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Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I CIRCUITOS ELÉTRICOS I 1 Prof Dr Edmarcio Antonio Belati edmarciobelatiufabcedubr Aula 4 Análise Nodal Análise de Malha Exercícios Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I MÉTODO DA ANÁLISE NODAL Análise nodal ou método dos nós é uma técnica baseado na Lei de Kirchhoff das Correntes LKC Para empregar esse método é interessante aplicar os passos que estão dispostos nos itens de a a e a Verificar o número de nós do circuito O número de equações necessário para efetuar a análise do circuito é Número de equações no de nós do circuito 1 b Escolher um dos nós como nó de referência atribuindolhe tensão nula É interessante que o nó de referência seja o terra ou um nó com muitos ramos facilita a análsies 2 ANÁLISE NODAL Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I c Escolher de forma arbitrária um sentido da corrente em cada elemento atribuindo a respectiva polaridade de tensão no elemento Para os elementos passivos atribuise a polaridade conforme apresentado na figura A polaridade em um elemento é em função da corrente regra prática d Aplicar LKC em cada nó exceto no nó de referência obtendo as equações nodais e Resolver o sistema formado obtendo assim as tensões nos nós e consequentemente as correntes que circulam no circuito ANÁLISE NODAL Ix R A B VAB R V I AB X 3 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I G1 G2 G3 G4 G5 I1 I2 Exemplo 1 Determine as equações para as tensões de cada nó do circuito da figura deixandoas na forma matricial ANÁLISE NODAL A B C D VREF0 i1 i3 i2 i4 i5 4 VAB VBC VDC VB VC Nó A LKC i1 I1 VABG3 VA VB G3 VAG3 VBG3 I1 VAG3 VBG3 I1 Eq1 𝑉 𝑅𝐼 𝐼 𝑉𝐺 𝐺 1 𝑅 Equaçõe de apoio Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I G1 G2 G3 G4 G5 I1 I2 Exemplo 1 Determine as equações para as tensões de cada nó do circuito da figura deixandoas na forma matricial ANÁLISE NODAL A B C D VREF0 i1 i3 i2 i4 i5 5 VAB VBC VDC VB VC 𝑉 𝑅𝐼 𝐼 𝑉𝐺 𝐺 1 𝑅 Equaçõe de apoio Nó B LKC i1 i2 i3 0 VABG3 VBG1 VBCG4 VAG3 VBG3 VBG1 VBG4 VCG4 0 Eq2 VAG3 VBG1 G3 G4 VCG4 0 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I G1 G2 G3 G4 G5 I1 I2 Exemplo 1 Determine as equações para as tensões de cada nó do circuito da figura deixandoas na forma matricial ANÁLISE NODAL A B C D VREF0 i1 i3 i2 i4 i5 6 VAB VBC VDC VB VC 𝑉 𝑅𝐼 𝐼 𝑉𝐺 𝐺 1 𝑅 Equaçõe de apoio Nó C LKC i3 i5 i4 0 VBCG4 VDCG5 VCG2 VBG4 VCG4 VDG5 VCG5 VCG2 0 Eq3 VBG4 Vc G2 G4 G5 VDG5 0 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I G1 G2 G3 G4 G5 I1 I2 Exemplo 1 Determine as equações para as tensões de cada nó do circuito da figura deixandoas na forma matricial ANÁLISE NODAL A B C D VREF0 i1 i3 i2 i4 i5 7 VAB VBC VDC VB VC 𝑉 𝑅𝐼 𝐼 𝑉𝐺 𝐺 1 𝑅 Equaçõe de apoio Nó D LKC i5 I2 VDCG5 VDG5 VCG5 I2 Eq4 VCG5 VDG5 I2 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I G1 G2 G3 G4 G5 I1 I2 ANÁLISE NODAL A B C D VREF0 i1 i3 i2 i4 i5 8 VAB VBC VDC VB VC Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I ANÁLISE NODAL 𝐺3 𝐺3 0 0 𝐺3 𝐺1 𝐺3 𝐺4 𝐺4 0 0 𝐺4 𝐺2 𝐺4 𝐺5 𝐺5 0 0 𝐺5 𝐺5 VA VB VC VD I1 0 0 I2 Sistema matricial Obs Estudar a construção desse sistema Construir o sistema matricial por inspeção 9 VAG3 VBG3 I1 Eq1 Eq2 VAG3 VBG1 G3 G4 VCG4 0 Eq3 VBG4 Vc G2 G4 G5 VDG5 0 Eq4 VcG5 VDG5 I2 Eq4 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 10 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 11 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 1 Determine as potências nas fontes de corrente do circuito da figura por análise nodal EXERCÍCIO 12 6 A 05 05 02 3 A VA VB 𝑖1 𝑖2 𝑖3 Nó A LKC 𝑖1 𝑖3 6 𝑉𝐴 0 1 05 𝑉𝐴 𝑉𝐵 1 05 6 𝑉 0 2𝑉𝐴 2𝑉𝐴 2𝑉𝐵 6 4𝑉𝐴 2𝑉𝐵 6 Nó B LKC 𝑖2 𝑖3 3 𝑉𝐵 0 1 02 𝑉𝐴 𝑉𝐵 1 05 3 5𝑉𝐵 2𝑉𝐴 2𝑉𝐵 3 2𝑉𝐴 7𝑉𝐵 3 Eq 1 Eq 2 Solução Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 13 6 A 05 05 02 3 A VA VB Por Inspeção 1 05 1 05 1 05 1 05 1 05 1 02 𝑉𝐴 𝑉𝐵 6 3 4 2 2 7 𝑉𝐴 𝑉𝐵 6 3 Resolvendo 𝑉𝐴 2 𝑉 𝑉𝐵 1 V Potência 𝑃 𝑉𝐼 𝑃6 𝑉𝐴 62612 W 𝑃3 𝑉𝐵 3133 W EXERCÍCIO Resp fonte de 6 A 12 W fonte de 3 A 3 W 4𝑉𝐴 2𝑉𝐵 6 2𝑉𝐴 7𝑉𝐵 3 Eq 1 Eq 2 A A B B Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 2 Calcular as tensões VA e VB no circuito da figura abaixo por análise nodal Resp VA105 V VB6 V EXERCÍCIO 14 6 A 05 05 02 3 A VA VB 2I I Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 2 Calcular as tensões VA e VB no circuito da figura abaixo por análise nodal EXERCÍCIO 15 6 A 05 05 02 3 A VA VB 2I I 𝑖3 𝑖1 Nó A LKC 𝑖1 𝑖3 2𝐼 6 𝑉𝐴 0 1 05 𝑉𝐴 𝑉𝐵 1 05 2𝐼 6 2𝑉𝐴 2𝑉𝐴 2𝑉𝐵 25𝑉𝐵 6 4𝑉𝐴 8𝑉𝐵 6 𝐼 0 𝑉𝐵 1 02 5𝑉𝐵 Eq 1 Solução Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I EXERCÍCIO 16 6 A 05 05 02 3 A VA VB 2I I 𝑖3 𝑖1 Nó B LKC 𝑖3 𝐼 2𝐼 3 𝑉𝐴 𝑉𝐵 1 05 0 𝑉𝐵 1 02 3 2𝑉𝐴 2𝑉𝐵 5𝑉𝐵 3 2𝑉𝐴 3𝑉𝐵 3 Eq 2 𝑖3 𝐼 3 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 17 4𝑉𝐴 8𝑉𝐵 6 Eq 1 2𝑉𝐴 3𝑉𝐵 3 Eq 2 4 8 2 3 𝑉𝐴 𝑉𝐵 6 3 EXERCÍCIO Resolvendo 𝑉𝐴 105 𝑉 𝑉𝐵 6 𝑉 Sistema matricial Resp VA105 V VB6 V Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Análise de Malhas A análise de malhas ou método das correntes das malhas é baseada na Lei de Kirchhoff das Tensões LKT Uma forma de aplicar esse método é empregar os passos apresentados nos itens a b e c a Verificar se o circuito é planar ou não planar pois esse método só se aplica a circuitos planares obs Um circuito é considerado planar quando pode ser desenhado em um único plano sem que dois ramos se cruzem ANÁLISE DE MALHAS b Escolher arbitrariamente o sentido das correntes das malhas dica todas correntes com o mesmo sentido O número necessário de correntes arbitrárias é igual ao número de malhas do circuito analisado que forma o número necessário de equações c Aplicar a LKT em cada malha percorrendo o circuito no mesmo sentido da corrente obtendo assim uma equação para cada malha 18 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exemplo 2 Determine o sistema equações das correntes de malha para o circuito da figura abaixo deixandoo na forma matricial R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2 V3 V4 ANÁLISE DE MALHAS I II III i1 i2 i3 19 𝑣3 𝑣4 𝑣5 𝑣1 𝑣2 Malha I 𝑉1 𝑣3 𝑉2 𝑣1 0 𝑅3𝑖1 𝑅1𝑖1 𝑖2 𝑉1 𝑉2 𝑅3𝑖1 𝑅1𝑖1 𝑅1𝑖2 𝑉1 𝑉2 𝑅1 𝑅3𝑖1 𝑅1𝑖2 𝑉1 𝑉2 Eq1 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I ANÁLISE DE MALHAS 20 Malha II 𝑣1 𝑉2 𝑣4 𝑉3 𝑣2 0 𝑅1 𝑖2 𝑖1 𝑅4𝑖2 𝑅2 𝑖2 𝑖3 𝑉2 𝑉3 𝑅1𝑖1 𝑅1𝑖2 𝑅4𝑖2 𝑅2𝑖2 𝑅2𝑖3 𝑉2 𝑉3 Eq2 𝑅1𝑖1 𝑅1 𝑅2 𝑅4𝑖2 𝑅2𝑖3 𝑉2 𝑉3 R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2 V3 V4 I II III i1 i2 i3 𝑣3 𝑣4 𝑣5 𝑣1 𝑣2 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I ANÁLISE DE MALHAS 21 Malha III 𝑣2 𝑉3 𝑣5 𝑉4 0 𝑅2 𝑖3 𝑖2 𝑅5𝑖3 𝑉3 𝑉4 𝑅2𝑖2 𝑅2𝑖3 𝑅5𝑖3 𝑉3 𝑉4 Eq3 𝑅2𝑖2 𝑅2 𝑅5𝑖3 𝑉3 𝑉4 R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2 V3 V4 I II III i1 i2 i3 𝑣3 𝑣4 𝑣5 𝑣1 𝑣2 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2 V3 V4 ANÁLISE DE MALHAS I II III i1 i2 i3 4 3 3 2 2 1 3 2 1 5 2 2 2 4 2 1 1 1 3 1 0 0 V V V V V V i i i R R R R R R R R R R R Sistema matricial Obs Estudar a construção desse sistema matricial por inspeção 22 𝑅1 𝑅3𝑖1 𝑅1𝑖2 𝑉1 𝑉2 Eq1 Eq2 𝑅1𝑖1 𝑅1 𝑅2 𝑅4𝑖2 𝑅2𝑖3 𝑉2 𝑉3 Eq3 𝑅2𝑖2 𝑅2 𝑅5𝑖3 𝑉3 𝑉4 I I II III II III Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 23 Exercício 3 Encontre a corrente que atravessa o resistor de 10 𝐼𝑎 e a corrente que atravessa o resistor de 8 𝐼𝑏 por análise de malha Resp 𝐼𝑎 122 𝐴 𝐼𝑏 1443 𝐴 EXERCÍCIO 𝐼𝑎 𝐼𝑏 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 24 𝐼𝑎 𝐼𝑏 Resolvendo por inspeção 11 3 8 3 10 5 8 5 23 𝐼1 𝐼2 𝐼3 15 0 0 Resolvendo 𝐼12633 A 𝐼21399 A 𝐼31220 A 𝐼𝑎 𝐼3 1220 𝐴 𝐼𝑏 𝐼1 𝐼3 2663 1220 1443 𝐴 Resp 𝐼𝑎 122 𝐴 𝐼𝑏 1443 𝐴 EXERCÍCIO 1 1 2 3 2 3 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 4 Calcule os valores das correntes I1 I2 e I3 sentido horário no circuito da figura abaixo por análise de malha Resp I14 A I216 A I3184 A 25 EXERCÍCIO 2 4 A 4 9 1 I3 I2 I1 V1 5V1 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 26 2 4 A 4 9 1 I3 I2 I1 V1 5V1 Vy Malha 2 A corrente I1 coincide com a corrente da fonte de 4 A portanto I1 4 A Malha 1 2 I2 I1 Vy 4I2 I3 9I2 0 2I1 15I2 4I3 Vy 0 Malha 3 I3 4 I3 I2 Vy 0 4I2 5I3 Vy 0 É necessário mais uma equação Vamos utilizar a fonte de corrente 5V1 5V1 I3 I2 Eq 1 Eq 2 Eq 3 15I2 4I3 Vy 8 5 I1 I2 2 I3 I2 10I1 10I2 I3 I2 9I2 I3 40 EXERCÍCIO Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 27 4I2 5I3 Vy 0 Eq 1 Eq 2 Eq 3 15 4 1 4 5 1 9 1 0 I2 I3 Vy 8 0 40 15I2 4I3 Vy 8 Resolvendo I2 16 A I3 184 A Vy 984 V 2 4 A 4 9 1 I3 I2 I1 V1 5V1 Ix a Conferindo Analisando o nó a LKC 5V1 4 Ix I3 0 5 2Ix 4 Ix I3 0 9Ix 4 I3 0 9 4 16 4 184 0 920 180 0 9I2 I3 40 EXERCÍCIO 9 I1 I2 4 184 0 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 28 10 15 12 V Va 20 10 2Va I Exercício 5 Calcule a corrente I no circuito abaixo Resp 071097 𝐴 EXERCÍCIOS Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 29 10 15 12 V Va 20 10 2Va I EXERCÍCIOS Usando análise nodal A B 12 V 0 V 𝑖1 𝑖3 𝑖2 Nó A 𝑖3 𝑖1 2𝑣𝑎 0 𝑉𝐵 𝑉𝐴 1 10 𝑉𝐴 12 1 15 2𝑣𝑎 0 30 3𝑉𝐵 3𝑉𝐴 2𝑉𝐴 24 60𝑣𝑎 0 𝑣𝑎 𝑉𝐴 12 3𝑉𝐵 3𝑉𝐴 2𝑉𝐴 24 60𝑉𝐴 12 0 65𝑉𝐴 3𝑉𝐵 744 Eq 1 Nó B 𝑖2 𝑖3 𝐼 0 12 𝑉𝐵 1 20 𝑉𝐵 𝑉𝐴 1 10 𝑉𝐵 0 1 10 0 20 12 𝑉𝐵 2𝑉𝐵 2𝑉𝐴 2𝑉𝐵 0 2𝑉𝐴 5𝑉𝐵 12 Eq 2 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 30 Eq 1 65𝑉𝐴 3𝑉𝐵 744 2𝑉𝐴 5𝑉𝐵 12 Eq 2 65 3 2 5 𝑉𝐴 𝑉𝐵 774 12 Resolvendo 𝑉𝐴 117743 𝑉 𝑉𝐵 7 1097 𝑉 𝐼 71097 1 10 𝐼 𝑉𝐵 0 1 10 𝐼 071097 𝐴 Simulando no QUCS EXERCÍCIOS Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 1 Calcular os valores das tensões VA VB e VC no circuito da figura Resp VA10 V VB55 V Vc275 V 31 4 A 2 A VB 10 V 2s VC 2s 1s VA Ix 05 Ix Exercício 2 Calcule a corrente IX no circuito abaixo por análise nodal Resp IX84 A 2 A 2 26 V 2 5 A 1 Ix EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 3 Calcular os valores das tensões VA VB VC e VD no circuito da figura por análise nodal Resp VA4 V VB822 V Vc644 V e VD355 V 32 4 V 6 A 4 A 1s 1s 2s VA VB VC VD 2I I EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 33 Exercício 4 Calcule V e V1 no circuito abaixo por análise de malhas 6 A 6 V 4 1 2 1 4i1 i1 15V1 V1 V Resp V 2V V14V EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 5 Calcule a tensão V0 utilizando análise de malhas Resp V0 24 V 34 20 5 A 10 V 5 04V1 2I1 10 V0 V1 I1 EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 35 Exemplo 6 Usando análise de malhas determine as potências nas fontes de corrente do circuito da figura 6 A 05 05 02 3 A VA VB Resp fonte de 6 A 12 W fonte de 3 A 3 W EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 36 Exercício 7 Qual a energia consumida pelo resistor de 12 em 2 horas do circuito da figura abaixo Use análise de malhas para calcular 6Ω 6Ω 6Ω 12Ω 12 V 2 A 6Ω V1 2V1 Resp EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 37 6Ω 6Ω 10Ω 12Ω 2 A 6Ω V1 05V1 12Ω 12 V Exercício 8 Usando análise de malhas calcule a corrente i no circuito da figura i Resp EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 38 Exercício 9 Considerando o circuito da figura a seguir a calcule as correntes 𝐼1 e 𝐼𝑠 b calcule as tensões 𝑉𝑠 e 𝑉3 EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Resp
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Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I CIRCUITOS ELÉTRICOS I 1 Prof Dr Edmarcio Antonio Belati edmarciobelatiufabcedubr Aula 4 Análise Nodal Análise de Malha Exercícios Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I MÉTODO DA ANÁLISE NODAL Análise nodal ou método dos nós é uma técnica baseado na Lei de Kirchhoff das Correntes LKC Para empregar esse método é interessante aplicar os passos que estão dispostos nos itens de a a e a Verificar o número de nós do circuito O número de equações necessário para efetuar a análise do circuito é Número de equações no de nós do circuito 1 b Escolher um dos nós como nó de referência atribuindolhe tensão nula É interessante que o nó de referência seja o terra ou um nó com muitos ramos facilita a análsies 2 ANÁLISE NODAL Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I c Escolher de forma arbitrária um sentido da corrente em cada elemento atribuindo a respectiva polaridade de tensão no elemento Para os elementos passivos atribuise a polaridade conforme apresentado na figura A polaridade em um elemento é em função da corrente regra prática d Aplicar LKC em cada nó exceto no nó de referência obtendo as equações nodais e Resolver o sistema formado obtendo assim as tensões nos nós e consequentemente as correntes que circulam no circuito ANÁLISE NODAL Ix R A B VAB R V I AB X 3 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I G1 G2 G3 G4 G5 I1 I2 Exemplo 1 Determine as equações para as tensões de cada nó do circuito da figura deixandoas na forma matricial ANÁLISE NODAL A B C D VREF0 i1 i3 i2 i4 i5 4 VAB VBC VDC VB VC Nó A LKC i1 I1 VABG3 VA VB G3 VAG3 VBG3 I1 VAG3 VBG3 I1 Eq1 𝑉 𝑅𝐼 𝐼 𝑉𝐺 𝐺 1 𝑅 Equaçõe de apoio Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I G1 G2 G3 G4 G5 I1 I2 Exemplo 1 Determine as equações para as tensões de cada nó do circuito da figura deixandoas na forma matricial ANÁLISE NODAL A B C D VREF0 i1 i3 i2 i4 i5 5 VAB VBC VDC VB VC 𝑉 𝑅𝐼 𝐼 𝑉𝐺 𝐺 1 𝑅 Equaçõe de apoio Nó B LKC i1 i2 i3 0 VABG3 VBG1 VBCG4 VAG3 VBG3 VBG1 VBG4 VCG4 0 Eq2 VAG3 VBG1 G3 G4 VCG4 0 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I G1 G2 G3 G4 G5 I1 I2 Exemplo 1 Determine as equações para as tensões de cada nó do circuito da figura deixandoas na forma matricial ANÁLISE NODAL A B C D VREF0 i1 i3 i2 i4 i5 6 VAB VBC VDC VB VC 𝑉 𝑅𝐼 𝐼 𝑉𝐺 𝐺 1 𝑅 Equaçõe de apoio Nó C LKC i3 i5 i4 0 VBCG4 VDCG5 VCG2 VBG4 VCG4 VDG5 VCG5 VCG2 0 Eq3 VBG4 Vc G2 G4 G5 VDG5 0 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I G1 G2 G3 G4 G5 I1 I2 Exemplo 1 Determine as equações para as tensões de cada nó do circuito da figura deixandoas na forma matricial ANÁLISE NODAL A B C D VREF0 i1 i3 i2 i4 i5 7 VAB VBC VDC VB VC 𝑉 𝑅𝐼 𝐼 𝑉𝐺 𝐺 1 𝑅 Equaçõe de apoio Nó D LKC i5 I2 VDCG5 VDG5 VCG5 I2 Eq4 VCG5 VDG5 I2 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I G1 G2 G3 G4 G5 I1 I2 ANÁLISE NODAL A B C D VREF0 i1 i3 i2 i4 i5 8 VAB VBC VDC VB VC Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I ANÁLISE NODAL 𝐺3 𝐺3 0 0 𝐺3 𝐺1 𝐺3 𝐺4 𝐺4 0 0 𝐺4 𝐺2 𝐺4 𝐺5 𝐺5 0 0 𝐺5 𝐺5 VA VB VC VD I1 0 0 I2 Sistema matricial Obs Estudar a construção desse sistema Construir o sistema matricial por inspeção 9 VAG3 VBG3 I1 Eq1 Eq2 VAG3 VBG1 G3 G4 VCG4 0 Eq3 VBG4 Vc G2 G4 G5 VDG5 0 Eq4 VcG5 VDG5 I2 Eq4 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 10 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 11 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 1 Determine as potências nas fontes de corrente do circuito da figura por análise nodal EXERCÍCIO 12 6 A 05 05 02 3 A VA VB 𝑖1 𝑖2 𝑖3 Nó A LKC 𝑖1 𝑖3 6 𝑉𝐴 0 1 05 𝑉𝐴 𝑉𝐵 1 05 6 𝑉 0 2𝑉𝐴 2𝑉𝐴 2𝑉𝐵 6 4𝑉𝐴 2𝑉𝐵 6 Nó B LKC 𝑖2 𝑖3 3 𝑉𝐵 0 1 02 𝑉𝐴 𝑉𝐵 1 05 3 5𝑉𝐵 2𝑉𝐴 2𝑉𝐵 3 2𝑉𝐴 7𝑉𝐵 3 Eq 1 Eq 2 Solução Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 13 6 A 05 05 02 3 A VA VB Por Inspeção 1 05 1 05 1 05 1 05 1 05 1 02 𝑉𝐴 𝑉𝐵 6 3 4 2 2 7 𝑉𝐴 𝑉𝐵 6 3 Resolvendo 𝑉𝐴 2 𝑉 𝑉𝐵 1 V Potência 𝑃 𝑉𝐼 𝑃6 𝑉𝐴 62612 W 𝑃3 𝑉𝐵 3133 W EXERCÍCIO Resp fonte de 6 A 12 W fonte de 3 A 3 W 4𝑉𝐴 2𝑉𝐵 6 2𝑉𝐴 7𝑉𝐵 3 Eq 1 Eq 2 A A B B Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 2 Calcular as tensões VA e VB no circuito da figura abaixo por análise nodal Resp VA105 V VB6 V EXERCÍCIO 14 6 A 05 05 02 3 A VA VB 2I I Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 2 Calcular as tensões VA e VB no circuito da figura abaixo por análise nodal EXERCÍCIO 15 6 A 05 05 02 3 A VA VB 2I I 𝑖3 𝑖1 Nó A LKC 𝑖1 𝑖3 2𝐼 6 𝑉𝐴 0 1 05 𝑉𝐴 𝑉𝐵 1 05 2𝐼 6 2𝑉𝐴 2𝑉𝐴 2𝑉𝐵 25𝑉𝐵 6 4𝑉𝐴 8𝑉𝐵 6 𝐼 0 𝑉𝐵 1 02 5𝑉𝐵 Eq 1 Solução Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I EXERCÍCIO 16 6 A 05 05 02 3 A VA VB 2I I 𝑖3 𝑖1 Nó B LKC 𝑖3 𝐼 2𝐼 3 𝑉𝐴 𝑉𝐵 1 05 0 𝑉𝐵 1 02 3 2𝑉𝐴 2𝑉𝐵 5𝑉𝐵 3 2𝑉𝐴 3𝑉𝐵 3 Eq 2 𝑖3 𝐼 3 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 17 4𝑉𝐴 8𝑉𝐵 6 Eq 1 2𝑉𝐴 3𝑉𝐵 3 Eq 2 4 8 2 3 𝑉𝐴 𝑉𝐵 6 3 EXERCÍCIO Resolvendo 𝑉𝐴 105 𝑉 𝑉𝐵 6 𝑉 Sistema matricial Resp VA105 V VB6 V Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Análise de Malhas A análise de malhas ou método das correntes das malhas é baseada na Lei de Kirchhoff das Tensões LKT Uma forma de aplicar esse método é empregar os passos apresentados nos itens a b e c a Verificar se o circuito é planar ou não planar pois esse método só se aplica a circuitos planares obs Um circuito é considerado planar quando pode ser desenhado em um único plano sem que dois ramos se cruzem ANÁLISE DE MALHAS b Escolher arbitrariamente o sentido das correntes das malhas dica todas correntes com o mesmo sentido O número necessário de correntes arbitrárias é igual ao número de malhas do circuito analisado que forma o número necessário de equações c Aplicar a LKT em cada malha percorrendo o circuito no mesmo sentido da corrente obtendo assim uma equação para cada malha 18 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exemplo 2 Determine o sistema equações das correntes de malha para o circuito da figura abaixo deixandoo na forma matricial R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2 V3 V4 ANÁLISE DE MALHAS I II III i1 i2 i3 19 𝑣3 𝑣4 𝑣5 𝑣1 𝑣2 Malha I 𝑉1 𝑣3 𝑉2 𝑣1 0 𝑅3𝑖1 𝑅1𝑖1 𝑖2 𝑉1 𝑉2 𝑅3𝑖1 𝑅1𝑖1 𝑅1𝑖2 𝑉1 𝑉2 𝑅1 𝑅3𝑖1 𝑅1𝑖2 𝑉1 𝑉2 Eq1 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I ANÁLISE DE MALHAS 20 Malha II 𝑣1 𝑉2 𝑣4 𝑉3 𝑣2 0 𝑅1 𝑖2 𝑖1 𝑅4𝑖2 𝑅2 𝑖2 𝑖3 𝑉2 𝑉3 𝑅1𝑖1 𝑅1𝑖2 𝑅4𝑖2 𝑅2𝑖2 𝑅2𝑖3 𝑉2 𝑉3 Eq2 𝑅1𝑖1 𝑅1 𝑅2 𝑅4𝑖2 𝑅2𝑖3 𝑉2 𝑉3 R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2 V3 V4 I II III i1 i2 i3 𝑣3 𝑣4 𝑣5 𝑣1 𝑣2 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I ANÁLISE DE MALHAS 21 Malha III 𝑣2 𝑉3 𝑣5 𝑉4 0 𝑅2 𝑖3 𝑖2 𝑅5𝑖3 𝑉3 𝑉4 𝑅2𝑖2 𝑅2𝑖3 𝑅5𝑖3 𝑉3 𝑉4 Eq3 𝑅2𝑖2 𝑅2 𝑅5𝑖3 𝑉3 𝑉4 R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2 V3 V4 I II III i1 i2 i3 𝑣3 𝑣4 𝑣5 𝑣1 𝑣2 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2 V3 V4 ANÁLISE DE MALHAS I II III i1 i2 i3 4 3 3 2 2 1 3 2 1 5 2 2 2 4 2 1 1 1 3 1 0 0 V V V V V V i i i R R R R R R R R R R R Sistema matricial Obs Estudar a construção desse sistema matricial por inspeção 22 𝑅1 𝑅3𝑖1 𝑅1𝑖2 𝑉1 𝑉2 Eq1 Eq2 𝑅1𝑖1 𝑅1 𝑅2 𝑅4𝑖2 𝑅2𝑖3 𝑉2 𝑉3 Eq3 𝑅2𝑖2 𝑅2 𝑅5𝑖3 𝑉3 𝑉4 I I II III II III Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 23 Exercício 3 Encontre a corrente que atravessa o resistor de 10 𝐼𝑎 e a corrente que atravessa o resistor de 8 𝐼𝑏 por análise de malha Resp 𝐼𝑎 122 𝐴 𝐼𝑏 1443 𝐴 EXERCÍCIO 𝐼𝑎 𝐼𝑏 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 24 𝐼𝑎 𝐼𝑏 Resolvendo por inspeção 11 3 8 3 10 5 8 5 23 𝐼1 𝐼2 𝐼3 15 0 0 Resolvendo 𝐼12633 A 𝐼21399 A 𝐼31220 A 𝐼𝑎 𝐼3 1220 𝐴 𝐼𝑏 𝐼1 𝐼3 2663 1220 1443 𝐴 Resp 𝐼𝑎 122 𝐴 𝐼𝑏 1443 𝐴 EXERCÍCIO 1 1 2 3 2 3 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 4 Calcule os valores das correntes I1 I2 e I3 sentido horário no circuito da figura abaixo por análise de malha Resp I14 A I216 A I3184 A 25 EXERCÍCIO 2 4 A 4 9 1 I3 I2 I1 V1 5V1 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 26 2 4 A 4 9 1 I3 I2 I1 V1 5V1 Vy Malha 2 A corrente I1 coincide com a corrente da fonte de 4 A portanto I1 4 A Malha 1 2 I2 I1 Vy 4I2 I3 9I2 0 2I1 15I2 4I3 Vy 0 Malha 3 I3 4 I3 I2 Vy 0 4I2 5I3 Vy 0 É necessário mais uma equação Vamos utilizar a fonte de corrente 5V1 5V1 I3 I2 Eq 1 Eq 2 Eq 3 15I2 4I3 Vy 8 5 I1 I2 2 I3 I2 10I1 10I2 I3 I2 9I2 I3 40 EXERCÍCIO Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 27 4I2 5I3 Vy 0 Eq 1 Eq 2 Eq 3 15 4 1 4 5 1 9 1 0 I2 I3 Vy 8 0 40 15I2 4I3 Vy 8 Resolvendo I2 16 A I3 184 A Vy 984 V 2 4 A 4 9 1 I3 I2 I1 V1 5V1 Ix a Conferindo Analisando o nó a LKC 5V1 4 Ix I3 0 5 2Ix 4 Ix I3 0 9Ix 4 I3 0 9 4 16 4 184 0 920 180 0 9I2 I3 40 EXERCÍCIO 9 I1 I2 4 184 0 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 28 10 15 12 V Va 20 10 2Va I Exercício 5 Calcule a corrente I no circuito abaixo Resp 071097 𝐴 EXERCÍCIOS Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 29 10 15 12 V Va 20 10 2Va I EXERCÍCIOS Usando análise nodal A B 12 V 0 V 𝑖1 𝑖3 𝑖2 Nó A 𝑖3 𝑖1 2𝑣𝑎 0 𝑉𝐵 𝑉𝐴 1 10 𝑉𝐴 12 1 15 2𝑣𝑎 0 30 3𝑉𝐵 3𝑉𝐴 2𝑉𝐴 24 60𝑣𝑎 0 𝑣𝑎 𝑉𝐴 12 3𝑉𝐵 3𝑉𝐴 2𝑉𝐴 24 60𝑉𝐴 12 0 65𝑉𝐴 3𝑉𝐵 744 Eq 1 Nó B 𝑖2 𝑖3 𝐼 0 12 𝑉𝐵 1 20 𝑉𝐵 𝑉𝐴 1 10 𝑉𝐵 0 1 10 0 20 12 𝑉𝐵 2𝑉𝐵 2𝑉𝐴 2𝑉𝐵 0 2𝑉𝐴 5𝑉𝐵 12 Eq 2 Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 30 Eq 1 65𝑉𝐴 3𝑉𝐵 744 2𝑉𝐴 5𝑉𝐵 12 Eq 2 65 3 2 5 𝑉𝐴 𝑉𝐵 774 12 Resolvendo 𝑉𝐴 117743 𝑉 𝑉𝐵 7 1097 𝑉 𝐼 71097 1 10 𝐼 𝑉𝐵 0 1 10 𝐼 071097 𝐴 Simulando no QUCS EXERCÍCIOS Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 1 Calcular os valores das tensões VA VB e VC no circuito da figura Resp VA10 V VB55 V Vc275 V 31 4 A 2 A VB 10 V 2s VC 2s 1s VA Ix 05 Ix Exercício 2 Calcule a corrente IX no circuito abaixo por análise nodal Resp IX84 A 2 A 2 26 V 2 5 A 1 Ix EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 3 Calcular os valores das tensões VA VB VC e VD no circuito da figura por análise nodal Resp VA4 V VB822 V Vc644 V e VD355 V 32 4 V 6 A 4 A 1s 1s 2s VA VB VC VD 2I I EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 33 Exercício 4 Calcule V e V1 no circuito abaixo por análise de malhas 6 A 6 V 4 1 2 1 4i1 i1 15V1 V1 V Resp V 2V V14V EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I Exercício 5 Calcule a tensão V0 utilizando análise de malhas Resp V0 24 V 34 20 5 A 10 V 5 04V1 2I1 10 V0 V1 I1 EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 35 Exemplo 6 Usando análise de malhas determine as potências nas fontes de corrente do circuito da figura 6 A 05 05 02 3 A VA VB Resp fonte de 6 A 12 W fonte de 3 A 3 W EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 36 Exercício 7 Qual a energia consumida pelo resistor de 12 em 2 horas do circuito da figura abaixo Use análise de malhas para calcular 6Ω 6Ω 6Ω 12Ω 12 V 2 A 6Ω V1 2V1 Resp EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 37 6Ω 6Ω 10Ω 12Ω 2 A 6Ω V1 05V1 12Ω 12 V Exercício 8 Usando análise de malhas calcule a corrente i no circuito da figura i Resp EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Edmarcio Belati UFABC Eng de Energia Circuitos Elétricos I 38 Exercício 9 Considerando o circuito da figura a seguir a calcule as correntes 𝐼1 e 𝐼𝑠 b calcule as tensões 𝑉𝑠 e 𝑉3 EXERCÍCIOS COMPLEMETARES Resp