·
Engenharia Agronômica ·
Geometria Analítica
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
Ministério da Educação Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco UNIVASF PróReitoria de Ensino PROEN Secretaria de Registro e Controle Acadêmico SRCA Colegiado de Engenharia de Produção CEPROD Geometria Analítica 2Prova Semestre 20241 Turma 11 Professor Beto Rober Bautista Saavedra Lugar e Data Juazeiro 08102024 14 pontos Identificar a cônica representada pela equação 5x2 3xy y2 1 Determinar seus vértices e focos Rotamos o sistema de coordenadas num ângulo θ arctgBAC 12arctg351 12arctag34 tang2θ 34 Resulta cos2θ 910 sen2θ 110 e 2senθcosθ 35 Com a seguinte mudança de variáveis x x1cosθ y1senθ y x1senθ y1cosθ a nova representação seria 5cos2θ 3cosθsenθ sen2θx12 5sen2θ 3senθcosθ cos2θy12 1 Logo 112x12 12y12 1 Observase que é uma Elipse e a2 211 b2 2 b a c2 b2 a2 2011 Os vértices nas coordenadas X1Y1 são V1 sqrt211 0 V2 frac211 0 V3 0 2 V4 0 2 Os focos são F1 0 2011 e F 0 2011 22 pontos Sejam os pontos A 1 2 e B 4 2 Determinar a Equacao da Elipse que passa por A e B com centro O00 e um eixo paralelo ao vetor u 1 2 Observase que o vetor OA 1 2 e perpendicular ao vetor OB 4 2 Sejam a reta X1 que passa por O e A e a reta Y1 que passa por O e B Logo os semieixos da elipse sao a A O 5 e b B O 20 A equacao da elipse no sistema X1Y1 e x2 1 5 y2 1 20 Por outro as Equacoes Cartesianas de X1 e Y1 respectivamente sao 2x y 0 e x 2y 0 Agora as Equacoes de Rotacao sao x1 2x 5 y 5 y1 x 5 2y 5 Logo a equacao da elipse no sistema XY e 2x 5 y 52 5 x 5 2y 52 20 2x y2 25 x 2y2 100 2 32 pontos Seja a parábola y2 5x Encontrar os pontos da parábola cuja distância com o foco é igual a 6 O Foco da parábola é F 54 0 Também os pontos de interseção encontramse no círculo x 542 y2 36 x 542 5x 36 x 522 36 x 52 6 x 72 ou x 172 Para encontrar a segunda coordenada dos pontos de interseção y2 572 y 352 Logo P1 72 352 e P2 72 352 4 2 pontos Seja a elipse x2 4 y2 9 1 Determinar as retas tangentes a elipse dada que passam pelo ponto 21 Seja P x0 y0 um ponto qualquer da Elipse As reta tangentes tem o seguinte formato 9x0x 4y0y 36 As que passam pelo ponto 21 nos fornece a seguinte relacao 1 18x0 4y0 36 9x0 2y0 18 Por outro lado 2 9x2 0 4y2 0 36 Combinando 1 e 2 obtemos 9x2 0 9x0 182 36 5x2 0 18x0 18 2 x0 2 ou x0 8 5 Logo os pontos de contacto da elipse sao 2 0 e 8 5 9 5 As retas tangentes sao x 2 e 72 5 x 32 5 y 36 18x 8y 45 4
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
Ministério da Educação Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco UNIVASF PróReitoria de Ensino PROEN Secretaria de Registro e Controle Acadêmico SRCA Colegiado de Engenharia de Produção CEPROD Geometria Analítica 2Prova Semestre 20241 Turma 11 Professor Beto Rober Bautista Saavedra Lugar e Data Juazeiro 08102024 14 pontos Identificar a cônica representada pela equação 5x2 3xy y2 1 Determinar seus vértices e focos Rotamos o sistema de coordenadas num ângulo θ arctgBAC 12arctg351 12arctag34 tang2θ 34 Resulta cos2θ 910 sen2θ 110 e 2senθcosθ 35 Com a seguinte mudança de variáveis x x1cosθ y1senθ y x1senθ y1cosθ a nova representação seria 5cos2θ 3cosθsenθ sen2θx12 5sen2θ 3senθcosθ cos2θy12 1 Logo 112x12 12y12 1 Observase que é uma Elipse e a2 211 b2 2 b a c2 b2 a2 2011 Os vértices nas coordenadas X1Y1 são V1 sqrt211 0 V2 frac211 0 V3 0 2 V4 0 2 Os focos são F1 0 2011 e F 0 2011 22 pontos Sejam os pontos A 1 2 e B 4 2 Determinar a Equacao da Elipse que passa por A e B com centro O00 e um eixo paralelo ao vetor u 1 2 Observase que o vetor OA 1 2 e perpendicular ao vetor OB 4 2 Sejam a reta X1 que passa por O e A e a reta Y1 que passa por O e B Logo os semieixos da elipse sao a A O 5 e b B O 20 A equacao da elipse no sistema X1Y1 e x2 1 5 y2 1 20 Por outro as Equacoes Cartesianas de X1 e Y1 respectivamente sao 2x y 0 e x 2y 0 Agora as Equacoes de Rotacao sao x1 2x 5 y 5 y1 x 5 2y 5 Logo a equacao da elipse no sistema XY e 2x 5 y 52 5 x 5 2y 52 20 2x y2 25 x 2y2 100 2 32 pontos Seja a parábola y2 5x Encontrar os pontos da parábola cuja distância com o foco é igual a 6 O Foco da parábola é F 54 0 Também os pontos de interseção encontramse no círculo x 542 y2 36 x 542 5x 36 x 522 36 x 52 6 x 72 ou x 172 Para encontrar a segunda coordenada dos pontos de interseção y2 572 y 352 Logo P1 72 352 e P2 72 352 4 2 pontos Seja a elipse x2 4 y2 9 1 Determinar as retas tangentes a elipse dada que passam pelo ponto 21 Seja P x0 y0 um ponto qualquer da Elipse As reta tangentes tem o seguinte formato 9x0x 4y0y 36 As que passam pelo ponto 21 nos fornece a seguinte relacao 1 18x0 4y0 36 9x0 2y0 18 Por outro lado 2 9x2 0 4y2 0 36 Combinando 1 e 2 obtemos 9x2 0 9x0 182 36 5x2 0 18x0 18 2 x0 2 ou x0 8 5 Logo os pontos de contacto da elipse sao 2 0 e 8 5 9 5 As retas tangentes sao x 2 e 72 5 x 32 5 y 36 18x 8y 45 4