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Professora Carla Priscila Alves Santos Data 17052025 Disciplina Calculo I Semestre 20251 Alunoa Turma 1o LMAT e EC 1a Lista de exercıcios sobre Limite e Continuidade de uma funcao 1 Calcule os limites a lim x2 3x 2 x2 6x 5 c lim x2 x4 10x 4 x3 2x2 e lim x4 4 x 5 x2 9 b lim x1 x3 1 x2 1 d lim x4 4x x2 2 x f lim x1 x 3 2 x2 3x 2 2 Seja fx 3x2 5x 2 x 2 se x 2 3 ax x2 se x 2 determine a R para que exista lim x2 fx 3 Seja Fx x2 5x 4 x 1 definida em R 1 a Calcule lim x1 Fx e lim x1 Fx Em seguida responda existe lim x1 Fx b Esboce o grafico de Fx 4 Devido a sua conexao com retas secante tangente e taxas instantˆaneas os limites da forma lim h0 fx h fx h ocorrem com frequˆencia em calculo Nos itens abaixo avalie esse limite para os valores dados de x e f a fx x2 x 1 cfx 3x 4 x 2 e fx x x 7 b fx x2 x 2 d fx 1 x x 2 f fx 3x 1 x 0 5 Para quais valores de a e b gx ax 2b se x 0 x2 3a b se 0 x 2 3x 5 se x 2 e contınua para qualquer x 6 Analise se f e contınua nos pontos especificados a fx x 1 1 x3 se x 1 1 3 se x 1 no ponto x 1 1 b fx sqrtx 2 sqrt2x se x 0 no ponto x 0 3x2 x4x 2 se x 0 c fx 1x 1 se x 1 no ponto x 1 1 se x 1 7 Utilizando o Teorema do Confronto demonstre que lim x0 x4 cos2x 0 8 Calcule o limite no infinito a lim x 12x3 c lim x x3 xx2 6x 5 e lim x sqrt9x6 xx3 1 b lim x 3x 5x2x3 x2 4 d lim x 1 ex1 2ex f lim x x sqrtx2 2x 9 Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função fx sqrt2x2 13x 5 10 Determine o limite infinito a lim x0 x22 1x b lim x52 3x 25 2x c lim x0 x2 3x 2x3 2x2 d lim x5 exx 53 Bons estudos Resolucao Completa de Exercıcios de Calculo Seu Nome May 18 2025 Questao 1 Calculo de Limites a limx2 3x2 x26x5 Substituindo x 2 32 2 22 62 5 6 2 4 12 5 8 3 lim x2 3x 2 x2 6x 5 8 3 b limx1 x31 x21 Fatorando x3 1 x2 1 x 1x2 x 1 x 1x 1 x2 x 1 x 1 lim x1 x2 x 1 x 1 1 1 1 1 1 3 2 lim x1 x3 1 x2 1 3 2 c limx2 x410x4 x32x2 Fatorando x4 10x 4 x3 2x2 x 2x3 2x2 4x 2 x2x 2 x3 2x2 4x 2 x2 lim x2 8 8 8 2 4 22 4 11 2 lim x2 x4 10x 4 x3 2x2 11 2 1 d limx2 4xx2 4x Multiplicando pelo conjugado 4x x2 4 x 4 x 4 x 4x x24 x 16 x x4 x4 x x 16 lim x2 226 14 24 14 12 7 lim x2 4x x2 4 x 12 7 e limx4 4x 5 x29 Multiplicando pelo conjugado 4 x 5 x2 9 5 x2 9 5 x2 9 4 x5 x2 9 25 x2 9 4 x5 x2 9 16 x2 4 x5 x2 9 4 x4 x lim x4 5 25 8 10 8 5 4 lim x4 4 x 5 x2 9 5 4 f limx1 x32 x23x2 Multiplicando pelo conjugado x 3 2 x2 3x 2 x 3 2 x 3 2 x 3 4 x 1x 2x 3 2 x 1 x 1x 2x 3 2 lim x1 1 1 22 2 1 4 lim x1 x 3 2 x2 3x 2 1 4 2 Questão 2 Determinar a para existência do limite Dada a função fx 3x2 5x 2x 2 se x 2 3 ax x2 se x 2 Para que exista lim x2 fx os limites laterais devem ser iguais 1 Limite à esquerda lim x2 3x2 5x 2x 2 lim x2 3x 1x 2x 2 32 1 7 2 Limite à direita lim x2 3 ax x2 3 2a 4 1 2a Igualando 7 1 2a a 4 a 4 Questão 3 Análise da função Fx Fx x2 5x 4x 1 a Limites laterais em x 1 Fatorando x2 5x 4 x 1x 4 Para x 1 x 1 x 1x 4x 1 x 4 lim x1 3 Para x 1 x 1 x 1x 4 x 1 x 4 lim x1 3 Como os limites laterais são diferentes lim x1 Fx não existe b Grafico de Fx x25x4 x1 Figure 1 Grafico de Fx x25x4 x1 Questao 4 Limites da forma limh0 fxhfx h a fx x2 x 1 lim h0 1 h2 1 h lim h0 1 2h h2 1 h lim h02 h 2 2 b fx x2 x 2 lim h0 2 h2 4 h lim h0 4 4h h2 4 h lim h04 h 4 4 4 c fx 3x 4 x 2 lim h0 32 h 4 6 4 h lim h0 6 3h 4 2 h lim h0 3 3 3 d fx 1 x x 2 lim h0 1 2h 1 2 h lim h0 22h 22h h lim h0 h 2h2 h 1 4 1 4 e fx x x 7 lim h0 7 h 7 h 7 h 7 7 h 7 lim h0 7 h 7 h 7 h 7 1 2 7 1 2 7 f fx 3x 1 x 0 lim h0 3h 1 1 h 3h 1 1 3h 1 1 lim h0 3h 1 1 h 3h 1 1 3 2 3 2 Questao 5 Continuidade da funcao gx Para gx ser contınua em R deve ser contınua em x 0 e x 2 5 1 Em x 0 lim x0 gx 2b lim x0 gx 3a b g0 2b Igualando 2b 3a b 3a 3b 0 a b 2 Em x 2 lim x2 gx 4 3a b lim x2 gx 1 g2 4 3a b Igualando 4 3a b 1 3a b 3 Resolvendo o sistema com a b 3a a 3 2a 3 a 3 2 b 3 2 a 3 2 b 3 2 Questao 6 Analise de continuidade a Em x 1 lim x1 x 1 1 x3 lim x1 1 x 1 x1 x x2 lim x1 1 1 x x2 1 3 f1 Logo f e contınua em x 1 b Em x 0 lim x0 x 2 2 x 1 2 2 como calculado na questao 4 lim x03x2 4x 2 2 f0 2 Como 1 2 2 2 f nao e contınua em x 0 6 c Em x 1 Analisando a função fx 1x1 se x 1 1 se x 1 Calculamos os limites laterais e o valor da função no ponto lim x1 fx lim x1 1x 1 lim x1 1x 1 lim x1 fx lim x1 1x 1 lim x1 1x 1 f1 1 Como lim x1 fx 1 f1 concluímos que f não é contínua em x 1 Questão 7 Teorema do Confronto Utilizando o Teorema do Confronto demonstre que lim x0 x4 cos2x 0 Resolução Temos Sabemos que a função cosseno é limitada ou seja 1 cos 2x 1 para todo x 0 Multiplicando todos os membros da desigualdade por x4 que é sempre positivo quando x 0 x4 x4 cos2x x4 Calculamos os limites das funções que confinam nossa função original lim x0 x4 0 lim x0 x4 0 Pelo Teorema do Confronto como x4 x4 cos2x x4 Questão 8 Limites no infinito a limx 12x3 12x 3 0 b limx x3 5x2x3 x2 4 Dividindo por x3 1 5x22 1x 4x3 12 c limx x3 xx2 6x 5 Dividindo por x3 1x 1x21x 6x2 5x3 d limx 1 ex1 2ex Podemos reescrever o limite como limx 1 ex1 2ex limx ex ex 1ex ex 2 Simplificando ex limx ex 1ex 2 Quando x ex 0 O numerador tende para 1 O denominador tende para 2 Portanto limx 1 ex1 2ex 12 Resultado final 12 e ambos os limites laterais são 0 concluímos que limx 0 x4 cos2x 0 Questão 9 Assíntotas de fx 2x2 13x 5 1 Assíntota Vertical Ocorre onde o denominador se anula e o numerador não se anula simultaneamente 3x 5 0 x 53 Verificando os limites laterais limx 53 fx limx 53 fx Assíntota vertical em x 53 2 Assíntotas Horizontais Para determinar as assíntotas horizontais analisamos o comportamento da função quando x Para x fx 2x2 13x 5 x2 1x2x3 5x 2 1x23 5x 23 quando x e limx 9x6 xx31 Simplificando a expressão 9x6 3x3 para x 0 já que x Portanto limx 3x3 xx3 1 Dividindo numerador e denominador por x3 limx 3 1x21 1x3 Quando x 3 01 0 3 Resultado final 3 f limx x x2 2x Multiplicando e dividindo pelo conjugado limx x x2 2xx x2 2xx x2 2x limx x2 x2 2xx x2 2x limx 2xx x21 2x Para x x2 x limx 2xx x1 2x limx 2xx1 1 2x limx 21 1 2x Quando x 21 1 0 22 1 Resultado final 1 Para x fx 2x²1 3x 5 x2 1x² x3 5x x2 1x² x3 5x pois x x quando x 0 2 1x² 3 5x 2 3 quando x Assíntotas horizontais y 23 direita e y 23 esquerda Resumo das Assíntotas Assíntota vertical Apenas uma em x 53 Assíntotas horizontais Duas diferentes uma para cada direção no infinito Questão 10 Limites infinitos a lim x0 x²2 1x Analisando cada termo x²2 0 quando x 0 1x quando x 0 Logo lim x0 x²2 1x 0 lim x0 x²2 1x b lim x 5 2 3x 2 5 2x Quando x 5 2 temos 5 2x 0 pois 2x 5 3x 2 15 2 2 19 2 positivo Logo positivo numero negativo pequeno lim x 5 2 3x 2 5 2x c lim x0 x2 3x 2 x3 2x2 Vamos fatorar numerador e denominador x2 3x 2 x 1x 2 e x3 2x2 x2x 2 Portanto x 1x 2 x2x 2 x 1 x2 para x 2 Agora tomamos o limite lim x0 x 1 x2 1 x2 x x2 1 x2 1 x Quando x 0 1 x2 e 1 x Mas o termo dominante e 1 x2 que cresce mais rapido negativamente lim x0 x 1 x2 lim x0 x2 3x 2 x3 2x2 12 d lim x5 ex x 53 Quando x 5 ex e5 constante positiva x 53 03 0 negativo muito pequeno Logo positivo negativo pequeno lim x5 ex x 53 13
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Professora Carla Priscila Alves Santos Data 17052025 Disciplina Calculo I Semestre 20251 Alunoa Turma 1o LMAT e EC 1a Lista de exercıcios sobre Limite e Continuidade de uma funcao 1 Calcule os limites a lim x2 3x 2 x2 6x 5 c lim x2 x4 10x 4 x3 2x2 e lim x4 4 x 5 x2 9 b lim x1 x3 1 x2 1 d lim x4 4x x2 2 x f lim x1 x 3 2 x2 3x 2 2 Seja fx 3x2 5x 2 x 2 se x 2 3 ax x2 se x 2 determine a R para que exista lim x2 fx 3 Seja Fx x2 5x 4 x 1 definida em R 1 a Calcule lim x1 Fx e lim x1 Fx Em seguida responda existe lim x1 Fx b Esboce o grafico de Fx 4 Devido a sua conexao com retas secante tangente e taxas instantˆaneas os limites da forma lim h0 fx h fx h ocorrem com frequˆencia em calculo Nos itens abaixo avalie esse limite para os valores dados de x e f a fx x2 x 1 cfx 3x 4 x 2 e fx x x 7 b fx x2 x 2 d fx 1 x x 2 f fx 3x 1 x 0 5 Para quais valores de a e b gx ax 2b se x 0 x2 3a b se 0 x 2 3x 5 se x 2 e contınua para qualquer x 6 Analise se f e contınua nos pontos especificados a fx x 1 1 x3 se x 1 1 3 se x 1 no ponto x 1 1 b fx sqrtx 2 sqrt2x se x 0 no ponto x 0 3x2 x4x 2 se x 0 c fx 1x 1 se x 1 no ponto x 1 1 se x 1 7 Utilizando o Teorema do Confronto demonstre que lim x0 x4 cos2x 0 8 Calcule o limite no infinito a lim x 12x3 c lim x x3 xx2 6x 5 e lim x sqrt9x6 xx3 1 b lim x 3x 5x2x3 x2 4 d lim x 1 ex1 2ex f lim x x sqrtx2 2x 9 Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função fx sqrt2x2 13x 5 10 Determine o limite infinito a lim x0 x22 1x b lim x52 3x 25 2x c lim x0 x2 3x 2x3 2x2 d lim x5 exx 53 Bons estudos Resolucao Completa de Exercıcios de Calculo Seu Nome May 18 2025 Questao 1 Calculo de Limites a limx2 3x2 x26x5 Substituindo x 2 32 2 22 62 5 6 2 4 12 5 8 3 lim x2 3x 2 x2 6x 5 8 3 b limx1 x31 x21 Fatorando x3 1 x2 1 x 1x2 x 1 x 1x 1 x2 x 1 x 1 lim x1 x2 x 1 x 1 1 1 1 1 1 3 2 lim x1 x3 1 x2 1 3 2 c limx2 x410x4 x32x2 Fatorando x4 10x 4 x3 2x2 x 2x3 2x2 4x 2 x2x 2 x3 2x2 4x 2 x2 lim x2 8 8 8 2 4 22 4 11 2 lim x2 x4 10x 4 x3 2x2 11 2 1 d limx2 4xx2 4x Multiplicando pelo conjugado 4x x2 4 x 4 x 4 x 4x x24 x 16 x x4 x4 x x 16 lim x2 226 14 24 14 12 7 lim x2 4x x2 4 x 12 7 e limx4 4x 5 x29 Multiplicando pelo conjugado 4 x 5 x2 9 5 x2 9 5 x2 9 4 x5 x2 9 25 x2 9 4 x5 x2 9 16 x2 4 x5 x2 9 4 x4 x lim x4 5 25 8 10 8 5 4 lim x4 4 x 5 x2 9 5 4 f limx1 x32 x23x2 Multiplicando pelo conjugado x 3 2 x2 3x 2 x 3 2 x 3 2 x 3 4 x 1x 2x 3 2 x 1 x 1x 2x 3 2 lim x1 1 1 22 2 1 4 lim x1 x 3 2 x2 3x 2 1 4 2 Questão 2 Determinar a para existência do limite Dada a função fx 3x2 5x 2x 2 se x 2 3 ax x2 se x 2 Para que exista lim x2 fx os limites laterais devem ser iguais 1 Limite à esquerda lim x2 3x2 5x 2x 2 lim x2 3x 1x 2x 2 32 1 7 2 Limite à direita lim x2 3 ax x2 3 2a 4 1 2a Igualando 7 1 2a a 4 a 4 Questão 3 Análise da função Fx Fx x2 5x 4x 1 a Limites laterais em x 1 Fatorando x2 5x 4 x 1x 4 Para x 1 x 1 x 1x 4x 1 x 4 lim x1 3 Para x 1 x 1 x 1x 4 x 1 x 4 lim x1 3 Como os limites laterais são diferentes lim x1 Fx não existe b Grafico de Fx x25x4 x1 Figure 1 Grafico de Fx x25x4 x1 Questao 4 Limites da forma limh0 fxhfx h a fx x2 x 1 lim h0 1 h2 1 h lim h0 1 2h h2 1 h lim h02 h 2 2 b fx x2 x 2 lim h0 2 h2 4 h lim h0 4 4h h2 4 h lim h04 h 4 4 4 c fx 3x 4 x 2 lim h0 32 h 4 6 4 h lim h0 6 3h 4 2 h lim h0 3 3 3 d fx 1 x x 2 lim h0 1 2h 1 2 h lim h0 22h 22h h lim h0 h 2h2 h 1 4 1 4 e fx x x 7 lim h0 7 h 7 h 7 h 7 7 h 7 lim h0 7 h 7 h 7 h 7 1 2 7 1 2 7 f fx 3x 1 x 0 lim h0 3h 1 1 h 3h 1 1 3h 1 1 lim h0 3h 1 1 h 3h 1 1 3 2 3 2 Questao 5 Continuidade da funcao gx Para gx ser contınua em R deve ser contınua em x 0 e x 2 5 1 Em x 0 lim x0 gx 2b lim x0 gx 3a b g0 2b Igualando 2b 3a b 3a 3b 0 a b 2 Em x 2 lim x2 gx 4 3a b lim x2 gx 1 g2 4 3a b Igualando 4 3a b 1 3a b 3 Resolvendo o sistema com a b 3a a 3 2a 3 a 3 2 b 3 2 a 3 2 b 3 2 Questao 6 Analise de continuidade a Em x 1 lim x1 x 1 1 x3 lim x1 1 x 1 x1 x x2 lim x1 1 1 x x2 1 3 f1 Logo f e contınua em x 1 b Em x 0 lim x0 x 2 2 x 1 2 2 como calculado na questao 4 lim x03x2 4x 2 2 f0 2 Como 1 2 2 2 f nao e contınua em x 0 6 c Em x 1 Analisando a função fx 1x1 se x 1 1 se x 1 Calculamos os limites laterais e o valor da função no ponto lim x1 fx lim x1 1x 1 lim x1 1x 1 lim x1 fx lim x1 1x 1 lim x1 1x 1 f1 1 Como lim x1 fx 1 f1 concluímos que f não é contínua em x 1 Questão 7 Teorema do Confronto Utilizando o Teorema do Confronto demonstre que lim x0 x4 cos2x 0 Resolução Temos Sabemos que a função cosseno é limitada ou seja 1 cos 2x 1 para todo x 0 Multiplicando todos os membros da desigualdade por x4 que é sempre positivo quando x 0 x4 x4 cos2x x4 Calculamos os limites das funções que confinam nossa função original lim x0 x4 0 lim x0 x4 0 Pelo Teorema do Confronto como x4 x4 cos2x x4 Questão 8 Limites no infinito a limx 12x3 12x 3 0 b limx x3 5x2x3 x2 4 Dividindo por x3 1 5x22 1x 4x3 12 c limx x3 xx2 6x 5 Dividindo por x3 1x 1x21x 6x2 5x3 d limx 1 ex1 2ex Podemos reescrever o limite como limx 1 ex1 2ex limx ex ex 1ex ex 2 Simplificando ex limx ex 1ex 2 Quando x ex 0 O numerador tende para 1 O denominador tende para 2 Portanto limx 1 ex1 2ex 12 Resultado final 12 e ambos os limites laterais são 0 concluímos que limx 0 x4 cos2x 0 Questão 9 Assíntotas de fx 2x2 13x 5 1 Assíntota Vertical Ocorre onde o denominador se anula e o numerador não se anula simultaneamente 3x 5 0 x 53 Verificando os limites laterais limx 53 fx limx 53 fx Assíntota vertical em x 53 2 Assíntotas Horizontais Para determinar as assíntotas horizontais analisamos o comportamento da função quando x Para x fx 2x2 13x 5 x2 1x2x3 5x 2 1x23 5x 23 quando x e limx 9x6 xx31 Simplificando a expressão 9x6 3x3 para x 0 já que x Portanto limx 3x3 xx3 1 Dividindo numerador e denominador por x3 limx 3 1x21 1x3 Quando x 3 01 0 3 Resultado final 3 f limx x x2 2x Multiplicando e dividindo pelo conjugado limx x x2 2xx x2 2xx x2 2x limx x2 x2 2xx x2 2x limx 2xx x21 2x Para x x2 x limx 2xx x1 2x limx 2xx1 1 2x limx 21 1 2x Quando x 21 1 0 22 1 Resultado final 1 Para x fx 2x²1 3x 5 x2 1x² x3 5x x2 1x² x3 5x pois x x quando x 0 2 1x² 3 5x 2 3 quando x Assíntotas horizontais y 23 direita e y 23 esquerda Resumo das Assíntotas Assíntota vertical Apenas uma em x 53 Assíntotas horizontais Duas diferentes uma para cada direção no infinito Questão 10 Limites infinitos a lim x0 x²2 1x Analisando cada termo x²2 0 quando x 0 1x quando x 0 Logo lim x0 x²2 1x 0 lim x0 x²2 1x b lim x 5 2 3x 2 5 2x Quando x 5 2 temos 5 2x 0 pois 2x 5 3x 2 15 2 2 19 2 positivo Logo positivo numero negativo pequeno lim x 5 2 3x 2 5 2x c lim x0 x2 3x 2 x3 2x2 Vamos fatorar numerador e denominador x2 3x 2 x 1x 2 e x3 2x2 x2x 2 Portanto x 1x 2 x2x 2 x 1 x2 para x 2 Agora tomamos o limite lim x0 x 1 x2 1 x2 x x2 1 x2 1 x Quando x 0 1 x2 e 1 x Mas o termo dominante e 1 x2 que cresce mais rapido negativamente lim x0 x 1 x2 lim x0 x2 3x 2 x3 2x2 12 d lim x5 ex x 53 Quando x 5 ex e5 constante positiva x 53 03 0 negativo muito pequeno Logo positivo negativo pequeno lim x5 ex x 53 13