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MANAUS 2018 Fundação Centro de Análise Pesquisa e Inovação Tecnológia FUCAPI Professor Msc Thiago Lucas Silva Alunoa 𝟏𝒂Lista de Exercícios de Álgebra Linear II Espaços Vetoriais e Subespaços Vetoriais 1 Verifique se os seguintes conjuntos em ℝ𝑛 são subespaços vetoriais a 𝑊 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 ℝ𝑛𝑥1 0 b 𝑊 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 ℝ𝑛𝑥1 3𝑥2 𝑥3 c 𝑊 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 ℝ𝑛 𝑥1 𝑥2 0 d 𝑊 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 ℝ𝑛𝑥2 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 2 Seja 𝑉 o espaço vetorial realde todas as funções de 𝑓 de ℝ 𝑒𝑚ℝ Quais dos seguintes conjuntos de funções são subespaços vetoriais de V a Todas as 𝑓 tais que 𝑓0 𝑓1 b Todas as 𝑓 tais que 𝑓1 0 c Todas as 𝑓 tais que 𝑓𝑥 𝑓𝑥 d Todas as 𝑓 tais que 𝑓𝑥 𝑓𝑥 3 Seja 𝑉 ℝ5 Seja 𝑊 o conjunto do ℝ5 tal que para cada 𝑥1𝑥2 𝑥3 𝑥4𝑥5 𝑊 Determine um conjunto finito de vetores que gere 𝑊 4 Verdadeiro ou falso Se falso dê um contra exemplo Se verdadeiro Prove a O conjunto das matrizes 𝐴 𝑀𝑛𝑛ℝ invertíveis é um subespaço do espaços das matrizes b O conjunto das matrizes 𝐴 𝑀𝑛𝑛ℝtal que 𝐴𝑇 𝐴 é um subespaços das matrizes 5 Sejam 𝑊1 𝑒 𝑊2 subespaços de um espaço vetorial 𝑉 Suponha que a união desses subespaços também é um subespaço Demonstre que 𝑊1 𝑊2 ou 𝑊2 𝑊1 6 Mostre que os vetores 𝑣1 1100 𝑣2 0011 𝑣3 1004 e 𝑣4 0003 formam uma base do ℝ4 7 Seja 𝑉 o espaço vetorial real das funções polinomiais de ℝ em ℝ de grau menor ou igual a 2 Considere as seguintes funções 𝑝1𝑥 1 𝑝2𝑥 𝑥 2 e 𝑝3𝑥 𝑥 12 Mostre que 𝐵 𝑝1 𝑝2𝑝3 é uma base de 𝑉 Quais são as coordenadas do vetor 𝑔𝑥 1 𝑥2 nessa base 8 Considere a matriz 𝑀 1 2 3 0 1 1 1 3 4 Qual a dimensão do espaço gerado pelas colunas de 𝑀 Qual a dimensão do espaço gerado pelas linhas de 𝑀 O que você observou podese chegar a alguma conclusão 9 Mostre que os seguintes subconjuntos de ℝ4 são subespaços a 𝑊 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ4𝑥 𝑦 0 𝑒 𝑧 𝑡 0 b 𝑈 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ42𝑥 𝑦 𝑡 0 𝑒 𝑧 0 10 Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de 𝑀22 Em caso afirmativo exiba geradores a 𝑉 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ℝ 𝑒 𝑏 𝑐 b 𝑊 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ℝ 𝑒 𝑏 𝑐 1 2𝑥1 𝑥2 4 3 𝑥3 𝑥4 0𝑥5 0 𝑥1 0𝑥2 2 3 𝑥3 0𝑥4 𝑥5 0 9𝑥1 3𝑥2 6𝑥3 3𝑥4 3𝑥5 0 MANAUS 2018 Fundação Centro de Análise Pesquisa e Inovação Tecnológia FUCAPI Professor Msc Thiago Lucas Silva Alunoa 11 Verifique se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais com as operações com as operações usuais No caso afirmativo exiba uma base e dê a dimensão a Matrizes diagonais 𝑛 𝑛 b Matrizes escalares 𝑛 𝑛 c 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ℝ d A reta 𝑥 𝑥 3 𝑥 ℝ 12 Considere o subespaço de ℝ4 a O vetor 2 3 1 12 pertence a S b O vetor 0011 pertence a S 13 Seja 𝑊 o subespaço ℳ2ℝ definido por a 0 2 0 1 𝑊 b 0 2 3 1 𝑊 14 Mostre que 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 é base de ℳ2ℝ 15 Quais são as coordenadas de 𝑥 100 em relação à base 𝛽 111 110 10 1 16 Mostre que os polinômios 1 𝑡3 1 𝑡2 1 𝑡 𝑒 1 geram os espaços dos polinômios de grau 3 3 17 Sejam 𝑊1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ4𝑥 𝑦 0 𝑒 𝑧 𝑡 0 𝑒 𝑊2 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ4𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 0 subespaços de ℝ4 a Determine 𝑊1 𝑊2 b Exiba uma base para 𝑊1 𝑊2 c Determine 𝑊1 𝑊2 d 𝑊1 𝑊2 é soma direta Justifique e 𝑊1𝑊2 ℝ4 18 Sejam 𝛽1 10 02 𝛽2 10 11 𝑒 𝛽3 1 1 0 1 três bases ordenadas de ℝ3 Ache a 𝐼𝛽1 𝛽2 b 𝐼𝛽2 𝛽3 c 𝐼𝛽1 𝛽3 d 𝐼𝛽1 𝛽2 𝐼𝛽2 𝛽3 Bom trabalho 𝑆 11 24 11 12 14 48 𝑊 2𝑎 𝑎 2𝑏 0 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ℝ
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MANAUS 2018 Fundação Centro de Análise Pesquisa e Inovação Tecnológia FUCAPI Professor Msc Thiago Lucas Silva Alunoa 𝟏𝒂Lista de Exercícios de Álgebra Linear II Espaços Vetoriais e Subespaços Vetoriais 1 Verifique se os seguintes conjuntos em ℝ𝑛 são subespaços vetoriais a 𝑊 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 ℝ𝑛𝑥1 0 b 𝑊 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 ℝ𝑛𝑥1 3𝑥2 𝑥3 c 𝑊 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 ℝ𝑛 𝑥1 𝑥2 0 d 𝑊 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 ℝ𝑛𝑥2 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 2 Seja 𝑉 o espaço vetorial realde todas as funções de 𝑓 de ℝ 𝑒𝑚ℝ Quais dos seguintes conjuntos de funções são subespaços vetoriais de V a Todas as 𝑓 tais que 𝑓0 𝑓1 b Todas as 𝑓 tais que 𝑓1 0 c Todas as 𝑓 tais que 𝑓𝑥 𝑓𝑥 d Todas as 𝑓 tais que 𝑓𝑥 𝑓𝑥 3 Seja 𝑉 ℝ5 Seja 𝑊 o conjunto do ℝ5 tal que para cada 𝑥1𝑥2 𝑥3 𝑥4𝑥5 𝑊 Determine um conjunto finito de vetores que gere 𝑊 4 Verdadeiro ou falso Se falso dê um contra exemplo Se verdadeiro Prove a O conjunto das matrizes 𝐴 𝑀𝑛𝑛ℝ invertíveis é um subespaço do espaços das matrizes b O conjunto das matrizes 𝐴 𝑀𝑛𝑛ℝtal que 𝐴𝑇 𝐴 é um subespaços das matrizes 5 Sejam 𝑊1 𝑒 𝑊2 subespaços de um espaço vetorial 𝑉 Suponha que a união desses subespaços também é um subespaço Demonstre que 𝑊1 𝑊2 ou 𝑊2 𝑊1 6 Mostre que os vetores 𝑣1 1100 𝑣2 0011 𝑣3 1004 e 𝑣4 0003 formam uma base do ℝ4 7 Seja 𝑉 o espaço vetorial real das funções polinomiais de ℝ em ℝ de grau menor ou igual a 2 Considere as seguintes funções 𝑝1𝑥 1 𝑝2𝑥 𝑥 2 e 𝑝3𝑥 𝑥 12 Mostre que 𝐵 𝑝1 𝑝2𝑝3 é uma base de 𝑉 Quais são as coordenadas do vetor 𝑔𝑥 1 𝑥2 nessa base 8 Considere a matriz 𝑀 1 2 3 0 1 1 1 3 4 Qual a dimensão do espaço gerado pelas colunas de 𝑀 Qual a dimensão do espaço gerado pelas linhas de 𝑀 O que você observou podese chegar a alguma conclusão 9 Mostre que os seguintes subconjuntos de ℝ4 são subespaços a 𝑊 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ4𝑥 𝑦 0 𝑒 𝑧 𝑡 0 b 𝑈 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ42𝑥 𝑦 𝑡 0 𝑒 𝑧 0 10 Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de 𝑀22 Em caso afirmativo exiba geradores a 𝑉 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ℝ 𝑒 𝑏 𝑐 b 𝑊 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ℝ 𝑒 𝑏 𝑐 1 2𝑥1 𝑥2 4 3 𝑥3 𝑥4 0𝑥5 0 𝑥1 0𝑥2 2 3 𝑥3 0𝑥4 𝑥5 0 9𝑥1 3𝑥2 6𝑥3 3𝑥4 3𝑥5 0 MANAUS 2018 Fundação Centro de Análise Pesquisa e Inovação Tecnológia FUCAPI Professor Msc Thiago Lucas Silva Alunoa 11 Verifique se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais com as operações com as operações usuais No caso afirmativo exiba uma base e dê a dimensão a Matrizes diagonais 𝑛 𝑛 b Matrizes escalares 𝑛 𝑛 c 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ℝ d A reta 𝑥 𝑥 3 𝑥 ℝ 12 Considere o subespaço de ℝ4 a O vetor 2 3 1 12 pertence a S b O vetor 0011 pertence a S 13 Seja 𝑊 o subespaço ℳ2ℝ definido por a 0 2 0 1 𝑊 b 0 2 3 1 𝑊 14 Mostre que 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 é base de ℳ2ℝ 15 Quais são as coordenadas de 𝑥 100 em relação à base 𝛽 111 110 10 1 16 Mostre que os polinômios 1 𝑡3 1 𝑡2 1 𝑡 𝑒 1 geram os espaços dos polinômios de grau 3 3 17 Sejam 𝑊1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ4𝑥 𝑦 0 𝑒 𝑧 𝑡 0 𝑒 𝑊2 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ4𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 0 subespaços de ℝ4 a Determine 𝑊1 𝑊2 b Exiba uma base para 𝑊1 𝑊2 c Determine 𝑊1 𝑊2 d 𝑊1 𝑊2 é soma direta Justifique e 𝑊1𝑊2 ℝ4 18 Sejam 𝛽1 10 02 𝛽2 10 11 𝑒 𝛽3 1 1 0 1 três bases ordenadas de ℝ3 Ache a 𝐼𝛽1 𝛽2 b 𝐼𝛽2 𝛽3 c 𝐼𝛽1 𝛽3 d 𝐼𝛽1 𝛽2 𝐼𝛽2 𝛽3 Bom trabalho 𝑆 11 24 11 12 14 48 𝑊 2𝑎 𝑎 2𝑏 0 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ℝ