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Fenômenos de Transporte Mecanismos de transferência de calor condução de calor Lei de Fourier e equação da difusão de calor Mecanismos de transferência de calor condução de calor Lei de Fourier e equação da difusão de calor Tópicos desta Aula Termodinâmica X Transferência de Calor Conceitos de calor taxa fluxo densidade de potência e de potência linear associados à transferência de calor Modos de transferência de calor e suas funções de transferência convecção radiação e condução Balanços de energia envolvendo taxas de transferência de calor Lei de Fourier Condutividade térmica Equação da difusão do calor Condução em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor Termodinâmica X Transferência de Calor Análise termodinâmica de um processo com fusão de gelo e na sequência aquecimento da água Análise termodinâmica de um processo com fusão de gelo e na sequência aquecimento da água Análise termodinâmica de um processo com fusão de gelo e na sequência aquecimento da água Análise termodinâmica de um processo com fusão de gelo e na sequência aquecimento da água Nos cálculos termodinâmicos consideramos sempre as informações do sistema nos estados final e inicial A partir disso é possível determinar as transferências de energia que ocorrem durante os processos que podem ser por calor ou por trabalho Contudo a modelagem termodinâmica não descreve bem o fenômeno que ocorre durante o processo Por exemplo se existirem gradientes de temperatura variações da temperatura no espaço e movimentação da matéria do sistema ou da que cerca o sistema durante o processo tais eventos não são percebidos somente com a aplicação dos balanços de massa e da Primeira Lei da Termodinâmica Termodinâmica X Transferência de Calor Análise da transferência de calor do processo Análise da transferência de calor do processo Análise da transferência de calor do processo Análise da transferência de calor do processo com fusão de gelo e na sequência com fusão de gelo e na sequência com fusão de gelo e na sequência com fusão de gelo e na sequência aquecimento da água que foi representado no aquecimento da água que foi representado no aquecimento da água que foi representado no aquecimento da água que foi representado no slide anterior slide anterior slide anterior slide anterior Nos cálculos de transferência de calor buscamos encontrar relações para descrever as taxas com que a energia é transferida durante os processos de transferência de calor O calor pode ser transferido por 3 modos condução convecção e radiação Para cada um dos modos necessitamos de uma equação de transferência apropriada para calcular a taxa de calor No exemplo da figura ao lado que equivale ao que ocorre no processo do slide anterior temos convecção natural e condução sendo representadas O calor sempre é transferido da região de maior temperatura para a região de menor temperatura No caso da figura ocorre do ar externo para a o gelo Calor e taxa de transferência de calor Nas análises de transferência de calor é muito útil a representação da transferência de calor em termos de taxas de calor A taxa de calor indicada pelos símbolos eou q representa a quantidade de energia trocada na forma de calor por unidade de tempo dá a medida do quão rápido é um processo de transferência de calor A taxa de transferência de calor pode ser definida pela equação a seguir na qual Q é o calor total trocado em joule J e 4 é a taxa de calor em Js que equivale a watt W lim 78 4 Para obtermos a quantidade de calor total Q trocado em um processo a partir de uma taxa 4 conhecida devemos aplicar uma integração AB B C e se a taxa for constante ao longo do tempo devemos calcular por B Se a quantidade total de calor já for conhecida como nos exemplos ao lado a taxa de calor média no processo pode ser calculada por GéAHI B Para o exemplo ao lado temos 4JéKLM N OPQLJMKRS N OPQLJMKRS N OPQLJMKRS T UV W N OPQLJMKRS 1 386 180 3600 69480 3600 193 193 4JéKLM a OPQLJMKRSQb a OPQLJMKRSQb a OPQLJMKRSQb T UV W a OPQLJMKRSQb 1 386 180 900 69480 900 772 772 No exemplo para a mesma quantidade de energia transferida levase ¼ do tempo com 4 queimadores considerando que a taxa de calor liberada por cada queimador ou potência térmica seja a mesma Aquecimento de um bloco de cobre com um queimador Aquecimento de um bloco de cobre com quatro queimadores Exemplo 1 calcule a taxa de calor para os processos abaixo Fluxo de calor Em muitos casos é necessário conhecer a quantidade de energia transferida por meio de calor por unidade de tempo e por unidade de área Para isso se faz o uso do conceito de fluxo de calor q que tem unidade de Wm² lim 7m 4 n 4 O fluxo de calor é sempre orientado no sentido da maior temperatura para a menor temperatura e forma um ângulo de 90 com uma superfície isotérmica de área n 0 que ele atravessa Para obter a taxa de calor q que cruza uma determinada área de seção transversal total A de um sólido ou meio estacionário a partir do conhecimento do fluxo devese aplicar a seguinte equação r At Se o fluxo for uniforme ao longo dessa área A a taxa pode ser calculada por r At t Fluxo de calor O fluxo de calor q forma sempre um ângulo de 90 em relação a uma linha de mesma temperatura Ele sempre aponta no sentido da maior temperatura para a menor temperatura Vista em corte para uma parede plana exibindo o campo de temperatura e os vetores de fluxo de calor Vista 3D de uma geometria cilíndrica exibindo o campo de temperaturas e os vetores de fluxo de calor Calor taxa fluxo potência linear e densidade de potência em transferência de calor Além dos conceitos de calor de taxa de calor e de fluxo de calor alguns outros conceitos são importantes Na tabela a seguir temos um resumo das principais definições usadas em estudos de transferência de calor Nome Nome Nome Nome Símbolo usado Símbolo usado Símbolo usado Símbolo usado na disciplina na disciplina na disciplina na disciplina Unidade Unidade Unidade Unidade Uso Uso Uso Uso Calor Q J Quantidade total de energia transferida devido à uma diferença de temperatura no espaço ao longo de um processo que ocorre ao longo de um período de tempo Taxa ou q W Quantidade de energia transferida por meio de calor por unidade de tempo Potência térmica linear q Wm Quando é necessário conhecer a quantidade de energia transferida por meio de calor por unidade de tempo e por unidade de comprimento Usado para análises da transferência de calor em cabos e tubos longos Fluxo de calor q Wm² Quando é necessário conhecer a quantidade de energia transferida por meio de calor por unidade de tempo e por unidade de área Usado em análises envolvendo transferências de calor através de áreas transversais ao fluxo como através de paredes planas ou outras geometrias Densidade de potência térmica q Wm³ Quando é necessário analisar ou considerar a liberação de energia no interior de um volume de controle considerado nos cálculos Expressa quanta energia está sendo liberada por unidade de tempo e unidade de volume Modos de transferência de calor condução convecção e radiação Calor que é uma transferência de energia que ocorre devido a uma diferença de temperatura no espaço pode ocorrer por três três três três modos modos modos modos Condução Condução Condução Condução ou difusão de calor é a transferência de calor em um sólido ou em um fluido estacionário sem movimento global líquido das moléculas Em fluidos ocorre devido às interações entre as moléculas como colisões aleatórias entre moléculas que se movem aleatoriamente com diferentes energias cinéticas de rotação translação etc Em sólidos não condutores elétricos ocorre devido às vibrações dos retículos e ondas na estrutura dos retículos induzidas pelo movimento atômico Em sólidos condutores elétricos ocorre também devido ao movimento de translação dos elétrons livres pelo material Convecção Convecção Convecção Convecção transferência de calor entre uma superfície e um fluido com movimento líquido global não nulo quando existir diferença de temperatura entre eles Ocorre difusão do calor entre a superfície e as primeiras camadas de fluido sobre ela que devido ao atrito estão com velocidades nulas ou muito baixas Essa energia é entregue às demais camadas de fluido que se movem devido às interações moleculares entre elas As camadas de fluido com movimento global então carregam embora a energia absorvida advecção AAAA soma soma soma soma de de de de condução condução condução condução ou ou ou ou difusão difusão difusão difusão com com com com advecção advecção advecção advecção fornece fornece fornece fornece aaaa convecção convecção convecção convecção Radiação Radiação Radiação Radiação transferência de calor por meio de ondas eletromagnéticas emitidas por qualquer superfície que se encontra acima de 0 K de temperatura Qualquer superfície também pode absorver energia a partir de radiação Então se duas superfícies estiverem a diferentes temperaturas elas trocarão uma quantidade líquida de energia na forma de calor devido à radiação Fonte da figura httpswwwmachinedesigncomlearning resourceswhatsthedifference betweendocument21834474whatsthe differencebetweenconductionconvectionand radiation Convecção Convecção Convecção Convecção Convecção transferência de calor entre uma superfície e um fluido com movimento líquido global não nulo quando existir diferença na temperatura entre eles Ocorre difusão do calor entre a superfície e as primeiras camadas de fluido sobre ela que devido ao atrito estão com velocidades nulas ou muito baixas Essa energia é entregue às demais camadas de fluido que se movem devido às interações moleculares entre elas As camadas de fluido com movimento global então carregam embora a energia absorvida advecção A soma de condução ou difusão com advecção fornece a convecção A equação para quantificar a transferência de calor por convecção é a Lei do Resfriamento de Newton 4R ℎ Wƒ W 4R ℎ nb Wƒ W onde AS é a área da superfície em m² transversal ao sentido do fluxo de calor convectivo 4R dado em Wm² TS é a temperatura da superfície em K ou C W é a temperatura do fluido longe da superfície em K ou C h é o coeficiente de transferência de calor por convecção em Wm²K e qconv é a taxa de calor por convecção em W h depende da camada limite da natureza do escoamento da geometria e das propriedades dos materiais Qualquer estudo mais aprofundado em convecção visa à obtenção de h como faremos na segunda parte de nossa disciplina Nota não confundir h da convecção com entalpia pois são variáveis totalmente diferentes apesar do símbolo usado ser o mesmo Convecção forçada sobre uma superfície fluido escoando sobre uma superfície quando ao mesmo tempo existe uma diferença de temperatura entre eles sendo que a velocidade do fluido não tem origem no gradiente térmico do fenômeno Convecção Em diferentes tipos de fenômenos envolvendo convecção o coeficiente de transferência de calor por convecção h dado em Wm²K será estudado e obtido de modo diferente Podem existir convecção forçada e natural com e sem mudança de fases envolvidas Convecção Em diferentes tipos de fenômenos envolvendo convecção o coeficiente de transferência de calor por convecção h dado em Wm²K será estudado e obtido de modo diferente Podem existir convecção forçada e natural com e sem mudança de fases envolvidas Valores típicos do coeficiente convectivo para obter um valor exato devese aplicar uma metodologia de cálculo por meio de correlações e analogias que veremos na segunda parte da disciplina Processo Processo Processo Processo hhhh Wm²K Wm²K Wm²K Wm²K Convecção natural Convecção natural Convecção natural Convecção natural Em gases 2 a 25 Em líquidos 50 a 1000 Convecção forçada Convecção forçada Convecção forçada Convecção forçada Em gases 25 a 250 Em líquidos 100 a 20000 Convecção com mudança Convecção com mudança Convecção com mudança Convecção com mudança de fase de fase de fase de fase Convecção com ebulição ou condensação 2500 a 100000 Radiação Devido a mudanças nas configurações eletrônicas dos átomos ou moléculas que constituem a matéria ocorrem emissões de energia por meio de ondas eletromagnéticas ou alternativamente fótons Qualquer superfície com temperatura não nula acima de 0 K pode emitir energia por radiação Não é necessário ter um meio para propagação da radiação sendo que ela se propaga melhor no vácuo Os cálculos são realizados sobre superfícies sólidas mas fluidos podem também participar das trocas de energia ex atmosfera na camada de ozônio absorve parte da radiação ultravioleta emitida pelo sol O fluxo térmico emitido por uma superfície E em Wm² é dado pela equação a seguir na qual é a emissividade da superfície 0 1 é a constante de StefanBoltzmann 567 10Œ TŽ a e TS é a temperatura da superfície em K Wƒ a Qualquer superfície pode também absorver energia por radiação A taxa na qual a energia radiante é absorvida por unidade de área Gabs em Wm² é dada pela irradiação G em Wm² multiplicada pela absortividade 0 1 Mb A emissividade e a absortividade são propriedades da superfície e dependerão das condições do acabamento delas e dos tipos de materiais Já a irradiação é a quantidade de energia emitida por uma fonte como por exemplo o sol ou outra superfície Radiação Se considerarmos que a superfície é totalmente envolta por uma grande vizinhança a temperatura Tviz que é diferente da temperatura da superfície TS teremos uma condição na qual a irradiação G se deve à emissão da vizinhança sobre a superfície Para tal situação a emissão da vizinhança pode ser aproximada pela emissão de corpo negro uma superfície idealizada como um radiador perfeito de emissividade 1 WL a 1 WL a WL a Como WL Wƒ teremos uma transferência líquida de energia entre a superfície e a vizinhança Como pela Lei de Kirchhoff da radiação térmica temos que a emissividade e a absortividade de uma superfície a uma dada temperatura e para um dado comprimento de onda são iguais uma superfície cinza o fluxo líquido de calor trocado por radiação entre a superfície e a vizinhança 4SMK em Wm² é dado por 4SMK Mb Wƒ a WL a Wƒ a WL a IA š œ šHž œ IA t š œ šHž œ Essa expressão fornece a diferença entre o calor liberado pela superfície para a vizinhança devido à emissão e o calor que é ganho pela superfície a partir da absorção de energia que havia sido emitida pela vizinhança Transferência de calor por radiação entre a superfície e a vizinhança e transferência de calor por convecção entre a superfície e o gás sobre ela Radiação Em muitas aplicações é conveniente expressar a equação da taxa líquida de transferência de calor por radiação qrad no formato da Lei do Resfriamento de Newton 4SMK ℎSMK nƒ Wƒ WL ℎSMK Wƒ WL Wƒ Ž WL Ž Para a figura ao lado temos que a taxa de calor que chega até a superfície através do material sólido chega nela por condução do calor Esta taxa que chega na superfície por condução sai da superfície devido às transferências de calor por radiação e por convecção Sendo assim podemos escrever que 4 4RK 4R 4SMK ℎ nƒ Wƒ W n Wƒ a WL a Ou 4 4RK 4R 4SMK ℎ nƒ Wƒ W ℎSMK nƒ Wƒ WL Se tivermos dados suficientes também podemos expressar a transferência usando um coeficiente de transferência de calor dos efeitos de radiação e convecção combinados hcomb dado em Wm²K 4 4RK 4R SMK ℎRJ nƒ Wƒ WL RP Transferência de calor por radiação entre a superfície e a vizinhança e transferência de calor por convecção entre a superfície e o gás sobre ela Exigência da conservação de energia As transferências de energia por meio de calor devem também respeitar a conservação de energia Assim para uma certa combinação genérica entre modos de transferência de calor em um sistema considerado podemos escrever a Primeira Lei da Termodinâmica por MPJPMKM Q8SM QSMKM bML Onde os termos E significam energia em J O termo Egerada pode ser usado para representar a conversão de alguma outra forma de energia química elétrica eletromagnética ou nuclear em energia térmica que é liberada no interior do sistema analisado Devido a Egerada estar associada a algum evento de natureza volumétrica normalmente se utiliza densidade de potência térmica q em Wm³ para representar este termo QSMKM 4JéKLM A equação do balanço de energia também pode ser calculada por meio de taxas MPJPMKM MPJPMKM Q8SM QSMKM bML Para o exemplo 2 ao lado por exemplo teríamos para a superfície externa da parede sólida MPJPMKM Q8SM QSMKM bML 0 4RK 0 4R 4SMK 4RK 4R 4SMK Transferência de calor por condução no material sólido transferência de calor por radiação entre a superfície externa e a vizinhança e transferência de calor por convecção entre a superfície externa e o gás que a envolve Exemplo 2 aplique o balanço de energia para a superfície externa da parede para o fenômeno de transferência de calor em regime permanente e sem geração interna de energia na parede sólida representada na figura a seguir Radiação Exemplo 3 Calcule a temperatura de saída de água quente de um aquecedor solar de água que recebe irradiação solar de 500 Wm² Desconsidere as perdas por condução e convecção do aquecedor Considere a área da seção transversal dos tubos de entrada e de saída igual a 00002 m² a velocidade média da água nos tubos de 03 ms a temperatura de entrada da água no aquecedor de 25 C a área total da superfície do aquecedor de 4 m² e a absortividade da superfície do aquecedor para a radiação solar de 09 Radiação Exemplo 3 Calcule a temperatura de saída de água quente de um aquecedor solar de água que recebe irradiação solar de 500 Wm² Desconsidere as perdas por condução e convecção do aquecedor Considere a área da seção transversal dos tubos de entrada e de saída igual a 00002 m² a velocidade média da água nos tubos de 03 ms a temperatura de entrada da água no aquecedor de 25 C a área total da superfície do aquecedor de 4 m² e a absortividade da superfície do aquecedor para a radiação solar de 09 Resolução Das tabelas de saturação líquidovapor para água líquida saturada temos que a massa específica da água para 25 C pode ser aproximada por ρ1v 10001003 997 kgm³ Da tabela de propriedades de vários sólidos e líquidos temos que cp da água é de 4184 kJkgK Aplicando os balanços de massa e de energia para o coletor em regime permanente temos que T Q T b T T ℎb ℎQ T UV Wƒ WQ ª n8PR UV Wƒ WQ Por conservação de energia temos que nMOPQQKRS Mb nMOPQQKRS Radiação Exemplo 3 Calcule a temperatura de saída de água quente de um aquecedor solar de água que recebe irradiação solar de 500 Wm² Desconsidere as perdas por condução e convecção do aquecedor Considere a área da seção transversal dos tubos de entrada e de saída igual a 00002 m² a velocidade média da água nos tubos de 03 ms a temperatura de entrada da água no aquecedor de 25 C a área total da superfície do aquecedor de 4 m² e a absortividade da superfície do aquecedor para a radiação solar de 09 Resolução Substituindo os valores temos que nMOPQQKRS ª n8PR UV Wƒ WQ 4 TŽ 09 500 TŽ 997 T 03 T 00002 mŽ 4184 Wƒ 25 1800 250287 Wƒ 25 š ² A água aquece 72 C em somente uma passada através do aquecedor Como ao longo do dia a água passa continuamente por ele sendo também armazenada num reservatório térmico isolado conseguese aquecer uma quantidade bem maior de água e em uma temperatura maior para uso em banhos de chuveiro ou ducha Aquecedor de água solar httpswwwyoutubecomwatchvXeOZlRPtlnQ Condução de calor Condução Condução Condução Condução ou difusão de calor é transferência de calor em um sólido ou em um fluido estacionário sem movimento global líquido das moléculas Em fluidos ocorre devido às interações entre as moléculas como colisões aleatórias entre moléculas que se movem aleatoriamente com diferentes energias cinéticas de rotação translação etc O fluido tem movimentos aleatórios mas não apresenta velocidade global não tem direção e sentido bem definidos para todas as moléculas com um todo Em sólidos não condutores elétricos ocorre devido às vibrações dos retículos e ondas na estrutura dos retículos induzidas pelo movimento atômico Em sólidos condutores elétricos ocorre também devido ao movimento de translação dos elétrons livres pelo material Associação da transferência de calor por condução à difusão de energia devido à atividade molecular em um fluido Moléculas com maior atividade e maior energia Moléculas com menor atividade e menor energia Lei de Fourier A Lei de Fourier determina a equação de transferência para a condução de calor Ela foi obtida por evidências experimentais Vamos considerar o experimento representado pela figura abaixo Nele é mantida uma diferença de temperatura entre as extremidades de um cilindro maciço de metal que tem as laterais isoladas A taxa de calor na direção x dada por qx é medida e comparada com a área da seção transversal A com o comprimento Δx e com a diferença de temperatura ΔT Podemos considerar que inicialmente num experimento como este os valores de ΔT e Δx sejam mantidos constantes enquanto que A varia Ao fazer isso verificamos que qx é diretamente proporcional a A Mantendo ΔT e A constantes observamos que qx varia inversamente com Δx Por último mantendo A e Δx constantes verificamos que qx é diretamente proporcional a ΔT Combinando as proporcionalidades temos que 4µ n µ Se mudarmos o material do cilindro por um material diferente como plástico por exemplo seriam verificadas as mesmas proporcionalidades Contudo qx seria menor para o plástico mesmo se os valores de A Δx e ΔT fossem mantidos Então uma constante de proporcionalidade chamada condutividade térmica k em WmK deve ser considerada Com isso temos que 4µ n µ k é uma propriedade do material onde ocorre a condução Lei de Fourier Valores de condutividade térmica para alguns materiais a 300 K Fonte INCROPERA F P WITT D P Fundamentos da Transferência de Calor e Massa 4ª edição Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos 1998 Material Material Material Material Condutividade térmica k em W Condutividade térmica k em W Condutividade térmica k em W Condutividade térmica k em WmK mK mK mK prata 429 cobre puro 401 alumínio puro 237 ferro puro 802 aço AISI 1010 639 vidro pyrex 14 tijolo comum 072 solo 052 tecido adiposo da pele humana 02 placas de gesso ou reboco 017 madeira de pinho 012 algodão 006 poliestireno expandido em pérolas moldadas 0040 ar à pressão atmosférica 00263 Lei de Fourier Colocase um sinal negativo na equação anterior do penúltimo slide para expressar o sentido do calor que é sempre transferido no sentido da diminuição das temperaturas 4µ n W Levando esta expressão ao limite quando 0 obtemos a taxa de transferência de calor na direção x da Lei de Fourier 4µ n W O fluxo de calor na direção x pode ser dado por 4µ 4µ n W Lei de Fourier O fluxo de calor é um vetor sempre normal à área da seção transversal A direção da propagação do calor será sempre normal a uma superfície de temperatura constante chamada de superfície isotérmica Podese escrever um enunciado mais geral para a Lei de Fourier ¼W H ½W ½ ¾ ½W ½ À ½W ½Á Vetor fluxo térmico normal a uma isoterma em um sistema de coordenadas bidimensional onde é o operador grad tridimensional e Txyz é o campo escalar de temperaturas Uma forma alternativa para a Lei de Fourier é 4 W à onde 4 é o fluxo térmico em uma direção n que é normal a uma isoterma como mostrado para um caso bidimensional na figura ao lado O fluxo pode ser decomposto em componentes Para coordenadas cartesianas temos H4µ ¾4Ä À4 4µ K Kµ 4Ä K KÄ 4 K K Cada componente relaciona o fluxo térmico através de uma superfície ao gradiente de temperatura em uma direção perpendicular à superfície O meio onde ocorre a condução é isotrópico com condutividade térmica independente da direção da coordenada Lei de Fourier Para coordenadas cilíndricas temos que H ½W ½Å ¾ 1 Å ½W ½Æ À ½W ½Á 4S K KS fluxo na direção radial r 4Ç N S K KÇ fluxo na direção azimutaltangencial θ 4 K K fluxo na direção axial z Lei de Fourier Exemplo 4 Para a condução unidimensional ao longo de x na parede da figura calcule o fluxo de calor em x 0 m se o perfil de temperatura for dado por Tx 50 x² 300 x 500 Resolução Pela Lei de Fourier o fluxo de calor na direção x é dado por 4µ W O gradiente de temperatura pode ser calculado por W 50 Ž 300 500 50 Ž 300 500 1 K Kµ 50 2 300 1 500 0 100 300 Substituindo na Lei de Fourier para x 0 m 4µ W 4µ 17 É JÊ 100 300 Ê J Ë Ë C 17 É JÊ 100 0 300 Ê J 17 300 É JÌ ÍÎC Ï Ð² Equação da difusão do calor Iremos inicialmente considerar um meio homogêneo sem movimento global no qual não há advecção em seu interior e com distribuição de temperaturas em coordenadas cartesianas Iremos considerar um volume de controle diferencial dxdydz neste meio e aplicar nele o balanço de energia Como resultado obteremos uma equação diferencial A solução dessa equação para um dado caso com as condições de contorno e inicial apropriadas fornece uma equação para a distribuição de temperaturas ao longo do material Txyzt Equação da difusão do calor As taxas de calor por condução perpendiculares a cada uma das superfícies de controle nas posições de coordenadas x y e z são indiadas por qx qy e qz Nas superfícies opostas podemos expressar as taxas como uma expansão em série de Taylor na qual desprezandose os termos de ordens superiores temos 4µ Kµ 4µ ½4µ ½ 4Ä KÄ 4Ä ÑOÒ ÑÄ y 4 K 4 ½4 ½Á Á Equação da difusão do calor Agora devemos aplicar o balanço de energia neste volume diferencial MSJMQMKM Q8SM QSMKM bML QSMKM dentro do volume de controle pode ser expressa por QSMKM 4 Á Na ausência de mudanças de fase e efeitos latentes MSJMQMKM dentro do volume de controle pode ser dada por MSJMQMKM T UV ½W ½ UV ½W ½ Á Substituindo no balanço de energia temos que UV ½W ½ Á 4µ 4Ä 4 4 Á 4µ ½4µ ½ 4Ä ½4Ä ½ y 4 ½4 ½Á Á Pela Lei de Fourier podemos obter as taxas de calor 4µ Á Ñ Ñµ 4Ä Á Ñ ÑÄ e 4 Ñ Ñ Derivando as taxas substituindo na equação e simplificando temos que UV ½W ½ Á 4 Á Á ½ ½ ½W ½ Á ½ ½ ½W ½ Á ½ ½Á ½W ½Á Equação da difusão do calor Dividindo os termos da equação pelas dimensões do volume de controle dxdydz temos que UV ½W ½ Á 4 Á Á ½ ½ ½W ½ Á ½ ½ ½W ½ Á ½ ½Á ½W ½Á UV ½W ½ 4 ½ ½ ½W ½ ½ ½ ½W ½ ½ ½Á ½W ½Á ½ ½ ½W ½ ½ ½ ½W ½ ½ ½Á ½W ½Á 4 UV ½W ½ A equação da difusão do calor representa a conservação de energia Considerando a condutividade térmica do material k como constante no material podemos escrever a equação da difusão do calor em uma forma simplificada como ½²W ½² ½²W ½² ½²W ½Á² 4 1 ½W ½ onde Ó ÔÕ Ö é a difusividade térmica do material dada em m²s e que também pode ser tabelada Equação da Difusão do Calor Equação da Difusão do Calor Equação da Difusão do Calor Equação da Difusão do Calor Equação da difusão do calor Como a equação da difusão do calor é de 2ª ordem em relação às coordenadas espaciais ela necessita de duas condições de contorno para cada coordenada espacial condições físicas das fronteiras do sistema Como a equação é de 1ª ordem em relação ao tempo ela necessita apenas de uma condição inicial condição do sistema no instante inicial que deve ser especificada em problemas transientes As condições de contorno podem ser dos tipos 1 Condição de contorno de primeira espécie condição de Dirichlet temperatura conhecida na superfície ex superfície sob o efeito de troca de fase de um fluido em contato com ela W 0 Wb 2 Condição de contorno de segunda espécie condição de Neumann fluxo de calor conhecido seja ele finito ou nulo Ñ Ñµ µØ 4ƒ fluxo de calor constante Ñ Ñµ µØ 0 superfície isolada termicamente com q 0 Wm² Um aquecedor elétrico delgado película pode impor um fluxo conhecido Um isolante perfeito produziria esta condição de fluxo nulo na superfície Equação da difusão do calor 3 Condição de contorno de terceira espécie presença de convecção na superfície sendo obtida por balanço de energia Ñ Ñµ µØ ℎ W W0 Equação da difusão do calor Exemplo 5 Obtenha por meio da equação da difusão do calor uma expressão para a distribuição de temperatura dentro da parede do desenho a seguir Considere que a condução ocorre somente na direção x que não ocorre geração de energia no interior da parede que o regime é estacionário e que o material não apresenta variações na condutividade térmica k Para o caso representado na figura a seguir temos condições de contorno de primeira espécie que são as temperaturas conhecidas nas superfícies Tx 0 100 C e TxL 2 m 0 C Resolução A equação da difusão do calor é ½ ½ ½W ½ ½ ½ ½W ½ ½ ½Á ½W ½Á q UV ½W ½ Para condutividade k constante ela também pode ser escrita como ½²W ½² ½²W ½² ½²W ½Á² 4 1 ½W ½ Equação da difusão do calor Exemplo 5 Obtenha por meio da equação da difusão do calor uma expressão para a distribuição de temperatura dentro da parede do desenho a seguir Considere que a condução ocorre somente na direção x que não ocorre geração de energia no interior da parede que o regime é estacionário e que o material não apresenta variações na condutividade térmica k Para o caso representado na figura a seguir temos condições de contorno de primeira espécie que são as temperaturas conhecidas nas superfícies Tx 0 100 C e TxL 2 m 0 C Resolução Como neste problema só temos transferência de calor na direção x regime estacionário e ausência de geração interna de calor a equação se reduz a K² Kµ² 0 ou K Kµ K Kµ 0 Integrando duas vezes r W r 0 W UN r W r UN W UN UŽ Equação da difusão do calor Exemplo 5 Obtenha por meio da equação da difusão do calor uma expressão para a distribuição de temperatura dentro da parede do desenho a seguir Considere que a condução ocorre somente na direção x que não ocorre geração de energia no interior da parede que o regime é estacionário e que o material não apresenta variações na condutividade térmica k Para o caso representado na figura a seguir temos condições de contorno de primeira espécie que são as temperaturas conhecidas nas superfícies Tx 0 100 C e TxL 2 m 0 C Resolução Então pela integração 2 vezes da equação da difusão do calor simplificada para o caso se obtém uma equação para o perfil de temperatura na parede W UN UŽ W UÙÃÚêN UÙÃÚêŽ Aplicando as condições de contorno temos que Û100 UÙÃÚêN 0 UÙÃÚêŽ 0 UÙÃÚêN 2 UÙÃÚêŽ Equação da difusão do calor Exemplo 5 Obtenha por meio da equação da difusão do calor uma expressão para a distribuição de temperatura dentro da parede do desenho a seguir Considere que a condução ocorre somente na direção x que não ocorre geração de energia no interior da parede que o regime é estacionário e que o material não apresenta variações na condutividade térmica k Para o caso representado na figura a seguir temos condições de contorno de primeira espécie que são as temperaturas conhecidas nas superfícies Tx 0 100 C e TxL 2 m 0 C Resolução UÙÃÚêŽ 100 0 UÙÃÚêN 2 100 UÙÃÚêN ŒN Ž 50 Substituindo os valores das constantes na solução temos que š Ë ÍC Ë ÎCC É obtido um perfil linear de temperaturas ao longo de x dentro da parede Esse tipo de perfil conforme Lei de Fourier promove um fluxo de calor constante Condução unidimensional em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor A solução geral da equação da difusão do calor para condução unidimensional em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor é do tipo W UÙÃÚêN UÙÃÚêŽ onde as constantes necessitam ser descobertas pela aplicação das condições de contorno Da equação da difusão do calor para este caso também podemos considerar que Ñ Ñµ Ñ Ñµ 0 Como pela Lei de Fourier o fluxo de calor depende de Ñ Ñµ podemos escrever que Ñ Ñµ 4µ 0 que indica que 4µ UÙÃÚê e que Ñ Ñµ UÙÃÚê Condução unidimensional em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor Para condução unidimensional em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor da solução da equação da difusão temos que W UÙÃÚêN UÙÃÚêŽ ÛWN UÙÃÚêN 0 UÙÃÚêŽ WŽ UÙÃÚêN Ü UÙÃÚêŽ UÙÃÚêŽ WN UÙÃÚêN ÌŒRb8M8QÌ Ý ÌŒÞ Ý Com isso W UÙÃÚêN UÙÃÚêŽ UÙÃÚêN WŽ UÙÃÚêŽ Ü WŽ WN Ü Pela Lei de Fourier o fluxo térmico na direção x é dado por 4µ W WŽ WN Ü Ou por 4µ W Ü Condução unidimensional em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor Exemplo 6 A parede de um forno industrial é construída em tijolo refratário com 015 m de espessura cuja condutividade térmica é de 17 WmK Medidas efetuadas ao longo da operação em regime estacionário revelam temperaturas de 1400 e 1150 K nas paredes interna e externa respectivamente e um perfil linear de temperatura Qual o fluxo e a taxa de calor perdida através de uma parede que mede 05 m por 12 m Qual a quantidade de calor perdida em MJ e em kWh num intervalo de tempo igual a 2 h Resolução O fluxo a taxa e o calor podem ser obtidos pela Lei de Fourier simplificada para uma parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor da seguinte forma 4µ W Ü 17 T 1150 1400 015 T 283333 TŽ 4µ r 4µn 4µ n 283333 TŽ 05 12 T² 1700 µ r 4µ 4µ 1700 7200 1224 ß 8Ì 8Þ µ 4µ 1700 2 ℎ 34 ℎ Métodos numéricos para solução da equação da difusão do calor A equação da difusão do calor pode ser resolvida por Transferência de Calor Computacional por meio de aplicação de algum método numérico que resolve a equação de modo discreto Na equação as derivadas são substituídas por diferenças finitas e a equação é aplicada para um determinado número de pontos ou volumes num domínio matemático Neste caso a equação diferencial é substituída por um conjunto de equações algébricas que pode ser resolvido iterativamente por computador A solução encontrada é discreta que dependerá do número de pontos ou volumes considerado Quanto maior o número de pontos ou volumes maior a resolução da solução Contudo malhas conjunto de pontos ou volumes considerado muito grandes podem resultar em esforços computacionais grandes Alguns métodos que podem ser utilizados para se fazer isso são Método das Diferenças Finitas Método dos Volumes Finitos aplicados nos softwares comerciais Fluent CFX Star CCM Método dos Elementos Finitos Método numérico resolve a equação da difusão fornecendo uma solução discreta que dependerá da resolução da malha de volumes finitos Resultados obtidos com o software educacional Transcal 11 do Sinmec UFSC Domínio discretizado e com as condições inicial e de contorno Métodos numéricos para solução da equação da difusão do calor A equação da difusão do calor pode ser resolvida por Transferência de Calor Computacional por meio de aplicação de algum método numérico que resolve a equação de modo discreto Na equação as derivadas são substituídas por diferenças finitas e a equação é aplicada para um determinado número de pontos ou volumes num domínio matemático Neste caso a equação diferencial é substituída por um conjunto de equações algébricas que pode ser resolvido iterativamente por computador A solução encontrada é discreta que dependerá do número de pontos ou volumes considerado Quanto maior o número de pontos ou volumes maior a resolução da solução Contudo malhas conjunto de pontos ou volumes considerado muito grandes podem resultar em esforços computacionais grandes Alguns métodos que podem ser utilizados para se fazer isso são Método das Diferenças Finitas Método dos Volumes Finitos aplicados nos softwares comerciais Fluent CFX Star CCM Método dos Elementos Finitos Temperatura na base conhecida e constante Tbase 175 C Convecção ao longo das demais superfícies Vídeo de uma simulação numérica realizada com o Método de Volumes Finitos da condução transiente em uma barra de alumínio tendo ela perdas por convecção A temperatura na base é fixa A temperatura inicial da barra exceto na base é de 20C A transferência atinge regime permanente após um determinado período de tempo
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Fenômenos de Transporte Mecanismos de transferência de calor condução de calor Lei de Fourier e equação da difusão de calor Mecanismos de transferência de calor condução de calor Lei de Fourier e equação da difusão de calor Tópicos desta Aula Termodinâmica X Transferência de Calor Conceitos de calor taxa fluxo densidade de potência e de potência linear associados à transferência de calor Modos de transferência de calor e suas funções de transferência convecção radiação e condução Balanços de energia envolvendo taxas de transferência de calor Lei de Fourier Condutividade térmica Equação da difusão do calor Condução em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor Termodinâmica X Transferência de Calor Análise termodinâmica de um processo com fusão de gelo e na sequência aquecimento da água Análise termodinâmica de um processo com fusão de gelo e na sequência aquecimento da água Análise termodinâmica de um processo com fusão de gelo e na sequência aquecimento da água Análise termodinâmica de um processo com fusão de gelo e na sequência aquecimento da água Nos cálculos termodinâmicos consideramos sempre as informações do sistema nos estados final e inicial A partir disso é possível determinar as transferências de energia que ocorrem durante os processos que podem ser por calor ou por trabalho Contudo a modelagem termodinâmica não descreve bem o fenômeno que ocorre durante o processo Por exemplo se existirem gradientes de temperatura variações da temperatura no espaço e movimentação da matéria do sistema ou da que cerca o sistema durante o processo tais eventos não são percebidos somente com a aplicação dos balanços de massa e da Primeira Lei da Termodinâmica Termodinâmica X Transferência de Calor Análise da transferência de calor do processo Análise da transferência de calor do processo Análise da transferência de calor do processo Análise da transferência de calor do processo com fusão de gelo e na sequência com fusão de gelo e na sequência com fusão de gelo e na sequência com fusão de gelo e na sequência aquecimento da água que foi representado no aquecimento da água que foi representado no aquecimento da água que foi representado no aquecimento da água que foi representado no slide anterior slide anterior slide anterior slide anterior Nos cálculos de transferência de calor buscamos encontrar relações para descrever as taxas com que a energia é transferida durante os processos de transferência de calor O calor pode ser transferido por 3 modos condução convecção e radiação Para cada um dos modos necessitamos de uma equação de transferência apropriada para calcular a taxa de calor No exemplo da figura ao lado que equivale ao que ocorre no processo do slide anterior temos convecção natural e condução sendo representadas O calor sempre é transferido da região de maior temperatura para a região de menor temperatura No caso da figura ocorre do ar externo para a o gelo Calor e taxa de transferência de calor Nas análises de transferência de calor é muito útil a representação da transferência de calor em termos de taxas de calor A taxa de calor indicada pelos símbolos eou q representa a quantidade de energia trocada na forma de calor por unidade de tempo dá a medida do quão rápido é um processo de transferência de calor A taxa de transferência de calor pode ser definida pela equação a seguir na qual Q é o calor total trocado em joule J e 4 é a taxa de calor em Js que equivale a watt W lim 78 4 Para obtermos a quantidade de calor total Q trocado em um processo a partir de uma taxa 4 conhecida devemos aplicar uma integração AB B C e se a taxa for constante ao longo do tempo devemos calcular por B Se a quantidade total de calor já for conhecida como nos exemplos ao lado a taxa de calor média no processo pode ser calculada por GéAHI B Para o exemplo ao lado temos 4JéKLM N OPQLJMKRS N OPQLJMKRS N OPQLJMKRS T UV W N OPQLJMKRS 1 386 180 3600 69480 3600 193 193 4JéKLM a OPQLJMKRSQb a OPQLJMKRSQb a OPQLJMKRSQb T UV W a OPQLJMKRSQb 1 386 180 900 69480 900 772 772 No exemplo para a mesma quantidade de energia transferida levase ¼ do tempo com 4 queimadores considerando que a taxa de calor liberada por cada queimador ou potência térmica seja a mesma Aquecimento de um bloco de cobre com um queimador Aquecimento de um bloco de cobre com quatro queimadores Exemplo 1 calcule a taxa de calor para os processos abaixo Fluxo de calor Em muitos casos é necessário conhecer a quantidade de energia transferida por meio de calor por unidade de tempo e por unidade de área Para isso se faz o uso do conceito de fluxo de calor q que tem unidade de Wm² lim 7m 4 n 4 O fluxo de calor é sempre orientado no sentido da maior temperatura para a menor temperatura e forma um ângulo de 90 com uma superfície isotérmica de área n 0 que ele atravessa Para obter a taxa de calor q que cruza uma determinada área de seção transversal total A de um sólido ou meio estacionário a partir do conhecimento do fluxo devese aplicar a seguinte equação r At Se o fluxo for uniforme ao longo dessa área A a taxa pode ser calculada por r At t Fluxo de calor O fluxo de calor q forma sempre um ângulo de 90 em relação a uma linha de mesma temperatura Ele sempre aponta no sentido da maior temperatura para a menor temperatura Vista em corte para uma parede plana exibindo o campo de temperatura e os vetores de fluxo de calor Vista 3D de uma geometria cilíndrica exibindo o campo de temperaturas e os vetores de fluxo de calor Calor taxa fluxo potência linear e densidade de potência em transferência de calor Além dos conceitos de calor de taxa de calor e de fluxo de calor alguns outros conceitos são importantes Na tabela a seguir temos um resumo das principais definições usadas em estudos de transferência de calor Nome Nome Nome Nome Símbolo usado Símbolo usado Símbolo usado Símbolo usado na disciplina na disciplina na disciplina na disciplina Unidade Unidade Unidade Unidade Uso Uso Uso Uso Calor Q J Quantidade total de energia transferida devido à uma diferença de temperatura no espaço ao longo de um processo que ocorre ao longo de um período de tempo Taxa ou q W Quantidade de energia transferida por meio de calor por unidade de tempo Potência térmica linear q Wm Quando é necessário conhecer a quantidade de energia transferida por meio de calor por unidade de tempo e por unidade de comprimento Usado para análises da transferência de calor em cabos e tubos longos Fluxo de calor q Wm² Quando é necessário conhecer a quantidade de energia transferida por meio de calor por unidade de tempo e por unidade de área Usado em análises envolvendo transferências de calor através de áreas transversais ao fluxo como através de paredes planas ou outras geometrias Densidade de potência térmica q Wm³ Quando é necessário analisar ou considerar a liberação de energia no interior de um volume de controle considerado nos cálculos Expressa quanta energia está sendo liberada por unidade de tempo e unidade de volume Modos de transferência de calor condução convecção e radiação Calor que é uma transferência de energia que ocorre devido a uma diferença de temperatura no espaço pode ocorrer por três três três três modos modos modos modos Condução Condução Condução Condução ou difusão de calor é a transferência de calor em um sólido ou em um fluido estacionário sem movimento global líquido das moléculas Em fluidos ocorre devido às interações entre as moléculas como colisões aleatórias entre moléculas que se movem aleatoriamente com diferentes energias cinéticas de rotação translação etc Em sólidos não condutores elétricos ocorre devido às vibrações dos retículos e ondas na estrutura dos retículos induzidas pelo movimento atômico Em sólidos condutores elétricos ocorre também devido ao movimento de translação dos elétrons livres pelo material Convecção Convecção Convecção Convecção transferência de calor entre uma superfície e um fluido com movimento líquido global não nulo quando existir diferença de temperatura entre eles Ocorre difusão do calor entre a superfície e as primeiras camadas de fluido sobre ela que devido ao atrito estão com velocidades nulas ou muito baixas Essa energia é entregue às demais camadas de fluido que se movem devido às interações moleculares entre elas As camadas de fluido com movimento global então carregam embora a energia absorvida advecção AAAA soma soma soma soma de de de de condução condução condução condução ou ou ou ou difusão difusão difusão difusão com com com com advecção advecção advecção advecção fornece fornece fornece fornece aaaa convecção convecção convecção convecção Radiação Radiação Radiação Radiação transferência de calor por meio de ondas eletromagnéticas emitidas por qualquer superfície que se encontra acima de 0 K de temperatura Qualquer superfície também pode absorver energia a partir de radiação Então se duas superfícies estiverem a diferentes temperaturas elas trocarão uma quantidade líquida de energia na forma de calor devido à radiação Fonte da figura httpswwwmachinedesigncomlearning resourceswhatsthedifference betweendocument21834474whatsthe differencebetweenconductionconvectionand radiation Convecção Convecção Convecção Convecção Convecção transferência de calor entre uma superfície e um fluido com movimento líquido global não nulo quando existir diferença na temperatura entre eles Ocorre difusão do calor entre a superfície e as primeiras camadas de fluido sobre ela que devido ao atrito estão com velocidades nulas ou muito baixas Essa energia é entregue às demais camadas de fluido que se movem devido às interações moleculares entre elas As camadas de fluido com movimento global então carregam embora a energia absorvida advecção A soma de condução ou difusão com advecção fornece a convecção A equação para quantificar a transferência de calor por convecção é a Lei do Resfriamento de Newton 4R ℎ Wƒ W 4R ℎ nb Wƒ W onde AS é a área da superfície em m² transversal ao sentido do fluxo de calor convectivo 4R dado em Wm² TS é a temperatura da superfície em K ou C W é a temperatura do fluido longe da superfície em K ou C h é o coeficiente de transferência de calor por convecção em Wm²K e qconv é a taxa de calor por convecção em W h depende da camada limite da natureza do escoamento da geometria e das propriedades dos materiais Qualquer estudo mais aprofundado em convecção visa à obtenção de h como faremos na segunda parte de nossa disciplina Nota não confundir h da convecção com entalpia pois são variáveis totalmente diferentes apesar do símbolo usado ser o mesmo Convecção forçada sobre uma superfície fluido escoando sobre uma superfície quando ao mesmo tempo existe uma diferença de temperatura entre eles sendo que a velocidade do fluido não tem origem no gradiente térmico do fenômeno Convecção Em diferentes tipos de fenômenos envolvendo convecção o coeficiente de transferência de calor por convecção h dado em Wm²K será estudado e obtido de modo diferente Podem existir convecção forçada e natural com e sem mudança de fases envolvidas Convecção Em diferentes tipos de fenômenos envolvendo convecção o coeficiente de transferência de calor por convecção h dado em Wm²K será estudado e obtido de modo diferente Podem existir convecção forçada e natural com e sem mudança de fases envolvidas Valores típicos do coeficiente convectivo para obter um valor exato devese aplicar uma metodologia de cálculo por meio de correlações e analogias que veremos na segunda parte da disciplina Processo Processo Processo Processo hhhh Wm²K Wm²K Wm²K Wm²K Convecção natural Convecção natural Convecção natural Convecção natural Em gases 2 a 25 Em líquidos 50 a 1000 Convecção forçada Convecção forçada Convecção forçada Convecção forçada Em gases 25 a 250 Em líquidos 100 a 20000 Convecção com mudança Convecção com mudança Convecção com mudança Convecção com mudança de fase de fase de fase de fase Convecção com ebulição ou condensação 2500 a 100000 Radiação Devido a mudanças nas configurações eletrônicas dos átomos ou moléculas que constituem a matéria ocorrem emissões de energia por meio de ondas eletromagnéticas ou alternativamente fótons Qualquer superfície com temperatura não nula acima de 0 K pode emitir energia por radiação Não é necessário ter um meio para propagação da radiação sendo que ela se propaga melhor no vácuo Os cálculos são realizados sobre superfícies sólidas mas fluidos podem também participar das trocas de energia ex atmosfera na camada de ozônio absorve parte da radiação ultravioleta emitida pelo sol O fluxo térmico emitido por uma superfície E em Wm² é dado pela equação a seguir na qual é a emissividade da superfície 0 1 é a constante de StefanBoltzmann 567 10Œ TŽ a e TS é a temperatura da superfície em K Wƒ a Qualquer superfície pode também absorver energia por radiação A taxa na qual a energia radiante é absorvida por unidade de área Gabs em Wm² é dada pela irradiação G em Wm² multiplicada pela absortividade 0 1 Mb A emissividade e a absortividade são propriedades da superfície e dependerão das condições do acabamento delas e dos tipos de materiais Já a irradiação é a quantidade de energia emitida por uma fonte como por exemplo o sol ou outra superfície Radiação Se considerarmos que a superfície é totalmente envolta por uma grande vizinhança a temperatura Tviz que é diferente da temperatura da superfície TS teremos uma condição na qual a irradiação G se deve à emissão da vizinhança sobre a superfície Para tal situação a emissão da vizinhança pode ser aproximada pela emissão de corpo negro uma superfície idealizada como um radiador perfeito de emissividade 1 WL a 1 WL a WL a Como WL Wƒ teremos uma transferência líquida de energia entre a superfície e a vizinhança Como pela Lei de Kirchhoff da radiação térmica temos que a emissividade e a absortividade de uma superfície a uma dada temperatura e para um dado comprimento de onda são iguais uma superfície cinza o fluxo líquido de calor trocado por radiação entre a superfície e a vizinhança 4SMK em Wm² é dado por 4SMK Mb Wƒ a WL a Wƒ a WL a IA š œ šHž œ IA t š œ šHž œ Essa expressão fornece a diferença entre o calor liberado pela superfície para a vizinhança devido à emissão e o calor que é ganho pela superfície a partir da absorção de energia que havia sido emitida pela vizinhança Transferência de calor por radiação entre a superfície e a vizinhança e transferência de calor por convecção entre a superfície e o gás sobre ela Radiação Em muitas aplicações é conveniente expressar a equação da taxa líquida de transferência de calor por radiação qrad no formato da Lei do Resfriamento de Newton 4SMK ℎSMK nƒ Wƒ WL ℎSMK Wƒ WL Wƒ Ž WL Ž Para a figura ao lado temos que a taxa de calor que chega até a superfície através do material sólido chega nela por condução do calor Esta taxa que chega na superfície por condução sai da superfície devido às transferências de calor por radiação e por convecção Sendo assim podemos escrever que 4 4RK 4R 4SMK ℎ nƒ Wƒ W n Wƒ a WL a Ou 4 4RK 4R 4SMK ℎ nƒ Wƒ W ℎSMK nƒ Wƒ WL Se tivermos dados suficientes também podemos expressar a transferência usando um coeficiente de transferência de calor dos efeitos de radiação e convecção combinados hcomb dado em Wm²K 4 4RK 4R SMK ℎRJ nƒ Wƒ WL RP Transferência de calor por radiação entre a superfície e a vizinhança e transferência de calor por convecção entre a superfície e o gás sobre ela Exigência da conservação de energia As transferências de energia por meio de calor devem também respeitar a conservação de energia Assim para uma certa combinação genérica entre modos de transferência de calor em um sistema considerado podemos escrever a Primeira Lei da Termodinâmica por MPJPMKM Q8SM QSMKM bML Onde os termos E significam energia em J O termo Egerada pode ser usado para representar a conversão de alguma outra forma de energia química elétrica eletromagnética ou nuclear em energia térmica que é liberada no interior do sistema analisado Devido a Egerada estar associada a algum evento de natureza volumétrica normalmente se utiliza densidade de potência térmica q em Wm³ para representar este termo QSMKM 4JéKLM A equação do balanço de energia também pode ser calculada por meio de taxas MPJPMKM MPJPMKM Q8SM QSMKM bML Para o exemplo 2 ao lado por exemplo teríamos para a superfície externa da parede sólida MPJPMKM Q8SM QSMKM bML 0 4RK 0 4R 4SMK 4RK 4R 4SMK Transferência de calor por condução no material sólido transferência de calor por radiação entre a superfície externa e a vizinhança e transferência de calor por convecção entre a superfície externa e o gás que a envolve Exemplo 2 aplique o balanço de energia para a superfície externa da parede para o fenômeno de transferência de calor em regime permanente e sem geração interna de energia na parede sólida representada na figura a seguir Radiação Exemplo 3 Calcule a temperatura de saída de água quente de um aquecedor solar de água que recebe irradiação solar de 500 Wm² Desconsidere as perdas por condução e convecção do aquecedor Considere a área da seção transversal dos tubos de entrada e de saída igual a 00002 m² a velocidade média da água nos tubos de 03 ms a temperatura de entrada da água no aquecedor de 25 C a área total da superfície do aquecedor de 4 m² e a absortividade da superfície do aquecedor para a radiação solar de 09 Radiação Exemplo 3 Calcule a temperatura de saída de água quente de um aquecedor solar de água que recebe irradiação solar de 500 Wm² Desconsidere as perdas por condução e convecção do aquecedor Considere a área da seção transversal dos tubos de entrada e de saída igual a 00002 m² a velocidade média da água nos tubos de 03 ms a temperatura de entrada da água no aquecedor de 25 C a área total da superfície do aquecedor de 4 m² e a absortividade da superfície do aquecedor para a radiação solar de 09 Resolução Das tabelas de saturação líquidovapor para água líquida saturada temos que a massa específica da água para 25 C pode ser aproximada por ρ1v 10001003 997 kgm³ Da tabela de propriedades de vários sólidos e líquidos temos que cp da água é de 4184 kJkgK Aplicando os balanços de massa e de energia para o coletor em regime permanente temos que T Q T b T T ℎb ℎQ T UV Wƒ WQ ª n8PR UV Wƒ WQ Por conservação de energia temos que nMOPQQKRS Mb nMOPQQKRS Radiação Exemplo 3 Calcule a temperatura de saída de água quente de um aquecedor solar de água que recebe irradiação solar de 500 Wm² Desconsidere as perdas por condução e convecção do aquecedor Considere a área da seção transversal dos tubos de entrada e de saída igual a 00002 m² a velocidade média da água nos tubos de 03 ms a temperatura de entrada da água no aquecedor de 25 C a área total da superfície do aquecedor de 4 m² e a absortividade da superfície do aquecedor para a radiação solar de 09 Resolução Substituindo os valores temos que nMOPQQKRS ª n8PR UV Wƒ WQ 4 TŽ 09 500 TŽ 997 T 03 T 00002 mŽ 4184 Wƒ 25 1800 250287 Wƒ 25 š ² A água aquece 72 C em somente uma passada através do aquecedor Como ao longo do dia a água passa continuamente por ele sendo também armazenada num reservatório térmico isolado conseguese aquecer uma quantidade bem maior de água e em uma temperatura maior para uso em banhos de chuveiro ou ducha Aquecedor de água solar httpswwwyoutubecomwatchvXeOZlRPtlnQ Condução de calor Condução Condução Condução Condução ou difusão de calor é transferência de calor em um sólido ou em um fluido estacionário sem movimento global líquido das moléculas Em fluidos ocorre devido às interações entre as moléculas como colisões aleatórias entre moléculas que se movem aleatoriamente com diferentes energias cinéticas de rotação translação etc O fluido tem movimentos aleatórios mas não apresenta velocidade global não tem direção e sentido bem definidos para todas as moléculas com um todo Em sólidos não condutores elétricos ocorre devido às vibrações dos retículos e ondas na estrutura dos retículos induzidas pelo movimento atômico Em sólidos condutores elétricos ocorre também devido ao movimento de translação dos elétrons livres pelo material Associação da transferência de calor por condução à difusão de energia devido à atividade molecular em um fluido Moléculas com maior atividade e maior energia Moléculas com menor atividade e menor energia Lei de Fourier A Lei de Fourier determina a equação de transferência para a condução de calor Ela foi obtida por evidências experimentais Vamos considerar o experimento representado pela figura abaixo Nele é mantida uma diferença de temperatura entre as extremidades de um cilindro maciço de metal que tem as laterais isoladas A taxa de calor na direção x dada por qx é medida e comparada com a área da seção transversal A com o comprimento Δx e com a diferença de temperatura ΔT Podemos considerar que inicialmente num experimento como este os valores de ΔT e Δx sejam mantidos constantes enquanto que A varia Ao fazer isso verificamos que qx é diretamente proporcional a A Mantendo ΔT e A constantes observamos que qx varia inversamente com Δx Por último mantendo A e Δx constantes verificamos que qx é diretamente proporcional a ΔT Combinando as proporcionalidades temos que 4µ n µ Se mudarmos o material do cilindro por um material diferente como plástico por exemplo seriam verificadas as mesmas proporcionalidades Contudo qx seria menor para o plástico mesmo se os valores de A Δx e ΔT fossem mantidos Então uma constante de proporcionalidade chamada condutividade térmica k em WmK deve ser considerada Com isso temos que 4µ n µ k é uma propriedade do material onde ocorre a condução Lei de Fourier Valores de condutividade térmica para alguns materiais a 300 K Fonte INCROPERA F P WITT D P Fundamentos da Transferência de Calor e Massa 4ª edição Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos 1998 Material Material Material Material Condutividade térmica k em W Condutividade térmica k em W Condutividade térmica k em W Condutividade térmica k em WmK mK mK mK prata 429 cobre puro 401 alumínio puro 237 ferro puro 802 aço AISI 1010 639 vidro pyrex 14 tijolo comum 072 solo 052 tecido adiposo da pele humana 02 placas de gesso ou reboco 017 madeira de pinho 012 algodão 006 poliestireno expandido em pérolas moldadas 0040 ar à pressão atmosférica 00263 Lei de Fourier Colocase um sinal negativo na equação anterior do penúltimo slide para expressar o sentido do calor que é sempre transferido no sentido da diminuição das temperaturas 4µ n W Levando esta expressão ao limite quando 0 obtemos a taxa de transferência de calor na direção x da Lei de Fourier 4µ n W O fluxo de calor na direção x pode ser dado por 4µ 4µ n W Lei de Fourier O fluxo de calor é um vetor sempre normal à área da seção transversal A direção da propagação do calor será sempre normal a uma superfície de temperatura constante chamada de superfície isotérmica Podese escrever um enunciado mais geral para a Lei de Fourier ¼W H ½W ½ ¾ ½W ½ À ½W ½Á Vetor fluxo térmico normal a uma isoterma em um sistema de coordenadas bidimensional onde é o operador grad tridimensional e Txyz é o campo escalar de temperaturas Uma forma alternativa para a Lei de Fourier é 4 W à onde 4 é o fluxo térmico em uma direção n que é normal a uma isoterma como mostrado para um caso bidimensional na figura ao lado O fluxo pode ser decomposto em componentes Para coordenadas cartesianas temos H4µ ¾4Ä À4 4µ K Kµ 4Ä K KÄ 4 K K Cada componente relaciona o fluxo térmico através de uma superfície ao gradiente de temperatura em uma direção perpendicular à superfície O meio onde ocorre a condução é isotrópico com condutividade térmica independente da direção da coordenada Lei de Fourier Para coordenadas cilíndricas temos que H ½W ½Å ¾ 1 Å ½W ½Æ À ½W ½Á 4S K KS fluxo na direção radial r 4Ç N S K KÇ fluxo na direção azimutaltangencial θ 4 K K fluxo na direção axial z Lei de Fourier Exemplo 4 Para a condução unidimensional ao longo de x na parede da figura calcule o fluxo de calor em x 0 m se o perfil de temperatura for dado por Tx 50 x² 300 x 500 Resolução Pela Lei de Fourier o fluxo de calor na direção x é dado por 4µ W O gradiente de temperatura pode ser calculado por W 50 Ž 300 500 50 Ž 300 500 1 K Kµ 50 2 300 1 500 0 100 300 Substituindo na Lei de Fourier para x 0 m 4µ W 4µ 17 É JÊ 100 300 Ê J Ë Ë C 17 É JÊ 100 0 300 Ê J 17 300 É JÌ ÍÎC Ï Ð² Equação da difusão do calor Iremos inicialmente considerar um meio homogêneo sem movimento global no qual não há advecção em seu interior e com distribuição de temperaturas em coordenadas cartesianas Iremos considerar um volume de controle diferencial dxdydz neste meio e aplicar nele o balanço de energia Como resultado obteremos uma equação diferencial A solução dessa equação para um dado caso com as condições de contorno e inicial apropriadas fornece uma equação para a distribuição de temperaturas ao longo do material Txyzt Equação da difusão do calor As taxas de calor por condução perpendiculares a cada uma das superfícies de controle nas posições de coordenadas x y e z são indiadas por qx qy e qz Nas superfícies opostas podemos expressar as taxas como uma expansão em série de Taylor na qual desprezandose os termos de ordens superiores temos 4µ Kµ 4µ ½4µ ½ 4Ä KÄ 4Ä ÑOÒ ÑÄ y 4 K 4 ½4 ½Á Á Equação da difusão do calor Agora devemos aplicar o balanço de energia neste volume diferencial MSJMQMKM Q8SM QSMKM bML QSMKM dentro do volume de controle pode ser expressa por QSMKM 4 Á Na ausência de mudanças de fase e efeitos latentes MSJMQMKM dentro do volume de controle pode ser dada por MSJMQMKM T UV ½W ½ UV ½W ½ Á Substituindo no balanço de energia temos que UV ½W ½ Á 4µ 4Ä 4 4 Á 4µ ½4µ ½ 4Ä ½4Ä ½ y 4 ½4 ½Á Á Pela Lei de Fourier podemos obter as taxas de calor 4µ Á Ñ Ñµ 4Ä Á Ñ ÑÄ e 4 Ñ Ñ Derivando as taxas substituindo na equação e simplificando temos que UV ½W ½ Á 4 Á Á ½ ½ ½W ½ Á ½ ½ ½W ½ Á ½ ½Á ½W ½Á Equação da difusão do calor Dividindo os termos da equação pelas dimensões do volume de controle dxdydz temos que UV ½W ½ Á 4 Á Á ½ ½ ½W ½ Á ½ ½ ½W ½ Á ½ ½Á ½W ½Á UV ½W ½ 4 ½ ½ ½W ½ ½ ½ ½W ½ ½ ½Á ½W ½Á ½ ½ ½W ½ ½ ½ ½W ½ ½ ½Á ½W ½Á 4 UV ½W ½ A equação da difusão do calor representa a conservação de energia Considerando a condutividade térmica do material k como constante no material podemos escrever a equação da difusão do calor em uma forma simplificada como ½²W ½² ½²W ½² ½²W ½Á² 4 1 ½W ½ onde Ó ÔÕ Ö é a difusividade térmica do material dada em m²s e que também pode ser tabelada Equação da Difusão do Calor Equação da Difusão do Calor Equação da Difusão do Calor Equação da Difusão do Calor Equação da difusão do calor Como a equação da difusão do calor é de 2ª ordem em relação às coordenadas espaciais ela necessita de duas condições de contorno para cada coordenada espacial condições físicas das fronteiras do sistema Como a equação é de 1ª ordem em relação ao tempo ela necessita apenas de uma condição inicial condição do sistema no instante inicial que deve ser especificada em problemas transientes As condições de contorno podem ser dos tipos 1 Condição de contorno de primeira espécie condição de Dirichlet temperatura conhecida na superfície ex superfície sob o efeito de troca de fase de um fluido em contato com ela W 0 Wb 2 Condição de contorno de segunda espécie condição de Neumann fluxo de calor conhecido seja ele finito ou nulo Ñ Ñµ µØ 4ƒ fluxo de calor constante Ñ Ñµ µØ 0 superfície isolada termicamente com q 0 Wm² Um aquecedor elétrico delgado película pode impor um fluxo conhecido Um isolante perfeito produziria esta condição de fluxo nulo na superfície Equação da difusão do calor 3 Condição de contorno de terceira espécie presença de convecção na superfície sendo obtida por balanço de energia Ñ Ñµ µØ ℎ W W0 Equação da difusão do calor Exemplo 5 Obtenha por meio da equação da difusão do calor uma expressão para a distribuição de temperatura dentro da parede do desenho a seguir Considere que a condução ocorre somente na direção x que não ocorre geração de energia no interior da parede que o regime é estacionário e que o material não apresenta variações na condutividade térmica k Para o caso representado na figura a seguir temos condições de contorno de primeira espécie que são as temperaturas conhecidas nas superfícies Tx 0 100 C e TxL 2 m 0 C Resolução A equação da difusão do calor é ½ ½ ½W ½ ½ ½ ½W ½ ½ ½Á ½W ½Á q UV ½W ½ Para condutividade k constante ela também pode ser escrita como ½²W ½² ½²W ½² ½²W ½Á² 4 1 ½W ½ Equação da difusão do calor Exemplo 5 Obtenha por meio da equação da difusão do calor uma expressão para a distribuição de temperatura dentro da parede do desenho a seguir Considere que a condução ocorre somente na direção x que não ocorre geração de energia no interior da parede que o regime é estacionário e que o material não apresenta variações na condutividade térmica k Para o caso representado na figura a seguir temos condições de contorno de primeira espécie que são as temperaturas conhecidas nas superfícies Tx 0 100 C e TxL 2 m 0 C Resolução Como neste problema só temos transferência de calor na direção x regime estacionário e ausência de geração interna de calor a equação se reduz a K² Kµ² 0 ou K Kµ K Kµ 0 Integrando duas vezes r W r 0 W UN r W r UN W UN UŽ Equação da difusão do calor Exemplo 5 Obtenha por meio da equação da difusão do calor uma expressão para a distribuição de temperatura dentro da parede do desenho a seguir Considere que a condução ocorre somente na direção x que não ocorre geração de energia no interior da parede que o regime é estacionário e que o material não apresenta variações na condutividade térmica k Para o caso representado na figura a seguir temos condições de contorno de primeira espécie que são as temperaturas conhecidas nas superfícies Tx 0 100 C e TxL 2 m 0 C Resolução Então pela integração 2 vezes da equação da difusão do calor simplificada para o caso se obtém uma equação para o perfil de temperatura na parede W UN UŽ W UÙÃÚêN UÙÃÚêŽ Aplicando as condições de contorno temos que Û100 UÙÃÚêN 0 UÙÃÚêŽ 0 UÙÃÚêN 2 UÙÃÚêŽ Equação da difusão do calor Exemplo 5 Obtenha por meio da equação da difusão do calor uma expressão para a distribuição de temperatura dentro da parede do desenho a seguir Considere que a condução ocorre somente na direção x que não ocorre geração de energia no interior da parede que o regime é estacionário e que o material não apresenta variações na condutividade térmica k Para o caso representado na figura a seguir temos condições de contorno de primeira espécie que são as temperaturas conhecidas nas superfícies Tx 0 100 C e TxL 2 m 0 C Resolução UÙÃÚêŽ 100 0 UÙÃÚêN 2 100 UÙÃÚêN ŒN Ž 50 Substituindo os valores das constantes na solução temos que š Ë ÍC Ë ÎCC É obtido um perfil linear de temperaturas ao longo de x dentro da parede Esse tipo de perfil conforme Lei de Fourier promove um fluxo de calor constante Condução unidimensional em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor A solução geral da equação da difusão do calor para condução unidimensional em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor é do tipo W UÙÃÚêN UÙÃÚêŽ onde as constantes necessitam ser descobertas pela aplicação das condições de contorno Da equação da difusão do calor para este caso também podemos considerar que Ñ Ñµ Ñ Ñµ 0 Como pela Lei de Fourier o fluxo de calor depende de Ñ Ñµ podemos escrever que Ñ Ñµ 4µ 0 que indica que 4µ UÙÃÚê e que Ñ Ñµ UÙÃÚê Condução unidimensional em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor Para condução unidimensional em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor da solução da equação da difusão temos que W UÙÃÚêN UÙÃÚêŽ ÛWN UÙÃÚêN 0 UÙÃÚêŽ WŽ UÙÃÚêN Ü UÙÃÚêŽ UÙÃÚêŽ WN UÙÃÚêN ÌŒRb8M8QÌ Ý ÌŒÞ Ý Com isso W UÙÃÚêN UÙÃÚêŽ UÙÃÚêN WŽ UÙÃÚêŽ Ü WŽ WN Ü Pela Lei de Fourier o fluxo térmico na direção x é dado por 4µ W WŽ WN Ü Ou por 4µ W Ü Condução unidimensional em parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor Exemplo 6 A parede de um forno industrial é construída em tijolo refratário com 015 m de espessura cuja condutividade térmica é de 17 WmK Medidas efetuadas ao longo da operação em regime estacionário revelam temperaturas de 1400 e 1150 K nas paredes interna e externa respectivamente e um perfil linear de temperatura Qual o fluxo e a taxa de calor perdida através de uma parede que mede 05 m por 12 m Qual a quantidade de calor perdida em MJ e em kWh num intervalo de tempo igual a 2 h Resolução O fluxo a taxa e o calor podem ser obtidos pela Lei de Fourier simplificada para uma parede plana em regime estacionário e sem geração interna de calor da seguinte forma 4µ W Ü 17 T 1150 1400 015 T 283333 TŽ 4µ r 4µn 4µ n 283333 TŽ 05 12 T² 1700 µ r 4µ 4µ 1700 7200 1224 ß 8Ì 8Þ µ 4µ 1700 2 ℎ 34 ℎ Métodos numéricos para solução da equação da difusão do calor A equação da difusão do calor pode ser resolvida por Transferência de Calor Computacional por meio de aplicação de algum método numérico que resolve a equação de modo discreto Na equação as derivadas são substituídas por diferenças finitas e a equação é aplicada para um determinado número de pontos ou volumes num domínio matemático Neste caso a equação diferencial é substituída por um conjunto de equações algébricas que pode ser resolvido iterativamente por computador A solução encontrada é discreta que dependerá do número de pontos ou volumes considerado Quanto maior o número de pontos ou volumes maior a resolução da solução Contudo malhas conjunto de pontos ou volumes considerado muito grandes podem resultar em esforços computacionais grandes Alguns métodos que podem ser utilizados para se fazer isso são Método das Diferenças Finitas Método dos Volumes Finitos aplicados nos softwares comerciais Fluent CFX Star CCM Método dos Elementos Finitos Método numérico resolve a equação da difusão fornecendo uma solução discreta que dependerá da resolução da malha de volumes finitos Resultados obtidos com o software educacional Transcal 11 do Sinmec UFSC Domínio discretizado e com as condições inicial e de contorno Métodos numéricos para solução da equação da difusão do calor A equação da difusão do calor pode ser resolvida por Transferência de Calor Computacional por meio de aplicação de algum método numérico que resolve a equação de modo discreto Na equação as derivadas são substituídas por diferenças finitas e a equação é aplicada para um determinado número de pontos ou volumes num domínio matemático Neste caso a equação diferencial é substituída por um conjunto de equações algébricas que pode ser resolvido iterativamente por computador A solução encontrada é discreta que dependerá do número de pontos ou volumes considerado Quanto maior o número de pontos ou volumes maior a resolução da solução Contudo malhas conjunto de pontos ou volumes considerado muito grandes podem resultar em esforços computacionais grandes Alguns métodos que podem ser utilizados para se fazer isso são Método das Diferenças Finitas Método dos Volumes Finitos aplicados nos softwares comerciais Fluent CFX Star CCM Método dos Elementos Finitos Temperatura na base conhecida e constante Tbase 175 C Convecção ao longo das demais superfícies Vídeo de uma simulação numérica realizada com o Método de Volumes Finitos da condução transiente em uma barra de alumínio tendo ela perdas por convecção A temperatura na base é fixa A temperatura inicial da barra exceto na base é de 20C A transferência atinge regime permanente após um determinado período de tempo