Geometria Espacial

Nome Data Questão 01 As figuras mostram um cilindro reto A de raio da base r altura h e volume VA e um cilindro reto B de raio da base 2r altura 2h e volume VB cujas superfícies laterais são retângulos de áreas SA e SB Nesse caso é correto afirmar que SASB e VAVB valem respectivamente a 14 e 118 b 12 e 16 c14 e 16 d12 e 12 e12 e 14 Questão 02 Em uma caixa de papelão são colocados 12 copos como mostra a figura a seguir Entre um copo e outro existe uma divisória de papelão com 1cm de espessura Cada copo tem o formato de um cilindro circular reto com altura de 14cm e volume de 126π cm³ Com base nesses dados podese dizer que o comprimento interno da caixa de papelão em cm será igual a use π314 a 36 b 41 c 12 d 17 e 48 Questão 03 O volume de um sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo e isósceles de hipotenusa igual a 1 em torno de um eixo que contém a hipotenusa é igual a a π 3 b π 6 c π 12 d π 24 e 2 π 3 Questão 04 Bóias de sinalização marítima são construídas de acordo com a figura abaixo em que um cone de raio da base e altura r é sobreposto a um hemisfério de raio r Aumentandose r em 50 o volume da bóia é multiplicado por a 8 b278 c 94 d 4 e18 Questão 05 Uma fruta em formato esférico com um caroço também esférico no centro apresenta 78 de seu volume ocupado pela polpa Desprezandose a espessura da casca considerando que o raio da esfera referente à fruta inteira é de 12 cm então a superfície do caroço apresenta uma área de a 121 π cm² b 144 π cm² c 169 π cm² d 196 π cm² E 153 π cm² Questão 06 O recipiente da figura a seguir é composto por dois cilindros circulares retos de mesmo eixo e com bases inferiores no mesmo plano Com uma vazão de 9 litrosmin uma torneira é aberta por 15 min despejando água no cilindro interno que quando cheio deixa escapar a água que passa a ser armazenada pelo cilindro externo até uma altura h de Considerar π 3 a 75 cm b 100 cm c 1125 cm d 125 cm e 1375 cm Questão 07 Cubos esferas e cones maciços feitos de um mesmo material são colocados sobre uma balança de equilíbrio segundo a distribuição apresentada nas alternativas abaixo Sabendose que a massa de cada peça é diretamente proporcional ao seu volume e que a aresta de cada cubo bem como a altura e o diâmetro da base de cada cone são iguais ao diâmetro de cada esfera podemos afirmar que obteremos o equilíbrio com precisão quando tivermos a um cubo em um prato e duas esferas em outro prato b um cone em um prato e duas esferas em outro prato c uma esfera em um prato e dois cones em outro prato d uma esfera em um prato e dois cubos em outro prato e um cubo em um prato e dois cones em outro prato Questão 08 A figura representa um lápis novo e sua parte apontada sendo que D o diâmetro do lápis mede 10 mm d o diâmetro da grafite mede 2 mm e h a altura do cilindro reto que representa a parte apontada mede 15 mm A altura do cone reto representando a parte da grafite que foi apontada mede s mm a Calcule o volume do material madeira e grafite retirado do lápis b Calcule o volume da grafite retirada Questão 09 Um aluno resolveu o exercício conforme a reprodução a seguir Um erro foi cometido Aponte o erro e refaça a resolução corrigindoa Exercício Uma esfera tangencia a base e todas as geratrizes de um cone circular reto conforme mostra a figura Dado que a altura e o raio da base do cone medem 120cm e 50cm respectivamente calculem a medida do raio da esfera Resolução Indicando por O e R o centro e a medida em cm do raio da esfera respectivamente e por O o centro da base do cone respectivamente Pela semelhança dos triângulos AOB e AOC calculamos a medida R 120120R 50R 120R 6000 50R 170R 6000 R 60017 Logo a medida do raio da esfera é 60017 cm Questão 4 BOIA 1 CONE 1 HEMISFÉRIO i V cone 13 S base h 13 π r² h h x Substituindo h x V 13 π r³ ii V hemisfério V esfera 2 43 π R³ 2 23 π R³ iii V início 13 π r³ 23 π r³ π r³ iv Aumentar r em 50 r 12 r 3r2 Vf 3r2 π v Volume final 13 π 32 r³ 23 π 32 r³ 278 r³ π Vf 278 Vi Logo fila multiplicado por 278 Letra B Questão 5 V esfera V fruta V polpa V caroço V polpa 78 V V 78 V V caroço V caroço 18 V A fruta e o caroço apresentam formato esférico V esfera 43 π R³ Logo 4π3 r³ 18 43 π R³ 18 43 π 12³ R fruta R 12 cm r 6 cm Sup efúa 4π R² Logo Sup caroço 4π 6² 144 π cm² Letra B Questão 1 A B h 2h 2r VA SA VB SB Fórmulas cilindro V Sbase h π r² h S lateral 2π r h superfícies laterais são retângulos I VA π r² h VB π 2r² 2h 8 π r² h VAVB 18 II SA 2 π r h SB 2 π 2r 2h SASB 14 letra A Questão 2 Comprimento interno 6 DIÂMETRO COPO 5 comprimento divisórias I Calculando o diâmetro do copo h14 cm V cilindro π r² h 126 π π r² 14 r3 cm diâmetro 6 cm logo comprimento interno 6 6 5 1 41 cm letra B Questão 3 Teorema de Pappus de volume gira uma figura plana de área em torno do seu eixo coplanar Volume da figura V 2 π A ȳ Área da figura distância do centro geométrico da figura ao eixo de rotação Questão 3 Continuação I Calculando a distância do centro geométrico ao eixo de rotação eixo de rotação para o triângulo o centro geométrico é o próprio baricentro ȳ h3 II Calculando a altura relativa a hipotenusa utilizando relações métricas do triângulo retângulo a h b c 1 h x² h 12 Substituindo em ȳ 16 III Calculando a área do triângulo AΔ base h2 a h2 1 12 2 14 Logo V 2 π A ȳ 2 π 14 16 π12 letra C Questão 9 g geratriz do cone g 120 R 120 cm Semelhança de triângulo πR g120R x 50 cm i Calculando g g² x² h² h 120 cm v 50 cm g 130 cm Logo πR g120R 50R 130120R R 1003 cm Está errado pois Analisando a semelhança de triângulos do aluno 120R g h R 50 R50 120Rg 50120R gR o aluno colocou H no lugar da geratriz do cone ERRADO Questão 7 Continuação Vcone 13 π r² h h K R k2 Vcone 13 π k²4 k 13 π k³4 Plone dgk³4 a4 Logo Pnbo 2 Pesfera a 2a2 letra A Questão 8 a r D2 5mm considerando π 3 h 15 mm Vretirado Vcilindro Vcone Vx π r² h 13 π r² h h 15mm r 5mm Vx 750 mm³ Resposta letra a b Para achar s é preciso fazer semelhança de triângulo Hs Rr H 15mm R 5 mm r 2 mm 15s 51 s 3mm Vgrafite retirado Vcilindro Vcon grafite Vgr π r² h 13 π r² h r 1 mm h 3mm Vgr 6 mm³ resposta letra b Questão 6 Vazão 9 litrosmin Volume total Vazão Δt Volume total 915 135 L i O volume do cilindro interno é o quanto de água que ele consegue armazenar que é Vul Sbase l π r² h r 10 cm 10¹ m l 15 m Substituindo Vil 310¹²15 0045 m³ 1 m³ 1000L então Vcilindro 45 L II Volume que vai pro cilindro externo Váguatotal Vcilindrointerno Vcilext 135 45 90L 009 m³ LD R 02 m LD Substituindo 009 π 1021² h π 011² h π3 L1m100cm letra B Questão 7 considerando π 3 Corpos diferentes mas com mesmo material apresentam mesma densidade d mv m dv i aresta do cubo altura do cone diametro cone diametro esfera k I Vcub k³ Pescubo mg d k³ g a II Vesfera 43 π R³ R k2 Vesfera 43 π k2³ k³2 Pesfera d k³2 g a2