Lista de Exercicios Isostatica Vigas e Trelicas - Resolucao e Metodos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS Curso Engenharia Civil Disciplina Isostática Prof Rafael Amorim Lista de Exercícios Vigas Entrega na 1º Avalição P1 1 Determine as reações de apoio as equações dos esforços de cada trecho e trace os diagramas de esforços solicitantes das vigas abaixo 2 Crie quatro vigas isostáticas utilizando o software Ftool determine as equações dos esforços de cada trecho e trace os diagramas de esforços solicitantes UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS Curso Engenharia Civil Disciplina Isostática Prof Rafael Amorim Lista de Exercícios Treliças Método dos Nós 1 Empregando o método dos nós determine os esforços solicitantes em cada barra das treliças apresentadas abaixo assim como as reações de apoio e o tipo de esforço que está atuando em cada barra Tração ou Compressão 4 kN 4 kN 6 kN 3 m 3 m 4 m 4 m 10 kN 10 kN 5 kN 5 kN 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 1 m ISOSTÁTICA ENGENHARIA CIVIL PROF RAFAEL AMORIM LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Para as vigas Gerber apresentadas abaixo determinar os diagramas de esforços solicitantes DEN DEC e DMF a b c d 1 Vigos gerber 2 t 5 m 2 t 5 m 6 t s a R1 B C 3 m 2 m 3 m 2 m 5 m Vigos gerber dene se divisão nos rotulos e a reação gerada pelos menos estóires ser despositada nos mais estóires Reações de ospaio Vi MR1 0 2 0 5 5 2 VA 0 VA 125 75 Fy 0 25 25 R1 0 R1 25 75 V2 2 t s 2 t 5 m 6 t g R1 MB0 25 3 23 3 2 6 2 VC 3 0 VC 35 75 Fy 0 25 2 3 VB 6 35 0 VB 6 t t calculo pone a obtenção dos diagramas Podemos calcular como vigas individuais e unir os resultados posteriormente Trucho 1 0 x 3 2 t m V 2 x 0 m 2 x x 2 0 Vx 2x mx x2 V0 0 m0 0 V3 6 t s m3 9 t s m Trucho 2 0 x 2 2 t 8 m V 2 x 25 0 M 2 x x 2 25 x 0 Vx 2x 25 mx x2 25 x V0 25 ts m0 0 V2 65 ts m2 9 ts m Trucho 3 0 x 3 2 t 5 m V 2 x 25 0 m 2 x x 2 25 x 0 Vx 2 x 25 mx x2 25 x V0 25 t s m0 0 V3 35 t s m3 15 t s m Trucho 4 0 x 1 m 35 x 0 V 35 0 mx 35 mx 35 Vx 35 ts V0 35 ts m0 0 V1 35 ts m1 35 ts m Trucho 5 0 x 2 m 6 x 35 x 1 0 V 35 6 0 Vx 25 mx 25 x 35 V0 25 ts m0 35 t s m V2 25 ts m2 15 t s m Diagrama de enfoço cortante 65 25 25 75 35 35 6 Diagrama de momento fletor 2t5m 15 35 2º 2t5m 1t5m 2t5m 1t5m 3t5 1t5m 2m 4m 2m 5m 2m 2m 2m Reação de apoio M R10 16 62 2 V040 VA5t5 F y0 5 16 R10 R11t5 V2 3t5 M R20 5442 32 V040 VD35t5 F y0 R2 14 3 350 R235t5 V3 1t5 2t5m 1t5m 35t5 M C0 17 V05 2772 1222 3520 VB91t5 F y0 94 1 27 32 35 VC0 VC111t5 Cálculo para a obtenção dos diagramas Trecho 1 0 x 2 2t5m 1t5m V10x0 Vx x V00 V22t5m m 1 x x2 20 m02t5m m24t5m Trecho 2 0 x 4 1t5m V 10x 10 Vxx 1 V01t5 V43t5 m 1 x x2 10x0 mx x²2 x m00 m4 4t5m Trecho 3 0 x 2 1t5 2t5m V 1 2x0 Vx2x 1 V01t5 V25t5 m 2x x2 10x0 MCx x²2 x m00 m26t5m Trecho 4 0 x 5 1t5 2t5m V 1 2x 2 940 Vx2x 41 4 t5 V041t5 V556t5 m 2x2x22 94x 1x20 m x² 44x 6 m0 6t5m m59t5m Trecho 5 0 x 2 1t5m 35t5 V 10x 350 Vxx 35 V035t5 V255t5 m 10x x2 35x 0 m x²2 35x m0 0 m2 9t5m Trecho 6 0 x 2 1t5m 35t5 V 10x 350 Vxx 35 V035t5 V215t5 m 10x x2 35x 0 mx x²2 35x m0 0 m2 5t5m Trecho 7 0 x 2 1t5m 35t5 V 10x 350 Vxx 35 V035t5 V215t5 m 10x x2 35x 0 mx x²2 35x m0 0 m2 5t5m Diagrama de esforço cortante Diagrama de momento fletor 3 44 55 35 15 2 5 1 1 5 56 15 35 2 4 6 9 5 7t5 7t5 A R1 1t5m R2 6t5 6t5 047 t5m 08t5m 2t5m 3m 1m 3m 1m 2m 2m Vi 4t5o m 2t5m MR10 421o332R230 R22167t5 Fy0 R110 321670 R10837t5 V2 1t5m 0833t5 MA0 10 48 2 1B0 3 083348 8 0 VB 1117t5 VA10 4 0833 1110 VA3727t5 V3 2167t5 Jtsm 67t mo0 R2 C 1m 2m 1 2m 627103232 21675 Vo40 Vo8333t5 Fy0 2167 6 103 833 Vo 0 Vo2837t5 calcula dos equações de esforços Trucho 1 0x3 1t5m V10 x 3720 Vxx372 V0 37275 V307275 m 10 x x2 372 x 0 mx x²2 372x m 0 0 m3 6667t5 Trucho 2 0 x 1 125m 0833 t5 V10 x 083 Vxx083 V0 0833 t5 V1 1832 t5 m 10 x x2 083 x 8 0 mx x²2 083 x 8 m0 8 t5m m1 6677 t5m Trucho 3 0 x 3 4t5m 0837t5 V10 x 083 0 Vx x 083 V0 0837t5 V3 2127t5 M 4 10 x x2 083 x 0 mx x²2 083 x 4 m0 4 t5m m3 2 t5m Trucho 4 0 x 1 2172t 1tm V 216 1x0 Vx x 217 V0 2172t5 V1 3172t5 m 217 x 10 x x2 0 mx x²2 217 x m0 0 m1 2677 t5m Trucho 5 0 x 2 84 2833t5 V 283 0 Vx 283 V0 2833 t5 V2 2833 t5 m 283 x 0 mx 283 x m0 0 t5 m2 5677 t5 Trucho 6 0 x 2 jtsm 67t V 283 6 10 x 0 Vx x 317 V0 31775 V2 51775 m 283 x 2 6 x 10 x x2 0 mx x²2 317 x 567 m0 5677 t5 m m2 2677 t5m Diagrama de esforço cortante 372 183 083 517 317 317 283 217 7t5 Diagrama de momento fletor 8 667 8 2 267 567 7 t5m 4 4 5 t5 2 t5m A 575 25 25 6 m MB0 sup 5 25 VA 5 0 VA 2575 MB0 din 2 62 23 6 Vc 6 0 Vc 475 Fy0 25 5 4 2 62 VB 0 VB 4575 calcula para a oblitnçao dos diagramas Trucho 1 0 x 25 V 25 0 Vx 25 V0 2575 V25 275 m 25 x 0 mx 25 x m0 0 m25 6257 t5m Trecho 2 0 x 25 M 5 x 25 x 25 0 MCx 25x 625 M0 625 M25 0 Trecho 3 0 x 6 V 5 25 Wo x 2 45 0 Vx x26 25 V0 25 V6 47 5t t W W I 2 25 t t 415 t t 25 m 25 m x 6 41 M Wo x 2 x 3 45 x 5 x 25 25 x 5 0 Mx x318 2 x M0 0 M6 0 w 2 6 w 2 x x 6 W 1 x 3 Diograma de esrorco cortonte 7t 25 2 25 4 Diograma de momento lfltor 75m 625 Calculo dos noções de apoió 4 10 2 19 3 2 3 2 3 VB 6 10 0 VB 2475 kN U 10 19 3 2 2475 0 UA 1375 kN 10 0 HA 30 kN Calculo dos equações dos diagramas Trecho 1 0 x 2 N 10 0 V 1375 0 m 1375 x 4 0 Nx 10 Vx 1375 MCx 1375 x 4 N0 10 kN V0 1375 km m0 4 KN m N2 10 kN V2 1375 km m2 235 kNm Trecho 2 0 x 1 N 10 10 0 V 1375 10 0 Nx 0 Vx 375 N0 0 N1 0 N0 375 kN N1 375 km m 10 x 4 1375 x 2 0 Mx 375 x 235 m0 235 kN m m1 2725 RM m Trecho 3 0 x 3 19 w 3 x 3 w 19 x 3 3 x 3 N 10 10 0 V 10 1375 Wo x 2 0 Nx 0 Vx 19 x26 375 N0 0 V0 375 km N3 0 V3 2475 km M Wo x 2 x 3 10 x 1 1375 x 3 4 0 Mx 19 x318 375 x 2725 M0 2725 km M3 10 kN m Trecho 4 0 x 1 Nx 0 Vx 0 m 10 0 mx 10 N0 0 V0 0 m0 10 kNm N1 0 V1 0 m1 10 kNm Diagrama de esforço normal kn 10 Diagrama de esforço cortante 1375 375 kn 2475 Diagrama de momento fletor kNm 10 235 2725 2º 10kNm 8kNm 12kN 7kN 8kNm 13kNm 1m 2m 1m 2m 1m Reações de apoio ΣMA0 1012 13 86 62 122 73 VB5 130 VB3487kN ΣFy0 1012 VA 86 12 7 34870 VA3713 kN ΣFx0 MA0 cálculo das equações de esforços solicitantes Trucho 1 0 x 1 10 1 w 10x w x Nx 0 V W x2 0 M W x2 x3 0 VCx 5x2 Mx 5 x3 3 N0 0 V0 0 m0 0 N1 0 V1 5kN M1 1667 kNm Trecho 2 0 x 2 10kNm Nx 0 V 8 x 10 12 3413 0 N0 0 Vx 8 x 3213 N2 0 V0 3213 kN V2 1613 kN M 8 x x2 3713 x 10 12 x 13 0 Mx 4x2 3213x 1667 m0 1667 kNm m2 466 kNm Trecho 3 0 x 1 8 kNm 13 kNm Nx 0 V 8 x 0 M 8 x x2 13 0 N0 0 Vx 8x N1 0 V0 0 m0 13 kNm V1 8 kN m1 9 kNm Trecho 4 0 x 2 8 kNm 13 kNm Nx 0 V 3487 8 x 1 0 N0 0 V0 2687 kN N2 0 Vx 8x 2687 U2 1087 k M 8 x 1 x 12 3487 x 13 0 Mx 4 x2 2687 x 9 m0 9 kNm m2 4674 kNm Trecho 5 0 x 1 17kN 8kNm 13kNm Nx 0 V 7 3487 8 x 3 0 N0 0 Vx 8x 387 N2 0 V0 387 kN V1 4113 kN m 7 x 8 x 3 x 32 3487 x 2 13 0 Mx 4 x2 387 x 4674 m0 4674 kNm m1 4767 kNm Diagrama de esforços normal kN Diagrama de esforço cortante 3213 1613 413 8 kN 5 387 1087 2667 Diagrama de momento fletor kNm 3º 1m 3m 1m 20kNm 15kN 7kNm 12kN Reações de apoio ΣMA0 MA 2032 123 3 7 155 0 MA158 kNm ΣFy0 VA 2032 15 0 VA45 kN ΣFx0 NA 12 0 MA12 kN Calculo dos equações dos esforços solicitantes Trecho 1 0 x 1 158kNm N 12 0 m 158 45x 0 V 45 0 Nx 12 mx 45x 158 Vx 45 N0 12 KNm m0 158KNm V0 45 KN N1 12 KNm m1 113 KNm V1 45 kN Trecho 2 0 x 3 158kNm W 20 20 w 3 x 3w 20x W 20x3 N 12 0 V Wox2 45 0 m Wox2x3 158 45x1 0 Nx 12 Vx 10x²3 45 mx 10x³9 45x 113 N0 12 KN V0 45 KN m0 113 KNm N3 12 KN V3 15 KN m3 8 KNm Trecho 3 0 x 1 15 kN N 12 0 V 15 0 m 15x 7 0 7 KNm Nx 12 Vx 15 Mx 15x 7 N0 12 KN V0 15 KN m0 7KNm N1 12 KN V1 15 KN m1 8 KNm Diagrama de esforço normal KN 12 12 12 Diagrama de esforço cortante 45 15 KN Diagrama de momento fletor 158 113 8 7 KNm 4 10 KNm 5 KNm 12 KNm 14 KNm 3 KNm 7 KNm A B 1m 1m 1m 2m Reações de apoio MA0 10 5 1420 1 23 3 7 VB 5 12 2 0 0 VB 138KN EFy 0 VA 142 12 138 0 VA 262 KN Fx 0 MA 0 Calculo para a obtenção dos diagramas Trecho 1 0 x 1 V 262 0 m 10 262x 0 10 KNm Nx 0 Vx 262 mx 262 x 10 262 KN N0 0 V0 262 m0 10 KNm N1 0 V1 262 KN m1 162 KNm Trecho 2 0 x 1 10KNm 5 KNm 14 KNm Nx 0 V 14x 262 0 N0 0 Vx 14x 262 N1 0 V0 262 KN V1 122 KN M 14xx2 5 10 262x 1 0 m0 112 KNm Mx 7x² 262 x 112 m1 304 KNm Trecho 3 0 x 2 7 KNm Nx 0 V 138 0 m 7 138x 0 138 KN N0 0 Vx 138 Mx 138x 7 N2 0 V0 138 KN m0 7 KNm V2 138KN m2 206 KNm Trecho 4 0 x 1 14 KNm 3 KNm 7 KNm Nx 0 V 138 14x 0 N0 0 Vx 14x 138 N1 0 V0 138 KN V1 02 KN m 14xx2 3 7 138x 2 0 Mx 7x² 138x 236 m0 236 KNm m1 304 KNm Diagrama de esforço normal KN Diagrama de esforço cortante 266 122 02 KN 138 Diagrama de momento fletor 10 7 KNm 1120 7 206 162 304 236 5 A 10KN 20KN 30KN B 10KN 1m 1m 2m 2 ΣmA0 mA1012023040 mA170KNm ΣFy0 VA1020300 VA60KN ΣFx0 HA100 HA10KN calculo dos diagramas trecho 1 0 x 2 30KN 10KN N 10 0 Nx 10 N0 10KN N2 10KN m 30x0 mx 30x V 30 0 Vx30 V0 30KN V2 30KN trecho 2 0 x 1 20KN 30KN N 10 0 Nx 10 m 20x 30x 2 0 Mx 50x 60 V 20 30 0 Vx 50 N0 10KN N1 10KN V0 50KN V1 50KN m0 60KNm m1 110KNm trecho 3 0 x 1 A 170KNm N 10 0 Nx 10 N0 10KN N1 10KN V 60 0 Vx 60 m 60x 170 0 mx 60x 170 N0 60KN N1 60KN m0 170KNm m1 110KNm 10KN 60KN x Diagrama de esforço normal KN Diagrama de esforço cortante 60 50 30 KN Diagrama de momento fletor 170 110 60 KNm 6º 40 KNm 10KN 10KN 10KN 5m 2m 2m 1m Reações ΣmA0 405 52 107 108 VB100 VB 66 KN ΣFy0 VA 405 30 10 66 0 VA 154 KN ΣFx0 HA 10 HA 10KN Calculo dos diagramas 40 KN 0 x 5 N 10 0 Nx 10 V 40x 154 0 Vx 40x 154 m 40xx2 154x0 Mx 20x² 154x 0 x L N 10 0 Nx 10 V 66 0 Vx 66 m 66x 0 Mx 66x 0 x 2 N 10 0 Nx 10 V 66 50 0 Vx 56 m 10x 66x 1 0 Mx 56x 66 0 x 2 N 10 0 Nx 10 V 66 10 10 0 Vx 46 m 10x 10x 2 66x 3 0 Mx 46x 178 Diagrama de esforço normal kn 10 Diagrama de esforço cortante 154 46 56 66 Diagrama de momento fletor 66 178 270 2964 70 105KN 240KNm 3 MA0 Vb3105124031320 Vb635KN Fy0 VA63510524030 VA190KN Cálculo para a obtenção dos diagramas trecho 1 0x1 190KN V1900 Vx190 V0190KN V2190KN m190x0 mx190x m00KNm m2190knh trecho 2 0x2 105KN 240KNm 105KN 240KNm V240x1051900 Vx240x85 V085KN V2395KN m240xx2105x190x10 Mx120x²85x190 m0190KNm m2120KNm trecho 3 0x1 240KNm V240x0 Vx240x V00 V1240KN M240xx20 m00 M1120 KNm Mx120 x² Diagrama de esforço cortante DEC 190 85 240 KN 395 Diagrama de momento fletor DMF 120 KNm 190 8 20 kN 50 kNm 30 kNm 15 kNm 2m 6m 3m MA0 202 50 306 62 VB 6 153 6 32 0 VB 13125 kN Fy0 VA 20 306 153 13125 0 VA 11375 kN Calculos para diagramas trecho 1 0 x 2 20 kN 50 kNm V 20 0 Vx 20 M 20x 50 0 N0 Mx 20x 50 V0 20 kN V2 20 kN M0 50 kN M2 90 kN trecho 2 0 x 6 20 kN 50 kNm 30 kNm N0 V 30x 11375 20 0 Vx 30x 9375 M 30x x2 11375 x 20 x 2 50 0 Mx 15 x² 9375 x 90 V0 9375 kN V6 8625 kN M6 90 kNm M6 675 kNm trecho 3 0 x 3 15 kNm x V 15x 0 Vx 15x m 150x x2 0 N0 Mx 75 x² U0 0 V3 45kN M0 0 M3 675 kNm Diagrama de esforço cortante kN Diagrama de momento fletor kNm Treliças 1º Reações de apoio MA0 50 2 50 6 MB0 4 0 MB 10 kN Fy 0 VA 5 5 0 VA 10 kN Fx 0 MA 10 0 MA 10 kN Método dos nós C compressão T tração Nó 0 5KN 4m 4m α 45 Fy 0 5 FO F 05 m 45 0 FOF 707 C Fx 0 707 cos 45 FOC 0 FDC 5 kN T CAY F 707 KN ΣFy0 FFCcos 45 707sen 45 FFGcos 45 0 FFCcos 45 FFG cos 45 5 FFC FFG 707 como a barra FFC é perpendicular os centros dos é não há mais corrugamento FFC 0 0 FFG 707 FFC 707 KN C nó C 707 KN ΣFy0 707cos 45 FCE 0 FCE 5 KN T ΣFx0 FCB 707sen 45 0 FCB 5 KN C nó B 10 KN 5 KN ΣFx0 5 FBEcos 45 10 0 FBE 707 KN C ΣFy0 FBA 707sen 45 0 FBA 5 KN T nó A 10 KN 10 5 FAEsen 45 0 FAE 707 KN T ΣFx0 FAC 707cos 45 10 0 FAC 5 KN T nó C 5 KN 5 KN 5 KN ΣFy0 FCE 5 0 FCE 5 KN C 2 2m 2m 2m ΣMa0 52 VC4 56 0 VC 10 KN ΣFy0 VA 5 10 5 0 VA 0 ΣFx0 HA 0 método dos nós C compressão T tração nó F 5 KN 4 4 b tg¹ 42 b 6343 ΣFy0 5 FFCsen 6343 0 FFC 559 KN C ΣFx0 FFE 559 cos 6343 0 FFE 25 KN T nó E E 25 KN 4 4 α 45 ΣFx0 25 FEDsen 45 0 FED 354 KN T ΣFy0 FEC 354cos 45 0 FEC 25 KN C nó C ΣFy0 10 25 559sen 6343 FCDcos 45 0 FCD 354 KN C ΣFx0 354cos 45 FCB 559cos 6343 0 FCB 0 nó B ΣFx0 ΣFy0 FBA 0 FBD 0 nó A ΣFy0 FAD 0 3 F 4 KN F C 3m 6 KN D 3m E 4 KN A 4 m 4 m ΣMa0 63 44 VC8 0 VC 425 KN ΣFy0 VA 4 4 425 0 VA 375 KN ΣFx0 HA 6 0 HA 6 KN nó G F 4 KN ΣFy0 4 FGE 0 FGE 4 KN C ΣFx0 FGF 0 nó F 4 3 α tg¹ 34 α 3687 ΣFx0 FFEcos 3687 0 FFE 0 ΣFy0 FFO 4 0 FFO 4 KN C nó A Fy0 15 KN FAD 3750 FAD 375 kN C nó D Fy0 4375 FDOsen 36870 FDO 042 kN C Fx0 FDE 6 042cos 36870 FDE 567 kN C nó B Fy0 FBE 042sen 3687 0 FBE 025 kN T Fx0 FBC 6 042cos 36870 FBC 567 kN T nó C Fx0 FCEcos 3687 567 0 FCE 708 kN C 4º 2 m 2 m 2 m 4m 4m 4m 4m 4m 4m 10 KN 5kN 10kN 10KN 5 kN MA 0 5 4 10 8 10 16 5 20 UB 24 0 UB 15 kN Fy0 VA 5 10 10 5 15 0 VA 15 kN Fx0 HA 0 método dos nós compressão C Tração T nó A Fy0 15 FALsen 26570 FAL 3354 kN C Fx0 3354cos 2657 FAB 0 FAB 30 kN T nó B Fy0 FBL0 Fx0 FBC 30 0 FBC 30 kN T nó L Fx0 FLKcos 2657 FLCcos 2657 3354cos 2657 0 FLK FLC 3354 I Fy0 FLKsen 2657 FLCsen 2657 5 3354sen 2657 0 FLK FLC 2236 FLC 2236 FLC 3354 FLC 559 kN C FLK 559 2236 FLK 2795 kN C nó C Fy0 FCK 559sen 2657 0 FCK 25 kN T Fx0 FCD 30 559cos 2657 0 FCD 25 kN T Fx0 FKScos 2657 FKDsen 45 2795cos 2657 0 FKS 079 FKD 2795 I Fy0 10 25 FKSsen 2657 FKDcos 45 2795sen 2657 0 FKS 1581 FKD II 1581 FKD 079 FKD 2795 FKD 1179 kN C FKS 1581 1179 FKS 1863 kN C nó J Fx0 FJI 1863 0 FJI 1863 kN C Fy0 FJO 1863sen 2657 1863sen 2657 0 FJO 3667 kN T como a estrutura é simétrica e o carregamento também podemos afirmar que o esforço nos bornos também será simétrico FDI FKO FDE FCD FEJ FCK FEM FLC FHI FLK FIS FKS FFE FBC FFH FBL FGH FAL FOF FAB