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Espaços vetoriais 87 Assim quando os vetores de P3 são representados como combinação linear dos vetores da base B Vi V2 V3 V4 a adição de vetores e a multiplicação por escalar se comportam exatamente da mesma forma como se fossem quádruplas do Em outras palavras diriamos que a correspondência biunívoca entre P3 e IR preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar isto é v wg Vg Wg e kvg k Vg e nesse caso dizemos que os espaços P3 e IR são isomorfos Observemos ainda que o espaço vetorial M2 2 é também isomorfo ao IR De forma análoga provase que P2 é isomorfo a IR M 31 é isomorfo a IR M2 1 é isomorfo a IR e assim por diante De um modQ geral temse Se V é um espaço vetorial sobre IR e dim V n então V e IR são isomorfos 210 PROBLEMAS PROPOSTOS Nos problemas 1 a 7 apresentase um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas Verificar quais deles são espaços vetoriais Para aqueles que não são espaços vetoriais citar os axiomas que não se verificam 1 IR xy z x y z x x y y z z k xyz 0 0 0 2 x 2x 3x x G IR com as operaçOes usuais 3 IR a b c d a b e aa b aa ab 88 Álgebra linear 4 1R xy x y x xy y e axy axay 5 m x y x y x x y y e ax y ax 0 6 A x y IR y 5x com as operações usuais 7 A 0 a b 0 M 22ab G IR com as operações usuais Nos problemas 8 a 13 são apresentados subconjtmtos de IR Verificar quais deles são subespaços vetoriais do IR relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais 8 S x y y x 9 S xx X e IR 10 S x yx 3y 0 11 S yy y IR 12 S x y y x 1 13 S x y x 0 Nos problemas 14 a 25 são apresentados subconjuntos de IR Verificar quais são seus subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais Para os que são subespaços mostrar que as duas condições estão satisfeitas Caso contrário citar um con traexemplo 14 S x y zx 4y e z 0 15 S x y zz 2x y 16 S x y zx z 17 S x y z y x 2 e z 0 Espaços vetoriais 89 18 S x X xxE IR 19 S x X 0x G IR 20 S x y z x y 0 21 S x y zx 0 e y I z I 22 S x 3 x 4 x x IR 23 S x y z x 0 24 S x y z x y z 0 25 S 4t 2 t t te IR 26 Verificar se os subconjuntos abaixo sffo subespaços de M2 2 a S c a b e d 0 b S a b c G IR matrizes triangulares superiores c S a b c G IR matrizes simétricas d S a a b a b b a b G IR 90 Álgebra linear e S 0 S abE lR a b a b ad bc 0 c d conjunto de matrizes inversíveis 27 Sejam os vetores u 2 3 2 e v l 2 4 em IR a Escrever o vetor w 7 11 2 como combinação linear de u e v b Para que valor de k o vetor 8 14 k é combinação linear de u e v c Determinar uma condição entre a b e c para que o vetor a b c seja uma combi nação linear de u e v 28 Consideremos no espaço P2 at bt ca b c E IR os vetores pi t 2t 1 P2 t 2 e p3 2t t a Escrever o vetor p 5t 5t 7 como combinação linear de P i P2 e P3 b Escrever o vetor p 5t 5t 7 como combinação linear de Pi e p2 c Determinar uma condição para a b e c de modo que o vetor at bt c seja combinação linear de P2 e P3 d É possível escrever pi como combinação linear de P2 e P3 29 Seja o espaço vetorial M2 2 e os vetores Vi 1 0 1 2 0 1 V2 e V3 1 1 0 1 2 1 Espaços vetoriais 91 Escrever o vetor 1 8 0 5 como combinaçaío linear dos vetores ViV2 e V3 30 Escrever o vetor 0 E IR como combinação linear dos vetores a v 13 e V2 2 6 b v 13 e v j 2 5 31 Sejam os vetores Vj 121 V2 1 02 e V3 2 1 0 Expressar cada um dos vetores u 8 4 1 v 023e w 0 0 0 como combinação linear de ViV2 e V3 32 Expressar o vetor u l 4 4 6 6 IR como combinação linear dos vetores vi 33 10 V2 0 1 1 2 e V3 1100 33 Seja S osubespaçodo IR definido por S x y z t e lRx 2y z 0 e t 0 Perguntase a 12 3 0 S b 314 0 e S c 1 1 1 e S 34 Seja S osubespaçode M2 2 S a b 2a a b b a b G IR 92 Álgebra linear Perguntase 5 6 1 2 G S b Qual deve ser o valor de k para que o vetor 4 k 2 3 pertença a S 35 Determinar os subespaços do IR gerados pelos seguintes conjuntos a A 2 1 3 b A 1 3 2 22 1 c A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 d A l l 0 0 l 2 2 3 l e A 1 2 1 11 0 301 2 1 1 f A 1 2 1 110 0 0 2 2 1 0 36 Seja o conjunto A v Vj sendo v 1 3 1 e Vj 1 2 4 Determinar a Osubespaço GA b O valor de k para que o vetor v 5 k 11 pertença a GA 37 Sejam os vetores Vi 111 V2 120 e V 3 l 3 1 Se 3 l k G v i V 2 V 3 qual o valor de k Espaços vetoriais 93 38 Determinar os subespaços de P2 espaço vetorial dos polinòmios de grau 2 gerados pelos seguintes vetores a pi 2x 2 P2 x X 3 e pa x 2x b Pl x P2 x x c Pl 1 P2 X Ps x 39 Determinar o subespaço GA para A 12 2 4 O que representa geometrica camente esse subespaço 40 Mostrar que os vetores Vj 21 e V2 1 1 geram o 41 Mostrar que os vetores Vj 1 1 1 V2 011 e V3 0 0 1 geram o IR 42 Seja o espaço vetorial M 2 2 Determinar seus subespaços gerados pelos vetores 1 2 2 1 a V 1 0 e V2 1 1 1 0 1 1 b V 0 1 V2 0 0 e V3 0 1 1 0 43 Determinar o subespaço de P3 espaço dos polinòmios de grau 3 gerado pelos vetores Pl x 2x X 3 e P2 2x x 3x 2 44 Determinar o subespaço de IR gerado pelos vetores u 2 114 v 3 3 3 6 e w 0 440 45 Verificar se o vetor v 1 3 2 0 pertence ao subespaço do IR gerado pelos vetores vi 2 130 V2 1 0 1 0 e V3 0 1 1 0 46 Classificar os seguintes subconjuntos do IR e m U o u L D a 13 Nos problemas 1 a 7 apresentase um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas Verificar quais deles são espaços vetoriais Para aqueles que não são espaços vetoriais citar os axiomas que não se verificam 1 IR3 xyz x y z x x y y z z kxyz 000 Não é pois não obedece que 1xyzxyz xyz IR3 2 V x 2x 3x x IR com as operações usuais Sim é um espaço vetorial Propriedades 1 Fechamento pela soma x 2x 3x y 2y 3y xy 2xy 3xy V V V 2 Fechamento por multiplicação de escalar α IR αx 2x 3x α x 2αx 3αx V 3 Associatividade da adição e 4 Comutividade da adição Como todo vetor do tipo x 2x 3x está em IR3 V possui essas 2 propriedades 5 Elemento Neutro da Adição 000 x 2x 3x x 2x 3x Logo possui 6 Elemento inverso da Adição x 2x 3x x2x3x 000 V Logo possui 7 Compatibilidade da Multiplicação Escalar α β IR x 2x 3x V αβx 2x 3x αβx 2βx 3βx αβx 2αβx 3αβx αβx 2x 3x 8 Elemento neutro da Multiplicação escalar 1x y z x y z x y z V 9 Distributiva em relação à soma vetorial αx 2x 3x y 2y 3y αxy 2xy 3xy αxαy α2x α2y α3x α3y αx 2x 3x αy 2y 3y 10 Distributiva em relação à soma de escalar α β IR α βx 2x 3x αx βx α2x β2x α3x β3x αx 2x 3x βx 2x 3x 3 IR2 a b c d a b e αa b αa αb Não é pois falta na comutatividade da soma a b c d a b Não é preciso que seja igual c d a b c d 4 IR2 x y x y x x y y e αx y α2 x α2 y Não é pois falta na distributividade em relação à soma de escalares α β2 x y α β2 x α β2 y Não são iguais αx y βx y α2 x β2 x α2 y β2 y sempre 5 IR2 x y x y x x y y e αx y αx 0 Não é pois não possui elemento neutro da multiplicação por escalar 1x y x 0 x y 6 A x y IR2 y 5x com as operações usuais Sim é um espaço vetorial Propriedades 1 Fechamento pela soma x 5x y 5y x y 5x y A A A 2 Fechamento por multiplicação de escalar α IR αx 5x αx 5αx A 3 Associatividade da adição e 4 Comutividade da adição Como todo vetor do tipo x 5x está em IR2 A possui esses 2 propriedades 5 Elemento Neutro de Adição 00 x 5x x 5x Logo possui 6 Elemento inverso da Adição x 5x x 5x 00 Logo possui 7 Compatibilidade da Multiplicação Escalar αβ ℝ x5x A αβx5x αβx 5βx αβx 5αβx αβx5x 8 Elemento neutro da Multiplicaçāo escalar 1 xy xy xy A a Distributiva em relaçāo à soma vetorial αx5x y 5y αxy 5xy αxαy 5αx5αy αx5x αy 5y b Distributiva em relaçāo à soma de escalar αβ ℝ αβx5x αxβx α5x β5x αx5x βx5x 7 A 0 a b 0 M22 ab ℝ com as operações usuais Sim é um espaço vetorial Propriedades 1 Fechamento pela Soma 0 a1 b1 0 0 a2 b2 0 0 a1a2 b1b2 0 A A A 2 Fechamento por multiplicação de escalar α ℝ α0 a b 0 0 αa αb 0 A 3 Associatividade da adição e 4 Comutividade da adição como toda matriz do tipo 0 a b 0 está em M22 A possui essas 2 propriedades 5 Elemento Neutro da Adição 0 0 0 0 0 a b 0 0 a b 0 Logo possui 6 Elemento inverso da Adição 0 a b 0 0 a b 0 0 0 0 0 A logo possui 7 Compatibilidade da Multiplicação Escalar αβ ℝ 0 a b 0 A αβ0 a b 0 α0 βa βb 0 0 αβa αβb 0 αβ0 a b 0 8 Elemento neutro da Multiplicação escalar 1 0 a b 0 0 a b 0 9 Distributiva em relação à soma vetorial α0 a1 b1 0 0 a2 b2 0 α0 a1a2 b1b2 0 0 αa1a2 αb1b2 0 α0 a1 b1 0 α0 a2 b2 0 10 Distributiva em relação à soma de escalar αβ ℝ α β0 a b 0 0 αa βa αb βb 0 α0 a b 0 β0 a b 0 Nos problemas 8 a 13 são apresentados subconjuntos de ℝ² Verificar quais deles são subespaços vetoriais do ℝ² relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais 8 S xy y x x x É subespaço 1 Fechado pela soma x1 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 S S S 2 Fechado por multiplicação de escalar α ℝ αx x αx αx S S Logo como obedece 1 e 2 é subespaço Não é pois não é fechado por multiplicação de escalar α1 xyS αxy xy 0 xyS S xyzx4y e z0 4yy0 1 Fechado pela soma S u 4y₁y₁0 S v 4y₂y₂0 uv 4y₁y₂y₁y₂0 S 2 Fechado pela mult de escalar αR u 4y₁ y₁ 0 αu α4y₁y₁0 4αy₁αy₁0 S Logo é subespaço S xyzz2xy xy2xy 1 Fechado pela soma S u x₁y₁2x₁y₁ S v x₂y₂2x₂y₂ uv x₁x₂y₁y₂2x₁x₂y₁y₂ S 2 Fechado pela multiplicação de escalar αR u x₁y₁ 2x₁ y₁ αu αx₁y₁2x₁y₁ αx₁ αy₁ 2αx₁ αy₁ S Logo é subespaço S xyzxz² Não pois não é fechado pela soma 101 402 S 5 0 3 S 19 S x x 0x R 1 Fechado pela soma S u x₁ x₁ 0 S v x₂ x₂ 0 u v x₁ x₂ x₁ x₂ 0 S 2 Fechado por mult de escalar u x₁ x₁ 0 α R αu αx₁ x₁ 0 αx₁ αx₁ α0 S logo é subespaço 20 S x y zxy 0 Não pois não é fechado pela soma 1 0 0 0 1 0 1 1 0 S S 21 S x y zx 0 e y z Não pois não é fechado pela soma 0 1 1 0 1 1 0 2 0 S S 22 S x 3x 4x x R 1 Fechado pela soma u x₁ 3x₁ 4x₁ v x₂ 3x₂ 4x₂ u v x₁ x₂ 3x₁ x₂ 4x₁ x₂ S 2 Fechado por mult de escalar u x₁ 3x₁ 4x₁ α R αu αx₁ 3x₁ 4x₁ αx₁ 3αx₁ 4αx₁ S logo é subespaço S xyzy x2 e z0 x x2 0 Não é pois não é fechado pela soma 130 350 S 480 S 23 S x y zx 0 Não é pois não é fechado por mult de escalar α 1 u 1 0 0 S αu 1 0 0 S 24 S x y zx y z 0 1 Fechado pela soma u x₁ y₁ z₁ v x₂ y₂ z₂ x₁ y₁ z₁ 0 x₂ y₂ z₂ 0 u v x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ 0 u v S 2 Fechado por mult de escalar u x₁ y₁ z₁ α R x₁ y₁ z₁ 0 αu αx₁ y₁ z₁ αx₁ αy₁ αz₁ αx₁ αy₁ αz₁ αx₁ y₁ z₁ 0 αu S logo é subespaço 25 S 4t 2t t t R 1 Fechado pela soma u 4t₁ 2t₁ t₁ v 4t₂ 2t₂ t₂ u v 4t₁ t₂ 2t₁ t₂ t₁ t₂ S 2 Fechado por mult de escalar u 4t₁ 2t₁ t₁ α R αu α4t₁ 2t₁ t₁ 4αt₁ 2αt₁ αt₁ S logo é subespaço S xxx xR 1 Fechado pela soma S m x₁x₁x₁ S v x₂x₂x₂ m v x₁x₂ x₁x₂ x₁x₂ S 2 Fechado por mult de escalar u x₁x₁x₁ αR αu αx₁x₁x₁ αx₁ αx₁ αx₁ S Logo é subespaço 26 Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M2 2 a S a b c d c a b e d 0 a b ab 0 1 Fechado pela soma A a1 b1 a1b1 0 B a2 b2 a2b2 0 A B a1a2 b1b2 a1a2 b1b2 0 S 2 Mult de escalar A a b ab 0 α R αA αa αb αa αb 0 S logo é subespaço b S a b 0 c a b c R matrizes triangulares superiores 1 Fechado pela soma A a1 b1 0 c1 B a2 b2 0 c2 A B a1a2 b1b2 0 c1c2 S 2 Mult de escalar A a b 0 c α R αA αa αb 0 αc S logo é subespaço c S a b b c a b c IR matrizes simétricas 1 Fechado pela suma A a1 b1 b1 c1 B a2 b2 b2 c2 A B a1a2 b1b2 b1b2 c1c2 S 2 Mult de escalar A a b b c α IR αA αa αb αb αc S logo é subespaço d S a ab ab b a b IR 1 Fechado pela suma A a1 a1b1 a1b1 b1 B a2 a2b2 a2b2 b2 A B a1a2 a1a2b1b2 a1a2b1b2 b1b2 S 2 Mult de escalar A a ab ab b α IR αA αa αab αab αb S e S a 1 a b a b IR Não pois não é fechado pela Soma 1 1 1 0 S 0 1 0 0 S 1 2 1 0 S f S a b c d ad bc 0 conjunto de matrizes inversíveis Não pois não é fechado pela soma 1 0 0 1 S 1 0 0 1 S 0 0 0 0 S 27 Sejam os vetores u 2 3 2 e v 1 2 4 em IR3 a Escrever o vetor w 7 11 2 como combinação linear de u e v 7 11 2 α2 3 2 β1 2 4 7 2α β 11 3α 2β 2 2α 4β I III 5 β 4β β 1 2 2α 41 2α 6 α 3 em II 11 33 21 Logo 7 11 2 32 3 2 11 2 4 b Para que valor de k o vetor 8 14 k é combinação linear de u e v 8 14 k α2 3 2 β1 2 4 8 2α β 14 3α 2β k 2α 4β 16 4α 2β 14 3α 2β 2 α 8 22 β β 8 4 β 4 Quero k 22 44 k 4 16 k 12 c Determinar uma condição entre a b e c para que o vetor a b c seja uma combinação linear de u e v a b c α2 3 2 β1 2 4 a 2α β b 3α 2β c 2α 4β III I c a 4β β c a 5β β c a5 1 a 2α c a5 a c a5 2α 5a c a5 2α α 4a c10 2 1 2 em II b 34a c10 2c a5 b 12a 3c 4c 4a10 b 16a c10 28 Consideremos no espaço P2 at2 bt ca b c IR os vetores p1 t2 2t 1 p2 t 2 e p3 2t2 t a Escrever o vetor p 5t2 5t 7 como combinação linear de p1 p2 e p3 5t2 5t 7 αt2 2t 1 βt 2 δ2t2 t α 2δ 5 2α β δ 5 α 2β 7 α 9 β 1 δ 2 Logo 5t2 5t 7 9t2 2t 1 1t 2 22t2 t b Escrever o vetor p 5t2 5t 7 como combinação linear de p1 e p2 5t2 5t 7 αt2 2t 1 βt 2 5 α 5 2α β 7 2 2β α 5 β 5 7 5 210 Falso Logo não é possível escrever como combinação linear c Determinar uma condição para a b e c de modo que o vetor at2 bt c seja combinação linear de p2 e p3 at2 bt c αt 2 β2t2 t a 2β β a2 b α β b c2 a2 c 2α α c2 b c a2 d É possível escrever p1 como combinação linear de p2 e p3 Não pois ele não obedece que b c a2 Seja o espaço vetorial M2 2 e os vetores v1 1 0 1 1 v2 1 2 0 1 e v3 0 1 2 1 Escrever o vetor v 1 8 0 5 como combinação linear dos vetores v1 v2 e v3 αv1 βv2 δv3 v α 0 α α β 2β 0 β 0 δ 2δ δ 1 8 0 5 α β 1 α β 1 β 1 2γ 0 α 2δ 0 β 2δ 1 α β δ 5 22δ 1 δ 8 2β δ 8 4δ 2 δ 8 5δ 10 δ 2 β 3 β 2 2 1 4 1 α 3 1 α 4 α β δ 4 3 2 5 Logo 4 1 0 1 1 3 1 2 0 1 2 0 1 2 1 1 8 0 5 30 Escrever o vetor 0 IR2 como combinação linear dos vetores a v1 1 3 e v2 2 6 00 α1 3 β2 6 0 α 2β α 2β 0 3α 6β por ex β1 α2 0 0 213 2 6 b v1 13 e v2 25 00 α13 β25 α β 0 α β 3α 5β 0 3β 5β 0 β α 0 Logo não é possível escrever como CL a não ser 0113 0 25 31 Sejam os vetores v1 1 2 1 v2 1 0 2 e v3 2 1 0 Expressar cada um dos vetores u 8 4 1 v 0 2 3 e w 0 0 0 como combinação linear de v1 v2 e v3 α1 2 1 β1 0 2 γ2 1 0 8 4 1 u α β 2γ 8 2α γ 4 α 2β 1 α 113 β 73 γ 343 113 1 2 1 73 1 0 2 343 2 1 0 u α1 2 1 β1 0 2 γ 2 1 0 0 2 3 v 2 β 2γ 0 2α γ 2 α 2β 3 α 1 β 1 γ 0 11 2 1 1102 02 1 0 v α1 2 1 β1 0 2 γ2 1 0 0 0 0 w α β 2γ 0 2α γ 0 α 2β 0 α β γ 0 Logo única possível o 121 o 102 o 2 10 w 32 Expressar o vetor u 1 4 4 6 IR⁴ como combinação linear dos vetores v₁ 3 3 1 0 v₂ 0 1 1 2 e v₃ 1 1 0 0 1 4 4 6 𝛼3 3 1 0 β0 1 1 2 𝜸1 1 0 0 1 3𝛼 𝜸 4 3𝛼 β 𝜸 4 𝛼 β 6 2β 𝛼 1 β 3 𝜸 2 1 4 4 6 1 3 3 1 0 3 0 1 1 2 2 1 1 0 0 33 Seja S o subespaço do IR⁴ definido por S x y z t IR⁴ x 2y z 0 e t 0 Perguntase a 1 2 3 0 S 0 x 2y z 1 22 3 1 4 3 0 1 2 3 0 S b 3 1 4 0 S 0 x 2y z 3 21 4 3 2 4 1 Logo 3 1 4 0 S c 1 1 1 1 S 0 logo 1 1 1 1 S 34 Seja S o subespaço de M2 2 Perguntase S a b 2a a b IR a b b a 5 6 S 1 2 a b 5 a b 1 2a 6 b 2 b 2 a 3 logo 5 6 S b Qual deve ser o valor de k para que o vetor 4 k 2 3 pertença a S a b 4 1 3 4 2a k a b 2 b 3 b 3 a 1 2 1 k k 2 35 Determinar os subespaços do IR³ gerados pelos seguintes conjuntos a A 2 1 3 𝛼 2 1 3 𝛼 IR x y z 2𝛼 𝛼 3𝛼 z 3y x 2y logo x y z IR³ z 3y x 2y Reta com diretor 2 1 3 b A 1 3 2 2 2 1 x y z 𝛼1 3 2 β 2 2 1 x 𝛼 2β y 3𝛼 2β x y 2𝛼 2x 2𝛼 4β y 3𝛼 2β z 2𝛼 β z 2x 5 β z x y z 2x5 45 z 7x5 y 0 x y z IR³ 45 z 7x5 y 0 Plano no IR³ c A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 x y z 𝛼 1 0 1 β 0 1 1 𝜸 1 1 0 x 𝛼 𝜸 y β 𝜸 𝛼 β x y x y z z 𝛼 β x y z IR³ z x y Plano no IR³ d A 1 1 0 0 1 2 2 3 1 x y z 𝛼 1 1 0 β 0 1 2 𝜸 2 3 1 x 𝛼 2𝜸 y 𝛼 β 3𝜸 gero todo IR³ sempre acho 𝛼 β 𝜸 z 2β 𝜸 logo será o IR³ e A 1 2 1 1 1 0 3 0 1 2 1 1 x y z α1 2 1 β1 1 0 γ3 0 1 σ2 1 1 x α β 3γ 2σ y 2α β σ z α γ σ z x y3 x y x y3 x1 0 13 y0 1 13 logo subespaço x y z ℝ3 x y z α1 0 13 β0 1 13 f A 1 2 1 1 1 0 0 0 2 2 1 0 x y z α1 2 1 β1 1 0 γ3 0 1 σ2 1 1 x α β 3γ 2σ y 2α β σ z α γ σ gera todo ℝ3 sempre consigo α β γ σ logo ℝ3 36 Seja o conjunto A v1 v2 sendo v1 1 3 1 e v2 1 2 4 Determinar a O subespaço GA x y z α1 3 1 β1 2 4 x α β y 3α 2β z α 4β z x3 β x α z x3 α z x3 x α z 4x3 y βz 4x3 2z x3 z 4x1 23 z 4x3 logo GA x y z ℝ3 y z 4x3 b O valor de k para que o vetor v 5 k 11 pertença a GA Ques y z 4x3 k 11 453 k 11 203 k 93 k 3 37 Sejam os vetores v1 1 1 1 v2 1 2 0 e v3 1 3 1 Se 3 1 k v1 v2 v3 qual o valor de k v1 v2 v3 x y z α1 1 1 β1 2 0 γ1 3 1 x α β γ y α 2β 3γ z α γ y x β 2γ x z y x z y 2x 0 logo v1 v2 v3 x y z ℝ3 z y 2x 0 se 3 1 k v1 v2 v3 k 1 2 3 0 k 1 6 0 k 7 38 Determinar os subespaços de P2 espaço vetorial dos polinômios de grau 2 gerados pelos seguintes vetores a p1 2x 2 p2 x2 x 3 e p3 x2 2x a x2 b x c α2x 2 βx2 x 3 γx2 2x a β γ b 2α β 2γ c 2α 3β c b2 2β 2γ c b2 β γ a b c2 a β γ b c2 t2 bt c bt22 t ct22 1 logo subespaço p P2 p bt22 t ct22 1 b c ℝ b p1 x2 p2 x2 x a t2 b t c α x2 β x2 x a α β b β c 0 a α b logo subespaço p P2 p ax2 x a ℝ c p1 1 p2 x p3 x2 a t2 b x c α1 βx γx2 a γ b β c α logo subespaço P2 39 Determinar o subespaço GA para A 1 2 2 4 O que representa geometricamente esse subespaço x y α1 2 β2 4 x α 2β 2x 2α 4β y 2α 4β y 2x logo GA x y ℝ2 y 2x geometricamente é uma reta 40 Mostrar que os vetores v₁ 21 e v₂ 11 geram o IR² Tome xy IR² xy α21 β11 x 2α β x y α y α β β y x y 2y x logo xy IR² sempre há α e β tais que xy α21 β11 logo 21 e 11 geram IR² 41 Mostrar que os vetores v₁ 111 v₂ 011 e v₃ 001 geram o IR³ Tome xyz IR³ xyz α111 β011 γ001 x α α x y α β y x β β y x z α β γ z y γ γ z y logo xyz IR³ existem α β γ tais que xyz α111 β011 γ001 logo geram o IR³ 42 Seja o espaço vetorial M 22 Determinar seus subespaços gerados pelos vetores a v₁ 1 2 1 0 e v₂ 2 1 1 1 a b c d α1 2 1 0 β2 1 1 1 a α 2β b 2α β c α β d β β d a c β d a c d c b d 2 d b d 2 2c 3d b b 2c 3d logo c d 2c 3d c d c1 2 1 0 d1 3 0 1 Subespaço M M22 M c1 2 1 0 d1 3 0 1 cd IR b v₁ 1 0 0 1 v₂ 1 1 0 0 e v₃ 0 1 1 0 a b c d α1 0 0 1 β1 1 0 0 γ0 1 1 0 a α β a d β b β σ b β c a b d c c γ d α logo a b a b d d a1 0 1 0 b0 1 1 0 d0 0 1 1 logo Subespaço M M22 M a 1 0 1 0 b0 1 1 0 d0 0 1 1 abd IR 43 Determinar o subespaço de P₃ espaço dos polinômios de grau 3 gerado pelos vetores p₁ x³ 2x² x 3 e p₂ 2x³ x² 3x 2 ax³ bx² cx d αx³ 2x² x 3 β2x³ x² 3x 2 a α 2β b 2α β a c β c α 3β d 3α 2β d 3 b a c 2 2 a c b 2 α a c d 3b 3a 3c 4a 4c α b a c 2 d 7a 3b 7c 2 logo ax³ bx² cx 7a 3b 7c 2 ax³ 72 bx² 32 cx 72 logo subespaço p P² p ax³ 72 bx² 32 cx 72 abc IR 44 Determinar o subespaço de IR⁴ gerado pelos vetores u 2 1 1 4 v 3 3 3 6 e w 0 4 4 0 xyzw α2114 β3336 σ0440 x 2α 3β y 2α 3β 4γ z α 3β 4γ w 4α 6β w 2x y z α x 2 y z 3β x 2yz 3 β Logo xyz2x x1002 y0100 z0010 Subespacio xyzw IR⁴ xyzw α1002 β0100 σ0010 α β σ IR 45 Verificar se o vetor v 1320 pertence ao subespaço do IR⁴ gerado pelos vetores v₁ 2130 v₂ 1010 e v₃ 0110 1320 α2130 β1010 σ0110 1 2α β 3 α σ 3 α 1 2 3 β β 1 6 β 7 2 3α β 0 0 3 3 σ σ 6 Logo pertence 1320 32130 71010 0 0110 46 Classificar os seguintes subconjuntos do IR² em LI ou LD a 13 α 13 00 α 0 logo é LI
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Espaços vetoriais 87 Assim quando os vetores de P3 são representados como combinação linear dos vetores da base B Vi V2 V3 V4 a adição de vetores e a multiplicação por escalar se comportam exatamente da mesma forma como se fossem quádruplas do Em outras palavras diriamos que a correspondência biunívoca entre P3 e IR preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar isto é v wg Vg Wg e kvg k Vg e nesse caso dizemos que os espaços P3 e IR são isomorfos Observemos ainda que o espaço vetorial M2 2 é também isomorfo ao IR De forma análoga provase que P2 é isomorfo a IR M 31 é isomorfo a IR M2 1 é isomorfo a IR e assim por diante De um modQ geral temse Se V é um espaço vetorial sobre IR e dim V n então V e IR são isomorfos 210 PROBLEMAS PROPOSTOS Nos problemas 1 a 7 apresentase um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas Verificar quais deles são espaços vetoriais Para aqueles que não são espaços vetoriais citar os axiomas que não se verificam 1 IR xy z x y z x x y y z z k xyz 0 0 0 2 x 2x 3x x G IR com as operaçOes usuais 3 IR a b c d a b e aa b aa ab 88 Álgebra linear 4 1R xy x y x xy y e axy axay 5 m x y x y x x y y e ax y ax 0 6 A x y IR y 5x com as operações usuais 7 A 0 a b 0 M 22ab G IR com as operações usuais Nos problemas 8 a 13 são apresentados subconjtmtos de IR Verificar quais deles são subespaços vetoriais do IR relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais 8 S x y y x 9 S xx X e IR 10 S x yx 3y 0 11 S yy y IR 12 S x y y x 1 13 S x y x 0 Nos problemas 14 a 25 são apresentados subconjuntos de IR Verificar quais são seus subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais Para os que são subespaços mostrar que as duas condições estão satisfeitas Caso contrário citar um con traexemplo 14 S x y zx 4y e z 0 15 S x y zz 2x y 16 S x y zx z 17 S x y z y x 2 e z 0 Espaços vetoriais 89 18 S x X xxE IR 19 S x X 0x G IR 20 S x y z x y 0 21 S x y zx 0 e y I z I 22 S x 3 x 4 x x IR 23 S x y z x 0 24 S x y z x y z 0 25 S 4t 2 t t te IR 26 Verificar se os subconjuntos abaixo sffo subespaços de M2 2 a S c a b e d 0 b S a b c G IR matrizes triangulares superiores c S a b c G IR matrizes simétricas d S a a b a b b a b G IR 90 Álgebra linear e S 0 S abE lR a b a b ad bc 0 c d conjunto de matrizes inversíveis 27 Sejam os vetores u 2 3 2 e v l 2 4 em IR a Escrever o vetor w 7 11 2 como combinação linear de u e v b Para que valor de k o vetor 8 14 k é combinação linear de u e v c Determinar uma condição entre a b e c para que o vetor a b c seja uma combi nação linear de u e v 28 Consideremos no espaço P2 at bt ca b c E IR os vetores pi t 2t 1 P2 t 2 e p3 2t t a Escrever o vetor p 5t 5t 7 como combinação linear de P i P2 e P3 b Escrever o vetor p 5t 5t 7 como combinação linear de Pi e p2 c Determinar uma condição para a b e c de modo que o vetor at bt c seja combinação linear de P2 e P3 d É possível escrever pi como combinação linear de P2 e P3 29 Seja o espaço vetorial M2 2 e os vetores Vi 1 0 1 2 0 1 V2 e V3 1 1 0 1 2 1 Espaços vetoriais 91 Escrever o vetor 1 8 0 5 como combinaçaío linear dos vetores ViV2 e V3 30 Escrever o vetor 0 E IR como combinação linear dos vetores a v 13 e V2 2 6 b v 13 e v j 2 5 31 Sejam os vetores Vj 121 V2 1 02 e V3 2 1 0 Expressar cada um dos vetores u 8 4 1 v 023e w 0 0 0 como combinação linear de ViV2 e V3 32 Expressar o vetor u l 4 4 6 6 IR como combinação linear dos vetores vi 33 10 V2 0 1 1 2 e V3 1100 33 Seja S osubespaçodo IR definido por S x y z t e lRx 2y z 0 e t 0 Perguntase a 12 3 0 S b 314 0 e S c 1 1 1 e S 34 Seja S osubespaçode M2 2 S a b 2a a b b a b G IR 92 Álgebra linear Perguntase 5 6 1 2 G S b Qual deve ser o valor de k para que o vetor 4 k 2 3 pertença a S 35 Determinar os subespaços do IR gerados pelos seguintes conjuntos a A 2 1 3 b A 1 3 2 22 1 c A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 d A l l 0 0 l 2 2 3 l e A 1 2 1 11 0 301 2 1 1 f A 1 2 1 110 0 0 2 2 1 0 36 Seja o conjunto A v Vj sendo v 1 3 1 e Vj 1 2 4 Determinar a Osubespaço GA b O valor de k para que o vetor v 5 k 11 pertença a GA 37 Sejam os vetores Vi 111 V2 120 e V 3 l 3 1 Se 3 l k G v i V 2 V 3 qual o valor de k Espaços vetoriais 93 38 Determinar os subespaços de P2 espaço vetorial dos polinòmios de grau 2 gerados pelos seguintes vetores a pi 2x 2 P2 x X 3 e pa x 2x b Pl x P2 x x c Pl 1 P2 X Ps x 39 Determinar o subespaço GA para A 12 2 4 O que representa geometrica camente esse subespaço 40 Mostrar que os vetores Vj 21 e V2 1 1 geram o 41 Mostrar que os vetores Vj 1 1 1 V2 011 e V3 0 0 1 geram o IR 42 Seja o espaço vetorial M 2 2 Determinar seus subespaços gerados pelos vetores 1 2 2 1 a V 1 0 e V2 1 1 1 0 1 1 b V 0 1 V2 0 0 e V3 0 1 1 0 43 Determinar o subespaço de P3 espaço dos polinòmios de grau 3 gerado pelos vetores Pl x 2x X 3 e P2 2x x 3x 2 44 Determinar o subespaço de IR gerado pelos vetores u 2 114 v 3 3 3 6 e w 0 440 45 Verificar se o vetor v 1 3 2 0 pertence ao subespaço do IR gerado pelos vetores vi 2 130 V2 1 0 1 0 e V3 0 1 1 0 46 Classificar os seguintes subconjuntos do IR e m U o u L D a 13 Nos problemas 1 a 7 apresentase um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas Verificar quais deles são espaços vetoriais Para aqueles que não são espaços vetoriais citar os axiomas que não se verificam 1 IR3 xyz x y z x x y y z z kxyz 000 Não é pois não obedece que 1xyzxyz xyz IR3 2 V x 2x 3x x IR com as operações usuais Sim é um espaço vetorial Propriedades 1 Fechamento pela soma x 2x 3x y 2y 3y xy 2xy 3xy V V V 2 Fechamento por multiplicação de escalar α IR αx 2x 3x α x 2αx 3αx V 3 Associatividade da adição e 4 Comutividade da adição Como todo vetor do tipo x 2x 3x está em IR3 V possui essas 2 propriedades 5 Elemento Neutro da Adição 000 x 2x 3x x 2x 3x Logo possui 6 Elemento inverso da Adição x 2x 3x x2x3x 000 V Logo possui 7 Compatibilidade da Multiplicação Escalar α β IR x 2x 3x V αβx 2x 3x αβx 2βx 3βx αβx 2αβx 3αβx αβx 2x 3x 8 Elemento neutro da Multiplicação escalar 1x y z x y z x y z V 9 Distributiva em relação à soma vetorial αx 2x 3x y 2y 3y αxy 2xy 3xy αxαy α2x α2y α3x α3y αx 2x 3x αy 2y 3y 10 Distributiva em relação à soma de escalar α β IR α βx 2x 3x αx βx α2x β2x α3x β3x αx 2x 3x βx 2x 3x 3 IR2 a b c d a b e αa b αa αb Não é pois falta na comutatividade da soma a b c d a b Não é preciso que seja igual c d a b c d 4 IR2 x y x y x x y y e αx y α2 x α2 y Não é pois falta na distributividade em relação à soma de escalares α β2 x y α β2 x α β2 y Não são iguais αx y βx y α2 x β2 x α2 y β2 y sempre 5 IR2 x y x y x x y y e αx y αx 0 Não é pois não possui elemento neutro da multiplicação por escalar 1x y x 0 x y 6 A x y IR2 y 5x com as operações usuais Sim é um espaço vetorial Propriedades 1 Fechamento pela soma x 5x y 5y x y 5x y A A A 2 Fechamento por multiplicação de escalar α IR αx 5x αx 5αx A 3 Associatividade da adição e 4 Comutividade da adição Como todo vetor do tipo x 5x está em IR2 A possui esses 2 propriedades 5 Elemento Neutro de Adição 00 x 5x x 5x Logo possui 6 Elemento inverso da Adição x 5x x 5x 00 Logo possui 7 Compatibilidade da Multiplicação Escalar αβ ℝ x5x A αβx5x αβx 5βx αβx 5αβx αβx5x 8 Elemento neutro da Multiplicaçāo escalar 1 xy xy xy A a Distributiva em relaçāo à soma vetorial αx5x y 5y αxy 5xy αxαy 5αx5αy αx5x αy 5y b Distributiva em relaçāo à soma de escalar αβ ℝ αβx5x αxβx α5x β5x αx5x βx5x 7 A 0 a b 0 M22 ab ℝ com as operações usuais Sim é um espaço vetorial Propriedades 1 Fechamento pela Soma 0 a1 b1 0 0 a2 b2 0 0 a1a2 b1b2 0 A A A 2 Fechamento por multiplicação de escalar α ℝ α0 a b 0 0 αa αb 0 A 3 Associatividade da adição e 4 Comutividade da adição como toda matriz do tipo 0 a b 0 está em M22 A possui essas 2 propriedades 5 Elemento Neutro da Adição 0 0 0 0 0 a b 0 0 a b 0 Logo possui 6 Elemento inverso da Adição 0 a b 0 0 a b 0 0 0 0 0 A logo possui 7 Compatibilidade da Multiplicação Escalar αβ ℝ 0 a b 0 A αβ0 a b 0 α0 βa βb 0 0 αβa αβb 0 αβ0 a b 0 8 Elemento neutro da Multiplicação escalar 1 0 a b 0 0 a b 0 9 Distributiva em relação à soma vetorial α0 a1 b1 0 0 a2 b2 0 α0 a1a2 b1b2 0 0 αa1a2 αb1b2 0 α0 a1 b1 0 α0 a2 b2 0 10 Distributiva em relação à soma de escalar αβ ℝ α β0 a b 0 0 αa βa αb βb 0 α0 a b 0 β0 a b 0 Nos problemas 8 a 13 são apresentados subconjuntos de ℝ² Verificar quais deles são subespaços vetoriais do ℝ² relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais 8 S xy y x x x É subespaço 1 Fechado pela soma x1 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 S S S 2 Fechado por multiplicação de escalar α ℝ αx x αx αx S S Logo como obedece 1 e 2 é subespaço Não é pois não é fechado por multiplicação de escalar α1 xyS αxy xy 0 xyS S xyzx4y e z0 4yy0 1 Fechado pela soma S u 4y₁y₁0 S v 4y₂y₂0 uv 4y₁y₂y₁y₂0 S 2 Fechado pela mult de escalar αR u 4y₁ y₁ 0 αu α4y₁y₁0 4αy₁αy₁0 S Logo é subespaço S xyzz2xy xy2xy 1 Fechado pela soma S u x₁y₁2x₁y₁ S v x₂y₂2x₂y₂ uv x₁x₂y₁y₂2x₁x₂y₁y₂ S 2 Fechado pela multiplicação de escalar αR u x₁y₁ 2x₁ y₁ αu αx₁y₁2x₁y₁ αx₁ αy₁ 2αx₁ αy₁ S Logo é subespaço S xyzxz² Não pois não é fechado pela soma 101 402 S 5 0 3 S 19 S x x 0x R 1 Fechado pela soma S u x₁ x₁ 0 S v x₂ x₂ 0 u v x₁ x₂ x₁ x₂ 0 S 2 Fechado por mult de escalar u x₁ x₁ 0 α R αu αx₁ x₁ 0 αx₁ αx₁ α0 S logo é subespaço 20 S x y zxy 0 Não pois não é fechado pela soma 1 0 0 0 1 0 1 1 0 S S 21 S x y zx 0 e y z Não pois não é fechado pela soma 0 1 1 0 1 1 0 2 0 S S 22 S x 3x 4x x R 1 Fechado pela soma u x₁ 3x₁ 4x₁ v x₂ 3x₂ 4x₂ u v x₁ x₂ 3x₁ x₂ 4x₁ x₂ S 2 Fechado por mult de escalar u x₁ 3x₁ 4x₁ α R αu αx₁ 3x₁ 4x₁ αx₁ 3αx₁ 4αx₁ S logo é subespaço S xyzy x2 e z0 x x2 0 Não é pois não é fechado pela soma 130 350 S 480 S 23 S x y zx 0 Não é pois não é fechado por mult de escalar α 1 u 1 0 0 S αu 1 0 0 S 24 S x y zx y z 0 1 Fechado pela soma u x₁ y₁ z₁ v x₂ y₂ z₂ x₁ y₁ z₁ 0 x₂ y₂ z₂ 0 u v x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ 0 u v S 2 Fechado por mult de escalar u x₁ y₁ z₁ α R x₁ y₁ z₁ 0 αu αx₁ y₁ z₁ αx₁ αy₁ αz₁ αx₁ αy₁ αz₁ αx₁ y₁ z₁ 0 αu S logo é subespaço 25 S 4t 2t t t R 1 Fechado pela soma u 4t₁ 2t₁ t₁ v 4t₂ 2t₂ t₂ u v 4t₁ t₂ 2t₁ t₂ t₁ t₂ S 2 Fechado por mult de escalar u 4t₁ 2t₁ t₁ α R αu α4t₁ 2t₁ t₁ 4αt₁ 2αt₁ αt₁ S logo é subespaço S xxx xR 1 Fechado pela soma S m x₁x₁x₁ S v x₂x₂x₂ m v x₁x₂ x₁x₂ x₁x₂ S 2 Fechado por mult de escalar u x₁x₁x₁ αR αu αx₁x₁x₁ αx₁ αx₁ αx₁ S Logo é subespaço 26 Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M2 2 a S a b c d c a b e d 0 a b ab 0 1 Fechado pela soma A a1 b1 a1b1 0 B a2 b2 a2b2 0 A B a1a2 b1b2 a1a2 b1b2 0 S 2 Mult de escalar A a b ab 0 α R αA αa αb αa αb 0 S logo é subespaço b S a b 0 c a b c R matrizes triangulares superiores 1 Fechado pela soma A a1 b1 0 c1 B a2 b2 0 c2 A B a1a2 b1b2 0 c1c2 S 2 Mult de escalar A a b 0 c α R αA αa αb 0 αc S logo é subespaço c S a b b c a b c IR matrizes simétricas 1 Fechado pela suma A a1 b1 b1 c1 B a2 b2 b2 c2 A B a1a2 b1b2 b1b2 c1c2 S 2 Mult de escalar A a b b c α IR αA αa αb αb αc S logo é subespaço d S a ab ab b a b IR 1 Fechado pela suma A a1 a1b1 a1b1 b1 B a2 a2b2 a2b2 b2 A B a1a2 a1a2b1b2 a1a2b1b2 b1b2 S 2 Mult de escalar A a ab ab b α IR αA αa αab αab αb S e S a 1 a b a b IR Não pois não é fechado pela Soma 1 1 1 0 S 0 1 0 0 S 1 2 1 0 S f S a b c d ad bc 0 conjunto de matrizes inversíveis Não pois não é fechado pela soma 1 0 0 1 S 1 0 0 1 S 0 0 0 0 S 27 Sejam os vetores u 2 3 2 e v 1 2 4 em IR3 a Escrever o vetor w 7 11 2 como combinação linear de u e v 7 11 2 α2 3 2 β1 2 4 7 2α β 11 3α 2β 2 2α 4β I III 5 β 4β β 1 2 2α 41 2α 6 α 3 em II 11 33 21 Logo 7 11 2 32 3 2 11 2 4 b Para que valor de k o vetor 8 14 k é combinação linear de u e v 8 14 k α2 3 2 β1 2 4 8 2α β 14 3α 2β k 2α 4β 16 4α 2β 14 3α 2β 2 α 8 22 β β 8 4 β 4 Quero k 22 44 k 4 16 k 12 c Determinar uma condição entre a b e c para que o vetor a b c seja uma combinação linear de u e v a b c α2 3 2 β1 2 4 a 2α β b 3α 2β c 2α 4β III I c a 4β β c a 5β β c a5 1 a 2α c a5 a c a5 2α 5a c a5 2α α 4a c10 2 1 2 em II b 34a c10 2c a5 b 12a 3c 4c 4a10 b 16a c10 28 Consideremos no espaço P2 at2 bt ca b c IR os vetores p1 t2 2t 1 p2 t 2 e p3 2t2 t a Escrever o vetor p 5t2 5t 7 como combinação linear de p1 p2 e p3 5t2 5t 7 αt2 2t 1 βt 2 δ2t2 t α 2δ 5 2α β δ 5 α 2β 7 α 9 β 1 δ 2 Logo 5t2 5t 7 9t2 2t 1 1t 2 22t2 t b Escrever o vetor p 5t2 5t 7 como combinação linear de p1 e p2 5t2 5t 7 αt2 2t 1 βt 2 5 α 5 2α β 7 2 2β α 5 β 5 7 5 210 Falso Logo não é possível escrever como combinação linear c Determinar uma condição para a b e c de modo que o vetor at2 bt c seja combinação linear de p2 e p3 at2 bt c αt 2 β2t2 t a 2β β a2 b α β b c2 a2 c 2α α c2 b c a2 d É possível escrever p1 como combinação linear de p2 e p3 Não pois ele não obedece que b c a2 Seja o espaço vetorial M2 2 e os vetores v1 1 0 1 1 v2 1 2 0 1 e v3 0 1 2 1 Escrever o vetor v 1 8 0 5 como combinação linear dos vetores v1 v2 e v3 αv1 βv2 δv3 v α 0 α α β 2β 0 β 0 δ 2δ δ 1 8 0 5 α β 1 α β 1 β 1 2γ 0 α 2δ 0 β 2δ 1 α β δ 5 22δ 1 δ 8 2β δ 8 4δ 2 δ 8 5δ 10 δ 2 β 3 β 2 2 1 4 1 α 3 1 α 4 α β δ 4 3 2 5 Logo 4 1 0 1 1 3 1 2 0 1 2 0 1 2 1 1 8 0 5 30 Escrever o vetor 0 IR2 como combinação linear dos vetores a v1 1 3 e v2 2 6 00 α1 3 β2 6 0 α 2β α 2β 0 3α 6β por ex β1 α2 0 0 213 2 6 b v1 13 e v2 25 00 α13 β25 α β 0 α β 3α 5β 0 3β 5β 0 β α 0 Logo não é possível escrever como CL a não ser 0113 0 25 31 Sejam os vetores v1 1 2 1 v2 1 0 2 e v3 2 1 0 Expressar cada um dos vetores u 8 4 1 v 0 2 3 e w 0 0 0 como combinação linear de v1 v2 e v3 α1 2 1 β1 0 2 γ2 1 0 8 4 1 u α β 2γ 8 2α γ 4 α 2β 1 α 113 β 73 γ 343 113 1 2 1 73 1 0 2 343 2 1 0 u α1 2 1 β1 0 2 γ 2 1 0 0 2 3 v 2 β 2γ 0 2α γ 2 α 2β 3 α 1 β 1 γ 0 11 2 1 1102 02 1 0 v α1 2 1 β1 0 2 γ2 1 0 0 0 0 w α β 2γ 0 2α γ 0 α 2β 0 α β γ 0 Logo única possível o 121 o 102 o 2 10 w 32 Expressar o vetor u 1 4 4 6 IR⁴ como combinação linear dos vetores v₁ 3 3 1 0 v₂ 0 1 1 2 e v₃ 1 1 0 0 1 4 4 6 𝛼3 3 1 0 β0 1 1 2 𝜸1 1 0 0 1 3𝛼 𝜸 4 3𝛼 β 𝜸 4 𝛼 β 6 2β 𝛼 1 β 3 𝜸 2 1 4 4 6 1 3 3 1 0 3 0 1 1 2 2 1 1 0 0 33 Seja S o subespaço do IR⁴ definido por S x y z t IR⁴ x 2y z 0 e t 0 Perguntase a 1 2 3 0 S 0 x 2y z 1 22 3 1 4 3 0 1 2 3 0 S b 3 1 4 0 S 0 x 2y z 3 21 4 3 2 4 1 Logo 3 1 4 0 S c 1 1 1 1 S 0 logo 1 1 1 1 S 34 Seja S o subespaço de M2 2 Perguntase S a b 2a a b IR a b b a 5 6 S 1 2 a b 5 a b 1 2a 6 b 2 b 2 a 3 logo 5 6 S b Qual deve ser o valor de k para que o vetor 4 k 2 3 pertença a S a b 4 1 3 4 2a k a b 2 b 3 b 3 a 1 2 1 k k 2 35 Determinar os subespaços do IR³ gerados pelos seguintes conjuntos a A 2 1 3 𝛼 2 1 3 𝛼 IR x y z 2𝛼 𝛼 3𝛼 z 3y x 2y logo x y z IR³ z 3y x 2y Reta com diretor 2 1 3 b A 1 3 2 2 2 1 x y z 𝛼1 3 2 β 2 2 1 x 𝛼 2β y 3𝛼 2β x y 2𝛼 2x 2𝛼 4β y 3𝛼 2β z 2𝛼 β z 2x 5 β z x y z 2x5 45 z 7x5 y 0 x y z IR³ 45 z 7x5 y 0 Plano no IR³ c A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 x y z 𝛼 1 0 1 β 0 1 1 𝜸 1 1 0 x 𝛼 𝜸 y β 𝜸 𝛼 β x y x y z z 𝛼 β x y z IR³ z x y Plano no IR³ d A 1 1 0 0 1 2 2 3 1 x y z 𝛼 1 1 0 β 0 1 2 𝜸 2 3 1 x 𝛼 2𝜸 y 𝛼 β 3𝜸 gero todo IR³ sempre acho 𝛼 β 𝜸 z 2β 𝜸 logo será o IR³ e A 1 2 1 1 1 0 3 0 1 2 1 1 x y z α1 2 1 β1 1 0 γ3 0 1 σ2 1 1 x α β 3γ 2σ y 2α β σ z α γ σ z x y3 x y x y3 x1 0 13 y0 1 13 logo subespaço x y z ℝ3 x y z α1 0 13 β0 1 13 f A 1 2 1 1 1 0 0 0 2 2 1 0 x y z α1 2 1 β1 1 0 γ3 0 1 σ2 1 1 x α β 3γ 2σ y 2α β σ z α γ σ gera todo ℝ3 sempre consigo α β γ σ logo ℝ3 36 Seja o conjunto A v1 v2 sendo v1 1 3 1 e v2 1 2 4 Determinar a O subespaço GA x y z α1 3 1 β1 2 4 x α β y 3α 2β z α 4β z x3 β x α z x3 α z x3 x α z 4x3 y βz 4x3 2z x3 z 4x1 23 z 4x3 logo GA x y z ℝ3 y z 4x3 b O valor de k para que o vetor v 5 k 11 pertença a GA Ques y z 4x3 k 11 453 k 11 203 k 93 k 3 37 Sejam os vetores v1 1 1 1 v2 1 2 0 e v3 1 3 1 Se 3 1 k v1 v2 v3 qual o valor de k v1 v2 v3 x y z α1 1 1 β1 2 0 γ1 3 1 x α β γ y α 2β 3γ z α γ y x β 2γ x z y x z y 2x 0 logo v1 v2 v3 x y z ℝ3 z y 2x 0 se 3 1 k v1 v2 v3 k 1 2 3 0 k 1 6 0 k 7 38 Determinar os subespaços de P2 espaço vetorial dos polinômios de grau 2 gerados pelos seguintes vetores a p1 2x 2 p2 x2 x 3 e p3 x2 2x a x2 b x c α2x 2 βx2 x 3 γx2 2x a β γ b 2α β 2γ c 2α 3β c b2 2β 2γ c b2 β γ a b c2 a β γ b c2 t2 bt c bt22 t ct22 1 logo subespaço p P2 p bt22 t ct22 1 b c ℝ b p1 x2 p2 x2 x a t2 b t c α x2 β x2 x a α β b β c 0 a α b logo subespaço p P2 p ax2 x a ℝ c p1 1 p2 x p3 x2 a t2 b x c α1 βx γx2 a γ b β c α logo subespaço P2 39 Determinar o subespaço GA para A 1 2 2 4 O que representa geometricamente esse subespaço x y α1 2 β2 4 x α 2β 2x 2α 4β y 2α 4β y 2x logo GA x y ℝ2 y 2x geometricamente é uma reta 40 Mostrar que os vetores v₁ 21 e v₂ 11 geram o IR² Tome xy IR² xy α21 β11 x 2α β x y α y α β β y x y 2y x logo xy IR² sempre há α e β tais que xy α21 β11 logo 21 e 11 geram IR² 41 Mostrar que os vetores v₁ 111 v₂ 011 e v₃ 001 geram o IR³ Tome xyz IR³ xyz α111 β011 γ001 x α α x y α β y x β β y x z α β γ z y γ γ z y logo xyz IR³ existem α β γ tais que xyz α111 β011 γ001 logo geram o IR³ 42 Seja o espaço vetorial M 22 Determinar seus subespaços gerados pelos vetores a v₁ 1 2 1 0 e v₂ 2 1 1 1 a b c d α1 2 1 0 β2 1 1 1 a α 2β b 2α β c α β d β β d a c β d a c d c b d 2 d b d 2 2c 3d b b 2c 3d logo c d 2c 3d c d c1 2 1 0 d1 3 0 1 Subespaço M M22 M c1 2 1 0 d1 3 0 1 cd IR b v₁ 1 0 0 1 v₂ 1 1 0 0 e v₃ 0 1 1 0 a b c d α1 0 0 1 β1 1 0 0 γ0 1 1 0 a α β a d β b β σ b β c a b d c c γ d α logo a b a b d d a1 0 1 0 b0 1 1 0 d0 0 1 1 logo Subespaço M M22 M a 1 0 1 0 b0 1 1 0 d0 0 1 1 abd IR 43 Determinar o subespaço de P₃ espaço dos polinômios de grau 3 gerado pelos vetores p₁ x³ 2x² x 3 e p₂ 2x³ x² 3x 2 ax³ bx² cx d αx³ 2x² x 3 β2x³ x² 3x 2 a α 2β b 2α β a c β c α 3β d 3α 2β d 3 b a c 2 2 a c b 2 α a c d 3b 3a 3c 4a 4c α b a c 2 d 7a 3b 7c 2 logo ax³ bx² cx 7a 3b 7c 2 ax³ 72 bx² 32 cx 72 logo subespaço p P² p ax³ 72 bx² 32 cx 72 abc IR 44 Determinar o subespaço de IR⁴ gerado pelos vetores u 2 1 1 4 v 3 3 3 6 e w 0 4 4 0 xyzw α2114 β3336 σ0440 x 2α 3β y 2α 3β 4γ z α 3β 4γ w 4α 6β w 2x y z α x 2 y z 3β x 2yz 3 β Logo xyz2x x1002 y0100 z0010 Subespacio xyzw IR⁴ xyzw α1002 β0100 σ0010 α β σ IR 45 Verificar se o vetor v 1320 pertence ao subespaço do IR⁴ gerado pelos vetores v₁ 2130 v₂ 1010 e v₃ 0110 1320 α2130 β1010 σ0110 1 2α β 3 α σ 3 α 1 2 3 β β 1 6 β 7 2 3α β 0 0 3 3 σ σ 6 Logo pertence 1320 32130 71010 0 0110 46 Classificar os seguintes subconjuntos do IR² em LI ou LD a 13 α 13 00 α 0 logo é LI