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Gestão Financeira ·
Estatística Aplicada para Finanças
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CFM 82 Disciplina Métodos Quantitativos Aplicados Professor Hugo Valesini Gegembauer Teste de Hipótese para Média Capítulos 9 e 10 do Levine Um dos propósitos da Inferência Estatística é o de testar hipóteses estatísticas Uma hipótese estatística é uma afirmação feita sobre algum parâmetro de uma ou de várias populações Introdução Exemplo 1 Há algum tempo o gerente de operações de um grande hospital desejando determinar o tempo médio que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento realizou a medição do tempo gasto por um grande número de pacientes e obteve uma população normalmente distribuída com média de 368 minutos e desvio padrão de 015 minutos Após modificações recentes no pronto atendimento o gerente suspeita que o tempo médio gasto na triagem tenha diminuído Ainda segundo o gerente não existem quaisquer razões para acreditar em alterações no valor do desvio padrão e na distribuição de probabilidades da variável de interesse Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse Qual a hipótese do problema O tempo médio que os pacientes gastam na triagem diminui devido as modificações recentes no pronto atendimento 𝑋 tempo que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento 𝜇 tempo médio que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento Exemplo 1 Dessa forma a condução de um teste de hipóteses tem início com a correta formulação das hipóteses estatísticas Em geral a hipótese inicialmente formulada é denominada por hipótese nula H0 É a hipótese colocada à prova Ou seja Formulação das Hipóteses 𝑯𝟎 𝝁 𝝁𝟎 Em seguida convém explicitar também a hipótese que será adotada caso H0 seja rejeitada A esta outra hipótese daremos o nome de hipótese alternativa e a sua caracterização estatística irá depender do grau de conhecimento que se tem do problema estudado Formulação das Hipóteses A hipóteses alternativa mais geral seria Poderíamos ainda ter hipóteses alternativas da forma dependendo das informações que o problema fornecer 𝑯𝒂 𝝁 𝝁𝟎 𝑯𝒂 𝝁 𝝁𝟎 ou 𝑯𝒂 𝝁 𝝁𝟎 Formulação das Hipóteses Formulação das hipóteses estatísticas do teste Após as mudanças no pronto atendimento o tempo médio gasto na triagem permanece o mesma logo a desconfiança do gerente não procede Interpretação das hipóteses formuladas em termos do problema Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse ቐ 𝐻0 𝜇 368 𝐻𝑎 𝜇 368 Voltando ao Exemplo 1 𝑋 tempo que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento 𝜇 tempo médio que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento Após as mudanças no pronto atendimento o tempo médio gasto na triagem diminui logo a desconfiança do gerente procede Formuladas as hipóteses sobre a característica de interesse da população desejamos saber se os resultados amostrais trazem evidências para rejeitar ou não a hipótese nula H0 NOTA Não rejeitar a hipótese nula Não existem evidências estatísticas que comprovem a desconfiança dos especialistas Rejeitar a hipótese nula Os resultados estatísticos trouxeram evidências favoráveis à desconfiança dos especialistas Qualquer que seja a decisão tomada estaremos sujeitos a cometer erros uma vez que a decisão será baseada em resultados amostrais Assim para facilitar a linguagem necessitamos das seguintes definições Erro do tipo I rejeitar H0 quando H0 é verdadeira Erro do tipo II não rejeitar H0 quando H0 é falsa Erros Formulação das hipóteses estatísticas do teste Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse ቐ 𝐻0 𝜇 368 𝐻𝑎 𝜇 368 Voltando ao Exemplo 1 𝑋 tempo que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento 𝜇 tempo médio que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento A desconfiança do gerente não procede A desconfiança do gerente procede Pergunta Em termos do problema como fica a descrição dos erros do tipo I e do tipo II Erro do tipo I concluir com base nos resultados provenientes da amostra que a desconfiança do gerente procede quando na verdade a desconfiança do gerente não procede Erro do tipo II concluir com base nos resultados provenientes da amostra que a desconfiança do gerente não procede quando na verdade a desconfiança do gerente procede Voltando ao Exemplo 1 Como já foi dito é importante observar que não temos como evitar erros na tomada de decisão uma vez que tal decisão é feita com base em informações provenientes de amostras Todavia a probabilidade de ocorrência dos tais erros podem ser controladas ou mensuradas Assim será possível associar uma medida de validade às conclusões obtidas Probabilidades Associadas aos Erros Chamaremos de a probabilidade de cometermos o erro do tipo I isto é Probabilidade do Erro do Tipo I A probabilidade de cometer um erro de primeira espécie é um valor arbitrário e recebe o nome de nível de significância do teste O resultado da amostra será dito cada vez mais significante para rejeitar H0 quanto menor for esse nível Usualmente esses valores são fixados em 1 5 ou 10 𝜶 𝑷 𝐞𝐫𝐫𝐨 𝐭𝐢𝐩𝐨 𝑰 𝑷𝐑𝐞𝐣𝐞𝐢𝐭𝐚𝐫 𝑯𝟎ȁ𝑯𝟎𝐕𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐢𝐫𝒂 Já a probabilidade de cometermos o erro do tipo II será denotada por isto é Observação O complementar da probabilidade do erro do tipo II 𝟏 𝜷 é chamado de poder do teste Tal probabilidade indica a tomada de decisão correta segundo os diversos valores do parâmetro sob a hipótese alternativa 𝜷 𝑷 𝐞𝐫𝐫𝐨 𝐭𝐢𝐩𝐨 𝑰𝑰 𝑷𝐍ã𝐨 𝐑𝐞𝐣𝐞𝐢𝐭𝐚𝐫 𝑯𝟎ȁ𝑯𝟎 𝐅𝐚𝐥𝐬𝐚 Probabilidade do Erro do Tipo II Exemplo 2 Um fabricante afirma que os cigarros produzidos em sua empresa apresentam um índice de nicotina em média inferior a 30 mg de nicotina Uma amostra aleatória de 25 cigarros forneceu uma média de 285 mg Sabendo que o índice de nicotina se distribui normalmente com variância igual a 484 mg2 os dados trouxeram evidências favoráveis ou contrárias à afirmação do fabricante Formulação das hipóteses estatísticas do teste Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse ቐ 𝐻0 𝜇 30 𝐻𝑎 𝜇 30 Exemplo 2 cont 𝑋 Indíce de nicotina nos cigarros 𝜇 Indíce médio de nicotina nos cigarros A afirmação do fabricante não procede A afirmação do fabricante procede Como o valorp é muito pequeno temos evidências para rejeitarmos a hipótese nula Ou seja temos evidências de que o índice médio de nicotina seja inferior a 30 Assim Sob H0 Exemplo 2 cont ቐ 𝐻0 𝜇 30 𝐻𝑎 𝜇 30 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 285 30 484 25 341 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 𝑃 𝑍 341 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑝 𝑛 341 1 00326 Exemplo 3 As latas de certa marca de refrigerante apresentam em seu rótulo o volume de 350 ml Um órgão regulador admite um desvio padrão máximo 105 ml em seu conteúdo Um instituto de defesa do consumidor deseja testar se o conteúdo médio das latas é igual a 350 ml como anunciado no rótulo Isto equivale a verificar se a máquina está regulada para colocar 350 ml ou não nas latas a Formule as hipóteses estatísticas do teste de interesse b Em termos do problema interprete os erros do tipo I e do tipo II c Para averiguar a afirmação do fabricante foi coletada uma amostra de 36 latas do refrigerante em pontos de comercialização e mediuse o conteúdo destas latas O resultado obtido na amostra foi ҧ𝑥 347𝑚𝑙 Será que as latas contêm 350 ml de líquido com 95 de confiança Formulação das hipóteses estatísticas do teste Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse ቐ 𝐻0 𝜇 350 𝐻𝑎 𝜇 350 Exemplo 3 cont 𝑋 Volume conteúdo nas latas de refrigerante 𝜇 Volume conteúdo médio nas latas de refrigerante O fabricante está produzindo adequadamente O fabricante não está produzindo adequadamente Para 𝜶 𝟏 𝐨𝐮 𝟓 temos evidências para não rejeitarmos a hipótese nula Ou seja temos evidências de que o volume das latas é igual a 350 Para 𝜶 𝟏𝟎 rejeitase a hipótese nula Assim Sob H0 Exemplo 3 cont 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 347 350 ൘ 105 36 171 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 2 𝑃 𝑍 171 2 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑝 𝑛 171 1 2 432 864 ቐ 𝐻0 𝜇 350 𝐻𝑎 𝜇 350 Exemplo 4 Um estudo foi desenvolvido para avaliar a renda de pedreiros na cidade de São Paulo ao qual desconfiase que em média seja superior a 2 salários mínimos Para tanto foram sorteados e entrevistados 121 trabalhadores cuja média amostral foi de 238 salários mínimos Admita que o verdadeiro desvio padrão dessa variável na cidade de São Paulo seja de 088 salários mínimos a Qual é a variável de interesse b Qual é o parâmetro de interesse c Formule as hipóteses estatísticas do teste d Em termos do problema interprete as hipóteses formuladas em d e Descreva os erros do tipo I e do tipo II em termos do problema f Teremos evidências amostrais favoráveis ou contrárias à desconfiança levantada no enunciado Justifique adequadamente a sua resposta Exemplo 4 Cont Formulação das hipóteses estatísticas do teste Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse ቐ 𝐻0 𝜇 2 𝐻𝑎 𝜇 2 Exemplo 4 cont 𝑋 renda de pedreiros na cidade de São Paulo de São Paulo 𝜇 renda média de pedreiros na cidade de São Paulo de São Paulo A desconfiança não procede A desconfiança procede Erro do tipo I concluir com base nos resultados provenientes da amostra que a média é maior que 2 quando na verdade não é Erro do tipo II concluir com base nos resultados provenientes da amostra que a média não é maior que 2 quando na verdade é Exemplo 4 cont Assim Sob H0 Exemplo 4 cont 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 238 2 088 121 475 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 𝑃 𝑍 475 1 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑝 𝑛 475 1 1 999999 00001 ቐ 𝐻0 𝜇 2 𝐻𝑎 𝜇 2 Como o valorp é muito pequeno temos evidências para rejeitarmos a hipótese nula Ou seja temos evidências de que renda média de pedreiros na cidade de São Paulo seja superior a 2 O programa de TV Estar Bem tem uma audiência histórica não superior a 12 pontos percentuais Visando aumentar a audiência desse programa a produção introduziu uma série de inovações que permitem uma melhor interação do público com os especialistas da área médica que participam desse programa Uma semana após essas mudanças foi extraída uma amostra aleatória de 250 telespectadores dos quais 38 afirmaram ter assistido ao programa na última semana É possível afirmar que as mudanças provocaram um aumento na audiência Respostas sem justificativa serão ignoradas Exemplo 5 Um estimador com boas propriedades para o parâmetro 𝑝 é Ƹ𝑝 Usando o TLC para aproximar a distribuição de Ƹ𝑝 desde que 𝑛 temos Vamos considerar a seguinte hipótese nula 𝐻0 𝑝 𝑝0 Ƹ𝑝 𝑁 𝑝0 𝑝0 1 𝑝0 𝑛 Ainda 𝑍 Ƹ𝑝 𝑝0 𝑝0 1 𝑝0 𝑛 𝑁 0 1 Estatística do Teste série de inovações não aumentou a audiência histórica Formulação das hipóteses estatísticas do teste ቐ 𝐻0 𝑝 012 𝐻𝑎 𝑝 012 série de inovações aumentou a audiência histórica Estatística do Teste 𝑍 Ƹ𝑝 𝑝0 𝑝0 1 𝑝0 𝑛 𝑁 0 1 Exemplo 5 Resolução Valorp 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑝 𝑃 Ƹ𝑝 Ƹ𝑝𝑜𝑏𝑠 ȁ 𝑝 012 𝑃 Ƹ𝑝 0152 ȁ 𝑝 012 𝑃 𝑍 0152 012 0121 012 250 𝑃 𝑍 15570 00597 Exemplo 5 Resolução Qual a conclusão A proporção de clientes satisfeitos com os serviços prestados por uma operadora de telefonia tem sido de 72 Dada a concorrência a operadora resolveu incorporar uma série de melhorarias em seus serviços Certamente não houve piora na avaliação dos clientes Para aferir se as ações surtiram efeito extraiuse uma amostra aleatória de 900 clientes dos quais 729 estavam satisfeitos Verifique por meio de um teste de hipóteses se as alterações surtiram o efeito desejado Exemplo 6 1 Variável e parâmetro de interesse 𝑋 ቊ0 𝑠𝑒 𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 1 𝑠𝑒 𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 Parâmetro de interesse 𝑝 proporção de clientes satisfeitos 2 Hipóteses de interesse 𝐻0 Não houve piora na avaliação 𝑝 072 𝐻1 Houve melhora na avaliação 𝑝 072 3 Estimador do parâmetro Ƹ𝑝 ത𝑋 proporção amostral Admitindo uma amostra suficientemente grande para utilizar o TLC temos que Ƹ𝑝 𝑁 𝑝 𝑝 1 𝑝 𝑛 se 𝐻0 for verdadeira Ƹ𝑝 𝑁 072 072 1 072 𝑛 𝑍 Ƹ𝑝 072 072 1 072 𝑛 𝑁 0 1 Exemplo 6 Solução 4 Dada 𝐻0 rejeitamos a hipótese nula para valores altos de Ƹ𝑝 Isso quer dizer Ƹ𝑝 𝑝𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 ou equivalentemente 𝑧 Ƹ𝑝 072 072 1 072 𝑛 𝑧𝑐 Fixando 𝛼 10 temos 𝑧𝑐 𝑞𝑛𝑜𝑟𝑚 090 128 5 Estimativa Ƹ𝑝𝑜𝑏𝑠 729 900 081 𝑧𝑜𝑏𝑠 081072 072 1072 900 601 Conclusão como 𝑧𝑜𝑏𝑠 128 temos evidências para rejeitar 𝐻0 ou seja concluir que as alterações foram eficazes com 10 de significância Exemplo 6 Solução Formato da região crítica Ƹ𝑝 𝑝𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 Ƹ𝑝𝑜𝑏𝑠 081 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 𝑃 Ƹ𝑝 081ȁ 𝑝 072 𝑃 𝑍 081 072 0721 072 900 𝑃 𝑍 601 1 𝑝𝑛𝑜𝑟𝑚 601 93 1010 0 Como o valorp é muito baixo rejeitamos a hipótese nula Exemplo 6 Valorp
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CFM 82 Disciplina Métodos Quantitativos Aplicados Professor Hugo Valesini Gegembauer Teste de Hipótese para Média Capítulos 9 e 10 do Levine Um dos propósitos da Inferência Estatística é o de testar hipóteses estatísticas Uma hipótese estatística é uma afirmação feita sobre algum parâmetro de uma ou de várias populações Introdução Exemplo 1 Há algum tempo o gerente de operações de um grande hospital desejando determinar o tempo médio que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento realizou a medição do tempo gasto por um grande número de pacientes e obteve uma população normalmente distribuída com média de 368 minutos e desvio padrão de 015 minutos Após modificações recentes no pronto atendimento o gerente suspeita que o tempo médio gasto na triagem tenha diminuído Ainda segundo o gerente não existem quaisquer razões para acreditar em alterações no valor do desvio padrão e na distribuição de probabilidades da variável de interesse Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse Qual a hipótese do problema O tempo médio que os pacientes gastam na triagem diminui devido as modificações recentes no pronto atendimento 𝑋 tempo que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento 𝜇 tempo médio que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento Exemplo 1 Dessa forma a condução de um teste de hipóteses tem início com a correta formulação das hipóteses estatísticas Em geral a hipótese inicialmente formulada é denominada por hipótese nula H0 É a hipótese colocada à prova Ou seja Formulação das Hipóteses 𝑯𝟎 𝝁 𝝁𝟎 Em seguida convém explicitar também a hipótese que será adotada caso H0 seja rejeitada A esta outra hipótese daremos o nome de hipótese alternativa e a sua caracterização estatística irá depender do grau de conhecimento que se tem do problema estudado Formulação das Hipóteses A hipóteses alternativa mais geral seria Poderíamos ainda ter hipóteses alternativas da forma dependendo das informações que o problema fornecer 𝑯𝒂 𝝁 𝝁𝟎 𝑯𝒂 𝝁 𝝁𝟎 ou 𝑯𝒂 𝝁 𝝁𝟎 Formulação das Hipóteses Formulação das hipóteses estatísticas do teste Após as mudanças no pronto atendimento o tempo médio gasto na triagem permanece o mesma logo a desconfiança do gerente não procede Interpretação das hipóteses formuladas em termos do problema Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse ቐ 𝐻0 𝜇 368 𝐻𝑎 𝜇 368 Voltando ao Exemplo 1 𝑋 tempo que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento 𝜇 tempo médio que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento Após as mudanças no pronto atendimento o tempo médio gasto na triagem diminui logo a desconfiança do gerente procede Formuladas as hipóteses sobre a característica de interesse da população desejamos saber se os resultados amostrais trazem evidências para rejeitar ou não a hipótese nula H0 NOTA Não rejeitar a hipótese nula Não existem evidências estatísticas que comprovem a desconfiança dos especialistas Rejeitar a hipótese nula Os resultados estatísticos trouxeram evidências favoráveis à desconfiança dos especialistas Qualquer que seja a decisão tomada estaremos sujeitos a cometer erros uma vez que a decisão será baseada em resultados amostrais Assim para facilitar a linguagem necessitamos das seguintes definições Erro do tipo I rejeitar H0 quando H0 é verdadeira Erro do tipo II não rejeitar H0 quando H0 é falsa Erros Formulação das hipóteses estatísticas do teste Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse ቐ 𝐻0 𝜇 368 𝐻𝑎 𝜇 368 Voltando ao Exemplo 1 𝑋 tempo que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento 𝜇 tempo médio que os pacientes gastam na triagem do Pronto Atendimento A desconfiança do gerente não procede A desconfiança do gerente procede Pergunta Em termos do problema como fica a descrição dos erros do tipo I e do tipo II Erro do tipo I concluir com base nos resultados provenientes da amostra que a desconfiança do gerente procede quando na verdade a desconfiança do gerente não procede Erro do tipo II concluir com base nos resultados provenientes da amostra que a desconfiança do gerente não procede quando na verdade a desconfiança do gerente procede Voltando ao Exemplo 1 Como já foi dito é importante observar que não temos como evitar erros na tomada de decisão uma vez que tal decisão é feita com base em informações provenientes de amostras Todavia a probabilidade de ocorrência dos tais erros podem ser controladas ou mensuradas Assim será possível associar uma medida de validade às conclusões obtidas Probabilidades Associadas aos Erros Chamaremos de a probabilidade de cometermos o erro do tipo I isto é Probabilidade do Erro do Tipo I A probabilidade de cometer um erro de primeira espécie é um valor arbitrário e recebe o nome de nível de significância do teste O resultado da amostra será dito cada vez mais significante para rejeitar H0 quanto menor for esse nível Usualmente esses valores são fixados em 1 5 ou 10 𝜶 𝑷 𝐞𝐫𝐫𝐨 𝐭𝐢𝐩𝐨 𝑰 𝑷𝐑𝐞𝐣𝐞𝐢𝐭𝐚𝐫 𝑯𝟎ȁ𝑯𝟎𝐕𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐢𝐫𝒂 Já a probabilidade de cometermos o erro do tipo II será denotada por isto é Observação O complementar da probabilidade do erro do tipo II 𝟏 𝜷 é chamado de poder do teste Tal probabilidade indica a tomada de decisão correta segundo os diversos valores do parâmetro sob a hipótese alternativa 𝜷 𝑷 𝐞𝐫𝐫𝐨 𝐭𝐢𝐩𝐨 𝑰𝑰 𝑷𝐍ã𝐨 𝐑𝐞𝐣𝐞𝐢𝐭𝐚𝐫 𝑯𝟎ȁ𝑯𝟎 𝐅𝐚𝐥𝐬𝐚 Probabilidade do Erro do Tipo II Exemplo 2 Um fabricante afirma que os cigarros produzidos em sua empresa apresentam um índice de nicotina em média inferior a 30 mg de nicotina Uma amostra aleatória de 25 cigarros forneceu uma média de 285 mg Sabendo que o índice de nicotina se distribui normalmente com variância igual a 484 mg2 os dados trouxeram evidências favoráveis ou contrárias à afirmação do fabricante Formulação das hipóteses estatísticas do teste Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse ቐ 𝐻0 𝜇 30 𝐻𝑎 𝜇 30 Exemplo 2 cont 𝑋 Indíce de nicotina nos cigarros 𝜇 Indíce médio de nicotina nos cigarros A afirmação do fabricante não procede A afirmação do fabricante procede Como o valorp é muito pequeno temos evidências para rejeitarmos a hipótese nula Ou seja temos evidências de que o índice médio de nicotina seja inferior a 30 Assim Sob H0 Exemplo 2 cont ቐ 𝐻0 𝜇 30 𝐻𝑎 𝜇 30 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 285 30 484 25 341 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 𝑃 𝑍 341 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑝 𝑛 341 1 00326 Exemplo 3 As latas de certa marca de refrigerante apresentam em seu rótulo o volume de 350 ml Um órgão regulador admite um desvio padrão máximo 105 ml em seu conteúdo Um instituto de defesa do consumidor deseja testar se o conteúdo médio das latas é igual a 350 ml como anunciado no rótulo Isto equivale a verificar se a máquina está regulada para colocar 350 ml ou não nas latas a Formule as hipóteses estatísticas do teste de interesse b Em termos do problema interprete os erros do tipo I e do tipo II c Para averiguar a afirmação do fabricante foi coletada uma amostra de 36 latas do refrigerante em pontos de comercialização e mediuse o conteúdo destas latas O resultado obtido na amostra foi ҧ𝑥 347𝑚𝑙 Será que as latas contêm 350 ml de líquido com 95 de confiança Formulação das hipóteses estatísticas do teste Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse ቐ 𝐻0 𝜇 350 𝐻𝑎 𝜇 350 Exemplo 3 cont 𝑋 Volume conteúdo nas latas de refrigerante 𝜇 Volume conteúdo médio nas latas de refrigerante O fabricante está produzindo adequadamente O fabricante não está produzindo adequadamente Para 𝜶 𝟏 𝐨𝐮 𝟓 temos evidências para não rejeitarmos a hipótese nula Ou seja temos evidências de que o volume das latas é igual a 350 Para 𝜶 𝟏𝟎 rejeitase a hipótese nula Assim Sob H0 Exemplo 3 cont 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 347 350 ൘ 105 36 171 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 2 𝑃 𝑍 171 2 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑝 𝑛 171 1 2 432 864 ቐ 𝐻0 𝜇 350 𝐻𝑎 𝜇 350 Exemplo 4 Um estudo foi desenvolvido para avaliar a renda de pedreiros na cidade de São Paulo ao qual desconfiase que em média seja superior a 2 salários mínimos Para tanto foram sorteados e entrevistados 121 trabalhadores cuja média amostral foi de 238 salários mínimos Admita que o verdadeiro desvio padrão dessa variável na cidade de São Paulo seja de 088 salários mínimos a Qual é a variável de interesse b Qual é o parâmetro de interesse c Formule as hipóteses estatísticas do teste d Em termos do problema interprete as hipóteses formuladas em d e Descreva os erros do tipo I e do tipo II em termos do problema f Teremos evidências amostrais favoráveis ou contrárias à desconfiança levantada no enunciado Justifique adequadamente a sua resposta Exemplo 4 Cont Formulação das hipóteses estatísticas do teste Qual a variável aleatória de interesse Qual o parâmentro de interesse ቐ 𝐻0 𝜇 2 𝐻𝑎 𝜇 2 Exemplo 4 cont 𝑋 renda de pedreiros na cidade de São Paulo de São Paulo 𝜇 renda média de pedreiros na cidade de São Paulo de São Paulo A desconfiança não procede A desconfiança procede Erro do tipo I concluir com base nos resultados provenientes da amostra que a média é maior que 2 quando na verdade não é Erro do tipo II concluir com base nos resultados provenientes da amostra que a média não é maior que 2 quando na verdade é Exemplo 4 cont Assim Sob H0 Exemplo 4 cont 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 238 2 088 121 475 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 𝑃 𝑍 475 1 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑝 𝑛 475 1 1 999999 00001 ቐ 𝐻0 𝜇 2 𝐻𝑎 𝜇 2 Como o valorp é muito pequeno temos evidências para rejeitarmos a hipótese nula Ou seja temos evidências de que renda média de pedreiros na cidade de São Paulo seja superior a 2 O programa de TV Estar Bem tem uma audiência histórica não superior a 12 pontos percentuais Visando aumentar a audiência desse programa a produção introduziu uma série de inovações que permitem uma melhor interação do público com os especialistas da área médica que participam desse programa Uma semana após essas mudanças foi extraída uma amostra aleatória de 250 telespectadores dos quais 38 afirmaram ter assistido ao programa na última semana É possível afirmar que as mudanças provocaram um aumento na audiência Respostas sem justificativa serão ignoradas Exemplo 5 Um estimador com boas propriedades para o parâmetro 𝑝 é Ƹ𝑝 Usando o TLC para aproximar a distribuição de Ƹ𝑝 desde que 𝑛 temos Vamos considerar a seguinte hipótese nula 𝐻0 𝑝 𝑝0 Ƹ𝑝 𝑁 𝑝0 𝑝0 1 𝑝0 𝑛 Ainda 𝑍 Ƹ𝑝 𝑝0 𝑝0 1 𝑝0 𝑛 𝑁 0 1 Estatística do Teste série de inovações não aumentou a audiência histórica Formulação das hipóteses estatísticas do teste ቐ 𝐻0 𝑝 012 𝐻𝑎 𝑝 012 série de inovações aumentou a audiência histórica Estatística do Teste 𝑍 Ƹ𝑝 𝑝0 𝑝0 1 𝑝0 𝑛 𝑁 0 1 Exemplo 5 Resolução Valorp 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑝 𝑃 Ƹ𝑝 Ƹ𝑝𝑜𝑏𝑠 ȁ 𝑝 012 𝑃 Ƹ𝑝 0152 ȁ 𝑝 012 𝑃 𝑍 0152 012 0121 012 250 𝑃 𝑍 15570 00597 Exemplo 5 Resolução Qual a conclusão A proporção de clientes satisfeitos com os serviços prestados por uma operadora de telefonia tem sido de 72 Dada a concorrência a operadora resolveu incorporar uma série de melhorarias em seus serviços Certamente não houve piora na avaliação dos clientes Para aferir se as ações surtiram efeito extraiuse uma amostra aleatória de 900 clientes dos quais 729 estavam satisfeitos Verifique por meio de um teste de hipóteses se as alterações surtiram o efeito desejado Exemplo 6 1 Variável e parâmetro de interesse 𝑋 ቊ0 𝑠𝑒 𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 1 𝑠𝑒 𝑜 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 Parâmetro de interesse 𝑝 proporção de clientes satisfeitos 2 Hipóteses de interesse 𝐻0 Não houve piora na avaliação 𝑝 072 𝐻1 Houve melhora na avaliação 𝑝 072 3 Estimador do parâmetro Ƹ𝑝 ത𝑋 proporção amostral Admitindo uma amostra suficientemente grande para utilizar o TLC temos que Ƹ𝑝 𝑁 𝑝 𝑝 1 𝑝 𝑛 se 𝐻0 for verdadeira Ƹ𝑝 𝑁 072 072 1 072 𝑛 𝑍 Ƹ𝑝 072 072 1 072 𝑛 𝑁 0 1 Exemplo 6 Solução 4 Dada 𝐻0 rejeitamos a hipótese nula para valores altos de Ƹ𝑝 Isso quer dizer Ƹ𝑝 𝑝𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 ou equivalentemente 𝑧 Ƹ𝑝 072 072 1 072 𝑛 𝑧𝑐 Fixando 𝛼 10 temos 𝑧𝑐 𝑞𝑛𝑜𝑟𝑚 090 128 5 Estimativa Ƹ𝑝𝑜𝑏𝑠 729 900 081 𝑧𝑜𝑏𝑠 081072 072 1072 900 601 Conclusão como 𝑧𝑜𝑏𝑠 128 temos evidências para rejeitar 𝐻0 ou seja concluir que as alterações foram eficazes com 10 de significância Exemplo 6 Solução Formato da região crítica Ƹ𝑝 𝑝𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 Ƹ𝑝𝑜𝑏𝑠 081 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 𝑃 Ƹ𝑝 081ȁ 𝑝 072 𝑃 𝑍 081 072 0721 072 900 𝑃 𝑍 601 1 𝑝𝑛𝑜𝑟𝑚 601 93 1010 0 Como o valorp é muito baixo rejeitamos a hipótese nula Exemplo 6 Valorp