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Engenharia Biomédica ·
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Fenômenos de Transporte Escoamento interno Equações de conservação de massa e da energia cálculo de perda de carga Escoamento interno Equações de conservação de massa e da energia cálculo de perda de carga Tópicos desta Aula Número de Reynolds e regime de escoamento Região de entrada e escoamento plenamente desenvolvido Perfis de velocidade em escoamentos laminar e turbulento Vazão mássica e volumétrica Balanços de energia e de forças em escoamentos em tubos Perdas de carga total distribuída e localizada Fator de atrito Diagrama de Moody e correlações que o representam Coeficientes de perda de carga localizada Número de Reynolds e regime de escoamento em escoamentos internos O número de Reynolds Re é um parâmetro muito importante nos estudos de escoamento interno Ele é utilizado para caracterizar as condições em um escoamento Por exemplo se dois escoamentos tiverem o mesmo Re eles serão semelhantes O valor do Re também é usado para caracterizar o regime do escoamento como laminar em transição e turbulento A transição do regime laminar para o turbulento pode acontecer ao longo de uma faixa de Re entre 2000 e 4000 sendo que um valor de número de Reynolds crítico Recrí de 2300 é normalmente usado para avaliar o regime do escoamento Por exemplo se o valor do Re for maior do que 2300 para efeitos de cálculo podese considerar o escoamento como turbulento Re é definido por 0 23 4 5 23 4 6 89í8 23 4 6 2300 Onde D é o diâmetro interno do tubo ou se o tubo não tiver seção circular é o diâmetro hidráulico e 23 é a velocidade média dada dada dada dada para para para para um um um um fluido fluido fluido fluido incompressível incompressível incompressível incompressível por A B onde 2A é a vazão volumétrica em m³s 2000 Escoamento laminar 2000 4000 Esc em transição 4000 Escoamento turbulento Região de entrada fluidodinâmica e escoamento plenamente desenvolvido É necessário um comprimento de tubulação para que a camada limite se desenvolva sendo esse comprimento chamado de comprimento de entrada Le Ele pode ser definido por IJ 006 4 L Para escoamento laminar IJ 440 4 L MN Para escoamento turbulento Onde D é o diâmetro interno do tubo Se o tubo não tiver seção circular deve ser usado no lugar de D o valor do diâmetro hidráulico Dh 4P QÁ9JT UT VJçã 9TWVXJ9VTY J9íJ9 YPTU Q O número de Reynolds crítico para escoamento interno que é o valor de Re em que a transição de laminar para turbulento ocorre vale aproximadamente 2300 89í8 23 4 6 2300 Perfis de velocidade em escoamentos laminar e turbulento Considerando escoamentos plenamente desenvolvidos em tubos de paredes lisas teremos perfis de velocidade que podem ser modelados por perfis parabólicos para escoamentos laminares e perfis de velocidade proporcionais a um expoente 1n para escoamentos turbulentos Comumente é usado expoente igual a 17 para perfis turbulentos O gradiente de velocidade próximo da parede também será maior para escoamento turbulento b cdáe 1 9 g h Para esc laminar L 2300 b cdáe 1 9 g Mi Para esc turbulento 2300 L Os perfis da velocidade u do escoamento na direção x do tubo são normalmente expressos pelas equações acima nas quais Umáx é a velocidade máxima do escoamento no centro do tubo r é a distância radial e R é o raio interno máximo do tubo Tais perfis de velocidade sofrem influência do valor do número de Reynolds que modifica os valores dos expoentes conforme o seu valor cresce Para escoamentos turbulentos em tubos rugosos o perfil de velocidade também é afetado pela rugosidade da superfície interna que modifica o perfil de velocidade turbulento em relação ao que ocorreria para tubo liso Cálculo da vazão mássica Como a velocidade do fluido u no velocidade no sentido de x muda ao longo da direção radial a vazão mássica deve ser obtida por meio de uma integração por mA n 0 o p q rsVJçã tuçãv Usando velocidade média wx podemos expressar a vazão mássica por mA 0 wx sVJçã Assim para um tubo de seção circular e escoamento de um fluido incompressível a velocidade média pode ser obtida por mA 0 wx sVJçã n 0 o p q rsVJçã tuçãv wx 2 y 0 0 y h n o p q g z p rp 2 ² n o p q p rp g z O número de Reynolds em função da vazão mássica pode ser obtido por 4 mA y 4 5 Coeficiente de energia cinética Para escoamentos turbulentos em geral o perfil de velocidade pode ser expresso pela lei da potência onde n depende do número de Reynolds e da rugosidade da superfície o wz 1 p M W Para o cálculo da energia cinética do escoamento feito quando aplicamos a equação de conservação de energia devese resolver uma integral considerandose uma função da velocidade taxa de energia cinética A n 1 2 0 o oh rs 1 2 wxh n 0 o rs A M h mA wxh energia cinética específica 8 M h wxh Como é mais fácil trabalhar com a velocidade média wx nas equações usase um coeficiente de energia cinética α na simplificação como um fator de correção para que o resultado fique igual ao que seria obtido pela integração sem considerar a velocidade média Para perfil de velocidade com n 7 que gera o expoente 17 o valor α 106 pode ser considerado Para efeitos de cálculo utilizaremos nos cálculos para esta disciplina ƒ ˆˆ Assim temos que energia cinética específica 8 M h wxh dada em Jkg Primeira Lei da Termodinâmica para um Escoamento Interno Aplicandose os balanços de massa e de energia para um volume de controle formado pelo tubo com o fluido ao lado por onde escoa o fluido que é incompressível e escoa em regime permanente temos que UŒ U mA J mA V mA J mA V mA J mA V mA bal de massa r r A A mA J ℎJ 23Jh 2 J mA V ℎV 23Vh 2 V mA ℎV JYt h V mA ℎJ JYu h J A A bal de energia Como a entalpia específica pode ser escrita como ℎ o š o œ podemos simplificar a equação do balanço de energia e dividir os dois lados da equação por mA obtendose a equação do balanço em unidades de energia por peso de fluido que simplificando nos dá a equação com os termos em unidade de comprimentoaltura em m Para isso também devese considerar que ue us escoamento sem que existam diferenças na temperatura do fluido e que o fluido é incompressível 0 žŸ JVœJ8í8 trocado no processo e não da substância e JVœJ8í8 são calor e trabalho específicos dados em Jkg šV 0 23Vh 2 V šJ 0 23J h 2 J JVœJ8í8 JVœJ8í8 Como visto no slide anterior foi considerado igual a 1 nos termos de energia cinética específica para fazer o uso de velocidade média nesses termos Segunda Lei da Termodinâmica para um Escoamento Interno O balanço de Segunda Lei da Termodinâmica para um sistema fechado que passa por um processo qualquer é dado pela equação a seguir na qual T é a temperatura em K S é a entropia em JK e Sger é a entropia gerada em JK devido às irreversibilidades que podem ocorrer no processo r ª J9 com 0 J9 O balanço de Segunda Lei pode ser também feito para um volume de controle considerandose as entropias específicas s em JkgK das correntes de entrada e de saída Para o volume de controle como o da figura ao lado em regime permanente temos que r r mA J J mA V V A AJ9 ªA Œ mA V V mA J J AJ9 Com mA J mA V mA por causa da conservação de massa Assim temos que A mA V mA J AJ9 Dividindo ambos os lados da equação pela vazão mássica mA temos que A mA 1 mAA mA V mA J AJ9 JVœJ8í8 V J J9 Como não estamos considerando variações de temperatura no escoamento teremos que se ss e todo o calor específico será devido à geração de entropia específica sger que se origina das irreversibilidades do fenômeno JVœJ8í8 J9 Nota 1 Para ver mais sobre a 2ª Lei da Termodinâmica podese consultar o livro de Termodinâmica de Sonntag et al Nota 2 Entropia na termodinâmica clássica é definida como uma propriedade termodinâmica cuja variação em um processo processo processo processo reversível reversível reversível reversível pode ser definida pela razão entre o calor trocado no processo pela temperatura absoluta do processo h M n 9JX h M Para processos irreversíveis a este valor devese adicionar um termo de ganho de entropia devido às irreversibilidades Primeira Lei da Termodinâmica para um Escoamento Interno e perda de carga total Substituindo a relação obtida para o calor específico no balanço de energia obtemos JVœJ8í8 J9 šV 0 23Vh 2 V šJ 0 23Jh 2 J JVœJ8í8 JVœJ8í8 šV 0 23Vh 2 V šJ 0 23Jh 2 J J9 JVœJ8í8 O termo Tsgerg é sempre positivo Ele representa o aumento de entropia devido às irreversibilidades no processo Entre as principais fonte de irreversibilidade está o atrito que sempre vai existir no escoamento de um fluido viscoso sendo ele definido pela Lei de Newton para a Viscosidade Este termo é chamado de perda de carga total HT ou também perda de altura de elevação se for dado em m šV 0 23Vh 2 V šJ 0 23Jh 2 J JVœJ8í8 šJ 0 23Jh 2 J šV 0 23Vh 2 V JVœJ8í8 A mesma equação pode ser escrita em unidades de energia específica Jkg usando a perda de carga em unidade de energia específica hT dada em Jkg Neste caso teremos ℎ šJ 0 23Jh 2 J šV 0 23Vh 2 V ℎ JVœJ8í8 Primeira Lei da Termodinâmica para um Escoamento Interno Para o primeiro desenho ao lado temos o escoamento para um tubo sem a presença de bomba ou turbina Neste caso o trabalho específico pode ser considerado nulo e a equação do balanço de energia reescrita como œu JYu h J œt JYt h V Sem bombas turbinas etc Para tubulações contendo bombas turbinas ventiladores etc devemos considerar o trabalho específico Então devemos usar a equação completa para estes casos igual a do slide anterior O trabalho será positivo para turbinas e negativo para bombas œu JYu h J œt JYt h V utu¹íº¹v Com bombas turbinas etc Para escoamento com fluido sem atrito e sem bombas turbinas etc teríamos a ausência do termo de perda de carga e obteríamos uma equação da energia mantendo semelhanças com a Equação de Bernoulli Eq de Bernoulli integração da Eq de Euler ao longo de uma linha de corrente em reg perm sendo que a Eq de Euller representa a conservação de quantidade de movimento para escoamento sem atrito œu JYu h J œt JYt h V žŸ Sem bombas turbinas etc e sem viscosidade Tubo com bomba e com escoamento de fluido viscoso Tubo sem bomba e com escoamento de fluido viscoso Tubo sem bomba e com escoamento de fluido invíscido sem viscosidade Balanço de energia e de forças em um tubo Aplicaremos o balanço de energia no escoamento no tubo do ponto 1 ao 2 representado na figura ao lado Ao longo da superfície cilíndrica a tensão de cisalhamento τp age no sentido de frear o fluido As pressões p1 e p2 agem nas duas extremidades do tubo Não há trabalho pois não existem bombas e turbinas agindo no volume de controle Nestas condições temos šM 0 23M h 2 M šh 0 23h h 2 h O termo de perda de carga total HT é composto por uma parcela relativa ao atrito do fluido com a tubulação pela ação da viscosidade que chamaremos de perda de carga distribuída Hd e por uma parcela relativa a perdas em acessórios como curvas etc que veremos adiante e que chamaremos de perda de carga localizada Hl A perda de carga total é dada pela soma da perda de carga distribuída com a soma das perdas localizadas U Y Na figura ao lado temos um trecho de tubulação retilíneo com seção transversal constante e sem curvas ou acessórios Neste caso teremos apenas perda de carga distribuída e podemos reescrever o balanço de energia como šM 0 23M h 2 M šh 0 23h h 2 h U Como a seção transversal é constante pois o diâmetro do tubo não varia e como a massa específica não varia fluido incompressível a velocidade média em 1 será igual a velocidade média em 2 e podemos escrever que U šM šh 0 M h Balanço de energia e de forças em um tubo e perda de carga distribuída Aplicando a equação da quantidade de movimento para regime permanente unidimensional para o volume de controle na direção do escoamento temos que ÀŸpç rÁrŸ Ÿ š ÀŸpç šŸ ÀŸpç r pÁŸ Ÿ ÁrŸ žŸ pápÁŸ mA 2 0 šM šh sVJçã m à Ĝ sYTJ9TY U 8YWU9 mA 23h 23M 0 šM šh y ² 0 y ² I à Ĝ 2 y I mA 23h 23M 0 Como I à M h pois L é a hipotenusa de um triângulo retângulo com cateto oposto dado por Δz podemos reescrever o balanço de quantidade de movimento como šM šh y ² 0 y ² M h Äœ 2 y I 0 Dividindo os termos da equação pela área y ² e por 0 temos que œÆÇœ M h hÈÉ g 0 œÆÇœ M h hÈ É g Como pelo balanço de energia obtivemos no slide anterior U œÆÇœ M h podemos escrever que U 2 Äœ 0 I 4 Äœ 0 I 4 Fator de atrito f No slide anterior chegamos numa expressão para a perda de carga distribuída Tal expressão relaciona a perda de carga com a tensão de cisalhamento na parede interna do tubo Äœ com o comprimento do tubo L e com o seu diâmetro interno D U 4 Äœ 0 I 4 Assim como em escoamentos externos para escoamento em um tubo a tensão de cisalhamento pode ser obtida via coeficiente de atrito ou de arrasto viscoso CDF O coeficiente de atrito por sua vez dependerá do número de Reynolds baseado no diâmetro interno do tubo ReD e da rugosidade relativa da superfície eD com e representando a rugosidade da superfície e D representando o diâmetro interno Tanto ReD como eD interferem no perfil de velocidade no escoamento que por sua vez interfere na tensão de cisalhamento e no coeficiente de atrito Äœ 1 2 0 23h À L 4 Para estudo de escoamentos em tubos podese usar o coeficiente de atrito de Fanno Cf muito utilizado em análises de transferência de calor que é dado por Ë Äœ 1 2 0 23h Mais comumente para estudo de perda de carga em escoamentos em tubos é utilizado o fator de atrito de DarcyWeisbach f que é dado por À 4 Ë 8 Äœ 0 23h Fator de atrito f Usando a definição do fator de atrito de DarcyWeisbach f na equação obtida para a perda de carga distribuída podemos obter U QÈ É L e À 4 Ë ÏÈ JY U 4 À 0 23h 8 0 I 4 À 23h 2 I 4 U À É L JY h Equação para perda de carga distribuída em unidade de m O fator de atrito f pode ser obtido de duas maneiras 1º utilizando o Diagrama de Mood que fornece valor de f em função do número de Reynolds ReD e da rugosidade relativa eD 2º utilizando alguma correlação que represente o comportamento do Diagrama de Mood Diagrama de Moody e equações que o representam O Diagrama de Moody na na na na região região região região de de de de escoamento escoamento escoamento escoamento turbulento turbulento turbulento turbulento é uma representação gráfica da equação de Colebrook que é implícita em f 1 À 2 log 4 37 251 L À A equação dada por Haaland fornece uma forma explícita para o cálculo de f útil como uma aproximação 1 À 18 log 69 L 4 37 MMM A equação de Miller também pode ser usada em alternativa à equação de Colebrook À 025 log 4 37 574 L zÕ Çh Já para escoamentos escoamentos escoamentos escoamentos laminares laminares laminares laminares f dependerá apenas de L podendo ser obtido por À 64 L Valores de rugosidade Para uso do diagrama de Moody e das correlações que o representam é necessário ter o conhecimento da rugosidade relativa eD Para isso tabelas de rugosidade absoluta para diferentes tipos de materiais podem ser utilizadas Materiais com diferentes tempos de uso também proporcionarão diferenças na rugosidade absoluta O livro de Schmidt et al fornece a tabela 71 que exibe rugosidades absolutas médias e em mm e em polegadas para diferentes materiais Perda de carga localizada Quando a tubulação possuir curvas mudanças bruscas na área da seção transversal válvulas abertas ou parcialmente abertas eou outros tipos de acessórios e variações existirão perdas de energia concentradas nos pontos nos quais essas variaçõesacessórios estarão Tais perdas são chamadas de perdas de carga localizadas A perda de carga localizada Hl dada em m produzida por um determinado item na tubulação pode ser obtida pela seguinte equação Y 23h 2 Onde K é um coeficiente de perda de carga localizada Valores de K podem ser obtidos experimentalmente e indicados em tabelas e gráficos em função das condições do escoamento e tipo de acessório Coeficientes de perda de carga localizada K Coeficientes de perda de carga localizada K Coeficientes de perda de carga localizada K Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Resolução Da tabela A9 do livro de Schmidt et al de água saturada podemos obter para 20 C 6 1004 10ÇN mh 0000001004 mh Como água líquida pode ser considerada um fluido incompressível podemos calcular a velocidade média da água no tubo por 2A 23 s 23 A zzMNdÚ t ÛzzMÕ² 1411 m O número de Reynolds pode ser calculado por L JYL Ü MQMMd t zzÝÏ zzzzzzMzzQd t 534044 Como ReD é maior que 2300 temos escoamento turbulento no tubo Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Resolução Da Tab 71 do livro de Schmidt et al temos para aço trefilado rugosidade absoluta média e 00015 mm A rugosidade relativa será eD00015 mm 38 mm 395 X 105 00000395 O fator de atrito f pode ser obtido pela equação de Miller À 025 log 4 37 574 L zÕ Çh 025 log 00000395 37 574 534044zÕ Çh 001356 Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Resolução O fator de atrito também pode ser obtido no Diagrama de Moody É necessário verificar onde o valor de ReD cairá sobre uma curva de mesma rugosidade relativa eD Depois é necessário verificar o valor correspondente no eixo para f Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Resolução A perda de carga distribuída no tubo pode ser obtida por U À I 4 23h 2 001356 3 m 0038 m 1411 m h 2 981 m h 10863 m Neste problema teremos apenas a perda de carga localizada na entrada do tubo que pode ser expressa pela equação YJW9 JW9 23h 2 JW9 1411 m h 2 981 m h 10147 JW9 m O valor de JW9 pode ser obtido pelas equações acima aplicadas na equação do balanço de energia de tal forma que a perda de carga total seja U Y 10863 10147 JW9 Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Resolução Aplicando o balanço de energia podese obter šM 0 23M h 2 M šh 0 23h h 2 h JVœJ8í8 p1 p2 patm Velocidade no ponto 1 é muito baixa devido à área de seção ser muito grande Como não existem bombas e turbinas não há trabalho M h ℎ JY h JY h U YJW9 259 m MQMMd t hÕÏMd t 10863 m 10147 JW9 m 259 10147 10863 10147 JW9 ߈à á âã O valor obtido não difere muito daquele que pode ser obtido para entrada de canto vivo na Figura 76 do livro de Schmidt et al que é de 045 No livro de Fox e McDonolad este mesmo exemplo é resolvido mas com a consideração do coeficiente de energia cinética diferente de 1 o que leva ao resultado de 045 Nota estamos utilizando sempre 1 nos termos de energia cinética JY h sendo que por este motivo o símbolo de α nem é escrito na equação da energia Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C
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Fenômenos de Transporte Escoamento interno Equações de conservação de massa e da energia cálculo de perda de carga Escoamento interno Equações de conservação de massa e da energia cálculo de perda de carga Tópicos desta Aula Número de Reynolds e regime de escoamento Região de entrada e escoamento plenamente desenvolvido Perfis de velocidade em escoamentos laminar e turbulento Vazão mássica e volumétrica Balanços de energia e de forças em escoamentos em tubos Perdas de carga total distribuída e localizada Fator de atrito Diagrama de Moody e correlações que o representam Coeficientes de perda de carga localizada Número de Reynolds e regime de escoamento em escoamentos internos O número de Reynolds Re é um parâmetro muito importante nos estudos de escoamento interno Ele é utilizado para caracterizar as condições em um escoamento Por exemplo se dois escoamentos tiverem o mesmo Re eles serão semelhantes O valor do Re também é usado para caracterizar o regime do escoamento como laminar em transição e turbulento A transição do regime laminar para o turbulento pode acontecer ao longo de uma faixa de Re entre 2000 e 4000 sendo que um valor de número de Reynolds crítico Recrí de 2300 é normalmente usado para avaliar o regime do escoamento Por exemplo se o valor do Re for maior do que 2300 para efeitos de cálculo podese considerar o escoamento como turbulento Re é definido por 0 23 4 5 23 4 6 89í8 23 4 6 2300 Onde D é o diâmetro interno do tubo ou se o tubo não tiver seção circular é o diâmetro hidráulico e 23 é a velocidade média dada dada dada dada para para para para um um um um fluido fluido fluido fluido incompressível incompressível incompressível incompressível por A B onde 2A é a vazão volumétrica em m³s 2000 Escoamento laminar 2000 4000 Esc em transição 4000 Escoamento turbulento Região de entrada fluidodinâmica e escoamento plenamente desenvolvido É necessário um comprimento de tubulação para que a camada limite se desenvolva sendo esse comprimento chamado de comprimento de entrada Le Ele pode ser definido por IJ 006 4 L Para escoamento laminar IJ 440 4 L MN Para escoamento turbulento Onde D é o diâmetro interno do tubo Se o tubo não tiver seção circular deve ser usado no lugar de D o valor do diâmetro hidráulico Dh 4P QÁ9JT UT VJçã 9TWVXJ9VTY J9íJ9 YPTU Q O número de Reynolds crítico para escoamento interno que é o valor de Re em que a transição de laminar para turbulento ocorre vale aproximadamente 2300 89í8 23 4 6 2300 Perfis de velocidade em escoamentos laminar e turbulento Considerando escoamentos plenamente desenvolvidos em tubos de paredes lisas teremos perfis de velocidade que podem ser modelados por perfis parabólicos para escoamentos laminares e perfis de velocidade proporcionais a um expoente 1n para escoamentos turbulentos Comumente é usado expoente igual a 17 para perfis turbulentos O gradiente de velocidade próximo da parede também será maior para escoamento turbulento b cdáe 1 9 g h Para esc laminar L 2300 b cdáe 1 9 g Mi Para esc turbulento 2300 L Os perfis da velocidade u do escoamento na direção x do tubo são normalmente expressos pelas equações acima nas quais Umáx é a velocidade máxima do escoamento no centro do tubo r é a distância radial e R é o raio interno máximo do tubo Tais perfis de velocidade sofrem influência do valor do número de Reynolds que modifica os valores dos expoentes conforme o seu valor cresce Para escoamentos turbulentos em tubos rugosos o perfil de velocidade também é afetado pela rugosidade da superfície interna que modifica o perfil de velocidade turbulento em relação ao que ocorreria para tubo liso Cálculo da vazão mássica Como a velocidade do fluido u no velocidade no sentido de x muda ao longo da direção radial a vazão mássica deve ser obtida por meio de uma integração por mA n 0 o p q rsVJçã tuçãv Usando velocidade média wx podemos expressar a vazão mássica por mA 0 wx sVJçã Assim para um tubo de seção circular e escoamento de um fluido incompressível a velocidade média pode ser obtida por mA 0 wx sVJçã n 0 o p q rsVJçã tuçãv wx 2 y 0 0 y h n o p q g z p rp 2 ² n o p q p rp g z O número de Reynolds em função da vazão mássica pode ser obtido por 4 mA y 4 5 Coeficiente de energia cinética Para escoamentos turbulentos em geral o perfil de velocidade pode ser expresso pela lei da potência onde n depende do número de Reynolds e da rugosidade da superfície o wz 1 p M W Para o cálculo da energia cinética do escoamento feito quando aplicamos a equação de conservação de energia devese resolver uma integral considerandose uma função da velocidade taxa de energia cinética A n 1 2 0 o oh rs 1 2 wxh n 0 o rs A M h mA wxh energia cinética específica 8 M h wxh Como é mais fácil trabalhar com a velocidade média wx nas equações usase um coeficiente de energia cinética α na simplificação como um fator de correção para que o resultado fique igual ao que seria obtido pela integração sem considerar a velocidade média Para perfil de velocidade com n 7 que gera o expoente 17 o valor α 106 pode ser considerado Para efeitos de cálculo utilizaremos nos cálculos para esta disciplina ƒ ˆˆ Assim temos que energia cinética específica 8 M h wxh dada em Jkg Primeira Lei da Termodinâmica para um Escoamento Interno Aplicandose os balanços de massa e de energia para um volume de controle formado pelo tubo com o fluido ao lado por onde escoa o fluido que é incompressível e escoa em regime permanente temos que UŒ U mA J mA V mA J mA V mA J mA V mA bal de massa r r A A mA J ℎJ 23Jh 2 J mA V ℎV 23Vh 2 V mA ℎV JYt h V mA ℎJ JYu h J A A bal de energia Como a entalpia específica pode ser escrita como ℎ o š o œ podemos simplificar a equação do balanço de energia e dividir os dois lados da equação por mA obtendose a equação do balanço em unidades de energia por peso de fluido que simplificando nos dá a equação com os termos em unidade de comprimentoaltura em m Para isso também devese considerar que ue us escoamento sem que existam diferenças na temperatura do fluido e que o fluido é incompressível 0 žŸ JVœJ8í8 trocado no processo e não da substância e JVœJ8í8 são calor e trabalho específicos dados em Jkg šV 0 23Vh 2 V šJ 0 23J h 2 J JVœJ8í8 JVœJ8í8 Como visto no slide anterior foi considerado igual a 1 nos termos de energia cinética específica para fazer o uso de velocidade média nesses termos Segunda Lei da Termodinâmica para um Escoamento Interno O balanço de Segunda Lei da Termodinâmica para um sistema fechado que passa por um processo qualquer é dado pela equação a seguir na qual T é a temperatura em K S é a entropia em JK e Sger é a entropia gerada em JK devido às irreversibilidades que podem ocorrer no processo r ª J9 com 0 J9 O balanço de Segunda Lei pode ser também feito para um volume de controle considerandose as entropias específicas s em JkgK das correntes de entrada e de saída Para o volume de controle como o da figura ao lado em regime permanente temos que r r mA J J mA V V A AJ9 ªA Œ mA V V mA J J AJ9 Com mA J mA V mA por causa da conservação de massa Assim temos que A mA V mA J AJ9 Dividindo ambos os lados da equação pela vazão mássica mA temos que A mA 1 mAA mA V mA J AJ9 JVœJ8í8 V J J9 Como não estamos considerando variações de temperatura no escoamento teremos que se ss e todo o calor específico será devido à geração de entropia específica sger que se origina das irreversibilidades do fenômeno JVœJ8í8 J9 Nota 1 Para ver mais sobre a 2ª Lei da Termodinâmica podese consultar o livro de Termodinâmica de Sonntag et al Nota 2 Entropia na termodinâmica clássica é definida como uma propriedade termodinâmica cuja variação em um processo processo processo processo reversível reversível reversível reversível pode ser definida pela razão entre o calor trocado no processo pela temperatura absoluta do processo h M n 9JX h M Para processos irreversíveis a este valor devese adicionar um termo de ganho de entropia devido às irreversibilidades Primeira Lei da Termodinâmica para um Escoamento Interno e perda de carga total Substituindo a relação obtida para o calor específico no balanço de energia obtemos JVœJ8í8 J9 šV 0 23Vh 2 V šJ 0 23Jh 2 J JVœJ8í8 JVœJ8í8 šV 0 23Vh 2 V šJ 0 23Jh 2 J J9 JVœJ8í8 O termo Tsgerg é sempre positivo Ele representa o aumento de entropia devido às irreversibilidades no processo Entre as principais fonte de irreversibilidade está o atrito que sempre vai existir no escoamento de um fluido viscoso sendo ele definido pela Lei de Newton para a Viscosidade Este termo é chamado de perda de carga total HT ou também perda de altura de elevação se for dado em m šV 0 23Vh 2 V šJ 0 23Jh 2 J JVœJ8í8 šJ 0 23Jh 2 J šV 0 23Vh 2 V JVœJ8í8 A mesma equação pode ser escrita em unidades de energia específica Jkg usando a perda de carga em unidade de energia específica hT dada em Jkg Neste caso teremos ℎ šJ 0 23Jh 2 J šV 0 23Vh 2 V ℎ JVœJ8í8 Primeira Lei da Termodinâmica para um Escoamento Interno Para o primeiro desenho ao lado temos o escoamento para um tubo sem a presença de bomba ou turbina Neste caso o trabalho específico pode ser considerado nulo e a equação do balanço de energia reescrita como œu JYu h J œt JYt h V Sem bombas turbinas etc Para tubulações contendo bombas turbinas ventiladores etc devemos considerar o trabalho específico Então devemos usar a equação completa para estes casos igual a do slide anterior O trabalho será positivo para turbinas e negativo para bombas œu JYu h J œt JYt h V utu¹íº¹v Com bombas turbinas etc Para escoamento com fluido sem atrito e sem bombas turbinas etc teríamos a ausência do termo de perda de carga e obteríamos uma equação da energia mantendo semelhanças com a Equação de Bernoulli Eq de Bernoulli integração da Eq de Euler ao longo de uma linha de corrente em reg perm sendo que a Eq de Euller representa a conservação de quantidade de movimento para escoamento sem atrito œu JYu h J œt JYt h V žŸ Sem bombas turbinas etc e sem viscosidade Tubo com bomba e com escoamento de fluido viscoso Tubo sem bomba e com escoamento de fluido viscoso Tubo sem bomba e com escoamento de fluido invíscido sem viscosidade Balanço de energia e de forças em um tubo Aplicaremos o balanço de energia no escoamento no tubo do ponto 1 ao 2 representado na figura ao lado Ao longo da superfície cilíndrica a tensão de cisalhamento τp age no sentido de frear o fluido As pressões p1 e p2 agem nas duas extremidades do tubo Não há trabalho pois não existem bombas e turbinas agindo no volume de controle Nestas condições temos šM 0 23M h 2 M šh 0 23h h 2 h O termo de perda de carga total HT é composto por uma parcela relativa ao atrito do fluido com a tubulação pela ação da viscosidade que chamaremos de perda de carga distribuída Hd e por uma parcela relativa a perdas em acessórios como curvas etc que veremos adiante e que chamaremos de perda de carga localizada Hl A perda de carga total é dada pela soma da perda de carga distribuída com a soma das perdas localizadas U Y Na figura ao lado temos um trecho de tubulação retilíneo com seção transversal constante e sem curvas ou acessórios Neste caso teremos apenas perda de carga distribuída e podemos reescrever o balanço de energia como šM 0 23M h 2 M šh 0 23h h 2 h U Como a seção transversal é constante pois o diâmetro do tubo não varia e como a massa específica não varia fluido incompressível a velocidade média em 1 será igual a velocidade média em 2 e podemos escrever que U šM šh 0 M h Balanço de energia e de forças em um tubo e perda de carga distribuída Aplicando a equação da quantidade de movimento para regime permanente unidimensional para o volume de controle na direção do escoamento temos que ÀŸpç rÁrŸ Ÿ š ÀŸpç šŸ ÀŸpç r pÁŸ Ÿ ÁrŸ žŸ pápÁŸ mA 2 0 šM šh sVJçã m à Ĝ sYTJ9TY U 8YWU9 mA 23h 23M 0 šM šh y ² 0 y ² I à Ĝ 2 y I mA 23h 23M 0 Como I à M h pois L é a hipotenusa de um triângulo retângulo com cateto oposto dado por Δz podemos reescrever o balanço de quantidade de movimento como šM šh y ² 0 y ² M h Äœ 2 y I 0 Dividindo os termos da equação pela área y ² e por 0 temos que œÆÇœ M h hÈÉ g 0 œÆÇœ M h hÈ É g Como pelo balanço de energia obtivemos no slide anterior U œÆÇœ M h podemos escrever que U 2 Äœ 0 I 4 Äœ 0 I 4 Fator de atrito f No slide anterior chegamos numa expressão para a perda de carga distribuída Tal expressão relaciona a perda de carga com a tensão de cisalhamento na parede interna do tubo Äœ com o comprimento do tubo L e com o seu diâmetro interno D U 4 Äœ 0 I 4 Assim como em escoamentos externos para escoamento em um tubo a tensão de cisalhamento pode ser obtida via coeficiente de atrito ou de arrasto viscoso CDF O coeficiente de atrito por sua vez dependerá do número de Reynolds baseado no diâmetro interno do tubo ReD e da rugosidade relativa da superfície eD com e representando a rugosidade da superfície e D representando o diâmetro interno Tanto ReD como eD interferem no perfil de velocidade no escoamento que por sua vez interfere na tensão de cisalhamento e no coeficiente de atrito Äœ 1 2 0 23h À L 4 Para estudo de escoamentos em tubos podese usar o coeficiente de atrito de Fanno Cf muito utilizado em análises de transferência de calor que é dado por Ë Äœ 1 2 0 23h Mais comumente para estudo de perda de carga em escoamentos em tubos é utilizado o fator de atrito de DarcyWeisbach f que é dado por À 4 Ë 8 Äœ 0 23h Fator de atrito f Usando a definição do fator de atrito de DarcyWeisbach f na equação obtida para a perda de carga distribuída podemos obter U QÈ É L e À 4 Ë ÏÈ JY U 4 À 0 23h 8 0 I 4 À 23h 2 I 4 U À É L JY h Equação para perda de carga distribuída em unidade de m O fator de atrito f pode ser obtido de duas maneiras 1º utilizando o Diagrama de Mood que fornece valor de f em função do número de Reynolds ReD e da rugosidade relativa eD 2º utilizando alguma correlação que represente o comportamento do Diagrama de Mood Diagrama de Moody e equações que o representam O Diagrama de Moody na na na na região região região região de de de de escoamento escoamento escoamento escoamento turbulento turbulento turbulento turbulento é uma representação gráfica da equação de Colebrook que é implícita em f 1 À 2 log 4 37 251 L À A equação dada por Haaland fornece uma forma explícita para o cálculo de f útil como uma aproximação 1 À 18 log 69 L 4 37 MMM A equação de Miller também pode ser usada em alternativa à equação de Colebrook À 025 log 4 37 574 L zÕ Çh Já para escoamentos escoamentos escoamentos escoamentos laminares laminares laminares laminares f dependerá apenas de L podendo ser obtido por À 64 L Valores de rugosidade Para uso do diagrama de Moody e das correlações que o representam é necessário ter o conhecimento da rugosidade relativa eD Para isso tabelas de rugosidade absoluta para diferentes tipos de materiais podem ser utilizadas Materiais com diferentes tempos de uso também proporcionarão diferenças na rugosidade absoluta O livro de Schmidt et al fornece a tabela 71 que exibe rugosidades absolutas médias e em mm e em polegadas para diferentes materiais Perda de carga localizada Quando a tubulação possuir curvas mudanças bruscas na área da seção transversal válvulas abertas ou parcialmente abertas eou outros tipos de acessórios e variações existirão perdas de energia concentradas nos pontos nos quais essas variaçõesacessórios estarão Tais perdas são chamadas de perdas de carga localizadas A perda de carga localizada Hl dada em m produzida por um determinado item na tubulação pode ser obtida pela seguinte equação Y 23h 2 Onde K é um coeficiente de perda de carga localizada Valores de K podem ser obtidos experimentalmente e indicados em tabelas e gráficos em função das condições do escoamento e tipo de acessório Coeficientes de perda de carga localizada K Coeficientes de perda de carga localizada K Coeficientes de perda de carga localizada K Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Resolução Da tabela A9 do livro de Schmidt et al de água saturada podemos obter para 20 C 6 1004 10ÇN mh 0000001004 mh Como água líquida pode ser considerada um fluido incompressível podemos calcular a velocidade média da água no tubo por 2A 23 s 23 A zzMNdÚ t ÛzzMÕ² 1411 m O número de Reynolds pode ser calculado por L JYL Ü MQMMd t zzÝÏ zzzzzzMzzQd t 534044 Como ReD é maior que 2300 temos escoamento turbulento no tubo Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Resolução Da Tab 71 do livro de Schmidt et al temos para aço trefilado rugosidade absoluta média e 00015 mm A rugosidade relativa será eD00015 mm 38 mm 395 X 105 00000395 O fator de atrito f pode ser obtido pela equação de Miller À 025 log 4 37 574 L zÕ Çh 025 log 00000395 37 574 534044zÕ Çh 001356 Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Resolução O fator de atrito também pode ser obtido no Diagrama de Moody É necessário verificar onde o valor de ReD cairá sobre uma curva de mesma rugosidade relativa eD Depois é necessário verificar o valor correspondente no eixo para f Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Resolução A perda de carga distribuída no tubo pode ser obtida por U À I 4 23h 2 001356 3 m 0038 m 1411 m h 2 981 m h 10863 m Neste problema teremos apenas a perda de carga localizada na entrada do tubo que pode ser expressa pela equação YJW9 JW9 23h 2 JW9 1411 m h 2 981 m h 10147 JW9 m O valor de JW9 pode ser obtido pelas equações acima aplicadas na equação do balanço de energia de tal forma que a perda de carga total seja U Y 10863 10147 JW9 Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C Resolução Aplicando o balanço de energia podese obter šM 0 23M h 2 M šh 0 23h h 2 h JVœJ8í8 p1 p2 patm Velocidade no ponto 1 é muito baixa devido à área de seção ser muito grande Como não existem bombas e turbinas não há trabalho M h ℎ JY h JY h U YJW9 259 m MQMMd t hÕÏMd t 10863 m 10147 JW9 m 259 10147 10863 10147 JW9 ߈à á âã O valor obtido não difere muito daquele que pode ser obtido para entrada de canto vivo na Figura 76 do livro de Schmidt et al que é de 045 No livro de Fox e McDonolad este mesmo exemplo é resolvido mas com a consideração do coeficiente de energia cinética diferente de 1 o que leva ao resultado de 045 Nota estamos utilizando sempre 1 nos termos de energia cinética JY h sendo que por este motivo o símbolo de α nem é escrito na equação da energia Perdas de carga distribuídas e localizadas Exemplo Obtenha o coeficiente de perda de carga localizada K na entrada do tubo de aço trefilado que descarrega água do grande reservatório da maneira representada na figura ao lado Considere que a água esteja a 20 C