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229 9 Polinômios e Equações Polinomiais DEFINIÇÃO DE POLINÔMIO Um polinômio é uma função na variável x da forma Px anxn an1xn1 a1x a0 Em que i an an1 a1 e a0 são os coeficientes do polinômio ii Os expoentes são números naturais Exemplos 1 Px 3x4 7x3 8x 2 2 Px 4x5 8x4 9x3 18x2 7x 1 Um polinômio é dito nulo se todos os seus coeficientes são iguais a zero Portanto Px anxn an1xn1 a1x a0 é nulo se e somente se an an1 a1 a0 0 POLINÔMIOS IDÊNTICOS Os polinômios Px anxn a2x2 a1x a0 e Qx bnxn b2x2 b1x b0 são idênticos se e somente se an bn an1 bn1 a2 b2 a1 b1 e a0 b0 Exemplo Determinar os valores de a b e c para os quais os polinômios Px ax2 3x 9 e Bx b 3x2 c 1x 3b são idênticos Resolução Igualando os coeficientes dos termos correspondentes obtemos a b 3 3 c 1 9 3b Resolvendo o sistema obtemos a 6 b 3 e c 4 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS Adição e subtração Dados os polinômios Ax anxn an1xn1 a2x2 a1x a0 e Bx bnxn bn1xn1 b2x2 b1x b0 i A adição Ax Bx é dada por Ax Bx an bnxn an1 bn1xn1 a2 b2x2 a1 b1x a0 b0 ii A subtração Ax Bx é dada por Ax Bx an bnxn an1 bn1xn1 a2 b2x2 a1 b1x a0 b0 Portanto nessas operações basta adicionarmos ou subtrairmos os termos semelhantes Exemplo Considerar os polinômios Ax 5x4 3x3 18x2 9x 12 e Bx x4 23x3 7x2 x 3 Assim temos Ax Bx 6x4 20x3 11x2 8x 15 Ax Bx 4x4 26x3 25x2 10x 9 Exercícios 1 Qual deve ser o valor de 𝑘 para que o grau de 𝑓 𝑥 𝑘2 9 𝑥3 7𝑥2 5𝑥 1 seja igual a 2 2 Sabendo que 𝑥 3 é raiz do polinômio 𝑝 𝑥 2𝑥3 𝑚𝑥2 5𝑥 3 determine o valor de 𝑚 3 Determine 𝑎 e 𝑏 em 𝑝 𝑥 3𝑥4 𝑎𝑥3 5𝑥2 𝑏𝑥 2 sabendo que 1 é raiz de 𝑝𝑥 e que 𝑝 2 80 4 Determine em cada caso os valores de 𝑎 e 𝑏 de modo que 233 5 Sendo os polinômios 𝑓 𝑥 2𝑥 1 𝑔 𝑥 4𝑥2 6𝑥 3 e ℎ 𝑥 5𝑥2 3𝑥 determine a 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 b 𝑔 𝑥 ℎ𝑥 c 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ℎ𝑥 234 Exemplo Efetuar a divisão de 𝑓𝑥 por 𝑔 𝑥 pelo método da chave a 𝑓 𝑥 6𝑥4 5𝑥3 4𝑥2 7𝑥 11 𝑔 𝑥 2𝑥2 𝑥 3 b 𝑓 𝑥 𝑥3 7𝑥 6 𝑔 𝑥 𝑥 3 Exercícios 1 Em cada caso determine o quociente 𝑞𝑥 e o resto 𝑟𝑥 da divisão de 𝑓𝑥 por 𝑔𝑥 sendo 235 2 Dividindo um polinômio 𝑝𝑥 por 𝑥2 𝑥 3 obtemos como quociente 𝑞 𝑥 3𝑥 5 e resto 𝑟 𝑥 2𝑥 3 Qual é o valor de 𝑝 2 3 Sabendo que 𝑓 𝑥 4𝑥2 2𝑥 𝑎 é divisível por 𝑔 𝑥 2𝑥 3 determine o valor de 𝑎 Divisão por Binômios Teorema do Resto Seja 𝑝𝑥 um polinômio tal que grau 𝑝 1 O resto da divisão de 𝑝𝑥 por 𝑥 𝑎 é igual a 𝑝𝑎 ou seja 𝑟 𝑝𝑎 Em outras palavras para encontrarmos o resto da divisão de um polinômio 𝑝𝑥 por um binômio do 1º grau basta calcularmos a raiz do binômio do 1º grau e em seguida substituirmos no polinômio 𝑝𝑥 236 Exemplo Calcular o resto da divisão de 𝑓 𝑥 3𝑥3 4𝑥2 𝑥 5 por 𝑔 𝑥 𝑥 1 Observação Embora tenhamos enunciado o teorema do resto para divisões de um polinômio f por outro do tipo x a a C ele permanece válido quando o divisor for do 1º grau do tipo ax b com a C e b C e então temos r f ba Uma consequência importante do Teorema do Resto é o Teorema de DAlembert 238 Exemplo Qual deve ser o valor de 𝑚 para que 𝑓 𝑥 𝑥4 2𝑥3 𝑥2 𝑚𝑥 3 seja divisível por 𝑥 3 Teorema de DAlembert Um polinômio 𝑓𝑥 é divisível por 𝑥 𝑎 quando 𝑎 é raiz de 𝑓 Exercícios 1 Em cada caso determine o resto 𝑟𝑥 da divisão de 𝑓𝑥 por 𝑔𝑥 sendo 239 2 Em cada caso 𝑓𝑥 é divisível por 𝑔𝑥 Determine o valor de 𝑚 3 Ao dividirmos 2𝑥3 𝑥2 𝑚𝑥 3 por 𝑥 5 obtemos resto igual a 53 Qual é o valor de 𝑚 4 Um polinômio 𝑝𝑥 dividido por 𝑥 3 deixa resto 5 e dividido por 𝑥 1 deixa resto 2 Qual é o resto da divisão de 𝑝𝑥 por 𝑥 3 𝑥 1 Dispositivo Prático de BriotRuffini É um dispositivo que permite determinar o quociente e o resto da divisão de um polinômio 𝑝𝑥 por um binômio da forma 𝑥 𝑎 Exemplo Obter o quociente e o resto da divisão de 𝑓 𝑥 2𝑥3 𝑥2 5𝑥 7 por 𝑔 𝑥 𝑥 2 usando o dispositivo de BriotRuffini 240 4º passo com esse resultado repetir as operações multiplicar pela raiz e somar com o coeficiente seguinte e assim por diante O último dos resultados obtidos no algoritmo acima é o resto de divisão Assim r 15 Os demais resultados obtidos no algoritmo correspondem aos coeficientes ordenados do quociente da divisão Assim qx 2x² 3x 11 Exercício Determine o quociente e o resto da divisão de 𝑓𝑥 por 𝑔𝑥 em cada caso utilizando o dispositivo de BriotRuffini 242 Divisões Sucessivas 243 Teorema Um polinômio 𝑝𝑥 é divisível por 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 se e somente se 𝑝𝑥 é divisível separadamente por 𝑥 𝑎 e por 𝑥 𝑏 Exemplo Observação Segue do teorema anterior que se 𝑝𝑥 é divisível por 𝑥 𝑎 e o quociente dessa divisão é também divisível por 𝑥 𝑎 então 𝑝𝑥 é divisível por 𝑥 𝑎 2 Conceitos Básicos do Conjunto dos Números Complexos Chamase conjunto dos números complexos o conjunto dado por ℂ 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 𝑎 𝑏 ℝ e 𝑖 1 Nomenclatura Em 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 chamada de forma algébrica temos que 𝑖 1 é chamado de unidade imaginária o número real 𝑎 é chamado de parte real de 𝒛 e indicado por 𝑅𝑒 𝑧 𝑎 o número real 𝑏 é chamado de parte imaginária de 𝒛 e indicado por 𝐼𝑚 𝑧 𝑏 Exemplos 244 Conjugado de um número complexo Dado um número complexo 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 definimos o seu conjugado por ҧ𝑧 𝑎 𝑏𝑖 Exemplos 245 Exercício Resolva em ℂ as seguintes equações a 𝑥2 4 0 b 𝑥2 4𝑥 29 0 c 𝑥2 6𝑥 10 0 246 Equações Algébricas ou Polinomiais CONJUNTO SOLUÇÃO OU VERDADE Chamamos de conjunto solução de uma equação Px 0 em um determinado conjunto universo U ao conjunto formado por todas as raízes dessa equação Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto solução Exemplos 1º Resolver em ℝ a equação x² x 2 0 Resolução Δ 1² 412 1 8 7 No conjunto ℝ a equação não apresenta soluções ou seja S 2º Resolver em ℂ a equação x² x 2 0 Resolução Δ 1² 412 1 8 7 x frac1 pm sqrt721 Rightarrow x frac1 pm sqrt7i2 Portanto no conjunto dos números complexos o conjunto solução é dado por S left frac1 sqrt7i2 frac1 sqrt7i2 right Na equação x³ 3x² x 3 0 o número complexo i é uma das raízes pois i³ 3 i² i 3 i 3 i 3 0 O número real 3 também é raiz 3³ 3 3² 3 3 0 Observe por fim que o número real 2 não é raiz 2³ 3 2² 2 3 8 12 2 3 5 0 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Toda equação de grau n n 1 possui pelo menos uma raiz complexa Esse teorema foi enunciado no final do século XVIII pelo matemático Carl Friedrich Gauss Uma das consequências mais importantes desse teorema é a seguinte Um polinômio de grau n n 1 possui n raizes complexas De acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra podemos afirmar que existe pelo menos uma raiz complexa Sendo k₁ essa raiz temos Pk₁ 0 250 Observações i Podese mostrar que com exceção da ordem dos fatores do produto a decomposição de 𝑝𝑥 em termos de suas raízes é única ii Dizemos que cada um dos polinômios do 1º grau na decomposição de 𝑝𝑥 é um fator de 𝑝𝑥 iii O polinômio 𝑝𝑥 é divisível por individualmente cada um de seus fatores Exemplos 1 Sabendo que as raízes do polinômio px x³ 3x² 6x 8 são 1 2 e 4 podemos fatorálo como px 1 x 1 x 2 x 4 2 Sabendo que uma das raízes da equação x³ 5x² 34x 80 0 é igual a 2 como podemos obter as outras duas Seja px o polinômio dado Usamos o teorema da decomposição px 1 x 2 x r₂ x r₃ qx Fazemos a divisão de px por x 2 a fim de obter qx 2 1 5 34 80 1 3 40 0 coeficientes de qx Resolvemos a equação qx 0 x² 3x 40 0 x 5 ou x 8 Duas raízes da equação x⁴ 2x³ 11x² 8x 60 0 são 5 e 3 Vamos encontrar as outras duas raízes Sendo px o polinômio dado podemos fatorálo como px x 5 x 3 qx Como px é divisível por x 5 x 3 podemos dividir px por x 5 e em seguida dividir o quociente obtido por x 3 conforme aprendemos em divisões sucessivas 5 3 1 2 11 8 60 3 1 1 4 12 0 1 0 4 0 Multiplicidade de uma raiz Quando resolvemos a equação do 2º grau x² 10x 25 0 encontramos duas raízes iguais a 5 Usando o teorema da decomposição fatoramos o polinômio dado x² 10x 25 x 5 x 5 x 5² Dizemos então que 5 é raiz de multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação proposta Se a forma fatorada de um polinômio p é px x 4³ x 2 x 1² concluímos que x 4 é raiz com multiplicidade 3 ou raiz tripla da equação px 0 x 2 é raiz com multiplicidade 1 ou raiz simples da equação px 0 x 1 é raiz com multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação px 0 De modo um pouco mais formal dizemos que r é uma raiz de multiplicidade m m 1 da equação px 0 se px x rᵐ qx com qr 0 Notemos que 1º px é divisível por x rᵐ 2º A condição qr 0 significa que r não é raiz de qx e garante então que a multiplicidade da raiz r não é maior que m Exemplo Vamos resolver a equação x⁴ 9x³ 23x² 3x 36 0 sabendo que 3 é raiz dupla Seja px o polinômio dado temos px x 3 x 3 x r₃ x r₄ isto é px x 3² qx Fazendo a divisão de px por x 3² obtemos qx 3 3 1 9 23 3 36 3 1 6 5 12 0 1 3 4 0 255 Raízes Complexas Teorema Se um número complexo 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 com 𝑏 0 é raiz de uma equação com coeficientes reais então seu conjugado ҧ𝑧 𝑎 𝑏𝑖 também é raiz dessa equação Exemplos 257 Exercícios 1 Resolva em ℂ cada equação seguinte e em seguida fatore o polinômio dado a 𝑥2 8𝑥 25 0 b 𝑥3 𝑥2 2𝑥 0 2 Duas das raízes da equação 𝑥4 𝑥3 7𝑥2 𝑥 6 0 são 1 e 2 Encontre o conjunto solução dessa equação 3 Sabendo que a equação 3𝑥3 5𝑥2 𝑥 𝑚 0 apresenta 1 como raiz dupla a Determine 𝑚 b Encontre a outra raiz dessa equação 1 Se uma equação com coeficientes reais tem como raízes simples 3 2i e 1 i então necessariamente duas outras raízes são 2i e 1 i pelo teorema das raízes complexas Assim o menor grau que essa equação pode ter é 5 258 Relações de Girard São relações entre os coeficientes de uma equação e suas raízes e constituem uma ferramenta importante na resolução de equações quando conhecemos alguma informação sobre suas raízes 2 Vamos resolver a equação x³ 3x² 5x 39 0 sabendo que 3 2i é uma de suas raízes Observemos de início que se trata de uma equação com coeficientes reais Como 3 2i é raiz podemos afirmar que 3 2i também é raiz e o polinômio dado é divisível por x 3 2ix 3 2i x 3² 2i² x² 6x 13 A outra raiz vem de x 3 0 ou seja x 3 S 3 2i 3 2i 3 Equação de 3º grau Sejam r₁ r₂ e r₃ as raízes de equação ax³ bx² cx d 0 com a 0 Temos ax³ bx² cx d a x r₁x r₂x r₃ Sejam x₁ e x₂ as raízes da equação x² x 4 0 Calcular A x₁ x₂ Resolução x₁ x₂ ba 11 1 B x₁x₂ Resolução x₁x₂ ca 41 4 C 1x₁ 1x₂ Resolução 1x₁ 1x₂ x₂ x₁ 14 D x₁² x₂² Resolução x₁ x₂ 1 Elevando ao quadrado os dois membros temos x₁ x₂² 1² x₁² 2x₁x₂ x₂² 1 x₁² 24 x₂² 1 x₁² x₂² 7 x³ ba x² ca x da x³ r₁ r₂ r₃x² r₁r₂ r₂r₃ r₁r₃x r₁r₂r₃ onde Sejam x₁ x₂ e x₃ as raízes da equação 2x³ 6x² 2x 1 0 Calcular A x₁ x₂ x₃ Resolução x₁ x₂ x₃ ba 62 62 3 B x₁x₂ x₁x₃ x₂x₃ Resolução x₁x₂ x₃ x₂x₃ ca 22 1 C x₁x₂x₃ Resolução x₁x₂x₃ da 12 12 D 1x₁ 1x₂ 1x₃ Resolução 1x₁ 1x₂ 1x₃ x₂x₃ x₁x₃ x₁x₂x₁x₂x₃ 12 E x₁² x₂² x₃² Resolução x₁ x₂ x₃ 3 Elevando os dois membros ao quadrado temos x₁ x₂ x₃² 3² x₁² x₂² x₃² 2x₁x₂ x₁x₃ x₂x₃ 9 x₁² x₂² x₃² 21 9 x₁² x₂² x₃² 7 r₁ r₂ r₃ ba Duas das raízes da equação x⁴ 11x³ 42x² 14x p 0 em que p é um coeficiente real são 2 e 5 3i Vamos encontrar seu conjunto solução bem como o valor de p Como a equação tem coeficientes reais uma outra raiz é 5 3i Usando a 1ª relação de Girard soma das raízes vem 2 5 3i 5 3i r₄ ba 12 r₄ 11 r₄ 1 Escrevendo a última relação produto de todas as raízes vem 2 5 3i 5 3i 1 ea 68 p1 p 68 e o conjunto solução é S 2 5 3i 5 3i 1 r₁r₂ r₂r₃ r₁r₃ ca Exercícios 265 Pesquisa de Raízes Racionais Teorema Seja a equação polinomial de coeficientes inteiros 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑎𝑛1𝑥𝑛1 𝑎1𝑥 𝑎0 0 com 𝑎𝑛 0 Se o número racional irredutível 𝑝 𝑞 é raiz dessa equação então 𝑝 é divisor de 𝑎0 e 𝑞 é divisor de 𝑎𝑛 r₁r₂r₃ da Assim se r s e t são as raízes da equação x³ 4x² 5x 8 0 então Exemplo r s t ba 41 4 Assim a única raiz racional dessa equação é 13 268 Exercício Resolva as equações a 𝑥3 7𝑥2 7𝑥 15 0 b 2𝑥4 9𝑥3 4𝑥2 21𝑥 18 0 c 𝑥3 2𝑥2 1 0 d 𝑥3 2𝑥2 5𝑥 2 0 r s r t s t ca 51 5 r s t da 81 8 Equação de grau n Seja a equação aₙxⁿ aₙ₁xⁿ¹ a₁x a₀ 0 com aₙ 0 e r₁ r₂ rₙ suas raízes Através de raciocínio análogo aos anteriores vem r₁ r₂ rₙ aₙ₁aₙ soma das n raízes r₁ r₂ r₁ r₃ r₁rₙ₁ aₙ₂aₙ soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas r₁ r₂ r₃ r₁ r₂ r₄ rₙ₂rₙ₁rₙ aₙ₃aₙ soma dos produtos das raízes tomadas três a três r₁ r₂ rₙ 1ⁿ a₀a₁ produto das n raízes
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229 9 Polinômios e Equações Polinomiais DEFINIÇÃO DE POLINÔMIO Um polinômio é uma função na variável x da forma Px anxn an1xn1 a1x a0 Em que i an an1 a1 e a0 são os coeficientes do polinômio ii Os expoentes são números naturais Exemplos 1 Px 3x4 7x3 8x 2 2 Px 4x5 8x4 9x3 18x2 7x 1 Um polinômio é dito nulo se todos os seus coeficientes são iguais a zero Portanto Px anxn an1xn1 a1x a0 é nulo se e somente se an an1 a1 a0 0 POLINÔMIOS IDÊNTICOS Os polinômios Px anxn a2x2 a1x a0 e Qx bnxn b2x2 b1x b0 são idênticos se e somente se an bn an1 bn1 a2 b2 a1 b1 e a0 b0 Exemplo Determinar os valores de a b e c para os quais os polinômios Px ax2 3x 9 e Bx b 3x2 c 1x 3b são idênticos Resolução Igualando os coeficientes dos termos correspondentes obtemos a b 3 3 c 1 9 3b Resolvendo o sistema obtemos a 6 b 3 e c 4 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS Adição e subtração Dados os polinômios Ax anxn an1xn1 a2x2 a1x a0 e Bx bnxn bn1xn1 b2x2 b1x b0 i A adição Ax Bx é dada por Ax Bx an bnxn an1 bn1xn1 a2 b2x2 a1 b1x a0 b0 ii A subtração Ax Bx é dada por Ax Bx an bnxn an1 bn1xn1 a2 b2x2 a1 b1x a0 b0 Portanto nessas operações basta adicionarmos ou subtrairmos os termos semelhantes Exemplo Considerar os polinômios Ax 5x4 3x3 18x2 9x 12 e Bx x4 23x3 7x2 x 3 Assim temos Ax Bx 6x4 20x3 11x2 8x 15 Ax Bx 4x4 26x3 25x2 10x 9 Exercícios 1 Qual deve ser o valor de 𝑘 para que o grau de 𝑓 𝑥 𝑘2 9 𝑥3 7𝑥2 5𝑥 1 seja igual a 2 2 Sabendo que 𝑥 3 é raiz do polinômio 𝑝 𝑥 2𝑥3 𝑚𝑥2 5𝑥 3 determine o valor de 𝑚 3 Determine 𝑎 e 𝑏 em 𝑝 𝑥 3𝑥4 𝑎𝑥3 5𝑥2 𝑏𝑥 2 sabendo que 1 é raiz de 𝑝𝑥 e que 𝑝 2 80 4 Determine em cada caso os valores de 𝑎 e 𝑏 de modo que 233 5 Sendo os polinômios 𝑓 𝑥 2𝑥 1 𝑔 𝑥 4𝑥2 6𝑥 3 e ℎ 𝑥 5𝑥2 3𝑥 determine a 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 b 𝑔 𝑥 ℎ𝑥 c 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ℎ𝑥 234 Exemplo Efetuar a divisão de 𝑓𝑥 por 𝑔 𝑥 pelo método da chave a 𝑓 𝑥 6𝑥4 5𝑥3 4𝑥2 7𝑥 11 𝑔 𝑥 2𝑥2 𝑥 3 b 𝑓 𝑥 𝑥3 7𝑥 6 𝑔 𝑥 𝑥 3 Exercícios 1 Em cada caso determine o quociente 𝑞𝑥 e o resto 𝑟𝑥 da divisão de 𝑓𝑥 por 𝑔𝑥 sendo 235 2 Dividindo um polinômio 𝑝𝑥 por 𝑥2 𝑥 3 obtemos como quociente 𝑞 𝑥 3𝑥 5 e resto 𝑟 𝑥 2𝑥 3 Qual é o valor de 𝑝 2 3 Sabendo que 𝑓 𝑥 4𝑥2 2𝑥 𝑎 é divisível por 𝑔 𝑥 2𝑥 3 determine o valor de 𝑎 Divisão por Binômios Teorema do Resto Seja 𝑝𝑥 um polinômio tal que grau 𝑝 1 O resto da divisão de 𝑝𝑥 por 𝑥 𝑎 é igual a 𝑝𝑎 ou seja 𝑟 𝑝𝑎 Em outras palavras para encontrarmos o resto da divisão de um polinômio 𝑝𝑥 por um binômio do 1º grau basta calcularmos a raiz do binômio do 1º grau e em seguida substituirmos no polinômio 𝑝𝑥 236 Exemplo Calcular o resto da divisão de 𝑓 𝑥 3𝑥3 4𝑥2 𝑥 5 por 𝑔 𝑥 𝑥 1 Observação Embora tenhamos enunciado o teorema do resto para divisões de um polinômio f por outro do tipo x a a C ele permanece válido quando o divisor for do 1º grau do tipo ax b com a C e b C e então temos r f ba Uma consequência importante do Teorema do Resto é o Teorema de DAlembert 238 Exemplo Qual deve ser o valor de 𝑚 para que 𝑓 𝑥 𝑥4 2𝑥3 𝑥2 𝑚𝑥 3 seja divisível por 𝑥 3 Teorema de DAlembert Um polinômio 𝑓𝑥 é divisível por 𝑥 𝑎 quando 𝑎 é raiz de 𝑓 Exercícios 1 Em cada caso determine o resto 𝑟𝑥 da divisão de 𝑓𝑥 por 𝑔𝑥 sendo 239 2 Em cada caso 𝑓𝑥 é divisível por 𝑔𝑥 Determine o valor de 𝑚 3 Ao dividirmos 2𝑥3 𝑥2 𝑚𝑥 3 por 𝑥 5 obtemos resto igual a 53 Qual é o valor de 𝑚 4 Um polinômio 𝑝𝑥 dividido por 𝑥 3 deixa resto 5 e dividido por 𝑥 1 deixa resto 2 Qual é o resto da divisão de 𝑝𝑥 por 𝑥 3 𝑥 1 Dispositivo Prático de BriotRuffini É um dispositivo que permite determinar o quociente e o resto da divisão de um polinômio 𝑝𝑥 por um binômio da forma 𝑥 𝑎 Exemplo Obter o quociente e o resto da divisão de 𝑓 𝑥 2𝑥3 𝑥2 5𝑥 7 por 𝑔 𝑥 𝑥 2 usando o dispositivo de BriotRuffini 240 4º passo com esse resultado repetir as operações multiplicar pela raiz e somar com o coeficiente seguinte e assim por diante O último dos resultados obtidos no algoritmo acima é o resto de divisão Assim r 15 Os demais resultados obtidos no algoritmo correspondem aos coeficientes ordenados do quociente da divisão Assim qx 2x² 3x 11 Exercício Determine o quociente e o resto da divisão de 𝑓𝑥 por 𝑔𝑥 em cada caso utilizando o dispositivo de BriotRuffini 242 Divisões Sucessivas 243 Teorema Um polinômio 𝑝𝑥 é divisível por 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 se e somente se 𝑝𝑥 é divisível separadamente por 𝑥 𝑎 e por 𝑥 𝑏 Exemplo Observação Segue do teorema anterior que se 𝑝𝑥 é divisível por 𝑥 𝑎 e o quociente dessa divisão é também divisível por 𝑥 𝑎 então 𝑝𝑥 é divisível por 𝑥 𝑎 2 Conceitos Básicos do Conjunto dos Números Complexos Chamase conjunto dos números complexos o conjunto dado por ℂ 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 𝑎 𝑏 ℝ e 𝑖 1 Nomenclatura Em 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 chamada de forma algébrica temos que 𝑖 1 é chamado de unidade imaginária o número real 𝑎 é chamado de parte real de 𝒛 e indicado por 𝑅𝑒 𝑧 𝑎 o número real 𝑏 é chamado de parte imaginária de 𝒛 e indicado por 𝐼𝑚 𝑧 𝑏 Exemplos 244 Conjugado de um número complexo Dado um número complexo 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 definimos o seu conjugado por ҧ𝑧 𝑎 𝑏𝑖 Exemplos 245 Exercício Resolva em ℂ as seguintes equações a 𝑥2 4 0 b 𝑥2 4𝑥 29 0 c 𝑥2 6𝑥 10 0 246 Equações Algébricas ou Polinomiais CONJUNTO SOLUÇÃO OU VERDADE Chamamos de conjunto solução de uma equação Px 0 em um determinado conjunto universo U ao conjunto formado por todas as raízes dessa equação Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto solução Exemplos 1º Resolver em ℝ a equação x² x 2 0 Resolução Δ 1² 412 1 8 7 No conjunto ℝ a equação não apresenta soluções ou seja S 2º Resolver em ℂ a equação x² x 2 0 Resolução Δ 1² 412 1 8 7 x frac1 pm sqrt721 Rightarrow x frac1 pm sqrt7i2 Portanto no conjunto dos números complexos o conjunto solução é dado por S left frac1 sqrt7i2 frac1 sqrt7i2 right Na equação x³ 3x² x 3 0 o número complexo i é uma das raízes pois i³ 3 i² i 3 i 3 i 3 0 O número real 3 também é raiz 3³ 3 3² 3 3 0 Observe por fim que o número real 2 não é raiz 2³ 3 2² 2 3 8 12 2 3 5 0 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Toda equação de grau n n 1 possui pelo menos uma raiz complexa Esse teorema foi enunciado no final do século XVIII pelo matemático Carl Friedrich Gauss Uma das consequências mais importantes desse teorema é a seguinte Um polinômio de grau n n 1 possui n raizes complexas De acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra podemos afirmar que existe pelo menos uma raiz complexa Sendo k₁ essa raiz temos Pk₁ 0 250 Observações i Podese mostrar que com exceção da ordem dos fatores do produto a decomposição de 𝑝𝑥 em termos de suas raízes é única ii Dizemos que cada um dos polinômios do 1º grau na decomposição de 𝑝𝑥 é um fator de 𝑝𝑥 iii O polinômio 𝑝𝑥 é divisível por individualmente cada um de seus fatores Exemplos 1 Sabendo que as raízes do polinômio px x³ 3x² 6x 8 são 1 2 e 4 podemos fatorálo como px 1 x 1 x 2 x 4 2 Sabendo que uma das raízes da equação x³ 5x² 34x 80 0 é igual a 2 como podemos obter as outras duas Seja px o polinômio dado Usamos o teorema da decomposição px 1 x 2 x r₂ x r₃ qx Fazemos a divisão de px por x 2 a fim de obter qx 2 1 5 34 80 1 3 40 0 coeficientes de qx Resolvemos a equação qx 0 x² 3x 40 0 x 5 ou x 8 Duas raízes da equação x⁴ 2x³ 11x² 8x 60 0 são 5 e 3 Vamos encontrar as outras duas raízes Sendo px o polinômio dado podemos fatorálo como px x 5 x 3 qx Como px é divisível por x 5 x 3 podemos dividir px por x 5 e em seguida dividir o quociente obtido por x 3 conforme aprendemos em divisões sucessivas 5 3 1 2 11 8 60 3 1 1 4 12 0 1 0 4 0 Multiplicidade de uma raiz Quando resolvemos a equação do 2º grau x² 10x 25 0 encontramos duas raízes iguais a 5 Usando o teorema da decomposição fatoramos o polinômio dado x² 10x 25 x 5 x 5 x 5² Dizemos então que 5 é raiz de multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação proposta Se a forma fatorada de um polinômio p é px x 4³ x 2 x 1² concluímos que x 4 é raiz com multiplicidade 3 ou raiz tripla da equação px 0 x 2 é raiz com multiplicidade 1 ou raiz simples da equação px 0 x 1 é raiz com multiplicidade 2 ou raiz dupla da equação px 0 De modo um pouco mais formal dizemos que r é uma raiz de multiplicidade m m 1 da equação px 0 se px x rᵐ qx com qr 0 Notemos que 1º px é divisível por x rᵐ 2º A condição qr 0 significa que r não é raiz de qx e garante então que a multiplicidade da raiz r não é maior que m Exemplo Vamos resolver a equação x⁴ 9x³ 23x² 3x 36 0 sabendo que 3 é raiz dupla Seja px o polinômio dado temos px x 3 x 3 x r₃ x r₄ isto é px x 3² qx Fazendo a divisão de px por x 3² obtemos qx 3 3 1 9 23 3 36 3 1 6 5 12 0 1 3 4 0 255 Raízes Complexas Teorema Se um número complexo 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 com 𝑏 0 é raiz de uma equação com coeficientes reais então seu conjugado ҧ𝑧 𝑎 𝑏𝑖 também é raiz dessa equação Exemplos 257 Exercícios 1 Resolva em ℂ cada equação seguinte e em seguida fatore o polinômio dado a 𝑥2 8𝑥 25 0 b 𝑥3 𝑥2 2𝑥 0 2 Duas das raízes da equação 𝑥4 𝑥3 7𝑥2 𝑥 6 0 são 1 e 2 Encontre o conjunto solução dessa equação 3 Sabendo que a equação 3𝑥3 5𝑥2 𝑥 𝑚 0 apresenta 1 como raiz dupla a Determine 𝑚 b Encontre a outra raiz dessa equação 1 Se uma equação com coeficientes reais tem como raízes simples 3 2i e 1 i então necessariamente duas outras raízes são 2i e 1 i pelo teorema das raízes complexas Assim o menor grau que essa equação pode ter é 5 258 Relações de Girard São relações entre os coeficientes de uma equação e suas raízes e constituem uma ferramenta importante na resolução de equações quando conhecemos alguma informação sobre suas raízes 2 Vamos resolver a equação x³ 3x² 5x 39 0 sabendo que 3 2i é uma de suas raízes Observemos de início que se trata de uma equação com coeficientes reais Como 3 2i é raiz podemos afirmar que 3 2i também é raiz e o polinômio dado é divisível por x 3 2ix 3 2i x 3² 2i² x² 6x 13 A outra raiz vem de x 3 0 ou seja x 3 S 3 2i 3 2i 3 Equação de 3º grau Sejam r₁ r₂ e r₃ as raízes de equação ax³ bx² cx d 0 com a 0 Temos ax³ bx² cx d a x r₁x r₂x r₃ Sejam x₁ e x₂ as raízes da equação x² x 4 0 Calcular A x₁ x₂ Resolução x₁ x₂ ba 11 1 B x₁x₂ Resolução x₁x₂ ca 41 4 C 1x₁ 1x₂ Resolução 1x₁ 1x₂ x₂ x₁ 14 D x₁² x₂² Resolução x₁ x₂ 1 Elevando ao quadrado os dois membros temos x₁ x₂² 1² x₁² 2x₁x₂ x₂² 1 x₁² 24 x₂² 1 x₁² x₂² 7 x³ ba x² ca x da x³ r₁ r₂ r₃x² r₁r₂ r₂r₃ r₁r₃x r₁r₂r₃ onde Sejam x₁ x₂ e x₃ as raízes da equação 2x³ 6x² 2x 1 0 Calcular A x₁ x₂ x₃ Resolução x₁ x₂ x₃ ba 62 62 3 B x₁x₂ x₁x₃ x₂x₃ Resolução x₁x₂ x₃ x₂x₃ ca 22 1 C x₁x₂x₃ Resolução x₁x₂x₃ da 12 12 D 1x₁ 1x₂ 1x₃ Resolução 1x₁ 1x₂ 1x₃ x₂x₃ x₁x₃ x₁x₂x₁x₂x₃ 12 E x₁² x₂² x₃² Resolução x₁ x₂ x₃ 3 Elevando os dois membros ao quadrado temos x₁ x₂ x₃² 3² x₁² x₂² x₃² 2x₁x₂ x₁x₃ x₂x₃ 9 x₁² x₂² x₃² 21 9 x₁² x₂² x₃² 7 r₁ r₂ r₃ ba Duas das raízes da equação x⁴ 11x³ 42x² 14x p 0 em que p é um coeficiente real são 2 e 5 3i Vamos encontrar seu conjunto solução bem como o valor de p Como a equação tem coeficientes reais uma outra raiz é 5 3i Usando a 1ª relação de Girard soma das raízes vem 2 5 3i 5 3i r₄ ba 12 r₄ 11 r₄ 1 Escrevendo a última relação produto de todas as raízes vem 2 5 3i 5 3i 1 ea 68 p1 p 68 e o conjunto solução é S 2 5 3i 5 3i 1 r₁r₂ r₂r₃ r₁r₃ ca Exercícios 265 Pesquisa de Raízes Racionais Teorema Seja a equação polinomial de coeficientes inteiros 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑎𝑛1𝑥𝑛1 𝑎1𝑥 𝑎0 0 com 𝑎𝑛 0 Se o número racional irredutível 𝑝 𝑞 é raiz dessa equação então 𝑝 é divisor de 𝑎0 e 𝑞 é divisor de 𝑎𝑛 r₁r₂r₃ da Assim se r s e t são as raízes da equação x³ 4x² 5x 8 0 então Exemplo r s t ba 41 4 Assim a única raiz racional dessa equação é 13 268 Exercício Resolva as equações a 𝑥3 7𝑥2 7𝑥 15 0 b 2𝑥4 9𝑥3 4𝑥2 21𝑥 18 0 c 𝑥3 2𝑥2 1 0 d 𝑥3 2𝑥2 5𝑥 2 0 r s r t s t ca 51 5 r s t da 81 8 Equação de grau n Seja a equação aₙxⁿ aₙ₁xⁿ¹ a₁x a₀ 0 com aₙ 0 e r₁ r₂ rₙ suas raízes Através de raciocínio análogo aos anteriores vem r₁ r₂ rₙ aₙ₁aₙ soma das n raízes r₁ r₂ r₁ r₃ r₁rₙ₁ aₙ₂aₙ soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas r₁ r₂ r₃ r₁ r₂ r₄ rₙ₂rₙ₁rₙ aₙ₃aₙ soma dos produtos das raízes tomadas três a três r₁ r₂ rₙ 1ⁿ a₀a₁ produto das n raízes