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VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Universidade Federal do ABC Mecânica dos Sólidos São Paulo Prof Ricardo Gaspar Viga hiperestática Nº de reações é maior que o Nº de equações da Estática A viga da Figura apresenta quatro reações uma reação a mais das definidas na Estática Viga uma vez hiperestática Determinação das reações três equações da Estática equação de compatibilidade das deformações MA HA RA RB q kNm carga equivalente qL A L A L B B 0 0 0 Σ Σ Σ M Fy Fx VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equação de compatibilidade das deformações a transformar a estrutura hiperestática inicial em uma estrutura isostática fundamental substituindo uma das incógnitas reação por uma força externa equivalente Substituir a reação RB por uma força concentrada X L A q kNm B B L A x q kNm Estrutura hiperestática inicial Estrutura isostática fundamental VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equação de compatibilidade das deformações b compatibilizar as deformações na seção onde efetuase a substituição do apoio da seguinte forma compatibilizar os deslocamentos verticais da estrutura hiperestática com a estrutura isostática fundamental L A q kNm B Estrutura hiperestática inicial B L A x q kNm Estrutura isostática fundamental VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equação de compatibilidade das deformações Analisar a deformação da viga sem o apoio em B Analisar a deformação da viga somente com a carga concentrada X q kNm A L B vmax L A x B vmax EI q L vq B 8 4 EI x L vx B 3 3 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equação de compatibilidade das deformações Na realidade o deslocamento vertical no apoio B é nulo ou seja Portanto no ponto B temse Que é a equação de compatibilidade das deformações B 0 v 0 x B q B v v q kNm A L B vmax L A x B vmax VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equação de compatibilidade das deformações 0 x B q B v v q kNm A L B vmax L A x B vmax 0 3 8 3 4 EI L x EI L q x B q B v v 8 3qL RB Determinação da Reação RB RB x VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equações da Estática 0 ΣFx ΣFy 0 RB qL RA 0 HA qL RB RA 8 3qL qL RA 8 RA 5qL 8 RB 3qL 8 3qL RB 8 qL2 MA L A q kNm B Determinação de MA Momento fletor que traciona as fibras superiores no apoio A 2 2L q L RB L MA 2 8 3 2 2 qL qL MA VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS L A q kNm B Determinação do momento fletor que traciona as fibras inferiores Seção S 0 X L Esforço Cortante Determinação do local quando V 0 qx qL V 8 5 qL qx 8 5 0 8 5L x Nesse ponto obtémse o momento fletor positivo máximo 2 8 5 qx x qL x MA M 2 8 5 8 2 2 qx qL x qL M 128 9 qL2 M Para temse 8 5L x x S VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Diagrama dos esforços Solicitantes Força cortante Momento fletor 3qL RB 8 5qL 8 RA 2 qL 8 5qL 8 M 2 9qL 128 5L8 V 3qL 8 3L8 A L q B VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Exemplo Viga hiperestática inicial Viga isostática fundamental x q kNm A A q kNm L B L B L C L C VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Exemplo Deslocamento vertical em B devido à carga uniformemente distribuída q Deslocamento vertical em B devido à carga concentrada X B 0 v EI q L vq B 384 5 4 EI x L vx B 48 3 0 x B q B v v 4 5qL x xv A X 2L B A vq 2L B C C q kNm 0 48 2 384 2 5 3 4 EI L x EI L q VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 4 5qL RB ΣFx 0 0 HC ΣFy 0 qL RC RB RA 2 qL RA qL RA 2 4 5 4 3 2 1 qL RA 8 3qL RC RA 2 qL2 RA L MB 2 8 3 2 2 qL qL MB 8 qL2 MB Momento Fletor negativo no apoio B Reações RA e RC q kNm A L B L C VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 0 8 3 qx qL V qL qx 8 3 8 3L x 128 9 qL2 M Equação da força cortante no primeiro vão da viga Equação do momento Fletor positivo no primeiro vão e para q kNm A L B L C 2 8 3 qx2 qL x M 128 9 64 9 2 2 qL qL M 8 3L x S x Equação da força cortante e determinação do ponto onde V0 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 9qL 128 2 3L8 5L8 qL 8 2 5qL8 A RA 3qL8 3qL8 B RB 5qL4 L 5qL8 q kNm 3qL8 M V 3qL8 C RC L Diagrama de esforços solicitantes VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Exemplo Determinar a reação no apoio B da viga da figura 2 kNm Seção transversal A 6 m 30 cm B 10 cm Solução Método da superposição dos efeitos q B x B v v EI xL v x B 3 3 EI qL vq B 8 4 EI qL EI xL 8 3 4 3 8 x 3qL kN m m kN x 54 8 6 2 3 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Exemplo A viga da figura possui três e está submetida a uma carga uniforme mente distribuída de 2 kNm em todo o seu comprimento Determinar a reação no apoio B Solução Método da superposição dos efeitos A B 4 m C 4 m 2 kNm EI xL v x B 48 3 EI qL vq B 384 5 4 Ao ser retirado o apoio B o comprimento da viga tornase 2L EI L x EI L q 48 2 384 2 5 3 4 4 5qL R x B kN RB 10 4 5 2 4 L L x B q B v v VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Atividades Recomendase a leitura dos itens 126 127 e 129 do Capítulo 12 do livro HIBBELER Resistência dos Materiais 7ª ed São Paulo Pearson Education 2009 Fazer os exercícios propostos VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Fim VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
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VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Universidade Federal do ABC Mecânica dos Sólidos São Paulo Prof Ricardo Gaspar Viga hiperestática Nº de reações é maior que o Nº de equações da Estática A viga da Figura apresenta quatro reações uma reação a mais das definidas na Estática Viga uma vez hiperestática Determinação das reações três equações da Estática equação de compatibilidade das deformações MA HA RA RB q kNm carga equivalente qL A L A L B B 0 0 0 Σ Σ Σ M Fy Fx VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equação de compatibilidade das deformações a transformar a estrutura hiperestática inicial em uma estrutura isostática fundamental substituindo uma das incógnitas reação por uma força externa equivalente Substituir a reação RB por uma força concentrada X L A q kNm B B L A x q kNm Estrutura hiperestática inicial Estrutura isostática fundamental VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equação de compatibilidade das deformações b compatibilizar as deformações na seção onde efetuase a substituição do apoio da seguinte forma compatibilizar os deslocamentos verticais da estrutura hiperestática com a estrutura isostática fundamental L A q kNm B Estrutura hiperestática inicial B L A x q kNm Estrutura isostática fundamental VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equação de compatibilidade das deformações Analisar a deformação da viga sem o apoio em B Analisar a deformação da viga somente com a carga concentrada X q kNm A L B vmax L A x B vmax EI q L vq B 8 4 EI x L vx B 3 3 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equação de compatibilidade das deformações Na realidade o deslocamento vertical no apoio B é nulo ou seja Portanto no ponto B temse Que é a equação de compatibilidade das deformações B 0 v 0 x B q B v v q kNm A L B vmax L A x B vmax VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equação de compatibilidade das deformações 0 x B q B v v q kNm A L B vmax L A x B vmax 0 3 8 3 4 EI L x EI L q x B q B v v 8 3qL RB Determinação da Reação RB RB x VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Equações da Estática 0 ΣFx ΣFy 0 RB qL RA 0 HA qL RB RA 8 3qL qL RA 8 RA 5qL 8 RB 3qL 8 3qL RB 8 qL2 MA L A q kNm B Determinação de MA Momento fletor que traciona as fibras superiores no apoio A 2 2L q L RB L MA 2 8 3 2 2 qL qL MA VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS L A q kNm B Determinação do momento fletor que traciona as fibras inferiores Seção S 0 X L Esforço Cortante Determinação do local quando V 0 qx qL V 8 5 qL qx 8 5 0 8 5L x Nesse ponto obtémse o momento fletor positivo máximo 2 8 5 qx x qL x MA M 2 8 5 8 2 2 qx qL x qL M 128 9 qL2 M Para temse 8 5L x x S VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Diagrama dos esforços Solicitantes Força cortante Momento fletor 3qL RB 8 5qL 8 RA 2 qL 8 5qL 8 M 2 9qL 128 5L8 V 3qL 8 3L8 A L q B VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Exemplo Viga hiperestática inicial Viga isostática fundamental x q kNm A A q kNm L B L B L C L C VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Exemplo Deslocamento vertical em B devido à carga uniformemente distribuída q Deslocamento vertical em B devido à carga concentrada X B 0 v EI q L vq B 384 5 4 EI x L vx B 48 3 0 x B q B v v 4 5qL x xv A X 2L B A vq 2L B C C q kNm 0 48 2 384 2 5 3 4 EI L x EI L q VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 4 5qL RB ΣFx 0 0 HC ΣFy 0 qL RC RB RA 2 qL RA qL RA 2 4 5 4 3 2 1 qL RA 8 3qL RC RA 2 qL2 RA L MB 2 8 3 2 2 qL qL MB 8 qL2 MB Momento Fletor negativo no apoio B Reações RA e RC q kNm A L B L C VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 0 8 3 qx qL V qL qx 8 3 8 3L x 128 9 qL2 M Equação da força cortante no primeiro vão da viga Equação do momento Fletor positivo no primeiro vão e para q kNm A L B L C 2 8 3 qx2 qL x M 128 9 64 9 2 2 qL qL M 8 3L x S x Equação da força cortante e determinação do ponto onde V0 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 9qL 128 2 3L8 5L8 qL 8 2 5qL8 A RA 3qL8 3qL8 B RB 5qL4 L 5qL8 q kNm 3qL8 M V 3qL8 C RC L Diagrama de esforços solicitantes VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Exemplo Determinar a reação no apoio B da viga da figura 2 kNm Seção transversal A 6 m 30 cm B 10 cm Solução Método da superposição dos efeitos q B x B v v EI xL v x B 3 3 EI qL vq B 8 4 EI qL EI xL 8 3 4 3 8 x 3qL kN m m kN x 54 8 6 2 3 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Exemplo A viga da figura possui três e está submetida a uma carga uniforme mente distribuída de 2 kNm em todo o seu comprimento Determinar a reação no apoio B Solução Método da superposição dos efeitos A B 4 m C 4 m 2 kNm EI xL v x B 48 3 EI qL vq B 384 5 4 Ao ser retirado o apoio B o comprimento da viga tornase 2L EI L x EI L q 48 2 384 2 5 3 4 4 5qL R x B kN RB 10 4 5 2 4 L L x B q B v v VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Atividades Recomendase a leitura dos itens 126 127 e 129 do Capítulo 12 do livro HIBBELER Resistência dos Materiais 7ª ed São Paulo Pearson Education 2009 Fazer os exercícios propostos VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Fim VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS