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Sistemas de Comunicações I Prof Fabiano Castoldi UNIPAMPA Alegrete Amostragem e Conversão Analógico para Digital Motivação Sistemas digitais são menos sensíveis a ruído do que sistemas analógicos Permite fácil regeneração do sinal em repetidores Facilita integrar vários serviços em um mesmo esquema de transmissão Esquemas de transmissão podem ser projetados relativamente independente da fonte de informação Os circuitos digitais são mais simples de se caracterizar e projetar hardware apropriado Permite variedade em técnicas de multiplexação Motivação Existem técnicas para redução de redundâncias Existem técnicas para adição de redundâncias Facilitam a especificação de padrões complexos que podem ser compartilhados em nível mundial Facilita a implementação de técnicas de compensação de canal como equalização Teorema da Amostragem O processo de digitalização de um sinal analógico consiste em duas etapas básicas amostragem e quantização No processo de amostragem se obtém amostras do sinal em instantes discretos de tempo Na quantização as amostras em tempo discretos obtidas são mapeadas em um alfabeto finito O sinal digital consistem então de uma sequência de símbolos discretos geralmente números O sinal digitalizado pode ser representado em outros sistemas de numeração como o binário octal hexadecimal etc Teorema da Amostragem A amostragem é geralmente realizado no domínio do tempo Por esse processo é possível converter sinais analógicos em uma sequência de amostras geralmente uniformemente espaçadas O Teorema da Amostragem estabelece as condições que para um sinal analógico possa ser recuperado de suas amostras Considere um sinal de energia finita gt com largura de banda B Hz especificado para todo tempo t Suponha amostrarmos esse sinal instantaneamente a uma taxa uniforme Ts Teremos uma sequência gnTs onde n são todos os números inteiros Ts é referido como período de amostragem e a taxa de amostragem ou frequência de amostragem é fs 1Ts Teorema da Amostragem O sinal amostrado pode ser expresso como gt gtδTst n gnTsδt nTs O trem de impulsos é um sinal periódico em Ts com série de Fourier δTst 1Ts n ejωst ωs 2πTs 2πfs Utilizando a relação de dualidade de FT podemos elaborar algumas relações gt gtδTst 1Ts n gt ejn2πfst Gf 1Ts n Gf nfs Isto é o processo de amostragem uniforme de um sinal de tempo contínuo de energia finita resulta em um espectro periódico com repetições de frequência igual à taxa de amostragem Teorema da Amostragem Teorema da Amostragem Observando os espectros podemos ver que o sinal pode ser recuperado por um filtro ideal Logo a condição necessária para reconstrução de um sinal amostrado é que os espectros de frequência não se sobreponham ou seja fs2B ou Ts 12B Essa taxa mínima é conhecida como Taxa Frequência de Nyquist Se o sinal não tiver impulsos ou derivados no espectro a condição de Nyquist pode ser relaxada considerando a igualdade também Teorema da Amostragem Reconstrução Ideal O processo de reconstrução é conhecido como INTERPOLAÇÃO Para recuperar um sinal podemos utilizar um filtro ideal como Hf Ts Πω4πB Ts Πf2B ou no domínio do tempo ht 2BTs sinc2πBt Assumindo a taxa de Nyquist ie 2BTs 1 temos ht sinc2πBt Teorema da Amostragem Figure 52 Ideal signal reconstruction through interpolation Teorema da Amostragem Teorema da Amostragem Denotando o equalizador como Ef Gfej2πft0 EfŜGf EfPffrac1TssumnGfnfs onde queremos que EfPf begincases 0 f fs B Tsej2πft0 f B endcases Um pulso interpolador simples é obtido por um sistema segurador de ordem zero pt rectleftfract05TpTpright Este é um pulso de altura unitária e duração Tp Teorema da Amostragem Teorema da Amostragem Para a reconstrução primeiro geramos 𝑔𝑡 𝑛 𝑔𝑛𝑇𝑠rect𝑡𝑛𝑇𝑠05𝑇𝑝𝑇𝑝 onde 𝑃𝑓 é a FT do pulso quadrado deslocado por 05𝑇𝑝 𝑃𝑓 𝑇𝑝𝑠𝑖𝑛𝑐𝜋𝑓𝑇𝑝𝑒𝑗𝜋𝑓𝑇𝑝 Logo o equalizador deve satisfazer 𝐸𝑓 𝑇𝑠𝑒2𝜋𝑓𝑡𝑜𝑃𝑓1 𝑓𝐵 Flexible 𝐵𝑓1𝑇𝑠𝐵 𝑓1𝑇𝑠𝐵 Na prática podemos escolher 𝑇𝑝 muito pequeno obtendo 𝐸𝑓 𝑇𝑠𝑒2𝜋𝑓𝑡𝑜 𝜋𝑓 sin𝜋𝑓𝑇𝑝 𝑓𝐵 Teorema da Amostragem Problemas na Amostragem e Reconstrução Se utilizarmos a taxa de Nyquist o filtro deve ser ideal o que não é realizável Maiores amostragem relaxam a velocidade de queda do filtro porém continua necessitando ganho 0 fora da faixa do sinal que não é realizável Sinais práticos são limitados no tempo logo não são limitados na frequência Isto gera interferência entre imagens com sobreposição conhecidas como ALIASING Para evitarmos aliasing podemos utilizar um préfiltro antialiasing com frequência de corte fs2 para garantir a taxa de Nyquist pelo menos Teorema da Amostragem a 𝑔𝑓 Reconstruction filter 𝐻𝑓 𝑔𝑓 Sample signal spectrum b Lost tail is folded back c Reconstructed spectrum Teorema da Amostragem d 𝑔𝑡 𝑔𝑎𝑡 𝑔𝑎𝑡 Reconstruction filter 𝐻𝑓 Sample signal spectrum e Reconstructed spectrum no distortion of lower frequencies Lost tail results in loss of higher frequencies Quantização Um sinal amostrado tende a apresentar valores de amplitude repetidos ou muito próximos Isto nos permite discretizar as amplitudes também limitando a uma faixa restrita de valores e utilizando um critério de erro mínimo para aproximar Assim transformaremos um sinal mt em um sinal amostrado mnTs para então converter para um sinal com amplitude discreta vnTs Começamos interpretando que os sinais são amostrados sem memória ie independentes de amostras em outros instantes de tempo Isto simplifica a análise removendo a dependência do tempo ie mt m A amplitude do sinal m é indicada pelo índice k Ik mk m mk1 k 1 2 L onde L é o número total de níveis de valores que o quantizador possui O espaçamento entre os níveis é chamado de quantum degrau ou passo O mapeamento vgm é uma função característica do quantizador que por definição é uma função escada Podemos ter quantizadores Uniformes ou NãoUniformes em relação ao passo Quantização Ruído de quantização Um erro de quantização é introduzido devido a aproximação dos valores Considerando o valor de m como uma amostra de uma variável aleatória va M de média zero O quantizador g mapeia a va M de valores contínuos em uma va V de valores discretos Denotando a va Q como o erro de quantização com amostras qmv ou QMV Se utilizarmos o quantizador simétrico V e Q também terão média zero Logo podemos caracterizar a relação do quantizador pelo erro médio quadrático Quantização Ruído de quantização Considerando m na faixa mmax mmax teremos o degrau do quantizador e assim o erro de quantizador estará limitado à 𝝙2q𝝙2 Se assumirmos 𝝙 pequeno Q pode ser considerada uma va uniformemente distribuída Assim teremos 2mmax L fQq 1 2 q 2 0 CC σ2 Q R 2 2 q2fQqdq EQ2 2 12 Quantização Ruído de quantização Tipicamente utilizase o alfabeto binário Logo se tivermos R bits por amostra teremos L2R níveis Seja P a potência média de mt a relação sinalruído SNR na saída do quantizador uniforme será Observe que a SNR cresce com o valor de R Logo podemos trocar Largura de Banda por Robustez SNRO P σ2 Q 3P m2 max 22R σ2 Q 2mmax 2R 2 12 1 3m2 max22R 1 Onda de entrada 2 Saída quantizada Erro Quantização Quantização NãoUniforme Como a SNR do quantizador é dependente da potência do sinal a ser quantizado e para sinais de voz este sinal é altamente dependente do usuário e do circuito que implementa o quantizador essa potência de sinal pode variar vastamente até mesmo 40dB de diferença entre usuários Para resolver esse problema métodos diferentes de quantizadores não uniformes foram propostos entre os quais se destacam a lei A grande maioria do mundo e lei 𝝁 USA e Japão Em ambos os casos operação deste quantizador é passar primeiramente o sinal de banda base por um compressor e então utilizar um quantizador uniforme Teorema da Amostragem Quantização NãoUniforme Compressor de lei 𝝁 onde v e m são as tensões de entrada e saída normalizadas respectivamente e 𝝁 é uma constante positiva Os níveis de quantização são dados pela derivada de m em relação à v A quantização uniforme é obtida fazendo 𝝁0 v log1µm log1µ dm dv log1µ µ 1 µm Teorema da Amostragem Quantização NãoUniforme Compressor de lei A onde A é uma constante positiva Os níveis de quantização são dados pela derivada de m em relação à v A quantização uniforme é obtida fazendo A1 dm dv 1logA A 0 m 1 A 1 logA m 1 A m 1 v Am 1logA 0 m 1 A 1logAm 1logA 1 A m 1 Quantização NãoUniforme Curva de Efeito dos Compressores Aproximação Real Largura de Banda de Transmissão Largura de banda mínima Vários fatores são importantes para determinar a largura de banda necessário para transmitir um sinal digital Para encontrar um limiar mínimo podemos considerar que qualquer sinal limitado em banda B Hz o qual requer um mínimo de 2B amostras por segundo Como em cada unidade de largura de banda 1Hz podemos transmitir um máximo de 2 pedaços de informação por segundo então a largura de banda mínima para transmitir um sinal digitalizado é de BT C2bitssHz onde C fs b bitss com fs sendo a frequência de amostragem em amostras por segundo e b é o número de bits por amostra utilizado no sistema No PCM um sinal é representado por uma sequência de pulsos codificados As operações básicas são Amostragem Quantização Codificação Um filtro antialiasing é utilizado préoperações básicas para garantir a taxa de Nyquist Operações no Transmissor PCM Amostragem o sinal de banda base é amostrado com pulsos retangulares estreitos o suficiente para o processo de amostragem instantânea Quantização NãoUniforme em certas aplicações a esta quantização é preferível separação de tamanho variável entre níveis Codificação as operações anteriores fornecem um sinal discreto tanto no tempo quanto nos valores Entretanto o sinal não está na melhor forma para transmissão A codificação permite tornar os sinais mais robustos a ruídos e interferências Nesse sentido os códigos binários geralmente oferecem a melhor resistência a ruídos e podem ser facilmente regenerados Pulse Code Modulation PCM Operações no Transmissor PCM Códigos de Linha são utilizados para a representação elétrica de um fluxo binário de dados Geralmente utilizam as terminologias NRZ Não Retorno à Zero e RZ Retorno à Zero Alguns códigos comumente usados Sinalização Unipolar NRZ LigaDesliga Sinalização Polar NRZ Sinalização Unipolar RZ Sinalização Bipolar RZ BRZ Fase Dividida Código Manchester Codificação Diferencial Pulse Code Modulation PCM Códigos de Linha Pulse Code Modulation PCM Códigos de Linha SECTION 41 DIGITALTODIGITAL CONVERSION 109 Figure 47 Polar RZ scheme Amplitude o l l l 1 l 1 l Time polL o I o 1 2 fiN Biphase Manchester and Differential Manchester The idea of RZ transition at the middle of the bit and the idea of NRZL are combined into the Manchester scheme In Manchester encoding the duration of the bit is divided into two halves The voltage remains at one level during the first half and moves to the other level in the second half The transition at the middle of the bit provides synchronization Differential Manchester on the other hand combines the ideas of RZ and NRZI There is always a transition at the middle of the bit but the bit values are determined at the beginning of the bit If the next bit is 0 there is a transition if the next bit is 1 there is none Figure 48 shows both Manchester and differential Manchester encoding Figure 48 Polar biphase Manchester and differential Manchester schemes Ois L lis S 0 I 1 I 0 I 0 I 1 I 1 I I I I I I I I I I I I I I r 1 I 4 I 1 I I I I Manchester I I I I Time l I I I I I I I I l I I I r I 1 I rt I I I Differential I I I Manchester I I I I Time 1 L I I 1 I 1 I I I I I o No inversion Next bit is 1 Inversion Next bit is 0 p 11 Bandwidth o 1 0 2 fiN In Manchester and differential Manchester encoding the transition at the middle of the bit is used for synchronization The Manchester scheme overcomes several problems associated with NRZL and differential Manchester overcomes several problems associated with NRZI First there is no baseline wandering There is no DC component because each bit has a positive and Polar RZ SECTION 41 DIGITALTODIGITAL CONVERSION 107 Figure 45 Unipolar NRZ scheme Amplitude v 1 f 0 f 1 I 0 I o 1111 I Time Nonnalized power Compared with its polar counterpart see the next section this scheme is very costly As we will see shortly the normalized power power needed to send 1 bit per unit line resistance is double that for polar NRZ For this reason this scheme is nor mally not used in data communications today Polar Schemes In polar schemes the voltages are on the both sides of the time axis For example the voltage level for 0 can be positive and the voltage level for I can be negative NonReturntoZero NRZ In polar NRZ encoding we use two levels of voltage amplitude We can have two versions of polar NRZ NRZLand NRZI as shown in Figure 46 The figure also shows the value of r the average baud rate and the band width In the first variation NRZL NRZLevel the level of the voltage determines the value of the bit In the second variation NRZI NRZInvert the change or lack of change in the level of the voltage determines the value of the bit If there is no change the bit is 0 if there is a change the bit is 1 Figure 46 Polar NRZL and NRZI schemes T 1 Save NIl p 0 o l o I 2 fIN Time Time 1 1 0 I I 011 I I NRZI NRZL o No inversion Next bit is 0 Inversion Next bit is 1 In NRZL the level of the voltage determines the value of the bit In NRZI the inversion or the lack of inversion determines the value of the bit Let us compare these two schemes based on the criteria we previously defined Although baseline wandering is a problem for both variations it is twice as severe in NRZL If there is a long sequence of Os or Is in NRZL the average signal power 1 110 CHAPTER 4 DIGITAL TRANSMISSION negative voltage contribution The only drawback is the signal rate The signal rate for Manchester and differential Manchester is double that for NRZ The reason is that there is always one transition at the middle of the bit and maybe one transition at the end of each bit Figure 48 shows both Manchester and differential Manchester encoding schemes Note that Manchester and differential Manchester schemes are also called biphase schemes The minimum bandwidth ofManchester and differential Manchester is 2 times that ofNRZ Bipolar Schemes In bipolar encoding sometimes called multilevel binary there are three voltage lev els positive negative and zero The voltage level for one data element is at zero while the voltage level for the other element alternates between positive and negative In bipolar encoding we use three levels positive zero and negative AMI and Pseudoternary Figure 49 shows two variations of bipolar encoding AMI and pseudoternary A common bipolar encoding scheme is called bipolar alternate mark inversion AMI In the term alternate mark inversion the word mark comes from telegraphy and means 1 So AMI means alternate I inversion A neutral zero volt age represents binary O Binary Is are represented by alternating positive and negative voltages A variation of AMI encoding is called pseudoternary in which the 1 bit is encoded as a zero voltage and the 0 bit is encoded as alternating positive and negative voltages Figure 49 Bipolar schemes AMI and pseudoternary Amplitude o I I I I I o I I I I I I I r 1 p Time Time AMI Pseudoternary The bipolar scheme was developed as an alternative to NRZ The bipolar scheme has the same signal rate as NRZ but there is no DC component The NRZ scheme has most of its energy concentrated near zero frequency which makes it unsuitable for transmission over channels with poor performance around this frequency The concen tration of the energy in bipolar encoding is around frequency N12 Figure 49 shows the typical energy concentration for a bipolar scheme 1 1 SECTION 41 DIGITALTODIGITAL CONVERSION 109 Figure 47 Polar RZ scheme Amplitude o l l l 1 l 1 l Time polL o I o 1 2 fiN Biphase Manchester and Differential Manchester The idea of RZ transition at the middle of the bit and the idea of NRZL are combined into the Manchester scheme In Manchester encoding the duration of the bit is divided into two halves The voltage remains at one level during the first half and moves to the other level in the second half The transition at the middle of the bit provides synchronization Differential Manchester on the other hand combines the ideas of RZ and NRZI There is always a transition at the middle of the bit but the bit values are determined at the beginning of the bit If the next bit is 0 there is a transition if the next bit is 1 there is none Figure 48 shows both Manchester and differential Manchester encoding Figure 48 Polar biphase Manchester and differential Manchester schemes Ois L lis S 0 I 1 I 0 I 0 I 1 I 1 I I I I I I I I I I I I I I r 1 I 4 I 1 I I I I Manchester I I I I Time l I I I I I I I I l I I I r I 1 I rt I I I Differential I I I Manchester I I I I Time 1 L I I 1 I 1 I I I I I o No inversion Next bit is 1 Inversion Next bit is 0 p 11 Bandwidth o 1 0 2 fiN In Manchester and differential Manchester encoding the transition at the middle of the bit is used for synchronization The Manchester scheme overcomes several problems associated with NRZL and differential Manchester overcomes several problems associated with NRZI First there is no baseline wandering There is no DC component because each bit has a positive and 1 0 1 1 0 0 Pulse Code Modulation PCM Operações no Receptor PCM Regeneração Decodificação Reconstrução do trem de pulsos A regeneração também é utilizada nos repetidores ao longo do caminhocanais de comunicação Operações no Receptor PCM Os regeneradores reconstroem o sinal para retransmissão Para isso 3 funções básicas são executadas Equalização Temporização Tomada de Decisão O sinal regenerado diferese do original por 2 razões Ruídos e interferências podem fazer com que a tomada de decisão erre Se o espaçamento entre os pulsos mudar jitter são introduzidos Operações no Receptor PCM Regeneração igual à realizada ao longo do meio de transmissão Decodificação e Expansão os pulsos regenerados são reagrupados em palavras código e decodificados em sinais quantizados PAM Pulse Amplitude Modulation Esse sinal está comprimido sendo então aplicado a um expansor A combinação do compressor e expansor é chamado de COMPANDER Reconstrução o sinal expandido é passado por um filtro passabaixas de reconstrução cuja frequência de corte é igual a largura de banda do sinal O PCM é uma CODIFICAÇÃO DE FONTE Pulse Code Modulation PCM Differential PCM DPCM PCM não é eficiente em relação a largura de banda Utilizando taxas superior a de Nyquist o sinal amostrado apresenta forte correlação entre as amostras adjacentes Na média esses sinais não variam rapidamente entre amostras próximas Assim a potência média entre amostras adjacentes é menor que a potência média de todo sinal Quando a correlação entre amostras é forte o sinal PCM possui várias redundâncias Logo remover as redundâncias resultará em um código mais eficiente Conhecendo o comportamento do sinal até um dado tempo podemos prever seu comportamento futuro predição Este fato é o motivador da quantização diferencial DPCM Considere o sinal de entrada do quantizador como onde a predição é realizada por um filtro de predição o qual pode ser realizado por um filtro tappeddelayline filtro Transversal com atrasos iguais ao período de amostragem enTs mnTs ˆmnTs Differential PCM DPCM A saída do quantizador será eqnTs enTs qnTs onde qnTs é o erro de quantização O diagrama de blocos do DPCM é apresentado abaixo Assim temos ou que representa a versão quantizada de mnTs O receptor DPCM consiste de um decodificador para reconstruir o erro quantizado utilizando o mesmo filtro de predição do transmissor mqnTs ˆmnTs eqnTs ˆmnTs enTs qnTs mqnTs mnTs qnTs Differential PCM DPCM Demodulador As desvantagens do DPCM são ruídos de quantização assim como o PCM está sujeito à distorções de sobrecarga de inclinação devido a rápidas variações do sinal nas quais o filtro de predição não consegue acompanhar Adaptive DPCM ADPCM Melhora ainda mais o desempenho do DPCM utilizando passos de quantização adaptativos Método apropriado quando os valores do sinal da mensagem apresentam grandes variações de faixas de valores permitindo variar o tamanho entre os níveis de quantização Para funcionar o mesmo algoritmo usado no transmissor deve ser utilizado no receptor Delta Modulation DM Modulação Delta DM Utiliza a correlação entre amostras devido a sobreamostragem geralmente 4 vezes a taxa de Nyquist Com o aumento da correlação é possível reduzir os erros de predição podendo codificar utilizando apenas 1 bit L2 níveis Assim o DM é basicamente o DPCM de 1 bit Seu funcionamento simples é quando a predição está abaixo do sinal de entrada em qualquer instante de tempo ele é aumentado por 𝝙v caso contrário diminuímos a predição por 𝝙v Delta Modulation DM Matematicamente temos enTs mnTs mqnTs Ts mqnTs mqnTs Ts eqnTs onde eqnTs ΔsignenTs Assim o sistema pode ser resumido como O sistema DM é um preditor de primeira ordem logo mqnTs mqnTs Ts eqnTs mqnTs 2Ts eqnTs Ts eqnTs i1n eqiTs Assim no instante nTs o acumulador aumenta a aproximação por Δ Isto é o acumulador faz o melhor possível para seguir a amostra de entrada um passo por vez O receptor é simples Como o sinal DM carrega a diferença entre as amostras podemos dizer que ele carrega a informação sobre a derivada de mt Os erros de quantização do DM podem ser divididos em dois elementos Ruído Granular ocorre quando 𝝙 é muito grande em relação as inclinações características do sinal original fazendo o sinal DM oscilar quando o sinal de entrada possui amplitudes quase constantes Distorção de Sobrecarga de Inclinação devido a variações rápidas do sinal Isto implica em aumento do ruído do sistema sendo o principal limitante de desempenho do DM Delta Modulation DM Delta Modulation DM Para o passo do DM poder seguir a variação do sinal precisamos que caso contrário sobrecargas de inclinação ocorrerão Desse modo podemos ver que o 𝝙 deve ser grande para acomodar as faixas dinâmicas de valores do sinal ser pequeno para representar precisamente sinais de energia relativamente baixas Assim um esquema adaptativo para o tamanho do passo é sugerido Ts max dmt dt Delta Modulation DM Modulação SigmaDelta ΣDM Modulação SigmaDelta ΣDM A modulação DM pode ser aproximada pela derivada do sinal Isto implica em ruídos e distorções na transmissão gerarem acúmulos de erros no sinal demodulado Podemos mitigar esse efeito integrando o sinal da mensagem antes da DM O processo de integração produz outros benefícios préênfase do conteúdo de baixa frequência do sinal aumenta a correlação entre as amostras o projeto do receptor é simplificado integrador suaviza o sinal reduzindo distorções por sobrecarga de inclinação quais as consequências na restrição do tamanho do passo do quantizador Modulação SigmaDelta ΣDM Figure 533 a Conventional delta modulator b ΣΔ modulator c Simpler ΣΔ modulator
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Sistemas de Comunicações I Prof Fabiano Castoldi UNIPAMPA Alegrete Amostragem e Conversão Analógico para Digital Motivação Sistemas digitais são menos sensíveis a ruído do que sistemas analógicos Permite fácil regeneração do sinal em repetidores Facilita integrar vários serviços em um mesmo esquema de transmissão Esquemas de transmissão podem ser projetados relativamente independente da fonte de informação Os circuitos digitais são mais simples de se caracterizar e projetar hardware apropriado Permite variedade em técnicas de multiplexação Motivação Existem técnicas para redução de redundâncias Existem técnicas para adição de redundâncias Facilitam a especificação de padrões complexos que podem ser compartilhados em nível mundial Facilita a implementação de técnicas de compensação de canal como equalização Teorema da Amostragem O processo de digitalização de um sinal analógico consiste em duas etapas básicas amostragem e quantização No processo de amostragem se obtém amostras do sinal em instantes discretos de tempo Na quantização as amostras em tempo discretos obtidas são mapeadas em um alfabeto finito O sinal digital consistem então de uma sequência de símbolos discretos geralmente números O sinal digitalizado pode ser representado em outros sistemas de numeração como o binário octal hexadecimal etc Teorema da Amostragem A amostragem é geralmente realizado no domínio do tempo Por esse processo é possível converter sinais analógicos em uma sequência de amostras geralmente uniformemente espaçadas O Teorema da Amostragem estabelece as condições que para um sinal analógico possa ser recuperado de suas amostras Considere um sinal de energia finita gt com largura de banda B Hz especificado para todo tempo t Suponha amostrarmos esse sinal instantaneamente a uma taxa uniforme Ts Teremos uma sequência gnTs onde n são todos os números inteiros Ts é referido como período de amostragem e a taxa de amostragem ou frequência de amostragem é fs 1Ts Teorema da Amostragem O sinal amostrado pode ser expresso como gt gtδTst n gnTsδt nTs O trem de impulsos é um sinal periódico em Ts com série de Fourier δTst 1Ts n ejωst ωs 2πTs 2πfs Utilizando a relação de dualidade de FT podemos elaborar algumas relações gt gtδTst 1Ts n gt ejn2πfst Gf 1Ts n Gf nfs Isto é o processo de amostragem uniforme de um sinal de tempo contínuo de energia finita resulta em um espectro periódico com repetições de frequência igual à taxa de amostragem Teorema da Amostragem Teorema da Amostragem Observando os espectros podemos ver que o sinal pode ser recuperado por um filtro ideal Logo a condição necessária para reconstrução de um sinal amostrado é que os espectros de frequência não se sobreponham ou seja fs2B ou Ts 12B Essa taxa mínima é conhecida como Taxa Frequência de Nyquist Se o sinal não tiver impulsos ou derivados no espectro a condição de Nyquist pode ser relaxada considerando a igualdade também Teorema da Amostragem Reconstrução Ideal O processo de reconstrução é conhecido como INTERPOLAÇÃO Para recuperar um sinal podemos utilizar um filtro ideal como Hf Ts Πω4πB Ts Πf2B ou no domínio do tempo ht 2BTs sinc2πBt Assumindo a taxa de Nyquist ie 2BTs 1 temos ht sinc2πBt Teorema da Amostragem Figure 52 Ideal signal reconstruction through interpolation Teorema da Amostragem Teorema da Amostragem Denotando o equalizador como Ef Gfej2πft0 EfŜGf EfPffrac1TssumnGfnfs onde queremos que EfPf begincases 0 f fs B Tsej2πft0 f B endcases Um pulso interpolador simples é obtido por um sistema segurador de ordem zero pt rectleftfract05TpTpright Este é um pulso de altura unitária e duração Tp Teorema da Amostragem Teorema da Amostragem Para a reconstrução primeiro geramos 𝑔𝑡 𝑛 𝑔𝑛𝑇𝑠rect𝑡𝑛𝑇𝑠05𝑇𝑝𝑇𝑝 onde 𝑃𝑓 é a FT do pulso quadrado deslocado por 05𝑇𝑝 𝑃𝑓 𝑇𝑝𝑠𝑖𝑛𝑐𝜋𝑓𝑇𝑝𝑒𝑗𝜋𝑓𝑇𝑝 Logo o equalizador deve satisfazer 𝐸𝑓 𝑇𝑠𝑒2𝜋𝑓𝑡𝑜𝑃𝑓1 𝑓𝐵 Flexible 𝐵𝑓1𝑇𝑠𝐵 𝑓1𝑇𝑠𝐵 Na prática podemos escolher 𝑇𝑝 muito pequeno obtendo 𝐸𝑓 𝑇𝑠𝑒2𝜋𝑓𝑡𝑜 𝜋𝑓 sin𝜋𝑓𝑇𝑝 𝑓𝐵 Teorema da Amostragem Problemas na Amostragem e Reconstrução Se utilizarmos a taxa de Nyquist o filtro deve ser ideal o que não é realizável Maiores amostragem relaxam a velocidade de queda do filtro porém continua necessitando ganho 0 fora da faixa do sinal que não é realizável Sinais práticos são limitados no tempo logo não são limitados na frequência Isto gera interferência entre imagens com sobreposição conhecidas como ALIASING Para evitarmos aliasing podemos utilizar um préfiltro antialiasing com frequência de corte fs2 para garantir a taxa de Nyquist pelo menos Teorema da Amostragem a 𝑔𝑓 Reconstruction filter 𝐻𝑓 𝑔𝑓 Sample signal spectrum b Lost tail is folded back c Reconstructed spectrum Teorema da Amostragem d 𝑔𝑡 𝑔𝑎𝑡 𝑔𝑎𝑡 Reconstruction filter 𝐻𝑓 Sample signal spectrum e Reconstructed spectrum no distortion of lower frequencies Lost tail results in loss of higher frequencies Quantização Um sinal amostrado tende a apresentar valores de amplitude repetidos ou muito próximos Isto nos permite discretizar as amplitudes também limitando a uma faixa restrita de valores e utilizando um critério de erro mínimo para aproximar Assim transformaremos um sinal mt em um sinal amostrado mnTs para então converter para um sinal com amplitude discreta vnTs Começamos interpretando que os sinais são amostrados sem memória ie independentes de amostras em outros instantes de tempo Isto simplifica a análise removendo a dependência do tempo ie mt m A amplitude do sinal m é indicada pelo índice k Ik mk m mk1 k 1 2 L onde L é o número total de níveis de valores que o quantizador possui O espaçamento entre os níveis é chamado de quantum degrau ou passo O mapeamento vgm é uma função característica do quantizador que por definição é uma função escada Podemos ter quantizadores Uniformes ou NãoUniformes em relação ao passo Quantização Ruído de quantização Um erro de quantização é introduzido devido a aproximação dos valores Considerando o valor de m como uma amostra de uma variável aleatória va M de média zero O quantizador g mapeia a va M de valores contínuos em uma va V de valores discretos Denotando a va Q como o erro de quantização com amostras qmv ou QMV Se utilizarmos o quantizador simétrico V e Q também terão média zero Logo podemos caracterizar a relação do quantizador pelo erro médio quadrático Quantização Ruído de quantização Considerando m na faixa mmax mmax teremos o degrau do quantizador e assim o erro de quantizador estará limitado à 𝝙2q𝝙2 Se assumirmos 𝝙 pequeno Q pode ser considerada uma va uniformemente distribuída Assim teremos 2mmax L fQq 1 2 q 2 0 CC σ2 Q R 2 2 q2fQqdq EQ2 2 12 Quantização Ruído de quantização Tipicamente utilizase o alfabeto binário Logo se tivermos R bits por amostra teremos L2R níveis Seja P a potência média de mt a relação sinalruído SNR na saída do quantizador uniforme será Observe que a SNR cresce com o valor de R Logo podemos trocar Largura de Banda por Robustez SNRO P σ2 Q 3P m2 max 22R σ2 Q 2mmax 2R 2 12 1 3m2 max22R 1 Onda de entrada 2 Saída quantizada Erro Quantização Quantização NãoUniforme Como a SNR do quantizador é dependente da potência do sinal a ser quantizado e para sinais de voz este sinal é altamente dependente do usuário e do circuito que implementa o quantizador essa potência de sinal pode variar vastamente até mesmo 40dB de diferença entre usuários Para resolver esse problema métodos diferentes de quantizadores não uniformes foram propostos entre os quais se destacam a lei A grande maioria do mundo e lei 𝝁 USA e Japão Em ambos os casos operação deste quantizador é passar primeiramente o sinal de banda base por um compressor e então utilizar um quantizador uniforme Teorema da Amostragem Quantização NãoUniforme Compressor de lei 𝝁 onde v e m são as tensões de entrada e saída normalizadas respectivamente e 𝝁 é uma constante positiva Os níveis de quantização são dados pela derivada de m em relação à v A quantização uniforme é obtida fazendo 𝝁0 v log1µm log1µ dm dv log1µ µ 1 µm Teorema da Amostragem Quantização NãoUniforme Compressor de lei A onde A é uma constante positiva Os níveis de quantização são dados pela derivada de m em relação à v A quantização uniforme é obtida fazendo A1 dm dv 1logA A 0 m 1 A 1 logA m 1 A m 1 v Am 1logA 0 m 1 A 1logAm 1logA 1 A m 1 Quantização NãoUniforme Curva de Efeito dos Compressores Aproximação Real Largura de Banda de Transmissão Largura de banda mínima Vários fatores são importantes para determinar a largura de banda necessário para transmitir um sinal digital Para encontrar um limiar mínimo podemos considerar que qualquer sinal limitado em banda B Hz o qual requer um mínimo de 2B amostras por segundo Como em cada unidade de largura de banda 1Hz podemos transmitir um máximo de 2 pedaços de informação por segundo então a largura de banda mínima para transmitir um sinal digitalizado é de BT C2bitssHz onde C fs b bitss com fs sendo a frequência de amostragem em amostras por segundo e b é o número de bits por amostra utilizado no sistema No PCM um sinal é representado por uma sequência de pulsos codificados As operações básicas são Amostragem Quantização Codificação Um filtro antialiasing é utilizado préoperações básicas para garantir a taxa de Nyquist Operações no Transmissor PCM Amostragem o sinal de banda base é amostrado com pulsos retangulares estreitos o suficiente para o processo de amostragem instantânea Quantização NãoUniforme em certas aplicações a esta quantização é preferível separação de tamanho variável entre níveis Codificação as operações anteriores fornecem um sinal discreto tanto no tempo quanto nos valores Entretanto o sinal não está na melhor forma para transmissão A codificação permite tornar os sinais mais robustos a ruídos e interferências Nesse sentido os códigos binários geralmente oferecem a melhor resistência a ruídos e podem ser facilmente regenerados Pulse Code Modulation PCM Operações no Transmissor PCM Códigos de Linha são utilizados para a representação elétrica de um fluxo binário de dados Geralmente utilizam as terminologias NRZ Não Retorno à Zero e RZ Retorno à Zero Alguns códigos comumente usados Sinalização Unipolar NRZ LigaDesliga Sinalização Polar NRZ Sinalização Unipolar RZ Sinalização Bipolar RZ BRZ Fase Dividida Código Manchester Codificação Diferencial Pulse Code Modulation PCM Códigos de Linha Pulse Code Modulation PCM Códigos de Linha SECTION 41 DIGITALTODIGITAL CONVERSION 109 Figure 47 Polar RZ scheme Amplitude o l l l 1 l 1 l Time polL o I o 1 2 fiN Biphase Manchester and Differential Manchester The idea of RZ transition at the middle of the bit and the idea of NRZL are combined into the Manchester scheme In Manchester encoding the duration of the bit is divided into two halves The voltage remains at one level during the first half and moves to the other level in the second half The transition at the middle of the bit provides synchronization Differential Manchester on the other hand combines the ideas of RZ and NRZI There is always a transition at the middle of the bit but the bit values are determined at the beginning of the bit If the next bit is 0 there is a transition if the next bit is 1 there is none Figure 48 shows both Manchester and differential Manchester encoding Figure 48 Polar biphase Manchester and differential Manchester schemes Ois L lis S 0 I 1 I 0 I 0 I 1 I 1 I I I I I I I I I I I I I I r 1 I 4 I 1 I I I I Manchester I I I I Time l I I I I I I I I l I I I r I 1 I rt I I I Differential I I I Manchester I I I I Time 1 L I I 1 I 1 I I I I I o No inversion Next bit is 1 Inversion Next bit is 0 p 11 Bandwidth o 1 0 2 fiN In Manchester and differential Manchester encoding the transition at the middle of the bit is used for synchronization The Manchester scheme overcomes several problems associated with NRZL and differential Manchester overcomes several problems associated with NRZI First there is no baseline wandering There is no DC component because each bit has a positive and Polar RZ SECTION 41 DIGITALTODIGITAL CONVERSION 107 Figure 45 Unipolar NRZ scheme Amplitude v 1 f 0 f 1 I 0 I o 1111 I Time Nonnalized power Compared with its polar counterpart see the next section this scheme is very costly As we will see shortly the normalized power power needed to send 1 bit per unit line resistance is double that for polar NRZ For this reason this scheme is nor mally not used in data communications today Polar Schemes In polar schemes the voltages are on the both sides of the time axis For example the voltage level for 0 can be positive and the voltage level for I can be negative NonReturntoZero NRZ In polar NRZ encoding we use two levels of voltage amplitude We can have two versions of polar NRZ NRZLand NRZI as shown in Figure 46 The figure also shows the value of r the average baud rate and the band width In the first variation NRZL NRZLevel the level of the voltage determines the value of the bit In the second variation NRZI NRZInvert the change or lack of change in the level of the voltage determines the value of the bit If there is no change the bit is 0 if there is a change the bit is 1 Figure 46 Polar NRZL and NRZI schemes T 1 Save NIl p 0 o l o I 2 fIN Time Time 1 1 0 I I 011 I I NRZI NRZL o No inversion Next bit is 0 Inversion Next bit is 1 In NRZL the level of the voltage determines the value of the bit In NRZI the inversion or the lack of inversion determines the value of the bit Let us compare these two schemes based on the criteria we previously defined Although baseline wandering is a problem for both variations it is twice as severe in NRZL If there is a long sequence of Os or Is in NRZL the average signal power 1 110 CHAPTER 4 DIGITAL TRANSMISSION negative voltage contribution The only drawback is the signal rate The signal rate for Manchester and differential Manchester is double that for NRZ The reason is that there is always one transition at the middle of the bit and maybe one transition at the end of each bit Figure 48 shows both Manchester and differential Manchester encoding schemes Note that Manchester and differential Manchester schemes are also called biphase schemes The minimum bandwidth ofManchester and differential Manchester is 2 times that ofNRZ Bipolar Schemes In bipolar encoding sometimes called multilevel binary there are three voltage lev els positive negative and zero The voltage level for one data element is at zero while the voltage level for the other element alternates between positive and negative In bipolar encoding we use three levels positive zero and negative AMI and Pseudoternary Figure 49 shows two variations of bipolar encoding AMI and pseudoternary A common bipolar encoding scheme is called bipolar alternate mark inversion AMI In the term alternate mark inversion the word mark comes from telegraphy and means 1 So AMI means alternate I inversion A neutral zero volt age represents binary O Binary Is are represented by alternating positive and negative voltages A variation of AMI encoding is called pseudoternary in which the 1 bit is encoded as a zero voltage and the 0 bit is encoded as alternating positive and negative voltages Figure 49 Bipolar schemes AMI and pseudoternary Amplitude o I I I I I o I I I I I I I r 1 p Time Time AMI Pseudoternary The bipolar scheme was developed as an alternative to NRZ The bipolar scheme has the same signal rate as NRZ but there is no DC component The NRZ scheme has most of its energy concentrated near zero frequency which makes it unsuitable for transmission over channels with poor performance around this frequency The concen tration of the energy in bipolar encoding is around frequency N12 Figure 49 shows the typical energy concentration for a bipolar scheme 1 1 SECTION 41 DIGITALTODIGITAL CONVERSION 109 Figure 47 Polar RZ scheme Amplitude o l l l 1 l 1 l Time polL o I o 1 2 fiN Biphase Manchester and Differential Manchester The idea of RZ transition at the middle of the bit and the idea of NRZL are combined into the Manchester scheme In Manchester encoding the duration of the bit is divided into two halves The voltage remains at one level during the first half and moves to the other level in the second half The transition at the middle of the bit provides synchronization Differential Manchester on the other hand combines the ideas of RZ and NRZI There is always a transition at the middle of the bit but the bit values are determined at the beginning of the bit If the next bit is 0 there is a transition if the next bit is 1 there is none Figure 48 shows both Manchester and differential Manchester encoding Figure 48 Polar biphase Manchester and differential Manchester schemes Ois L lis S 0 I 1 I 0 I 0 I 1 I 1 I I I I I I I I I I I I I I r 1 I 4 I 1 I I I I Manchester I I I I Time l I I I I I I I I l I I I r I 1 I rt I I I Differential I I I Manchester I I I I Time 1 L I I 1 I 1 I I I I I o No inversion Next bit is 1 Inversion Next bit is 0 p 11 Bandwidth o 1 0 2 fiN In Manchester and differential Manchester encoding the transition at the middle of the bit is used for synchronization The Manchester scheme overcomes several problems associated with NRZL and differential Manchester overcomes several problems associated with NRZI First there is no baseline wandering There is no DC component because each bit has a positive and 1 0 1 1 0 0 Pulse Code Modulation PCM Operações no Receptor PCM Regeneração Decodificação Reconstrução do trem de pulsos A regeneração também é utilizada nos repetidores ao longo do caminhocanais de comunicação Operações no Receptor PCM Os regeneradores reconstroem o sinal para retransmissão Para isso 3 funções básicas são executadas Equalização Temporização Tomada de Decisão O sinal regenerado diferese do original por 2 razões Ruídos e interferências podem fazer com que a tomada de decisão erre Se o espaçamento entre os pulsos mudar jitter são introduzidos Operações no Receptor PCM Regeneração igual à realizada ao longo do meio de transmissão Decodificação e Expansão os pulsos regenerados são reagrupados em palavras código e decodificados em sinais quantizados PAM Pulse Amplitude Modulation Esse sinal está comprimido sendo então aplicado a um expansor A combinação do compressor e expansor é chamado de COMPANDER Reconstrução o sinal expandido é passado por um filtro passabaixas de reconstrução cuja frequência de corte é igual a largura de banda do sinal O PCM é uma CODIFICAÇÃO DE FONTE Pulse Code Modulation PCM Differential PCM DPCM PCM não é eficiente em relação a largura de banda Utilizando taxas superior a de Nyquist o sinal amostrado apresenta forte correlação entre as amostras adjacentes Na média esses sinais não variam rapidamente entre amostras próximas Assim a potência média entre amostras adjacentes é menor que a potência média de todo sinal Quando a correlação entre amostras é forte o sinal PCM possui várias redundâncias Logo remover as redundâncias resultará em um código mais eficiente Conhecendo o comportamento do sinal até um dado tempo podemos prever seu comportamento futuro predição Este fato é o motivador da quantização diferencial DPCM Considere o sinal de entrada do quantizador como onde a predição é realizada por um filtro de predição o qual pode ser realizado por um filtro tappeddelayline filtro Transversal com atrasos iguais ao período de amostragem enTs mnTs ˆmnTs Differential PCM DPCM A saída do quantizador será eqnTs enTs qnTs onde qnTs é o erro de quantização O diagrama de blocos do DPCM é apresentado abaixo Assim temos ou que representa a versão quantizada de mnTs O receptor DPCM consiste de um decodificador para reconstruir o erro quantizado utilizando o mesmo filtro de predição do transmissor mqnTs ˆmnTs eqnTs ˆmnTs enTs qnTs mqnTs mnTs qnTs Differential PCM DPCM Demodulador As desvantagens do DPCM são ruídos de quantização assim como o PCM está sujeito à distorções de sobrecarga de inclinação devido a rápidas variações do sinal nas quais o filtro de predição não consegue acompanhar Adaptive DPCM ADPCM Melhora ainda mais o desempenho do DPCM utilizando passos de quantização adaptativos Método apropriado quando os valores do sinal da mensagem apresentam grandes variações de faixas de valores permitindo variar o tamanho entre os níveis de quantização Para funcionar o mesmo algoritmo usado no transmissor deve ser utilizado no receptor Delta Modulation DM Modulação Delta DM Utiliza a correlação entre amostras devido a sobreamostragem geralmente 4 vezes a taxa de Nyquist Com o aumento da correlação é possível reduzir os erros de predição podendo codificar utilizando apenas 1 bit L2 níveis Assim o DM é basicamente o DPCM de 1 bit Seu funcionamento simples é quando a predição está abaixo do sinal de entrada em qualquer instante de tempo ele é aumentado por 𝝙v caso contrário diminuímos a predição por 𝝙v Delta Modulation DM Matematicamente temos enTs mnTs mqnTs Ts mqnTs mqnTs Ts eqnTs onde eqnTs ΔsignenTs Assim o sistema pode ser resumido como O sistema DM é um preditor de primeira ordem logo mqnTs mqnTs Ts eqnTs mqnTs 2Ts eqnTs Ts eqnTs i1n eqiTs Assim no instante nTs o acumulador aumenta a aproximação por Δ Isto é o acumulador faz o melhor possível para seguir a amostra de entrada um passo por vez O receptor é simples Como o sinal DM carrega a diferença entre as amostras podemos dizer que ele carrega a informação sobre a derivada de mt Os erros de quantização do DM podem ser divididos em dois elementos Ruído Granular ocorre quando 𝝙 é muito grande em relação as inclinações características do sinal original fazendo o sinal DM oscilar quando o sinal de entrada possui amplitudes quase constantes Distorção de Sobrecarga de Inclinação devido a variações rápidas do sinal Isto implica em aumento do ruído do sistema sendo o principal limitante de desempenho do DM Delta Modulation DM Delta Modulation DM Para o passo do DM poder seguir a variação do sinal precisamos que caso contrário sobrecargas de inclinação ocorrerão Desse modo podemos ver que o 𝝙 deve ser grande para acomodar as faixas dinâmicas de valores do sinal ser pequeno para representar precisamente sinais de energia relativamente baixas Assim um esquema adaptativo para o tamanho do passo é sugerido Ts max dmt dt Delta Modulation DM Modulação SigmaDelta ΣDM Modulação SigmaDelta ΣDM A modulação DM pode ser aproximada pela derivada do sinal Isto implica em ruídos e distorções na transmissão gerarem acúmulos de erros no sinal demodulado Podemos mitigar esse efeito integrando o sinal da mensagem antes da DM O processo de integração produz outros benefícios préênfase do conteúdo de baixa frequência do sinal aumenta a correlação entre as amostras o projeto do receptor é simplificado integrador suaviza o sinal reduzindo distorções por sobrecarga de inclinação quais as consequências na restrição do tamanho do passo do quantizador Modulação SigmaDelta ΣDM Figure 533 a Conventional delta modulator b ΣΔ modulator c Simpler ΣΔ modulator