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2º quadrimestre de 2023 Qua 1900h 2100h Sex 2100h 2300h Prof Pedro Henrique S Rodrigues Sala 401 Bloco L NucLab Sala 7391 Bloco A Torre I Email pedrorodriguesufabcedubr 1 𝛿𝑄 𝛿𝑊 𝑑𝑢 A partir da conservação de energia temos que Substituindo 𝛿𝑄 𝑇𝑑𝑠 e 𝛿𝑊 𝑝𝑑𝑣 temos 𝑑𝑠 𝑑𝑢 𝑇 𝑃𝑑𝑣 𝑇 𝑇𝑑𝑠 𝑃𝑑𝑣 𝑑𝑢 Portanto 𝑑ℎ 𝑑𝑢 𝑃𝑑𝑣 𝑣𝑑𝑃 Uma outra equação pode ser obtida a partir de ℎ 𝑢 𝑃𝑣 e derivando seus termos Como 𝑑𝑢 𝑇𝑑𝑠 𝑃𝑑𝑣 substituindo na equação acima temos 𝑑𝑠 𝑑ℎ 𝑇 𝑣𝑑𝑃 𝑇 𝑑ℎ 𝑇𝑑𝑠 𝑃𝑑𝑣 𝑃𝑑𝑣 𝑣𝑑𝑃 Portanto 𝑑ℎ 𝑇𝑑𝑠 𝑣𝑑𝑃 Rearranjando Processo durante o qual a entropia permanece constante 𝑆 0 Esses processos servem de modelo para os processos reais Assim permitem definir eficiências de processos com o intuito de comparar o desempenho real desses dispositivos ao desempenho sobre condição idealizada Processo adiabático reversível é isentrópico 𝑠2 𝑠1 mas nem todo processo isentrópico é adiabático reversível Exemplo aumento de entropia devido irreversibilidades pode ser compensado pela diminuição de entropia devido perdas de calor Muitas vezes um processo isentrópico é dito como um processo adiabático internamente reversível 𝑠2 𝑠1 A partir da equação que vimos 𝑑𝑠 𝑑𝑢 𝑇 𝑃𝑑𝑣 𝑇 𝑑𝑢 𝑐𝑣𝑑𝑇 Para um gás ideal temos Calor específico a volume constante kJkgºC 𝑣 𝑅𝑇 𝑃 Substituindo na equação acima chegamos na seguinte expressão 𝑑𝑠 𝑐𝑣𝑑𝑇 𝑇 𝑅𝑑𝑣 𝑣 A partir da equação que vimos 𝑑ℎ 𝑐𝑝𝑑𝑇 Para um gás ideal temos Calor específico a pressão constante kJkgºC 𝑣 𝑅𝑇 𝑃 Substituindo na equação acima chegamos na seguinte expressão 𝑑𝑠 𝑐𝑝𝑑𝑇 𝑇 𝑅𝑑𝑃 𝑃 𝑑𝑠 𝑑ℎ 𝑇 𝑣𝑑𝑃 𝑇 A partir da equação 1 de entropia que vimos Em um processo isentrópico 𝑠2 𝑠1 𝑆 0 logo 𝑑𝑠 𝑐𝑣𝑑𝑇 𝑇 𝑅𝑑𝑣 𝑣 න 1 2 𝑑𝑠 න 1 2 𝑐𝑣𝑑𝑇 𝑇 න 1 2 𝑅𝑑𝑣 𝑣 𝑠2 𝑠1 𝑐𝑣 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑅 𝑙𝑛 𝑣2 𝑣1 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑅 𝑐𝑣 𝑙𝑛 𝑣2 𝑣1 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑙𝑛 𝑣1 𝑣2 𝑅 𝑐𝑣 Sabendo que e aplicando exponencial nos dois lados da equação temos 𝑇2 𝑇1 𝑣1 𝑣2 𝑐𝑝𝑐𝑣 𝑐𝑣 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑙𝑛 𝑣1 𝑣2 𝑅 𝑐𝑣 𝑅 𝑐𝑝 𝑐𝑣 𝑘 𝑐𝑝 𝑐𝑣 𝑇2 𝑇1 𝑣1 𝑣2 𝑘1 A partir da equação 1 de entropia que vimos Em um processo isentrópico 𝑠2 𝑠1 𝑆 0 logo 𝑑ℎ 𝑐𝑝𝑑𝑇 𝑇 𝑅𝑑𝑃 𝑃 න 1 2 𝑑𝑠 න 1 2 𝑐𝑝𝑑𝑇 𝑇 න 1 2 𝑅𝑑𝑃 𝑃 𝑠2 𝑠1 𝑐𝑝 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑅 𝑙𝑛 𝑃2 𝑃1 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑅 𝑐𝑝 𝑙𝑛 𝑃2 𝑃1 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑙𝑛 𝑃2 𝑃1 𝑅 𝑐𝑝 Sabendo que e aplicando exponencial nos dois lados da equação temos 𝑇2 𝑇1 𝑃2 𝑃1 𝑐𝑝𝑐𝑣 𝑐𝑝 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑙𝑛 𝑃2 𝑃1 𝑅 𝑐𝑝 𝑅 𝑐𝑝 𝑐𝑣 𝑘 𝑐𝑝 𝑐𝑣 𝑇2 𝑇1 𝑃2 𝑃1 𝑘1 𝑘 As equações 1 e 2 acima são válidas apenas para os processos isentrópicos em gases ideais ou seja para as seguintes condições Gás ideal Processo isentrópico 𝑠2 𝑠1 𝑐𝑝 e 𝑐𝑣 constantes 𝑇2 𝑇1 𝑃2 𝑃1 𝑘1 𝑘 𝑇2 𝑇1 𝑣1 𝑣2 𝑘1 A área dentro do retângulo laranja é o QH calor do reservatório quente A área interior ao ciclo corresponde ao trabalho líquido QL Diferença entre as duas áreas é o QL área de baixo do ciclo Comparação entre o desempenho real e o desempenho atingido de maneira idealizada O processo idealizado possui um mesmo estado inicial e um estado final de mesma pressão porém de maneira isentrópica Para uma turbina seria a razão entre o trabalho específico real e o isentrópico No caso de compressores e bombas é a razão entre o trabalho isentrópico e o real Para um bocal é a razão entre a energia cinética real e a isentrópica 𝜂𝑇 ℎ1 ℎ2𝑟 ℎ1 ℎ2𝑠 real Isentrópico 𝜂𝑇 𝑤𝑟 𝑤𝑠 real Isentrópico 𝜂𝐶 ℎ2𝑠 ℎ1 ℎ2𝑟 ℎ1 𝜂𝐶 𝑤𝑠 𝑤𝑟 ℎ2𝑠ℎ1 𝑣𝑃2 𝑃1 Para bombas o termo de cima da equação pode ser escrito como 𝜂𝐵 𝑣𝑃2 𝑃1 ℎ2𝑟 ℎ1 𝜂𝐵 𝑉2𝑟 2 𝑉2𝑠 2 𝜂𝐶 𝐸𝐶𝑟 𝐸𝐶𝑠 Ambas as energias cinéticas na saída do bocal Vapor de água entra em uma turbina adiabática em regime permanente a 3 MPa e 400 C e sai a 50 kPa e 100 C Se a potência produzida pela turbina for de 2 MW determine a a eficiência isentrópica da turbina e b a vazão mássica de vapor de água que escoa através da turbina a 665 b 364 kgs Gás hélio é comprimido por um compressor adiabático a um estado inicial de 965 kPa e 10 C até atingir uma temperatura final de 160 C de uma maneira reversível Determine a pressão de saída do hélio Dados 𝑐𝑝 51926 kJkgK e 𝑐𝑣 31156 kJkgK P2 27928 kPa ÇENGEL Y A Boles M A Termodinâmica 7ª ed São Paulo Mcgraw Hill 2006 848 p ISBN 8586804665 MORAN M J SHAPIRO H N Princípios de Termodinâmica para engenharia 5ª ed Rio de Janeiro LTC 2002 680 p ISBN 8521613407 SONNTAG R E BOGNAKKE C VAN WYLEN G J Fundamentos da Termodinâmica Clássica 8ºEd Edgard Blücher 2003 24
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2º quadrimestre de 2023 Qua 1900h 2100h Sex 2100h 2300h Prof Pedro Henrique S Rodrigues Sala 401 Bloco L NucLab Sala 7391 Bloco A Torre I Email pedrorodriguesufabcedubr 1 𝛿𝑄 𝛿𝑊 𝑑𝑢 A partir da conservação de energia temos que Substituindo 𝛿𝑄 𝑇𝑑𝑠 e 𝛿𝑊 𝑝𝑑𝑣 temos 𝑑𝑠 𝑑𝑢 𝑇 𝑃𝑑𝑣 𝑇 𝑇𝑑𝑠 𝑃𝑑𝑣 𝑑𝑢 Portanto 𝑑ℎ 𝑑𝑢 𝑃𝑑𝑣 𝑣𝑑𝑃 Uma outra equação pode ser obtida a partir de ℎ 𝑢 𝑃𝑣 e derivando seus termos Como 𝑑𝑢 𝑇𝑑𝑠 𝑃𝑑𝑣 substituindo na equação acima temos 𝑑𝑠 𝑑ℎ 𝑇 𝑣𝑑𝑃 𝑇 𝑑ℎ 𝑇𝑑𝑠 𝑃𝑑𝑣 𝑃𝑑𝑣 𝑣𝑑𝑃 Portanto 𝑑ℎ 𝑇𝑑𝑠 𝑣𝑑𝑃 Rearranjando Processo durante o qual a entropia permanece constante 𝑆 0 Esses processos servem de modelo para os processos reais Assim permitem definir eficiências de processos com o intuito de comparar o desempenho real desses dispositivos ao desempenho sobre condição idealizada Processo adiabático reversível é isentrópico 𝑠2 𝑠1 mas nem todo processo isentrópico é adiabático reversível Exemplo aumento de entropia devido irreversibilidades pode ser compensado pela diminuição de entropia devido perdas de calor Muitas vezes um processo isentrópico é dito como um processo adiabático internamente reversível 𝑠2 𝑠1 A partir da equação que vimos 𝑑𝑠 𝑑𝑢 𝑇 𝑃𝑑𝑣 𝑇 𝑑𝑢 𝑐𝑣𝑑𝑇 Para um gás ideal temos Calor específico a volume constante kJkgºC 𝑣 𝑅𝑇 𝑃 Substituindo na equação acima chegamos na seguinte expressão 𝑑𝑠 𝑐𝑣𝑑𝑇 𝑇 𝑅𝑑𝑣 𝑣 A partir da equação que vimos 𝑑ℎ 𝑐𝑝𝑑𝑇 Para um gás ideal temos Calor específico a pressão constante kJkgºC 𝑣 𝑅𝑇 𝑃 Substituindo na equação acima chegamos na seguinte expressão 𝑑𝑠 𝑐𝑝𝑑𝑇 𝑇 𝑅𝑑𝑃 𝑃 𝑑𝑠 𝑑ℎ 𝑇 𝑣𝑑𝑃 𝑇 A partir da equação 1 de entropia que vimos Em um processo isentrópico 𝑠2 𝑠1 𝑆 0 logo 𝑑𝑠 𝑐𝑣𝑑𝑇 𝑇 𝑅𝑑𝑣 𝑣 න 1 2 𝑑𝑠 න 1 2 𝑐𝑣𝑑𝑇 𝑇 න 1 2 𝑅𝑑𝑣 𝑣 𝑠2 𝑠1 𝑐𝑣 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑅 𝑙𝑛 𝑣2 𝑣1 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑅 𝑐𝑣 𝑙𝑛 𝑣2 𝑣1 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑙𝑛 𝑣1 𝑣2 𝑅 𝑐𝑣 Sabendo que e aplicando exponencial nos dois lados da equação temos 𝑇2 𝑇1 𝑣1 𝑣2 𝑐𝑝𝑐𝑣 𝑐𝑣 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑙𝑛 𝑣1 𝑣2 𝑅 𝑐𝑣 𝑅 𝑐𝑝 𝑐𝑣 𝑘 𝑐𝑝 𝑐𝑣 𝑇2 𝑇1 𝑣1 𝑣2 𝑘1 A partir da equação 1 de entropia que vimos Em um processo isentrópico 𝑠2 𝑠1 𝑆 0 logo 𝑑ℎ 𝑐𝑝𝑑𝑇 𝑇 𝑅𝑑𝑃 𝑃 න 1 2 𝑑𝑠 න 1 2 𝑐𝑝𝑑𝑇 𝑇 න 1 2 𝑅𝑑𝑃 𝑃 𝑠2 𝑠1 𝑐𝑝 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑅 𝑙𝑛 𝑃2 𝑃1 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑅 𝑐𝑝 𝑙𝑛 𝑃2 𝑃1 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑙𝑛 𝑃2 𝑃1 𝑅 𝑐𝑝 Sabendo que e aplicando exponencial nos dois lados da equação temos 𝑇2 𝑇1 𝑃2 𝑃1 𝑐𝑝𝑐𝑣 𝑐𝑝 𝑙𝑛 𝑇2 𝑇1 𝑙𝑛 𝑃2 𝑃1 𝑅 𝑐𝑝 𝑅 𝑐𝑝 𝑐𝑣 𝑘 𝑐𝑝 𝑐𝑣 𝑇2 𝑇1 𝑃2 𝑃1 𝑘1 𝑘 As equações 1 e 2 acima são válidas apenas para os processos isentrópicos em gases ideais ou seja para as seguintes condições Gás ideal Processo isentrópico 𝑠2 𝑠1 𝑐𝑝 e 𝑐𝑣 constantes 𝑇2 𝑇1 𝑃2 𝑃1 𝑘1 𝑘 𝑇2 𝑇1 𝑣1 𝑣2 𝑘1 A área dentro do retângulo laranja é o QH calor do reservatório quente A área interior ao ciclo corresponde ao trabalho líquido QL Diferença entre as duas áreas é o QL área de baixo do ciclo Comparação entre o desempenho real e o desempenho atingido de maneira idealizada O processo idealizado possui um mesmo estado inicial e um estado final de mesma pressão porém de maneira isentrópica Para uma turbina seria a razão entre o trabalho específico real e o isentrópico No caso de compressores e bombas é a razão entre o trabalho isentrópico e o real Para um bocal é a razão entre a energia cinética real e a isentrópica 𝜂𝑇 ℎ1 ℎ2𝑟 ℎ1 ℎ2𝑠 real Isentrópico 𝜂𝑇 𝑤𝑟 𝑤𝑠 real Isentrópico 𝜂𝐶 ℎ2𝑠 ℎ1 ℎ2𝑟 ℎ1 𝜂𝐶 𝑤𝑠 𝑤𝑟 ℎ2𝑠ℎ1 𝑣𝑃2 𝑃1 Para bombas o termo de cima da equação pode ser escrito como 𝜂𝐵 𝑣𝑃2 𝑃1 ℎ2𝑟 ℎ1 𝜂𝐵 𝑉2𝑟 2 𝑉2𝑠 2 𝜂𝐶 𝐸𝐶𝑟 𝐸𝐶𝑠 Ambas as energias cinéticas na saída do bocal Vapor de água entra em uma turbina adiabática em regime permanente a 3 MPa e 400 C e sai a 50 kPa e 100 C Se a potência produzida pela turbina for de 2 MW determine a a eficiência isentrópica da turbina e b a vazão mássica de vapor de água que escoa através da turbina a 665 b 364 kgs Gás hélio é comprimido por um compressor adiabático a um estado inicial de 965 kPa e 10 C até atingir uma temperatura final de 160 C de uma maneira reversível Determine a pressão de saída do hélio Dados 𝑐𝑝 51926 kJkgK e 𝑐𝑣 31156 kJkgK P2 27928 kPa ÇENGEL Y A Boles M A Termodinâmica 7ª ed São Paulo Mcgraw Hill 2006 848 p ISBN 8586804665 MORAN M J SHAPIRO H N Princípios de Termodinâmica para engenharia 5ª ed Rio de Janeiro LTC 2002 680 p ISBN 8521613407 SONNTAG R E BOGNAKKE C VAN WYLEN G J Fundamentos da Termodinâmica Clássica 8ºEd Edgard Blücher 2003 24