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Engenharia de Telecomunicações ·
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CADERNO DE Controle Discreto Alguns dispositivos importantes para a história do controle de sistemas O relógio dágua de Ktesibius clepsidra O regulador de velocidade de Edmund Lee O regulador de esferas de James Watt flyballregulator Podemos classificar os sistemas de controle em duas grandes categorias a Sistemas em Malha Aberta não podem compensar perturbações no acionamento do controlador nem na saída Perturbação 1 Perturbação 2 t Entrada Transdutor D Controlador D D Processo D ou D de entrada ou Planta Saída ou Referência Junção Variável de Soma Controlada b Sistemas em Malha Fechada realizam a realimentação da saída para compensar perturbações Perturbação 1 Perturbação 2 Entrada Transdutor Em o Processo de entrada A D Controlador D D D D ou Planta A Saída Transdutor de Saída A Transformada de Laflace Podemos representar um sistema sua entrada e sua saída como elementos independentes através da transformada de La place LFH Fis FH estdt Exemplo obtenha a transformada de Laptace de fA A e tult Fis ÃH estdt A e estdt A e tdf A e stat O O Sta o s e Staà eisJsfifsEaLfAeat Fis A sta Exemplo dada a eq diferencial obtenha a solução YH considerando condições iniciais nulas Utilize a transf de la place 11212 1 32 y 32 ult Aplicando a transf de Laplace SZYIS SY o ÍIO 12 SYIS YIO 32 YIS 32 Us SZYCS t 12 SYLS t 32 YCS 32 Vcs Vcs 32 s521125132 32 Vcs sr yzs32 À 32 YS sz pzs zz U jfis32 32 32 S 812532 S s 4s 8 Ú Sà Para 50 8 Fisto 4 Fifa 7 aplicando a o 32 É 1 408 3322 1 Para 54 32 64 ftpst4sfj aplicando E4 sISsI 8 32 YCS sfftsis 4 48 2 YH UH aeucHe4uH De forma semelhante Kat f p zé éua Exemplo para o circuito a seguir determine a função de transferência que relaciona a tensão no capacitor Volt com a tensão de alimentação Vlt h R Vlt VLH VRH Clt M Transformando por Laplace vtt CIVCIH Vcs SIM RIN Ies iA4 C S Vcs St Rt Ies VCA i Hdtv o Vccs IN I Cs As Rt RH R i t Res R Ies 1 VLH LDià Vhls LSI Cs VCs Rt Vcs Vcls Left RCS S ILC Vcc s2 This Vcs Para entrada do tipo degrau vlt 1 o o UG it o VCCS LC s Pt PYL St Missão tente comparar a res ILC posta ao degrau da função de cor s2 RKsiYLC transferência no matlab com a resposta do circuito em um simulador Simulink Tipos de Resposta Para analisarmos as possíveis respostas de um sistema vamos definir Pólo é um valor de s que faz com que a função de transferência se torne infinita Zero é um valor de s que faz com que a função de transferência se torne nula Exemplo inspecione a resposta ao degrau do sistema dado por Gis 52 515 s GCS Res A St 2 Ccs SITE g scs 5 SEI 50 multiplica dois lados por s Üˢ 55135 aplicando so 8251910 A 55 multiplica por 55 sftstls 2 lstYAitoBaHiEsSSt55Ij5YsffA 7 B o B s 2 4 Clt e St Resposta de Sistemas de Segunda Ordem chamaremos de sistemas de segunda ordem os sistemas que possuem dois polos Possibilidades de respostas para sistemas de segunda ordem Superamortecida polos reais e distintos Resposta natural clt K e 1 kz e mt E Sub amortecida polos complexos Resposta natural clt A etcoslwdt E Não amortecida polos imaginários Resposta natural clt Aos wit E Criticamente amortecida polos reais e iguais Resposta natural clt kientikzteat Tipos de Ação de Controle Um sistema de controle em malha fechada genérico pode ser modelado por Referência Em Processo Saída o Controlador ou Planta A Ação Proporcional é aquela que é proporcional ao erro sef GCS Ü t A UH s G s UIS K s GCS KECS KGCS TISGRDlsoCcs7GrDkEcsEpFsRmr 1 EEEiGRDYfiEEgEYGrDH EEReYso1RjYGrD tt GRDCS PÉS FEI NÉRI Tst 1 tSE tSIsIFTsttt Tsty AVHICH EFE 1 tsi Tst K Tsitk erro de Tstl regime Ts t E tsnkRsiiiiiiIFFf Para entendermos o que ocorre com o erro faremos 1 e observaremos e t fim elt Iims Eu tmsIjsIIIskJ t ro s o 500 Pelo Teorema do Valor Final Perceba que para valores finitos da transformada de Laplace de ganho K sempre haverá erro Ação Integral é aquela proporcional à integral do erro MCS GCS Rio É E tesii 5 GCS UCS EIS RCS Ccs Ccs Res RCS RCS CCS Gcs MCS ECS s GCS MCS Rs Ccs Att GCSIMCSI GCSIMCS Res Fãs 9YIEuisegtslTFtDsTsII It Go Mas K tt SLTS K EI K SITST SHEK Eis sltstt 1 SLTS 1 sltsitKsFYSTsDtKtSlTStt S Tst 1 SCTS1 K SITS 1tk SCTsn Para entendermos o que ocorre com o erro faremos 1 e observaremos e t fim e t fim s Eis fim 5sltsti t ro s o sno 5 TseDtKS 1in TIÃO f O Perceba que a inclusão S TEÍSTA da ação integral leva o erro de regime permanente para zero Ação Derivativa é aquela proporcional à taxa de variação do erro Para exemplificar o efeito da ação derivativa vamos primeiro considerar o controle proporcional de uma carga inercial MCS GCS 1 R ᵗÜhp s Como já vimos a expressão de malha fechada do sistema é dada por S MLS GCS Res tt Mas Gcs Kt J 1 y 4 ftps2kpJs4kp Perceba que com esses polos em malha fechada a resposta do sistema é indefinidamente oscitatória independente da escolha do ganho Kp A Clt irenenmnmiim t Vamos considerar agora o uso de um controlador proporcional derivativo É importante mencionar que a ação derivativa nunca é usada sozinha devido ao fato de ser proporcional à taxa de variação do erro MLS GCS R IkpHsÍ Como já vimos a expressão de malha fechada do sistema é dada por is Mis GCS kpilttd s Rs 414 s Gcs KFC 1Td s JSZ à Kpltttd s 1 Kplittds Já kptdstkf JJ kptdstkp Já IR Como o sistema possui agora fotos com parte real negativa sua resposta ao degrau na entrada deixa de ter característica não amortecida A Clt trneenenmrlpeu eba portanto que um efeito da ação derivativa é aumentar o amortecimento do sistema em malha fechada Regras de sintonia de Ziegler Nichols Por vezes é necessário realizar a sintonia de um controlador em campo ou não se dispõe de um modelo matemático do processo para ajustar os parâmetros do controlador Nesses casos regras de sintonia são úteis por fornecer um ponto de partida com operação estável a partir do qual se pode realizar um ajuste fino dos parâmetros do controlador Primeiro método de Ziegler Nichols Observe a resposta do processo ao degrau na entrada Se a resposta for na forma de um S então o primeiro método se aplica Esse método é baseado nas medidas L e T da figura t K ÍEü at I I I T De posse das medidas L e T usaremos a tabela para obter os parâmetros do controlador tipo de C Kp Ti Td P TIL O PI 09 TK Ho O PID tITh 2L 05L A função de transferência do controlador é Td s Gois Kt Tis Segundo método de Ziegler Nichols Neste método usamos um controlador proporcional e subimos seu ganho até obtermos uma oscilação sustentada na resposta ao degrau Este ganho é o ganho crítico Kcr O período de oscilação é o período crítico Por Se a saída não apresenta oscilação sustentada para nenhum valor de ganho o método não se aplica Baseado em kcr e Por escolhemos Clt Por A Tipo de C Kp Ti Td P 05 Kcr O PI 045 Kcr 42 Por o PID 06K ar 95 Por 0H25 Por A função de transferência do controlador é conforme já definido antes Gois Kp tt Td s Tis Exemplo de otimização computacional obtenha os parâmetros K e a do controlador que atendam aos requisitos de cada sistema a Máximo sobressinal de 10 na resposta ao degrau na entrada De Ziegler Nichols s MLS 12 s K 25 Res K stat D Ü 5725511 a 4 A b Máximo sobressinal entre to e 15 e tempo de acomodação menor do que J segundos na resposta ao degrau na entrada De Ziegler Nichols s MLS A 4 4 s Rs K stat D tt 8s tt a 445 A
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CADERNO DE Controle Discreto Alguns dispositivos importantes para a história do controle de sistemas O relógio dágua de Ktesibius clepsidra O regulador de velocidade de Edmund Lee O regulador de esferas de James Watt flyballregulator Podemos classificar os sistemas de controle em duas grandes categorias a Sistemas em Malha Aberta não podem compensar perturbações no acionamento do controlador nem na saída Perturbação 1 Perturbação 2 t Entrada Transdutor D Controlador D D Processo D ou D de entrada ou Planta Saída ou Referência Junção Variável de Soma Controlada b Sistemas em Malha Fechada realizam a realimentação da saída para compensar perturbações Perturbação 1 Perturbação 2 Entrada Transdutor Em o Processo de entrada A D Controlador D D D D ou Planta A Saída Transdutor de Saída A Transformada de Laflace Podemos representar um sistema sua entrada e sua saída como elementos independentes através da transformada de La place LFH Fis FH estdt Exemplo obtenha a transformada de Laptace de fA A e tult Fis ÃH estdt A e estdt A e tdf A e stat O O Sta o s e Staà eisJsfifsEaLfAeat Fis A sta Exemplo dada a eq diferencial obtenha a solução YH considerando condições iniciais nulas Utilize a transf de la place 11212 1 32 y 32 ult Aplicando a transf de Laplace SZYIS SY o ÍIO 12 SYIS YIO 32 YIS 32 Us SZYCS t 12 SYLS t 32 YCS 32 Vcs Vcs 32 s521125132 32 Vcs sr yzs32 À 32 YS sz pzs zz U jfis32 32 32 S 812532 S s 4s 8 Ú Sà Para 50 8 Fisto 4 Fifa 7 aplicando a o 32 É 1 408 3322 1 Para 54 32 64 ftpst4sfj aplicando E4 sISsI 8 32 YCS sfftsis 4 48 2 YH UH aeucHe4uH De forma semelhante Kat f p zé éua Exemplo para o circuito a seguir determine a função de transferência que relaciona a tensão no capacitor Volt com a tensão de alimentação Vlt h R Vlt VLH VRH Clt M Transformando por Laplace vtt CIVCIH Vcs SIM RIN Ies iA4 C S Vcs St Rt Ies VCA i Hdtv o Vccs IN I Cs As Rt RH R i t Res R Ies 1 VLH LDià Vhls LSI Cs VCs Rt Vcs Vcls Left RCS S ILC Vcc s2 This Vcs Para entrada do tipo degrau vlt 1 o o UG it o VCCS LC s Pt PYL St Missão tente comparar a res ILC posta ao degrau da função de cor s2 RKsiYLC transferência no matlab com a resposta do circuito em um simulador Simulink Tipos de Resposta Para analisarmos as possíveis respostas de um sistema vamos definir Pólo é um valor de s que faz com que a função de transferência se torne infinita Zero é um valor de s que faz com que a função de transferência se torne nula Exemplo inspecione a resposta ao degrau do sistema dado por Gis 52 515 s GCS Res A St 2 Ccs SITE g scs 5 SEI 50 multiplica dois lados por s Üˢ 55135 aplicando so 8251910 A 55 multiplica por 55 sftstls 2 lstYAitoBaHiEsSSt55Ij5YsffA 7 B o B s 2 4 Clt e St Resposta de Sistemas de Segunda Ordem chamaremos de sistemas de segunda ordem os sistemas que possuem dois polos Possibilidades de respostas para sistemas de segunda ordem Superamortecida polos reais e distintos Resposta natural clt K e 1 kz e mt E Sub amortecida polos complexos Resposta natural clt A etcoslwdt E Não amortecida polos imaginários Resposta natural clt Aos wit E Criticamente amortecida polos reais e iguais Resposta natural clt kientikzteat Tipos de Ação de Controle Um sistema de controle em malha fechada genérico pode ser modelado por Referência Em Processo Saída o Controlador ou Planta A Ação Proporcional é aquela que é proporcional ao erro sef GCS Ü t A UH s G s UIS K s GCS KECS KGCS TISGRDlsoCcs7GrDkEcsEpFsRmr 1 EEEiGRDYfiEEgEYGrDH EEReYso1RjYGrD tt GRDCS PÉS FEI NÉRI Tst 1 tSE tSIsIFTsttt Tsty AVHICH EFE 1 tsi Tst K Tsitk erro de Tstl regime Ts t E tsnkRsiiiiiiIFFf Para entendermos o que ocorre com o erro faremos 1 e observaremos e t fim elt Iims Eu tmsIjsIIIskJ t ro s o 500 Pelo Teorema do Valor Final Perceba que para valores finitos da transformada de Laplace de ganho K sempre haverá erro Ação Integral é aquela proporcional à integral do erro MCS GCS Rio É E tesii 5 GCS UCS EIS RCS Ccs Ccs Res RCS RCS CCS Gcs MCS ECS s GCS MCS Rs Ccs Att GCSIMCSI GCSIMCS Res Fãs 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proporcional à taxa de variação do erro MLS GCS R IkpHsÍ Como já vimos a expressão de malha fechada do sistema é dada por is Mis GCS kpilttd s Rs 414 s Gcs KFC 1Td s JSZ à Kpltttd s 1 Kplittds Já kptdstkf JJ kptdstkp Já IR Como o sistema possui agora fotos com parte real negativa sua resposta ao degrau na entrada deixa de ter característica não amortecida A Clt trneenenmrlpeu eba portanto que um efeito da ação derivativa é aumentar o amortecimento do sistema em malha fechada Regras de sintonia de Ziegler Nichols Por vezes é necessário realizar a sintonia de um controlador em campo ou não se dispõe de um modelo matemático do processo para ajustar os parâmetros do controlador Nesses casos regras de sintonia são úteis por fornecer um ponto de partida com operação estável a partir do qual se pode realizar um ajuste fino dos parâmetros do controlador Primeiro método de Ziegler Nichols Observe a resposta do processo ao degrau na entrada Se a resposta for na forma de um S então o primeiro método se aplica Esse método é baseado nas medidas L e T da figura t K ÍEü at I I I T De posse das medidas L e T usaremos a tabela para obter os parâmetros do controlador tipo de C Kp Ti Td P TIL O PI 09 TK Ho O PID tITh 2L 05L A função de transferência do controlador é Td s Gois Kt Tis Segundo método de Ziegler Nichols Neste método usamos um controlador proporcional e subimos seu ganho até obtermos uma oscilação sustentada na resposta ao degrau Este ganho é o ganho crítico Kcr O período de oscilação é o período crítico Por Se a saída não apresenta oscilação sustentada para nenhum valor de ganho o método não se aplica Baseado em kcr e Por escolhemos Clt Por A Tipo de C Kp Ti Td P 05 Kcr O PI 045 Kcr 42 Por o PID 06K ar 95 Por 0H25 Por A função de transferência do controlador é conforme já definido antes Gois Kp tt Td s Tis Exemplo de otimização computacional obtenha os parâmetros K e a do controlador que atendam aos requisitos de cada sistema a Máximo sobressinal de 10 na resposta ao degrau na entrada De Ziegler Nichols s MLS 12 s K 25 Res K stat D Ü 5725511 a 4 A b Máximo sobressinal entre to e 15 e tempo de acomodação menor do que J segundos na resposta ao degrau na entrada De Ziegler Nichols s MLS A 4 4 s Rs K stat D tt 8s tt a 445 A