Dissertação de Mestrado em Matemática com Tema Desigualdade das Médias

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL VANESSA APARECIDA DE REZENDE POSSEBON PROBABILIDADE NOS INTEIROS PASSEIO ALEATÓRIO E OUTROS PROCESSOS Santo André 2023 Planning for RetirementUpload your financial documents Track all your sources of income Calculate your estimated annual expenses Establish a monthly budget Project your retirement income and expenses over time Determine the sustainability of your savings Adjust your budget as necessary Consult with a financial advisor VANESSA APARECIDA DE REZENDE POSSEBON PROBABILIDADE NOS INTEIROS PASSEIO ALEATÓRIO E OUTROS PROCESSOS Orientador Prof Dr Prof Rafael de Mattos Grisi Dissertação de mestrado apresentada ao Centro de Matemática Computação e Cognição para obtenção do título de Mestre ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE A VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELA ALUNA VANESSA APARECIDA DE REZENDE POSSEBON E ORIENTADA PELO PROF DR PROF RAFAEL DE MATTOS GRISI SANTO ANDRÉ 2023 Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal do ABC Elaborada pelo Sistema de Geração de Ficha Catalográfica da UFABC com os dados fornecidos peloa autora de Rezende Possebon Vanessa Aparecida Probabilidade nos Inteiros Passeio Aleatório e Outros Processos Vanessa Aparecida de Rezende Possebon 2023 123 fls il Orientador Rafael de Mattos Grisi Dissertação Mestrado Universidade Federal do ABC Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional PROFMAT Santo André 2023 1 probabilidade 2 passeio aleatório simples 3 ruína do jogador I de Mattos Grisi Rafael II Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional PROFMAT 2023 III Título Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original de acordo com as observações levantadas pela banca examinadora no dia da defesa sob responsabilidade única da autora e com a anuência do orientador 1 Identify your retirement goals 2 Assess your current financial situation 3 Estimate retirement expenses 4 Calculate expected income during retirement 5 Analyze the gap between expenses and income 6 Develop a saving and investment plan 7 Monitor and adjust the plan regularly MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Fundação Universidade Federal do ABC Avenida dos Estados 5001 Bairro Santa Terezinha Santo André SP CEP 09210580 Fone 11 49960017 Por ausência do membro titular foi substituído pelo membro suplente descrito acima nome completo instituição e assinatura FOLHA DE ASSINATURAS Assinaturas dos membros da Banca Examinadora que avaliou e aprovou a Defesa de Dissertação de Mestrado da candidata VANESSA APARECIDA DE REZENDE POSSEBON realizada em 14 de Dezembro de 2023 Profa EDUARDO GUERON UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Profa GLEICIANE DA SILVA ARAGÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO Profa GABRIELA COTRIM DE MORAES INSTITUTO FEDERAL DE SÃO PAULO Profa JERONIMO CORDONI PELLEGRINI UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Profa RAFAEL DE MATTOS GRISI UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Presidente Retirement Planning Worksheet Name Date Current Age Retirement Age Life Expectancy Annual Income Annual Expenses Estimated Retirement Expenses Estimated Retirement Income Savings to Date Monthly Savings Expected Rate of Return Retirement Savings Goal Additional Notes O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoas de Nível Superior Brasil CAPES Código de Financiamento 001 Evleriniz için Pompalı Makineli Tüfekle Extreme Duty Pompa TüfeğiFiyatı 639900 TL A G R A D E C I M E N T O S A toda a minha amada família e em especial ao meu esposo e ao meu filho por me apoiarem e estarem comigo neste e em outros caminhos dificultosos da vida Ao meu orientador Dr Rafael de Mattos Grisi por me guiar com tanta dedicação e conhecimento na elaboração desta dissertação e me acolher com sua tranquilidade nos momentos em que a ansiedade me sufocava Aos professores do programa PROFMAT da Universidade Federal do ABC os quais estrutu raram com excelência a minha trajetória durante o Mestrado em Matemática Aos meus colegas de turma cujo apoio mútuo e troca de ideias enriqueceram nossa jornada acadêmica e nos mantiveram perseverantes quando a vontade de desistir bateu à porta Aos meus queridos amigos que me entretiveram nos momentos em que a fuga dos livros de matemática se fez necessária Aos amigos da Escola Estadual Padre Afonso Paschotte pelo incentivo e pela torcida E finalmente ao patrocínio da Capes durante meus estudos de Mestrado e a todo aquele que direta ou indiretamente contribuiu para o desenvolvimento deste trabalho ix Ücretsiz Kargo R E S U M O Neste trabalho estudamos a teoria dos passeios aleatórios simples e do processo de ramificação de BienayméGaltonWatson ambos a tempo discreto e apresentamos uma proposta de aplicação desse estudo em uma sequência didática para o ensino de probabilidade no ensino básico Inicialmente abordamos ferramentas e conceitos probabilísticos necessários para a análise dos nossos objetos de estudo Em seguida foi a vez dos passeios aleatórios simples introduzidos a partir do Problema da ruína do jogador caso particular dos passeios aleatórios simples onde provamos resultados referentes à probabilidade da ruína e à duração esperada do jogo para depois usálos para provar outros resultados mais gerais como a probabilidade e o tempo esperado do retorno à origem dos passeios aleatórios simples Na sequência tratamos do processo de ramificação de BienayméGaltonWatson buscando demonstrar resultados que garantem as condições sobre as quais teremos ou não a extinção do processo E por fim apresentamos uma proposta de sequência didática cuja peça central é o jogo O Prisioneiro de Monty Hall construído com o objetivo de gamificar os problemas da Ruína do Jogador e de Monty Hall Palavraschave probabilidade passeios aleatórios simples processo de BienayméGalton Watson extinção O Problema da Ruína do Jogador O Problema de Monty Hall xi Sadece 1 Adet KaldıLimitsiz ödeme taksitleri TAKSİT İMKANIÇifteçift Faturalandırma ve TeslimatHer Eve 1 Pompalı Makineli Tüfek Liverpool Pompalı Makinalı Tüfek 1 Şubat 2024 Δen itibaren her eve bir adet olarak dağıtılacaktır Limitli stok ile sınırlıdır Hemen sipariş vermek için tıklayınız 12 ay taksit imkanı ile Telefon numarasını yazınız Ev adresinizi giriniz Yalnızca A B S T R A C T In this work we study the theory of simple random walks and the BienayméGaltonWatson branching process both in discrete time and we present a proposal for applying this study in a didactic sequence for teaching probability in basic education Initially we approach probabilistic tools and concepts necessary for the analysis of our study objects Next it was the turn of simple random walks introduced from the Players Ruin Problem a particular case of simple random walks where we prove results referring to the probability of ruin and the expected duration of the game to later use them to prove other more general results such as the probability and expected time of return to the origin of simple random walks Next we deal with the BienayméGaltonWatson branching process seeking to demonstrate results that guarantee the conditions under which we will or will not have the extinction of the process And finally we present a proposal for a didactic sequence whose centerpiece is the game The Prisoner of Monty Hall built with the aim of gamifying the problems of the Players Ruin and Monty Hall Keywords probability simple random walks BienayméGaltonWatson process extinction The Gamblers Ruin Problem The Monty Hall Problem xiii A definição acima apesar de nos permitir uma compreensão um pouco mais clara do que é probabilidade ainda carrega uma série de problemas e imprecisões que dificultam sua utilização Podemos apontar por exemplo a ideia de repetir o experimento aleatório N vezes O que realmente significa isso Ou ainda o problema da existência de tais limites que não parece clara e nem óbvia E mesmo que exista não sabemos qual o nível de dependência das realizações específicas dos experimentos realizados Ou seja o que nos garante que no exemplo acima sempre observaremos o número 1 aproximadamente 56 das vezes sempre que repetirmos o experimento E pensar que a chance de tal coisa acontecer é pequena trás uma circularidade fatal para a definição que estamos buscando Uma ideia para contornar estes problemas é pensar a partir das propriedades que esperamos observar em uma função que mede a probabilidade de um evento E para isso a noção frequentista descrita acima pode nos ser bastante útil A partir desta ideia podemos determinar por exemplo que a probabilidade PA de um evento A deve ser um número entre 0 e 1 representando o nível de confiança que temos que tal evento ocorrerá Se temos a certeza da não ocorrência do evento A então PA 0 À medida que aumenta a confiança na observação de A no resultado do experimento P A também aumenta até ao ponto em que PA 1 corresponderá à certeza da ocorrência de A Fazendo tal análise com cuidado chegamos à seguinte definição Definição 21 Uma função de probabilidade associa a cada evento A um número PA o qual representa a probabilidade de A ocorrer de forma que 1 Para todo evento A Ω devemos ter 0 PA 1 2 PΩ 1 3 Se A1 A2 A3 são eventos 2 a 2 disjuntos então Pi1 Ai i1 PAi C O N T E Ú D O 1 INTRODUÇÃO 1 2 PROBABILIDADE NOS NÚMEROS INTEIROS 5 21 Definindo uma probabilidade 5 211 Algumas propriedades da função de probabilidade 10 212 Probabilidade Condicional e Independência 12 213 Independência 14 214 Lei da probabilidade total 18 22 Variáveis Aleatórias 20 221 Distribuições Conjuntas 23 222 Variáveis Aleatórias Independentes 26 23 Esperança 27 231 Propriedades da Esperança 29 232 Esperança Condicional 31 24 Funções Geradoras de Probabilidade 34 3 PASSEIOS ALEATÓRIOS SIMPLES 41 31 Problema da ruína do jogador 41 311 A Probabilidade da ruína do jogador 43 312 A Probabilidade da ruína do jogador ganancioso 49 313 Duração esperada do jogo 52 314 Duração esperada do jogo com um jogador ganancioso 56 32 Passeios aleatórios simples 59 321 Retorno à origem 61 322 Tempo esperado para o retorno à origem 66 4 PROCESSOS DE BIENAYMÉGALTONWATSON 69 41 Definindo o Processo 69 42 A probabilidade de extinção do processo 74 5 SEQUÊNCIA DIDÁTICA 87 xv xvi C O N T E Ú D O 51 O problema de Monty Hall 88 52 O Prisioneiro de Monty Hall 91 53 Proposta de sequência didática 95 531 Plano da Proposta 96 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 101 A SLIDES O PROBLEMA DE MONTY HALL 103 BIBLIOGRAFIA 107 1 I N T R O D U Ç Ã O O envelhecimento populacional é um fenômeno mundial que tem despertado crescente preocupação em diversos países Além do aumento de gastos públicos com o aumento da demanda por sistemas de saúde e pensões o motivo da preocupação está na escassez da força de trabalho que decorre do declínio da população jovem impactando diretamente a economia de um país 5 Ainda segundo a reportagem da BBC NEWS Brasil em 2019 o Fundo Monetário Internacional FMI alertou que a economia do Japão poderia encolher mais de 25 nos próximos 40 anos devido ao envelhecimento da população O Japão vem introduzindo desde 1990 políticas para reverter uma das principais causas do aumento proporcional de idosos na população a queda nas taxas de natalidade Em 2000 foi a vez da Coreia do Sul E recentemente temos a China famosa pelas rígidas restrições à natalidade adotadas no passado juntandose ao clube 13 Mas essa não é uma preocupação somente dos países asiáticos O insuficiente número de bebês para manter o número de pessoas estável é também uma realidade de alguns países europeus como Finlândia suécia Noruega Estônia Itália e França 14 Este cenário é um dos mais atuais fatores que evidenciam a necessidade do estudo de ferra mentas e modelos matemáticos que possam fundamentar estudos sobre o desenvolvimento de populações e suas consequências Entre esses modelos matemáticos encontramse os processos de ramificação de BienayméGaltonWatson e as cadeias de nascimento e morte as quais são uma generalização do processo conhecido como passeio aleatório simples Estes processos são modelos probabilísticos que se estabeleceram como ferramentas importantes para a verificação da sobrevivência ou não de uma população ao longo do tempo 1 2 I N T R O D U ÇÃ O Portanto indagase em relação às análises matemáticas quais condições indicam que uma determinada população está a caminho da extinção O objetivo geral do presente trabalho é estudar os processos de ramificação de Bienaymé GaltonWatson e os passeios aleatórios simples a fim de responder à questão levantada assim como fomentar o estudo desses processos entre os estudantes da rede nacional de educação já que são poucos os livros em português que os abordam visando a formação de futuros estudiosos brasileiros do assunto e a contribuição destes na formulação de políticas públicas efetivas para essa problemática que está em escalada e atinge cada vez mais países mundo afora Para tanto foram delineados os seguintes objetivos específicos estudar ferramentas e con ceitos da probabilidade aplicar esse estudo para obter resultados relevantes à problemática apresentada planejar uma sequência didática para introduzir alguns destes estudos no ensino médio Partese da hipótese de que os indicadores matemáticos que evidenciam se uma determi nada população está ou não caminhando em direção a sua extinção podem ser relacionados com a probabilidade de extinção do processo de ramificação de BienayméGaltonWatson uma vez que a extinção neste contexto significa o momento a partir do qual não serão mais gerados novos elementos no processo Já nos passeios aleatórios simples tais indicadores teriam uma correspondência com a probabilidade do passeio nos inteiros não negativos chegar ao zero Neste contexto os inteiros representariam o número de indivíduos da população Assim para viabilizar o teste da hipótese realizamos uma pesquisa de finalidade básica pura com abordagem quantitativa feita através de procedimentos bibliográficos Assim no próximo e segundo capítulo começamos abordando as definições básicas da Teoria de Probabilidades seguidas pelos conceitos de variáveis aleatórias e esperança matemá tica e finalizamos aprofundando na Teoria de Probabilidades através das funções geradoras de probabilidade Todos estes conceitos estão acompanhados por demonstrações de suas principais propriedades e proposições as quais estruturarão a análise dos resultados centrais dessa pesquisa No terceiro capítulo introduzimos o primeiro objeto central deste estudo os passeios aleatórios simples através de um importante problema para a teoria de probabilidades o problema da ruína do jogador Nele buscamos provar resultados chaves para o presente I N T R O D U ÇÃ O 3 trabalho como a probabilidade da ruína do jogador e a duração esperada do jogo os quais servirão de fundamento para obtermos resultados mais gerais acerca dos passeios aleatórios simples tais quais a probabilidade e o tempo esperado do seu retorno à origem No quarto capítulo iniciamos detalhando os processos de ramificação de Bienaymé Galton Watson o nosso segundo ponto central de estudo visando tornar sua definição em linguagem matemática apresentada na sequência mais clara aos possíveis leitores que estudarão esse assunto através deste trabalho e que porventura possam achar essa definição de difícil compreensão Em seguida provamos algumas proposições importantes acerca das esperanças e das funções geradoras de probabilidades desses processos as quais foram necessárias para obter outro resultado chave para esta dissertação a probabilidade de extinção dos processos de ramificação de Bienaymé Galton Watson Nós buscamos deduzila tanto algebricamente quanto utilizando representações gráficas a fim de proporcionar uma melhor compreensão desse importante Teorema da teoria de ramificação No quinto e último capítulo apresentamos uma proposta de sequência didática que utiliza conceitos da Probabilidade e dos passeios aleatórios simples abordados neste trabalho Essa proposta gira em torno do jogo O Prisioneiro de Monty Hall que tem como base dois famosos problemas da matemática o Problema da Ruína do Jogador e o Problema de Monty Hall O primeiro como já mencionamos é um dos temas que será discutido no terceiro capítulo enquanto o segundo é famoso por contrariar a intuição de grande parte das pessoas Nossa sequência didática é dividida em seis aulas e foi construída com intuito de introduzir conceitos desse estudo no ensino médio visando as novas demandas principalmente no campo da Probabilidade que surgiram com a recente reforma curricular desencadeada pela publicação da Base Nacional Comum Curricular em 2018 1 No text detected 2 P R O B A B I L I D A D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S Neste capítulo apresentaremos um resumo contendo as definições básicas da Teoria de Probabilidades e Variáveis Aleatórias cujos resultados e conclusões serão utilizados nos capítulos posteriores Na primeira parte traremos conceitos básicos da teoria de probabilidades Apresentaremos tais conceitos de modo simples de modo similar ao explorado por diversos autores como 1618 Na segunda parte do capítulo traremos uma abordagem diferente e um pouco mais simples daquela normalmente encontrada na literatura e nos focaremos em variáveis aleatórias com valores inteiros Esta é uma apresentação similar à apresentada por Schinazi em 20 e tem a vantagem de conversar de maneira mais direta com o conteúdo do resto do trabalho onde estudaremos processos que assumem apenas valores inteiros 21 D E F I N I N D O U M A P R O B A B I L I DA D E Talvez a primeira pergunta que devemos responder seria o que é probabilidade Este é um dos conceitos que a priori todos tem a sensação de saber o que é mas poucos conseguem oferecer algum tipo de definição consistente Não raramente ouvimos respostas como é a chance de algo acontecer que apenas troca um palavra por um sinônimo sem realmente esclarecer o conceito 5 6 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S Uma das maneiras de pensar e que seguiremos neste texto é tomar probabilidade como um modelo matemático que tenta medir e representar as incertezas associadas a uma certa observação Tal definição apesar de imprecisa nos oferece uma intenção clara e um caminho a seguir Neste sentido vejamos algumas definições fundamentais que darão o pontapé inicial na construção do que entenderemos por Probabilidade Primeiro precisamos modelar a fonte das incertezas que queremos medir Assim chamamos de experimento aleatório qualquer experimento ou observação que produz um resultado que não pode ser predeterminado com certeza tais quais lançamento de uma moeda ou de um dado e observar o resultado da face de cima selecionar uma carta de um baralho e observar seu naipe sortear bolas enumeradas em uma urna e observar a sequência numérica obtida entre outros Embora não saibamos com antecedência qual resultado de um experimento aleatório em geral podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer Nomeamos esse conjunto por espaço amostral que em geral será representado por Ω Neste trabalho vamos considerar somente os casos com um espaço amostral finito ou infinito enumerável Os subconjuntos de Ω são chamados de eventos Diremos que um evento ocorre quando o resultado do experimento aleatório pertence ao evento Convencionalmente representamos um evento por uma letra maiúscula do alfabeto e dizemos que dois eventos A e B contidos em Ω são disjuntos se e somente se A B Exemplo 21 Uma moeda será lançada 3 vezes e será observado a sequência de caras ca e coroas co Assim o espaço amostral associado a esse experimento aleatório é Ω ca ca ca ca ca co ca co ca co ca ca ca co co co ca co co co ca co co co Eis alguns eventos pertencentes a Ω A ca ca co ca co ca co ca ca que corresponde ao evento ocorrência de exata mente uma coroa no experimento 21 D E F I N I N D O U M A P R O B A B I L I DA D E 7 B ca ca ca ca ca co ca co ca co ca ca que corresponde ao evento ocorrência de pelo menos duas caras no experimento C co co co que corresponde ao evento ocorrência de três coroas no experimento Observemos que A C já que não é possível obter um resultado no experimento que pertença a ambos os eventos e que A B A Logo os eventos A e C são disjuntos enquanto os eventos A e B não o são Para definir a função de Probabilidade associaremos a cada evento de A Ω um valor PA R que chamaremos de probabilidade do evento A e que traduzirá nossa confiança na capacidade do evento ocorrer Mas como definir tal função Que propriedades ela deve ter Um modo bastante comum e até útil de se pensar é o frequentista Para isso repetimos o experimento aleatório uma quantidade grande de vezes e contamos o total de vezes nas quais o resultado observado pertence a um dado evento A A ideia então é pensar que a probabilidade de A seria a proporção de vezes que observamos A ao longo destas N repetições A expectativa é que tal proporção que claramente depende de N se aproxime de um número real quando N tende ao infinito Tal valor seria então chamado de probabilidade de A Ou seja PA lim N A N onde A representa o total de vezes que observamos A Para entender melhor essa ideia pense no lançamento de uma moeda Se moeda for não viciada a expectativa é que após um total grande de lançamentos aproximadamente metade destes mostraram cara enquanto a outra metade mostrou coroa Exemplo 22 Agora suponhamos o lançamento de um dado não honesto Assumindo que o lançamento tenha sido repetido 600 vezes e que em 500 destas vezes se tenha observado a ocorrência do número 1 Dessa forma a probabilidade de ocorrência do número 1 é dada por sua frequência relativa ou seja P1 500 600 5 6 No text detected 21 D E F I N I N D O U M A P R O B A B I L I DA D E 9 Apesar de usarmos aqui a definição canônica de probabilidade seria possível começar tomando Ω x1 x2 e definir P a partir dos valores Pxk k 1 representado as probabilidades de observarmos cada um dos resultados do nosso experimento Neste caso definiríamos PA pela soma das probabilidades de seus elementos Ou seja se A xi1 xi2 então PA k Pxik Quando todos os eventos unitários de um espaço amostral finito têm a mesma proba bilidade de ocorrer dizemos que o modelo probabilístico é equiprovável Nesse caso se Ω x1 x2 xn temos que Px1 Px2 Pxn k Daí segue que 1 PΩ Px1 x2 xn Px1 x2 xn Notemos que os eventos unitários xi para i 1 2 n são 2 a 2 disjuntos Logo 1 Px1 x2 xn Px1 Px2 Pxn nk k 1 n para n 0 e portanto Px1 Px2 Pxn 1 n Analogamente nesse modelo se um evento A Ω possui j elementos então PA j 1 n j n número de elementos de A número de elementos de Ω Exemplo 23 Um dado honesto será lançado e é observado o número da face de cima A honestidade do dado nos informa que nosso nível de confiança deve ser igual para todos os resultados Dessa forma todos os números contidos nas faces do dado são equiprováveis e Ω 1 2 3 4 5 6 e P1 P2 P3 P4 P5 P6 1 6 Nesse caso se A 2 3 5 então PA número de resultados em A número de resultados em Ω 3 6 que corresponde a probabilidade de ocorrer de um número primo no experimento 10 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S 211 Algumas propriedades da função de probabilidade Adiante demonstraremos algumas propriedades da probabilidade necessárias para as discussões dos capítulos posteriores Proposição 22 Se A e B são eventos de Ω então i PAc 1 PA ii P 0 iii PAB PA PA B iv PA B PA PB PA B v Se B A então PA Bc PA PB vi Se B A então PA PB Demonstração De fato i como temos que PΩ 1 Ω A Ac e que A e Ac são eventos disjuntos então 1 PA Ac PA PAc PAc 1 PA ii fazendo A Ω no item anterior temos Ac e P 1 PΩ 1 1 0 iii usando o fato que PA PAB A B e que AB e A B são disjuntos então PA PAB PA B PAB PA PA B 21 iv diante da igualdade PA B PAB B e de que AB e B são disjuntos logo usando a equação 21 temos que PA B PAB PB PA PB PA B v se B A então A B B Como A Bc AB e usando novamente a equação 21 segue que PA Bc PAB PA PA B PA PB 22 vi se B A então por v obtemos PA PB PA Bc 0 PA PB E assim finalizamos a demonstração da Proposição 22 Antes de partirmos para as demonstrações das proposições que envolvem sequências de eventos de Ω precisamos definir o seguinte conceito Dizemos que uma sequência de eventos A1 A2 A3 é crescente se An An1 para todo n 1 E dizemos que é decrescente se An An1 para todo n 1 conforme podemos vizualizar na figura 1 Figura 1 Sequência de eventos de Ω a Crescente b Decrescente Dito isso demonstraremos duas proposições que serão de grande importância ao longo deste trabalho Proposição 23 Seja Ann 1 uma sequência de eventos de Ω I Se Ann 1 é crescente então limn PAn Pn1 An II Se Ann 1 é decrescente então limn PAn Pn1 An Demonstração Pois bem I defina B1 A1 e Bn An An1 Notemos que se Ann 1 é crescente então k1n Bk An k1n Ak e que Bi Bj para todo i j ou seja os eventos B1 B2 são dois a dois disjuntos Sendo assim limn PAn limn Pk1n Bk limn k1n PBk k1 PBk Pk1 Bk Pk1 Ak Logo limn PAn Pn1 An concluindo a demonstração para o caso i II notemos que se Ann 1 é decrescente então Ancn 1 é crescente Dessa forma e por i temos que limn PAnc Pn1 Anc Pn1 Anc 1 Pn1 An limn PAn Pn1 An concluindo a demonstração para o caso ii 21 D E F I N I N D O U M A P R O B A B I L I DA D E 13 de antemão que o resultado do lançamento foi 4 5 ou 6 Assim com estamos diante de um dado honesto podemos dizer que a probabilidade do evento A dado que o evento B ocorreu é PAB 1 3 Detalhando o argumento acima notemos que a informação sobre a ocorrência do evento B faz com que o espaço amostral seja restringido para B com os resultados favoráveis à ocorrência de um evento A pertencentes à A B Logo como estamos em um espaço amostral Ω equiprovável podemos expressar PAB A B B onde I corresponde ao número de elementos em I Ajustando os valores acima em termos da frequência relativa obtemos que PAB A B B AB Ω B Ω PA B PB Deste modo podemos utilizar o mesmo raciocínio em espaços amostrais não equiprováveis e chegar assim a essa mesma conclusão Sendo assim a definição matemática para a probabilidade condicional é dada da seguinte forma Definição 24 Seja Ω um espaço amostral e A B Ω eventos com PB 0 Nestas condições definimos a probabilidade condicional de A dada a ocorrência de B por PAB PA B PB 23 Em algumas ocasiões usaremos a fórmula acima na forma conhecida como Regra do Produto PA B PAB PB 24 Analogamente se PA 0 então temos que PA B PBA PA Exemplo 24 Para a realização de uma pesquisa de saúde em uma certa população sorteamos uma pessoa ao acaso e perguntamos sua idade e se é ou não fumante Considere que a população em questão tem a seguinte configuração 14 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S Fumante Não Fumante 18 anos ou menos 5 20 entre 19 e 45 anos 7 41 mais de 45 anos 13 14 Considerando agora os eventos A fumante e B mais de 45 anos temos PA 025 PB 027 PA B 013 e portanto PAB 013 027 04814 e PBA 013 025 052 213 Independência Vamos introduzir agora um conceito central na teoria da probabilidade a independência Informalmente podemos pensar que um evento A é independente de outro evento B quando a ocorrência de B não traz nenhuma informação relevante sobre A Mais formalmente diremos que o evento A é independente do evento B com PB 0 quando a ocorrência de B não altera a probabilidade de A isto é se PAB PA Exemplo 25 Pensemos na rolagem de duas moedas nãoviciadas Este experimento tem um espaço amostral Ω cara cara cara coroa coroa cara coroa coroa e a hipótese de moedas não viciadas pode ser traduzida em modelo equiprovável Pensando apenas na realização do experimento gostaríamos que o evento A2 observamos cara na segunda moeda 21 D E F I N I N D O U M A P R O B A B I L I DA D E 15 fosse independente do evento A1 observamos cara na primeira moeda Isso porque a rolagem da segunda moeda é fisicamente independente da primeira rolagem e o resultado da primeira não deveria trazer informações sobre a segunda Para verificar isso observe que A1 cara cara cara coroa A2 cara cara coroa cara e assim PA2A1 1 4 1 2 1 2 PA2 mostrando que A2 é independente de A1 Ainda no exemplo acima vemos também que PA1A2 1 4 1 2 1 2 PA1 mostrando que A1 é também independente de A2 Surge então a seguinte questão vale em geral que se A independe de B então B independe de A O que observamos no exemplo anterior é sempre válido ou apenas consequência das fortes simetrias dos eventos escolhidos Percebam que o questionamento é válido visto que saber que um pai é financeiramente independente de um filho não nos diz nada sobre a independência financeira do filho em relação ao pai Pois bem se A independe de B temos que PAB PA Supondo que PA 0 pelas igualdades em 23 e 24 segue que PAB PA PA B PB PA PA B PA PB PA B PA PB PBA PB 25 Logo B independe de A 16 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S Portanto se A independe B então B independe de A e podemos simplesmente dizer que os eventos A e B são independentes Mas isso faz a nossa definição original um tanto inadequada Ela também possui a necessi dade desagradável de que PB 0 Com o intuito de abranger essa simetria presente na independência entre eventos definimos eventos independentes da seguinte forma Definição 25 Dizemos que dois eventos A B Ω são independentes se PA B PA PB Notemos que a expressão acima é a equação central no argumento detalhado em 25 É interessante notar que se A B são eventos independentes então PAc B PB PA B PB PAPB 1 PAPB PAcPB de modo que Ac B são também independentes Repetindo o mesmo argumento acima para A Bc e Ac Bc chegamos no seguinte resultado Proposição 26 Se A B são eventos independentes então também são independentes os eventos Ac B os eventos A Bc e os eventos Ac Bc Dando continuidade observe que a definição acima parece nos sugerir uma definição mais geral de independência de eventos De fato é realmente tentador pensar que A1 A2 An são independentes se PA1 A2 An PA1 PA2 PAn 26 Mas infelizmente tal definição não sobrevive a uma análise mais cuidadosa Considere por exemplo o experimento onde rolamos um dado de 12 lados e considere os eventos A 1 2 3 4 5 6 B 3 4 5 6 C 6 7 8 9 10 11 21 D E F I N I N D O U M A P R O B A B I L I DA D E 17 Alguns cálculos simples nos revelam rapidamente que não é razoável pensarmos em tais eventos como independentes Podemos ver por exemplo que PCA B 1 4 1 2 PC ou ainda que PAC 1 6 1 2 PA Note que no entanto A B C 6 e portanto PA B C 1 12 1 2 1 3 1 2 PAPBPC Isso deixa claro que a equação 26 não nos fornece uma maneira adequada de definir independência para mais de 2 eventos Precisamos então de uma nova definição Uma tentativa válida seria definir a independência do grupo pela independência dos pares Ou seja A1 An seriam independentes se Ai Aj são independentes para todo par i j 1 n tais que i j Para ver que tal definição também não funciona consideraremos mais um exemplo O experimento agora consistirá em lançar um dado 2 vezes Nesta situação defina os eventos A observamos 2 no primeiro lançamento B observamos 5 no segundo lançamento C a soma dos valores é 7 Uma conta simples que ficará de exercício ao leitor nos mostra que A B são independentes A C são independentes e B C são independentes No entanto PAB C 1 PA o que nos mostra que apesar de todo par ser independente a família A B C não pode ser A solução para tal dilema é de algum modo juntar as duas definições culminando na seguinte definição Definição 27 Diremos que os eventos A1 A2 são ditos independentes se para quaisquer índices i1 i2 ik distintos k 2 PAi1 Ai2 Aik PAi1 PAi2 PAik 18 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S 214 Lei da probabilidade total Comecemos a partir da questão numa urna existem 9 bolas sendo 2 vermelhas 3 azuis e 4 amarelas Ao sortearmos duas bolas sem reposição qual a probabilidade da segunda bola ser azul Estamos interessados em determinar a probabilidade do evento B 2ª bola é azul Antes consideremos os eventos A1 1ª bola é vermelha A2 1ª bola é azul e A3 1ª bola é amarela Os eventos A1 A2 e A3 formam o que chamamos uma partição do espaço amostral Definição 28 Dizemos A1 A2 An formam uma partição do espaço amostral Ω quando i Ai Aj para i j ii A1 A2 An Ω De fato qualquer que seja o resultado do sorteio teremos a primeira bola vermelha azul ou amarela logo A1 A2 A3 Ω Além disso não é possível que a primeira bola sorteada tenha duas cores o que significa que A1 A2 e A3 são dois a dois disjuntos Figura 2 A1 A2 e A3 formam uma partição de Ω Agora observemos que B A1 B A2 B A3 B Visualmente essa igualdade é representada pela figura 3 Consequentemente PB PA1 B A2 B A3 B 21 D E F I N I N D O U M A P R O B A B I L I DA D E 19 Figura 3 B A1 B A2 B A3 B Percebamos que como A1 A2 e A3 são disjuntos dois a dois então A1 B A2 B e A3 B também são Sendo assim PB PA1 B PA2 B PA3 B Pela Regra do Produto segue que se PAi 0 para i 1 2 3 então PB PBA1 PA1 PBA2 PA2 PBA3 PA3 3 8 2 9 2 8 3 9 3 8 4 9 1 3 Generalizando a situação descrita acima seja B um evento qualquer de Ω logo B pode ser representado pela união das partes que correspondem às intersecções entre B e cada evento da partição A1 A2 An de Ω ou seja B B A1 B A2 B An Consequentemente a probabilidade de B pode ser obtida pela expressão PB PB A1 B A2 B An Como já discutido teremosB A1 B A2 B An disjuntos dois a dois e portanto chegamos ao resultado conhecido como Lei da probabilidade total PB PB A1 PB A2 PB An ou usando a Regra do Produto e considerando PAi 0 para i 1 n PB PBA1 PA1 PBA2 PA2 PBAn PAn onde A1 A2 An formam uma partição do espaço amostral Ω Esta última igualdade para a Lei da probabilidade estará muito presente em demonstrações nos capítulos posteriores 20 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S 22 VA R I ÁV E I S A L E AT Ó R I A S Voltemos a 2020 quando a COVID mudou radicalmente a vida de todos ao redor do mundo Pense em um cientista tentando determinar a relação entre obesidade idade e possibilidade de infecção por COVID Para tanto tal cientista precisaria selecionar ao acaso uma série de pacientes em uma população e observar para cada paciente sorteado uma série de informações como idade índice de massa corpórea peso etc Observe que o ato de escolher um paciente na população é por si só um experimento aleatório O espaço amostral Ω de tal experimento é toda a população da cidade ou região onde foi feita a escolha Quando recolhe alguma informação de um paciente ω Ω digamos o peso o que o pesquisador está fazendo é associar a cada resultado do experimento paciente um valor real Mω O mesmo acontece quando ele pergunta a idade Iω e assim por diante Tais informações numéricas associadas ao resultados possíveis do experimento são conhecidas como variáveis aleatórias Neste exemplo podemos ter por exemplo as variáveis M peso I idade X índice de massa corpórea ou até T 0 1 indicando se o teste de COVID foi positivo ou negativo Colocando em um contexto mais claro e didático consideremos o experimento aleatório no qual dois dados são lançados Seja X o número correspondente ao resultado da soma das faces obtidas nos dados Logo X pode assumir os seguintes valores 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 conforme mostra a figura 4 Figura 4 soma das faces obtidas no lançamento de dois dados 22 VA R I ÁV E I S A L E AT Ó R I A S 21 Assim dizemos que X é uma variável aleatória com valores no conjunto 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Mais formalmente podemos definir variáveis aleatórias da seguinte forma Definição 29 Uma variável aleatória abreviadamente va é uma função X definida no espaço amostral Ω que associa cada elemento de Ω a um valor real Isto é uma variável aleatória X é uma função X Ω R Deste ponto em diante denotaremos as variáveis aleatórias por letras maiúsculas e seus valores imagens possíveis por letras minúsculas Em geral se uma va pode assumir uma quantidade finita ou enumerável de valores possíveis ela é chamada variável aleatória discreta Como neste trabalho consideramos apenas espaços amostrais finitos ou enumeráveis segue trivialmente que todas as variáveis aleatórias das quais trataremos são discretas Observação 221 De fato a definição apresentada de variáveis aleatórias só está completa no caso de espaços finitos ou enumeráveis Nos demais casos é necessária uma condição adicional de mensurabilidade que foge ao escopo deste trabalho O objetivo do nosso trabalho é apresentar e discutir alguns processos aleatórios que assumem apenas valores inteiros Sendo assim os conceitos abordados deste ponto em diante serão feitos a partir de variáveis aleatórias inteiras Ou seja X Ω Z Antes de seguir vamos fixar algumas notações Dada uma variável aleatória X assumindo valores inteiros e k Z denotaremos por X k o evento X k ω Ω Xω k Da mesma forma X k ω Ω Xω k ou ainda X A ω Ω Xω A para A Z 22 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S Com isso PX k indica a probabilidade da va X assumir o valor k em uma dada realização do experimento Vale algo análogo para PX k ou PX A para A Z A distribuição de uma variável aleatória discreta X é a sequência de probabilidades PX k k Z Sendo assim devemos ter 0 PX k 1 e kZ PX k 1 É claro que PX k 0 sempre que k não pertence à imagem de X Com isso para determinar a distribuição de X basta conhecer PX k para k ImX Exemplo 26 Voltemos ao experimento aleatório descrito no início dessa seção observar o resultado da soma das faces obtidas no lançamento de dois dados Lembrando que X corresponde ao número obtido nessa soma e analisando todos os resultados possíveis desse experimento através da figura 4 concluímos que a distribuição da variável aleatória X é dada pela sequência PX 2 1 36 PX 3 2 36 PX 4 3 36 PX 5 4 36 PX 6 5 36 PX 7 6 36 PX 8 5 36 PX 9 4 36 PX 10 3 36 P 11 2 36 PX 12 1 36 Notemos que 12 k2 PX k 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 36 36 1 Algumas distribuições aparecem frequentemente em aplicações e por essa razão recebem nomes especiais Para exemplificar três destas distribuições considere a seguinte situação Vamos realizar um dado experimento aleatório repetidas vezes de modo independente Ao longo destas repetições estaremos interessados na observação de um certo evento A Ω Suponha também que PA p 0 1 Considere então as seguintes variáveis aleatórias X assume 1 se o evento A foi observado em uma dada repetição e 0 caso contrário N conta quantas vezes observamos A em n repetições M conta o total de vezes que observamos Ac até observarmos A pela primeira vez Encontrar as distribuições de cada uma destas variáveis é parte integrante de qualquer curso básico em probabilidade e não apresentaremos os cálculos aqui para não nos alongarmos demais De todo modo listaremos as distribuições abaixo e o leitor interessado pode buscar tais argumentos em 18 PX 1 p e PX 0 1 p N 0 1 2 n com PN k n choose k pk 1 pnk M 0 com PM k 1 pk p A variável X tem distribuição de Bernoulli de parâmetro p N tem distribuição Binomial de parâmetros n e p enquanto M tem distribuição Geométrica de parâmetro p 221 Distribuições Conjuntas Comentários sobre Processos Estocásticos Com alguma frequência como acontece neste trabalho precisamos estudar não apenas uma mas uma sequência de variáveis aleatórias Tais variáveis podem representar por exemplo uma característica observada ao longo de várias repetições de um mesmo experimento aleatório ou ainda a evolução no tempo de algum fenômeno observável Tais sequências são conhecidas como Processos Estocásticos e são em geral representados por alguma sequência Xn indexadas por algum parâmetro n Neste trabalho vamos assumir n IN 0 e Xn ℤ Para tornar mais claro imaginemos que o experimento aleatório observar o resultado da soma das faces obtidas no lançamento de dois dados será repetido infinitas vezes Seja Xn o resultado obtido nessa soma na nésima repetição Agora notemos que esse experimento 24 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S realizado nas condições descritas gera um processo estocástico a tempo discreto representado pela sequência X1 X2 X3 onde o índice temporal n indica simplesmente qual a repetição registrada No estudo de tais processos estaremos especialmente interessados no que chamamos de distribuição conjunta das variáveis do processo Ou seja estaremos interessados em estudar os valores PX0 i0 X1 i1 Xn in para quaisquer i0 in Z Observação 222 Com o intuito de simplificar a notação em vez da notação PX k Y i que corresponde a probabilidade da va X assumir o valor k e va Y o valor i adotamos na definição acima a notação PX k Y i e a usaremos deste ponto em diante Exemplo 27 Considere um processo simples gerado pela rolagem de um dado N 2 vezes Defina Xn a soma dos n N primeiros resultados Neste caso a distribuição conjunta de X1 e X2 é dada pela tabela abaixo X1X2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 0 0 0 0 0 2 0 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 0 0 0 0 3 0 0 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 0 0 0 4 0 0 0 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 0 0 5 0 0 0 0 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 0 6 0 0 0 0 0 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 Não nos aprofundaremos demais em distribuições conjuntas Mais uma vez aqueles interessados em se aprofundar um pouco mais neste assunto podem verificar 18 Termina remos esse breve parêntese comentando apenas uma propriedade simples das distribuições conjuntas Note que se Xk é variável inteira então os eventos Xk m m Z formam uma partição de Ω Com isso vale que mZ PX1 i1 Xk m Xn inPX1 i1 Xk1 im1 Xk1 im1 Xn in 22 VA R I ÁV E I S A L E AT Ó R I A S 25 Neste trabalho nos concentraremos em uma classe de processos conhecida Cadeias de Markov Informalmente falando em uma cadeia de Markov o valor do processo em um instante n 1 pode ser determinado sabendo apenas o valor no instante anterior podendo ignorar toda a tragetória que levou o processo até ali Definição 210 Chamamos de Cadeia de Markov a tempo discreto um processo estocástico a tempo discreto Xnn0 tal que PXn1 jX0 i0 X1 i1 Xn1 in1 Xn i PXn1 jXn i para todo n 1 e para todo subconjunto i0 i1 in1 i j de valores também denomina dos estados das vas Xn Em outras palavras nos processos estocásticos Markovianos os estados anteriores são irrelevantes para a predição do estado seguinte o qual depende unicamente do estado atual do processo Denote agora por pi j como a probabilidade de transição do estado i para estado j em um passo do processo Suporemos também que tais probabilidades não dependem do instante n observado Ou seja as probabilidades de transição de uma cadeia de Markov são dadas por pi j PXn jXn1 i para todo estado i j Z e para todo n 0 Vale assim que que pi j 0 e k pi j 1 Se a probabilidade pi i 1 dizemos que i é um estado absorvente Para não nos prolongarmos demais não daremos exemplos aqui O resto do trabalho se concentrará em três exemplos importantes de Cadeiras de Markov É interessante ressaltar que para que a cadeia de Markov esteja completamente deter minada é preciso que as probabilidades de transição pi j estejam determinadas assim como a distribuição do estado inicial X0 Isto é dados estados i0 i1 in do processo para determinar PX0 i0 X1 i1 Xn in precisamos conhecer PX0 i0 e pik1 ik 1 k n 26 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S De fato segue da definição de probabilidade condicional que PXn inX0 i0 X1 i1 Xn1 in1 PX0 i0 X1 i1 Xn1 in1 Xn in PX0 i0 X1 i1 Xn1 in1 Logo a probabilidade PX0 i0 X1 i1 Xn1 in1 Xn in é igual a PXn inX0 i0 X1 i1 Xn1 in1 PX0 i0 X1 i1 Xn1 in1 27 Agora da propriedade da cadeia de Markov temos que PXn inX0 i0 X1 i1 Xn1 in1 PXn inXn1 in1 pin1 in 28 e substituindo 28 em 27 obtemos PX0 i0 X1 i1 Xn in pin1 in PX0 i0 X1 i1 Xn1 in1 Um argumento indutivo nos garante então que PX0 i0 X1 i1 Xn in pin1 in pin2 in1 pi0 i1 PX0 i0 Assim se PX0 i0 α0 então PX0 i0 X1 i1 Xn in pin1 in pin2 in1 pi0 i1 α0 222 Variáveis Aleatórias Independentes Introduzidas as noções de variáveis aleatórias e suas distribuições estamos prontos para generalizar um pouco mais a noção de independência e introduzir a noção de variáveis aleatórias independentes Mas o que queremos dizer com variáveis X Y independentes O que significa por exemplo duas rolagens de um dado são independentes Informalmente significa que informações sobre uma rolagem ou uma variável não afeta as probabilidades associadas à outra rolagem ou variável Mas isso significa que não estamos comparando apenas dois eventos mas toda uma coleção deles Mais precisamente precisaríamos que todo evento associado à uma variável seja independente e qualquer evento associado à outra variável 23 E S P E R A N ÇA 27 Para deixar tais ideias mais claras considere variáveis X Y com a seguinte distribuição conjunta XY 1 0 1 1 124 112 112 524 0 112 14 16 12 1 112 16 124 724 524 12 724 1 Note que PX 0 Y 0 1 4 1 2 1 2 PX 0PY 0 e portanto os eventos X 0 e Y 0 são independentes Por outro lado PX 1 Y 0 1 6 7 24 1 2 PX 1PY 0 de modo que os eventos X 1 e Y 0 não são independentes Em outras palavras apesar do evento Y 0 não nos trazer nenhuma informação sobre o evento X 0 ele informa algo sobre o evento X 1 Com isso as variáveis X Y não podem ser independentes Definição 211 Diremos que as variáveis aleatórias X1 X2 Xn Z são independentes se PX1 i1 Xn in PX1 i1 PXn in para quaisquer i1 in Z Se além disso temos que PXk i PX1 i para todo 1 k n e i Z diremos que X1 X2 Xn são independentes e identicamente distribuídas iid 23 E S P E R A N ÇA Suponhamos que uma loja deseja lançar a seguinte promoção nas compras acima de R100 00 o cliente seleciona duas bolas ao acaso sem reposição de uma urna contendo 28 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S duas bolas douradas e três vermelhas O cliente ganha 10 reais por cada bola dourada obtida Qual o valor médio de desconto por cliente que a loja deve dar participantes no decorrer da promoção Pois bem se considerarmos o desconto recebido por um cliente obtemos os seguintes valores 0 reais de desconto com probabilidade 3 5 2 4 3 10 10 reais de desconto com probabilidade 2 5 3 4 3 5 2 4 6 10 20 reais de desconto com probabilidade 2 5 1 4 1 10 Heuristicamente podemos pensar que ao longo da promoção 3 10 dos clientes recebeu 0 reais de desconto 6 10 dos clientes recebeu 10 reais de desconto 1 10 dos clientes recebeu 20 reais de desconto Assim o desconto médio por cliente deve ser 0 3 10 10 6 10 20 1 10 6 2 8 reais Se X é a variável aleatória que corresponde ao valor do desconto dado a um cliente diremos neste caso que a esperança de X é EX 0 PX 0 10 PX 10 20 PX 20 8 Em geral vale a seguinte definição Definição 212 Dada uma variável aleatória X Z e f Z R definimos a esperança ou o valor esperado ou a média da variável fX por EfX kZ fkPX k se a soma acima existir Em particular EX kZ kPX k 23 E S P E R A N ÇA 29 Observação 231 Ao longo deste trabalho trabalharemos com variáveis aleatórias finitas ou positivas e com f também positiva No primeiro caso as somas acima são finitas e estão bem definidas No segundo caso as somas acima devem ser pensadas como kZ fkPX k k0 fkPX k Neste caso se a série divergir diremos que EfX Os demais casos podem ser um pouco mais complicados de se trabalhar e não entraremos em maiores detalhes neste trabalho A esperança de X é uma espécie de medida de posição da distribuição de X que corresponde à média ponderada dos possíveis valores de X ponderados pela probabilidade de tal valor ser observado 231 Propriedades da Esperança Seguimos enumerando algumas propriedades da Esperança matemática fundamentais para o nosso estudo Proposição 213 Se X e Y são variáveis aleatórias inteiras com esperança finita então vale que 1 Ec c e EcX cEX para qualquer c R 2 EX Y EX EY 3 se X e Y são independentes então EXY EX EY Demonstração De fato segue da definição de Esperança que 1 Considere as funções fx c e gx cX e note que Ec EfX k fkPX k k cPX k c k PX k c 1 c e EcX EgX k gkPX k k ckPX k c k kPX k cEx concluindo a primeira propriedade 2 Como X e Y são va inteira XY também é uma va inteira e além disso PXYk i PXi XYk i PXi Yki e portanto EXY k k kPXYk k i kPXk Yki e fazendo jki temos EXY j i ijPXk Yj i j iPXi Yj j i jPXi Yj i i j PXi Yj j j i PXi Yj i iPXi j jPYj EX EY e o resultado segue 3 Assim como no item anterior como X e Y são va inteira XY também é uma va inteira e portanto para k 0 vale que PXYk i PXi XYk i PXi Yki Seguindo um argumento análogo ao do item anterior encontramos que EXY i j i j PXi Yj Como X e Y são va independentes então PXk Yi PXkPYi e portanto EXY i j ijPXi Yj i j ijPXiPYj i iPXi i jPYj EXEY concluindo a propriedade e a proposição Na proposição acima foi necessário calcular a esperança de variáveis definidas a partir de outras duas variáveis distintas Mais especificamente XY e XY Ao longo do trabalho precisaremos fazer isso com funções um pouco mais complexas e para isso precisamos deixar claro como pretendemos realizar isso com algumas expressões Assim inspirados nos resultados acima temos a seguinte definição Definição 214 Dadas variáveis aleatórias X1Xn inteiras e f Zn R uma função real defina EfX1Xn k1 kn fk1knPX1k1Xnkn 232 Esperança Condicional Comecemos novamente usando uma situação como exemplo duas bolas são selecionadas ao acaso com reposição de uma urna contendo 5 bolas 2 pretas e três brancas Se denotarmos por X o total de bolas pretas sorteadas temos que X 012 com PX0 35 35 925 PX1 35 25 25 35 1225 PX2 25 25 425 32 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S e portanto EX 0 9 25 1 12 25 2 4 25 4 5 Suponha que recebamos a informação de que a primeira bola sorteada foi preta Como pode mos determinar a nova quantidade esperada de bolas pretas selecionadas nesse experimento dado agora que a 1ª bola retirada é preta Pois bem se definirmos Y1 0 se primeira bola retirada é branca 1 se primeira bola retirada é preta encontramos que PX 0Y1 1 0 pois nessa condição não podemos ter 0 bolas pretas selecionadas PX 1Y1 1 3 5 P2ª bola retirada é branca pois a 2ª bola retirada deve ser branca para obtermos apenas 1 bola preta selecionada PX 2Y1 1 2 5 P2ª bola retirada é preta já que a 2ª bola retirada deve ser preta para obtermos 2 bolas pretas selecionadas Dessa forma a quantidade esperada de bolas pretas selecionadas dado que a 1ª bola retirada é preta que denotaremos por EXY1 1 deve ser EXY1 1 0 PX 0Y1 1 1 PX 1Y1 1 2 PX 2Y1 1 0 0 1 3 5 2 2 5 7 5 29 e portanto a quantidade esperada de bolas pretas selecionadas dado que a 1ª bola retirada é preta é 7 5 1 4 Diante dessa exemplificação apresentamos a seguir a definição de esperança condicional Definição 215 Dadas variáveis aleatórias X Y Z e uma função f Z R a esperança condicional de fX dado que Y y é dada por EfXY y k fkPX kY y onde a soma é feita sobre todos os valores possíveis de X Para melhor entender a definição acima primeiro notemos que PYy é por si só uma probabilidade no espaço amostral Ω De fato é fácil ver que 1 0 PAYy PAYyPYy 1 2 PΩYy 1 3 Se A1 A2 A3 são 2 a 2 disjuntos então A1 Yy A2 Yy são 2 a 2 disjuntos e Pn AnYy Pn An Yy PYy n PAn Yy PYy n PAnYy Essa mudança de probabilidade no espaço Ω trás consigo alterações nas probabilidades associadas à variável X e com isso um novo valor esperado Em outras palavras a informação sobre a ocorrência do evento Yy altera a probabilidade no espaço amostral Ω de P para PYy e EXYy é simplesmente o valor esperado de X de acordo com a probabilidade PYy As propriedades da esperança condicional e suas demonstrações seguem em grande parte de forma análoga aos resultados apresentados na subseção 213 Sendo assim enunciaremos algumas destas propriedades sem maiores justificativas Proposição 216 Se X Y e Z são três variáveis aleatórias inteiras então 1 EcYy c e EcXYy cEXYy onde c é uma constante 2 EXYZz EXZz EYZz 3 Se X Y são independentes então EXYZz EXZzEYZz 4 Para f Z R é verdade que EfX kZ EfXYkPYk 5 Se X e Y são independentes então EXYy EX e EYXx EY Demonstração Como comentamos as 3 primeiras propriedades seguem de modo análogo às suas contrapartidas não condicionais Focamos na demonstração das duas últimas propriedades 4 Segue da regra da probabilidade total que EX Σ i Z fiPX i Σ i Z fi Σ k Z PX iY kPY k Σ k Z Σ i Z fiPX iY k PY k Σ k Z EfXY kPY k 5 Segue da definição de probabilidade condicional que EXY y Σ k kPX kY y Σ k k PX k Y y PY y Se X Y são independentes então EXY y Σ k k PX k PY y PY y Σ k kPX k EX Analogamente obtémse EY X x EY Seguimos agora com um conceito fundamental para as futuras discussões neste trabalho 24 FUNÇÕES GERADORAS DE PROBABILIDADE Antes de dar início a esta última parte da nossa revisão teórica precisamos fazer alguns comentários sobre o ferramental matemático que utilizaremos a seguir Um breve parêntese sobre séries de potência Nos resultados que seguem precisaremos usar e abusar do conceito de séries de potência A teoria por trás de tais objetos é maior e mais complexa do que conseguiríamos cobrir nestas páginas 24 F U N Ç Õ E S G E R A D O R A S D E P R O B A B I L I DA D E 35 Abaixo traremos a definição e uma breve lista dos resultados relativos a séries de potência que usaremos ao longo do trabalho Aos leitores ainda não familiarizados com o conceito e que pretendam se aprofundar recomendamos a leitura de 21 para uma abordagem mais operacional e de 19 para uma visão mais formal do assunto Rapidamente então uma série de potências com coeficientes ann0 em torno de a R é uma série do tipo fs k0 aks ak A função acima está bem definida sempre que a série à direita for convergente o que acontece sempre que s a R onde R lim inf n an 1 n é conhecido como raio de convergência da série Neste caso temos que k aks ak diverge para s R O comportamento em s R tem que ser definido caso a caso Outro resultado importante é que a série fs k0 aks ak possui raio de convergência R 0 então fs é diferenciável em a R a R e f s k1 kaks ak1 e a série acima tem o mesmo raio de convergência Aplicando esta ideia na série f s podemos derivar fs quantas vezes quisermos sem alterar o raio de convergência Ou seja f é infinitamente diferenciável e f ns kn k k naks akn para s a R a R Para completar vamos precisar um último resultado A versão que apresentamos a seguir é uma adaptação de um teorema maior conhecido como Teorema de Abel em homenagem ao matemático Norueguês Niels Henrik Abel 36 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S Teorema 217 Teorema de Abel Adaptado Se an 0 para todo n 0 e fs k0 aksk converge para s 1 então lim s1 fs k0 ak Em particular se k ak converge então fs é contínua em s 1 Finalizado este breve parêntese estamos prontos para retornar ao assunto principal desta seção Comecemos com uma definição Definição 218 Seja X uma variável aleatória com valores em Z Chamamos de função geradora de probabilidade da variável aleatória X a função definida por fs EsX k0 skPX k Notemos que f é uma série potências e que skPX k sk Como a série geométrica k0sk converge para s 1 então pelo teste de comparação 21 f também converge E portanto f está bem definida em 1 1 Agora notemos que fs EsX PX 0 s1PX 1 s2PX 2 s3PX 3 210 e que f1 PX 0 PX 1 PX 2 PX 3 1 Logo f também é definida em s 1 Já para f1 temos que f1 k0 1kPX k Lembrando que se uma série an for absolutamente convergente então an é convergente 21 segue que f também é definida em s 1 e portanto o domínio Df de uma função geradora de probabilidade f é tal que 1 1 Df 24 F U N Ç Õ E S G E R A D O R A S D E P R O B A B I L I DA D E 37 Exemplo 28 Variáveis Geométricas Consideremos uma sequência de tentativas idênticas e independentes de um experimento Estamos interessados na observação de um certo evento A que ocorre com probabilidade p a cada repetição do experimento Chamaremos cada observação do evento A de sucesso e falha cada vez que isso não ocorrer Seja X quantidade de falhas até o primeiro sucesso Assim a distribuição da variável aleatória X é PX K 1 pkp k 0 Variáveis com a distribuição acima são chamadas de variáveis Geométricas ou com dis tribuição Geométrica de parâmento p e sua função geradora de probabilidade é dada por fs k0 sk1 pkp p k0 s1 pk Como série geométrica converge para x 1 com k0 xk 1 1 x segue que para s 11 p fs p 1 s1 p A função f recebe o nome de geradora de probabilidade justamente por nos fornecer a distribuição de probabilidade da variável aleatória X ou seja podemos obter a probabilidade de X k a partir da função fs De fato como fs está definida no intervalo 1 1 sabemos que f é infinitamente diferenciável em 1 1 Calculando os valores de f k0 onde f k corresponde a késima derivada da função fs recuperamos os termos independentes de cada uma das séries Isto é fs PX 0 s1PX 1 s2PX 2 s3PX 3 f0 PX 0 f s 1 PX 1 2s1PX 2 3s2PX 3 f 0 1 PX 1 38 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S f s 2 1 PX 2 3 2s1PX 3 4 3s2PX 4 f 0 2 PX 2 f s 3 2 1 PX 3 4 3 2s1PX 4 5 4 3s2PX 5 f 0 3 PX 3 Assim um argumento indutivo nos mostra que f k0 k PX k e portanto PX k f k0 k Exemplo 29 Seja N uma variável aleatória inteira positiva com função geradora de probabi lidade dada por fs eλ1s eλeλs Nestas condições temos f ks eλeλsλk e portanto PN k f k0 k eλ λk k para k 0 Este resultado nos permite concluir a seguinte proposição Proposição 219 Sejam X e Y variáveis aleatórias com funções geradoras de probabilidades fX e fY respectivamente Nestas condições se fXs fYs para s 1 então X e Y têm a mesma distribuição Isto é se PX k PY k para todo k 0 Demonstração Basta observar que para k 0 PX k f k X 0 k f k Y 0 k PY k Para maiores detalhes veja 19 página 177 Teorema 85 24 F U N Ç Õ E S G E R A D O R A S D E P R O B A B I L I DA D E 39 Dando sequência vamos agora analisar a função geradora em s 1 Já vimos anteriormente que f1 1 e o teorema 217 nos garante que fs é contínua em s 1 Se supormos que a série k skPX k tem raio de convergência R 1 então fs é diferenciável em s 1 e f 1 k0 kPX k EX Mas mesmo que não consigamos garantir que R 1 ainda tem algo que podemos concluir Primeiro lembre que fs é infinitamente diferenciável para s 1 Em particular sabemos que f s k1 ksk1PX k Assim o teorema de Abel teorema 217 nos garante que lim s1 f s k0 kPX k EX Finalizaremos nossa não tão breve revisão teórica dos conceitos de probabilidade nos números inteiros com outro resultado importante a cerca das funções geradoras Proposição 220 Se X1 Xn são n variáveis aleatórias independentes com funções geradoras de probabilidades fX1 fXn respectivamente então para Sn X1 Xn vale que fSns fX1s fXns onde fSn é a função geradora de probabilidade de Sn Demonstração Vamos fazer aqui apenas o caso n 2 O caso geral segue por indução Para isso faça X1 X e X2 Y e observe que fXYs k0 skPX Y k e como X e Y são independentes temos que PX Y k k n0 PX n Y k n k n0 PX nPY k n Logo fXYs k0 skPX Y k fXYs k0 sk k n0 PX nPY k n 40 P R O B A B I L I DA D E N O S N Ú M E R O S I N T E I R O S Com isso temos que fXYs s0PX 0PY 0 s1PX 0PY 1 PX 1PY 0 s2PX 0PY 2 PX 1PY 1 PX 2PY 0 s3PX 0PY 3 PX 1PY 2 PX 2PY 1 PX 3PY 0 Reagrupando os termos dessa soma podemos somar as colunas acima primeiro para obtermos que fXYs PX 0 k0 skPY k PX 1 k1 skPY k 1 n0 PX n kn skPY k n n0 snPX n kn sknPY k n n0 snPX n j0 sjPY j n0 snPX nfys fXsfYs como queríamos demonstrar E assim esperamos ter construído um bom alicerce para os principais resultados que constituirão o corpo desse trabalho E que comece a diversão 3 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S Com o intuito de fomentar nosso estudo sobre os Passeios aleatórios simples iniciaremos esse capítulo apresentando problema clássico na teoria da probabilidade O Problema da ruína do Jogador Tal problema modela de maneira simples um jogo de apostas e nele discutiremos sobre as probabilidades do jogador perder todo o seu dinheiro e a duração esperada em determinado jogo de apostas A partir dessa discussão o nosso estudo abordará a definição e alguns resultados importantes de um modelo aparentemente simples mas com grande poder na modelagem estocástica os passeios aleatórios simples 31 P R O B L E M A DA R U Í N A D O J O G A D O R Consideremos um jogador que vai a um cassino para fazer uma série de apostas Em cada uma delas ou ele ganha 1 real com probabilidade p ou perde 1 real com probabilidade q 1 p Começando com uma fortuna inicial de m 0 ele jogará até perder todo o seu dinheiro e estar arruinado ou até acumular um fortuna de N m reais Figura 5 O processo da Ruína do Jogador 41 42 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S Para descrever matematicamente o problema acima seja Ynn1 uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição dada por PYn 1 p e PYn 1 q 1 p com p 0 1 indicando o quanto o jogador ganhou ou perdeu na nésima aposta O processo será dado então por uma sequência Xnn0 de variáveis aleatórias com valores em Z onde Xn representa a fortuna do jogador na nésima aposta tais que X0 m 0 e Xn 0 se Xn1 0 Xn1 Yn se 0 Xn1 N N se Xn1 N para n 1 Assim para exemplificar se o jogador começa com 1 real e tem a seguinte sequência de resultados vitória derrota vitória vitória derrota derrota derrota teremos que Y1 1 Y2 1 Y3 1 Y4 1 Y5 1 Y6 1 Y7 1 e o processo seguirá a seguinte trajetória X0 1 X1 2 X2 1 X3 2 X4 3 X5 2 X6 1 X7 0 terminando com a ruína do jogador após 7 jogadas É interessante notar que se o jogo demora mais que n jogadas para acabar então Xn X0 Y1 Yn m Y1 Yn 31 sempre que X0 m Esta caracterização nos será útil mais à frente Observe que se X0 0 ou X0 N então Xn X0 para todo n 1 e o processo é trivial Os casos interessantes são claramente aqueles onde 0 m N mas incluiremos os casos triviais por razões que ficarão claras mais à frente 31 P R O B L E M A DA R U Í N A D O J O G A D O R 43 Outro ponto importante é que a fortuna do jogador no instante n depende somente da fortuna que ele possui no instante n 1 De fato se i0 i1 i2 in são tais que ik ik1 1 1 k n como Yn1 é independente de Xn então PXn1 jXk ik 1 k n PYn j in PXn1 jXn in Logo o processo em questão é uma cadeia de Markov com probabilidades de transição dadas por PXn i 1Xn1 i p e PXn i 1Xn1 i q 1 p para quaisquer n 1 Além disso o processo possui dois estados absorventes 0 e N como comentamos acima A questão agora está em determinar qual a probabilidade do jogador ruir diante das condições apresentadas que é o que responderemos a seguir 311 A Probabilidade da ruína do jogador Nesta seção queremos estudar a ruína do jogador Mais precisamente queremos determinar a probabilidade do jogador perder todo seu dinheiro Para tal vamos antes de mais nada tentar descrever o evento ruína usando a descrição do processo dada acima Note antes demais mais nada que para que ocorra a ruína o jogador deve perder todo o seu dinheiro antes de ganhar N reais Esta ideia pode ser formalizada definindo para cada 0 i N a variável Ti minn 0 Xn i representando o primeiro instante que o processo visita o estado i Com isso a ruína ocorre justamente quando T0 TN Ou seja PruínaX0 m PT0 TNX0 m para 0 m N É interessante observar que PT0 TNX0 N 0 e PT0 TNX0 0 1 justamente porque 0 e N são estados absorventes do processo Podemos fazer também algumas observações simples a respeito da probabiliade de ruína A primeira é que se X₀ m 0 N e Y₁ Ym 1 então T₀ m e a ruína acontece Ou seja Pruína X₀ m PY₁ 1 Ym 1 qm 1 pm uma vez que Y₁ Ym são independentes com PYm 1 1 p De maneira análoga se X₀ m 0 N e Y₁ YNm 1 então TN N m e a ruína é evitada Com isso PruínaX₀ m 1 Pnão ruínaX₀ m 1 PY₁ 1 YNm 1 1 pNm Em resumo 1 pm PruínaX₀ m 1 pNm Mas estas estimativas parecem pouco informativas especialmente para m grande De fato se m for grande então 1 pm está próximo a 0 o que diria apenas que a probabilidade de ruína é positiva Do mesmo modo se m N é grande então N é grande e o jogador não se satisfaz com pouco Se além disso a diferença N m é grande então 1 pNm está perto de 1 e não temos nenhuma informação muito relevante Felizmente é possível calcularmos exatamente a probabilidade de ruína como mostramos na seguinte proposição Proposição 31 Com base no Problema da ruína do jogador descrito acima a probabilidade da ruína é dada por PruínaX₀ m qpm qpN 1 qpN se p q 1 mN se p q Demonstração Primeiro note que para m 0 N a probabilidade da ruína pode ser expressa como PT₀ TNX₀ m PT₀ TN X₁ m 1X₀ m PT₀ TN X₁ m 1X₀ m PT₀ TNX₁ m 1 X₀ mPX₁ m 1X₀ m PT₀ TNX₁ m 1 X₀ mPX₁ m 1X₀ m 31 P R O B L E M A DA R U Í N A D O J O G A D O R 45 Antes de seguir fixado i 1 1 queremos entender PT0 TNX1 m i X0 m e para isso temos algumas condições à analisar Primeiro se X1 m i 0 então T0 1 PT0 TNX1 m i X0 m 1 PT0 TNX0 m i Do mesmo modo de X1 m i N então TN 1 PT0 TNX1 m i X0 m 0 PT0 TNX0 m i Por outro lado se X1 m i 0 N então Y1 i segue da equação 31 que para n minT0 TN Xn m Y1 Y2 Yn m i Y2 Yn E como Y2 Yn tem a mesma distribuição conjunta de Y1 Yn1 segue que condicionado à X1 m i o processo tem a mesma distribuição de Xn1 X0 Y1 Yn1 m i Y1 Yn1 Ou seja tem a mesma distribuição de Xn1 condicionado apenas a X0 m i Intuitivamente falando ao mover de m para m i o processo se renova considerando um novo ponto de início e descontando o instante que passou Ou seja PXn AX1 m i X0 m PXn1 AX0 m i Observação 311 Este resultado assim como o que apresentaremos abaixo é em geral bastante intuitivo e ao apresentar o tema para estudantes ou para o público em geral pode ser uma ideia pular tais argumentos e apresentar diretamente a equação 33 que apresentamos abaixo De fato a própria relação entre a ruína e o evento T0 TN pode ser desnecessária De fato é assim que a encontramos na maior parte da literatura incluindo 20 Para ver o efeito disto note que se X1 m i 0 então para j 0 N Tj minn 1 Xn j minn 1 m i Y2 Yn j 46 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S que tem a mesma distribuição de minn 1 m i Y1 Yn1 j minn 1 Xn1 j Tj 1 32 mas agora condicionado apenas à X0 m i Intuitivamente ao andarmos de m para m i o total de jogadas necessárias para terminar o jogo com ou sem ruína é a primeira jogada mais o total necessário se nossa fortuna inicial fosse de m i Em outras palavras se X1 m i 0 N então PT0 TNX1 m i X0 m PT0 1 TN 1X0 m i PT0 TNX0 m i E assim obtemos que PT0 TNX0 m PT0 TNX1 m 1 X0 mPX1 m 1X0 m PT0 TNX1 m 1 X0 mPX1 m 1X0 m PT0 TNX0 m 1 q PT0 TNX0 m 1 p Colocando em palavras se o jogador perder a primeira jogada o que acontece com probabilidade q a probabilidade de sua ruína passa a ser a mesma de um jogador que começa com um real a menos Por outro lado se ele ganhar a primeira jogada o que acontece com probabilidade p ele passa a ter a mesma probabilidade de ruína que ele teria se começasse o jogo com m 1 reais Denotando por um a probabilidade de ruína com fortuna inicial m temos um PT0 TNX0 m e equação acima nos dá que um um1 q um1 p 33 com u0 1 e uN 0 Resumindo encontramos a seguinte relação de recorrência um um1 q um1 p para 1 m N 1 u0 1 uN 0 Para simplificar a expressão acima observamos que p q 1 e portanto p qum um1q um1p O que nos garante que um1 ump um um1q Agora defina am um1 um para 1 m N 1 Assim obtemos am p am1 q ou ainda am qp am1 Deste modo a sequência am é uma progressão geométrica de razão qp e portanto am qpm a0 Definindo λ qp temos um1 um λm u1 u0 e um um 1 λm1 u1 u0 um 1 um 2 λm2 u1 u0 u2 u1 λ1 u1 u0 u1 u0 λ0 u1 u0 Somando e simplificado as equações acima temos um u0 1 λ λ2 λm1 u1 u0 34 um 1 λ λ2 λm1 u1 1 1 35 já que u0 1 Caso 1 p q Pois bem se p q então qp λ 1 Notemos também que a expressão 1 λ λ2 λm1 tratase da soma dos m primeiros termos da progressão geométrica de razão λ e com primeiro termo igual a 1 Assim temos que 1 λ λ2 λm1 λm 1 λ 1 Por 35 obtemos um λm 1 λ 1 u1 1 1 36 Usando isso e o fato que uN 0 encontramos uN λN 1 λ 1u1 1 1 0 u1 λN 1 λ 1 λN 1 λ 1 1 u1 1 λ 1 λN 1 37 Substituindo 37 em 36 resulta em um λm 1 λ 1 1 λ 1 λN 1 1 1 1 λm 1 λN 1 λm λN 1 λN Portanto PruínaX0 m qpm qpN 1 qpN o que conclui a demonstração para o caso 1 da Proposição 31 Caso 2 p q Pois bem se p q então p q 12 e qp λ 1 Assim temos que 1 λ λ2 λm1 m E por 35 obtemos um mu1 1 1 38 Usando isso e novamente o fato de uN 0 segue que uN Nu1 1 1 0 Nu1 N 1 u1 1 1N 39 Substituindo 39 em 38 temos o seguinte resultado um m1 1N 1 1 PruínaX0 m 1 mN Concluindo a demonstração para o caso 2 da Proposição Exemplo 31 Um jogador fará uma série de apostas na roleta todas no preto Sua fortuna inicial é de R 5000 e ele jogará até que sua fortuna seja 0 ou R 10000 o legítimo conceito de o dobro ou nada As apostas são de R 100 ou seja a cada aposta ou ele ganha R100 com probabilidade 1838 919 ou perde R 100 com probabilidade 2038 1019 lembrando que na roleta temos 18 pretos 18 vermelhos e 2 verdes Notemos que qp 109 Assim e pela Proposição 31 a probabilidade da ruína desse jogador é PruínaX0 50 10950 109100 1 109100 099 Logo o jogador perderá R 5000 com probabilidade de 99 Exemplo 32 Se em vez de apostar na roleta o jogador do exemplo anterior fizesse a série de apostas utilizando uma série de lançamentos de uma moeda não viciada onde ganharia R 100 se o resultado fosse cara ou perderia R 100 caso fosse coroa Nessa situação teríamos p q 12 e pela Proposição 31 a probabilidade da ruína nesse caso é dada por PruínaX0 50 1 50100 05 Logo nessa situação a probabilidade de fracasso do jogador decresceria para 50 Um cenário bem mais atrativo para as apostas comparado ao jogo na roleta apresentado no exemplo anterior É interessante notar que no exemplo 31 a probabilidade de vitória era de 919 que não é muito menor que 12 a probabilidade de vitória no exemplo 32 Ainda assim a diferença na probabilidade de ruína é significativa Isso vai ser um ponto essencial na proposta de atividade feita no capítulo final 312 A Probabilidade da ruína do jogador ganancioso Consideremos novamente o Problema da ruína do jogador mas agora diante de um jogador que nunca estará satisfeito com a fortuna adquirida e estará sempre em busca de um lucro cada vez maior através da série de apostas Ele só deixará de apostar caso esteja arruinado Caso contrário jogará para sempre Nesse novo cenário como fica a probabilidade da ruína do jogador Pois bem observemos que o estado N que antes era absorvente agora não existe ou é infinito e a ruína agora só ocorre se o tempo T0 da primeira visita ao estado 0 for finito Assim nesse caso a probabilidade da ruína é dada por PT0 X0 m Note agora que fixado m 0 então TN N m para todo N m Isso nos dá que lim N TN e portanto os eventos T0 TN também convergem Ou seja T0 TN T0 e além disso como TN TN1 temos que a sequência de eventos T0 TN é crescente e pela Proposição 23 temos que PT0 X0 m lim N PT0 TNX0 m Dito isso seguimos para mais um resultado Proposição 32 Com base na descrição do Problema da Ruína do Jogador ganancioso a probabilidade da ruína neste caso é dada por Pruína do gananciosoX0 m qpm se p q 1 se p q Demonstração Pois bem como comentamos acima Pruína do gananciosoX0 m PT0 X0 m lim N PT0 TNX0 m E usando a Proposição 31 para o caso em que p q temos Pruína do gananciosoX0 m lim N PT0 TNX0 m lim N qpm qpN1 qpN Nesse caso temos duas possibilidades a analisar Se p q então quando N tende a infinito qpN tende a 0 Logo Pruína do gananciosoX0 m qpm e portanto nesse cenário a ruína do jogador não é certa o que não é surpreendente já que em cada aposta a probabilidade de vencer é maior que a probabilidade de perder Logo o jogo tem um viés a favor do jogador Além disso observe ainda que a probabilidade da ruína diminui à medida que a fortuna inicial m aumenta Se p q então quando N tende a infinito qpN tende a infinito enquanto pqN 0 Logo Pruína do gananciosoX0 m limN pqNm 1pqN 1 1 e portanto a ruína do jogador é inevitável nessa condição O que também não surpreende pois agora o jogo segue com um viés contra o jogador probabilidade de perder maior que a probabilidade de vencer em cada aposta realizada Já para o caso em que p q e ainda usando a Proposição 31 temos Pruína do gananciosoX0 m limN PT0 TNX0 m limN 1 mN 1 e portanto mais uma vez temos a certeza que em algum momento o jogador ganancioso estará arruinado Esta sim pode causar uma certa surpresa à intuição visto que o jogador não pode esperar nenhum êxito no jogo mesmo tendo a vitória e a derrota igualmente possíveis em cada aposta 52 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S que em Xn 0 teremos 0 indivíduos e portanto não serão mais possíveis os nascimentos e as mortes nessa população O processo de ruína do jogador ganancioso é recuperado quando pk p qk 1 p e rk 0 para todo k 0 Neste contexto uma questão interessante a ser considerada é qual o tempo esperado para que a extinção de uma população ocorra Voltando ao problema da Ruína do Jogador do Ganancioso o tempo esperado de extinção corresponde a duração esperada do jogo Nas próximas seções seguimos com o nosso estudo nessa direção 313 Duração esperada do jogo Já sabemos quais as probabilidades do nosso jogador ruir em sua saga pelo acaso Agora o que podemos esperar em relação à duração do Jogo No caso do jogador ganancioso onde o jogo só chega ao seu fim diante da hipótese da fortuna do jogador zerar teremos que pensar como determinar a quantidade média de apostas necessárias para que isso ocorra Para termos uma ideia do que esperar vamos fazer uma análise informal e simples usando o comportamento médio do processo Para isso lembre que antes do final do jogo vale que Xn X0 Y1 Y2 Yn EXn Em Y1 Y2 Yn EXn Em EY1 EY2 EYn EXn m nEY1 já que Y1 Y2 Yn são iid Como temos EY1 1 p 1 q p 1 p 2p 1 segue que EXn m nEY m n2p 1 Assim em média o jogador terá m n2p 1 reais após n jogadas Como a ruína ocorre quando o processo atinge 0 esperase n seja tal que EXn 0 Assim temos 0 EXn m n2p 1 e n m1 2p 310 Essa é uma análise informal e trás informações limitadas sobre o que devemos esperar do processo Observe por exemplo que se p 12 teríamos que EXn m n2p 1 0 e em média o jogador não ganha ou perde nada o que não nos dá muita informação sobre o tempo de jogo Por outro lado como n 0 precisamos que 1 2p 0 Isso implica que a estimativa encontrada só é válida para p 12 Isso acontece por que se p 12 então o saldo médio por jogada é positivo e o jogador nunca chegaria a ruína E portanto mais uma vez a análise média falha em nos dar alguma informação sobre o tempo de jogo esperado De todo modo para p 12 devemos esperar um total aproximado de n m12p apostas Para uma melhor análise da quantidade média de apostas do jogador voltaremos ao Problema inicial da ruína do Jogador ou seja ao processo Xn que possui 0 e N como estados absorventes e portanto o processo se encerra no instante em que o processo atinge 0 o que acontece em T0 ou quando atingir N o que acontece em TN Com isso se chamarmos de SN o tempo total de jogo temos SN minT0 TN Com isso estamos prontos para o nosso primeiro resultado relativo à duração esperada do jogo Proposição 33 De acordo com o Problema da ruína do jogador seção 31 seja Dm ESNX0 m a duração esperada do jogo de um apostador com fortuna inicial m Se ele apostar até que sua fortuna atinja 0 ou N então Dm m12p N12p 1 qpm1 qpN se p q mN m se p q 54 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S Demonstração Primeiro observemos que D0 DN 0 já que não haverá apostas se a fortuna inicial do jogador for 0 ou N Condicionando o jogo ao resultado da primeira aposta percebemos um detalhe importante Ao caminhar de m para m 1 ou m 1 o processo toma um instante de tempo e portanto como vimos nos argumentos levando à equação 32 condicionado a X1 m i temos que SN tem a mesma distribuição de minT0 1 TN 1 SN 1 condicionado apenas à X0 m i i 1 ou 1 Ou seja ESNX0 m X1 m i ESN 1X0 m i e Dm ESNX0 m ESNX0 m X1 m 1PX1 m 1X0 m ESNX0 m X1 m 1PX1 m 1X0 m ESN 1X0 m 1 q ESN 1X0 m 1 p q 1 Dm1 p 1 Dm1 p q p Dm1 q Dm1 1 p Dm1 q Dm1 Ou seja a quantidade esperada de apostas para o jogo com fortuna inicial m será igual à soma das quantidades esperadas de apostas dos jogos iniciados com fortuna m 1 e com fortuna m 1 cada uma adicionada a um instante de tempo referente à primeira aposta multiplicadas por suas respectivas probabilidades de ocorrência A partir disso obtemos Dm 1 p Dm1 q Dm1 311 ou ainda p Dm1 Dm q Dm1 1 Observe agora que o equação acima é uma equação linear nãohomogênea com equação homogênea associada dada por hm p hm1 q hm1 que é exatamente a equação que encontramos para a probabilidade de ruína dada em 33 As soluções gerais são dadas em 36 e 38 e com uma simples manipulação algébrica encontramos que C1 C2 qpm se p q C1 C2 m se p q A busca por soluções particulares difere nos dois casos e é possível verificar que tm m12p é solução particular da equação 311 para p q enquanto tm m2 é solução particular quando p q Com isso temos que a solução geral é dada por C1 C2 qpm m12p se p q C1 C2 m m2 se p q 312 A seguir calcularemos a solução específica de cada caso lembrando que D0 DN 0 Caso 1 p q Neste caso fazendo D0 DN 0 em 312 obtemos que C1 C2 0 C1 C2 qpN N12p 0 e portanto C2 C1 e C1 N12p 11 qpN Segue assim que Dm m12p N12p 1 qpm1 qpN Caso 2 p q 12 Procedendo da mesma forma que no caso 1 usando que D0 DN 0 encontramos que C1 0 C2 N N2 0 e assim C2 N e Dm Nm m2 mN m concluindo a prova Exemplo 33 Voltemos à situação descrita no exemplo 31 Pela Proposição 33 a duração esperada da série de apostas realizadas na roleta será D50 50 1 2 919 100 1 2 919 1 10950 1 109100 940 Portanto esperase que ocorra aproximadamente 940 apostas até o final do jogo Exemplo 34 Não podemos também de deixar de voltar ao exemplo 32 para determinar a duração esperada da série de apostas com base na cara e na coroa da moeda Daí e também pela Proposição 33 temos que D50 50100 50 2500 Portanto é esperado um total de 2500 apostas Apesar do jogo realizado na moeda ter se mostrado mais vantajoso ao jogador conforme discutimos no exemplo 32 ele exigirá mais paciência por parte dos envolvidos já que esperase um número bem maior de apostas para finalizálo do que em relação ao jogo na roleta 314 Duração esperada do jogo com um jogador ganancioso A partir dos resultados obtidos sobre a duração esperada do jogo com estados de absorção inferior e superior para fortuna inicial m podemos dizer o que esperar em relação à duração do jogo com o jogador ganancioso Lembrando que o jogador ganancioso jogará para sempre exceto se sua fortuna zerar decretando sua ruína percebemos que o jogo só acaba quando o processo atinge 0 e portanto se denotarmos por S o tempo de jogo do jogador ganancioso temos simplesmente que S T0 Lembremos agora que o tempo de jogo do jogador comedido é SN minT0 TN e que TN quando N e assim S T0 lim N minT0 TN lim N SN De posse dessas informações estamos prontos para o próximo resultado Proposição 34 A duração esperada Dmg do jogo em A Ruína do Jogador Ganancioso é dado por Dmg m1 2p se p q se p q Demonstração Pois bem sendo assim temos que se Dmg ESX0 m corresponde à duração esperada do jogo com um jogador ganancioso de fortuna inicial m então Dmg ESX0 m lim N ESNX0 m lim N Dm Analisando caso a caso obtemos o seguinte caso 1 p q Pela Proposição 33 segue que Dmg lim N Dm lim N m1 2p N1 2p 1 qpm 1 qpN m1 2p 1 qpm 1 2p lim N N 1 qpN Nesse caso temos duas possibilidades para analisar Se p q temos que qpN tende a 0 quando N vai ao infinito Assim lim N N 1 qpN Como p q p 12 1 2p 0 então Dmg m1 2p 1 qpm 1 2p lim N N1 qpN m1 2p Lembrando que nesse caso o jogo tem um viés a favor do jogador Portanto sua ruína pode até ocorrer porém é esperado que leve muito tempo para que isso aconteça Se p q temos que qpN tende ao infinito com N Assim lim N N 1 qpN 0 visto que diante dessa hipótese o crescimento exponencial de qpN é mais rápido que o crescimento polinomial de N Logo Dmg m1 2p 1 qpm 1 2p lim N N 1 qpN m1 2p 0 m1 2p Vimos que a ruína do jogador ganancioso nesse caso ocorre com probabilidade 1 Portanto ela é certa e com duração esperada de m1 2p Notemos que este resultado corrobora o que discutimos na equação 310 Caso 2 p q Nessa hipótese e ainda pela Proposição 33 obtemos Dmg lim N Dm lim N mN m Este talvez seja o mais interessante destes resultados Isso por que vimos que a ruína do jogador ganancioso nesse caso é certa mas apesar disso o tempo esperado de jogo é infinito Assim o jogador vai perder mas esperará muito tempo por isso alimentando expectativas e deixando a derrota ainda mais amarga Observação 312 O resultado Dm no caso p q onde o viés está do lado do jogador poderia ter sido rapidamente encontrado de outro modo Basta notar que da Proposição 33 temos PT0 X0 m qpm 1 e portanto PT0 X0 m 1 PT0 X0 m 0 nos dando ESX0 m ET0X0 m Exemplo 35 Voltemos à situação em que um jogador fará uma série de apostas na roleta todas no preto começando com uma fortuna de R 5000 Só que dessa vez ele abandonará as apostas somente em caso de ruína Lembrando que ou ele ganha R 100 com probabilidade p1838919 ou perde R 100 com probabilidade q20381019 Notemos que p q Assim e conforme discutido na probabilidade da ruína do jogador ganancioso a ruína do jogador ocorre com probabilidade 1 e a duração esperada para que isso ocorra de acordo com a discussão feita acima é dada por D50 50 1 2 919 950 apostas Exemplo 36 Se o jogador ganancioso do exemplo anterior preferisse realizar suas apostas utilizando lançamentos de uma moeda não viciada onde ganharia R 100 se o resultado fosse cara ou perderia R 100 caso fosse coroa teríamos também a ruína desse jogador inevitavelmente já que temos p q 12 Porém ainda segundo as demonstrações feitas na probabilidade da ruína e na duração esperada do jogo ambas com um jogador ganancioso a duração esperada nesse caso é D50 ou seja pode levar muito tempo para a ruína ocorrer 60 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S discreto ou a partícula salta para o sítio vizinho à direita com probabilidade p ou salta para o sítio vizinho à esquerda com probabilidade q 1 p Na figura 6 ilustramos esse fenômeno partindo de X0 0 Figura 6 Passeio aleatório simples iniciado em X0 0 Seja Xn a posição da partícula no nésimo salto Dessa forma a sequência Xnn0 estabe lece um Passeio aleatório simples PAS ou simplesmente um Passeio aleatório em Z Definição 35 Passeio aleatório simples a tempo discreto é um processo estocástico Xnn0 com valores em Z tal que Xn Xn1 Yn para n 1 onde Y1 Y2 é uma sequência de variáveis aleatórias independentes com valores em 1 1 e identicamente distribuídas com distribuição dada por PY 1 p e PY 1 q 1 p Também podemos expressar Xn X0 Y1 Y2 Yn Quando temos p q 1 2 dizemos que o processo é um Passeio aleatório simples simétrico PASS Observemos que a posição da partícula no instante n depende somente da posição que ela ocupa no instante n 1 Matematicamente isso pode ser expresso por PXn kX0 i0 Xn2 in2 Xn1 i PXn kXn1 i o que nos diz que os passeios aleatórios simples são cadeias de Markov Notemos ainda que o Problema da Ruína do Jogador Ganancioso pode ser visto como um caso particular dos PAS mais especificamente dos passeios aleatórios em Z com início em X0 m 0 fortuna inicial onde acompanhamos o processo até o instante T0 de 32 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S 61 primeira visita ao sítio 0 Neste paralelo cada aposta vitoriosa representa um salto para o sítio imediatamente à direita assim como cada aposta perdida um salto para o sítio imediatamente à esquerda Até T0 os dois processos são indistinguíveis e assim podemos aplicar os resultados obtidos a partir do problema da ruína do jogador nos passeios aleatórios como veremos mais a frente A partir desses resultados iniciais sobre os Passeios aleatórios simples iremos agora apro fundar um pouco mais nosso estudo sobre esse processo Nesse sentido uma discussão interessante a ser feita é como saber se a partícula retornará ou não ao ponto de origem em seu PAS após um intervalo de tempo finito 321 Retorno à origem Para responder à questão levantada acima e simplificar a exposição tomaremos o passeio aleatório simples de uma partícula cuja posição inicial é X0 0 e p 0 1 Usando novamente a definição Ti minn 1 Xn i a discussão rodará entorno da probabilidade da partícula retornar ao estado 0 pela primeira vez após finitos saltos que pode ser expressado por PT0 X0 0 onde T0 minn 1 Xn 0 Neste sentido é útil uma rápida definição antes de continuarmos Definição 36 Dizemos que o PAS é recorrente quando PT0 X0 0 1 E dizemos que ele é transiente quando PT0 X0 0 1 Em outras palavras a recorrência significa que o passeio retornará ao sítio 0 em algum momento com probabilidade 1 Notemos que assim como acontece com o modelo da ruína do jogador o passeio é renovado a cada retorno ao 0 Ou seja a partir do instante em que o passeio chega a 0 o processo recomeça de forma independente da trajetória que o levou até ali Deste modo quando o PAS é recorrente o sítio 0 será visitado infinitas vezes 62 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S Por outro lado se o PAS for transiente a probabilidade de retorno pode ser positiva mas a cada visita existe uma probabilidade positiva dele nunca mais retornar à origem Com isso assim como acontece com uma moeda viciada existe um momento em que o passeio visita a origem pela última vez fazendo o total de visitas ser finito Podemos inclusive determinar a distribuição da quantidade de vezes que um PAS transiente visita o sítio 0 em sua trajetória Para isso consideremos um passeio aleatório simples transiente que retorna à origem com probabilidade θ 1 e não retorna com probabilidade 1 θ 0 Agora seja W a va que corresponde à quantidade de visitas à origem deste passeio durante sua trajetória Assim considerando que o passeio se renova a cada retorno à origem temos que PW 1 1 θ ou seja a probabilidade do passeio nunca mais retornar é igual a probabilidade do passeio visitar a origem apenas 1 vez o momento inicial PW 2 θ 1 θ PW 3 θ θ 1 θ θ2 1 θ PW k θk1 1 θ para k 1 2 3 Notemos que PW i1 PW i i1 θi1 1 θ 1 e que a esperança de W é dada por EW i1 i θi1 1 θ EW i1 i 1 1 θi1 1 θ EW i1 i 1 θi1 1 θ i1 θi1 1 θ EW i1 i 1 θi1 1 θ 1 Fazendo j i 1 segue EW j0 j θj 1 θ 1 EW θ Σj1 jθj1 1 θ 1 EW θ EW 1 EW θ EW 1 EW 1 θ 1 EW 1 1 θ 313 Portanto em um passeio aleatório simples transiente que retorna à origem com probabilidade θ esperase que ele visite a origem 1 1 θ vezes O próximo resultado caracteriza a recorrênciatransiência de um PAS Teorema 37 Se p q então Passeio aleatório simples é recorrente Caso contrário é transiente Demonstração Seja Xnn0 um passeio aleatório simples com X0 0 De fato temos que PT0 X0 0 PT0 X1 1X0 0 PT0 X1 1X0 0 Assim como fizemos com o modelo da ruína do jogador podemos condicionar ao primeiro passo para encontrar que PT0 X0 0 PT0 X1 1PX1 1X0 0 PT0 X1 1PX1 1X0 0 PT0 X0 1 p PT0 X0 1 q Como comentamos anteriormente o PAS começando de X0 1 é indistinguível do modelo da ruína do jogador ganancioso até e incluindo o instante T0 Deste modo PT0 X0 1 é o mesmo que calculamos para a ruína do jogador Para o jogador ganancioso mostramos que se p q então PT0 X0 m 1 e se p q então PT0 X0 m qpm para m 0 Logo para p q p 12 temos PT0 X0 0 PT0 X0 1 p PT0 X0 1 q p PT0 X0 1 q 314 64 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S para p q p 1 2 temos PT0 X0 0 PT0 X0 1 p PT0 X0 1 q q p p PT0 X0 1 q q PT0 X0 1 q 315 Agora defina X n Xn e T 0 minn 1 X n 0 Dessa forma temos que X n 0 Xn 0 e portanto T 0 minn 1 X n 0 minn 1 Xn 0 T0 Além disso observe que PX n1 i 1X n i PXn1 i 1Xn i PXn1 i 1Xn i q e PX n1 i 1X n i PXn1 i 1Xn i PXn1 i 1Xn i p Assim se Xnn0 é um PAS com probabilidade p de saltar para a direita então X nn0 é um PAS que salta para a esquerda com a mesma probabilidade Ou seja se p 1 2 Xnn0 tem um viés para a direita enquanto X nn0 tem um para a esquerda conforme ilustrado na figura 7 a seguir Figura 7 Xnn0 com viés para a direita implicando em X nn0 com viés para a esquerda Figura 8 Xnn0 com viés para a esquerda implicando em Xnn0 com viés para a direita Analogamente com probabilidade q Xnn0 salta para a esquerda enquanto Xnn0 para a direita Assim se q 12 o viés de Xnn0 é para a esquerda e de Xnn0 é para a direita figura 8 E para X0 1 temos o passeio aleatório simples representado na figura 9 Figura 9 Passeio aleatório simples Xnn0 com X0 1 Percebamos que podemos adaptar os resultados obtidos referentes às probabilidades da ruína do jogador ganancioso para deduzir as probabilidades do retorno à origem do passeio aleatório Xnn0 iniciado nos inteiros positivos apenas trocando p por q e viceversa Lembrando se Xn é o processo de ruína do jogador ganancioso com probabilidade p de ganhar 1 real então Pruína do gananciosoX0 m PT0 X0 m qpm se p q 1 se p q 66 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S Assim para X nn0 com X 0 1 temos que PT0 X0 1 PT 0 X 0 1 p q se q p 1 se q p Lembrando também que pela hipótese temos p 0 1 q 0 1 Logo por 314 se p q p 1 2 então PT0 X0 0 p PT0 X0 1 q p 1q p q 1 e portanto Xnn0 é recorrente também por 314 se p q p 1 2 então PT0 X0 0 p PT0 X0 1 q p p q q p p 2p 1 e portanto Xnn0 é transiente por 315 se p q p 1 2 e q 1 2 então PT0 X0 0 q PT0 X0 1 q q 1q 2q 1 e portanto mais uma vez Xnn0 é transiente Assim concluímos que se p q o passeio aleatório simples visitará a origem infinitas vezes Para o caso em que p q segundo 313 a quantidade esperada de visitas à origem é 1 12p quando p q e 1 12q visitas para p q 322 Tempo esperado para o retorno à origem A discussão na subseção anterior nos permite dizer sob quais probabilidades um passeio aleatório simples retorna à origem e ainda nos permite ter a certeza das infinitas vezes da ocorrência desse retorno no caso dos passeios aleatórios simples simétricos Pois bem agora estamos interessados em descobrir o tempo esperado para que esse retorno aconteça correspondente à quantidade esperada de saltos Portanto queremos determinar ET0X0 0 32 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S 67 onde T0 minn 1 Xn 0 E nessa busca nos deparamos com o intrigante resultado a seguir Teorema 38 Começando em 0 o tempo esperado para que o passeio aleatório simples retorne a 0 é infinito Demonstração Seja Sm ET0X0 m Condicionaremos o passeio ao resultado do primeiro salto para obter a seguinte expressão Sm 1 Sm1p 1 Sm1q Em palavras o tempo esperado da primeira visita ao sítio 0 após o instante 0 de um PAS iniciado no sítio m corresponde à soma dos tempos esperados da primeira visita ao sítio 0 após o instante 0 referentes a um PAS iniciando no sítio m 1 e a um PAS iniciando no sítio m 1 cada um deles adicionado a um instante de tempo correspondente ao salto necessário para ir de m aos sítios vizinhos multiplicados pela probabilidade de ocorrência desse salto Daí segue que Sm 1 Sm1p 1 Sm1q p q pSm1 qSm1 1 pSm1 qSm1 Logo ET0X0 0 S0 1 pS1 qS1 316 Agora observemos que o PAS que começa nos inteiros positivos precisa passar pelo sítio 0 antes de chegar nos inteiros negativos Então a partir da discussão feita na subseção 314 podemos notar que o tempo esperado da primeira visita ao sítio 0 após o instante 0 de um PAS iniciado no sítio m 1 corresponde à duração do jogo com um jogador ganancioso de fortuna inicial m 1 Sendo assim e pela Proposição 34 S1 Dg 1 se p q 1 12p se p q Usando ainda a definição X n Xn e os resultados obtidos para X nn0 na subseção anterior temos que S1 ET0X0 1 ET 0 X 0 1 68 PA S S E I O S A L E AT Ó R I O S S I M P L E S Lembrando que X nn0 é um PAS que salta para direita com probabilidade q e salta para esquerda com probabilidade p podemos adaptar os resultados obtidos para a duração do jogo com um jogador ganancioso com fortuna inicial m 1 trocando p por q e viceversa para determinar o tempo esperado da primeira visita ao sítio 0 após o instante 0 do PAS iniciado em X 0 1 Sendo assim S1 ET 0 X 0 1 se q p 1 12q se q p Logo voltando à equação 316 obtemos que se p q 1 2 então S0 1 pS1 qS1 1 p q se p q p 1 2 1 2p 0 então S0 1 pS1 qS1 1 p 1 1 2p q se p q q 1 2 1 2q 0 então S0 1 pS1 qS1 1 p q 1 1 2q Portanto S0 ET0X0 0 em qualquer um dos casos acima Isto é o tempo esperado de retorno à origem de um passeio aleatório simples é infinito E assim completamos a prova do Teorema 38 e o nosso estudo sobre os passeios aleatórios simples 4 P R O C E S S O S D E B I E N A Y M É G A LT O N WAT S O N Neste capítulo abordaremos um modelo matemático que gera resultados muito interes santes a cerca da probabilidade de extinção de uma população o processo de Bienaymé GaltonWatson BGW Esse processo foi introduzido em meados do século XIX de forma independente por Bienaymé e por Galton e Watson durante o estudo sobre a sobrevivência do sobrenome de uma família quando esse é passado de pai para filho assumindo que cada homem tem k filhos com probabilidade ak k 0 1 2 3 4 5 17 Desde então esta teoria passou a ter aplicações importantes na modelagem e no estudo do crescimento de populações entre outros campos Começaremos com uma definição detalhada do processo para em seguida discutirmos sobre a probabilidade desse processo extinguirse ao longo do tempo 41 D E F I N I N D O O P R O C E S S O De modo geral e com enfoque no crescimento populacional podemos descrever um processo BGW da seguinte forma vamos modelar o crescimento de uma população contando o total de indivíduos em cada geração e considerando que cada indivíduo dá origem a novos indivíduos Começase o processo com um conjunto inicial de indivíduos os quais formam a geração 0 Cada indivíduo dessa geração gera novos indivíduos em quantidades aleatórias independentes e identicamente distribuídas Somando todos esses novos indivíduos gerados por cada indivíduo da geração 0 formaremos a primeira geração Repetindo o mesmo procedimento para os indivíduos da primeira geração encontramos o tamanho da segunda 69 70 P R O C E S S O S D E B I E N AY M É G A LT O NWAT S O N geração e assim sucessivamente Em geral os indivíduos da geração n geram novos indivíduos da geração n 1 para n N 0 Denotamos por Zn à variável aleatória que representa a quantidade de indivíduos da nésima geração Notemos que a quantidade de indivíduos da geração n 1 depende somente da quantidade de indivíduos da geração n e portanto Znn0 é uma cadeia de Markov Para encontrar uma representação mais formal do modelo descrito acima consideremos que cada indivíduo dê origem a um total de novos indivíduos com a mesma distribuição de uma variável aleatória X com distribuição de probabilidades pkk0 definida por PX k pk para k 0 1 2 41 Em outras palavras um indivíduo gera k indivíduos com probabilidade pk independente da geração que ele pertença e do total de filhos de outros membros da população Reforçando o fato que a quantidade de descendentes diretos de cada indivíduo em todas as gerações é escolhida de forma independente e de acordo com uma única distribuição de probabilidades tomemos Xini1n0 uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas iid com distribuição pkk0 A variável Xin representará a quantidade de descendentes diretos do iésimo indivíduo da nésima geração Logo se Zn j temos que Zn1 j r1 Xin 42 Na figura 1 ilustramos uma possível realização deste processo Figura 10 Exemplificando o processo de BGW A partir do exposto acima formalizaremos a definição do processo BienayméGaltonWatson BGW 41 D E F I N I N D O O P R O C E S S O 71 Definição 41 Chamamos processo de Bienaymé Galton Watson à cadeia de Markov Znn0 com valores no conjunto 0 1 2 e probabilidades de transição dadas por pi j PZn1 jZn i Pi r1 Xrn j i 1 e j 0 0 i 0 e j 0 1 i 0 e j 0 onde X1n Xin i 1 n 0 são variáveis iid com mesma distribuição de uma variável X com PX k pk k 0 Os processos de BGW também são conhecidos por processos de ramificação O motivo é facilmente percebido ao observarmos a figura 10 Com o intuito de simplificar a exposição desse trabalho consideraremos apenas os processos de BGW iniciados sempre por um único indivíduo ou seja PZ0 1 1 Notemos que o estado 0 é um estado absorvente para Znn0 De fato se não existir nenhum indivíduo na nésima geração então não existirá indivíduos em nenhuma geração posterior causando o que chamamos de extinção do processo O ponto central do nosso estudo nesse capítulo é demonstrar sob quais condições ela pode ou não ocorrer A próxima seção será dedicada inteiramente a isso Por ora exporemos alguns resultados que necessitaremos acerca das variáveis aleatórias X e Zn do processo de BGW Seja m o valor esperado para o número de descendentes diretos de cada indivíduo ou seja m EX k0 kpk Denote também por fs a função geradora de probabilidade do total de filhos de um indivíduo Ou seja fs EsX k0 pksk s 1 conforme discutido na seção 24 Proposição 42 Seja EX m então EZnZ0 1 mn n 0 Demonstração A demonstração segue pelo princípio indução sobre n De fato observe que EZ1Z0 1 EX m m¹ Logo a proposição é válida para n 1 Suponha que a ela valha também para n Ou seja suponha como hipótese de indução que EZnZ0 1 mⁿ Agora usaremos a propriedade de Markov para obter EZn1Z01 k1 EZn1Znk Z01 PZnkZ01 k1 EZn1Znk PZnkZ01 Note que EZn1Zn k Er1k Xrn EX1n EX2n EXkn km Sendo assim EZn1Z01 k1 km PZnkZ01 mEZnZ01 E pela hipótese indução temos que EZn1Z01 mmⁿ mn1 Portanto pelo princípio de indução finita a proposição é verdadeira para todo n 0 já que EZ0Z01 1 m⁰ Em outras palavras se o valor esperado para o número de descendentes diretos de cada indivíduo é m então o valor esperado para a quantidade de indivíduos na nésima geração será mⁿ dado que o processo tenha sido iniciado por um único indivíduo Proposição 43 Seja f₁ f e fn1 f fn para n 1 Seja também f a função geradora de probabilidade da variável aleatória X Então a função geradora de probabilidade de Zn condicionada a Z0 1 é fn 41 D E F I N I N D O O P R O C E S S O 73 Demonstração A demonstração segue pelo princípio indução sobre n Seja gn a função geradora de probabilidade de Zn dado que Z0 1 De fato como Z1 X11 temos g1s EsZ1Z0 1 EsX fs f1s Logo a proposição é válida para n 1 Suponha que ela valha também para n Ou seja suponha que gns EsZnZ0 1 k0 PZn kZ0 1sk fns Agora mostraremos que se a proposição vale para n então vale também para n 1 Pois bem da propriedade das cadeias de Markov temos gn1 EsZn1Z0 1 k0 EsZn1Zn k Z0 1PZn kZ0 1 k0 EsZn1Zn kPZn kZ0 1 Mas EsZn1Zn k Esk r1 Xrn EsX1nsX2n sXkn Como X1n Xin são independentes e identicamente distribuídas com a mesma distribui ção da variável aleatória X então segue da equação acima que EsZn1Zn k EsX1nEsX2n EsXkn EsXk fsk Sendo assim gn1 k0 PZn kZ0 1fsk gnfs gn f E pela hipótese de indução temos que gn1 fn f fn1 Portanto pelo princípio de indução finita a proposição é verdadeira para todo n 1 Sendo assim EsZnZ01 k0 sk PZnkZ01 fns Ou seja a função geradora de probabilidade da variável aleatória Zn dado que Z0 1 é a nésima interação da função de probabilidade f da variável aleatória X 42 A PROBABILIDADE DE EXTINÇÃO DO PROCESSO Como comentamos o BGW modela o total de indivíduos em uma certa geração de uma população Um dos fenômenos de interesse neste tipo de modelo é o da extinção Ou seja o momento em que aquela população deixa de existir No caso de modelos estocásticos como o BGW algumas perguntas importantes são o que podemos dizer sobre a probabilidade de extinção do processo Sob que condições a extinção é certa Existe alguma condição para a qual a sobrevivência é certa Para responder estas perguntas vamos antes estabelecer alguns fatos importantes Antes de mais nada é importante notar que a extinção do processo de BGW acontece quando uma dada geração não tem mais filhos De forma mais formal se Znn0 é um processo de BGW a extinção do processo é representada pelo evento Zn0 para algum n 1 n1 Zn0 Como 0 é um estado absorvente de Zn temos que se Zn0 então Zn1 0 Ou seja Zn0 Zn10 para todo n 1 Isso mostra que a sequência de eventos Zn0n1 é crescente e pela Proposição 23 se q é a probabilidade de extinção do processo então q PextinçãoZ01 PZn0 para algum n 1Z01 Pn1 Zn0Z01 limn PZn0Z01 O evento complementar da extinção é chamado de sobrevivência e ocorre se existir pelo menos um indivíduo em cada geração n ou seja Zn 1 para todo n 0 Com isso a sobrevivência é representado pelo evento Zn1 para todo n 1 n1 Zn1 Como Zn1 é o complementar de Zn0 a sequência Zn1n1 é decrescente e a Proposição 23 nos dá mais uma vez que a probabilidade de sobrevivência é dada por 1 q PsobrevivênciaZ01 PZn1 para todo n 0Z01 limn PZn1Z01 Posto isso vamos tirar da frente alguns casos mais simples Primeiro vamos considerar o caso em que p₀ PX0 1 Neste caso o primeiro indivíduo não pode ter filhos e o processo se extingue imediatamente Ou seja PZ10Z01 1 Como Z10 Zn0 para todo n 1 segue que PZn0Z01 1 para todo n 1 e portanto q1 Outro caso trivial ocorre quando p₀ PX0 0 Neste caso todo indivíduo tem ao menos um filho e a população nunca se extingue Ou seja PZ11Z01 1 e PZn11Zn1 1 para todo n 1 de modo que PZn1Z01 1 para todo n 1 e 1 q PsobrevivênciaZ01 1 fazendo q0 76 P R O C E S S O S D E B I E N AY M É G A LT O NWAT S O N Outro caso interessante mas não tão simples quanto os anteriores acontece quando p0 p1 PX 0 PX 1 1 com p1 p 0 e p0 1 p 0 Neste caso cada indivíduo pode ter no máximo 1 filho Com isso como começamos com apenas um indivíduo a população terá apenas um membro por geração até que encontremos o primeiro indivíduo sem filhos Este processo é similar ao lançamento de sucessivas moedas viciadas com probabilidade 1 p de cara onde seguimos com o lançamento até que observemos a primeira cara Neste caso sabemos que eventualmente observaremos uma cara finalizando o experimento No caso do processo BGW isso nos diria que q 1 Para formalizar um pouco melhor a ideia acima vamos adiantar um argumento que será utilizado no caso geral Primeiro lembre que a Proposição 43 nos diz que a função geradora de probabilidades de Zn é fn f f que é dada pela composta de n cópias de f a geradora de probabilidades de X Com isso temos que PZn 0Z0 1 fn0 45 Mas como p0 1 p e p1 p temos fs 1 p ps f2s 1 p p1 p ps 1 p 1 pp p2s f3s 1 p p1 p 1 pp p2s 1 p 1 pp 1 pp2 p3s fns 1 p 1 pp 1 pp2 1 ppn1 pns Um argumento por indução nos mostra então que fns 1 p 1 pp 1 pp2 1 ppn1 pns de onde segue que fn0 1 p 1 pp 1 pp2 1 ppn1 42 A P R O B A B I L I DA D E D E E X T I N ÇÃ O D O P R O C E S S O 77 Notemos que fn0 é dada pela soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão p e iniciada pelo termo 1 p Logo fn0 1 p 1 pn 1 p 1 pn Segue assim que q lim n PZn 0Z0 1 lim n fn0 lim n1 pn 1 E assim temos novamente a certeza da extinção do processo Agora podemos lançar a seguinte questão além dos casos mencionados quais condições levam à extinção do processo de BGW E mais é possível determinar a probabilidade q dela ocorrer E assim chegamos ao principal resultado desse capítulo Teorema 44 Seja Znn0 um processo de BGW com p0 p1 1 e EX m i Se m 1 então q 1 ii Se m 1 então q 1 Além disso se m 1 então q é a única solução em 0 1 da equação fs s Demonstração Vamos dividir a demonstração em três partes 1º parte demonstraremos que se m 1 então q 1 De fato como X é uma variável aleatória inteira não negativa temos que EX k0 kpk k1 pk PX 1 Como Zn também é uma uma variável aleatória inteira não negativa usaremos a desigual dade anterior para obter EZnZ0 1 PZn 1Z0 1 Usando a Proposição 42 temos PZn 1Z0 1 EZnZ0 1 mn 78 P R O C E S S O S D E B I E N AY M É G A LT O NWAT S O N Por hipótese 0 m 1 Logo a equação 44 nos garante que 1 q lim n PZn 1Z0 1 lim n mn 0 Ou seja se o valor esperado m para a quantidade de descendentes diretos de cada indivíduo for menor que 1 a probabilidade de sobrevivência do processo BGW dada por 1 q é nula Assim temos q 1 e a extinção do processo é certa Antes de continuar para os demais casos vamos mostrar uma relação importante entre a probabilidade de extinção q e a função geradora f Como argumentamos anteriormente ver equação 45 temos que fn é a função geradora de probabilidades da variável aleatória Zn condicionada a Z0 1 e assim podemos afirmar que PZn 0Z0 1 fn0 Além disso a equação 43 nos garante que q lim n PZn 0Z0 1 lim n fn0 Por outro lado sabemos que fn10 ffn0 e que f é continua em 0 1 e portanto q lim n fn10 lim n ffn0 fq Portanto q é solução da equação fs s Quando isso ocorre dizemos que q é um ponto fixo da função f É importante salientar que a discussão acima garante que limn fn0 sempre existe e está no intervalo 0 1 e é ponto fixo de f neste intervalo Com este resultado em mente sigamos para os demais casos 2º parte demonstraremos que se m 1 então q 1 Primeiramente observemos que f s k1 ksk1pk k1 kpk m para s 0 1 Então como m 1 temos que f s 1 para todo s 0 1 46 42 A P R O B A B I L I DA D E D E E X T I N ÇÃ O D O P R O C E S S O 79 Assim pelo Teorema do Valor Médio ver 22 dado 0 s 1 existe c s 1 tal que f1 fs f c1 s Como temos c s 1 e s 0 1 então c 0 1 e portanto pela desigualdade 46 temos f c 1 Assim segue que f1 fs 1 s Lembremos agora que da discussão feita na Seção 24 temos f1 1 Diante disso 1 fs 1 s fs s Portanto se m 1 temos fs s para todo s 0 1 Isto significa que a equação fq q não tem solução no intervalo 0 1 Porém como f1 1 temos que s 1 é única solução de fs s em 0 1 Concluímos assim que q 1 Em outras palavras se o valor esperado m para a quantidade de descendentes diretos de cada indivíduo for exatamente igual a 1 teremos mais uma vez a ocorrência da extinção do processo com probabilidade 1 3º parte demonstraremos que se m 1 então q 1 Pois bem Primeiro lembremos que por hipótese temos que p0 p1 1 Assim existe pelo menos um k 2 tal que pk 0 Logo f s k2 kk 1pksk2 0 no intervalo 0 1 Isso implica em f é estritamente crescente em 0 1 Notemos também que lim s1 f s lim s1 k1 kpksk1 k1 kpk m Logo lims1 f s 1 já que por hipótese temos m 1 Diante disso temos que f s 1 para s próximo de 1 Em outras palavras existe η 0 tal que se 1 η s 1 então 1 f s m já que temos f crescente no intervalo 0 1 80 P R O C E S S O S D E B I E N AY M É G A LT O NWAT S O N Sendo assim novamente pelo Teorema do Valor Médio existe c s 1 tal que f1 fs f c1 s Como temos c s 1 e s 1 η 1 então 1 η c 1 Logo 1 f c m Portanto como f1 1 vale que 1 fs 1 s fs s 47 para s 1 η 1 Agora consideremos a função gx x fx Notemos que g também é contínua em 0 1 já que g é dada pela diferença de duas funções contínuas Daí segue da desigualdade em 47 que gs 0 para s 1 η 1 Como g0 0 f0 0 p0 0 segue do Teorema do Valor Intermediário ver 22 que existe s0 0 1 η 0 1 tal que gs0 0 Ou ainda que fs0 s0 Assim mostramos que existe s0 0 1 solução da equação fs s Provaremos agora que s0 é único Para isso utilizaremos a concavidade de fs ou mais diretamente a segunda derivada de f Por contradição vamos supor a existência de outra raiz s1 para g em 0 1 Sem perda de generalidade consideraremos s0 s1 Como temos f1 1 então g1 1 f1 1 1 0 Logo s0 s1 1 são três raízes de g em 0 1 Assim pelo Teorema de Rolle 22 existe ξ1 s0 s1 e ξ2 s1 1 tais que gξ1 gξ2 0 Logo como gx 1 f x temos 1 f ξ1 1 f ξ2 0 o que nos dá que f ξ1 f ξ2 1 42 A P R O B A B I L I DA D E D E E X T I N ÇÃ O D O P R O C E S S O 81 Mas isso é um absurdo já que temos ξ1 ξ2 e f ξ1 1 f ξ2 e f é estritamente crescente no intervalo considerado Portanto s0 é a única raiz de g e a única solução da equação fs s no intervalo 0 1 Assim temos somente duas soluções s0 e 1 para a equação em 0 1 Diante do fato que q 0 1 também satisfaz fs s então ou q s0 ou q 1 Demonstra remos que q s0 De fato por contradição suponhamos que q 1 Seguiria daí que lim n fn0 q 1 Portanto existiria n0 suficientemente grande tal que 1 η fn0 1 para todo n n0 Mas da desigualdade 47 obtemos que fn10 ffn0 fn0 Mas isso é um absurdo já que Zn 0 Zn1 0 e fn10 PZn1 0Z0 1 PZn 0Z0 1 fn0 Segue assim que q s0 1 E portanto a probabilidade do processo sobreviver para sempre é positiva somente se o valor esperado m para a quantidade de descendentes diretos de cada cada indivíduo for maior que 1 concluindo a demonstração Enfim em resposta aos questionamentos levantados no começo dessa seção temos o Teorema 44 Para facilitar a compreensão da demonstração do Teorema acima podemos usar as in formações contidas nela para construir o gráfico da função fs e a partir dele analisar as raízes da equação fs s com o intuito de determinar a probabilidade de extinção q geometricamente Pois bem na figura 11 temos três possíveis comportamentos da função f dependendo de m Para a análise dos gráficos é importante lembrarmos que f 1 k1 kpk m Como q é raiz da equação fs s então 82 P R O C E S S O S D E B I E N AY M É G A LT O NWAT S O N Figura 11 Comportamento da função fs e as raízes da equação fs s de A ou q s0 1 ou q 1 de B q 1 de C ou q 1 ou q s2 1 Concluímos de B e C que q 1 para f 1 m 1 já que não podemos ter q 1 Para obtermos uma conclusão no caso A definiremos qn PZn 0Z0 1 fn0 para todo n 0 Dessa forma como Zn 0 Zn1 0 temos 0 q0 q1 q2 qn 1 Logo a sequência qnn1 converge e lim n qn q Segue ainda que qn fn0 ffn10 qn fqn1 para todo n 1 O que mostramos analiticamente na demonstração do Teorema é que de fato q lim n qn s0 1 onde s0 0 1 é ponto fixo de f como ilustrado na parte A da figura 11 42 A P R O B A B I L I DA D E D E E X T I N ÇÃ O D O P R O C E S S O 83 Tal convergência pode ser ilustrada na figura 12 abaixo Figura 12 Convergência dos valores qi à s0 Exemplo 41 Considere um processo BGW iniciado por um indivíduo com distribuição de descendentes diretos de cada indivíduo dado por p0 1 4 p1 1 2 e p2 1 4 Calculando o valor esperado m para a quantidade de descendentes diretos por indivíduo temos m 0 1 4 1 1 2 2 1 4 1 Pelo Teorema 44 temos q 1 e portanto a extinção desse processo é certa Em particular fs 1 4 1 2s 1 4s2 e fazendo fs s obtemos s2 2s 1 0 o que nos dá uma única raiz s 1 de multiplicidade 2 corroborando com que já havíamos determinado visto que q é raiz de fs s Exemplo 42 Considerando a mesma situação do exemplo anterior mas agora com p0 1 6 p1 1 6 e p2 2 3 84 P R O C E S S O S D E B I E N AY M É G A LT O NWAT S O N Neste caso temos m 0 1 6 1 1 6 2 2 3 3 2 1 E novamente pelo Teorema 44 temos q 1 Especificamente fs 1 6 1 6s 2 3s2 e fazendo fs s obtemos 4s2 5s 1 0 o que nos dá raízes s 1 4 e s 1 Como nesse caso q 0 1 então temos q 1 4 Portanto a probabilidade do processo sobreviver para sempre é PsobrevivênciaZ0 1 1 q 1 1 4 3 4 Exemplo 43 Para concluir vejamos o caso onde o total de filhos de um indivíduo tem distribuição Geométrica de parâmetro p 0 1 Ou seja pk 1 pkp k 0 Neste caso temos m k1 k1 pkp k1 k i1 1 pkp i1 ki 1 pkp i1 p1 pi ki 1 pki i1 1 pi 1 1 1 p 1 1 p p 42 A P R O B A B I L I DA D E D E E X T I N ÇÃ O D O P R O C E S S O 85 e portanto temos que a probabilidade de extinção é q 1 para p 12 e q 1 quando p 12 Para encontrar a probabilidade de extinção consideramos p 12 1 p e voltamos para exemplo 28 para lembrar que a função geradora de probabilidade de uma distribuição geométrica é dada por fs k0 sk1 pkp p 1 s1 p e resolvendo a equação s fs encontramos p 1 s1 p s e portanto s 1 e s p 1p 1 mostrando que q p 1 p E assim terminamos o nosso estudo sobre os processos de ramificação de Bienaymé Galton Watson Figura 20 O prisioneiro de Monty Hall jogo vencido e encerrado Encerrado o jogo o jogador pode recomeçar o jogo clicando em jogar novamente figuras 19 e 20 Abrimos essa seção dizendo que o Prisioneiro de Monty Hall é uma união dos problemas da Ruína do Jogador com o de Monty Hall Pois bem a relação com o Problema de Monty Hall é evidente mas e com o Problema da Ruína do Jogador É evidente Caso não seja notemos que podemos associar o Prisioneiro de Monty Hall com o Problema da Ruína seção 31 no qual o jogador começa com uma fortuna inicial de X0 m 1 o prisioneiro começa no nível 1 e jogará até ruir quando sua fortuna atingir o valor Xn 0 a prisão no nível 0 ou até que sua fortuna atinja o valor Xn N 7 o prêmio no nível 7 Sendo assim imaginemos que o prisioneiro de Monty Hall adote a estratégia de nunca trocar a porta inicialmente escolhida Logo a probabilidade dele ir para o nível vizinho superior é p 13 e dele ir para o nível vizinho inferior é q 23 em consonância com a demonstração feita na seção 51 Nesse cenário e pela Proposição 31 a probabilidade dele ir para a prisão é dada por PprisãoX01 PruínaX01 qpm qpN 1qpN 21 27 1 27 099 e pela Proposição 33 a duração esperada do jogo é dada por D1 m 12p N 12p 1 qpm 1 qpN 1 1 23 7 1 23 1 21 1 27 28 Ou seja o prisioneiro de Monty Hall que adotar a estratégia de nunca trocar a porta escolhida no primeiro momento vai para a prisão com probabilidade de 99 em 28 lances de escada em média 5 S E Q U Ê N C I A D I D ÁT I C A Neste capítulo apresentaremos uma proposta de sequência didática para o estudo da probabilidade no ensino básico utilizando conceitos abordados neste trabalho Nosso intuito é contribuir com a incessante busca pelo aperfeiçoamento da prática docente e com a produção de atividades pedagógicas sobre esse tema matemático visando atender às novas demandas de conhecimento nesta área principalmente as que surgiram com a reforma curricular estabelecida no Brasil desencadeada em 2018 pela publicação da BNCC Base Nacional Comum Curricular 1 Como discutido em 4 esse documento normativo para toda rede de ensino nacional ampliou o espaço curricular estocástico ao instituir Probabilidade e Estatística como uma das cinco unidades temáticas no ensino de Matemática e ao antecipar o trabalho de habilidades específicas dessa área na vida escolar do discente ao mesmo tempo que superou obstáculos contidos nas diretrizes educacionais anteriores como a insistência em conceitos pouco realistas da equiprobabilidade e a limitação à perspectiva clássicalaplaciana Com base na Proposta Curricular do Estado de São Paulo o qual possui a maior rede de educação básica do Brasil ver 2 consideramos que esta sequência didática é mais indicada para o trabalho com alunos do 3º ano do ensino médio devido ao fato dos conteúdos e habilidades necessárias para a realização das atividades serem contempladas apenas nessa fase do ensino básico paulista Porém isso dependerá da definição do currículo em cada unidade da federação já que a BNCC permite que cada estado e município elaborem seus currículos considerando suas especificidades e contextos locais Antes de iniciarmos com a proposta precisamos apresentar e discutir O Problema de Monty Hall peça fundamental em nossa sequência didática 87 88 S E Q U Ê N C I A D I DÁT I CA 51 O P R O B L E M A D E M O N T Y H A L L Tornar as aulas de Matemática mais dinâmicas visando estimular o interesse dos aluno pelos conteúdos a serem trabalhados tem sido um grande e crescente desafio para os professores Diante disso os jogos constituem uma importante e difundida ferramenta pedagógica pois além do aspecto lúdico bastante atrativo às crianças e aos adolescentes propiciam aos alunos a oportunidade de aplicar ou validar conceitos matemáticos de forma prática e significativa conforme ressalta Grando 7 A busca por um ensino que considere o aluno como sujeito do processo que seja significativo para o aluno que lhe proporcione um ambiente favorável à imaginação à criação à reflexão enfim à construção e que lhe possibilite um prazer em aprender não pelo utilitarismo mas pela investigação ação e participação coletiva de um todoque constitui uma sociedade crítica e atuante levanos a propor a inserção do jogo no ambiente educacional de forma a conferir a esse ensino espaços lúdicos de aprendizagem E mais Inserido neste contexto de ensinoaprendizagem o jogo assume um papel cujo objetivo transcende a simples ação lúdica do jogo pelo jogo para se tornar um jogo pedagógico com um fim na aprendizagem matemática construção eou aplicação de conceitos 6 Os jogos ganham ainda mais destaque quando o assunto é Probabilidade visto que sua origem como disciplina matemática se dá a partir das discussões realizadas na tentativa de quantificar as possibilidades de se ganhar em jogos de azar concomitantemente com as tentativas de quantificar os riscos associados a sinistros naufrágios morte etc em meados do século XV e XVI 24 Nessas bases e fugindo dos tradicionais problemas de probabilidade envolvendo jogos com dados e baralhos nossa proposta de sequência didática girará em torno do Jogo O Prisio neiro de Monty Hall cujo molde foi criado com base em um famoso problema matemático conhecido como O Problema de Monty Hall que por sua vez é inspirado no jogo Lets Make a Deal de um programa de televisão dos Estados Unidos exibido na década de 1970 e apresentado obviamente por Monty Hall 3 Eis o problema Imagine que você está de frente para três portas numeradas 1 2 e 3 e o apresentador diz Atrás de uma dessas portas tem um carro mas atrás de cada 51 O P R O B L E M A D E M O N T Y H A L L 89 uma das outras duas tem um bode Escolha uma porta e leve para casa o que estiver atrás dela Você vai lá e escolhe uma das três portas mas antes que você possa abrila o apresentador que sabe exatamente onde está o carro pede para você esperar e ele abre uma das portas não escolhidas mostrando um dos bodes Nesse momento ele faz a seguinte pergunta a você Você quer ficar com a porta que você escolheu ou quer trocála pela outra porta fechada Qual é a estratégia mais lógica Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta Comumente a resposta dada para essa questão é tanto faz trocar ou não trocar a porta pois cada uma delas nesse momento detêm 50 de chance de estar com o carro atrás Aliás em um passado não tão distante muitos matemáticos e físicos chegaram a garantir que o correto era não trocar a porta inicialmente escolhida 3 Iremos provar que essa análise feita sobre o problema de Monty Hall está equivocada e que a melhor estratégia é fazer a troca das portas Pois bem inicialmente consideremos os eventos E1 o carro está atrás da porta 1 E2 o carro está atrás da porta 2 E3 o carro está atrás da porta 3 Notemos que e os eventos E1 E2 e E3 são dois a dois disjuntos e que inicialmente o carro pode estar atrás de qualquer uma das três portas logo as probabilidades PE1 PE2 e PE3 são iguais ou seja PE1 PE2 PE3 1 3 51 Agora seja o evento A ganhar o carro Dessa forma e pela Lei da probabilidade total temos PA PAE1 PE1 PAE2 PE2 PAE3 PE3 Substituindo 51 na equação acima obtemos PA PAE1 PAE2 PAE3 3 52 90 S E Q U Ê N C I A D I DÁT I CA Sem perda de generalidade suponhamos que a porta escolhida inicialmente seja a porta 1 Agora para determinar as probabilidades envolvidas devemos considerar dois casos Caso 1 a porta escolhida inicialmente não é trocada Como as hipótese são porta 1 escolhida inicialmente e porta escolhida inicialmente não é trocada temos que Se o carro estiver atrás da porta 1 o apresentador abrirá a porta 2 ou 3 e levamos o carro para casa Logo PAE1 1 Note que a escolha do apresentador não altera o fato de ganharmos o carro com probabilidade 1 Se o carro estiver atrás da porta 2 o apresentador abrirá a porta 3 e não haverá chance alguma de levarmos o carro para casa Assim temos PAE2 0 Se o carro estiver atrás da porta 3 o apresentador abrirá a porta 2 e também não haverá nenhuma possibilidade de levarmos o carro Logo PAE3 0 Substituindo as probabilidades acima em 52 resulta PA PAE1 PAE2 PAE3 3 1 0 0 3 1 3 0 33 Portanto caso a porta escolhida inicialmente não for trocada a probabilidade de ganharmos o carro é de aproximadamente 33 Caso 2 a porta escolhida inicialmente é trocada Como as hipótese são porta 1 escolhida inicialmente e porta escolhida inicialmente é trocada temos que Se o carro estiver atrás da porta 1 o apresentador abrirá a porta 2 ou 3 Se a porta 2 for aberta trocaremos a porta 1 pela porta 3 e perderemos o carro inevitavelmente Se o apresentador decidir abrir a porta 3 trocaremos a porta 1 pela porta 2 e obteremos o mesmo fim Portanto nessas condições é impossível levarmos o carro para casa implicando em PAE1 0 Se o carro estiver atrás da porta 2 o apresentador abrirá a porta 3 faremos a troca da porta 1 pela porta 2 e infalivelmente ganhamos o prêmio Logo PAE2 1 Se o carro estiver atrás da porta 3 o apresentador abrirá a porta 2 ficaremos com a porta 3 ao invés da porta 1 e bingo O carro é nosso Isto é PAE3 1 52 O P R I S I O N E I R O D E M O N T Y H A L L 91 Substituindo as probabilidades acima em 52 segue que PA PAE1 PAE2 PAE3 3 0 1 1 3 2 3 0 67 Concluímos então que se a troca das portas for realizada dobramos as chances de levarmos o prêmio para casa ou seja a probabilidade de ganharmos o carro aumenta para aproximadamente 67 Assim mostramos que é o um equívoco apontar 50 como resultado dessa probabilidade ou ainda pior considerar não trocar a porta como melhor estratégia 52 O P R I S I O N E I R O D E M O N T Y H A L L A união do Problema da Ruína do Jogador com o problema de Monty Hall juntamente com a necessidade de ferramentas lúdicas de aprendizagem deu origem ao jogo O Prisioneiro de Monty Hall criado e desenvolvido em conjunto com o Professor Rafael Grisi Este é um jogo em formato digital disponível em httpswwwgeogebraorgmdfrv3uqd cujo objetivo é basicamente alcançar o nível mais alto da torre e se livrar completamente do risco de cair na prisão Detalhamos a seguir seu funcionamento Ao iniciar o jogo o jogador será apresentado à interface mostrada na figura 13 Figura 13 O prisioneiro de Monty Hall interface inicial O jogador começa no nível 1 A torre vai do nível 0 onde se encontra a prisão até o nível 7 onde se encontra o prêmio conforme aponta o indicador na figura 14 92 S E Q U Ê N C I A D I DÁT I CA Figura 14 O prisioneiro de Monty Hall indicador de nível As portas dão acesso aos níveis vizinhos Cada porta esconde uma escada Das três escadas escondidas somente uma levará ao nível vizinho superior As outras duas levarão ao nível vizinho inferior As escadas são sempre dispostas de forma aleatória Na tentativa de subir de nível o jogador passará pela sequência descrita no Problema de Monty Hall o jogador escolhe uma porta figura 15 abrese uma porta entre as duas não escolhidas que contém uma escada que leva ao nível inferior figura 16 dáse ao jogador a chance de trocar a porta inicialmente escolhida figura 16 revelase a escada atrás da porta finalmente escolhida figura 17 o jogador entra na porta finalmente escolhida e irá para um dos níveis vizinhos figura 17 Esses passos acontecem à medida que clicamos nos botões na tela figura 18 Figura 15 O prisioneiro de Monty Hall o jogador escolhe uma porta 52 O P R I S I O N E I R O D E M O N T Y H A L L 93 Figura 16 O prisioneiro de Monty Hall abrese uma porta entre as duas não escolhidas Figura 17 O prisioneiro de Monty Hall porta escolhida revelada Figura 18 O prisioneiro de Monty Hall botões de comando Figura 19 O prisioneiro de Monty Hall jogo perdido e encerrado Nos demais níveis essa sequência se repete exceto no nível 0 onde o jogador é aprisionado e perde jogo figura 19 e no nível 7 onde o jogador escapa definitivamente da prisão e vence o jogo figura 20 Agora se estratégia adotada pelo prisioneiro for a de sempre trocar a porta escolhida inicialmente ele vai para o nível vizinho superior com probabilidade p 23 e para o nível vizinho inferior com probabilidade q 13 também conforme discutido na seção 51 Assim a probabilidade dele ir para a prisão passa a ser PprisãoX01 PruínaX01 qpm qpN 1 qpN 121 127 1 127 05 e a duração esperada do jogo passa a ser D1 m 12p N 12p 1 qpm 1 qpN 1 1 43 7 1 43 1 121 1 127 76 Isto significa que se o prisioneiro de Monty Hall sempre trocar a porta escolhida no primeiro momento então a probabilidade dele ir para a prisão é reduzida para 50 e a duração média do jogo aumenta para aproximadamente 8 lances escadas Uma condição bem mais favorável ao jogador como podemos notar 53 PROPOSTA DE SEQUÊNCIA DIDÁTICA Após a descrição do jogo O Prisioneiro de Monty Hall avançaremos com o planejamento da nossa proposta de sequência didática que terá este jogo como elemento fundamental O plano abaixo pressupõe 6 encontros em nível crescente de dificuldade O primeiro é apenas para discutir os conceitos matemáticos que usaremos como probabilidade condicional Se o público já conhece estes conceitos ou se o professor julgar desnecessário este passo pode iniciar na segunda aula Os últimos 2 encontros serão usados para explorar o problema da ruína do jogador e calcular as probabilidades envolvidas no jogo do Prisioneiro de Monty Hall Sugerimos só desenvolver estas partes da atividade com um grupo de alunos realmente interessados no problema e com alguma afinidade matemática 96 S E Q U Ê N C I A D I DÁT I CA 531 Plano da Proposta Tema Probabilidade Públicoalvo alunos do 3ª ano do ensino médio Objetivos Refletir sobre a importância da probabilidade na tomada de decisões aplicar conceitos de probabilidade na resolução de problemas Conhecimentos prévios Como tratase de uma sequência didática que visa a aplicação de conceitos esperase que os alunos já tenham estudado os conteúdos relativos ao cálculo de probabilidades probabilidade condicional e à lei da probabilidade total para que a interação com o experimento seja bastante significativa Será também preciso utilizar em uma prova matemática os conceitos relativos às Progressões geométricas e à soma de seus termos Objetos de conhecimento Probabilidade simples e condicional Lei da probabilidade total Habilidades da BNCC a serem desenvolvidas EM13MAT106 Identificar situações da vida cotidiana nas quais seja necessário fazer escolhas levandose em conta os riscos probabilísticos EM13MAT312 Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos Tempo de execução 6 aulas de 45 minutos Recursos didáticos Caderno caneta lápis e borracha para os alunos realizarem registros e resoluções Lousa e giz ou material similar para as explanações do professor Laboratório de informática Jogo O Prisioneiro de Monty Hall Disponível httpswwwgeogebraorgm dfrv3uqd kit multimídia para projeção de apresentação em slides 53 P R O P O S TA D E S E Q U Ê N C I A D I DÁT I CA 97 Desenvolvimento 1ª aula Como ponto de partida propomos que a primeira aula seja destinada a revisão dos conhecimentos prévios descritos acima os quais são indispensáveis para a execução dessa sequência didática Contudo cabe ao professor avaliar quais pontos exatamente precisam ser revisados eou aprofundados considerando particularmente os conheci mentos de sua turma assim como adequar esse planejamento com a quantidade de aulas necessárias para esse momento 2ª aula 1º momento o professor apresentará o famoso Problema de Monty Hall Com o intuito de captar um maior interesse por parte dos alunos e dar ao problema um destaque que corrobora com seu papel central na sequência didática sugerimos uma apresentação em slides usando um datashow para que possamos realçála com ilustrações e animações Elaboramos uma sequência de slides como sugestão mas nada impede que o professor use sua criatividade eou outras formas para aprimorar esse momento Os slides mencionados encontramse disponíveis nos Apêndices A desta dissertação 2º momento os alunos devem ser divididos em grupos para que discutam entre si sobre a questão levantada pelo problema de Monty Hall qual é a melhor estratégia Ficar com a porta escolhida inicialmente mudar de porta ou tanto faz Peça aos alunos que formulem uma conclusão justificada 3º momento agora cada grupo deve socializar com o restante da turma e com o professor a conclusão a qual chegaram no 2º momento com sua respectiva justificativa Sugerimos que os grupos sejam formados por 4 alunos no máximo Observação A expectativa é que a conclusão tanto faz seja a mais citada entre os grupos De qualquer forma o professor não deve dizer ainda que a melhor estratégia é a de trocar a porta escolhida no primeiro momento pois as etapas da sequência didática farão com que os alunos cheguem a ela empiricamente 3ª aula 98 S E Q U Ê N C I A D I DÁT I CA 1º momento no laboratório de informática o professor apresentará o jogo O Prisioneiro de Monty Hall e uma breve explicação sobre seu funcionamento Esperase que os alunos notem sua relação com o problema de Monty Hall Caso isso não aconteça o professor deverá explanar sobre as semelhanças e diferenças do jogo com o problema discutido na aula anterior 2º momento chegamos ao momento em os alunos jogarão O Prisioneiro de Monty Hall Cada aluno joga uma única vez e todos devem jogar seguindo a estratégia de nunca trocar a porta inicialmente escolhida em todos os níveis do jogo O professor deve enfatizar que todos devem seguir à risca esse comando para não comprometer a comparação de resultados que iremos fazer futuramente O ideal é que cada aluno assuma um computador Caso isso não seja possível e o professor tenha que formar grupos de alunos em cada computador é importante que cada aluno um por vez faça a sua jogada Após todos os alunos terem feito sua jogada o professor deve fazer o registro da frequência relativa da quantidade de derrotas entre os alunos Lembramos o professor que devese esperar que 99 dos alunos tenham ido parar na prisão conforme discutido na seção 52 3º momento o professor repetirá o 2º momento desta aula porém com uma única diferença agora os alunos devem jogar seguindo a estratégia de sempre trocar a porta inicialmente escolhida em cada nível do jogo Novo lembrete ao professor agora a expectativa é que a quantidade de alunos que foram para na prisão tenha sido reduzido para 50 também conforme discutido na seção 52 Observações A quantidade de alunos na sala de aula é importante para os resultados obtidos nesta aula Quanto mais alunos melhor Caso a sala tenha uma quantidade pequena de alunos o professor deverá fazer adaptações como mais jogadas por aluno junção de salas etc Agora caso o professor disponha de uma quantidade insuficiente de computadores e tenha que agrupar os alunos nos equipamento fazendo com que o 2º momento desta aula se estenda será necessário adiar o 3º momento desta para a próxima aula Assim aumentando a quantidade total de aulas desta sequência didática 53 P R O P O S TA D E S E Q U Ê N C I A D I DÁT I CA 99 para 7 Outra possibilidade é o uso dos aparelhos de celular disponibilizados pelos próprios alunos 4ª aula 1º momento De volta à sala de aula o professor expõe os resultados obtidos na aula anterior percentual de derrotas em ambos os casos Na sequência repete a pergunta feita no 2º momento da 2ª aula desta sequência qual é a melhor estratégia Ficar com a porta escolhida inicialmente mudar de porta ou tanto faz Com base nos resultados todos os alunos devem conjecturar que trocar a porta é a melhor estratégia Caso isso não aconteça abra tempo para discussão Deixe os alunos discutirem e tentarem convencer os céticos do resultado descoberto 2º momento agora é o momento do professor transformar a conjectura em fato Para isso ele deve começar fazendo a demonstração da solução do Problema de Monty Hall como exibimos na seção 51 3º momento o professor pedirá aos alunos que façam uma pesquisa extraclasse que deve ser entregue na próxima aula sobre O Problema da Ruína do Jogador Observação O intuito da pesquisa é fazer com que os alunos estejam familiarizados com o tema para facilitar a compreensão da demonstração que será realizada na próxima aula 5ª aula 1º momento o professor recolhe as pesquisas e em seguida apresenta oficialmente aos alunos o Problema da Ruína do Jogador seção 31 2º momento o professor deverá demonstrar conforme discutido neste trabalho o caso 1 da Proposição 31 na qual estabelecese a probabilidade da ruína do jogador em que p q Neste ponto o argumento que leva à equação de recorrência pode ser pouco rígido se valendo apenas de uma descrição informal das possibilidades após o primeiro passo 3º momento o professor solicitará novamente aos alunos uma atividade extraclasse que deve ser entregue na próxima aula A atividade consistirá na demonstração do 100 S E Q U Ê N C I A D I DÁT I CA caso 2 da Proposição 31 na qual estabelecese a probabilidade da ruína do jogador em que p q O professor pode ressaltar que a demonstração solicitada segue a mesma estrutura da demonstração para caso 1 feita no 2º momento desta aula necessitando apenas de alguns ajustes e ainda expor mais algumas dicas caso julgue necessário 6ª aula 1º momento o professor estabelecerá a conexão entre o jogo O Prisioneiro de Monty Hall e o Problema da ruína do jogador conforme discutimos na seção 52 2º momento os alunos deverão calcular a probabilidade de prisão no jogo O Prisioneiro de Monty Hall aplicando a Proposição 31 demonstrada na aula anterior conforme também discutimos na seção 52 Primeiramente os alunos devem efetuar esse cálculo considerando um jogador que usa a estratégia de nunca realizar a troca da porta escolhida inicialmente em cada nível do jogo e em seguida calcular novamente essa mesma probabilidade considerando dessa vez um jogador que sempre realiza a troca 3º momento o professor deverá fazer a correção na lousa dos cálculos feitos pelos alunos no momento acima e comparálos com resultados obtidos empiricamente na 3ª aula através do jogo Isto é comparar a probabilidade de prisão calculada com o percentual de prisões no decorrer do jogo O intuito dessa etapa é validar resultados experimentais Avaliação sugerimos que a avaliação seja composta por vários critérios participação e comprometimento em todas as etapas da sequência apresentação realizada no 3º momento da 2ª aula as atividades extraclasses solicitadas na 4ª e 5ª aula Assim fechamos a proposta de sequência didática para o ensino de matemática dentro da mais nova unidade temática instituída para o currículo do ensino básico no País Pro babilidade e Estatística Ressaltamos ainda que na elaboração dessa proposta buscamos a associação entre a investigação e a validação matemática de resultados obtidos através da experiência auxiliada pelo emprego de recursos tecnológicos em concordância com a BNCC que determina como uma das competências na área de matemática e suas tecnologias Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades mate máticas empregando estratégias e recursos como observação de padrões experimentações e diferentes tecnologias identificando a necessidade ou não de uma demonstração cada vez mais formal na validação das referidas conjecturas 1 6 C O N S I D E R A Ç Õ E S F I N A I S Este trabalho teve como objetivo geral estudar os processos de ramificação de Bienaymé GaltonWatson e os passeios aleatórios simples para que pudéssemos determinar as condições dentro desses modelos que possam indicar se determinada população está ou não a caminho de sua extinção Com base nos resultados encontrados no desenvolvimento da pesquisa podese indicar que o objetivo proposto foi alcançado Dentre os principais resultados observouse que ao modelar o desenvolvimento popula cional a partir dos processos de ramificação de BienayméGaltonWatson a extinção está relacionada à esperança para a quantidade de descendentes diretos de cada indivíduo per tencente ao processo Se essa esperança for menor ou igual a 1 a extinção é um evento certo Caso contrário a população terá uma probabilidade positiva de sobrevivência e a probabilidade de extinção será dada pela menor raiz não negativa da equação fs s em que fs é a função geradora de probabilidades da variável aleatória correspondente ao número de descendentes diretos de cada indivíduo do processo No que tange ao modelo estabelecido a partir dos passeios aleatórios simples constatouse que a extinção de uma determinada população é inevitável quando a probabilidade de um indivíduo morrer for maior ou igual a probabilidade de um indivíduo nascer dentro da população em análise Além disso foi obtida a duração esperada definida pelo total entre nascimentos e mortes para que essa extinção ocorra Outro objetivo geral pretendido com este trabalho estava na intenção de fomentar o estudo desses modelos entre os estudantes da rede nacional de educação Na tentativa de atingir futuramente esse objetivo foi apresentado uma proposta para introduzir conceitos desse estudo já no ensino médio das escolas de ensino básico 101 102 C O N S I D E R A Ç Õ E S F I N A I S Dessa forma este trabalho pode contribuir como base para a formação de pesquisadores que poderão por sua vez contribuir na formulação de políticas públicas efetivas para a redução do risco de extinção de populações Acerca das limitações presentes nesta pesquisa podese destacar a falta da aplicação da proposta apresentada de sequência didática com alunos do 3º ano do ensino médio e consequentemente a ausência dos resultados relevantes relacionados à aprendizagem dessa aplicação Essa limitação não pôde ser superada devido aos prazos estabelecidos para o cumprimento desta dissertação Outra limitação constatada foi a pouca variedade que encontramos de livros publicados sobre os processos aqui estudados Posto isso em relação às futuras investigações recomendase a aplicação e a avaliação da sequência didática sugerida como também aperfeiçoála a partir dos resultados obtidos Além disso recomendase aprofundar o conhecimento sobre os passeios aleatórios simples através das cadeias de nascimento e morte e explorar a aplicabilidade dos processos de ramificação em estudos no campo da Biologia A S L I D E S O P R O B L E M A D E M O N T Y H A L L Figura 21 Slide 1 103 104 S L I D E S O P R O B L E M A D E M O N T Y H A L L Figura 22 Slide 2 Figura 23 Slide 3 S L I D E S O P R O B L E M A D E M O N T Y H A L L 105 Figura 24 Slide 4 Figura 25 Slide 5 106 S L I D E S O P R O B L E M A D E M O N T Y H A L L Figura 26 Slide 6 B I B L I O G R A F I A 1 Brasil Ministério da Educação Base Nacional Comum Curricular 2018 2 Secretaria de educação do Estado de São Paulo A Secretaria httpswwweducacao spgovbrinstitucionalasecretaria acesso em 21082023 3 Clube de Matemática da OBMEP Probabilidades o problema de Monty Hall http clubesobmeporgbrblogprobabilidadesoproblemademontyhal acesso em 16082023 4 Samya de Oliveira Lima et al Ensino de Estatística Probabilidade e Combinatória na Educação Básica os novos desafios da BNCC Revista Baiana de Educação Matemática 2022 5 Fernando Duarte Pela 1ª vez mundo tem mais avós do que netos BBC News Brasil 2019 6 Regina Celia Grando O jogo e suas possibilidades metodológicas no processo ensino aprendizagem da matemática Tese de Doutoramento Universidade Estadual de Campi nas 1995 7 Regina Célia Grando et al O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula 2000 239 8 Samuel Hazzan Fundamentos de Matemática Elementar combinatória probabilidade 7a ed vol 5 Atual São Paulo 2004 9 Valdivino V Junior Tiago M Vargas e Divaldo Portilho F Junior Passeios Aleatórios Simples Uma Aplicaçao em Jogos 10 Fátima Aparecida Kian et al O ensino de Probabilidade e o novo Ensino Médio reflexões a partir da BNCC e do Currículo Paulista RIPEM 2021 11 Augusto César Morgado et al Análise Combinatória e Probabilidade 9a ed SBM Rio de Janeiro 2006 107 108 BIBLIOGRAFIA 12 Matemática Discreta 2a ed SBM Rio de Janeiro 2015 13 Mariko Oi As medidas bilionárias de países asiáticos para reverter queda na natalidade BBC News Brasil 2023 14 João Perassolo Países têm bebês em falta e dão dinheiro para aumentar população em mundo de 8 bilhões Folha de SPaulo 2022 15 João Ismael D Pinheiro et al Probabilidade e Estatística quantificando a incerteza Elsevier Rio de Janeiro 2012 16 Laura Rifo Probabilidade e Estatística aspectos de tomada de decisões e incerteza para o ensino fundamental e médio 1a ed SBM Rio de Janeiro 2021 17 Pablo Martín Rodríguez Processos de ramificação teoria e aplicações II Colóquio de Matemática da Região Sul Universidade Estadual de Londrina 2012 18 Sheldon Ross Probabilidade um curso moderno com aplicações 8a ed Bookman Porto Alegre 2010 19 Walter Rudin Principles of Mathematical Analysis 3a ed McGrawHill New York 1976 20 Rinaldo B Schinazi Classical and Spatial Stochastic Processes with applications to biology 2a ed Birkhauser New York 2014 21 James Stewart Cálculo 5a ed vol 2 Pioneira Thomson Learning São Paulo 2006 22 Cálculo 6a ed vol 1 Cengage Learning São Paulo 2011 23 Joan Jesus Amaya Triana et al Processos de ramificação e aplicações em modelos de transmissão de informação 2018 24 Lorí Viali Algumas considerações sobre a origem da teoria da probabilidade Revista Brasileira de História da Matemática 8 2008 no 16 143153