Passar Pra o Excel Todas as Fórmulas do Capítulo 3

no text detected ÃLCU10 EDETALHAMENTO DE ESTRUTURAS USUAIS DE CONCRETO ARMADO SEGUNDO A NBR 61181014 41 EDIÇÃO I I t I t REITOR Targino de Araújo Fi VICERlITOR Adilson 1 A de Oliveira PIRllTOll DA BPUPSCAR OswaJdo Mário Serra Truzzi EdVFSCar Editora da Universidadc Feêfmu de São Carlos CGNSELHO BPITOµ Ana Claudia lcssinp Jos Eduudo dos Santos Marco Giullctti Nivlld Nae Oswaldo Mário Serra Truzzi Presidente Roseli odrigucs de Mcllo Rubismar Stolf Scrgio Pripas Vanice Maria Oliveira Sargcntini UNIVERSlDADe PEDEltAL De SÃO CAIUOS Editaria Unilllnldade lallnl de Slo ctm VII Wahlnpa Lula km IJ Slo Cmtm SR Bnlll 16 l107 br UUFSCar book ÃLCULO E DETALHAMENTO DE ESTRUTURAS UsuA1s DE CONCRETO ARMADO SEGUNDO A NBR 61182014 Roberto Chust Carvalho JassQn Rodrigues de Figueiredo Filho 41 EDIÇÃO 4 EOUfSCar São Carlos 2014 e 2001 Roberto Oiust úrvalho e Jàsson Rodrigues de fpredo Filho Cpa Gustvo Duarte ProjclO grdfi Viror Massola Gonzales Lopes Prcparof4o e rcvWJll de luto Marcelo Dias Saes Peres Danida Silva Guanais Costa Audrq Ludmllla do Naldmenlo Miasso Edllorafdo clclr6niUJ Guilherme fase Garbuio Martinez 11 edição 2001 21 edição 2004 l edição 2007 Ficha catalogralica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSür C rva I ho Roberto Chus t Ollc4 Clculo e detalhnto de estruturo u1uah de concreto segundo NBA 61182014 Roberto Chust Irvalho Jasson Rodrigues dl Ftgtredo Filho 4ed Slo Carlos EcllfSCor 2014 415 p ISBN 97876003564 J Concnto do 2 Estnituras J Titulo CID 12418341 20 CDU 112401245 Todao m dlmtot io Ncnluima pmru data obn pode rqoroduzidll ou truwnldda por qualquer bma eOla mdm clou6aJm 1111 i6cdllkm IDdulDdo flloalpi e ou uqulYlâ em qualqller llllaaa de buim de dUal pcimJmo 111 do titular do direito outonl Sumário P r e f á c io à q u a r t a e d iç ã o 13 P r e f á c io à s e g u n d a e d iç ã o 15 P r e f á c io à p r im e ir a e d iç ã o 17 C a p ít u l o i I n t r o d u ç ã o a o e s t u d o da s e s t r u t u r a s d e c o n c r e t o a r m a d o 19 11 C onceitos fundamentais19 12 Vantagens e desvantagens do concreto arm ado 21 121 Vantagens21 122 Desvantagensi 22 13 Pequeno histórico 22 14 Sistemas e elementos estruturais 23 15 Normas técnicas27 f 16 Características e propriedades do concreto29 161 Concreto fresco 30 1611 Consistência30 1612Trabalhabilidadê 30 1613 Homogeneidade 31 1614 Adensamento 31 1615 Início do endurecimento pega do concreto 32 1616 Cura do concreto 32 162 Concreto endurecido33 1621 Resistência ã compressão34 1622 Resistêndacaracterística do concreto ã compressão34 1623 Resistência do concreto ã tração 36 1624 Diagramas tensãodeformação e módulo de elasticidade do concreto38 16241 Módulo de elasticidade 38 16242 Diagramas tensãodeformação na compressão segundo a ABNT NBR 61182014 40 16243 Diagramas tensãodeformação tu tração segundo a ABNT NBR 6118201442 1625 Módulo de tririAaAr transversal e coeficiente de Poisson42 1626 Diagrama tensãodeformação com carga c descarga ensaio rápido42 17 Características do aço43 18 Dimensionamento cálculo de uma estrutura 46 181 Métodos clássicos 47 182 Métodos de cálculo na ruptura ou dos estados limites47 1821 Valores característicos das resistências 49 1822 Valores de cálculo das resistências 49 1823 Valores de cálculo das tensões resistentes49 1824 Valores de cálculo da resistência do concreto 49 1825 Coeficientes de ponderação das resistências51 1826 Estados limites 52 183 Ações 53 1831 Ações permanentes 54 1832 Ações variáveis 54 1833 Ações excepcionais56 1834 Valores representativos das ações 56 1835 Valores dc cálculo 57 184 Coeficientes de ponderação das ações 57 1841 Coeficientes de ponderação para os estados limites últimos 58 1842 Coeficientes dc ponderação para os estados limites de serviço60 185 Combinações das ações 60 1851 Combinações újtimas 61 1852 Combinações de serviço 62 186 Solicitações63 19 Qualidade das estruturas64 110 Durabilidade das estruturas de concrefo65 111 Cuidados a tomar em um projeto para garantir a durabilidade67 A d en d o 67 C a p ít u l o a P a v im e n t o s d e e d if ic a ç õ e s c o m l a je s n e r v u r a d a í UNIDlREGIONAIS DE VIGOTAS PRÉMOLDADASi 73 21 Introdução 73 2 2 Descrição das lajes nervuradas com vigotas prém oldadas 73 2 3 A ção da laje nas vigas do p a v im e n to 79 2231 Estudo preliminar 79 232 Demais casos analisados e resultados obtidos 86 233 Análise dos resultados 87 234 Conclusões 88 24 Determinação das flechas nas lajes prémoldads 90 25 M omento fletor c modelo para o cálculo da armadura 90 26 Verificação ao cisalhamento92 27 Critérios para escolha da laje prém oldada 94 271 Ações atuantes na laje 94 272 Determinação do tipo de laje95 28 Critérios para a escolha da altura de vigas de pavimentos 100 29 Considerações finais101 Exemplo 1 102 Exemplo 2 103 Exemplo 3 104 Exemplo 4 105 Adendo 1 108 C a p ít u l o 3 C á lc u lo da a r m a d u r a d e f l e x ã o 111 31 Introdução 111 32 Tipos de flexão 112 33 Processo de colapso de vigas sob tensões normais Í13 34 Hipóteses básicas para o cálculo115 35 Definições e nomenclatura 119 36 Domínios de deformação naseção transversal 120 37 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal126 371 Equadonamento para concretos de classe até C50 126 Exemplo 1 130 372 Equadonamento para concretos de qualquer classe131 Exemplo 2 é o exemplo 1 com resistência característica do concreto fck 90 M Pa132 373 Cálculo do máximo momento resistente da seção133 Exemplo 3 134 374 Condições de duetilidade cm vigas e redistribuição de momentos135 373 Cálculodo máximo momento resistente da seção conhedda a armadura longitudinal 136 Exemplo 4 137 374 Cálculo da altura mínima de uma seção com armadura simples138 Exemplo 5 139 375 Fórmulas adimensionais para dimensionamento de seções retangulares 140 Exemplo 6 143 376 Cálculo de seções com armadura dupla 144 Exemplo 7 146 377 Cálculo de armadura em vigas de seção transversal em forma de T 147 Exemplo 8 151 Exemplo 9 152 Exercícios resolvidos 154 Exercícios propostos 161 Adendo A 163 Adendo B 169 C a p ít u l o 4 D e t a l h a m e n t o da a rm a d u r a l o n g it u d in a l f l e x ã o na seção TRANSVERSAL E ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 173 41 Introdução173 42 Armadura longitudinal mínima e máxim aem uma seção 175 421 Armadura mínima I175 422 Armadura máxima 176 43 Armadura concentrada 176 44 Armadura de pele177 45 Espaçamentos entre as barras178 46 Proteção e cobrim ento179 47 Análise da fissuração em peças de concreto armado 181 471 Abertura máxima de fissurasi 181 472 Controle da fissuração pela limitação da abertura estimada das fissuras 182 473 Controle da fissuração sem a verificação da abertura de fissuras184 48 Verificação do estado limite de deformação excessiva 1185 481 Deslocamentos limites 185 482 Cálculo de deslocamentos em vigas 188 4821 Características geométricas de seções no estádio 1 192 4822 Características geoiqétricas de seções no estádio I I 195 4823 Efeito da fissuraçao modelo simplificado de Branson para flecha imediata 4824 Efeito da fluência do concreto avaliação da flecha diferida no tempo 200 Exemplo 1 201 Exemplo 2 215 Exemplo 3 219 A dendo 221 C a p ít u l o 5 D e t a l h a m e n t o da a r m a d u r a l o n g it u d in a l ao lo n g o da v ig a 225 51 Introdução 225 52 Quantidade de armadura longitudinal ao longo da viga 225 53 Ancoragem por aderência da armadura longitudinal 228 531 Aderência entre concreto e aço228 5311 Determinação da tensão de aderência229 5312 Verificação da aderência entre concreto e armadura 230 5313 Regiões favoráveis ou desfavoráveis quanto à aderência231 5314 Valores das resistências de aderência231 532 Ancoragem das barras 232 5321 Comprimento básico de ancoragem232 Exemplo 1 233 5322 Comprimento necessário de ancoragem234 5323 Armadura transversal na ancoragem234 5324 Ancoragem de estribos235 533 Ganchos de ancoragem nas extremidades das barras235 5331 Ganchos da armadura de tração235 Exemplo 2 236 Exemplo 3 238 5332 Ganchos dos estribos239 54 Emendas de barras 240 541 Proporção das barras emendadas240 542 Comprimento de traspasse de barras isoladas241 543 Armadura transversal nas emendas por traspasse em barras isoladas 242 55 Deslocamento do diagrama de momentos fletores decalagem243 551 Deslocamento decalagem do diagrama de momentos fletores de acordo com o modelo I 245 552 Desloemento decalagem do diagrama de momentos fletores de acordo com o modelo II247 56 Ancoragem da armadura de tração junto aos apoios 247 57 Engastamento vigapilar 248 58 Furos e aberturas em vigas250 581 Furos que atravessam as vigas na direção de sua largura250 582 Furos qúe atravessam as vigas na direção da altura250 583 Canalizações embutidas 251 Exemplo 4 roteiro para detalhamento252 A d en d o 267 C a p ít u l o 6 ClSALHAMENTO CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL 271 6 Í Introdução 271 62 Tensões normais e tangenciais em uma viga 274 63 Tensões principais276 6 4 Analogia de treliça de M örsch 279 641 Funcionamento básico e elementos constituintes279 642 Cálculo da armadura transversal282 Exemplo 1 287 65 Verificação das bielas de concreto comprimidas 288 651 Cálculo das tensões de compressão a c nas bielas de concreto 288 652 Valores limites das tensões de compressão nas bielas 290 66 Treliça generalizada de M örsch291 67 Estado limite último de elementos lineares sob força cortante A B N T N B R 61182014292 671 Hipóteses básicas 292 672 Verificação do estado limite último 292 6721 Modelo de cálculo I 293 Exemplo 2 296 Exemplo 3 J 298 Exemplo 4 299 6722 Modelo de cálculo II 300 Exemplo 5 302 68 Prescrições para o detalhamento da armadura transversal304 681 Quantidade mínima de estribos 304 682 Características dos estribos306 683 Constituição da armadura transversal306 684 Espaçamento entre elementos ck armadura transversal306 685 Cargas próximas aos apoios 307 Exemplo 6 307 A dendo 311 C a p ít u l o 7 Pa v im e n t o s d e e d if íc io s c o m l a je s m a c iç a s 319 71 Introdução319 72 M étodos de cálculo 321 73 M étodo elástico321 731 Hipóteses de cálculo322 732 Equação fundamental 323 733 Processos de resoluçãoJ 325 734 Cálculo por diferenças finitas325 735 Processo dos elementos finitos 325 736 Processo de grelha equivalente 326 737 Determinação de esforços e deslocamentos por meio de séries 327 7371 Fundamentos do processo327 7372 Utilização de quadros 330 73721Determinação de flechas 331 7372 2 Determinação dos momentos máximos nas direções x e y 333 74 Roteiro para o cálculo de lajes de concreto armado 336 741 Discretização do pavimento336 742 Prédimensionamento da altura das lajes 338 743 Cálculo das cargas atuantes 340 744 Verificação das flechas340 745 Cálculo dos momentos 341 746 Determinação das armaduras longitudinais 341 747 Reação das lajés nas vigas341 748 Verificação de lajesao dsalhamento347 7481 Lajes sem armadura para fbrça cortante 347 7482 Lajes com armadura para força cortante item 1932 348 749 Aberturas em lajes 349 7410 Vãos efetivos deJajes e placas50 7411 Detalhamento das armaduras350 74111 Espaçamento entre barras350 74112 Armaduras longitudinais máximas e mínimas351 74113 Armadura de distribuição e secundária de flexão 352 74114 Espaçamento e diâmetro máximo 352 74115 Quantidade e comprimentos mínimos de armaduras em bordas livres e aberturas 352 74116 Armadura de tração sobre os apoios 352 74117 Armadura nos cantos de lajes retangulares e outras recomendações353 Exemplo 1 354 Adendo 369 A n exo i F lexão de l a je s n ervurada s u n id ir e c io n a is c o n tín u a s com V1GOTAS PRÉMOLDADAS 375 Exemploi 380 A n exo 2 Q u adros de vãos m á x im o s e c o n tr a fl ec h a s para la jes com v ig o ta s prté m o ld a d a s 391 A n exo 3 C o n sid era ç õ es so b r e o cálculo de l a je s m a ciça s com a n a lo g ia d e g r e l h a 399 A31 Introdução399 A32 Processo de analogia de grelha 399 A33 Situações analisadas401 R efe r ê n c l a s 4 0 9 PREFÁCIO A QUARTA EDIÇÃO Depois de mais treze anos três revisões várias reimpressões e mais dedezoito mil exemplares vendidos esta publicação foi mais uma vez revista resultando na sua quarta edição Foram mantidos o formato e a sequência das edições anteriores Para facilitar o uso e a aplicação dos assuntos contidos foram criados adendas para cada capítulo em que se reúnem as fórmulas empregadas Uma revisão arripla do texto e exercícios foi realizada para adaptar o conteúdo às prescrições da norma ABNT NBR 61182014 Agra o texto contempla o cálculo de elementos m que se usa concreto de classes C50 a C90 Continua sendo um livro didático destinado a alunos de cursos de gaduação em engenharia civil e profissionais que desejem aprofundar conhecimentos no eUculo e detalhamento de estruturas de concreto armado Os autores agradecem a todos que direta ou indiretamente participaram da confec ção dest obra sem se ésquecer dos colegas docentes e funcionários do Departamento de Engenharia Civil da direção e funcionários da Editora e da própria Universidade Federal de São Carlos Rohcrto Chust Caralho asson Rodrigrw dr Figuciredr Filho PREFACIO A SEGUNDA EDIÇÃO O conteúdo deste livro sofreu algumas alterações e correções em relação à edição anterior tendo sido acrescentados anexos e outros exemplos Continua sendo um livro didático destinado a alunos de cursos de graduação em Engenharia Civil e a profissio nai que desejarem se aprofundar em conhecimentos sobre cálculo e detalhamento de estruturas de concreto ado Entretanto a principal motivação de apresentar uma nova edição foi a entrada em vigor da NBR61182003que passou a tervalidide em marçode 2003 Dessa forma fo ram retiradas desta edição todas as referências à versão anterior da NBR 6118 algumas citações foram mantidas quando se julgou oportuno e atualizadas as referências quanto à versão itual na edição anterior o texto estava fundamentado na proposta de f999 Não houve alteração na sequncia de apresentação dos assuntos nem dos capítu los em que se procurou seguii a lógica do projeto de estruturas de edificações usuais Como nóvidade em três anexs sãQ apresentados alguns temas que foram jul gados importantes mas que poderiam comprometer a sequência lógica que se qis conferir aos assuntos se colocados no corpoprincipal do livm Para realizar esta obra os autores continuaram cónrando com o apoio a participa ção e sugestões de colegas docentes e alunos que cursaram as disciplinas deº Construções de Concreto do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos ao longo do tempo Também foi fundamental para esta nova edição a contribuição de monitores na verificação e correção de exercícios e atualização do texto bem coinci a instituições de fomento à pesquisa FAPESP e CNPq que por meio da concessão de auxílios e bolsas de iniciação científica contribuíram para aprofundar alguns dos tópicos A todos os demais que colaboraram os autores agradecem sem esquecer dos cole gas docentes e funcionários d Departamento de Engenharia Civil da direção e dos funcionários da Editora e da própria Universidade Federal de São Carlos 1 Roberto Chust Caroalho assun Rodrigrm dt Figutirtdo Filho PREFÃOO A PRIMEIRA EDIÇÃO Esta publicação é fruto da experiência acadêmica dos autores cm diversas insti tuições de ensino cm cursos de graduação e especialização e da vivência adquirida na participação cm inúmeros projltOS de estruturas de concreto iratase de um livro didático estinado a alunos do curso de engenharia civil e profissionais que desejam aprofundar seus conhecimentos de cálculo e detalhamen to de estruturas de concreto annado São apresentados fundamenros teóricos básicos acompanhados de exemplos práticos A sequência de apresentação dos aSSlntos procurou seguir a lógica do projeto de estrururas de cdificaçõcs usuais O primeiro capítulo cootém um resumo das principais características mecânicas dos materiais concreto e aço assim como noções sobre cómposição de sistemas es truturais de concreto armado É complementado com a introJução de conetitos sobre procedimentos de cálculo estados limites ações e suas combinações No segundo capítulo são estudadas as lajes constituídas por nervuras prémolda das que embora intensamente utilizadas na prática não têm sido abordadas com fre quência cm publicações técnicas Mostrase como consideFar as ações aruantes e como podem ser escolhidos os diversos tipos de lajes alturae armadura Discutese o com portamento das mesmas e como determinar suas açôes nas vigas do contorno daJaje No capitulo 3 é desenvolvida a toria do tado limite ultimo de esgotamento da capacidade resistente para seções transversais ubmeridas i fcôo simples normal São particularmente csrudadas as seções retangulares com armadura simples e dupb e as cm forma de uT O detalhamento da armadura langirudinal na seção transversal e ao longo da viga bem como as verificações de estado limite de serviço fissuração e deformaçào está nos capítulos 4 e 5 A teoria do estado limite último de esgotamento da capacidade resistente devido às solicitações tangcnclais é desenvolvida no sexto capítulo juntamente com o detalha mento da armadura transversai No último capítulo são csrudados a teoria e os processos de cálculo de lajes maci ºças à flexã e o detalhamcnto da annadura resultante Este livro foi escrito inicialmente com base na NB 1180 CákuJo e Execução de Estruturas de Concreto Armado aacscentandose posteriormente as principais con siderações contidas no textobase da nova Nll 1 disponibilizadá em 1999 Faz parte do projeto dosautorei a edição de um segundo volwncque deverá con tei cálculo e detalhamento de pilares cscadas outros tipos d lajes e fundaç saparas e blocos 18 atculo e detalhamento de estrut1m1s usuais de concrêto armado Para a realização desta obra os autores contaram com o apoio participação e su gestões de centenas de alunos que cursaram durante mai5 de uma dcâda as disciplinas de Construções de Concreto 1 2 3 e 4 oferecidas pelo Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos Também foi fundamental a contribuição de monitores das referidas çlisciplinas na verificação e correção de exercícios bem como das instituições de fomento à pesquisa fAPESP e CNPq que por meio da concesdo de auxílios e bolsas de iniciação científica contribuíram para o aprofundmento de algUni ds tópicos constantes do livro princi palmente aqudcs relacionados às lajes com nervuras prtoldadas Destacase particularmente a atuação do desenhista Dirnas Milanetto que ini ciou o trabalho gráfico e do exaluno engenheiro Anderson Manzolli que digitalizou de forma primoroa e cuidadosa amaioria das figuras do trabalho Os autores agradecem a todos sem esquecer os colegs do Departamento de Engenharia Civil da Editora e da própria Ursdadc Federd de São Carlos Roberto Chust Caroalho asson Rodrigu de Figuriredo Filho 1 ÚPTULO 1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 11 CONCEITOS FUNDAMENTAIS O concreto é um material composto de água cimento e agregados Associandose esses materiais o resultado é Pasta cimento água Argamassa pasta agregado niiúdo Concreto argamass agregado graúdo Microconcreto concreto em que o agregado graúdo tem dimensões reduzidas Concreto de alto desempenho considerase em geral o concreto em que a resistência à compressão supera os 50 MPa inicialmente denominado de con creto de alta resistência passou a ser chamado de concreto de alto desempenho devido à melhoria de outras propriedades que principalmente elevam a du bilidade das estruturas para obtêlo é preciso geralmente incorporar micros sílica e aditivos químicoso que não será tratado neste trabalho Cabe destacar que a ABNT NBR 61182014 recémaprovada passa a ser aplicada a concre tos com resistência à compressão de até 90 MPa Como o cimento é um material caro o principal objetivo da utilização do agre gado de maiores dimensões é reduzir os custos sem que a qualidade do material scja muito prejudicada Para utilização esttutuntl o cõncrcto sozinho não é adequado como elemento resistente pois enquanto tem uma bOa resistência à compressão pouco resiste à tra ção cerca de 110 da resistência à compressão embora esse tipo de solicitação quase sempre esteja presente nas estruturas das construções usuais Exemplos clássicos são os elementos fletidos e que em uma mesma seção transversal existem tanto tensões de compressão quanto de tração como na viga da Figura 11 No trecho BC submetido à flexão pura dndendo da inteidade dos esforços atuantes podem ocorrer fissuras minúscula ninas cau5adas por pequena defonnabi lidade e baixa resistência à tração do concreto na parte inferior qÚe está bmetida a tensões normais de tração Essas fissuras fazem com que a capacidade resistente da viga ao momento ftetor seja pequena 20 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado Consequentemente para aumentar a resistência da viga é importante associar o concreto a um material que tenha boa resistência à tração e seja mais deformável sendo mais comum o aço que deve então ser colocado longitudinalmente na região tracionada da peça Dessa maneira os dois materiais concreto aço deverão trabalhar solidariamen te o que é possível devido às forças de aderência entre a superfície do aço e concreto pois as barras de aço tracionadas armadura traciinada só funcionam quando pela deformação do cocreto que as envolve começam a ser alongadas o que caracteriza as armaduras passivas É a aderência que faz com que o concreto armado se comporte como material estrutural Identificamse assim as principais características das estruturas de concreto ar mado concreto e armadura trabalhando em conjunto devido à aderência e à possibi lidade de ocorrência de regiões fissuradas de concreto Estes dois princípios básicos estarão sempre presentes nas discussões e considerações de detalhamento nos próximos capítulos Diagrama dl momento netor J Pa Pa Diagrama de força cortante p0 P i u 1 1 lt li 11 i Figura 11 Comportamento de uma viga de conto sirnplcs1I1cntc apoiada Dependendo do tipo de associação entre a argamass o concreto e o aÇo podese ter a Argamassa armada ou mÍcrocoacreto armado obtidos pela associação da arga massa simples cimento e areia e armadura de pequeno diâmetro ct pouco espaçada LAP 1 1ncroauçao ao esruoo aas estruturas ae concreto armado 21 distribuída uniformemnte em toda a superficie e composta principalmente de fios e telas de aço b Concreto com fibras obtido pela adição de fibras metálicas ou poliméricas durante o preparo do concrto fazendo com que depois de séco o concreto matriz esteja ligado pelas fibras pontes que o atravessam cm todas as direções é empregado em peças com pequenos esforços tais como piso de concreto sobre o solo as fibras servem também para reforçar o combate à fissuração substiruindo uu diminuindo a quantidade de armadura superficial pu estribos necessários nos elemento de con creto armado e Concreto armado obtido por meo d associação entre concreto simples e armadura convenientemente colocada armadura passiva de tal modo que ambos resistam solidariamente aos esforços solicitantes d Concreto protendido obtido por meio da associação entre o concreto simples e a armadura ativa aplicase uma força na armadura antes da an1ação do carregamento na estrutura É interessante ressaltar que o concreto e o aço têm coeficientes de dilatação tér mica próximos a 1 105 C1 e a 12 10s C1 e tamhém que o concreto ao envolver o aço o protege satisfatoriamente em condições no1 mais contra a oxidação e altas temperaturas No caso do concreto protendido a armadura ativa é usada para introduzir forças especiais normalmente de compressão no concreto antes da fase de utilização da es trJtura d ta forma que sejam eliminadas as tensões de tração ou existam ele forma limitada com as cargas de uso serviço A operação de tracionar a armadur ativa é chamada de protensão e confere 1 estrutura um acréscimo de resistência em relação ao concreto armado sob cargas de serviço e ruptura além de impedir o limitar a fissuração 12 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO CONCRETO ARMADO Como todo material que se utiliza para detemúnada finalidade o concreto arma do apresenta vantagens e desvantagens quanto ao seu uso estrutural 12 1 VANTAGENS Apresenta boa resistência à maioria das solicitações Tem boa trabalhabilidade e por isso se adapta a várias formas pcdendo assim ser escolhida a mais conveniente do p0nto de vista estrutural dando maior liberdade ao projtista 22 Calculo e eletalhamento ele Struturas usualS ele concreto armado Permite obter estruturas monolíticas oque não ocorre com as de aço madeira e prémoldadas Existe aderência entre o conqcto já endurcciao e o que é lan çado posteriormente facilitando a transplissão de esforços As técnias de execução são razoavelmente dominadas cm todo o país Em diversas situações pode competir com as estruturas de açó cm termos eo nômicos É um material durável desde que seja bem executado conforme as normas e evitado o uso de aceleradores de pega cujos produtos químicos podem corroer as armaduras Apresenta durabilidade e resistência ao fogo superiores cm relação à madeira e ao aço desde que os cobrimentos e a qualidade do concreto estejam de acordo com as condições do meio em que está inserida a estrutura Possibilita a utilização da prémoldagem proporcionando maior rapidez e faci lidade de execução É resistente a choques e vibrações efeitos té 0 rmicôs atmosféricos e desgastes mecânicos 122 0BVANTAGENS Resulta em elementos com maiores dimensões que o aço o que com seu peso específico elevado y 25 kNm 3 acarreta cm peso próprio muito grande limitando seu uso emdeterminadas situações ou elevando bastante seu custo As reformas e adaptações sãomuitas vezes de dificil execução É bom condutor de calor e som exigindo em casos específicos associação com outos materiais para sanar esses problemas São necessários um sistema de fõrmas e a utilização de escoramentos quando não se faz uso da prémoldagem que geralmente precisam permanecer no local até que o concreto alcance resistência adequada 13 PEQUENO HISTÓRICO É apresentado a segui um resumo cronológico dos fatos mais importantes do 1 início da utilização do concreto armado 1824 o francês J Aspdin inventa o cimento Portland 1855 o francês J L Lambot constrói um barco com argamassa de cimento reforÇada com ferro i86to francês J Monier cnstrói um Vaso de flores de concreto com armadura de arame F Coignet também francês publica os prinópios básicos para as cnstruções em cncrcto ado C 1 lnuçao ao estudo das estruturas de concreto armado 23 1867 J Monier obtém wna patente para seus vasos nos anos setcs obtém outras para tubos placas etc F Coignct apresenta na Exposição Internacional de Paús vigas e tubos de concreto armado 187Jo americano W E Ward constrói cm Nova York wna casa de concreto armado o Wards Castlc que existe até os dias de hoje 1888 Dohring de Berlim obtém uma patente segµndo a qual é possível au mentar a resistência de placas e pequenas vigas por meio de protensão da ar madura com ela aparece pela primeira vez o conceito de protnsão provocada deliberadamente 1900 início do desenvCJlvimento da teoria do concreto armado por Koemn posteriormente Mõrsch desenvolve a teoria iniciada por Koenen com base em numerosos ensaios Os conceitos desenvolvidos constituíramse ao longo e décadse e quase tdo omundo nos fundametos da teoria do concreto armdo que cm seus princÍpios fundamentais são válidos até hoje 1904 são publicadas ria Alemanha as ulnstruções provisórias para preparação execução e ensaio de construções de concreto armado 14 SISTEMAS E ELEMENTOS ESTRUTURAIS Antes de se iniciar o estudo do concreto armado é importante analisar o compor tamento de uma estrutura bem simples a parte da construção que resiste às diversas ações e garante o equilibrio das edificações para que seja feita a disrinção entre sistema estrutural e elemento estrutural Elementos estruturais são peças geralmente com uma ou duas dimensoes pre ponderantes sobre as demais vigas lajes pilares etc que compõem uma estrutura O modo como são arranjados pode ser chamado de sistema estrutural Alguns compor tamentos são dependentes apenas desse arranjo não influindo o material com que são feitos os elementos Uma viga biapoiada com seção transversal na forma de I pode ser executada tanto em aço quanto em concnto armado Na Figura 12 é mostrltdo um pequeno edificio e os elementos componentes de sua estrutura em concnto armado É importante inicialmente antes de abordar os processos que possibilitam o cál culo de uma estrutura entender ainda que simplificadamcnte o processo de produção da mesma É intuitivo perceber que uma estrutura de concreto armado ou mesmo seus elementos depois de pronta deve pesar algunias toneladas ou newtons correspon dentes e que portanto se não liouvcr equipamentos adequados é impossível produzi la de uma só vez temse então de cxecutála por upcdaços ou seja confeccionan do pequenas quantidades de concreto transportandoas aos poucos alguns quilos e dcpositandoas nas fõrmasjá preparadas e com as armaduras posicionadas 24 Qlculo e detalhamento de etruturas usuais de concrto armado Ediflcio com estrutura em concreto armado moldado no local Estrutura com seus elementos componentes Figura 12 Edificio com estrutura em concreto moldado no local e seus elementos Porém se houvcr a necessidade de cxecutâr uin grande número de estrutúras ou elementos em pouco tempo será possível utilizar o mesmo procedimento anterior Não seria mais lógico e interessante fazer diversas peças de maneira simultânea Neste caso cada elemento não poderia ser feito em outro local transportado até a obra e rnlocado cm sua posição final de funcionamento Caso não se disponha de equipa mentos adequados elevação e transporte fôrmas etc seria mais viável adquirilos ou alugálos A resposta a cada urna dessas questõesdepende de muitos fatores e de cada sirua ção mas é possível perceber qucbasicamcritcpodcsc optar poruni entre dois tipos de estruturas as moldadas no local e as pémoldadas No primeiro caso os diversos dementas são moldados concretados no local onde serão trabalhados para isso além das fôrmas deverá haver um sistema de escora mento adequado suporte estrutural Embora seja possível identificar esses elementos não existe uma separação fisica etrc os mesmos Figura 12 No segundo caso os elementos são apenas montados no local definitivo e portan to é praticamente eliminada a necessidade de escoramento Na Figura 13 a mesma edificação da Figura 12 é mostrada agon porém com o sistema estrutural com ele mentos prémoldados Neste caso é mais fácil identificar Of elementos componentes da estrutura pois de fato cada um é produzido de maneira independente De qualquer manein é evidente que as hipóteses de cálculo a empregar na anilise tstrutural deverão levar em conta o tipo de estrutura escolhida CAP 1 llltrôduçao ao estudo das estruturas de concreto armado 25 Edlftclo com estrutura em concreto armado moldado no local Laje Estrutura com seus elementos prémolddos Pilar P2 Estaca Pilar Bloco Estaca Viga Figun ll Esquema do edificio da Figura 12 com elementos prémoldados No caso das estruturas cm concreto armado moldadas no local a interpretação e a análise do comportamento real da estrunua S 0 âo geralmente complexas e difíceis e nem sempre possíveis Por essa razão e importante entender guc para montar modelos físi cos e matemáticos que representem essas estruturas é preciso usar a técnica da discre tização que consiste em desmembrálas em elementos cujos rnmporramcnros possam ser admitidos já conhecidos e de fácil estudo Essa técnica possibilita que se consiga da maneira mais simples possível analisar uma estruturacom resultados satisfatórios No caso das peças prémoldadas qs modelos adotâos n1 discretizaçãJ são mais próximos da realidade pois os elementos são feitos isoladamente com pouca continui dade em suas ligações elas podem ser flexíveis ou semirrígidas dependendo da manei ra como são projetadas e executadas Fica clara agora a principal clifrençaentrc a estrutura com concretagem no local e a prémoldada a primeira desde que tenhã armadura detalhada adequadamente tem comportamento monolífico um só elemento enquanto a segunda em geral não tem monolitismo entre seus elementos Assim no caso das estruturaS préfabrica das seuselementos devem normalmente ser dimensionados como isolados e também para as ações que recebem nas operações de transporte e lançamento Na possibilidade de se op em uma determinada situação Por um sistema pré moldado ainda uma questão devcrt ser resolvida os eicmentos serio produzidos no próprio canteiro nesse será necessário providenciar fônnas ou serão encomenda dos de fabricantes especialiUdos Também nessa situação o é posívd uma resposta 26 Cákulo e deialhamento de estruturas usuais de concretQ llllldo exata mas a tcndcncia atual é empregar estruturas pdmoldadas encomendadas pois para produzilas em canteiro seria preciso um investimento inicial muito grande o que rui maioria das vezes não é compcnsador Portanto qualquer que seja a soluçãq adotada é importante compreender ade quadamente o funcionamento e o comportamento dccada µm dos elementos que for mam o conjunto estrutural Como exemplo veja a estrutura da Figura 14 a mesma da Figura 12 a EslnllUnl em concroto am111do b EJemantos componenles Figura 14 Discntiziçlo da estrururn da Figura 12 A escrumra pode ser considerada como a de uma garagem para carros Figura I l4a cuja discretização pode ser feita daseguinte maneira Figura l4b a laje de con creó plana suporta seu peso os revestimentos e mais alguma cga acidental água da chuva pessoas etc as vigas recebem os esforços da laje placa de cncrcto e os transmitem juntamente com seu próprio peso mais o peso dt parede se houver aos pilarcsDs pilares recebem todas as cargas e as transmitem também com seu peso para as fundações no caso blocos c çstacas Dessa formajá está sendo montado um modelo Bsico de funcionamento do siste ma e para que se possam aplicar s conhecimentos da teoria das estruturas ncccssúio fazer algumas simplificações admitese que as vigas s apoios indcslocávcis na direção vertical para as lajes que os pilares são apoios inclcslocávcis vertical as vigase são considerados de modo simplificado como birrotulados SU2S extremidades as lajes são simplesmente apoiadas ou totalmcnte cogastadas nia vigas u ações nas vigas são unifocmcnte distribuídas etc Note observando I Fitura14b que a viga 1 dcs carrega nos pilares Pl e P4 e a viga 2 no pilares Pl e P2 CfCODtrll a carga atuante no pilar Pl é preciso somar as reações das vigas 1e2 Com essas simplificações é possMl identificar algumas das estruturas estudadas em teoria das estruturas e calcular os orços solicitanta irWcimos nas seções com a ajuda dos conceitos da resistência dos materiais Os processos Bsico e nurcmStico que possibili C 1 lntroduçlo ao estudo das estruturas de concreto armado 27 tam o cálculo e o dctalhamcnto dos dis elementos de conaeto armado cm que fiou dividida a cstrUtura serão abordâdos cm todos os seus aspcctos ncis próximos capítulos Por outro lado com o advento dos computadoCC pessoais e dos programas profis sionais que detalham e geram pranchas de forma e de armação de cálculo estrutural cm muitos casos é possível um estudo global sem o uso da discrctização A Figura 15 mostra a mesma estrutura da Figura 12 adotandose dois modelos para resolvêla No priinciro são usadas barras prUmáti a laje é representada por uma grelha e as vigas e pilarcs por barras prismáticas com seis esforços por ó cndosc fazer a análise cálculo de momentos e deformações da estrutura considerandoa espacial No segundo modelo a laje é rcprcseltada por uma grelha cquivalcritc os esforços da grelha são aplicados no pórtico espacial formado pelos pilares e vigas e que considera o efeito diafragma da laje Há também a possibilidade de se usar Elementos Finitos principalmente para representar a laje Eslrutura com lajll Estrutura unica Estrutwa subflYidlda em duas Ealrulura lridlmenslonal oom Grelha relando Pórtico lridlmensional grelha e pórtico tridimensionei a laje recebe ação da grelha 1 pli p1 l P2j Figura lS Consideração do esquema da estrutura da Figura 12 Concluildo é importante destacar que para determinar o esforço que a fundação transmite ao solo devese efetuar o çálculo quando sé usa a técnica da discretização na seguinte sequência lajes vigas pilares supcrcsttutura e fundações infraestrutura note que o cálculo é efetuado na sequência inversa da consaução 1s NoRMAS ncN1CAS Com o inruito de promavcr uma padronização na confecção de projtos na exe cução e no controle das obras e dos materiais que garanta a segurança adequada e a qualidade do produto final a Associação Brasileira de Normas Técnicas ABNT re gulamenta os procedimentos a serem empregados por meio de normas especificas No caso de estruturas de concrcta concreto aimado protendido e prémoldado u mais importantes ºsão 28 Cálculo e de1alhamento de estruluras usuais de concre10 armado ABNT NBR 61182007 projeto de estruturas de cocreto procedimento ABNT NBR 61182014 projeto de estruturas de concreto proceclimentó cancela e substitui a versão de 2007 ABNT NBR 61201980 versão corrigida de 2000 cargas para cálculo de es rrururas de edificações procedimento ABNT NBR 86812003 versão corrigida de 2004 ações e segurança nas es truturas procedimento ABNT NBR 61231988 versão corrigida 2 de 2013 forças devidas ao ento cm edificações procedimento ABNT NBR 149312004 execução de estruturas de coQcreto procedimento ABNT NBR 90622006 projeto e execução de estruturas de concreto pré moldado ABNT NBR 152002012 projeto de estruturas de concreto em situação de incêndio A8NT NBR154212006 projeto de estrutur resistentes a sismos procedi mento Destacase que a ABNT NBR 611820i4 historicamente conhecida como NB 1 de 2014 substitui a ABNT NBR 61182007 versão corrigida da ABNT NBR 61182004 e esta já havia canceladçi e substinúdo as normas ABNT NBR 61192001 Cálculo e execução de lajes mistas e ABNT NBR 71971989 Projeto de estruturas de concreto pretendido Além disso devido às mudanças havidas na versão da ADNT NBR 6118 em 2003 com relação à de 1980 foi Aecessário revisar a ABNT NBR 7187 1987 Projeto e execução de pontes de concreto armado e protendido proce dimento que passou a ser ABNT NBR 71872003 Projeto de pontes de concreto armado e de concreto pretendido procedimen e a ABNT NBR 86811984 Ações e segurança nas estruturas procedimento que passou a ser ABNT NBR 86812003 Como a ABNT NBR 6118 aborda apenas o projeto estrutural foi necessário também elaborar uma nova norma que trata especificamente da etapa executiva a ABNT NBR 149312004 Execução das estruturas de concreto procedimento A ABNT NBR 6118 defineos critérios gerais e requisitos básiéos que regem o projeto das estruturas de concreto simp1es armado e protendido sejam elas de edificios pontes e viadutos obrâs hidráulicas arcos silos torres portos ou aeroportos estruturas ojfshure etc mas ela deve ser complementada quando for o caso por outras normas brasileiras que estabeleçam critérios para estruturas espcfficas tanto no que se refere ao projeto como a técnicas construtivas não convcncionás Aplicase às estruturas de concretos oonnai com massa especifica seca mor do que 2000 kgmJ não excedendo 2800 kgm3 tanto do grupo 1 de resistência ClO a CSO como do po II CSS a C90 conforme cação da ABNT NBR 8953 Conacto para fins estruturais classificação pela massa específica por grupos de resistência consistência A ABNT CAP 1 lntroduçao ao estudo das estruturas de concreto armado 29 NBR 611 não inclui requisitos exigíveis para ctar os estados limites gerados por certos tipos de ação como sismos impactas explosões e fogo também nesses casos devem ser consuladas as normas cspccificas I Além dessas podem ser utilizados desde que com justificativa alguns regulamen tos internacionais sendo os principais Building Codc Rcquircmcnts for Rcinforced Concrctc normas editadas pelo American Concretc lnstitiltc ACI CEBFIP Modcl Codc Comitc EuroInternacional du Beron que sintetiza o desenvolvimento técnico e científico de análise e projeto de estruturas de concreto UROCODE que regulamenta o projeto de estruturas de concreco Este livro cm todo o seu conteúdo está de acordo com a ABNT NDR 6118 de 2014 e com todas as demais que lhe são complementares 1 6 ARACTERISTICAS E PROPRIEDADES DO CONCRETO O concreto é obtido por meio da mistura adequada de cimento agregado fino agregado graúdo e água Em algumas situações são incorporados produtos químicos ou outros componentes como microssílica polímeros etc As adições têm a finalidade de melhoraralgumas propriedades como aumentar trabalhabiüdade e a resistência e retardar a velocidade das reações químicas que ocorrem no concreto As diversas características que o concreto endurecido deve apresentar paa que possa ser utilizado dependem fundamentalmente do planejamento e dos cuidados na sua execução O plancjamcnto consiste cm definir as propriedades desejadas do con creto analisar e escolher os materiais existentes ou disponíveis estabelecer uma meto dologiapara definir o traço proporçã entre os componentes os equipamentotpar1 a mistura o transporte o adcnsamcnto e a cura O objetivo aqui não é fornecer orientações gerais sobre a tecnologia de projeto e ccução do concreto mas apenas apresentar alguns conceitos importntes para que se detalhar uma estrutura sejamespecificadas e exigidas tolerâncias a se observar na construção dos dementas de concreto armado Há uma tendência entre prajcstas calculistas e engenheiros de obras em se pre ocupar apenas com a resistência à compressão do concreto obtida de ensaios com corpos de prova cilíndricos A resistncia à compressão geralmente é usada como controle de fabricação e admitese que forneça todas as informações relativas à resis tncia e à deformabilidade do conacto Tal pratica na verdade revela a fulta de um conhecimento maior do material ou a impossibilidade de executar outros ensaios por fatores financeiros ou por não m disponíveis 30 CAicuio e detalhamento de emuturas usuais de con armado 1 6 1 CONCRETO FRESCO As principais propriedades do concreto fresco são a consistncia a irabalhabi lidadc e a homogeneidade O concreto mesmo depois de endurecido é um material composto de elementos cm todas as fases ou seja gases líquidos gel e sólidos carac terizandose como cssencialJnentc heterogêneo O objetivo do preparo do concreto cs trurwal é obter um material predominantemente sólido com grande rcsistencia e com poucos espaços vazios É obtido pela adequada hidritação do cimento de modo que a pasta rcsulcante possa envolver e aderir satisfatoriamente os sólidos prcsentC Uma etapa particularmente importante na fabricação do concreto e na moldagem da cstrun1ra e que interfere sensivelmente nas suas caractensticas finais é o adensa i mcnto a que ele é submetido de modoa ocupar todos os espaços da fôrma sem deixar vazios e sein que haja asegregação dos seus materiais comnentcs Outro fator que interfere nas propriedades do cncto é na qualidade e durabilidade da cstrutwa é a cura a que ele deve ser submetido logo após o adensamcnto e ipício da pega 1611 Cqnsistênda A primeira propriedade do concreto fresco que deve ser considerada é a sua con sistência Consistência corresponde à maior ou menor capacidade que o concreto fresco tem de se deformar está relaciofada ao processo de transporte lançamento e adensa mento do concreto e varia em geral com a quantidad de áa empregada granulome tria dosagregados e pela presença de produtos químicos específicos Concretos com menor consistência devem sêr empregados em elementos com alta taxa d armadura que apresentam maior dificuldade de adensamcnto Não havendo grande quantidade de armadura nas peças é melhor produzir concretos com maio coruiscência e cm principio com menor quantidade de água Nas peças com eixos ou superfkies inclinadas tais como escadas e sapatas o concreto deve ter consistência que garanti a forma adequada das peças e neste caso ela deve ser menor Uma maneira de medir a consistência do cncrctoº é por meio do babcamento que uma quantidade predeterminada de massa colocada cm um molde metálico nonnall zado de forma tronco cônica terá quando o molde for retirado a medida da deforma ção vertial é chamada de abatimento ou slumt A determinação da consistmcia pelo abatimento do tronco de cone é regulamentada pela ABNT NBR NM 671998 De manclla geral para as peças de concreto armado de pequenas cdiDcaçõcs por terem pequenas tax2s de armadura são especificados conactos pm Vlllora baixos de aba timento sendo ncccssirio cm alguns casos para um bom adcqnmcnto o uso de produtos químicos que diminuem por exemplo o atrito entre as partiulas d concreto 1612 Trabllhabllidade Um concreto com slump ãlto é cm geral fácil de ser lançado e adensado n do considerado portanto deboa trabalhabiJdade Ó conceito de trabalhabilidade de CAI 1 Introdução ao estudo das estruturas de concreto armado 31 um concreto está ligado basicamente à mancira de efetuar seu adcns311cnto Existem atualmente os concretos chamados autoadcnsávcis que são quase fluidos e não neces sitam cm princípio de nenhuma energia de adcnsamcnto para formar um conjunto homogênco e com caractcósticas de resistência requeridas Esses copcrctos são obtidos com a incorporação de aditivos compostos químicos especiais que alteram algumas propriedades dos materiais componentes e não por mio do aumento da quantidade de água que alteraria a relação águacimento causando considerável diminuição da resistência e elevando a porosidade A rrabalhabilidadc de um concato assini como sua coiSténcia depende da gra nulomctria dos materiais sólidos da incorporação de aditivos e principalmente do h tor águacimento relação entre a quantidade de água e a quantidade de cimento usada na mistura do concreto O efeito da relação águacimento na qualidade do conéreto está claro na ABNT NBR 61Ui2014 cm seu item 742 recomendando que se não houver dados obtidos de ensaios qu coinprovcm o desempenho da estrutura qaifo à sua durabilidade devese considcrar uma ração águacimento querespeite determi nados valores máximos cstipiiliKtos cm função da agressividade do meio em que está inserida a estrutura e da resistênci especificada para o concreto Isso é possível em razão da existência de forte correspondência entre a relação águacimento a resistência do concreto e sua durabilidade No item 1102 a questão da durabilidade será aborda da mais detalhadamente 1613 Homogeneidade A distribuição dos agregados graiidos dentro da massa de concreto é um fator importante de interferência µa qualicladc do concreto hianto mais uniformes ou re guiares os agregados graúdos se apresentarem dispersos na massa estando totalmente envolvidos pela pasta sem apresentar desagregação melhor será a qualidade do con creto principalmente quanto à permeabilidade e à proteção proporcionada à armadura além de resultar cm um melhor acabamento sem a ncCCsidacÍe de reparos posteriores Essa distribuição dos agregados é a homogeneidade portanto quanto mais ho nco o concreto melhor será a qualidade da estrutura resultante Uma homogeneidade satisfatória pode ser conseguida com uma boa mistura do concreto durante a etapa de fabricação um cuidadoso transporte até o local de utiliza ção na estrutura e também tomandose cuicbdos no lançamento do concreto nas fõr mas e no adcnsamcnto Os cuidados que se deve ter no transporte lançamento e adcn samcnto do concreto estão definidos nos itens 95 c96 da ABNI NBR 149312004 que trata da execução das cstru de concreto 1614 Adensamento O adcnsamcnto do conaetO é uma das etapas mais importantes na produção das cStruturas e intcrf sensivelmente nas características e propriedades finais delas De 32 CAicuio e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado maneira geral o adensamento para obras de médio e grande porte é feito por meio da aplicação de energia mecânica ao concreto Consiste basicamente em um primeiro mo mento na separação dos diversos compostos para depois misrurálos adequadamente evitando a formação de bolhas de ar vazios e segregação de materiais O adensamento deve fazer com que o concreto preencha todos os recantqs das fõrmas Para que seja atingido um adensamento satisfatório o processo mais simples e usual é a vibração ipecânica obtida pela imersão de vibradores na massa de concreto Existe uma sétie de recomendações técnicas paia o uso de vibradores mecânicos que podem ser encontradas no item 962 da ABNT NBR 149312004 ou em Peixoto et al1 de maneira que não falte energia à mistura provocando o aparecimento de vazios bicheiras ou ocorra um excesso causando a separação dos elementos segregação 1615 Início do endurecimento pega do concreto Oendurecimento do concreto começa poucas horas após sua produção e o período entre o início do endurecimento até ele atingir uma situação que possa ser desformado mesmosem rer atingido sua resistência total é chamado de pega Usualmente define se o início da pega quando a consistência do concreto não permite mais a sua trabalha bilidade ou seja não é maispossível lançálo naJõ fõrmas e adensálo Um meio prático de caracterizar o início da pega é fazendo a medição da pro fundidade de penetração de uma haste de peso e tamanho predefinidos no concreto Quando a profundidade atingida apresentar um valor menor qe um limite preestabe lecido considerase que está iniciada a pega devendose então começar os procedi mentos decura No item 933 a ABNT NBR i49312004 recomeda que em condições nor mais de clima e de cmposição do concreto o intervao de tempo transcorrido entre o instante em quea água de amassamento entra em contato com o cimento e o final da concretagem não ultrapasse 2h30min Ainda segÜndo esse item a norma estabelece que devem ser tomadas providências para reduzir a perda de água no concreto cura imediatamente após as operaçõ de lançamento e 3densarnento 1616 Cura do conaeto Após o início da pega a hidratação do concreto se desenvolve com grande velo cidade e nesse período água existente na mistura çem a teridência de sair pelos poros do material cevaporar Esta evaporação pode omprometeras reações de hidratação do cimento fazendo com que o concreto sofra uma diminuição de volume retração maior qlle o usual essa retração é parcialmente impedida pelas Íõrrnas e armaduras gerando tensões de tração que não podem ser resistidas pelo conáeto principalmente Pr casa de sua pouca idade causando fissuras que levam à diminuição da resistência final que deveria ser atiniida pelo concreto 1 Peixoto er ai 2002 Dessa maneira é necessáio tomar medidas que evitem a evaporação precoce ou ate mesmo o fornecimento de água ao concreto de modo a conservar a umidadc neces sária para as reações de hidratação até que as propriedades esperadas para esse çoncreto sejam atingidas Ao conjunto dessas medidas dáse o nome de cura A água usada na mistura do concreto não é cm geral totalmente empregada nas reações químicas mas parte dela serve para controlar o calor gerado na reação exo térmica de hidratação Nesse caso devese avaliar se é melhor que a cura do concreto ocorra sob baixas ou altas temperaturas em prindrio as temperaturas altas slo benéfi ca pois aceleram o prçcesso de ganho de resistência Para ças usuais a cura geralmente consiste m molhar as superfícies aparen tes do concreto ou mesmo molhar constantemente as faces das fôrmas de madeira evitando a secagem destas Em elementos de superfícies lajes de piso por exemplo é usual a colocação de materiais que possam ser mantidos encharcados tais como ts esponjas Outroprocedimento adequado principalmente para as peças prémoldadas é a cura a vapor cm que se mantém o ambiente saturado e co1J1 tcrnperanira cleada acelerandose o ganho de resistência do concretO Na ABNT NBR 149312004 item 101 encontramse algumas indicaçpes para cura e proteção do concreto que ainda não tenha atingido edurecimento satisfatório 1 62 ONCRETO ENDURECIDO No concreto endurecido as principais características de interesse sãe as mecânicas destacandose as resistências à compressão e à tração Ainda não foi possicl estabelecer uma lei única para detenninar a resistência dos materiais que seja válida para todo tipo de solicitações possíveis Por isso no caso do concreto não se pode deduzir diretament da resistência que se tenhaencontrado em um ensaio relativo a uma determinada so licitação como por exemplo a resistência à compressão seu comportamento quando submetido outro tipo de solicitação flexão torção cisalhamento etc Entretanto no estágio atual de desenvolvimento do cálculo de estruruL1s de col creto armado considerase como aproximação razoável que a resistência do toncreto para diversos tipos de sollcitaçõcs seja função de sua resistência à compressão Assim a ABNT NBR 61182014 no item 82 que trata das propriedades do concreto apre senta urna série de expsões a partir das quai se btêm em função da resistência à compreysão as resistências do concreto para diversos tipos de solicitações De maneira geral essas expressões são empíricas A resistência do concreto é também função do tempo de duração da solicitação os ensaios geralmente são realizados de forma rápida ao passo que em construções1 o concreto é submetido a ações que cm ua maioria atuam de forma permancnte1rcdu zindo sua resistência ao longo do tempo Além disso a resistência medida é influencia da pela fonna do corpo de prova e pclâs próprias características os ensaios 1a1cu10 e oeta1namento ae estrúturas usuais ae conaeto annaao Ncsre capírulo apenas algumas características do concreto serão vistas as outras serio analisadas à mcdida que for nccssário 1621 Resistênáa à compressãa A principal característica do concreto é sua resistência à compressão a qual é determinada pelo ensaio de corpos de prova submetidos à compressão centrada esse ensai também permite a obtenção de outras características como o módulo de defor mação longitudinal módulo de elasticidade Independentemente do tipo de ensaio ou de solicitação diversos fatores inBuen ciam a resistência do concreto endureciqo dos quais os principais são a relação entre as quantidades de cimento agregados e água clWnada de traço e a idade do concreto A resistência à compressão obtida por ensaio de a duração do corpo de prova aplicação de carga de maneira rápida é dada por 11 cm que i resistência il compressão do corpo de prova de concreto na idade de Q dias NP carga de ruprura do corpo de prova e A área da seção transversal do corpo de prova No Brasil são utilizados corpos de prova cilíndricos com diâmetro da base de 15 cm e altura de 30 cm e também corpos com base de 10 cm e altura de 20 cm A resistência à compressão do concreo deve ser relacionada à idade de 2 dias ABNT 1TBR 61182014 item 824 e será estimada a partir do ensaio de uma determinada quantidade de corpos de prova A moldagem dos cilindros é especificada pela ABNT NBR 57382003 emenda 12008 e o ensaio deve ser feito de acordo com a ABNT NBR 57392007 1622 Reslsténda característica do conaeto à compressão Para avaliar a resistência de um concreto à compressão é necessário realizar um certo número de ensaios de corpos de prova Os valores da resistência proporcionados pelos distintS corpos de prova sãQ mais ou menos dispersos variando de uma obn1 a outra e também de acordo com o rigor com que se confeccioin o concreto O problema pode colocado da seguinte m contecidosos resultados da resistência à compressão de diversos corpos de prova um mesmo concreto qual será o valor da resistência representativa deste A ideia inicial é adotar para tal valor representativo a média aritmética r dos ários valores obtidos dos ensaios chamada de resistência m à compressão CAP 1 lntroduçao ao estudo das estruturas de concreto armado 35 Encrccanto esse valor não reflete a verdade qualidade do concreto na obra pois não considera a dispersão dos resultados entre dois concretos com a mesma resistência média é mais confiável o que apresenta menor dispersão Por isso tem sido adotado o conceito de resistência característica uma medida es tatística que leva cm conta não só o valor da média aritmética f das cargas de ruprura dos ensaios dos corpos de prova rrias também o desvio da série de valores por meio do coeficiente de variação ô ABNT NBR 61182014 define no item i22 qe os valores caractrísticos das resistências são os que num lote do material têm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável para a segurança e que usualmcnre é de interesse a resistência característica inferior tw menor que f admitida como o valor que te apenas 5 de probabilidade de não scr atingido pdos elementos do lote Definese então como resistência característica fck do concreto à compressão o valor que apresenra um grau de confiança de 95 ou seja fc1c é o valor da resistência de modo que 95 dos resultados dos ensaios estejam acima dele ou 5 abaixo De acordo com essa definição e admitindose uma disibuição statística normal dos resultados curva de Gauss Figura 16 a resistência é expressa pelo quantil de 5 da distribuição k fc 1 1645 Õ OU fdt fcm 1645 S em que fcm é a resistência média e Õ o coeficiente de variação expresso por J l 1 ff º L n iI f sendo s fm õ o desvio padrão m i r 5daárea abaixo da CUlll f Distribuição normal de resistências l Resistências la Figura 16 Distribuição normal dos rcsult2dos adaptada de Montoyal 2 Mootoya ct ai 1991 12 lJ 36 Cãlculo e detalhamenro de eslnlturas usuais de concreto armado ão se deve confundir a expressão de que é uma definição válida para n a com resistência característica estimada que é o valor que se obtém a partir dos resul tados dos ensaios de um número relativamente pequeno de corpos deprova Por outro lado para uma resistência fdi especificda podese estimar a resistência à compressão média f correspondente que deve ser feita conforme a ABNT NBR 126552006 Na prática o calculista especifica um valor de f ct e o usa nos cálculos Cabe ao construtor fabricar oucomptar um cncreto com essas características para isso pode ensaiar concretos com direos traços relação entre água cimento areia e brita àté enconar o adequado Posteriormente deve controlar por meio de um número míni mo de ensaios se o concreto que está sendo empregado na obra atende à resistência especificada A partir da resistência característica a ABNT NBR 61182014 define classes para os concretos rio item 821 de acordo com a ABNT NBR 89532009 versão corrigida 2011 da seguinte maneira Esta norma se aplica aos concretos comprecniiidcis nas classes de resistência dos grupos 1 e II da ABNT NBR 8953 até a classe C90 A classe C20 ou superior se aplica ao concreto com armadura passiva e a dassc C2S ou superior ao concreto com armadura ativa A classe ClS pode ser usada apenas cm obras provisórias ou concreto sem fins estrururais conforme a ABNT NBR 8953 O grupo 1 corresponde aos concretos até a classe CSO e o grupo 11 aos concre tos das classes superiores até C90 Os números indicadores das classes representam a resistência cáracterística à compressão especificada em MPa para a idade d 28 dias A armadura passiva é ª do concreto armado pais só funciona após a deformação do concreto enquanto a ativa é a relativa ao concreto pretendido que passa a funcionir no instante da aplicação da pretensão 162l Resistência do conaeto à tração Como o concreto é wri material que resiste mal à tração geralmente não se conta com a ajuda dessa resistência Entretanto a resistência à tração pode estar relacionada com a capacidade resistente da peça como as sujeitas a esforço cortante e diretamente com a fissuração sendo necessário por isso conhecêla Existem tiês tipos de ensaio para se obter a resistência à tração por Rexotração compressão diametral ção indireta e tração dire F igura 1 n l CD T a Flexotração b Compressão diametral e Tração pura Figura 17 Modos de ensaios de raistbláa do cÕncrcro à rração1 A resistência à tração pura para concretos do grupo 1 é aproximadamente 85 da resistência à tração por compressão diainetral e 60 da resistência obtida pelo en saio de flcxotração este último método não é prático dada a dificuldade do cnsaioO ensaio de compressão diametral é conhecido como Ensaio Brasileiro de Resistência à Tração por ter siâo sisteatizàdopdo engenheiro e professor L F Lobo Carneiro Segundo a ABNT NBR 61182014 item 825 a resistência à tração indireta f a1p e a resistência à tração na Bexão f aJ devem ser obtidas cm ensaios realizados segundo a ABNT NBR 72222011 e a ABNT NBR 121422010 rcspectivamcnte Ainda de acordo com o item 825 a resistência à tração direta pode ser considcradi igual a 09 f ou O 7 f Na falta de ensaios para obtenção de f e f pode ser avaliado o seu Cftp C19 cttp n1 valor médioou característico por meio das equações 14 a 17 fcdiinf O 7 fam 14 f 1 3 f ctkmp ctm 15 para concretos de classes até CSO fam 03 fc1 16 para concretos de classes de CSO até C90 f 212 ln 1 011 fck 17 cm quer e fc1t são expressos cm mcgapascals MPa Sendo fdij i 7 MPa estas expressões podem também ser usadas para idades di fcrcn de 2 dias o uso de fcdibd ou r é definido pela norma cm cada situação particular 3 ldlbid 311 Olculo e detalhamento estMUras usuais de concreto annado 1624 Diagramas tensãodefoação e módulo de elastlddade do conaeto Os diagramas tensãodeformação mostram u relações entre tensões a e defoF maçõcs E do concreto Na compressão slo obtidos por ensaios de corpos de prova à compressão centrada e apresentam uma parte CUJY2 na classe I é parabólica e outra sensivelmente retilínea Na tração são empregados diagramas bilineares Módulo de elasticidade ou módulo de deformação é uma grandeza mccãnia que mede a rigidez de um material sódo e pode ser dcfuüdo a p das rdaçõcs entre tensões e deformações de acordo com os diagramas tensãodeformação 1624 l MOouio OE ElASTICIDADt No concreto armado na compressão podem ser definidos os seguintes módulos de elasticidade de acoro com a Figun 18 a Módulo tangente seu valor é variável cm cada ponto e dado pela inclinação da reta tangente à curva nesse pomo b Módulo de deformação tangente na origem E ou módulo de dcformabilidade inicial é dado pela inclinação da reta tangente à CUJY2 na origem c Módulo secante módul de elasticidade ou módulo de deformação longitudinal à compresso E seu Vilor é variável cm cada ponto e é obtido pela indin2çfo da reta que une a origem com esse ponto ou seja E CI E E E Flpn 18 Diagrama tenãodêrorrnaçio do co de FUICO 4 Fu11CO 1976 18 C 1 lnmxluçlo ao estudo das trvturu de concreto annado 39 De acordo com Shchata quando não se especifica o nível de tensão para o módu lÓ secante inferese que ele seja o relativo a uma tensão entre 40 e 50 da resistência à comprcssio Na origem os módulos tangente e secante coincidem As consieraçõcs sobre os módulos de cbsticidadc ou módulos de deformação do concreto encontramse no item 828 da ABNT NBR 61182014 O módulo de deformação tangente inicial do concreto E ou simplesmente módulo de cbstici dade inicial deve ser determinado segundo o método de erinio estabelecido na ABNT NBR 85222008 e considerado obtido aos 28 dias de idade Qiando não foicm reali zados ensaios ele pode ser estimado por meio expressões l9 e 110 sendo Eª e fc1i dados cm MPa Eª aE 5600 Jf parafel de 20 MPa a 50 MPa 19 Eª 215103 aE 125 rl para de 5 MPa a 90 MPa 110 cm que ciE 12 para basalto e diabásio aE 10 para granito e gnaisse aE 09 para calcário aE O 7 para arenito O módulo de deformação secante também pode ser obtido segundo o método de ensaio estabelecido na ABNT NBR 522 ou estimado pela expressão 111 E a E O 8 O 2 fm E s E ca 1 a l 80 a n 111 O Qfiadro 11 reprodução da Tabela 81 da ABNT NBR 61182014 apresenta valores estimados arredondados que podem ser usados no projeto estrutural Quadro 11 Valores estimados de módulo de clasticiaade em função da rcsisténcia anictcristica à comprado do concreto considcnndo o uso de gradito como agregado graúdo Cbssc de rcsistênci3 C20 C25 C30 C35 C40 C45 cso C60 C70 C80 C90 Ed GPa 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47 E 0 GPa 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 A7 085 086 088 089 090 091 092 09S 098 100 100 5 laia 200512006 IV 1a1cu10 e ota1namento oe estruturas usuais de concreto armado Ainda a ABNT NBR 61182014 permite que na aação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal seja adotado módulo de elasticidade único à tração e à compressão igual ao mdulo de deformaçãosecante E 0 e que o módulo de elasticidade numa idade menor que 28 dias possa ser avaliado pelas expressões 112 e 113 f los Ecit 2 Epara com fck de 20MPa a 45 MPa l12 f Ol E t E 0 para os concretos com fk de 50 MPa a 90 MPa f e e l13 em que EJt é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade entre 7 e 28 dias 1q é a resistência à compressã característia do concreto na idade em que se pretende estimar o módulo de elasticidade em megapascal MPa Para tensões de compressão menores que 05 f podese admitir uma relação linear entre tensões e deformações adotandose para ºmódulo de elasticidade o valor secante dado pela expressão 111 16242 DIAGRAMAS INSÃOOEFORMAÇÃO NA COMPRESSÃO SEGUNDO A ABNT NBR 61182014 Para análises no estado limite último pode ser empregado o diagrama tensão deformação idealizado mostrado na Figura 19 para concretos de qualquer classe de resistência e dado no item 82101 da norma ABNT NBR 61182014 A relação entre tensão e deformação é dada pela expressão 114 que representa o trecho parabólico da curva inferior do gráfico da Figura 19 A expressão que representa a curva superior é obtida substituindose na expresso 114 o termo 085 fcd por fck 114 CAP 1 lntroduçio ao estudo das estruturas de concrto armado 41 Figun 19 Diagrama tcnsãodeformção idealizado Figura 82 da ABNT NBR 61182014 Os valores a adotar para os parâmetros Eci deformação específica de ennrtamcn to do concreto no início do patamar plástico e E deformação específica de e1curra mento do concreto na ruptura e o índice n são para concretos de classes até C50 E2 20o E 35o n2 para concretos de clases C50 até C90 E 2 Oo o 085o f 50ºS3 cl 1 1 EU 26o 35o 90 fdlOO n 14 234 90 k100 4 Enfatizando para o caso específico de concretos de classe até C50 o que é o usual em estruturas correntes as expressões para as curvas inferior cr 085 f e superior cr fdtda Figura 19 são a f H1iJJ 115 cr O 85 f 11Í 2 e t ai lo 116 I LllU t ueiamamento ae estruturasusuais de anriado Indicação sobre o wlor de fd pode ser encontrada no item 1233 da ABNT NBR 61182014 e aqui no capírulo 3 16243 ÜIAGIWAAS TfNSÃODEFORMNAo NA TRÃçÃo SEGUNDO A ABNT NBR 61182014 Para o concreto não fissurado submetido a tensões de tração de acordo com o item 82102 da ABNT NBR 6182014 pode ser adotado o diagrama tensãodefor mação bilincai da Figura 110 Figura 110 Diagrama rcnsãodefonnação na traçiio Figura 8J da ABNT NBR 61182014 1625 Módulo de elasticidade transversal e coefidente de Poisson Segundo a ABNT NBR 61182014 ice 829 para tensões de compressão me nores que 05 f e tensões de tração menores que f o coeficiente de Poisson v pode ser tomado como iguil a 02 v 02 e o mótlulo de elasticidade transversal G igual a E 24 G E 24 a 1626 Diagrama tensãodeformação com cargâ e crescarga ensaio rápido Os diagramas tensãodeformação do concreto apresentam para carregamentos de crta duração e tensões o abaixo de í3 um comportamento elástico trecho reto e para tcnsõescr acima de í3 apresentãm um traçado com acentuada curvatura indi cdo um comportamento elastoplástico Com o descarregamento do corpo de prqva a deformação não volta a zero Figura 111 Às deformações elásticas t somamse as plásticas resultando na deformação total cp p N 1 UVil ª CtUI ªª catltiltUa IC CIW OtlleGUIW 4a a 1 Descarragamento lI J 1 novo carregamento 1 t 1 j Figura 111 Diagrama tensãodeformação com caxga e descargaadaptada de Fusco 1 7 ARACTERISJICA DO AÇO A norma ABNT NBR 74802007 define os tipos as características e outros itens sobre as barras e fios de aço destinados a armaduras de concreto armado Essa versão substituiu a de 1996 que por sua vez havia substituído a de 1982 e introduzido diver sas modificações inclusive para ficar adequada ao que é normalmente produzido pelo mercado Algumas das informações a seguir constam de manuais da ArcelorMittal Aços Longos Primeiramente foi eliminada a categoriaCA40 a sigla CA indica concreto arma do e o número a categoria ou seja a resistencia de escoupento mínima em kNcm2 que não era especificada em projetos nem produZida pelas siderúrgicas mantendo apenas as caregorias CA25 e CASO A divisã9 dosaços em classes A e B foi eliminada já na versão de 1996 da ABNT NBR 7480 pois erroneamente entendiase que o aço classe A apresentava patamar de escoamento e o classe B não Na verdade a separação em classes correspondia ao processo de fabricação para laniinação a quente o aço era chamado de classe A e para laminação a frio ou trefilação era denominado de classe B Na ABNT NBR 74802007 está definido que todo material em barras casos dos CA25 e CASO deve ser obrigatoriamente fabricado por laminação a quente e que todos os fios característicos do CA60 devem ser fabricados pÕr trefilação ou procC5 equiwlente como estiramcntoou laminação a frio Os fios têm diâmtro nominal in ferior a 10 mm Outra questão que deve ser 0 csclarecida a diferença entre aço e ferro A prinápal é o teor de carbono em que o ao possui um teor inferior a 204 e o ferro entre 204 6 Fusco 1976 C CIWlWIClI UfLUlllU dlllldUU e 6 Como as barras e fios destioaos a armaduras para concreto armado CA25 CASO e CA60 possncm oormalmcntc teor de carbono entre 008 e 050 a deno minação técnica correta é aço embora usualmente se utilize o termo ferro As características mecânicas mais importantes para a definição de um aço obtids cm ensaios de tração são resistência característica ver a definição de característica no item 1821 de escoamento limite de resistência e alongamento na ruptura A resistência característica de escoamento do aço à tração f é a máxima tensão que a barra ou o fio devem suportar pois a partir dela o aÇo passa a sofrer deformações permanentes ou seja até este valor de tensão ao se interromper o ensaio de tração de uma amostra esta voltará a seu tamanho inicial não apresentando nenhum tipo de deforma ção permanente este é o caso dos aços que apresentam patamar de escoamento definido CA25 e CASO O aço CA60 não tem patamar definido e o valorde fti é o da tensão correspondente a uma eformação pecífica permanen de 0002 02 ou 2o Limite de resistência f é a força máxima suportada pelo material e com a qual ele se rompe ou seja é o ponto máximó de resistêncià da barra sendo seu valor obtido pelaleitura direta na máquina de tração A tesão mma é determinada pela relação entre a orça de ruprura e a área da seção transvcrsll inicial da amostra Alongamento na ruptura é o aumento do comprimento do corpo de prova cor respondente à ruprura expresso cm porcentagem ou seja f f E 1º100 º 117 cm que f0 e l 1 são os comprimentos inicial e final respectivamentc de um trecho nor malmente central do corpo de prova f1 deve ser medido depois de retirada a carga Para os materiais especificados pela ABNT NBR 74802007 o comprimento ini cial a utilizar é de cz vezes o diâmetro nominal da amostra Por exemplo se o material ensaiado cm diâmetro de 1 mm o l0 será de 100 mm A classificação os diâmetros e seções transversais nominais de barras e fios e os cocfiáentcs de conformação superficial mínimo Ti das barras não lisas são estabeleci dos na norma Para a massa específica do aço podese tomar o valor de 7850 kgm3 Os ensaios de tração para a determinação do diagrama tensãodeformação do aço dos valores característicos da resistência ao escoamento r da resistência à tração f8 e da deformação na ruptura Ew devem ser efetuados segundo a ABNT NBR ISO 689222013 Nos aços om patamar de escoamento dcfutido a tformação específica de dlculo Ei que é a correspondente ao inicio do pa é obtida pela expressão 118 f E l18 ri E cm que E módulo de clasticidc do aço admitido igual a 210000 MPa 21 10 kgflaril fI tensão resistência de escoamento de cálculo do aço igual a fll15 f tência característica do aço à tração Para o aço CA60 que não aercscnta patamar de escoamento o item 836 da ABNTNBR 61182014 permite assim como para os aços com patamar utilizar para os cálcu1os nos estados limites de serviço e último o diagrama simplificado da Figura 112 Esse diagrama é válido 0 paraintervalos de temperatura entre 20 C e 150 C e pode ser aplicado para tração ccomprcsso O Qyadro 12 contém algumas propriedades dos aços as quais com as novas piçõcsda ABNT NBR61l82014 quanto à relação Ç xd que será explicada em detalhes no capítulo 3 estudo da ftcxão cm vigas de concreto armado passam a ser apenas ilustrativas Qu12 Propriedades mednicas dos aços Aço fMPa rMPa e a xd CA25 250 217 0104 07709 CASO 500 435 0207 06283 CA60 600 522 0248 05900 ª r r igan 1U Diagrama tcnsãodcfo pan aços de armaduras passivas Figura B da ABNT NBR 611820F4 18 DIMENSIONAMENTO CALCULO ºoe UMA ESTRUTURA O cálculo ou dimensionamento de uma estrutura deve ganntir que ela suporte de forma segura estável e sem deformações excessivas todas as solicitaçõês a que estará submetida durante sua execução e utilização O dimensionamento dessa forma consiste cm impedir a ruína lha da csautu ra ou de determinadas partes da mesma Por ruína rão se entende apenas o perigo de rupturi que ameaça a vida dos ocupantes mas também as situações em que a edifica ção não apresenta um perfeito estado para utilização devido a deformações excessivas fissuras inaceitáveis etc De acordo com o item 1421 da ABNT NBR 61182014 o objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações cm wna estrutura com a finalidade de efe tuar verificações de cstadJS limites últimd e de serviço A análise cstru permite estabelecer as distribuições de esforços inemos ténsõcs deformações deslocamentos cm uma parte ou em toda a estrurura Em outras palavras a finilidade do cálculo estrutural é garantir com segurança adequada cjuc a estrurura mantenha certascaracterísticas que possibilitem a utilização satisfatória da construção durante sua vida útil para a finalidades às quais foi concebida Entntll1to não se pode pretender que uma estrutura tenha scgunnça total contra todos os fatores aleatórios que intemm crD uma edificação no processo de conccpção lecução e utilização isso é válido tanto para as ações como para a resistência dos distintos elementos da construção Basicamente a insegurança está rdacionada às e guintes incertezas Rcsistencia dos materiais utilizados inBucciada por algUns tores tempo de duração da aplicação das Cfg3S fadiga bricaçãQ etc pcbs condições de cxe cuçã J da obra e pelos ensaios que não reproduzem fielmente as situações reais Características geométricas da estrutura falta de precisão na localização na seção transversal dos elementos e na posição das armaduraê Ações permanentes e variáveis e Valores das solicitações calculados que podem ser difcnntes dos reais cm vir tude de todas as imprecisões increntes ao proccssp de dlculo Objetivamente o cálculo dimensionamento de JUDaestrutura consiste cm uma das seguintes operações Comprovar que uma seção previamente conhecida forma dimcnSõcs e qilan7 tidade de armadura é capaz de resistir às solicltaçõcs mais dcsfadvcis que poderio aruar ou 1 lnupduçlo ao estudo das estrlUras de conaero nnado 47 Dimensio uma seçlo ainda não definida compleente algumas dimen sões podem ser imp0stas antes do cálculo como a largun de uma viga sob uma parede a fim de que suportc u solicit11ções máximas a que poderá estar sujeita Os métodos de cálculo das estruturas de concreto armado podem ser classificados basicamente cm dois grupos os métodos clássicos ou das tensões admissíveis e os métodos de çálculo na niptuia ou dos estados limites 181 Mtrooos cUss1cos Nestes métodos são detcrminacbs as solicitações Momento fletor M Força cortante V e Força normal N correspondentes às cargas máximas de serviço cargas de utilização calculamse as tensões máximas correspondentes a essas solicitações su pondo um comportamento completamente elástico dos materiais as tensões máximas são então limitadas a uma raÇão da resistência dos mateiais tensões admissíveis e dessa forma a segurança da estrutura é garantida Os métodos clássicos são métodos determinísticos nos quais se consideram fixos não aleatórios os distintos valores nilméricos que servem de partida para o cálculo resistência dos materiaisvalores das cargas etc Algumas restrições podem ser feitas a esses métodos a Como os valores envolvidos são fixos não aleatórios as grandezas são empregadas com seus valores máximos raramente atingidos durante a vida útil da estrutura o que geralmente leva a um superdimensionamento b O cálculo por meio do método clássico conduzfrequentemente a um mau aprovei tment dos materiais pois não considera sua capacidade de adaptação plástica pra resistir a maiores solicitaçõe e O método clássico baseiase 0no valor das tensões oriundas das cargas de serviço supondo que durante a utilização a estrutura permaneça cm regime dástico como ocorre geralmente entretanto oão fornece iJúormação acerca da capacidade que a estrutura tem de receber mais carga não sendo possível avuiguar com esse tnétodo sua verdadeira margem de segurança e d Há situações cm que as solicitações nio são proporcionais às ações e um pequeno aumento das ºações poàc provocai um grande aumento das stlicitáções ou a situação contrária 182 Mtrooos DE CÃLCULO NA RUPTURA ou DOS ESTADOS LIMITES Nestes métodos a segurança é garantida fazendo com que as solicitações corrcs pondentca u cargu majoradu solicitações de cálculo sejam menores que u solicita ções últimas sendo estas as que levariam a estrutura à ruptun ou a atingir um cstàdo 48 Cálculo e de1alhamen10 de es1ru1uras usuais de concreto armado limite último se os materiais tivessem suas resistências reais resistências característi cas rninoradas por coeficientes de ponderação das resistências resistências de cálculo De maneira geral a ABNT NBR 61182014 estabelece em seu item 125 que na verificação da segurança das estruturas de concreto devem ser atendidas as condi ções construtivas e as condições analíticas de segurança Nas condições construtivas de segurança devemse tomar cuidados especiais em relaçã aos critérios de detalha mento seções 18 e 20 da norma ao controle dos mteriais conforme as normas es pecificas especialmente as ABNT NBR 126541992 versão toirigida 200 Controle tecnológico de materiais componentes do concreto procedimento e ABNT NBR 1265Sioo6 Concreto de cimento Portland Preparo controle e recebimento pro cedimento e ao controle de execução da obra conforme a ABNT NBR 149312004 Execução de estruturas de concreto procedimento e outras normas especificas Oianto às condições analíticas de segurança a ABNT NBR 61182014 item 1252 indica que as résistências não podem ser me11ores que as solicitações e devem ser verificadas em relação a todos os estados limites e rodas os carregamentos espe cificados para o tipo de construÇão considerado ou seja em qualquer caso deve ser respeitada a condição 119 Para a verificação do estado limite último de perda de equilíbrio como corpo rígido Rd e Sd devem assumir os valores de cálculo das ações estabilizantes e desestabi lizantes respectivamente Na expressão 119 Rd são os valores de cálculo dos esforçm resistentes e S J são os valores de cálculÓ dos eforÇos olicitantes O método dos estdos limites é um processo simplificado de verificação da se gurança visto que uma análise probabilística completa seria difícil e complicada até mesmo impossível e por isso é chamado de semiprobabilístico Admitese que a es 1rutura seja segura quando as solicitações de cálculo forem no máximo iguais aos valores que podem ser suportados pela estrutura no estado limite considerado ver seção 18126 deste capítulo Resumidamente o método consiste em Adotar os valores característicos para as resistências e para as açes Dessa forma aceitase que a priori as resistênciaS efetiva possam ser inferiores aos seus valores característicos e que as ações efetivas poam ser superiores aos seus valores caracteristicos e Çobros dcmais elementos de incerteza existentes no cálculo estrutural pela transformação dos valores característicos em Valores de cálculo minoramse as TCSistências e majôramsc a5 ações CAP 1 lntroduçao ao estudo das estruturas de êoncreto ar1T1ado 49 1821 Valores caraderfsticos das resistências A ABNT NBR 61182014 item 122 define os valores característicos las resis tências que deverão er transformadas m valores de cálculo da seguinte maneixa Os valores característicos fk das resistências são os que em um lote le material têm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável para a segurança Usualmente é de inrcressc a resistência característica inferior fimr cujo valor é menor que a resistêna média fm embora por vezes haja interese na resistên cia característica superior f cujo valor é maior que fm Para os efeitos desta norma a resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 5 de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de matrial Esses conceitos estão também ptesentados em detalhes no item 1622 deste capínilo 1822 Valores de cálculo das resistências Os valores de cálculo das resistências segundo o item 1231 da ABNT NBR 61182014 são obtidos a partir das resistências características inferiores fk por meio da expressão l20 120 em que y m é o coeficiente de ponderação das resistências definido no item 124 da norma e apresentado na seção 1812S deste capítulo 182J Valores de cálculo das tensões resistentes Segundo o item 1232 da ABNT NBR 611840i4 As tensões resistentes de cálculo crRd ou tRd são estabelecidas para a determinação das solicitações resistcnt de cálculo que não dependam diretamente das resistências medidas convenonalmcnte cm ensaios de corpos de prova padronizados dos mate riais empregados Os valores de crltd e tRd são estabelecidos cm cada caso particular a partir das teorias de resistência dos elementos estruturais considerados 18lA Valores de cálculo da resistência do conaeto A ABNT NBR 61182014 item 1233 amplia o conceito de resistência de cál o do concreto a qual deve ser determiada de duas maneiras em função da idade doconaeio 50 calculo e detalhamento de estruturas usuais de cbncreto armado a Qyando a verificação se faz em dara j igual ou 51lpcrior a 28 dias de idade f j Yc 121 Neste caso o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito aos 8 dias de forma a confirmar valor de k adotado no projeto b Qyando averificação se faz em data j inferior a 28 dias de idade 122 em que j1 é a relação fJk que pode ser obtida pelo grUico da Figura 113 ou peta expressão123 13 1 exp s 1 28tlll com 038 para concreto de ciment CPIJI e CPIV s 0 25 para concreto de cimento CPI e CPII 020 paraconcreto de cimento CPVARI t idade efetiva do concreto em dias I23 Esta verificação deve ser feita aos t dias para as cargas aplicadas até essa data A verificação para a totalidade das cir ainda será feita para a data que corresponda a 18 dias Neste caso o controle da resistência do concreto à compressão deve ser ftito em duas datas aos t dias e aos 28 dias deforma a confirmar os valores de fcliJ e fck adotados no projeto Para estudar a data em que o escoramento de uma estrutura de concreto pode ser sctirado devem ser 1Jsados no caso de a idade do cqncrcto ser inferior a 28 dias os valores da resistência expres5os em 119 e 120 Para datascm que o concreto tem idade acima de 28 dias o valor a se adotar para a resistência o relativo aos 28 dias pois o aumento de resistência que ocorre a partir desta data já 1 considerado no valor de 085 que multiplica a resistência à compC55ªº de cálculo dQ concreto f a1 a explicação é dada no cipítulo 3 A variação da rcsistênca à compressão do concreto cm relação a süa idade é mos trada no gráilco da Figura 11 É iportmte destacar qu Pm o cálculo e vcrificaç lAP 1 lntrocluo ao estudo das estruturis de concreto armado S 1 dos estados limites últimos e de serviço não se pode utilizar para o concreto resistência superior ao valor obtido aos 28 dias de idade b Valonis da b para concralos com dllo da and ID lento normal a ido 16 Lento Normal oa c Ràpldo 06 L 10 100 1000 10000 tdlas Figura 113 Variação da resistência à comprtSsão do concreto em relação a suaidade 1 825 Coeficientes de ponderaçãodas resistências As resistências de acordo com o irem 124 da ABNT NBR 61182014 deverão ser minoradas pelo coeficiente 124 em que y mi parte do coeficiente de ponderação dlS resistências que considera a varia bilidade da resistência dos materiais envolvidos Ymi parte do coeficiente de ponderação das resistências que considera a dife rença entre a resistência do material no corpo de prova e na estrutura y ml parte do coeficiente de ponderação das resistências que considera os des vios gerados na construção e as aproximações feitas cm projeto do ponto de vista das resistências Para o estado limite último os valores base para verificação são apresentados no Oiadro 13 Tabela 121 da ABNT NBR 61182014 Quadro 13 Valores dos coeficientes Y e Y Combinaçõa Cony Açoy Normais 14 115 Especiais ou de construção 12 115 Excepcionais 12 100 52 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais oe concreto armado Para as peças em cuja execução sejam previstas condições desfavoráveis por exemplo más condições de transporte ou adensamepto manual ou concretagem defi ciente por concentração de armadura o coeficiente Y deve ser multiplicado por 11 Para peça5 prémoldadas e préfabricãdas os valores encontramse na ABNT NBR 90622006 Admitese nas obras de pequena importância o emprego de aço CA25 sem a realização do controle de qualidade estabelecido na ABJ1T NBR 7 4802007 desde que o coeficience de segurança para o aço seja multiplicado por 11 Para o estado limite e serviço seções 17 19 e 23 da ABNT NBR 61182014 não é necessário usar coeficientes de minoração e portanto y m 10 Para obras usuais e situações normais em geral têmse para o concreto e aço no estado limite último os alores respectivos das resistências de Cákulo 1826 Estados limites f cd 14 f f 115 125 126 Ôs estados limites considerados no cálculo das estruturas de concreto são os esra dos limites últimos e os estados limtes de serviço O estado limite último é aquele relacionado ao colapso u a qualquer outra forma de ruína estrutural qúe determine a paralisação no todo ou em parte do uso da estrutu ra De acordo com o item 103 da ABNT NBR 61182014 a segurança das estruturas de concreto deve sempre ser verificada em relação aos seguintes estados limites últimos a Perda do equilibrio da estrutura admitida como corpo rígido b Esgotamento da capacidade resistente da estrutura em seu todo ou em parte por causade solicitações normais e tangenciais admitemse em geral verificações sepa radas dessas solicitações ver capírulos 3 e 6 deste livro c Esgotamento da capacidade resistente da estrutura em seu todo ou em parte consi derando os efeitos de segunda ordem d Provocado por solicitações dinâmicas e Co1ipso prgressivo f Esgotamento da capacidade resistente da estrutura no seu todo ou cm parte consi derando exposição ao fogo conforme a ABNT NlR 15200 2012 g Esgotamento da capacidade resistente da estrutura considerando ações sísmicas e acordo com a ABNT NBR 154212006 h Outros que eventualmente possam ocorrer em casos especiais º oveliluuu ud tsuuturc oe coccretoarmaao j Os estados limites de serviço conforme o item 104 da ABNT NBR 61182014 são os relacionados à durabilidade das estruturas à aparência ao conforto do usuário e à boa utilização funcionaldas mesmas seja em relação aos usuários às máquinas ou aos equipamentos utilizados A segurança das estruturas de concreto pode exigir a verificação de alguns dos seguintes estados limites de serviço definidos no item 32 da ABNT NBR 61182014 ou de outros especiais não dcfirúdos na norma não estão relacionados os referentes exclusivamente às estruturas de concreto protendido a Formação de fissuras ELSF estado em qüc se inicia a formação de fissuras ver item 1342 da norma e scçã 471 deste livro bAbertum das fissuras ELSW estado em que as fissuras se apresentam com aber turas iguais aos valores máximos especificados no item 1342 da norma e na seção 472 deste livro c Deformação excessiva ELSDEF estado em que as deformações atingem os i mites estabelecidos pm utiliza9áO FIOrma da estrutura também defiruJos 110 item 133 da norma e na seção 48 deste livro e d Vibrações excessivas ELSVE estado em que as vibrações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal da construção item 233 da norma Os estados limites de serviço de acordo com o item 4122 da ABNT NilR 86812003 decorrem de aiões guc podem ser combinadas de três maneiras de acordo com o tempo de permanência na esra a Combinações quase permanentes combinações de ações que podem atuar sobre a estrutura durante mais da metade do seu período de vida b Combinações frequentes combinações de ações que se repetem durante o período de vida da estrutura em tomo de 105 vezes em 50 anos ou que tenham duração total igual a urna parte não desprezível desse período da ordem de 5 e c Combinações raras combinações de ações que podem atuar no máximo algumas horas durante o períoqo de vida da trutura 183 AçOES Denominase ação qualquer influência ou conjunto de influências capaz de pro duzir estados de tensão ou de deformação cio urna estrutura As ações são tratadas pela ABNT NBR 61182014 em seu capírulo 11 desta cando no item 1121 Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir efeitos significativo para a segurança da estrutura em exame lcvandôse cm conta os possíveis estados limites últimos e os de serviço 4 UICUIO eutt1111c11111u11 uc CUlltUIQ U101YCuutICtUGllllaUU As ações a considerar classificamse de acordo com a ABNT NBR 86812003 em ações permanentes vuriáveis e cxcepcionais Para cada tipo de construção as aões consideradas devem respeitar suas peouliaridades e as normas a elas aplicáveis 1831 Ações pennanentes Ações permanentes ABNT NBR 61182014 item 113 são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante roda a vidada construção Também são consi deradas pcnnanentes as aç0cs que Crescem no tempoçendenclo a um valor limite cons tante As ações permanenres devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança e são divididas Cm etas e indiretas a As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações jQlllanentes Nas constru ções ruais admitese que o peso próprio da estrutWa seja avaliado com a massa especifica de 2400 kgm3 para o concreto simples e e 2500 kgm3 para p concreto armado ou protendido esses valores assim como as massas especlhcas dos mate riais de construção usuais são indicados na ABNT NBR 61201980 Os pesos das instalações permanentes são considerados com os valores nominais indicados pelo tespectivos fornecedores Além do peso próprio é preciso sempre que necessário considc permanentes os êmpuxos de terra e outros materiais granulosos quando forem admitidos não removíveis b As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por retração e fluência do concreto deslocamentos de ap0io impcrfeiÇões géométricas globais e locais e protensão A maneira de considerar 0cada uma delas está nos itens 11331a11335 da ABNTNBR 61182014 1 s32 Ações variáveis I As ações variáveis são dasscada omo diretas e indiretas a Ações variáveis diretas As ações variáveis diretasilem l 141 da ABNT NBR 61182014são constituí das pelas cargas 11cidentais previstas para o uso da construção pela ação do vento e da água devendose respeitar as prescrições feitas por normas brasileiras especificas As ºcargas acidentais previstas para o uso da construção correspondem normal mentea cargas verticais de uso di consção pessoas Uobiliário veículos materiais diversos etc cargas móveis considerando o imlacto vertical impacto lateral força longitudinal de frenação ou aceleração e CAP 1 lntroduçao ao estudo das estruturas de coricreto armado 55 força centrifuga Essas cargas devem ser dispostllS nas posições mais desfavoráveis para o elemento estudado ressalvadas as simplificações permitidas por normas brasileiras específicas É obrigatória a consideração da ação do vento e os esforços correspondentes à ação do vento devem ser determinados de acordo com o prescrito pda ABNT NBR 6123 1 cf ss permitindose o emprego de ngras simplificadas previstas em normas especificas Nas estruturas em que houver possibilidade de ficar água retida deve ser conside rada a presença de uina lâmina de água correspondente ao nível dç drenagem efetiva mente garantido pela construção Em r1lação às ações variíVeis que podem ocorrer du rante a construção no item 11414 da ABNT NBR 61182014 está especificado que As estruturas em que todas as fases construtivas não tenham s segurança garantida pela verificação da obra pronta devem ter incluídas no projeto as verificações das fases construtivas mais significativas e sua influência na fase final A verificação de cada uma dessas fases deve ser feita considcrado a pan da estrutura já executada e as estruturas provisórias auxiliares com os rcspectivos pesos próprios Além disso devem ser consideradas as cargas acidentais de execução b Ações variáveis indiretas De acordo com o item 1142 da norma as ações variáveis indiretas são as causa das por variações uniformes e não uniformes de temperatura e por ações dinâmicas A variação da temperatura da estrutura é considerada unifoime quando é causada global mente pela variação da temperatura da atmosfera e pela insolação direta Ela depende do local de implantação da contrução e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores Para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da mídia de 10 ºC a 15 C Para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteicknente feihados cuja menor dimensão seja superior a 70 cm admitese que essa osci lação seja reduzida respectiwmente para 5 ºC e 10 ºC e Para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 qn e 70 cm admitese interpolaÇão linear entre os valores indicados A escolha de um valor entre os limites superior e inferior de cada caso pode ser feita considerando 50 da diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno no local da obra Em edi6cios de vários andares deVim ser respeitadas as exigências construtivas prescritas na ABNT NBR 61182014 para que sejam minimizados os efeitos das variações de temperatura sobre a etura da construção O cocficiente de 56 C11culo e detalhamento de estruturas usuais de concreto annado dilatação térmica do concreto item 82 da norma paiaefeito de análise estrutural pode ser admitido como sendo igual a 10s c1 No caso de distribuições de temperatura significativamente não uniformes os efeitos dessa distribuição devem ser considerados Na falta de dado precisos pode ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados desde que a variação de temperatura entre uma face e outra da estruturanão seja inferior a 5 ºC Em relação às ações dinâmicas icem 11423 da norma quando a estrutura es tiver sujeita a choques ou vibrações por causa de suas condições de uso os respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das solicitações Havendo possibilidde de fadiga ela deve ser considerada no dimensionamento das peças de acordo com as prescrições da seção 23 da ABNT NBR 61182014 que não serão aqui descritas em razão de a fadiga ser de pouca ocorrência em estruturas de edifícios 183 J Ações excepcionais Qµanto às ições excepcionais a ABNT NBR 61182014 no irem 115 prescreve No projeto de estruturas sujeitas a situações excepionais de carregamento cujos efeiros não possam ser controlados por outros meios devm ser consideradas ações excepcionais com os valores definidos em cada caso particular por Normas Brasileiras específicas Resumindo as ações podem ser classificadas pàra o caso de construções usuais e segundo a ABNT NBR 61182014 como permanentes peso próprio retração protensão fluência e recalques e variáveis acidental vertical vento e temperatura 1834 Valores representativos das ações As ações são quantificadas por seus valores representativos que podem ser valores característicos convencionais excepcionais e reduzidos conforme fram definidos no irem 116 da ABNT NBR 61182014 a Valores característicos os valores característicos das ações Fk são estabelecidos em função da variabi lidade de suas intensidades Para as ações permanentes esses valores estão definidos em normas especificas como ªNT NBR 61201980 Os valores característicos das çõcs variáveis F condem aos que têm pro babilidade de 25 a 35 de serem ultrapassados no se ido desfavorável durante wn período de 50 anos conduz a um período médio de retomó de 200 a 140 anos rcspectiva entc Também estão definidos em normas específicas mo a ABNT NBR 61201980 b Valores convendonals ucepdonais Os valores conCncionais excepcionais são arbitrados para as ações cXtepcionais e não podem ser definidos em norma pois dependem de cada caso particular C 1 lntrodçao ao estudo das estruturas de concreto armado 57 e Valores reduzidos Os valores reduzido são definidos cm função da combinação de ações para as vcrificaçõcs de estados limites últimos e de serviço Para as verificações de estados lillites últimos quando a ação considerada é combinada com a ação principal os valores reduzidos são determinados aJ mitindo ser muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos valms característicos de duas ou mais ações VjIiáveis de naturezas diferentes ver pró xima seção Para as verificações de estados limites de scrviÇo os valores reduzidos são deter minados a partir dos valores iaracterísticos por expressões que estimam vuorcs frequentes e quasi permanentes de uma ação que acompanha a ação princip1l verpróximi seção 1835 Valores de cákulo Os valores de cálculo Fd qas ações são obtidos para as várias combinações a partir dos valores representativos multiplicandoos pelos respcctivos coeficientes de ponde ração y r definidos também na próxima seção 184 OEFICENTES DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES De acordo com o item 117 daABNT NBR 61182014 as ações devem ser majo radas pelo coeficiente de ponderação Yr obtido pelo produto de três outros 12i em que y n considera a variabilidade das ações y f2 considera a simultancid11de de atuação das ações y 12 IJI l 1 ou l i Q1alro 15 e y0 considera os possíveis desvios gerados nas construções e as aproximações feitas cm projeto do poto de vista das solicitações O desdobramento do coeficicn dc ponderação ou de segurança em coeficientes parciais pennit que os valores gerais epecificados para y r possam ser discriminados em função das peculiaridades dos diferentes tipos de estrutJrs e de materiais de constru ção cónsiderados Como as ações consideradas n projeto podem ser de várias naturezas o índice do coeficiente Yr pode ser altpara identificar a ação considerada com cs símbolos Y Yq yP e y1 para as ações permanentes variáveis diretas acidentais protensão e efeitos d deformações impostas ações indiret respectivamente 58 Cãiculo e deulhamllto deenrutur115 usuais ele concntOalMdo Os valores do coeficiente Yr relatiOS aos estados fuwtes últimos ELU são apre sentados no item 1171 c os relativos aos estados limites de serviço ELS são dados rio item 1172 da ABNT NBR 61182014 1841 Coeficientes de ponderação para os estados limites últimos Os valores base para verificação nos estados lintltes últimos são os apresentados nos quadros 14 e l5 tabelas 111 e 112 daABNT NBR 61182014 para os coefi cientes Yn y0 e y0 rcspectivamente biadro 11 Valores do coeficiente y1 y n y 0 Aç6a Comblnaçõa Pcrmanenrs g Variáveis q Prottlllip Recalques de apoio e de lições ietnçio Dcsfavontft Favorável cnl Tcmpcntun Dcshvariwl Fvcl Dcs wrávet Normais 14 10 14 12 12 09 12 o Especiai ou de lJ 10 12 10 12 09 12 o conuruçio Exiepcionais 12 10 10 o 12 09 o o Para as cargas pelm2nentcs de pequena variabilidade como o peso próprio das estruturas cspccial menrc as prémldadas esse coeficiente pode ser reduzido para 13 Qpadro 15 Valores do coeficiente y0 Ações Cargas acidentais de edi6Cius Locais em que não há predominância de pesos de equipamen tos que permanecem fixos por longos períodos de tempo nem de elevadas concentrações de pessoas como é o caso de cdificios residenciais Locais cm que há predominância de pesos de equipamentos que permancccn1 fix por longos períodos de tempo ou de clewdas concentração de pessoas como é o caso de edificios comerciais de escritórios estações e cclificios públicos Biblioteca arquivos oficinas e garagens Vento Pressão dinlmica do vento nas csturu em geral Ya V 05 04 03 07 06 04 08 07 06 06 03 o C 1 lntrodurio ao estudo das estrutulils de concreto armado 59 Qaadro 15 ContinuaçJo Aç6e9 Ya li Ili Temperatura Variações uniformes de temperatura cm relação à média anual 06 05 03 local em que lo fator de redução de combinação para o estado limite último j1 fator de redução de combinação frequente para o estado limite de serviço e Vi fator de redução de combinação quase permanente para o estado limite de serviço Os valores dos quadros 14 15 Jdein ser modificados elT casos especiais não contemplados aqui de acordo com a ABNT NBR 86812003 O valor do coeficiente de ponderação de cargas permanentes de mesma origerri em um dado carregamento deve ser o mesmo ao longo de toda estrutura A única ex ceção é o caso da verificação da estabilidade como corpo rígido Segundo o item 1323 da norma a seção transversal de pilares e pilaresparedes maciços qualquer que seja a sua forma não pode apresentar dimensão menor que 19 cm Em casos especiais permiteinse paredes estruturais com espessura entre 14 cm e 20 cin e pilares com largura inferior a 20 ém desde que o coficiente Yseja majorado pelo coeficiente de ajustamento y0 de acordo coin os valores do Qpadro 16 item 1323 da ABNT NBR 61182014 esta correção se deve ao aumento da probabilidade de ocorrência de desvios relativos significativos e falhas na construção Em qualquer caso não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2 Para lajes em balanço com espessura h inferior a 19 cm os esforços solicites de cálculo também devem ser mUltiplicados pelo coeficiente de ajustamento Y dados no item 13241 da norma e no adro 17 Quadro 16 Valores do coefiácna adiáonal Y para piLares e pilarcspaRdc bcm 19 18 17 16 is 14 Y 100 105 110 115 120 125 Esses valores também podem ser obtidqs pela cxprcssão128 cm que b é a menor dimensão da seção transversaldo pilar expressa cm centímetros cm Y 19 005 b 128 60 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado Quadro 1 7 Valores do coeficiente adicional y para lajes cm bdanço h cm 19 18 17 16 15 14 13 12 li 10 Y 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 Esses valores também podem ser obtidos pela expressão 129 em que h é a alrura da laje expressa em centímetros cm y 0 195 005 h l29 1li42 Coeficientes de ponderação para os estados limites de serviço Em geral o coeficiente de ponderação das ações para os estados limites de serviço é tomado igual a Yri yr Yr sendo que Yri tem valor variável conforme a verificação desejada conforme a seguir sendo os valores dos fatores de redução ljl 1 e ljl 2 referentes às combinações de serviço dadas no Q1iadro 15 em que y 0 1 para combinações raras y e ljl 1 para combinações frequentes y ri ljl 2 para combinações quase permanentes O objetivo da análise estrurural seção 14 da ABNT NBR 61182014 é deter minar os efeitqs das ações na estrutura de modo a ierificar os estados limites últimos e de serviço Essa análise permite estabelecer as distribuições de esforços internos as tensões a5 dcforrnaÇões e os deslocamentos em parte ou em toda a estrurura Para isso as solicitações de cálculo devem ser determinad à partir de combinações das ações consideradas de acordo com a análise estrurural 18S CoMBINAÇES oAs AÇôES Um carregamento é definido pela combinaHO das ações que têm probabilidades não desprezíveis de aruarem simultaneamente sobre a estrurura durante um período preestabelecido A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura a verificação da segurança em relação aos estados limites últimos e aos estados Jimites de serviço deve ser realizada em função de cqmbinações últimas e de sço respectivuilcute Em todas a5 combinações as ações pennanentes devem ser tomadas em sua totalide das ações variáveis devem ser tomaaas apenas as parcelas que produzem efeitos desfavoráveis para a segurança ações incluídas cm cada uma das combinações devem ser consideradas com seus valores representativos multiplicados pelos rcspectivos coeficientes de ponderação As combinações das açõ necessárias às verificações nos estados limites último e e C 1 lntroduço ao estudo das estruturas de concreto armdo 61 serviço estão definidis no item 118 da ABNT NBR 61182014 para diversas possibi lidades e critérios gerais são dados no item 433 da ABNT NBR 86812003 1851 Combinações últimas As COflbinações últimas são classificadas como normais relacionamse aqui ape nas as referentes ao esgotamento da capacidade resisente para elementos de concreto armado especiliis ou de consruçãoe excepcionais As aõcs permanentes devem figurar cm todas as combinações de ações a Combinações últimas normais ainaeto armado Em cada combinação última normal uma das ações variáveis é considerada como a principal admitindose que ela atue com seu valor caractcrísrico Fk e as demais são entendidas como secundátias atuando com seus valores reduzidos lc combinação 1110 Fk conforme a ABNT NBR 86812003 As combinações normais são dadas pela expressão 130 F y F y F y F F y F d g gk g gk q lk tQj qjk q tn lk em que Fd valor de cálculo das ações para combinação ültima F gi representa as ações permanentes diretas 130 F k representa as ações indiretas permanentes como a retração F k e variáveis t cg comp a temperatura F ri Fqk representa asações variáveis diretas das quais Fqlk é escolhida principal y y y y expressos no hiadro 14 g q ljDi expressós no Quadro 15 De maneira geral deverão ser consideradas inclusive combinações em que o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de y 1 10 No caso de estruturas usuais de edifkios essas combinações que consideram y reduzido 10 g não precisam ser consideradis Ainda no caso de cominações normais para perda do equilibrio como corpo rído devem ser empregadas as scguiates expressões 131 132 F y G y n y n od gn nli q t I omin 133 134 62 Ulculo detalhamento de estruturas usuais de concretoannado Q Oj 135 em que F i representa as ações estabilizantes F ad representa as aões não estabilizantes G l é o valor característico da ação permanente estabilizante Rd é o esforço resistent considerado estabilizante quando houver G é o valor característico da ação permanente instabilizante Q é o valor caiacterístico das ações variáveis instabilizantes u é Ô valor caractstico da ação variável instalilizante considerada principal V o e são as demais ações Variáveis instabilizantcs consideradas com seu valor reduzido Q é o valor característico rµínimo da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante b Combinações últimas espeàais ou de construção No caso das ações especiais ou de construção vale a mesma COflbinação das nor mais expressão 130 tendo os termos os mesmos significados A diferença é que j0 pode ser substituído por j2 quando l atuação da ação principal Fqlk tiver duração muito curta Nessas combinações devem sempre estar presentes as açOcs permanentes a ação varivcl especial quando existir com seus valores característios e as demais ações va riáveis com probabilidade não desprezível de ocorrêiicia simtânea com seus valores reduzidos de combinação e Combinaões últimas excepdonais No caso das ações excepcionais também j0 pode ser substituído por lj2 quando a aroação da ação principal Fqlctt tiver duração muito curta Da mesma maneira devem também sempre figurar as ações permanentes a ação viável excepcional quando existir com seus valores representativos e as demais açõ variáveis com probabilida4e não desprczívd de ocorrência simultânea com seus valores reduzidos de combinação Nesse caso enqse entre outros sismo in cêndio e colapso progressivo A combinação é cxprcssa pr F y F T y F F y 2 F y F d g gk q ap qlcm q TOJ I aq TO aqk 136 em que Fq1 é a ação cepcional e os demais termos siO os mesmos definidos no item a 18S2 Combinaiies de serviço As combinações de serviço são classifiiadas de acordo com seu tempo de perma lência na estrutur1 cm quase permanentes fRquentes e ruas 1 Combinações quase pennanentês de serviço Nas combinações quase permanentes admitese que as ações aruemdurante gran de parte do período de vida da estrutura e sua consideraçlo pode ser necessãria na verificação do estado limite de deformação excessiva Nessas combinações todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase permanentes j2 Fqk sendo 137 em que F dln é o valor de cálculo das ações pµa combinações de serviço Ili é o fator de redução de combinação quase permanente para o estado limite de serviço b Combinações frequentes de serviço Nas combinações frequentes as açõesse repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação e abertura de fissuras e de vibrações excessi Podem também ser consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas decorren tes de vento ou temperatura que possam comprometer as vedações Nessas combina ções a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor frequente jl 1 Fqlk e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase permanentes 1j12 Fqk sendo 138 em que Fqtk é o valor característico das ações variáveis principais diretas jl 1 é o fator de redução de combinaçã frequente para o estado limite de serviço e Combinações raras de serviço Nas combinações raras as ações ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras Nessas combinações a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor característico Fqllr e todas as demais ações são tomadas com seus valores fre quentes V 1 Fqk sendo 139 186 SOLICITAÇÕES Denominase solicitaçãoou esforço solicitante qualquer esforço momento fie tor força normal força cortante ou conjunto de esforços decorrentes das ações e apli cados a uma ou mais seções de um demento da estrutura O La1cu10 e oeta1namento oe estruturas usuais ae concreto armaao Na ABNTNR 6182014 as solicitações de cálculo são obtidas para a combi nação de ações considerada de acordo com a análise estrutural e para cada estado li mite a ser considerado ou seja as ações é que são majoradas sendo então determinadas as solicitações 1 9 QUALIDADE DAS ESfRUTURAS Um dos aspectos a se destacar na ABNT NBR 61182014 é a preocupação exis tente com a questão da qualidade e durabilidade das estruturas apresentadas na seção 5 Requisitos gerais de qualidade da estrutuia e avaliação da conformidade do projeto e na 6 Diretrizes para a durabilidade das esuuturas âe concreto A norma estabelece no item 511 que as estruturas de concreto devem atender aos seguintes requisitos mínims de qualidade durante a construção e utilização classificados em três grupos distintos definidos no item 512 Grupo 1 requisitos relativos à capacidade resistente da estrutura ou de seus elementos componentes Grupo 2 requisitos relativos ao desempenho em serviço que consiste na capa cidade de a estrutura se manter em condiçõeS plenas de utilização não devendo apresentar danos que comprometam em parte ou total menti o 110 para o qual foi projetada e Grupo 3 requisitos relativos a sua dubilidade que consiste na capacidade de a estrutura resistir às iniluências ambientais previstas e definidas em conjunto pelo autor do prÔjeto estrutural e o contratante Simplificadamente as exigências do grupo 1 correspoqdem à segurança contra a ruptura as exigências do grupo 2 referemse a danos como fissuração excessiva defor mações inconvenientes e vibrações indesejáVeis e as exigências do grupo 3 têm como referência a conservação da estrutura sem necessidade de reparos de alto custo A solução estrutural adotada deve atender aos requisitos de qualidade estabeleci dos nas normas tcnicas referentes aos três grupos Peve ainda considerar as condições arquitetónicas funciopais construtivas estabelecidas principalmente na ABNT NBR 149312004 estruturais e de integração com os demais projetos elétricos hidráulicos e outros Q1ianto ao projeto em s ele deve proporcionar as informações necessárias para a execução da estrutura atendendo a todos os requisitQS estabelecidos na ABNT NBR 61182014 eem outras complementares e especificu conforme o caso 11 o DURABILIDADE DAS esmuruRAS DE CONCRETO Em relação à durabilidade a ABNT NBR 61182014 no item 61 exige que as cscruturas de concreto sejam projeadas e construídas de modo que s0b as intluêncbs ambientais previstas e quando utilizadas conforme estabelecido em projeto conservem sua segurança estabilidade e comportamento adequado em serviço durante o período correspondente à sua vidaútil de projeto Vida qtil de projeto deacordo com o item 62 da norma é o período de tempo durante o qual se mantêm as carcterísticas da estrurura de concreto sem intervençõcs significativas desde que sejam atendidos os requisitos de uso e manutenção prescritos pelo projetista e construtor bem como de execução ds reparos necessários decorrentes de eventuais danos acidentais A durabilidade das estruturas de concreto requer ainda cooperação e csforÇos coordenados do proprietário do usuário e dos responsáveis pelo projeto arquitetõnkn pelç projeto estrutural pela tecnologia do concreto e pela construção Uma das prínCipais responsáveis pela perda dequalidale e durabiüdade das es truturas é a agressividade do meio ambiente que segundo o tem 64 da ABNT NBR 61182014 está relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto independentemente das açõs mecânicas das variações volumétricas de origem térmica da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento Nos projetos das estruturas correntes a agressividade ambiental polc ser clas sificada de acordo co o apresentado no Quadro 18 Tabela 61 da ABNT NBR 61182014 podendo ser avaliada simplificadamente segundo as condições de exposi ção da estrutura ou de suas partes Qladro 18 Classes de agrsividade ambiental CAA Classificação gcra1 Classe de agressividade Agressividade do tipo de ambien Risco de deteriora ambiental te para efeito de çiio da estrutura projeto Rural 1 Fraca Insignificante Submersa II Moderada Urbana º 2 Pcquenl Marinha n III Forte Grande Industrlal UlJ fodustrial u 31 IV Muito forte Elevado Respingos de maré Qwulro 18 Co11ti11WlIJD Classificação geral Classe de agressividade 0 Agressividade do tipo de ambien Risco de deteriora ambiental te pan efeito de ção da estrutura projeto Podese adnútir um microclima com uma classe de agressividade mais branda um 1 nível acima para ambientes internos secos salas dormitórios banheiros cozinhas áreas de serviço de apartamentos residencWs e conjuntos comcrcis ou ambientes corn concreto revestido com argamassa e pintura Podese admitir uma classe de agressividade mais branda um nívd acima cm obfas 2 cm regiões de clima seco com umidadc relativa do ar menor ou igual a 65 partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde chove raramente 3 Anibientcs quimicamente agressivos ianques industrWs galvanoplastia branquea menro em indústtis de iuiose e papel armilzéns de fenilizantes indústtias qúimicas A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do con creto e da espessura e qualidade do concreto do ºcobriinento da armadura Segundo o item 742 da ABNT NBR 61182014 ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e nível de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos Na falta destes e por causa da forte correspondência entre a relação águacimento a resistência à com pressão do concreto e sua duntbilidadc é permitido adotar os requisitos mínimos do Quadro 19 Tabela 71 da ABNT NBR 61182014 destacando que o concre to empregado na execução das estrurur dce cumprir os requisitos estabelecidos na ABNT NBR 126552006 e as classes de concreto são dadas na ABNT NBR 89532009 Concreto para fins estruturais classificação pela massa especifica por grupos de resistência e consistência Quadro 19 Concspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto CoDCKto Tipo C1usc de mgralrividade 1 li Ili IV Reiação águacimento cm Concreto armado S 065 s060 055 S s045 massa Concreto protcndido s060 s 055 s050 s045 Concreto armado C20 C2S CJO C40 Classe de conmto Concreto protcndído ClS CJO C35 C40 Além das cspecificições da classe de cóncrcto e do máximo fator águacimento as verificações de aberturas máximas de fissuras e os brimentos mínimos das umaduras CAP 1 Introdução ao estudo das estruturas de concreto armado 67 capítulo 4 todos cm função da classe de agressividade ambiental faze parte das condições de projeto que garantem a durabilidade da estrutura 111 CUIDADOS A TOPAAR EM UM PROJETO PARA GARANTIR A DURABILIDADE Ao se iniciar um projeto de uma estrutura em concreto armado para garantir a sua durabilidade é preciso no mínimo tomar os seguintes cuidados referentes ao cálculo e detalhamento 1 Identificar a região em que a estrutura ser consmúda e em que condições será utilizada definindo a classe de agressividade ambiental CAA e a classificando de acordo com o 01iadro 18 2 Definir a partir da CAA o valor mínimo da resistência característica do concreto fck e o valor máximo d fàtr águacimento AfÇ fomecldo no adro 18 3 Ainda por meio da CAA determinar ó cobrimento mínimo da armadura que deve ser empregado será visto no capítulo 4 4 Identificar o uso do edifício cuja estrutara está sendo calculada assim fica definido o valor de V 1 01iadro 15 para ser empregado na verificação de abertura de fissuras 5 Verificar se a abertura de fissllras atende aos limites prescritos será visto no capítulo 4 Esses cuidados são imprescindíveis para garantir em relação ao cálculo estrutural a durabilidade adequada da obra ém disso outros fatores somamse a estes um bom detalhamento das armadoras execução adequada manutenção etc ADENDO RESUMO DAS EXPRESSÕES E PRINCIPAIS GRANDEZAS RELAOONADAS NESTE CAPmJLO Neste adendo estão todas expressões rclacionaqs no capítulo e também os valores das principais grandezas citadas A Expressõe5 e seus signifieados Resistência à compressão do conêreto f NIA 11 Resistência à compressão característica do concreto r f 1 1645 ou fck f 1645 s 12 Coeficiente de variação ô t fd fan J 13 C 1 lntroduçao ao estudo das estruturas de concreto armado 69 Relação tensãodeformação para concretos no ELU Conactos de classes até CSO Ecl 20o E 35o n 2 C0ncretos de classes CSO até C90 Ecl 20o 0085o k 500SJ E 26o 35o 90 fck100 4 n 14 234 90 fdr100 4 ParaºELS até CSO substituise Ía1 por k ª 085f HlJJ 114 Relação tensãodeformação para concretos no ELU em função da resistência carac erística fck para concretos até classe cso arH1 2Jl 115 Relação tensãodeformação palltconcrctos no ELU cm função da resistência de cálculo fa1 para concretos até classe CSO ª 085 r H1rJ ai 2o 116 Deformação específicºa do aço e e 10 100 l17 lo Deformação espeáfica de cálculo do açono escoamento f E 118 E Condição de segurança Rd Sd l19 Resistência de projeto cálculo f 1 d 120 Ym btl Qlculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto rmado Resistência à tração inferior do concreto Ínkinf O 7 fcrm 14 Resistência à tração superior do concreto Íi non 1J fctm 15 Resistência média à tração do concreto de classes até C50 fam 03 ff 16 Resistência média à tração do concreto de classes C50 até C90 m 212 ln 1 011 fd 17 Módulo de elasticidade secante E cr 18 E Módulo de elasticidade inicial para concretos de classes C20 a C50 Eci ªE 5600 Jf 19 Módulo de elasticidade inicial para concretos de ses C55 a C90 E 21 5103 ci 1 25 f m a E 10 110 Módulo de elasticidade secante em função da resistência característica k E ci E O 8 O 2 E s E aª soa a 111 Módulo de elasticidade inicial no tempo t para concretos de classes C20 até C45 f J E0 t Ed 112 Módulo de elasticidade inicial no tempo t para concreto de classes CSO até C90 f r 1 E0 t E0 113 70 c11Culo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado Resistência de projeto cálculo à compressão do conaeto quando li verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias de idade f fd a Yc 121 Resistência de projeto cálculo à compressão do conaeto para idades menores que 28 dias fdj fel 122 fd 1 Yc Yc Coeficiente de desenvolvimento da resistência à compressão do concreto ao longo do tempo 038 P oonqctode cimonto CPIII o CPJV s O 25 para concreto de Cimento CPI e CPII 0 20 para concreto de cimento CPV ARI P1 exp s 1 28tll2 123 Coeficiente de ponderação de resistência Ym Yrr1Ymi 0 YmJ l24 Resistência de projeto cálculo à compressão do oncrcto f cd 14 125 Resistência de projeto cálculo de escoamento do aço f f 126 u 115 Coeficiente de ponderação de ações YrYnºYaºYo 127 Valores do cçxficicnte adicional y para pi4res e pilarcsparedc Y 195 005 b I 128 Valores do coeficiente adicional y para lajes ºcm balaDço Y 195 005 h 129 111u u nuuu Ud estMuras ae concreta armaao 1 Combinação última normal ELU e para especial 4c construção Fd Y F Y F a1i Y F a1k lN F1J Y lo F tak 130 Combinação última ação normal para perda do equilíbrio como corpo rígido SF i SF 131 Combinação última ação normal para perda do equilibrio coo corpo rígido F111 Y G Rd 132 Combinarão última ação normal para perda do equilíbrio como corpo rígido F y G y Qy Q nd Rll alr Q Qt min 133 Combinação última ação normal para perda dó equilibrio como corpo rígido DI G Q LiVoi Qjk 13 j2 Combinação última ação normal para perda do equilíbrio corno corpo rígido Q k Llo k 135 Combinação última excepcional Fd Yi F Y F F1 Y Llo Fik Y lo F tok 136 Combinação quase permanente ELS F coir lF a LI 2 F oi1t 137 Combinação frequente ELS F dla rF U 11 F011t Llli Fqjk 138 Combinação rara ELS F rF ü F011t 111 Faik 139 B Valores das principais grandezas de interesse Deformações específicas de concretos até CSO Ec2 20o E 35o Coeficiente de Poisson do concreto V 02 Módulo de elasticidade transversal do concreto Gc Ef24 1 1a1cu10 t oe1ainamemo oe esrrururas usuais oe concreto armado Módulo de elasticidade do aço E 210000 MPa 1 Peso específico concreto armado Ya 25 kNm3 Peso específico concrto sem armadma Y 24 kNm3 Coeficiente de dilatação térmica do concreto a 1 10s e mnc Coeficiente de dilatação térmica do aço ª 12 10s c 1 ApTUL02 PAVIMENTOS DE EDIFICAÇÕES COM LAJE NERVURADAS UNIDIRECIONAIS DE VIGOTAS PRÉMOLDADAS 2 l INTRODUÇÃO Para calcular urna estrutllra composta de lajes gas e pilares é necessário antes de tudo conhecer o tipo de pavimento ou de forro que será usado para que seja possível determlnar as cargas e posteriormente detalhar as vigas e na sequência os pilares Dependendo da finalldade da edificação projetada há um gnlu de exigência de funcionalidade dimensões mínimas e ações a serem atendidas Assim não é possível por exemplo comparar o forro de uma caa popular de 60 m2 com o de um teatro de 1000 m2 Serão considerados os pavimemosmais simples econômicos e que resultam em boas soluções para pequenos e médios vãos empregados principalmente em constru ções residenciais e comrciais de prqueno e médio porte casas sobrados pequenos edifícios No projeto desses tipos de edificações têm sido emfTegados cada vez mais os sistemas de lajes nervuradas com vigotas prémoldadas forinadas geralmente por trilhos e treliças no lugar do sistema de lajes maciças de concreto armado 22 DESCRIÇÃO DAS LAJES NERVURADAS COM VIGOTAS PRÉMOLDADAS As lajes prémoldadas aqui descritas são utilizadas para vencer pequenos e médios vãos e cargas não muito elevadas Excluise desta forma as lajes prémoldadas proten didas em forma de 1t ou duplo Tê e as alveolares mostradas nas figuras 2la e 2lb Assim serão estudadas as lajes nervuradas unidirecionais compostas de vigotas prémoldadas dos tipos trilho e trcliça chamadas doravante de lajes premoldadas ou simplemente de lajes trilho e lajes treliça Nas normas brasileiras que tratam dessas lajes a seguir relacionadas elas são chamadas de lajes préfabricadaS ABNT NBR 14859 lA de maio de 2002laje préfabricada requisitos Pane 1 lajes unidirecionais ABNT NBR 14859 2 d maio de 2002 laje préfabricada requisitos Parte f 2 lajes bidirecionais 74 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto11nnaclo ABNT NBR 14860 lR de laio de 2002 laje préfabricada prélaje requi sitos Parte 1 lajes unidirecionais ABNT NBR 14860 2 de maio de 2002 laje préfabricada prHaje requi sitos Parte 2 lajes bidirecionais ABNT NBR 1486i 28 de novembro de 2011 lajes alveolares prémoldadas de concreto protendido requisitos e procedimentos ABNT NBR 14862 30 de maio de 2002 armaduras trcliçadas Cletrossolda das requisitos Essas lajes são formadas por elementos prémoldados chamados de vigotas trilho de concreto armado ou protendido ou treliça por lajotas normalmente cerâmicas e por uma capa de concreto maldada no localf igura 2lc e 2ld A armadura do elemento tipo trilho é composta de barras retas colocadas na parte inÍerior deste Em relaço ao elemento tipo treliça sua armadura wna ça espacial de aÇo formada por três banzos Paralclos e diagonais laterais de forma senoidal s0ldadas por processo detrônico aos banzas Figura 2 le a Laje tipo 11 b Laje alveolar e Laje tipo trMho d Laje tipo lrallça e Anraçllo laje trwa Figura 21 Seções transversais de lajes prémoldadas a tipo ti b alveolar e tipo ttilho d tipo trelip e amadura da nervura da laje tipo tnliça A ABNT NBR 1485912002 define o scPte Lajes préfabricadás wúdirccionais item 31 são lajes nervuradas constituídas por nervuras principais longitudinaisdispostas em urna úriià direção podendo ser empre gadas Jgumas nervuras transversais perpendiculares às ncrvoras principais Vigotas préfabricadas item11 são constituídas por concreto estruturil execu tadas industrialmente fora do local de utilização definitivo da estrutura ou mesmo em CA Z lav1mentos ae eomcaçue ICIP 11e1 ªuª u111u11C1v1d1 ae vigoras premoiaaaa canteiros de obra sob rigorosas condições de controle de qualidade Englobam total ou parcialmente a armaduia inferior de tração integrando parcialmente a seção de concre to da nervura longitudinal Podem ser a de concreto armado com seção de concreto usualmente formando um uTn invertido com armadura passiva totalfnente englobada pelo concreto da vigota utilizadas para compor as lajes de concreto armado LC b de concreto protendido om seção de concreto usualmnie formando um uTn in vertido com armadura ativa prétensionadá totalmenteenglobada pelo concto da vigota utilizadas para compor as lajes de concreto protendido LP c treliçadas com seção de concreto formando uma placa com armadura treliçada con forme ABNT NBR 148622002 parcialmente englobada pelo concreto da vigota Quando necessário deverá ser complementada com armadura passiva inferior de tração totalmente englobada pelo concreto da nervura utilizadas para compor as lajes treliçadas LT As seções transversais dai lajes com vigoras do tipo trilho em concreto armado e concrew protendido vencem vãos maiores que as usuais de concreto armado são mos tradasnas figuras 22 e 23 figuras l e 2 da ABNT NBR 1485912002 em que são identificadas por LC e LP respecti13lllente e a seção transversal das lajes com vigoras do tipo rreliça está apresentada na Figura 24 Figura 3 da ABNT NBR 148591 2002 em que são identificadas por LT Vtgola VC Capa de conaeto C Elemento de enchimento E h I Ertg yçl lnterelxo 1 Vigcila VC hl i b b h h h e Figura 22 Laje préfabricada com vigotas de con ado LC Vigota VP hl Figura 23 Laje préfabricada com vigotas de conmto protcndido lP V on u1u t uc01110111t1nu ut tUuLurct usuais ae concreto armado Vlgola VT Capa de conaelo C Elemento de enchimento E hrZJE 1izhaI J lIQ b V Vigota VT h b lnterelxo 1 Figura 24 Laje préfabricada com vigobs trcliçadas LT 1 b by h h h e Os elementos prémoldados nas fases de montagem e concretagem são os ele mentos resistentes do sistema e têm capacidadede suportar além do seu pes próprio a ação das lajotas do concreto da capa e de uma pequena carga acidental alguém se locomovendo para um vão normalmente de até 15 m Desta maneira o escoramento necessário para executar uma laje deste tipo não requer um grande número de ponta letes ou escoras Além disso para executar a concretagerri da capa não é necessário usar fõrmas como é o caso das lajes maciças de concreto pois o elemento prémoldado e a lajota fazem esse papel Esta é a f1Íinápal varitagem dete tipode laje não se gasta fõrma e é necessário pouco escoramento Como principais desvantagens podem ser destacadas a dificwdade na execução das instalações prediais e os valores dos deslocanientos transversais bem maiores que os apresentados pelas lajes maciças As lajes aqui descritas embora usualmente chamadas de prémoldadas são na verdade parcialmente prémoldadas pois têm apenas um dos seus componentes a i gota cipo trilho ou treliça feito fora de posição em que atuará Isso se explica em razio da limitação de transporte vertical Caso se optasse por uma soluçãp em que o pavimento fosse composto apenas de elementos prémoldados haveria necessidade em razão do peso desses elementos de empregar equipamentos mecânicos para colocálos na posição final Também por essa razão são empregadas lajotas cerâmicas com resistência relacivamehte baixa po rém suficiente para a finalidade em questão sendo acima de tudo leves Além delas existem no mercado elementos de enchimento de concreto isopor EPS concreto airado etc permitido o 4so de um número menor de viotas Na ABNT NBR 1485912002 item 313 é admitida armadura longitudinal complementar apenas em lajes treliçadas quando da imPoSibilidade de ser colocada na vigota treliçada toda a armadura passiva inferior de mção necessária Ainda segundo a ABNT NBR 148591200J item 313 devê ser colocada uma armadura de distribuição posicionada na capa nis dirCções transversal e longituâinal para a distribuição das tensões oriundas de cargas cÓcentradas e para o controle da fissuração Conforme o item 56essa armadura deve ter seção de no núnimo 09 cm2m para aços CA250c de 06 cm2m para aços CASO e CA60 e tda soldada contendo três barras por metro pdo menos CN 2 Pavimentos ae eamcaçoes com 1a1es nervurwd u111u11i1u11d1 u v19utd5 premoiaaaas 11 No caso em que se desejam nervuras longitudinais contínuas dtvc ser dispos ta na capa sobre os apoios nas extremidades das vigoras e no mesmo alinhamento da nervura uma armadura superior ae tração segundo o item 31J da ABNT NBR 148591 2002 Finalmente descrevese como são executados os pav1mentos de lajes prémolda das Na Figura 25 sio representjidas em um mesmo painel de laje todas as etapas do processo construtivo Etapa 1 nivelamento e acerto do piso e execução do escoramento normalmente com posto de pontaletes e guias mestres tábuas as quais devem ser colocadas em espelho nessa etapa nda deverão ser executadas as contraflechas quan do necessárias Etapa 2 colócação daS vigoras posicionando la jotas ou outro ma teria de enchimento nas Cxtrcmidades como gabarito do espaçamento entre vigotas duas situações são possívçis Apoio das vigotas sobrea estrutura de concreto armado as vigoras devem apoiarse sobre as fôrmas após estas estarem alinhadas niveladas escoradas e com a armadura colocada e posicionada devem penetrar nos apoios pelo menos 5 cm e no máximo igual a metade da largura da viga a concretagem das vigas deve ser simultânea à execução da capa Apoio das vigotas diretamente sobre alvenaria neste cas devese respal dar a alvenaria e distribuir uma ferragem sobr ela para se formar uma cinta de solidarização as vigoras devem penetrar nos apoios de modo semelhante ao anterior e a concretagem da cinta também deve ser simultânea da capa Etapa 3 colocação dos elementos de enchiment lajotas cerâmicas blocos de EPS ou outros tubulação elétrica caixas de passagem te os blocos da primeira car reira podem ter um dos lados apoiados diretamente sobre a parede e o outro sobre a primeira linha de vigoras Etapa 4 colocação das armaduras de distribuição e negativas quando necessário con forme indicàção bitola quantiáade e posição que deve ser fornecida pelo projetista ou fabricante a armadura negativa deve ser apoiada e amarrada sobre a armadura de distribuição e esta colocada tansversalmente às vigotas principais Etapa 5 limpeza cuidadosa da interface entre as nervuras e o cncreto a ser lançado evitandose a presença de areia pó terra óleo ou qualquer substância que possa prejudicar a transferência de esforços ntre as superficies d contato e ucu111011C111u ft nu u1urd UUillS ae conaeto annaao devese sempre umedecer a intcrlace antes da concremgcm sem que entre tarito haja acúmulo de água Etapa 6 concrctagem da capa de concreto que divc ser acompanhada de alguns cui dados Colocar passadiços de madeira para evitar que as lajotas se quebrem Adensar o concreto suficientemente para que ele penetre nas juntas entre as vigotas e os elementos de enchimento Efin1ar boa cura molhando bem a superficie da laje de concreto durante pelo menos três dias após a concrctagcm Etapa 7 retirada do escoramento que deve oco 0 rrer aproximadamente após 15 dias do lançamento do concreto Nos edificios de múltiplos pavimentos o escora mento do piso inferior não deve ser retirado antes do término da lajeime datamcnte superior Deve ser verificada a resistência do Cncreto na data da retirada coo indicado na seção 1824 do capítulo 1 As lajes apresentadas até aqui caracterizamse por nervuras formadas pela vigota e pelo concreto moldado no local até à meia distância entre as duas vigotas adjacentes como na Figura 27d alinhadas segundoapenas urna direção como pode ser visto na Fitrura 25 recebendo portanto a denominação de lajes nervuradas unidirecionais Há a possibilidade do uso de vigmas e calhas prémoldadas para se obter uma laje com nerVl ras cm duas direções Capa de concreto Lajolas Trallça Figura zS Detalhes construrivos cM lajes prtmoldadas manual Lajes Mediterrânea CAP 2 Pavimentos de edificações com la nervuradas unidirecionais de vlgotas premoldadas 23 AçAo DA LAJE NAS VlGAS DO PAVIMENTO Ein virtude do seu processo construtivo as lajes prémlcladas unidirecionais tm como característica principal a disposição elas vi gotas segundo uma só direção gcral men te a do menor vão e simplesmente apoiadas nas extremidades Dessa foqna as vigas em que esses elementos se apoiam é que recebem a maior parte da carga Podem assim ser consideradas lajes armadas em uma direção o que se configura em uma des vantagem pois além de ter WI1 esforço de ftexão maior quando comparadas às placas maciçàs concentram quas toda a çarga em uma sô direÇãp nas vigas em que as ncr vuras se apoiam Usualmente admitese que a ação elas iajes préf1oldadas ocorre apenas nas vigas em que os elementos se apoiam não considerando nenhuma açãc das lajes nas vigas pa ralelas aos elementos Cabem portanto duas questões É correto considerar que apenas as vigas perpendiculares às nervuras rceebem a ação ela laje A capa de concreto nã confere rigidez mesmo que pequna ao pavimento na otra direção propiciando que também as Vigas laterais recebam uma parcela da carga proveniente da laje É possível responder por meio de um estudo simples em certa medida a essas interrogações Não se pretende estabelecer números definitivos a respeito mas apenas apontar tendências que estudos futuros com uma análise experimental adequada po derão transformar em indicações precisas 7 O comportamento estrutural de um pavimento formado por laje com vigoras prémoldadas adequadamente soliarizadas por uma capa de concreto pode ser Alais bem entendido quando comparado ao de um pavimento ecutado com elementos totalmente independentes nessecaso a capa apenas aumenta a largura da mesa não proporcionando rigidez na outra direção e ao de um pavimento de laje maciça Na ver dade as lajes prémoldadas têm wn comportamento intermediário ao dos elementos independentes e ao das lajes maciças estas serão estudadas no capítulo 7 231 ESTUDO PRELIMINAR Inicialmente será apresentada uma análise sobre o comrtamento destas três situações básicas elementos independentes laje prémoldada com capa de concreto e laje maciça tomandose como exemplo um pavimento bastante simples praticamente quadrado e simplesmente apoiado nas q1atro bordas Figura 26 7 Carvalho cr al 1998 e Figuciredo Ftlho er al 2000 80 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado o M M P1 P3 363an V1 V3 P2 P4 Figura 26 Planta do pavimento para análise do comporumento de iaj prémoldada Para caracterizar o comportamento desse sistema estrutural serão comparados para o pavimento da Figura 26 os esforços internos e os estados de deslocamentos obtidos para as três situaÇões citadts e ilustradas na Figura 2 7 formado por nervuras isoladas caso a por laje prémoldada elementos mais capa caso b e por placa maciça caso c A d1ferença entre os casos a e b é que no primcifo os elementos não têm ligação transversal na direção dos 363 ma qual no segundo é proporcionada pela capa de concreto Em todos os casos as vigas Vl V2 VJ e V4 serão consideradas para efeito de cálculo indeslocáveis na vertical situação que realmente ocorre quando se tem por exemplo paredes estrunirais no lugar de vigas O objetivo em resolver esse pavimento é identificar um processo de cálculo mo delo físico e matemático que possa ser usado com facilidade segurança e que resulte em valores próximos dos reais para pavimentos de lajes com vigots prémoldadas Para tornar possíveis as comparações em todos os casos são empregadas a mesma espessura total dos elementos a mesma intensidade de carregamento atuante e as mes mas características elásticas do concreto Os valores são espessura total do pavimento 11 cm espessura da capa 3 cm p 5 kNm2 ação totaljá considerado o peso próprio E 30000 MPa CAP 2 Pavimentos de edifiaçõés com lajes nervuradas unidirecionais de vigotas prmoldadas 81 363an P1 V1 P2 PJ V3 P4 a Situação 1 elementos Isolados Seperaçêo enlre mtrwras Jcm 1 e 11 an A d Seção transversal da sltuiiçao 1 36Jcm P1 V1 PJ VJ 36Jcm P1 V1 P2 PJ VJ P4 b Situação 2 laje prémoldada 3cm A e Seção transversal da situação 2 P2 1 1 P4 e Situação 3 placa 1 11 an A 1 Saçao transversal da sttuação J Figura 2 7 Situações analisadas dcmcntos isolados laje prémoldida e laje maciça 1 11 cm A análise dos esforços e deslocamentos para os casos b e e foi feita usandose o processo de grelha equivalente como será visto no capítulo 7 que consiste em dis creri2ar o pavimento por meio de um conjunto de elementos ortogonais capazes de nstir à torção e à flexão simulando o comportamento da estrutura A malha da grelha equivalente empregada é apresentada nas figuras 28 e 29 com a numeração dos nós Figura 28 e dos elementos Figura 29 82 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado Para o aso b as crvuras são representadas pelos dementos 132 a 231 e os le mentos 12 a 110 representam a capa de concreto com espessura de 3 cm que faz a ligação na direção transversal às nervuras Os elementos da periferia 1a11 111a121 122 a 131 232 a 241 representam as vigas do contorno No caso e todos os dementos da grelha são iguais nas duas direções No caso a como são dementos isolados eada um trabalha como uma viga independente como indicado na Figura 210 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4Q 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 Figura 28 Malha da grelha cquientc usada plra os casos b e e com a nwncração dos nós CAP 2 Pavimentos ele edlncaçoes com 1aie nervuraaas un1e11reclonats ele vlgotas prémoldadas 83 Modelo de cálculo para a sttuaçAo a l l l ll l l 11111 l ll ll l ll l l111 l111 l111 ll J 1 I 1 V1 VJ 1 Elemento longitudinal 1 330cm 1 seçao lransversal para o caso a 33an 1 Figura 210 Modelo de cálculo usado para a situação a am o elemento independente copsidendo como uma viga simplesmente apoiada A configuração deformada do pavimento para os três casos é mostrada nas figuras 211 a 213 Nos gráficos foi empregada a mesma escala e os deslocamentos são maio res quando todos os cleme1tos trabalham isoladamente caso a Figura 211 e menores 111 a1cu10 e oe1an1amen10 de es1ru1uras usuais de concreto armado quando se considera o efeito de placa caso c Figura 213 A laje prémoldada caso b Figura 212 apresenta um comportamento intermediário porém mais próximo do caso de elementos isolados Deslocamenlo de um pavimenlo formado vigas independenles BDatl02 t02 a O a 004 a 002 a 006 a 004 008 a 006 01 a ººª Figura 211 Estado de deslocamentocom todos os elementos indcpcndenies caso a Deslocamentos do piso com laje prémoldada 001J 004 006 OOS 01 p02 a 1j911 0004 a 002 a 006 a o 04 008 a 006 B01 a 008 Figura212 Configuração da laje com dementes prémoldados e capa de concreto caso b DeslocamenloS de um pavtna11o com laje maciça o 002 004 006 008 1 r C U1 m Figura 213 Configunçio da laje inaciç2 caso e S11 S9 002 a 139e17 EJ 004 a 002 a oqe a 004 oos a 006 O 1 a 008 úr 2 Pavimentos de edificações com lajes nervuradas unidirecionais de viotas prmoldJdíls 85 Percebese que no caso a todos os elementos têm a mesma linha elásrica eixo após a deformação por causa da própria hipótese de que trabalham isoladamente sem ligação transversal entre si Na laje prémoldada caso b as nervuras centrais aprcscn tarn praticamente a mesmalinha elástica Finalmente na laje maciça caso c há dife rença significativa entre ll linhas elásticas dos diversos trechos da placa e as defor mações sãó bem menores Isso ocorre por haver rigidez praticamente igual as direções longitudinal e transversal Os resultados rélatiVs à ação das nervuras nas vigas de Cntorno VI e V2 cstio nos gráficos da Figura 214 Na caso dos elementos isolados somente a viga Vl curva E recebe as ações dos elementos No caso da laje maciÇa as ações em Vl e V2 sfo prati camente iguais curvas B D pois a laje é pratiqmente quadrada e portanto a rigidc7 nos dois sentidos é quase a mesma Novamente a laje prémoldada tem um compor camento intennediário porém com a viga Vl viga de apoio das nervuras ahsorvendo uma parcela de esforço curva A maior que a viga V2 paralela às nervuras curva C Essas principio são as caractefsticas fundamentais das placa de lados com dimensões de mesma ordem de grandeza valores próximos dos momentos nasduas direções e distribuição equitativa das ações em todas vigas periféricas de apoio z e u 03 r l 025 E A 02 015 3 5 7 9 11 A V1 La1e pré B V 1 Laia maciça C V2 Laie pré D V2 Laja maciça E Vl Elam isolado Figara 214 Diagnma das ações das n junto às vigas Vl e V2 Nesse8 exemplos foi mantida constante a relação entre os vãos 330 m e 363 m e entre a rigidez da loDgarina 0 e da capa e não foi considerada a possibilidade de fissuração de trechos do concreto do pavimentoAs vigas do contornoforam admitidas indes1ocà vci tendo sido desprezado o cfCito da fluência do concnto Com estes exemplos iniciais foi possível ilustrar e compreender o comportamento elas lajes prémoldadas de modo a embasar a análise de outras situações que poÍSibilitaram estabdeeer aproximadamente 86 alculo e detalhamenta de estruturas usuais de concreto armado a ação das lajes prémoldadas cm todas as vigas do paento como será visto na pró xima seção 232 DEMAIS c4505 AAUSADOS E RESULTADOS OBTIDOS Dando continuidade à investigação fonpn anâlisados mais sete casos de painéis de lajes prémoldadas casos 1 a 7 com o objetivo ae verificar a influência nos valores das reações nas vigas de apoio da geometria do paind da relaÇão entre a rigidez dos trilhos e da capa da deslocabilidade elas vigas de apoio rade20 cm e altura de 40 cm e da inércia da capa e das vigas do cóntômo para simular a influência da fissura ção desses deentos os casos estão relacioos no Quadro 21juntamcnte com os principais resultados Qpndro 21 Exemplos estudados epercentual da carga iu laje transferido p vigas panl aos trilhos Dimensões Espessura Alt1Ua Condições Fissuração Fusuração absorvida Caso dopaVi da capa da laje do contorno dacapa du nasvigu mcntom cm cm V1ga5 secundárias 1 330 363 30 110 Indeslocávd Não Não 24 2 330 363 30 110 lndeslocávd Sim Não 16 3 330 726 30 110 lndcslocável Não Não 11 4 330 726 30 110 Indeslocávd Sim Não 8 5 330 363 30 110 Viga Não Não 27 6 330 363 30 160 Viga Não Não 16 7 330 363 30 110 Viga Sim Sim 20 No caso 1 referência foram mantidas as características da laje estudada na seção 231 no que se refere à geometria do paÍnd laje quadrada à espessura da capa e da laje e à indeslocabilidade das vigas de contorno Neste caso não foram considerados os efeitos da fissuração da capa dos tros ou elas vigas de apoio No caso 2 estudouse a influência da fissuração da capa de concreto muito co mum par causa da usual ineciência dos procedimentos de cura variandose apenas a inércia dos elementos transversais da grelha Coiderouse a inércia no estádio TI de um elemento de seção T que reiultou cm um or próximo de 14 da inúcia no estádio I seção nãÓ fusurada No caso 3 mantendose as demais caractcrktlcas do caso de referência variouse a geometria do painel adotando uma relação próxima de 2 para as dimensões dos lados laje rcmngular a fim de quantificar nesse caso a diminuição que certamente ocorre nas ações da laje sobre as vigas paralelas aos trilhos CAP 2 Pavimentos de edificações com lajes nervuradas unidirecionais de vtgotupnmoldadas 87 No caso 4 variouse nvamente a inúcia dos elementos aansvcrsais da lha para o caso de laje retangular a fim de obter mais um valor e ilustrar melhor o efeito da fissção da capa de concreto Nos três casos seguintes 5 a 7 as vigas de apoio são deslocáveis sempre com as lajes quadradas Nesses casos foram estudados os efeitos da deslocabilidade das vigas e da relação entre as espessuras da capa e da laje rigidez da capa e dos trilhos No caso 5 foram mantidas todas a5 caractcrísticas do caso de referência a fim de analisar especificamente o efeito da flexibilidade das vigas nas açées das lajes nas vigas No caso 6 adotouse wna nova espessura de laje mantendose a espessura da capa e as demais características anteriores com o objetivo de quantificar a influência da rdação entre a rigidez da capa e a dos trilhos Finalmente no caso 7 foi cónsiderada além da fissuração da capa diminuindo se a rigidez dos dementos transversais da grelha a fissuração das vígas de apoio cuja ínércia no estádioII é da ordem de 50 da inércia no estádio I Novamente foi utilizado o processo de grelha equivalente para a obtenção dos resultados Em todos os casos foi mantida a mesma malha utilizada anteriormente apresentada nas figuras 28 e 29 Os valores das açõesda laje nas vigas de apoio são apresentados na última coluna do Qiadro 21 Optouse por apresentar apenas a parcela do carregamento total que é transferid para as vigas paralelas aos trilhos objetivo principal da análise 233 ANALISE DOS RESULTADOS A comparação dos valores obtidos entre os diversos casos mostra que os resultados são consistentes Embora a limitação dos exemplos não permita quantificar precisa mente a influência dos diversos parãmetros na parcela de carga absorvida pelas vigas de contorno paralelas aos os podese analisar esta influência de forma qualitativa obtendose indicativos importantes para projeto Os quatro primeiros casos explicitam os efeitos da geometria da laje e da fissura Ção da capa fixandose as condições de não deslocabilidade das vigas de apoio situação típica de lajes prémoldadas apoiadas em paredes estruturais A geometria da laje influi de forma significativa na trajetória das cargas Quanto maiS próxima da forma quadrada maior a parcCla de forças absorvida pela viga paralela aos trilhosA comparação entre os casos 13 e 24 mostra uma diminuição percentual aproximadamente constante 50 quando a relação entre as dimensões dos lados do ii painel passa de 1 para 2 independentemente da fissuração da capa A condição de fissuração da capa de concreto tarQbém desempenha importante papel no comportamento da laje Com a capa fissurada tcinse a diminuição do efeito de distribuição proporcionado por ela reduzindo a ptrcda dei carga na viga paralela aos trilhos conforme comparação entre os casos 12 e 34 dimiriuiçãQ aproximadamente constante de 30 C 88 Oilculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado Nos últimos rrês casos procurouse aproximar as condições da siruação real de lajes apoiadas em vigas considerando a deslocabilidadc e a fissuração delas trabalha se apenas com lajes quadradas a fim de não estender em demasia o número de casos estudados O efeito de deslocabilidade das vigas de apoio é menos importante que o dos parâmetros anteriores mas não é desprezível Isto pode ser observado por meio de comparação entre os casos 15 e 27 Novamente os resultados são consistentes e apre sentam tendência de aumento das cargas nas vigai paralelas aos trilhos entre 13 e 25 para os casos em que as vigas são deslocáveis Devese embrar que na análise dos exemplos 27 em que o aumento foi maior 25 há também o efeito da fissuração das vigas de apoio além de sua deslocabilidade não considerada no caso 5 em ciue o aumento das cargas nas vigas foi menor 13 A influênciada relação entre as espessuras da capa e da laje foi analisada por meio da comparação entre os casos 5 e 6 Fica claro que quanto maior a espessura da capa em relação à espessura da laje maior o efeito da wstribuição das cargas com variação bastante significativa aumento de quase 70 na parcela de carga atuante nas vigas paralelas aos trilhos quando se consideram lajes de 11 cm e 16 cm Algumas outras situações foram estudadas novos vãos relações entre vãos nas duas direções espessura da capa etc chegando a valores ainda maiores da porcenta gem da carga total nas vigas paraldas às nervilras pavimentos quadrados e aumento relativo da espessura da capa 23A ONCLUSOES Como visto não é possível admitir que as vigas paralelas aos trilhos não recebm1 nenhuma carga proveniente da laje Em função dos valores obtidos recomendase que aproximadamente 25 da carga total sejam transmitidos a essas vigas É importante destacar que quando se considera uma fração da ação para as vigas em urna direção o valor para a outra direção é fixado automaticamente pois a soma das ações em todas as vigas deve resultar na aço torai sobre o pavimento Assim ao se optar por exemplo por usar um valor de 80 para a wreção e e este valor for a favor da segurança maior que o real na outradireção estará sndo considerada ação menor que a real Dessa man podem ser wdos dois tipos de procedimento chamados aqui de processo simplificado e processo racional No processo simplificado admitese que nas vigas pcrpenwculares às nervuras direção y atue toda a cargaproveniente da laje e qiie nas vigas paralelas direção x atue 25 dessa carga este valor é um pouco menôr que o mãximo encontrado nos exemplos estudados ou seja se na laje a carga atuante total for P nos cálculos das vigas scrí empregada uma carga de 125 P sendo portanto bastante a favor da segurança Neste caso as expressões paia o cálculo das reações nas vigas são úr 2 Pavimentos de edificações com lajes necvuradas unidirecionais de vigotas prémoldadas Ação nas vigas perpendiculares às nelliras plfy pl P 2f 2 r Ação nas vigas patalelas às nervuras 025pl l 025pe P 2l 2 89 21 22 em que p é a carga uniformemente distribuída sobre o pavimento e é o valor do vão na direçaó paralela às nervuras e 1 o valor do vão na direção perpendicular às nervuras No processo racional admitese que as ações nas vigas das duas direções depen dem fundamentalmente das dimensões da laje Assim como valores limlres definidos em função dos resultados ecotrados no estudo quando a reJação entre o vios for 1 nas vigas perpendicularcs às nervuras direção y será distribuída 75 da carga nas vi g paralelas direção x 25 da carga Qiando a relação entre os vãos for 2 os valores serão 92 e 8 respcctivarnente As expressões para o cálculo das reações nas vigas são Ação nas vigas perpendiculares às nervuras 58 17 p P 200 23 Ação nas vigas paralelas às nervuras 42 17 À p e V P 200 24 e com À 1 sendo f o valor do vão na direção paralela às nervuras o valor lo vão na l y direrão perpendicular às nervuras e l para l 2 e levese cónsiderar e 2 l T ra 1 y Embora novas situ2ções ainda mereçam ser estudadas é evidente que não será possível estabelecer valores que sejam corretos para qualquer caso o ideal é que se faça uma análise para casa caso Os ores recomenaados são limites o que pode resultar cm vigas superdimcnsionadas para situ2Sões particulares O que é possível afumar com certeza é que admitir que as vigas paciJclasàs nervuras não recebam nenhuma parcela do carregamento sobre o pavimento pode levar a resultados contra a segurança 90 çãlailo e detalhamento de estruturas usuais de conclltO ªnnado 24 DETERMINAÇÃO DAS FECHAS NAS LAJES rRMOLDADAS Um fator de vital importância no projeto das lajes com vigotas prémoldadas é b cálculo das flechas deslocamento máximo Sugerese que a favor da segurança ele seja feito considerandoas com o comportamento de elernents isolados pois pata as três situações analisadas inicialmente seção 231 as flechas resultaram em 00874 00750 e 00198 cm casos a b e respectivamente O efeito da fissuração capítulo 1 seção 11 pode serconsiderado por meio de uma inércia média lm determinada a partir do fato de que uma viga possui seções fissuradas e não fissuradas e cujo cálculo é mostrádo na seção 48 do capítulo 4 O efeito da flência do concnto deformação ao longo do tempo b ações per manentes também de ser considerido na avaliação da flecha final de acordo com a ABNT NBR 61182014como será visto na seção 48 Assim a flecha ainda sem os efeitos da fluência do concreto para a situação de nervuras simplesmente apoiadas nâs extremidades é representada por 5 pl a 384 E lm 25 cm que p aão atuante cm uma nervura vão do tramo riormalmentc a distância entre os eiXos das vigas de apoio da nervura E módulo de elasticidade do concreto e I inércia média seção 48 A análise feira até este momento referese apenas a um painel de laje ou eja as nervuras são simplesmente apoiadas nas vigas do contorno outras situações como vi gotas que se estendem sobre dois painéis continuas são vistas no Anexo 1 25 MOMENTO FLETOR E MODELO PARA O CÃLCULO DA ARMADURA Para detcnninar o momento fütor nas nerwras é interessante observar a Figura 215 cm que estão os diagramas de momentos da região central do pavimento para os três casos iniciais analisados na seção 231 Novamente a placa apresenta os menores valores e os resultados da laje prémoldada indicada na figura como nervura e dos dementas isolados são relativamente pros Esse fato permite recomendar que o momento máximo de uma nervura de laje premoldada simplesmente apoiada seja calculado a favor da segurança como o de um elemento isolado cxprcsso por C 2 Pavimentos de edificações com lajes nerwradas unidirecionais de vllJotas prémoldaas 91 ptl M 26 8 em que pé a carga atuante na nervura e f seu vão Diagrama de momenlO llelOr na região canllal da laje considerando placa maciça nervura prémoldada a elemento Isolado oos o I 4 I 3 5 6 7 8 9 101 1 Ê I 005 I 9 D 01 Ptaca I e g I E o 015 1 02 I 025 ElelTBnto Isolado Figura 215 Diagrama de momento Hetor na região central da placa O modelo matemátito para o cálculo da laje como foi visto é o de um conjunto de vigas paralelas que trabalham praticamente independentes podendo ser adotada uma seção transversal em forma de T por exemplo a da Figura 216 Além disse nas lajes continuas devese antes de iniciar a concretagem d capa de concreto colocar armadu ra junto à face superior do piso nas regiões de apoio das nervuras para limitar a abertura das fissuras mesmo que as nervuras sejam calculadas como simplesmente apoiadas Segundo o item 54 da ABNT NBR i485912002 as vigoras devem ter uma largura mínima tal que resulte quando montadas em conjunto com os elementos de enchimento Uma nervura com largura mínima de 40cmCabe destacar que a ABNT NBR 61182014 no item 13242 indica que para làjes neivuradas moldadas no local a espessura da nervura não pode ser inferior a 5 cm a Seção da iieivura Figura 216 Esquema da seção transVeml da laje e o rcspcctivo modelo adotado 92 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto arrnado Pelo modelo de cálculo empregado vêse que a seção transversal resiste elhor aos momentos positivos tracionam a face inferior que aos negativos pois a região de concreto disponível junto à borda inferior da laje região comprimida para momento negativo é bem menor que a região junto à face superior Assim cm lajes conónuas nem sempre é possível obter junto aos apoios intermediários o momento negativo total indicado pelo cálculo P0r este motivo e também porque cm obras de peque no porte é dificil garantir o posicionamento correto da armadura negativa durante a movimentação dos operários ela pode se deslocar netc trabalho a menos que haja indicação contrária serão considerados sempre os painéis prémoldados simplesmente apoiados as recomendações feitas anteriormente referemse a esta situação No Anexo 1 enontramse considerações sobre nervuras contínuas As lajotas normalmente cerâmicas nãotrabalham estruturalmente e apenas ser vcmde fôrrna para o concreto da capa A capaodade resistente do piso é estabelecida pelo trilho ou treliça e pela capa de concreto feita no local É importante que o peso da lajota seja o menor possível e que a capa de concrcto seja adequadamente resistente A resistência da nervura prémoldada da laje tipo trilho antes da concretagem da capa é estabelecida pelo concreto trabalhando à compressão e a armadura à tração No caso da laje tipo treliça a resistência do elemento prémoldacfo ocorre praticamente em razão da tteliça espacial de aço Como a altura da treliça é maior que a do trilho esta última necessita em princípio mais escoramento menr vão entre as linhas de escoramento A treliça metálica serve também após a concreta11em da capa como ligação entre o concreto do elemento prémoldado e o concreto da capa melhorando o comportamento do conjunto Com base no modelo descrito é possível montar um procedimcnro de dlculo que permite dimensionar a altura e a armadura loniírudinal necessárias nas lajes pré moldadas Na prática costumase tabelar os resultados obtidos por este procedimento a fim de que o engenheiro possa usar determinada laje prémoldada sem efetuar todo o cálculo embora esse procedimento não seja o mais adequado como se discutirá na seção 272 O melhor é que o projetista efetue o diensionamento para cada situação que se apresente 26 VERIFICAÇÃO AO CISALHAMENTO A verificação ao cisalhamcnto e o dlculo da armadura transversal nas lajes com vi gotas prémoldadas podem ser feitos como cm vigas pois elas são na verdade vigas sim plesmente apoiadas ou vigas contínuas Entrctmto pclàs dificuldades de se colocar essa armadura em clcmentos de pequena altura como são as ncrvurasL seu emprego não é comum Isso é possívd e permitido pelas normas se essas lajes forem consideradas como lajes nervuradas moldadas no local o que não deixa de ser correto pois se pode admitir que as características de concreto plimoldado acsscs casos são apenas transitórias C 2 Pavimentos de edificações com lajes nervuradas unidirecionais de vlgotas prémoldadas 93 No caso das nervuras com adura trcliçadllt embora as diagonais laterais pos sam contribuir narcsistência ao cisalhamento não é usual contar com essi colaboração Nas lajes ncrwradas aqui tomadas cmo referência é possível prescindir di ar madura transversal verificandose apenas a traçãô diagonal sob flexão e cisalhamento equação 27 e o esmagamento do concreto das bielas comprimidas Serão apresenta dos os procedimentos de verificação das lajes ao cisalharncnto de acordo com a ABNT NBR 6118201 os quais se aplicam às lajes armadas cm uma ou cm duas direções e serão transcritos a seguir apenas o itens que definm as condições para não utiliwção de armadura de cisalbaniento No item 13242 a norma permite para lajes nervuradas com espaçamento c1tre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm considerar os critérios de laje para verificar o cisalhamento da região das nervuras caso contrário elas devem ser verificadas como r vigas Ainda de acordo com o item 13242 é permitida a verificação ao cisalhamcnro como lajes para nervuras com cspaçamcnto entre 65 cm e 90 cm se a largura média das nervuras for maior que 12 cm As lajes podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração devidos à força cortante conforme o item 194l da norma se a força cortante solicitante de cálculo V Sd a uma distância d da face do apoio for menor ou igual à resistência de projeto ao cisalharncnto V Rdlpara siruação sem armadura de protcnsão a verificação pode também ser feita cm termos de tensão bastando dividir tudo por b d oUscja Vsi S VRd1 tRd k 12 40 rJ b d 27 cm que Rd 025 Írn1 OiS fmY veja seção 1623 equações 14 l e 16 é a tensão resistente de cálulo ao cisalhamcnto A P 1 so 02 1 b d A1 nas lajes com vigotas prémoldadas pod ser tomada como a armadura longitudinal total todas as nervuras cxitcntcs no trecho considerado d é a altura útil das nervuras b é a soma das Iarguras elas nervuras no trecho considerado item 1 i4112 cm lajes é usual que o trecho considerado seja uma faixa de largura igual a 10 m k é um coeficienteque tem os seguintes valores Para demcntos cm que 50 da armadura inferior não chegam até o apoiot k Ili Para os demais casos k l 16 d 1 não menor que l 11 co d cm metros 94 Qlculo e detalhamento de estru1uras usuais de concmo Mmldo 27 RníRIOS PARA ESCOLHA DA LAJE PMMOLDADA Todo projeto de uma estrutura de concreco armado assim como o de um pavi mento de lajes com nervuras pioldadas é feito de maneira que garanta e todos os dementos componentes a segürança às ações aplicadas o estado liinitc de colapso não será atingido e que ada elemento funcione sem apresentar grandes deformações atendendo ao estado limite de deformação cxccssiva Neste tópico são apresentadas indicações que oricn a escolha da altura e ar riudura a empregar nas ncrVuras das lajes prémoldadas de modo que haja seguran ça adequada conforto aos usuários e economia Seguindo essa iridicaçõcs é possível diminuir ou mesmo evitar a maioria dos fatores que geralmente causam problemas patológicos nas edificações Para escolher a altura e armadura de uma laje é preciso inicialmente conhecer âs çõcs que nela atuarão descritas a seguir 271 ÃÇÕES ATUANTES NA LAJE As ações verticais que podem atuar cm uma laje são as seguintes q carga acidental g1 carga permanente estrutural peso próprio da estrutura g1 sobrecarga permanente revestimento do forro e pisos Os valores das cargas a serem utilizados nas estruturas de edificações são dados pela norma ABNT 11BR 61201980 Segundo o item 2212 as cargas acidentais nas lajes residenciais devem ser admitidas salvo casos especiais uniformemente diStribuí das cm toda a área havendo valores núnimos recomendados para cada local da edifica ção Destacamse a seguir no OJadro 22 alguns desses valores Quadro 22 Valores minimos das cirgas verticais para edificações Local Carga kNmJ Residências dormitório copa co1inha e banheiro 15 kNmJ Forro não destirwios a depósitos 05 kNml Despensa ma de serviço lavanderia e depcndnciaade escritório 20kNml Compartimentos destinados a reuniões ou ao accaso póbllao 30 kNm Compartimentos destinados a bailes ginlstia ou esporta 50 liNJ Escadas comdons e terraços com acesso ao público 30kNfmJ Escadas corredores e terraços sem acesso ao público 20kNm2 Lojas 20kNml Para que não se cometam engllnos no emprego das unidades veja o Oaadro 23 Quadro 23 Connio de unidades mais usuais 1 kgf 98 N Newtons 10 N 1 Pa Pascal 1 Nm1 1 kN 100 kgf 01 tf 1 MPa Mega Pascal 10 kgflan1 27 2 DETERMINAÇÃO DO TIPO DE WE A principal razão para se US2f vigotas prémoldadas é a economia de fôrmas e portanto é conveniente não variar muito sua geometria Um molde de nervura dV servir para diversos vão alterando apenas a quantidade de armadura 1 altura das lajo tas e a espessura da capa para restir aos esforços de flexão É possíve uma vez fucida a geometria a armadura e a resistência do concreto calcular os momotos resistidos ou vãos máximos que podem sei empregados montando quadros que permitem aos projetistas escolher os tipos de lajes sem calculálas Os primeiros quadros que surgiram indicavam para cada geometria e ação aplica da qual o máximo vão resistido como no adro 24 para vigora tipo trilho em que P é a carga aruante acidental mais sobrecarga permanete q g2 exceto ó peso próprio da laje que já foi computado Quadro 24 Vãos li máximos metros para laje prémoldada tipo trilho apoio simples inre reixo de 33 cm Tipo de pkNml Alturacm laje 05 10 20 35 50 80 100 120 91 95 420 400 Pu 11 450 430 410 350 270 Pu 15 570 550 530 450 340 P20 20 690 680 650 570 460 330 270 Pis 25 830 810 790 670 550 400 330 290 PJO 30 900 870 840 620 530 460 Pls 35 103 990 960 720 620 540 O uso do Qpadro 24 o é suficiente para se um bom projete pois além de não fornecer a armadura nccesúria a ser mpregada não considera a comlção de deformação excessiva A altura neccsdria da laje é determinada pelo momento fletor último ou pela flecha limite máximo deslocamento possível O gráfico dos diagramas teórico e experimental carga fledia de uma nervura vigota mais capa de laje pré moldada submetida à flexão assim como o esquema de ensaio dessa laje está apresen tado na Figura 2 i7 llata 1111eral r V Concrelo lançado para formar capa com a vigola e a lajola Já posicionadas 1600 1400 o 1200 Q 1000 z O 3 2 ã o 800 Q 600 5 ci 400 200 o o 2 Nervwas 3 4 5 8 7 8 9 a flecha nm Figura 217 uema do ensaio de ftcxão e diagnma carga flecha de uma nervun dr bjc pré moldada No co da Figura 217 a curva A reprcscntaos valores teóricos dos desloca mentos considerando a seção sem 6ssur2S a curva B foi obtida com valores imediatos sem fiuncia medidos cxpciimentalmente e a e também relativa a valores 8 ldibid 2 Pavltos de edlflalç6es com lajes nerwradas unidirecionais de vlgotas prémoldadas 97 teóricos mas admitindo as seções transversais fissuradas 9 A partir de um certo ponto neste caso bc111 próximo da origem não há mais relação linear entre a carga aplicada P e a 8echa a pois o conaeto tracionado começa a apresentar fissuras em algumas seções como comentado na seç 11 do capítulo 1 diminuindo a capacidade de re sistência à deformação rigidez da laje Além da deformação imcdiat2 mostrada na Figura 217 há ainda uma deforma ção que ocorre ao longo do tempo chamada de deformação por uéncia do concreto 10 que depende entre outros parâmetros da intensidade das ações permanentes e cssa defonnação é muitas VCZeS da mesrna ordem de grandeza da imediata Asim a esco lha da altura deve ser criteriosa para que as condições prescritas na norma para o estido de defonnação excessiva sejam atendidas Apesar disso talvez até pela dificuldde em se executar os cálculos ou pela fi1ta de informações adequadas não tem sido prática dos projctist considerar os efeitos da fissuração e fluência na verificação de flechas deslocamentos máximos As tabelas encontradas atualmente já são um avanço em relação ao Qµadro 24 por incorporarem a quantidade necessária de armadura a ser utilizada para atendi mento da condição de colapso porém ainda não consideram a fissuração e a fluência do conaeto Diante dessa realidade os autores junt com Mesquita Carvalho 11 realizaram um estudo teórico até então inédito financiado pela FAPFSP cm que elabo raram tabelas que pcnnitcm obter altura e armaura de lajes prémoldadas cm funão do vão e ação atuante considerando as condições de colapso e de deformação excessiva incluindo nesta última os efeitos da fissuração e fluência Os iritérios usados nesse trabalho entretanto foram relativos à ABNf NBR 6118 1980 e ionsidcrando que na redação de 2014 há uma grande viriedade de verificações a serem feitas em relação ao estado limite de deformação excessiva seria impossível englobálas cm quadros Desta forma os quadros são fornecidos no Anexo 2 apenas para ricntação inicial e ponto de partida para verificações mais detalhadas Seguindo uma tendência atual sugerese arbitrar valores de altura para certa laje utilizando por exemplo os quadros do Anexo 2 e calcular a armadura netessárla para o estado limite último fàzcndo cm seguida as verificações para o estado de deformação excessiva se este não for atendido aumentase a altura da laje ou o valor da armadura longitudinal exemplo deste procedimento pode ser visto no final do capítulo 4 Como ponto de partida sugcremsealguns valores indicativos de ãltura de lajes apresentados no Quadro 25 que p é a aiga atuante sem o peso próprio carga acidental q mais sobrecarga permanente gl 9 Flório cr ai 2003 10 Roge er ai 2002 Tarinlllll ct aL 2002 2003 e Calavera cr aL 1998 11 Mesquita Cuwlho 1999 AI lalCUIO e 01m11naento oe estruturas usualS de concreto armado Qmdro lS Alturu iniciais pllll laje prmoldada cm fmçlo de carga e Ylol livra máimoe AJ tuna total da Peso próprio p e 10 kNmJ forro 20 kNmJ e p SO kNmJ lajecm kNmJ 10 110 35 m 12 141 50m 45 m 14 150 60m 55 m 16 ou maior 161 S5 m o Valores de peso próprio estimados para intercixode SO cm capa de 3 an e material de enchi mcnto cerimko A ai final da laje é sempre ignal à soma da altµa da lajota cerinúca ou outro material de enchimento com a espessura da capa de concreto Em principio o ideal utilizar a menor capa de coAcreto necessária ou seja tnibalhar com o concreto da capa apenas comprimido Porém quando não há variedade de lajotas no mercado emprega se a disponívd aumentando a capa até à alrura necessária Segundo a ABNT NBR1485912002 item 41 as alturas totais das lajes h de vem ser as indicadas no Qyaro 26 TabeJa 1 da norma de acordo com as alturas dos elementos de enchiment Outras dimensões podem ser utilizadas desde que atendidas todas as disposições da norma e que fornecedor e comprador estejam de acordo Quadro 26 Altura total da bje medidas cm ccntímcaos Alruca do elemento de cnchlmcnto h Altara total da laje h 70 100 110 120 80 110 120 130 100 140 150 120 160 170 160 200210 200 240250 º240 290300 290 340 3SO É importante destacar que a ABNT NBR 61182014 no item 13242 que trata de lajes nervuradas indica que a espessura da mesa quando incxistircm tubulaçõcs horizon embutidas deve ser maior ou igual a 1115 da da entre as faces das nervuras e não menor que 4 cm O valor mínimo absoluto da espessura da m deve r an quando existirem eubulações cmutidas de dilaictro menor ou jgua1 a 10 mm 2 Pavimentos CI 1naçoes iaes riervurilUd umu1reciona1s oe Y19otas premo1oaoas N Na versão anterior esse valores eram respectivamente 3 cm e 4 an Por essa razio 05 alores do Qiadro 26 possivelmente deverão ser revistos Ainda no mesmo item a ABNT NBR 61182014 indica que para tubulações com diâmetro C maior que 10 mm a llesa deve ter a espessura mínima de 4 cm C ou 4 cm 2 C no caso de haver cruzamento destas tubulaçõ Os elementos de enchimento devem ter as dimensões padronizadas definidas no Qyadro 2i e Figura 218 Tabela 5 e Figura 4 da ABNT NBR 1485912002 item 4341 podendo ser maciços ou vazados e compostos de materiais leves suficiente mente rígidos que não produzam danos ao concrete e às armaduras Quadro27 Dimensões padronizadas dos dementas de enchimento mcdidu cm centímetros Altura h nominal 70 mínima 80 95 115 155 195 235 285 b nominal 250 rriínima 300 320 370 390 400 470 500 Comprimento e nominal 200 mínimo 250 a 30 Abas de encaixe a 15 fl 1 a ibª Figura218 Elemento de enchimento Na ABNT NBR 1485912002 item 53 considerase a capa como parte resis tente da laje se sua espessura for no mínimo igual a 30 cm e no caso da cxisncia de tubulaçõcs a espessura da capa acima destas deverá ser de no mínimo 20 cm devem ainda ser observados os limites apresentados no Quadro 28 Tabela 8 da ABNT NBR 148591 2002 Qmdro 28 Espcs5U11l mínirm da capa pan 11 alturas torais padronizadas caitúnetros Altura robll da laje 10 11 u 13 14 16 17 20 21 24 25 29 30 34 Eepcssun mlnima da 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 s 5 s 5 capa raurane Em rdaçã áo Quadro 28 cabc a mtsma observação feita cm relação ao Quadro 26 ou seja possivelmente ela deverá ser revista p atender aos novos limites para a 1 w u1cu10 e aeta1namento ae estruturas usuais de concreto armado espessura das mesas da ABNT NBR 61182014 Em principio bastaria acrescentar 1 qn a cada valor indicado no Quadro 28 Nos exemplos do final deste capítulo foram empregadas capas de 3 cm O princi pal cüidado que se deve ter ao empregar capas de pequena espessura é evitar o possível puncionamento ruptura por aplicação de ação concentrada delas Entretanto esrudos feitos par Buscariolo et al 12 permitem afumar que a punção só ocorrerá com carga de elevada intensidade e concentrada cm área menor gue 2 cml 28 RITRIOS PARA A ESCOLHA DA ALTURA DE VIGAS DE PAVIMENTOS Foi visto que a altura das lajes é função da deformaçãolimite ou do momento no estado limite último e o mesmo ocorre com as vigas de pavimentos de edifícios Como na ABNT NBR 61182014 não existe recomendação sobre aaltura inicial a ser adotada para vigas decidiue manter apenas como indicação a recomendação da ABNT NBR 61181980 item 4i31C de que a alUra útil d distância do centro de gravidade da armadura ttacionada à borda do concreto comprimido a ser utilizada para evitar a verificação de deformação excessiva pode ser determinada par 28 sendo l o vão da nervura nas lajes armadas em duas direções l é o menor vão os valores de Ili e Vi estão indicados nos quadros 2 9 e 210 respectivamente Quadro 29 Valores de1 Vigas 111 Simplesmente apoiadas 10 Contínuas 12 Duplamente cngastadas 17 Em balmço 05 Quadro 210 Valorcs de li Aço 111 CA2S 25 CASO 17 CA60 15 12 Buscariolo et al 2003 CM 2 Pavimentos de edlliaç6es com lajes neradas un1d1rec1ona1s Ot v1goCllS pr11U1UdUd u Como o valor expresso pela equação 2 7 é apenas indicativo sempre será necessário avaliar as flechas cm vigas de acordo com o item 1732l da ABNT NBR 61182007 e comparálas aos valores limites especificados no item 133 da mesma norma Os prcntos para avaliação de deslocamentos e os conceitos devalores limites estão bastante completos na norma e são apresentados aqui na seção 4JI do carítulo 4 É importante salientar que o valor da altura da viga obtido pelo procedimento da ABNT NBR 61181980 serve apenas de prédimensionamento para avaliar o peso próprio inicial da viga Posteriormente é necessário proceder às verificações do esrado limite de deformações excessivas e estado limite de abertura de fissuras estados limites de serviço e às verificações de equilíbrio e resistência no estado limite último A Prática Recomendada leRACON para estruturas de edifícios de nível 1 estriitu ras de pequeno porte Comitê CT301 no capítulo 13 permite dispensar a verificação de flechas quando a relação ld comprimento do vãoaltura útil da seção não exceder os valores do Qyadio 211 Quadro 211 Valores de Ud mmmo5 pan dispcrua de Crificação de ftcchas Sistema estrutural Valores de 100 p 100 lfb l 15 125 1 075 05 1 Vigas ou lajes simplesmente apoiadas 14 15 16 17 20 2 Vãos extremos de vigaSlajcs 1 dir contínuas 18 19 20 21 25 3 Lajes cm cruz contínuas na menor ção 18 19 20 21 25 4 Vãos internos de vigas e Lajes contínas 20 22 24 2 28 5 Vigas ou lajes cm balanço 5 5 5 5 8 Os valores são válidos para elementos cm concreto armado submetid à flexio simples para as scguintcs situações Aço CASO para outtos aços multiplicar os valores por 500Çk em MPa Seções retangulares ou T com bb s 3 para relações maiores multiplicar os1 valores por 08 e Valores válidos para vãos at 7 metros para vãos maiolCs multiplicar os valores por 7l 29 CoNSIDERAÇOES FINAIS Neste capítulo ficou claro que mesmo sem usar ferramentas muito sofisticadas como programas de computadores podese montar um procedimento de cálculo sim ples e rápido para as lajes prémoldadas ncrvuradas 1 u u1cuio e aem1namento ae estNturas usuais de ca armado A simplificação decqrrcntc da considcraçio da laje pdmoldada como um con junto de vigas isoladas pode ser adotada já que é a favor da segurança ao menos no que se refere à análise dos deslocamentos e do comportamento resistente da laje Nas ações da laje nas vigas de contorno devese tomar o cuidado de considerar a ação também nas vigas panlclas às nervuras como indicado na seção 23 É interessante destacar que a ABNT NBR 61181980 cst2bclccia que nas lajes ncrvuradas em uma direção moldadas no local e que serviam de parãmctto para as prélloldadas eram necessárias nervuras trmsvcrsais sempre qÜc houvesse cargas con centradas a disttibuir ou quando o vão teórico fosse superior a 4 m e exigia no mínimo duas nerwras se esse vão ultrapassasse 6 m na ABNT NBR 61182007 e aguca flll versão de 2014 nãQ há nenhuma menção a essas ncrwras transversais No rálculo da flecha pela teoria de deve ser adotada a inércia média da nervura fisslirlda e o efeiro da fluência capítulo 4 seção 48 conforme já preconizava a ABNTNBR 61182007mantendose na versão de 2014 Ao se considerar o modelo de viga isolada para o cálculo do momento flctor nas nervuras obtémse um valor sempre uperior ao real e a armadura longitudinàl deve ser determinada admitindose a seção transversal funcionando como T conforme será visto no capítulo 3 Os exemplos seguintes mostTam apenas a escolha das lajes prémoldadas com o uso de quadros e a determinação de carregamento cm vigas As verificações nos esta dos limites de serviço deslocamentos limites e abertura de uras e o estado limite último dimensinamento das seções e cálculo da armadura serão Vistos nos capítulos correspondentes Os trabalhos de Flório e Santine l disponíveis na intemct complementam os assuntos aqui discutidos e Carvalho et aL 14 mostram um panorama das pesquisas rea lizadas na UFSCar sobre o tema até 2005 ExEMPLO 1 scolher uma laje prémoldada para a laje do terraço cuja planu de fõrmas csti 0 indica da na Figura 219 supor que o terraço não tem acesso ao público e que o 1CVCStiptcnto inferior e superior y 19 kNm1 é de 1j dn de espessura 13 Fldrio 2003 e Santine 20QS 14 Carralbo et aL 2005 C 2 Pavimentos ti edificações com lajes neradas unldledonals de vlgotas prérmoldadas 103 V103 P1rTP2 SOO cm P3 Figura 219 Plana de fônnas do exemplo 1 a Direção das nervuras V104 300cm N o A direção llsual para as nervuras é a menor iio caso i 30 m b Ações atuantes P4 erraço sem acesso ao públlco q 200 kNm2 Revestimento inferior mais superior 3 an g 003 19 057 kNm2 Pi 257 kNm 2 e Escolha da laje Utilizando o liadro 25 com carga entre 20 e 50 kNm2 e vio de 30 m resulta cm laje de altura de UO an chamada 13i com as seguintes caractcristicas altura total h 12 cm espessura dacapa 40 cm peso próprio g1 141 kNm2 EXEMPLO 2 Calcular para o problema antÜior reação da laje nas vigas a Com o processo simpllfi l 30 in e t 50 m 1 V4 w11cu10 e aeta1namen10 de esuuturas usuais de concret artnado Vigas VlOl e V102 Como as nervuras da laje estão alinhadas na direção de 3ü m x as vigas VlOl e V102 recebem o total da carga As nerwras funcionam como vigas e a reação das nervuras nas vigas de apoio é expressa por Pil 14125730 Pv101 Pv102 2 2 Vigas V103 e V104 398 30 2 597kN m De acordo com as conclusões da seção 234 será colocada nas vigas V103 e Vl04 paralelas aos trilhos direção x 25 da carga total metade para cada uma Carga total 141 257 30 50 597 kN 25 da carga total 025 597 1493 kN Metade para cada viga 14932 747 kN Dividindo pelo vão da viga a carga em cada uma será p 747J 249 kNm De forma direta para cada viga 0125 3985 249kN I m t 5 b Com o processo racional f 30 m l 50 m à 1 167 2 r 3 Vigas YlOl e Vl02 vigas na direção y 5817Ãpf 58171673983 516kNm P ry Pv101 Pv102 200 200 Vigas V103 e Vl04 vigas na direção x 4217Ãpl1 4217167398 5 P p 1 35 kN m vw VIOJ rVt04 200 200 Verificação a carga total na laje deve ser igual àiarga toru cm todas as vigas Carga total sobre a laje P 398 30 50 597 kN Soma das ações nas vigas P 516 50 2 135 30 2 516 81597 kN EXEMPLO 3 P o problema anterior qual a carga que a viga VlOl transmite ao pilar Pl consi derando processo simplificado Admitir que a viga seja de concreto aparente com CPl laVlmentos ae eor com dles nervuraaas unrarrecronars de vlgotas prémoldadas 1 OS largura de 25 cm que sobre ela há umpirapeito de tijolos cerâmicos y 18 kNml de 15 m de altura e que o aço empregaào é o CASO Altura daviga V101 A altura da viga VlOl pode ser determinada pelo critério da ABNT NBR 61181980 l 50 o 29 d m 1211 1017 e consíderando 3 cm de cobrimento da armadura chegase a uma altura total de h 032 m Adotase então h 35 cm b Carga na viga V101 A carga devida ao peso próprio da viga é obtidamultiplicandose a área da seção trans versal pelo peso especifico do concreto armado Y 25 kNm3 o procedimento é o memo para o peso próprio do parapeito y 18 kNm1 Peso próprio do parapeito g2 025 15 18 675 kNm Peso próprio daviga g1 025 035 25 2 19 kNm Carga proveniente da laje p1 597 kNm Total p 1491kNm150 kNm e Reação no pilar Pt R l50S0 37SkN PI 2 A viga VlOl está representada na Figura 220 simplesmente apoiada nos pilares Pl e P3 p15kNm I I l l I 1 1 1 1 l l l 1 1 1 P1 L 500 cm L P3 Figwa220 Esquema estrutural da viga VlOl ExEMPL04 A partir da planta de formas do pavimento da Figura 221 cotas em cm ooter o car regamento na viga VlOl Considerase o processo simplificado e os seguintes dados Paredes e vigas externas com 25 cm de largura 1 uo 1a1cu10 e 11e1namento ae esm1turas usuais ae concreto 11rmaao Paredes e vigas internas com 15 cm de largura Altura das vigas externas igual a 40 cm Altura das vigas internas igual a 30 cm Pédireito de 280 m Carga acidentai em todos os cômodos q 25 kNm2 Peso próprio adotado das lajesprémoldadas g 15 kNm2 Revestimento e pisos com 6 cm de espessura yconacfJJ 25 kNm3 Yo1n 16 kNrri3 y rimcnio 19 kNm3 Viga V102 apoiase no pilar PS e na viga V105 Viga V105 apoiase no pilar P7 e na viga VlOl Viga VlÓl apoiase nos pilares Pl P2 e PJ 340 P1 V101 P4 P6 V103 P2 o P7 100 0 Figura 221 PIanta de formas do pavimento do exemplo 4 V102 a Direção das nervuras das lajes 300 PJ 250 P5 P8 As direções das nervuras para as lajes Ll L2 e L3 serão respectivamentc paralelas a VlOl VlOS e Vl06 ou seja nas menores direções esmas b Cargas atuantes nas lajes Sobrecarga 250 ml Peso próprio 150 kNml Revestimento e piso 006 19 114 kNml Total PS14lNm2 CAP 2 Pavimentosde edificações com lajes nervuradas unldirecJonais de vigoras prémoldadas 107 e Carga na viga V102 15 ic 30 an Peso próprio 015 030 25 1125 kNm Peso da parede 015 280 16 6720 kNm b d l L2 L3 25º 25º 5 Contn wçao as ªJeS e 14 12850 kN m 2 2 Total p 2070 kNm dReação na viga V105 Supondoa viga simplesmente âpoiada e pôrtanto despczando o efeito de grelha R 20704 4140kN VIOS 2 e Carga na viga V105 15 x 30 Pso próprio 015 030 25 1125 kNm Peso da parede 915 280 16 6729 kNm Contribuição da laje L1 3º 514 8 738kN m e ºb d 1 L2 L3 º 25 400 5 570kN ontn u1çao as a1es ou 14 2 m 2 Total p 1915 kNm f Reação de V105 em VlOl R 19155 4140 68 SSkN 1101 2 2 g Carga na viga V101 25 ic 4d cm Trecho 1 Pl a V105 Peso próprio 025 040 25 500 kNm Peso da parede 025 280 16 11200 kNm Contribuição da laje L1 º 25 soo5143213kN1 m 2 Total p 169tlNm Trecho 2 V105 a PJ Peso próprio 025 040 25 2500 kNm Peso da parede 025 280 16 11200 kNm Contribuição da laje L2 514 6425kN I m TotBI p2013kNm e ucLC111u1111e111u uc CUUlUrds usuais ae concrero armado Os esquemas estruturais das vigas Vl02 V105 e VlOl estão na Figura 222 V105 p 4140 kN 1111111111111111 J p 19 º15 kNm V102 llllllllllHl P201okNlm 400cm 06 PS 1 06 P7 250 cm 250 an v 101 V105 1 v101 P 6858 kN p 2013 kNm P1i 400an PJ lP2 1 440an 1 300cm 1 Figura 222 Esquema estrutural das vigas V102 V105 e VlOl e rcspcctivas cargas ADENDO RESUMO DAS EXPRESSÕES RELACONADAS NESTE CAPfTULO Ação nas vigas perpendiculares às nervuras pelo processo simplificado pll pf P 2l 2 r 21 Ação na5 vigas paralelas às nervur pelo processo simplificado 025pll 025pf P 2 l 2 22 Ação nas gas perpendiculares às nervuras pdo processo racional 5817 1 p t P 200 23 Ação nas vigas paralelas às nervuras pelo processo racional 42 17 1 p l Pn 200 24 Flechas nas lajes piémoldadas simplesmente apoiadas 5pt4 a 384E I 25 01 2 Pilvlmentos de edificações com laj nervuradas unidirecionais de vlgotas pr noldadas 109 Momento Setor para o cálculo da arroadura das nervuras simplesmente apoiada p tl M 26 8 Verificação ao cisalhamento para lajes sem armadura transversal V V t kl240pb d Sd Rdl Rd 1 w tRd 025 fm1 025 fakiY k fl6 dl 1 27 A p 1 O 02 1 b d Indicação a altura útil mínima para vigas df 28 IV i 11 Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado 4a Edição Segundo a NBR 61182014 Roberto Chust Carvalho Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho EDUFScar ÚPTULO 3 CALCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO 31 INTRODUÇÃO O cálco d almadura nccssária para resistir a um momento fictor causa tensões normais nas seções cm que atua é um dos pontos mais importantes no dctalhamcnto das peças de concreto armado O dimensionamento é feito no estado limite último de ruína impondo que na seção mais soliciwla sejam alcançadas as deformações especifi cas limites dos materiais ou seja o estado limite último pode ocorrer tanto pela ruptura do concreto comprimido quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada O momento fictor que a seção é capaz de resistir nesta situação y vezes maior que aquele que poderá vir realmente a atuar A discussão de qual o valor de y a ser usado e como obtêlo é feira na norma ABNT NBR 86812003 eresumidamente rimbém no capirulo 1 O estudo das seções de concreto armado tem por objetivo comprovar que sob solicitações efeitos das ações de cálculo a peça não supera os estados limites supondo que o concreto e o aço tenham como resistências reais as resistências características minoradas resistências de cálculo Assim as solicitações de cálculo são aquelas que se alcançadas levarão a cstrutlµa a atingir um estado limite caracrcriiando a sua ruína As considerações sobre a segurança das estruturas de concreto armado estão apresentadas no capírulo 1 seção 18 Na ABNT NBR 61182014 os conceitos e as condições de segurança estão contidos na seção 10 Segurança e estados limites na seção 11 Ações e na seção 12 Resistências e em rodas as demais que abordam os princípios de dimensionamento e dctalhamcnto de diversos elementos estruturais Os critérios de sciurança baseiamse nos estabelecidos pela ABNT NBR 86812003 Ações e segurança nas estruturas A grande novidade na versão de 2014 da ABNT NBR 6118 é a consideração de concretos com classe de CSO até C90 os quais têm ca racterísticas bem distintas dos que pertencem às classes de C20 até CSO Ainda assim o novo texto dr norma foi clabondo de maneira a contemplar todas as classes o que resultou em expressões principalmente para as utilizadas na flexão mais gerais e com plCJcaS Percebese que no caso cb flexão simples pouca altcraçlo e vantagem houve ao empregálas pàra as classes e CSO a C90 Como a finalidade básica desta obra são edificações usuais serão mantidas cm separado as expressões para os concretos até CSO para facilidade de uso e entendimento embora na ABNT NBR 61182014 todas as categorias estejam englobadas na mesma formulação ucuv e 1uuuHa UUdl ue concreto armado 32 TIPOS tE FLEXÃO O momento fletor causa flexão nos elementos estruturais e nas seções transversais desses elementos surgem tnSÕCS normais perpendiculares à seção Há diversos tipos de flexão e é preciso identificar cada um deles para que seja pssívcl calcular esses ele mentos Apresentase a seguir o conceito de cada um dos tipos a Flexão normal simples ou composta quando o plano do carregamento ou da sua resultante é perpendicular à linha neutra LN linha da seção transversal cm que a tensão é nula ou em outras palavras qµando o plano contém um dos eixos prin cipais de inércia da seção nesse caso em seções simétricas um eixo de simetria é sempre um eixo principal de inércia o momento fletor atua no plano de simetria b Flexão oblíqua simples ou composta quando o plano de carregamento nãO é nor mal à linha neutra ou se o momento fietor tivr urna componente normal ao plano de simetria ou ainda quando a seção não é simétrica pela forma ou por suas ar maduras c Flexão simples quando não há esforço normal atuando na seção N O a flexão simples pode ser normal ou oblíqua d Flo composta quando há esforço normal de tração ou de compressão atuando na seção N t O com ou sem esforço cortante e Flexão pura caso particular da flexão simples ou composta em que não há esforço cortante atuante V O nas regiões da viga em que isso ocorre o momento Betor é constante Flexão não pura quando há esforço cortante aruando na seção Nas vigas geralmente o esforço normal é desprezível exceção às vigas proten didas e dessa forma inicialmente será considerada apenas a fiexão normal simples e pura em que N O e V O Será analisado o dimensionamento para um caso bem simples para posteriormente se introduzir novos conceitos e ampliar sua aplicação Ressaltase que com as hipóteses adotadas a solução desse problema flexão nor mal simples e pura permitirá dimensionar a armadura longitudinal de vigas e lajes pelo menos nas seções mais wlicitadas à flexão Normalmente valorizase muito o dlculo da quantidade de armadura longitudi nal de flexão necessária e por ser um procedimento apenas numfoco sua aºplicação está bastante desenvolvida entret2nto é preciso çhamar a atenção para o fato de que o entendimeno dos princípios do iiucarusmo de lapw ruína é fundamental para um detalhamento da annad que permita uma boa execução um bom funcionamento e consequentemente uma maior durabilidade da estrutura C 3 CAicuio da armadura de Oexão 113 33 PROCESSo DE COL4PSO DE VIGAS SOB TENSÕES NORMAIS Seja uma viga de concreto armado simplesmente apoiada Figura 3i sujeita a um carregamento crescente que causa flexão pura na região central V O e M cons tante dessa maneira na ção central a viga é submetida a um momento Aetor M crescente que varia de zero até um valor que a leve ao colapso p p a t a t ªl Diagrama de l momenlo Oelor P oonanle pj Kª IP IP p Figunl1 Viga simplesmente apoiada cantgarnento e diagramas Experimentalmente submeteno peça a um carregamento crescente é possível medir as deformações distâncias e B1 antes e depois de cada parcela de carga que ocorrem em sua zona central Figura 32 ao longo da sua alrura Admitese que a seção permaneça plana durante o processo de deformação Ae A A A A 11 1 B 1 B B 1 B 1 B 11 Zona cenlnll Figan 32 Medida de deformações na Ao centn1 de uma viga A seção transversal central da viga de concreto armado retangular neste caso como a mostrada rui Figura 33 submetida ao momento fletor M crescente passa por três níveis de deformação denominados de estádios que dterminam o comportamen to da peça até sua ruína Na Figura 33 estão representadas as deformações e tensões no aço e no concreto e as resultlntes dessas terlSÕC 1 14 úicu10 e aeta1namento de esttuturaJ suais de CÕncreta armado 1 1 1 t 1iJMM ZnM d z As Rct LR b Esrádiol Emdioll EsUdio Ili Figuna 33 Compommcnto da êçio transversal de Uma viga de concreto annado na flmo nonnal simples Podemse caracterizar os três estádios de deformação de a viga de concreto na flCÇão normal simples Estádio 1 estado elástico sob a ação de um mmento fletor M 1 de PcJucrui intensidade a tnsão de tração no concreto não ultrapma sua rcsistniia caractrística à tração f diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear as Cnsões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações cor respondendo ao trecho linear do diagrama tensãodeformação do concreto não há fissuras visíveis Estádio li estado de fissuração aumentado o valor do momento fletor para Mu as tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra LN terio va ores superiores ao da ºresistênci característica do concreto à tração f considerase que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração aditcse que a tensão de CCmpressão no concreto continue linear as fissuras de tração na flexão no concreto são visíveis Estádio III aumentaSe o momento flctor até um valor pr6JCinio ao de ruína CM e para os concretos até CSO a fibra mais comprimida do concreto começa a plastificar a partir da deforma ção especifica de 1 o 20o chegando a atingir sem aumento de tensão i deformação especifica de 035 35o diagrama de tensões tende a ficar crtical uniforme com quase todas as fibns trabalhando com sua tensão máxima ou seja práticamente todas as 6bns atin giram deformações superiores a a 2o e chegando att 3so CAP l CAicuio ela armadura deflexão 11 S a peça esd bastante urada com as fissuras se aproximando da linha neu tra fndo com que sua profundidade diminua e consequentemente a região comprimida de concreto taniXm e suPõese que a distribuição de tensões no concreto ocorra segundo um diagra ma parábolaretângulo Figura 34 Para os concretos de classes CSO a C90 as assertivas acima tamXm se aplicam porém com algumas mudanças nos limites de deformaço e formato do diagrama ten Sãodeformação como adiante sdri explicado Podese dizer simpli6çaente que Estádios l e iI Crrcspondem às situações de serviço quando atuam as ações reais Estádio III corrcspond ao tado limite últjmo ações maoradas resistências minoradas que só ocorre crrtsiruações tremas O cálculo de dimensionamento das estrutur1s de concreto armado será feito no estado limite último estádio III pois o objetivo principal projetar estruturas que resistam de forma econômica aos esforços sem chegar ao colapso as situações de ser viço são importante porém muitas vezes o próprio cálculo no estado limite úlcimo i o bom detalhamento da armadura conduzem às verificações destas que deverão ser feitas quando necessário 34 HIPÔTESES BASICASPARA O CALULO As hipóteses para o cilculo no estado limite último de dementos lineares sujeitos a solicitações normais estão no item 1722 da ABNT NBR 61182014 que engloba tam bém as hipóteses referentes às estruturas em concreto protendido não relacionadas aqui a As seções transversais permanecem planas após o início da deformação até o estado limite último as deformações são em cada ponto proporàonais à sua distância atl a linha neutra da seção hipótese de Bernoulli b Solidariedade dos materiais admitese solidariedae perfei entre o concreto e a ar madura dessa forma a deformação específica de wna barra da armadura cm tração ou compressão I igual à deformação especifica do concreto adjacente c As tensks de tração no cÕnto normais à seção transversal devem ser desprezadas no ELU d A ruiria da seção transversal peça b ações majoradas e materiais com resistências minoradas f11 e f i para qualquer tipo de flexão no tado limite último fica caracte rizada pelas deformações ecas de dlculo doconcreto na fibra menos tta clonada e do aço próxima à borda mais tracionaa que atingem uma ds ou 11 b Calculo e de1alhamen10 de eslnlUllls usuais de conereo annado ambas os valores últimos máximos das deformações especificas desses materiais os diversos casos possíveis de distribuição das deformações do concreto e do aço na seção transversal definem os domínios de deformação indicados na Figura 36 e detalhados na seção 36 deste capítulo e Encurtamentos últimos máximos do concreto no estado limite último os valores a serem adotados para os parâmetros Etl deformação especifica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico e E deformação específica de encurtamen to do concreto na ruptura são definidos a seguir Para concretos de classes até C50 Etl 2Q 1ó1 20o ocorre nas seções totalmenre comprimidas seção 36 31 tcu 35 101 35o ocorre nas seçõis sob Acxão seção 36 32 Para concretos de clascs C50 até C90 Etl 20o 0085o fª SOOS3 seções totalmente comprimidas 33 Ecu 26o 35o 90 1100 seçôes sob flexão 34 f Alongamento último das armaduras o alongamento máximo permitido ao longo da armadura tracionada é E 100 101 100o para prevenir deformação plástica excessiva 35 g A tensão nas armaduras é obtida a partir dos diagramas tensão x deformação Figura 112 com valores de cálculo definidos na seção 1825 do capítulo 1 h Para concretos até a classe C50 admitese que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o diagrama parábolaretângulo da Figura J4 com base no diagrama tensãodeformaçãosimplificado do concreto Figura 17b com tensão máxima igual a 085 r o diagrama parábolaretângulo é composto de uma pará bola do 2ª grau com vértice na fibra correspondente à deformação de compressão de 20o e um trecho reto entre deformações 20o e 3So permitese a substitui ção do diagrama parábolaretângulo por um retângulo de altura 08 x onde x é a profundidade da linha neutra com a seguinte tensão O 85 f 085 fdi d d 1 a1 zonas compnm1 as e 6 constante ou crescente y 1 e no sentido das fibras mais comprimidas a p da linha neutra O 8 f OBOfm das d largura d d O a1 zonas compruru e ccrcscente no senti o Y das fibras mais comprlinidas a partir da linha neutra ur J u1cu10 aa armadura de nexao 117 No trecho de altura 02 X a partir da linha neutra no diagrama retangular as tensões de compressão no concreto são desprezadas no trecho restante 08 x a dis tribuição de tensões uniforme 185 A A oos r ou oeor 1ir J08 Tensões Figun34 Diagramas de tensões no concreto no estado limirc último para comrc10 até a classe CSO i Para concretos das claSscs C50 a C90 Figura 35 a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com um diagrama curvo e retangular definido em 82101 da ABNT NBR 61182014 com tensão de pico igual a 085 fca com fcJ definido em 1233 da norma Esse agraina conforme o item 1722 da norma pode ser substituído por um retângulo de profundidade y definido por 36 sendo  011 para fk 5 50 MPa 37  08 fck 501400 para fk 50 MPa k em Ma 38 A tensão aruante pode ser admitida constante até a profundidade y e tomada igual a No caso da largura da seção medida paralelamente à linha neutra não diminuir a putir desta para a borda comprimida a f e ai 39 No Caso contrário 09 a fcd 30 cm que Para concreto de classes at C50 a 085 e 311 KIWUtO UllUCll cunaeco 8nnllCIO Para concretos de classes C50 até C90 ª 085 10 fck 50200 312 M diferenças de resultados obdos com esses dois as são pequenas e acci tiveis sem necessidadé de coeficiente de correção adicional VISTA VISTA DEFORMAÇÕES LATERAL FRONTAL POSSlvEJs Fc J À h d o y E z Y l F b s e As w Figura 3S Diagramas de tensões no concreto no estado limite úJtimo para concretos de clasie8 CSO aC90 Observase que tensão de compressão do concreto adotada no diagrama é de 08 ou 085 de fei no caso dos concretos de ses até C50 ouª e 09 a para os concretos I de classes CSO a C90 Por que umanpva redução do valor da resistência uma vez que 1 já é uma redução de i fjl 4 Há três motivos O primeiro diz respeito ao modo como é obtido o valor de fª o enaio é feito com um corpo de prova cilíndrico e mesmo tendo o cuidado decolocir películas de mate rial aiitiaderentc para diminuir oatrito entre os pratos da prensa e as faces do corpo de prova ele não é eliminado Havendo atrito nas extremidades do corpo de prva estas seções e as adJacen tes ficam impedidas de se deformar horizontalnlente rcsUitando um estado triplo de tensões e assim aumentando artificialmente a resistência do concreto Há um princípio estabelecido por Saint Vcant indicando que o tipo de uma ação concentrada ou parcialmente distribuída só é sentido cm scçõc cuja distância da seção de aplicação seja no máximo igual à menor dimcosio desta última Ou seja há impedimento à deformação junto às faces extremas do corpo de prova e este efeito é scntido até a altura de um diâmetro do corpo de prova a partir de cada face ou cja neste caso praticamente cm todo o corpo de prova com altura de 30 on e diimctro de 15 cm cm um pilar por exemplo este fenõmeno nio acontece cm seções na rc o in tcrmediária que são distantes das extremidades Por essa razio a resistência do corpo de prova à compressão obtida cm ensaios nãb rcpiêscnta fielmente a resistência do concreto de estruturas reais esta é a parecia y indida DO capítulo f cm 1825 O segundo motivo é que o concreto tem uma resistacia maior para cargas aplica das rapidamente o que ocom com os ensaios para a demminaçio da rcsisttncia à com pressão e as pcÇ25 de conacto na prátio estão aubmetidu a cargas permanentes que atuam durante toda a vida da estrutura Se um corpo de p for submetido a um carrc lAP j Lakulo da armadura de fleúo 119 gamcnto permanente obtémse o gráfico da resistência cm função do tempo semelhante ao da Figura J6 O gráfico mostra que à medida que o tempo awricnta a resistência à compressão do corpo de prova sob carga pcnnanctc diminui efeito Rüsch Esta última afirmação não cstli cm desacordo com o que foi dito no capitulo 1 a resistência doconacto aumenta com o cmpo pois aqui há a condição Msob cirga pcrmanenten raslslência tempo Figura 36 Curva pa resistnia ele um co de prow sob gamcnto pennanente O terceiro motivo como já destacado é que a resistência do concreto aumenta com a idade sem considerar a Buência quando sob carga const2nte Esta parcela de crescimento da resistência do concreto também é considerada no fator 14 e é por este motivo que o valor de p1 dado no capítulo 1 pela expressão 123 não pode cr usado para idade maior que 28 dias Segundo Fusco 15 no caso de concretos de classes até C50 o coeficiente 085 é obtido por 085 095 075 12 A primeira parcela 095 é devida ao fato de a resistência ser obtida com ensaios de corpos de prova a segunda 075 considera o efeito Rusch e a terceira 12 leva cm conJa o ganho de resistência dos concretos após os 28 dias de idac 35 DEFINIÇÕES E NOMENCLATURA Antes de apresentar toda a teoria que possibilita o dimensionamento dás peças de concreto armado é conveniente repetir as principais definições e nomenclatura das grandezas envolvidas no cllculo empregadas pela ABNT NBR 6118 2014 e pela maioria das normas internacionais d Altura útil distãncia do centro de gravidade da armadura longitudinal tra cionada até a fibra mais comprimida de concrto d Distincia entre o centro de gravidade da amiadura longitudinal comprimi da e a face mais próxima do elemento estrutural fibramais comprimida de concreto lS Fusco 1995 Ms1 Momento ftetor solicitante de cálculo na seção na continuação será cha mado apenas de Md no dimensionamento quando há um só tipo de carga atjdental é obtido multiplicando o momento em serviço aruante pelo coe ficiente de ponderação Yr No caso ge usase a expressão 130 MRd Momento ftetor resistente de cálculo calculadocom fi e f máximo momento fletor a que a seção pode resistir devese ter sempre MSd s MR b Largurada seção transversal de vigas de seção retangular oú da nervura parte mais estreita da seção transversal chamada de a das vigas de seção em forma de T h Altura total da seção transversal de uma peça z Braço de alavanca distância entre o ponto de aplicção da resultante das tensões normais de compressão no concreto e da resultante das tensões nor mais de tração no aço distância entre o centro de gravidade da armadura de tração e o centro de gravidade da região comprimida de concreto x Altura profundidade da linha neutra distância da borda mais comprimi da do concreto ao ponto que tem deformação e tensão nulas distância da linha neutra ao ponto de maior encurtamento da seção transversal de uma peça fletida y Altura da linha neutra convencional altura do diagrama retangular de tensões de compressão no concreto na seção transversal de peças fletidas é uma ideâliução que simplifica o equacion3111ento do problema e conduz a resultados próximos daqueles que seriam obtidos com o diagrama paribob retãngulo y 08 x Figura 34 36 DoMlN1os DE DEFORMAÇÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL Conforme já apontado a ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado limite último é caracterizada pelas deformações espccifiCas de cálculo do concreto e do aço que atingem uma delas ou ambas os valores últimos máximos das deformações especificas desses materiais Os conjuntos de deformações cspcclficas do concreto e do aço ao longo de uma seção transversal retangular coni armadura simples só tracionada submetida a ações normais definem seis domínios de deformação csqueatizados ni Figurá 37 para concretos até a elas CSO a Figura 38 é genérica e sCÍvc para o concretos de todas as class Os domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção a cada par de deformações espcdficas de álculo e e 1 correspondem um esforço normal se buver e um momento Betor atuantea na acçio 1 li 1 0 CAP 3 Cálculo ela armadura de flexão 121 o 1 Compreaalo 2 35 E B o 2ll Figura 3 7 Domínios de deformação no estado limite último cm uma seção trtnrnnal para concre tos at CSoadaptada da Figura 171 da ABNT NBR 61182014 Alongamento Encurtamento Ec2 En rJ1 B h E e a d h b Figura 38 Domínios de Jcformaçlo no csiadó 0 limitc último cm uma seção mnrnrsal pan conbc s de todas as classes adapwla da Figura 171 da ABNT NBR 61182014 Para a determinação da resistência de cálculo de uma dada seção transversal é preciso saber cm qual domínio está situado o diagrama de dcformaçs específicas de álculo dos materiais aço e CQncreto As ccpliêaçõcs sobre os domínios referemse apenas aos concretos e classes até CSO Para as demais classes pode ser usado raciocí nio simibr pomn com os limites das rtscias e deformações específicas referentes ao concreto correspondente Como a ABNT NBR 611820l4 limita a relação xd a valores menores que os aqui aptadOS que são referentes ao limite de escoamento 122 CAicuio e detalhamento de estruturas LSUais de concreto armado dos aços alguns trechos dos dorrunios não mais se aplicam Cabe destacar entretanto que a Figura 36 que indica os domínios não foi alterada nesta versão da norma A reta a e os domínios 1 e 2 correspondem estado limite último por deforma ção plástica excessiva aço com alongamento mâximoos domínios 3 4 4a 5 e reta b correspondem ao estado limit último por ruptura convencional ruprura do concreto por encurtamento limite a Domínio l Figura 3 9 traçã nio uniforme sem compressão Início E i0o e c 10i x X reta a tração uniforme t e Trmino E 100 e O i o Estado limite último caracterizado pela deformação 1 10o A reta de deformação gira em tomo do pont A 10o A lilha neutra é extema à seção traal A seção resistente é composta do aço nio havendo participação do concreto que Se cncontfI tOtente tracionado C portanto fissurado TraçãO simples a resultante das tensões atua no centro de gravidade da arma dura todas as fibras têm a mesma deformação de tração uforme reta a ou tração composta tração excêntrica nio uniforme as deformações de tração são diferentes cm cada fibra em toda a seção Figura 39 Situações inicial intumciliária e fuW que ocomm no domínio 1 No úhimo esquema mostrase que as seções após a deformação no domínio 1 são obtidas partir do giro cm tomo ponto A b Domínio 2 Figura 310ftexio sinlples ou mposta Início t 10o e t O x1 o e TWnino 10e e Ec 35o X 0251 d Estado limite óltimo caracterizado pela dcfoo t 10o grandes dcfor maçôcs O concreto nãO alança a ruptura e 3596o A reta de deformaçãontinua girando cm tomo do ponto A e 10o A linha neutra corta a seção transvaal tração e compnssão CAP 3 Câlculo da armadura de íledo 123 A seção resistente composta do aço tracionado e o concreto comprimido O e o 351 d Figura 310 Caracterisiicas do donúnio 2 Semelhança de triãngulos 00035 OÔl 001 2 0035 d Xz X 0259 d c Domínio 3 Figura 311flrxão simples seção subarmada ou composta pane deste doniíruo não pode ser usada cm razão do limitc imposto para a relação xd lníclo t 10o cf 35o x 0259 d 1 e Trmino t t1dcformação cspcdfici de escoamento do aço e tc 35o x x Estado limite último caracterizado por tc 35o deformação de ruptura do concreto A reta de deformação gira cm tomo do ponto B t 0 35o A linha neutra corta a seção transversal tração e compressão na fronteira entre os domínios 3 e 4 sua altura x x é varivel com o tipo de aço A seção resistente é composta do aço tracionado e do concreto comprimido A ruprura do concreto ocorre simulcamcnçc com o escoamento da arma dura situação ideal pois os dois maternus atingem Sua capacidade resistente máxima são aproveitados integralmente A ruína acontece com aviso grandes deformações As peças que chegam ao eso limi último no domínio 3 são chamadas de ubarmadas ou nonnWnente armadas na fronteira entre os domínios 3 e 4 3Slo Fmdoclannkl3 Figura 311 aractcridicu do doo 3 Semelhança de triângulos 00035 Ei x dx Ei X 00035 d X 00035d X3 Ei 00035 x varia com o tipo de aço empregado 124 Gilculo e detalhlmento de estruturas usuais de concreto armado d Domínio 4 Figura312 flexão simples scçio supcrannada ou composta de vido às novas ncomcndaçõcs para o limite de xd este trecho não mais se aplica à flexão Início E Ei e E 35o x Término 1 O e E 35o x x d Estado limite último caracterizado por E 35o deformação de ruptura do concreto A reta de deformação continua girando cm torno do ponto B t 35o A linha neutra corta a seção transversal tração e compressão No estado limite último a dcformaçãoda armadura é inferior a ti não atinge a tensão de escoamento A seção resistente é composta do aço tracionado e do concreto comprimido í A ruptura é frágil sem aviso pois o concreto se rompe sem que a armadura atinja sua deformação de escoamento não há grandes deformações do aço nem fissuração do concreto que sicvam de advertência As peças que chegam ao estado limite último no domínio 4 são chamadas de usuperarmadas e são antieconômicas pois o aço não é utilizado com toda a sua capacidade resistente devendo assim se possível ser evitadas B x d Figura 312 Características do domínio 4 e Domínio 4a Figura 313 Rexão composta cosn armaduras comprimidas lníóo E o e E 35o X x d Término E O compressão e 35o x 41 h Estado limite último caracterizado por E 350 deformação de ruptura do conacto A reta de deformação continua girando cm tomo do ponto B E 5o A linha neutra corta a seção transversa1 na rcgiio de cobrimento da armadura menos comprimida A resistente é composta do aço e do concreto comprimidos Armaduru comprimidas e pequena zona de concreto ttacionado Cu 3 Clculo da armadura de flexão 125 A Nptura é frágil sem aviso pois o concreto se rompe m encurtamento da armadura não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência fagun 313 Cancristias do domínio 4a O Domínio S Flgura 314 compressão não uniformcscm tração Início O e 3So x x h Término 1 20o compressão 20o x x oo reta b com pressão uniforme Etado limite último caracterizado por r 35o na flcxocompressão a e 20o na compressão uniforme A reta de deformação gira cm tomo do ponto C distante 317 h da borda mais comprimida A linha neutra não corta a seção transversal que está inteiramente comprimida A seção resistente l composta do aço e do concreto comprimidos Compressão simples uriiforme na reta b ou omposta excêntrica A ruptura é frágil sem aviso pois o concreto se rompe com encurtamento da armadura não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência Fmgun 314 Canêteruticas cio domínio S Semelhança de triângulos 0003500020 00020 a ha 00015 h 00015 a 00020 a a 00015h aoh 00035 7 O embora nas figuras 37 a 314 tenha sido considerada seção transvcrul re tangular os domínios se apµam a qualquer seção e disposição da armadura e tamm a situações de ftcxio oblíqua 37 CALCULODA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGM SOB FLEXÃO NORMAL O cálculo da quantidade de armadura longitudinal para seções traÍlsVcrsaiS rerangu lans conhecidos a resistência do concreto f a largura da seção b a altura útil d e o tipo de aço fi e i é feito de maneira simples a partir do equilíbrio das forças atll2ntes na seção Normalmente seria estudada a ftcxão normal pura e simples representada pelos domínios 2 3 4 e 4a porém o item 14643 da ABNf NBR 61182014 permite o uso de apenas parte do domínio 3 eliminando portanto parte do donúnio 3 e donúnios 4 e 4a como se depreende do texto da norma A capacidade de rotação dos dementos estrutu rais é função da posição da linha neutra no ELU Quanto cnor for xd tanto maior será essa capacidade Para proporcionar o adequado comportamento dúctil cm vigas e lajes a posiçã da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites a xld s 045 para concretos co r s 50 MPa b xd s 035 para concretos com 50 MPa e r s 90 MPa 313 314 Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de arma duris como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões 37 1 EauAaONAMENTO PARA CONCRETOS DE CLASSE ATt cso Antes de efetuar a dedução das equações para o dimensionamento para seções sob flexão simples é conveniente indicar as possibilidades de comportamento das seções quanto à ductilidade Na Figura 315 é indicada a situação de seção retangular submeti daà flexão simples com as deformações possívcis para concretos de classe até C50 sem considero ductilidade xd depende da deformação específica de cálculo i do aço A Figura 316 representa a mesma situação mas no diagrama de deformações possíveis cJI foi substituído por cim que corresponde ao valor de xd 045 imposta pela ABNT NBR 61182014 para aumentar a ductilidade do elemento A Figura 317 também re presenta situação de demento de seção retangular sob flexão simples mas com diagra mas de deformações e tensões para todas as classes de concreto os wlorcs de Em e a e À devem ser emregados em função da classe do conacto e das condições de ductilidade Vista Vista lalaral fnnlal n F IT jjrU A J 10I A Figura 315 Elemento de scoAo rermgular e cliqraniu de dcfonnIÇÕCI e tall6es na ICçlo solicitada para flaio simples para concreros Ili CSO sem considerar 1 ductilidâdc CAP 3 CAicuio da armadura de fledo 127 Vhlta Vlsla fnln1lll J 1 D e Fc h d z 10 1im A bw Figura 316 Mesma siruaçio da Figun 315 com E comspandente ao valor de xd 045 imposta pela ABNT NBR 61182014 aumento da ductilidadc Vista Vista laleral franlml O y 11 e cu e i As l e y F 1 s lim b s A w h d z Figura 317 Mesma siruação da Figun 316 mas para todas as classes de conacto Serão agora deduzidas as expressões para o dimensionamento de elementos de seção retangular para concretos até CSO para adequar as equações para as demais clas ses basta acrescentar os parâmetros da classe desejada Seja então o seguinte problema conhecidos k b d tipo de aço fi e Ei e o momento de cálculo Md Md 14 M determinar a área da armadura longitudinal necessária AJ para que um elemento de concreto armado de seção transversal retangular resista a esse momento a Equilíbrio da seção Figura 3 13 Equilíbrio das ÍOrfU atuantes normais à efio transvual como não há for ça cxteffia a força atuante ºº conaeto F deve ser igual à força atuante na armadura F IFOF F 0F F 1 e 1 e 315 Equihbrio dos momentos o momctito das forças internas cm relaçio a qual quer ponto no caso em iclação ao CG da armadun dcVc ser igual ao mo mento externo de cálculo l M M M F z Das equações 315 e 316 316 128 CilculO e aetJinamento oe estn1turas 1Hua1s oe concre10 armaoo M sF z d 317 b Posição da linha neutra x Conhecendo a posição da linha neutra é possível saber o domínio em que a peça está trabalhando e calcular a resultante das tensões de compressão no concreto F e o braço de alavanca z F 085 fcd b 08 x Z d Ü4 X Colêcando F e z na equação 3i6 temse 318 319 M F z O 85 f b O 8 x d O 4 x b f O 68 x d O 4 x de tdw cd 320 ou ainda M O 68 X d o 272 1 b f d cd 321 Resolvendo a equação 321 obtémse x o qual difine a posição da linha neutra que é fundamental para a solução do problema proposto Notase que a variação de x não é linear com o esforço solicitante Md mas segue um polinômio do segudo grau o68d 068d 1 4o212 x 0544 322 e Cálculo da ácea necessária de armadura A Com o valor de x determinado acima é possível encontrar A A força na armadura F vem do produto da área de aço A pela tensão atuante no aço Da equação 317 temse Mz F f A rcSultando A Md zf 323 Admitindo que a peça esteja trabalhando nos dofnios 2 ou 3 para um melhor aproveitamento da armadura temse E e resultando para tensão na adura a de escoamento fii caso contrário tirase o valor de e do diagrama de tensã defor mação do o e calculase mas a peça trabãlharia no domínio 4 o que não possível A equação 323 fica CAP 3 CAICÜlo da armadura d nexão 129 A Md zf d Verificação do domínio em que a peÇa atingirá o estado limite último 324 Obtido o valor de x que define a posição profundidade da linha neutra é possível verificar em que domínio a peça atingirá o estado limite último Na flexão simples que está sendo considerada os domínios possíveis são o 2 o 3 e o 4 No início do domínio 2 temse E O e no final do domínio 4 temse t O que são as piores situações que padem ocorrer um dos dois materiais não contribui na resistência O melhor é que a peça trabalhe no domínio 3 o domínio 2 é aceitável e o domínio 4 deve ser evitado Cabe então a pergunta conhecido o momento e as demais variáveis necessárias para re solver o problema como saber se a seção está trabalhando no domínio 3 e se a armadura já atingiu a deformação de escoamento É possível saber por meio da relação entre as deformações e a posição da linha neutra Relação entre deformaçõe5 como as seções permanecem planas apó5 a defor mação por semelhança dos triângulos ABC e ADE do diagrama de deforma ções Figura 318 é possí111 obter a relação entre a posição da linha neutra x e a altura útil d E 14 d X d X t E E E d t E i e 1 325 FlguraJ18 Rdaçlo entre a poÍiçlo da linha neutra e a altura útil Posição da linha neu no limite do domínio 2 e em todo o 3 a deformação específica do concreto t 35o 00035 colocando esse valor na equação 325 resulta X 00035 326 d 00035t Concluise que para uma seção conhecida a posição da linha neutra no domínio 3 depende apellll da defoDlaÇãO específica do aço e o limite Cntn os domínios 3 e 130 Olculo e deWhamento de estNturas usuais de concreto armado 4 depende do tipo de aço caricterizado pela deformação espcdfia de escoamento de cálculo do aço e Com as novas especificações da norma não sert mais JOlSívcl usar os valores do domínio 3 que sejam superiores a x 045d Desta forma não cabe mais o estudo do limite entre o donúnio 3 e 4 Apenas como ilustração apresentase a determinação dos limites entre os domínios esquematizados na rigura 38 para os aços CA25 e CASO Aço CA2S E 104 no limite entre os domínios 3 e 4 X34 035 0 7709 d 00035000104 is O 7709 d limite entre os domínios 3 e 4 Xzi 0259 d limite entre os domínios 2 e 3 para x 0259 d domínio 2 para 0259 º d X 0n09 d domínio J Aço CASO e 207o no limite entre os domínios 3 e 4 X14 00035 06283 d 00035 000207 34 06283 d limite entre os domínios 3 e 4 Xzi 0259 d limite entre os domínios 2 e 3 para x 0259 d domínio 2 para 0259 d x e 06283 d domíruo 3 Agora é possível resolver os diversos problemis lembrando que a fronteira entre os domínios 2 e 3 é dada pel par de vilores t 35o e E 10o x 259 de qu só é possível utilizar o domínio 3 até o limite de xd 045 O limite entre os domínios 3 e 4 Figura 38 embora não seja mais utilizado é dado por E 3o e 1 Ei x é função do tipo de aço os valores de xld referentes aos demais tipos de aço estão no Quadro 12 do apítulo 1 EXEMPLO 1 Para uma seção retangular de concreto armâdo com b 012 m e d 029 m sob a açio de um momento fletor M U2 kNm M11 14M14 122 1708 kNm determinar a q1antidade de armadura longitudinal neccsPria A Dados f 20 MPa 20000 kNmi iaço O fi fil15 500115 47 MPa 43478 kNcm2 a Colocando equação 321 os valores éonhccidos cletcrminasc x CAP 3 CAicuio da armadura de flexão 131 Md 068 X d 0272 b fal 1708 068 X 029 0272 012 20000 14 0680292 40272 l708 o 12 2000011 4 x 0544 068029 resultando x1 06705 me JS 00545 m A primeira solução x Q6705 m indica que a linha neutra passa fora da seção nansversal rião atendendo ao caso de flcxio simples assim o valor correto é x 00545 di b Verificação do domínio No limite entre os domínios 2 e 3 t 35o t 10o a posição da linha neutra é x 0259 d 0259 029 00751 m maior que o vtlor encontrado para x na equação 3 7 indicando que o problema ocorre no domínio 2 e portanto de fato o aço já escou e f fi 50115 43478 kNcm1 Cikulu Jo valor do braço de alavanca z Com x 00545 m na equação 35 resulta z d 04 X i 029 04 00545 029 0022 027 m d Cálculo de A Com os valores de M 4 1708 kNm z 027 me fi 43478 kNcm2 na equação 324 temse A A M4 1708 1708A 146 cm1 zfi 02743478 ll74 372 EOUAOONAMENTO PARA CONCRETOS DE QUALQUER CLASSE Em principio o equacionamento para o ºcálculo da annadura longitudinal é feito da mesma forriia que no caso anterior apenas aparecerá os termos a e À A seguir são mostrachs as eqwaç sendo algumas as mesmas do item anterior e outras similares FF e F a f b à C 327 328 329 330 1 Jl Oculo e detalhameAlo de estruturas usuais de concreto armado Z d 05 À X Md b a f cd x d 05 x Md l x d 05 À2 x2 b a fd A Md z fyd X cu d 331 332 333 334 335 336 EXEMPLO 2 O EXEMPLO 1 COM RESlsTINCIA CARACTERISTICA 00 CONCRETOf ck 90 MPA Para uma seção retangular de concreto armado com b 012 me d 029 m sob a ação de um momento fietor M 12 kNm Md 14 M 14 122 1708 kNm dererminai a quantidadede armadura fongirudinal necessária A Dados k 90 MPa 90000 kNm2 aço CASO fi í115 500115 43478 MPa 43478kNcm2 a Cálculo de À e a expressões 38 e 312 À 08 fek 50400 08 90 501400 07 a 085 10 fª 500200 085 10 90 50200 068 b Com os valores conhecidos na equação 334 determiase x resultmdo x1 0812 m e 00164 m A primeira solução x 08U m indica que a linha neutta passa fora da trans versal não atendendo ao caso de ficxio simples o valor comto é x 00164 m e Vcrificaçio do domínio CAP 3 Calculo da armadura de new10 1 3 3 No limite entre os donúnios 2 e 3 s 35o 1 10o a posiço da linha neutra é x 0259 d 0259 029 00751 m maior que o valor encontrado para x na equação 334 indicando que o problema ocorre no domínio 2 e portanto de fato o aço já es cou e fJd 50115 43478 kNan2 d Cálculo do valor do braço de alavança z Com x 00164 m na equação 331 resulta 7 d 05 À º X Z d 05 º À X 029 05 º 07 º 00164 029 00057 0284 m e Cálculo de A Com os valores de Md 1708 kNm z 0284 me fJ 43478 klcm 2 na equação 324 ou 336 temse A 1 A Md 1708 1708A 139 cm2 1 z Íi 0284 43478 1234 1 Verificase que o elevado awnento na resistência característica à compressão do concreto resultou cm uma insignificante redução da área da armadura necessária 37 3 CALCULO DO MAXIMO MOMENTO RESISTENTE DA SEÇÃO No caso anterior conheciase Md e calculm1se A Seja agora um problema dife rente conhecidas as dimensões da seçãO transversal bw e d o tipo de aço fi e e a resistência do concreto f em qual domínio se consegue o maior momento ressrente ou seja qual o maior momento que a seção dada consegue resistir O problema pode ser resolvido derivandose a expressão 321 em relação i alrura da linha neutra x e igualandoa a zero dessa forma encontrase o ponto exrreno da função Md 068 X d 0272 xl b fal dM dO 68dO 54xb f Ox PS d dx ai Orcsuliaào x I5 d linha neutra fora da sção não é solução pois para haver ftcxão simples é ncccsslria a existência de resultantes normais de compressão concreto e tração aço que se anulem cquillbiio isso só é ssívcl nos domínios 2 e 3 cm que a linha neutra corta a seção no donúnio 4 isso também ocorre mas não permitido o seu uso Como a cquaçio 333 wna função contínua e crescente o valor do maior momento será alcançado quando x for 0 maior possível mas limitado pelo 134 Çjlculo e cletalhamento de estruttnS usuais concreto não emprego do domínio 4 também evitado por questões econõmicas maior consumo de materiais Assim antes da imposição da ductilidade múúma pela norma o máximo momen to resistente era detenninado para E Ei e E Jimjte entre os domínios 3 e 4 Na situação agora exigida o momento máximo para conactos até a classe C50 é obtido quando xd 045 ABNJNBR 61182014 item 14643 EXEMPLO 3 Para utna viga de seção retangular de conacto armado com largura b 12 cm e altura util d 17 65 cm determinar o momento resistente da seção e o valor da ãrca de aço necessária correspondente a esse momento Considerar fel 20 MPa 20000 kNml e aço CASO Apenas párn efeito de comparação os cálculos serão feitos para o limite entre os domínios 3 e 4 e para a relação xd 045 isi a Cálculo para o Ümite entre os domínios 3 e 4 Momento resistente O limite entre os domínios 3 e 4 para o CASO que tem Erl 000207 é X OOOJS d OOOJ5 0 01765062830176501109m 34 0 0035 Ei 0 0035 O 00207 Com esse valor na equação 320 obtémse Md M F z O 85 f b o 8 y d o 4 V b f o 68 y d o 4 y d e rd e 61 cd J4 20000 Md 012 068 011090176504011091708kNm 14 O máximo momento que pode atuar na viga sabendo que Md 14 M é M Md 1708 1220kNm 14 14 Ãrmadura A armadura neccssíÍria pode ser obtida com a equação 324 com f pois a seção trabalha no limite entre os domínios 3 e 1708 l 50 297an 0176504 011 Us ÚI 3 Cákulo da armadura de fledo 135 Clkulo para xd 045 pois a resistência do concreto é menor que 50 MPa Momento resistente Colocando xd 045 x 045 d na cqção 320 resulta M F z b f O 68 x d O 4 x b f O 68 O 45 d d O 4 O 45 d de wcd 1 t wal 1 1 Md 0 12 20000 068 045 017650176504 045017651340kN m 14 O máximo momento cm serviço que pode atuar na viga é MMd 1340 957kNm 14 14 Armadura A armadura necessária pode ser obtida com a equação 324 com x 045 de frd pois a seção trabalha no domínio 3 no qual a dcfonnação especifica do aço corresponde à resistência de escoamento de cálculo do aço A Md Md zftl d04045dfi 1340 l 50 213cm O 17650 40 450 1765 115 Verificase que com a redução da relação xd o momento resistente da viga é menor com 11ma consequente redução da armadura necessária 3 7 4 ONDIÇÔES DE DUCTIUDADE EM VIGAS E REDISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS Conforme o item 1723 da ABNT NBR 61182014 nas vigas é necessário ga rantir boas condições de ductilidadc respeitando os limites da posição da linha neutra xld dados no item 14643 da nonna aqui cm 37 sendo adotada e necessário armadura de compressão A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da posição da linha utra x que estejam nos domínios 2 ou 3 nlo conuz a elementos estruturais com ruptun frágil A ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no donúnio 4 com ºou sem arinadura de compão Ainda segundo o item 14643 da norma quando for efetuada µma redistribuição de momento reduzindoo de üm valor M para MI cm uma determinada seção trans versal a profundidade da linha neutra nessa seção xd para o momento reduzido SM deve ser limitada por a xid s 5 04411lS para conactos com f5 s5o MPa 136 Cãlculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado b xd s ô 056125 para concretos com 50 MPa fª s 90 MPa 338 O coeficiente de redistribuição deve ainda obedecer ao limite ô 075 para estru niras que não sejam de nós móveis 37 3 CALCULO DO MAXIMO MOENTO RESISTENTE DA SEÇÃO CONHECIDA A ARMADURA LONGITUDINAL Esta é uma situação bastante comum na prítica conhecidas a largura bj e 1 altura útil d de uma seção transversal retangular a resistência do concreto à compres são fª o tipo de aço f e a área da seção transversal da armadura longitudinal A qual é o valor do momento máximo resistido É importante notar a dierença entre a siruaÇão anterior em que a quantidade de armadura não era inicialmente conhecida Neste caso considerando concretos com resistência característica à compressão menor que 50 MPa ao fixar a quantidade da área de aço a posição da linha neutra fica auto maticamente determinda e o valorencontrado não pode ser maior que x 045 d A solução do problema é simples devendose inicialmente considerar que a seção poderá trabalhar entre o início do domínio 2 até o limite x 045 d do domínio 3 Em qualquer destes domínios o aço tracionado estará escoando oli seja E Eyd e f i Nesse caso conhecendo a área de aço A a força F na armadura é F A f 339 Com a expressão da força no concreto que depende da posiçjo da linha neutra podese obter o valor de x a partir do fato de que por equilibrio as forças resultances no aço e no concreto devem ter a mesma intensidade Pela equação 318 temse F F 085 f b 08 x e como F F ou seja co85 ra1 CbJ co8 x A rr1 resulta para x A f x 068 b fal 340 Detcnitlnado o valor de x é preciso verificar se ele é inferior ao limite x 045 d Caso isso ocorra e portanto de fato r o mÀximo momento resiStido Md pch seção é obtido pelo produtoda força na armadura ou no conrcto pelo braço de alavanca z equação 319 CAP 3 CAicuio da armadura de flex3o 137 Md F z F d 04 x A frd d 04 x 341 Obtido o valor da profundidade x da linha neutra o momento flctor resistente da seção é encontrado com a equação 341 É imrtante destacar novamente que a pro fundidade da altura da linha neutra deve atender ao limite x 045 d Caso isso não ocorra devese aumentar a altura útil da viga ou utilizar uma armadura dr compressão viga com armadura dupla que será vista na seção 376 EXEMPL04 Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto armado com largura b 12 cm e altua útil d 1765 cm para as seguintes situações a A 05 cm2 b A 20 cm2 Dados aço CASO fck 20 MPa 20000 kNm2 a Armadura A 05 cm2 Profundidade da linha neutra considerando inicialmenteque a seção trabalhe nos domínios 2 ou 3 f f determinase a posição da linha neutra equação 340 x A Íi 0550I115 0 0186 m 068 b fcd 0680122000014 Verificação da posição da linha neutra donúnio cm que a viga trabalha Com os limites entre os domínos 2 e 3 x23 e entre 3 e ô limite x 045 d verificase a posição da linha neutra para o valor encontrado de x 00186 m Os valores de xJJ podem ser determinadoscom a expressão 325 ou 326 lcm brando que entre os domínios 2 e 3 o aço tem deformação esptdfica de 10 o limite x 045 d 45 é obtido diretamente E 0035 x2J e d d025901765 00457m Ec E 003501 u 045 d 045 01765 00794 m Como O valor encontrado X 00186 m é menor que X2I 00457 m tratase do domúúo 2 confirmando a suposição inicial Cákulo do momento Como a viga trabalha n domínió 2 calculase o momento resistente com a eão341 138 CMculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado M F d 04 x A f d 04 x 05 5o 01765 04 00186 d 115 3675 kNm e prtanto o máximo momento que pode atuar na viga é M Md 3675 2625kNm 14 14 b Annaduca A 2 cml Profundidade da linha neutra Considerando inicialmente que a seção trabalhe nos domínios 2 ou 3detcrmi nase a posição da linha neutra equaçã 340 A f 1 yd x 068 b fgj 2050115 00746m 0680122000014 Verificação do donúnio cm que a yiga trabalha O valor encontrado para x 007 459 m é menor que o limite de 045 d e supe rior ao n 00457 m limite do domínio 2 portanto ela trabalha no domínio 3 Cálculo do momento Como a viga trabalha no domínio 3 fi e Mdé determinado com a equação 341 M F d O 4 x A f d O 4 x 2 50 O 1765 O 4 O 0746 d yd 1 15 12753 kNm e portanto o máximo momento que pode atuar na viga M Md 12753 9llkNm 14 14 I 374 ACULO DA ALTURA MINIMA DE UMA SEÇÃO COM ARMADURA SIM Seja uma viga com annadura simples submetida a ummomento flctor M cm uma detcmünada seção A menor altura neaSsáêia d parta seção resistir a esse momento i aquela em que a posição d2 linha neutra acarreta o mai momento que a viga capaz de resistir ou eeja o momento aplicado sed igual ao momcqto resistente mbimo da seção Dessa forma antes da imposição da ductilidade múúma pela norma como o má ximo mmento resistente ocorria para a posição da linha neutra referente ao limite CAP 3 alculo da armadura de flexão 139 entre os domínios 3 e 4 a altura mínima era a que levava a es situação Com o limite agora imposto pela norma de xd 045 para concreto até a classe CSO foi visto no item anterior que o momento máximo é obtido para esse valor e portanto é para essa profundidade da linha neutra que se obtém a menor altura possível pan a viga resistir ao momento atuante de cálculo A partir das equaçqes 321 e 325 é possível determinar o valor da altura útil d de uma viga Equação 3 21 Md 068 x d 072 xl h fa1 25 X E Equação 3 d E E Fazendo Ç dx btémse da equação 325 x Ç d que colocado na equação E E 321 resulta Md 068 Ç dl 0272 Çl dl b d e a alrura úril da viga fica dada por 342 Com a limitação xd s 04S Ç xd s 045 de acordo com a ABNT NBR 61182014 a altura mínima occirre quando Ç OJ5 e assim para encontrála basta colocar esse valor na equação 342 resultando dmia Md 20J Md b fa1 02091 b fa1 343 ExEMPLO 5 Para a seção retangular de concreto armado do exemplo 1 determinar a altura núnima d e a quantidadc de armadura longiruclinal necessária A Dados nas unidades necessárias aço CASO f 500 M 50 kNan2 f 20 MPa 2000 kNmZ 2 kNon3 Md l4 M 14 122 17Ó8 kNm 140 Cálculo e detalhamen10 ele estruturas usuais de concreto armado A altura mínima é obtida para xLd s 045 para isso pode ser empregada dire tamente a equação 34l li 1 1708 d 20 d20 01996md 1996cm mtn bw d 0122000014 mln Cálculo da armadura necessária para d 1996 cm nessa siruação f f rd X 045 d 045 1996 X 898 cm z d 04 x 1996 04 898 z 1634 cm A Md Md 1708 A 24Qcml zf zfi 0163450115 375fôRMULAS ADIMENSIONAIS PAR DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES Sempre que possível é conveniente alhar com fórmulas adimensionais pois facilitam o emprego de diversos sistemas de unidades e permitem a utilização de qua dros e gráficos de modo mais racional Na forma adimensional para concretos até a classe CSO as equações ficam a Equação de Md equação 321 Dividindo ambos os menibros da equação de Md por b dl temse Md 068xd0272xlb fa1o 68 o 272 b d 2 f b dl f d d2 w m chamando Md KMD X KX e a equaçao antenor tomase b d1 fcd d KMD Md 068KX0272KXl b dl f ai 344 A equação 344 contém apenas termos adimensfunais e KX só pode variar entte O 1 x O e x d X o início do domínio 2 IX xd o KMD o x d fim dodomínio 4 KX xd l KMD 0408 CAP 3 Cálculo da ilrmadura de flexo 141 b Expressão que fomecc o braço de alavanca z z d 04 x Dividindo os dois termos por d resulta d04x lO 4 d d d Z X chamando d KZ e lembrando que KX d da equação atcrir obtémse KZ KZ 1 04 KX c Expressão para o cálculo da armadura equação 323 M A d e como z KZ dresulta zf A Md KZdf J45 346 d Equação que relaciona as deformações com a altura da linha neutra equação 325 X E X e como KX resulta d E E d e 1 E KX r r 347 Como KX só admite valores de O a 1 podese construir um quadro Quadro 31 cm que a cada KX arbitrado entre O e 1 corresponde um valor de KMD calculado pela equaÇão 344 um de KZ calculado pela equação 345 e conhecendose um de 1 pela equação 347 É importante destacar que conhecido o par de dcfom1açõcs t E se conhece o domínio em que a peça está trabalhando No quadro por praticidade foram dados valores a KMD e calculados os demais mntidos os limites de viudadc parã KX O quadro contém os valores referentes aos domínios 2 3 e parte do 4 cnas é importante ressaltar que só têm validade os valores abaixo de KX xd 045 correspondente a KMD 025 Para concretos das cbsses CSO a C90 podese repetir o raciocínio anterior e tam bém confeccionar um quadro para o dlculo de seções retangulares As equações neces sárias e o quadro rcsult2ntc pata todas as situações encontrase no Adendo B deste capítulo uicuio e QlQinamenro ae emuturas usuais cencreco fNK10 Quadro 3i Valores para cálculo de armadura longinal e ICç6el reungulares pan concretol att a classc C50 KMD IÓ KZ E t KMD KX KZ E E 00100 00148 09941 01502 10000 02050 03506 08597 35000 64él4 00200 0098 09881 03068 10000 02100 03609 08556 35000 61971 00300 00449 09820 04704 10000 02150 03714 08515 35000 59255 00400 00603 09759 06414 10000 02200 03819 08473 35000 56658 00500 00758 09697 08205 10000 02250 03925 08430 35000 54170 00550 00836 09665 09133 10000 02300 04033 08387 35000 51785 00600 00916 09634 10083 10000 02350 04143 08343 35000 49496 00650 00995 09602 Ii056 10000 02400 04253 08299 35000 47297 00700 01076 09570 12054 10000 02450 04365 08254 35000 45181 00750 01156 09537 13077 10000 02500 04479 08208 35000 43144 00800 01238 09505 14126 10000 02550 04594 Q8162 35000 41181 QJ850 01320 09472 15203 Í0000 02600 04711 08115 35000 39287 00900 01403 09439 16308 10000 02650 04830 08068 35000 37459 00950 01485 09406 17444 10000 02700 04951 08020 35000 35691 01000 01569 09372 18611 10000 02750 05074 07970 35000 33981 01050 b1654 09339 19810 10000 02800 05199 07921 35000 32324 01100 01739 09305 21044 10000 02850 05326 07870 35000 30719 01150 01824 09270 22314 10000 02900 05455 07818 35000 29162 01200 01911 09236 23621 10000 02950 05586 07765 35000 27649 01250 01998 09201 24967 10000 03000 05721 07712 35000 26179 01300 02086 09166 26355 10000 03050 05858 07657 35000 24748 01350 02175 09136 286 10 03100 05998 0760 35000 23355 Q1400 01264 09094 29263 10000 03150 0614t 07544 35000 21997 01450 02354 09058 30787 10000 03200 06287 07485 35000 20672 01500 02445 09022 32363 10000 03300 o6390 07 35000 18100 01550 02536 08985 33391 10000 oJ4oo 06910 07236 35000 15652 01600 02630 08948 35000 98104 03500 07249 01100 35000 13283 Cu 3 CAicuio da armadura de flexao 143 Quadro 31 Continllll40 KMD KX icz E e E KMD KX KZ E E e 01650 02723 08911 J5000 93531 03600 07612 06955 35000 10983 01700 02818 o8873 35000 89222 03700 08003 06799 35000 08732 01750 o2913 08835 35000 85154 03800 08433 06627 35000 065o6 01800 03009 08796 35000 83106 01850 03106 08757 35000 77662 01900 03205 08718 35000 74204 01950 03305 08678 35000 70919 02000 03405 08638 3SOQO 6n93 EXEMPLO 6 Para a seção retangular concreto armado do exemplo 1 b 012 m M 122 kNm determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária A admitindo primei ramente altura útil d 029 m e cm seguida que ela não seja conhecida Utilizar fór mulas adimensionais e quadro para dimensionamento Considerar fci 20 MPa 20000 kNm1 e aço CASO a Admitindo que a altura útil sej conhecida d 29 cm Cálculo de KMD KMD Md b d1 f cd 1708 012 o 12 o 292 20000 14 Com KMD 012 Quadro 31 KX 01911 KZ 09236 E 23621o E e 1000o Como KX xd 045 portanto abaixo do limite imposto pela norma podem se continuar os dlculos Domínio cm que a peça atingirá o estado limite último E 1000o e E 23621o 35o domínio 2 1 1a1cu10 e oeta1namenco oe estruturas usuais ae concreto armaao Cálculo de A equação 346 Md A KZdf 170SkNm A 2 2 146 cm O 9236 O 29m 50kN cm 115 b Admitindo que a altura útil não seja conhecida Primeiro calculase du com a equação 143 d 2 O Md 2 1708 0 20 mon 1 b f O 12 20000 1 4 w cd Cálculo de D com a equação 344 coqi d d KMD Md b d 2 f w cd 1708 0 250 0120202 2000014 Cálculo de A Com KMD 0250 Qyadro 31 KX 04479 KZ 08208 E 350 0 E e 43144o f 50 l E 43144oE f fy1kNcm yd 115 115 A Md KZdf 1708 A 239 cm2 0820802050115 1 376 CALCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA Podem ocorrer situações cm que por imposições de projeto arquitetónicas etc seja necessário utilizar para a viga uma altura menor que a altura mínima exigida pelo momento fletor atuante de cálculo Md Nesse caso determinase o momento Mu que a seção consegue resistir com a sua altura real e armadura apenas ttacionada armadura simples A trabalhando no limite da relação x 045 d domínio 3 a diferença entri o momento atuante Md e o momento M queserá chamada de M2 Md 1 será resistida por uma annad de comprcssão e pua que seja mantido o eqrio por uma adicional de tração Nessa situação a viga terá uina armadura infedor tracionada e uma superior comprimida armadura dupla Assim CAP 3 Cálculo da armadura de Redo 145 momento obtido impondo que a seção trabalhe no limite da ductilidadc x 045 é resistido pelo concreto comprimido e por uma armadura traciona da A momento que será resistido por uma armadura comprimida A e para que haja equllibrio por uma armadura tracionada Ai além de A1 já calculada para Com x 045 d determinase M e com ele a armadura tracionada A e t1m um 11 bém o momento M 2 Md Mlim com M2 calculase finalmente A2 e A É prc àso ainda verificar se a armadura comprimida A atingiu a deformação de escoamento ou não pois a região comprimida da seção sofre deforlTações especifica menores q1c a região tracionada até 00035 que é a máxima permitida para o concreto comprimido A Figura 319 ilustra e5qumaticamente oproblema 1 i 1 d n FA Ç Ai 1 f e Ai 1 Me d 1 Mli111i1e z Mz dd b 1 A1 F 12 yd L F2 2 rI b Figun 319 Seção de uma viga com annadura dupla O momento M pode ser obtido da equação 320 com 7 d 04 x e x1 hm 111n m 1ri 045d Mum f Zim 085 fcd b 08 X d 04 m 0251 b d2 d 348 A armadura A é obtida da equação 324 com Mtim no lugar de Md e z Zim d 04 d 1 04 xd d 1 04 KX J A Mlim M 1 zf d0 4x f m od 349 Fazendo o equilíbrio da seção da Fi 319 com M 2 não há inais colaboração do concreto pode ser obtida a armadura A 12 correspondente ao momento M 2 1 M F d d A f d d e então l ol ol A Ml Md Mum 1 d d f d d f ri 350 l 4tl QICUIO e Cletauwnento e estNturas usuais de concreto amlildo Chàrnando de A o total de armadura tracio ou seja A A11 Aü nsulta A Mlini M M 104KXlladfi ddfi 351 Fazendo o equilibrio de momentos em rcl2ção ao Centto de Gralidadc CG da armadura tracionada na seção com M1 obtémse A A d d M1 A M2 A M Mm ddí ddí 352 Fmalmente é preciso conhecer a deformação cspcclficada armad11ta comprimida para nçontrar a tensão na armadura comprimida O valor de E é obtido da Figura 319 O 35 t O 35 x11m d E x x 0 d x 353 cm que d distância entre o CG da armadura comprimida até a borda superior d d braço de alavanca da seção com as armaduras tracionada e comprimida e defqrmação especifica e tensão na armadura comprimida xm linha neutra limite para atender a condição de ductilidade x 045 d para concretos até a claSsé CSO EXEMPL07 Para um momento M 45 kNm calcular a armadura ncccssária de uma seção retangu 1µ com iaJgura b 012 me d 029 m com aço CASO e f 20 MPa Considerares tribos de I 6 mm e barra5 longitudinUS comprimidas ou tracionadas de I 10 mm e orimcnto de 2S cm de acordo com Tabclâ 72 da NT NBR 61182014 para vigas em ambientes com classe de agressividade ambicn1 1 Quadro 44 capitulo 4 a Cálculo da altura núrúma da seção para M 45 kNm confonnc a equação 343 cm que xd 045 M Jh 1445 d O 20 b fa1 068 0450272 0451 b f 01220000 l4 0383 m l 3 arculo da armadura de nexo 14 7 Como d 029 m dm1a 0383 m armadura dupla a Cílculo de monien limik Mu com a equação 348 Mlim 0251 b fa1 dl 0251012029l 2000014 3619 kN m b Cálculo de M2 Mi Md 14 45 3619 2681 kN m c Cálculo de A11 KX d 045 co a expressão lSl d 29 cm e d 25 06 102 36 cm distância da armadura comprimida à borda comprimida em que 06 cm é o diãffietro dos estribos e 10 cm é o diâmetro da arma dura longitudinal 3619 l4453619 3 50 2 3 A 1 50 50 4 5 93cm 10 40 450 29 O 290 036 115 115 d Cálculo de A sendo necessário conhecer antes r e portanto E com a equação 353 E O 0035 xlim d O 0035 O 45 O 29 O 036 O 0025 xbm o 45 o 29 como E ri ti 000207 para CASO r 1 4 45 36 19 Aº 2 43 1 50 cm o 29o 036 115 37 7 CALCULO DE ARMADURA EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL EM FORMA DE f Em um piso laje de concreto armado apoiado no contorno cm vigas as lajes maciças e as vigas não são independentes umas das outras pelo fato de as estruturas de concreto serem monolíticas a não ser que construtivamente sejam tomadas medidas para que isso não ocorra seus dcmentos lajes e vigas trabalham em conjunto Qyarido a viga sofre umadefonnaçio parte da laje adjacente a ela cm um ou em dois lados também se deforma compomndosc como se fosse parte viga colabo rando em sua resistência Dessa forma a viga incorpora parte da laje e sua seção deixa de ser retangular passando a ter a fonna de um T ou de um L invertido Ao fazer um corte em um piso formado par lajes e vigasFigura 320 observase que o piso se compõe na verdade de um êonjuntode vigas com a forma de lim Mr trabalhando lado a lado l õ La1cu10 e oer11namen10 oe estruturas usuais de concreto armado Planta Corte AA Figura 320 Piso com vigas de seção transversal T Considerações importantes a A parte vertical da viga é chamada de alma nervura e a parte horizontal de mesa que é composta de duas abas partes salientes é referida com a seguinte notação Figura 321 b 1 d h JJ Figura 321 Viga com seção transversal em forma de T b Uma viga de concreto armado formada por uma nervura e duas abas só será con siderada como de seção T quando a mesa e parte da alma estiverem comprimidas Figura 322a caso contrário dependendo do sentido de atuação do momento fletor apenas a parte superior da mesa ou inferior da alma estarão comprimidas essas partes têm a forma retangular e como as regiões tracionadas de concreto não trabalham ou seja não colaboram na resistência á viga será calculada como tendo seção retangular Figura 322b a Seção r mesa comprimida b o ratangular mesa lradonada Figura J22 Viga de T e retangular Como consequência nos trechos de momentos negativos junto aos apoios vi gas contínuas provavelmente a seção da viga será retangular é ô caso de viga abaixo da laje pois apenas parte da alma estará comprimida d PoJhÕ CAP 3 Cákulo da armadura de nexão 149 Outra consequência é que no càso de momentos posiivos a viga só será consi derada de seção T se a linha neutra estiver passando pela alma caso contrá I rio a região de concreto comprimida será retangular com largura igual a b e f não haverá colaboração da alma e de parte da mesa que estarão tracionadas Figura 323 LN seçao r LN passa pela alma seçao relangular LN passa pela mesa Figura 323 Viga de seção T bu retangular de acordo com a posi1ão da LN c Nas situações em que aLN passa pela alma da seção é possível usar os quadros para seções retangulares fazendo o cálculo em duas etapas Figura 324 Calculase inicialmente o momento resistido pelas abas M 1 M F do 85f h bb d 1 c1 2 cd r r 2 351 O momento restante M2 é absorvido pela nervura alma como nas seções retangulares M M M F dr 2 d 1 c2 2 55 Figun 324 Seção T dividida em duas seções retangulares A armadura é obtida somandose a necessária para resistir a cada um dos mo mentos A 56 150 Cálculo e detalbamento de estruturas usuais de concreto armÍdo d Não é toda a largura da laje adjacente que colabora na rcsistncia da viga por ab surdo imaiiriesc que uma viga central estivesse a quilõmetros das vigas laterais é evi dente que entre uma viga lateral e a central existiria uma parte da laje que não ajudaria na resistência nem de ulJla viga nem de outra ou seja estaria trabalhando realmente apenas como elemento para transferir cargas às vigas Concluise portanto que apenas uma parte da laje mais próxima à viga colabora com ela A distribuição de tensões de compressão na parte superior da viga mesa não é uniforme M concentração de valores junto à parte central da viga alma como esquematizado na Figura 325 A determinação da largura da laje que colabora com a vigalargura colaborante ou efefua b é feita integrando a distribuição de tensões na altura he em uma largura até onde as tensões tendem a zero a fim de encentrar a resultante essa resultante é igualada a uma outra obtida por meio da distibuição uniforme de tensões com valor igual a 085 fa1 atuando na altura h e largura b F b h 085 fa1 Figura 325 Dimibuição das tensões de compressão na fllCSa de uma viga T e O procedimento acima resulta cm um cálculo complexo e por essa razão existem souçõ simplificadas a favor da segurança mas baseadas nos mesmos principios Uma delas é a que propõe a ABNT NBR 61182014 item 14622 que de acordo com esse item a largura colaborante bserá a largura da viga b acrescida de no máximo10 da distância a entre os pontos de momento fletor nulo para cada lado da viga em que houver laje colaborante A distância a pode ser estimada em função do comprimentt f do tramo considerado a f viga simplesmente apoiada a 075 f tramo com momento em uma só extremidade a 060 f ttarno com momentos nas duas atrcrriidades a 2 f tramo em balanço 1 357 Alternativamente a determinação da distância a pode eer feita pela anilise dos diagramas de momentos fletores na estrutura No aso de vigas contínuas permite se calculálas com umi única largura colaborante para todas as ºseções inclusive nos apoios sob momentos negativos des4e que essa largura seja calcUlada a partir do trecho de momentos positivos onde 0 aargura resulte mínima Deverão ser respeitados os limites de b1 e 3 conforme a Figura 326 CAP 3 Çálculo da armadura de ftexão 151 b b3 s 010 a 358 aiM Lf b b b Figura 326 L3JKUa de mesa cobborante Figura 142 da ABNT NBR 61182014 EXEMPLO 8 Calcul a armadura para a viga Simplesmente apoiada de vão t igual 30 m cuja seção é a da Figura 327 e está submetida a um momento Md 6770 kNm Considerar aço CASO e fk 30 MPa 170cm 175cm Figura 327 Seção transversal da viga do exemplo 8 a Detenninação da largura colaborante br b s b 2 b b 18 cm b1 010 a 010 l 010 3000 300 cm viga splesmente apoiada a f b 170 182 76 Cm b b 300 76 b 18 2 76 170 on b Detenninação da posição da linha neutra supondo inicialmente que passe na mesa da viga seção retangular nesse caso b b 1 J ca1cu10 e ae1a1namento ae estruturas usuais ae concreto armaao Será tomado no Qiadro 31 Kiv1D 00650 maior valor mais próximo ao cal culado KMD 00650 KX 00995 x KX d 00995 175 0174 m hr 020 m A hipótese adotada inicialmente é válida ou seja a linha neutra está na mesa e a seção é retangular e Cálculo da armadura KMD 00650 OJadro 31 KZ 09602 e 1 10o ri f frl A Md 6770 A 92 7 cm1 KZdfll O 960217550l 15 EXEMPL09 Calcular a armadura necessária para a seção do exemplo 8 supondo Md 10000 kNm com aço CASO e fk 30 MPa a Determinação da largura colaborante br A largura colaborante é a mesma do exemplo anterior ou seja br 170 cm b Determintção da posição da linha neutra supondo inicialmente que passe na mesa da viga seção retangular nesse caso b br 10000 l 00896 00900 1 7 l 75 3000014 00900 Quadro 31 KX 01403 x KX d 01403 175 0246 m hr 020 m Portanto a hipótese inicial não é válida pois a linha neutra está fora da mesa tratandose de seção T Será necessário assim determinar a parcela do momento resistido pelas abas e pela alma da seção Figura 328 e a armadura totil necessária CAP 3 Cálculo da annaduril de nexo 153 í b h t1 04 ri A z M i F H i y riguna 328 Momento resistido pebs abas e pela alma de Ulla viga T e Mmento resistido pelas abas M1 M 1 fel d 085fa1 h 2bc bw d li 085 fid h bf bw d 30000 02 M 1 085020170018 175 913630kNm L4 2 d Momento resistido pela alma M2 M Md M 10000 913630 86370 kNm e Cálculo da armadura A que é a soma das parecias referentes ao momento resistido pelas abas M1 e ªºmomento resistido pela mesa M2 a segunda parecia referese a uma seção retangular com b 018 cm cortada pela LN e poêle ser caleulada com o uso do Qyadro 31 A MI Ml h KZdf dt f KMD 863 7º O 0730 0181752 3000014 Sed tomado KMD 00750 maior valor mais próximo ao calculado IMD 00750 KZ 09537 E 0o Ei 207o frd 1 54 CAicuio e deulhameftto de estnrtura5 usuais de concreto armado 9136 30 863 70 A 127351190A 1 75 0 20 2 50l15 o 5371 75 501 15 I 13925 anl EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 um sistema de laje prémoldada trcliçada com altura total de 12 an P12 e altura d capa de 40 cm foi usado para compor uma laje de vão livre igual a 4 m simples mente apoiada nas midad em vigas de 15 cm de largura A carga permanente peso próprio g1 é igual a 15 kNml a carga de revestimento e contrapiso gl é igual a 05 kNml e a acidental q é igual a 2 kNml Qual a armadura necessária A cm cada clmcnto nervura para a seção transrsal da ltjc indicada nl Figura 329 Dados fct 20 MPa 20000 kNm2 aço CA60 e cobrimento igual a 15 cm laje em ambiente de agressividade ambiental l e controle rigoroso admitir armadura lOngitu dinal de 10 mm Figura 329 Seção transversal da la cotas em an a Carga atuante cm uma nervura a distância entre as nervuras é igual a 40 cm p 04 15 05 20 16 kNm b Momento múimo em cada nervura vigota simplesmente apoiada no eixo das vi gas extremas M pl2164152 3 44kNm s s e Seção transvenal as nervura têm seção transwral como a indicada na Figura 3JOa porém para efeito de cUculo será empregada a acçto da Figura 330b cotas em crq CAP 3 alcult da armadura de flexão 155 1 b 1 1 40an 1 it y a Seção tranaveraal da neMJra b Seçlo lral adalmla Figura 330 Seção transversal real da nervura a e da adotada para o cálculo b d Largura colaborante br para o cUculo é preciso ycrificar quanto da capa de con creto qu tem 4 cm dccspcssura e trabalha comprimida colaborará com a nervura b b 2 bi 9 2 155 40 cm cm que b 9 cm é a largura ela alma da seção b2 40 9 31 cm é a distância entre as faces das nervuras O 10aO10 0 10 400 40cma t viga apoiada b 1 050b1 05031155cm e Verificação da seção verificação se a seção é retangular ou Tw admitindo inicial menre que a linha neutra passe pela mesa Alrura útil d h 20 12 20 100 cm l5 cm de cobrimento e 05 cm correspon dente à metade do diâmetro da barra longitudinal l4344 0084 o 40 102 20000 14 Pdo Qyadro 31tomandoKMD0085 KX 0132 x KX d 0132 100 132 cm h 40 cm A hipótese inicial é válida pois a linha neu passa na mesa e a seção é retangular f Cálculo daarmadura Do Quadro 31 com KMD 0085 KZ 09472 15203o E 1000o Como e 15203o e e 1000o a peça está trabalhando no domínio 2 deformação no aço de 10000o e no concreto menor que 3596o e frt 60 kNcm2 1 b Cálculo e detalnament de estruturas usuais de concreto armado 14344kNm A 2 2 098 cm 09472010 60kNcm 1 115 2 conhecida a seção transversal e armadura Figura 331 de uma nervura trilho de laje prémoldada determinaro maior vão que ela pode ter considerando apenas o esta do limite último para uma carga total atuante acidental revestimentos e peso próprio de 65 kNm2 e armadura composta de 2 63 mni A 2 0315 cm2 Ó63 cm2 de aço CA60 Dados f 20 MPa 20000 kNlm2 cobrimento 20 cm altura útil d h 23 cm Figura 331 Seção transversal real da nervura e da adotada para o cálculo coras cm cm a Determinação da posição x da linha neutra Forças atuantes na seção transversal admitida como retangular Na armadura tracionada supondo tensão igual a f FA f 0 631004m2 600000kNm 2 32 87kN yd 1 l 15 No concreto comprimido 20000kN m 2 F 0 85f O 8Xb 0 85 O SxmO 33m e cd 14 F 3205lx m Equilibrio a força na armadura tracionada deve ser igual à força no concreto compiimido Fc 3287 3i05 71 x x 001025 m 1ois tm hr 3 cm retangular b Verifie8fão do domínio em que a seção esd trabalhando e tensão na annadura Dependendo da posição da linha neutra é possível saber em qual dómínio a seção atingirá o estado limite último úP 3 CAicuio da armadura de flexão 15 7 Altura úill d h 23 11 23 87 cm Posição lCu limite entre os domínios 2 e 3 da linha neutra SJ 0259 d 0259 87 225 cm Como x 1025 cm XiJ 225 cm a peça trabalha no domínio 2 atende ao limite xd 045 e nesse donúnio a deformação especifica da armadura longitudinal no estado linúte último é de f00o com o aço atingindo toda sua capacidade ou seja com tensão f r í115 conforme a suposição feita inicialmente c Cálculo do máximo momento resistente Md Equilibrio d 011 0023 0087 m z d 04 x x 001025 m Md F z 320571kNm001025 0087 m 04 001025 m Md 3287 kN 0083 m 273 kNm ou Md F z 3287 kN 0087 m 04 001015 m Md 3287 kN 0083 m 273 kNm d álculo do vão máximo possível de urna nervura apoiada nas extremidades Caga atunte por nrvura intercixt igual a 33 cm p 65 kNm2 033m 2145 kNm Igualando o momento máximo resistente com o atuante em cada nervura M p ll 2 73 2 145 ll 8 14 8 Resulta cm uin vão máximo t 270 m 3 Calcular o máximo valor de l para que a laje prémoldada l3ü usada no pavimento da Figura 332 atenda à concµção de estado linúte último de ruína por flexão Dados fa 20 MPa aço CASO q 1S kNml g1 1 7 kNm2 g2 10 kNm2 adotar d 10 cm 158 CAicuio e detalhamento de estn1tUras usuais de concretp armado 104 lJ 1 04 l P2 P4 1 J 50an s 1 I Figwa 332 Pavimento composto de duas vigas e laje u O sistema estrutural da laje do pavimento pôde ser ánalisado considerando uma nervura central ÍWlcionando como uma viga independente simplesmente apoiada e com dois balanços como mostrado na Figura 333 As cargas a empregar no dlculo dos momentos máximos negativo e positivo também estão inllcadas na figura ITIJ q illD gJllllllllllJJJJJB a Esquema estrutural b Cargas para momenlo negativo maxmo f 111111111 H 1111 IJg 1o4 ff fo4t I e Cljrgas para morrianlo poalUvo múlmo Figura 333 Equcmi cstrurural da nervura e cargas pan á1cu10 dos momentos máximos 1 a Ações na nervura As ações atuantes na nervura central são obçidas multiplicandose as intensidades dos carrcgaments pela distância entre as nervuras Peso próprio g1 17 os 085 kNm s u1cu10 aa annaaura e Hexo 159 Sobrecarga permanente Carga pemianente total Carga acidental Carga toal g q g2 10 05 050 kNm g 135 kNm q 15 05 075 kNm p 210 kNm b Determinação da altura x da linha neutra A seção da nervura trabalhará conforme indicad na Figura 334 Para o momento negativo com uma regio cmnprimda de concrto de largura igual a bw e altura a 08 x medida a partir da borda inferior da seção Para o momento positivo com uma região comprimida que poderá ser retangu lar ou em forma de T dependendo da altura da linha neutra medida a partir da borda superior da seção o valor de x neste caso é o correspondente ao limite imposto pela norma ou seja xd 045 x 045 d 045 010 0045 m 45 cm h 40 cm Como x hP a linha ncutra passa na alma e para o momento positivo a seção se comporta de fato como tendo a forma de Tn b f cl j a Seção T com M posllvo b o ConaeO comprimido b Seção T com M negaUvo Figun 334 Esquema das seções transYus2is sob momentos ftetores positivo e negativo e Determinação do vão a partir do momento máximo negativo trCcho do balanço Máximo momento negativo que poderi orrer nobalançojÜnto i seção de aoio 1 ou u1cu10 e oeuunamento ae estruturas usuais ae concreta armaaa Momento negativo resistid pela seção no caso regular com x OAS cm M b 0 8 X 0 85 f d 0 4 X w cd 14 M 0108004508520000010040045 l 56 kNm 1414 1 Igualando os momentos atuante e rcsistidocncontrase o máximo vão para que não haja colapso na seção junto ao apoio M M 0168 t2 256 t 390 m d Determinação do vão a partir do momento áximo positivo trecho do tramo Máximo momento positivo atuante no meio do tramo 2 l M 135 0 4l llf 01545l2 m 2 8 Momento positivo resistido pela seção para determinar o momento positivo resistido utilizase o mesmo procedimento para o momento negativo com a diferença de que neste caso a seção se com porra como T pois a linha neutra passa abaixo da mesa assim a mesa está totalmente comprimida e trabalha com toda sua largura bem como também está comprimida uma parte da alma O momento resistido vale b 0 8 X 0 85 f d 0 4 X b b h 0 85 f d 0 5 h M a1 r r a1 r rwn 14 14 M 0108 0045 085 20000 01004 0045 1414 0501 004 085 20000910002 1414 M 256 1110 1366 kN m Igualando os momentos atuante e resistido encontrase o miximo vão para que não haja cola no tramo MU M 01545 p 1366 l 940 m LAP 3 Cfculo da armadura de nex10 161 Dessa maneira o máximo vio pÔssívcl atendendo às condições do estado limite último de colapso é igual a 390 m É importante r1ssaltar que a seção da nervura tendo a forma de T resiste a um valor de momento negativo bem mais baixo que o poitivo fazendo com que a seção junto ao apoio seja a dererminmte ptra 0 cál culo Devese portanto tomar cuidado ao projetar ete sistema quando submetido a momentos negativos pois nem sempre será possível absorver os momentos que são obtidos do cálculo usual elástico ver Anexo 1 Finalmente cm um projeto definitivo haveria necessidade de verificar o estado limÚe de deformação excessiva capiritlo 4 que poderia nesta sitilação conduzir a um valor de t inferior ao encontrado aqui EXERCfCIOS PROPOSTOS 1 Calcular o maior momento que pode ser resistido por uma seção retngllar com armadura simples que tem b 22 cm d 35 cm tk 20 lVIPa c aço CASO Calcular a área necessácia de armadura longjtudinai Resposta M 88 kN m A 108 an2 2 Calcular o maior momento que pode ser resistido por uma seção retangular com ar madura simples e b 22 cm d 35 cm f1r 20 MPa aço CASO e armadura de tração A 5 iml Em que domínio trabalha a viga Resposta M 48 kN m domínio 3 3 Calcular a armadura A e indiar o domínio em que trabalhará no estado limite último uma viga de seção transversal retarigular utilindo armadura simples para os seguintes momentos a 28 kN m b 22 kN m c 16 kN m d 10 kN m Dados b 22 cm d 20 cm fd 20 MPa aço CA60 Resposta a 605 cm2 950 cmJ com aço tipo B de acordo com a NBl00 e domítúo 4 b 357 cmJ dom 34 c 244 cm2 dom 3 d 144 cm2 dom 2 4 Calcular para a seção dada o máximo momentq esistido e o valor da armadura comprimida A de maneira que se tenha um valor econômico para armadura e se em preguem as hipó de armadura dupla CoRSderar concreto com 1r 20 MPa aço CASO e A 6 anl I 1 at a1cu10 e OlUlll11to 00 esuuturas usuais ae tanellU MmlCIO 5 N 5 Qual o mhimo or de carga acidetal a ser resistida pcbs ao lado sem arma dura dupla sabendose que a laje prémoldada resiste a esta carga O peso próprio da laje mais revestimentos e piso é de JO kNml e sobre cada viga existe uma paredede 3 m de altura e espessura de 15 cm Dados a seção central das vigas YlOO e VíOl é dada na figura concrefo com r io MPa aço CASO Yx 18 kNm3 1 45m 1 1 1 R 1 1 Trilhos 1 I I 1 1 1 g 1 1 1 1 1 1 12an 1 1l a Planla 6 Determinar qual deve ser o valor d altura útil mínima nccessiria de uma seção transversal retangular de largura de ti cm ionaeto com f 20 MPa e um momento atuante M 20 kN m para que ela trabalhe no limite dos domínios 3 e 4 nas seguintes situações ã aço CÀ25 b aço CA32 e aço CASO d aço CA60 7 Determinar o valor da altura mínima que uma viga com seção transverS2l cm fonna de T deve ter quando b 17 m h 02 m h 018 m M 71428 kN m r 26 MPa e aço CASO CAP 3 alculo daarmadura de llexão 163 8 Para a viga de uma ponte esquematizada ao lado calcular a armadura longitudinal necessária no meio do vão AB considCI1JldO d 17 m CA60 e f 30 MPa quando a p 600 kNm Gá incluído o peso próprio b p 9 kNm Gá incluído o peso próprio c p 1450kNm Gá incluído o peso próprio l l 1 1 l l l l lp 80m 145m 20cm 155cm 30cm ADENDO A RESUMO DAS EXPRESSÕES RELAOONADAS NESTE CAPfTuLO Deformação específica no concreto até CSO QO inicio do patamar plástico ocorre cm seções totalmente comprimidas Ecl 20 lQl 20o 31 Deformação especifica do concreto até C50 na ruptura ocom nas seções sob flexão Em 35 103 35o 32 Deformação específica no concreto C50 até C90 no início do patamar plástico ocorre cm scçÕcs totalmente comprimidas Ecl 20o 0085o f 500Sl 33 Deformação específica do concreto C50 até C90 na rupiun seções sob ftaão E 26o 35o 90 f1004 34 Alongamento último das armadiaras t loo 101 100o 3S 1 oc 81curu t uldllldmnto ae esuururas usuais ae concreto armaao Linha neutra convencional diagrama retanguhr y À X 36 Coeficiente da posição da linha neutra para concretos até C50 À 08 37 Coeficiente da posição da linha neutra concreto de C50 até C90 À 08 fck 50400 38 Tensão atuante no concreto admitida constante até a profundidade y se a largura da seção não diminui acima da LN a f d 39 Tensão atuante no concreto admitida constante até a profundidade y se a largura da seção diminui acima da LN 09 a fd 310 Parâmetro de redução da tensão concretos de classes até C50 a 085 311 Parâmetro de redução da tensão concretos de classes C50 até C90 a 085 10 fk 50200 312 Limite da posição da linha neutra para comportamento dúctil Concretos com s 50MPa xd s 045 313 Limite da posição da linha neutra para comportamento dúctil Concretos com 50 MPa fk s 90 MPa xd s 035 314 Igualdade equilibrio da força de compressão no concreto e tração no aço na flexão simples FF 315 Momento cm função da forçano concreto M F 7 316 d Momento em função da força no aço MdF z 317 ÚP 3 Cálculo da armadura de nexão 165 Fur resultante oo concreto fck S 50MPa na flexão simples para seção retangular F 085 f b 08 x 318 Braço de alavanca na flexão simples para seção retangular e concreto com fn s 50 MPa Z d 04 X 319 Momento fietor em função da pasição da linha neutra seção retangular e f s 50 MPa Md b d 068 x d 04 x 320 Expressão 320 modificada algebricamente Md 068 X d 0272 x2 b Íi Posição profundidade da linha neutra para concretos com f s 50 MPa O 68d O 68d 2 40 272 1 1 1 bw f d X 0544 Áiea necessária de aço para qualquer tensão na armadura A Md zf Área necessária de a50 para tensão de escoamento na armadura M A d zf 321 322 323 324 Relação entre as deformações na fibra mais comprimida do oncreto e no cg da ar madura nlação entre a posição da linha neutra e a altura útil X d X E E E d E 1 325 Relação entre as deformações na fibramais comprimida do concreto até classe C50 e no cg da armadura CSO no domínio 3 X 00035 d 00035 326 Equilibrio da força no concreto e no aço na ftcxãósimples mesma equação 3115 F f e 327 I l bb u1cu10 e oeiainamento ae estruturas uswus ae annaao Momento em ÍUlção cja força no concreto mesma equação l16 M F z d e 328 Momento em função da força no aço mesma equação 317 Md F z 329 Força resultante no concreto na flexão simples para seção retangular e concreto de qualquer classe F a f b x e e ai 330 Braço de alaanca na flexão simples para seção retangular e concreto de qualquer classe Z d 05 À X J31 Momento Betor em função da posiçãQ da linha neutra p seção retangular e con ereto de qualquer classe M b a f À X d o 5 À x d w e cd 332 Expres ão 332 modificada algebricamenre M à x d O 5 L xl b a f d J e ai 333 Poição profundidade da linha neutra para concretos de qualquer classe x d d2 2 Md b ac Ía1 334 À Áiea de aço para tensão de escoamento mesma 324 A Md zfi 335 Relação entre as deformações na fibra mais comprimida do concreto e no cg da ar madura para concreto de qualquer clae no doqúnio 3 336 d E E Limite dá profimdidade da linha neutra quando um momento for reduzido de M para ôM em uma seção para concretos com fct s SÓ MPa xd ô 044125 337 CAP 3 Cálculo çla annadura de llexo 167 Limite da profundidade da linha 1cutra quando um mQcnto for reduzido de M para õM cm uma seção para concretos com 50 MPa f s 90 MPa xd s S 056125 338 Força na armadura conhecidas a área e a tensão de cscamcnto F A f t 339 Posiçiio da linha ncutra conhecida a área de aço x A fu 340 068 b fal Momento Betor em função da força na armadura M F z F d o 4 x A f d o 4 x d yd 341 Altura útil d emfunção da relação Ç xd d Md 342 bw fal 068Ç0272Ç2 Altura útil dm1nem função da relação Ç 045 para concretos com k 50 MPa d Md I Md b fcd 0680450272045 2 nun bw Íd O 25092 2 O Md 343 b f d Equação adimcnsional do momento Betor KMD Md 068KX0272KX 344 b d3 f w ai Equação adimeosional do braço de alavanca KZ zd 1 04 KX 345 Cálculo da armadura em função de KZ A Md KZdf 346 168 CAicuio e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado Equação adimcnsional da posição da linha neutra cm função das deformações do concreto e do aço KXEc 347 Ec E Momento limite de uma seção retangular com m 045 seções com armadura dupla O 85 f b O 8 wn d O 4 O 251 b di f alw cd 348 Annadura necessária para resistir ad momento Jimjrc A seções com armadura dupla A Mlirn M6m M 349 z fyd d0 4x f 104 KX d fi Dm yd Armadura necessária para resistir à diferença entre o momento limite e o atuante A seções com armadura dupla A M1 Md Mlim 350 1 d d f ddfi yd Armadura total A tracionada cm seções com armadura dupla A Mm Md Mm 351 104101imdfi ddfyd Armadura comprimida A cm seções com armadura dupla A M1 A M M d d f d d f 352 Deformação específica da armadura comprimida cm seções com armadura dupla 035 035 xlira d 353 xlim x d x Momento M1 resistido pelas abas de uma seção r M F d h o 85 f h br b d 1 1 c1 2 a1 r 2 354 Momento resistido pela alma ele seção ªT M M M F dl 355 l d 1 cl 2 ÚP 3 Clculo da armadura de íleicão 169 Armadura necessária para resistir ao momento total Md cm uma seção T A M Mi dh 2frd KZdfa 356 Oistância 11 para determinação da ra colaborante em seções T a l viga simplesmente apoiada a 075 tramo com inoinento em uma só extremidade 357 a 060 tramo com momentos nas duas extremidades a 2 tramQ em balanço Limites de b1 e b3 para detcnninação de largura colaborante em seções 1 º5b b OlOa T b3 S oo a 358 ADENDO B adro de KMD para cálculo de armadura longin1dinal de seções retangulares para concretos de quaisquer classes para k S 50 MPa À 08 e a 085 para fk 50 MPa A 08 fk 50400 e a 085 10 1 50200 k cm MPa 112KMD Md k 1 b A Md KMD k a b d 2 f À KZd f ai f MPa 50 60 70 80 90 À 08 0775 075 0725 07 a e 085 08075 0765 07225 068 0010 0015 0994 0016 0994 0018 0993 0019 0993 0021 0993 0015 0022 0991 0024 0991 0026 0990 0029 0990 0032 0989 0020 0030 o988 0032 0987 0035 0987 0039 0986 0043 0985 170 Olculo e detillhamento de estruturas usuais de conClltO ilmlildo r MPa 50 60 71 80 90 À 08 on5 075 ons 07 ª 085 08075 0765 07225 068 002 0037 0985 0041 0984 0044 0983 0049 0982 0054 0981 0030 0045 0982 0049 0981 0053 0980 0059 0979 0064 o9n 0035 0053 0979 0057 0978 0062 9n 0069 0975 0076 0974 0040 0060 0976 0066 0975 0072 0973 0079 0972 0087 0970 0045 0068 0973 0074 0971º 0081 0970 0089 0968 0098 0966 0050 0076 0970 0083 0968 0090 0966 0099 0964 0109 0962 0055 0084 0967 0091 0965 0100 0963 0109 0960 0121 0958 0060 0092 0963 0100 0961 0109 0959 0120 957 0132 0954 0065 0100 0960 0108 0958 0119 0956 0130 0953 0144 0950 0070 0108 0957 oli7 0955 0128 0952 0141 0949 0156 0946 0075 0116 0954 0126 0951 0138 0948 0152 0945 0167 0941 0080 0124 0950 0135 0948 0148 0945 0162 0941 0179 0937 0085 0132 0947 0144 0944 0157 0941 0173 0937 0191 0933 tl090 0140 0944 0153 0941 0167 0937 0184 0933 0204 0929 0095 0149 0941 0162 0937 o1n 093 0195 0929 0216 0924 0100 0157 0937 0171 0934 0187 0930 0206 0925 0228 0920 0105 0165 0934 0180 0930 0198 0926 0218 0921 0241 0916 0110 0174 0930 0190 0926 0208 0922 0229 0917 0254 0911 0115 0182 0927 0199 0923 0218 0918 0241 0913 0266 0907 0120 0191 0924 0209 0919 0229 0914 0252 0909 0279 0902 0125 0200 0920 0218 0915 0239 0910 0264 0904 0293 0898 0130 0209 017 0228 0912 0250 0906 0276 0900 0306 0893 0135 0217 0913 ojl8 0908 0261 0902 0288 0896 0319 0888 0140 0226 0909 0247 0904 0272 0898 0300 0891 0333 0883 0145 023 0906 0257 0900 0283 0894 0312 0887 0347 0879 OlSO 0245 0902 267 0896 0294 0890 0325 0882 fMPa 50 60 70 80 90 À 08 0775 075 ons 07 a e 085 08075 0765 07225 068 0155 0254 0899 0278 0892 0305 0886 0337 0878 0160 0263 0895 0288 0888 0316 0881 0350 087 0165 0272 0891 0298 0884 0328 0877 0170 0282 0887 0309 0880 0340 0873 0175 0291 0883 o19 0876 0180 0301 0880 0330 0872 0185 0311 0876 0341 0868 0190 0320 0872 0195 0330 0868 0200 0340 0864 0205 0351 0860 0210 0361 0856 0215 0371 0851 0220 0382 0847 0225 0393 0843 0230 0403 0839 0235 0414 0834 0240 0425 0830 0245 0437 0825 0250 0448 0821 ANNUNCIATION ÚPÍTUL04 0ETALHAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL FLEXÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL E ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 41 INTRODUÇÃO Em uma viga de concreto armado conhecendose o diagrama de momentos Re tores as dimensões da seção transversal e as características mecânicas do concreto e do aço é possível detemiinara armadura longitudinal necessáiia em cada seção A maneira de calcular essa armadura no estado limite último foi discutida no capítulo anterior e a questão agora é devese calcular a armadura em todas as seçôcs transversais A resposta é não Normalmente basta calcular a área da armadura nas seçõcS de momentos extremos positivo e negativo para cada tramo momento fietor positivo é aquele que produz tenão tle tração na borda inferior da seção A partir da definição da disposição das barras nesas seções podese com maior ou menor aproximação detalhar a armadura ao longo da iga o que garantira que todas as seções tenham quantidade de aço suficiente o que será feito no capítulo 5 Para cctuar o detalhamento daarmadura na seção transversal é preciso primeira mente escolher a panir da área de aço calculada a quantidade de barras longitudinais necessárias cm função da área da seção transversal de uma barra O Quadro 41 contém características das barras com bitola comerciais mais empregadas em concreto armado Destacase que os fios são menos ríidos que as barras Qaadro 41 Canctcrísticas das barras de aço Fioe Duras Dihietro Peso Perúnetto Área mm cm daNm kgfm cm bn2 32 032 0063 100 0080 40 040 0100 125 0125 55 55 055 0186 173 0240 63 63 114 063 0248 200 0315 80 80 516 080 0393 250 0500 100 100 38 10 0624 315 0800 174 Càlculo e de3lhamento de estruturas usuais de concreto annado Qyadro 41 ConJinuaç4o Fio Barras Diimctro PC90 Perímetro Área mm an daNmkgflm an anl 125 12 125 0988 400 1250 160 58 160 1570 500 2000 200 34 20 2480 630 3UU 22S 7 8 225 3120 710 4000 250 1 3930 250 800 5000 320 125 320 6240 100 8000 A quantidade de barras e seu arranjo posição dentro da seção transversal da viga devem atender às prescrições da ABNT NBR 61182014 qu são descritas nos itens seguintes Além dessas precrições os projetistas devem ter em mente as operações de lançamento e adensamento do concreto de modo a permitir que ele penetre com facilidade em todos os vazios da viga bem como assegurar que haja espaço para que as agulhas de vibradores possam ser introduzidas entre as barras O engenheiro da obra responsávd pela operação de concretagem deve sempre tomar alguns cuidados a fim de que durante a concrctagcm as propriedades essenciais sejam asseguradas Entre essas propriedades destacamse a aderência entre o açc e o concreto a homogeneidade do concreto sem ninhos de concrctagem regiões só com pedras ou seja com pouea ou nenhuma natade cimento e o cobrimento mínimo da armadura Recomendase pata tanto a leitura das seções 9 e 10 da ABNT NBR 149312003 Execuçfo de estrururas de concreto procedimento que tratam de as pectos referentes àconcrctagem fõrmas escoramentos adensamento cura etc Neste capítulo estão todas as prescrições que devem ser atendidas ao se detalhar a annadura na seção tranisal Para seções com pouca armadura por exemplo com annadura mínima várias das prescrições estão automatiamente verificadas Assim a importância da utilização cuidadosa dessas prescrições awnenta à medida que a seção é mais solicitada Além de garantir a segurança contra o colapso coinO visto nc capítulo anterior em relação à flexão é preciso garantir que a estrutura de concreto armado atenda aos estados limites de serjço que segundo o itcm104 da ABNT NBR 61182014 s10 aqueles relacionados ao conforto do usuário e à durabilidade aparência e boa utilização das csttUNras seja em relação aos usuários seja em relação às máquinas e aos equipa mentos suportados pelas estruturas CAP 4 Detalhaniento da annadura longitudinal Cflexáo na seçjo transversal e estados 175 Entre eles destacamse os estados limites de formação de fissuras de abertura de fissus e os de deformações excessivas ou seja a estrutura raio deve apresentai em uti lização fissuração ou deformação aMm de determinados limites Como a quantidade e 0 detalhamento das barras na seção transversal influem nessas condições nas seções 4 7 e 48 são abordados os estados limites referentes à fissuração inaceitável e à clefornbção excessiva respectivamente As siruações aqui abordadas referemse à flexão mas o conceitos devem seres tendidos plra os casos de esforços de cisaihamento devidos à força cortante e à torção 42 ARMADURA LONGITUDINAL MÍNIMA E MÃXIMA EM UMA SEÇÃO As quantidades mínima e máxima da armadura de flexão em uma seção devem se previstas A armadura míflima deve ser colocada para evita rupruras bruscas frágeis da seção pois o aço faz com que ela apresente uma deformação razoável antes de entrar em ruína Também é útil para absorver pequenos esforços não considerados no cálculo A especificação de valores máximos decoe da necessidade de assegurar condições de ductilidade e de respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às pres crições de funcioamento do conjunto açoconcreto Na ABNT NBR 61182014 as recomendações se encontram no item 1735 que contém indicações sobre as quantidades mínima e máxima que devem ser respeitadas 421 ARMADURA MINIMA Conforme o item 17351 da norma A ruptura frágil das seÇões transversais quando da formação da primeira fissura deve ser evitada considerandose para o cálculo das armaduras um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concrtto simples supondo que a istência à tração do concreto seja dada por fI devendó também obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras dadas em 1733 seção 47 deste capírulo A armadura mínima de tração em uma viga ou em qualquer outro elemento es trutural de concreto annado ouprotendido deve ser determinada dimensionandose a seção para um momento ftetor mínimo dado pela expressão seguinte respeitando sempre uma taxa mínima absoluta de 015 item 11352l da norma Mdraln 08 W0 fa1iarp 41 em que W módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à o fibra mais tracionada 176 Clculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado f resistência característica superior do concreto à traçlo ver capírulo 1 ctkwup seção 1623 equações 15 e 17 O dimensionamento para Mdmn será considerado atendidose forem respeitadas as taxas mínimas de armadura pmJ do Qyadro 42 Qyadro 173 da norma A é a n e área bruta da seção de concreto Quadro 42 Taxas minimas de armadura de flexão para vigas Valores de p AIA Form d scçio 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Retangular 0150 0150 0150 0164 0179 0194 0208 0211 0219 0226 0233 0239 0245 0251 0256 Os valores de õ estabelecidos neSe quadro prcssup9em o uso de aço CASOdh 08 e Y 14 e Y 115 Cµo esses fatores sejm diferentes p deve ser realculdo 422 ARMADURA MAXIMA A soma das armaduras de tração e compress5o A A não deve ter valor maior que 4 da área de concreto da seção A calculada em região fora da zona de emendas e item 17352A da norma 43 ARMADURA CONCEATRADA Para que a armadura longitudinal comprimida ou tracionada possa ser calculada admitindoa concentrada em seu centro de gravidade a ABNT NBR 61182014 item 17241 estabelece que a distância a desse centro ao ponto da seção da armadura mais afastado da linha neutra medida normalmente a esta deve ser meno que 10 de h A teoria desenvolvida no capírulo 3 considerou que a armadura longirudinal esta ria concentrada no seu centro de gravidade em um único nível portanto com a 010 h Figura41 Se isso não for possível devese considerar a deformação especifica do aço de cada nível como indicado na Figura 41 Se a deformação especifica da armadura mais próxima da linha neutra for igUa1 ou superior a Ei o cálculo feito no capirulo 3 é válido supõese que isso ocorre quando consideração de armadura concentrada é atendida mas é preciso também que a armadura mais afastada do Centro de gravidade e da linha neutra tenha deformação inferior a 1caso contrário o cálculo psa a ser iterativo camada por camada Nte a diferença eitre o texto dl norm 0 a e a Figura 41 em relação à distância a colocada cm posição contráriaao prescrito mas parecendo ser o mais lógico C 4 Detlllharnento da armadura 1on91tC1a1na1111exaoJ na seçao tramversal e estados 177 LN d CGda h Figura 41 Annadllrl considera1a conccnuada 44 ARMADURA DI PELE A função dessa armadura é principalmente minimizar os problemas decorrentes da fissuração retração e variação de temperatura Serve também para diminuir a abcr nua de fissuras de flexão na alnia das vigas Na ABNT NBR 61182014 as recomendações encontramse no item 173523 A armadura de pele armadura lateral deve ser colocada em cada face da alma da viga com área cm cada face não menor que a dada pela equação 42 em que Aa1 é a área de concreto da alma da vigi A 010deA º 10 A alnu 100 calm 42 A armadura de pele deve ser composta de barras de CA50 ou CA60 não sendo necessária uma armadura superior a 5 cm2m por face No item 1835 indicase que i armadura de pele calculada de acordo com 173523 deve ser disposta de modo que o afastamento entre as bras não ultràpasse além de 20 an também a d3 Ainda de acordo com o item 17332 é convennte que o espaçamento na zon ttacionada da viga seja menor ou igual a 15 Em vigas que tenham altura igual ou inferior a 60 cm não é necessária a colocação dcssá annaduia Essas indicações estão resumidas na Fiiwa 42 1 78 Olculo e detainamento de estruturas usuais ele concreto aado f I an h60an 1 t 15 1 A 1 Figura 4M Distribuição da armadura de pele 45 ESPAÇAMENTOS ENTRE AS BARRAS O arranjo das armaduras deve propiciar que elas cumpram sila função estrutural aderência manutenção da alnira útil etc e proporcionar condições adequadas cic exe cução principalmente com relação ao lançamento e ao adcnsamcntQ do concreto Os espaços entre as barras longitudinais devem ser projetados para possibilitar a introdu ção de vibradores evitando que ocorram vazios e segregação dos aÇcgados Para isso devem ser respeitadas as distâncias mínimas entre as barras constantes na ABNT NBR 6Ú82014 item 18322 O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras medido horizontal 3i e verticalmente a no plano da seção transversal deve ser cm cada direção o maior entre os três valores seguintes també indicaos Fi 43 e que di é a dmensão máxima característica do agregado graúdo 20mm 20mm ab diàmetrodabarradofcixeoudaluva a diãmetrodabarradofeixeouluva l2doppl 05d Nas barras com mossas ou saliências segundo Fusco 1 devese acrescentar ao diâme tro das mesmas o valor 004 4 ou seja 41oom cj 004 4 Para feixes de barras devese considerar como diâmetro do feixe 4 cli fn sendo n o número de barras do feixe de diâmetro cj cada uma Os valores mínimos de espaçamentos devem ser obedecidos também em regiões em que hEuvr emendas por traspasse du barras As emendas serio tratadas na seção 54 do capítulo 5 16 Fusco 1995 CAP 4 Detalhamento ela annaaura longttuellnal ledo na seção transversal e estados 179 L 4 r 2an e 12d 2an e 05d Barras com mossas 004 a d diãmeJo méximo do agregado Figufll 43 Espaçamentos entre barras valores mlnimos O diâmetro máximo do agregado d pode ser obtido no Qµadro 43 que fornece o Intervalo de valores cm que eles estão compreendidos para cada tipo de brita conforme classificação usual Osvalores do Qµadro 43 podem variar dependendo da região do Brasil ou mesmo da referência a valores específicos feita por órgãos gover namentais Quadro 43 Classificação usual das britlS Tipo de brita Diimetro mm Brita O 48 a 95 Brita 1 95 a 19 Brita 2 19 a25 Brita 3 25 a 38 46 PROTEÇÃO E COBRIMENTO Entre os fatores dos quais depende a durabilidade das estruturas de concreto ar mado e protcndido são fundament2is a qualidade e a espessura do concreto de cobri mento das armaduras Cobrimento mínimo é a menor distância livre entre uma face da peça e a amada de barras mais próxima dessa face inclusive estribos e deve ser observado ao longo d todo o demento considerado tem per finalidade proteger as barras tanto da corrosão como da ação do fogo Para isso além do cobrimento adequa do é importante que o concreto seja bem compactado Na ABN NBR 61182014 as recomendações estão no item 747 o cobrimento mínimo C J item 74 72 deve ser garantido adotandose um valor nominal de cobrimentó C que é o cobrimento mínimo acrescido de urna tolerância de execução 6C Ç e 6C Para isso as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais conforme o Qµadro 44 180 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto annado Tabela 72 da noma da qual foram retirados os valos correspondentes ao concreto protendido para ac 10 mm ou seja e e 10 mm cm obras correntes conforme o item 7473 o valor de ac deve ser maior ou igual a 10 mm Nos casos em que houver um rigoroso controle de qualidade e rígidos limites de rolerãncia da variabilidade das medidas durante a execução o que deve estar explícito nos desenhos de projero de acordo com o irem 7474 podese ter ac 5 mm Assim os cobrimentos nominais do Oiadro 44 podem ser reduzidos em 5 mm De acordo com o irem 747S os cobrimentos nominais e mínimos devem ser sempre referidos 0 à superfície da armadura externa em geral a face externa do estribo Para concreto armado o cobrimento nominal de uma determinada barra deve ser sem pre maior que o seu diimerro C l 4in e no caso de feixes maior que o diimetro equivalente C rn 4 4 fn A dimensão máxima característica do agregado graúdo irem 7476 utilizado no concreto não pode ser maior que 20 da espessura nominal do cobrimento d i 12 c J O valor do cobrimento está intimamente ligado à durabilidade da esr111tura e consequentemente à agressividade do meio ambiente conforme visto na seção 110 do capitulo 1 com as classes de agressividade definidas nos quadros 18 e 19 Quadro 44 Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal pra tiC 10 mm e esrrururas de concreto armado Classe de airessividadc ambiental Quadro 61 Componente ou clemc11to 1 II III lfll Cobrimento nominal mm Laje 20 25 35 45 Vigapilar 25 30 40 50 Elementos estrururais cm contara com o 30 40 50 solod a Para a face superior de lajes e vigas que serio revestidas com argamassa de çontrapiso com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira com argamassa de revestimento e acalamcnto colho pios de elevado desempenho pitos cerâmicos pisos asfálticos e outros as aigfocias deste quadro podem ser substituídas por e i respeitado um cobrimento nominal 15 mm b Nas supcrficics expostas a ambientes agiasivos como tórios estações de tratamento de igua e esgoto condutes de esgoto canaletas de efiucntes e outras obras cm ambientes quimi ca e intensamente agressivos dmm ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV e No trecho dos pilares cm contaro com p solo juntO aos clcmenrós tic furtdaçio a annadun deve ter cobrimento nominal 45 mm PUa concretos de classe de rcsistâlcia supcriorao mínimo exigido os cobrimcn tos definidos no Quadro 44 podem ser reduzidos em até 5 mm e 4 DetalhamenO da annadura longltudlnal flexão na eção transversal e estados 181 As vigotas prémoldacbs para execução de lajes nervuradas podem ter o cobri mento nominal reduzido em S mm pois são executadas em fábricas com um controle q pode ser considerado rigoroso 47 ANALISE DA FISSURAÇÃO EM PEÇAS DE CONCRETO ARMADO A fissuração excessiva de urna peça em cncrcto armado pode comprometer signi ficativamente sua durabilidade Embora não seja a única causa ou condição necessária t podese dizer que quando de sua ocorrêncfa há grande risco de haver uma degradação rápida do concreto superficial e da armadura Outrs fatores como porosidade do on creto cobrimento insuficiente da armadura presença de produtos químicos agentes agressivos etc contribuem ou podem ser determinantes para a durabilidade da es trutura Examinados esses fatores o projetista dee evitar que a peça sofra fissuração excessiva devida à flexão detalhando adequadamente a armadura na seção transversal e se for o caso aumentandoa Nesse caso tratase de uma verificação de estado limite de serviço ou seja intt ressa saber a fissuração que ocorrerá na peça quando esta estiver em utilização e não próxima atingir o colapso São dois os estadas limites referentes à fissuração estado limite de formação de fissuras ELSF que é a situação em que se inicia a formação de fissuras e estado limite abertura de fissuras ELSV que é a situação cm que as fissuras seapresentam coni aberturas iguais aos míximos especificados Nas estruturas usuais de concreto armado tem interesse maior este último Na ABNT NBR 61182014 o controle da fissuração é apresentado no item 134 e o estado limite de fissuração no item 1733 Srão apresentadas apenas as recomen dações que importam às c5truturas de concreto armado embora haja também referên cias às de concreto protcndido 47 1 ÃBERTJRA MÃXIMA DE FISSURAS Devese garantir com razoàvcl probabilidade que as aberturas das fissuras fiquem dentro de limites que não comprometam as condições de serviço e a durabilidade da estrutura As aberturas dentro desses limites geralmente não causam perda de segu rança no estado limite último rlSSuras são inevitáveis cm estruturas de concreto em que existam tensões de tração resultantes de carregamento direto ou por restrição deformações impostas Podem ainda ocorrer por outras causas como retração plástica ou térmica e expansão devida às reações químicas internas do concreto nas primeiras idades Essas aberturas podem representar um estado de fissUração inaceitável 6sswas devem ser evitadas ou limitadas por meio de cuidados tecnológicos especialmente na definição do traço do concreto e nos cuidados de cura do mesmo 182 CAicuio e deQlhamentD de esvuturas usuais de concmo armado De maneira geral m estruturas bc projetadas e construidas e sob ougas especi ficadas na normalização com combinação de ações frequente quando as fissuras apre sentarem aberruras que respeitem os limites do item 1342 da ABNf NBR 61182014 dados no Qyadro 45 adaptação da Tabcla 134 da norma não haverá perda de dura bilidade ou perda de segurança quanto aos estados limites últimos Quadro 45 Abertura milxima das fusiraJ caraacristical w pua elcmmtoe de armado ELSW combinaçlo frequente em função da classe de dade C1assc de agressividade ambienbl ver Q 17 1 ll Ili IV wk s04mm wls03 mm wls3 mm wl s 02 mm abermras wk do Qladio45 referemse a valores característicos limit para garantir pMteção adequada aas armadu quanto à corrosão Não se deve esperar no ent1nto que as aberturas reais de fissuras corrcspandam estritamente aos valores indi cados isto é fissuras reais podem cvcnrualmcntc ultrapassar estes limites A combinação frequente de serviço conforme visto no capítulo 1 seção 185 para verificação de abcrrura de fissuras para prédios residenciais será feita cm geral con5iderando 43 47 2 ONTROLE DA FISSURAÇÃO PELA LIMITAÇÃO DA ABERTURA ESTlDA DAS FISSURAS No item 1733 da norma estão estabelecidos s critério para a verificação dos valores limites da abertura de fissuras dados no Quadro 45 para peças lineares ana lisadas isoladamente e submetida à combinação de ações definidas no seu item 118 seção 185 do capítulo 1 A awliação dos valorc5 das aberturas de fissuras na vcrüicação do estado limite item 17332 da norma é feita para cada elemento ou grupo de elementos das arma d passiva e ativa aderente que controlam a fissuraçlo da peça considerandose uma área Aª do concreto de envolvimento constituída por um rctingulo cujos lados não distam mais de 75 cio eixo da barra da armadura Fagura 44 É conveniente que toda a pele região próxima l Ujcrficie da viga nasua zona cracionada tenha armaduras que limitem a abcrrura de Sssuras na rcgilo AcrJ conaid rada conforme indicado na Figura 44 com cspaçãmeoto rilo superior a 15 C 4 Detalhamento da armadura longltudlnal fledo na seçjo transversal e estados 183 7st Unha H R8gllo c1e 8lVllhlmalm neutniiTll de mn 6nta A Annlldinde pele lradcinada da viga igura 44 Concnto de envolvimento da annadW2 conforme Figun 173 da ABNT NBR 61182014 O tamanho da abertura de fissuras w determinado para cada parte da região de envolvimento será o menor entn os obtidos pelas duas expressões a seguir com a E p definidos para cadaárca de envolvimento u sendo 4 3a 12511 E w menor entre 45 tjl a 4 12511 E Pn Acn área da região de envolvimento protegida pela birra 4 Eu módulo de elasticidade do aço da barra considerada 4 diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerida 44 45 P taxa de armadura passiva ou ativa aderente que não esteja deno de bai nha cm relação à área da região de envolvimento Aat 11 coeficiente de conformação supcrficW 111 da armadura passiva consideradalll f am resistência média do cono à trariiolll r J tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada calcu u lada no csoidio IJ3 Notas 1 O coeficiente 111 qlie mede a conformação supcriicW dado no item 9321 da norma e vale 10parabarraslisasCA2514 para barras entalhadas CA60 e 225 para barras ncrvuradas de alt2 aderencia CASO 2 fam é definio no item 825 da norma ver capítulo 1 scçio 1623 equação 16 f 84 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto annado 3 O cálculo no estádio II que admite comportamento linear dos materiais e despreza a resistência à tração do concreto pode ser feito considerando a 15 relação entre os módulos de dasticidapc do aço e do concreto Para evitar o cálculo no estádio II podese a favor da segurança considerar de maneira simplificada que a tensão na armadura seja dada por uma variação linear fyd gg204q CJ 14 gg2q r gg204q l4115 g g2 q 46 Nas vigas usuais com altura menor que 12 m podese considerar atendida a condição de abertura de fissuras em toda a pele tracionada se a abertura de fissuras calculada na região das barras mais tracionadas for verificada e houver uma armadura lateral de pele que atenda o item 173523 da ABNT NBR 61182014 seção 44 deste capitulo 473 CONTROLE DA FISSURAÇÃO SEM A VERIFICAÇÃO DA ABERTURA DE FISSURAS A peça atenderá ao estado limite de fissuração aberturas máximas esperadas da ordem de 03 mm para o concreto armado sem a avaliação da grandeza da abertura da fissura item 17333 da ABNT NBR 61182014 quando forem atendidas as exigên cias de armadura mínima e de cobrimento determinadas pela norma seções 42 e 46 deste capítulo respectivamente e as restrições do Qyadro 46 Tabela 172 da ABNT NBR 61182014 quanto ao diâmetro mixllno C e ao espaçamento máximo s A tensão CJ deverá ser determinada no estiídio II Quadro 46 Valores máximos de diâmetro e espaçamento com barras de alta adercncia Tensão na barra Concnro sem annadras ativas a MPa mm scm 160 32 30 200 25 25 240 20 20 280 16 15 320 U5 10 360 10 5 400 8 Cu 4 Deulhamento da armadura longltucllnal Rexãol na seçlo transvenal e t stad 185 48 VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA Estado limite de dcfonnaÇõcs excessivas segundo o item 324 da ABNT NBR 61182014 é o estado cm que as deformações calculadas segundo o item 1732 atin gem os limites estabelecidos para a utilização nonnal da construção dados no item 133 Para a verificação dos estados limites de deformações excessivas devem ser anali sadas além das combinações de ações a ser empregadas as características gométricas das seções os efeitQS da fisção e fluência do concreto e as flechas limites estas diretamente ligadas à destinação ou tipo do elemento estmrural Conforme adiantado no item 28 do capírulo 2 na ABNT NBR 61182014 não há altura útil a partir da qual é dispensado o cálculo dos deslocamentos ou seja sempre é necessário avaliar as flechas noselementos estruturais A verificação dos valores do estado limite de deformação na ABNT NBR 61182014 está no item 1732 que estabelece critérios para a verificação dos valores limites para a deformação da estrutura mais especificamente rotações e deslocamentos em peças lineares anallsadas isoladamente e submetidas à combinação de serviço das ações seção 18S2 do capítulo 1 Os valores limhês são aqueles prescritos no item 133 da ABNT NBR 61 i82014 indicados seguir Qª seção 481 Os valores dos deslocamentos e rotações deverão ser determinados por meio de 1 modelos que considerem a rigidez efetiva das seções da peça estrutural ou seja levem cm consideração a presença da armadura a existênçia de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo e das propriedades dos materiais principalmente do módulo de ellSticidaclc e da resistência i tração no momento de sua solicitação Em face da grande variabilidade desses parâme tros existe uma grande variabilidade das dcfrmações reais Não é razoavcl esperar por tanto grande precisão nas previsões de deslocamentos ddas por processos analíticos 481 DESLOCAMENTOS LIMITES Como definido no item 133 da ABNT NBR 61182014 Deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado limite de defor mações excessivas da êstrutura Os desloêamcntos cccessivos e a tcndênda à vibração dos elementos csttturais podem ser indesejáveis por diversos motivos que podem ser classificados cm quatro grupos básicos ã Aceitabilidade seoaoõal o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual dcsagndívcl A limitação da flecha para prevenir essas vibrações cm situações especiais de utiliiação deve ser realizada Como estabdccido na seção 23 da norma limites paraesses os são apresentados no Quadro 47 Tabela 133 da ABNT NBR 61182Ôl4 h Efeitos específicos os deslocamentos podem impedir a utilizaçio adequada da cons trução limites para esses tasos são apresentados no Quadro 48 Tabela 133 da ABNT NBR 61182014 e Efeitos cm elementos não aturaia deslocamentos catrutunia podem ocasionar o mau funciocnto de elementos que apesar de não fazerem parte da estrutu ra cstio ligados a ela os limites pira esses casos slo apntados no Quadro 49 Tabela 133 da ABNT NBR 61182014 d Efeitos cm elementos estruturais os deslocamentos podem afetar o comportamen to do demento estrutural provocando afastllmcnto ºcm relação às hipóteses do cálro fo adotadas Se os deslocamentos forem relevantes para o demento considerado seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da esttutura devem ser considerados incorporandoos ao modelo cstrurural adotado Para os quadros 47 a 49 sio necessárias as scglÜntes observações gerais Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vio l suporta dos cm ambas as extremidades por apoios que não se movem quando se tratar de balanços o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do compri mento do balanço Para o caso de elementos de supcrficie os limites prcscitos consideram que l é o menor vão exieto cni casos de verificação de paredes e divisórias cm que interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve limitandose este valor a duas vetcs o yão menor Será obtido dedoCfilllcnto total a partir da combinação das aç características ponderadas pelos coeficientes definido na sco 11 da norm dados aqui no capítulo 1 Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflc chas Quadro47 Limita para dcsloamcnros aceitabilidade llCDIOrial Razão da Exemplo DcalOCUDCDto a comldcrar Dcslocmnento linütaçio limite Visll2 Deslocamentos visíveis cm Toaal combinlçlp quue per U250 cfcmcntos estruturais manentc OutroS Vibrações sentidas no piso Dcvidoa a adentais tJSO L IJllillnamemo oa lmliKIURI iongmiama11Tffl130l na seçao tnlnsversal e estados 187 Quadro C8 Limites para deslocunentos efeitos estrutunis em serviço Razão da limitação Ezemplo Dealocamento a conliclenr Deslocamento limite Supcrflcics que Cobcmuu e varandas Total combinação quat l250ol devem drenar água permanente Total l350 Pavimentos que Ginisios e pisw de contraftechabl devem pcnnaneccr boliche Ocorrido após a construção planos do piso l600 Elementos que Conforme suportam equipa Laboratórios Ocorrido após nivdamento definido pelo menros senslvcis do equipamento fabricante do equipamento a As supcrficies devem Rr suficientemente inclinadas ou o deslocamento pnvisto compensado por contraflechas para nio acumular ilgua b Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraBechas en tretanto a atuaçio ilolada da contraBccha nio pode ocasionar um desvio do plano maior que 350 l111dro 411 Li mires para deslocamentos efeitos cm elementos não estruturais Razão da limitação Exemplo Deslocamento a comidenr Deslocamento limite Alvenaria caixilhos e Ocorrido apóS a construção lSoo1 ou 10 rcvc5timcntos da parede mmou0 00017 rad1 Divisórias leves e cai Ocorrido após a instalação l25Ql ou Paredes xilhos tdcscópicos da diviória 2Smm Movimento lateral de Provocado pela açio do H100 ou edifkios vento para combinação HBSOCcJ enrn frequente li 1 030 vimentosldl Movimentos térmicos Provoado por difcnnça de t4fX1I ou IS verticais tempcatura mm MovimentÕs tmnicos Provocado por diferença de HiSOO horizOntais temperatura Revestimento co Ocorrido após construçio t350 Forros lados do forro cntospcn rrido após construçio dundos ou com t175 juntu do forro Quadro 4 9 Continuação Razão da limitação Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento Pontes rolantes Desalinhamento de Provocado pelas ações de ttilhos correntes da frenação a O vão t deve ser tomado na direção na qual a paredeou a divisória se desenvolve b Rotação nos ilementos que suportam paredes e H é a altura total do cdificio e H é odesrúvcl enue dois pavimentos vizinhos limite H400 d Este limite se aplica ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de ações horizontais não se devem incluir os deslocamentos devidos a deformações ixiais nos pilares o limite também se ap ao dislocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraveiltiimcmto quando rcpresena o comprimento do lintel e o valor ereferese à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno 482 CALCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS Pará vigas executadas com materiais que seguem as leis da resistência dos mate riais aqueles que têm comportamento elástico e linear o cálculo do deslocamento a em um ponto K Figura 45 é feito pelo Princípio dos trabalhos virtuais Para isso consideramse as funções M 0 x do momento fletor devido ao carregamento atuante no caso carga uniformemente istribuida p M 1 x do momento devido a uma carga concentrada virtual unitária também aplicadâ em K e os valores do módulo de elasticidade do material e da inércia Ida seção transvefsal equação 47 sendo x a cota de uma seção genérica da viga medida n caso da Figura 45 a partir do apoio esquerdo sI Mo M dx a EI 10 47 w 4 Detalhamento da armadura longltudlnal ledo na seto transversal e estados 189 Viga simplesmente apoiada flffflfftfflflllflllllltlltililillllllfl p 1i K 1 a Diagrama de momento M0 Digrama de momento M Figura 4S Esqua para o cálculo do deslocamento a cm um ponto K de uma viga simplesmente apoiada sob carregamento uniforme Se o ponto K escolhido corresponder à seção em que ocorre o maior deslocamen to o deslocamento a é chamado de flecha nomenclarura da ABNT NBR 61182014 Para vigas de seçãoconstante o produto EI chamado de rigidez pode ser colocadocm xI evidência a flecha passa a ser função da integral J M n M 1 dx o N estrururas de concreto armado o cálculo da flecha é mais complexo pois além da existência da armadura que acentua asquacterísticas de não homogeneidade do1 material há a possibilidade mesmo sob ações de serviço de que regiões da viga tenham parte do concreto abaixo da linha neutra fissurado diminuindo a rigidez das seções nessas regiões Na viga da Figura 46 há dois trechos com comportamento típico do estádio I e um trecho cciitra típico do estádio TI Os estádios já mcncioos no capítulo 3 são situações cm que a seção trans versal tem comportamentos distintos dependendo da intensidade das solicitações No estádio 1 o concreto resiste às tensões de tração juntamente com a armadurae o dia ª de tensões no concreto é linear Para momentos maiores que M momento de fissuração a partir do qual podem surgir fissuras de flexão na seção o concreto cio nado nãó tem capacidade de resistir às tensõc admitindose assim que toda tração seja resistida pela armadura situação esta chamaàa de estádio II puro A inércia das seções 190 CAicuio I detalhamento de estruturas usuais de concreto armado nesta situação é menor que as no elltádio l e o cálculo das inércias nos estádios 1 e II e do momento de fissuração serão vistos adiante Se a viga da Figura 46 considerada de inércia constante estivesse solicitada ape nas por momentos inferios ao de fissuração á expressão 48 poderia ser wada para cálculo da flecha empregando se para a inércia o valor correspondente ao da seção geométrica com ou sem a presença da armadura como será visto posteriormente Porém como o diagrama de momentos fletores apresenta trechos em que o momento atuante ora é inferior ao momcmto de fissuração ora tem valores superiores o cálculo da flecha requereria em princípio o uso de uma ifitegração que levasse essefato m conta Vil de aincreio armado 1 f f f f t t 1 f f 1 t 1 f f 1 ff 111 t 1 t 1 11 f t 11 f t O t 111111 B P l 1 Otagramademomenio Região lunçlonando Região fundonando no e eslédlo li M M Sem fissuras Com fissuras da llexAo Sem fissuras de néxao deRexlo Tensão no Tensão nC ainaelO Tenslono concralo aca oc concnrto xlf tt LJ lÇilfI l1rllr1 Figura 46 Viga de concreto armado simplesmente ap0iada sob ações de serviço O concreto armado sob flexão ao fis apresenta wn comportamento em que não há linearidade entre ações e deslocamentos como foi visto na seção 272 Figura 217 em qt1e a curva A representa a peça funcionando no csttdio 1 sendo possível considerar que exista linearidade entre ação e deslocamento e as curvas B iepcnbm comportamento típico do estádio II com apenas um pequeno trecho endo compor tamento linear Além da não linearidade devida à fissúraçio hi também a não linearidade pro vocada pca fluência do concreto Fluência é a deformação que o conaeto apresenta ao longo do tempo quando submetido a ações de longa duração Portanto carregan dose uma viga de concreto armado esta sofre a deformação imediata e manten LAP q ueca1namentu aaarmaaura iongrcua1na1 1nexao1 na seçlo transversal e estadas 191 dose este carregamento com o passar do tempo há um aumento desta deformação causado pela fluência Na Figura 47 apresentase a variação da flcchaào longo do tempo de um trecho de laje prémoldada comportamento deviga ensaiada por ogge 17 uma das curvas foi obtida unindose cada ponto obtido e a outra representa a tendência de compor tamento da viga o carregamento foi aplicado aos 7 e aos 30 dias de idade da viga A consideração do efeito da Buência será apresentada em itens posteriores Percebese pelo fato de nio haver linearidade entre forços e deslocamentos que é preciso considerar para as verificações dos estados limites de serviço diversas com binações de ações ou seus efeitos ou seja as solicitações que foram apresentadas no capítulo 1 e serão definidas conforme a verificaçao a ser empregada de acordo com os limites dados nos quadros 47 a 49 da seção 481 De qualquer maneira é necessário inicialmente determinar as iércias de seções de concreto nos tádios I e II A abordagem que aqui se feita fruto de diversos estudos realizados é um peque no roteiro para o cálculo de deslocamentos em vigas de concreto armado dentro dos princípios e dos conceitos estabelecidos naABNT NBR 61182014 35 30 25 Ê s 20 15 ü 10 5 o o 30 y 00004x 01386 14479 R oens y 00145x 09034x 02669 R 09386 60 90 120 150 tempo dias 180 Figun 47 Variação da flecha no tempo de uma nervura de laje prtmoldada11 210 Podese dizer finalmente que as seções trabalham nos estádios 1 ou II quando são solicitadas pelas ações de serviço e como cm uma viga existem seções trabalhando nas duas situações sua rigidez é substancialmente afetada pelo momento e pelo grau de fissuração do concreto e portanto para a determinação da flecha 0 é necessário obter uma inércia média que rcBita essa condição e possibilite a integração da expressão 47 17 Rogge ct ai 2002 18 ld ibid 1 J u1eu10 e aetainamento ae emuturas usuais ae concreto armaao 4821 Caraderfstlw geométricas de seções no estádio 1 Nas peças de concreto armado todo o detalhamento da armadura é feito com o objetivo de garantir a aderência das barras de aço ao concreto de modo que os dois mate riais trabalhem solidariamente Assim o centro de rotação da seção e a rigidez da mesma são afetados pelo posicionamento da armadura e neste caso deve ser feita a homoge neização da seção que consiste cm considerar no lugar da área de aço existente A uma área de concreto equivalente Nesta situação supõese que há lindade entre tensão e deformação vale a Lei de Hookc pois as deformações são pequenas e como as defor mações cspcciPcas do aço e do cocreto são iguais devido à aderência temse RAaAtEAtE 1 1 1 1 1 1 1 e 1 sendo R A e E a força a área da armadura e o módulo de deformação longitudinal do aço respectivamente Para homogeneizar a seção é preciso encontrar uma írea de concreto área equi valente que suporte uma força igual à da annadura ou seja em que E é o módulo de elasticidade do concreto igualando as duas expressões de R é possível encontrar a relação entre a área de concreto e a de armadura A E E A t E A E A A e 1 ctq e ccq E E e e e chamando de a a relação entre os módulos de deformação longitudinal do aço e do concreto a EE a área equivalente de concreto é dada por A Aa eai 48 Uma seção transversal retangular de concreto armado como a indicada na Figura 48 é então composta de uma área de concreto igual a b1h e uma seção de concreto equivalente à do aço igual a A a 1 Diminuise 1 de a para considerar que na posição da armadura a área de concreto já foi computada uma vez no produto b h Na Figura 48 estão indicadas as resultantes C e T das tensões que ocornm no concreto comprimido a e tracionado a e na adura tracionada a rcspcc tivamentc e que são iguais a a bx a bhx C 1 T 1 T A cr A a 1 cr e 2 e 2 1 11 1 a sendo a a tensão de tração no concreto no nlvd da armadura ro r r Lifl L 1 11 a Seção irsal campoela de seção de conaeto a de aço bansformada em énla equivalente da conaelo Vista laleral Saçlo ep6s deformar b Seção nn1 no 1 com raaç6aa Figura 48 Seção retangular honcizada trabalhando no estádio 1 Colocando todas as forças cm função da tensão de compressão no concreto cr resulta C crhx1T crbhx1 2 y A a lCTdx1 e 2 e lx 1 1 e X 1 1 Como se trata de flexio simples hí o equilfürio entre as três forças e climinandn a e C T T bx bhx2 A a 1 dx 2 2x1 x1 e 6nalmente bx bhx2 A á ldx 2 2 1 1 49 A expressão 49 corresponde ao momento estitico de cada área a de concreto comprimido a de concreto trationado e a de aço tracionado em relação ao eixo de giro da seçlo indicando que se tratll portanto o eentro de gravidade seção homogcnci I 7llda Desta forma concluise que após a homogeneização da seção transfonnação do l 14 LalCUIO e aeta1namemu nuuud u 111111nu dlllldUU aço cm concreto equivalente pOdcmsc calcular de maneira usual todas as caractcris ticas geométricas da seção Quando se efetua o dctLlhamento de uma estrutura de concreto armado em princípio nio se conhecem as dimensões e muito menos u armaduras Dessa forma arbitramse irtlcialaicnte dimensões para os diversos elementos a fim de detenninar as ações e em seguida procdcr ao cálculo dos esforços solicitantes Nas cstruturaS hipc rcstáticas como vigas continuas grelhas e pórticos é necessário definir as característi cas geométricas do diversos dcmcntos para a determinação dos esforços solicitantes mesmo que se esteja empregando programa de computador É usual escolher inicial mente as características das seções considerandoas formadas somente por concreto ou seja desconsiderando a presença da armadura Pm este caso as expressões para uma seção em forma de T Figura 4 9 estão no Quadro 410 b t a 5eçlo tnlns1 T sam lllTTl8dura b t Fagun 49 Elementos de seção transvcral cm forma de T Qpalro 410 Características geométricas de llCÇôes transvcnais em T no rádio 1 sem considerar a pnscnça da armadura Expressio Área seção A b b i b h 410 geométrica r hl J hl Centro de b b L b r 2 2 411 gnvidade y I A 1 1 brbh bh b b h 1J Momento de 1 12 12 r r y 11 2 412 ércia à flexão b hy J 2 CAP 4 Detalhamento da armadura longltudlnil Hedo na seçjo transversal e estados 195 Uma viz determinada a quantidade de armadura ncccssiria podese agora traba lhar com a seção composta de aço e concreto usando o procedimento de homogeneiza ção Para uma seção T as expressões são as do Qyadro 411As fórmulas relacionadas nos quadros 410 e 411 aplicamse também às seções retangulares histando fazlr b b ou h1 O É interessante destacar que as características geométricas da seção de concreto sem armadura chamada de bruta pela norma de concreto cm diversas situações pouco di ferem daquelas cm que seconsidera a armadura seções homogeneizadas podendose em alguns casos calcular apenas as referentes à scção bruta ao invés da homogeneizada Quadro 411 Características geométricas de seções rransversais em T no eso I com armadura longitudinal A Expssão Área seção ho A b b h b h A a 1 4 13 mogcncizada hl hl Ccnrro de gra b b 1 b A ald 1 2 2 414 vidade Yh Ah 1 b bh b hl b b h l Momcnro dC h 12 12 r r yh 2 415 inércia à flexão bhyhJ Aalyhd1 4822 Caractesticas geom4trlcas de seções no estádio li Aumentadose o valor do momento ftetor atuante na seção as tensões de trÇÍo na maioria dos pontos abaixo da linha neutra LN terão valores superiores ao da re sistência característica do concreto à tração f conduzindo ao estádio n estado de fissuração em que se admite amda que os esforços de tração são resistidos apenas pela armadura localizada abaixo da linha neutra há uma relação linear entre tensão e deformação espcdfica no concreto pllra todos os pontos da seção transversal Cabe destacar que essa é uma situação limite do estádio II pois todo o concreto da região fissurada está sendo desprezado e portanto é usual nesse cuo para diferenciar nomcála como estádio II puro 196 CAicuio edetalhamento de eslruturas usuais de concreto armado O estádio II púro compreende a situação cm que atua na seção um momento maior que o momento de fissuração até à situação cm que começa a ocorrer o es coamento da armadura eou a plastificação do concreto comprimido apresentando as seguintes características A distribuição das tensões de compressão no concreto é triangular O concreto não trabalha à tração sendo este esforÇo resistido apenas pela arma dura abaixo da linha neutra Não ocorre coamcnto do aço nem plastificação do concreto Na Figura 410 indicase o que ocorre cm ma seção do tipo T quando atua um momento maior que o de fissuão MM b Deformações e Tensões e resultantes Figura 410 Seção mnmrsal em fom12 de T no csWlio II puro Para o cálculo do momento de inércia no estádio II puro é necessário conhecer a posição Xii da linha neutra obtida igualandose ó momento estático da seção homoge neizada a zero O cálculo de ii põdc ser encontrado em Ghali Favre 19 que em casos de vigas com seção em forma de T são obtidos da equação do segundo grau 416 cuja solução é 417 co1 os coeficiente a1 e a iguais a Ri bj2 418 r b b a 1 Aª A 419 19 GhaliFa1986 CAP 4 Detalhamento di armadura longitudinal ílexo na seçao transversal e estados 1 197 h2 a d a lA da A Lbb 1 1 Cl2 f W 420 e d sendo a distância do centro de gravidade da armadura comprimida A ate à borda comprimida de concreto Para situações cm que a viga tem seção transversal retangular e não há armadura negativa as equações também sã válidas bastando fazer b br h O e A O É possível agora calcular o momcnto de inércia da seção no estádio II puro 1 1 lo em relação à linha neutra cuja posição x11 foi determinada lembrando que há duas possibilidades a primeira quando a profundidade da linha neutra é inferior à espcs sura da mesa Xi s h a segunda quando ii hr resultando nas expressões 421 e 422 respectivamente bf X A dl l 1 a x a lA x d 3 n 11 421 1 bbhbxb b x 2 11 12 3 11 2 a1 A x11 d 2 a 1 A x11 d 2 422 As características das sçõcs fnto no estádio I como no estádio II puro po demº ser obtidas por um programa desenvolvido por lfolina2Cl e mais recentemente por Marquesi 21 4823 Efeito da fissuração modelo simplificado de Branson para flecha imediata As expressões obtidas na seção anterior sao relativas aos limites dos estádios J e II Porém na realidade um elemento de concreto por exemplo a viga da Figura 46 tem seções trabalhando entre esses dois estádios endo então necessário para calcular sua flecha contemplando essa situação utilizar uma inércia média para que não seja necessário introduzir a variação de inércia na expressão 47 O modelo proposto por BransEn11 admite para todo o elemento de concreto uma única inércia que representa os trechos fisswados e não fissurados Baseiase cm um método scrniprobabilistico no qual se toma a variação da tensão ao longo da seção transversal e ao longo do comprimento de uma maneira simplificada utilizando ex pressões empíricas que fornecem valores médios da inércia Dessa forma Branson pro cura traduzir aproximadamente o efeito da fissuração do concreto quando submetido à ftcxão no cálculo dasfctormaçõcs imediatas 20 Molina1999 21 Marquai 2010 22 Branson 1968 198 Cilculo e deralhamentode estruturas usuais deconcnto armado Esse procedimento pode ser utilizado para seobtcr ovalor da inétiaintermcdWio ao valor no estádio f e no final do estádio Il esddio II puro De fonna geral a expres são obtida por Branson é dada por 423 em que 118 momento de inércia efetivo para uma seção ou para todaa peça no caso de vigas simplesmente apoiadas momento de inúcia médio entre a seção do apoio e a ºseção do meio do vão para o caso de vig2S contínuas 11 momento de inércia da peça no estádio 1 da seção bruta ou hompgcncizacla 111 momento de inércia da peça nó estádio II puro M momento de fissuraçãodo cçmcreto M momento atuante de serviço na seção mais solicitada n índice de v1lor igual a 4 para situações em que a análise é feita em apenas uma seção da peça ou igual a 3 quando se faz a análise da peça ao longo de todo o seu comprimento que é a siruação em questão Na ABNT NBR 61182014 item 17321 na avaliação aproximada da flecha imediata tempo zero emvigas foi feita uma adaptação na expressão 423 para o cálcu lo da rigidez equivalente de uma viga de concreto clacJa pela equação EI E M 3 J 1M 31 E J eqrO a M M li e 424 em que 1 momento de inércia ela seção bruta de concreto 111 momento de inércia da seção fissurada de concreto no estidio li calcul2do E com o coeficiente a E M momento fietor na seção crítica do vio posidcrado momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou continuas e momento no apoio para balanços para a combinação de ações considerada nt avaliaçio M momento de fisuração do elemento esuutural dado pela expressão 425 e que deve ser reduzido à metade para b1JT111 lisaa E módulo de elasticidade ikcante do concnto a CAP o4 Detalnamento aa amiaaura 1ong1tucuna1 1nexao1 na seçao tra11SV11rsal e estados 199 O momento de fissuraçio M para verificação do estado limite de deformação cxccssivadc acordo com o item 1731 da ABNT NBR 61182014 pode ser calculado por sendo M af I e y a 12 para seções cm forma de T ou duplo T a 13 para seções l ou T invertido a 15 para seções rctangUlarcs 1 omCnto de inércia da seção bruta de concreto e 425 fcun resistência média à iraçio do concreto conforme item 825 da norma seção 1623 capítÚl 1 dada por fon1 03 f1 para o caso de estado de deformação excessiva e resistência à tração inferior do concreto dado por f 1 d1n 021 fc1 para verificação do estado de formação de fissura expressões va lidas até C50 y distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada e Notese que embora a norma item 173211 considerea rigidez da seção bruta como a representativa do estádio I é possível e inclusive recomendado usar a rigidez da seção homogeneizada Assim a previsão da flecha imediata ou instantânea sem o efeito da fiuéncia para vigas pode ser feita a partir da equação da resistência dos ma teriais válida parà seções constaJ1tcs ao longo da peça considerando e inérciJ êdia a pt4 a E lI 426 cm que p carga definida por certa combinação por exemplo JIUase permanente f vão da viga E 1 rigidez equivalente dada pC1a exprcssão 424 I a coeficiente que depende da ndição estítica do sistema considerado sim plesmente apoiado contínuo e do tipo de ações atuantes é encontrado em livros de rcsisténcia dos materiais e de teoria das estruturas no caso de vigas simplesmente ipoiadaS e catga wúformementc distribuída a 5384 Os resultados obtidos pela cxpressão de Branson conduzem a resultlldos muito bons para vigas simplesmente apoiadas e para vigas contínuas para dcmentos mais 200 CAicuio e detalhamento de estrutulilS usuais de concreto armado complexos como lajes a expressão pode ser usada junto com atcnica de dividir o ele mento em trechos e fazer o càrregamcnto da cstrutÜra por etapas avaliando em cada etapa qual o nível de fissuração de cada trecho Mais detalhes podem ser encontrados em Carvalholl 4824 Efeito da fluênda do conaeto avaliação da flema diferida no tempo Fluência é o fenómeno cm UC surgem deformações ao longo do tempo em um corpo solicitado por tensão constante Esse fcnômcno é parcialmente reversível ou scja ao retirar o carregamento que originou a deformação uma parcea desta deformação total é restiruída imediatamente outra parte é restiruída com o tempo e o restante se toma permanente Além da Buência pode contribuir para o aumento das deformações cm estruturas de concreto a ocorrência do fcnômeno da retração Retração é a variação volumétrica que uma peça de concrto sofre ao longo do tempo principalmente pela saída de água existente nos poros do mesmo Geralmente a parcela de deformação devida à retração é pequena sendo portanto desprcuda na maioria dos cálculos As parcelas das deformações cvidas à Buência podem ser caracterizadas por de formação rápida que ocorre nas primeiras 24 horas após a aplicação do carregamento e é irreversível e deformação lenta composta de uma parte reversível e outra irreversível Considerase que as deformações de fluência sejam oriundas das ações perma nentes Porém para çalculálas é utilizada a combinação quase permanente pois em edificações parte da carga acidental atua cm um longo período da vida da mesma Nas peças de concreto a armadura inibc a deformação do concreto ao longo do tempo tanto na rctraÇão como na Buência Em peças fletidas a armadura é normal mente posicionada na região tracionada onde a contribuição do concreto na resistência é pequena sendo desprezada para efeito de cálculo admitese assim que não ocorre a fluência nessa região Há uma série de processos para se calcular deslocamentos ao longo do tempo considerando o efeito da Buência e de retração do concreto que podem ser encontra dos por exemplo em Tirincanl mas que não cabem ser aqui apresentados Preferese considerar o prescrito no itm 173212 da ABNT NBR 61182014 em que a Bccha adicional diferida de vigas decorrente das cargas de longa duração cm função da Buên cia pode ser calculada de maneira aproximad pela multiplicação da flecha imediata por um fator a dado por a âÇ lSOp 427 23 Carvatho 1994 24 Tirinmn ct aL 2002 Cu 4 Deulmento da armadura longltudinal rnexAo na seçao transversal e estados 201 em que A p o valor de p será ponderado no vão de maneira análoga ao cálculo de bd 1 1 A área da armadura de compressão no trecho considerado Ç coeficiente função do tempo sendo Ç Çt Çt0 t 068 O 996 tPJl para t 70meses Ç 2para t70mcscs t tempo em meses quanda se deseja o valor da flecha diferida t0 idade em meses relativa à data de aplicação da carga de longa duração se as parcelas de cargas de lolga duração forem adotada ero idades variadas LP to entao t0 LP 1 Pi parcelas de carga to idade cm meses em que se plicou cada parcela Pi O valor da flecha total no tempo infinito aJ será 1 a 1 vezes a flecha imediata ª ªº 1 a 428 em que a0 é a flecha imediata para a combinação de ações considerada e de caráter permanente Fmalmente podese afirar que a deformação em peras fletidas devida ao efeito la fluência não deve ser desprezada pois pode atingir valores até o triplo do valor da deformação imediata embora pela expressão 427 se consiga obter no máximo o do bro Ensaios realizados por Roggcl5 mostram que os resultados da expressão da norma brasileira subestimam as flechas diferidas de lajes prémoldadas unidirecionais de pe quena altura 11 cm de altura que na verdade se comportam como uma série de vigas justapostas como visto no capítulo 2 Dessa maneira devcse ter bastante etúdado ao se empregar a expressão 427 para a avaliação da parcch da flcha devida à fluência Exemplo1 Calcular e detalhar as seções transVersais mais solicitadas da viga cential VlOl da estrutura da Figura 411 que tem largura de 25 on Considerar sobre r viga uina pa rede de tijolo com espessura de 25 cm tijolo aµciço Empregar como sobrecarga permanente 1S kNm2 ijt incluindo o revestimento de piso e argamassa inferior à laje 25 Ragge et aL 2002 202 CAicuio e deulhamento de enrutunls usuais de concmo armado e como carga acidental 4 kNm 2 Utilizar laje piimoldada P16 h 16 cm simplcs menre apoiada e de classe 27 com armadura longirudinal A 3615 cm2 CA60 Dados fck 20 MPa 20000 kNm2 aço CASO cobrimento da viga c iguãI a 3 cm classe de agressividade ambiental II da parede igual a 3 m pilares de 40 cm 11 25 cm Y 25 kNm3 Yu 18 kNm3 brita 2 d 25 an 1 1 l V100 1 1 I lviga 400cm 1 do plllll 1 1 Detalhe 1 1 1 V101 25 X 1 40 760cm k 1 SOO cm 1 1 1 1 1 V102 1 1 Deta1ne Eixo do piar 1 LJLJ pt 1 760an P Figuna411 Planta da fõrma da uutura ruja viga VlOl ICri calculada a Determinação do esquema estrutural da viga 1 1 1 1 1 1 r 4 1 1 1 1 inicialmente é preciso definir o esqucma esoutural da viga VlOl O item 14661 da ABNT NB 61182014 permite que as vigas sejam calculadas com o moddo clássico de viga contínua simplcseiitc ªPoiada nos pilares d que obscrvãdas as seguintes condições 1 Não devem ser considerados momentos posj menores que os que se obte riamse houvesse engastamento perfeito da vila nos apoios internos 2 Quando a viga for soüdária com o pilar intennedWio e a largura do apoio me dida na direção do tjxo da viga for maior que a quam pane da altura do pilar não pode ser considdo momento negativo de valor asoluto menor do que o de cngastamento perfeito nesse apoio 111d111e11lu U uo Yu1e11 u transvena1 e estaaos lUJ 3 Qiando não for realizado o cálculo exato dainfluência da solidariedade do pilar com a viga deve ser considerado nos apoiosexternos um momento advindo de cálcWo simplificado como verá no capítulo 5 Vao efetivo o vão efetivo de uma viga de acordo com o item 14624 da norma pode ser determinado por sendo l 0 a distância livre enm as faces dos apoios internos e dcVendo a e a2 serem inferiores a 03 h alnua da 1ga ou 05 do valor de t1 ou t2 respectivamente t1 i a dimensão do apoio externo e a do interno medidos na dinção do eixo da viga con forme a Figura 412 Para a viga VlOl com h 90 cm altura adotada para a viga e t1 t2 40 cm devese tomar para a e o menor enm os valor a 37 03 90 27 cm ou a 1 a1 05 40 20 ci11 e portanto a1 aj 20 cm resultando lr 760 20 20 800 cm Vista lalaral viga 1O1 e pilares ele apoiO 20cm 20cm h T 1 40cm Esquema estrutural ºzdim iÇiL Figun 12 Esquema cstrutunl da vigiVlOl b Escolha da altura inicial da viga Para determinar a altura da viga é preciso conhecer as bitolas das armaduras emprega das Adotase inicialmente para os estribos armadura transversal barras de diâmetro 4 63 mm e para a armadura longitudinal barnis com diimetto 12S mm com moHu iguais a 004 125 005 an valor que seri somado ao diimctro das barras im para encontrar a altura total da viga partese de uma altura útil mínima seção 28 capítulo 2 à qúal deve ier somado o cobrimento o diimetro do estribo e etade do diâmmo da adnacÍura longitudinal da primeira camada 204 calculo e detalhamento ae enrutu usuais ae concreto armaao l 80 dmin 039m390 cm ljl l ljl 1 217 lon 1 25 o os hd c 1 39030063 433cm adotado mon 2 2 h 45 cm Esta altura terá de ser confirmada após os cáltulos dos momentos Aetorcs e da verificação da tlcura mínima necessária para o estado limite último é armadura simples como visto no capítulo 3 e possivelmente precisará ser aumentada c Cargas na viga VlOl Com o valor inicial adotado para aaltura da viga determinamse as ações na laje e na viga Cgas na laje peso próprio da laje Quadro A2J Anexo 2 g1 161 kNml sobrecarga g2 15 kNm1 carga total nalaje g1 gJ q 161 15 40 711 kNm2 Cargas na viga Parede 025 3 18 135 kNm g1 peso próprio 025 045 25 28 kNm p 4 57 11 320 kNm Torai 135 28 320 483 kNm d Cálculo dos momentos Aetprcs atuantes na viga VlOl processo dos esforços Os momentos Betores serão determinados pelo processo de esforços Na Figura 413 estão o esquema estrutural da viga e os diagramas dos momentos M 0 e M 1 necessários paramontuaequação de compatibilidadei 8 11 S10 Oem que fazendo l 1 l 2 t LN 4 uera1narnentoaà annaoura 10n91tuo1na11nexaoJ llél seçjo transversal e estados 205 p483KNm 1111111111111111111111111111 LS zs z L1 am L28 m L Figura 413 Esquema para cálculo dos momentos d2 viga V101 ó10 deslocamento no sistema básico O com carga real devido à retirada do vír ülo na direção da incógnita X obtido pela inegração do produto M0 M 1 0 1JM1 M0 dx 1t pt ll p l l 2 p f 1 10 E I E l 1 3 8 2 3 8 24 E I o ºi deslocamento no sistema 1 na direção da incógnita X devido a um esfwrço unio rambém na direção de XI obtido pela integração do produto M1 M1 ó 1 JM1 Mo dx 1t 11 l 11 1 JL l 11 0 El EI 1 3 2 3 EI 3 3 3El 2 2pf 1 A equação de compatibilidade fica X1 O 3 E I 24 E 1 l 1 48 382 resultando X1 P 386 4 kNm momento fletor no apoio central da 8 8 viga eCálculo da altura mínima Scd cada para a scçio mais dcsfavorivd seção do apoio M 3864 kNm Com Ei 207o CASO e e a 35 resulta para Ç 35 063 J5207 e com f4 20 MPa 20000 kNin2 obtémse a altura núnima equação 343capitulo 1 206 CAicuio e detalhamento de estruturas usuaisde COllqftO llINdo d 20 Md 20 14386414 0 7Sm DWI o b f o 2520000 ai Como se observa resultou altura m bem maiot que a estimada anteriormente 45 cm será adotado para a alrura total o V2lor h 090 me para a altura útild 080 m O Cáleulo do novo carregamento e dos novos momcntc ftctores positivo e negativo Com a nova altura adotada a carga sobre a viga sofrerá um acréscimo e os V2lorcs dos momentos ftetorcs também aumentarão acréscimo do peso próprio 090 045 025 25 281 kNm carga total sobre a viga p 483 281 511 kNm novo momento ftetor negativo no apoio o problema é linear com p 511 51181 M 38644088kNm ou M 4088kNm 483 8 momento flccor máximo positivo no tramo pode ser encontrado sabendose que na seção onde a foça cortante se anula seção S Figura 414 u mumcntu é máximo temse 5118 4088 VRpx 2 8 llx1533511 lx0 x300m X 31 M JJ fv 1533x5111533351l45992299kNm 2 2 Mmu 230kNm 408lkNm TTT511kNm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1 1 1 1 TTI R AT 8m 1ª 1 51 1 kNrn R Figun 14 Força cortante em umaseçio s da viga ÚP 4 Detalhamento da armadura longltudlnal flexão na seção rransver1al e estadoL 7 Com o momento fitor de 4088 kNm a altura mínima deve ser calculada nova mente para verificar se não malor que a adotada No caso resultou altura mínima de 80 cm exatamente o valor adotado g Cálculo da área A necessária da armadura longitudinal Momento negativo seção do apoio M 4088 kNm KMD Md 14 4088 O 25 b d2 fcd 0250802 2000014 Pelo Qyadro 31 KMD 025 KZ 08208 e E 43144o Ei 207o f frd A Md 14 4088 20 05cm2 KZd 2 f 0820808050115 Usando 41 W 125 mm 125 cml nª de barras 2005125 1604 adotam se 16 barras Momento positivo seção no tramo M 230 kNm KMD Md b d 2 f w cd 14 230 014 o 25 o 802 20000 14 KMD 014 Qyadro 31 KZ 09094 e E 1000o E 207o f f A Md 14 230 10 l8cm2 KZdfi 0909408050l15 Usando W125mm125 cm2 n8 de barras 1018125 814 adotamse 8barras h Verificação das armaduras mínima e máxima Armadura mínima 015 l A p A p b h25903 38an mio mia e 100 sendo Pm1a 01596 para fdi 20 MPa e seção retangular Quadro 42 208 Calculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado Esse valor émenor que a área total real A no tramo 8 125 8 125 100 cm2 e no apoio 16 125 16 125 20 on2 Armadura máxima 4 A 4 l A A 2590590cm 100 e 100 Esse aspecto está atendido pois a viga não tem armadura comprimida e a máxima armadura oacionada é a do apoio com 20 cm2 i Detalhamento da seção transversal i 1 Espaçamento horizontal O espaçamento horizontal livre a1 entre barras deve estar de acordo com o prescrito na ABNT NBR 61182014 2cm ªJi cpdiârnettoda barra 1 2 dm diâmetro máximo do agregado No problema considerando distâncias medidas de centro a centro das barras e que para o detalhamento deve ser acrescentado ao diâmetro de cada barra a saliência da mossa do ferro 004 125 005 cm e combrita 2 dmu 25 cm resulta para o espaçamento horizontal 3i 2cm2125 oos 330cm ah cpl25 005l25005125 005 260cm 12 d 111ª 1225 125 005300125 005 430cm O espaço disponível por camada considerando estribos de cp 63 mm e cobrimen to lateral de 3 cm de cada lado é Figura 415 a 25 2 3 063 125 005 1644cm CAP 4 Oetalhamento da armadura longitudinal fleúo na seço tcansversal e estados 209 063an 063an 3an 3an Espaço disponivel l 25an Figura 415 Espaço disporúvcl tntte as armaduras externas Assiin em cada camada é pssível haver n número de espaços entre barras n 1644430 382 Número máximo de espaços entre barras nas camadas n 3 Número mwmo Cle barras em cada camada b n 1 3 1 4 Para a seçã do apoio momento negativo adotouse o esquema da Figura 416a de 4 camadas com 4 barras cada 3 espaços considerando a possibilidade da passa gem de vibrador no centro para facilidade de execução e concretagem Para a seção do tramo momento positivo foi adtado o esquema da Figura 416b de 2 camadas com 4 barras cada també com e6paço para a passagem de vibrador i2 Espaçamento vertical Na determinação do espaçamento vertical a entre as barras também foi acrescentado ao diâmetro das barras o valor das mossas 005 cm 2 cm 2 1 25 O 05 3 30 cm a 125 05l25005 125 005 260on 05d 0525125005125125 005 255cm Foi adotado um espaçamento vertical de 35 as medidas finãis estão indicadas nas figuras 416a e 416b i3 Vcrificação da altura útil seÇão do apoio mais desfavorável No cálculode A arbitrouse d so e agora é necessário verificar se esse valor está correto sendo Y a distlncia da borda ao centro de gravidade das barras no caso da cg armadura ngativa qe é a situação mais crítica temse d h Yci 21 O Clculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto annldo Para o cálculo de y é necessária a distância de cada camada de armadura à borda q superior da viga a distância da primeira delas com cobrimento de 3 cm estribo de 063 cme 125 005 cm é igual a 30 063 125 0052 428 cm Cada uma das demais camadas está distante ela imediatamente anterior em J5 cm resultan1o para a ordenada do centro de gravicbde da armadura negativa da ga sendo A a irea de cada barra y LAy li LA 4 A 428 4 A 428 35 4 A 428 2 35 4 A 428 3 35 16A 15248A 9 53 cm Ycg 16A Neste caso devido à simetria na posição das barras não havia necessidade do cálculo do centro de gravidade pois sua posição pode ser obtida de forma imediata Podese agora determinar a altura útil real 1 90 953 8047 cm d 80 cm está verificado Caso d fosse menor que dii seria necessário recalcular A com o drca1 e nova mente efetuar a verü1cação Na seção de momentoº máximo do tramo para o valor real de d resulta d 90 428 352 90 428 175 90 03 8397 cm e também está vetificado i4 Verificação da consideração da armadura concentrada seçio do apoio Os esforços na armaduri só podem ser considerados concentrados no centro de gra vidade das barras se a distância deste centro ao ponto da armadura mais afastado da linha neutra a medida normalmente a ela for menor que l0 de h de acrdocom a ABNT NBR 61182014 no problema o centro cb primeira camada cb armadura mais distante da wlha neutra est a 48 cm da borda resultando a 953 428 525 an 010 90 9cm a armadura pode considerada concentrada iS armadura de pele na região tJacionada uP uetamamenm aa annaaura 1ong11uci1na11nexao1 na seçao transveisal e estados 211 Como a altura total da viga é maior que 60 cm é necessária a colocção em cada face na região tracionada da viga de uma armadura de pele A 1 0 10 b h OlO 25 90 225cm 2 em cada face na rePião tracionada 100 Adotando cl 63 mm A 032 cm2 n 225032 703 7 barras cl 63 mm por face À armadura de pele é rccomendada para evitar fissuras e portanto deveria ser empregada para a condição em serviço porém simpliJiadamentc será usada a condi ção de estado limite último e a região tracionada será obtida por meio dos valores já calculados de KMD lembrando que x é a profundidade da linha neutra que indica a região comprimida da seção Seção do apoio KMD 025 kx 04479 h x 090 04479 08 0542 m espaço disponível para colocação da armadura de pele a partir da última ca mada da armadur longitudinal 0542 00428 3 0035 0542 01478 03942 m espaçamento máximo 7 barras s 039427 0056 m adotado 7 cl 63 a cada 55 cm por face a partir da barra de tração mais próxima Seção do tramo KMD 014 kx 02264 h x 090 02264 Q8 0719 m espaço disponí para colocação da armadura de pele a partir da última ca mada da armadura longitudinal o 7 9 0028 0035 o n 9 00778 0641 m espaçamento máximo 7 barras s 0647 0092 m adotado 7 cl 63 a cada 90 cm por face a partir da barra de tração mais próxima i6 Posição final das barras na seção transversal A posição final de todas as b na seção transversal está nas figuras 416a seção do apoio e 416b seção mais solicitada do tramo N 90 m ai 5eçjo do 1po10 b SeçJo do ramo Figura 416 Detalhamenro das seções tranmrsais mais solicitadas da VIOl j Verificação da fissuração Para a verificação da fissuraçãoque será feita a partir da equação 45 primeiramente e necessário o cálculo da tensão na armadura no estádio II que pode ser fciro simplifi cadamente com a equação 46 a fP g 1 g2 04q 500 56227504180l4SMPa l4115 g gl q 11514 511 com g1 562 kNm peso próprio d2 viga 45 g1 135l61150 135140 27SkN I m parede maiscar 2 ga permanente das uas lajes q 40 4 5 180kN m carga acidental proVcniente das duas lajes 2 A taxa de armadura p é obtim pela relação entre a úea de uma barra A e a área do retingul que considera o envolvimento de concreto na barra AªJ Considerando UI LltldUMllllC19U IG ltCAaJJ 1111 tCOll UGllcn CtldOOS j a barra externa mais próxima da linha neutra assinalada com um X no desenho Ja Figura 417a com ntãngulo equivalente de lados a b e c d mostrado na Figura 4l 7b resulta à 428 cm b 4302 215 cm c 352 175 cm d 75 ti 75 125 9375 an A 428 215 175 9375 643 11125 7123 crn2 cn p AAn 12517123 1755 10i 428 43 784 43 L1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a Seção iransversal no apoio Figura 417 Barra da seção rransvcr1al mais solicitada da 101 Detalhe 1 b Detalhe 1 O coeficiente de conformação superficial 11 1 é igual a 225 para harras nervuradas de alta aderência CASO Finalmente estimase a abertura da fissura pela expressão 45 w 45 45 014203 ª 4 125 245 4 125riE Pn 125225 210000 001755 Como esta cxpnsslo jl apresentou um valor menor que 03 limite de abertura de fissuras para as clãsscs n e m de agressividade ambiental conforme Quadro 45 concluise que a fissuração não é nociva Para que não haja ilúvida sobre a tensão nal na barra ela será determinada ror meio de análise mais precisa m a seção trabalhando no estádio II São necessárias as seguintes grandezas Relação entre os módwos de elasticidade do aço e do concreto 214 Cálculo e detalhamento de estNtullls usuais oe concreto mnaoo a 210000 210000 210000 90865 ECI 4760 Jf 4760 fiõ 21287 Posição da linha neutra no estldio II cxprcssto 416 Í973Jl973 2 412515877 28 6cm 2125 com a b2 2512 125 cm a A 9865 16 l25 1973 cm2 3 d a A 90 953 1973 8047 197J 15877 cm3 Inércia da seçãJ no estádio II para seção retangular expressão 420 I bx1 a A x d2 25 28 63 98652028 680 472 u 3 li 3 1 In 725782 cm 000726 m A tensão cm um nícl genérico da armadura é M 32256 kN 2 MP a v a 04669865204248 m 204 a I ooonb ªº com M g g2 04q M 562 27504180 408832256kNm mo g g2 q 511 mento aruante y li 90 286 428 3 35 466 cn distincia ela amiad i a a linha ncu no estádio ll Norunento colocando os Valores na expressão 4 w 4 1180 ª 4 s 12s 204 4 45 o 3 12511 E Pr1 125225 210000 001755 u 4 LJeW11 11tw a Mostrando mais uma vez que a fissuração nociva nio é atingi tal conclusão pode ser obtida mesmo sem se usar a expressão 45 mas apenas conslltando 0 adro 46 que indica que para um dilmetro de 125 mm llma tensão inferir a 280 MPa e espaçamento máximo de 15 an não há risco de fissuração excessiva Se a equação escolhida para a verificação da fissuração tivesse sido a 44 resultaria cr11 3 cr 12 204 3 204 w 01203 125rt E f0 125i2s 210000 221 com f 03 f3 03 20U3 221 MPa equação15 do capfrulo 1 Esre resultado tamm indica que não há rco de fissuração nociva Exemplo2 Verificar o estado de deformação excessiva das lajes do exemplo anterior admitir que a edificação se destine a fins residenciais que tem as seguintes características p h u 16 cm simplesmente apoiada intercixo de 50 cm vão de 500 m classe 27 A 3615 cm2 peso próprio g1 160 kNm2 sobrecarga pemianente g2 15 kNm2 carga acidental q 4 kNm2 fc1t 20 MPa retirada do escoramento após duas semanas da concreragem d 160 21 139 cm cobrimento de i5 cm e barra de 125 mm Outros dados k 20 MPa aço da treliça do ripo CA60 A seção transversal real e a adorada para o cálculo stão na Figura 418 1 1 f 50an qAf 1 f 1 t 8 50 4 b Flguna418 Seçio tnnsvenal da laje b1 a seçto ral b seçlo adoada para o álculo a CaracteríSti gcométtjcas da acção traiisvcnal no estádio 1 Para calcular as canctcrísticas geométricas no estidio 1 inicialmente sem conside rar a presença da arqiaduraconfonne previsto na ABNT NBR 61182014 no im J 1 b cucuio e aeta1namento ae estruturas usuais de concnto armado 173211 basta fazêlo para a seção bruta usando as fórmulas 411 e 412 da seção 4821 h 2 hl b b b r 2 2 Ycg A 4 2 16 2 5010 l 102 5 O cm 40410 16 b b h 1 b h 1 h 2 h 2 1 1 1 w b b h y b h Y 11 12 12 1 w 1 cg 2 li 2 I 40 4 5 O 10 16 5 O 6507 cm 404 1 10 16 1 4 2 16 2 11 12 12 2 2 651 lQS m No cálculo das características geométricas no estádio l poderia ter sido conside rada a existência de armadura tomando a seção homogênea com a 9865 calculado a seguir Nesse cas a inércia seria Ih 88 10s m b Características geométricas da seção transversal no estádio II puro Para calar as características da seção no estádio II puro é preciso conhecer inicial mente o valor do módulo de defonnação longitudinal do concreto para encontrar o valor de a relação ente os módulos de deformação do aço e do concreto a 5 210000 210000 210000 91865 E 4760 f 4760 fiõ 21287 a ldr Para o estádio II puro o valor da posição da linha neutra e o momento de inércia são dados pelas expressões 416 a 421 destacando que neste caso A O e admitindo se inicialmente a linha neutra passando na mesa Xu hp seção retangular de modo que b br Posiço profundidade da linha neutra a b 2 b2 5012 25 cm 1 3i a A 9865 3615 3566 on2 a3 d a A 139 9865 3615 4957 anl 1 CV 4 Decalhamento aa armaaura rong1rua1na1 111exa0 na seçAÕ transversal e estados 217 Momento de inércia no estádio II puro I 11 b x 1 a A xd1 SOJS 3 986536153B139 2 3 1 3 4552 cm 45 ios m c Cálculo das ficchas para as diversas combinações flechas para as ivcisas combinações de ações podem ser calculadas pela expressão a 5 pl 384E I o sendo E 21287MPae1 a inércia média de Branson expressão 423 1 r 1 1 1 1 1 m M M ii O inomento de fissuração M no caso para a seção T é dadopcla equação t25 sendo 1 o momento de inércia da seção bruta de concreto aqui foi chamado de 111 e a distância do centro de gravidade da seção brutaº à fibra mais tracionada M afm l1 1l221065110s l S7 kNm y 016005 com f ªO 3 pri O 3 202J 2 21 Mºa 2210 kNm2 ctm d 1 Os momentos atuantes são dados por p l M 8 sendo p a carga cm cada nervura e l o vio neste caso igual a 5 m cargas p atuantes por ncrwra brgura da mesa de 50 cm serão calculadas para as combinações permanente quase permanente e rara Permanente p1 g1 g2 05 16 15 05 155 kNm por nervura quase pcnn2I1ente p2 g g1 03 q 05 16 15 oj 4 05 215 kNm por nervtUJ rara p3 g1 g1 q 05 16 15 4 05 355 kNm por nervura As flechas caltuladas para as trs combinações deverão atender aos limites dados no Quadro 4 7 para a condição de actitabilidade sensorial 1 o 1u11u uYt11d11Mlu utf ettu1uras usuaas ae concrem annaclO para a totalidade de cargas t250 para a carga acidental f350 No Quadro 412 estão as inércias médias de Branson e as rcspcctivas Sedias Quadro 4U Inércia média e 8echas para as divcrsu combinações Açio pm MM Im pll cm kNm M Permanente 1SS 484 0324 457 10S 33917 130 Quase pcrmanente 215 672 0234 453 10S 47461 181 Rua 355 1109 0142 45110s 78714 301 A flecha dCvida à carga acidental é dada pela diferença entre a carga total combi nação rara e a carga permanente t a 301l30171cma l43cm q 350 d Determinação do efeito da fluência O cálculo do efeito da fluência é realizado com a combinação quase permanente 215 kNm cujo momento resultante é 672 kNm e com as equações do item 4824 O tempo t0 idade em meses relatiVll à data de aplicação da carga de longa dura ção no caso 14 dias fica fo 1430 047 Os coeficientes para as idades t0 04 e para o tempo infinito são Çti 068 09961 fll 068 0996º47 041ll 053 2 valor fixo para idade maior que 70 meses Como não há ºarmadura comprimida cntãn p O resultando para o tor a dÇ ar 150p 2053147 1 O valor da flecha total no tempo infinito será a ftecha devida i carga obtida pela combi11ação quase permanente multiplicada por 1 a t a 1811147 447an 2an 250 C 4 lhamento da armadulll longltudinal fledol na seçio transI e estados 2 9 Porém pode ser dada uma contraflechde a ver nota 2 do Quadro 48 l a 142an cf 250 Resultando assim t ai 447 142 305 2an 250 e a condição de deformação não estaria atendida Neste caso seria necessário por exemplo fazer a continuidade desta laje com a adjacente de vão igual a 4 m ou então aumentar a sua altura o que é feito no exemplo segui ri te Exemplol Refazer o exemplo anterior considerando que a laje seja jJO h 20 cm h 6 cm e b 10 cm simplesmente apoiada com intercixo de 50 cm vão igual a 500 m classe 27 A 3615 cm2 peso próprio g 1 22 kNm2 g1 09 kNm2 q 4 kNm2 k 20 MPa retirada do escoramento após duas semanas da concrctagcm Admitir d 18 cm A sobrecarga permanente g2 foi reduzida neste exemplo de 15 kNm2 para 09 kNm1 para manter a carga permanente total empregada nos exemplos anteriores a Características geométricas no estádio I Os valores so calculados como no exercício anterior obtendose Y 1382 cm distância do centro de gravidade à borda tracionada e 111 127 lQ4 momento de inércia ela seção geométrica bruta de cóncreto sem armadura b Características geométricas no estádio II puro Também não serão aqui repetidos os cálculos as apenas indicados os principais va lores encontrados Módulo de deformação longitudinal do concreto Ec 21 107 kNm2 Relação entre os módulos de dcfonnaçio do aço e do concreto a 9865 Resistência à tafiº do concreto fam 221 MPa 2210 kN m Momento de fissuração M afd l 12221012710 2 44kNm 01382 y Linha neutra no cstidio II com A O e admitindo que a linha neutra passe na mesa X1 h 220 Cálculo e detalhamen10 de estrvturas usuais de concllto armado a1 b2 25 cm a a A 9865 3615 3566 cml d a A 18 9865 3615 642 cm3 a2 a 4 a aJ 3566 3566 1 425642 x11 44cm h1 6cm 2 225 Momento de inércia no estádio II puro b XJ 2 5044J 2 I lo 1a A xd 986536154418 3 e 1 3 8016 cm 80 10s m4 c Cálculo da5 flechas para as diversas combinações As cargas p atuantes por nervura largura da mesa de 50 cm serão calculadas para as combinações pcrmancntc qJasc permanente e rara e com o peso próprio g1 22 kN m2 e sobrecarga permanente gi 09 kNlm2 resultam nos mesmos valores do Quadro 412 do exercido anterior que será parcialmente utilizado para a construção do Qyadro 413 Quadro 413 Inércia média e flechas panas diversas combinações Ação pkNm MM I m4 plm acm kNm M Pcrmancnrc 155 484 0504 860 10s 18023 069 laasc permanente 215 672 0363 822 10s 26156 100 Rara 355 1109 0220 805 105º 44099 169 O cálculo da Becha de carga acidental é dado por l a l69069100cmalim 142cm q 350 d Determinação do efeito ela fluência O cálculo do efeito da fluência é realizado da mesma fotma que no exercício anterior resultando cm a 6 2053 147 r 1 50p 1 Assim a Bccha final no tempo infinito scri igual a C 4 Detalhamento da armadur longltudinal llexkI na seçk transversal e estados 221 a 100 1147 247 CD t 2an 250º Pom pode ser dada urna contraflecha de até ver nota 2 do Qyadro 48 l a 142cm d 350 Resultando assim l a 247cm142105cm 250 2cni e a condição de defonnaÇio estaria atendida Observações a respeito dos exemplos Na verificação do estado limite de deformação excessiva da laje é preciso tam bém levar cm conta as deformações das gas de apoiou Se for considerada a cdntinuidade da laje préfabricada observase que há dois tipos de seção uma com b 50 cm sada nos exemplos sujeira a momentos positivos e outra com b 10 cm sujeita a momentos negativos na região pró xima ao apoio Neste caso oemprcgo da expressão de Branson não é simples e devem ser usadosoutros procedimentos como cm Carvalho27 ou como ji fazem alguns programas comerciais de cálculo estrutural o que pode ser visto cm Santine28 Resultados experimentais preliminares realizados em lajes pnfibricadas unidirecionais parecem indicar que valor de ªr proposto pela ABNT NBR 61182014 subestima as Bechas29 ÃDENDO RESUMO DAS EXPRESsOEs RELACIONADAS NESTE CAPITULO Momento Betor múúmo Armadura de pele 26 Flório 2003 27 Carvalho 1994 28 Santine 200S M 08 W 0 fcdiouo 29 Katiob 200S ê et al 2002 41 JU Càlculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado 010 A 010deA a1ma A 42 100 e Combinação quase permanente para ELSW F daroil IF g1c 04 F 43 Vátido para obras residenciais Abertura máxima de fis5ura W w ª 3a 44 125ri E f am Abertura máxima de fissura W cr 4 45 w 12511 E Pri 45 Valor aproximado da tensão na armadura no estádio II fj gl g2 04q r g g2 04q 46 a n 14 gl gl q 14115 gl g2 q Deslocamento a em u ponto de uma Viga a TMº Mi dx 47 E 1 o Área equivalente de concreto cm relação aumr área de aço A A Aa 48 cca Expressão da linha neutra Xi para seçãoº recàngular homogeneizada estádio 1 b X2 b h X 2 1 1 A a lHdx 49 2 2 1 Área da seção geométrica no estádio 1 A b b h b b r r w 410 Centro de gravidade da scção gcômétrica bruta no aiddio 1 h b b r 2 2 411 r A 11 t 00 lw11wt11111wC1a1icic1LC1MU LL Momenro de inércii à flexio da seçio geométrica bruta no estádio 1 b b h b h h J h J 1 b b h y b h y 1 12 12 li 2 2 412 ka da seção homogeneizada no estádio 1 b b h b h A a 1 413 Centro de gravidade da seçio homogeneizada no estádi I hJ hJ bb L b A ald 2 2 414 Yh Ab Momento de inércia à Bexio da seção homogeneizada no estádio 1 1 b bwh b h 3 b b h 1 r h 12 12 y 2 415 b hyh J A alyh d 2 Equação do 2 grau para a posição Xii da linha neutra no estádio II puro 3i r1 3i Xi1 31 o 416 Posição x11 da linha neutra no estádio II puro 2 Ja 4a 1 a3 417 Xn 2a 1 Coefiiente a1 das equações 416 e 417 a b2 418 Coeficiente a2 das equações 416 e 417 3i h b b a 1 A a A I r e 419 Coeficiente 31dasequações2J16 e 417 h 420 a d a lA da A b b J 2 Momento deiaércia no o ll puro com XrJ s br 3 br Xn J 2 421 1 U a A x d a HA x d 3 u 1 u J4 UICUIO e ldlfldllltIUU u tUUUld UICll uc utnn u 111ouu Momento de inércia no estádio II puro com n h 1 b b h b x b b h J U X 12 3 li 2 422 A 2 1 a x11 d a lA x0 d Inércia média de Branson M r M rJ Im M 11 1 M ln 423 Rigidez equivalente para vigas fletidas E 1 E Mll M J E J 424 eq10 n M e M 11 a 1 Momento de fissuração af I M ctm e 425 r y Flecha imediata em vigas a pR a e 426 ED I Coeficiente para cálculo de deformação ao longo do tempo diferida devida à fluência óÇ a lSOp 068 O 996 r p 70 meo 427 Çt 2 para t 70 meses Flecha no tempo infinito imediata mais diferida a a 1 a o r 428 CAPITULO s DETALHAMENTO DA ARMADURA LONGntJDINAL AO LONGO DA VIGA 51 INTRODUÇÃO Uma vez detalhada a armadura longirudinal nas seções transversais mais solici tadas de uma viga de concreto armado e conhecido o diagrama de momentos fleçores é possível obter o desenvolvimento da armadura ao longo de toda a viga O objetivo final do dctalhamcnto é usar as barras de aço também chamadas de fcrrosft com o menor comprimento possível não deixando de atender todas as condi ções de segurança do estado limite último ruína Antes d discutiros procedimentos a adotar no detalhamcnto é conveniente ana lisar a possibilidade de racionalizar o processo de fabricaçã Em certas situações é prc fcrivcl empregar as barras cm roda a extensão da viga do qui cortar algumas delas com por exemplo 20 cm mais curta que o compriméntodo elemento estrutural Em outras palavras se o custo do trabalho despendido no projeto e na execução da armadura for superior ao custo do material economizado é preferível optar pelo uso das barras com comprimento igual ao do demento l1ostrase neste capítulo que além de dctcrniinar cm cada seção a área necessá ria de armadura o projetista deve fazer o detaUumcnro procurando evitar a ocorrência de fissuração cxcessÍa efetuar a ancoragem e posicionar as barras de forma correta de nada adianta calcular com rigor a seção transversal da armadura e det hála de maneira equivocada Entre os diversos proccqimentos possíveis para detalhar a armadura ao longo da viga de forma segura e económica o mais indicado e usual é o gráfico por ser rápido de fácil visualização e entendimento Ele pode ser desenvolvido de maneira simples ou com plexa dependendo de cada situação Assim se uma viga necessita pouca arrnadura por exemplo se a a armura rnlnüna suficiente não é necessário usar o procedimen to que se dvcri pois basta estender essa armadura longitudinal de um apoio a outro 52 QUANTIDADE DE DURA LONGITUDINAL AO LONGO DA VIGA Seja a viga da Figura 51 com o rcspcctivo diagrama qc momentos flctorcs supon do que sejam ncccssúias sete barras de t 12S mm para resistir ao momento te na scçio do aio B Ao observar o diagrama vêse que essas barras negativas seriam necessárias apenas no trecho b Como os momntos decrescem cm móclulo à medida tto umvou e uewmc11nlTlto ae euutunis usuais ae concrftD amiaao que se aminha do apoio central para qualquer um dos apoios laterais deduzse que cm uma seÇão intermediária S a quantidade de aço necessária é inferior a essas sete barras A dctcmÍinaçio da armadura ncccssária na ICÇlo S e cm qualquer outra scçio é feita conforme visto no capítulo 3 ou seja por mCio do momento de cálculo na seção é calculada a área da armadura quantidade de barras isso deveria ser feito pãra todas as demais seções do trecho o que demandaria um grande trabalho Mais simples usual e prático é utilizar um procedimento gráfico que permite determinar cm quais seções são ncccssárias6 5 4 3 2 e 1 barra de no caso 125 mm Assim invertese o proble ma anterior ou seja cm vez de dctcrmin3 quantas barras devini ser usadas na seção S procurase graficamente a posição da seção naqual sera preciso usar certo numero inteiro de barras figura 51 Viga continua e diagrama de momentos ftetos correspondente O segundo passo do proedimcnto consiste e admitir que exista linearidade entre o momento fietor e armadura de aço requerida em uma determinada seção A relação correta coere estas duas variáveis deve cstllr d acordo com a expressão 51já vista no capítulo 3 A Md ZÍi 51 Essa variação não é linear pois o braço de alavanca z também varia com Md Entretanto aSavor da segurança essa relação pode ser tomada como linear desde que sempre se fixe como referência o momento 8etor maior Tome como exemplouma viga de ção retangular com as seguintes características b 25 cm d 45 àn aço CASO e f5 20 MPa calculando as áreas de aço necessárias para momentos de 100 kNm e 50 kNm chegase aos valorc5 de A 83 cm1 e A 38 an2 rcspcctivamcntc Conpiderando a linearidade cncrc os valores e tomarulcinicialmente o maior momento 100 lcNm como rcferfoci obtémse para o de 50 kNm uma 4rca de 412 an2 de aço quando 38 cm2 ou eja a favor da scgúranÇL Se for considerado como é i 1 1 ó CAP S Delalhamento da armadura longltudlnal ao longo da viga 227 locn a A referência o menor momento 50 kNm temse para o de 100kNm uma área de 76 cm2 quando são necessários 83 anl estando nesta situação contra a segurança Isso mostra que se pode usar a linearidade entre as ircas e esforços desde que a referência seja o maior valor do momento A partir dessas hipóteses podese proceder ao detalhamento ela armadura nega tiva conforme indicado na Figura 52 O momento no apoio B é dividido em 7 panes iguais K as divisões devem ser na verdade proporcionais à área de cada barra ou grupo de barras que compõe a ána total As retas paralelas ao eixo da viga traçadas po esses pontos deteinam ao encontrar o diairama de momentos os valores dos comprimentos mínimos das arras Isso equiVale a considerar o diagnma de momentos estratificado como o da Figura 53 Na verdade esses procedimentos devem ser feitos não tom os diagramas de mo mento fietor mas sim com o a de forças nas armaduras Em vigas de pontes poclesC trabalhar com um diagrama de área di armadura não com o número de barras que só seri definido no final do detalharnento Nesse caso não é utilizado o diagrama de momentos ftetores solicitantes para uma única situação de carregamento mas a envoltória dos diagramas de momentos fietores obtidos para as diversas possibilidades de carregamentos Figura 5 2 Determinação do comprimento das barras negativas e t Flgan 53 Diagnuna de momcntol esrnrilicado YSn un1eucld111d11 nu u tiuuras usUa1s ae concreto armado Há também questões práticas que devem ser consideradas como a necessidade de que um númerp mínimo de barras seja levado ate os apoios extremos para ancorar as bielas de concreto capítulo 6 e também a necessidade de empregar pelo menos qua tro barras duas na face superior e duas na inferior trabalhando como portaestribos Finalmente o procedimento até aqui descrito para as barras Mnegativas deve ser da mesma forma empregado para as barras Mpositivas 53 ÃNCORAGEM POR ADENCIA DA ARMADURA LONGITUDINAL Ao definir os pontos de interrupção das barras em funÇão da distribuição dos momentos fletorcs solicitantes de cálculo há a necessidade de transferir para o concreto as tenspes a que das estão submetidas para issÕ as barra5 devem ser providas de um comprimento adicional A essa transferéncia dáse o nome de ancoragem e o compri mento adicional é chamado de comprimento de ancoragem reto fb Segundo o item 941 da ABNT NBR 61182014 todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de modo a garantir que os esforços a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto seja por meio de aderência de disposi tivos mecânicos ou pela combinação dç ambos Consideramse dois tipos básicos de ancoragem a Por aderência entre aço e concreto quando os esforços são ancorados por meio de um comprimento reto ou com grande raio de curvatura seguido ou não de gancho b Por meio de dispositivos mecânicos quando os esforços a ancorar são trrns mitidos ao concreto por mefo de dispositivos mecânicos acoplados à barra Na ABNT NBR 61182014 as prcscrições referentes à aderência estão no item 9 3 e as relacionadas à ancoragem em seus diversos aspcctos estão no item 9 4 inclui ve as referentes a barras transversais soldadas feixes de barras telas soldadas armaduras ativas e dispositivos mecânicos Por ser mais usual apenas o emprego da ancoragem por aderéncia principalmente ém edificações será aqui apresentado Inicialmente discu temse os conceitos básicos do fenõmeno da aderência 531 ÃCIA ENTRE CONCRETO E AÇO Aderência é o fenômeno que permite o funcionamento do concreto irmado como material estrutural Sem aderência aS barras da armadura não seriam submetidas aos esforços de tração pois deslizariam dentro da massa de concreto e a CSOltura se com portaria como sendO apenas de concreto simples A adcrênci2 faz com qlic os dois materiais de resistências diferentes tenham a mesma deformação e trabalhem juntos de modo que os esforços rcsistidOs Por uma barra de aço sejam transmitidos paia o V LAtdnwmento oa armaaura longttudinal ao longo da viga 229 concreto e viceversa Scgunflo Lconhardt Mõnoig30 a aderência é composta de três parcelas Adesão de natu flsicoquímica com forças capilares na interface entre 05 dois materiais o efeito é de uma colagem provocada pela nata de cimento na superfkie do aço 1 Atrito é a força que ocorre na supcrficie de contato entre os dois materiais e se maesta quando há tendência ao deslocamento relativo entre a barra de aço e o concreto impedindoo é variável com o tipo de superficie das barras e devido à penetração da pasta de cimcno nas irregularidades das mesmas é tanto maior quanto maior é a pressão exercida pelo concreto sobre a barra por isso 0 atrito é maior nos apoios e nas partes curvas das barras e também é favorecido pela retração Engrenamento resistência mecânica ao arrancamento devida à conformação superficial das barras cm que as mossas e saliências funcionam como peças de apoio aplicando forças de compressão no concreto o que aumenta significati vamente a aderência Embora esses três efeitos na prâcica não possam ser precisamente avaliados sepa radamente de maneira analítica ou experimental o estudo da aderência é fundamental para quantificála e assim detcmtinar os comprimentos de ancoragem necessários das barras da armadura 5311 Detennlnação da tensão de aderência A aderência é um fenómeno complcxo para sua determinação ão efctuacos en saios de arrancamento que possibilitam encontrar valores médios da tensão de aderên cia esses ensaios é medida a força necessária para arrancar um pedaço de uma barra de aço de um corpo de prova de concreto supõese que na i1Tiinência do arrancamento toda tensão atuante na barra seja transferida para o ioncrcto O esquema do ensaio juntamente com o desenvolvimento das tensões no aço e no concreto é mostraâo na Figura 54 cm que F força de tração aplicada F força de tração última tb tensão de adcrênáa no concreto ti valor último de tb t F F tensão média de aderência no concreto bm área sup erfiác barra 7t 41 l b lb comprimento da barra de açO dcntto dçi corpo de concreto LU UCUtUUeAlllldllllUUCDHULUldUUdOWCDncrelOennaao cjl diámetrô da barra a tensão na barra de aço LI 1 F F F F F t 1 Figura S4 Ensaio de LJTllllCarncnto e diagrama de tensões no aço e no cohCRto A tensão de aderência entre uma barra eo concreto que a envolve pode ser en contrada analiticamente a partir de um elemento infinitcsal dx Figura 55 pelo equilibrio das forças atuates na bamt e no conactoi assim temse A a tb n d A a A da tb x cjl d A da A da A da t 52 b xclid ncjl clx Figura SS Flcmento infinitesimal ara dcterminaçlo da rcnsão de adcnn9a u tensões de aderência tb se opõem à tendência de movimento relativo entre a bana de aço e o concreto e se manifestam na ma de concato elas só existem quando há variação de tensão na barra se a tràção for uniforme a tensão de aderência será nula Na norma item 91 ã tensão última 4e aderência é ehamada de resistência de adcdncia de cálculo da armadura passiva t dada pela 53 que scrã apresentada a seguir 5l12 Vertficação da aderênd entre conaeto e 1m11dura Nas regiões de ancoragem deve ser verificada a apacidade de transmissão de esforços entre concreto e armadura Êssa vcrifuação se z por meio da tensão de ade rência no estado limite úftimo Osvalores de álculo de tensões de adedncia rcsistên cias de aderência iie cálculo dependem principãlmelite da posiçio da barra durante a concrctagem regiões propícias u não à boa adcreoda de süa confoaçio superficial e de seu diâmetro Em situações cm que sta grande conantraçio de armadura com espaçamentos pequenos ou virias camadas de armadura é neassúia também a verificação do fendi lhamento considerando a possibilidade da colaboraçlo de armaduras transversais C 5 Dmlhamento da adulll longltudlnal ao longo da viga 23 i SJ1 J Regl6es favoráveis ou desfavomels quantO à aderência As condições de boa ou m6 adcrtncia das barras ctió definidas no itim 931 da ABNT NBR 61182014 que considera cm boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam cm uma das seguintes posições a Com inclinação maior que 45º sobre a horizonraI Figura 56a b Horizontais oucom inclinação menor que 45º sobre a horizontal desde que localizados no máximo 30 an acima da face inferior do elemento o da junta de conactagcm mais próxima para elementos estruturais com h 60 on Figura 56b localizados no mínimo 30 an abaixo da face superior do elemento ou da jun ta de concretagcm m próximapaiaelcmcntos estruturais com h 60 m Figura 56c r r L3 3 b e Figuna S6 Sinrações de boa e má aderência Os trechos das barras situados cm outras posições devem ser considerados cm má situação quanto à aderência bem como quando forem utilizadas fôrmas deslizantes Em relação à situaço b anterior é pertinente um comentário Se o elemento de concreto tiver altura maior que 60 cm mas for concrctado em trechos camadas de no máximo 30 cm de alrura fazse o adcnsamento de cada camada esperase o tempo ne cessário para que o concreto atinja consistência tal que ao se colocar nova camada não haja fuga de nata de conCrcto de uma camada para outra Com esses cuidados de execu ção podese dizer que todas as armaduras da peça estão em uma região de boa aderência portanto de boa ancoragem S314 Valores das resistências dt adtrtnda A rcsistência de aderência de cálculo tensão última de aderência entre a armadu ra passiva e o ionacto conforme o item 9321 da norma deve ser determinada pela seguinte expressão r 111 h 111 f ad 53 cm que 2Jl 01cu10 e detalhamento ele estruturas usuais de concreto armado 1 1 Íd inf O 7 fa m 021 fI fti 1 é o valor de cálculo da resistência à tração Y Y 14 1 Cf do concreto MPa li 10 para barras lisas CA25 T 1 i4 para barras encalhadas CA60 T 1 225 para barras alta aderência CASO T2 10 para situações de boa aderencia Tlz 07 para situações de má aderência TJ1 10 para 32 mm é o diãinctro da barra em mm 1324 32 J ili T1 para t mm com o uctro t cm m metros 100 532 ANCORAGEM DAS BARRAS Será abordada a seguir a ancoragem das arras da armadura longitudinal passiva por aderência de acordo com o que prescrevea ABNT NBR 61182014 no item 942 As barras tracionadas item 9421 podem ser ancoradas com um comprimento reti líneo ou com grande raio de curvarura em sua extremidade A ancoragem deve se dar a obrigatoriamente com gancho ver seção 533 para barras lisas b sem gancho nas que tenham altcrnància de solicitação traÇão e compressão c com ou sem gancho nos demais casos não sendo recomendado o gancho para barras de 4 32 mm ou para feixes de barras Às barras comprimidas também item 9421 só poderão ser ancoradas sem gan chos SJ21 Comprimento básico de ancoragem A norma define item 9424 como comprimento reto de ancoragem básico lb aquele necessário para ancorar a força limite A frl em uma barra de diâmetro 4 da ar madura passiva admitindo ao longo desse comprimento tensão de aderência uniforme e igual a fw equação 53 Esse comprimento que segundo a norma deve ser maior que 25 4 4 é o diãmetro da barra pode ser calculado a partir do equilíbrio entre as forças em ação confoe a Figwa 57 CAP 5 Detalhamento da armadura longitudinal ao lonJO da viga 233 r 1 1 1 1 l A fi b 7t 7t cjl f l 7tf 4 rd h I hJ f t b 4 bd Figun 57 Determinação do comprimento bisico de ancoragcm Exemplo 1 t 54 1 Calcular o comprimento de ancragem reto básico lb para uma barra de 9 125 mn aço CASO e fc 20 MPa considerando siruação de boa aderência O valor de lb é encontrado pela equação 54 1 Íi 125 500 lb 4 rw 4 54654mm5465cm l152486 sendo fw obtido com a cq 53 fw l1 lz l3 fad 225 10 10 1105 2486 MPa com l 1 225 CASO para barra usual ncrvurada de alta aderência lz 10 situaçio de boa aderência l3 10 4 12S mm 32 mm 234 a1cu10 e detalhamento de estruturas usuais de conawto MMdo fcal 02leff 0lSeflõl 1lOSMPa 14 SJll Comprimento neceslio ele ancoragem Em situações cm que a armadura existente detlllhada cm um determinado ele mento é maior que a necessária calculada o coºmprisncnto de ancoragem necessário l pode ser reduzido de acordo com o item 9425 da norma sendo alculado por bno l A l l a b 1 b A e1 em que a 1 10 barras sem ganoho 55 07 barrts tracionadas com gancho e cobrimento no plano normal ao do gancho 3 cj b dado pcla equação 54 AcoJ área de armadura calculada para resistir ao esforço solicitante A1 área de armadura efetiva existente e maior valor entre 03 lb 10 cl e 100 mm Permitese em casos especiais considerar outros fatores redutores do compri mento de ancoragem necessário S323 Armadra tra51ersal na ancoragem As ancoragcns por aderência com exceção das regiões situadas sobre apoios dire tos deem ser confinadas por armaduras transversais ou pelo próprio concreto neste último caso o cobrimento da barra ancorada deve ser maio ou igual a 3 e a distância entre as barras ancoradas também deve ser maior ou igual a 3 Segundo o item 9426 da norma consideramse como armaduras transvcnais as existentes ao longo do comprimento de ancoragem caso a soma das áreas dessas armaduras seja maior ou igual às especificadas a seguir a Barras com 32 mm Ao longo do comprimento de ancoragem deve ser p armadura transversal capaz de resistir a 25 da força longitudiçal de uma das barras ancoradas Se a ancoragem envolver barras diferentes prevalece para esse efeitoa llt maior Ciilmctro b Barras com 32 min Deve ser verificada a armadura em duas direções transvcrsais ao conjunto de barras ancoradas Essas armaduras transversais devem sqportu os esforços de fendilhamcnto C 5 Oetillhato aa armaaura 1ongrtua1na1 ao 1ongo oa viga U segundo os planos críticos respeitando º espaçamento mhimo de 5 41 onde 41 é 0 diãmctro da barra ancorada c Barras comprimidas Qyando se tratar de barras comprimidas pelo menos uma das barras constiruintes da armadura transversal deve estar situada a uma discia igual a quatro diâmetros diâ metro da barra ancorada além da extremidade da barra 5Jl4 Ancoragem de estribos De acordo eom o item 946 da norma a ancoragem dos estribos deve necessiria mente ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudintis soldadas Os ganchos dos estribos estão apresentados na seção 5332 533 GANCHOS DE ANCORAGEM NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS Na norma são previstos ganchos para ancoragem das barras tracionadas e estri bos os ganchos possibilitam a redução do comprimento de ancoragem Como jã visto as armaduras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos 5Jl1 Ganchos da armadura de tração As recomendações para os ganchos da armadura longitudinal de tração se encon tram no item 9423 da ABNT NBR 611820140s comprimentos mínimos retos nas extremidades as barras visam garantir o trabalho do gancho ou a efetiva ancoragem Os ganchos podem ser Figura 58 a semicirculares com ponta reta de comprimento não inferior a 2 4 b em ângulo de 45º interno com ponta reta de comprimento não inferior a 4 4 c em ângulo ret0 com ponta reta de comprimento não inferior a 8 2 Figunt 58 Gcomcaia dos gmchos de tarras tncionadas cm tngulo reto ntt e cinco grau interno e scmidnular jb Gilculo e detalhamento de esuururas usuais de concreto armado Nas barras lisas os ganchos deverão ser semicirculares O diâmetro interno da curvatura do dobramento dos ganchos das armaduras longitudinais de tração 4 na Figura 58 exigido a fim de cvitir fissuras no aço deve ser pelo menos igual aos valo re5 do Qyadro 51 dados cm função do diâmetro da barra e do tipo de aço Quadro Sl Diirnctro dos pinos de dobnmcnto D dos ganchos valores de 41 Bitola da barra CA25 CASO CA60 20mm 441 5 6 4 4 ô 20 mm 5 4 84 Exemplo2 Calcular o comprimento de anioragem de uma barra de diâmetro de 125 mm consi derando região de boa aderência concreto com k 10 MPa e terminando na extremi dade com gancho de ângulo reto Detalhar o gancho a Cálculo do comprimento de ancoragem O comprimento de ancoragem de uma barra tracionada com área efetiva igual à calcu lada quando se utiliza gancho é obtido multiplicando o comprimento de ancoragem da barra reta comprimento básico por 07 ou sejl ibpncho 07 tb Assim a partir do resultado do comprimento de ancoragem obtid no exemplo 1 resulta lbguho 07 5465 3826 cm li Detalhamcnto do gancho Deve ser calculado o comprimento gasto para executar o gancho que é igual à soma do trecho curvo retificado do ponto A ao B com a ponta rcêa no caso igual a 8 conforme a Figura 59 resultando it5tt l 8t4748t127412712516cai 4 ÚP 5 Oetalhamento da annaefura longlludlnal ao longo da viga 237 25 F 020 a Bana ancorada com gancho na extremldao vzzzzzzzzZ1ZZzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzlz1F 499cm b Barra com gancho ratifo 10 F 11777771777zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzlzz1 5465cm e Bana rata 8nconlda sem uso do aneho Figura 59 Geometria para cálculo do cpmprimcnro dos ganchos a 90 e comprimentM J nrna gcm com gancho e sem gancho Embora na ABNT NBR 61182014 não esteja definido onde termina o om primento de ancoragem em barras com ganchos na versão de 1982 estava estabele cido que lb deveria se estender até ponto B como indicado na Figura 59 Assim o comprimento de aço gasto a mais para se ancorar com gancho é obtido retirandose da medida anterior a projeção horizontal do comprimento AB e acrcscentandose o tamanho do gancho Valor a descontar de lb início da L 5 tli 35 3s iis 44on 2 2 Tamanho to da ancoragem com gancho l lb l 1 44 3826 16 44 499 an Observase que não compensa utilizar gancho reto na ancoragem pois o compri mento total gastopara as barras com e sem gancho é praticamente o mesmo 499 cm 238 OlculO e aeta1narnento ae esuuturas usuais ae concreto MmlGO para 546 cm conforme se observa na Ftgura 59 a pequena economia conseguida no comprimento total não compensa pois há um maior ttabalho para executar o ganch não havendo economia Portanto os ganchos devem ICI colocados apenas quando não houver distância disponível para ncorar a armadura como ocorre por exemplo nos apoios extremos de vigas Exemplo3 Detalhar uma barra de aço CA50 d modo que ela se estenda sobre todo o compri mento de uma viga na sua pane inferior utilizando ganchos semicirculares 180 nas duas extremidades a distància entre as faces externas d4 viga é 800 cm f o cobrimento é de 3 cm A Figura 510 rrn o esquema da rcscntaçio da barra tJ i t Lj l 800 l e N10 125 814 J 794 ªf 3ª L Comp relo 8002 x 3 794 Qn J figura5IO Barra com duas extremidades em gancho semicircular notação empregada em desenhos de armação É necessário identificar a barra e informar suas dimensões para que ela possa ser confeccionada e cada barra seri designada por uma denominação genérica dada por NnljlDC em ºque n é o número que identificã a barra D o diAmctto da bana cm milimetrot e C o comprimento total em centímetros No caso a designaçio da barra fica Nt 12S 818 Além do valor do comprimento total da barra rcJi6cada costumase indicar o comprimento reto da barra na verdade a tináa BB que DO caao vale l 800 2 3 794cm úr 5 Detillhamento da armadura longltudlnal ao longo da viga 239 Para obter o valor do Comprimento toÜI é preciso acrescentar aquele necessáio para construir o gancho Este valor é dado pelo comprimento total do gancho semiír culo mais ponta reta de 2 subtraído da sua projeção horizontal Comprimento do gancho l n 5 t 2 942 11441114 12514cm g 2 Valor a descontar de l início da curva L 5 35 351Í5 44cm 2 2 Atréscimo no tamanho da barra para um gancho 140 44 96 100 cm O comprimento total d2 barra é igual ào reto mais dois ganchos l 794 2 10 814 cm Para confeccionar a barra o fabricante precisa conhecer os detalhes do gancho Assim rccomendase que seja colocado na planta de armação um detalhe genérico dos ganchos empregados como por exemplo a Figura 59 SJ32 Ganchos dos estribos De acordo com o item 9461 os ganchos dos estribos confeccionados com barras de diâmetro cj 1 poderão ser a semicirculares ou em ângulo de 45º interno com ponta reta de comprimento igual a 5 4 porém não inferior a 5 cm b em ângulo reto com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 porém não inferior a 7 cm este caso não é permitido para barras e fios lisos Os diâmetros internos da curvatura dos estribos deverão ser no mínimo iguais aos do Quadro 52 Tabela 92 da ABNT NBR 61182014 sendo 41 1 o diâmetro da barra do estribo Quadro S 2 Diimetto dos pino de dobramento para estribos Bitolamm CA2S CASO CA60 10 3 3 3 1020 4 5 i20 5 8 lfU 1a1CUIO e oetaonamento Oe estrutural USUalS Oe concreto armado 54 EMENDAS DE BARRAS Frequentemente é preciso emendar uma barra de aço seja pela necessidade de um comprimento maior que 12 m anho máximo das barras comerciais seja pot outro motivo qualquer Nesse caso devem ser respeitadas as prescrições relacionadas no item 95 da ABNT NBR 61182014 Aqui serão apresentadas apenas as prescrições referen tes às emendas de barras tracionadas e compririúdas por traspasse que é a mais usual As emendas das barras podem ser dos sctes tipo por traspasse por lavas com preenchimento metálico rosqucadas ou prensadas por solda e por outros dispositivos devidamente justificados Há limitações à utilização das emendas por traspassc não são permitidas para barras de bitola superior a 32 mm nem cm tirantes e pendurais elementos somenre rracionados Recomendase ainda que em barras tracionadas as emendas contenham ganchos quando elas forem lisas e que sejam evitadas cm regiões de altos momentos 541 PROPORÇÃO DAS BARRAS EMENDADAS Se for necessário emendar diversas barras há uma limitação do número de emen das em uma mesma seçãó De acordo com o item 9521 da norma consideramse como na mesma seção tranSersal as emendas que se superpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas de menos de 20 do comprirnento do trecho de tras passc Figura 511 Quando as barras têm diâmetros diferentes o comprimento de rraspasse deve ser calculado pela barra de maior diâmetro A proparção máxima de barras tracionadas da armadura principal emendadas pr raspasse na mesma seção transversal do elemento estrutural deve ser a indicada no Quadro 53 Tabela93 da ABNT NBR 61182014 A adoção de proporções maiores que as indicada5 deve ser justificada quanto à integridade do concreto na transmissão dos esforços eda capacidade resistente da emenda como um conjunto diante da natu reza das ações que a solicitem 1 02t FlpmS11 Emendaa supoms como na mamaseçlo tranllalal F1gura93 daABNf NBR61182014 CM S Detalhamento da annadura longiludinal ao longo da vla 241 Qpadro SJ Proporçlo nWdma de barras ttacionadas cmendadas na mnma scçilo Tipo de barra Situaçio Carregamento Carregamento estático dinâmico Em uma camada 100 100 Alta aderência Em inais de urna camada 50 50 16mm 50 25 Lisa 16 mm 25 25 Qiando se tratar de armadura pcnnanentemente comprmida ou de distribuição todas as barras podem ser enendadas na mesma seção 542 COMPRIMENTO DE TRASPASSf DE SARRAS ISOLADAS a Barras tracionadas item 9522 da ABNT NBR 61182014 Qlando a distância livre entre barras emendadas estiver compreendida entre O e 4 cl o comprimento do trecho de traspassc deve ser f a f f Ot Ot bnu Otm1n 56 em que um é o maior valor entre 03 Clo lb b dado pela equação 54 15 ti e 200 mm Clo é o coeficiente função da porcentagerri de barras emendadas na mesma scoão conforme adro 54 Tabela 94 da norma e hw é dado pela equação 55 Quadro S4 Valores do coeficiente ªo Barras emendadas na mma seção õ 20 25 33 50 1 Valora de a 12 14 16 18 20 Quando a distância livre entre barras emendadas for maior que 4 fl ao com primento WO no item anterior deve ser IJCICScida í1 distância livre entre barras emendadas A aqnadura transveal na emenda deve ser justificacb con siderando o comportamento conjunto concretoaço atendendo ao estabelecido no item 9524 da norma que trata de armadura transversal nas emendas por asse seção s43 b Barras comprimidas item 9523 da ABNT NBR 61182014 Quando as barras estiverem dmprlmidas adotase a seguinte expressão para cálculo do comprimento de traspasse l4l Olculo e detalllmento de estruturas usuais de conmitD mwdo 57 em que lfJtlda é o maior valor entre 06 l equaçlo 54 15 e 200 mm e t dado pela equação 55 543 ARMADURA TRANSVERSAL NAS EMENDAS POR TRASPASSE EM BARRAS ISOLADAS a Barras tracionadas da armadura principal Figura 512 ando q 16 mm ou a proporção de barras emendadas na mesma seção for menor que 25 a irmadura trúlsvúsal deve satisfazer as condiçõCs dadas na seçio 5323 sobre barras transversais na ancoragem item 9426 da ABNT NBR 61182014 Nos casos cm que 4 16 mm ou quando a proporção de barras emendadas na mesma seção for maior ou igual a 25 a armadura transverul deve ser capaz de resistir a uma força igual à de uma barra emendada considerando os ramos paralelos ao plano da emenda ser constiruída por barras fechadas se a distãncia entre as duas bairasr mais pró ximas de duas emendas na mesma seção for menor que 10 diâmetJ da barra emendada se concentrar nos terços extremos da emenda sisomm 13t 11lt t Banas lracionadas Stso nvn 4t 113t Figuni 5U Armadura mmsvcrsal nas emendas ripa 94 da ABNTNBR 611182014 b Barras comprimidas F 5U Devem ser mantidos os critérios estabeleàdos para o caso anterior com pelo menos uma barra de armadura transversal posicionada 4 t aMm extremidades da emenda c Emendas de barras de armaduras secundirias Nas emendas de barras de armaduras secundárias a armadura transvcrsãI deve obede cer ao estabelecido na seção 5323 itefn 94i6 daABNr NBR 61182014 Nas emendas de peças de concreto iamo estacabÍoco blocopilar vigas de sui tentaçãoescada pilar inferiorpilar superior etc no o empngo de emendas por passe a fun de permitir a transmissão dos esforços de um elemento para outro 1namemo aa armaaura 1ongmio1na1ao1ango da viga 243 Na Figura 513 indicamse esquticamente os casos citados com os elementos a ser construídos desenhados cm linha traccjadL C 1 Piar 1 Fenv Piiar superior d t Ferro 1 Pilar lnlerior Figura 513 Utilização de buras de espera na ligação de peças csrrururais de concrero 55 DESLOCAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES DECALAGEM Como visto os comprimentJs das barras da armaura iongitudinal e uma viga são determinados por meio das medidas efetuadas no diagrama de momentos flctores os valores 3 das figura5 2 e 53 às quais devem ser somados o comprimento de an coragem da cada uma É preciso lembrar agora que o estudo feito considerou apenas o iaso de flexão simples e pura Em uma viga de ºcdificios há sempre o efeito do cisalha mento devido à força cortante e para leválo em conta é utilizado o modelo de treliça de Mõrsch desenvolvido no início do século XX Neste capítulo fazse apenas uma inttodução do moddo que será discutido mais detalhadamente no capítulo seguinre que trata do cálculo da armadura de cisalhamcnto cm vigas Na análise do efeito da força cortante cm vigas partese de um modelo que ser virá de base para o dkulo que represente a viga fissurada próxima da situação de colapso Seja a viga da Figura 514a que segundo Mõrsch pode ser representada por uma ttcliçaem que se supõe que o ccnto atuante corresponda ao estado limite de ruptulll no casopor cisalhlDlento No 0 colapso as fissuras na próximaao apoio estão inclioadas cm aproxi madamente 45 ver capítulo 6 Analisando esta região pois o que interessa é o efeito do cisalhamento e no apoio as forças cortantes são maiores podese considerar que o concreto íntegro en duas fissuras inclinadas biela comprimida de eoncrcto seja representado pd2s diagonais da trcliça com inclinação de 45 a região de naeto comprimi na parte superior da viga acima da linha neutra é rcprcsçntada pelo ban e WCU111111 tCllUI UC Cll YUllO UUdl U fUI ICflCJ aJmaOO superior horizontal a armadura longitudinal tracionada é representada pelo banzo infe rior e os montantes verticais representam o efeito dos estribos Figura 514b Fissuras a 1 z J a a Viga com armaduras e fissuras b Traliça de MOSCh e Treloça secaonada em SS Figura 514 Modelo de crcliç de Mõrsch eJl uma viga simplesmence apoiada Seccionando a treliça de Mõrsch em uma seção SS Figura 5 14c e fazendo o equilíbrio de momentos cm torno do ponto K chegase a F zRaP a aP a 1 1 l l l Verificase que a parcela da direita R a P 1 a1 P 1 a1 P1 31 é numerica mente igual ao valor do momento 6etor de cálculo Md pois a situação é próxima ao colapso atuando na seção que contém o ponto K Assim como a força na armadura é a área de aço A multiplicada pela sua resistência de cálculo à tração frl resulta M F zM fi AzM A f z ri que é a mesma expressão obtida quando se calculou a armadura de flexão equação 324 capítulo 3 A diferença é que naquela si M atuavaeia seção que continha o ponto J onde atua F que csd dcfuada da scçãO que contém o pono K da distância como M atuante na seção do ponto J é menor que M na seção do ponto K a área ÚI 5 Oetalhamento da armadura longitudinal ao longo da viga 245 da armadura obtida é menor que a neccssma Em outras palavras isso significa que a área A da armadura no capítulo 3 foi calculada com F que atua cm J quando deveria ter sido calcu4da com F atuante na seção que contém o ponto K em que é maior Uma maneira de considerar esse fato é trasladar o diagrama de momentos fletores de certa distância a1 na o mais desfavorável como indicadopelas curvas traceja das na Figura 515 Dessa maneira os comprimentos 3 das barras seriam tirados deste novo diagrama Para simplificar podese usar o diagrama noal e acrescentar aos valores de 3 além do comprimento de ancoragem fb o valor de ai I 11 1 1 1 1 1 1 l 1 J l l l l 1 1 l 1 b a Figura S lS Viga continÍla com cuga distribuída e diagrama de momento deslocado Percebese que o dlculo da armadura transversal é básico para estabelecer o valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores Segundo a ABNT NBR1 61182014 item 174l o cálculo da amladura transverstl é haeado no modelo t treliça de banzos paraldos com uma parcla V da força cortante absorvicb por me canismos resistentes complementares São possíveis dois modelos de cálculo que serão vistos cm detalhes no capjrulo 6 Melo 1 admite que as diagonais de compressão biela comprimidas têm inclinação 9 45 cm relação ao eixo longitudinal da peça e que V tem valor constante indepen dentemente de V Sd força cortante solicitante de cálculo Modelo II admite que as diagonais de compressão têm inclinação 9 diferente de 45 arbitradalivremente no intervalo 300 S 9 S 45 nesse co a parcla V é cosidcrada com valores menores sofrendo redução com o auenço V Sd 551 DESLPCAMEliTO DEGAuGEM DO DIAGRAMA De MOMENTOS FLETORES DE ACORDO COMO MODO I Qiiando a armadura longitudinal de tração for determinada por meio do equilí brio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural podemse substituir os efeitos provocados pela o oblíqua pelo deslocamento do diagrama de força 246 C61culo e deailhlmenlo deestruturas usuais de mncrwtD llmldo no banzo oacionado ou do dhgrama de momentosSetores pan1clo ao mo da peça dado por ite 17422c da norma vsi a d lcotacota sd 2Vsi w V cm que a d para IV Sdaúml IVI a i 05 d no caso geral a i 02 d para estribos inclinados a 45 58 a ângulo de inclinação da armadwa transvasal cm relação ao eixo longitudi nal da peça podendose tomar 45 a s 90 V 54 força corttmc de cálculo na seção mais solicitada V pareda da força cortante absorvida por mccanismcis adicionais ao de trcliça A parcela Vc da força cortante no caso de flexão simples sendo b e d a largura e a altura útU da seção e fd a resistência de cálculo à tração do concreto é dada por V 06 fad bw d 59 f nt nf O 7 J m O 7 O 3 fcJ f 213 f MP cmqucf d 015 com em a Y Y 14 No caso da utilização de estribos verticais e portanto a O resulta para a1 510 Ainda neste mesmo item 17422c a norma admite que a decalagem do diagra ma e força no banzo tracionado pode tamm ser obtida simplesmente empregando a força de tração cm cada seção dada pela cxpressio 511 t Ms FSJ IVsr lcot0cota s z 2 z 511 cm que Ms é o momento ftctor de cálculo múimo nb trecho omamlise a é o lngu1o de inclill2ção da armadurt Uanmna1 em rdaçio eixo longitu dinal da peça CAP 5 Oelhlniento da armadulll longltudlnal ao longo da viva 247 9 45º é a inclinação das diagonais de compressão em relação ao eixo longitu dinal da peça 552 DESLOCAMENTO DECALAGEM DO DIAGRAMA OE MOMENTOSFLETORES DE ACORDO COM O MOlELO li O deslocamento do diagrama de momentos fletores de acordo com 0 modclo II mantidas as mesmas condições estabelecidas para o modelo l seri item 17423c da norma 05dcasogeralf a1 05dcot9cota O 2 d ºb clln d 45 cstn osm a osa 0 S12 cm que 9 é a inclinação das diagonais de compressão bielas variando entre 30 e 45º Considerando novamente estribos verticais resulta para a1 a 05 d core 05 d 513 Também no modelo II permanece válida a alternativa para a obtenção da força de tração dada pela expressão 511 56 ANCORAGEM DA ARMADURA DE TRAÇÃO JUNTO AOS APOIOS Quando o diagrama de moiocntos deslocado cm seu ramo positivo atingir 0 apoio tomase necessário ancorar a biela de concreto na região inferior da viga Na par te superior o concreto comprimido é responsvd pela ancom As recocndações a respeito de armadura de tração nas seções de apoio e sua ancoragem são apresentadas nos itens 18324 e183241 da ABNT NBR61182014 Os esforços de traçãojunto aos apoios de vigas simples ou contínuas devem ser resistidos por armaduras longitu dinais que satisfaçam a mais severa das seguintes condições a Para momentos positivos as armaduras obtidas por meio do dimensionamento da seção b Em apoios 6cttcmos para garantir a ancoragem da diagonal de compressão arma duras capazes de resistir a uma força de tração dada por 514 cm que V4 é a força cortante no apoioNd é uma força de tração evcntualnicntc existen te e a é o valbr dodeslocamcnto do a de momentos Setores l411 alculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado e Em apoios extremos e intermediários por prolongamento de uma parte da armadura de tração do vão Awt correspondente ao máximo momento positivo do tramo M1o de modo que A A se M for nulo ou negativo e de valor absoluto 05 M Pº 3 A A wto se M fornegativo e de valor absoluto 05 M 4 Na ancoragem daarmadura de tração no apoio quando se tratar de apoio extremo com momento positivo caso a deverão ser obedecidos os critérios usuais de detalha mentojá discutidosPara as situações de apoios extremos oro momentos negativos ou nulos casos b e e as barras dessas armaduras deverão ser ancoradasª partir da face do apoio com comprimetos iais ou superiores ao maiór dos seguintes valores cb conforme a equação 55 r 55 e em quer o raio de curvatura interno do gancho e e o diâmetro da barra 60 mm Quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho medi4o normalmente ao plano do gancho de pelo menos 70 mm e as ações acidentais não ocorrerem com grande frequência com seu valor máximo o primeiro dos três valores anteriores pode ser desconsiderado prevaleceno as duas condições restntes Qyando se tratar de apoios intermediários nas situações b e e o comprimento de ancoragem pode ser igual a 10 e desde que não haja nenhuma possibilidade da ocorrência de momentos positivos nessa região provoiados por situações imprevitas particularmente por efeitos de vento e eventuais recalques Quando essa possibilidade existir as barras deverão ser contínuas ou emendadas sobre o apoio 57 ENGASTAMENTO VIGAPILAR Uma vez garantida a ancoragem da biela juto aos apoios dcvese levar em conta principalmente nos apoios extremos a solidariedade das pilares com a viga rigidez da ligaÇão que pemúte a transmissão parcial de momentos De maneira aproximada segundo o item 14661 ABNT NBR 61182014 para considerar a influência dos pilaies nas vigas deve ser ºadmitido nos apoios extremos momento Betor M dado por M rr r M rr rI rp 515 w 5 Deillhamento da armadura longltdínal ao longo cl1 viga 24g em que rlaP r ro1ga é a rigidez de cada elemento i no nó em foco pilar inferior superior e viga ri sendo a inércia do elemento e l1 coorme a Figura 516 M é o momento de cngastamento perfeito na ligação vigapilar t 2 2 Figura S16 Aproximação dos valores de li cm apoios extremos Figura 148 da ABNT NBR 61182014 O momento existente na ligação vigapilar de extremidade deve ser resistido por uma armadura como por exemplo a indicada na Figura 517 Vista laleral ligação vigapilar de exlremidade Amiadura para resistir eo esforço na ligaçao vigapilar Figan S17 Armadwa para raistir ao momento negativo nas ligações vigapilar de rxtrcmidade 250 CdlculQ e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado 58 fUROS E ABERTURAS EM VIGAS A ABNT NBR 61182014 irem 213 permite a cxistencia de furos aberturas e canalizações embutidas cm peças estruturais de concreto armado desde que sejam veri ficados os seus efeitos na resistência e na dcformaçã e que não ultrapassem os limites exigidos dados no item 1325 No caso de aberturas em vigas pi1aJCSparcdc vigas parede e Lajes elas devem ser caluladas e detalhadas levando cm conta as perturbações das tensões que se concentram em tomo das mesmas Toda abertura em estruturas de concreto deve ser analisada de tal forma que a armadura calculada equilibre os esforços de tração que se desenvolvem nessas regiões Devem ser previstas também armaduras complcmcntircs dispostas no contorno e nos cantos das aberturas Os limites para as dimensões de furos e abCrtur2s Constam na seção 13 da norma e serio vistos na sequência Caso esses limites não sejam atendid0s a verifüação estrutural pode ser feita pelo Método de Bielas e Tirantes conforme a seção 22 da mesma norma 581 fUROS QUE ATRÀVESSAM AS VIGAS NA DIREÇÃO DE SUA LARGURA Nas situações cm que os furos atravessam as vigas na direção de sua largura con forme o item 13251 da norma a distância de um furo à face mais próxima da viga deve ser no múümo igual a 5 cm e duas vezts o cobrimento previsto para essa face A seção remanescente nessa região descontada a área ocupada pelo fiiro deve ser capaz de resistir aos esforços previstos no cálculo além de permitir uma boa concrctagem As verificações de resistência e deformação podem ser dispensadas quando ocorrerem simultaneamente as seg11intes situações sedo a alturaaviga a Abertura eJTl zona de tração e a uma distância da face do apoio de no mínimo 2 h b Dimensão da abertura de no máximo 12 cm e h3 e Distância entre faces de aberturas num mesmo tramo de no mínimo 2 h d Cobrimentos suficientes e não secciorwnnto das armaduras 582 fUROS QUE ATRAVESSAM AS VIGAS MA DIREÇÃO DA ALTURA Nas situações em que os furos atravessam as vigas na direção da altura a ABNT NBR 61182014 item 2133 prescreve fu aberturas como furos para passagem de tub11ação vertical nas edificações Figura 518 não devem ter diâmetros supcriorp a 13 da largura dessas vi nas regiões desses furos Deve ser verificada a redução da capacidade p0rtantc ao cisalhamcnto e à flexão na região da aberturai A distância de um furoà face mais próxima da viga deve ser no mínimo igual a 5 cm e duas vezes o cobrimento previsto ncs5a face a largura remanescente oww11101ou1J11v Ud v1ya t 1 nessa região deverá ser capaz de resistir aos esforçosprevistos no cálculo além de permitir uma boa concretagem No caso de ser necessário UJll conjunto de furos eles devem estar alinhados e a distãncia entre suas faces deve ser de no mínimo 5 cm ou o diãmetro do furo e cada intervalo deve onter pelo menos um estribo No caso de peças submetidas à torção esses limites dcvem ser ajustados de forma a permitir um funcionamento adequado Furo de dlãmetro menor que b3 vezes o cobrimento Vtge Figura 518 Abertura vertical em vigas Figura 215 da ABNT NBR61182014 583 CANALIZAÇÕES EMBUTIDAS Canalizações embutidas são as que produzem aberturas segundo o eixo longitu dinal de elementos lineares e são contidas em elementos dc superfkie ou imersas no interior de elementos de volume Não são permitidas nos seguintes casos item 1326 da ABNT NBR 61182014 a Canalizações sem isolamento adequado ou verificação especial quando destinadas à passagem de fluidos com temtura que e afaste de mais de 15 C da temperatura ambiente b Canalizações destinadas a supertar pressões internas de mais de 03 MPa e Çanalizações embutidas em pilares de concreto quer imersas no material ou em espaços yazios internos ao elemento estrutural sem a existência de abenuras para drenagem EXEMPLO 4 ROTEIRO PARA DETALHAMENTO Detalhar a armadura longitudinal da viga VlOl da estrutura indicada na planta de fõrmas da Figura 519 e esquematizada na Figura 520 o vão da viga VlOl foi tomado de eixo a eixo das vigas extremas cujas seções rsais mais solicitadas momentos positivo e negativo foram detalhadas no exemplo 1 do capítulo 4 Dados alguns determinados no exemplo 1 do capítulo 4 fc1 20 MPa CASO cobrimento de 3 cm pilares com 40 crn 25 cm altura das vigas h 090 me altura útil d 0SO m largura das vigas b 025 m altura das paredes igual a 30 rn resultando para distância entreeixos das vigas admitindo múltiplos pavimentos o Vlllor de 390 m carga na viga p 511 kNm momento no apÔio M 4088 kNm armadura negativa apoio necessária A 2005 cml existente após o dctalha menro A 20 crnl 16 4 125 mm máximo momento positivo no tramo M 230 kNm P armadura positiva tramo necessária A 1018 cml existente após o detalha mento A 100 crnl 8 1j 125 mm V100 I ll 400an 40 an l 40crn V101 25 X 90 BOOan 800crn 50 an P V102 FigunS19 Plana de fôrmas da cstrurura 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p e t 800 cm t 800 cm l Figura S EaqucCna cstru da VlOl Çv 5 Detalhamento da irmadura longitudinal ao longo da viga 253 O exemplo será resolvido a p do esquema estrutural da viga VlOl Figura 520 e das armaduras de Scxão nas scçõcs mais solicitadas que foram obtidas no exem plo do capítulo 4 A seguir cstio indicados sequencialmente todos os procedimentos que devem ser usados para se obter o detalhamcnto da armadura longitudinal da viga a Determinação desenho do diagrlma de momentos fletores no 1aso part meia viga O desenho do diagrama de momentos no caso uma única parábola pda existên cia penas de carga constante e uniformemente distribuída deve ser feito em escala para que possam ser obtidos graficamente s comprimentos das barras Será usado por exemplo escala horizontal 150 o comprimento entre apoios será 800 cm50 16 cm e escala vertical 1 cm 50 kNm Para o traçado do diagrama da Figura 521 que aqui por motivo de espaço talvez não corresponda à escala adotada devem ser observadas asseguintes etapas Marcar o valor do momento negativo no apoio M 4088 kN m 8176 cm na escala usada acima doeixo de referência da viga obtendoo ponto D Traçar a Unha de fecho ou fechamento ou seja um segmento de reta que une os momentos no primeiro apoio igual a ero e no segundo 4088 kNm ob tendo o segmento AD essa linha seria o diagrama de momentos fletores se não houvesse a presença de carga distribuída ou seja se o momento fosse resultado de uma carga concentrada atuando no outro vão Marcar o momento que corresponde ao efeito da carga distribuída parábola no centro do trecho a partir da linha de fechamento marcase p 28 511 828 4088 kN m para baixo na escala o equivalente a 8rl6 cm obtémse o segmento EF sendo I um ponto de passagem do diagrama de momentos fietorcs Marcar o ponto G encontro das tangentes extremas ou externas ao diagrama de momentos Setores no trecho basta acrescentar na vertical a partir de F o valor 4088 kNm na escala correspondente 8176 cm Traçar as tangentes externas unindo os pontos A a G e D a G Dividir cada segmento das tangentes AG e DG em partes iguais na Figura 521 dividiuse cada trecho cm 8 partes iguais Unir por retas cada um dos pontos assinalados na Figura 521com drculos em que ficaram divididas ãs tangentes cxternás o primeiro ponto da tangente AG com o último da tangente DG segundo cóm penúltimo e assim sucessiva mente os segmentos obtidos representam tagentesintemas ao diagrama de momentos Setores Traçar urna curva que seja tangente aos segmentos obtidos no passoanterior a cum obtida parábola representa o diagramade momentos Setores no trecho 04 u1cu10 e oeu1namento ae estruturas usuais de concreto armado O momentq positivo máximo poderá ser obtido cm escala valendo no caso aproximadamente 230 kNm equivalente a 46 an na escala E z o Figura 521 Traçado do diagrama de moment06 fletores metade da viga o b Determinação dos comprimcnros iniciais dali barras da annadura longitudinal bamis da armadura longitudinal como já dito terio scÜs comprimentos iniciais medidos diretamente do diagrama de momentos fictores Figura 522 e a esses valores deverão ser acrescidos os comprimentos de ancoiagcm e de deslocamento do diagrama os principais passos a obseVll são Dividemse as ordenadas dos momentosmbimos tramo e apoio cm número de partes iguais ao número de barras nccessúiãs ou metade um terço etc no exercício as divisões serio feitas pelo número de barras ou seja o momento negativo será dividido cm dczcsseis partes e o posiQvo cm oito Traçamse retas paralelas ao eixo da viga pelai péntos cmque se dividiram os momentos até encontrar o di2grama obteod os valores dos comprimentos iniciais de cada barra de acordo com a escala 1 Optouse por fazer cada duas barras com o mesmo compnmcnto a fim de simplificar principalmente a exccuçio dcasa manciri u duas primeiras buns serão chamadas de Nl e terão o comprimento da maior e usim Por diante loCWHUICtnv wu ª tVtYUUllMll ClJ u Ud Vtyel JJ Serão estendidas ao long0 de toda a viga apoio cxtnmo a apoio extremo quatro barras da armadura positiw NlO conforme definido no item n duas servirão como pomestribos Serão lewdas duàs barras da armadura negativa té aos apoios extremos que servirio de portacsttibos poderia ser adotado um diâmetro menor no trecho de momentos positivos As barras que se prolongam até aos apoios deverão ser emendadas pois a viga tem comprimento de 16 m maior que o das barras comerciais normalmente li m as da armaddra negativli serio cmcncfldas na região do tramo onde são comprimidas resultando cm duas barras que se complementam denominadas N8 e N9 as da armadura positiva serão emendadas na região do apoio central onde também são comprimidas e cada parte terá o mesmo ccunprimento ten do portanto a mesma acnominação NlO Ao comprimento inicial das barras deverão ser acrescidos cm cada extremidade da mesma o comprimento de ancoragem l o rcfercnte ao deslocamento do diagrama ai As barras Nt 1 da armadura positiva devido à posição no diagrama e pela ne cessidade de se acrcsccniar a1 e lb também chegarão aos apoios extremos mas não atingirão o apoio intermediário central Finalmente é importante ressaltar que a Figura 522 se refere à meia viga e portanto os comprimentos das barras da amiadura negativa medidos no dia grama deverão ter seus Vlllores dobrados e as barras da armadura positivi deve rão ter suas quantidades dobradas devido à exisrencia dosegundo tramo E z o 1 Figura 522 Comprimcncos iniciais das barr1s c Determinação do deslocamento do diagrama de momentos fletores cálculo de a O cálculo do deslocamento a1 será determinado a partir do maior valor da força cortan te na viga que se dará no apoio A ou no apoio B Figura 523 V 5118 4088 153 3kN V 5118 4088 25 5kN A 2 8 e 2 8 1 SllkNm 408SkNm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r r s v 1 Jigura S23 Força corunte nos apoios cxtcmo e onttll meia viga cortante máxima apoio V 2555 kN V 06 f0i b de 06 1105 025 080 1326 kN o 7 f o 7 o 3 fJ3 f a di 01520l3 if01S7371105MPa alll 14 14 1105 kNml CV 5 Detalhamento da armadura longltudlnal ao longo da viga 157 a d V d l42555 1 2VaVJ 21425551326 0 795 d a1 0795 d 0795 080 036 m 05 d a1 0636 m 635 cm d Comprimento de ancoragem reto básico lb O comprimento de ancoragem reto ásico tb portanto sem a utilização de gancho para urna barra d 125 mm aço CASO e t 20 MPa considerando situação de boa aderência foi calculado no exemplo 1 e com gancho foi calculado no exemplo 2 resultando nos seguintes valores Comprimento de ancoragem eto básico tb 5465 cm 5450 cm Comprimento de ancoragem çom ganchos lbgonch 07 5450 3820 cm e Comprimento a acrescentar cm cada extremidade das barras Em cada extremidade das barras ao valor do comprimento a medido no diagrama de momentos fietores devem scr acrescentados os valores de a e de lb a1 tb a quando possível é preciso verificar se ao somar esses valores a extremidade da barra não fica fora da peça barras sem ganchos a6 635 5450 118 cm barras com ganchos a6 635 32 1017 102 cm f Ancoragem da armadura junto aos apoios É necessário verificar se as barras que chegam aos apoios extremos esto adequada mente ancoradas ou por outro lado podese calcular qµanta barras devem chegar ao apoio e verificar quantas existem Assim os esforços de tração junto aos apoios de viga simples ou continuas devem ser resistidos por armaduras longitudinais que satifaçam a mais severa das seglilntcs condiçõcsdadãs pclaABNT NBR 61182014 ver seção 56 fl Armadura ncccssária para ancoragem da diagonal de compressão Força necessária para ancorar a diagonal de compressão em apoios extremos equação 514 R V N O 635 l 4153 3 170 4 kN d d d 080 cm que vd é a força corunte no apoio igual a 1533 kN considerando o centro do pilar 4 O não aistc força de tração e a1 635 cm Amadura necessária icsistir a R R 1704 A 392cm1 41j1125mm Íi 50115 O dctalhamento da armadura Figira 52 resultou em duas posições de barras chegando próximas à face externa do apoio 4N10 e 2Nllcom área de 6 125 75 cml maior que a necessãria calculada cm 3 92 cmJ e portanto por este critério não hi problema de ancoragem no apoio extremo f2 09antidade míruma de armadura imposta pela ABNT NBR 61182014 Em apoios extremos e intermediários unia parte da armadura de tração do vio corm pondcnte ao máximo momento positivo do iramo deve ser estendida até aos apoios apoios extremos moento nulo A A t 8 l 25 t 3 33 cm 2 3 12 5 mm lo critério anterior são nc apoio 3 3 r ccssúias q112to barras apoio intermediário momento negativo com IM 1 05 M M 4088 kNm e M 2300 kNm A A 8 º 125 250cmi 2t125mm 4 4 Serão estendidas quatro barras da annadura positiva 125 mm ao longo de toda a Viga O Comprimento de ancoragem das barras no apoio Apoios extremos Na ancoragem da armadura de tração nos apoios extremos com momentos ne gativos ou nulos as barras dessas armaduras no caso com ganchos semicirculares r 215 ljl raio de curvatura interno do gancho de uma barn de diâmetro 4 deverão ser ancoradas a partir da face do apoio com comprimentos iguais ou superiores ao maior dos seguintes valo a úca necessária calculada é 392 anJ e existem 6 barras com um total de 75 cml A 392 l tb 07lb 07545020t0an2 b Aá 7SO 03 tb 03 5450 0 1635cm lb 2 109101251250cm 100 1000an lb a 200an CAP 5 Oetalharnento da armadura longltudlnal ao longo d1 viga 259 r 55 cjl 25 t 55 cjl 80 cjl 80 125 1000 cm 60 mm ou 6 cm Portanto as barras deverão ser ancoradas com o comprimento de 200 cm a partir da face do apoio Como o apoio tem comprimento de 400 cm e está sendo respeitado um cobrimento de 30 cm as barras têm a partir da face 370 cm sem contar os gan chos comprimento maior que o necessário para atender a este critério Apoio interinedirio Quando se tratar de apoio intermediário em que não haja possibilidade da ocor rênciâ de momentos positivos o comprimento de ancoragem pode ser igual a 10 cjl no caso 125 cm o que está respeitado visto que o pilar interno tem 40 cm na direção da viga entrccmto como quatro baaas se estenderão ao longo da viga esse critério está automaticamente atendido g Cálculo do comprimento das emendas por traspasse As barras que se estendem ao longo de todo o comprimento da viga portaestribos deverão ser emendadas pois o omprimento total da viga é maior que o comprimento comercial das barras Se possível as emendas devem ocorrer em trechos em que elas estejam comprimidas pois im todas podem ocorrer na mesma seção Nesta siruação estão as barras N8 e N9 da armadura ncgatiVi como cada trecho tem comprimento diferente a identificação é distinta emendadas propositadamente na região em que funcionam como portaestribos região comprimida onde não têm função resistente siruação similar ocorre com as barras NIO da armaduta positiva emendadas junto ao apoio central cada trecho tem comprimento igual e a mesma identificação Desta maneira o comprimento de traspasse é igual a fo obedecendo a Oc l to Admitindo a favor da segurança que A Arl lJlodcvc ser o maior valor entre 15 cj1 15 125 1875 cm e 200 mm 200 an Assim o comprimento do traspasse será igual ao comprimento de ancoragem que atende aos valores mínimos lo tb 545 cm h Momento na ligação da viga com o pilar extremo e armadura ncccssúia Admitindo que a viga 25 x 90 cm seja de um edificio de múltiplos pavimentos e que em suas cXtrcmidadcs existam pilares 25 x 40 cm inferior e superior Ftgura 524 deve ser considerado quando não for realizado o cálculo oca da influência da solida riedade dos pilares com a viga um momento dado por ov ui1u1u udm1110 oe estruturas usuais oe concreto armaoo 20an 140cm h90cm J Figura S24 Ligaçio da viga com os pilares superior e inferior M GnrrP M p r r r inf 20cm 40cm 26 8410 M 2725 0419 27251142kNm 268410 19010 em que momento de engastamento perfeito na cxtrcmidade da viga p 511 kNm e tramo com t 80 m pt2 51180l 272 5kNm M 12 1 rigidez de cada elemento admitindo para L dos pilares inferior e superior a metade da distância entre os eixos das vigas 390 m2 sendo o vão do tramo igual a 80 m rin ra l o 25 o 40 6 84 10 m fl 12392 r l0250901 190lOmJ li 1280 Na ligação para resistir a esse momento d ser colocada uma armadura Figura 525 calculada com d 80 cm b 25 cm Íci 20 MPa e aço CASO KMD M 141142 007 b d2 Ía1 025 082 2000014 KMD 007 Quadro 31 KZ 09570 l00 1 lN ueta1namento da armadura longitudinal ao longo da viga 261 A KZdf rd l41142 48cm2 095700850115 4 12 5 mm O coprirnento total ela barra detalhada na Figura 527 barras N15 foi determinado a partir das parcelS relacionadas a seguir Comprimento da curva segundo o item 18i2 da ABNT NBR 61182014 o diâmetro interno da curvatura de barras dobradas de CASO não deve ser menor que 15 resultando nD nlS l 4 4 7tl6125 l6cm 4 Comprimento até o ponto de momento nulo como não se conhece o diagrama de momentos na ligação foltoroado como base o momento negativo no apoio 4088 kNm e feirauma relação linear com o momento de 1142 kNm veja Figura 521 l 1142 200 56cm m0 4088 Comprimento após o pohto de momento nulo foi acrescentado o valor de 118 cm correspondente à ancoragem mais o deslocamento do diagrama Comprimento reto nq pilar foi tomado após a curva o valor de 55 cm corres pondente ao comprimento de ancoragem Comprimento total f 16 56 118 55 245 cm PUar Figura 52S Armadura pUll combata o momento na viga na ligação com DI p 101 ui1cu10 e oeuunameriro oeuturas usuars oe 1nnaoo i Comprimento das barras da armadura longitudinal de traçlo Para a determinação do comprimento final de cada bura é neccsdrio o valor medido no diagrama a o comprimento de ancoragem mais o valor do deslocamento do dia grama a6 635 5450 118 cm o comprimento dos ganchos 1emicircularcs l 14 cm exemplo 3 para as barras que forem levadas até aos apoios extremos e o com primento da emenda por traspasse l0c 545 ân o cobrimento empregado é 30 cm Cabe destacar que duas barras da armadura negativa 2N8 e 2N9 que se complemen tam se estendem de apoio extremo a apoio extremo e o mesmo acontece com quatro barras da àlmadura positiva 4N10 erriendadasno meio da viga A armadura de cisa lhamento est calculada no capítulo 6 Os detalhes estão nas fi S26 527 e 529 Barras da armadun negativa Nl 2 barras t 2 225 2 118 281 cm N2 2 barras t 2 40 2 118 316 crii N3 2 barras t 2 65 2 llS 366 cm N4 2 barras l 2 90 2 118 416 cm N5 2 barras t 2 llS 2 118 466 cm N6 2 barras 2 140 2 118 516 cm N7 2 barras l 2 160 f 118 556 cm N8 2 barras o apoio esquerdo até a emenda com a N9 l 1200 cm Seção da viga a parôr do apoio externo csqucrd cm que termina a barra de 1200 cm 1200 14 3 44 1193 4 cm Distânci dssa seção ae extremo direito da vigai 1640 11934 4466 cm N9 2 barras at o apoio diito complementando a N8 t 66 3 44 14 545 508 cm Fagura 526 CNi 5 Detllhllmento da 1nnadura longltudlnal IO IPngo da viga 263 10 1oé 2N80125 1200 4N10012 5854 844 1190 e 1640 4N1001258Sj Figun 526 DctcrmiiiaÇão do comprimento das banias N8 N9 e NlO an Barras da armadura positiva º NIO 4 barras do centro ao apoio externo cm cada tramo com um total de 8 barras 16402 3 44 14 54512 854 cm Figura 26 Nll 2 barras cm cada tramo chegando uma cxtrcmidadc ao apoio externo sendo a 425 cm e a distância do diagrama ao centro do pilar igual a 90 m f 425 90 20 J 44 14 118 660 cm N12 2 barras cm cada tramo não chegando aos apoios f 300 2 118 536 cm j Armadura de pele detalhes no exemplo 1 do capírulo 4 e nas figuras 527 e 529 Seção do tramo barra do centro do apoio até 118 cm após o ponto de momento nulo N13 7 tj 63 a cada 90 anpor face 2 trarnos Z 2 7 28 haIaS l 600 118 718 cm Seção do apPio barra com 118 an cm cada extremidade após os pontos de mo mcnto nulo N14 7 tjl 63 a cada 55 cn por face 2 7 14 barras l 2 200 2 118 636cm lb4 Calculo e detalhamento de estrulUras usuais de concreto armado 2N8t125 1200 e 1184 4N15 t125 245 16 rB 55 f j 2N1125 281 2N2 125 318 2N3t125 366 2N4 125 416 2N5 125 466 2N6 125 516 2N7 t125 556 2x7Nl4t63636 545 CJ2N9 t125 508 496 4N15 t125 245 lfiA T ssoe 24N16S3c25 180 A 180 sao 2xil l70Ja 7 5 24N16 S3c25 b 4N10125854 844 2N11 t125 660 2N12 t125 536 42on 2x7N13S3 716 650 2x11N17063c175 545 o 4N10 125 854 844 2N11t12 5 650 2N12t125 2x7N13 S3 Figura 527 Acmadura longirudinal ao longo di viga e estribos medidas cm cm k Armadura transversal estribos calculada no capítulo 6 e indicada na Figura 528 O comprimento dos estribos é calculado somandose ao comprimento reto três curvas 90 e dois ganchos retos com cobrimento de 30 cm e 4 63 mm para estribos com diâmtro menor que lO m o diâmetro do pino de dobramento é 3 ti e a ponta de ganchos retos é 10 411 Estribos simples Comprimento reto dos estribos simples PaJll a viga com seção 25 90 cm Figura 528 1 lim 8 25 4 2 90 2 3 2 25 2 3 8 25 063 195 cm Comprimento de uma curva n D n 3 9 t 2an 4 4 CN 5 Detillnaento da armaGura IOlgltudtnal ao longo da viga 265 Comprimento do gancho reto l 10 fptareta XJ cl 10 1t 4 Sem 4 Comprimento total de um estribo simples l l 3 2l 1953228217cm 150 150 151 0 ID 0 BA0 0 15 0 0 25 0 Figura 528 Esquema para d1cuio do comprimento reto dos estribos Estribos duplos Nos estribos duplos há apenas variição de comprimento reto nos ramos horizon tais que terão comprimento de 12 cm 784 43 1214 12 cm ver Figura 416 resultando para o comprjmento reto do estribo l 2 90 2 3 2 12 4 25 063 186 cm Comprimento total de um cstrbo duplo sendo as curvas e os ginchos retos iguais l e 3 t 2 t 186 3 2 2 8 208 cm Assim os estribos constituin da armadura transversal ao longo da viga deta lhada no capítulo 6 são N16 48 estribos 6l mm 217 cm estribos simples Nl 44 estribos 63 mm l 208 an estribos duplos tbtl caicuio e aetatnamento ele estruturu usualS de cancretD armado a SeçAo do apoio CDlle AA Fagura SJ9 Detalhe da armadun nas õcs traruvcrsais medida cm an 1 Relação e quantidade da armadura utilizada na viga Lista de todas as barras da viga contendo o diâmetro a quantidade de barras o comprimento unitário e o total para cada uma Quadro 55 Lista resumo de acordo com o diâmetro das barras contend o comprimento total o peso total e um acréscimo de 10 Quadri 56 Q SS Ri lação das barras da igi Número e funo Diimcuo liantidadc Comprinuoto an da barra cm mm Unitário Total 1 ncgativa 125 2 281 562 2 ncgativa 125 2 316 632 3 negativa 12S 2 366 732 4 negativa 12S 2 416 832 5 negatiw 125 2 932 6 negativa 12S 2 516 1032 7 ncg tiva 12S 2 556 1lU 8 negativa 125 2 1200 2400 9 negativa 12S 2 508 10Ua 10 positiva 12S 2 4 8 854 6832 11 positiva 12S 2 2 4 660 2640 CV 5 Delltlhamento da annactura ongltudinal ao longo da viga 267 Quadro SS GmtinUll4o Número e função Dilmetto Quantidade Comprimento on da barra em mm Unio 12 positiva 125 2 2 4 536 13 pele 63 2 2 7 28 718 14 pele 63 2 7 14 636 15 ligação 125 2 4 8 245 16 estribo simples 63 22448 217 17 estribo duplo 63 221144 208 Quadro S6 Rrsumo da quantidade dt IÇO utilizada na annadura da viga Diiinetro cjl mm Comprimento m Pet0kgf 63 025 kgfm 4860 1220 125 100 kgfm 2283 2283 Total m Taxa de armadura da viga kgf açom1 concreto Volume concreto 025 m 090 m 1640 m 369 m1 Peso total do aço 3850 kgf 385 Taxa de armadura 1043kgf mJ 369 ÃDENDO RESUMO DAS EXPRESSÕES RELACIONADAS NESTE CAPITULO Relação etrc momento ftetor e armadura A Md z Tensão de aderência entre aço e concreto A da A da T bnd x dx Total 2144 20104 8904 1960 10416 9152 Peso 10kgí 1340 2510 3850 51 52 268 Cillculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado Resistência de aderência Íw 111 Tlz 11l f ctd 111 10 para barras lisas CA2S 11 14 para barras entalhadas CA60 111 225 para barras alta aderência CASO 112 10 para situações de boa aderência S3 112 O 7 para situações de má aderencia h 10 para 32 mm é o diâmetro da b cm mm 132 32 d ili h para mm com o 1ametro cm m metros 100 Comprimento básico de ancoragem fd 54 l b 4 bd Comprimento necessário de ancoragem A l bna a l t 1 b A bmln 1ef S5 a 1 10 barras sem ganho a 1 07 barras tracionadas com gancho Comprimento do trecho de emenda por traspa5e Ot QOt fbnu Ormln 56 Comprimento da emenda por traspasse para barras comprimidas lOc onu tOcmla S7 Deslocamento dccalagcm do diagrama de força no banzo tracionado rio modelo 1 ºSdaogcnl v l 02dcstribosa45º Sa d 2Vsi Vc lcotacota Sd S8 SelVsi lIVc lusua d Parcela da força cortante absorvida por mecanismo adiáonais ao âe trcliça vc 06 f b d 59 Deslocamento decalagcm do diagrama de força no banzo tracionado no modelo 1 no caso de estribos verticais V 1 a d im11 d 510 2V odmb V e Força de tração cm uma seção F MSd IV lcot0ota 5 MSdma I 5ll 1 Sdcm z Sd 2 Z Deslocamento dcçalagem do diagrama de forÇa no banzo tracionado no modelo II 5 do geral a 0Sdcot9cota 0 2 d b cli d 450 estn os1n na osa 512 Deslocamento dccalagcm do diagrama de força no banzo tracionado no modelo II no caso de estribos verticais a 05 d cote 05 d 513 Força a resistir na ancoragem cm apoios extremos R V N li d d d 514 Momento flctor aproximado cm extremidade de vigas r r r M P M 515 mfYip rw r rI Here is presented the story of the Feast of the Annunciation which occurs on March 25th to commemorate the visit of the Archangel Gabriel to the Virgin Mary to announce that she would be the mother of Jesus Christ the Son of God ÚPTULO 6 ISALHAMENTO CALGJLO DA ARMADURA TRANSVERSAL 61 INTRODUÇÃO Até aqw foi estudada uma viga st4metida à flexão pura e neste caso o momento flctor é constante e a força cortante que pode ser expressa pela derivada do momen to Qyadro 61 é nula Assim atuam na seção transversal apenas tensões normais que permitem equilibrar o momento flctõr As tensões normais são rcsistidas pelo concreto comprimido e pela armadura longitudinal ttacionada e por uma armadura longitudi nal comprimida nos casos de armadiira dupla Por essa razão no cálculo da armadura longitudinal feito no capítulo 3 oram anaiisadas apenas as seções mais solicitadas pelo momento flctor sem nenhuma interferência da força cortmte Na realidade as vigas submetidas a um carregamento venical qualquer com ou sem força normal estão trabalhando cm flexão simples ou composta não pura sendo variável nesta situação o momento flctor e sendo a força cortante portanto diferente de zero surgindo na seção transversal além das tensões normais tensões tangenciais que equilibram o esforço cortante Qpadro 61 TipoS de 8aão e tensões atlWI na seção uanVer5al dM Flexão Momento Hetor M Cortante V Tensões atuantes na seção dx Puna Constante v o cr normal Não pura Variivcl VtO cr normal e t tannàal Ao contrário da situaçio cm que é possível existir momento flctor sem força cor tante flexão sem cisalhamcnto não é possível a cxisténcia de trechos daviga cm quc ocorra cortante sem momento cisalhamcnto sem flexão Dessa forma na flexão não pura juntamente com as terlsões tangenciais sempre atuam tensões nortnais de fleieio formando um estado biaxial ou duplo de tensões com tensões principais de tração e comprcss cm geral Íflclinadas cm relação ao eixo da viga seção 63 É um problema de soluçio complexa com mecanismos resistentes essencialmente aidimcnsionais No estudo do cisalhamento inBuem forma da seço variação da forma da seção ao longo da peça esbeltez da peça 2 disposição das armaduras transversais e longitudinais aderência condições de apoio e carregamento etc A consideração de 2 é para que o estudo e resuma às vigas nas quais a seção transversal permanece plana após a deformação pois quando a relação é inferior a 2 as seções transversais sofrem um empenamento não continuando plana após a de formação a estrutura com essas características é dwnada de vigaparede Figura 61 1111111111111111 JIP 1 1 111 1 11 1111 1 1 1 1 11 p Seção S após a deI Seão Sapós 1tJll a Viga dI 051 bVigapadll OSI Figura 61 a vigi a seção após a deformação permanece plana b viga parede ta seção sofrr um empenamento apó a deformação Para cargas de pequena intensidade em que as tensões de tração não superam a resistência à tração do concreto estádio 1 o problema da análise das tensões tange ciais é simples quando se aumenta o carregamento e o concreto tornase fissurado estádio ll é produzido um complexo reajuste de tensões entre concreto e armadura que podem crester até clegar à ruptura Na alma da viga as tensões de compressão são resistidas pdo concreto comprimido que se mantém íntegro entre as fissuras bielas comprimidas e as tensões de tração são resistidas por uma armadura transversal ar madura de cisalhamento A armadura transVCral proporciona segurança frente aos distintos tipos de rup tura e ao meso tempo mantém a fissuração dentro de limites admissíveis Neste capítulo será estudado primeiramente Q modo de cálculo dessa armadura e em seguida como fode ser evitado o esmagamento do conaet alma da viga com a Verificação das tensões de comprâsão rW bielas de concreto V 6 Osalhamento cálculo da armadura transversal 273 Como ainda não hi umasolução que seja ao mesmo tempo preàsa e simples a maioria dos procedimentos adota um ttatamento independente para as tensões de flexão e cisalhamcnto cm uma viga e admitem que a contribuição das annaduras trans vcrsais e do concreto comprimido na resistência ao esforço cortante pode ser obtida por meio da analogia de trcliça de RitterMõrsch seção 64 É conveniente destacar que as peças fletidas devem ser dimensionadas de modo que se atigirem a ruína esta ocorra pela ação do momento fietor que leva a grandes deformações antes da ruptwi por cisalhamento O perfeito funcionamento das peçis fletidas e concreto armado pode ser ga rantido verificandose em cada seção transversal a condição de utilização fissuração e de ruptura escoamento da armadura de tração e esmagamento do concreto Essis verificações já foram feitas na flexão pura a fissuração no quarto capítulo e as demi no terceiro Nas peças cm flexão não purà pórtanio com cisalhamento a verificação da fissuração mais usual nas peças protcndidas nas de concreto armado normalmente um born dctalhamcnto da armadura transver5al é suficiente para evitar um estado de fissuração inaceitável na alma das vigas Na Figura 62 estão esquematizados aiguns tipos de colapso que podem ocorrer I cm vigas devido à ação da força cortante cisalhamento11 no caso a a rnprura é por escoamento da armadura transversal no b o concreto da biela comprimida na alma da viga é esmagado e cm e o colapso ocorre por falha na ancoragem da biela junto ao apoio escorregamento daarmadura longitudinal glllil 111 t 111111 nlt r1 1 l c91 li n b Figura 62 Situações de oolapao cm uma viga devidas ao cisalhamcnro a escoamentoda 21tnadura b esmagamento do oonCRto e lha aa ancoragem Segundo Furlan Junior ainda pode ocorrer ruptura por força cotcficxão e por flexão da armadura longitudinal No primeiro caso o concreto do banzo com primido região acima da linha neutra é esmagado em dccorrência do avanço ou da pcnetnção Ía fissuras diagQnais inclinadas nessa região No segundo caso surgem 31 Riilcb 1975 32 FudaoJuniorl99S J4 u1cu10 e aegirnamtnto ae eSJntulllS usuais ae ConaeCCI deficiências localizadas na região da armadm longitudinal que apresenta rcsistncia insufiCicntc para suportar a cxlo localizada causada pelo apoio das bielas regilo de concreto íntegro entre fissuras entre os estribos 62 TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAS EM UMA VIGA Podese considerar para efeito de cálculo que o conacto seja um material homo gêneo e LS5i desprezar a presença da annadura nc Dessa maneira é possível cal cular as tensões atuantes cm vigas utilizando os conceitos darcsistência dos materiais É óbvio que cst hipóteses valem até que se inicie a fissuração do concreto Assimem uma viga de seção constante sujeita à flexão simples não pura as tensões normais a e tangenciais t variam de fibra a fibra ao longo da altura da seção Figura 63epodcm ser calculadas pelas expressões M ay I 61 YM bI 62 em que M momento Betor y distância do CG centro de gravidade da seção ao ponto considerado V força cortante M momento estático da árCa da seção homogenca situada acima da fibra de ordenada y cm relação à linha neutra b largura da seção I momento de inércia da seção em relação a seu CG H OH lfp Figura 63 Diuibuiçio das tensões nrmais e tangencim cm uma eçiormogular deaprezando a armadura l 6 Clsalhamento cálculo da armactura transversal 275 Para uma dada seção sob uma força cortante V o valor máximo da tensão tan gencial ocorre pela equação 62 quando o momento estttico tambbn for mliximo O momento estático ou momento de primeira ordem é determinado pela integral J y dA e para uma viga ta de seção transvusal b h obtémse Figura 64 h k 1 M yAyb kb k b khk1 2 2 2 63 O valor máximo de M é obtido fazendo sua derivada em laçã a k ser igual a zero dM 1 b h2k0 dk 2 resultando k h2 ou seja a mhima tensão de cisâlharilento bcoire no CG no caso na LN substiruindo esse valor na expressão de M chegase a b h1 M 8 Seçjo Vrieçjo da 1enslo tangencial ragun 64 CilcuÍo de M e r na leçlo mangalar de wna viga Finalmente a tensão múima de cisallwnento tomase VM b I V b h2 8 15V t b b h b h 12 3z Da Figura 65 sendo z o bnço de Wwnca resulta h e então 2 64 65 lloAllWIV e WCUllllCllllCllLU nuLUUld U31Udl u 1UllcllU dlllldUU 15 V lSV t b h 3z w b 2 HllIHP r h 15V b 15z o 1 d V t b z R h6 1 2h3 z V 1 l FR l a º Seção Vliriaçao da Viga transversal tanSao normal 66 Figura6S B12Ço de alavanca das nsultantes das tensões de compressão R e de tração R estádio 1 concreto rião fusurado Embora a expressão anterior tenha sido obtida para o estádio 1 também será em pregada no estado limite último como será visto posteriormente 63 TENSÕES PRINCIPAIS Em uma viga fletida sob ação de momento fietor variável também atuam forças cortantes e em toda a altura de uma seção transversal retangular ou na alma de ou tras seções surgem tensões chamadas de principais de tração e compressão a1 e a 2 respectivamente inclinadas em relação ao eixo da peça As tensões principais podem ser decompostas nas componentes a tensão normal segundo x a1 tensão normal segundo y e t 7 tensão tangencial em vigas normalmente as tensões a têm valor y muito pequeno com importância apenas cm pontos de introdução de cargas concen tradas podendo portanto em geral ser desprezadas Assim na scquênóa o valor de ar será sempre considerado nulo Em outras palavras cm um elemento soijcitado por tensões normais e tangen ciais sempre possível encontrar um plano com uma inclinação a no qual as tensões tangenciais são nulas e as normais alcançam seus valores mmo e mínimo que são as tensões principais Ess tensões podem ser determinadas cm qualquer ponto de qualquer seção da peça analiticamente ou por meio do CÍo de Mohr Seja uma viga sujeita à Bcxio simples Figura 66 da quil se deseja obter as ten sões principais cm dois pontos um na região comprimida ponto 1 e outro na linha neutra ponto 2 CAP 6 Clsaltamento cálculo da armadura tranSVlrsal 277 p li 1111111111111111111H11q1111 íl Ponlo 1 2 JilttasJo c11 1 d l Figura 66 Pontot para uúlisc da rmsõcs ptincipai de uma viga simplesmente apoiada sob carre gamento uniforme Desses pontos são retirados dois dementos infinitesimais em que atuam tensões normais a e tangenciais t pelo Círculo de Mohr determinamse as tensões princips a 1 e aJ e suas inclinações em relação ao eixo da viga para os pontos 1e2Figura67 º tO B 2a 90 tEJta t A Ponlo 1 a4Sl 01 oo A A Ponlo 2 oy t Figura 67 Detirminaçlo das bN6cs principais nos pontos 1 e 2 usando o Clrrulo de Mohr Como pode ser visto na Figura 67 P33 pontos siruados no CG pontos do tipo 2 s6 há tensão de cisalhamento e portanto a tensão principal de tração ocorrerá a 45 Já para os pontos do tipo 1 onde há compsão abaixo da linha neutra seria tração a tensão principal ocorrcd com um ãngulo inferior a 45 Observe que esti sendo usada a convenção para cocreto armado e protendido cmq11e as tensões de compressão são positivas e as de tração são negativaS 278 Cilailoe decalhlllmento de estruturas usuais de concreto annaclO Para um cso duplo de tensões cm vigas Figura 68 eegundo Mohr as tensões principais podem ser dcttnninadas analiticamente pelas expressões ªa a 1 2 ªa a l 2 CJCJTJ J t 2 A direção a inclinação de a 1 cm relação ao eixo x dada por 2t r t e af01a o i o tg2a aa Figura 68 Escido plano de tensões e direções principais 67 68 69 Como cm vigas podese fazer a1 O só há valores de tensões normais verticais apreciáveis onde atuam cargas externas de altà intensidade e fazendo t t as equa ções anteriores tornamse 2t tg2ci ª J Na linha neutra e abaixo o conacto não contribui na rcsistencia às tensões nor mais de tração que são equilibradas apenas pela armadura longitudinal e portanto a O que nas equações anterio ta CAP 6 Osalhamento dlculo da armadururansvecsal 279 o1 H ol H tg2aao 2a9Qo a4e Conclusões Na linha neutra as tensões principais 0 1 tnção e al compressão estão in clinadas 45 cm relação ao eixo ela viga e são iguais cm intensidade às ten Sões tangenciais priricipalmcltc próximo aos apoios onde a força cortante é maior As fissuras no concreto são perpendiculares à direção da tensão principal de tração Figura 68 As tensões principais de tnção a 1 devem ser resistidas por uma armadura de cisalhamcnto que atravesse as fissuras e cujo cálculo será visto na sequência As tensões principais de compressão al são resistidas pelo concreto comprimi do localizado entre as ssuns bielas de concreto cuja verificação também será vista a seguir 64 ANALOGIA DE TRELIÇA DE MõRSCH Por volta de 1900 W Ritter e E Mõrsch33 propuseram para a determinação da armadura de cisalhamcnto necessária ao cquilJbrio de uma viga de concreto armado uma teoria cm que o mecanismo resistente da viga no estádio II fissurada pudcsse ser associado ao de uma treliça cm que as armaduras e o concreto equilibrassem conjunta mente o esforço cortante O modelo proposto por Mõrsch não foi inicialmente bem aceito mas com 0 desenvolvimento das técnicas de ensaio de estruturas constatuse que ele poderia ser empregado desde que fossem feitas correções adequadas A teoria teve assim reconhe cimento mundial e mesmo que muita coisa tenha mudado desde então as resistências do concreto e do aço aumentaram a aderência obtida com aços corruga4os levou ao desuso as barras lisas etc os prinápios apresentados por Mõrsch continuam rilidos e ainda hoje são a base do cálculo ao cisalhamcnto dos mais importantes regulamentos A grande vantagem é que embora sendo simples o modelo conduz a resultados satisfató rios para a quantidade da armadura transVersal no estado limite último Destacase que será empregada cm todo o captulo quando cabfvd a simbologia adotada pela ABNT NBR 61182014 para a designação de todas as grandezas eDvolvidas 641 fUNQONAMENTO BÃSICO E ELEMENTOS CONSTITVINTES Uma viga bclta simplesmente apoiada de concreto com armadura longitudinal e transversal sob flo simples tcá próximo à ruptura o aspccto mostrado na Fi 33 Mõnch1948 tfU ca1cuio e deia1namenro ae esrruturas usuais de concreto armado 6 9 Ela apresenta fissuras inclinadas na zona em que o cisalhamento é predominante principalmente próximo aos apoios onde a força cortante é maior e entre elas ele mentos de concreto comprimidos bielas comprimidas A partir da configuração da viga na ruptura Mõrsch idealizou um mecanismo re sistente assemelhando a viga a uma trcliça de banzos paralelos e isostática em que os elementos resisentes são as armaduras longitudinale transvenal e o concreto comprimi do nas bidas e na região da borda superior cujas interseções formam osnós da trcliça O conceito de bielas de compressão concreto integro entre as fissuras é impor tante pois mostra como o aço e o concreto se unem para transferir cargas e também como o concreto comprimido trabalha e tem participação importante na resistência ao cisalhamento de peças fletiqas Armadura transversal A Armadura lludinal construtiva para portaestribo iii 1 1 1 1 1 1 1 L LLL LLL Armadura longlludinal de lraÇão A a Viga annada com eslnbQs verticais b Voga próxima ao colapso e com as flSSWa qua oconem e Flsaul1ls Upícaa de clllalhamenlo d FiuufllS Uplcu de claalhanlanlo llulo I a muras Upicas de llexlo Figura 69 Viga na iminência da ruprura e os tipos de 6asura que pOdem ocorrer Considerase que a inclinação a da armadura d cisalhamento e5tá entre 45 na direção das tensões principais de tração e 900 e que os elementos de concreto comprimido estão inicialmente inclinados a 45 oa 4ircção das tensões principais de comprcssio Expcribicias mosttam entretuito que e lngulo de inclinação das bielas menor que 45 o que será corrigido posteriormente Os elementos da trcliça Figura 610 são CAP 6 Osalhanto cAlculo da armadura transversal 281 1 Banzo superior comprimido formado pela região comprimida de concreto aci ma da linha neutra de alnira x 2 Banzo inferior tracionado formado pelas liarras da armadura longitudinal de tração 3 Mont2ntcs ou diagonais tracionadas formadas pela união dos estribos que cru zam certa fissura podem ter inclinação a cm relação ao eixo longitudinal da viga entre 45 Figura 6lOh e 90 Figura 6lOa 4 Diagonais comprimidas formadas pelas bielas de compressão concreto ínte gro entre as fissuras que colaboram na resistência e têm inclinação de 45 cm relação ao eixo da peça a Viga armada com estribos vertlals t 11tt1111ii1 H IP A Barras dobradas r1 T J ii b Viga annada com barrai dobradas Figura 610 Trdiça análog3 de Mõnchpara o caso de aestribos bbmas dobradas É lógico imaginar que a maneira de 1 peça resistir ao esforço cortante estará con dicionada pela disposição adotada para a armadura transversal lnn1itivamentc parece que a melhor posição da armadura é a que segue a direção das tensões principais de tração entretanto essa disposição é muito difícil de ser executada e não permite anco rar dcvidàmente a biela de concreto no apoio Por essa razão são duas as disposições mais comuns adotadas a Estribos verticais que são independentes da armadura longirudinal de tração e compressão apenas envolvendoas para sua fixação tcnd geralmente um dià metro inferior ao destas essas armaduras servem de montantes ou diagonais de tração da trcliça análoga b Barras dobradas levantadas da armadura longitudinal de tração a 45 cm fe lação ao eixo da peça a partir do ponto que deixam de ser ncassárias p resistir aos esforços de ttaçlo oriundos do momcntO Betor 282 Ciilculo e deUlhamento de estruturas usUals de concrwto armado 642 CALCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL Uma viga na iminência do colapso pode como visto ser representada por uma trc liçs em cqullibrio com as forças internas e externas rcpntadas na Figura 611 Para o cálculo das forças iw bãms da trcliça e consequentemente das cxpressôes que possi bilitam determinar a quantidade de armadura devem ser feias as seguintes hipóteses a a trcliça é isostática b os banzos são paraIdos c a inclinação das fissuras e portanto êlas bielas comprimidas é de 45 d a inclinação a da armadura ttansversal pode entre 45 e 90 P P f F ô l R l zcota Figura 611 1nllça de orsch com esforços atuantes e internos cm uma seção S Equilibrio das forças externas e internas atuantes na treliça Figura 611 em que P1 e P2 forças externas aplicadas aos nós reação de apoio F resultante das tensões no concreto do banzo comprimido F resultante das tensões nas barras da armadura transversal que cortam uma fissura F resultante das tensões na armadura looPtudinal de tração Equilibrio das comonentes verticais Ri P1 Pi F sena Força cortante solicitante na séção S V5 Ri 1 P2 Dessas equações resulta F sena V5 610 Mas na ruptura F A nf ri 611 tv 6 Clsalhamento dlculo da armadura transversal 283 sendo A área ela seção transVCrSal de uma barra da armadura de cisalharnento n número de barras que cnJZ4JD uma fissura fi resistência de cálculo do aço àtração Também na ruptura a força conanteque atua é a solicitante de dlculo V V Sd 14 V J que levada à equação 610 resulta V F sena VSd F 2L sena Das equações 611e612 obtémse A nf Vs1 sena 612 613 o riúmero de barras n que cruzam uma fissura sendo s seu espaçamento Figura 612 é dado por zzcota zlota n 614 s s r z L Figun 612 Bams que auzam uma fissun Colocando o valor de n equação 613 temse A zlcota f Vs1 s sena 15 A Vs 1 s sena r zlcota 616 Como é mais conveniente trabalhar com valores adimensionais definese agora uma porcentagcm volumétrica de armadura p observando que d t sena Figura 613 ca1cu10 e uLd111e111Mt1w uu1ur11 Udl ae concret0 annaao volume de aço lA lA A p volumedeconcreto b ds b slscna b ssena 617 Verificase que a porcentagem volumétrica é nwnericamente igual à porcentagem geométrica Para usar esse resultado na expressão 616 dividemse os dois membros dessa equação por b sena obtendose a correlação entre a área de armadura trans versal e o esforço interno dtvido à força cortarite de cálculo A VSd 1 s b sena b z fi senasenalcota 618 P P t zalmz t d Figura 613 A cm um trecho s da peça Supondo que o braço de alavanca z possa ser tomado aproximadamente igual a z d110 usando a definição de porcentagem volumétrica dada pela equação 617 e verificando que sena 1 cota sena cosa a expressão 618 fica VSd 1 p 110 b d fi scnascnacosa 619 Chando VSd tSd tensão convencional solicitante de cisafhamento de cál bd çulo na ama da peça tem5c finalmente 1 10 tw 1 P f scnascnacosa i 620 Conhecendo a seção e a viga b d a força comntc máxima e o tipo de aço a ser empregado f as expressões 617 e 620 ibilitam calcular para llIIla área A de armadura transversal predefinda seu espaçamento s nccessáriii ou viceversa CAI 6 Osalhamento cakulo da armadura transversal 285 A partir ela equação 618 com l10 calculase diretamente o valor do espa çamentos s A fi sena cosa 110 Vsi 621 No caso mais usual cm que são empregados estribos verticais o ângulo de incli nação da armadura é a 90 e as equações 617 620 e 621 ficam bastante simples reduzindose a A 622 p twIOb wS 110 tSd 623 P90 fyd Adfi 624 s 110 VSd É oportuno destacar que os resultados aqui encontrados pelo modelo de trcliça complementam a teoria de flexão vista no capítulo 3 Uma vez obtidas as expressões que permitem calcular a quantidade de armadura transversal necessária para resistir ao esforço conantc surge a pergunta natural cm uma viga de seção retangular de dimensões b e d em que atua uma força cortante V Sd e para o mesmo tipo de aço é mais econõmiço utilizar estribos verticais ou armadura inclinada a 45 o custo da mão de obra utilizada para executar o serviço não será computado Para responder basta calcular cm cada caso barras a 90 e 45 qual é a porccntagcm de armadura necessária Para a 90 a porccntagem de armadura é dada pela equação 623 110 tSd P90 f Para cc 45 a porcentagcm de armadura pode ser calculada pela cqção 620 1lOtSd P45 f i 1 1lOtSd 1 llOtsi scn45 scn45 cos 45 fi Ji J2 J fi 2 2 2 286 alculo e deulMrnento de estMUras usuais de concreto llfTllldo Assim concluise sendo a taxa de armadura igual em cada caso que o volume de aço é o mesmo nos dois casos e portanto p custo é igual entretanto devese considerar que Barras dobradas A execução é mais diflcil Devem ser sempre utilizadas junto com estribos e só podem resistir no m4ximo a 60 dQ esforço cortante ABNT NBR 61182014 item 174113 e seção 683 deste capítulo Como são executadas a partir da armadura longitudinal têm bitola maior que OS eljtribos e O Controle da fissuração fica prejudicado A ancoragem das bielas de concreto da trdiça junto à região tracionaàa é de ficiente Havendo apenas barras dobradas há um efeto de fendillwnento do cooereto junto à ancoragem da bida Figura 614 Estribos verticais alguns tipos são mostrados na FlgWB 615 Apresentam maior facilidade de execução e montagem Podem ser mais bem distribuídos elementos indcpcndentcs e podem ter dià metro menor que as barras longitudinais favondo a adetencia e fissuração Auxiliam na montagem da armadura longitudinal Podem resistir sozinhos a todo o esforço COrtaIte Auxiliam na distribuição de tensões de tração que se produzem pela transmis são de esforços entre concreto e aço Biela de concreto Figuna 614 Efeito de fcndllhuncn que pode ser pnMCado pela anmdura tnnsvaa1 indinacla na biela de comprcsslo de concreto E8lrlbos duplos lachadoa UP11 Lisaanamento calculo da armadura trimsvetsal 287 u Estriba lllmplea aberló Estrlo bipio achado Figun 615 Principais tipos de estribos EXEMPLO 1 Calcular o espaçamento s de estribos simples necessários cm uma viga de seção retan gular submetida a um esforço çortante Vs 1300 kN Dados b 70 cm d 200 cm r 26 MPa aço CASO 500 MPa ou 50 kNcm2 o exercício pode ser resolvido dirctaincnte pda cxpsão624 percebendose que para o cálculo do espaçamento é preciso primeiramente esolher um diâmetro para a armadura transversalAdotando um diãmetro cfi 125 mm 125 cml e desta cando que cm um estribo simples duas barras cruzam uma fissura temse A df s i 110 VSd 2 lÍ5 200 50 110 115141300 109an Assim adotad um valor para o diâmetro da annadura verificase se o CSPaçarnen to nccessmo de estribos é ruoávd caso contririo devese aumentálo ou até mesmo fazer uso de bos compostos duplos ou triplos como os indicados na Figura 6151 Dessa fonna o exemplo podemse usar estribos implcs de 12S mm a cada 10 Cm ou estribos duplos de 12S mtn a cadá 20 cm 1111 Lalcu10 e aeta1namento ae estruturas usuais ae concreto armaao 65 VERIFICAÇÃO DAS BIELAS DE CONCRETO COMPRIMIDAS Na seção anterior foram apresentados os prindpios que possibilitam ci cálculo da armadura transversal de modo que ela resista com segurança às tensões tangenciais É necessário também verificar se o concreto comprimido das bielas não será esmagado ou seja se a tensão atuante não será maior que a capacidad resistente do concreto à compressão A verificação do concreto do banzo comprimido da treliça já foi vista no capítulo 3 o roteiro que será apresentado baseiase no efetuado por Montoya et alw cm que serão calculadas as tensões de compressãonas bielas que posteriormente deverão ser comparadas com os valores máximos estabelecidos pela ABNT NBR 61182014 651 CALCULO DAS TENSÕES DE COMPRESSÃO CJ NAS BIELAS DE CONCRETO ç As tensões normais de compressão cm umà biela podem ser obtida5 de maneira aproximada fazendose o equilibrio das forças atuantes em urna seção que corta um conjunfo de bielas O modeió de5envolvido por Montoya et al é útil para se ter uma ideia do comportamento das tensões de compressão nas bielas de uma viga fletida e de onde surgiram alguns dos valores limites especificados pelas normas Valores mais confiáveis só são possíveis de se obter por meio de análises experimentais Seja uma viga na ruptura seccionada por um plano com inclinação a na direção da armadura transversal e com as bielas inclinadas de um ângulo P como a mostrada na Figura 616 A partir dos elementos conhecidos rClacionase o valor do esforço cortan te na seção transversal com o da tensão normal de compressão nas bielas de concreto Fissuras z Figura 616 Tensõcs de campRSSio rw bielas de concreto em uma ga ftetida Os principais passos para a obtenção da expressão que fomecc a tensão de com pressão em uma biela cuja seção é AB x b são comprimento da seção BC que tem a dos estribos BC sena z BC vsena 34 Monroya et aL 1991 LAP 6 Usalhamenio cálculo da armadura transversal 289 projetando BC sobRAB nonnal à direção das bielas encontrase AB BC cosI AB AB zlna cosI ll ABD a I p 90 I a P 90 Substituindo I em AB reslta z z J AB cosap90 cos a90p sena sena AB z cosa cos90p sen Sn90 p J z cos ª senj3senacos1 sena sena sena J AB z enj3 cota cotj3 625 força resultante interna de compressão nas bielas tensão cr vezes a área F cr AB b na ruptura a projeção verticaldé F Ré a forÇa cortante V SJ atuante na seção V Sd F senl3 cr b AB senp conhecida a força cortante Vsi na seção determinase cr VSd cr b AB senj3 Substituindo AB dado pela equação 6 19 VSd cr b z scnP cota cotPscnp V 1 cr Sd b z sen1PcotacotP 626 a tensão tangencial máxima de referência na fiaão é equação 66 t V sCb z e entio t J sen1P cota cot 627 6rv 9UIV e rau uc cuulu usuaar ae concreta annao fundo z d110 na equação 66 resulta tu a110 VSd b d sen2 13cotacotJ3 finalmente lembrando que V sb a tiw 110t511 o sen 2j cota cotj3 628 A partir da expressão 627 podem ser calculadas as tensões de compressão a no concreto quando se utilizam estribos a 900 ou barras dobradas a 45 e a incli nação das bielas 13 45 e 30 resultando nos valores do Quadro 62 Qudro 62 Valora CL rcnsão normal na biela de concreto cm diYCBU situações Armadun tl11llsvcrsal o IJ 45º p 30 Estribos 90 â 2 t ª 231 t Barras dobradas 45 a t ª 147 t 652 VALORES LIMITES DAS TENSÕES DE COMPRESSÃO NAS BIELAS Inicialmente é preciso notàr que a teoria clássica da trdiça india fissuras inclina das de45º e com essa inclinação as tensões principais de compressão como foi visto valerei a 2 a t o que só ocorre conforrÓe o Oaadro 62 no caso de armadura de cisalhamento a 45 e quando se adffiitem fissuras também a 45 Outra observação importante é que com estribos a tensão atuante nas bielas é maior que com barras dobradas e que se a inclioaçioadotada para as fissuras for menor que 45º por exemplo 30 essas tensões também serão maiores As tensões de compressão nas bielas não devem causar esmagamento do concreto e p isso ao tensões de alhamenta atuantes na viga devem ser limitadas a determi nados valores de modo que a segurinça da viga nio fique comprometida Para se ter uma ideia dos limites impostos às tensões supondo um coeficiente de segurança igual a 2 resulta para o caso de estribos e inclinação das fissuras de 45 a eguintc tensão de cisalhcnto limite ou última múina tensão que o carrcgamento externo da viga pode causar cm qualquer seção f o 2 e do quadro a 2 t 2 cu f f 2t 2 t 20 25f u 2 4 cd CM 6 Clsalhamento dkulo da armadurarrnsversal 291 Esses limites são fornecidos pelas normas com base principalmente cm resulta dos cxperinlcntais mas o procedimento mostrado serve para se ter uma ideia do que ocorre Os limites apresentados pela ABNT NBR 61182014 serio vistos a seguir jun to com os dois moddos de verificação do estado limite último devido à força cortante em elementos lineares 66 TRELIÇA GENERALIZADA DE MORSCH Com o desenvolvimento e crescimento das pesquisas expcrimcntaisrerificolse que o cálculo por meio da trehça de Mõrsch conduz a uma armadura transversal exa gerada ou seja a tensão real atuante na armadura é menor que a obtida pelo modelo de tteliça Essa diferença pode atribuída principalrncntc aos seguintes fatores A tteliça é hipcrcstáti os nós não podem ser considerados como articuiaÇões perfeitas Nas regíões mais solicitadas pda força cortante a inclinação das fissuras e portanto das bielasé menor que os 45 admitidos porMÕrsch Parte do esforço cortante é absorvido na zona de concreto comprimido devido à flexão Os banzos não são paraldos o banzo superior comprimido é inclinado As bielas de concreto estão parcialmente cngastadas na ligação com o banzo comprimido e assim são submetidas à flcxocompressão aliviando os montan tes ou diagonais tracionados As bielas são mais rígidas que os montantcs ou diagonais tracionados e absor vem uma parcela maior do esforço cortante do que aquela determinada pela treliça clássica A quantidade taxa de aimadura longitudinal influi no esforço da armadura transversal Todos esses fatores fazem com que a tensão na armadura transversal seja menor que as obtidas com o esquema da teoria dúsica de Mõrsch e isso deve ser considera do no seu dimensionamento Entretanto é fácil perceber que introduzilos todos no cálculo da tteliça levaria a dificuldades matemáticas considedveis e ontão a solução foi adotar moddos simplificados mantendo os prinápios do modelo de treliça mas também com base em resultados de ensaios resultando no que se chama de trdiça generalizada de Mõnch Com base na ABNT NBR 6118 1980 a correção podia ser feita introduzindo nas expressões anteriores um fator coaetivo obtido a partir da contribuição do concreto na resistência ao cisalhamento Na ABNT NBR 61182014 são apresentados dois mode los de cãlculo dependendo da inclinação que se adote para as diagonais de compressão 292 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado bielas comprimidas e que englobam o cálulo da armadura transversal e a verificação das tensões de compressão nas bielas 67 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ELEMENTOS LINEARES SOB FORÇA CORTANTE ABNT NBR 61182014 Serão apresentados a seguir o cálculo da armadura transversal e a verificação das tensões nas bielas comprimidas em elementos lineares sujeitos à força cortante de acor do com as hipqteses e os modelos apresentados pela ABNT NBR 61182014 item 174 671 HIPÓTESES BASICAS As prescrições da norma se aplicam a elementos lineares amados ou protendidos submetidos a forças cortantes eventualmente combinadas com outros esforços solici tantes Não se aplicam a elementos de volume lajes vigas paredes e consolos curtos As condições de cálculo para elementos lineares admitem dois modelos que se baseiam na analogia com modelo em treliça de panzos paralelos associado a meca e nismos resistentes complementares treliça neralizada desenvolvidos no interior do elemento estrutural e que absorvem uma parcela ou t em termos de tensão da força cortante Esses mecanismos correspondem ao engrenamento que ocorre entre as partes de concreto separadas pelas fissuras inclinadas e a resistênciada armadura longi tudinal que serve de apoio às bielas de conreto efeito de pino O ângulo de inclinação a das armaduras transversais item 174115 da norma em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural eleve estar situado no intervalo 45º as 90 672 VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO A resistência da peça em uma determinada seção transversal será satisfatória quando forem verificadas simultanente as seguintes condições item 17241 da ABNT NBR 61182014 629 VstsVRdJVV 630 imque V Sd força cortante solicitante de cálculo na seção V Rdl força cortante resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais com primidas de concreto de acordo com os modelos de cálculo 1 ou II V RdJ V V é a força cofante resistente de cálculo relativa à ruína por tração diagonal CN 6 Clsalhamento cilculo da armadura transversal 293 V parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de trcliça V parcela de força cortante resistida pela armadura transversa de acordo com os modelos 1 ou II Na região dos apoios os cálculos devem cosidcrar as forças cortantes agentes nas faces dos mesmos considerando as reduções prescritas no item 174121 da norma para cargas próximas aos apoios apresentadas neste capítulo na seção 685 As ccpressõca anteriores possibilitam verificar conhecida a troca de armadura transversâl Se O esforO em Uma seção erlÍ fIU não inferior ao permitido pela norma ou ao necessário para o funcionamento com segurança h bastará considerar nas expressões anteriores o sinal de igualdade para determinar por cxemplc armadura transversal em uma deterrrtinadi seção Essas verificações podem ser escritas tambcu em termos de tensões 67 21 Modelo de cálculo 1 O modelo 1 objeto do item 17422 da norma admite que as diagonais de com pressão são inclinadas de0 45º em relação ao eixo longitudinal do elemento etrutu ral e admite ainda que a parcela complementar V tem valor constante independente de V Sd Nesse modelo a resistência da piça é assegurada por i Verificação das tensões de compressão nas bielas compressão diagonal do concreto V Sd s V IWI 027 a2 d bw d 631 com a2 1 fj250 sendo fdt em MPa e V RdlI a força cortante resistentede cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas no modelo 1 Essa verificaço pode ser feita em função das tensões tangenciais solicitante de cálculo e resistente última dividindo as forças cortantes da equação 629 por b d e com V Rd2J de acordo com a equação 63 VSd VRdlt t t 0271fc1i250fa1bd b d b d Sd RdlI b d tSd s tRdl1 OÍ7 1 fj250 fa1 MPa 632 b Cálculo da armadura transversal Para o cálculo da armadura transversal a parcela da força cortante V sw a ser absorvida 0 pela armadura a partir da equação 630 póde ser escrita por 633 Altu e ucn1111 11111e 1Lu uc tu u 1urc1 usuais oe conaeto arma ao sendo que a força cortane resistente de cálculo V Rd3 deve ser no mínllrio igual à força cortante solicitante de cálculo V Sd V rw V 511 ass 634 Portanto a parcela da força cortante a ser ticb por armadura transversal é a diferença entre a força cortante solicitante de dlculo e a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de trcliça ou seja a parcela resistida pelo concreto íntegro entre ai fissuras O valor de Vc é obtido p dhrações de solicitções no caSo de flcxo simples e aaação iom a linha eutra cortdo a seção vale Vc 06 fm1 b d 635 em que t fckonl O 7 fam d Y Yc o 703 f 2 3 a1s r2 3 val d cál d d ª or e 1wo a res1s i 4 tência à tração do concreto d altura útil da seção igual à distincia da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura di tração b menor largura da seção compreendida ao longo da altura útil d A força cortante resistida pela armadura transversal cm uma certa seção é expressa por V A o9dfi senacosa 636 em que s espaçamento entre elementos da armadura transversal medido segun do o eixo longitudinal da peça fywd tensão na armadura transversal passiva limitada ao valor f DO de estribos e a 70 desse valor no caso barras dobradas não se tomando para ambos os casos valores superiores a 435 MPa a ângulo de inclinação da adura transvaSa1 em rdao ao o longitudi nal do demento estrutural podendose tb 45 S a S 90º No caso de estribos verticais que é o usualmente empregado a equaçio 636 tor nase ÚI 6 Osalhamento cálculo da armadura transversal 295 v A o9dfi 637 As expressões 634 636 e 637 podem ser escritas em termos de tensões e taxa de armadura transversal Dividindo ambos os membros da equação 6J4 por bw d resulta V VSd V bd t tSd w w w 638 A expressão 636 pode ser colocada em função da taxa de armadura transversal P a ver equação 617 dividindo os dois termos por b d sena v A 09dfi seacosa b dsena w A v 1 b ssenci b dsenas 09Íi senacosa A V Como P a e t resulta b ssena b d 1 lllt l p t 639 O 9Íi senasenacosa frwd senasenacosa que é praticamente a expressão 620já deduzida destacando que naquela toda a ten são de cisalhamento oriuda da força cortante solicitante de cálculo tsi deveria ser resistida pela armadura transversal treliça d Mõrsch e aqui a tensão a ser combatida pela armadura é t t tSd t referente à treliça generalizada No caso de estribos verticais resulta 1llt P90 f 640 c Forçil cortante resistida para uma determinada quantidade de armadura transversal Conhecida a quantidade de armadura tran cm uma viga área A e espaçamento s e a resistência caractcristia do concreto à compressão é possívd encontrar a força cortante resistida pela viga Das equações 634 e 636 é possível escrevcr trocando V sa V VV A09df senacosa Rd 9 s 296 Cálculo e dealhamenro de esrururas usuais de concreto rinado A VRd 09d frwd senacosa V Com V 06 fcbl bw d conforme equação 635 e dividindo os dois termos da equação acima por bw d sena temse VRd Acw 06fJ 09df senacosa b dsena b dssena sena A Como cw Pcwa b ssena V 06f RJ p 09fd senacosad b d sena ª sena A força cortante resistente é encontrada dividindo a de cálculo pelo coeficintr 14 V Pcwa 09f senacosa O 6 f b d sena 11 rwd sena 14 P L sena sena cosa l 11O6 fd VR ª b d 111l4 Colocando fa 015 f3 temse R 0644b dPa fywd senasenacosa010f 13 641 Para frwd e fci em MPa b e d em metros resulta finalmente para V R cm kN VR 644b dP a frd scnasenacosaOlOf3 642 e para estribos verticais 643 Exemplo2 Calcular usando o modelo de cálculo I da ABNT NBR 61182014 o espaçamento de estribos simples 2 ramos verticais a 90 nCccsririo para os dos do exemplo 1 V CV 6 Clsalhamento cálculo da armadura transversal 297 1300 kN b 70 cm d 200 an aço CASO P 125 mm para armadura trarisversal fel 26MPa 26000 m 2 a Verificação do esmagamento da biela de concreto V Sd 14 V 14 1300 1820 kN é a foça cortante soücitante de cálculo 26000 VYlI 027 a2 fa1 b d 027 08961T07 2 62899kN eqação 631 com a2 1 fj250 1 26250 0896 fck em MPa Portanto V Sd V rwc e não há perigo e esmagamento do concreto das bielas b Cálculo da armadura transversal estribos verticais simples cp 125 mm Frça cortante solidtànte de cálculo V 1 4 V 14 1300 1820 kN Sd Força cortante V absorvida por mecanismos complementares ao de treliça equação 635 V O 6 f b d O 6 1320 O 7 2 1108 8 kN C ad VI J t com fcu1 fckmf O 15 fc 3 15efi6l015 8 78 1 32 MP a 1320 k1 m 2 Y Parcela de força cortante resistida pela armadura transversal equação 634 V V Sd V 1820 11088 7112 kN Espaçamentos dos estribos verticais a 90 de e 12S mm êquação 67 V AO 9df s i 7112 029200 s2750cm 2125 50 s 115 O espaçamento encon deverá ainda rcspeitar a quantidade e o espaçamento mínimos definidos pela norma confrmc ainda será visto Verificase que a armadura WI le utlCfelO W11aClo necessária caiu significativamente quando se considerou a treliça generalizada demons trando que a contribuição do concreto não deve ser de maneira alguma desptt7da Se a força cortante V Sw for negativa significa que apenas o concreto é suficiente para resistir aos csforçs de cisalhamcnto e portanto a armadura transversal será ape nas construtiva obedecendo aos valores mínimos indicados pela norma Exemplo3 em pio anterior cm termos de tenses e taxa de aniiadwa transversal mesmos dados a Verificação do esmagamento da biela de concreto Ysi 1 4 l300 jOOkN I m2 l30MPa Sd b d o 70 2 o w 2600 tRd 21 027 lfci 250 fcc1 027 126 2504493kN m2 449MPa 14 Portanto tSd s tlWI e 0 não há perigo de esfagamento do concreto das bielas b Cálculo da armadura transversal estribos verticais simples Tensão tangencial solicitante de cálculo si 1300 kNm2 130 MPa Tensão devída ao concreto absorvida por mecanismos complementares ao de treliça V O 6 f b d r1 t e d w o6f1d 06015J 0091262 079MPa b d b d Tensão tangencial a ser resistida pela armadura transversal si Te 130 o9 051 Pa 510 kNm1 Taxa ce armadura transversal 111 P 90 f i 1110Sl 500115 l30 103 Espaçamento dos estribQs verticais a 90 de t 12S mm calculado com a equação 617 CAP 6 Clsalhamento dlculo da armadura tranversal 299 A s A P90 bw s sena p 90 b w 2 1 25 27 SOcm 1 30 10 70 Exemplo4 Calcular com o modelo Ida ABNT NBR 61182014 a armadura cransversal somente estribos simples verticais da viga VlOl Figura 617 dos exemplos 41 e 54 dos ca pirulos 4 e 5 na seção junto ao ap0ío central Dados aço CASO fdt 20 MPa estribos de 63 mm 032 cm2 b 025 mh 090 m d 08 m p 511 kNm carga uniforme atuante na viga V smu 2555 kN cortante máxima junto ao pilar PS sem a redução permitida pela norma como ainda se verá Vl 01 2590 li l l l l li l l l l l l l l l l l l l l l l l l 111111111111111111111111111111 P 511 kNm 1 ga lcm lJ P4 LJ PS P6 u Esquermo estrutuial V101 li l l l l l l l l l l l l l l l l l l l 111111111111111111111111111111 li l li p L lalOm I lBOm 1 1533 kN Diagrama de cortante 2555 lN 2555 kN Figura 617 Esquema estrutural e diagrama de forças cortantes da viga VlOI a Verificação do esmagamento da biela de cncreto t V 142555 179kNm2 179MPa Sd bd 025080 153lkN tw 1 0271fm 250fa1027120250 20000 3549kNm2 14 355 MPa Portanto tSd s tltdJJ e não há go de esmagamento do concrco das bielas b Espaçamento da armadura nansversalestribos verticais simples 63 mm 300 Okulo e deblbamentode enruturas usuais de concreto armado t 1789 kNm1 179 MPa Sd t l 06 fi 06O15 r1 009 20 2 066MPa b d t tSil t 179 066 113 MPa 1llt 111113 2 88103 P 90 frd 5001 15 A s Pow90 bw 2032 890cm 288 103 25 6722 Modelo de cálculo li No modelo de cálculo II objeto do item 17423 da norma é admitido que as diagonais de compressão têm inclinação ª diferente de 45 em relação ao eixo do ele mento estrutural podendo ser arbitrada livremente no intervalo 30 s 9 s 45º nesse caso considerase que a parcela complementar V sofra redução com o aumento V Sd Nesse modelo a resistência da peça é garantida por a Verificação da compressão diagonal nas bielas de concreto V Rd2ll 054 a f b d sen1 e cota cot0 2 cd 644 ou cm termos de tensão tRcU11 054 ª2 fcd scn2 e cota cot0 45 com a2 1 f250 sendo fdl em MPa b Cálculo da armadura transversal A força cortante V V Sd V resistida pela armadura transvc cm uma certa seção é dada por V A o9dCi cotacot0sena 646 Óu cm tennos da taxa d armadura transversal cOmCfeito no modelo 1 lllt 1 P fi scnacotacot0 647 CAP 6 Osalhamento cjlculo da annadura transversal JO 1 No caso de estribos verticais as equações 646 e 647 tornamse V Ao 9df core s Od 648 p 1 11 t 1 90 f cote 649 Para o valor de V pareda de força cortante absorvida por mecanismos comple mentares ao de tnliça na 8cxãÕ simples e na ficxotração com a Unha neutra cortando a seção deve ser observado V 06 L b d qlWldo VSd s V em rennos de tensão t 06 f quando t t e 1C111 w e e Sd V O quando V Sei V Rd2IJ em tennos de tensão t O quado tSd tRdlll interpo landose linearmente para ulores intermediários r O valor da inclinação 9 da biela dt concreto é bastante controverso e depende entre diversas variiveis do tipo de carregamento aplicado porém segundo a norma devese considerálo copreendido entre 30º e 45 e Força cortante resistida para determinada quantidllde de armadura transversal Da mesma maneira que no modelo 1 também é possível encontrar a força cortante resistida pela viga com o modelo II conhecidos A s e fk a partir da equação 646 e com V V Sd V trocando V Sd por V ú VRd V V A O 9 d r cota cot0 sena V s Dividindo os dois os da equação acima por b d sena resulta V A V Rd 09dfcotacot9sena e b dsena b dssena b dscna w w A V Como bssena P11 e fazendo b d t temse V t Rd p 09f cotacot0sena b d stna sena A força cortante resistida é cacoRtrada dividindo a de dkulo pelo codicicntc 14 V p O 9 f cota cot sena b d scna R i sena 14 P L cotacot0sen2alllt V ª b d i 11114 V O 644 b d p f cota cot9 scn2 a 1 11 tJ 650 k w twCI ywd Para fi e t err MPa b e d em metros resulta 6nalmcnte para V R ein kN V 644b dp f cotaoot9scn2allltl 651 R IW11 ywd cJ E para estribos verticais V 644 b d p f tot9 1 U t 1 R IW90 r1 652 No modelo II te ou Vc correspondente varia com tsi ouVsencstc caso haverá dois valores para a força cortante resistente cm função dos valores extremos de f Máxima força cortante resistida quando t 06 fm1 06 015 f3 009 f3 Mínima força cortante resistida quando t O Exemplos Refazer com o modelo II da noma o exemplo 4 Dado aço CASO f 20 MPai es tribos de 4 63 mm 032 cm2 b 025 m h 090 m d 08 m V s 2555 kN a Verificação do esmagamento da biela de concreto Vsi 14 º 2555 1789kNm2 179MPa tlid b d 025080 No cálculo de tRdl11 equação 645 será usado para 9 Angulo de inclinação das bielas comprimidas o menor valor permitido no caso 30 para se ter ideia do que oco quando se afasta bastante do moddo tradiciinal 9 45 para armadun trans versal vertical a 900 fR42ll 054 aJ fd sen29 cota cot9 20 20 fRd2 n 054 1 sen230cot90cot3070970433307MPa 250 14 ÚP 6 Osalhamento dlculo da armadura transversal 303 e portanto tSd tRdlJI nlo havendo perigo de esmagamento do concreto das bielas a tensão limite para a biela neste caso é menor que para 0 45 ltdJi 355 MPa modelo l b Espaçamento da armadura transversal estribos rticais simpll 63 mm Ys1 14 º 25551789kNm2 1 79MPa t51 b d o 25 o 80 O valor de é função de s1 e na flexão simples resulta O se s1 tRdl11 307 a 06 fctd 06 015 f3 009 066MPa se s1 S 06 fcu1 igual ao modelo I Neste caso deve ser feita uma interpolação liner Valor de t MPa o t 066 resultando para t 066 00066 179066 0351MPa 307 066 e e da equação 638 s1 t 179 0351 1439 MPa Valor de tsi tMPa J07 179 066 Com a equação 647 e O 30 cot30 1732 resulta para a taxa de armadura transversal 111t 1 1lll439 1212103 P 90 f cotO 500115 1732 s Finalmente pela eqo 622 com estribos de 63 mm 032 an2 resulta para o espaçamento 304 Cálculo e detalhamento de estrvuras usuais de concrttoarmado P A 212103 121ocrii IW90 b S 25 S O modelo de cálculo 11 para inclinação das bielas igual a 30 apresentou espaça mento dos estribos maior que o calculado com o modelo 1 s 890 cm 68 PRESCRlÔES PARA O DETALHAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL Como visto as armaduras destinadas a resistir aos esforços de tração provocados por forças cortantes fodem ser constituídas por estribos e barras dobradas Para détalhar a armàdura transversal de uma viga devem ser observadas diversa recomendações estabelecidas pela ABNT NBR 61182014 algumas das quais já tr111 das em outros capítulos tais como Cobrimento que são os já idicados para asdcmais armaduras tratado no item 74 da norma seção 46 do capítulo 4 Ancoragem tratada no item 946 da norma seção 5324 do capitulo 5 Ganchos e diâmetros internos de dobramento tratados no item 9461 da norma seção 5332 do capitulo 5 681 QUANTIDADE MINIMA DE ESTRIBOS Nos elementos lineares submetidos à força cortante deve sempre exiscir uma ar madura transversal mínima Fazem exceção os elementos cm que b 5 d d é a altura útil da seção que devem ser tratados como laje capitulo 7 as nervuras de lajes ner vuradas com espaçamento menor ou igual a 65 cm item 13242 da norma e alguns casos particulares de pilares e elementos lineares de fundação Particularmente no caso das vigas conforme o item 174111 da ABNT NBR 61182014 deve haver sempre ma armadura nsversal mínima constituída por estri bos colocados em toda a sua extensão com a seguinte taxa geométrica A f P p b w ssena f 653 em que A área da seção transversal dos estribos s espaçamento etre os estribos medido segundo o eixo longitudinal da peça a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal da peça b largura média da alma f valor característico da resistência aq escoamento d aço da armadwa tranSICrsal LAP 6 Llsalllamento cllcllo da armadura transversal 305 f 03 efêr rcsistenci média à tração do concreto Assim considerando uma seção cm que o concreto tenha k 20 MPa e a arma dura transversal seja composta ºsomente de estribos verticais a 90 de aço CASO f 500 MPa o valor da taxa geométrica mínim scrll k o 2 º3 ef2õl 000088 P 90 500 valor inferior ao exigido pela ABNT NBR 61181980 00014 que era independente das resistências do concreto e do aço É possível determinar a força cortante resistida correspondente à taxa de armadu ra transversal mínima pan uma dada seção e conhecidos o aço e o concreto isso possi bilita armar a viga apenas com a armadura transversal mínima cm toda a sua extensão complementandoa nos trechos cm que a força cortante solicitante for maior que a resistida O cálculo pode scrfcito a partir das equações 642 e 651 correspondentes aos modelos de cálculo 1 e II vamente Moddol V 644b dO 2 f scnascnacosaoO lf2J Rlpm1n w 1 f t 1 cio o 3 f lJ f l V 644b d O 2 do senascnacosa0 lf2 3 Rlpmln f 1 15 V 644 b d O 0522 f 213 sena sena cosa O l f 21 J J 654 RIo 1 do cio e para estribos verticais V 644b dO 1522f1 398b df213 Rlpmlll do do 655 com vRI o6mln cm kN b e d cm metros e e cm MPa Modelo II VR11 644b d00522f 3 cotcot0scn 2allltJ 656 e para estribos verticais 3uo u1cuio e CMtA1namento oe estruiunis uais ae concnUI ArmaaO l Rllpllln 644b d00522fl1 cot91 llt w dl C 657 com V IUlp cm kN b e d cm metros e t cm MPa com os valores extremos t 009 t1 e t O 682 ÚRACTERISTICAS DOS ESTRIBOS Os estribos para a força cortante podem ser fechados ou abertos Segundo o item 18332 da norma os estribos devem ter um ramo horizontal que envolw as barras da armaduralongitudinal de traçãQ rcgi2o de apoio das diagonais ou bielas e serem ancor1dos na extremidade oposta ando essa extremidade puder estar cm região também tracionada o estribo deverá ter o ramo horizontal fechado nessa região ou complementado por ineio de barra adicional Segundo esse mesmo item o diàmetro da barra que constitui o csttibo deverá atender aos seguintes limites 5 mm s b10 Qyando a barra for lia seu diâmetro não podcrí ser superior a 12 mm No caso de estribos formadospor telas soldadas o diâmetro mínimo pode ser reduzido para 42 mm desde que sejam tomadas precauções contra sua corrosão O ãngulo de inclinação a das armaduras transversais em relação ao eixo do ele mento csttUtural deve estar compreendido entre 45º e 90 683 CONSTITUIÇÃO DA ARMADURA TRANSVERSAL A ABNT NBR 61182014 ite 18331 permite que a armadura transversal destinada a resistir aos esforços de tração provocados por forças cortantes seja cons tiruída deestribos combinados ou não co barris dobradas ou barras soldadas en tretato se houver barras dobradas estas não poderão suportar mais do que 60 do esforço total a ser resistido pela armadura transversal item 174113 Podem ser utilizadas barras transversais soldas devidamente ancoradas com binadas com estribos fechados também mantida a proporção resistente de 60 para as mesmas item 174114 da norma Neste caso se nio forem utilizados csttibos a tcitalidade da armadura transversal deve serde barras soldadas 684 EsPAÇAMENTO ENTRE ELEMENTOS DA ARMADURA TMNSVERSAL O espaçamento mWmo entre estribos medido segundo o longi do elemento estrutural dee ser suficiente para permitir a passagem do vibrador garan tindo um bom adensarncnto O espaçamtQ múimo s deve atender às seguintes condições de acordo com o item 18332 da norma 1 f06dS300 mm scVSd S067YRii 6 S 103d S 00 mm se VSd 067 V1112 o usa1llillÍlento caicu10 aa armadura tninsYlrsal 307 O espaçamento transVerSal s cnm os sucessivos de estribos nio deverá exceder os setes valores l d S 800 mm se VSd S 020 VRdJ s S 0 6 d S 350 mm se V 5d O 20 V lldl sendo V Rd2 a força cortante resistente de cculo relatiw à ruína das diagonais compri midas de concreto pode ser calculada pclaS equações 631e644 para os modelos I e 11 rcspcctivamcnte 685 CARGAS PRÕXIMAS AOS APOIOS De acordo com o item 174121 da ABNT NBR 61182014 para o cálculo da armadura transversal no caso de apoio direto carga e reação de apoio aplicadas cm faces ópostas d elemento cstrurural comprimindoo é permitido considerar a força cortante oriunda de carga distribuída no trecho entre 0 apoio e a seção situada à distância cl2 da face do apoio constante e igual à desta seção Figura 618a reduzir a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada à distância as 2 d do eixo teórico do apoio nesse trecho de comprimento a multiplicandoa por a2 d Figura 618 b a Viga com carp dlllrlbulda Figun 618 Redução da força cortante cm ões próximas aos apoios Essas reduções não se aplicam à verificação da resistência à compressão diagonal do concreto ou seja para a comparação de V Sd com V iw nos modelos 1 e 111o caso de apoios ndirctos as reduções tambtm não são permitidas ExEMPL06 Detalhar a armadura rsal somente estribos ao longo da viga VlOl da Figura 617 exemplo 1 do capítulo 4 e exemplo 4 do capío 5 utilizando o modelo de JUll u1cuio e 1namen10 oe esmnuras usuais oe concre10 armaoo cálculo 1 e as recomendações da ABNT NBR 61182014 Dados CASO fl 15 MPa estribos de 3 mm b 025 m d 08 m a Verificação da tensão de compressão nas bidas compressão diagonal do concreto A verificação da compressão nas bielas de concreto diagonais comprimidas foi feita no cicemplo 4 para a força cortantt V 2555 kN e fck 20 MPa com o seguinte resul tado t 179 MPa e tRdlI 355 MPa tst s lldlI não havenqo perigo portanto de esmagamento do concreto das bidas b Cálculo da armadura transversal mínima necessária para a viga Antes de calcular e detalhar a armadura para toda a viga será calculada a armadura mínima necslria conforme a norma De acordo com o modelo I a armadura mínima é dada pela equação 653 O 2 f O 2 O 3 ifijjl O 00088 Pow90mn f 50Q ywk O máximo espaçamento possívd para que a taxa mínima necessária seja atingida para estribos vertic de 63 mm é A 20 32 p 90 000088sS2910cm w min b S 25 S A norma também estabelece o máxinlo espaçamento que pode haver entre os estribos dependendo do valor da relação entre Vsd e V Rdl V st 14 2555 35770 kN 20000 VRd2I 027 1fck 250 fal b d 027 120 250 º14ºº25 080 70970 kN V 357 70 06d068048cm V Sd 0504067 s S 30 s S30cm Rd2I 709 70 COl Dessa mancira o espaçamento corrcspondcnte à armadura núnima deverá ser no máximo igual a 2910 cm Será adotado por facilidade de execução espaçamento para a armadura mínima igual a s 25 cm com estribos verticais de 63 mm CAP 6 Osalhamento câkulo da armadura transversai 309 c Cálcúlo da força cortante resistida pela armadura mínima É Possível agora calcular qll21 a força cortante a que a vigr esiste correspondente à armadura transversal mínima no caso estribos simples de 4 63 mm a cada 25 cm Será colocada armadura mínima nos trechos cm que a força cortante atuante for menor ou igual à correspondente a essa armadura mínima Para cada um Jos demais trechos força cortante atuante maior que a mínima será calculada a armadura espaçamento e se necessário novo diâmetro do estribo para a maior força cortante do trecho A taxa de armadura para a viga é dada pela equação 617 e no caso com estribos simplcs verticais a 9Qo de 63 mm espaçados cm 25 cm resulta fJ A 2032 0001024 rw90 b ssena 2525 A força cortante resistida correspondente a essa taxa é calculada com a equação 643 V 644b dp f O 10f11 R w rw90 t ct VR 644 025 080 0001024 500115 010 20211 1522 kN Verificase nos diagramas das figuras 617 e 619 que a força cortante nos apoios extremos 1533 kN é praticamente igual à força resistida pela armadura mínima e nu apoio central à esquerda e à direita a força cortante é maior 2555 kN Assim nas regiões onde a força cortante é menor ou igual a 1533 kN admitida igual à resistida será colocada armadura mínima e nas regiões em que a força cortante está entre 1533 kN e 255 5 kN deverá ser calculada e colocada a armadura para a maior força do trecho V5 2555 kN A armadura transversal para y 5 2555 kN constituída de estribos simples verti ais e t 63 mm já foi determinada no exemplo 4 para aço CA50 e concreto com fª 20 MPa O cálculo está reprodu7ido resumidamente a seguir tsi 1789kN mJ l 79MPatc 009 ef2õ2 066MPa t 1 79 066 113MP 1 11 t 1 11 l 13 l  P 28810s IW90 f 500115 b P 90 2032 890cm 288 103 2s O correto é escolher tpÍl espaçamento menor que o encontrado 890 cm mas isso levará a uma execução mais trabalhqsa podendo inclusive haver problemas na conactagem assun nessas regiões serio adotados estribos duplos de t 63 mm a cada 175 conforme dctalhâdo na Figura 619 Em resumo 31 O CJlculo e detalhamento de ruturas usuais de rmedo regiões em que a comnte é inferior a 1533 kN esttibos liJnples de 63 mm cada 2so an regiões de cortante entre 1533 kN e 255S kN estribos duplos de 63 mm a cada 11 S cm d Comprimento do trecho com armadura mínima Podese determinar analiticamente usando os valores do de forçu cortantes o comprimento e a partir dos apoios extremos do trecho da viga em que a armadura será a mínima De acordo com o diagrama da Figura 619 por semelhança de triângu los temse 1533255S 15331533 c 60m 8 c e Número de estribos em cada região A quantidade de estribs em cada regiã colocados a partir da face áos Pilarcs que têm dimensão de 40 cm na direção da viga é aseguinte ad f 60020 regiões com ann ura m nuna n 2 5 232 adotamse 24 estribos simples Demais regiões n 20020 10 28 adotamse 11 estribos duplos 175 Com todos os valores já obtidos é feito o detalhamento dos estribos apresentado na Figura 619 6 u111amento carro da adura tranSYlfSal 311 COl1e 18 N1Be63 V1O1 2590 580 24N 1686id25 2x11N171163cl17S 15330 kN 2555 kN Figura 619 Dcrilhamcnro dos estribos da vig2 VlOl AD EN DO RESUMO DAS EXPRESSÕES RELACIONADAS NESTE CAPITULO 217 f 84 19 N17963 208 84 15 Expressões pana análise de tensões na flexão simples no estádio 1seções61a63 Tensão normal om uma seção a uma cota y do centro de gravidade M ay 1 61 Tensão tangencial em uma seção a uma cota y do centro de gravidade VM t 62 b I Momento estático de uma seção rctanguiu em um ponto distante kda fibra com pida M b khkl 2 63 Momento estático máximo de UR12 retangular b h3 64 M 8 j 1 J a1cu10 e deta1namento de estMUras usuais de concreto armado Tensão tangencial máxima em uma seção retangular em função d altura lSV t b5 bh Tensão tangencial máxima em uma seção rctangula em função do braço de alavanca V t 66 bz Tensão normal principal máxima compressão em uma seção ªa ªa r l J t 1 2 2 I 67 Tensão normal principal mínima tração em uma seÇão r a a a a J T t 68 l 2 Direção inclinação da tensão principal máxima a 1 2 t tg2a 69 CI CJ Expressões para a análise de cortante com a trdiça clássica de Mõrsch seções 64 e 66 Força resultante das tensões nas barras da armadura transversal cm uma biela tracio nada F sena V5 610 Força resultante das tensões em funão da área das n barras da armadura cm uma biela traiionada F A nf 611 Força resultante das tensões nas barras da armadura transversal em uma biela tracio nada no ELU F Ysi sena 612 CV 6 Clsalhamento dlculc da armadura transversal 313 Relação entre a úea da armadura transversal e força cortante no ELU VSd A nf 613 sena Número de barras que compõem a biela tracionada n zzccua zlcota 614 5 s Expressãotara cálculo de espaçamento da armadura transversal A z 1 cor a f VSd 615 s rd sena Expressão para cilculo de c5paçamento da armadura transversal A V 1 l s sena f zlcota 616 Taxa de armadura transversal com inclinação a A p IW 617 a b s sena Expressão para cálculo de espaçamento da armadura transversal a partir da taxa de armadura e braço de alavanca z A VSd 1 618 s b sena b z f11 sena sena 1 cota Taxa da armadura transversal cm função da força cortante atuante de cálculo Ysi 1 p 110 619 b d Íi scnasenacosa Taxa da armadura transversal cm função da tensão convencional de cisalhamcnto de cálculo 1 10 tsi 1 P r sena sena cosa 620 i Espcnto da úmadura transvasal cm função da altura útil d e da força corwttc de cilcu1o A d Íi sena cosa 621 s 110 Ysi 314 alculo e deulhamento de estruturas usuaiS de afta miado Taxa de armadura versai vertical estribas verticais A 622 P 90 b s Taxa da armadura transversal vertical estribos verticais cm função da tensão con vcncional de cisalhamcnto de cálculo 1 10 tSd 623 P 90 f rd Espaçarncnt da armadura transversal vertical estribos verticais em funÇão daaltu ra útil de da força cortante de cálculo A d fi 624 s 110 YSd Largura da biela comprimida AB z scnP cota cotji 625 Tensão na bida comprimida em função da força cortante de cálculo vSd 1 a 626 bw z sen 2PcotacotP Tensão na bida comprimida em função da tensão máxima de cisalhamento a t 627 senlp cota cotP Tensão na biela comprimida em função da tensão de clsalhamento convencional de cálcolo l 10 tSd a 628 senlp cota cotp Expressões para a vuificaçio do estado limite último scpo 6 72 Verificação das diagonais bielas comprimidas vSdviw 629 Verificação da ruína por tração diagonal com panc1as Àbsorvidas por mecanismos complementares e por annadura V5is V w Vc V 630 N o M111d11nu tdUN Ud d111wuurd uttnsversa1 l I Exprcsiões relativas ao modelo de cálculo 1seção6721 Verificação da diagonal comprimida cm termos de força cortante V s V O 27 a f b d 5d IWJ dai 631 Vcificação da diagonal comprimida cm termos de tensão tSd s tlWJ 027 1 f250 fal 632 Parcela da força cortante de cálculo absorvida por annadiin transversal 633 Parcela da força coitante de cálculo absorvida por armadura transversal no ELU 634 Parcela da força cortante de cálculo absorvida pelo concreto mecanismos comple mentares 635 Parcela da força cortante de cálculo resistida por armadura transversal v Ao d frwd sena cosa 636 Parcela da força cortante de cálculo resistida porarmadura transversal vertical V A O 9d f s ywd 637 Parccb da tensão de cisalhamcnto de cálculo absorvida por armdura transcrsal 638 Taxa de armadura transversal cm função da tensão de cisalhamcnto 1llt 1 P f sena sena cosa 639 Tan de armadura transversal vertical em fuiição da tênsão de ciSalhasncnto p lU ow90 f 640 Valor em N da força cortmte decálculo resistida por armadura transversal 641 1 o a1cu1u t UtldllldllltlllU Ut UUlUf UtUdl Ut CUflUttU armaao Idem em kN VR 644b dP a fsenasenacosa010fc 1 642 Idem em kN para estribos verticais VR 644b dp f 010f2 3 W IW90 ywd l ck 643 Expressões relativas ao modelo de cálculo II seção 6 7 22 Verificação da diagonal comprimida em termos de força cortante V Rdlu 054 a2 fcd b d sen2 0 cota cot0 644 Verificação da diagonal comprimida em termos de tensão tRJ211 054 a2 d sen2 0 cota cot0 645 Parcela da força cortante de cálculo resistida por armadura transversal Vow Asow 09dfywd cotacot0sena 646 Taxa de armadura transversal em função da tensão de cisalhamento l 11 t 1 p sena cota cot 0 647 owa f ywd Parcela da força cortante de cálculo resistida por armadura transversal V AW O 9 d f cot 0 s ywd 648 Taxa de armadura transversal verticil em função da tensão de cisalhamcnto 1llt 1 P 90 649 fpwd cot0 Valor em N da fotça cortante de cálculo resistida por armadura transversal V O 644 b d p f cota cot0 scn2 a t 1 11 tJ R w a d 650 Idem cm kN V 644 b d p f cota cot0 scré a 111 tJ R 651 Idem cm kN para estribos verticais V 644 b d p f cot0 111 tJ R w ow90 652 ÚJ 6 CJsalhamento calculo da armadura tranversal 31 7 Fxpressões de valores múümos para armadura transversal Taxa de armadura transVCrsal estribos múúma A f p p 653 ª b a IWDmíh fywr ssen w Valor em kN da força cortante resistida por armadura transversal mínima modelo 1 VRJmin 644 b d 00522 fc 3 sena sena cosa 0 1 f 3 J 654 Idem para estribos verticais V 644b dO 1522f2398b df 2 3 RJpm111 w ck ck 655 Valor em kN da força cortante resistida por armadura transversal mínima odeio li VRJ1 1 644b d00522ficotacot9scn 2 CJlllt J pm n w e e 656 Idem para estribos verticais V 644 b d O 0522 f2l cote 1 11 t Rllpnun w ck 1 e 657 i Given below are the biblical references related to the Annunciation ÚPTULO 7 PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS COM LAJES MACIÇAS 7 1 INTRODUçÃO Sob o ponto de sta estrutural lajes são placas de concreto e estas últimas são elementos estruturais de superfície plana elementos laminares simétricos em relação ao seu plano médio em que a dimensão perpendicular à superflcie usualmente cha mada espessura é relativamente pequena comparada às demais largura e coprimcn to e sujeitas principalmente a açõe normais a seu plano Qiando as ações estão contidas em seu plano os elementos de supcrficic são chamados de chapas se forein de concreto cujo vão seja três ºvezes menor que a maior dimensão da seção transversal são usualmente denominadas vigasparede Os elementos estruturais de superficie não plana são chamados de cascas Essas definições podem ser encontradas no item 1442 da ABNT NBR 61182014 O pavimento de uma edificação que é um elemento estrutural de superfície pode scr projetado com elementos prémoldados ou moldados no local O pavimento mol dado no local pode ser composto de uma única laje maciça ou nervurada sem vigas ou de um conjunto de lajes maciças ou ncrvuradas apoiadas em vigas Essas três pos sibilidades estão mostradas na Figura 71 Neste capítulo estudase apenas o segundo caso ou seja pavimento composto de lajes maciças de concreto armado placas de concreto apoiadas em vigas cm seu contorno Uma das características das lajes maciças é que elas distribuem diferentemente das prémoldadas como visto rio capítulo 2 suas reações em todas as vigas d contor no Com isso há um melhor aproveitamento das vigas do pavimento pois tc00as elas dependendo apenas dos vãos e condições de contorno podem ter cargas da mesma ordem de grandeza Outra vantagem em relação às prémoldadas está na facilidade em colocar antes da concretagem tubulações elétricas ou de outros tipos de instalações É oportuno destacar que as fõnnas representam uma grande parcela do custo final da estrutura e cm particular da laje entretanto o custo de pavimentos com lajes maci ças diminui consideraente quando o pavimento se repete pois pode ser utilizado o mesmo jogo de fônnas e escoramentos várias vezes A relação entre a altura espessura e o menor vão da laje de pavimentos de edi Scios costuma variar de 1140 a 1160 Considerase que a laje cuja relação se encaixa denmi desses limites tem uma altura considerada pequena para efeito de cilculo As placas de espessura maior que 13 do vão devem ser calculadas como placas espesslõ não apresentadas neste livro Qyando a relação entre o vão maior e o menor da laje é menor ou igual a dois costumase considerar para efeito de cálculo que essa laje trabalha em duas direções ou é armada em duas direções quando essa relação é maior que dois a laje é considerada trabalhando cm apenas uma direção a do menor vão e é armada apenas nessa direção sem levar em contàarmaduras construtivas ou núrumas exigidas A concretagem de lajes e vigas costuma ser realizada de uma única vez definindo um único elemeto lajeviga embora por questão de simplificação e para efeito de cálculo geralmente não se considere esta ligação monÔlitica admitindose a laje sim plesmente apoiada nas vigas de contorno no caso de lajes isoladas a Laja sem vigas b Laje maciça pojada em vigas 1 B li B 1 R Br 1 cLlrje IWMAda F1gun 71 Esquanu esuurunis de patot de concreto Cv 7 Pavimentos de edificlos com lajes maciças 3 21 7 2 Mttooos DE cALCULo M Há basicamente dois métodos de cálculo para as lajes maciças o elástico e 0 de ruptura O primeiro se bascià na análise do comportamento doclemcnto sob cargas de serviço e concreto íntegro não fissurado O segundo procedimeto se baseia nos mecanismos de ruptura das lajes Os dois procedimentos anteriores têm deficiências No método elástico subestimamse os deslocamentos pois não é considerada a fissuração do concrçto também não se pode dizer que os esforços na situação de rupru ra usados no cálculo da armadura são proporcionais aos obtidos em serviço O método de ruptura é desenvolvido com base no mecanismo de uptura da laje ou seja procura identificar de que forma a laje chega ao colapso e para esta situação sfo calculados os esforços pela chamada teoria das charneiras plásticas normalinentc é dificil neste caso determinar os deslocamentos não sendo possível assim precisar informações sobre o comportamento da estrutura e11 serviço As recomendações sobre o método estãonos itens 1465 e 1474 da ABNT NBR 61182014 Apesar das diferenças cm ambos são utilizados os conceitos de rupn1ra da seção transversal no cálculo e dctalhamcnto da armadura e os conceitos de método elástico na verificação do comportamento da estrutura em serviço Neste livro não será abordado o método de cálculo de lajes na ruptura ape nas recomendase a leitura entre outros dos trabalhos de Johansen Langendonck e Montoya et al15 7 3 MÉTODO ELÁSTICO O método elástico clássico ou linear denominação usada Ja norma brasileira pode ser também designado por teoria das placas delgadas ou ainda pela de Kirchhoff e pode ser encontrado detalhadamente em Timoshenko Woinowsky Martinclli ct aL e Bares16 Esse método se baseia nas equações de equilibrio de um elemento infinite simal de placa e nas relações de compatibilidade das dtformaçõcs do mesmo Como já explanado as lajes maciças são placãs delgadas de concreto e portanto a elas se aplicam todos os conceitos e teorias desenvolvidas para as placas delgadas Segundo a ABNT NBR 61182014 item 1473 os métodos baseados na teo ria da elasticidade podem ser utiizados nâs estruturas de placas com coeficiente de Poisson v relação entre as deformações transveisal e longitudi de um demento submetido a uma de foiça igual a 02 desde que atendidas ls condiÇões dos itens 1452 e 1453 que tratam da análise linear e dos itens i4731e14732 que se referem aos valores de rigidez e das condições de redistribuição de momentos e de uctilidade a respcicu JS Jobanscn 1962 1972 Langendonclr 1970 e Montoya ct ai 1991 36 Tunoshcnlco Woincnnky 1959 Maninclli ct aL 1986 e Bares 19n 6 AlllU1Uc11 1HLl1Luriuu1un1susu1soearmado lJasicamente a norma estabelece que o valor do módulo de elasticidade a ser usado é o secante E e que na amllise global i àeterminaçlo de esforços podem ser conside rada5 as características geométricas ela seçlo bruta de concreto dos elementos estrutu rais Em anilises locais para cálculo dos deslocamentos na eventualidade da fissuração esta deve ser considerada Também prescrevi que resultados de uma análisc linear são usualmente empregados para a verificação de estados limites de serviço e especi fica ainda que os esforços solicitantes decorrentes de uma análise linear podem servir de base para o dimensionamento dos elementos esttuturals no estado limite último mesmo que esse dimensionamento admita a plastificaçio dos materiais dcSdc que se garanta uma ductilidade mínima às peças 7 31 HIPÓTESES DE cALCULO Considerase que as placas são constituídas de material homogêneo elástico isó tropo lincar fisicamente e têm pequenos deslocamentos O concreto armado não é um material homogênco pois é onstituído de aço e concreto porém para fins práticos e simplificação de cálculo será admitidci assim A propriedade da elasticidade referese ao fato de que o elemento feito de mate rial elástico volta à Sua forma iniciai quando á retirada a carga que nele atua Material isótropo é aquele que tem as mesmas propriedades independentemente da direção observada ao contrário do material ortótropo que tem propriedades dife rentes cm duas direções ortogonais Dizse que um material é linear fisicamente quando a relação entre tensões e deformações se mantém linear não se levando em conta portanto a fissuração no caso do concreto A consideração de pequenos deslocamentos permite efetuar os cálculo usando o Principio da superposição de efeitos ou seja admitese a linearidad geométrica que é verificada na pritica na maioria dos casos Qyando há linearidade geométrica os esforços e consequentemente as tensões não são afetados pelo estado de deformação da estrutura Admitese também a manutenção da seção plana após a deformação e a rcprcsen tação dos elementos por seu plano médio Para facllitar o emprego das condições de contorno na resolução do problema de determinação de esforços fàzcmse na maioria das YeZCS outras considerações tais como a A ação das plac nas vigas de contorno se faz somente por meio de forças verticais não havendo transmissão de momentos de torçlo u vigas b AI açõe das placas nas vigas são uniformemente dstribwdas e não lú transmissão de cuga diretamente para os pilares a carga nu placas tnnsfcrida para as vigas e daí para os pilares c As vigas de ontomo são indeslciveis na direção vertical CAP 7 vlmentos de ecllflclos com lajei maciças 323 d A rotação das plaas no contorno é livre apoio simples ou totalmente impedida engutada Na bibliografia citada há algumas soluções cm que a rigidez vertical da viga é considerada assim como há procs que possibilitam utilizar uma rigidez à rotação intermediária entre a livre e a cngastada Essas soluções são dificcis de se empregar na prática e acabam servindo mais como parâmetro de controle para outros processos 7 32 EQUAÇÃOFUNDAMENTAL A equação diferencial fundamental das placas delgadas obtida por cquilíbrió e compatibilidade de deslocamentos de um elemento infinitesimal relacionando mo mentos Bctorcs com curvatura submetidas a uma carga p xy é éJ4w aw aw p 2 õx ax 2 ay2 ày D cm que w deslocamento vertical x y coordenadas de um ponto genérico da placa p intensidade da carga atuante D E h 3 l a rigidez à flexão da placa 12 1 V E módulo de cfonnação longitudinal do concreto v coeficiente de Poisson 71 Resolvendo a equação fundamental 71 obtémse a expressão para a superfície elástica w w x y e com suas derivadas os momentos m e m nas direções x e v 1 rcspccticntc m éfw a2w V 0 õxl Oyl 72 m a2w a2w v D ay2 ax2 73 É interessante analisar a rigidez à Bcxio D ela placa A cquaçio fundamental foi obtida para momentos atuando por unidade dccomprimcnto ou seja se atuar um mo mento total M adorase coino M o momento que deve ser resistido com armadura na direção x na placa de largura t o momento m cm uma largwa unitiria é conforme a Figura 72 ICI dlllldUU M m l 1 Figun 72 Momento m por unidade de comprimento atuante na placa 74 A rigidez à flexão da placa transforma numérica e dimenionalrnente curvaturas em momentos do mesmo modo que nas vigas Para efeito de comparação considere uma viga de altura h e largura b unitária Figura 73 CI 1 1i l b rj Figura 7 3 Seção transversal de uma viga de alrun h e largun unitiria Para essa viga o produto de rigidez E 1 é dado por lh3 Eh3 ElE 12 12 75 que equivale à rigidez D da placa com largura unitária e mesma altura da viga a me nos do fator 1 v1 esse fator faz com que D seja maior que o produto E l D E l donde se conclui que a placa é mais rígida doº que a viga para uma mesma largura e altura Como o coeficiente de Poisson tem usualmente valores entre 01 e 04 depen dendo do material verificase que a diferença entre a rigidez da plãca e da viga não é tão significativa conforme indicado no Quadro 71 rdvtmltos ae ea111eios com lajes maciças 325 OJadro 71 Valora da rigidez de wna viga e laje de mesma altuca V 00 01 02 OJ º 1 v 100 099 096 091 084 Viga E 1 0083 h E 1 0083hEI OOS3 h E 1 OOBJhEl 0083 h E 1 Laje D 0083hEI 0084hEI 0087 h E 1 0092 h E l 0099 h 1 E 1 7 3 PROCESSOS DE RESOLUÇÃO A dctcnninação dos esforços e dos deslocamentos de placas pode ser feita consi derandose as Cargas cm serviço a partir da equaÇão fundamental ou simplesmente montando outro tipo de modelo visto que essa equação tem solução analítica rara poucos casos Dessa forma há os seguintes processos de resolução sendo que aqui seri empregado o último deles para o çálculo das lajes a Diferenças finitas b Elementos finitos c Grelhaequivalente d Utilização de séries para a representação do valor de p xy 7 34 CALCULO POR DIFERENÇAS FINITAS O cálculo por diferenças finitas consiste na integração numérica da equação dife rencial que é substituída r outra de diferenças finitas No cálculo a placa é dividida em uma malha que se adapte ao seu contorno e substituemse as derivadas por expressões aproximadas determinadas cmprcgandos conveniente polinómios de intcrplação As derivadas do polfoômio são consideradas como aproximadamente iguais its cb função incógnita cujas derivadas parciais se pretende substituir pelas diferenças finitas como por exemplo Essas expressões são aplicadas para diversos pontos permitindo que a solução do problema seja feita geralmente por meio d resolução de um sistema de equações lineares 17 7 35 PRoasSO DOS ELEMENTOS FINnOS No processo de elementos finitos subdividese a placa cm elementos de dimensão finita conectulos por pontos nodais impondose nestes pontos a compatibilidade de cs foos e de dcsloamentos É utilizada para tanto a equação fundamental exprimindose 37 Manindli et al 1986 os deslocamentos w Com polinõnüos cujoa coe6cientes devem ser detcrminados Essas condições aplicadas aos diversos pontos nodais dos cntos conduzem a um sistema de equações lineares cuja solução não apresenta grandes dificuldades 736 PlOCESSO DE GRELJtA EQUIVALENTE O processo de grelha cqwvalentc ou analogia de 8rdJia foi utilizado inicialmente por MarcusD para calcular csforç95 cm placas com bordas indcslodvcis vcrticntc O procedimento consiste cm substituir a placa laje por uma malha cqwvalcntc de vigas grelha cqwvalente No caso de pavimentos de edifkios compostos de lajes e vigas podese usar o csmo procedimento A Figura 74a apresenta a planta de um pavimento cm que se identificam duas lajes cinco vigas e seis pilares Na Figura 74b são indicados os eixos dos elementos da grclh equivalente que represcta a cstrutun mostrada na Figura 74a Os pilares são onsidcrados nessa siruação indcfÓrmAvcis ria direção vertical As cargas distributd se dividem entre os ciemcntos da grelha cqwvalcnte de lllordo com a Arca de influência de cada elemento Podem ser consideradas uniforme mente distribuídas ao longo dos elementos óu dentro de certa aproximação concentra das nos nós As cargas concentradas atuantes na estrutura devem ser aplicadas nos nós da malha quando a posição delas não coinàdir com um nó devese adequar J malha ou adotar valores eqwvalentes da carga nos nós mais próximos A rigidez deslocamento para um esforço unitário de certo demento à torção e a rigidez à flexão são tratadas como concentradas nos elementos correspondentes da grelha equivalente Cada uma deve ter valor tat que ao se carregar a estrutura real e a da grelha cqwvalentc se obtenha o mesmo estado de deformação e os mesqios esforços nas duas estruturas Isso pcorrc apenas aproximadamente cm virtude da diferença de características das duas estruturas Entretanto utilizando malhas com espaçamentos adequados e definindo as rigidezes de maneira apropriada conseguese obter valores razoiivcis para os deslocamentos e esforços do pavimento 38 Tlmoehcnko Woinowsky 1959 CM 7 Pavimentos de edlflclos com lajes ciças 327 a b Figura 74 a Planta de fõrmas de um pavimento com lajes e vigas b Grelha equiwlente represen tando o pavimento A utilização de programas de compÚtador para a resolução de grelhas equiv lentes foi feita inicialmente por Lightfoot Sawko39 Usando a analogia de grelha e um programa de computador é possívd resolver pavimentos de edifícios com grandes dimensões em planta contornos não regulares vazios internos poços de elevadores e lajes com e sem vigas No Anexo 3 apreentase o método com mais detalhes e os resultados de alguns exemplos resolvidos 737 DETERMINAÇÃO DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS POR MEIO DE stRIES Será utilizado aqui o tradicional processo de resolução de placas elásticas por meio de séries para o cálculo das Jjes maciças de concreto armado Serão apresentadas rcsu miente sem o desenvolvimento teórico as soluções de placas retangulares isobdas e submetidas à carga uniformemente distribuída 7l71 Fundamentos do processo No cálculo por séries substituise o valr de p xy por uma série normalmente composta de funções trigonométricas obtendose uma solução para a integração da equação fundamental 39 Ligháoot Sawko 1959 328 Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado Uma solução desenvolvida por Navicr40 é representar a ºcarga p xy por uma série de Fourcr dupla suJcrpoição de qmgamcntos com a forma bisscnoidal do tipo mTtx nny p pxy LLPmn scnsen n a b 76 cm que a e b dimensões da placa me n número de retângulos em que se divide a placa cada um com lados am e bn Pmn valor máximo do carregamento no centro de cada retângulo A linha elástica w xy forma da supcrficic da placa após sua dcfração afim ao carregamento tem a mesma forma do carregamento ou seja é uma função do mesmo tipo é dada por uma série dupla e obtida a partir das derivadas da equação fundamental e das condições de contorno para a placa apoiada ao longo das bordas deslocamentos verticais impedidos e com rotação livre resultando w p n 2 2 senmxsenny n D ª2 bl 77 Os valores de P são dados por 4 b mTtX nTty Pmn J J pxysensendxdy ab 00 a b 78 Com m e n ímpares 1 3 5 pois valores pares de m e n levam a Pmn O e com pxy p carga uniformemente distribuída p0 tornase 16p Pmn 2 7t mn 79 Supcrpondo os efeitos e colocando p da equação 79 na expressão da linha elás tica temse finalmente a função w xy para carga uniforriie 1 m TtX nTtx sen seo 16 p a b w 7t 6 D m2 n2 mn a2 bl 40 Tunoshcnko Woinowsky 1959 710 Os momentos m em por faixa de comprimento unitírio nas direções x e y dire ções de colocação da armadura são obtidos a partir das derivadas da superfície elástica w xy conforme as equações 7 2 e 7 3 resultando finalmente nas expressões m2 n2 m 16p 7v17 sen mnx sen 1 n 4 L L 2 2 2 a b m n m n mn ª2 b2 711 712 As expressões de m e m1 dependem cxclusivamcnte de a b p e de quanros valores de m e n serão considerados ou seja qual a precisão que se pretende atingir Substituindose os valoes de x e y por a7 e b2 nas equações 711e712 podem 1 ser determinados os momentos no centro de uma placa retangular Conforme demons tram Maninelli et al41 para uma placa quadrada de lado a calculandose os momentos para os quatro primeiros termos da série m l n 13 m 3 n 13 obtémse m 0046925 p a2 e cm 49 termos obtémsem 0047913 p a2 pé o carrega mento uniforme distribuído na placa o que demonstra uma boa aproximação já com quatro termos As equações 711 e 712 valem para um determinado valor de v que nem sempre corresponde ao indicado pelas normas Conhecidos os momentos m e m e Q desloca y mento máximo w para um valor de v1 é possível conhecêlos para um novo cJcficicntc v 2 com as seguintes expressões 1 m 1v V Hm v v m J 1 v 1v l 1 vi 1 l r vi m 11v v Hm v v m J r v 1v 2 1 y vi 2 vi 41 Martinclli et al 1986 1v2 wv wvt 1 VI 713 714 715 7 371 Utilização de quadros O processo de cálculo de placas por séries é bastante adequado para a confecção de quadros que facilmente possibilitam detcmünar momentos fletorcs máximos e des locamentos máximos flechas a partír da geometria e das condições de vinculação da placa Para isso o pavimento deve ser discretizado ou seja cada bje dcc ser tratada individualmente de acordo com sua vinculação às demais só são possíveis bordas contorno simplesmente apoiadas ou engastadas De maneira geral considerase que aslajes menores e menosrígidas são engastadas nas maiores e mais rígidas Os quadros apresentados na sequência são ba5eados nas soluções erit séries de senvolvidas por Bares42 e dcviamente adaptados para o coeficiente de Poisson V igual a 020 As diversas condições de vinculação fOSÍvcis estão esquematizadas na Figura 75 O contorno representado por linha simples indica borda simplesmente apoiada e o contorn representado por uma hachuraindicaboida engastada No Anexo 3 são comparados resultados obtidos com os quadros e com o método de analogia de grelhas para algumas situações de lajes e pavimento y t 8 X I l Figura 7S Situações de vinculação das placas isoladas constaata nos quadros 2 Bata 1972 C 7 Pavimentos de ediflclos m lajes maciças 331 7 J 7 21 0mRMJNAAo DE RECHAS A flecha deslocamento transversal máximo de uma barra reta ou placa para lajes com carregamento uniforme e com ai condições de contorno de acordo com a Figura 75 é calculada pela equação 716 e pelos C9Cficientes do Oiadro 72 A flecha encontra da é a elástica ou seja não estão sendo considerados os efeitos de fissuração e fluência em que p caaegamento uniformemente distribuído sob a placa a coeficiente tirado do Oiaclró 72 l menor vão da laje E módulo de defoabilidade doconcreto h altura ou espessura da placa 716 Pàra encontrar o coeficiente correto neste e nos demais quadros é preciso calcular o parâmetro que reflete a geometria da laje dado por 717 sendo f a menor das dimensões da superfície da placa e t a maior Para verificação do estado limite de deformação excessiva na AB NT NB R 61184014 item 14641 prmitese utilizar momento de inércia d seção bruta de concreto com módulo de elasticidade secante do concreto Os efeitos de fissuração e deformação lenta devem ser obrigatoriamente considerados de acordo com o item 17321 da norma veja as seçes 47 e 48 do capítulo 4 A introdução do efeito fissuração do concreto no cálculo da flecha a partir da equação 716 não é trivial o melhor é empregar o método da grelha equivalente não linear como apresentado por Carvalho43 Uma forma simplificada de considerar a fis suração é conforme indicado por Moura Marcelino 44 corrigir a flecha obtida pela equação 716 mulplicandoa pela relação entre a inércia no estádio 1 e a inércia equi valente obtida de acordo com a ABNT R 61182014 como visto no capítulo 4 O momento ltuante a ser comparad com o momento de fissuração para verifi cação d estádio em que a seção se enntra e para r utiii73do no cálculo da inércia equivalente segundo o tcxto da norma é o máximo momento positivo no caso de 43 Carvalho 1994 44 Moura Marcelino 2003 332 Cálculo e detalhamnto de estruturfs usuais de concreto armado peças biapiadas e contínuas porém com base nos resultados obtidos por Carvalho5 e mesmo conforme as recomendações de Branson46 o melhor é usar o máximo momento negativo caso exista Quadro 72 Coeficientes a pan cálculo de 8echas elásticas cm lajes retangulares submetidas a car regamento uniformemente distribuído À Caso 1 100 467 105 517 110 564 115 609 120 652 125 695 130 736 135 776 140 814 145 851 150 887 155 922 160 954 165 986 170 1015 175 1043 180 1071 185 1096 i90 1121 195 1144 200 1168 1535 45 Carvalho 1994 46 Branson 1968 Caso 2 Caso3 320 320 361 342 404 363 º447 382 491 402 534 418 577 435 621 450 662 465 702 478 741 492 781 500 817 509 852 513 887 517 919 526 952 536 982 543 1011 550 1039 558 1068 566 1535 63 Caso4 242 267 291 312 J34 355 373 392 408 423 438 453 465 477 488 497 507 51 523 531 539 638 Caso5 Caso6 Caso7 Caso8 Caso9 221 221 181 181 146 255 231 204 192 160 292 241 227 204 174 329 248 249 214 187 367 256 272 224 198 407 263 295 233 210 448 269 316 242 220 492 272 336 248 230 531 275 356 256 237 573 280 373 262 245 614 284 391 268 251 654 286 407 253 257 693 287 422 287 263 733 287 437 278 268 770 288 451 279 272 806 288 463 281 276 843 289 475 283 280 877 289 487 285 283 908 290 498 287 285 941 290 508 289 288 972 z91 519 291 291 1535 307 638 307 307 CAP 7 Palmentos edlficlos com lajes maciças 333 7 J722 DOS MOMOOllS MAXIM05 NAS DIREÇÕES X E Y Os momentos Betorcs máximos sendo os positvos designados pela letra m e 05 negativos pela letra x são detenninados pelas expressões 718 a 721 em que l 1 menor lado da placa µ11 µµeµ coeficientes fornecidos nos quadros 73 74 e 75 a momentos máximos positivos por unidade de comprimento nas direções x e y ei m µ p 100 718 719 b momentos máximos negativos or unidade de comprimcnto nas direções x e y p e 1 720 Xµ 100 i P ei 721 xr µ 100 Jd Quadro 73 Coeficientes µ µ µµpara o cálculo dos momentos máximos cm lajes rctanb1larcs uniformemente carregadas casos 1 2 e 3 Caso 1 Caso2 Caso3 À µ µ µ µ µ 1 µ l 100 441 441 307 394 52 394 852 l J07 105 480 445 342 378 879 419 891 284 110 518 449 377 90 918 443 930 276 115 556 449 414 397 953 464 963 268 120 590 448 451 405 988 485 95 259 125 627 445 488 410 1016 503 1022 251 130 660 442 525 415 1041 520 1048 242 135 693 437 560 418 1064 536 1071 234 140 725 433 595 421 1086 551 1092 225 145 755 430 627 419 1105 564 1110 219 IP uucu1u e ueiamamemo ae esuuturas usuars ae concreta armado Qpadro 73 ContinWJç4o Cuol Cuo2 C03 µ µ µ µ µ µ µ µ 150 786 425 º660 418 1123 577 1127 212 155 812 420 690 417 1139 587 1142 204 160 834 314 721 414 1155 598 1155 195 165 862 407 742 412 1167 607 1167 187 170 886 400 762 409 1179 616 1180 179 175 906 396 766 405 1188 624 1192 174 180 927 391 769 399 1196 631 1204 168 115 945 383 822 397 1203 638 1214 164 190 963 375 874 394 1214 643 1224 l9 195 977 371 897 388 U17 647 1229 154 200 1000 364 918 380 1220 651 U34 148 00 1257 377 918 380 1220 761 1276 148 Quadro 7 4 Coeficientes µ µ µ µpara a cálculo dos momentos máximos em lajes rctangubrcs uniformemente carregadas casos 4 S e 6 C11Sa4 Casos Casa6 À 1 µ µ µ µ µ µ µ µ µ 100 281 699 281 699 215 317 699 317 699 215 105 305 743 281 718 247 332 743 329 720 207 110 330 787 281 736 278 347 787 342 741 199 115 353 828 280 750 308 358 826 352 756 189 120 376 869 279 763 338 370 865 363 770 180 125 396 903 274 772 379 380 903 371 782 174 130 416 937 269 781 415 390 933 379 793 167 1 135 433 965 265 788 450 396 969 384 802 159 140 451 993 260 794 485 403 1000 390 811 152 145 466 1041 25 800 519 409 1025 394 813 145 150 481 1062 º247 806 553 414 1049 399 815 138 1 1 rdv1111tds ae eaonaós corri lajes maciças 335 Qaadro 7 4 Cmrtin11J1ç40 Cuo4 CuoS Cuo6 À JI µ JI µ JI JI µ JI µ JI 1SS 493 1082 239 809 586 416 1070 403 820 134 160 506 1099 231 812 618 417 1091 406 825 128 165 516 1116 224 814 648 414 1108 409 828 123 170 527 1130 216 815 681 412 1124 412 830 l18 175 536 1143 211 816 711 412 1139 414 831 115 180 545 1155 204 817 741 410 1143 415 832 111 185 553 1157 199 817 768 408 1165 416 833 108 190 560 1167 193 B18 795 404 1177 417 833 104 195 567 1178 191 819 821 399 1183 417 833 101 200 574 1189 188 820 847 392 1188 418 833 097 DO 706 1250 195 820 1258 413 1188 418 833 097 Quadro 75 Coeficientes µ11 µµµpara o cálculo dos momentos máximos cm lajes retangulares uniformemente carregadas casos 7 8 e 9 Caso7 Caso Caso9 JI JI JI µ JI 11 µ µ JI µ JI µ 100 213 546 260 617 260 617 213 S46 211 515 211 515 105 238 598 266 646 278 647 209 556 231 550 210 529 110 263 650 271 675 295 676 204 565 250 585 209 543 115 287 711 275 697 309 699 198 570 273 614 206 551 120 311 772 278 719 323 722 192 575 294 643 202 559 125 343 881 279 736 334 740 185 575 304 667 197 564 130 356 859 2n 751 346 757 178 576 313 690 191 568 13S 376 874 274 763 355 110 172 575 325 709 186 569 140 396 888 271 774 364 782 164 574 338 728 181 70 145 415 916 267 783 371 791 159 573 348 743 173 571 150 432 944 263 791 378 800 153 572 358 757 166 572 155 448 968 260 798 384 807 147 569 366 768 160 572 Qiadro 75 Continuação Caso7 Caso8 Caso9 À µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 160 463 991 255 802 389 814 142 566 373 779 154 572 165 478 1013 250 803 394 820 137 562 380 788 147 572 170 492 1034 245 810 398 825 132 558 386 797 140 572 175 504 1053 239 813 401 830 i27 556 391 805 136 572 180 517 1071 232 817 404 834 120 554 395 812 132 572 185 526 1088 227 816 407 838 117 555 398 818 126 572 190 536 1104 222 814 410 842 114 556 401 824 121 572 195 545 1120 214 813 411 845 111 560 404 829 119 572 200 555 li35 207 812 413 847 108 564 407 833 116 572 707 1250 205 812 418 833 109 564 419 833 117 572 7 4 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO Na seção anterior foi mostrado como são obtidos os esforços e os deslocamentos de lajes isoladas pelo método elástico por meio da teoria das plac delgadas e foi dito também que o cálculo de um pavimento constituído por várias lajes classicamente é feito admitindo cada uma trabalhando isoladamente Este procedimento é o que serí adotado ressaltandoe porém que com processos como o de grelha equivalente ou dos elementos finitos os pavimentos podem ser analisados como um todo Para o cálculo de lajes isoladas é recomendado seguir o seguinte roteiro determi nação das condições mais adequadas de vinculação das lajes discreti2ação do pavimen to prédimensionamento das alturas das lajes cálculo das cargas atuantes verificação das flechas cálculo dos momentos determinação das armaduras longitudinais cálculo das reações das lajes nas vigas de apoio verificação do efeito das forças cortantes cisa lhamento e detalhamento das armaduras 7 41 DISCRETIZAÇÃO DO PAVIMENTO O critério utilizado para disaetizar um pamento separalo cm seus elementos componentes é considerar cada região contida entre quatro vigas como sendo uma laje em alguns casos particulares três vigas definem iima laje A borda de Uma laje será considerada engastada caso haja uma laje vizinha com rigidez suficiente dependendo de seu vão ou espessura para impedir a rotação nessa borda comum Quando isto não ocorre ou simplesmente a laj estudo tem bordas que não fazem vizinhança com 1 CUUUCIUV uc CUlllIU Ulll ldJ5 maciças l7 outra laje a borda é considerada con rbtação livre sem nenhum apoio ou simples mente apoiada Para esdarcccr veja os exemplos da Figura 76 No caso do pavimento da Figura 76a para todas as lajes admitese 9ue seus contornos sejam cngastados ou simples mente apoiados para as bordas comuns de LlL2 L1 L3 e L2L3 supõese que não haja rotação enquanto pata as demais bordas o giro é totalmente livre no corte AA que apresenta uma seção da laje deformada esses faros são facilmente percebidos Esse procedimento indicado por Timoshcnko Woinowsky7 deve ser empregado com bom senso pois lajes com pequenos vos ou espessuras podem não ter rigidez suficiente para impedir a rotação da vizinha Por exemplo no pavimento da Figura 76b a laje L4 poderá ser considerada engastada na L5 mas esta deverá ser admitida simplesmente apoiada e não cngastada na L4 isso pode ser observado pela seção deformada dada pclq corte BB L1 A b A A Bt L3 L4 lS L2 ai b Corte AA u TI u u41 n Corte 8B Figwll 7 6 Lajes tnbalhando em conjunto e rotação nos apoios Em situações cm que não sej evidente o modo como uma borda de uma laje se vincula na vizinha recomendase analisar as duas possibilidades simplesmente apoiada e engastada e dlrnensionãla com os malorcs esforços obtidos em cada situação mo mentos negativos para caso da borda considcradaengastada e momentos positivos para a borda dmitida como simplesmente apoiada As situações de lajes justapostas com espessuras diferentes tambénl devem ser analisadas com cuidado e se for o caso vctificar as duas possibilidades simplesmente apoiadas e engastadas 47 Tunoshcnko Woinowky 1959 7 42 PRDIMENSIONAMENTO DA ALTURA DAS LAJES A aln1ra final de uma laje é função da dcfonnação limite ou do momento no estado limite último e antes do cUculo dos esforços é occcsrirlo estimar a altura para a determinação da cârgâs e efetuar corrcçõe5 posteriores se necessário Da mesma forma que para as vigas na ABNT NBR 61182014 não existe recomendação sobre a altura inicial a ser adotada e decidiuse também aqui manter apenas como indicação a recomendação da ABNT NBR 6118190 item 4231C que para vigas de seção retangular ou T e lajes maciças retangulares de cdificios as condições de dçfónnações limites estariam atendidas quando o valor da altura útil respeitar a scgointc condição cm que dt 12º13 722 1j12 coeficiente dependente das condições de vinculação e dimensões da laje Qyadro 76 V coeficiente que depende do tipo de aço Quadro 77 em que foi mantido o CA32 e o CA40 t menor dos dois vãos das lajes Com isso o valor da altura h da laje poderá ser detenninado Figura 77 soman doseao valor de d o cobrimento c a ser considerado mUs uma vez e meia o diâmetro 4 da armadura empregada h d c 4 42 No caso da armadura negativa podese cm princípio pelo menos na região central do apoio usar um valor de d maior fºººººJtl Figura 7 7 Alrura total e altura útil da laje Como o valor dado pela expressão 7 22 é apenas indicativo serve apenas como prédimensionamento sempre será neccsslrio proceder verificações do estadoli mite de deformação excessiva da mesma maneira que para as vigas de acordo com os itens 1931 e 1732 da ABNT NBR 61182014 Os proecdimentos para avaliaçãô de 1 deslocamentos estão apresentados aqui na seção 48 o dlpítulo 4 A ABNT NBR 61182014 itcm i3241 estipula Wo limites mínimos para a e de lajes maciças que devem ser respeitados a 7 cm para cobertura não cm balanço b 8 cm para lajes de piso não e121 balanço e 10 cm para lajes cm balanço d 10 cm para lajes ºque suportcm veículos de peso total menor ou igual a 30 kN e 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN f 15 cm para lajes com protcnsão apoiadas em vigas como mínimo de f42 para lajes de piso biapoiadas e l50 para lajes de piso contínuas g 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajescogumelo fora do capitel No dimensionamento das lajes em balanço as açõs devem ser multiplicadas con sideradas por um coeficiente de ajustamento adicional r dados no Quadro 17 da seção 1841 do capítulo 1 Quadro 76 Valores de ljJ utilizados no prédimensionamento da altu111 das lajes À Caso 1 Cuo2 Casol Caso4 Casos Caso6 Caso7 Casos Caso9 100 150 170 170 180 190 190 200 200 220 105 148 167 16 178 187 189 197 199 218 110 146 164 l67 l76 183 188 194 197 215 115 144 161 166 174 180 187 191 196 213 120 142 158 164 172 176 186 188 194 210 125 140 155 163 170 173 185 185 193 208 130 138 152 161 168 169 184 18 191 205 135 136 149 ÜO 166 166 183 179 190 203 140 134 146 158 164 162 182 176 188 200 145 132 143 157 162 159 181 173 187 198 150 130 140 155 160 155 180 170 l85 195 155 128 137 154 158 152 179 167 184 193 160 126 134 152 156 148 178 164 182 190 165 124 131 151 154 14 1n 161 181 188 170 122 128 149 152 141 176 158 179 185 175 120 125 148 150 138 175 155 178 183 180 118 122 146 148 134 174 152 176 180 185 116 119 145 146 131 173 149 175 178 190 114 116 143 144 127 172 146 173 175 195 112 113 142 142 124 171 143 1n 173 200 110 110 140 140 ºl20 170 l40 170 170 Quadro 7 7 Valores de lj1 utilizados no prédimensionamento da altura das lajes Jço Vigas e lajes nervuradas Lajes maciças CA25 25 35 CA32 22 33 CA40 20 30 CASO 17 25 CA60 15 20 7 43 CALCULO DAS CARG 0 AS ATUANTES As cargas atuantes em uma laje maciça carga por metro quadrado de laje são caculadas da maneira usual e devem ser consideradas geralmente as seguintes Peso próprio estrutural multiplicase a altura da laje pelo peso especifico do concreto armado Carga acidental devem ser empregados os valores contidos na norma de ações ABNT NBR 6120 1980 de acordo com afinalidade do edificio e do cômodo Revestimento inferior se foro caso deve ser considerado o revestimento feito na face inferior da laje Peso de contrapiso com o intuito de se obter uma superficie nivelada do pa vimento cosruinase fazer tlgum tempo após a retirad do escoramento um enchimento com massa de reguluização que deve assim ser considerado como carga atuante Piso ou revestimento devese considerar o peso do piso lembrando que alguns pisos como pedras de granito possuem um peso bastante elevado Todas as lajes de um piso para efeito de cálculo normalmente são consideradas totalmente carregadas ando a carga acidental for superior à metade da carga total devemse considerar as lajes carregadas alternadamente com a carga acidental como pode ser visto em Timoshenko Woinowsky e Rocha 48 7 44 VERIFICAO DAS FLECHAS A verificação do estado limite de deformação excessiva deve ser feita para as com binações de ações de serviço conforme visto na seção 1852 do capítulo 1 de acordo com o item 11831 da ABNT NBR 61182014 As fieqas determinadas como indi cado na sção 7372l dest capítulo devem obedeceraos valores limtes de desloca mentos dados no item 133 da norma vistos aqui ria seÇão 481 do capío 4 48 Id ibide Rocha 1972 CAP 7 Pavimentos de edifícios com lajes maciças 341 Os deslocamcritos não poderão atingir valores que possam resultar cm danos a elementos da construção apoiados na estrutura ou situados sob elementos da mes ma prcvcnclose nestes casos quando necessário dispositivos adequados para eitar as consequências indeséjávcis Na verdade o ideal é considerar a soma dos deslocamentos das lajes com os das vigas que as sustentam para assim verificar a deformação final da estrutura Aqui 0 deslocamento das vigas no exemplo será considerado de maneira âproximada 7 45 CALCULO DOS MOMENTOS Os momentos positivos e negativos das lajes nas direções x e y são calculados com as equações 719 a 721 co Oiadro 73 É importante destacar novamente que os momentos são determinados para uma faixa unitária de laje e para lajes isoladas Também é interessante observar que os coeficientes indicados nos quadros levam a valores extremos dos momentos não expressando portanto a variação de esforços ao longo da placa No caso de momentos negativos cm face comum às duas lajes é usual considerar o maior valor entre a média e 80 do maior entretanto a favor da segurança recomenda se tomar para cálculo das armaduras negativas o maior dos dois momentos nessa face 7 46 DETERMINAÇÃO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS O cálculo da armadura das lajês nas direções x e y é feito como no caso de vigas observandose que para a largura da seção é tomada uma faixa unitária usualmente wna faixa de um metro e portanto a armadura encontrada deve ser distribuida ao longo dessa largura Recomendase ainda que seja tomada como aitura iítil da laje a listãncia entre a borda comprimida superior e o centro das barras da camada superior da armadura positiva ver Figura 7 7 pois isso acarreta um valor menor para a mesma tltura útil menor resulta área de aço maior e a camada junto à face inferior da laje que tem al tura útil real maior estará com uma área pouco maior que a necessária isso garante o posicionamento correto das barras pois na obra não é possívd garantir se a annadura de cada direção será colocada na camada correta respeitando o cálculo 7 4 7 REAÇÃO DAS LAJES NAS VIGAS A reação das lajes nas vigas de apoio pode ser obtida utilizandose a expressão fundamental e o processo de érics Entretanto não existem referências bibliográficas cm que se encontre wn modo prático de calcular essas reações de forma correta con forme pode ser verificado cm Mazilli 49 49 Mazilll 1988 342 Cálculo e cleQlhamento ele estrutu111s usuais de çÔnaeto armado A aço das lajes nas vigas no estado elástico ocorre por meio de um carregamento com intensidade variável ao longo do seu comprimento depende principahncntc das condições de apoio e da relação entre os vios e não uniforme o que não é simples de determinar além de dificultar o cálculo dos csforçps nas vigas Enrretanto de modo simplificado podese considerar que a ação das lajes maciças nas vigas se faça de maneira uniforme A ABNT NBR61182014 item 14761 traz o seguinte a respeito a As reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada com os critérios de 1474 análise plástica scndoque essas reações podem ser de maneira aproximada consideradas uniformement distribuídas sobre os elemen tos estrururais que lhes servem de apoio b Quando a análise plástica não for efetuada as charneirls podem ser aproximadas por retas inclinadas a pirtir dos vértices com os seguintes ângulos 45º entre dois apoios do mesmo tipo 60º a partir do apoio considerado engastado se o outro for considerado sim plesmente apoiada 90 a partir do apoio quando a borda vizinha for livre Como consequência a laje ficará dividida em regiões e cada uma dessas regiões carregará a viga correspondente com carregamento admitido uniforme de acordo com sua área de influência A Figura 78 mostra dois casos de lajes com as respcctivas áreas de contribuição para as vigas Figura 78 Regiões da laje para o dlculo das reações nas vigas Como exemplo considere o cálculo das nas qUatro vigas de apoio de uma laje quadrada Figura 7 9 simplesmente apoiada e sujei a uma carga uniformemente distribulda p y V2 V3 t V1 Figura 79 Laje quadrada apoiada nas vigas Vl V2 VJ eV4 No caso a laje ficou dividida em quatro partes iguais de área n área de influên cia e todas as vigas receberão o mesmo carregamento considere a viga V2 l l 2 Area de influência n r 4 4 l2 Carga total na viga V2 PVl n p Pi j 4 P e Carga distribuída nas vis Pvi T 4 f pIJ O 25 l Piai 1 Assim em um caso geral Pvi k l p O faor k pode ser tabelado para os diversos casos de apoio das lajes e À da equaçã 717 e são dados nos quadros 78 79 e 710 Com os valores de k as reações nas vigas Para certo carregamento p e sempn com t sendo o menor vão são determinadas de acordo com as equações 723 a 7 26 conforme a Figura 710 indicaDdo as reações nas vigas Vl V2 VJ e V4 para uma laje com duas bordas apoiadas e dua5 engastadas Reações nas direções x e y rw vigas cm bordas simplesmente apoiadas q por exemplo referese a uma viga perpendicular ao eixo x l qkpl 723 724 Reações nas direções x e y nas vigas em bordas engastadas t q k p 1 725 726 y V1 q V3q Figura 710 Reações nas vigas de uma laje quadrada Quadro 7 8 Coeficientes k k k kpara o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes retangulares uniformemente carregadas casos 1 2 e 3 Caso 1 Caso2 Caso3 k k k k k k k k 100 250 250 183 232 402 232 402 183 105 262 250 192 237 410 238 413 183 110 273 250 201 241 417 244 423 183 115 283 250 210 244 422 250 432 183 120 292 250 220 246 427 254 441 183 125 300 250 229 248 430 259 448 183 130 308 250 238 249 432 263 455 183 135 315 250 247 250 433 267 462 183 140 321 250 256 250 433 270 468 183 145 328 250 264 250 433 274 474 183 1SO 333 250 272 250 433 2n 479 183 155 339 250 280 250 433 280 484 183 CAP 7 Pavimentos de edificios com lajes maciças 345 Quadro 78 ConlinUJlllo Caaol Cuo2 Caso3 À k kº k k k k k k 160 344 250 287 250 433 282 489 183 165 348 250 293 250 433 285 493 183 170 353 250 299 250 433 287 497 183 1 175 357 250 305 250 433 289 501 183 180 361 250 310 250 433 292 505 183 185 365 250 315 250 433 294 509 183 190 368 250 320 250 433 296 512 183 195 372 250 325 2 50 433 297 515 183 200 375 250 329 250 433 299 518 183 500 250 500 250 433 366 625 183 Qiadro 79 Coeficientes k k k kpara o cálculo das reações nas vibs de poio de lajes rcrangularn uniformemente carregadas casos 4 Se 6 Caso4 Cao5 Caso6 À k k kr k k k k k r 100 183 317 183 317 144 J6 356 144 i 1 105 192 332 183 317 152 366 363 144 1 110 200 346 183 317 159 375 369 l44 115 207 358 183 317 166 384 374 144 120 214 3 70 1 183 317 173 392 380 144 125 220 380 183 317 180 399 385 144 130 225 3 183 317 188 406 389 144 135 230 399 183 317 19 412 393 144 140 235 408 183 317 2Ó2 417 397 144 145 240 415 183 317 209 422 400 144 150 244 423 183 317 217 425 404 144 155 248 429 183 317 224 428 407 144 160 252 436 183 317 231 430 410 144 346 Cálc11lo e detalhamento de estruturas usuais de concretoannado Quadro 7 9 Continuação Cuo 4 Casos Cuo6 À k 1 k k k k 165 255 442 183 317 238 432 413 144 170 258 448 183 317 245 433 415 144 175 261 453 18 317 253 433 417 144 180 264 458 183 317 259 433 420 144 185 i67 463 183 317 266 433 422 144 190 270 467 183 317 272 433 424 144 195 l72 471 183 317 278 433 426 1144 200 275 475 183 3l7 284 433 428 144 co 366 633 183 317 500 433 500 144 QJadro 710 Coeficientes k k k k7pan o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes rctangu 1 Lares urufonnemente carregadas casos 7 8 e 9 Caso7 Cuo8 Caso9 k k k k k it it 100 144 250 303 303 144 250 250 250 105 152 263 308 312 144 250 262 250 110 159 275 311 321 144 250 273 250 115 166 288 314 329 144 250 283 250 120 173 300 316 336 144 250 292 250 115 180 313 317 342 144 250 300 250 130 188 325 317 348 144 250 308 250 135 194 336 317 354 144 250 315 250 140 200 347 3p 359 144 250 321 25 145 206 357 317 364 144 250 328 250 150 211 366 317 369 144 250 333 250 155 216 375 317 373 144 250 339 250 160 221 383 317 377 144 250 344 250 t65 225 390 317 381 144 250 348 250 or 111C1tICdS j Quadto 710 Continll44o Caso7 Casos Caso9 À k k k k k r 170 230 398 317 384 144 250 353 250 175 233 404 317 387 144 250 357 250 180 237 411 317 90 144 250 361 250 185 240 417 317 393 144 250 365 250 190 244 421 317 396 144 250 368 250 195 247 428 317 399 144 250 372 250 200 250 433 317 401 144 250 315 250 00 366 634 317 500 144 250 500 250 7 48 VERIFICAÇÃO DE LAJES AO CSALHAMENTO As placas de maneira geral e as lajes placas de concreto armado em particular fazem parte de wn grupo de elementos estruturais blocos sapatas consolos curtos vigasparede etc tujo comportamento em relação aos esforços cortantes difere subs tancialmente do apresentado pelas vigas As lajes conseguem mobilizar um esquema de resistência ao esforço cortante fazendo com que seu efeito não seja crítico e geralmente apenas o concreto é suficiente p resistilo armaduras transversais só são neceseárias em siruações espcciai As recomendações da NT NBR 61182014 para a verificação do eleito da for ça cortante em lajes maciças e ncrvuradas com espaçamento entre nervuras menor ou igual a 65 cm e em elementQS lineares com bw 5 d encontramse no item 194 Duas siruações são pievistâs lajes sem armadura para força cortante e lajes corr armadura para força cortante Serão apresentadas as prescrições referentes às lajes submetidas á ficxão simples 748 Lajes sem armadura ara força cortante recomendações encontramse no item 1941 da norma cm que se permite prescindir da armadura transversal para resistir aos esforços de tração devidos à força cortante desde que os requisitos de ancoragem estejam satisfeitos conforme o item 945 se a força cortante solicitante de cálculo V Sd for menor ou igual à resistência de projeto ao cisalhámento V Rd1 ou seja V V k 12 40 p O 15 a 1 b d Sd Rdl Rd 1 cp 727 cm que ª u tlld 25 fctd 025 nY veja seção 1624 equações 15 e 16 k 1 pm elementos cm que 50 da armadura inferior não chegam até ao apoio k 19 d 1 com d cm metros para os demais casos p O 02 l b d A é a área da armadura de tração que se cstcrdc no mínimo até d fbna além da seção considerada sendo l o comprimento de ancoragem necessário de finido no item 9425 da norma e de acordo com a Figura 711 a seguir crP NsJ A NSd é a força lngitudinal na seção devida à protcnsão ou carre gamento b é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d t 1 v A Seção considerada lt1 V Figura 711 Comprimento de ancoragem necessário Figura 19l da ABNT NBR 61182014 A verificação da compressão diagonal do concreto bielas comprimidas em ele mentos sem armadura de cisalhamento é feita comparandose a força cortante solici tante de cálculo V si com a resistência de cálculo V Rd2 dada por VRd2 05 ªl d b 09 d 728 em que a1 07 200 S 05 fu em MPa fui fjy fjl4 é a resistência de cálcWo do concreto 748l lajes com armadura para forsa cortante item 193l Neste caso aplicamse os critérios estabelecidos em 1742 que trata da verifica ção do estado último de tjsalhamcnto em elementos lineares são apresentados dois modelos de cálcuo dependentes da inclinação adotada para as bielas comprimidas conforme visto no capítulo 6 com as seguintes dcterminaÇ complementares Somente para lajes com espessura superior a 35 cm pode ser usada a resistência dos estribos fi 435 MPa Para lajes com espessura até 15 essa resistência deve ser limitada a 250 MP Permitese interpolar lineannente entre csses2 valores lN I tav1men de eiflclos com lajes maciças 349 7 49 ABERTURAS EM LAJES De maneira geral quando forem previsto5 furos e aberturas cm elementos estru turais seu efeito na resistência e na deformação deve ser verificado Considerase que os furos têm dimensões pequenas em relação ao elemento estrutural enquanto as aber turas não e um conjunto de furos muito próximos deve ser tratado como uma abertura No caso de aberturas cm lajes de acordo om o irem 2134 da ABNT NBR 61182014 as seguintes condições deven ser respeitadas em qualquer situação a A seção do concreto remanescente da parte central ou sobre o apoio da laje deve ser capaz de equilibrar os esforças no estado limite último correspondentes a essa seção sem aberturas b As seções das armaduras interrompidas devem ser substituídas por seções equivalen tes de reforço devidamente ancoradas Ainda na seção 13252 da ABNT NBR 61182014 que trata de aberturas que atravessam lajes na direção de sua espessura considerase que nas lajes armadas em duas direções exceto as lisas e cogumelo a verificação de resistência e deformação poderá ser dispensada se forem observadas 9imultancamcnrc as seguintes condiões Figua 712 a Se a dimensão da abertura normal ao plano médio da laje não ultrapassar 1110 do menor vão t cm cada direção da armadura b Se não houver entre as faces de duas aberturas adjacentes distância inferior à metade do menor vão c A distânçia entre a facede uma abertura e uma borda livre da laje não deve sermenor que l4do vão na direção considerada Figura 712 Dimensões limitfS para abertuns em lajes em que são dispensadas vcrüicações C 7 Pavimentos de edlflclos com lajes maciças 351 A n A º730 e o espasamento será a largura unitária 1 m dividida pelo número de barras 1m 1 s A A lmAcm2 A A 2 Am cm 731 ou seja para determinar o espaçamento s as barras basta dividir a área da barra o lhida pela área total de armadÜra p0r metro de laje cncontrad 74112 Annaduras longltudirÍals máximas e nifnlmas As quantidades mínima e máxima de iumaduras longitudinais cm lajes seguem o mesmo princípio básico apresentado para os lcmentos lineares sgundo o item 17351 da norma Além disso como as lajes armadas em duas direções têm outros mecanismos resistentes os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos dos elementos lineares a Armaduras mínimas Segundo o item 19332 da norma a armadura mínima cm lajes tem a função de melhorar o desempenho e a ductilidade à flexão e punção bem como controlar a fis suração Ela deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência TJb 2 lS ou por celas soldadas Os valores mínimos de armadura passiva aderente devem atender a Armaduras negativas P2 paún Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções P 2 067 Pm Armadura positiva principal de lajes armadas em uma dirção p 1 2 Pm1n A em que P é a porccntagem de armadura passiva aderente se A for por metro de laje a largura b será igual a um metro e p o valor dado no Qliadro 42 do capítulo 4 Tabela 173 da norma correspondente ao concreto idotado b Armaduras máximas A armadura máxima de flexão cm lajes é prescrita pela AB1rf NBR 61182014 no item 19333 a qual indica que deve ser respcido o limite dado no item 173524 transcrito na seção 422 d capítulo 4 ç o0nraeClll11V e CUUUIO UUdCii cJrxretQ annaao 7 4 1 o V Aos EFETIVOS DE LAJES E PLACAS Quando os apoios das lajes puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical o vão efetivo ser utilizado para as lajes deve ser calculado segundo os itens 14722 e 14624 da ABNT NBR 61182014 por 729 em que Figura 713 f0 é a distância entre as faces internas de dois apoios consecutivos a1 é o menor valor entre t2 e 03 h a2 é o menor valor entre t2 e 03 h 11 t e Apoio de vêo exlremo b Apolo de vão Intermediário Figura 713 Vão eferivo em lajes Figura 145 da ABNT NBR 61182014 7 411 0ErALHAMENTO DAS ARMADURAS Nos próximas seções serão apresentadas as recomendações da ABNT NBR Ql 182014 e outras pertinentes para o detalhamento das armaduras longitudinais po sitiva e negativa cm lajes maciç de concreto armado destacando que as armaduras devem ser dispostas le form a gatantir seu posicionamnto durante a concretagem principalmente das barras ctivas 7 4111 Espaçamento entre barras É preciso inicialmente pira uma detenninada 4rea necessária de aço A cm2m por unidade de largura da laje detenninar o espaçamento s cnac as barras para uma barra escolhida de área A cm2 A qiidadc n de barras por metro de laje é Laocu10 e aeraonamenco ae estruturas usuais de concreto armado 7 4113 Armadura de distribuição e secundária de flexão A quantidade de armadura positiva de distribuição secundária de lajes armadas em uma direção segundo a Tabela 191 da norma tendo P o mesmo significado ante rior deve atender a As 20 da armaduraprincipal e 09 cm2m 0 P l 05 Pmn Em lajes armadaS em duas direções a arniadura secundária de flexão por metro de largura da laje segundo o item 201 da norma deve ter área igual ou superior a 20 da área da armadura principal mantendoe ainda um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm A emenda dessas barras se necessária deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal que por sua vez seguem as reco mehdações referentes àS vigas 7 4114 Espaçamento e diâmetro máximo O espaçarnentomáximo s entre as barras da armadura principal de flexão na região dos maiores momentos fletores item 201 da ABNT NBR 61182014 deve respeitar simultaneamente os dois limites seguintes sendo h a espessura da laje f20cm sph O diâmetro máximo de qualquer barra da armadura de flexão também segundo o item 201 da norma deve ser 4m h8 7 4115 Quantidade e comprientos mínimos de annaduras em bordas livres e aberturas Em bordas livres e junto às aberturas das lajes as armaduras interrompidas devem respeitar a quantidade os comprimentos mínimos e o detalharnento estabdecidos no item 202 da norma de acordo com a Figura 714 7 4116 Armadura de tração sobre os apoios Esta recomendação não foi mantida na yersão final da ABNT NBR 61182014 mas julguse interessante manter o que prescrcviã a ABtIT NBR 61181980 no item 3327 sobre a armadura negativa sobre os apoios Quando não se determinar o diagrama exato dos momentos negativos em lajes ret31gulare de cdifkios com carga distribuída e q s gas barras da armadura principal sobre os apoios deverão estenderse de acordo com o liagrama de moptentos conside rado jã deslocado de base igual ao valor indicado a lajes aruando cm duas direções ortogonais LAA I lav1mentos ele echflcios com lajes maciças 353 Em uma borda engastada 025 do menor vão sendo cada umi das outra três bordas livremente apoiada ou engastada Nos dois lados de um apoio de laje contínua 025 do maior dos vãos menores das lajes contíguas b lajes atuando cm uma direção Em uma borda engastada 025 do vão l H 2 2h t 2 2h ou 1 Figura 714 Armaduras cm bordas livres e abcrruras Figura 20l da ABITT NBR 61182014 7 4117 Armadura nos cantos de lajes retangulares e outras recomendações No projeto de revisão da ABNT NBR 6118 versão de 1999 havia recomendações sobre a colocação de armadura nos cantos das lajes para combater os momentos vol Cntes e timbém eram apresentadas diversas possibilidades para arranjo das armaduras longitudinais de flexão quando não se conhecia a distribuição de momento Na ABNT NBR 6112014 item 201 o assunto é tratado da seguinte forma ªNas lajes maciças armadas cm uma ou cm duas direções em que seja dispensada armadura transversal de acordo com 194 e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das arma duras decorrentes da presença de momento volventes nas lajes toda a armadura posi tiva deve ser levada até os apoios não se permitindo escalonamento desta armadura A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do ciXo teórico do apoio O item 19 41 trata das lajes sem armadura para força cortante q u1cut0 e aeld11w111Lu ftUuLurcu uua1 ae co annaao Dessa forma recomendase ponanto quando odiagrama de momentos não for determinado e nem os acréscimos de armadura decorrentes dos momentos vclvcn tes que em lajes de edificações correntes as annuras positivu sejam colocadas com comprimento igual ao do vão em cada direção pois embora acarrete uma quantidade maior de aço facilita a execução e diminui a possibilidade de erros na montagem da armadura Nas barra da armadura longitudinal positiva das lajes não devem ser utili zado ganchos É importante destacar que no item 192 nas considcraçõcs do estado limite úl timo para o cálculo de lajes a ABNT NBR 61182014 recomenda uNa determinação ds esforços resistentes das seções de lajes submetidas a esforços normais e momntos fletorcs devem ser usados os mesmos princípios cstabdccidos cm 1721a172r Os itens 1721 a 1723 reatam das prescrições para o cálculo no estado limite último de elemencs lineares sujeitos a solicitações normais Nas regiões de apoio das lajes também de acordo com o item 19 2 da norma de vem ser garantidas boanondiçõcs dé ductilidadc atcndcndosc às disposições dcsentas no capítulo 3 Ainda no item 192 há esta indicação Q9ando na seção crítica adotada para dimensionamento a direção das armaduras diferir das direções das tensões principais cm mais d 15º esse fato deve 5cr conidcrado no dlculo das arrnadurasn No caso de placas retangulares considerandose as seções de apoio e do meio do vão cm geral essa I condição está atendida Por fim no item 14663 da norma há a indicação de que para estruturas de edi fícios em que carga variável seja de até 5 kNm1 e que seja no máprno igual a 50 da carga total a análise estrutural pode ser realizada sem a consideração de alternância de cargas Isto significa dizer que o pavimento pode ser carregado em sua totalidade com carga uniforme sem considerar por exemplo uma laje com a carga contígua e a subsequente cim carga Exemplo1 Calcular e detalhar a armadura do pavimento de lajes maciças cuja planta de fõrmas está indicada na Figura 715 Considerar que as salas sCrão utilizadas para escritórios que todas as lajes deverão ter a mesma espessura e que oicvcstimcnto inferior de ges so para efeito de cálculo de carga pode ser desprezado Serão admitidos os seguintes dados de projeto Contrapiso com espessura de 20 cm e y 1icNm 1 Piso de plástico cujo peso de 020 kNmlji inclui a cola e a camada de rcgub rizaçã L tiYlmentos de edlflclos com lajes maciças 155 Cobrimento nominal da armadura de 25 mm admitindo classe de agrcssida de ambiental II Vigas largura b 12 cm e altura h 50 cm Concrcte com resistfricia característica f 20 MPa AçoCASO O escoramento será retirado 14 dias após a execução da concretagem P1 u00 P2 1 S00 1 IP 3 1 V1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 P4 PS 1 1 6 1 V2 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 400 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 PS VJ P7 1 PS Figura 715 Planta de f6rmas do pavimento do exemplo 1 a Esquema estrutural das lajes As lajes Ll L2 e L3 do pavimento são consideradasisoladas com o esquema estrutural de acordo com a Figura 716 As lajes L1 e L2 com duas bordas adjacentes engastadas e as outras duas simplesmente apoiadas são do tipo 4 enquanto a laje L3 engastada em um dos lados maiores e com apoio simples nos demais é do tÍJ 3 clltIClUdlllldUO VI y Caso4 G CasoJ y X t r Caso4 F G V3 V3 Figura 716 Esquma strurural das lajes do pavimento b Prédimensionamento da altura das lajes O prédimensionamento da altura das lajes será feito de acordo com a ABNT NBR 61181980 item 4231 com o valores de lj12 segundo o Oiadro 76 e lj3 25 CASO laje maciça Quadro 77 e com a altura útil iicial das lajes e a altura total são determinadas A altura da laje foi obtida para o caso de armadura positiva somando ao valor da altura útil cnontrado o cobri mento 25 cm mais uma vez e meia o diâmetro da barra longitudinal Figura 77 Admitindo inicialmente barras de 10 mm resulta h d 25 15 10 d 40 cm d 004 m Os vores podem ser mais bem organizados colocan4oos em um quadro con forme a eguir Laje Cuo t l À J dm hm Ll 4 600 600 100 180 25 0133 0173 L2 4 400 600 150 160 25 0100 014 L3 3 500 1000 200 140 25 0143 0183 CN 7 Pavimentos de ediffclos com lajes maciças 357 Pelos reSultados a aior altura necessária é de 183 cm É possível empregar uma altura menor que a encontrada e vcri6car se a mcsm atende às limitações de flecha impostas pela norma caso contrário aumentase novimente a altura Como as trcs lajes devem ter a mesma alrura adotase d 12 cm e h 160 cm e Cálculo das cargas aniancs cl Cargas permanentes peso próprio contra piso piso Total c2 Carga acidental g1 016 25 kNm3 g2 002 18 kNm3 g2 g g gJ g2 400 kNm 2 036 kNm2 0120 kNm2 456 kNm 2 Sala para escritório ABNTNBR 61201980 q 200 kNm 2 c3 Carga para a combinação quase permanente A combinação quase prmanente necessária na verificação do estado limite de deforma çõcs excessivas é obtida considerandose as cargas permanentes mais a parcela de lj 1 04 da carga acidental valot que pode ser empregado para escritórios que é o caso aqui p g q 456 04 200 536 kNm 2 c4 Carga total A carga total necessária para o diensionamento no estado limite último será calculada depois de eferuadas as verificações dos deslocamentos e definida a altura final das lajes d Verificação das flechas As flechas serão calculadas sem os efeitos da fissuração mas considerando o efcit da fluência do concreto Para levar em cota deformação das vigas seção 74 4 as ffechas limites usadas para as lajes serão uma parcela das prescritas pela norma admitindo que a parcela restante das flechas ocorrerá nas vigas Assim sé um ponfo do pavirnentq atin ge o deslocamento limite será admitido que esse deslocarncnt se dê com dois terços ocorrendo na laje e um terço nas vigas de suporte da laje Dessa forma o deslocamento máximo da laje deve ser inferior a 23 do limite prescrito pela norma Os deslocamentos serão verificados cm relação aos tcs d aceitabilidade sensorial seção 481 dl Valores limites dos deslocamentos Os deslocamentos máximos flechas calculados para a combinação quase permanente e para carga acidental deverão atender aos limites dados n 91adro 47 do capítulo 4 jts ca1cu10 e aeta1namento ae estnmm1s usuais oe concreto armado Como de fato há o deslocameno da laje e também das vigas de apoio ri considerado como limite para a laje o valor de 23 do limite total laje mais vigas eStabclecid Os limites em que l é o menor vão da laje considerada são Para a combinação quase permanente considerando a Buêhcia para os dois dementos vigas mais laje l250 somente para laje 213 l250 l375 Para apenas a carga acidental para os dois dementos vigas mais laje f350 somente para laje 213 l350 l525 Os vtlores limites p cada siÇão de àncgamen Para cada uma das lajes estão no quadro seguinte Flecha limita cm Laje t cm Coinbinaçio qW111e ente Çarp llddeabl L1 600 160 114 L2 400 107 076 LJ 500 133 095 d2 Módulo de deformação longitudinal do concreto ABNT NBR 61182014 item S28 O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas verificações de estados limites de serviço deve ser calculado pelas expressões 19 e 111 capitulo 1 para concretos de classe até C50 e agregados de granito com os vaores cm MPa E 085 Eci 085 600 Jf 4760 J2õ 21287MPa 21287000kN m 2 d3 Cálculo da flecha elástica No cálculo da flecha elástica não se considera o efeito da fissuração do concreto com a d6do no adro 72 e E h3 21287000 kNm2 0163 m 871916 kNm Flecha para a carga obtida com a combinação quue permanente 4 1 f g1 g2 11 q l 560420t 615 107 a 1q E h3 100 871916 100 Flecha para ação apenas da carga acidental CAP 7 Pavimentos de ediffclos com lajes maciças 359 f ql 20 l 2 29107 at4 q Eh3 100 871916 100 ª Consideração da fluência O cálculo do efeito da fluência também será feito com a carga obtida da combinação quase permanente e com as equações da seção 4824 O tempo t0 é a idade cm meses relativa à data de aplicação da carga de longa du ração o caso 14 e a favor da segurança considerouse que todas as ações aruarão após a retirada do cscoramcntoncssa data t0 1430 047 Os coeficientes para as idades 047 e para o tempo infinito são Eti 068 0996 t32 068 0996º47 04ll2 053 Eoo 2 valor fixo para idade maior que 70 meses Como não há armadura comprimida então p O resultando para o fator ªí a M 2053 l 47 1 150 p 1 O valor da flecha total no tempo infinito será aquela correspondente à combina ção quase permanente multiplicada por 1 t a f 1 f 1 147 C 247 tOlI lmculliU q Os valores das flechas estão apresentados no qµadro seguir e Flechas elásticas e limites cm Laje Caso lm  a a4 ggJlq f f r f L1 4 60 10 242 3136 019 047 160 007 114 L2 4 4Ó 15 438 1121 006 015 107 002 076 L3 3 50 20 566 3537 022 055 133 oos 095 d4 Dctcmünação de uma nova altura para as lajes Obscivasc que as flechas de cada laje são bem menores que as limites sendo possível dessa maneira diminuir a altura das lajes Igualando 11 maior das das lajes Bccha de L3 para a situação g1 g2 jf1 q com a Bccha limite corrcspondenteem metros obtémse uma nova altura destacando que a flecha calculada deacordo com a ão JbU Ulculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado 73121 equação 716 é imediata e deve ser multiplicada por 247 devido ao efeito da fluência gl g2 ljll ql 2470 0133 536 54 566 2 470 0133 E h 3 100 21287000 h3 100 5365 4 247 566 h h 2128700000133 100 OlSni llan Como h d 25 15 10 d 40 cm podese adotar h 120 cm e d 80 cm para a armadura positiva d 90 cmpara a armadura negativa que é mais solicitada d5 Determinação do carregamento total A carga total sobre a laje deve ser calculada para a nova altura de 12 cm p 012 m 25 kNml 036 kNm2 020 kNm2 20 kNm2 556 kNm2 d6 Valores finais das flechas Não é preciso nova verificação pois a carga final devida à combinação quase permanen te é menor que a anterior que havia sido calculada para uma altura de 16 cm e Cálculo dos momentos Retores atuantes nas lajes Serão calculados os momentos Retores para a carga total p 556 kJmZ erificaâa a al tura útil mínima feitas as correções necessirias e calculados a altura e momentos tinais e 1 Determinação dos momentos Os momentos máximos positivo e negativo nas lajes por unidade de comprimento faixa unitária ão calculados por meio das expressões 718 a 721 com os coeficientes µ 1 µµeµ fornecidos nos quadros 73 74 e 75 p l p l p t p 2 m µ lOO m µ x µ x µ 1 1 100 100 1 1 100 O cálculo dos momentos kNmm fica mais bem organizado cm um quadro 1 Laje Cuo t À ºpkNm Pi m 11 m 11 11 i1 4 600 100 556 200 281 562 281 562 699 1400 699 1400 L2 4 400 150 556 89 481 428 247 220 1062 945 8Q6 717 L3 J 500 200 556 139 651 90S 148 206 1234 1715 IV rov111n nV U1 euvuu com 1a1es maciças Jb l Det odaalútil z JicJiõlrietuado coõlonne visto no estudo de seções retangulares sob flexão normal capítulo 3 expressão 343 e no caso para uma faixa de laje de largura unitária 10 m Armadura positiva com m 905 kNmm máximo momento positivo atuan te no paVimento u seja momento na laje L3 b 10 m fck 20000 kNm2 d 2 OJ Md 2 O 149o5 0 060m b f 102000014 1 cd dm1 0060 m 60 c que d 80 cm adotado Par3 a armadura positiva Armadura negativa com m 1715 kNmm máximo qiomento negativo atuan te no pavimento ou seja momento na laje L3 b 10 m 20000 kJ1m2 d 2 O J Md 2 O l 4 l 7 lS O 082 m mon b f 1 1 O 20000 1 4 r w ai dmin 0082 m 82 cm que d 90 cm adotado para a armadura negativa O Cálculo das armaduras longitudinais Para o cálculo da armadura positiva das lajes existem duas alturas úteis uma para cada direção conforme pode ser visto na Figura 7 17 para as direções s e v Recomendase entretanto que seja tomada como altura útil da laje a distância entre a borda compri mida superior e o centro das barras da camada superior da armadura positiva no caso d que é menor que d possibilitando que na construção as barras de cada direção sejam posicionadas em qualquer uma das camadas Assim será empregada no cálculo de todas as armaduras altura útil igual a 80 cm determinada anteriormente no caso das armaduras negarlWs esse valor está a favor da segurança a a Q Figura 717 Dõcs e v e as respcctivas alcuras úteis WC llollICU Cllll9N O cálculo da armadura é feito da mesma maneira que cm vigas retangulares sob flexão simples para uina faixade laje de largura igual a 10 m Como para as armaduras positivas e negativas a altura útil é maior que a mínima 0aço CASO trabalhará com sua capacidade total ou seja 1 Ei 207o e a resistência do aço sera fJk 50 kN cm2 A resistência característica do concreto é fdt 20000 kNml b d f l0008 2000014 KMD M t 14m 00153m 1 Ç Md L 14mkNmm 0 4025 anl L KZdf KZ008m50kNcml115 KZ 1 ckJd Os passos para o cálculo e os resültados finais da irea de aço por metro de 1aigura da laje Ascmlm estão no quadro seguinte Laje LI L2 u Mom m m X x m m X m m x kNmm 562 562 1400 1400 428 220 945 717 905 206 1715 KMD 0086 0086 0214 0214 0065 0034 0145 0110 0137 0032 0263 KZ 09472 09472 08515 08515 09602 09759 09058 09305 09094 09759 08068 o 10000 10000 5926 5926 10000 10000 10000 10000 10000 10000 3746 mlKZ 59J3 59J3 16430 164JQ 4457 2254 10444 7706 9853 2111 21269 A 2388 2388 661J 6613 1794 0907 4204 3102 J966 0850 8561 g Detalhamento da armadura Para o detalhamento ºda aimada cujo esquema se encontra na Figura 720 foram adotados os proccdimetos relacionados a seguir gl Diâmetro máximo das barras e h8 12 cm8 15 cm 150 mm g2 Diâmetros utilizados serão empregadas barras de cl 63 mm e cl 10 mm g3 Arntadura mínima eara seção retangttlare r 20 MPallwfro 42 e b 100 cin A b h OlS 100121Sanl m 100 100 g4 Espaçamento s para a armadura A 032cml cj63mms 018m8cm A l8cm 7 m CAP 7 Pavimentos de edlfldos com lajes maciças 363 A OScrnl 10 mm s 044m 44crn A 1Scml m g5 Espaçamento máximo adotado Para a5 armaduras positiva e negativa foi adotado de acordcomangrma e que atende tambm a condição de armadura mínima um espaçament320 cm g6 Espaçamentos das barras No quadro a seguir estão as barras empregadas para cada situação diâmetro e área os espaçamentos resultantes e os espaçamentos finais adotados Laje LI L2 lJ Mom m m x x m m x X m m l 7 7 kNmm 562 562 1400 1400 428 220 945 717 905 206 1715 Acmm 2388 2388 6613 6613 1794 0907 4204 3102 3966 0850 8561 mm 63 63 10 10 63 63 10 10 10 63 10 A 032 032 080 080 032 032 080 080 080 032 080 s m 0134 0134 0121 0121 0178 0335 019 0258 0202 0376 0093 s final cm 125 125 125 125 175 17S 20 20 20 175 10 g7 Comprimento e espaçamento das barras Armadura positiva a letra N e o número identificam as barras na planta Serão colocadls barras em todo o vão das lajes armadura corrida n As barras deverão penetrar nos apoios vigas 6 cm ou 10 10 063 63 cm será adotado o valor de 7 CiiiJ Largura das vigas 12 cm dado inicial As dimensões das lajes em planta estão relaciodas aos eixos das vigas Comprimentos para a laje L1 nas direções x e y e 600 2 6 2 7 602 cm CN3 Comprimentos para a laje 12 l 400 2 6 2 7 402 an l 600 2 6 2 7 602 cm Nl r j4 11uu e cGn 10111t111u ut tsmnuras usuais ae concreto armado Comprimentos para a laje L3 t 500 2 6 2 7 502 cm N3 l 1000 2 6 2 7 1002 cm N4 y Armadura negativa a letra N eo número identificam as barras na planta Todas as barras da armadura iiegatlva têll diâmetro 10 mm Nas lajes adjientes será considerada a armadura referente ao maior mo mento Todas as lajes serão consideradas isoladas e a armadura para todas as situa ções de vinculação se estenderá no interior da laje a uma distância 025 1 sendo f 1 o menor vão da laje conforme a Figura 718 025 l 025 t a Duas botlas engasladas b Uma borda engaslada Figura 718 Comprimentos das barras da annadúra negativa Ao comprimento anterior deverá ser acrescentado ci comprimento de anco ragem reto aço CASO boa adcrncia fª 20 MPa 100 mm f fyd 10 500 44cm b 4 fbd 4 1152486 o cálculo de fbd está feito no cXcmplo 1 do capítulo Serão idotados cm todas as extremidades da armadura negativa ganchos retos calculados de forma simplificada como indicado na Figura 719 des L I lavlmentos de edifícios com lajes maciças 365 contando da altura total da laje 25 cm junto a cada face resultando l 120 25 70 cm 8 Figura 719 Esquema simplificado para determinar o comprimenro dos ganchos Comprimentos fus em cada laje l 025 l eb fs Espaçamento e comprimento das barras da armadura comuns às lajes L e L2 Ll lj 100 d125 cm L2 e 100 d20 cm adotase e 100 d125 cm Comprimento na laje Ll 025 600 44 7 201 cm comprimênto Comprimento na laje L2 025 400 44 7 151 cm total 352 cm NS Espaçamento e comprimento das barras da armadura comuns às lajes L1 e L3 Ll1 e 100 dl25 cm L3 e 100 dlO cm adotase e 100 dlO cm Comprimento na laje Ll 025 600 44 Z 201 cm comprimento Comprimento na laje L3 025 50 44 7 176 cm total 377 cm NS I Espaçamento e omprimento das b da acmadura comuns às lajes L2 e L3 L2 e 100 d20 cqi L31 e 100 dlO cm adotase cjl 100 dlO cm Comprimento na laje L2 025 400 44 7 151 cm comprimento total 327 cm ado Comprimento na laje LJ ois 500 44 7 176 cm tar mesmo que L1 dL3 Observação como L3 possui uma borda em interface com LI e com L2 e as arma óuras qe ambas possuem btolas e espaçamentos iguais e 10 mm d 10 cm serão adotadas as mesmas bUfU em toda a interface com o comprimento da maior ou seja 377 cm barn N6 i e e 5 r fr rt 1r JE g8J Qyantidade N de barras positivas e negativaS para cada situação A quantidade de barras será calculada dividindose a distância de eixo a eixo CIJ uma direção pelo espaçamento s adotado indicando como cxcmplo o número de barras da armadura negativa entre as lajes LlL2 600cm N b 48 arras s 125cm Na Figura 7 20 estão a planta de formas e o dcento das amiadmu p0sitiva e negativa tracejadas das lajes 1 L2 e L3 do paento do exemplo 1 h Reações da lajes nas vigas As reações nas vigas de contorno devido às lajes são calculadas com as expressões 723 a 726 com os fatores k kr k kdados nos quadros 7B 79 e710 l q k p10 kº t q p 10 Os rultados em kNm estão no quadro seguinte para p 556 kNml Laje Cuo t À pt k L k q i i r Ll 4 60 10 3336 183 610 V4 183 610 Vl 317 1058 V5 317 1058 V2 L2 4 40 15 2224 244 543 V3 183 407V4 4 941 V2 317 705 VS L3 3 so 20 2780 299 8Jl V6 lBJ S09 VlVJ S18 1440VS Nas vigas comuns às duas lajes o caregMento deve ser somado para se obter o valor final É possívd verificar se os valores das reações estão corretos pois a carga total que atua em cada laje carga distribuída multiplicada pela área da laje deve ser igual à soma das cargas resultantes nas vigas de contorno Laje LI Carga total na laje p p l 556 60 60 20016 kN Carga total nas vigas Pa l ql a l q l 11o1 p 610 105 60 60 1058 60 20016 kN ci 8 1 ê P4 V2 1250 010 1 1 N I P5 1 Ir LZ J i 0 riP6rr11 tB1B11 31p 1 1 mJ Pt 11100 1 500i l Vt 48 N163 c12 516021 P4 V2 Ale 715 JJrrof o f N a N 1 1 íl 1114 1 1L l l N ii li z P2 r ltlc1om 1 50 N3010 c20 1502 P 1 11 Figura 720 Dctallwncnto da armadura do pavimento medidas cm an 36 PJ Laje L2 Carga total na laje p p l l 5 56 6 o 4 o 133 44 kN t Carga total nas vigas p q q q f 1yiy y1 fl p 941 543 60 407 705 40 13352 kN Laje L3 Carga total na laje p p l f 5 56 5 o 10 o 278 o kN 1 1 Carga total nas vigas P2q l q l o l r rllr p 2 509 50 831 1440 100 278Ó kN i Verificação ao cisalhamento il Verificação da necessidade de armadura de cisalhamento A verificação da necessidade de utilização de armadura de cisalhamenro nas lajes será feita para laje 3 que apreseta o maior valor para a reação força cortante de todas as lajes no caso junto à viga V5 Comparase a força cortante de cálculo V5d com a força resistente de projeto ao cisalhamento V Rdl se V Sd s V Rdi não é necessário armadura de cisalhamento Para essa verificação são necessárias as seguintes informações resultantes dos cál culos e detalhamento já eferuados Força cortante solicitante Vs 1440 kNm Toda a armadura inferior e estende ao longo das lajes chegando até ao apoio Na laje LJ a annadura longitudinal llúerior é composta de barras de lj 10 mm 08 cm2 a cada 20 cm resultando em 5 barras por metro O valor de V Sei força cortante solicitante de cálculo é V Sd 14 V5 14 1440 2916 kN O valor da força resistente de projeto V Rdt é dado pela equação 727 VRd1 tRd k 12 40 p 015 crciJ b d V Rdi 276 152 12 40 0005 10 008 470 kN cm que tD 025 fad 025 f y 025 07 f y 025 07 03 flJy aJllof e Clm e e e tRd 00525 20V34 00525 736814 0276 MPa 276 kNmZ k 16 d 16 008 152 1 A 50 8 P 1 O 0050 02 1 b d 1008 w cr o não há força longitudinal na seção cp Portanto V Sd 2016 kN V Rd 470 kN e não há necessidade de ãrmadura tranSVcrsal de cisalhamento Caso essa condição não fosse verificada deveria ser colo cada armadura calculada como cm vigas i2 Verificação da compressão diagonal do coqcreto A verificação da comprcssão nas bielas de concreto é feita comparando V Sd com V Rni dado pela expres5ão 728 V Sd 14 V5 14 1440 2016 kN V Rdl 05 a1 fa1 b 09 d 05 05 14285 10 09 008 25713 k1I em que a 07 f200 07 201200 06 05 ªl 05 fa1 fY 2000014 14285 kNm2 Como V Sd é menor que V Rdl não há problema de compressão excessiva nas hielas de concreto ADENDO RESUMO DAS EXPRESSÕES RELACIONADAS NESTE CAPITULO Equação fundamental de placas delgadas a4w a4w a4w p 2 ôx4 ôx2 õy2 õy D 71 Eh3 ComD 121v2 Momento fletor na direção x de placa delgáda m a2w a2w 72 v D ôx2 ôy2 I e Momento fletor na direção y de placa delgada m a1w a1w 73 V D ay2 ax2 Momento fletor de placa delgada por unidade de comprimento m M 74 l Rigidez de uma viga retangular de largura urUtária ElEhl 75 12 Çarga em placa representadapor série de Fourier LL mnx nny ppxy Pain sensen m a b 76 Linha elástica de placa retangular sob carga p em contorno com rotação livre P mnx n7ty ws m la senb 77 rc4 D ª1 b2 Carga aplicada em placa dada por uma série de Fourier 4 b mnx nny p fJ pxyscnsendxdy 78 ab 00 a b Carga para m e n ímpares e carga uniforme p distribuída na placa 16p Pmo 7t2 mn 79 Linha elástica deslocamento vcrticâl de uma p com carga unifonne e apoio livre mJtX n7tX 16 scnscn wp a m 710 mn ª1 b2 C 7 Pavimentos de edlflclos com lajes maciças 371 Momento Betor positivo em WJl placa na direção x para uma faixa unitária m2 n2 v m 16LL a2 b2 mnx nny 7Ü 1t m n m nrna senb mn 7 bl Momento fletor positivo em uma placa na dircçãoy para uma faixa unitária n 2 m2 v m16pLL b2 a2 mnx nny 712 ª sen b 7 m a m n mn ª2 b2 Momento fletor positivo em x para um coeficielte de Poisson v 2 conhecido o valor para v1 1 m 1v v m v v Hm 713 1 v 2 1 vi 1 2 T vi Momento fletor positivo em y para um coeficiente de Poisson v 2 conhecido o valor para v1 1 m1 lv lv2 v1m7 1 v1 v2Hm 1 714 Deslocamento vertical de uma placa para um coeficiente de Poisson v2 conhecido o valor para v 1 1v2 w w1 if 715 vi Flecha de laje retangular para carga uniforme pl4 a 716 f Eh 3 100 Relação entre lados de lajes retangulares l ÀL 717 t 011 e WCUlll IGI l lCl lU WC CUI 11UI CI UllUGI u UfllfO armaao Momento fletor máxinlo positivo na dUcção x para laje rctangUlar para carga uniforme ll m µ 718 Momento Aetor máximo positivo na direção y para laje retangular para carga uniforme m pt r µ 100 719 Momento Aetor negativo na direção x para laje retangular para carga uniforme ll x µ 720 Momenro Aetor negativo na direÇãoy para lajcretailgular para carga uniforme p l x µy 100 721 Altura útÚ mínima para lajes e vigas segundo a ABNT NBR 61181980 l d 722 2 ljl J Reações nas vigas de apoio simples de lajes na direção x f q k p 10 723 Reações nas vigas de apoio simples de lajes na direção y l q k p 724 y y 10 Reações nas vigas de apoio engastado de lajes na direção x l q k p 10 725 Reações nas vigas de apoio engastado de lajes na direção y l k 1 q 1P10 726 CAP 7 Pavimentos de eclllCIOS com laJ6 mac1çu J J Verificação ao císalhamcnto cm lajes sem armadura transvenil V s V t k 12 40 p O 15 a b d Sd Rdl Rd 1 1 tRd 025 025 fmJY 727 k 16 d 1 p1 Ab d s 002 Verificação do esmagamento do cocreto na diagonal inclinada comprimida cm lajes sem armadura de cisalhamcnto V Rdl 05 a1 fal bw 09 d a1 07 fc200 S 05 f cm MPa J28 fa1 fiY f14 é a resistência de cálculo do concreto Vão efetivo cm lajes lá lo a ª2 C0 é a distància entre faces internas de dois apoios consecutivos a1 é o menor valor entre t2 e 03 h 729 a2 é o menor valor entre t2 e 03 h h é a altura da laje t1 e S são as larguras dos apoios adjacentes Quantidade de barras por metro de laje A é a área total e Acl é a área de uma barra A n 130 A Espaçamento das barras por metro de laje 1 A 731 sm A Fresh pure 100 organic cotton Manufactured in Mexico Hypoallergenic nontoxic and environmentally sustainable Machine wash cold tumble dry low Do not bleach Made with love for your skin and the planet 100 quality guarantee ANEXO 1 f LEXÃO DE LAJES NERVURADAS UNIDIRECIONAIS CONTINUAS COM VIGOTAS PR MOLDADAS As seções trinsvcrsais das lajes com nervutas prémoldadas têm a fonna de MT e portanto cm lajes contínuas como a esquematizada na Figura Al1 coD dois ttamos iguais resistem melhor aos momentos positivos que aos negativos pois a região com primida de concreto disponrvcl junto à face inferior da laje rcgiio comprimida para momento negativo seção BB d2 Figura Al1 é constituída apenas pela nervura com largura b sendo bem tnenor que a região junto à face superior constituída pela mesa região comprimida para momento positivo seção AA da Figura Al1 de largura br As regiões comprimidas têm alrura definida pela profundidade x da linha neutra LN determinada para cada uma das duas situações Esquema eatrulunil de laje unidirecional continua Jliíl p Esquema estrutural da laje unidirecional continua B J7 AA L 1N l M b Saçlo B8 rnomenlil flelOr negaUvo b Figura Al 1 Laje contínua uniditecional submetida a momentos fletora positivo e negativo Assim cm lajes contínuas ncrvuradas nem sempre é possível obter junto aos apoios intermediários regi comprimidas sufiócntcs para resistir ao momento nc gativo total encontrado pelo dlculo clístico admite os materiais no caso o concreto armado como sendo homogeneo e com comp0rumcoto linear canctcrfsticu Citai JIU dlUIUCCCIH1U1111 CUlllfOV do estádio 1 considerando seções com armadura simples no estado µmite último e trabalhando na ductilidade mínima de acordo com a norma Podese considerar nestas situações que o momento negativo resistente região superior do apoio seja menor que 0 momento atuante obtido do cálculo elástico quasido se considera a seção funcionan do no estádio l ocorre então a redistribuição de momentos ou mesmo a plastificação da seção com o surgimento de uma rórula plástica no apoio A redistribuição cosiste na alteração do diagrama de momento fletor quando alguns trechos da estrutura por estarem submetidos a momentos superiores ao de fis suração têm a sua rigidez diminuída ocasionando o que se chama de plastificação enquanto outros trechos permanecem ítegros A partir da plastificação da seção que acontece para um determinado valor de momento fietor momento de plastificação a seção gira sem transmitir mais momento Para melhor entendimento mostrase a mes ma laje unidirecional cotínua da Figura Al1 com os diagramas de momento fletor devido ao comportamento elástico e com plastificação na região do apoio na Figura Al2 No caso do diagrama elástico considerando os dois tramos iguais a f o momento no apoio intermediário negativo p3ra uma carga p é p f2 X duico 8 Se a seção no apoio for capaz de resistir a este momento o diagrama é o apre sentado na Figura Al2 diagrama de momento elástico calculado da forma usual Se a seção do apoio só for capaz de resistir a um momento fletor menor Xp1ur então o diagrama de momento com plastificação no apoio central Figura A12 para que o equilibrio seja mantido apresentará momento positivo máximo no tramo Mp1uoo maior que o elástico usual Esquema eslrutural de laje unidirecional continua li l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l IJI l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l I QP Diagrama de momento elastico Diagrama da momento com plastlflcaçlo no apoio central Figura Al2 Diagramas de momentõs elistico e com plastifiação no apoio central em uma laje continua unidirecional AHoD 1 RexJo de lajls nervuradas unidirecionais continuas com vigotas lllI 1 Em razão da grand cliJiculdadc cm detcnninr um valor adequado para X tem sido usual admitir que os dcmcntos prémoldâos sejam sempre simplesC apoiados o que resulta crp momentos positivos llaiores que em elementos contínuos Dessa maneira para uma mcsroa solicitação p resulta uma seção maior ou em uma limitação do vão a ser vencido além de ocorrer deslocamentos maiores Por essa raz o é mais racional aproveitar as vantagens da continuidade pois há uma melhor distribui ção de momentos com a redução dos Positivos possibilitando vencer vãos maiores ou suportar cargas mais elevadas Assim em pavimentos comp0stos de diversos painéis sempreque a geometria permitir as vigotas devem ser dispostas de modo a aproveitar 0 efeito vantajoso da continuidade coin oesquema estático das nervuras aproximandose ª de uma viga contínua lúpcrcstática Entretanto em decorrência da plastificação do concreto não é possível definir com precisão qual o mmento negativo a considerar no 1ílculo pois a hipótese de compor tamento elástico não corresponde à sição real Assim além da solução usual de consi dcrâr os elementos sirnplesmcnte apoiados é possível obter a continuidade das nervuras com as providências relacionada a scguir a Empregar uma nervura de grande altura Esta solução cónsistc cm empregar uma nervura de grande altura para resistir aos momentos negativos aumentando a região comprimida de concreto Nesse caso a altura útil deverá ser igual ou maiorque a mínima que pode ser determinada de acordo com a ABNT NBR 61182014 que no item 14643 indica A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU Qyanto menor for xd tanto maior será essa opacidade Complementa ainda que para proporcionar o adquado comportamento dúctil em vigas e lajes a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites xd s 045 para concretos corri fck s 50 MPa xd S 035 para concretos com 50 MPa fck s 90 MPa Esses limites podem ser alterados se forem utiljzidos detalhes especiais de arma duras como os que produzem confinamento nessas regiões Dessa forma nas regiões do apoio cm que normalmente o momento fletor tem a sua maior intensidade e a seção de concreto comprimido é pequena deve ser verificado se a altura disponível d é maior que a múúrna d1111a dada pelas seguintes expressões a partir da equação 342 com xd 045 concretos com fck s 50 MPa 3 78 CAicuio e detalhamento de estNturas usuais de cÕncreto armado com xd 035 concretos com 50 MPa f s 90 MPa d Md 2 21 Md 11111 bÍm0680350272035l bfm Assim fazendo com que na seção do apoio a altura útil seja maiorque a altura útil mínima d dm1n podese empregar o momento obtido da análise linear garantindo que no ELU as seções irão tribalhar de forma dúctil b Fazer um trecho maciço junto ao apoio intermediário Se for necessário por questões práticas econômicas ou mesmo de restrição de projeto usar na scçilo do apoio cm que atua o moirtento negativo uma altura útil menor que a mínima uma solução possível é fazer um trecho maci de concreto junto ao apoío intermediário para aumentar a capacidade resistente da seção Figura Al3 Nesta situação a largura da seção de concreto comprimido aumenta consideravelmente e passa a ter a mesma eficiência à flexão que as seções do meio do tramo que trabalham como seção uT Lajes continuas Elemento de enchimento Apoio lnlermedlério P81Sj8Clva FiPraAl3 Regiio maciça da bje sobre o apoio interno Assim a ccta distância do apoio em direção ao cciitro do apciio retirase o ma terial inerte substituindoo por concreto passando a existir um trecho maciço qUc cm geral não é considerado na rigidez para feito de de esforços A largura dessa rcgiio pode ser determinada de dµas maneiras a pUtir do ponto de momento 11ulo ou a partir da seção cm que o momento resistente da ncrwra igual ao momento atuante ANDo 1 Aexão de lajes nervuradas unidirecionais continuas tom vigotas 3 79 Est procedimento melhora o acabamento na ligação laje com a viga mas leva a um consumo maior de fonnas e de concreto Normalmente a extensão necessária do trecho maciço é pequena e seu custo não é grande c Adotar um trecho com armadura dupla Outra solução quando também for necessário empregar na seção do apoio uma alrura útil menor que a mínima é adotar um trccJio com anriadura dupla Plllil garantir a ductilidade da seção de acordo com a norma A armadura comprimida auxilia o con creto na resistência às tensões de compressão proocadas pelo momento negativo tão sendo assim nccessári aumentar a seção de concreto Nesta siação iÍnpõese que no ELU a seção irá trabalhar com xd 045 para f s 50 MPa e a partir daí calculase a armadura dupla como indicado na seção 3 76 d Efetuar a redistribuição de momentos Outra possibilidade para soluclona o problca é promover um redistribuição do momento fletor negativo aumentando o positivo Neste caso reduzse o momento fletor negativo M na seçã do apoio para um valor ô fyt é a profundidade da linha neutra xd nessa seção deve ser limitada por item 14643 da ABNT NBR 61182014 xd s ô 044125 para concretos com k s 50 MPa xd s ô 056125 para concretos com 50 MPa fk s 90 MPa O coeficiente de redistribuição deve ainda obedecer aos seguintes limites ô O 90 Pafl estruturás de nós móveis ô O 75 em qualquer outro caso Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos na nonn1 desde que a estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não linear ou de análise plástica com verificação explícita da capacidade de rotação das rótulas plásticas e Permitir a plastificação da seção do apoio A última possibilidade é permitir a plastificao de pdt1 menos a seçio do apoio de acordo com a ABNf NBR 61182014 que no item 14644 indica Pzra verificações de estados limites últimos pode ser efetuada a análise plástica da cstrutur2 com a simu lação de rótulas plásticas 11izadas nas seções críticas e t obrigatória a verificação da5 rotações nas rÓrulas plásticas correspondentes aos mecanismos adotados que nio podem superar a capacidade de rotação plástica das seções transversais correspondentes A norma estabelece ainck que o limite da rotação plástica solicitante função da profundidade da linha neutra no estado limite último flexão simples para o momento fietor solicitante MSd da seção crítica dada na Fi Al4 corresponde à razão ad ª e cu1111a111c11 YC Cn1u11a UUdl Ut tUnCíeQ armaOQ 3 onde a MSd sendo V 5d a força cortante nessa seção Para outras relações ad multiplicar os valores extraídos da Figura Al4 pelo fator Ja I d 3 35 1 ck 2 a 50 1 Pa CASO 30 2 20 9pl mrad 15 10 5 1 111 l u ora 1 1 li f ln f I Ili li lc o 1 IAP A r I j IV r JI o CASO MPa CAGO CAGO o 000 005 01 O O 15 020 025 030 035 040 045 xdELU FiguraAl4 Capacidade de rotação de rórulas plásticas Figura 147 da ABNT NBR 61182014 EXEMPLO Calcular a armadura de uma nervura de laje prémoldada com dois vãos contínuos de 550 m 0 cuja seção transversal é indicada na Figura Al5 com os seguintes dados k 20 MPa 20000 kNm2 aço CASO àistãncia do cg da armadura à borda mais tracio nada igual a 20 cm peso próprio igual a 220 kNm2 peso de piso mais revestimento igual a 100 kNm2 e carga acidental q igual a 500 kNm2 LJ l1ocml 4001 50cm FiguraAI5 Seção transversal adotada para a laje do exemplo a Cálculos preliminares al Carga total atuante na laje AHEm 1 AexJo de lajes nervuradas u nldlreclonais continuas com vlgotas 381 p 220 100 500 820 kNm2 a2 Carga atuante cm cada nervura para o intcreixo de 50 cm p 820 050 410 kNmncrvura a3 Esquema estrutural e llOmentos fletores no caso de haver continuidade P 1 11 1 1 1 1 q1 1 1 1 11 1 11 1 1 q p l 1 1 2 s PQIHllHll x PJv t R tR 2 t 2 t FiguraAl6 Esquema estrutural de uma nelVW2 e açõe admitindoa clistica estádio l e de inércia constante Admitindo que o concreto armado tenha comportamento elásticolinear não apresenta fissuras estádio 1 o diagrama de momento fletor da laje nervura pode ser calculado como o de uma viga ver capítulo2 neste caso contínua A força cortante e o momento fletor em uma seção genérica x a reação de apoio R e os momentos flctorcs máximo positivo e negativ apoio são obtidos cnforme o exemplo 1 do capítulo 4 e valem Força cortante em uma seção genérica V p x pxl Momento fletor em uma seção genérica M R x 2 M X pt2 410 º 552 15 50kN omento negativo no apoio 8 8 m pl X 3pl 341055 Reação de apoio R 8 46kN 2 l 8 8 Ponto de cortante zero M x Rp M M 9pl 2 94155 2 omcnto máximo positivo m 128 872kNm ww 1MH vc e oa uaua1a UC llLltu llldUU a4 Largura colaborante b para seção T b 10 an Antes de determinar a armadura necessária na neryura é preciso verificar como tratado no capítulo 3 qual a parcela br da capa da laje colaboºra para a resistência à flcxão da nervura l b 010a100104125Sl25cm br b 2b 1022050 Ocm br 500cm W 1 em que a 075 t 075 550 4125 cm para tràmos com momento em uma só cnremidade f05b 2 054020cm b 1 l010a01041254125crn b1 200cm b2 400 cm é a distância entre as faces internas de duas nervuras adjacentes b Primeira solução laje com dois tramos simplesmente apoiados com vãos de 55 m Nesta solução os elementos são considerados simplesmente apoiados sem continui dade Dessa forma só há momentos positivos no meio dos vãos e a seção vai trabalhar com parte ou toda a mesa comprirriida O momento máximo no meio do vão vale M 410 5 52 1550kNm 8 8 bl Verificação se a seção é retangular ou T É neio verificar se a seção trabalha como retangular ou T para o momento positivo e para isso determinase a posição da linha neutra supondo a princípio que ela passe pela mesa d 20 2 18 cm b br 500 cm M 15SO kNm KMD Md 14550 00938 br d2 fo1 050018 2000014 Utilizando KMD 0095 próximo maior valor Quadro 31 KX 01485 KX xd 01485 045 limite para a relação xd presaita pela norma x KX d 01485 18 267 cm hr 6 an LN passa na mesa seção retangular com b br 050 m ANEID 1 ieuo ae iaies nerwraaas unia1reoorias continuas com Vlgotas JIU b2 Cálculo da adura posi M Ú50 kNii KMD 0095 KZ 09406 A Md l41151550 KZdfi 0940601850 c Segunda solução laje contínua com tramos de 550 me trecho maciço junto ao apoio Nesta situação a laje é considerada contínua o diagrama de momentos é o indicado na Figura Al6 e os momentos positivo e negativo valem respectivamente Mu 872 kNm e X 1550 kNm calculados em a3 A altura mínima para garantir a ductilidade para concretos com fck s 50 MPa xd 045 é dada por d Md 2 O J Md mon b fci 06804502720452 bw fcd Aplicando a expressão para o momento máximo no vão supondo a LN na mesa b br 050 m resulta dmin 20 14 8 72 0083 m 8Jcm d 18cm altura útil real da se 050 2000014 ção e acondição d dm1n está atendida Aplicando a expressão para o momento negativo na seção do apoio em que a largura da região comprimida é b 010 m resulta d l 4 15 50 o 2 6 2 d al al d min20 4m46cm18cmruraútire a 010 2000014 seção e a condição d d1 não está atendida Nesse easo será necessário determinar o máximo momento que a seção tem capa cidade de resistir atendendo o limite de ductilidade da norma cl Cálculo do momento resisdo pela seção retanguiaf com xd 045 Em tomo do apoio momento negativo a região comprimida da seção transversal é a inferior comportandose como retangular com b lO cm Figura Al 7 Seção transversal Deformações na seção Forças resultantes 50cm A E 207o CASO Fs 1 Á 1 d 18 1LJN z Mn1 14 08x34 1 1 FC 1 10 E 35o 085f FiA17 Esquema para cálculo do momento negativo resistido pela nervura O momento resistente para concretos até a classe CSO é obtido quando xd 045 para atender a condição de ductilidade da norma Colocando xd 045 x 045 d na equação 320 resulta MRd Fo z 085 fd bw 08 x d 04 x b fal 068 045 d d 04 045 d 20000 MRd 010 14968 045 01801804045 018 ll6lkNm c2 Cálculo da largura da região maciça Uma vez determinado o momento máximo resistido pela seção da nervura basti en contrar no diagrama de momento fletor considerando o elástico dado na Figura Al6 a seção em que o momento fletor solicitante é igual 3o resistido em serviço O momen to resistido em servio é igual a JVIR MR14 116114 829 kNm A equação do momento vet Figura Al6 em que a distância x é medida a partir do apoio externo é dada por px2 3pl px 2 RxMO xMO 2 8 2 Colocando os valores de p e f resulta l 3410550 4lOx M 0 8 46 2 05 i M 0 x x x 8 2 e igualando ao momento resistente 829 kNm negativo em serviço chegase a 413 X 404 Ü l x1 495 m cujas raízes são O 82 1 x 4 98 m x2 m nao serve Assim a região maciça de cada lado do apoio será no mínimo e x 550 495 055 m adotado 55 in de cada lado Resulta então na laje detalhada na Figura Al8 admitindo que a viga de apoio tenha 20 cm de largura A L Vista superior admitindo viga de apoio com largura de 20 an 55m 1 1 o 55 r L 055 045 o 45 CorteAA CorteBB Jf j d1Ban j b 50 cm j CorteCC Seção resistente no apoio Rao t 1 iTl j b 50 cm j Figura Al8 Esquema esuurural da laje com seção maciça próxima ao apoio central cJ Cálculo da armadura negativa agora com b 50 cm egião maciça Para este cálculo desprezase a variação da inércia causada pela criação da região ma ciça M pl24105521550kNm 8 8 14141550 º 50 o 18 2 20000 0094 tomase KMD 0095 KMD 0095 liadro 31KZ09 e KX xd 01485 045 limite para a relação d presai pelançrma IMO w wwa1 to1C llC e1lllClIU A Md 141151550 2 95 2 KZdfi 0940601850 c4 Armadura positiva A armadura positiva deve ser calculada com ó momcntô sitivo dctcrminaclo a partir do cálculo elástico feito cm a3 çujo valor é 872 kNm e supondo seção retangular com a LN na mesa Cb b 050 m KMD Md b d 2 f w gJ l 4 l 4 B2 0 053tomascfMD 0055 O 50 0181 20000 KMD 0055 adro 31KZ09665 e KX xd ii 00836 045 limite para rdação xd prescrita pela onna x KX d 00836 18 150cm h 6 cm LNnamesa 14115872 l 6ltm 1 0966501850 d Terceira solução laje contínua com tramos de 550 m e armadura dupla Nesta solução usase a laje com nervura contínua e armadura dupla para garantir a ductilidade da norma o diagrama de momentos é o elástico indicado na Figura A6 dl Cálculo da armadura negativa Os momentos positivo e negativo sã respectivamcntc M 872 kNm e X 1550 kNm O mcmento resistente para concretos até a classe CSO é obtido quando x 045 para atender a condição de ductilidade danorma cálculo já feito em cl e vale M b f o 68 o 45 d d o 4 o 45 d Rl w cd 20000 MRI 01014068 045 018 01804 0450181161kNm Este momento corresponde ao momento negativo resistido pela seção retangular chamado agora apenas de M 1 O momento dado pela diferença entre o momento atuante e o resistido Ml Md M1 deve sei absorvi4o por um binário de forças normais cm que uma ccirresJride à armadura ttacioA12 e outra à compda A Considerando que a distlncia entre o CG da armadura mprimida e a borda da seção seja d 2 an resulta Armadura tracionada uo 1 r1ea1u u J vuoouo u111u11 1u11d1 ununuas com vogotas 387 A MI M2 d04x04sfi ddf A 1161 141551161 1 8 2 50 50 ll45326cm 01804045018 115 018002 115 Annadura comprimida Para o cálculo da 3rmadura comprimid A é necessário conhecer antes a tensão na ar madura comprimida f e portanto a defnnação que pode ser obtido considerando que a seção permaneça plana no ELU 035 E 035X04fd 035 045 018002 0163 045018 xo4s d Xo4s Mi A d d fd l41551161 145 l 50 cm O 180 02 115 d2 Cálculo da armadura positiva A armadura positiva é a mesma que o caso anterior pois na seção do meio do vão pelas hipóteses consideradas nada se altera e então A Md KZdf 14115872 l 6lcm 2 o 9665 018 50 e a solução laje com continuidade com redistribuição de momentos Nesta solução considerase que devido à fissuração do concreto pode haver uma redistri buição do momentos diminuindo o momento negativo e aumentando o positivo em re lação aos valores obtidos no cálculo elástico dentro dos limites estlbdecidos pela nonna ei Cálculo da armadura negativa Considerando a mbima o de momento pcnnitida pela norma supondo a estru tura de ós fixos temse li 075Assim oºmomento negativo redisoibuído atuante passa a valer xiw 075 1550 11615 kNm w e u11k11o e cucu1 MiIUGll C tUlftlelU dlllldUU Para que se possa usar este momento é preciso determinar um novo valor para a profundidade da linha neutra ç xd ô 044125 075 044125 0248 Desta maneira o momento máximo resistente M1 é dado por M b d2 fcd o6sço2nç2010o1s2 20000 o6so248o212 14 02482 M 703 m Xrcddc 11625 kNm necessário portanto empregar armadura dupla Considerando novamente que a distância entre o CG da armadura compiimida e a borda da seção seja d 2 cm resulta Armadura tracionada A 703 14 11625 703 1 00 1 33 2 33 2 50 50 cm O 18040248018 O 180 02 l 15 l 15 Armadura comprimida Para o cálculo da armadura comprimida A é necessário conhecer antes a tensão na ar madura tomprimida r e portanto a defornação s que pode ser obtido considerando 0 que a seção permaneça plana no ELU 035 E 035 x0 45 d E Cxo4s d Xo4s 035045018002 0 263 o 45 0 18 Ei 0207 A M 2 411625703 ddf 50 1v 0 180 02 115 133cm1 ÃllOD 1 Flexão de lajes nervuradas unidirecionais continuas com vlgotas 389 e2 Cálculo da armadura positiva Nesse caso o momento máximo negativo atuante é o redistribuído determinado ante riormente X 11625 kNm A partir do esquema estrutural montado na Figura Al 9 é determinado o momento positivo correspondente 5 52 1 Mb 0 55Ra41011j250 41 kNm º Ra916kN f n11111111f S50 m 1162511Nm h h MU VO 9164lOxO X 223m M 916223 4l0 2 2 232 1023kNm FiguraAl9 Esquema csnutun1 da laje 5cr1 seção maciça Pximi ao apoio central e com momento ncgatiio igual ao momento redistribuído Ó momento positivo é MnW 1023 kNm e a armadura correspondente passa a ser supondo a linha neutra passando na mesa bw br 050 m KMD Md e 14 l 4 l0 23 O 062 tomase KMD 0065 br d 2 fo1 05Q0182 20000 KMD 0065 Quadro 31KX00995 KZ 09602 KX xd 00995 045 limite para a reliçto xd prcscritt pela norma x KXd0099518179cm hr6cm LN na mesa seção retangular b br 500 cm A KZdf 141151023 l 90 cm 2 º 9602 o 18 50 No Quadro Al1 fazse um resumo dos resultados obtidos para as armaduras positiva e negativa nas dirsas situações para a làje QuadroAl1 Momentos Betorcs e annaduqs positiva e negativa partas diversas situações Situação Momeatom Largura da SCfáo ArmadWll Laje com dois tramas M 1550 kNm b b1 500 cm 295 anl isostíticos Momento negativo O M 0 Seção b Quu1ro Al1 ContifluaftltJ Situação Momento kNm Lugun ela ICflo Armadora Laje continua com re M M 872 kNm b br 500an 161 anl gião maciça Mimento do cálculo dástico M M 1550 kNm b SO an 295 anl Seção c LiJe contínua armadura M B72kNm bº br 500 cm 161 anl dupli Momento do cilculo elástico I M 1550 kNm b 0 b 10 cni 326 145 an2 Seção d w Laje contínua M 10 23 kNm b br 500 cm 233 133 cml Momento negativo M M 11625 igual ao redistribuído b b lOcm 190onl Seção e kNml ÃNEX02 QUADROS DE VÃOS MÃXIMOS E CONTRAFLECHAS PARA LAJESCOM VIGOTAS PR MOLDADAS É possíve uma vez fueada a geometria e armdura calcular os momentos resis tidos ou vão máximos que podem ser emPrcgados montando quadros que permitem escolher os tipos de laje sem calculálas Os primeiros quadros que surgiram indicavam para cada geometria e ação apli cada qual o máximo vão rcsjstido Entretanto não eram adequadas pois além de não fornecerem a armadura necessária não consideravam a condição de deformação exces siva Sabese que a alrura necessária de uma laje deve ser determinada em função do momento fietor úhimo ou da fieclta limite A deformação final da laje deve ser calcula da considerando os efeitos da fissuração e da fluência do concreto Assim a escolha da alrura deve ser cuidadosa de modo que as condições prescritas em norma para o estado de deformação excessiva sejam atendidas Os quadros existentes arualmente não levam em conta esses efeitos os quadros a seguir entretanto foram elaborados de modo a se obter a alrura e armadura de lajes prémoldadas em função do vão e ação aruante considerando as condições de colapso e de deformação excessiva incluindo nesta última os efeitos da fissuração e fluência O coeficiente de fluência q adotado nos quadros é obtido 1 partir da relação entre a deformação no tempo infinito após cerca de 10 ou 15 anos e a deformação imediata no concreto Em todas as siruações adotouse para o coeficiente de fluência p o valor 2 Outro detalhe importante é que nos quidros foi adIlitido que as lajes trabalham como elementos simplesmente apoiados desprezando a favor da segurança os efeitos da continuidade Nos quadros A21 a A23 foram admitidas contraftechas para que as condições de deformação previstas na norma sejam atendidas Os valores dessas contrafiechas estão indicados nos quadros A24 a Al6 QuadroAl1 Valores míximos m de vãos para Lajes simplesmente apoiadas com altura de 10 cm capa de 3 cm niprura e deformação excessiva arendidas Laje trdiçada1311 Classe e armadura Cargas kNmJ aoJ 05 10 15 lO 25 40 5S 60488 315 295 285 280 265 220 195 70537 320 300 290 290 275 230 205 8 0591 320 305 300 295 285 240 210 9 o650 325 310 305 300 285 255 220 100715 330 320 315 30S 290 265 235 110787 335 325 325 310 295 270 245 120865 340 335 335 315 305 275 255 130952 340 340 320 310 280 260 14 1047 350 345 330 315 285 265 IS 1152 350 335 325 295 275 16 1267 360 345 330 300 280 17 1394 365 350 340 310 285 181533 375 360 345 315 295 19168 385 365 355 325 300 201855 375 365 330 310 212040 J85 370 340 315 222224 395 380 350 325 232469 390 355 335 242716 400 365 340 lntercixo 50 cm peso próprio 111 kNmZfc11 20 MPa uuaoros ae vaos max1mos e comranecnu para ies co1 v1gotas prémoldadu 393 QuadmAl2 Valora mmmos m de vãos para lajes simplesmente poiadas com altura de 12 cm capa de 4 qn ruptun e defonnaçto excessiva atendidas Laje trcliçada Pu Claae e armadura Cargaa kNml cml os 10 1S 20 2S 40 5S 60488 375 355 325 300 280 240 210 70537 380 360 340 315 295 250 220 80591 385 365 350 330 310 260 230 90650 390 370 355 340 320 270 240 10 0715 395 375 360 345 330 280 250 110787 405 380 365 350 340 215 255 120865 410 390 370 355 345 295 265 13 0952 415 395 375 365 350 300 270 141047 425 405 385 370 355 310 280 15 1152 435 410 390 J75 365 320 285 16 1267 420 400 385 370 330 295 171394 410 395 380 345 os 18 1533 420 405 390 355 191686 430 410 400 365 3 20 1855 440 420 4US 375 335 21 2040 430 415 380 145 222244 445 430 400 355 232469 455 440 400 l65 242716 465 450 410 J80 252987 475 460 420 390 263266 485 470 430 400 273615 500 480 44 415 lntercixo so an pcao próprio 141 kNm1 r 20 ª J wcCU 11 Qpadto A23 Valons mmmos m de vios pan lajes simplesmente apoiadas com ahun de 1 an api de 4 cm ruprun e deformação excessiva atcndidu Laje tnliçadafjl6 Classe e annâdun Cargu kNmI anl os 10 1S 20 25 40 5S 60488 420 400 370 340 320 275 245 70537 440 420 385 360 135 285 255 80591 460 440 405 375 350 300 265 90650 480 465 425 395 370 315 280 10 0715 495 470 445 410 385 330 295 11 0787 500 475 455 430 405 345 305 12 0865 505 485 465 445 425 365 320 13 0952 515 490 470 455 440 375 335 14 l047 525 500 480 460 445 385 350 15 1152 535 510 485 470 455 400 355 16 1267 545 520 495 480 465 410 365 17 1394 555 530 505 490 470 425 380 181533 570 540 515 500 480 435 390 19 1686 555 530 510 490 450 400 201855 540 520 505 465 415 212040 555 535 515 475 425 222244 570 545 530 485 440 232469 580 560 540 500 455 242716 575 555 510 470 252987 590 570 525 495 263266 600 580 535 500 273615 600 550 S15 283976 615 565 525 lotcreixo 50 cm peso próprio 161 kNm1 f 20 MPa ANDo J uuaaros ae VOS INIXllllOS e conuanlltl I ie viyu iªªs Quadro Al4 Conadccha mm utilizada para atendimento das crtadas de dcfarmaçla acessin e linti te último laje P10 Cootraftecha atllmda mm 1311 Classe Cargas kNml 05 10 15 20 25 º S5 06 o o 3 6 8 8 7 07 o o 3 8 9 8 8 08 o 1 s 9 9 9 8 09 o 2 6 9 8 9 8 10 o 3 8 9 9 9 8 11 o 4 10 1 9 9 8 12 o s 11 10 io 9 8 13 6 11 10 10 9 8 14 7 11 11 10 9 8 15 11 10 11 10 9 16 12 11 11 9 9 17 11 11 11 10 9 18 12 12 11 10 9 19 13 11 12 11 9 20 p 12 10 10 21 12 12 11 10 22 13 12 11 10 23 13 11 11 24 13 12 11 n u ª uc ut lltU dlllldUU Quadro A2S Côntrafiecha mm utilizada para acendimento dos estados de deformação excessÍ3 e limite úhimo laje j311 Contraflecha utilizada mm Pu Classe Cargas kNml 05 IO 15 20 25 40 55 06 11 IO 10 9 4 o o 07 12 11 11 10 5 o o 08 12 11 11 10 7 I o 09 12 11 11 11 8 1 o 10 12 12 12 11 9 3 o 11 13 12 I2 11 11 3 1 12 13 13 12 11 11 4 2 13 13 13 11 12 11 5 2 14 14 13 12 12 11 6 3 15 14 13 12 11 12 7 3 16 13 13 12 11 8 4 17 13 13 12 10 5 18 14 13 13 11 6 19 14 13 13 12 7 20 I4 13 13 12 8 21 13 13 12 9 22 I5 I4 12 9 23 I5 I5 13 10 24 I5 I5 I3 11 25 I5 IS 13 I2 26 15 IS I4 12 27 I6 lS IS 13 iUdUfUI wciu i11dAUllU3 IC UllUClflClldO tJClld ldJC Ulll YtgUld IJfllUKJdOas y Quadro6 Contraficcha mm u para atendimento dos estados de deformação excessiva e limite último laje j316 Contraftccha utilizada mm 7 Classe Cargas kNml 05 10 15 20 25 40 55 06 14 14 14 10 5 o o 07 14 14 13 13 5 1 o 08 15 15 13 13 7 o 09 15 15 14 14 8 2 o 10 16 15 14 14 10 2 1 11 16 15 14 14 11 3 1 12 15 16 15 14 14 4 l 13 16 15 15 15 14 5 2 14 17 16 16 14 14 6 3 15 17 17 15 15 15 8 1 i 16 17 17 16 16 15 9 4 17 18 17 16 16 15 11 6 18 19 17 16 17 15 12 7 19 18 17 17 15 14 8 20 17 17 17 15 9 21 18 18 17 15 10 22 19 17 18 16 12 23 18 18 17 17 12 24 19 18 16 14 25 9 19 17 15 26 19 18 17 16 27 20 18 17 28 20 19 17 This garment is made in compliance with the regulations of the Americas Perfect for a casual or comfortable look Made with natural fibers that allow your skin to breathe Machine washable at 30 degrees Celsius do not bleach Dry in the shade Iron at low temperature Made in Peru ANEXO 3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O CÃLCULO DE LAJES MACIÇAS COM ANALOGIA DE GRELHA A31 INTRODUÇÃO Devido à impossibilidade de resolver as placas com a equação fundamental como visto no capítulo 7 durante ui to tempo e mesmo ainda hoje o cálculo de pavimentos de edifidos compostos de lajes e vigas de concreto armadoé feito de maneira simpli ficada considerandose as lajes como elementos isolados apoiados em elementos rígi dos Entretanto com o avanço da informática com microcçmiputadores cada vez mais potentes e velozes e prograllaS de análise estrutural avançados a situação é outra pois é passivei analisar o comportamento de um páviÍnenro como um todo e também lajes isoladas levando em consideração a influência da flexibilidade dos apoios e da rigidez à torção tanto das lajes como das vigas sendo aindaºpossível incluir ria nálise a não linearidade fisica do concreto armado Enrre os diversos processos que possibilitam a análise de pavimentos com a consi deração desses parâmetros destacase o de analogia de grelha ou grelha equivalente o qual em sendo muito usado com grande aceitação no meio profissional no cálculo de estruturas de concreto armado e é adequado para programação computacional Além de permitir o cálculointegrado de um pavimento o procsso de analogia de grelha permite ainda que fazendose apenas pequenas modificações em um mesmo conjunto de dados se analise um mesmo pavimento em diferentes situações de esque ma estrurural propiciando dessa maneira ao projetista rapidez na definição do sistema estrutural mais adequado a ser utilizado e Serão comparados para âlgumas situações esforços e deslocamentos transversais de lajes isoladas e de lajes associtdas obtidos a partir do emprego do processo de analo gia de grelha com aqueles obtidos pelo emprego de quadros de lajes A32 PROCESSO DE ANALOGIA DE GRELHA O processo baseiase na substituição de um pavimento por llllª grelha equivalente onde as b da grelha representam os dCmentos cstrururus do pavimento lajes e vi gas Este processo pennite roduzir o coportarnento estruturai de paentos com praticamente qualquer gcométria seja ele composto de lajes de concreto armado maci ças com ou sem vigas ou de lajes nervuradas Dessa maneira devemse dividir as lajes em um número adequado de faixas as quais terão larguras dependentes da geometria 1 CU GlfllGUU e das dimensões do pavimento Essas faixas podem ser substituídas por elementos de barras obtendose uma grelha equivalente que representa o pavimento Como visto no capítulo 7 admitese que as cargas distribuídas scdividem entre as barras da grelha de acordo com sua área de influência as cargas pOdcmscr consideradas uniformemente distribuídas ao longo das barras da grelha ou concentradas nos nós As características geométricas das barras da grelha equivalente são de dois tipos as do elemento placa laje eas do elemento vigaplaca vigalaje O cálculo da inércia à flexão dos climcntos de placa é feito considerandose uma faixa de largura b a qual é dada pela soma da metade dos espaços entre os elementos vizinhos e altura h espessu ra da placa A rigidez à torção 1 no estádio Iscgundo Harnbly50 é o dobro da rigidez à flexão Ir Assim para um elemento de placa podese escrever b h 3 1 f 12 A31 A32 Para o elemento vigaplaca na tlexão podese considerar uma parte dà placa tra balhando como mesa da viga configurando então dependendo da posição uma viga de seção T ou meio T Uma vez determinada a largura colaborante a inércia à flexão da seção resultante pode ser calculada suponde a peça trabalhando tanto no estádio 1 como no II A inércia à torção do elemento viga no estádio 1 de maneira simplificada ad mitindo a viga retangular altura h largura b sem considerar a contribuição da laje adjacente é h b 3 l 1 3 A33 Como indicado cm Carvalho 51 podese considerar o valor da inércia à torção do elemento viga no estádio n igual a 10 daquele dado pela resistência dos materiais e assim h b3 l 1 30 Os valores do módulo de deformação longitudinal àéompressão do concreto E do módulo de deformação transversal do concreto G do coeficiente de Poisson v 50 Hambly 1976 51 Carvalho 1994 lUlaJaJ I UfLMUCIClu UUlf V 0llU UC fGJC 1110nO 111 aotGlollflG UC 1111110 relativo às deformações elásticas podem ser determinados a partir das recomendações da ABNT NBR 61182003 A33 SITUAÇÕES ANALISADAS Para exemplificar o uso do processo de analogia de grelha na análise de pavimen tos de edi6cios comparar os resultados com os obtidos pela teoria das placas delgadas verificar a inBuênpa di rigid à torção dos elementos e do módulo de elasticidade transversal foram resolvidos os cxemplós a seguir Para a determinação dos esforços e deslocamentos das placas mediante a teoria das placas foram utilizados os quadros de lajes isoladas do capitulo 7 e para a resolução das grelhas foi empregado o programa GPLAN4 de Corrêa Ramalho52 versãO educativa desepvolvjdo na Escoli de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo Em todas as análises foram empregadas além do peso próprio uma sobrecarga permanente g2 de 10 kNm7 e uma carga acidental q de 30 kNm2 e as seguintes caracterisritas para o concreto E 320 107 kNm2 G 04 E 0 128 107 kNm2 item 829 da ABNT NBR 61182003 An4Jise 1 Comparação entre os dois processos analogia àe grelhas e teoria das placas com quadros para uma placa quadrada de 30 m 40 m e S cm de espessura suposta simplesmente apoiada no seu contorno e indeslocável verticalmente Para a análise da placa com a analogia de grelhas foi utilizada uma grelha equivalente composta de 25 nÍs e 40 barras Figura AJ l com espaçamento de75 cm entre as barras nas duas dircçõe 1 2 3 5 t E1 i E2 i EJ T E4 1 E5 E6 E7 EB 40 E22 E28 EJO E34 E38 f f 2 E1Q f E11 f E121lS E23 E27 E31 EJ9 f E13 f E14 f E15 f E16 f E24 E28 E32 E36 E40 E17 E18 E19 1 E20 Jis FigunAJ1 Grelha equivalente da placa da anilisc 1 malha com 25 nó e 40 barras 52 Coma Ramalho 1987 w CV 11V A carga total sobre a placa é p 008 25 10 30 60 kNm2 e o carrcga mcnto da grelha foi determinado conslderanda llS cargas uniformemente distribuídas nas suas barras a partir da área de influência das barras Assim d 075075 6 n 2SkN barras o contorno p 11 m 4075 o75 075 6 o 2 250kN barras internas p 2 m 4075 Os esforças e os deslocamentos no centro da plãca nó 13 barras ElO Ell E30 e E31 obódos admitindose comportamento linar estão apresentados no Quadro A31 adio AJt Momento flctor kNmm e flecha mrri a ctnao da pJaca do exemplo 1 Mddos de cálculo mm Flecha Analogia de grelha A 2895 2106 Qyadros B 231 1385 Ra1ão AIB 1216 1521 Com os resultados do Oiadro AJl observase que o momento fietor obtido pcla utilização da analogia de grelha resultou maior que aquele obtido utilizandose os quadros de placa aproximadamente 22 enquanto a flecha resultou maior em apro ximadamnre 52 Destacase que neste caso na analogi degrelhas foram adotadas as mesmas simplificações da teoria das placas Em análises com malhas mais densas os resultados foram mais próximos daqueles da teoria d placas mas sempre maiores Análise 2 Esta situação é idêntica à anterior apenas alterando as dimensões em planta da placa sendo agora retangular de 300 x 480 Para a analogia de grelha foi utilizada uma grellia euivalente composta de 55 nós e 94 barras Figura AJ2 com espaçamen to entre as barras igual a 48 cm na maior direção da placa e 75 an na menor direção uu wun u 411Uou ldJn U5 com ani1og1a ae grelha 403 O carregamento total sobre a placa éo mesmo da situação anterior e as cargas também foram consideradas uniformemente distribuídas nas barras Os esforços e os deslocamentos no centro da placa nó 28 bamis E25 E26 E72 e E73 obtidos consi derandose comportamento linear estão no Quadro A32destacando que neste caso os momentos nas duas direções são diferentes Quadro A32 Momento Becor kNmm e Becha mm no centro da placa do exemplo 2 Modelos de cálculo m m Flecha Analogia de grelha A 5194 1636 3554 Quadros B 4504 1696 2830 Razão AIB 1153 0965 1256 Os resulcados apresentâdos no OJadro A32 mostram que o momento fletor na menor direção da placa obtido coma utilização da analogia de grelha resultou maior que aquele obtido utilizandose quadros aproximadamente 15 enquanto o momen to fletor na maior direção da placa resultou 35 menor e a flecha resultou maior em aproximadamente 26 Os resultados parecem indicar que à medida que a laje se aproxima daquelas àrmadas cm uma direção os valores serão bastante próximos o que é razoável pois o comportamento passa a ser quase o de viga Análise 3 Para verificar a influência do módulo de deformação traJlscrsal do concreto nos resultados da analogia de grelha foi analisada novamente a placa da primeira aná lise para diversas malhas com as relações GEc 04 e GEc 02 As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas nas barras das grelhas admitindose com portammo linear Os resultados está presentados no Qyadro AJ3 Qpdro AJ3 Momento fletor kNmm e flecha mm no centro da placa do exemplo 1 para as relações GE 04 e GE 3 02 Relação GE Relação GE OlA 04B OlC 04D Malha da grelha m m 1 m m 1 RazãoAIB Flecha Flecha RazioCD 1alha 1 75 x 75 cm 3308 2895 1143 359 2106 1120 Malha 2 50 x 50 cm 3182 2636 1207 2286 1941 1178 Malha 3 30 x 30 cm 3073 2450 1254 2205 1799 1226 Malha 4 15 x 15 cm 2973 2320 1281 2128 1693 1257 Os resultados indicam que o momento fletor e a flecha no centro da placalumen taram com a redução da relação GE de 04 para 02 este comportamento se explica pelo fato de que aó diminuir o valor domódulo de deformação transversal do concreto diminui a rigidez à torção dos elementos da grelha e com isso há uma redução dos momento torsores nas extreflidades das barras como o equilíbrio deve ser mantido ocorre um acréscimo dos momentos fletores e também da flecha no centro da placa Análise 4 Comparação da influência da deslocabilidade do apoio das placas analisan do a laje do exemplo 1 considerando agora que ela se encontra apoiada no contorno em vigas de seção 20 x 30 cm estando estas vigas apoiadas em pilares nas suas extremi dades Figura A33 Na analogia de grelha foi utilizada uma malha 15 x 15 441 nós e 840 barras As vigas de contorno da laje foram admitidas coo retangulares sem a COItribuição da laje adjacente e as inértias à flexão e à torção foram calculadas no es tádio I As cargas foram consideradas uniformemente distribuídas 112S barras da grelha Os esforços e os deslocamentos obtidos para o centro da placa estão apresentados no Qiadro A34 Com os resultados do Qiadro A34 observase que o momento fletor obtido com a analogia de grelha é menor que o obtido com os quadros de placa em aproximada mente 27 e a flecha é menor em aproximadamente 7 Como a inércia à torção das vigas de contorno é elevada maior que a própria inércii à flexão nos nós corresponden tes ao encontro dos elementos de placa com os elementos de viga nós do contorno d grelha equivalente surgem momentos fletores negativos evados cqntribuindo para que ocorra uma redução do momento fletor positivo e da fikcha no centro da placã ANDo 3 Considerações sobre o cJlculo de lajes maciças com analogia de grelha 405 Quadro AJ4 Momento 8ctor kNmlm e llccha mm no centro de uma plaia quadrada apoiada cm Yigas deformáveis verticalmente Moddos de cálculo m 1 m Analogia de grelha A 1693 Quadros B 2320 Ratio AIB 0730 Viga 2030 Pilar ti 1 o ô a 13 Laje h 8 cm 1 5 5 Viga 20130 Pilar 1 30 tn Pilar r 1 1 EI j 1 1 1 Pilar Figura A33 Placa quadrada apoiada cm vigas dcformheis vcnicalmcmc Flech1 1576 1693 0931 Análise 5 Verificação da influência nos valores do momcnro flctor e da flecha no centro da placa do exemplo 1 com miJha 15 15 441 nós e 840 barras quando se admite a iné1cia à torção das vigas de contorno da placa no estádio II mantendo inalterada a iné cia à flexão das mesmas estádio 1 A inércia à torcão das Vigas no estádio II foi tomada como 10 da inércia à torção das vi no estádio I conforme Carvalho53 Os remltados estão no Oiadro A35 nas duas stuações o cálculo foi efetuado com analogia de grelha Quadro AJ5 Momento 8etor kNmm e flecha mm no centro de uma placa quadrada apoiada em vigas dcformávcis e com inércia lrtorçio no estádio 1 e no estádio J I Sitwlfão das vigas de coo toma mm J1echa Com inércia à torção no estádio Il A 2093 1914 Com inCrcia à torção no estfdio 1 B 1693 1576 Razão AB 1236 1214 53 Carvalho 1994 4Ub CAicuio l aeta1n11menro oe estrucurd uu Observase que o momento fletor e aflecha no centro da placa aumentaln dig nificativamente quando se considera a inércia à torção das vigas de contomo14 pllca no estádio li para o centro de uma paca de 30 x 30 m e cipcssura de 80 cm apoiada no contorno em vigas de 20 x 30 cm deformáveis verticalmente e com inér cia à flexão no estádio l e inércia à torção no estádio II vcriúcasc que o momento flctor é maior que o obtido com a inércia à torção destas mesmas vigas no estádio l aproximadamente 24 o mesmo ocorreu com a Becha que é maior em aproxima damentre 21 Para se observar a diferença entre o cálculo com os dois métodos com a inércia à torção das vigas no estádio II na analogia de grelha os resultados da teoria das placas por meio de quadros montouse o Qjiadro A36 cujos resultados mostram que 9 momento fletor obtido com a analogia de grelha é menor que o obtido com os quadrosº de placa cm aproximadamente 10 enquanto a flacha é maior erri aproxi madamente 13 Quadro A36 Momento fletor kNmm e Becha mm no centro de uma placa quadrada apoiada em vigas deformáveis e com inércia à torção no estádio If para os dois processos Modelos de cálculo mm Flecha Analogia Je grelha A 2093 1914 Qyadros B 2320 1693 Razio AIB 0902 Ü31 Análise 6 Cálculo de um pavimento completo de forma integrada co o processo de analogia de grelha diferentemente do cálculo clássico que considera os elementos componentes do pavimento de forma irolada sem levar em conta a interação entre os I mesmos o pavimento é composto de quatro lajes seis vigas e nove pilares conforme a Figura A34 Os resultados são comparados com os obàdos utilizandose quadros para cálculo de placas C 9dHUIUU ldJtl llldlodltCUtGttG CIClllG P1 liga 20l40 P2 P3 L2 h 10cm 1 1 P41 3 pz1 P6 ÔI s l3 h 101111 tD º N 1 L4 h 10cm o 1 40 Pi71EjJlillP9 1 PB 1 1 4111 4m FigunAJ4 Fõnna do pavimento cxtrnplo 6 E E A carga coral neste pavimento difere da empregada nos demais pois a altura das lajes é de 10 cm resultando uma carga p 010 25 10 30 65 kNm 2 A inércia à torção das vigas foi calculada no estádio II 10 da inércia à torção no estádio l e a inércia à flexão foi calculada no estádio l As vigas foram consideradas retangulares sm a contribuição da laje adjacente Na analogia de grelha foi utilizada uma malha com 441 nós e 840 barras com CSpaçamenro de 40 cm entre as barras nas duas dire ções e as cargas foram uniformemente distribuídas nasbarras Os resultados estão no Qyadro AJ7 Quadro AJ7 Momentos fieiores kN e ficha mm nas lajes do pavimento do cxcniplo 6 Laje nt m X X Flecha Grelha Ll L2 L3 L4 A 3123 6325 2043 2922 7270 1258 l 1069 0870 1624 s resultados mostram que 0 momento ftetor positivo obtido com a analogia de pouco maior que o obtido com os quadros de placa aproximadamente 7 Jº o momento Betor negativo é énor em aproximadamente 1396 e a flecha é o em tomo de 62 a utilização do processo de analogia de grelha é possívd calcular javimetos to armado de uma fonna regrada e desse modo a contribuição de cada 1toque compõe o pavimento fica corretamente caracterizada cujos esforços e ntos tendem a ser mais Precisos e mais próximos dos valores reais wc11 WC MI ClU dl Ili Como conclusão principal é pSsívcl afirmar que o cálculo com os quadros baseados na teoria das placas d é útil para uma análise inicial ou um prédimensionamento mas sempre que possívd devese buscar processos cm que as simplificações usualmente empregadas possam ser desconsideradas REFERtNaAS AMERICAN CoNCRETE INSTITUTEACI Ji895 building code requircments for strucrural con crctc Fannington Hills Dettoit 1995 ACI 318R95 commentary of building code rcquircmcnts for srrucrural concretc Fannington Hills Dettoit 1995 Assoc1AÇÃO BRASILEIRA DAINDÚSTRIA DE LAJES S1NDICATO DA INDÚSTRIA DE PRODUTOS ot CIMENTO DO ESTADO DE SAo PAULO Manual técnico sistema treliçado global São Paulo 1998 Assoc1AÇÃO BRASILÉIRA DE NORMAS TÉCNICAsABNT NBR 61181980 projeto e cxcellção de estruturas de concreto armado Rio de Janeiro 1980 ABNT NBR 61191980 cálculo e execução de laje mista Rio de Janeiro 1980 cancela da e substituída pela ABNT NBR 61182003 projeto de estruturas de concreto proccdimlnto ABNT NBR 61201980 cargas para o cálculo de estrutura de edificações procedi mento Rio de Janeiro 1980 vcrsio oorrigida 2000 ABNT NBR 61231988 forças devidas ao vento cm edificações procedimento Rio de Janeiro 1988 versão corrigida 2 de 2013 ABNT NBR 71971989 projeto de estruturas de concreto protendido Rio de Janeiro 1989 cancdada e substituida pela ABNt NBR 61182003 projeto de estrururas de coQCnto procedimento ABNT NBR 126541992 controie tecnológico de ma reriais componentes do conrntu procedimento Rio de Janeiro 1992 versão corrigida 2000 ABNT NBR 74801996 banú e fios de aço destinados a armadúras para concreto ar mado especificação Rio de Janeiro 1996 ABNT NBR NM 671998 concretodeterminação da consistência pelo abatimento do tronco de cone Rio de Janeiro 198 ABNTNBR 1485912002 laje rébricada requisitos Parte 1 lajes unidirecionais Rio de Janeiro 2002 ABNI NBR 1485922002 laje prébricada requisitos Parte 2 lajes bidirecionais Ri de Janeiro 2002 ABNT NBR J186012002 laje préfabricada pnlaje requisitos Parte lajes uni direcionais Rio de Janeiro 2 ABNT NBR 1486D22002 laje prébricada prélaje requisitos Parte 2 lajês bidi recionais Rio de Janeiro 2002 ABNT NBR U8612002 laje préfabiicada painel alvmlar de concreto protcndido roa Rio dcJanciro2002 41 O Olallo e detAlhllmero de estruturu ldUllls de concmo annado ABNT NBR 148622002 armaduras treliçadas eietrossoldadas requisitos Rio de Janeiro 22 ABNT 1wBR S7J82003 concreto procedimento para moldagem e cura de corpos de prova Rio de Janeiro 2003 emenda 1 2008 ABNT NBR 61182003 projeto de estruturas de concreto procedimento Rio de Janeiro 2003 ABNT NBR 71872003 projeto de pontes de concreto armado e de conacto protcndi do proceditnent0 Rio de Janeiro 2003 ABNT NBR 86812003 ações e segurança nas estruturas procedimento Rio de Janeiro 2003 versão corrigida 2004 ABNT NBR 149J1200I cecuçio de estruturas de concreto prVccdimento Rio de Janeiro 2004 ABNT NBR 90622006 projeto e execuçlo de estruturas de concret prémoldado Rio de Jane 2006 ABNT NBR 126552006 concnto de cimento Portland preparo conttole t recebi mento procedimento Rio de Janeiro 2006 AJJNT NBR 15421 2006 projeto de estrururas resistentes a sismos procedimento Rio de Janeiro 2006 ABNT NBR 57392007 conreto ensaio de compressão de carpas de ptoV2 cilíndri cos Rio de Janeiro 2007 ABNT NBR 61182007 projeto de estruturas de concreto procedimento Rio de Janeiro 1007 AflNI NBR 74802007 aço destinado a armaduns para estruturas de conacto armado especificação Rio de Janeiro 2007 AJJNI NBR 85222008 conacto detqminaçio do módulo csdtico de elasticidail compnaslo Rio de Janeiro 2008 AJJNI NBR 89532009 concreto para fins estruturais classificaçlo pela massa cspé cifica por grupos de reaistlncia e comist Rio de Janeiro 2009 corrigida 2011 AJJNT NBR 121422010 conacto detuminaçio da nsistência l traçlo na flmo de arpoe de pron primmticos Rio dCjaneiro 2010 ABNT NBR 72222011 concreto e argamassa deiennínaçio da resilttncia l traçio por compressão diametn de corpos de cilíndricos füo de1aneiro 2011 ABNT NBR 152002012 projeto de estrucuru de conaeto em situaçlo de indndio Rio de Janeiro 2012 ABNl NBR ISO 68921201J matcriaia met4licos ensaio de traçlo Parte 1 mmxlo de enaio l temperatura ambiente Rio de Janeiro 2013 Refertnclas 411 ABNINBR 61182014 projeto de estruturas de coo procedimento Rio de Janeiro 2014 BARES R Tdlas ti c4aJo dt plaau y vigos ptnwú Barcelona Editortal Gustavo Gili 1972 BoRGESj U A Critirios dt projtto IÚ lajes rrervrmuJas com vigotas prlfabricodils Dissemção de Mestrado Escob Politécnica Univusidade de São Paulo São Paulo 1997 BRANSON D E Proceduns for computing deftectionsACounuu Nova York n 65 set 1968 BuscARIOLO L G S1LVA M A F CARVALHO R C F1CUEIREDO FILHO J R Estudo ex perimental do comportamento da região das mesas de bjes com nervuras parcialmente pré moldadas coidcração da punção ln SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO 5junho de 2003Anaú São Paulo2003 CAIXETA P D Contrih11ilio dt lttjts misbu priftlbriauJu com ffigas trtlipuJu Dissertação de Mtrado Faculdade de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campiu Campinas 1998 CALAVERA J R PEIRETTI H C GOMEZ J A F GoNZALEZ F J L Comportamitrrto hasta rotura dt forjados iss4icos t biperattlrüos dt viptüu amuuias Madri EscuclaTécnica Superior de lngenieros de Caminos Canalcs y Puertos Univcrsidad Policécnica de Madrid 1998 CARVALHO R e An4list não fintar dt pavimmtos dt tdificios dt conrrtO afrtlfJis da analogia dt trtlha Tese de Doutorado Escob de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos 1994 CARVALHO R C FIGUEIREDO F1LofO J R FuRLAN jUNIOR S FLóR10 M C Estudo ex perimental do comportamento à flexãoe ao cisalhamento de lajes unidirecionais com vigotas prémoldadas ln JORNADA SuLERICAlMS DE ENCENHARIA ESTRUTURAL 30 27 a 31 de maio de 2002Arraú Brasüia2002 CARVALHO R C FuRLAN jUNIOR S FIGUEIREDO FILHO R Reações nas vigas de apoio cm pavimentos executados com bjes prémoldadas ln CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO 40AnaiJ Rio deanciro 1988 CARVALHO R CjuSTE A E MoRAEs c A Diretrizes para 1 YCrilicaçio do estado limite de defonnaçãp excessiva de pavimentos de concreto armado ln ORNADAS SuLAMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL27Anaü São Carlos 1997 CARVALHO Íl C PARSHJAN G A F1GUEJREDo F1LH0J R CIEJ A M Estudo da arte do cálculo das lajes prébricadas com vigotas de conceito ln 1 ENCONTRO NACIONAL DE PEsQu1SAPRoJETOPRoDUÇÃO EM CONCRETO PatMoLDADO São Carlos 2005 CEBFIP Model Code 1990 final drút Butin DlnfomuitiDn Lausanne n 203205 1991 CoM1Tt CT301 PnUill bMOONptmi atnlltmu IÚ ttlifkios dt rrfw 1 cstrutwu de pequeno porte São Paulo HACON lld 1 L u1cu10 e aeta1namenio ae esm11ura1 usuais ele concreto armado CoRREA M R SMALHoMA Sistema laser de análise trutural ln SIMPÓSIO NACIONAL ÓE TECNOLOGIA DE CONSTRUÇÃO SOFTWARE PARAO PROJETO DE EDIFfCIOS 5 Anais São Paulo 1987 D1 P1ETRO J E Ptojcro execução e produção de lajes com vigoras prémoldadas de concreto Dissemção de Mestrado Universidade Federil de Santa Catarina Florianópoüs 1993 DROPPA JúNIOR A Anlisc cstruturil de lajes formadas por dementos prémoldados tipo vi gota com armação treliçada Dissertação de Mestrado Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos 1999 EuROCODE 2 Design of conrrtu structuru Part 1 gcneril rulcs and rulcs for buildings Bruxelas CEN 1992 ENV 199211 F1GUEIREDO F1LHO R MARINS NETO J CARVALHO R C FuRLAN juNJOR S Estudo de pavimentos de lajes prénioldadas determinação das reações nas vigas do contorno ln ORNADAS SUDAMERICANAS DE INGENIERIA ESTRUCTURAL 29 13 a 17 de noembro de 2000 Anais Punra dei Este 2000 F10R1N E Arranjos dt armaduraJ tm tIruuraJ dt conrrtfo armado Dissertação de Mestrado Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos 1998 FLÓRIO M c Projeto e eJctCUfÔO de lajes unidirecionais com vigotQJ em conrrtto armado Dissertaçã de Mestrado Universidade Fcderil de São Carlos São Carlos 2003 Disponível em htrp www2ufscarbrinterfueamcslindcxphplinkhttplwwwbcoufscarbr FLóRIO M C CARVALHO R C FIGUEIREDO F1LHO J R FuRLAN juNIOR S Flechas em lajes com vigotas prémoldadas considerando a fissuração e o uso da expressão e Branson ln CONGRESSO BRASILEIRO DO CoNCRETo 45 Vitória Anais Vitória 2003 FoNTES F F Análise esuutunl de Clementos lineares segundo a NBR 61182003 Dissertação de Mestrado Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos 2005 FRANCA A B M Fusco P B Às laja ntrouratim mOÚnul construção tÚ tdifícios São Paulo AFALA ABRAPEX 1997 FURLAN jUNIOR S Vigas tÚ concreto com liVtlU rtdurüJu tÚ armadura tÚ cisalhammto inBuência do emprego de fibras curt2S e da protcnsão Tese de Doutorado Escola de Engcnhaiia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos 1995 FuaLAN JuN1oa S F1GUEIREDO F1LHOj R CARVALHO R C BoNFIM D A Análist experi mental em lajes prémoldadas de concreto a plastificação e os valores dos momentos negativos cm dementas hipcrcstiticos ln ORNADAS SULAMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL 30 27 a 31 de maio de 2002Anais Brasília 2002 Fusco P B nlrrHÍUfãa ao projt esnlhmlÍ São Paulo McGrawHill 1976 tÚ ctJnrrdrr solici normais Rio de Janeiro Guanabara Dois 1981 Referências 413 Estnmmu áe concrtltr solicitações tangenciais São Paulo Escola Politécnica da USP 19821984 Timica de armar tu tstrlllurtu de concreto São Paulo Pini 1995 GHALI A FAVRE R Ooncrett structuru stresses and deformarions Londrcs Chapman Hall 1986 GuERRJN A Trlllalio de concreto trrmlllio Sio Paulo Hemus 2003 HAMBLY E C Bridgt áed behaviour Lon Chapman and Hall 1976 lsAIA G e Ed Omcreto ensino pesquisa e realizações São Palo 1RRACON20052006 2 JoHANSEN K W Linhas de ruptrmr teoria e prática Riô de Janeiro Ao Livro Tcnico SA 1962 Yielálinefarmulaefor sÚÚJs Londres Cement and Concrctc Association 1972 JusTE A E Estudo dos deslOCllmmlOS áepaVimmtos áe edifícios de concreto armado São Carlos DECivUFSCar 1997 relatório de iniciação científica FAPESP JusTE A E MoRAES e A CARVALHO R c Diretrizes para a verificação Jo estado limite de deformação cxccsshade pavimentos de concreto armado lnXXYIIJoRNADAS SuLAMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL 27AMis São Cilrlos 1997 v 2 p 735 iATAOKA L T Estudo txptrintal da defarmaáo ao 01go áo tempo dt ltljn continua t sim plesmmte apoüuilu euUtlUÍJu com fligotas primoldaáas de concreto Dissertação Jt Mestrado Universidade Federal de SãoCarlos São Carlos 2005 Disponível em httpwww2ufscarbr interfaccframcsindcxphplinkhttpwwwbcoufscarbr LAJES DO FUTURO Construdo São Paulo São Paulo n 2616 p 1619 mar 1998 LANGENDOICK T V Teoria élemtnlar das chamâr111 fldsticaJ São Paulo Associação Brasileira de Cimento Portland 1976 LEONHARDT F Construfõts de concrtltr verificação da capacidade de utilização Rio de Janeiro Interciência 1971 v 4 LEONHARDT F MõNNIG E Constru6ts áe concreto Rio de Janeiro lnrerciência 1977 Lnwoo M P Concrtto anruuJo quadros e 4bacos São Carlos EESCUSP 198 n1893 LalÕHTPOOT E SAwKo F Sttuctural e analysis by clcctronic computer gridc framcworks rcsolvcd by generaliscd slope dcflcction Bnginetring n 187 p 1820 1959 LIMA e o Boletim timko MeáiturlntJT sistema trcliçado global 4 cd Campinas 1993 MuQUESI M L G Fn771mmta campuumonal para cálculo wrifaafão t detalhammto tk stfóa iniis de amrtto e protmdiáo TUbmdiJm à flo4o narmal São Carlos DECiv UFsCar 2010 relatório de iniciaçlo çicntfiica FAPlSP MAaT1N1w D A O MomANAJU I 5AvAss1 W Pticas eldstictu São Cos EESCUSP 1986 n 2686 JIMUIU UWdll ldll IW DU UlUllll uwaas ae Ulll1Cleco mTnaDO MAZZILLI A R M Jnfodneúl Jluibilidadt tias vigas th o no alkrJo th tsn1lmu liuJifkios Diaacruçlo de Mestrado Escola Pollrlcnica Univuúclade deSlo Paulo Slo Paulo 1988 MEDITERRÁNEA Manual de rabelas priticas Notin4rio Metlilrmbu11 Campinu ano 3 n 4 1et 1992 MESQl11TA V V CAllVALHO R c Esolha lia tlÍrnr1 th llljes plmoúJJuias paro ptzvimmlDs lit elifoilpa toruülmnuJo as wrifaaf6ts tJo estolio limite último dt dtfrmNlf4o ncuuim Sio Carlos 1999 relatório FAPESP MlNISTERJO DE OaRAS PúBLJCAS IRANSPORTES Y MEDIO AMatENTE lnstrwti6n paro ti prvyec to y a tjtrurión dt forjodos 1a1üimccionola tÚ honnig611 armtuio o petmsado EF96 Madri 1996 MOLINA V E CARVALHO R c Programo PROPF VII CIC Sio Carlos Universidade Federal de Sio Carlos 1999 MoNTOYA PJ MESEGUER AG CABRÉ F M Hg6n llr1Nllio 13 ed Bucelona Editorial GustlM Gili 1991 MRAES c A Es dos dtslOU1mmlos de jtlflÍmmtos dt tliifttios tÚ C011crtto triwuuo Sio Clos DECivUFSCar 1996 relatório de iniciação científica FAPESP MõascH E TtOrla y fddiaJ titi honnigrin armado 6 v Banelona Editorial Gusuvo Gili 1948 MouRA M W MARCELINO N A Avaliação di deformação em lajes bidirecionais de concreto aniwio lo SIMPÓSIO EPUSP SOHE ESTRUTURAS DE CONCRETO sAnais São Paulo 2003 PEIXOTO E M et ai Os efeitos da vibração mecânica do concreto no comportamento à flexão de lajes com lgotas pmoldadas ln CoNCRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO 44 Anois Belo Horizonte 2002 PEREIRA V F Manual IÚ proj110 dt llljes prlmoúJJuias trtliçadOJ São Paulo Associação dos Fabriantes de Lajes de Sio Paulo 1998 RocHA A M Now cuno prdtico tÚ onrreto armado Rio de Janeiro Científica 1972 v l RoccA C CARVALHO R C F1cuEJREDO F1LH0J R FulllAN juN1oa S T1R1NTAJ11 M R A Estudo experiment21 da deformaçlo ao lo do tempo em lajes com vigotas prémoldadas ln JoaNADAS SvLAMERICAJolAS DE ENGENHARIA EaTRUTVRAL 30 27 a 31 de maio de 2002 BAnaü Braaf1i2 2002 ROscH H Hormig6n a7fllllo yig6n prtlmsllJJo Barcelona Compalúa Editorial Colltinental SA 1975 SANCH u R F C4nJJo tÚ aforros t dulouzmmJoJ mi pwimentos dt uiifkios crnuilkrarulise rruNÜos I F6rios ti o crmrrr1a Diasertaçla de Mestrado la Eagmharia de Sio Carlos UnMnidadc de Slo Paulo São Carlos 1998 5ANT1N C R Projtto t dt lajes flfobriauJas dt ttmrrtlo llr1Nllio Dissertaçãode MCltrldo Univmidadc Fedcnl de Slo Carlos Sio Carlos 2005 DiaponJftl cm http www2uúcarbrfmtcrúceuncsliodaphplinkhttplWwwbcoucarbr T1MOSHENKO Sj Wo1NOWS1CY K 1htrtry of platu tnUl shells Nova York McGrawHill 1959 T1R1NTAN M R A Roccr A C F1cu1REDO F1LH0 J R CAavALHo R C FURLAN ONIOR S Estudo teórico da dcfonnaçio devida l ftuncia do concreto cm lajC com nervuras prémoldadas ln ORNADAS SuLAMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL 30 27 a 31 de maio de 2002 Brasília Anau Brasília 2002 T1R1NTAN M R A RoccEA e FuRLAN JuN1oa S CA1tvALHo R e F1cruE1REDo F1LH0J RDcfonnaçio dcvicl2 à ftuência do concreto cm lajcscom yigotas prémoldadasln ÇoNGltESSO B1LE1Ro Do CoNcRETo 45 VitóriaAnau Vitória 2003 CMculo deailhamenlD de esvuturas uSUlls de rNdo Enmi 1 a Eanua em calCllllD anMdo Figuni 14 Dismtizaçto da cstrutun da rigura 12 C1x Ed Ecc Figun lB Diagrama tcnsioddOrmaçio do concmo adaptada de Fusco 313an P1 V1 P2 g P3 V3 P4 Figura 26 Planta do pavimento pan do comporumcnto de Laje pdmoldada 2 alculo e detalhamento de estNturas usuais de coto armado Errata 383an 383an P1 V1 P2 P1 1 12 l l11 1 1 1 P3 113 4 P3 V3 P4 Siluaçlo elenwltas lolados b Süumçlo 2 laje pr6moided 383an 1 V1 P2 P3 V3 P4 f J Ju ZA 1 Seçlo ele liluaçlo 3 Figan 21 Situações analisada clcmcntoa ilobdos laje piímoldada e laje maciça 110JI V Concról lançada pma lormllr capa com vigala l8jcllll J6 polician8d8s 15 1400 o 1200 t 1000 j ã 800 it 800 ri OO 200 o o 2 Nerwru 3 5 li 7 8 9 lledlll nvn Figun 217 Esquema do CDAio de flmo e a carga flecha de uma nervura de laje pif moldada 4 CAicuio e deUlhamentD de estrubnS usuais de mnaW1D llmldomll 500cm õ V103 Figural19 Planta de fõnnas do cumplo 1 340 100 1 1 iillJ 1 P1 V1D1 1 P2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 B 1 1 P4 1 1 1 1 I lg 1 1 I 1 1 1 1 1 P8 V103 1 f7 1 1 1 Figwa 221 Plaata de fonnu do pavimeiato do C111Cmplo 4 v102 s 300 1 P3 1 1 1 1 1 1 P5 1 B 1 1 1 PI 1 J 1 akulo e clecahmenlD de HtnnWas uSUlls de ConcrelD ãnnado Emta 5 e G li L l L b Emdiol Esbldio li Esbldio Ili Figura 33 Comporumenta da leÇlo de uma viga de concmo annado na ftcdo normal simples VISTA 1AT1RAL VISTA DEFOllMACÕES t 1çlJFc ÀJl z E1 Fs C E fa A s Figura 3S Diagnmas de tensões no concreto no estado limite último pan concretos de chsses C50 a C90 Vista Vlstl laierJ lrOnlll hfl t 1 E 1im A E1 Figan 316 Mesma 1iaaçio da Figura 315 com E correspondente ao valor de xd 045 impona pela ABNT NBR 61182014 aumento da dllClilidadc 6 Cálculo e delllhamento de estruturasusuais de concltto armado Errall b rigun Jl 9 Seçio de uma ga com armaura dupla Seção transversal Deformações na seção Forças resultantes 50 cm A E 207o CASO fãf rlt E 35o 085fal FigunA17 Esquema pan cálculo do moento negativo resistido peb nervura Teri SmithDance Em potem PNs Ufor Youtia wty itraz tF ê it This image contains only visual dots arranged vertically and does not have any textual content to extract