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Esta tarefa deve ser resolvida observando a escrita matemática rigor matemático numa folha e posteriormente escanear a resolução para anexar em arquivo pdf A tarefa está descrita abaixo QUESTÃO Considere o conjunto V R2 x1 y1 x2 y2 2x1x2 y1 y2 αx y x α2 y De acordo com os 8 axiomas de espaço vetorial verifique se o conjunto V é um espaço vetorial sobre R Caso o conjunto V não seja um espaço vetorial indique o axioma que não é atendido Verificação de Espaço Vetorial Enunciado Considere o conjunto V R2 x1 y1x2 y2 2x1x2 y1 y2 αx y x α2y Verifique se o conjunto V é um espaço vetorial sobre R de acordo com os 8 axiomas Caso não seja indique quais axiomas não são atendidos Resolução Vamos verificar cada um dos 8 axiomas de espaço vetorial 1 Associatividade da Adição Para quaisquer x1 y1 x2 y2 x3 y3 V x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 y1 2x2x3 y2 y3 2x12x2x3 y1 y2 y3 4x1x2x3 y1 y2 y3 x1 y1 x2 y2 x3 y3 2x1x2 y1 y2 x3 y3 22x1x2x3 y1 y2 y3 4x1x2x3 y1 y2 y3 Axioma satisfeito 2 Comutatividade da Adição Para quaisquer x1 y1 x2 y2 V x1 y1 x2 y2 2x1x2 y1 y2 x2 y2 x1 y1 2x2x1 y2 y1 2x1x2 y1 y2 Axioma satisfeito 1 3 Elemento Neutro da Adição Procuramos ex ey tal que x y V x y ex ey 2xex y ey x y Isso implica 2xex x ex 12 e y ey y ey 0 Verificando x y 12 0 2x12 y 0 x y Axioma satisfeito com elemento neutro 12 0 4 Elemento Inverso da Adição Para x y V procuramos x y tal que x y x y 12 0 Isso implica 2xx y y 12 0 x 14x e y y Para x 0 temos 0 12 que é falso Axioma NÃO satisfeito para vetores 0 y 5 Distributividade da Multiplicação por Escalar Para α R e x1 y1 x2 y2 V αx1 y1 x2 y2 α2x1x2 y1 y2 2x1x2 α2y1 y2 αx1 y1 αx2 y2 x1 α2 y1 x2 α2 y2 2x1x2 α2 y1 α2 y2 2x1x2 α2y1 y2 Axioma satisfeito 6 Distributividade em Relação à Adição de Escalares Para α β R e x y V α β x y x α β2y x α2 2αβ β2y α x y β x y x α2y x β2y 2x2 α2 β2y Os resultados são diferentes Axioma NÃO satisfeito 7 Compatibilidade da Multiplicação por Escalar Para α β R e x y V α β x y α x β2y x α2β2y αβ x y x αβ2y x α2β2y Axioma satisfeito 8 Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar Para x y V 1 x y x 12y x y Axioma satisfeito Conclusão O conjunto V não é um espaço vetorial porque viola os seguintes axiomas Axioma 4 Existência do elemento inverso não existe para vetores da forma 0 y Axioma 6 Distributividade em relação à adição de escalares 3
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Esta tarefa deve ser resolvida observando a escrita matemática rigor matemático numa folha e posteriormente escanear a resolução para anexar em arquivo pdf A tarefa está descrita abaixo QUESTÃO Considere o conjunto V R2 x1 y1 x2 y2 2x1x2 y1 y2 αx y x α2 y De acordo com os 8 axiomas de espaço vetorial verifique se o conjunto V é um espaço vetorial sobre R Caso o conjunto V não seja um espaço vetorial indique o axioma que não é atendido Verificação de Espaço Vetorial Enunciado Considere o conjunto V R2 x1 y1x2 y2 2x1x2 y1 y2 αx y x α2y Verifique se o conjunto V é um espaço vetorial sobre R de acordo com os 8 axiomas Caso não seja indique quais axiomas não são atendidos Resolução Vamos verificar cada um dos 8 axiomas de espaço vetorial 1 Associatividade da Adição Para quaisquer x1 y1 x2 y2 x3 y3 V x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 y1 2x2x3 y2 y3 2x12x2x3 y1 y2 y3 4x1x2x3 y1 y2 y3 x1 y1 x2 y2 x3 y3 2x1x2 y1 y2 x3 y3 22x1x2x3 y1 y2 y3 4x1x2x3 y1 y2 y3 Axioma satisfeito 2 Comutatividade da Adição Para quaisquer x1 y1 x2 y2 V x1 y1 x2 y2 2x1x2 y1 y2 x2 y2 x1 y1 2x2x1 y2 y1 2x1x2 y1 y2 Axioma satisfeito 1 3 Elemento Neutro da Adição Procuramos ex ey tal que x y V x y ex ey 2xex y ey x y Isso implica 2xex x ex 12 e y ey y ey 0 Verificando x y 12 0 2x12 y 0 x y Axioma satisfeito com elemento neutro 12 0 4 Elemento Inverso da Adição Para x y V procuramos x y tal que x y x y 12 0 Isso implica 2xx y y 12 0 x 14x e y y Para x 0 temos 0 12 que é falso Axioma NÃO satisfeito para vetores 0 y 5 Distributividade da Multiplicação por Escalar Para α R e x1 y1 x2 y2 V αx1 y1 x2 y2 α2x1x2 y1 y2 2x1x2 α2y1 y2 αx1 y1 αx2 y2 x1 α2 y1 x2 α2 y2 2x1x2 α2 y1 α2 y2 2x1x2 α2y1 y2 Axioma satisfeito 6 Distributividade em Relação à Adição de Escalares Para α β R e x y V α β x y x α β2y x α2 2αβ β2y α x y β x y x α2y x β2y 2x2 α2 β2y Os resultados são diferentes Axioma NÃO satisfeito 7 Compatibilidade da Multiplicação por Escalar Para α β R e x y V α β x y α x β2y x α2β2y αβ x y x αβ2y x α2β2y Axioma satisfeito 8 Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar Para x y V 1 x y x 12y x y Axioma satisfeito Conclusão O conjunto V não é um espaço vetorial porque viola os seguintes axiomas Axioma 4 Existência do elemento inverso não existe para vetores da forma 0 y Axioma 6 Distributividade em relação à adição de escalares 3