Autovalores e Autovetores - Definição, Cálculo e Interpretação Geométrica

AUTOVALORES E AUTOVETORES É uma transformação especial T V W I Tv v Onde é o autovalor escalar e v é autovetor se v 0 Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então II Tv Av Igualando I e II temse Av v ou Av v 0 que resulta no sistema homogêneo III A I v 0 Onde A é n x n v 0 é sempre solução trivial Os vetores v 0 para os quais existe um que resolve a equação III são chamados de autovetores da matriz A e os valores de que conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores Para que a equação III tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero ou seja 1 detA I 0 o que resulta em um polinômio de grau n em conhecido como polinômio característico As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor O autovalor será então associado ao autovetor encontrado Na verdade o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação III dado o respectivo autovalor Logo qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor Portanto Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T temos autovalores de T ou de A são as raízes da equação detA I 0 autovetores v de T ou de A para cada são as soluções da equação Av v ou A Iv 0 2 Interpretação geométrica u é autovetor de T pois R Tu u v não é autovetor de T pois não R Tv v 3 Exemplo 1 Considere o operador linear definido no exemplo anterior T R2 R2 x y 4x 5y 2x y autovalores de matriz canônica de T Resolvemos a equação característica det A I 0 det A I 0 4 1 10 0 2 5 6 0 1 1 e 2 6 4 autovetores de A ou de T Para cada autovalor encontrado resolvemos o sistema linear A Iv 0 Então y y sendo um de seus representantes o vetor v1 1 1 Então y y sendo um de seus representantes o vetor v2 1 5 Exemplo 2 Determinar os autovalores e autovetores do operador linear T 3 3 Txyz 3x y z x 5y z x y 3z Em forma matricial Cálculo numérico 0 36 0 logo 1 0 1 10 0 logo 1 1 2 0 0 logo 1 2 Dividindo por 2 2 2 9 18 0 2 6 e 3 3 Os autovalores são 1 2 2 6 e 3 3 Para achar os autovetores basta substituir cada um dos autovalores na equação A I v 0 Para 1 2 Escalonando 6 Logo v1 x0x x 101 Assim qualquer múltiplo do vetor 101 é um autovetor que tem como autovalor associado 1 2 v1 101 Para 2 3 Assim v2 xxx x 111 v2 111 ou seus múltiplos Para 3 6 v3 z2zz z 121 7 v3 121 ou seus múltiplos Observações Se é um autovalor de A o conjunto S de todos os vetores v V inclusive v nulo associados a é um subespaço vetorial próprio de V A matriz dos autovetores é chamada MATRIZ MODAL Exemplo 3 equação característica detA I 0 autovalores de A os valores não são reais A possui autovalores complexos igualmente válidos para nós 8 O procedimento para se determinar os autovetores é o mesmo Assim é possível encontrar os autovetores associados a estes autovalores Referências Bibliográficas httpwwweneunbbrflaviaaula16adldoc httpwwwstamfordprobrARQUIVOS2002Algebradoc BOLDRINI C Álgebra Linear 3ª ed Editora Harbra 1986 9