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Engenharia Elétrica ·
Probabilidade e Estatística 1
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Instituto Federal Catarinense IFC Campus Blumenau 20241 Probabilidade e Estatıstica Lista 1 Obs Se A e um conjunto Ac denota o complementar de A isto e o connuntos de todos os elementos que estao fora de A 1 Escreva explicitamente o espaco amostral Ω de cada experimento abaixo a Uma urna contem 5 bolas vermelhas V e 2 brancas B Duas bolas sao extraıdas sem reposicao e observadas suas cores na sequˆencia em que foram extraıdas b Trˆes pessoas sao colocadas numa fila e observase a disposicao delas c Entre 5 pessoas A B C D E duas sao escolhidas para formarem uma chapa polıtica do IFC Observamse os elementos dessa comissao d Uma moeda e lancada consecutivamente ate o aparecimento da primeira cara 2 Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaco amostral traduza para a linguagem de conjuntos as seguintes situacoes a Pelo menos um dos eventos ocorre b O evento A ocorre mas B nao c Nenhum deles ocorre d Exatamente um dos eventos ocorre 3 Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil sao considerados esportistas Temos ainda que 500 alunos sao do curso de biologia diurno 700 da biologia noturno Um aluno e escolhido ao acaso e perguntase a probabilidade de a Ser esportista b Ser esportista e aluno da biologia noturno c Nao ser da biologia d Ser esportista ou aluno da biologia e Nao ser esportista nem aluno da biologia 4 Considere dois eventos A e B mutuamente exclusivos com PA 0 3 e PB 0 5 Calcule a PA B b PA B c PAB d PAc 1 e PA Bc 5 Se PA B 0 8 PA 0 5 e PB x determine o valor de x no caso de a A e B serem mutuamente exclusivos b A e B serem independentes 6 O time da Chapecoense ganha com probabilidade 0 7 se chove e com 0 8 se nao chove Em Setembro a probabilidade de chuva e de 0 3 A Chape ganhou uma partida em Setembro qual a probabilidade de ter chovido nesse dia 7 Se PB 0 4 PA 0 7 e PA B 0 3 calcule PABc 8 Verifique se sao validas as afirmacoes a Se PA 13 e PBA 35 entao A e B nao podem ser disjuntos b Se PA 12 PBA 1 e PAB 12 entao A nao pode estar contido em B 9 Dois dados honestos sao lancados Calcule a probabilidade de a Obter o par 3 4 sabendose que ocorreu face ımpar no primeiro dado b Ocorrer face ımpar no segundo dado sabendose que ocorreu face par no primeiro dado 10 A probabilidade de encontrar gas numa certa regiao e de 110 Trˆes sondas idˆenticas estao perfurando de modo independente a Sabendose que uma delas qualquer nao achou gas qual a probabilidade das outras duas encontrarem b Sabendose que uma delas qualquer nao achou gas qual a probabilidade de encontrar gas na regiao atraves dessas perfuracoes c Sabendose que nao mais de uma delas qualquer achou gas qual a probabilidade de nenhuma encontrar gas 11 Uma companhia multinacional tem trˆes fabricas que produzem o mesmo tipo de produto A fabrica I e responsavel por 30 do total produzido a fabrica II produz 45 do total e o restante vem da fabrica III Cada uma das fabricas no entanto produz uma proporcao de produtos que nao atendem aos padroes estabelecidos pelas normas internacionais Tais produtos sao considerados defeituoso e correspondem a 1 2 e 1 5 respectivamente dos totais produzidos por fabrica No centro de distribuicao e feito o controle de qualidade da producao combinada das fabricas a Qual e a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspecao de qualidade b Se durante a inspecao encontramos um produto defeituoso qual e a probabilidade que ele tenha sido produzido na fabrica II 2 Lista de Exercícios Probabilidade e Estatística Questão 1 Denominase espaço amostral 𝛺 de um experimento aleatório ao conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento a Seja 𝑉 uma bola vermelha e 𝐵 uma bola branca O espaço amostral é dado por 𝛺 𝑉𝑉 𝐵 𝐵 𝑉 𝐵 𝐵𝑉 Logo o espaço amostral contém 4 elementos Observe que os elementos contidos no espaço amostral são pares ordenados pois a ordem dos elementos importa b Sejam 𝐴 𝐵 e 𝐶 as pessoas presentes na fila O espaço amostral é dado por 𝛺 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐶 𝐵 𝐵 𝐴 𝐶 𝐵 𝐶 𝐴 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝐵 𝐴 Logo o espaço amostral contém 6 elementos Observe que os elementos contidos no espaço amostral são pares ordenados pois a ordem dos elementos importa c Sejam 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 e 𝐸 as pessoas passíveis de serem escolhidas O espaço amostral é dado por 𝛺 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝐴 𝐷 𝐴 𝐸 𝐵 𝐶 𝐵 𝐷 𝐵 𝐸 𝐶 𝐷 𝐶 𝐸 𝐷 𝐸 Logo o espaço amostral contém 10 elementos Observe que os elementos contidos no espaço amostral são conjuntos pois a ordem dos elementos não importa d Seja 𝐶 cara e 𝐾 coroa O espaço amostral é dado por 𝛺 𝐶 𝐾 𝐶 𝐾 𝐾 𝐶 𝐾 𝐾 𝐾 𝐶 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐶 𝐾 𝐾 𝐾 𝐶 Logo o espaço amostral contém um número infinito de elementos Observe que os elementos contidos no espaço amostral são pares ordenados pois a ordem dos elementos importa Questão 2 Seham dois eventos 𝐴 e 𝐵 de um mesmo espaço amostral a Na situação em que pelo menos um dos eventos ocorre então temos o evento 𝐴 𝐵 isto é a união dos eventos 𝐴 e 𝐵 𝐴 𝐵 b Na situação em que o evento 𝐴 ocorre e o evento 𝐵 não ocorre então temos o evento 𝐴 𝐵c isto é a interseção do evento 𝐴 com o complementar do evento 𝐵 𝐴 𝐵 Observe que 𝐴 𝐵c 𝐴 𝐵 c Na situação em que nenhum dos eventos ocorre então temos o evento 𝐴c 𝐵c isto é a interseção do complementar do evento 𝐴 com o complementar do evento 𝐵 𝐴 𝐵 Observe que 𝐴c 𝐵c 𝐴 𝐵c d Na situação em que exatamente um dos eventos ocorre então temos o evento 𝐴 𝐵c 𝐴c 𝐵 isto é a união da interseção do evento 𝐴 com o complementar do evento 𝐵 e da interseção do complementar do evento 𝐴 com o evento 𝐵 𝐴 𝐵 Observe que 𝐴 𝐵c 𝐴c 𝐵 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 Questão 3 Sejam 𝐸 o conjunto dos alunos esportistas 𝐸c o conjunto dos alunos não esportistas 𝐷 o conjunto dos alunos de biologia diurno 𝑁 o conjunto dos alunos de biologia noturno 𝑂 o conjunto dos alunos de outros cursos Como dos 10000 alunos da universidade 4000 são esportistas então temos 𝐸 4000 e 𝐸c 10000 4000 6000 Como 500 são alunos do curso de biologia diurno e 700 são alunos do curso de biologia noturno então temos 𝐷 500 e 𝑁 700 e 𝑂 10000 500 700 8800 Dado que 100 alunos do curso de biologia diurno são esportistas então temos 𝐷 𝐸 100 e 𝐷 𝐸c 500 100 400 Dado que 200 alunos do curso de biologia noturno são esportistas então temos 𝑁 𝐸 200 e 𝑁 𝐸c 700 200 500 Como 100 200 300 alunos do curso de biologia são esportistas então temos 𝑂 𝐸 4000 300 3700 Como 400 500 900 alunos do curso de biologia não são esportistas então temos 𝑂 𝐸c 6000 900 5100 Com as informações do enunciado podemos representar a situação por meio da seguinte tabela 𝐷 𝑁 𝑂 Total 𝐸 100 200 3700 4000 𝐸c 400 500 5100 6000 Total 500 700 8800 10000 a A probabilidade de um aluno ser esportista é dada por 𝑃𝐸 𝐸 𝑈 4000 10000 04 Logo a probabilidade de um aluno ser esportista é de 40 b A probabilidade de um aluno ser esportista e do curso de biologia noturno é dada por 𝑃𝐸 𝑁 𝐸 𝑁 𝑈 200 10000 002 Logo a probabilidade de um aluno ser esportista e do curso de biologia noturno é de 2 c A probabilidade de um aluno não ser do curso de biologia é dada por 𝑃𝑂 𝑂 𝑈 8800 10000 088 Logo a probabilidade de um aluno não ser do curso de biologia é de 88 d A probabilidade de um aluno ser esportista ou do curso de biologia é dada por 𝑃𝐸 𝐷 𝑁 𝐸 𝐷 𝑁 𝑈 𝐸 𝐷 𝑁 𝐸 𝐷 𝐸 𝑁 𝑈 4000 500 700 100 200 10000 5200 300 10000 4900 10000 049 Logo a probabilidade de um aluno ser esportista ou do curso de biologia é de 49 e A probabilidade de um aluno não ser esportista nem do curso de biologia é dada por 𝑃𝐸c 𝑂 𝐸c 𝑂 𝑈 5100 10000 051 Logo a probabilidade de um aluno não ser esportista nem do curso de biologia é de 51 Questão 4 Sejam 𝐴 e 𝐵 dois eventos mutuamente exclusivos isto é 𝐴 𝐵 Dado 𝑃𝐴 03 e 𝑃𝐵 05 temos que a 𝑃𝐴 𝐵 0 b 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 03 05 08 c 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐵 0 05 0 d 𝑃 𝐴c 1 𝑃𝐴 1 03 07 e 𝑃 𝐴 𝐵c 1 𝑃𝐴 𝐵 1 08 02 Questão 5 Dados 𝑃𝐴 𝐵 08 𝑃𝐴 05 e 𝑃𝐵 𝑥 a Se 𝐴 e 𝐵 forem eventos mutuamente exclusivos então temos 𝑃𝐴 𝐵 0 𝑃𝐴 𝐵 08 𝑃𝐴 𝑃𝐵 08 05 𝑥 08 𝑥 03 Logo 𝑥 03 a Se 𝐴 e 𝐵 não forem eventos independentes então temos 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴𝑃𝐵 05𝑥 𝑃𝐴 𝐵 08 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 08 05 𝑥 05𝑥 08 05𝑥 03 𝑥 06 Logo 𝑥 06 Questão 6 Seja 𝐶 o evento de chover em Setembro e 𝐺 o evento da Chapecoense ganhar uma partida Como o time da Chapecoense ganha com probabilidade de 07 em dias de chuva e com probabilidade de 08 em dias sem chuva então temos 𝑃𝐺𝐶 07 e 𝑃 𝐺𝐶c 08 Como a probabilidade de chover em Setembro é de 03 então temos 𝑃𝐶 03 e 𝑃 𝐶c 07 A probabilidade de ter chovido em Setembro dado que a Chapecoense ganhou uma partida é dada por 𝑃𝐺 𝐶 𝑃𝐺𝐶𝑃𝐶 07 03 021 𝑃𝐺 𝑃𝐺𝐶𝑃𝐶 𝑃 𝐺𝐶c 𝑃 𝐶c 07 03 08 07 021 056 077 𝑃𝐶𝐺 𝑃𝐺 𝐶 𝑃𝐺 021 077 027 Portanto a probabilidade de ter chovido em Setembro dado que a Chapecoense ganhou uma partida é de aproximadamente 27 Questão 7 Dados 𝑃𝐵 04 𝑃𝐴 07 e 𝑃𝐴 𝐵 03 temos 𝑃 𝐵c 1 𝑃𝐵 1 04 06 𝑃 𝐴 𝐵c 𝑃𝐴 𝑃𝐴 𝐵 07 03 04 𝑃 𝐴𝐵c 𝑃 𝐴 𝐵c 𝑃 𝐵c 04 06 067 Portanto 𝑃 𝐴𝐵c 067 Questão 8 a Dados 𝑃𝐴 1 3 e 𝑃𝐵𝐴 3 5 temos 𝑃𝐵𝐴 3 5 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 3 5 𝑃𝐴 𝐵 1 3 3 5 𝑃𝐴 𝐵 1 5 Como 𝑃𝐴 𝐵 0 então os eventos 𝐴 e 𝐵 não são disjuntos Portanto a afirmação está correta b Dados 𝑃𝐴 1 2 𝑃𝐵𝐴 3 5 e 𝑃𝐴𝐵 1 2 temos 𝑃𝐵𝐴 1 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 1 𝑃𝐴 𝐵 1 2 1 𝑃𝐴 𝐵 1 2 𝑃𝐴𝐵 1 2 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐵 1 2 1 2 𝑃𝐵 1 2 𝑃𝐵 1 Como 𝑃𝐵 1 então 𝐵 𝑈 Logo 𝐴 deve ser estar contido em 𝐵 isto é 𝐴 𝐵 Portanto a afirmação está incorreta Questão 9 Consideremos o lançamento de dois dados honestos a Como o número obtido na face do primeiro dado é ímpar então há três possibilidades para esse número 1 3 e 5 Para a face do segundo dado há seis possibilidades 1 2 3 4 5 e 6 Logo a probabilidade de obter o par 3 4 dado que o número obtido na face do primeiro dado é ímpar é dada por 1 3 1 6 1 18 0056 b Sabemos que o resultado do lançamento do segundo dado independe do resultado do lançamento do primeiro dado Se o número obtido na face do segundo dado é ímpar então há três possibilidades para esse número 1 3 e 5 Logo a probabilidade de obter um número ímpar na face do segundo dado sabendose que o número obtido na face do primeiro dado é par é dada por 3 6 05 Questão 10 Sejam 𝐴 𝐵 e 𝐶 os eventos de cada uma das sondas encontrar gás Temos 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶 01 e 𝑃 𝐴c 𝑃 𝐵c 𝑃 𝐶c 09 Observe que como as sondas perfuram de forma independente os eventos 𝐴 𝐵 e 𝐶 são independentes a A probabilidade de duas sondas 𝐴 e 𝐵 encontrarem gás dado que a terceira 𝐶 não encontrou é dada por 𝑃 𝐴 𝐵𝐶c 𝑃𝐴 𝐵 𝐶c 𝑃𝐶c 𝑃𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶c 𝑃𝐶c 𝑃𝐴𝑃𝐵 01 01 001 Portanto a probabilidade de duas sondas encontrarem gás dado que a terceira não encontrou é de 1 b A probabilidade de pelo menos uma sonda 𝐴 ou 𝐵 encontrar gás dado que a terceira 𝐶 não encontrou é dada por 𝑃 𝐴 𝐵𝐶c 𝑃𝐴 𝐵 𝐶c 𝑃𝐶c 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐶c 𝑃𝐶c 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 01 01 001 019 Portanto a probabilidade de pelo menos uma sonda encontrar gás dado que a terceira não encontrou é de 19 c A probabilidade de somente uma sonda 𝐶 achar gás é dada por 𝑃 𝐴c 𝐵c 𝐶 𝑃𝐴c𝑃𝐵c𝑃𝐶 09 09 01 0081 A probabilidade de nenhum das sondas encontrar gás é dada por 𝑃 𝐴c 𝐵c 𝐶c 𝑃𝐴c𝑃𝐵c𝑃𝐶c 09 09 09 0729 Logo a probabilidade de nenhuma sonda encontrar gás dado que no máximo uma sonda encontrou é de 𝑃 𝐴c 𝐵c 𝐶c 𝑃 𝐴c 𝐵c 𝐶 𝑃 𝐴c 𝐵c 𝐶c 0729 0081 0729 0729 081 09 Portanto a probabilidade de nenhuma sonda encontrar gás dado que no máximo uma sonda encontrou é de 90 Questão 11 Seja 𝐷 o evento de encontrar um produto defeituoso Dados os eventos 𝐹1 𝐹2 e 𝐹3 de um produto ter sido fabricado na fábrica 1 2 e 3 respectivamente temos 𝑃 𝐹1 03 𝑃 𝐹2 045 𝑃 𝐹3 025 Como a fábrica 1 produz 1 de produtos defeituosos a fábrica 2 produz 2 de produtos defeituosos e a fábrica 3 produz 15 de produtos defeituosos então temos 𝑃 𝐷𝐹1 001 𝑃 𝐷𝐹2 002 𝑃 𝐷𝐹3 0015 a A probabilidade de encontrar um produto defeituoso é dada por 𝑃𝐷 𝑃𝐷𝐹1𝑃𝐹1 𝑃𝐷𝐹2𝑃𝐹2 𝑃𝐷𝐹3𝑃𝐹3 001 03 002 045 0015 025 0003 0009 000375 001575 Portanto a probabilidade de encontrar um produto defeituoso é de 1575 b A probabilidade de um produto ter sido fabricado na fábrica 2 dado que ele é defeituoso é dada por 𝑃 𝐹2𝐷 𝑃𝐷𝐹2𝑃𝐹2 𝑃𝐷 002 045 001575 0009 001575 05714 Portanto a probabilidade de um produto ter sido fabricado na fábrica 2 dado que ele é defeituoso é de aproximadamente 5714
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Instituto Federal Catarinense IFC Campus Blumenau 20241 Probabilidade e Estatıstica Lista 1 Obs Se A e um conjunto Ac denota o complementar de A isto e o connuntos de todos os elementos que estao fora de A 1 Escreva explicitamente o espaco amostral Ω de cada experimento abaixo a Uma urna contem 5 bolas vermelhas V e 2 brancas B Duas bolas sao extraıdas sem reposicao e observadas suas cores na sequˆencia em que foram extraıdas b Trˆes pessoas sao colocadas numa fila e observase a disposicao delas c Entre 5 pessoas A B C D E duas sao escolhidas para formarem uma chapa polıtica do IFC Observamse os elementos dessa comissao d Uma moeda e lancada consecutivamente ate o aparecimento da primeira cara 2 Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaco amostral traduza para a linguagem de conjuntos as seguintes situacoes a Pelo menos um dos eventos ocorre b O evento A ocorre mas B nao c Nenhum deles ocorre d Exatamente um dos eventos ocorre 3 Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil sao considerados esportistas Temos ainda que 500 alunos sao do curso de biologia diurno 700 da biologia noturno Um aluno e escolhido ao acaso e perguntase a probabilidade de a Ser esportista b Ser esportista e aluno da biologia noturno c Nao ser da biologia d Ser esportista ou aluno da biologia e Nao ser esportista nem aluno da biologia 4 Considere dois eventos A e B mutuamente exclusivos com PA 0 3 e PB 0 5 Calcule a PA B b PA B c PAB d PAc 1 e PA Bc 5 Se PA B 0 8 PA 0 5 e PB x determine o valor de x no caso de a A e B serem mutuamente exclusivos b A e B serem independentes 6 O time da Chapecoense ganha com probabilidade 0 7 se chove e com 0 8 se nao chove Em Setembro a probabilidade de chuva e de 0 3 A Chape ganhou uma partida em Setembro qual a probabilidade de ter chovido nesse dia 7 Se PB 0 4 PA 0 7 e PA B 0 3 calcule PABc 8 Verifique se sao validas as afirmacoes a Se PA 13 e PBA 35 entao A e B nao podem ser disjuntos b Se PA 12 PBA 1 e PAB 12 entao A nao pode estar contido em B 9 Dois dados honestos sao lancados Calcule a probabilidade de a Obter o par 3 4 sabendose que ocorreu face ımpar no primeiro dado b Ocorrer face ımpar no segundo dado sabendose que ocorreu face par no primeiro dado 10 A probabilidade de encontrar gas numa certa regiao e de 110 Trˆes sondas idˆenticas estao perfurando de modo independente a Sabendose que uma delas qualquer nao achou gas qual a probabilidade das outras duas encontrarem b Sabendose que uma delas qualquer nao achou gas qual a probabilidade de encontrar gas na regiao atraves dessas perfuracoes c Sabendose que nao mais de uma delas qualquer achou gas qual a probabilidade de nenhuma encontrar gas 11 Uma companhia multinacional tem trˆes fabricas que produzem o mesmo tipo de produto A fabrica I e responsavel por 30 do total produzido a fabrica II produz 45 do total e o restante vem da fabrica III Cada uma das fabricas no entanto produz uma proporcao de produtos que nao atendem aos padroes estabelecidos pelas normas internacionais Tais produtos sao considerados defeituoso e correspondem a 1 2 e 1 5 respectivamente dos totais produzidos por fabrica No centro de distribuicao e feito o controle de qualidade da producao combinada das fabricas a Qual e a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspecao de qualidade b Se durante a inspecao encontramos um produto defeituoso qual e a probabilidade que ele tenha sido produzido na fabrica II 2 Lista de Exercícios Probabilidade e Estatística Questão 1 Denominase espaço amostral 𝛺 de um experimento aleatório ao conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento a Seja 𝑉 uma bola vermelha e 𝐵 uma bola branca O espaço amostral é dado por 𝛺 𝑉𝑉 𝐵 𝐵 𝑉 𝐵 𝐵𝑉 Logo o espaço amostral contém 4 elementos Observe que os elementos contidos no espaço amostral são pares ordenados pois a ordem dos elementos importa b Sejam 𝐴 𝐵 e 𝐶 as pessoas presentes na fila O espaço amostral é dado por 𝛺 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐶 𝐵 𝐵 𝐴 𝐶 𝐵 𝐶 𝐴 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝐵 𝐴 Logo o espaço amostral contém 6 elementos Observe que os elementos contidos no espaço amostral são pares ordenados pois a ordem dos elementos importa c Sejam 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 e 𝐸 as pessoas passíveis de serem escolhidas O espaço amostral é dado por 𝛺 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝐴 𝐷 𝐴 𝐸 𝐵 𝐶 𝐵 𝐷 𝐵 𝐸 𝐶 𝐷 𝐶 𝐸 𝐷 𝐸 Logo o espaço amostral contém 10 elementos Observe que os elementos contidos no espaço amostral são conjuntos pois a ordem dos elementos não importa d Seja 𝐶 cara e 𝐾 coroa O espaço amostral é dado por 𝛺 𝐶 𝐾 𝐶 𝐾 𝐾 𝐶 𝐾 𝐾 𝐾 𝐶 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐶 𝐾 𝐾 𝐾 𝐶 Logo o espaço amostral contém um número infinito de elementos Observe que os elementos contidos no espaço amostral são pares ordenados pois a ordem dos elementos importa Questão 2 Seham dois eventos 𝐴 e 𝐵 de um mesmo espaço amostral a Na situação em que pelo menos um dos eventos ocorre então temos o evento 𝐴 𝐵 isto é a união dos eventos 𝐴 e 𝐵 𝐴 𝐵 b Na situação em que o evento 𝐴 ocorre e o evento 𝐵 não ocorre então temos o evento 𝐴 𝐵c isto é a interseção do evento 𝐴 com o complementar do evento 𝐵 𝐴 𝐵 Observe que 𝐴 𝐵c 𝐴 𝐵 c Na situação em que nenhum dos eventos ocorre então temos o evento 𝐴c 𝐵c isto é a interseção do complementar do evento 𝐴 com o complementar do evento 𝐵 𝐴 𝐵 Observe que 𝐴c 𝐵c 𝐴 𝐵c d Na situação em que exatamente um dos eventos ocorre então temos o evento 𝐴 𝐵c 𝐴c 𝐵 isto é a união da interseção do evento 𝐴 com o complementar do evento 𝐵 e da interseção do complementar do evento 𝐴 com o evento 𝐵 𝐴 𝐵 Observe que 𝐴 𝐵c 𝐴c 𝐵 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 Questão 3 Sejam 𝐸 o conjunto dos alunos esportistas 𝐸c o conjunto dos alunos não esportistas 𝐷 o conjunto dos alunos de biologia diurno 𝑁 o conjunto dos alunos de biologia noturno 𝑂 o conjunto dos alunos de outros cursos Como dos 10000 alunos da universidade 4000 são esportistas então temos 𝐸 4000 e 𝐸c 10000 4000 6000 Como 500 são alunos do curso de biologia diurno e 700 são alunos do curso de biologia noturno então temos 𝐷 500 e 𝑁 700 e 𝑂 10000 500 700 8800 Dado que 100 alunos do curso de biologia diurno são esportistas então temos 𝐷 𝐸 100 e 𝐷 𝐸c 500 100 400 Dado que 200 alunos do curso de biologia noturno são esportistas então temos 𝑁 𝐸 200 e 𝑁 𝐸c 700 200 500 Como 100 200 300 alunos do curso de biologia são esportistas então temos 𝑂 𝐸 4000 300 3700 Como 400 500 900 alunos do curso de biologia não são esportistas então temos 𝑂 𝐸c 6000 900 5100 Com as informações do enunciado podemos representar a situação por meio da seguinte tabela 𝐷 𝑁 𝑂 Total 𝐸 100 200 3700 4000 𝐸c 400 500 5100 6000 Total 500 700 8800 10000 a A probabilidade de um aluno ser esportista é dada por 𝑃𝐸 𝐸 𝑈 4000 10000 04 Logo a probabilidade de um aluno ser esportista é de 40 b A probabilidade de um aluno ser esportista e do curso de biologia noturno é dada por 𝑃𝐸 𝑁 𝐸 𝑁 𝑈 200 10000 002 Logo a probabilidade de um aluno ser esportista e do curso de biologia noturno é de 2 c A probabilidade de um aluno não ser do curso de biologia é dada por 𝑃𝑂 𝑂 𝑈 8800 10000 088 Logo a probabilidade de um aluno não ser do curso de biologia é de 88 d A probabilidade de um aluno ser esportista ou do curso de biologia é dada por 𝑃𝐸 𝐷 𝑁 𝐸 𝐷 𝑁 𝑈 𝐸 𝐷 𝑁 𝐸 𝐷 𝐸 𝑁 𝑈 4000 500 700 100 200 10000 5200 300 10000 4900 10000 049 Logo a probabilidade de um aluno ser esportista ou do curso de biologia é de 49 e A probabilidade de um aluno não ser esportista nem do curso de biologia é dada por 𝑃𝐸c 𝑂 𝐸c 𝑂 𝑈 5100 10000 051 Logo a probabilidade de um aluno não ser esportista nem do curso de biologia é de 51 Questão 4 Sejam 𝐴 e 𝐵 dois eventos mutuamente exclusivos isto é 𝐴 𝐵 Dado 𝑃𝐴 03 e 𝑃𝐵 05 temos que a 𝑃𝐴 𝐵 0 b 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 03 05 08 c 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐵 0 05 0 d 𝑃 𝐴c 1 𝑃𝐴 1 03 07 e 𝑃 𝐴 𝐵c 1 𝑃𝐴 𝐵 1 08 02 Questão 5 Dados 𝑃𝐴 𝐵 08 𝑃𝐴 05 e 𝑃𝐵 𝑥 a Se 𝐴 e 𝐵 forem eventos mutuamente exclusivos então temos 𝑃𝐴 𝐵 0 𝑃𝐴 𝐵 08 𝑃𝐴 𝑃𝐵 08 05 𝑥 08 𝑥 03 Logo 𝑥 03 a Se 𝐴 e 𝐵 não forem eventos independentes então temos 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴𝑃𝐵 05𝑥 𝑃𝐴 𝐵 08 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 08 05 𝑥 05𝑥 08 05𝑥 03 𝑥 06 Logo 𝑥 06 Questão 6 Seja 𝐶 o evento de chover em Setembro e 𝐺 o evento da Chapecoense ganhar uma partida Como o time da Chapecoense ganha com probabilidade de 07 em dias de chuva e com probabilidade de 08 em dias sem chuva então temos 𝑃𝐺𝐶 07 e 𝑃 𝐺𝐶c 08 Como a probabilidade de chover em Setembro é de 03 então temos 𝑃𝐶 03 e 𝑃 𝐶c 07 A probabilidade de ter chovido em Setembro dado que a Chapecoense ganhou uma partida é dada por 𝑃𝐺 𝐶 𝑃𝐺𝐶𝑃𝐶 07 03 021 𝑃𝐺 𝑃𝐺𝐶𝑃𝐶 𝑃 𝐺𝐶c 𝑃 𝐶c 07 03 08 07 021 056 077 𝑃𝐶𝐺 𝑃𝐺 𝐶 𝑃𝐺 021 077 027 Portanto a probabilidade de ter chovido em Setembro dado que a Chapecoense ganhou uma partida é de aproximadamente 27 Questão 7 Dados 𝑃𝐵 04 𝑃𝐴 07 e 𝑃𝐴 𝐵 03 temos 𝑃 𝐵c 1 𝑃𝐵 1 04 06 𝑃 𝐴 𝐵c 𝑃𝐴 𝑃𝐴 𝐵 07 03 04 𝑃 𝐴𝐵c 𝑃 𝐴 𝐵c 𝑃 𝐵c 04 06 067 Portanto 𝑃 𝐴𝐵c 067 Questão 8 a Dados 𝑃𝐴 1 3 e 𝑃𝐵𝐴 3 5 temos 𝑃𝐵𝐴 3 5 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 3 5 𝑃𝐴 𝐵 1 3 3 5 𝑃𝐴 𝐵 1 5 Como 𝑃𝐴 𝐵 0 então os eventos 𝐴 e 𝐵 não são disjuntos Portanto a afirmação está correta b Dados 𝑃𝐴 1 2 𝑃𝐵𝐴 3 5 e 𝑃𝐴𝐵 1 2 temos 𝑃𝐵𝐴 1 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 1 𝑃𝐴 𝐵 1 2 1 𝑃𝐴 𝐵 1 2 𝑃𝐴𝐵 1 2 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐵 1 2 1 2 𝑃𝐵 1 2 𝑃𝐵 1 Como 𝑃𝐵 1 então 𝐵 𝑈 Logo 𝐴 deve ser estar contido em 𝐵 isto é 𝐴 𝐵 Portanto a afirmação está incorreta Questão 9 Consideremos o lançamento de dois dados honestos a Como o número obtido na face do primeiro dado é ímpar então há três possibilidades para esse número 1 3 e 5 Para a face do segundo dado há seis possibilidades 1 2 3 4 5 e 6 Logo a probabilidade de obter o par 3 4 dado que o número obtido na face do primeiro dado é ímpar é dada por 1 3 1 6 1 18 0056 b Sabemos que o resultado do lançamento do segundo dado independe do resultado do lançamento do primeiro dado Se o número obtido na face do segundo dado é ímpar então há três possibilidades para esse número 1 3 e 5 Logo a probabilidade de obter um número ímpar na face do segundo dado sabendose que o número obtido na face do primeiro dado é par é dada por 3 6 05 Questão 10 Sejam 𝐴 𝐵 e 𝐶 os eventos de cada uma das sondas encontrar gás Temos 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶 01 e 𝑃 𝐴c 𝑃 𝐵c 𝑃 𝐶c 09 Observe que como as sondas perfuram de forma independente os eventos 𝐴 𝐵 e 𝐶 são independentes a A probabilidade de duas sondas 𝐴 e 𝐵 encontrarem gás dado que a terceira 𝐶 não encontrou é dada por 𝑃 𝐴 𝐵𝐶c 𝑃𝐴 𝐵 𝐶c 𝑃𝐶c 𝑃𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶c 𝑃𝐶c 𝑃𝐴𝑃𝐵 01 01 001 Portanto a probabilidade de duas sondas encontrarem gás dado que a terceira não encontrou é de 1 b A probabilidade de pelo menos uma sonda 𝐴 ou 𝐵 encontrar gás dado que a terceira 𝐶 não encontrou é dada por 𝑃 𝐴 𝐵𝐶c 𝑃𝐴 𝐵 𝐶c 𝑃𝐶c 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐶c 𝑃𝐶c 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 01 01 001 019 Portanto a probabilidade de pelo menos uma sonda encontrar gás dado que a terceira não encontrou é de 19 c A probabilidade de somente uma sonda 𝐶 achar gás é dada por 𝑃 𝐴c 𝐵c 𝐶 𝑃𝐴c𝑃𝐵c𝑃𝐶 09 09 01 0081 A probabilidade de nenhum das sondas encontrar gás é dada por 𝑃 𝐴c 𝐵c 𝐶c 𝑃𝐴c𝑃𝐵c𝑃𝐶c 09 09 09 0729 Logo a probabilidade de nenhuma sonda encontrar gás dado que no máximo uma sonda encontrou é de 𝑃 𝐴c 𝐵c 𝐶c 𝑃 𝐴c 𝐵c 𝐶 𝑃 𝐴c 𝐵c 𝐶c 0729 0081 0729 0729 081 09 Portanto a probabilidade de nenhuma sonda encontrar gás dado que no máximo uma sonda encontrou é de 90 Questão 11 Seja 𝐷 o evento de encontrar um produto defeituoso Dados os eventos 𝐹1 𝐹2 e 𝐹3 de um produto ter sido fabricado na fábrica 1 2 e 3 respectivamente temos 𝑃 𝐹1 03 𝑃 𝐹2 045 𝑃 𝐹3 025 Como a fábrica 1 produz 1 de produtos defeituosos a fábrica 2 produz 2 de produtos defeituosos e a fábrica 3 produz 15 de produtos defeituosos então temos 𝑃 𝐷𝐹1 001 𝑃 𝐷𝐹2 002 𝑃 𝐷𝐹3 0015 a A probabilidade de encontrar um produto defeituoso é dada por 𝑃𝐷 𝑃𝐷𝐹1𝑃𝐹1 𝑃𝐷𝐹2𝑃𝐹2 𝑃𝐷𝐹3𝑃𝐹3 001 03 002 045 0015 025 0003 0009 000375 001575 Portanto a probabilidade de encontrar um produto defeituoso é de 1575 b A probabilidade de um produto ter sido fabricado na fábrica 2 dado que ele é defeituoso é dada por 𝑃 𝐹2𝐷 𝑃𝐷𝐹2𝑃𝐹2 𝑃𝐷 002 045 001575 0009 001575 05714 Portanto a probabilidade de um produto ter sido fabricado na fábrica 2 dado que ele é defeituoso é de aproximadamente 5714