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Dizemos que X é limitado superiormente se existe b R tal que x b para todo x X Nesse caso X b e b é chamado uma cota superior de X Dizemos que X é limitado inferiormente se existe a R tal que x a para todo x X Nesse caso X a e a é chamado uma cota inferior de X Se X é limitado superior e inferiormente dizemos que X é limitado Analise os conjuntos abaixo Identifique caso houver uma cota superior e uma cota inferior de cada um deles Conclua se os conjuntos são limitados superior e inferiormente a X 1 3 5 7 b X 1n n N c X 3n n N Dizemos que dois números x e y têm a mesma paridade quando ambos são pares x e y são pares ou ambos são ímpares x e y são ímpares Considere x e y números inteiros com a mesma paridade Mostre que x y é par Informe a resposta aqui a Tome 0 0 1 0 3 0 5 e 0 7 Logo 0 é cota inferior de X Também 1 10 3 10 5 10 e 7 10 Logo 10 é cota superior de X Portanto X é limitado superior e inferiormente b Primeiro dado n N qualquer em particular n 0 logo 0 1n assim 0 é cota inferior de X Também n 1 1 1n assim 1 é cota superior de X Portanto X é limitado superior e inferiormente Primeiro dado n ℕ qualquer em particular n 0 3n 0 pois 3 0 Logo 0 é cota superior de X E X não tem cota inferior pois caso contrário seja a ℝ cota inferior tome n ℕ tal que n a3 3n a 3n a e 3n X o que seria um absurdo Portanto X é limitado superiormente mas não inferiormente Sejam x y com a mesma paridade temos 2 casos 1º caso Ambos pares Assim k q ℤ tais que x 2k e y 2q E x y 2k 2q 2k q e k q ℤ portanto x y é par 2º caso Ambos ímpares Assim k q ℤ tais que x 2k 1 e y 2q 1 E x y 2k 1 2q 1 2k 2q 2 2k q 1 e k q 1 ℤ portanto x y é par Como concluído em qualquer caso se x e y tem a mesma paridade então x y é par
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Dizemos que X é limitado superiormente se existe b R tal que x b para todo x X Nesse caso X b e b é chamado uma cota superior de X Dizemos que X é limitado inferiormente se existe a R tal que x a para todo x X Nesse caso X a e a é chamado uma cota inferior de X Se X é limitado superior e inferiormente dizemos que X é limitado Analise os conjuntos abaixo Identifique caso houver uma cota superior e uma cota inferior de cada um deles Conclua se os conjuntos são limitados superior e inferiormente a X 1 3 5 7 b X 1n n N c X 3n n N Dizemos que dois números x e y têm a mesma paridade quando ambos são pares x e y são pares ou ambos são ímpares x e y são ímpares Considere x e y números inteiros com a mesma paridade Mostre que x y é par Informe a resposta aqui a Tome 0 0 1 0 3 0 5 e 0 7 Logo 0 é cota inferior de X Também 1 10 3 10 5 10 e 7 10 Logo 10 é cota superior de X Portanto X é limitado superior e inferiormente b Primeiro dado n N qualquer em particular n 0 logo 0 1n assim 0 é cota inferior de X Também n 1 1 1n assim 1 é cota superior de X Portanto X é limitado superior e inferiormente Primeiro dado n ℕ qualquer em particular n 0 3n 0 pois 3 0 Logo 0 é cota superior de X E X não tem cota inferior pois caso contrário seja a ℝ cota inferior tome n ℕ tal que n a3 3n a 3n a e 3n X o que seria um absurdo Portanto X é limitado superiormente mas não inferiormente Sejam x y com a mesma paridade temos 2 casos 1º caso Ambos pares Assim k q ℤ tais que x 2k e y 2q E x y 2k 2q 2k q e k q ℤ portanto x y é par 2º caso Ambos ímpares Assim k q ℤ tais que x 2k 1 e y 2q 1 E x y 2k 1 2q 1 2k 2q 2 2k q 1 e k q 1 ℤ portanto x y é par Como concluído em qualquer caso se x e y tem a mesma paridade então x y é par