Texto de pré-visualização
LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA CÔNICAS QUÁDRICAS SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS E SUPERFÍCIES CÔNICAS 1 Encontre a equação de uma elipse com focos em 11 e 1 1 e eixo maior com comprimento igual a 4 2 Uma elipse na posição padrão tem excentricidade 23 e passa pelo ponto 21 Encontre a equação dessa elipse 3 A órbita da Terra em torno do Sol é uma elipse com o Sol em um dos focos A maior e a menor distância entre eles é de 93000 milhas e 96000 milhas respectivamente Determine a excentricidade da órbita da Terra 4 Determine a equação de uma elipse que passa pelo ponto 𝑃 12 e tem focos 𝐹 10 7 Uma elipse passa pelo ponto 03 e tem focos nos pontos 40 e 40 Pergunta se o ponto 5 2 13 5 é interior exterior ou pertence à elipse Justifique sua resposta 8 Dados os pontos 𝐴 35 e 𝐵 35 determine o lugar geométrico dos pontos 𝑋 do plano tais que o perímetro do triangulo ABX é igual a 16 9 Encontre uma equação para a parábola que passa pelos pontos 04 13 2 6 e tem diretriz paralela ao eixo 𝑥 10 A partir de um ponto qualquer da diretriz da parábola 𝑦2 4𝑝𝑦 trace duas tangentes à parábola Mostre que essas tangentes são perpendiculares 11 Na figura abaixo o segmento AB passa pelo foco e é perpendicular ao eixo da parábola Determine o comprimento do segmento CD 12 Corda focal é um segmento que passa por um foco e cujas extremidades pertencem à cônica Em uma parábola cuja distância do foco ao vértice é igual a 𝑝 determine o comprimento da corda focal que forma um ângulo de 45 com o eixo da parábola 13 Determine os vértices os focos e as assíntotas da hipérbole de equação 9𝑦2 144𝑥2 36 14 A hipérbole H tem centro O focos em um dos eixos coordenados e contém os pontos 𝐴 32 e 𝐵 1 2 Determine a equação de H suas assíntotas focos e vértices 15 Latus Retum LR é uma corda focal ver exercício 4 da aula anterior cujo comprimento é mínimo Determine o LR de uma parábola de uma elipse e de uma hipérbole 16 No plano cartesiano a hipérbole 𝑥𝑦 1 intercepta uma circunferência em quatro pontos distintos A B C e D Calcule o produto das abscissas desses pontos 17 Dada a superfície 4𝑥2 𝑦2 𝑧2 9 identifique a cônica obtida ao fixar a 𝑥 0 b 𝑦 0 c 𝑧 1 18 Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam do plano 𝜋 𝑥 2 e do ponto 𝑃 200 Que conjunto é este 19 Considere o hiperboloide de uma folha 𝐻 dado pela equação 𝑥2 𝑦2 1 𝑧2 Mostre que por cada um dos seus pontos passam duas retas inteiramente contidas na superfície 𝐻 Generalize para qualquer hiperbolóide de uma folha Sugestão 𝑥2 𝑦2 1 𝑧2 𝑥 𝑧𝑥 𝑧 1 𝑦1 𝑦 20 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P tais que a soma das distâncias de P aos pontos 200 e 200 é igual a 6 Que lugar geométrico é este 21 Dada a superfície 4𝑥2 𝑧2 𝑦2 9 identifique a cônica obtida ao fixar a 𝑥 0 b 𝑦 0 c 𝑧 1 22 Dada as equações da curva diretriz e os vetores paralelos às retas geratrizes determine a equação da superfície cilíndrica a y24x z0 e V111 b x2z21 y0 e V211 c x2y21 z0 e V021 d 4x2z24z1 y0 e V410 23 Mostre que x2y5z22xz4yz40 representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes 24 Mostre que a equação xyxzyz0 representa uma cônica com vértice na origem Determine a equação de uma curva diretriz 25 Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice no ponto P0x0y0z0 e curva diretriz situada no plano zc com equação fxy0 é f x0 cz0 zz0 xx0 y0 cz0 zz0 yy0 26 Qual a equação do plano capaz de gerar uma elipse ao cortar a superfície cônica 𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 12 y ax2 drawing parabola x2 4py y x24p reta y x p x24p x p x2 4px 4p2 0 x 2p2 8p2 x 2p 2 sqrt2 p x1 2p1 sqrt2 y 3p 2 sqrt2 p d sqrt4p sqrt22 4 sqrt2 p2 d 8p 16 x2 y2 R2 xy 1 x2 1x2 R2 x4 1 R2 x2 x4 x2 R2 1 0 produto das raizes sera o produto das 4 abscissas x1 x2 x3 x4 1 prod xj 1 21 a z2 y2 9 hiperbole b x24 z29 1 elipse c 4x2 y2 8 hiperbole 23 z k x2 y2 5k2 2xk 4yk 4 0 superficie xk2 y2k2 4 vetor paralelo k 2k k 1 2 1 26 drawing parte de cima qualquer plano que não que o vetor normal não fazo um ângulo de 0 45 135 90 quem elipses essa é definição de elipses grandes por cortes transversais em cns Assim 3x 4y z 7 0 satisfaz
Texto de pré-visualização
LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA CÔNICAS QUÁDRICAS SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS E SUPERFÍCIES CÔNICAS 1 Encontre a equação de uma elipse com focos em 11 e 1 1 e eixo maior com comprimento igual a 4 2 Uma elipse na posição padrão tem excentricidade 23 e passa pelo ponto 21 Encontre a equação dessa elipse 3 A órbita da Terra em torno do Sol é uma elipse com o Sol em um dos focos A maior e a menor distância entre eles é de 93000 milhas e 96000 milhas respectivamente Determine a excentricidade da órbita da Terra 4 Determine a equação de uma elipse que passa pelo ponto 𝑃 12 e tem focos 𝐹 10 7 Uma elipse passa pelo ponto 03 e tem focos nos pontos 40 e 40 Pergunta se o ponto 5 2 13 5 é interior exterior ou pertence à elipse Justifique sua resposta 8 Dados os pontos 𝐴 35 e 𝐵 35 determine o lugar geométrico dos pontos 𝑋 do plano tais que o perímetro do triangulo ABX é igual a 16 9 Encontre uma equação para a parábola que passa pelos pontos 04 13 2 6 e tem diretriz paralela ao eixo 𝑥 10 A partir de um ponto qualquer da diretriz da parábola 𝑦2 4𝑝𝑦 trace duas tangentes à parábola Mostre que essas tangentes são perpendiculares 11 Na figura abaixo o segmento AB passa pelo foco e é perpendicular ao eixo da parábola Determine o comprimento do segmento CD 12 Corda focal é um segmento que passa por um foco e cujas extremidades pertencem à cônica Em uma parábola cuja distância do foco ao vértice é igual a 𝑝 determine o comprimento da corda focal que forma um ângulo de 45 com o eixo da parábola 13 Determine os vértices os focos e as assíntotas da hipérbole de equação 9𝑦2 144𝑥2 36 14 A hipérbole H tem centro O focos em um dos eixos coordenados e contém os pontos 𝐴 32 e 𝐵 1 2 Determine a equação de H suas assíntotas focos e vértices 15 Latus Retum LR é uma corda focal ver exercício 4 da aula anterior cujo comprimento é mínimo Determine o LR de uma parábola de uma elipse e de uma hipérbole 16 No plano cartesiano a hipérbole 𝑥𝑦 1 intercepta uma circunferência em quatro pontos distintos A B C e D Calcule o produto das abscissas desses pontos 17 Dada a superfície 4𝑥2 𝑦2 𝑧2 9 identifique a cônica obtida ao fixar a 𝑥 0 b 𝑦 0 c 𝑧 1 18 Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam do plano 𝜋 𝑥 2 e do ponto 𝑃 200 Que conjunto é este 19 Considere o hiperboloide de uma folha 𝐻 dado pela equação 𝑥2 𝑦2 1 𝑧2 Mostre que por cada um dos seus pontos passam duas retas inteiramente contidas na superfície 𝐻 Generalize para qualquer hiperbolóide de uma folha Sugestão 𝑥2 𝑦2 1 𝑧2 𝑥 𝑧𝑥 𝑧 1 𝑦1 𝑦 20 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P tais que a soma das distâncias de P aos pontos 200 e 200 é igual a 6 Que lugar geométrico é este 21 Dada a superfície 4𝑥2 𝑧2 𝑦2 9 identifique a cônica obtida ao fixar a 𝑥 0 b 𝑦 0 c 𝑧 1 22 Dada as equações da curva diretriz e os vetores paralelos às retas geratrizes determine a equação da superfície cilíndrica a y24x z0 e V111 b x2z21 y0 e V211 c x2y21 z0 e V021 d 4x2z24z1 y0 e V410 23 Mostre que x2y5z22xz4yz40 representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes 24 Mostre que a equação xyxzyz0 representa uma cônica com vértice na origem Determine a equação de uma curva diretriz 25 Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice no ponto P0x0y0z0 e curva diretriz situada no plano zc com equação fxy0 é f x0 cz0 zz0 xx0 y0 cz0 zz0 yy0 26 Qual a equação do plano capaz de gerar uma elipse ao cortar a superfície cônica 𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 12 y ax2 drawing parabola x2 4py y x24p reta y x p x24p x p x2 4px 4p2 0 x 2p2 8p2 x 2p 2 sqrt2 p x1 2p1 sqrt2 y 3p 2 sqrt2 p d sqrt4p sqrt22 4 sqrt2 p2 d 8p 16 x2 y2 R2 xy 1 x2 1x2 R2 x4 1 R2 x2 x4 x2 R2 1 0 produto das raizes sera o produto das 4 abscissas x1 x2 x3 x4 1 prod xj 1 21 a z2 y2 9 hiperbole b x24 z29 1 elipse c 4x2 y2 8 hiperbole 23 z k x2 y2 5k2 2xk 4yk 4 0 superficie xk2 y2k2 4 vetor paralelo k 2k k 1 2 1 26 drawing parte de cima qualquer plano que não que o vetor normal não fazo um ângulo de 0 45 135 90 quem elipses essa é definição de elipses grandes por cortes transversais em cns Assim 3x 4y z 7 0 satisfaz