equagao Diferencial do Equilibrio d2 ors tx Ta a7 24 VI Integracao Lf Ma Ti a a e 25 Lf JpGoa Tyx a 12 c 26 VII Determinacao das Constantes de Integragao 22 26 c 0 27 23 25 cq T To cy 36983 28 VIII Equagoes finais Mx Ta a 7 To 29 JpGox Tix a Ty T2x 210 IX Andlise Para Diagramas M x 0 36983 Nm JGox 0 0 M x a 36983 Nm JGoa a 16642 3 Mx at 9246 Nm JpGoa at 16642 3 M x a b 9246 Nm JpGoa ab 18029 2 25 X Diagramas Figura 28 Grafico de Mxx Figura 29 Grafico de JpGφx XI Dimensionamento a Tensao Maxima τmax MxR Jp 39 2 106 3698 3R πR4 2 R 0 0392 m 39 2 mm Entao d1 78 32 mm 26 b ˆAngulo de Torcao No eixo de diˆametro menor JpGφC JpGφB 1386 95 JpGφC φB 1386 95 Para R R2 π 2 R4GφC φB 1386 95 φC φB 0 0271 rad Desta forma o eixo maior pode ter um ˆangulo de torcao maximo que vale φC φB 0 0271 rad com φC 0 0524 rad 0 0524 φB 0 0271 φB 0 0253 rad Logo JpGφB 16642 3 Para R R1 πR4 2 83 4 109 0 0253 16642 3 R 0 0473 m 47 3 mm d1 94 67 mm Assim entre d1 7832 mm e d1 9467 mm escolhemos d1 9467 mm 23 P1 2015 Questao 2 Utilizando Equacoes Diferenciais de Equilıbrio construir o diagrama de momento torsor Mxx do eixo mostrado abaixo Resolver literalmente e substituir os valores nas equacoes finais e nos diagramas Dados L 5 m t1 1000 Nmm Mt2 2000 Nm t3 1000 Nmm e Mt4 3000 Nm Figura 210 Fonte Craig Jr2003 27 I Coordenadas da estatica e convengao da resisténcia dos materiais Figura 211 y x a Vo Zz II Modelo Figura 212 ps 5 55 5 os SS 31 L Temos trés elementos que devem ser descritos na equacao do carregamento e mais um que aparece nas condicoes de controle e Temos um momento torsor t constante aplicado de x0 até x 35L entao precisamos dois termos no carregamento para representalo e Um momento torsor aplicado M em x 35L e Outro momento torsor tz constante de x 35L até x L e Outro momento torsor aplicado M na extremidade x L que aparece como condigao de contorno e nao no carregamento III Equagao do Carregamento ti nm 3L 3L 3L tx tix 0 tya 4Mi a2 t3 21 5 5 5 IV Condigoes de Contorno Ma L Mi 22 V Equagao Diferencial do Equilibrio dM 2 3L 3L 7 3L 28 VI Integracao LJ 3L 3L 3L Mx t1x 0 na Mae taa c 24 VII Determinacao das Constantes de Integragao 22 24 3L 3L 3L Mz L tL 0 nL Mea E x taL x c Mi 3L 3L 3L tL04t x M z ts z e M 2L 2L hh ti Mi ta cy M Substituindo os valores 1000 x 5 1000 x 2 2000 1000 x 2 c 3000 5000 2000 2000 2000 c 3000 Portanto c 0 25 VIII Equagao final 3L 3L 3L Ma tx7 0 ta M2 t32 5 5 5 Substituindo os valores Mx 1000a 1000a 3 2000a 3 1000a 3 26 IX Andlise Para Diagrama Ma 0 0 M 3000 Nm M 5000 Nm Mx L 3000 Nm 29 X Diagrama Figura 213 Grafico de Mxx 24 P2 2015 Questao 2 O eixo solido AD de aco na Figura 214 fornece 60 hp de potˆencia a roda dentada em B e 40 hp a roda dentada em D O eixo e suportado por um mancal sem atrito em C e gira a uma velocidade angular de 1725 rpm Informacao 1hp 746W a Se a tensao cisalhante maxima permitida no eixo for τmax 40 MPa qual sera o diˆametro mınimo do eixo que pode ser usado Dˆe sua resposta no milımetro mais proximo b Para o eixo determinado no item a determine a tensao cisalhante maxima no trecho BD entre as duas rodas dentadas c Determine o ˆangulo de rotacao em graus entre as duas rodas dentadas se L2 05 m e Gaco76 GPa Figura 214 Fonte Craig Jr2003 30 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 215 II Modelo Figura 216 Temos 3 momentos torsores no eixo Um momento torsor aplicado em B com valor de 6 hp Um momento torsor aplicado em D com valor de 4 hp Um momento torsor aplicado em A com valor de 10 hp a soma dos dois momentos citados anteriores com sentido oposto aos anteriores Desses momentos apenas MtB aparece na equacao do carregamento Para solucao e necessario achar os momentos torsores no SI 1hp 746 W Pot Mtω Mt Pot ω Mt hp 746 rpm 2π 60 Mt 746Pot em hp 2π 60 Rot em rpm MtB 746 6 2π 60 1725 MtB 24 8 Nm MtD 746 4 2π 60 1725 MtD 16 5 Nm Somando MtA 41 3 Nm III Equacao do Carregamento tx MtBx L11 21 31 IV Condigoes de Contorno 0 0 22 Mi0 Mta 23 Obs Apesar de termos outra condigaéo de contorno utilizando Mp ela nao seria util para encontra a segunda constante de integracao que ira aparecer V Equagao Diferencial do Equilibrio d2 1058 tr Mpla 11 24 VI Integracao Lf d M2 1022 Mypx Ly e 25 Lf JpGox Mipla L1 ar c 26 VII Determinacao das Constantes de Integragao 22 26 co 0 27 23 25 M a 0 a Mia cy Mta c 413 28 VIII Equagoes finais Mx 248x L1 413 29 JpGox 24 8a L1 4132 210 IX Andlise Para Diagrama Mx 0 413 Nm JpGoa 0 0 M Ly 413 Nm JGoa LT 413L Ma Lt 248 413 165 Nm JpGoax LT 41 314 M Ly Le 248 413 165 Nm JpGoax Ly La 248L2 413L1 Le 32 X Diagramas Figura 217 Figura 218 XI Dimensionamento τmax MxxR Jp Sabendo que τmax 40 106 Nm2 E tambem Jp πR4 2 Temos que 40 106 41 3R πR4 2 R3 41 3 2 π 40 10 R 0 0087 m R 8 7 mm d 17 4 mm 33 Portanto d 18 mm τmax τmax MxxR Jp τmax 16 5 0 009 π00094 2 τmax 14 4 106 Nm2 Portanto temos que τmax 14 4MPa φ entre BD Admitindo que φL1 0 JpGφx L2 24 8L2 41 3L2 16 5L2 JpGφx L2 16 50 5 JpGφx L2 8 25 πR4 2 Gφ 8 25 φ 8 25 2 πR4G 8 25 2 π0 0094 76 109 φ 0 0105 rad Convertendo de radianos para graus π rad 180o 0 0105 rad x φ 0 604o 211 25 P1 2016 Questao 2 O eixo de secao circular mostrado na Figura 219 e submetido a um momento torsor concentrado no ponto B de valor 5000Nm e a outro no ponto C de valor 2000Nm Para tal situacao tracar o diagrama da distribuicao do momento torsor ao longo do referido eixo Dados La 0 4m e Lb 0 6m Figura 219 Fonte Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek Exercıcio retirado de Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek 34 I Coordenadas da estatica e convengao da resisténcia dos materiais Figura 220 y 4 oe Zz Fonte Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek II Modelo Figura 221 A B Cc My 9000 Nim Mc 2000 Nm ees La 04m Ly 06 m Esse eixo tem dois momentos torsores aplicados um que é considerado no carregamento M e um que é considerado nas condigdes de contorno M III Equagao do Carregamento t Mp x 04 tx 5000a 04 21 IV Condigoes de Contorno M 1M Mx 1 2000 22 V Equagao Diferencial do Equilibrio dM dM2 tx 5000x 0 4 23 dx VI Integracao Lf Ma 5000x 0 4 24 35 VII Determinacao das Constantes de Integracao 22 24 Mxx 1 5000 c1 2000 c1 3000 25 VIII Equacao final Mxx 5000x 0 40 3000 Nm 26 IX Analise Para Diagrama Mxx 0 3000Nm Mxx 0 4 3000Nm Mxx 0 4 2000Nm Mxx 1 2000Nm X Diagrama Figura 222 26 P2 2016 Questao 1 Um eixo de direcao solido e circular com 2 m de comprimento transmite 560 kW de potˆencia de uma turbina de helicoptero para seu rotor a 15 rps Se o eixo for de aco com modulo de cisalhamento G 80 GPa tensao cisalhante permitida τmax 60 MPa e se o ˆangulo permitido de torcao do eixo for 003 rad determine o diˆametro mınimo deste eixo 36 I Coordenadas da estatica e convengao da resisténcia dos materiais Figura 223 y f Zz II Modelo Temos um eixo com um momento tensor aplicado em sua extremidade que é o que transmite a poténcia Figura 224 A B Mb A rotagdo é de w 15 rps rotacdes por segundo convertendo para rads radianos por segundo w15x 27 rads 9425 rads Para encontrar Mg precisamos do torque exercido que pode ser encontrado a partir da poténcia Pot 560 kW 560 x 10 W Pot Tw 560 x 10 T x 94 25 T 59418 Nm Entao temos que Mp 594 x 10 Numm Mantendo em mente também que G 80GPa 80 x 10 MPa Tmax 60 MPa Omar 003 rad 37 III Equagao do Carregamento Para o carregamento nao temos nenhuma forca aplicada no interior do eixo entao tx 0 21 IV Condigoes de Contorno Na extremidade B temos 0 momento torsor Mg que ja foi calculado e considerando o angulo de torgaéo nulo na extremidade A lembrando que dmaz 003 rad ML 594 x 10 22 0 0 23 V Equagao Diferencial do Equilibrio d9x VI Integracao Lf M a C1 25 Lf JpGOx e142 cp 26 VII Determinacao das Constantes de Integragao 23 26 co 0 27 22 25 c 594 x 10 28 VIII Equagoes finais Ma 594 x 10 29 JpGox 594 x 10x 210 IX Andlise Para Diagramas Ma constante a linear 38 X Diagramas Figura 225 Grafico de Mxx Figura 226 Grafico de JpGφx XI Dimensionamento a Tensao Maxima τmax MxR Jp 60 5 94 106 d 2 πd4 32 60 5 94 106 32d 2πd4 Temos que d3 5 94 106 32 2π60 d 79 6mm b Rotacao Maxima JpGφL 5 94 106 2 πd4 32 80 103 0 03 5 94 106 Isolando o diˆametro d4 5 94 106 2 103 3 2 80 103 π 0 03 d 84 3mm Portanto 39 d 84 3mm 27 P2 2017 Questao 1 Um dos eixos vazados de acionamento de um navio tem 40 m de comprimento e seus diˆametros externo e interno sao respectivamente 400 e 200 mm O eixo e feito de aco para o qual τadm 60 MPa e G 77 2 GPa Sabendo que a rotacao maxima do eixo e de 160 rpm determine a A potˆencia maxima que pode ser transmitida pelo eixo b O ˆangulo de torcao maximo experimentado pelo eixo I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 227 II Modelo Figura 228 Temos um Momento Torsor Mt aplicado na extremidade da estrutura que e usado como condicao de contorno 40 III Equagao do Carregamento Consideramos nada aplicado internamente na estrutura tx 0 21 IV Condigoes de Contorno Além do momento torsor no fim da estrutura no seu inicio temos que o angulo deve ser zero 0 0 22 ML M 23 V Equagao Diferencial do Equilibrio d9x VI Integracao Lf Mx 4 25 Lf JpGOx e142 cp 26 VII Determinacao das Constantes de Integragao 2 6 JpGo0 c1 xO0Oce 05S00 3 5 ML q Maq VIII Equagoes finais JpGox Mex 28 IX Andlise Para Diagramas Na estrutura inteira para Ma temos a presenca constante de M No caso do angulo JGx temos uma reta crescente com o comprimento Al X Diagramas Figura 229 800 700 600 500 3 400 5 300 200 100 Lt oO 40 Comprimento m Figura 230 30000 25000 20000 15000 a 20000 0 Pill 0 40 Comprimento m XI Determinagao da Poténcia Maxima A poténcia é Pot Mw mas nao conheco M Entao MR 6 M0 2 3 60 x 10 M 70686 x 10N Tmax Jp x 024 014 Ve m ed M 5 RiR Assim 160 x 2 Pot 706 86 x 10 Pot 1184 x 10W Entao Pot 1184 MW 42 XII Determinacao do ˆAngulo de Tracao Temos que JpGφL MtL π 2 0 24 0 14 77 2 109 φmax 706 86 103 40 φmax 8 91o 28 P1 2018 Questao 1 Com Normal Tracar os diagramas de forca normal Nxx e momento torsor Mxx na estrutura abaixo indicando seus valores maximos Obs Mt t0 Figura 231 Questao 1 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 232 43 II Modelo Para essa questao separamos a parte de forca normal e a de momento torsor como se tivéssemos duas quest6es separadas III Equagao do Carregamento As informac6es da forca normal ficam na coluna 4 esquerda enquanto as para 0 momento torsor na coluna a direita Temos a forca po constante aplicada sobre Para M temos um momento constante to apli toda a estrutura e a forca F aplicada em L2 cado a partir de L2 observe que tem o sentido contrario convencgao 0 L Px pox 0 Fa N1 L ta toz T1 IV Condigoes de Contorno Ambas as condicdes de contorno saem em x L N 6 nulo em x L jé que nao temos nenhuma Temos M aplicado em x L forcga externa atuando M a L M T2 Na2 L0 N2 V Equagao Diferencial do Equilibrio dN x L dM a L i px poler0Fa5 N83 Ut ie tye F 13 VI Integracao Lf Lf L Mzxx t L T4 Nala mye Fx 5 c N4 vx to an ee T4 VII Determinacao das Constantes de Integragao N2 N4 T2 T4 NL pLF c 0 Ma L to c My c pol F N5 co M to T5 VIII Equagoes finais 1 L L L 44 IX Andlise Para Diagramas Normal Torsor N0 poL F L x Po M0 M os N f L DLDF vor Lo L x t 5 Pos Po Pos Ms e 5 M05 Lt L L Na2 LpLFplF0 L L M x L tos M oD M X Diagramas Figura 233 Diagrama para a Forga Normal N2 12 10 8 x 6 z 4 2 o 05 1 xm Figura 234 Diagrama para o Momento Torsor M2 102 10 38 56 94 92 9 88 86 84 Q 05 1 xm 45 29 P2 2018 Questao 1 O navio em A na Figura 235 esta comecando a perfurar um poco de petroleo no fundo do oceano a uma profundidade de 1500 m Sabendo que o topo da broca de aco G 772 GPa de 200 mm de diˆametro da duas voltas completas ate que a broca em B comece a girar determine a tensao de cisalhamento maxima provocada no tubo pela torcao Considerando agora τmax 90 MPa qual deve ser o diˆametro mınimo do tubo Figura 235 Fonte Beer et al2006Beer Johnston Jr and Dewolf Exercıcio retirado de Beer et al2006Beer Johnston Jr and Dewolf I Coordenadas da estatica e con vencao da resistˆencia dos materiais Figura 236 II Modelo Temos um momento torsor aplicado no topo da estrutura Figura 237 46 III Equagao do Carregamento Nao temos nenhuma fora aplicada interiormente na estrutura tx 0 21 IV Condigoes de Contorno A diferenga de Angulo das duas posigoes é de duas voltas portanto 47 o0 4a 22 oL 0 23 V Equagao Diferencial do Equilibrio d9x VI Integracao Jt doz Jt JpGOx e142 cp 26 VII Determinacao das Constantes de Integragao 22 26 An ms JIpG o0 C1 0 C2 JpnG X 4m cg 1 MPa C2 7200 x 772 x 10 x4a 32 Portanto co 1524 x 104 27 0 JpG L c11500 x 10 c 0 es C L Ww Portanto c 1016 x 10 28 VIII Equagoes finais Max 1016 x 108 29 JpGox 1016 x 108 1524 x 10 210 AT IX Analise da Tensao Tensao Maxima τmax Mt r Jp 1 016 108 100 π2004 32 Daı temos que τmax 64 68MPa X Analise do Diˆametro Para τmax 90MPa τmax Mt r Jp 90 1 016 108d2 πd4 32 90 1 016 108 d 32 2πd4 90 5 17 108 d3 Portanto d 179 mm 210 P1 2019 Questao 1 O motor eletrico da Figura 238 aplica um torque de 500 Nm no eixo de alumınio ABCD quando ele esta girando a uma rotacao constante Para esta situacao tracar o diagrama de momento torsor Mxx ao longo do mesmo indicando seus valores maximos Utilize a orientacao do eixo x de D para A Figura 238 Fonte Beer et al2009Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek Exercıcio retirado de Beer et al2009Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek 48 I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convengao da Resisténcia dos Materiais Figura 239 y 4 Zz II Modelo Temos uma rotagao constante cuja referéncia é a origem do sistema de coordenadas Note que o sistema de referéncia comeca em D nao em A Figura 240 Modelo para a questao 1 y M 300 Nm M 200 Nm x D Cc B A 09 12 10 III Equagao do Carregamento ta Mya 09 Moa 217 21 IV Condigao de Contorno Como o extremo A esté solto temos que Ma L 0 22 V Equagao Diferencial do Equilibrio dM EMD 1 Myw 09 Male 2 23 V1IIntegracgao A integracaéo fica Jt Ma Mya 09 Mox 21 e 24 49 VII Determinagao das Constantes 22 24 1 1 iN iN Mx L M x 09 Mgp x 21 e 0 300 200c0 Portanto c 500 25 VIII Equagao final M x M2 09 Moa 21 500 Substituindo os valores Mx 300a 09 200a 21 500 26 IXAndalise para Diagrama Mx 0 500 Mx 097 500 M2 097 300 500 200 Mx 217 300 500 200 Mx 21 300 200 500 0 Ma 31 300 200 500 0 XDiagrama Figura 241 Grafico de M a 600 500 400 300 200 100 0 02093 09a21 214a31 50 211 P2 2019 Questao 1 O projeto do sistema de engrenagem e eixo mostrado na Figura 242 requer que sejam usados eixos de aco de mesmo diˆametro para AB e CD E necessario tambem que τmax 62MPa e que o ˆangulo φD pelo qual a extremidade D do eixo CD gira nao exceda 2 Sabendo que G 77 2 GPa determine o diˆametro necessario para os eixos Figura 242 Fonte Beer et al2006Beer Johnston Jr and Dewolf Exercıcio retirado de Beer et al2006Beer Johnston Jr and Dewolf I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 243 II Modelo A Figura 242 pode ser traduzida da seguinte forma Figura 244 Modelo para a questao 1 51 Para a resolucao dividese o problema em duas partes AB e CD onde a primeira parte esta engastada em A e a segunda esta engastada em C Figura 245 Modelo para o lado AB Note que Tb pode ser calculado a partir da torcao de 560 Nm aplicada em D ja que Tb rb Td rc Tb 100 560 40 Logo Tb 1400Nm Figura 246 Modelo para o lado CD III Equacoes do Carregamentos Para o Eixo AB tx 0 21 Para o Eixo CD tx 0 22 IV Condicoes de Contorno Para o Eixo AB Mx0 45 1400 23 φ0 24 Para o Eixo CD Mx0 6 560 25 φ0 0 26 52 V Equagoes Diferenciais do Equilibrio Nesse caso é usado a teoria técnica de Torgaéo de Segoes Circulares Para ambos os eixos AB e CD d9x V1IIntegracao Jt Para o Eixo AB Para o Eixo CD d d 1622 vx e1 28 1622 rg2 es 210 dx dx JpGox c1 Ce 29 JpGOx c3u Ca 211 VII Determinacgao das Constantes da Integracao Para o Eixo AB substituindo 23 em 28 Para o Eixo CD substituindo 25 em 210 c 1400 212 c3 560 214 e substituindo 24 em 29 e substituindo 26 em 211 c 0 213 cr 0 215 VIII Andlise Temos que T 62M Pa e também d Tmax Meo max Jp Além disso o J Momento Polar de Inércia para a segao cheia é dado por ar ss d Bp Para o Eixo AB Para o Eixo CD 1400 5604 62 x 10 a 62 x 10 32 32 Bs 1400 x 32 Bs 560 x 32 2 x 62 x 10 x 7 2x 62x 10 x 7 d 004863m 4863mm 216 d 003583m 35 83mm 217 Para o angulo g 2 0 GN JnGoa JnGe a JpG JpG 90 53 560 x 06 f JypnG 90 nd S 560 x 06 x 90 327 772 x 1097 Ip d 03357m 33 57mm 218 O diémetro necessdério para os eixos é o maior encontrado que aparece em 16 portanto d 4863mm 212 P2 2020 Questao 1 O motor elétrico da Figura 247 aplica um torque momento torsor de 800Nm no eixo de ago ABCD quando este esta girando com velocidade constante Especificagoes de projeto requerem que o diametro do eixo seja uniforme de A até D e que o angulo de rotacao entre A e D nao exceda 15 Sabendo que Taz 60M Pa e G 772GPa determine o diametro minimo do eixo que pode ser utilizado Figura 247 A 300 N m A 500 Nm 2 D Le y ea 04m C 06 m f 03 m Fonte Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek Exercicio retirado de Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek 54 I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 248 II Modelo Figura 249 Modelo para resolucao Temos dois momentos torsores aplicados para a mesma direcao no eixo T1 300Nm em B e T2 500Nm em C Considerase que em A o eixo esta preso na parede referˆencia para o calculo do ˆangulo de torcao III Equacao do Carregamento tx T1x 0 41 T2x 11 21 IV Condicoes de Contorno φ0 0 22 NxL 0 23 V Equacao Diferencial do Equilıbrio JpGd2φx dx2 tx Substituindo tx ficamos com JpGd2φx dx2 T1x 0 41 T2x 11 24 VI Integracao 55 A primeira integracgao fica Jt M 2 T x 04 To x 1 Cy 25 E a segunda ft JpGox Tx 04 Tx 1 e12 2 26 VII Determinacgao de Constantes da Integragao Substituindo 22 em 26 JyG 0 e 0 Portanto co 0 27 Substituindo 23 em 25 1 1 Nx 13 T09 T203 e 0 T T cq 0 C Ti T Portanto c 800 28 VIII Equagoes Finais Nx Ta 01 Toa 1 800 29 JpGoa Tix 04 Toa 1 800x 210 IX Andlise para Diagramas As equaco6es a seguir tem resultado em Nm Mzx0 800 Mzx04 800 Mzx04 300 800 500 Mzx1 300 800 500 M21 300 500 800 0 Ma13 300 500 800 0 E também JGo0 0 JG04 8000 4 320 JpGo047 320 JpGo1 3000 6 8001 620 JpGo1 620 JpGoe1 3 3000 9 5000 3 8001 3 620 56 X Diagramas Figura 250 Diagrama de Mxx 900 800 700 600 E so 400 300 200 100 o 0a04 04al 1a13 xm Figura 251 Diagrama de JpGx 700 600 500 400 aa par 300 200 100 0 o 04 1 13 xm XI Dimensionamento i Tensao Maxima Nmm MPa s 3 d MT 800 x10 x 5 C GO J Txd pP 32 800 x 10 x 32 SO A 60 760 d 0 80mm Entao temos que d 40 80mm ii Rotagao Maxima 15 159 2e 50 130774 15 op ga e077 JpGop 620 57 N Taz axd ca 7 150 x 772 x 10 x 2 620 320 OO 780 A conta acima é feita no SI caso seja desejado fazer as contas sem ser no SI o resultado sai direto em milimetros Terfamos entao MPa Nmm xO Fa x10 xb G20 x 108 x x x x 32 180 d 004204m d 4204mm Portanto como resultado do dimensionamento temos que d 4204mm 58 Flexao Pura 31 P1 2014 Questao 3 Atraves da integracao das equacoes diferenciais de equilıbrio determine as equacoes e os diagramas da forca cortante Vyx e do momento fletor Mzx da viga mostrada na Figura 31 Observe que no ponto C existe uma rotula Indique os valores maximos dos esforcos bem como as reacoes de apoio Resolver literalmente e substituir os valores nas equacoes finais e nos diagramas Dados q0 3 kNm FB 7 kN MD 12 kNm e L 6 m Figura 31 Fonte Popov1978 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 32 59 II Modelo Figura 33 Fz qo TM a Gy Lo L 4 4 2 Temos 3 elementos presentes na viga além da rétula presente em C x L2 e Forca aplicada Fg em x L4 e Forca constante go dex L4axL e Momento fletor Mp aplicado em x L Os dois primeiros aparecem na equacao do carregamento enquanto o terceiro aparece nas condicdes de contorno em conjunto com a restrigao causada pela rotula III Equagao do Carregamento L L ov Faw 4 4 31 IV Condigoes de Contorno M L Mp 32 L M 5 0 Restricaéo da Rotula 33 V Equagao Diferencial do Equilibrio dMz L L de qx Faa i ao 2 i VI Integracao Lf dM a L L Lf L L Me Fox 4 B4 a C2 35 60 VII Determinacao das Constantes de Integragao 32 35 3L 3L Mx L Fp S L c Mp 3LF 9qoL T Be on aq04 c Mp 36 33 35 L Lo ql Lo M Fey 9 5 tay ta0 L L Fp5 QGP a5e 0 37 Utilizando 36 e 37 2M L co Pa rp 4 MS 20 38 L 2 L L cy Fp BS eh 3 cy 43 125 39 4 32 As unidades sao F em kN e M em kNm VIII Equagoes finais L L Via 12 2 x4 20 310 L L M272 3 24 4202 46125 311 4 2 4 IX Andlise Para Diagramas V az 0 20 kN Mx 0 46125 kNm L L Vy 1 20 kN M 1 16125 kNm L L Vy 1 13 kN M 1 16125 kNm V a L 05 kN Mx L 12 kNm L M G 61 X Diagramas Figura 34 Grafico de Vyx Figura 35 Grafico de Mzx obs Note que para o grafico de Mzx temos uma reta de 0 a x L4 15 e depois temos uma parabola 32 P2 2014 Questao 3 Um problema de flexao foi modelado da forma mostrada na Fgura 36a Sabese que q0 3000 Nm Mc 6250 N m e L 5 m Desejase construir a viga mostrada com perfil do tipo I cujo material e caracterizado por um modulo de elasticidade linear E 21 1011 Nm2 e tensao normal admissıvel σadm 115 Nmm2 Por razoes construtivas a deflexao flecha maxima nao deve ultrapassar vmax L 1500 Admitir B 10 H Para estas condicoes pedese a os diagramas de esforco cortante e momento fletor b o valor normalizado da deflexao flecha maxima EIzzvmax bem como sua localizacao no eixo x c as dimensoes mınimas que garantam que a tensao normal nao ultrapasse o limite maximo fixado d as dimensoes mınimas que garantam que a deflexao flecha nao ultrapasse o limite maximo fixado 62 e a dimensao que deve ser utilizada no projeto Figura 36 a Viga hiperestatica b Secao transversal I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 37 II Modelo Figura 38 Temos dois elementos para o carregamento uma forca constante q0 aplicada em toda a viga e uma reacao em y que aparece do apoio em B Para as condicoes de contorno temos Mc que aparece aplicado na extremidade x 2L sendo as outras causadas pelos apoios restricoes e pela parede em A 63 III Equagao do Carregamento qx dox 0 Rypa L 31 IV Condigoes de Contorno v0 0 32 60 0 34 v2L 0 35 M2LM 36 oL 0 33 V Equagao Diferencial do Equilibrio A Br2 2 qx qox 0 Rypx L 37 dx VI Integracao LJ V x qox 0 Rypw L e 38 Lf Mx P x 0 Rype L x 02 39 LJ go 3 Ryp 2 x EI20x x 0 e L ery ee es 310 LJ R 3 2 EI0 Sle 04 e Lye as oy 3 C4 311 VII Determinacao das Constantes de Integragao 32 311 c4 0 312 34 310 c3 0 313 33 311 L3 L ElvL 0 Sl e tea 3000 58 5 0 a Fe Cay 0 78125 20 83c 12 5c 35 311 R 2L3 2L EIv2L 0 57 2 AL Le OEY Py 3000 53 258 25 0 o 54 Rye e Fr POY 0 1250000 20 83Ry5 166 67c 50c2 36 39 64 Mz2L Mc q0 2 2L2 RyB2L L c1 2L c2 6250 3000 2 2 52 5RyB 10c1 c2 6250 150000 5RyB 10c1 c2 Montando um sistema 20 83c1 12 5c2 78125 166 67c1 50c2 20 83RyB 125000 10c1 c2 5RyB 143750 Resolvendo o sistema temos que c1 7498 629 7500 314 c2 6245 716 6250 315 RyB 15001 88 15000 316 VIII Equacoes finais Vyx 3000x 01 15000x L0 7500 317 Mzx 1500x 02 15000x L1 7500x 6250 318 EIzzθzx 500x 03 7500x L2 3750x2 2 6250x 319 EIzzvx 125x 04 2500x L3 1250x3 6 3125x2 2 320 IX Analise Para Diagrama a Vyx 0 7500 N Vyx 5 7500 N Vyx 5 7500 N Vyx 10 7500 N Mzx 0 6250 Nm Mzx 5 6250 Nm Mzx 5 6250 Nm Mzx 10 6250 Nm Equacao do 4o grau EIzzvx 0 0 EIzzvx 5 0 EIzzvx 5 0 EIzzvx 10 0 b Vyx 2 5 0 Vyx 7 5 0 Mzx 2 5 3125 Nm Mzx 7 5 3125 Nm deflexao maxima EIzzvx 2 5 4882 8 EIzzvx 7 5 4882 8 65 X Diagramas Figura 39 Grafico de Vyx Figura 310 Grafico de Mzx 66 XI Momento de Inércia Figura 311 dz ds Tez Taye Teg eg GA2 Legzy GAS 321 Com B 10H HB H10H 1000H4 Lay 77 H10H 322 12 12 12 BH BH 3640H4 Linz BA 4 BH 2 22 dgA2 12 9 12 3 3 BH B H 3640H4 2 Pit Pp tt eee Tey2y 3A3 S5 5 BH D 324 XII Dimensionamento Tensao Maxima My Ora Lez Também temos que Memax 6250Nm 6250 x 10Nmm Ore 115Nmm ts 8259 10 4 H 690H4 H 78mm assim B 78 mm Deflexao Maxima ElzzUmax 48828 em médulo e N m Com N N N E21x101 21x101 21 x 10 1x 10 m Ax 10 1032mm 1x 10 mm L10m 10 x 10 mm10 mm Entao 67 2 1 1011Izz 10 1500 4882 8 daqui o momento de inerica sai em m4 Izz 34877 106 mm4 325 Izz 690H4 H 8 4 mm e B 84 mm A escolha final e entao B 84 mm e H 84 mm que sao as condicoes mınimas para a deflexao maxima mas sao maiores que as condicoes mınimas para a tensao maxima 33 P1 2015 Questao 3 Por intermedio da integracao das Equacoes Diferenciais de Equilıbrio determine as equacoes e os diagramas da forca cortante Vyx e do momento fletor Mzx da viga mostrada abaixo Resolver literalmente e substituir os valores nas equacoes finais Dados q0 1000 Nm F1 F2 2000N Mz1 800 Nm e L 2 m Figura 312 Fonte Craig Jr2003 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 313 II Modelo Temos 2 elementos para a equacao do carregamento e 2 aplicados na extremidade para as condicoes de contorno 68 Figura 314 qo Fy Fy Mz L L 2 2 qo precisa ser representado por dois termos no carregamento sendo uma forga constante que comeca de x0 e termina em x L2 e F é uma forga aplicada em x L2 e Fy e M sao condicgoes de contorno III Equagao do Carregamento L L7 oe le 0 025 Aie 5 31 IV Condigoes de Contorno V a L Fy 32 Ma L Mz 33 V Equagao Diferencial do Equilibrio 2M x L L ou qx qoa 0 wo x 5 Az VI Integracao LJ dM a 1 L L V qox 0 qo ta F tz e 34 Lf 4 4 L2 L Mz B 20 B 5 Aie5 x C2 35 69 VII Determinacao das Constantes de Integragao 32 34 L L V L qox 0 wo 5 Aa 5 Cy Fy L Gl oz Fi o Fo Isolando cy L C1 F Fa G5 36a Substituindo os valores 2 c 2000 2000 10005 cy 5000 36b 33 35 L L Ma L x04 2 x Fix aqceM 2 2 2 2 qo qo L L 3l 2 4 fis talLc M Tsolando ca do L L 2 M oe qo ths qL L L cg Mz 340 2 h Lb FP L go 8 2 2 L L c2 Mz go Fig Fok 37a Substituindo os valores 2 2 c2 800 1000 20005 2000 x 2 c2 800 500 2000 4000 co 5700 37b VIII Equagoes finais L L Vale aoe 0 a0 25 Fiw 5000 38 L L Mi x 2 x 0 e F2 5000x 5700 2 2 2 2 39 IX Andlise Para Diagrama ePara a forga cortante V x 70 V a 0 5000 N Lo L Vy 3 w5 0 5000 2 10005 5000 4000 N Lt Lt Lt L L V 3 7 05 0 005 0 AS 5000 L 405 Fi 5000 2 10005 2000 5000 1000 2000 5000 2000 N L 1 L 0 V L qoL 0 do Ls Fy Ls 5000 L qoL dos Fy 5000 2 1000 x 2 1000 x 37 2000 5000 2000 N ePara o momento fletor Mz Mx 0 5700 Nm M a a E soo0 5700 z rop OD LS Qo 2 2 2 2 1000 27 2 5 50005 5700 1200 Nm ue r 2 FX 50002 5700 Veo ala 2 7 1200 Nm 2 pyyp2F pt Mx LF I 5 5 Fy 5 50001 5700 1000 1000 2 37 2000 5000 x 2 5700 2000 500 2000 10000 5700 800 Nm Apesar de suave de 0 a oa se trata de uma parabola a partir disso 6 uma reta 71 X Diagramas Figura 315 Grafico de Vyx Figura 316 Grafico de Mxx 34 P2 2015 Questao 3 A viga com apoio simples da figura abaixo esta submetida a uma carga concentrada P 200 kN no centro de seu vao L 4 m e a uma carga uniformemente distribuıda direcionada para baixo de w 50 kNm sobre a metade AB do vao A tensao admissıvel em tracao ou compressao e σadm 150 MPa A partir da tabela D2 na Figura 63 anexa selecione a viga de aco de abas largas mais leve que pode ser utilizada nesta aplicacao Apresente as equacoes finais da forca cortante do momento fletor da rotacao e da deflexao 72 Figura 317 Fr err ee 4 ay R Fonte Craig Jr2003 Exercicio retirado de Craig Jr2003 I Coordenadas da estatica e convengao da resisténcia dos materiais Figura 318 y f Z II Modelo Figura 319 Ww joc L2 L2 No carregamento estarao presentes a forga constante w que precisard de dois termos para repre sentacao e a forcga aplicada P Os apoios nos extremos ditarao as condigdes de contorno III Equagao do Carregamento L L oe wle0 x 5 P25 31 73 IV Condigoes de Contorno v0 0 32 vL 0 34 M0 0 33 ML 0 35 V Equagao Diferencial do Equilibrio A 0 1 wy 2 1 qx wa 0 u2 4 P25 36 VI Integracao Lf 1 0 Vila we 0 we 5 P25 e 37 Lf M 02 2 e pele gens 38 22 5 x 5 x 5 x 5 cyx co Lf Elezb0 e08 leL 2 2 4 2 39 ee 2t a G t 3Z 95 52 cot 63 39 Lf EI w oi L P L G3 95 310 220 57 34 e Gi 9a ee 52 c30 4 310 VII Determinacao das Constantes de Integragao 33 38 M0 C2 Co 0 311 32 310 EI00 c4 0 312 35 38 2 ut 24 8 4 pe pean o 2 22 207 Substituindo os valores 505 50 4 4 34 ay 5 2005 4c 0 25 x 164 25 x 4 200 x 24 4c 0 400 100 400 4c 0 700 4c 0 100 ta cy 175 313 74 34 310 ELwb21424 TP LY eps 8p rs oo 22 94 94 9 6 2 6 Q7 1S Substituindo os valores 50 50 4 200 4 175 44 43 4e3 0 24 a 5 7G 4 F863 533 3 333 266 7 18667 4c3 0 4c3 1100 0 1100 C3 7 cy 275 314 VIII Equagoes finais Vx 50x 0 50a 2 200a 2 175 315 Mx 25a 0 25a 2 200x 2 1752 316 EI0a 83x 0 83x 2 100a 2 87 5a 275 317 EI0 21a 04 2 1a 24 33 3a 2 29203 275 318 IX Andlise Para Diagrama M0 0 Ma 27 25 x 27 175 x 2 250 Nm Ma 2 25 x 27 175 x 2 250 Nm Mx 4 25 x 47 200 x 24 25 x 27 175 x 4 0 é equagao de primeiro grau pois simplificando a equacaéo temos que 25x 2002 400 25x 4a 4 17542 M 22507 2a 400 2547 1002 100 Mz 1252 500 M Portanto o diagrama do momento deve ser representado por uma reta entre 2 L 4 Anterior a x 2 temos uma parabola 75 X Diagrama Figura 320 300 250 200 E 150 100 50 0 xm XI Dimensionamento Utilizando a tensAéo maxima admissivel ggam 150 MPa Valores maximos om Mxy Mx Ore My Oxay Mate Zz Umax 250 150 x 10 FT Wemin 0 00167 m3 Entao Wepin 167 x 10 mm 16667 x 10 mm Onde w Umas min Consultando a tabela 63 wz corresponde a S procurando de baixo para cima os valores maiores que 16667 x 10 mm obtemos W310 x 143 W360 x 122 W410 x 100 Wzmin W460 x 133 W530 x 109 W610 x 092 Del Le mm kgm Escolhese entao W610 x 092 que é a viga mais leve que pode ser utilizada 35 P1 2016 Questao 1 A viga esté submetida carga mostrada na Figura 321 Tracar os diagramas da forga cortante e do momento fletor 76 Figura 321 Fonte Hibbeler2004 Exercıcio adaptado de Hibbeler2004 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 322 II Modelo Figura 323 Esse eixo tem dois momentos torsores aplicados um que e considerado no carregamento Mb e um que e considerado nas condicoes de contorno Mc III Equacao do Carregamento tx MBx 0 41 tx 5000x 0 41 31 77 IV Condigoes de Contorno M1M Mx 1 2000 32 V Equagao Diferencial do Equilibrio dMza ta 5000a 0 41 33 dx VI Integragao us Ma 5000x 0 4 34 VII Determinagao das Constantes de Integracgao 32 34 M x 1 5000 c 2000 c 3000 35 VIII Equagao final Mx 5000x 04 3000 Nm 36 IX Andlise Para Diagrama Ma 0 3000Nm Mx 04 3000Nm Mx 04 2000Nm Mx 1 2000Nm X Diagrama Figura 324 4000 3000 2000 Ss Z 1000 xs OO 1000 2000 3000 de Oa 4 deO4al xm 78 36 P2 2016 Questao 2 A viga AC mostrada na Figura 325 com apoio simples suporta uma carga concentrada P no seu ponto médio B Determine a espessura h da viga em mm se a tensao de flexao maxima for Oma 50 MPa a deflexéo maéxima for daz 10 mm o vao for L 4m eo modulo de elasticidade linear for E 200 GPa Figura 325 P L2 Ef2 Oe I a i Cy 1Omnax z 1 Fonte Craig Jr2003 Exercicio retirado de Craig Jr2003 I Coordenadas da estatica e convengao da resisténcia dos materiais Figura 326 y f es nee II Modelo Figura 327 P S max T da RM L2 L2 Temos a forga aplicada P no meio da viga e essa forga provoca uma curvatura na viga dma essa curvatura é nula nas extremidades o que funcionara como condicoes de contorno III Equagao do Carregamento L7 qx P 5 31 79 IV Condigoes de Contorno M20 0 32 M2L 0 33 v0 0 34 vL 0 35 V Equagao Diferencial do Equilibrio dvux L VI Integracao Lf L 0 Vx P 5 c 37 Lf L 1 Me P25 C2 38 Lf EL P FY 4 a2 39 z2b2t vo rat CoX C3 39 Lf P L Elv F2 3 Gut Stl tear te 310 VII Determinacao das Constantes de Integragao 32 38 C2 0 311 34 310 c1 0 312 33 38 PZ tal040 5 313 35 310 PL PI 3 tek 0 6 la Fa6r TREK PL PL aS TD c3L 0 Pe PL 3 WB 12 3PL 3 48 PL 3 e 314 80 VIII Equagoes finais L P MPx 2 315 2 2 P L P 4 PL IX Andlise Ma 0 0 Ma 2 P Ma 2 P M 4 P2P20 Mena P L PL PLL Elev 5 2 5 716 2 L P 2P 2P 6P 4P Elv82P 2Pp 5 pe 3 3C3 3 4P 200 x 109 x I x 107 2P 1 Lez 3 Tho 7 3 109 Sobre a Tensao Maxima M One 2y Lez ph 50 x 10 r 3 109 h3 10 10 p22 50 x 10 50 P h 00667m Entao h 6667mm 37 P1 2017 Questao 2 Construir os diagramas de forga cortante Vx e momento fletor Mx da estrutura abaixo Sugestao Resolva literalmente e substitua os valores nas equacoes finais Dados go 1000Nm Fy5000N e M2000Nm Ty 10m Le 3m Lg 4m 81 Figura 328 Fonte Popov1978 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 329 II Modelo Figura 330 Temos q0 aplicado somente no comeco da barra entao temos que compensarno restante Como q0 e uma forca constante aplicada sobre um comprimento da estrutura seu coeficiente e zero Alem disso temos uma forca aplicada sobre um apoio em L1 L2 que tera entao coeficiente 1 E por conta desse apoio temos uma reacao Ryc tambem aplicada em L1 L2 tambem de coeficiente 1 82 III Equagao do Carregamento qx qox 0 qoa L1 Fy x Ly L27 1 Rye a Ly Le7 31 IV Condigoes de Contorno As condigodes de contorno sao devidas ao momento fletor aplicado em L e 4 presenca do pino em Lj Outra condicao de contorno de forga cortante nula pode ser estabelecida ja que em L a estrutura esta solta ML M 32 VL 0 33 MIi 0 34 V Equagao Diferencial do Equilibrio aM x ae qx gox 0 qox L1 Fx Li L27 Rycw Li L2 35 VI Integracao LJ dMx avi 1 0 0 Vy 2 i qx qoa 0 qox Li Fy x Ly Lo Rycx L1 La e 36 LJ 740 2 40 2 1 1 Mx qx te 0 a L Fya 1 L2 Ryew 1 L2 e1 4 2 37 VII Determinacao das Constantes de Integragao 33 36 1 1 qlh goL2 D3 Fy L3 Ryc L3 c 0 Substituindo os valores 100017 10007 5000 Ry c 0 17000 7000 5000 Ry 0 Temos entao Rye e 15000 38 32 37 SP 5 hs L3 FL3 RyeL3 HL M Substituindo os valores 50017 5007 50004 Ryc4 1 17 c2 2000 500 x 289 500 x 49 20000 4Ry 17c cz 2000 4Ryc 17e1 cg 2000 144500 24500 20000 4Rye 17 cz 2000 140000 Portanto 83 4Ryc 17c1 c2 138000 39 34 37 q0 2 L12 c1L1 c2 0 Substituindo os valores 500102 10c1 c2 0 50000 10c1 c2 0 Logo 10c1 c2 50000 310 Temos entao 38 Ryc c1 15000 Ryc 15000 c1 310 10c1 c2 50000 c2 50000 10c1 39 4Ryc 17c1 c2 138000 Usando e em 39 415000 c1 17c1 50000 10c1 138000 60000 4c1 17c1 50000 10c1 138000 3c1 28000 Dessa forma temos que c1 9333 33 311 Voltando em 38 e 310 Ryc 15000 9333 33 Ryc 5666 7 312 c2 50000 109333 3 c2 43333 3 313 VIII Equacoes finais Vyx 1000x 01 1000x 101 5000x 130 5666 7x 130 9333 3 314 Mzx 500x02500x1025000x1315666 7x1319333 3x43333 3 315 IX Analise Para Diagrama aForca Cortante Em 0 x L1 Vyx 0 9333 3N 316 Vyx 10 1000 101 9333 3 666 7N 317 Em L1 x L1 L2 84 Vyx 10 1000 101 1000 01 9333 3 666 7N 318 Vyx 13 1000 131 1000 3 9333 3 666 7N 319 Em L1 L2 x L Vyx 13 1000 131 1000 3 5000 1 5666 7 1 9333 3 0 320 Vyx 17 1000 17 1000 7 5000 5666 7 9333 3 0 321 bForca Cortante Em 0 x L1 Mzx 0 43333 3Nm 322 Mzx 10 500102 9333 310 43333 3 0 323 Em L1 x L1 L2 Mzx 10 500 102 500 02 9333 3 10 43333 3 0 324 Mzx 13 500 132 500 32 9333 3 13 43333 3 2000Nm 325 Em L1 L2 x L Mzx 13 500 132 500 32 9333 3 13 43333 3 2000Nm 326 Mzx 17 500 172 500 72 5000 41 5666 7 41 9333 3 17 43333 3 2000Nm 327 Para achar os valores maximos da tensao primeiro procuramos onde a forca cortante e nula 1000x 9333 3 0 x 9 3m Temos que Mzx 9 3m 5009 32 9333 39 3 43333 3 220Nm que e o valor maximo do momento fletor na estrutura 85 X Diagramas Figura 331 Diagrama para Vyx Figura 332 Diagrama para Vyx 38 P2 2017 Questao 2 Antes de ser aplicado o momento de 80 kNm na viga W410 X 388 mostrada na Figura 333 havia uma folga δ0 13 mm entre ela e o apoio em C Sabendo que E 200 GPa determine a reacao em cada apoio depois de ser aplicado o momento Utilize como referˆencia a Tabela 62 86 Figura 333 Fonte Beer et al2006Beer Johnston Jr and Dewolf I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 334 II Modelo Figura 335 Temos uma reacao presente em C que ira aparecer no carregamento devido ao apoio Para as condicoes de contorno presentes temos 80kNm aplicados na extremidade A enquanto em B o momento e nulo Alem disso temos as deflexoes nulas nos apoios das extremidades e a deflexao de 13mm no apoio em C considerando que haja contato do apoio em C e da viga III Equacao do Carregamento qx Rycx 21 31 87 IV Condigoes de Contorno M0 80000Nm 32 on 4 ve M4 0 33 v4 35 v2 13 x 107 restricao 36 V Equagao Diferencial do Equilibrio dvux VI Integracao Lf ux V x a Rycx 2 4 38 Lf d2 Mx vlz Rycla 2 axer 39 dx Lf Rye 2 C12 EI0 2 3 c23 310 Lf Rye 3 13 2 EIv te 2 2 con 3 C4 311 VII Determinacao das Constantes de Integragao 32 39 Temos diretamente que cy 80000 312 34 311 EIv0 c4 Portanto c40 313 De 33 39 35 311 36 311 Vem 33020 5 800005 2cs 0 S42 3000018 deg Buck 0 4c 80000 2R Lembrando que I 127 x 10mm que é obtido da tabela 88 4 3c1 2c3 193020 32 3 c1 4c3 4 3Ryc 640000 4c1 2Ryc 80000 Que resulta em c1 37617 50 c3 71431 67 Ryc 35235 As reacoes nos apoios sao dadas por Vyx Vyx 35235x 20 37617 5 Reacao em A Vy0 Rya Vy0 37617 5N 314 Reacao em B Vy0 Ryb Vy4 35235 37617 5 Vy4 2381 5N 315 Reacao em C Ryc Ryc 35235N 316 Figura 336 39 P1 2018 Questao 2 Construir os diagramas de forca cortante Vyx e momento fletor Mzx da estrutura abaixo Figura 337 89 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 338 II Modelo Figura 339 Temos duas reacoes uma em cada apoio que devem aparecer na equacao do carregamento III Equacao do Carregamento qx R1x a1 R2x L a1 31 IV Condicoes de Contorno Vy0 F 32 VyL F 33 Mz0 0 34 MzL 0 35 V Equacao Diferencial do Equilıbrio d2Mzx dx2 qx R1x a1 R2x L a1 36 VI Integracao Vyx R1x a0 R2x L a0 c1 37 Mzx R1x a1 R2x L a1 c1x c2 38 90 VII Determinacao das Constantes de Integracao 32 37 Vy0 c1 F c1 F 39 33 37 VyL R1 R2 c1 F R1 R2 F R1 R2 2F 310 34 38 Mz0 c2 0 c2 0 311 35 38 MzL R1L a R2a FL 0 R1L a R2a FL 312 De 310 R2 2F R1 Em 312 R1L a 2F R1a FL Voltando em 310 R1 F 313 VIII Equacoes finais Vyx Fx a0 Fx L a0 F 314 Mzx Fx a1 Fx L a1 Fx 315 IX Analise Para Diagrama Vy0 F Vyx a F Vyx a 0 Vyx L a 0 Vyx L a F VyL F Mz0 0 Mzx a Fa Mzx a Fa Mzx L a Fa Mzx L a Fa MzL 0 91 X Diagramas Figura 340 Diagrama para a forca cortante Vyx Figura 341 Diagrama para o momento fletor Mzx 310 P2 2018 Questao 2 Um macaco hidraulico mostrado na Figura 342 pode ser usado para elevar o ponto B da viga em balanco ABC A viga era originalmente reta horizontal e sem forca aplicada Foi aplicada entao uma forca de 22 kN no ponto C fazendo este ponto se mover para baixo Use E 200 GPa e determine a a quanto o ponto B deve ser levantado para que o ponto C retorne a sua posicao original b o valor final da reacao em B 92 Figura 342 Fonte Beer et al2006Beer Johnston Jr and Dewolf Exercıcio retirado de Beer et al2006Beer Johnston Jr and Dewolf I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 343 II Modelo Com a atuacao do macaco hidraulico Figura 344 III Equacao do Carregamento Para o carregamento temos a reacao aplicada pelo macaco na barra qx RBx 1 81 31 93 IV Condigoes de Contorno Nao temos deflexao em para x0 nem para x L Também nao temos deformagao angular em x 0 Por fim x L tem uma forca cortante aplicada e tem momento fletor nulo kN v0 0 32 VL 22 x 10 34 0 0 33 ML 0 35 voL 0 36 V Equagao Diferencial do Equilibrio A equacao diferencial do equilibrio fica dvux 4 Eliz Rela 13 VI Integracao ft Forca Cortante Vx Rex 18 e 37 ft Momento Fletor M2 Rela 18 r ce 38 Deformacéo Angular R 2 Bl222 a 18 as ct 63 39 Deflexao R 3 2 EIvx Aw 18 e ea 30 4 310 VII Determinacao das Constantes de Integragao 34 37 1 iN VL Rp 3 18 e 22 x 108 Rp c 22 x 10 311 35 38 ML Rp3 18 c13 O 0 12Rp4 3c c 0 312 33 39 EI06z0 04 0c 0c2 c3 0 32 310 EIv0 0 0c Ocp 0c3 cy 0 ca 0 314 94 36 310 EIzzvL RB 6 1 23 c1 32 6 c2 32 2 0 1 23RB 33c1 3c232 0 1 728RB 27c1 27c2 0 315 Temos entao 11 RB c1 22 10312 1 2RB 3c1 c2 015 1 728RB 27c1 27c2 0 Resolvendo o sistema obtemos RB 5 0984 104 316 c1 2 8916 104 317 c2 2 5667 104 318 VIII Equacao da deflexao Da tabela 61 teremos Izz 8 8 106mm4 Izz 8 8 106 1034m4 Izz 8 8 106m4 EIzzvx 5 05 104 6 x 1 83 2 89 104xx3 6 2 5 104 x2 2 Em x 18 EIzzv1 8 2 89 104 1 83 6 2 57 104 1 82 2 EIzzv1 8 18090 8 41634 130543 2 v1 8 13543 2 200 109 8 8 106 0 008m Logo v18 8 mm A partir da horizontal devese elevar 8 mm para o ponto C nao deslocar Verificacao Em x 3 EIzzv3 5 09 104 6 1 23 2 89 104 33 6 2 57 104 32 2 EIzzv3 14659 2 130050 115650 0 Logo o ponto B deve ser levantado 8 mm a partir da horizontal Reacao em B RB 5 0924104N RB 5 09kN 311 P1 2019 Questao 2 A estrutura rıgida BDE na Figura 345 esta soldada no ponto B a viga AC de aco Para o carregamento mostrado na figura trace os diagramas de forca cortante Vyx e momento fletor Mzx ao longo da viga 95 Figura 345 Fonte Beer et al2009Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek Exercıcio retirado de Beer et al2009Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 346 II Modelo Temos Forca constante de 20kNm aplicada a partir de B Forca cortante Vb aplicada em B Momento fletor Mb gerado por Vb tambem em B O momento fletor Mb causado pela forca Vb fica Mb Forca x Braco 60kN 1 5 90kN Figura 347 Modelo para a questao 2 96 III Equagao do Carregamento qx M x 15 Va 15 qx 15 31 IV Condigao de Contorno Como os pontos extremos da viga estao apoiados as condigao e contorno sao M0 0 32 ML 0 33 Observe que existem reagdes Rya Rza Ryc nos apoios e por isso escolhemos 0 momento para as condicoes de contorno V Equagao Diferencial do Equilibrio aM MAD 40 Mila15 Vol 18 gle 159 34 xv VI Integracao A integracao fica ft V x Ma 157 Vx 15 qw 15 a 35 que é a forca cortante e Mx Myx 15 Vx 15 5e 15 e2 e 36 que é o momento fletor VII Determinagao das Constantes 32 36 M 0 0 Portanto c 0 37 33 36 1 3 9 rN 20 ML 45 M x 15V x 15 x 15 e x 4500 90 60x 310x945xc 0 90 180 90 45 x ec 0 Portanto C 0 38 VIII Equagoes finais V 90a 15 60a 15 20a 15 39 eY Desconsiderar Mx 90a 15 60 15 10a 15 310 97 IX Andlise para Diagramas V 0 0 V157 0 V15 60a 15 20 15 60 x 1 20 x 0 60kN V 45 60a 15 20a 15 60 x 1 20 x 30kN M0 0 M15 0 M15 90a 15 60 15 10a 15 90 x 1 60 x 310 x 90 15 225 oo oo M30 90 60 a 15 10 a 15 225kNm X Diagramas Figura 348 Grdafico de Vz 7Oo 60 50 40 30 20 10 oO Im oO 1 15 2 3 4 45 5 98 Figura 349 Grafico de Mzx 312 P2 2019 Questao 2 Uma viga central BD e presa por articulacoes a duas vigas em balanco AB e DE Todas as vigas tˆem a secao transversal mostrada na Figura 350 Para o carregamento mostrado determine o maior valor de w de maneira que a deflexao em C nao exceda 3 mm Use E 200 GPa Figura 350 Fonte Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek hinge articulacao Exercıcio retirado de Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 351 99 II Modelo As rétulasarticulagoeshinges presentes na viga sao consideradas descontinuidades que aparecem na equacaéo do carregamento com a forma EIA temos uma em B e uma em D Figura 352 Ww UTED UU T IT ey Oy ey 4 4 a 2 YT 24 mm 04 m 04 m 04 m 04m III Equagao do Carregamento descontinuidade em B descontinuidade em D 0 3 3 qx wie0 ElA03 04 EIA0p 12 31 IV Condigoes de Contorno e Restrigoes Contorno descrevem as condicoes nas paredes Restrigdes sao decorrentes das rétulas engastamento M04 0 36 60 0 32 04 36 Mz 12 0 37 6L 16 0 33 v0 0 34 voL 16 0 35 V Equagao Diferencial do Equilibrio A teoria técnica usada aqui é a de Flexao de Vigas d0 0 3 3 Elz pq wt 0 ElzA0p 0 04 El2A0zp a 12 XL VI Integracao A primeira integracao fica f 0 30 OO hUC eC re OO V x wx 0 EL A0p x 04 EL A0p x 12 e 38 E a segunda f 0 0 ee EN M Sle 0 ELA0p 04 EL A0zpx 12 e2 c 39 Os termos EIA0 nao tem sentido fisico em Vx e em Mzx por isso sao considerados nulos A partir daqui esses termos passam a terem sentido fisico e por isso devem ser considerados 100 A terceira integragao fica f 2 EI0x Gl 03 BIA0px 04 BIA0zp x 12 as erc3 310 E por fim f w x x EIv2 54 04 EIA08a 04 ElA0pa 12 cig teas cat c4 311 VII Determinacao das Constantes de Integragao De cara podemos determinar c3 e ca 32 311 c0 312 33 310 c3 0 313 Como EI aparece varias vezes fazendo a conta no SI 3 4 Ele 200 x 199 02024 0012 gop gg Ne 8 Nn 12 m Voltando as equacoes 34 311 0 1 4 1 3 1 2 EI0L 16 er 691 2A0812 691 2A0p0 4 aor oO 0 314 35 310 0 a 16 e116 EI0L 16 5 691 2A621 691 2A0p1 a 16 0 315 36 39 04 M04 Oe c104 c 0 316 37 39 1 2 M12 Sw e112 e2 0 317 Das duas tltimas é possivel encontrar c e cz Usando as equagées 316 e 317 008w 0 4c co 0 04c co 0 08w 072w 12c cg 0 12c co 0 72w Resolvendo o sistema c 0 8w 318 co 024w 319 Entao as equagoes 314 e 315 ficam 101 02731w EIA0p12 ElA0p04 05461w 0 3072w 0 06827w EIA08 EIA6p 10240w 0 3840w 0 EIA0p12 ElA6p04 00342w EIlA0p ELA0p 00427w Ao fim temos EIzA0p 00213w Adp 00000343992w 320 EIzA0zp 00213w AO p 0 0000343992w 321 VIII Andlise A deflexao tem que ser v08 3mm 084 083 08 Elv08 ws 00213w x 044040 sw OSS 0 24 OS w 12149Nm Logo o maior valor de w possivel é 12149 Nm aplicado para baixo 313 P1 2020 Questao 2 A barra rigida DEF mostrada na Figura 353 esté soldada no ponto D A viga biapoiada AB Para o carregamento mostrado construa os diagramas de forga cortante Vx e momento fletor Ma Dados e comprimento L da viga em metros primeiro algarismo do seu N USP Se for 1 ou 0 utilize 10 e gq em kNm peniltimo algarismo do seu N USP multiplicado por 10 e V em KN ultimo algarismo do seu N USP multiplicado por 10 Se for 0 utilize os dois tltimos Exercicio adaptado de Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek 102 Figura 353 Fonte Adaptado de Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 354 II Modelo Figura 355 Modelo para resolucao 103 III Equagao do Carregamento Aqui temos o problema de representar go apenas de x0 a x L2 para isso colocamos a forga constante gq a partir do zero e depois colocamos outra forga de mesma intensidade g com o sinal oposto comecando em L2 Além da forga constante go temos as duas singulares aplicadas o momento fletor Mg e o cisalhamento V L 3L 3L qx qoz 0 qoa Vla Ma x 31 2 4 4 IV Condigao de Contorno Usamos os momentos fletores nos apoios como condicgoes de contorno jé que as reacdes em x e em y sao desconhecidas M0 0 32 ML 0 33 V Equagao Diferencial do Equilibrio dM 2 0 L 3L 7 3L a 2 4ox 0 ae Vv2 2 Ma2 VI Integracao A primeira integracgao fica ft dM a 1 L 3L 3L V 2 T dox 0 do uO 9 V vO Mga ae C1 34 E a segunda Jt a L2 L L Mx Sle 02 5 v Mala c c2 35 VII Determinagao das constantes de equilibrio 32 35 M 0 Co 0 Portanto c 0 36 33 35 qoL Jo L2 L ML 9 3 Via Matal0 3qL L ML ee VE ag ee 8 4 Isolando c 3qdoL Vv Ma 104 VIII Equagoes finais Para o cisalhamento observe que temos um termo de momento fletor que é desconsiderado ja que nao faz sentido fisico desconsiderar rsa L 3L 3qoL Vo Ma V x qox 0 aol vx 314 Mala 3 7 Tr eJ C1 L 3L 38qL Vo Ma yl ot dol V Ma Vy x dox 0 aol 5 v A 8 1 L 38 ee5J SS C1 4 q L 3L BL Bq Vo Ma Mx 2r 0 2 2 Vir Mylae aa 5 2 5 0 Bx 5 v c a 2 zr t Tte 3a ee C1 IX Andlise para Diagramas Para o cisalhamento temos que 3qdoL V Ma WO ase tg ty L Lt dol 3BqL Vi Ma Vv V 4 5 5 m4 Mee 3b 3doL qol 3doL Vo Ma qdol 3doL Vo Ma 4 oe A ETS Ty thes tate 3L 3doL qoLl dob V Ma qdol 3doL V Ma My F WE v4 gs fat pe og tls tate qoL Gob V Ma qoL dol V Ma LD qb 4 4 fot 4 4 Td VL dol v4 4 tes 5 OV Et gts Observe que VL2 V3L4 e que V 3L4 VL Para o Momento Fletor nos pontos mais importantes 105 M0 0 wi ZL ue e gob V MaE 2 J 2 2 4 8 4 L2 BL qo 9k go L dol Vo Ma3L u 2 621 Vs 4 24 3Lt qo9L qL dol V Ma3L M j42m 2744 8 5 2 16 216 at EE 4 ML 0 E em mais alguns pontos para podermos tracar o diagrama L q Ll ql Vi MaL M2 2 44 5 2 at aT TZ 3L qo9L qol VV Ma3L M 8 4 2 4452 2 at M 544 8 BL qo25L qo L gol Vo Ma5L M e B 8 47 Ld 8 7L qo49L qo 9L VL dob V Ma5L M 2 m Ho 44 2 2 64 2 64 8 at es tat yy 106 IX Diagramas Os diagramas apresentados a seguir sao exemplos usando qo 20kNm V 100kn e L 4m alem disso supomos Md 100 Figura 356 Diagrama de Vyx Figura 357 Diagrama de Mzx 314 P2 2020 Questao 2 Determine o maior valor da carga uniforme distribuıda w que pode ser aplicada na viga mostrada na Figura 358 sabendo que a maxima tensao normal suportada pelo material e de 80MPa em tracao e 130MPa em compressao Exercıcio retirado de Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek 107 Figura 358 Fonte Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek I Sistema de Coordenadas da Estatica e Convencao da Resistˆencia dos Materiais Figura 359 II Propriedades Geometricas i Baricentro Figura 360 Na Figura 8 e utilizado um sistema de coorde nadas auxiliar y y1A1 y2A2 A1 A2 3060 20 7060 20 260 20 y 50mm 108 ii Momento de Inercia de Area Na Figura 9 o sistema de coordenadas utilizado e o mesmo do problema Iz1z1 20 603 12 3 6 105mm4 Iz2z2 60 603 12 4 104mm4 Pelo Teorema dos Eixos Paralelos Izz Iz1z1 A1d2 1 Iz2z2 A2d2 2 Izz 3 6 105 60 20202 4 104 60 20202 Figura 361 Ficamos com Izz 1 36 106mm4 1 36 106m4 III Equacao do Carregamento e Modelo Para a equacao do carregamento temos a forca constante W sendo aplicada alem das reacoes em y nos suportes B e C Figura 362 Modelo para resolucao qx Wx 00 Rybx 0 21 Rycx 0 71 31 IV Condicoes de Contorno e Restricoes Vy0 0 32 VyL 0 33 Mz0 0 34 MzL 0 35 v0 2 0 36 v0 7 0 37 109 V Equagoes diferenciais do equilibrio dvux Eliza qx Substituindo qx dvx Eliz W x 0 Rypa 027 Rycla 077 38 VI Integracao Vx W x 0 Rypx 02 Ryea 07 39 W M a 0 Rypx 02 Ryex 07 cra c2 310 w R Rye EI0x2 0 Sle 02 07 ay 2 3 311 W R Rye 3 2 Elzvv x 04 w 023 2 x 073 e n eg2 4 312 24 6 6 6 2 VII Determinacgao das Constantes da Integracao 32 39 V0 cy 05c 0 313 34 310 M0 0aQ0 314 33 39 W x09 Ry Rye 0 315 35 310 W 2 X09 Ryp X 07 Rye X 02 0 316 36 312 0 nN W 4 Elz 002 Sy x 024 e x 02 c4 0 317 37 312 w R Elz 007 Sp x 07 x 05 3 x 07 4 0 318 De 315 e 316 considerando as incégnitas como Ryp e Rye 09W Ryp Ryo 0 0405W 0 7Ryp 0 2Ryc 0 I Ryp Ryo 09W 07Ryp 02Ryo 0405W I 110 0 7Ryp 0 TRyc 0 63W 0 7Ryp 0 2Rye 0 405W Somando as duas equacoes 0 5Ryc 0 225W Portanto ficamos com Ryc 045W 319 Voltando 4 somatoéria do sistema e substituindo 0 TRyp 020 45W0 0 405W Logo Ryy 045W 320 Repare que os resultados de Ryp e Rye sao simétricos como o esperado As constantes c4 e C3 nao seréo encontradas pois nao so necessdrias nesse exercicio VIII Equagoes Finais V x Wx 0 0 45W x 0 2 045W x 07 321 W 2 1 1 Mx a 0 045W a 02 045W x 07 322 IX Andlise para Diagramas M0 0 W M027 02 002W W M02 O 2 002W W os M07 07 045W 05 002W W M07 a 7 045W 05 002W W M09 0 9 045W 0 7 045W 02 0 E possivel perceber que o diagrama de M é formado por parabola entao calculando mais alguns valores W M0 1 0 1 0005W 2 W M045 0 45 045W 0 25 001125W W M08 0 8 045W 06 045W 01 0005W Repare que os valores encontrados sao simétricos o que era esperado de parabolas 111 X Diagrama Figura 363 Diagrama de Mzx em funcao de W 0015 001 0005 4 0 2 9005 E 001 0015 002 0025 0 02 045 07 09 xm Temos que o valor maximo de M em mddulo Mzmax 002W XI Dimensionamento Temos tragao em cima e compressao em baixo M 002W Tragao PaNm My 002W x 30 x 10 Gon 24 80 x 108 Lz 1 36 x 10 6 4 Temos entao que W 1813333Nm 1813kNm Compressao Mey 002W x 50 x 1073 w 1 19 2 TL 0x 10 136 x 10 E portanto W 176800Nm 176 8kNm Que é a resposta jA que se trata do menor W 112 e Cisalhamento na Flexao 41 P3 2014 Questao 1 Duas pranchas de madeira sao pregadas como mostrado na Figura 4la formando uma viga de 39 m de comprimento Se a distribuigao do momento fletor aplicado a viga tem o diagrama mostrado na Figura 41b e se Os pregos suportam uma fora de cisalhamento maxima de 900 N qual deve ser 0 espagamento maximo entre os pregos Figura 41 Sener M rm Nm L Fonte Shames1989 b if iw a Exercicio retirado de Shames1989 I Centrdide Figura 42 a yi Ai yrAe A A Ag 125 x 25x 75 25 B x 25 x 75 a 25 x 75 25 x 75 y y 375 mm AY II Forga Cortante Maxima V VQ Ja que op 8 aque Ony Lb 113 a Grafico de Mzx 0 x 1 5 Mzx ax b Com Mzx 0 0 e Mzx 1 5 1400 Temos Mzx 1400 1 5 x Portanto dMzx dx Vyx Vyx 1400 1 5 933 3 N b Grafico de Mzx 1 5 x 3 9 Mzx ax b Com Mzx 1 5 1400 e Mzx 3 9 4500 1 5a b 1400 3 9a b 4500 a 1291 7 b 537 5 Temos Mzx 1291 7x 537 5 Portanto dMzx dx Vyx 1291 7 N Figura 43 III Momento de Inercia Izz Figura 44 Iz1z1 25 753 12 d2 1A1 252 25 75 Iz2z2 75 253 12 d2 2A2 252 25 75 Izz Iz1z1 d2 1A1 Iz2z2 d2 2A2 3320312 5 mm4 Portanto Izz 3 32 106 mm4 114 IV Momento Estatico de Area Parcial Qy Figura 45 f wr g Z Qentu gaa Apy al0Oyhy gr gaya Qzpy Thad 255 125h y géy y Qzpy 12 5625 y Temos entao que Qepy 0 48828 125 mm Qply hi 0 b h3 y 0 Como ha mudanga na largura da secao devese analisar separada mente eh3 y he gy 2 y Qzpy 75d 735 375y hs ghs hs Qpy 37 5y h3 Temos entao que Qzpy h3 0 Qepy hi 46875 mm ehay0 gy e2 Qeply 6875 25dé 46875 255 gh2 2 he 25 2 2 Qepy 46875 y ha Qepy 46875 12 5y h3 115 Temos entao que Qepy h2 46875 mm Qpy 0 46875 12 50 12 5 48828 125 mm Para conferir Qpy Qpy 90 OK SsT oO Acima Abaixo V Dimensionamento Figura 46 Figura 47 Fr a Ley Meee diy aly V2 1291 7N Fry y by Com qe L Qzpy dc 3 32 x 10 mm Qepy Mas na superficie de contato Pr acy Le Fr 0yyA Fr OgyLzby Na superficie de contato entre os dois blocos de madeira Qy 46875 mm 1291 7 N Assim usando o menor by 182375 18 2375 N Ony 07995 by 25 mm Como a forga no pino deve ser de no maximo 900 N Fr 0zyLzby 900 0 7295L25 4 Ly 4935 mm 42 P3 2015 Questao 1 A viga mostrada na Figura 48 é feita de duas tabuas Indicar a secéo onde a forca cortante é maxima e seu respectivo valor Determinar a tensao de cisalhamento maxima na cola necesséria para manter as tabuas unidas ao longo da jungao Os apoios B e C exercem somente reacoes verticais sobre a viga Exercicio retirado de Hibbeler2004 116 Figura 48 Fonte Hibbeler2004 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 49 II Modelo Figura 410 Consideramos a viga como uma unica estrutura para montar o diagrama Temos apenas uma forca constante aplicada a partir de x 4m E nas extremidades as reacoes desconhecidas estao apenas na vertical via o enunciado entao usamos o momento fletor como as condicoes de contorno III Equacao do Carregamento qx 6 5x 40 41 117 IV Condigoes de Contorno Ma 0 0 42 Mx 8 0 43 V Equagao Diferencial do Equilibrio dM EMA ax 650 4 VI Integracao Lf Vx 65 4 e 44 Lf 65 2 M a 5 t 4 C2 45 VII Determinacao das Constantes de Integragao 42 45 M a 0 0 Portanto C2 0 46 43 45 M0 8 4 8e1 0 8c 65 x 8 Portanto cy 6 5 47 VIII Equagoes finais V x 65 4 65 48 Mx SP tn 4 6 5a 49 IX Andlise Para Diagrama Vx 0 65 kN Va 4 65 kN Va 4 65 kN Va 8 195 kN 118 X Diagrama Figura 411 A maior intensidade do esforco e Vymax Vyx 8 19 5 kN X Baricentro da Secao Figura 412 Temos um sistema auxiliar para o calculo do y da secao y y1A1 y2A2 A1 A2 y 120 mm 0 12 m 119 XI Momento de Inércia de Area da Secao Figura 413 150 x 303 Em 2 L 337500 mm o E do 1 3 if Em 29 Leys 2 4 8437500 mm Zz 12 nm tdi Para achar o Momento de Inércia em z Iz Lanz dy Ay Ly 20 d3 Ao onde d e dz sao as distancias dos eixos z e zq até o eixo z que passa pelo baricentro Tez 337500 45 x 150 x 30 8437500 45 x 30 x 150 27000000 mm4 Em m Iz 27x 107m XII Juncdo mesaalma Momento Estatico de Area Parcial Figura 414 SS on o Qzp 015 x 0030015 0 03 a de Qep 2025 x 107m XIII Tensao de cisalhamento na jungao VQ Oxy a a pior caso para a tenséo menor b b 0 03m N m oot 195 x 10 x 2020 x 10 Oxy OOO SSF y 27 x 107 x 003 wn 195 x 2025 x 108 x 107 Coy 27 x 3 x 106 x 102 Ory 488 x 10 Nm Em MPa 488 x 10 aostaaye 488 Nmm Logo Ozy 488M Pa 120 Entao a resistˆencia da cola deve ser de no mınimo 488 MPa 43 P3 2016 Questao 1 Uma viga caixao quadrada e feita de duas pranchas de 20 X 80 mm e duas pranchas de 20 X 120 mm pregadas entre si como mostra a Figura 415 Sabendo que o espacamento entre os pregos e s 50 mm e que a forca cortante admissıvel em cada prego e de 300 N determine a a maior forca cortante vertical admissıvel na viga b a tensao de cisalhamento maxima correspondente na viga Figura 415 Fonte Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek Exercıcio retirado de Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 416 121 II Coordenadas do Baricentro da Segao JY Zeq 0 Yog 60mm Figura 417 III Determinagao do Momento de Inércia 1 a 12 203 21 Lin a 0 80 x 108mm F di z Teyzy 80 x 10mm4 2 3 9 qo Ligzy 20 x 80 2560 x 102mm4 FB aaf nn voce 2560 4 Tayzg OX 10mm 2 Figura 418 Da segao toda em relagao a z Lez Lava d Ay Lenz d3As Lagzs Lagzg 2 2 I 80 x 10 50 x 20 x 120 80 x 10 50 x 20 x 12004 2 x 1084 x 10 Lz 1387 x 10mm IV Momento Estatico Parcial de Area Jungao Ap A d 33 d Qep 120 x 20x 50 120 x 10mm ef Figura 419 122 V Fluxo de Cisalhamento VyQzp Vy120108 de L 7387x100 WX 87 10 Nmm VI Area de Influéncia de Cada Prego area de influéncia de cada prego 8 oo Lp Ie 7 onde F é a forga cortante no prego Pp 300 10 L 87x 10 x V 50 i V 6897N Fi 420 Como sao duas pranchas verticais igura 4 Vy 1380N VII Tensao de cisalhamento a Na jungao y 40 mm VQ 1380 x 120 x 10 2 3 2 ey SS 0 298N 2983 x 10N Tey OT 40 x 1387 x 108 mm 10 Nm Tey 2983 kPa a No meio da segao y 0 J 3 Qzep Qp Qzp Qzp3 2 r T Qzp 12010 x 50 4020 x 20 4020 x 20 Ay dy Ag dz Ag d3 2 i es 1 Qep 152 x 10mm Figura 421 z 1 152 x 10 Tey a eee 0378Nmm2 378 x 10Nm Try 378 kPa 123 44 P3 2017 Questao 1 Uma viga de apoio simples AC com comprimento L 4m suporta uma carga W 1kN pendurada em B como mostrado na Figura 422 A secao transversal da viga tem dimensoes tambem mostrdas da Figura 422 50 mm x 60 mm Determine a tensao normal e a tensao de cisalhamento em trˆes nıveis da secao transversal imediatamente a esquerda do ponto de carregamento B a y 0 b y 15 mm c y 30 mm Figura 422 Fonte Craig Jr2003 Exercıcio retirado de Craig Jr2003 I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 423 II Modelo Neste caso a carga W tem um peso na viga que consideramos como uma forca aplicada Alem disso ha reacoes em x e em y nas extremidades entao para as condicoes de contorno temos que considerar o momento fletor 124 Figura 424 Ww im 3m III Equagao do Carregamento qx W x 17 41 IV Condigoes de Contorno M0 0 42 M4 0 43 V Equagao Diferencial do Equilibrio aM ou qx W 171 44 VI Integracao Lf Vx W21 c 45 Lf Mx Wx1ee 46 VII Determinacao das Constantes de Integragao 42 46 M0 c2 0 47 43 46 M4 W3 4 0 10003 e4 1 Portanto cy 750 48 VIII Equagoes finais Vx W a 1 750 49 Mx Wx 1 7502x 410 125 IX Analise Para Diagramas Vy0 750 Vy1 750 Vy1 250 Vy4 250 Mz0 0 Mz1 750 Mz1 750 Mz4 0 X Diagramas Figura 425 Grafico de Vyx N Figura 426 Grafico de Mzx Nm 126 XI Momento de Inercia de Area de Secao Izz Izz bh3 12 0 050 063 12 9 107m4 XII Tensao Normal e de Cisalhamento por item a y 0 σxx Mzy Izz σxx 750 0 9 107 Logo σxx 0 411 Figura 427 Qzp Apy 0 05 0 03 0 015 Qzp 2 25 105m3 σxy VyQzp Izzb 750 2 25 105 9 107 0 05 Portanto σxy 375kNm2 0 375MPa b y 15 mm σxx Mzy Izz 750 0 015 9 107 Portanto σxx 12 5 106kNm2 12 5MPa Figura 428 Qzp Apy 0 05 0 015 0 0125 Qzp 16 875 106m3 127 σxy VyQzp Izzb 750 16 875 106 9 107 0 05 Portanto σxy 281 25kNm2 0 28125MPa c y 30 mm σxx Mzy Izz 750 0 03 9 107 Portanto σxx 25 106kNm2 25MPa Figura 429 Qzp Apy 0 σxy VyQzp Izzb 750 0 9 107 0 05 Portanto σxy 0 Obs Essa questao tem continuacao presente nas secoes 54 e 55 45 P3 2018 Questao 1 Com Flexao Uma viga de madeira AB de comprimento L e secao transversal retangular suporta uma forca uniformemente distribuıda w e e suportada conforme mostra a 430 a mostre que a relacao τm σm dos valores maximos das tensoes de cisalhamento e normal na viga e 2h L onde h e L sao respectivamente a altura e o comprimento da viga b determine a altura h e a largura b da viga sabendo que L 5m w 8kNm τm 1 08MPa e σm 12MPa 128 Figura 430 Fonte Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek Exercıcio retirado de Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 431 II Modelo Figura 432 Para este caso temos reacoes no eixo y nos apoios C e D respectivamente chamadas de R1 e R2 alem disso temos que a deflexao nesses apoios deve ser nula restricoes Em toda a barra temos uma forca constante w aplicada 129 III Equagao do Carregamento 1 1 oe wle0 22 Ra2 7 41 IV Condigoes de Contorno e Restrigoes V0 0 42 VL 0 44 0 0 46 Mz0 0 43 ML 0 45 4 v 0 47 V Equagao Diferencial do Equilibrio d L 3L BLT ale we0 Ria 4 Ba2 48 VI Integracao Lf 0 0 Vila wle0 x 5 Ra 2 c 49 Lf w 9 L 3L Mx 3 x 0 R w 7 Ro wT x C2 410 Lf EL00 ole 0 4 L Rs BL x Lu ze 2t G le e 7 w Fey tee tes 411 Lf R L R 3L 3 2 EIv sy e ot Fa i Fa ae os c3tC4 412 VII Determinacao das Constantes de Integragao 42 49 V0 0 c 0 413 43 410 M 0 0 co 0 414 44 49 VL wL Ry Ry 0 Ry RouL 130 45 410 wl 3L L ML L 9 Ri 1 Re 1 0 3RiL Rol 2wl 3h Ro 2wL Resolvendo este ultimo sistema Ry Rowl 3R Re 2wLh Substraindo a primeira equacao da segunda 2R wlL Temos portanto L R 415 2 E voltando na primeira equacao L oe 4 Ry WL 2 L R 416 2 VIII Equagoes finais Assim L L wL L Vx wx 01 oa i a 1 1 v 2 wh F whl 3h Mx 5 e 0 P a i e a nl IX Andlise Para Diagrama V0 0 M0 0 LD wl LT w L wl Vv M ee Os 4 4 4 2 16 32 Lt wh wh wl Lt w L wl Vv SW M ee eS SS ss 4 4 2 4 4 2 16 32 3L w3L wl wl L wl wlhL vy 4 e a u 5 425 o 3L w3b wh wh wl 3L w9l wh L wl V CS a 4 us 2162 12 32 wh wl 3L w 9L wL VL wL 0 M24 Wt 2 2 4 2 16 32 w wh3bL wilh L ML L 2 2 2 4 24 0 131 X Diagramas Considerando w 8 kNm e L 5 m Figura 433 Grafico de Vyx Figura 434 Grafico de Mzx Entao os maximos ocorrem nos locais dos apoios ou seja L4 e 3L4 Vymax wL 4 Mzmax wL2 32 XI Item a Cisalhamento τ σxy VyQzp bIzz τmax wL 4 bh2 8 b bh3 12 3wL 8bh Pausa para meditacao Qzp 132 Figura 435 Qzp Apy b h 2 h 4 bh2 8 Logo Izz bh3 12 Fim da Pausa Normal σxx Mzy Izz σxxmax wL2 31 h 2 bh3 12 3 16 wL2 bh2 Entao a relacao τm σm fica τmax σxxmax 3 8 wL bh 3 16 wL2 bh2 2h L XIIItem b τmax σxxmax 2h L 1 08 106 12 106 2h 5 h 0 225m Portanto a Altura h vale h 225mm Para a Largura b temos σxxmax Mzy Izz 12 106 800052 32 0225 2 b 02253 12 b 0 0617m Entao h 61 7mm 133 Cırculo de Mohr e Criterios de Falha 51 P3 2014 Questao 2 O eixo AB de 40 mm de diˆametro e feito de um tipo de aco cuja tensao de escoamento e Sy 250 MPa Usando o criterio da maxima energia de distorcao von Mises verifique se o eixo ira falhar quando submetido aos esforcos mostrados na Figura 51 Trace o cırculo de Mohr para os pontos mais solicitados Dados P 250 kN e T 700 Nm Figura 51 Fonte Beer et al2006Beer Johnston Jr and Dewolf Exercıcio retirado de Beer et al2006Beer Johnston Jr and Dewolf I Coordenadas da estatica e convencao da resistˆencia dos materiais Figura 52 134 II Modelo Figura 53 Temos um momento torsor T e uma forca P aplicados na extremidade A do eixo Alem disso os pontos mais solicitados se tratam de qualquer ponto na superfıcie IIIDiagramas Figura 54 Nxx Figura 55 Mxx Um ponto da superfıcie superior Figura 56 IVTensao Normal σxx Nx A 250 103 π 402 4 198 9 N mm2 198 9 MPa Temos entao que 135 Ore 200 MPa VTensao de Cisalhamento d4 Lembrand Jog 7 embrando que 35 MR 700 x 10 x 20 Temos que dz ae 557 MPa Jo qr Ae 32 Entao Ore 56 MPa Para visualizar Figura 57 dz 0 x Oxx l Z xz V1ICirculo de Mohr Ong Ozz 200 SS SO ES 1 ro 2 5 00 20 0 2 2 ax Yzz 2 238 CB oe anos Figura 58 1146 fi aN 5 146 Yo 2146 136 σ1 214 6 MPa σ2 14 6 MPa τmax 114 6 MPa VIITensao Efetiva de Von Mises σ 2 σ2 1 σ2 2 σ1σ2 214 62 14 62 214 6 14 6 222 3 MPa σ 222 3 MPa VIIICriterio de Falha Sy 250 MPa como temos Sy σ nao ocorre falha IXCoeficiente de Seguranca N Sy σ 250 222 N 1 13 52 P3 2015 Questao 2 O eixo macico e feito de um tipo de aco cuja tensao de escoamento e Sy 240 Mpa e esta sujeito aos carregamentos mostrados na Figura 59 Determinar as tensoes principais que atuam no ponto A Utilizando o criterio de Maxima Energia de Distorcao von Mises perguntase se havera falha do material neste ponto Figura 59 Fonte Hibbeler2004 Exercıcios retirados de Hibbeler2004 137 I Coordenadas da estatica e convengao da resisténcia dos materiais Figura 510 y 4 Se Pome 2 II Modelo Figura 511 300 Nm 45 Nm 800 N Temos trés elementos aplicados na extremidade sem apoio do eixo Uma forca cortante aplicada e dois momentos um fletor e um torsor III Equagao do Carregamento Para a Viga ga 0 51 IV Condigoes de Contorno V0 800 N 52 M0 300 Nm 53 V Equagao Diferencial do Equilibrio dM a ou qx 0 VI Integracao Lf Vy x e1 54 Lf M x 12 4 co 55 VII Determinacgao das Constantes de Integragao 52 54 V x 0 c 800 138 53 55 Mx 0 cy 300 VIII Equagoes finais V x 800 56 Mx 800x 300 57 IX Segao onde se encontra o ponto A V 800 N M 8000 45 300 Mz 60 Nm Do enunciado também temos M 45 Nm Nz 0 X Propriedades Geométricas da Secao L art m0 0254 Zz 4 4 ar 0 0254 ey XI Tensoes no Ponto A My 60 x 0025 Mz Own Iz 700254 489 x 10 Nm 4 Mr 45 x 0025 M Ony Ty 700257 183 x 10 Nm 2 Assim temos que Vy 4 Fy 0 XII Tensoes Principais Ore 0 Ore O Sxa yy Lx yy rn a 5 ay Sem colocar poténcia de 10 teremos 4890 4890 O19 eet A 183 2 2 Tirando as rafzes e inserindo as poténcias 01 550 x 10 Nm 550 MPa o2 061 x 10 Nm 061 MPa 139 XIII Tensao Efetiva de Von Mises σ 2 σ2 1 σ2 2 σ1σ2 σ 2 5 502 0 612 5 500 61 σ 5 83MPa Por Von Mises Como σ Sy Nao ha falha 53 P3 2016 Questao 2 O estado plano de tensao mostrado ocorre em um componente de maquina feito de um aco com limite de escoamento Sy 325 MPa Usando os criterios de von Mises e Tresca determine se ocorre o escoamento quando a σ0 200 MPa b σ0 280 MPa Se o escoamento nao ocorre determine o coeficiente de seguranca correspondente Figura 512 Fonte Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek Exercıcio retirado de Beer et al2015Beer Johnston Jr Dewolf and Mazurek 140 a 09 200M Pa Temos Ove 200M Pa Oyy 200M Pa Tee 100M Pa I Circulo de Mohr a 200 2 vy Cet Sy 200 200 200 2 2 2 2 Lx 2 2 T Umax 300 2 100 a Figura 513 II Tensao Efetiva de Von Mises o 02 02 o102 100 300 100300 o 2646MPa Nao escoa Sy 325 Nom 3675 Nom 123 III Tensao Efetiva de Tresca Sy Tmax 3 Temos que Tmax 100M Pa Entao 1625MPa E portanto nao escoa 1625 Np No 163 T 100 T 141 b σ0 280MPa Temos σxx 280MPa σyy 280MPa τxx 100MPa I Cırculo de Mohr x0 280 R 100 Figura 514 II Tensao Efetiva de Von Mises σ 2 σ2 1 σ2 2 σ1σ2 1802 3802 180380 σ 329 2MPa Escoa Sy III Tensao Efetiva de Tresca Temos τmax 100MPa Sy 2 162 5MPa E portanto nao escoa NT 1 63 142 As quest6es da P3 de 2017 sao em conjunto com a da P1 de 2017 que pode ser consultada na secdo 44 Figura 515 y Be on y zg 60 mm B 50 an C A SEE SSS 1m 3m Fonte Craig Jr2003 54 P3 2017 Questao 2 Se a viga foi construida com um material dtctil qual o menor valor do limite de escoamento Sy para que nao haja falha na viga admitindo um coeficiente de seguranga 20 Utilizar o critério de von Mises Considerar oy 0 Os pontos criticos estaao na seco analisada no Exercicio 1 pois temos Mz Viymax Nesta secao as tensoes de cisalhamento sao muito pequenas quando comparamos as tensoes normais Logo vamos escolher o ponto de maxima tensao normal Seja y 30 mm Org 25M Pa Ox 25 MPa Oxy 0 Fyy 0 Figura 516 Circulo de Mohr 2 X Zee tow 49 5 pe T 125 2 9 143 Figura 517 Tensao Efetiva de Von Mises σ 2 σ2 1 σ2 2 σ1σ2 σ 2 02 252 025 σ 2 25MPa Fator de Seguranca N Sy σ 2 Sy 25 Portanto Sy 50MPa 55 P3 2017 Questao 3 Figura 518 Para y 30 mm σ1 0 σ2 25MPa 144 N Suc σ2 2 Suc 25 Suc 50MPa Portanto Sut 25MPa 56 P3 2019 Questao Unica Com Cisalhamento E Flexao Uma viga com secao transversal retangular de 200 mm x 300 mm suporta cargas PB 15kN e PC 25kN como mostrado na Figura 519 a Determine a tensao de flexao normal maxima na viga b Determine a tensao de cisalhamento maxima na viga c Na secao onde a forca cortante e maxima e a altura e h4 a partir da linha neutra avalie se havera falha admitindo que a viga seja feita de aco estrutural ASTMA36 Sy 250 MPa considerando a Teoria da Maxima Energia de Distorcao von Mises d No mesmo ponto do item c avalie se havera falha admitindo que a viga seja feita de ferro fundido cinzento classe 50 Sut 350 MPa e Suc 1110 MPa considerando a teoria de Mohr modificada Figura 519 Fonte Craig Jr2003 Exercıcio adaptado de Craig Jr2003 145 I Coordenadas da estatica e convengao da resisténcia dos materiais Figura 520 y Z II Modelo Figura 521 y P Pe Zz oy 300 mm 200 mm a 2m 3m 2m III Equagao do Carregamento Temos duas forcas aplicadas em B e C que aparecem no carregamento qx 15 x 10 2 25 x 10 5 51 IV Condigoes de Contorno As condig6des de contorno sao dadas nos pontos A e D que estao apoiados M0 0 52 ML 0 53 V Equagao Diferencial do Equilibrio dM oe qx 15 x 10a 2 25 x 103a 5 54 VI Integracao A primeira integracao fica Lf V a 15 x 10 a 2 25 x 10 2 5 ey 55 E a segunda Lf Ma 15 x 103 2 25 x 103 51 eya ce 56 146 VII Determinacao das Constantes de Integracao Comecando pela primeira condicao de contorno 52 56 Mz0 c2 Portanto c2 0 57 Para a segunda condicao de contorno 53 56 Mzx 7 15 1035 25 1032 c17 0 Mzx 7 75 103 50 103 c1 0 Logo c1 125 103 7 17 8571 103 58 VIII Equacoes finais Vyx 15 103x 20 25 103x 50 125 103 7 59 Mzx 15 103x 21 25 103x 51 125 103 7 x 510 IX Analise Para Diagrama Analise de Vyx Abaixo de 2 metros nao consideramos os dois primeiros termos do carregamento Vy0 125103 7 17 8571 103 Vy2 125103 7 17 8571 103 A partir de 2 metros e abaixo de 5 metros temos que considerar o primeiro termo do carregamento Vy2 15 103 1 125103 7 2 8571 103 Vy5 15 103 1 125103 7 2 8571 103 E a partir de 5 metros temos os dois termos do carregamento considerados Vy5 15 103 1 25 1 125103 7 22 1429 103 Vy7 15 103 1 25 1 125103 7 22 1429 103 Analise de Mzx Os termos em um ponto tanto pela esquerda quanto pela direita serao iguais aqui entao so analisamos os pontos x 0 2 5 e 7 metros Mz0 0 Mz2 15 1030 125103 7 2 35 7143 103 Mz5 15 1033 25 1030 125103 7 5 44 2857 103 Mz5 15 1035 25 1032 125103 7 7 0 147 X Diagramas O diagrama para a forca cortante fica Figura 522 Vy x10 20 15 10 5 5 10 15 20 25 deQa2m de 2a5m de5a 7m E para Ma Figura 523 Mazx x03 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 2 5 7 XI Questoes aSecao Critica Em x 5 metros M 442857 x 10Nm e y 150mm O momento de inércia é dado por bh 200 x 300 lL 4 10 4 1D 2 50 x mm Para a tensao normal My Cex 7 Lez Em médulo Nmm Nm a 44 2857 x 10 x10 x 150 02 14 76N mm 450 x 108 mm Portanto 148 Ore 1476M Pa b Segao Critica Em x 5 metros V 22 1425 x 10 ey 0 y Area Parcial A 200 x 150 30 x 10mm Momento Estdtico de Area Parcial em relacio 2 ao centro geométrico da secao Qzp 30 Xx 10380 225 x 10mm Figura 524 A tensao de cisalhamento é VWyQ ry Tb Que fica em méddulo N mm 3 6 221425 x 10 x 225 x 10 ony AA 05536M Pa 450 x 10 x200 4 Ao fim Try 05536M Pa c Tensao Normal 44 2857 x 10 x 75 22 73810M P a 450 x 108 7 3810 a 149 y Area Parcial Ay 150 75 x 200 45 x 103mm y 375 Momento Estético de Area Parcial 2 em relacao ao centro geométrico da secao Qe 45 x 10 x 375 16875 x 10mm Figura 525 Por fim a tensao de cisalhamento fica N mm cs TO OS VyQeyp 22 1425 x 10 x 1 6875 x 10 Cru Tb 450 x 10 x 200 04125M Pa Ao fim Ory 04125M Pa 511 Circulo de Mohr wa 7 3810 0 ro Cow yy 9010 0 36905 2 2 yo 0 O raio do circulo fica 2 2 xx Tyy 2 738100 2 re tin TSIEB ane R 3 7138 512 As tens6es principais ficam 0 mRE0 74043M Pa 02 R og 00233M Pa A Tensao efetiva de Von Mises resulta em a 07 03 0102 07 7 4043 0 0233 7 4043 0 0233 o 74160M Pa 513 Como S 250M Pa neste ponto o material nao falha o Sy 150 d Figura 526 Como esta dentro da figura neste ponto o material nao falha 151 Apˆendice Figura 61 Tabela Para Consulta P2 2018 Fonte Beer et al2006Beer Johnston Jr and Dewolf 152 Figura 62 Tabela Para Consulta P2 2017 Fonte Beer et al2006Beer Johnston Jr and Dewolf 153 Figura 63 Tabela Para Consulta P2 2015 Fonte Craig Jr2003 154