ALGA II - Lista 2 - Exercícios Resolvidos e Transformações Lineares

1 Se 𝑅𝑥 𝑦 2𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 e 𝑆𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 𝑧 𝑥 a Ache 𝑅Ο𝑆 b Ache 𝑆Ο𝑅 2 Qual é a aplicação 𝐴 que representa uma contração de 1 2 seguida por uma rotação horária de 45 3 a Ache a transformação 𝑇 do plano no plano que é uma reflexão em torno da reta 𝑥 𝑦 b Escrevaa em forma matricial 4 Considere as bases 𝐵 𝑢1 𝑢2 𝑢3 e 𝐵 𝑢1 𝑢2 𝑢3 de ℝ3 em que 𝑢1 3 0 3 𝑢2 3 2 1 𝑢3 1 6 1 𝑢1 6 6 0 𝑢2 2 6 4 𝑢3 2 3 7 a Encontre a matriz de transição de 𝐵 para 𝐵 b Calcule o valor das coordenadas 𝑤𝐵 em que 𝑤 5 8 5 e calcule 𝑤𝐵 5 Sejam 𝑆 a base canônica de ℝ2 e 𝐵 𝑣1 𝑣2 a base dada por 𝑣1 21 e 𝑣2 34 a Encontre a matriz de transição 𝐼𝑆 𝐵 ALGA II Lista 2 20232 b Encontre a matriz de transição 𝐼𝐵 𝑆 c Confirme que 𝐼𝑆 𝐵 e 𝐼𝐵 𝑆 são inversas uma da outra d Seja 𝑤 5 3 Encontre 𝑤𝐵 utilizando 𝐼𝐵 𝑆 e então encontre 𝑤𝑠 utilizando 𝐼𝑆 𝐵 6 Se 𝛽 é obtida de 𝛽 a base canônica de ℝ2 pela rotação de um ângulo 𝜋 3 ache 𝐼𝛽 𝛽 7 Utilizar a inversão de matrizes 2x2 para mostrar que a A transformação linear inversa de uma reflexão em torno do eixo x é uma reflexão em torno desse eixo b A transformação inversa de uma dilatação ao longo de um eixo é uma contração ao longo desse eixo c A inversa de uma rotação do plano de um ângulo 𝜃 é a rotação do plano no ângulo 𝜃 8 Consideremos as seguintes bases do ℝ2 A1101 e B2335 a Determinar a matriz mudança de base 𝐼𝐵 𝐴 b Utilizar a matriz obtida no item a para calcular 𝑣𝐵 sendo 𝑣𝐴 23 c Determinar a matriz mudança de base de B para A 9 Sabendo que 𝐼𝐵 𝐴 1 4 4 11 e B3512 Determinar a base A 10 A base B é obtida da canônica de A do ℝ2 pela rotação de 𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 Calcular a 𝐼𝐵 𝐴 b 𝐼𝐴 𝐵 11 Em relação ao operador dado determine primeiramente a matriz de T na base A e a seguir utilizar a relação entre as matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B 𝑇 ℝ2 ℝ2 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 2𝑦 𝑥 𝑦 A1112 e B1302 12 Ache os autovalores e os autovetores correspondentes das transformações lineares dadas a 𝑇 ℝ2 ℝ2 tal que 𝑇𝑥 𝑦 2𝑦 𝑥 b 𝑇 ℝ3 ℝ3 tal que 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 2𝑧 2𝑥 𝑦 𝑧 13 Encontre a transformação linear 𝑇 ℝ2 ℝ2 tal que 𝑇 tenha autovalores 2 e 3 associados aos autovetores 3𝑦 𝑦 e 2𝑦 𝑦 respectivamente 14 Encontre os autovalores e os autovetores correspondentes das matrizes abaixo a 10 9 4 2 b 4 0 1 2 1 0 2 0 1 15 Diga quais operadores são diagonalizáveis a 𝑇 ℝ2 ℝ2 tal que 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 b 𝑇 ℝ3 ℝ3 tal que 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 2𝑧 2𝑥 𝑦 𝑧 16 Quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis a 𝐴 1 2 0 1 b 𝐴 1 0 2 1 0 1 1 1 2 17 Determinar a equação reduzida e o gênero das cônicas abaixo a 2𝑥2 2𝑦2 4𝑥𝑦 42𝑥 122𝑦 8 0 b 5𝑥2 4𝑥𝑦 8𝑦2 36 0 c 𝑥𝑦 42𝑥 62𝑦 30 0 d 𝑥2 6𝑥 8𝑦 1 0 e 5𝑥2 4𝑥𝑦 2𝑦2 12 0 f 17𝑥2 12𝑥𝑦 8𝑦2 10𝑥 20𝑦 5 0 g 7𝑥2 𝑦2 8𝑥𝑦 175𝑥 115𝑦 41 0 h 4𝑥2 𝑦2 4𝑥𝑦 55𝑥 105𝑦 5 0