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Gabarito Lista de Exercícios sobre Modelagem de Circuitos Elétricos Q1 𝑉𝐿𝑠 𝑉𝑠 𝑠2 2𝑠2 3𝑠 1 Q2 𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑖𝑠 3𝑠2 6𝑠3 5𝑠2 4𝑠 2 Q3a 𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑖𝑠 2𝑠 3𝑠 2 Q3b 𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑖𝑠 1 4𝑠2 2𝑠 2 Q4 𝑣𝑖𝑡 𝑣𝐿𝜏𝑑𝜏 3 2 𝑣𝐿𝑡 𝑣𝑜𝑡 𝑣𝐿𝑡 Q5 𝑅2 𝑅3𝑒𝑖𝑛𝑡 𝑅2 𝑅3𝐿 𝑑𝑖𝐿𝑡 𝑑𝑡 𝑅1𝑅2 𝑅1𝑅3 𝑅2𝑅3𝑖𝐿𝑡 𝑅2𝑒𝐶𝑡 0 𝑅2 𝑅3𝐶 𝑑𝑒𝐶𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝐶𝑡 𝑅2𝑖𝐿𝑡 Q6 𝑣𝑡 𝑅1𝑖1𝑡 𝐿1 𝑑𝑖1𝑡 𝑑𝑡 1 𝐶1 𝑖1𝜏 𝑖2𝜏𝑑𝜏 𝑅2𝑖1𝑡 𝑖2𝑡 0 1 𝐶1 𝑖2𝜏 𝑖1𝜏𝑑𝜏 𝑅2𝑖2𝑡 𝑖1𝑡 1 𝐶2 𝑖2𝜏𝑑𝜏 𝐿2 𝑑𝑖2𝑡 𝑑𝑡 Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos Exercícios Q1 Determine a função de transferência dos circuitos representados nas Figuras Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos Exercícios Q1 Escreva as equações diferenciais para as massas representadas no sistema mecânico da Figura 1 Figura 1 Sistema mecânico Q2 A Figura 2 representa MassaMolaAmortecedor Determine a a função de transferência 𝑋𝑠 𝐹𝑠 b a equação de 𝑥𝑡 se 𝑓𝑡 é um degrau unitário Adaptada de Nise 2017 Figura 2 Sistema MassaMolaAmortecedor Adaptado de Nise 2017 Q3 Escreva as equações diferenciais para as massas representadas no sistema mecânico da Figura 3 Figura 3 Sistema mecânico Q4 Obter as equações do modelo na forma matricial para o sistema mecânico em translação representado na Figura 4 Figura 4 sistema mecânico Q5 Obter a função de transferência 𝐺𝑠 𝑋3𝑠𝐹𝑠 para o sistema mecânico em translação representado na Figura 5 Figura 5 sistema mecânico Q6 Um sistema massamolaamortecedor é representado pela Figura 6 Desenvolva o modelo matemático em termos das variáveis dinâmicas apropriadas Figura 6 sistema massamolaamortecedor Formulários IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Prof Dr Francisco Mota franciscomotaifscedubr Florianópolis 2025 MSS22406 MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS Sistemas Elétricos UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO Bibliografia utilizada KLUEVER Craig A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle Tradução Mauro Speranza Neto 1 ed Rio de Janeiro LTC 2018 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Resistor Resistores impedem o fluxo de corrente e dissipam a energia elétrica convertendoa em calor 𝒆𝑹 𝑹 𝑰 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Capacitor Capacitores são dois condutores separados por um dielétrico 𝑰 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝑪𝒕 𝒆𝑪 𝟎 𝟏 𝑪 න 𝟎 𝒕 𝑰 𝝉 𝒅𝝉 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Indutor Indutores armazenam energia no campo magnético que é criado pela corrente que flui através de uma bobina ou fio 𝒆𝑳𝒕 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Resumo das equações IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Fontes IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Fonte de tensão Fonte de corrente MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Amplificadores Características dos AmpOp ideais nos terminais A e B flui corrente desprezível a diferença de tensão nos terminais A e B é nula o ganho K é infinito IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA AmpOp ideal 𝒆𝒐 𝑲 𝒆𝑩 𝒆𝑨 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Leis básicas para a modelagem Lei das Tensões de Kirchhoff LTK A LTK estabelece que para qualquer caminho fechado malha em um circuito elétrico a soma das quedas de tensão ao redor do circuito é zero IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝟏 𝒆𝟐 𝒆𝟑 𝟎 Elemento 1 Elemento 3 Elemento 2 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Leis básicas para a modelagem Lei das Correntes de Kirchhoff LCK A LCK afirma que a soma algébrica de todas as correntes que entram e saem do nó é igual a zero IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝑰𝟑 𝑰𝟒 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Procedimento básico para a modelagem A modelagem de circuitos elétricos pode ser realizada seguindo dois passos básicos escreva as EDOs correspondentes para cada elemento armazenador de energia capacitor eou indutor As variáveis são a tensão no capacitor 𝑒𝐶 e a corrente no indutor 𝐼𝐿 utilize as Leis de Kirchhoff para expressar as tensões e correntes desconhecidas em termos das variáveis dinâmicas e fontes IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 41 Circuito RL IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Variáveis Dinâmicas Apenas um indutor 𝒆𝑳𝒕 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 41 Circuito RL IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff LTK variável dinâmica fonte termo que necessita ser reescrito 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑳 𝒆𝑹 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 41 Circuito RL IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Equação em termos da variável dinâmica 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝑳 𝒅𝑰𝑳 𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝑰𝑳𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 42 Circuito RC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Variáveis Dinâmicas Apenas um capacitor 𝑰𝑪𝒕 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 42 Circuito RC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff LTK variável dinâmica fonte termo que necessita ser reescrito 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝒆𝑹 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 42 Circuito RC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Equação em termos da variável dinâmica 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝒆𝑪 𝑹𝑪 𝒅𝒆𝑪 𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝒆𝑪 𝑹𝑰𝑪 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 43 Circuito RLC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Variáveis Dinâmicas capacitor 𝑰𝑪𝒕 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 indutor 𝒆𝑳𝒕 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 43 Circuito RLC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff LTK variáveis dinâmicas fonte termo que necessita ser reescrito 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝒆𝑳 𝒆𝑹 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 43 Circuito RLC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Equação em termos da variável dinâmica 𝒆𝑪 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝒆𝑪 𝑳 𝒅𝑰𝑳 𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝑰𝑳 Como 𝑰𝑪 𝒕 𝑰𝑳𝒕 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝒆𝑪 𝑳𝑪 𝒅𝟐𝒆𝑪 𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑹𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 43 Circuito RLC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Equação em termos da variável dinâmica 𝑰𝑳 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝒆𝑪 𝑳 𝒅𝑰𝑳 𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝑰𝑳 Como 𝒆𝑪𝒕 𝒆𝑪 𝟎 𝟏 𝑪 න 𝟎 𝒕 𝑰 𝝉 𝒅𝝉 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝟏 𝑪 න 𝟎 𝒕 𝑰𝑳 𝝉 𝒅𝝉 𝑳 𝒅𝑰𝑳 𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝑰𝑳 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO SISTEMAS DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA CONTROLE DE PROCESSOS I Variáveis Dinâmicas capacitor 𝑰𝑪𝒕 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 indutor 𝒆𝑳𝒕 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO SISTEMAS DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA CONTROLE DE PROCESSOS I Leis de Kirchhoff LTK para a malha 1 variáveis dinâmicas fonte termo que necessita ser reescrito 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝒆𝑹𝟏 𝟎 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff LTK para a malha 2 variáveis dinâmicas termo que necessita ser reescrito 𝒆𝑪 𝒆𝑳 𝒆𝑹𝟐 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff LCK variáveis dinâmicas termo que necessita ser reescrito 𝑰𝟏 𝑰𝑪 𝑰𝑳 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Da LCK Como da primeira malha 𝑰𝟏 𝑰𝑪 𝑰𝑳 𝑰𝑪 𝑰𝟏 𝑰𝑳 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝟏 𝒆𝑹𝟏 𝑹𝟏 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝑹𝟏 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒊𝒏𝒆𝑪 𝑹𝟏 𝑰𝑳 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Da segunda malha 𝒆𝒄 𝒆𝑳 𝒆𝑹𝟐 𝒆𝑪 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝟐𝑰𝑳 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Logo o modelo completo é 𝒆𝑪 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝟐𝑰𝑳 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒊𝒏𝒆𝑪 𝑹𝟏 𝑰𝑳 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 45 Circuito RC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Variável dinâmica 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝑪 LCK 𝑰𝒊𝒏 𝑰𝑪 𝑰𝟐 LTK 𝒆𝑹𝟏 𝒆𝑪 𝒆𝑹𝟐 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 45 Circuito RC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Reescrevendo em termos das variáveis dinâmicas Da LCK 𝑰𝑪 𝑰𝒊𝒏 𝑰𝟐 Da LTK 𝑹𝟏𝑰𝑪 𝒆𝑪 𝑹𝟐𝑰𝟐 Substituindo 1 em 2 e isolando 𝑰𝟐 𝑰𝟐 𝑹𝟏𝑰𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝑹𝟏 𝑹𝟐 1 2 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 45 Circuito RC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Reescrevendo em termos das variáveis dinâmicas Da equação da variável dinâmica 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝑪 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝒊𝒏 𝑰𝟐 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝒊𝒏 𝑹𝟏𝑰𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝑹𝟏 𝑹𝟐 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 46 Circuito com AmpOp IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA LCK Como 𝑰𝑨 𝟎 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝑰𝟑 𝑰𝟐 𝑰𝑪 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 46 Circuito com AmpOp IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Para 𝑰𝟏 Como 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑹𝟏 𝒆𝑨 𝒆𝑹𝟏 𝑹𝟏𝑰𝟏 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑨 Assim 𝑰𝟏 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑨 𝑹𝟏 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 46 Circuito com AmpOp IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Para 𝑰𝟐 Como 𝒆𝒐 𝒆𝑹𝟐 𝒆𝑨 𝒆𝑹𝟐 𝑹𝟐𝑰𝟐 𝒆𝑨 𝒆𝒐 Assim 𝑰𝟐 𝒆𝑨 𝒆𝟎 𝑹𝟐 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 46 Circuito com AmpOp IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Da equação da variável dinâmica 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝟏 𝑰𝟐 Substituindo 𝑰𝟏 e 𝑰𝟐 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑨 𝑹𝟏 𝒆𝑨 𝒆𝟎 𝑹𝟐 MSS22406 Chapter 2 Mathematical Models of Systems Table 24 Transfer Functions of Dynamic Elements and Networks Element or System Gs 1 Integrating circuit filter image of circuit V2sV1s 1RCs 2 Differentiating circuit image of circuit V2sV1s RCs 3 Differentiating circuit image of circuit V2sV1s R2R1Cs 1R1 4 Integrating filter image of circuit V2sV1s R1C1s 1R2C2s 1R1C2s continued IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Prof Dr Francisco Mota franciscomotaifscedubr Florianópolis 2024 MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS Sistemas Mecânicos MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO Bibliografia utilizada KLUEVER Craig A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle Tradução Mauro Speranza Neto 1 ed Rio de Janeiro LTC 2018 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Leis de Elementos Mecânicos Um sistema mecânico é composto por elementos inércia rigidez e dissipação Podem ainda conter transformadores mecânicos como alavancas e engrenagens IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Leis de Elementos Mecânicos 11 Elementos Inércia Elementos inércia são tanto as massas concentradas sistemas mecânicos de translação quanto os momentos de inércia sistemas mecânicos de rotação Eles são facilmente identificados pela segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝐹 𝑀 റ𝑎 𝑀 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑇 𝐽 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 para massas concentradas para momentos de inércia MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Leis de Elementos Mecânicos 12 Elementos Rigidez Quando um elemento mecânico armazena energia por causa da deformação ou mudança de forma deve ser modelado como um elemento rigidez IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝐹 𝑘 𝑥 𝑇 𝑘 𝜃 para sistemas de translação para sistemas de rotação MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Leis de Elementos Mecânicos 13 Elementos Atrito Quando um elemento mecânico dissipa energia em razão do seu movimento pode ser modelado como um elemento atrito IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝐹 𝑏 ሶ𝑥2 ሶ𝑥1 𝑇 𝑏 ሶ𝜃2 ሶ𝜃1 para sistemas de translação para sistemas de rotação MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Leis de Elementos Mecânicos 14 Transformadores mecânicos Aparatos mecânicos que transformam uma entrada de movimento ou força são denominados transformadores mecânicos São comumente utilizados alavancas e trens de engrenagem IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝑓1𝐿1 𝑓2𝐿2 𝑟2 𝑟1 𝑛2 𝑛1 𝑁 𝜔1 𝑁𝜔2 𝜔1𝑇1 𝜔2𝑇2 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação Modelos matemáticos de sistemas mecânicos de translação podem ser determinados usando o procedimento em dois passos 1 Desenhar um diagrama de corpo livre para cada elemento inércia com setas representando as forças ou torques externos atuando em cada massa ou momento de inércia Use a terceira Lei de Newton para mostrar as forças ou torques de reação iguais e opostos nos elementos inércia interconectados Escreva com atenção as equações para cada força ou torque usando a lei do elemento apropriada e as convenções positivas para as variáveis de deslocamento IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação Modelos matemáticos de sistemas mecânicos de translação podem ser determinados usando o procedimento em dois passos 2 Aplique a segunda Lei de Newton para cada elemento inércia para obter o modelo matemático do sistema mecânico completo σ 𝐹 𝑚 ሷ𝑥 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 21 Sistemas mecânicos de translação horizontal válvula solenoide IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 21 Sistemas mecânicos de translação horizontal I Diagrama de corpo livre II Aplicação da segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA σ 𝐹 𝐹𝑒𝑚 𝑘𝑥 𝑏 ሶ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑏 ሶ𝑥 𝑘𝑥 𝐹𝑒𝑚 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 22 Sistemas mecânicos de translação vertical IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 22 Sistemas mecânicos de translação vertical I Diagrama de corpo livre II Aplicação da segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA σ 𝐹 𝑚𝑔 𝑘𝑥 𝑏 ሶ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑏 ሶ𝑥 𝑘𝑥 𝑚𝑔 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 23 Sistemas mecânicos de translação interconectado IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 23 Sistemas mecânicos de translação interconectado I Diagrama de corpo livre inércia 1 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA M1 móvel M2 fixo M2 móvel M1 fixo superposição MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 23 Sistemas mecânicos de translação interconectado I Diagrama de corpo livre inércia 2 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA M2 móvel M1 fixo M1 móvel M2 fixo superposição MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 23 Sistemas mecânicos de translação interconectado II Aplicação da segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝑀1 ሷ𝑥1 𝑏1 𝑏3 ሶ𝑥1 𝐾1 𝐾2 𝑥1 𝑏3 ሶ𝑥2 𝐾2𝑥2 𝐹 𝑀2 ሷ𝑥2 𝑏2 𝑏3 ሶ𝑥2 𝐾2 𝐾3 𝑥2 𝑏3 ሶ𝑥1 𝐾2𝑥1 0 Inércia 1 Inércia 2 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação Modelos matemáticos de sistemas mecânicos de rotação podem ser obtidos usando o mesmo procedimento sistemático de dois passos empregado para os sistemas de translação considerando para tanto os momentos de inércia e a segunda Lei de Newton para sistemas de rotação IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝑇 𝐽 ሷ𝜃 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação 31 Sistemas mecânico com único disco IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação 31 Sistemas mecânico com único disco I Diagrama de corpo livre II Aplicação da segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA σ 𝑇 𝑇𝑒𝑛𝑡 𝑏 ሶ𝜃 𝐽 ሷ𝜃 𝐽 ሷ𝜃 𝑏 ሶ𝜃 𝑇𝑒𝑛𝑡 ou 𝐽 ሶ𝜔 𝑏𝜔 𝑇𝑒𝑛𝑡 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação 32 Sistemas mecânico com dois discos IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação 32 Sistemas mecânico com dois discos I Diagrama de corpo livre IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação 32 Sistemas mecânico com dois discos II Aplicação da segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA σ 𝑇 𝑇𝑒𝑛𝑡 𝑏 ሶ𝜃1 𝑘 𝜃1 𝜃2 𝐽1 ሷ𝜃1 𝐽1 ሷ𝜃1 𝑏 ሶ𝜃1 𝑘 𝜃1 𝜃2 𝑇𝑒𝑛𝑡 σ 𝑇 𝑇𝑒𝑛𝑡 𝑏 ሶ𝜃2 𝑘 𝜃1 𝜃2 𝐽2 ሷ𝜃2 𝐽2 ሷ𝜃2 𝑏 ሶ𝜃2 𝑘 𝜃2 𝜃1 𝑇𝑒𝑛𝑡 MSS22406 AmpOp image of opamp circuit Gs V0sVis Z2sZ1s Associação de impedâncias Série Zs Z1 Z2 Zm Paralelo Zs Z1 Z2 Z1 Z2 para 2 elementos 1Zs 1Z1 1Z2 1Zm para m 2 elementos Ex1 image of circuit Z1s 1C1s R1 1C1s R1 C1 Z1s R1s 1ω C1R1 Z2s 1C2s R2 1C2s R2 Gs V0sVis Z2sZ1s Ex 2 Z1 Z2 Z3 Z4 Z1s 1 Cms R1 1 Cms R1 Z2s R2 Z3s R3 Z4s R4 V1s Vs Z2s Z1s V1s Z2s Z1s Vs V0s V1s Z4s Z3s V0s Z2s Z1s Vs Z4s Z3s V0s Vs Z2s Z4s Z1s Z3s Circuitos elétricos e mecânicos Impedâncias R R L Ls C 1 Cms Mola K Amortecedor fvs Massa Ms2 Atrito fvs Ex 3 Malha 1 1 I1s 1 I1s 1 I2s Ves Malha 2 1 s I2s 1 1s I2s 1 I2s 1 I1s 0 2 I1s I2s Ves I1s s 1 s 1 I2s 0 x2 I2s 2 s 1 s 1 I2s Ves I2s Ves 1 2s 2 s 1 Vnss s Ves 1 2s 2 s 1 I2s Vnss s Vnss Ves 1 s 2s 2 s 1 2s2 s 2 Ex 4 Malha 1 2 I1s 1 s I1s 2 I1s 1 s I1s 2 I2s 1 s I2s Vs Malha 2 2 I2s 2s I2s 1 s I2s 2 I2s 1 s I1s 2 I1s 0 VLs 2s I2s I2s VLs 2s I2s Vs G1s VLs 2s Vs VLs Vs 2s G1s Ex 5 X2s Fs V2s Fs Sem atrito Bloco 1 1 s2 X1s 1 s X1s 1 X1s 1 s X2s 1 X2s Fs Bloco 2 1 s2 X2s 1 s X2s 1 X2s 1 s X1s 1 X1s 0 s2 s 1 X1s s 1 X2s Fs s 1 X1s s2 s 1 X2s 0 X2s Fs Gs x s s X2s Fs s Gs V2s Fs s Gs Vs s Xs velocidade as s Vs s2 Xs aceleração Para o método de inspeção Elétrico Analisar o número de malhas o número de malhas representa quantas equações você irá trabalhar atribuir correntes para as malhas I1 I2 até o número de malhas existentes no circuito montar as equações com base em cada malha do circuito resolver o sistema de equações tendo em vista a corrente que passa pelo elemento de interesse utilizar a Lei de Ohm para impedância para conseguir relacionar a tensão de saída com a tensão de entrada Mecânicos Analisar o número de blocos que compõem o sistema o número de blocos representa quantas equações você irá trabalhar montar as equações com base em cada bloco presente no sistema resolver o sistema de equações tendo em vista a qual bloco a questão está se referindo para a obtenção da FT desejada se a questão quer X1sFs então foca em resolver o sistema de equação para X1s se a questão quiser a velocidade basta multiplicar a FT encontrada por s se a questão quiser a aceleração basta multiplicar a FT encontrada por s² Ampop Identificar as impedâncias de entrada e de saída do AmpOp utilizar as relações de associação de impedâncias está na página de AmpOp para simplificar as impedâncias depois que encontrado Z1s e Z2s basta jogar na FT já pronta da configuração inversor GsZ2sZ1s
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Gabarito Lista de Exercícios sobre Modelagem de Circuitos Elétricos Q1 𝑉𝐿𝑠 𝑉𝑠 𝑠2 2𝑠2 3𝑠 1 Q2 𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑖𝑠 3𝑠2 6𝑠3 5𝑠2 4𝑠 2 Q3a 𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑖𝑠 2𝑠 3𝑠 2 Q3b 𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑖𝑠 1 4𝑠2 2𝑠 2 Q4 𝑣𝑖𝑡 𝑣𝐿𝜏𝑑𝜏 3 2 𝑣𝐿𝑡 𝑣𝑜𝑡 𝑣𝐿𝑡 Q5 𝑅2 𝑅3𝑒𝑖𝑛𝑡 𝑅2 𝑅3𝐿 𝑑𝑖𝐿𝑡 𝑑𝑡 𝑅1𝑅2 𝑅1𝑅3 𝑅2𝑅3𝑖𝐿𝑡 𝑅2𝑒𝐶𝑡 0 𝑅2 𝑅3𝐶 𝑑𝑒𝐶𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝐶𝑡 𝑅2𝑖𝐿𝑡 Q6 𝑣𝑡 𝑅1𝑖1𝑡 𝐿1 𝑑𝑖1𝑡 𝑑𝑡 1 𝐶1 𝑖1𝜏 𝑖2𝜏𝑑𝜏 𝑅2𝑖1𝑡 𝑖2𝑡 0 1 𝐶1 𝑖2𝜏 𝑖1𝜏𝑑𝜏 𝑅2𝑖2𝑡 𝑖1𝑡 1 𝐶2 𝑖2𝜏𝑑𝜏 𝐿2 𝑑𝑖2𝑡 𝑑𝑡 Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos Exercícios Q1 Determine a função de transferência dos circuitos representados nas Figuras Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos Exercícios Q1 Escreva as equações diferenciais para as massas representadas no sistema mecânico da Figura 1 Figura 1 Sistema mecânico Q2 A Figura 2 representa MassaMolaAmortecedor Determine a a função de transferência 𝑋𝑠 𝐹𝑠 b a equação de 𝑥𝑡 se 𝑓𝑡 é um degrau unitário Adaptada de Nise 2017 Figura 2 Sistema MassaMolaAmortecedor Adaptado de Nise 2017 Q3 Escreva as equações diferenciais para as massas representadas no sistema mecânico da Figura 3 Figura 3 Sistema mecânico Q4 Obter as equações do modelo na forma matricial para o sistema mecânico em translação representado na Figura 4 Figura 4 sistema mecânico Q5 Obter a função de transferência 𝐺𝑠 𝑋3𝑠𝐹𝑠 para o sistema mecânico em translação representado na Figura 5 Figura 5 sistema mecânico Q6 Um sistema massamolaamortecedor é representado pela Figura 6 Desenvolva o modelo matemático em termos das variáveis dinâmicas apropriadas Figura 6 sistema massamolaamortecedor Formulários IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Prof Dr Francisco Mota franciscomotaifscedubr Florianópolis 2025 MSS22406 MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS Sistemas Elétricos UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO Bibliografia utilizada KLUEVER Craig A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle Tradução Mauro Speranza Neto 1 ed Rio de Janeiro LTC 2018 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Resistor Resistores impedem o fluxo de corrente e dissipam a energia elétrica convertendoa em calor 𝒆𝑹 𝑹 𝑰 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Capacitor Capacitores são dois condutores separados por um dielétrico 𝑰 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝑪𝒕 𝒆𝑪 𝟎 𝟏 𝑪 න 𝟎 𝒕 𝑰 𝝉 𝒅𝝉 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Indutor Indutores armazenam energia no campo magnético que é criado pela corrente que flui através de uma bobina ou fio 𝒆𝑳𝒕 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Resumo das equações IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Fontes IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Fonte de tensão Fonte de corrente MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Elementos elétricos Amplificadores Características dos AmpOp ideais nos terminais A e B flui corrente desprezível a diferença de tensão nos terminais A e B é nula o ganho K é infinito IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA AmpOp ideal 𝒆𝒐 𝑲 𝒆𝑩 𝒆𝑨 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Leis básicas para a modelagem Lei das Tensões de Kirchhoff LTK A LTK estabelece que para qualquer caminho fechado malha em um circuito elétrico a soma das quedas de tensão ao redor do circuito é zero IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝟏 𝒆𝟐 𝒆𝟑 𝟎 Elemento 1 Elemento 3 Elemento 2 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Leis básicas para a modelagem Lei das Correntes de Kirchhoff LCK A LCK afirma que a soma algébrica de todas as correntes que entram e saem do nó é igual a zero IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝑰𝟑 𝑰𝟒 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Procedimento básico para a modelagem A modelagem de circuitos elétricos pode ser realizada seguindo dois passos básicos escreva as EDOs correspondentes para cada elemento armazenador de energia capacitor eou indutor As variáveis são a tensão no capacitor 𝑒𝐶 e a corrente no indutor 𝐼𝐿 utilize as Leis de Kirchhoff para expressar as tensões e correntes desconhecidas em termos das variáveis dinâmicas e fontes IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 41 Circuito RL IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Variáveis Dinâmicas Apenas um indutor 𝒆𝑳𝒕 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 41 Circuito RL IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff LTK variável dinâmica fonte termo que necessita ser reescrito 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑳 𝒆𝑹 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 41 Circuito RL IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Equação em termos da variável dinâmica 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝑳 𝒅𝑰𝑳 𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝑰𝑳𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 42 Circuito RC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Variáveis Dinâmicas Apenas um capacitor 𝑰𝑪𝒕 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 42 Circuito RC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff LTK variável dinâmica fonte termo que necessita ser reescrito 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝒆𝑹 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 42 Circuito RC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Equação em termos da variável dinâmica 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝒆𝑪 𝑹𝑪 𝒅𝒆𝑪 𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝒆𝑪 𝑹𝑰𝑪 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 43 Circuito RLC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Variáveis Dinâmicas capacitor 𝑰𝑪𝒕 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 indutor 𝒆𝑳𝒕 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 43 Circuito RLC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff LTK variáveis dinâmicas fonte termo que necessita ser reescrito 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝒆𝑳 𝒆𝑹 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 43 Circuito RLC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Equação em termos da variável dinâmica 𝒆𝑪 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝒆𝑪 𝑳 𝒅𝑰𝑳 𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝑰𝑳 Como 𝑰𝑪 𝒕 𝑰𝑳𝒕 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝒆𝑪 𝑳𝑪 𝒅𝟐𝒆𝑪 𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑹𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 43 Circuito RLC IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Equação em termos da variável dinâmica 𝑰𝑳 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝒆𝑪 𝑳 𝒅𝑰𝑳 𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝑰𝑳 Como 𝒆𝑪𝒕 𝒆𝑪 𝟎 𝟏 𝑪 න 𝟎 𝒕 𝑰 𝝉 𝒅𝝉 𝒆𝒊𝒏 𝒕 𝟏 𝑪 න 𝟎 𝒕 𝑰𝑳 𝝉 𝒅𝝉 𝑳 𝒅𝑰𝑳 𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝑰𝑳 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO SISTEMAS DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA CONTROLE DE PROCESSOS I Variáveis Dinâmicas capacitor 𝑰𝑪𝒕 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 indutor 𝒆𝑳𝒕 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO SISTEMAS DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA CONTROLE DE PROCESSOS I Leis de Kirchhoff LTK para a malha 1 variáveis dinâmicas fonte termo que necessita ser reescrito 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝒆𝑹𝟏 𝟎 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff LTK para a malha 2 variáveis dinâmicas termo que necessita ser reescrito 𝒆𝑪 𝒆𝑳 𝒆𝑹𝟐 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff LCK variáveis dinâmicas termo que necessita ser reescrito 𝑰𝟏 𝑰𝑪 𝑰𝑳 𝟎 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Da LCK Como da primeira malha 𝑰𝟏 𝑰𝑪 𝑰𝑳 𝑰𝑪 𝑰𝟏 𝑰𝑳 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝟏 𝒆𝑹𝟏 𝑹𝟏 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝑹𝟏 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒊𝒏𝒆𝑪 𝑹𝟏 𝑰𝑳 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Da segunda malha 𝒆𝒄 𝒆𝑳 𝒆𝑹𝟐 𝒆𝑪 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝟐𝑰𝑳 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 44 Circuito RLC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Leis de Kirchhoff Logo o modelo completo é 𝒆𝑪 𝑳 𝒅𝑰𝑳𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝟐𝑰𝑳 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒊𝒏𝒆𝑪 𝑹𝟏 𝑰𝑳 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 45 Circuito RC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Variável dinâmica 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝑪 LCK 𝑰𝒊𝒏 𝑰𝑪 𝑰𝟐 LTK 𝒆𝑹𝟏 𝒆𝑪 𝒆𝑹𝟐 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 45 Circuito RC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Reescrevendo em termos das variáveis dinâmicas Da LCK 𝑰𝑪 𝑰𝒊𝒏 𝑰𝟐 Da LTK 𝑹𝟏𝑰𝑪 𝒆𝑪 𝑹𝟐𝑰𝟐 Substituindo 1 em 2 e isolando 𝑰𝟐 𝑰𝟐 𝑹𝟏𝑰𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝑹𝟏 𝑹𝟐 1 2 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 45 Circuito RC com duas malhas IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Reescrevendo em termos das variáveis dinâmicas Da equação da variável dinâmica 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝑪 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝒊𝒏 𝑰𝟐 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝒊𝒏 𝑹𝟏𝑰𝒊𝒏 𝒆𝑪 𝑹𝟏 𝑹𝟐 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 46 Circuito com AmpOp IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA LCK Como 𝑰𝑨 𝟎 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝑰𝟑 𝑰𝟐 𝑰𝑪 𝑰𝟏 𝑰𝟐 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 46 Circuito com AmpOp IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Para 𝑰𝟏 Como 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑹𝟏 𝒆𝑨 𝒆𝑹𝟏 𝑹𝟏𝑰𝟏 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑨 Assim 𝑰𝟏 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑨 𝑹𝟏 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 46 Circuito com AmpOp IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Para 𝑰𝟐 Como 𝒆𝒐 𝒆𝑹𝟐 𝒆𝑨 𝒆𝑹𝟐 𝑹𝟐𝑰𝟐 𝒆𝑨 𝒆𝒐 Assim 𝑰𝟐 𝒆𝑨 𝒆𝟎 𝑹𝟐 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 4 Circuitos Básicos 46 Circuito com AmpOp IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Da equação da variável dinâmica 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑰𝟏 𝑰𝟐 Substituindo 𝑰𝟏 e 𝑰𝟐 𝑪 𝒅𝒆𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒊𝒏 𝒆𝑨 𝑹𝟏 𝒆𝑨 𝒆𝟎 𝑹𝟐 MSS22406 Chapter 2 Mathematical Models of Systems Table 24 Transfer Functions of Dynamic Elements and Networks Element or System Gs 1 Integrating circuit filter image of circuit V2sV1s 1RCs 2 Differentiating circuit image of circuit V2sV1s RCs 3 Differentiating circuit image of circuit V2sV1s R2R1Cs 1R1 4 Integrating filter image of circuit V2sV1s R1C1s 1R2C2s 1R1C2s continued IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA Prof Dr Francisco Mota franciscomotaifscedubr Florianópolis 2024 MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS Sistemas Mecânicos MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO Bibliografia utilizada KLUEVER Craig A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle Tradução Mauro Speranza Neto 1 ed Rio de Janeiro LTC 2018 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Leis de Elementos Mecânicos Um sistema mecânico é composto por elementos inércia rigidez e dissipação Podem ainda conter transformadores mecânicos como alavancas e engrenagens IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Leis de Elementos Mecânicos 11 Elementos Inércia Elementos inércia são tanto as massas concentradas sistemas mecânicos de translação quanto os momentos de inércia sistemas mecânicos de rotação Eles são facilmente identificados pela segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝐹 𝑀 റ𝑎 𝑀 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑇 𝐽 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 para massas concentradas para momentos de inércia MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Leis de Elementos Mecânicos 12 Elementos Rigidez Quando um elemento mecânico armazena energia por causa da deformação ou mudança de forma deve ser modelado como um elemento rigidez IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝐹 𝑘 𝑥 𝑇 𝑘 𝜃 para sistemas de translação para sistemas de rotação MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Leis de Elementos Mecânicos 13 Elementos Atrito Quando um elemento mecânico dissipa energia em razão do seu movimento pode ser modelado como um elemento atrito IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝐹 𝑏 ሶ𝑥2 ሶ𝑥1 𝑇 𝑏 ሶ𝜃2 ሶ𝜃1 para sistemas de translação para sistemas de rotação MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 1 Leis de Elementos Mecânicos 14 Transformadores mecânicos Aparatos mecânicos que transformam uma entrada de movimento ou força são denominados transformadores mecânicos São comumente utilizados alavancas e trens de engrenagem IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝑓1𝐿1 𝑓2𝐿2 𝑟2 𝑟1 𝑛2 𝑛1 𝑁 𝜔1 𝑁𝜔2 𝜔1𝑇1 𝜔2𝑇2 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação Modelos matemáticos de sistemas mecânicos de translação podem ser determinados usando o procedimento em dois passos 1 Desenhar um diagrama de corpo livre para cada elemento inércia com setas representando as forças ou torques externos atuando em cada massa ou momento de inércia Use a terceira Lei de Newton para mostrar as forças ou torques de reação iguais e opostos nos elementos inércia interconectados Escreva com atenção as equações para cada força ou torque usando a lei do elemento apropriada e as convenções positivas para as variáveis de deslocamento IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação Modelos matemáticos de sistemas mecânicos de translação podem ser determinados usando o procedimento em dois passos 2 Aplique a segunda Lei de Newton para cada elemento inércia para obter o modelo matemático do sistema mecânico completo σ 𝐹 𝑚 ሷ𝑥 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 21 Sistemas mecânicos de translação horizontal válvula solenoide IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 21 Sistemas mecânicos de translação horizontal I Diagrama de corpo livre II Aplicação da segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA σ 𝐹 𝐹𝑒𝑚 𝑘𝑥 𝑏 ሶ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑏 ሶ𝑥 𝑘𝑥 𝐹𝑒𝑚 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 22 Sistemas mecânicos de translação vertical IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 22 Sistemas mecânicos de translação vertical I Diagrama de corpo livre II Aplicação da segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA σ 𝐹 𝑚𝑔 𝑘𝑥 𝑏 ሶ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑏 ሶ𝑥 𝑘𝑥 𝑚𝑔 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 23 Sistemas mecânicos de translação interconectado IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 23 Sistemas mecânicos de translação interconectado I Diagrama de corpo livre inércia 1 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA M1 móvel M2 fixo M2 móvel M1 fixo superposição MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 23 Sistemas mecânicos de translação interconectado I Diagrama de corpo livre inércia 2 IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA M2 móvel M1 fixo M1 móvel M2 fixo superposição MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 2 Sistemas Mecânicos de Translação 23 Sistemas mecânicos de translação interconectado II Aplicação da segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝑀1 ሷ𝑥1 𝑏1 𝑏3 ሶ𝑥1 𝐾1 𝐾2 𝑥1 𝑏3 ሶ𝑥2 𝐾2𝑥2 𝐹 𝑀2 ሷ𝑥2 𝑏2 𝑏3 ሶ𝑥2 𝐾2 𝐾3 𝑥2 𝑏3 ሶ𝑥1 𝐾2𝑥1 0 Inércia 1 Inércia 2 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação Modelos matemáticos de sistemas mecânicos de rotação podem ser obtidos usando o mesmo procedimento sistemático de dois passos empregado para os sistemas de translação considerando para tanto os momentos de inércia e a segunda Lei de Newton para sistemas de rotação IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA 𝑇 𝐽 ሷ𝜃 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação 31 Sistemas mecânico com único disco IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação 31 Sistemas mecânico com único disco I Diagrama de corpo livre II Aplicação da segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA σ 𝑇 𝑇𝑒𝑛𝑡 𝑏 ሶ𝜃 𝐽 ሷ𝜃 𝐽 ሷ𝜃 𝑏 ሶ𝜃 𝑇𝑒𝑛𝑡 ou 𝐽 ሶ𝜔 𝑏𝜔 𝑇𝑒𝑛𝑡 MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação 32 Sistemas mecânico com dois discos IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação 32 Sistemas mecânico com dois discos I Diagrama de corpo livre IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA MSS22406 UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA ENGENHARIA DE PETRÓLEO 3 Sistemas Mecânicos de Rotação 32 Sistemas mecânico com dois discos II Aplicação da segunda Lei de Newton IFSC INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA ENGENHARIA MECATRÔNICA σ 𝑇 𝑇𝑒𝑛𝑡 𝑏 ሶ𝜃1 𝑘 𝜃1 𝜃2 𝐽1 ሷ𝜃1 𝐽1 ሷ𝜃1 𝑏 ሶ𝜃1 𝑘 𝜃1 𝜃2 𝑇𝑒𝑛𝑡 σ 𝑇 𝑇𝑒𝑛𝑡 𝑏 ሶ𝜃2 𝑘 𝜃1 𝜃2 𝐽2 ሷ𝜃2 𝐽2 ሷ𝜃2 𝑏 ሶ𝜃2 𝑘 𝜃2 𝜃1 𝑇𝑒𝑛𝑡 MSS22406 AmpOp image of opamp circuit Gs V0sVis Z2sZ1s Associação de impedâncias Série Zs Z1 Z2 Zm Paralelo Zs Z1 Z2 Z1 Z2 para 2 elementos 1Zs 1Z1 1Z2 1Zm para m 2 elementos Ex1 image of circuit Z1s 1C1s R1 1C1s R1 C1 Z1s R1s 1ω C1R1 Z2s 1C2s R2 1C2s R2 Gs V0sVis Z2sZ1s Ex 2 Z1 Z2 Z3 Z4 Z1s 1 Cms R1 1 Cms R1 Z2s R2 Z3s R3 Z4s R4 V1s Vs Z2s Z1s V1s Z2s Z1s Vs V0s V1s Z4s Z3s V0s Z2s Z1s Vs Z4s Z3s V0s Vs Z2s Z4s Z1s Z3s Circuitos elétricos e mecânicos Impedâncias R R L Ls C 1 Cms Mola K Amortecedor fvs Massa Ms2 Atrito fvs Ex 3 Malha 1 1 I1s 1 I1s 1 I2s Ves Malha 2 1 s I2s 1 1s I2s 1 I2s 1 I1s 0 2 I1s I2s Ves I1s s 1 s 1 I2s 0 x2 I2s 2 s 1 s 1 I2s Ves I2s Ves 1 2s 2 s 1 Vnss s Ves 1 2s 2 s 1 I2s Vnss s Vnss Ves 1 s 2s 2 s 1 2s2 s 2 Ex 4 Malha 1 2 I1s 1 s I1s 2 I1s 1 s I1s 2 I2s 1 s I2s Vs Malha 2 2 I2s 2s I2s 1 s I2s 2 I2s 1 s I1s 2 I1s 0 VLs 2s I2s I2s VLs 2s I2s Vs G1s VLs 2s Vs VLs Vs 2s G1s Ex 5 X2s Fs V2s Fs Sem atrito Bloco 1 1 s2 X1s 1 s X1s 1 X1s 1 s X2s 1 X2s Fs Bloco 2 1 s2 X2s 1 s X2s 1 X2s 1 s X1s 1 X1s 0 s2 s 1 X1s s 1 X2s Fs s 1 X1s s2 s 1 X2s 0 X2s Fs Gs x s s X2s Fs s Gs V2s Fs s Gs Vs s Xs velocidade as s Vs s2 Xs aceleração Para o método de inspeção Elétrico Analisar o número de malhas o número de malhas representa quantas equações você irá trabalhar atribuir correntes para as malhas I1 I2 até o número de malhas existentes no circuito montar as equações com base em cada malha do circuito resolver o sistema de equações tendo em vista a corrente que passa pelo elemento de interesse utilizar a Lei de Ohm para impedância para conseguir relacionar a tensão de saída com a tensão de entrada Mecânicos Analisar o número de blocos que compõem o sistema o número de blocos representa quantas equações você irá trabalhar montar as equações com base em cada bloco presente no sistema resolver o sistema de equações tendo em vista a qual bloco a questão está se referindo para a obtenção da FT desejada se a questão quer X1sFs então foca em resolver o sistema de equação para X1s se a questão quiser a velocidade basta multiplicar a FT encontrada por s se a questão quiser a aceleração basta multiplicar a FT encontrada por s² Ampop Identificar as impedâncias de entrada e de saída do AmpOp utilizar as relações de associação de impedâncias está na página 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