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Q1 Prendese a extremidade A de uma haste de 3m de comprimento a uma roda de raio 1 m que gira no sentido antihorário à taxa de 045 radianos por segundo A outra extremidade da haste está presa a um anel que desliza livremente ao longo de uma haste que passa pelo centro da roda Qual é a velocidade do anel quando A atinge a altura máxima Q2 Estimase em 9 polegadas o raio de um disco plano circular com margem de erro de 005 polegadas Usando diferenciais estime a margem de erro no cálculo da área do disco uma face Qual é o erro relativo no cálculo dessa área Q3 Uma empresa utiliza latas de conservas de formato cilíndrico para seu produto onde o volume é 1 d m 3 Quais as dimensões que minimizarão a área total da superfície de uma lata como está e portanto a quantidade de metal necessário para fabricála Q4 Uma corrida de carros está acontecendo no sentido antihorário numa estrada com a forma de uma elipse x 2 9 y 2 4 1 Sabendo que a luz possui uma trajetória retilínea determine a localização do automóvel quando os faróis iluminam o observador O4 25 15 Q5 Determine as derivadas das funções abaixo a f xx 3 5 logx 21 b gxsen5 x 2 2x 31 c h xx x 2 d mxsencosx 2 Q6 Considere uma avenida retilínea e que um automóvel esteja com uma velocidade de 60 kmh Em um certo instante t0 segundos o motorista passa por um outdoor que neste instante se encontra a 20 metros da avenida Sabendo que H55 m e que h35 m responda os itens abaixo a Determine a taxa de variação da distância entre o automóvel e o ponto Ptopo do outdoor b Determine a taxa de variação do ângulo de visão θ que o motorista tem do outdoor Q7 A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV C onde P é o número de quilos por unidade quadrada de pressão V é o número de unidades cúbicas do volume do gás e C é uma constante Num certo instante a pressão é de 150 kmm 2 o volume é 15m 3 e está crescendo a uma taxa de 1 m 3min a Determine a taxa de variação da pressão neste instante b Se o erro possível na medida do volume de um gás for 01 c m 3 e o erro permitido na pressão for 0001C kgm 2 ache o tamanho do menor recipiente para o qual é válida a lei de Boyle Q8 Uma dada bactéria unicelular tem a forma de uma esfera tal que se r micromilímetros μ for seu raio e Vμ 3 for seu volume então V4 π R 3 3 a Use a diferencial para encontrar o crescimento aproximado no volume da célula quando o raio passa de 13 para 131 μm b Determine o valor exato deste crescimento 01 dodt 045 rads dhdt R dodt v 1 045 045 ms 02 r 9 pd e 005 pd A πr² π 9² 81π pd² dA 2πr dr dA π 9 005 09π pd² dAA 09π 81π 0011 ΔA dA 09π pd² erro relativo 11 03 V 1 dm³ V πr² h h 1πr² A 2πr² 2πrh A 2πr² 2πr 1πr² A 2πr² 2r dAdr 4πr 2r² 4πr 2r² 0 4πr 2r² r³ 24π r 054 dm h 108 dm A 2π 054² 2π 054 108 55 dm² de metal 04 Equação da reta yn ax b Ponto 45 0 0 45a b b 45a Ponto O 4 2515 2515 4a 45a 2515 25a a 475 5 b 625 5 yr 475 5 x 625 5 x²9 y²4 1 x²9 yr²4 1 yr² 1675² 5 x² 2 425 675 x 36525² yr² 16x²1125 16x125 36125 yr² 16x²9125 16x125 36125 x²9 14 16x²9125 16x125 36125 1 x²9 4x²9125 4x125 9125 1 125x² 4x² 36x 819125 1 129x² 36x 81 1125 129x² 36x 1044 0 Δ 36² 4 129 1044 540000 x 36 3006 2 129 x 298 y 475 5 298 625 5 y 018 05 a fx 35 x23 logx2 1 x23 2x 1x2 1 ln 10 fx 35 logx2 1x15 2x85ln 10 x2 1 b gx 10x cos5x2 sen5x2 6x2 2x3 12 gx 10x cos5x2 6x2 sen 5x2 2x3 12 c hx xx2 ex2 ln x hx ex2 ln x 2x ln x x2 1x hx 2x ln x x ex2 ln x hx xx2 2x ln x x d mx 2x senx2 coscosx2 mx 2x senx2 coscosx2 06 v 60 kmh t 0 m s0 20 m H 55 m h 35 m v0 1667 ms x 1667 2 3334 m a 20 a 3334 a2 202 33342 a 3887 m h H2 202 w2 81 400 w2 w 481 w 2193 m h H2 a2 w2 81 38872 w2 w 3989 m dwdt w w Δt 3989 21932 dwdt 898 ms b h α 20 tg α h20 3520 α 993 hH β 20 tg β 920 β 2423 θ β α 143 h α 3887 tg α h3887 α 515 θ β α 789 hH 3887 tg β 93887 β 1304 dθdt 789 1432 0056 rads 7 07 P V C a V CP V C P1 dVdt C 1P2 dPdt dPdt 1 1502 225 100 P 150 Kgm2 V 15 m3 dVdt 1 m3min C 150 15 225 Kg m 08 a V 43 π R3 dV 4 π R2 dR V 13 to 131 4 π R2 dR V 4 π R3 3 13 to 131 4 π 3 1313 133 V 0214 μ3 m3 b V131 43 π 1313 9417 μ3 m3 V13 43 π 133 9203 μ3 m3 ΔV 9417 9203 0214 μ3 m3
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Q1 Prendese a extremidade A de uma haste de 3m de comprimento a uma roda de raio 1 m que gira no sentido antihorário à taxa de 045 radianos por segundo A outra extremidade da haste está presa a um anel que desliza livremente ao longo de uma haste que passa pelo centro da roda Qual é a velocidade do anel quando A atinge a altura máxima Q2 Estimase em 9 polegadas o raio de um disco plano circular com margem de erro de 005 polegadas Usando diferenciais estime a margem de erro no cálculo da área do disco uma face Qual é o erro relativo no cálculo dessa área Q3 Uma empresa utiliza latas de conservas de formato cilíndrico para seu produto onde o volume é 1 d m 3 Quais as dimensões que minimizarão a área total da superfície de uma lata como está e portanto a quantidade de metal necessário para fabricála Q4 Uma corrida de carros está acontecendo no sentido antihorário numa estrada com a forma de uma elipse x 2 9 y 2 4 1 Sabendo que a luz possui uma trajetória retilínea determine a localização do automóvel quando os faróis iluminam o observador O4 25 15 Q5 Determine as derivadas das funções abaixo a f xx 3 5 logx 21 b gxsen5 x 2 2x 31 c h xx x 2 d mxsencosx 2 Q6 Considere uma avenida retilínea e que um automóvel esteja com uma velocidade de 60 kmh Em um certo instante t0 segundos o motorista passa por um outdoor que neste instante se encontra a 20 metros da avenida Sabendo que H55 m e que h35 m responda os itens abaixo a Determine a taxa de variação da distância entre o automóvel e o ponto Ptopo do outdoor b Determine a taxa de variação do ângulo de visão θ que o motorista tem do outdoor Q7 A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV C onde P é o número de quilos por unidade quadrada de pressão V é o número de unidades cúbicas do volume do gás e C é uma constante Num certo instante a pressão é de 150 kmm 2 o volume é 15m 3 e está crescendo a uma taxa de 1 m 3min a Determine a taxa de variação da pressão neste instante b Se o erro possível na medida do volume de um gás for 01 c m 3 e o erro permitido na pressão for 0001C kgm 2 ache o tamanho do menor recipiente para o qual é válida a lei de Boyle Q8 Uma dada bactéria unicelular tem a forma de uma esfera tal que se r micromilímetros μ for seu raio e Vμ 3 for seu volume então V4 π R 3 3 a Use a diferencial para encontrar o crescimento aproximado no volume da célula quando o raio passa de 13 para 131 μm b Determine o valor exato deste crescimento 01 dodt 045 rads dhdt R dodt v 1 045 045 ms 02 r 9 pd e 005 pd A πr² π 9² 81π pd² dA 2πr dr dA π 9 005 09π pd² dAA 09π 81π 0011 ΔA dA 09π pd² erro relativo 11 03 V 1 dm³ V πr² h h 1πr² A 2πr² 2πrh A 2πr² 2πr 1πr² A 2πr² 2r dAdr 4πr 2r² 4πr 2r² 0 4πr 2r² r³ 24π r 054 dm h 108 dm A 2π 054² 2π 054 108 55 dm² de metal 04 Equação da reta yn ax b Ponto 45 0 0 45a b b 45a Ponto O 4 2515 2515 4a 45a 2515 25a a 475 5 b 625 5 yr 475 5 x 625 5 x²9 y²4 1 x²9 yr²4 1 yr² 1675² 5 x² 2 425 675 x 36525² yr² 16x²1125 16x125 36125 yr² 16x²9125 16x125 36125 x²9 14 16x²9125 16x125 36125 1 x²9 4x²9125 4x125 9125 1 125x² 4x² 36x 819125 1 129x² 36x 81 1125 129x² 36x 1044 0 Δ 36² 4 129 1044 540000 x 36 3006 2 129 x 298 y 475 5 298 625 5 y 018 05 a fx 35 x23 logx2 1 x23 2x 1x2 1 ln 10 fx 35 logx2 1x15 2x85ln 10 x2 1 b gx 10x cos5x2 sen5x2 6x2 2x3 12 gx 10x cos5x2 6x2 sen 5x2 2x3 12 c hx xx2 ex2 ln x hx ex2 ln x 2x ln x x2 1x hx 2x ln x x ex2 ln x hx xx2 2x ln x x d mx 2x senx2 coscosx2 mx 2x senx2 coscosx2 06 v 60 kmh t 0 m s0 20 m H 55 m h 35 m v0 1667 ms x 1667 2 3334 m a 20 a 3334 a2 202 33342 a 3887 m h H2 202 w2 81 400 w2 w 481 w 2193 m h H2 a2 w2 81 38872 w2 w 3989 m dwdt w w Δt 3989 21932 dwdt 898 ms b h α 20 tg α h20 3520 α 993 hH β 20 tg β 920 β 2423 θ β α 143 h α 3887 tg α h3887 α 515 θ β α 789 hH 3887 tg β 93887 β 1304 dθdt 789 1432 0056 rads 7 07 P V C a V CP V C P1 dVdt C 1P2 dPdt dPdt 1 1502 225 100 P 150 Kgm2 V 15 m3 dVdt 1 m3min C 150 15 225 Kg m 08 a V 43 π R3 dV 4 π R2 dR V 13 to 131 4 π R2 dR V 4 π R3 3 13 to 131 4 π 3 1313 133 V 0214 μ3 m3 b V131 43 π 1313 9417 μ3 m3 V13 43 π 133 9203 μ3 m3 ΔV 9417 9203 0214 μ3 m3