Algebra Vetorial e Geometria Analitica

JACIR J VENTURI 7 algebra vetorial e J geometria analitica 98 edicao atualizada Este livro se encontra integralmente no site wwwgeometriaanaliticacombr com acesso gratuito jacirventurigeometriaanaliticacombr Copyright by Jacir J Venturi FICHA CATALOGRAFICA Catalogagao na fonte Biblioteca Central UFPR VENTURI Jacir J 1949 Algebra Vetorial e GeometriaAnalitica Jacir J Venturi 92 ed Curitiba 242 p il Inclui Bibliografia ISBN 8585132485 1 Algebra Vetorial 2 Geometria Analitica Titulo CDD 5125 CDU 514124 ISBN 8585 132485 REF 072 ComposigaoDesenhos Herica Yamamoto CapaProjeto Grafico Beatriz Susana Impressao e Acabamento Artes Graficas e Editora Unificado graficaunificadocom Dedico às pessoas que procuram o melhor no outro e ao outro também oferecem o melhor de si Jacir J Venturi Dedico às pessoas que procuram o melhor no outro e ao outro também oferecem o melhor de si Jacir J Venturi 20 20 25 25 26 27 29 29 30 35 36 36 37 39 39 41 44 51 52 53 53 57 60 Índice CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4 NOÇÕES PRELIMINARES 01 02 RELAÇÕES SEGMENTÁRIAS NO ESPAÇO UNIDIMENSIONAL 01 02 03 04 05 06 07 SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO BIDIMENSIONAL 01 02 03 04 05 06 07 08 SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL 01 02 03 04 05 06 Elementos primitivos Ponto e reta impróprios Reta orientada Medida algébrica de um segmento Razão simples de três pontos Divisão áurea Abscissas na reta Distância entre dois pontos Razão simples de três pontos Sistema cartesiano ortogonal Sistema cartesiano oblíquo Pares ordenados operações e igualdade Distância entre dois pontos Ponto que divide um segmento numa razão dada Baricentro de um triângulo Sistema polar Passagem do sistema polar para o sistema cartesiano ortogonal Sistema cartesiano ortogonal Distância entre dois pontos Ponto que divide um segmento numa razão dada Baricentro do triângulo Sistema cilíndrico Sistema esférico CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 6 CAPÍTULO 7 VETORES 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VETORES APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS CLÁSSICAS 01 02 03 04 05 06 07 08 09 O PLANO NO E 01 02 Sinopse histórica Grandezas escalares e vetoriais Definições etimologia e notações Paralelismo de vetores Multiplicação de um vetor por umescalar Coplanaridade de vetores Adição de vetores Subtração de vetores Combinação linear de vetores Expressão cartesiana de umvetor Condição de paralelismo de dois vetores Condição de coplanaridade de vetores Combinação linear de quatro vetores Ângulo de dois vetores Multiplicação interna ou escalar Expressão cartesiana do produto escalar Multiplicação vetorial ou externa Área de um paralelogramo e de umtriângulo Multiplicação mista Duplamultiplicação vetorial Projeção de umvetor sobre umoutro vetor Projeção de umponto sobre umplano Distância de ponto a plano Distância de umponto a reta Distância entre duas retas Área de um triângulo Área da projeção ortogonal de umtriângulo sobre umplano Área da projeção não ortogonal de umtriângulo sobre umplano Cosenos diretores de umvetor Equação do plano Pertinência de ponto a plano 3 64 64 64 67 68 70 70 72 77 77 79 84 87 89 90 97 104 111 115 121 128 132 135 137 139 142 144 145 148 157 160 20 20 25 25 26 27 29 29 30 35 36 36 37 39 39 41 44 51 52 53 53 57 60 Índice CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4 NOÇÕES PRELIMINARES 01 02 RELAÇÕES SEGMENTÁRIAS NO ESPAÇO UNIDIMENSIONAL 01 02 03 04 05 06 07 SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO BIDIMENSIONAL 01 02 03 04 05 06 07 08 SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL 01 02 03 04 05 06 Elementos primitivos Ponto e reta impróprios Reta orientada Medida algébrica de umsegmento Razão simples de três pontos Divisão áurea Abscissas na reta Distância entre dois pontos Razão simples de três pontos Sistema cartesiano ortogonal Sistema cartesiano oblíquo Pares ordenados operações e igualdade Distância entre dois pontos Ponto que divide umsegmento numa razão dada Baricentro de umtriângulo Sistema polar Passagem do sistema polar para o sistema cartesiano ortogonal Sistema cartesiano ortogonal Distância entre dois pontos Ponto que divide umsegmento numa razão dada Baricentro do triângulo Sistema cilíndrico Sistema esférico CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 6 CAPÍTULO 7 VETORES 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VETORES APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS CLÁSSICAS 01 02 03 04 05 06 07 08 09 O PLANO NO E 01 02 Sinopse histórica Grandezas escalares e vetoriais Definições etimologia e notações Paralelismo de vetores Multiplicação de um vetor por um escalar Coplanaridade de vetores Adição de vetores Subtração de vetores Combinação linear de vetores Expressão cartesiana de um vetor Condição de paralelismo de dois vetores Condição de coplanaridade de vetores Combinação linear de quatro vetores Ângulo de dois vetores Multiplicação interna ou escalar Expressão cartesiana do produto escalar Multiplicação vetorial ou externa Área de um paralelogramo e de um triângulo Multiplicação mista Duplamultiplicação vetorial Projeção de um vetor sobre um outro vetor Projeção de um ponto sobre um plano Distância de ponto a plano Distância de um ponto a reta Distância entre duas retas Área de um triângulo Área da projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano Área da projeção não ortogonal de um triângulo sobre um plano Cosenos diretores de umvetor Equação do plano Pertinência de ponto a plano 3 64 64 64 67 68 70 70 72 77 77 79 84 87 89 90 97 104 111 115 121 128 132 135 137 139 142 144 145 148 157 160 03 Intersegao de um plano com os eixos coordenados 0 160 04 Equacgao segmentaria do plano eee eeeeseeeeeteettettereeeees 162 05 Equagao do plano que passa por um ponto e OrtOgonal AUM VETOF oo eee eee terete tteeteeteeteeeseeeee 164 06 Casos particulares da equacgao geral do plano 166 07 Paralelismo e ortogonalidade de dois planoS eee 171 08 Equacao do feixe de dois plano uu eesti 176 09 Distancia de UM Po UM Plano 6 eeeeeeeeeteeteeettetttetttteteereee 179 10 Equagdo dos planos biSSetores ccccccecseseteesteteseeeteeteeeeee 182 11 Angulo de dois planoS ccccccceccsteeesestetetesteteteeeeee 183 CAPITULO 8 ARETANOE 01 Equacdes da reta cecccccececesesceteteseetesseetesssestesssesteesesteseseaesee 187 02 Posicdes relativas de duaS retas oo cece 198 03 Condicées de paralelismo e ortogonalidade de duas retas 199 04 Condicado de coplanaridade de duas retas cccecceeeeeee 202 05 Intersecdo de reta Plan ceccececcescesesceseetesestesteesteseetesesteaeesene 209 06 IntersecAo de duas lets ccccsccccscssesesesesesessstsssestststsestseeeseessse 206 07 Condicées de paralelismo e ortogonalidade de retae plano 210 08 Distancia de UM Ponto AUMA Feta ccececeteteteteteeseeteeeteeeeee 216 09 Distancia entre duas retas FeVErSAS cececceteeteteteteteeeereee 218 10 Angulo de duas retas ccccceccetestesesteestesteestsseetsseesesteesteseeeerese 220 11 Angulo de uma reta COM UM PlANO cesseeetesteesteseetestesesteeeteree 221 APENDICE RECRFANDO oe ceeeeeeeeccccsssseeessssssssssssnssnnnes 224 03 04 05 06 07 08 09 10 11 A RETA NO E 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 lnterseção de um plano com os eixos coordenados Equação segmentária do plano Equação do plano que passa por umponto e ortogonal a umvetor Casos particulares da equação geral do plano Paralelismo e ortogonalidade de dois planos Equação do feixe de dois planos Distância de umP a umplano Equação dos planos bissetores Ângulo de dois planos Equações da reta Posições relativas de duas retas Condições de paralelismo e ortogonalidade de duas retas Condição de coplanaridade de duas retas lnterseção de reta e plano lnterseção de duas retas Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e plano Distância de umponto a uma reta Distância entre duas retas reversas Ângulo de duas retas Ângulo de uma reta com umplano O α 3 CAPÍTULO 8 APÊNDICE RECR ANDO e i 160 162 164 166 171 176 179 182 183 187 198 199 202 205 206 210 216 218 220 221 224 O ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi P R E F Á C I O O presente trabalho foi escrito tendo como norte uma premissa básica que fosse acessível ao aluno do 1º ano da faculdade e para tanto sua linguagem teria que ser tão clara e didática quanto possível Por vezes preferiuse a apresentação intuitiva aos refinamentos teóricos Contém 421 exercícios com seus subitens em ordem crescente de dificuldade Para uma boa assimilação do texto resolveremos diversos exercícios emaula deixando os demais a cargo do aluno Propositalmente não se inseriram no texto exercícios resolvidos afora alguns exemplos de aplicação imediata da teoria para uma maior valorização da aula enlevando a interação alunoprofessor O aluno deve ter em mente que à resolução dos exercícios deve preceder um bom conhecimento da teoria Um grande número de ilustrações facilita o entendimento do texto e é imprescindível quando se almeja a formação de uma visão espacial na Geometria Analítica Tridimensional Há sinopses históricas indicações de aplica bilidade prática e sugestões para a resolução de exercícios no intuito de motivar o aluno naquilo que está estudando Os quatros primeiros capítulos integram o programa da Geometria Analítica na UFPR e foram abordados de maneira concisa para não penalizar importantes capítulos vindouros da disciplina reta plano cônicas superfícies etc Os capítulos 5 e 6 tratam de vetores Há inúmeros caminhos para a resolução de problemas geométricos através da Álgebra porém o tratamento vetorial é o mais indicado pela sua elegância e simplicidade além de ser assaz importante a outras disciplinas A um bom rendimento escolar em Geometria Analítica com enfoque vetorial atrelase um respeitável conhecimento dos capítulos 5 e 6 Há que se tomar público que face à nossa formação acadêmica e relacionamento profissional o presente trabalho recebeu preponderante influência do livro Geometria Analítica e Vetores do Professor Leo Barsotti que recomendamos a todos os alunos que aspiram a um aprofundamento e a um maior rigor no assunto Ademais cumprimos o elementar dever de gratidão pelo desprendimento com que os professores Florinda Miyaòka Osny A Dacol Ana Maria N de Oliveira Luci C Watanabe e Ivo J Riegler se dispuseram a ler o manuscrito e apresentar sugestões O mesmo preito de gratidão estendemos à plêiade de colegas e amigos do Depto de Matemática da UFPR que nos propiciaram uma convivência de crescimento na disciplina em mais de quatro lustros Críticas e sugestões hão de surgir E serão bemvindas Restanos o consolo de ter envidado esforços para empregar util mente o nosso tempo A censura que nos for feita se faz oportuno Souza Pinto há de ser mitigada pelo censor se ele chegar a ter consciência de nossa boa vontade emacertar O ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi P R E F Á C I O O presente trabalho foi escrito tendo como norte uma premissa básica que fosse acessível ao aluno do 1º ano da faculdade e para tanto sua linguagem teria que ser tão clara e didática quanto possível Por vezes preferiuse a apresentação intuitiva aos refinamentos teóricos Contém 421 exercícios com seus subitens em ordem crescente de dificuldade Para uma boa assimilação do texto resolveremos diversos exercícios emaula deixando os demais a cargo do aluno Propositalmente não se inseriram no texto exercícios resolvidos afora alguns exemplos de aplicação imediata da teoria para uma maior valorização da aula enlevando a interação alunoprofessor O aluno deve ter em mente que à resolução dos exercícios deve preceder um bom conhecimento da teoria Um grande número de ilustrações facilita o entendimento do texto e é imprescindível quando se almeja a formação de uma visão espacial na Geometria Analítica Tridimensional Há sinopses históricas indicações de aplica bilidade prática e sugestões para a resolução de exercícios no intuito de motivar o aluno naquilo que está estudando Os quatros primeiros capítulos integram o programa da Geometria Analítica na UFPR e foram abordados de maneira concisa para não penalizar importantes capítulos vindouros da disciplina reta plano cônicas superfícies etc Os capítulos 5 e 6 tratam de vetores Há inúmeros caminhos para a resolução de problemas geométricos através da Álgebra porém o tratamento vetorial é o mais indicado pela sua elegância e simplicidade além de ser assaz importante a outras disciplinas A um bom rendimento escolar em Geometria Analítica com enfoque vetorial atrelase um respeitável conhecimento dos capítulos 5 e 6 Há que se tomar público que face à nossa formação acadêmica e relacionamento profissional o presente trabalho recebeu preponderante influência do livro Geometria Analítica e Vetores do Professor Leo Barsotti que recomendamos a todos os alunos que aspiram a um aprofundamento e a um maior rigor no assunto Ademais cumprimos o elementar dever de gratidão pelo desprendimento com que os professores Florinda Miyaòka Osny A Dacol Ana Maria N de Oliveira Luci C Watanabe e Ivo J Riegler se dispuseram a ler o manuscrito e apresentar sugestões O mesmo preito de gratidão estendemos à plêiade de colegas e amigos do Depto de Matemática da UFPR que nos propiciaram uma convivência de crescimento na disciplina em mais de quatro lustros Críticas e sugestões hão de surgir E serão bemvindas Restanos o consolo de ter envidado esforços para empregar util mente o nosso tempo A censura que nos for feita se faz oportuno Souza Pinto há de ser mitigada pelo censor se ele chegar a ter consciência de nossa boa vontade emacertar ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Prezado Universitário motivação pela disciplina no Ensino Médio Este embasamento representa a para um bom rendimento na Faculdade Isto posto a carência de tal embasamento leva a obstáculos que podem ser transpostos na interação alunoprofessor A nós professores importa a sensibilidade à percepção de tais dificuldades bem como a disposição de retornar aos níveis anteriores sempre que necessário É frustrante observar que em certos cursos em especial noturnos o índice de desistência atinge 50 até ou logo após a primeira avaliação Se consciente da sofrível formação anterior cabe ao universitário novel a busca junto aos livros professores e colegas Atirar pedras no passado pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de alguns professores do Ensino Fundamental ou Médio não leva a nada O importante afirma Jean Paul Sartre não é o que fizeram de nós mas o que fazemos do que fizeram de nós Ao ingressar na Universidade o calouro sentese perplexo e desamparado Há no sistema educacional brasileiro uma dicotomia entre o Ensino Médio e a Faculdade Enfatizamse demonstrações teoremas e abstrações aqui e quase nada lá Cobrase autodidatismo e raciocínio na faculdade de quem cursou salvo exceções um Ensino Médio preponderantemente à base de memorizações e expedientes similares Tal procedimento argumenta Valmir Chagas desenvolve uma estranha metodologia de perguntas e respostas tipificadas e gera maus hábitos de estudo É uma ledice enganosa transferir a metodologia de ensino dos cursinhos ao Ensino Médio Cabe à comunidade universitária a consciência das mazelas do sistema educacional brasileiro Não é só fazse mister uma postura crítica e participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas Se tal situação não é apanágio do momento atual e sim tão antiga quanto o próprio Brasil a ressalva cabe ao conformismo apático e ao fatalismo de aceitar as coisas como estão e como sempre foram É papel precípuo da Universidade e lhe cabe a iniciativa promover física e socialmente a comunidade Esta geralmente não tem consciência de seus próprios problemas e muito menos de como resolvê los O Autor conditio sine qua non Tinha 12 anos quando assisti à demons tração de um teorema de geometria e senti uma espécie de vertigem Parecia que estava descobrindo um mundo de infinita harmonia Não sabia então que acabava de descobrir o universo platônico com sua ordem perfeita com seus objetos eternos e incorruptíveis de uma beleza perfeita e alheia a todos os vícios que eu acreditava sofrer Assim apesar deminhavocação ser a de escrever ou pintar fui atraído durante muitos anos por aquela realidade fantás tica Neste excerto de entrevista de 1987 o renomado escritor argentino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômios à Geometria e por extensão à Matemática um mundo de infinita harmonia Este é o sentimento que nós professores devemos transmitir aos alunos de boa vontade A didática de um lado cobra do professor a sensibilidade para perceber o nível da classe e a partir daí iniciar o seu trabalho que o professor dispa a postura hermética e estanque do ensino à base de quadronegro giz e salivação que induza o seu discípulo a apreciar a Matemática como disciplina autônoma abstrata e concomitantemente utilitária em diversos setores De outro lado fazse mister que o aluno perceba o seu papel no processo assumindo uma postura dinâmica e participativa Não basta ao aluno sentarse em sala de aula e ouvir a explicação do professor É impossível aprender a jogar tênis apenas assistindo de camarote Assim também com a Matemática é necessário treino exercícios e efetiva participação pessoal A Matemática é uma disciplina que propicia o encetamento e a formação do raciocínio E para a maioria das atividades profissionais que exigem o nível secundário ou universitário é o raciocínio a principal ferramenta de trabalho Mesmo profissionais que não a utilizam reconhecem que a Matemática enseja o apanágio da lógica da têmpera racional da mente e da coerência do pensamento Acreditamos que o estímulo ou o desestímulo pela Matemática ocorre a nível do Ensino Fundamental A esse nível tal como uma estrutura geológica os conhecimentos matemáticos se sedimentam e se estratificam Disso resulta como maior legado o entendimento e a ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Prezado Universitário motivação pela disciplina no Ensino Médio Este embasamento representa a para um bom rendimento na Faculdade Isto posto a carência de tal embasamento leva a obstáculos que podem ser transpostos na interação alunoprofessor A nós professores importa a sensibilidade à percepção de tais dificuldades bem como a disposição de retornar aos níveis anteriores sempre que necessário É frustrante observar que em certos cursos em especial noturnos o índice de desistência atinge 50 até ou logo após a primeira avaliação Se consciente da sofrível formação anterior cabe ao universitário novel a busca junto aos livros professores e colegas Atirar pedras no passado pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de alguns professores do Ensino Fundamental ou Médio não leva a nada O importante afirma Jean Paul Sartre não é o que fizeram de nós mas o que fazemos do que fizeram de nós Ao ingressar na Universidade o calouro sentese perplexo e desamparado Há no sistema educacional brasileiro uma dicotomia entre o Ensino Médio e a Faculdade Enfatizamse demonstrações teoremas e abstrações aqui e quase nada lá Cobrase autodidatismo e raciocínio na faculdade de quem cursou salvo exceções um Ensino Médio preponderantemente à base de memorizações e expedientes similares Tal procedimento argumenta Valmir Chagas desenvolve uma estranha metodologia de perguntas e respostas tipificadas e gera maus hábitos de estudo É uma ledice enganosa transferir a metodologia de ensino dos cursinhos ao Ensino Médio Cabe à comunidade universitária a consciência das mazelas do sistema educacional brasileiro Não é só fazse mister uma postura crítica e participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas Se tal situação não é apanágio do momento atual e sim tão antiga quanto o próprio Brasil a ressalva cabe ao conformismo apático e ao fatalismo de aceitar as coisas como estão e como sempre foram É papel precípuo da Universidade e lhe cabe a iniciativa promover física e socialmente a comunidade Esta geralmente não tem consciência de seus próprios problemas e muito menos de como resolvê los O Autor conditio sine qua non Tinha 12 anos quando assisti à demons tração de um teorema de geometria e senti uma espécie de vertigem Parecia que estava descobrindo um mundo de infinita harmonia Não sabia então que acabava de descobrir o universo platônico com sua ordem perfeita com seus objetos eternos e incorruptíveis de uma beleza perfeita e alheia a todos os vícios que eu acreditava sofrer Assim apesar deminhavocação ser a de escrever ou pintar fui atraído durante muitos anos por aquela realidade fantás tica Neste excerto de entrevista de 1987 o renomado escritor argentino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômios à Geometria e por extensão à Matemática um mundo de infinita harmonia Este é o sentimento que nós professores devemos transmitir aos alunos de boa vontade A didática de um lado cobra do professor a sensibilidade para perceber o nível da classe e a partir daí iniciar o seu trabalho que o professor dispa a postura hermética e estanque do ensino à base de quadronegro giz e salivação que induza o seu discípulo a apreciar a Matemática como disciplina autônoma abstrata e concomitantemente utilitária em diversos setores De outro lado fazse mister que o aluno perceba o seu papel no processo assumindo uma postura dinâmica e participativa Não basta ao aluno sentarse em sala de aula e ouvir a explicação do professor É impossível aprender a jogar tênis apenas assistindo de camarote Assim também com a Matemática é necessário treino exercícios e efetiva participação pessoal A Matemática é uma disciplina que propicia o encetamento e a formação do raciocínio E para a maioria das atividades profissionais que exigem o nível secundário ou universitário é o raciocínio a principal ferramenta de trabalho Mesmo profissionais que não a utilizam reconhecem que a Matemática enseja o apanágio da lógica da têmpera racional da mente e da coerência do pensamento Acreditamos que o estímulo ou o desestímulo pela Matemática ocorre a nível do Ensino Fundamental A esse nível tal como uma estrutura geológica os conhecimentos matemáticos se sedimentam e se estratificam Disso resulta como maior legado o entendimento e a ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA Foi extraordinaria o incremento dado a Geometria Plana e Espacial pelos matematicos helenisticos e Pitagoras 560 500 aC e Euclides c 325 c 265aC e Arquimedes 287 212 aC e Apolénio de Perga 262 190 aC Com estes ecléticos sabios a Matematica deixa seu caracter meramente intuitivo e empirico egipcios e babilénios e se assume como disciplina racional dedutiva e légica a partir da criagao de definigdes axiomas postulados e teoremas Pitagoras fundou no sul da Italia na Ilha de Crotona a Escola Pitagérica a quem se concede a gloria de ser a primeira universidade do mundo Foi uma entidade parcialmente secreta envolta em lendas com centenas de alunos Estudavam Matematica Astronomia Musica e Religiao Embora se suspeite da autenticidade histérica contase que Pitagoras tenha praticado uma hecatombe sacrificio de cem bois comemorando a demonstracdo do seu célebre teoremaab c Consta que uma grande celeuma instalouse entre os discipulos de Pitagoras a respeito da irracionalidade do 2 Utilizando a notacao algébrica a equacao x 2 nao admitia solugao numérica para os pitagé ricos pois estes s6 conheciam os numeros racionais Dada a conotagao mistica dos numeros comentase que quando o infeliz Hipasus de Metapontum propés uma solugao para o impasse os outros discipulos o expulsaram da escola e 0 afogaram no mar Euclides fundou a Escola de Matematica na renomada Biblioteca de Alexandria Todos os grandes gedmetras da antiglidade como Euclides Arquimedes Eratéstenes Apolénio Papus Diofanto Claudio Ptolomeu Teon de Alexandria Hipatia etc se debrucgaram sobre os vetustos e novéis pergaminhos e papiros da grande biblioteca Asua destruicgao talvez tenha representado o maior crime contra o saber em toda a histéria da humanidade Em 48 aC envolvendose na disputa entre a voluptuosa Cléopatra e seu irmao o imperador Julio César manda incendiar a esquadra egipcia ancorada no porto de Alexandria O fogo se propaga até as dependéncias da Biblioteca queimando cerca de 500000 rolos Restaram aproximadamente 200000 rolos Em 640 dC 0 califa Omar mandou que fossem queimados todos os livros da Biblioteca sob 0 argumento que ou os livros contém o que esta no Alcorao e sao desnecessarios ou contém o oposto e nao devemos é los A mais conspicua obra de Euclides Os Elementos c 300 aC 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi S I N O P S E H I S T Ó R I C A constitui o mais notável compêndio de matemática de todos os tempos com mais de mil edições desde o advento da imprensa a primeira versão impressa de apareceu emVeneza em1482 Tem sido segundo George Simmons A Biblioteca da Alexandria estava muito próxima do que se entende hoje por Universidade E se faz apropriado o depoimento do insigne Carl B Boyer em a A Universidade de Alexandria evidentemente não diferia muito de instituições modernas de cultura superior Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa outros eram melhores como administradores e outros ainda eram conhecidos pela sua capacidade de ensinar Pelos relatos que possuímos parece que Euclides definitivamente pertencia à última categoria Nenhuma descoberta nova é atribuída a ele mas era conhecido pela sua habilidade ao expor Essa é a chave do sucesso de sua maior obra A genialidade de como físicomatemático só é comparável com Isaac Newton no século XVIII Pelas concretas ou supostas obras de Engenharia foi um precursor de Sua produção é completamente original e muito vasta incluindo Geometria Plana e Sólida Astronomia Aritmética Mecânica e Hidrostática Nasceu na Sicília na cidade grega de Siracusa Quando jovem estudou em Alexandria o templo do saber da época com os discípulos de Euclides Suas invenções engenhosas suas máquinas de caráter utilitário e bélico o memorizaram através dos séculos por historiadores romanos gregos bizantinos e árabes Arquimedes no entanto considerava seus engenhos mecânicos como fator episódico e que de certa forma tiravam a dignidade da ciência pura Sua mentalidade não era a de um engenheiro mas sim a de um matemático Alguns de seus feitos são clássicos e conhecidos mas merecem ser relembrados Refeito do vexame Arquimedes comprovou que houve fraude por Os Elementos História da Matemática Os Elementos Arquimedes Leonardo da Vinci considerado como res ponsável por uma influência sobre a mente humana maior que qualquer outro livro com exceção da Bíblia Por descrição de Vitrúvio conhecemos a história da coroa da rei Herão Este havia encomendado a um ourives uma coroa de ouro puro Uma vez pronta o desconfiado rei Herão solicitou a Arquimedes que analisasse a coroa e dirimisse a dúvida era a coroa de ouro puro ou feita de uma amálgama com prata Quando tomava banho Arquimedes observou que à medida que seu corpo mergulhava na banheira a água transbordava Foi o para resolver o problema Conta a historiador Vitrúvio que Arquimedes eufórico teria saído pelas ruas completamente nu gritando que significa insight Eureka eureka Achei achei Foi extraordinária o incremento dado à Geometria Plana e Espacial pelosmatemáticos helenísticos Pitágoras 560 500 aC Euclides c 325 c 265 aC Arquimedes 287 212 aC Apolônio de Perga 262 190 aC Com estes ecléticos sábios a Matemática deixa seu carácter meramente intuitivo e empírico egípcios e babilônios e se assume como disciplina racional dedutiva e lógica a partir da criação de definições axiomas postulados e teoremas fundou no sul da Itália na Ilha de Crotona a Escola Pitagórica a quem se concede a glória de ser a primeira universidade do mundo Foi uma entidade parcialmente secreta envolta em lendas com centenas de alunos Estudavam Matemática Astronomia Música e Religião Embora se suspeite da autenticidade histórica contase que Pitágoras tenha praticado uma hecatombe sacrifício de cem bois comemorando a demonstração do seu célebre teorema a b c Consta que uma grande celeuma instalouse entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do Utilizando a notação algébrica a equação x 2 não admitia solução numérica para os pitagó ricos pois estes só conheciam os números racionais Dada a conotação mística dos números comentase que quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse os outros discípulos o expulsaram da escola e o afogaram nomar fundou a Escola de Matemática na renomada Biblioteca de Alexandria Todos os grandes geômetras da antigüidade como Euclides Arquimedes Eratóstenes Apolônio Papus Diofanto Cláudio Ptolomeu Teon de Alexandria Hipátia etc se debruçaram sobre os vetustos e novéis pergaminhos e papiros da grande biblioteca A sua destruição talvez tenha representado o maior crime contra o saber emtodaahistóriadahumanidade Em 48 aC envolvendose na disputa entre a voluptuosa Cléopatra e seu irmão o imperador Júlio César manda incendiar a esquadra egípcia ancorada no porto de Alexandria O fogo se propaga até as dependências da Biblioteca queimando cerca de 500000 rolos Restaram aproximadamente 200000 rolos Em 640 dC o califa Omar mandou que fossem queimados todos os livros da Biblioteca sob o argumento que A mais conspícua obra de Euclides c 300 aC Pitágoras Euclides Os Elementos 2 2 2 2 ou os livros contêm o que está no Alcorão e são desnecessários ou contêm o oposto e não devemos lê los ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA parte do ouvires Destarte tomou dois recipientes cheios de agua enum recipiente imergiu um bloco de ouro e noutro recipiente um bloco de prata Como ambos os blocos continham o mesmo peso que a Coroa comprovou a fraude pois constatou que os blocos deslocavam quantidades diferentes de agua Deste fato decorre o principio de Arquimedes lei basica da Hidrostatica Todo corpo mergulhado num fluido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado Paradoxalmente Arquimedes era muito negligente em termos de asseio pessoal L6se em Plutarco que Arquimedes era por vezes levado a forga para banharse ou passar 6leo no corpo que costumava tragar figuras geométricas nas cinzas do fogo e diagramas no 6leo de seu corpo estando em um estado de preocupacao total e de possessao divina no sentido mais verdadeiro por seu amor e deleite pela ciéncia Na 2 Guerra Punica contra a poderosa razia do exército e marinha romanos comandados pelo Cénsul Marcelo a sagacidade de Arquimedes criou aparatos devastadores Marcelo infligiu um cerco de 3 anos e em 212 aC a cidade de Siracusa rendeuse Adentrandose as muralhas de Siracusa as hostes romanas promoveram a pilhagem seguida de uma sangrenta matanga Um soldado aproximouse de um encanecido senhor de 75 anos que indiferente a chacina desenhava diagramas na areia e absorto balbuciou Nao toque nos meus circulos O soldado enraivecido transpassouo com a espada Foram as derradeiras palavras de Arquimedes Amaior grandeza se manifesta na Matematica Arquimedes em um circulo dado inscreveu e circunscreveu um poligono de 96 lados e obteve a formula para o calculo da area do circulo e por muitos séculos o mais acertado valor para z 310 310 71 70 Uma metodologia absolutamente precisa para se calcular o valor de msurgiu em 1671 como consequéncia da série de James Gregory T 1 1 1 1 4 35 7 Por essa série o francés De Lagny em 1719 calculou as 112 primeiras casas decimais de x e em 1873 o inglés W Shanks chegou manualmente a 707 casas contase que teria levado 5 anos para a execugao dos calculos Jacir J Venturi OBSERVAGAO A letra x 6 a inicial da palavra grega nepipepeia que significa periferia circunferéncia Sabemos que n 31415926535 6um numero irracional Arquimedes deu o tiro de largada de uma longa maratona e ao mesmo tempo o estudo do x propiciou notaveis avangos em diversos capitulos da matematica A fita de chegada para o calculo de x por meio de poligonos inscritos e circunscritos em uma circunferéncia se deu em 1605 quando o matematico holandés Ludolph van Ceulen calculou o x com 35 casas decimais comegou com um poligono de 15 lados e dobrou o numero de lados 37 vezes Arquimedes demonstrou que a area contida por um parabola S e uma reta transversal é 43 da area do triangulo S com a mesma base e cujo vértice 6 o ponto onde a tangente a parabola é paralela a base 4 Em seus trabalhos de geometria sdlida encontramos pela primeira vez as formulas corretas para as areas da superficie esférica S 4nR da calota esférica 2nRh e para os volumes da ester 2 e do fuso esférico 4 aR 3 3 O ilustre siracusano tratou de forma exaustiva sobre o centro de gravidade de figuras sdlidas e planas Obteve a area de uma elipse S mab e descreveu sdlidos de revolugao gerados por parabolas elipses e hipérboles em torno de seus eixos quadricas de revolugao Descreveu a curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes em coordenadas polares tém equagao p ké e pela primeira vez determina a tangente a uma curva que no seja o circulo De forma inédita Arquimedes apresenta os primeiros conceitos de limites e calculo diferencial Apolénio de Perga parece terse considerado um cordial rival de Arquimedes e muito pouco se sabe de sua vida Supdese ter sido educado em Alexandria e por algum tempo ter ensinado em sua Universidade Gragas ao apoio de Lisimaco general de Alexandre transferiuse para Pérgamo donde a palavra pergaminho onde havia uma Biblioteca e uma Universidade sé inferiores as de Alexandria ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA Apolénio e nao Euclides mereceu dos antigos o epiteto de o Grande Gedémetra e isto pode nos parecer inaceitavel A verdade é que nao se pode questionar o mérito de ambos Euclides tornouse sinédnimo de Geometria por sua amplamente conhecida obra Os Elementos enquanto a maior parte das obras de Apol6nio desapareceram O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria século IV dC que fez uma breve descrigao de sua monumental produgao matematica Inferese que os tratados de Apolénio continham uma Matematica bastante avangada e inclusive muito do que conhecemos hoje como Geometria Analitica Para gaudio de todos porém o tratado As Cénicas sobre segdes cénicas suplantou todas as obras existentes na antiglidade O tratado As Cénicas é composto de 8 livros sete dos quais sobreviveram E inegavel a influéncia de Apolénio sobre Isaac Newton Ptolomeu tabelas trigonométricas sistemas de latitude e longitude Kepler os planetas descrevem 6rbitas elipticas em torno do Sol com o Sol ocupando um de seus focos Galileu a trajet6ria de um projétil 6 uma parabola Sabemos que a Geometria Analitica faz uma simbiose da Geometria com a Algebra Face 0 exposto concluimos que os gregos promoveram um extraordinario incremento a Geometria No entanto como nao dispunham de uma notagao algébrica adequada a Matematica grega teve o seu ocaso comApoldnio A Algebra podemos afirmar de forma concisa possui uma dupla paternidade Diofanto e AlKhowarizmi Diofanto de Alexandria viveu no século Ill dC e sua principal obra foi Aritmética tratado que originalmente era composto de 13 livros dos quais sé os 6 primeiros se preservaram O principal mérito da Aritmética é a utilizagao de notagdes ou seja de uma linguagem mais sincopada mais simbélica para a Matematica Por seu turno AlKhowarizmi viveu por volta de 800 dC na cidade de Bagda que emerge como uma nova Alexandria Sua principal obra AlJabr deixou marcas indeléveis em toda a Europa AlJabr recebeu a forma latinizada Algebrae Algebra Em arabe AlJabr significa numa tradugao mais livre deslocagao e parece referirse a transposigao de termos subtraidos para o outro lado da equaao Os simbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 tiveram notavel receptividade na Europa através da obra de AlKhowarizmi Dai serem denominados algarismos arabicos mas que a bem da verdade sao de origem hindu Fulcrado nos geémetras gregos e no desenvolvimento da Algebra em toda a Europa Pierre de Fermat concluiu em 1629 0 manuscrito Ad locos planos et solidos isagoge Introdugao aos lugares planos e sdlidos Para a maioria dos historiadores tal manuscrito representa o marco zero da Geometria Analitica E curioso observar que Fermat nao era um matematico Estudou e ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Apolônio e não Euclides mereceu dos antigos o epíteto de o Grande Geômetra e isto pode nos parecer inaceitável A verdade é que não se pode questionar o mérito de ambos Euclides tornouse sinônimo de Geometria por sua amplamente conhecida obra enquanto amaiorparte das obras de Apolônio desapareceram O que sabemos dessas obras perdidas devemos a século IV dC que fez uma breve descrição de sua monumental produção matemática Inferese que os tratados de Apolônio continham uma Matemática bastante avançada e inclusive muito do que conhecemos hoje como Geometria Analítica Para gáudio de todos porém o tratado sobre seções cônicas suplantou todas as obras existentes na antigüidade O tratado As Cônicas é composto de 8 livros sete dos quais sobreviveram É inegável a influência de Apolônio sobre Isaac Newton Ptolomeu tabelas trigonométricas sistemas de latitude e longitude Kepler Galileu Sabemos que a Geometria Analítica faz uma simbiose da Geometria com a Álgebra Face o exposto concluímos que os gregos promoveram um extraordinário incremento à Geometria No entanto como não dispunham de uma notação algébrica adequada a Matemática grega teve o seu ocaso com Apolônio A Álgebra podemos afirmar de forma concisa possui uma dupla paternidade e viveu no século III dC e sua principal obra foi tratado que originalmente era composto de 13 livros dos quais só os 6 primeiros se preservaram O principal mérito da Aritmética é a utilização de notações ou seja de uma linguagem mais sincopadamaissimbólica para a Matemática Por seu turno viveu por volta de 800 dC na cidade de Bagdá que emerge como uma nova Alexandria Sua principal obra deixou marcas indeléveis em toda a Europa AlJabr recebeu a forma latinizada Álgebra Em árabe significa numa tradução mais livre deslocação e parece Os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 tiveram notável receptividade na Europa através da obra de AlKhowarizmi Daí serem denominados algarismos mas que a bem da verdade são de origem hindu Fulcrado nos geômetras gregos e no desenvolvimento da Álgebra em toda a Europa concluiu em 1629 o manuscrito Introdução aos lugares planos e sólidos Para a maioria dos historiadores tal manuscrito representa o marco zero da Geometria Analítica É curioso observar que Fermat não era um matemático Estudou Os Elementos Pappus de Alexandria As Cônicas Diofanto AlKhowarizmi Diofanto de Alexandria Aritmética AlKhowarizmi AlJabr AlJabr arábicos Pierre de Fermat os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol com o Sol ocupando umdeseusfocos a trajetória de umprojétil é uma parábola Algebrae referirse à transposição de termos subtraídos para o outro lado da equação Ad locos planos et solidos isagoge Direito emToulouse na França e aí exerceu o cargo de advogado e conse lheiro do parlamento Fermat tinha a Matemática como um e mes mo assim foi considerado por o maior do seu tempo Dedicouse aos pensadores clássicos e à Matemática grega e segundo a obra de Apolônio foi uma das obras favoritas de Fermat Coube a 16011665 a descoberta das equações da reta e da circunferência e as equações mais simples da elipse da parábola e da hipérbole Aplicou a transformação equivalente à atual rotação de eixos para reduzir uma equação do 2º grau à sua forma mais simples É cristalina em Fermat a percepção de uma Geometria Analítica a três dimensões É oportuno observar que a usual denominação é a forma latinizada de Descartes é anacrônica historicamente pois sua obra não contém eixos perpendiculares eixos oblíquos nem tampouco a equação de uma reta Por mérito o sistema cartesiano deveria denominarse No entanto que para sempre será lembrado como grande filósofo superou Fermat pela utilização de uma notação algébrica mais prática Muito deve a Geometria Analítica tridimensional a 17071783 Euler nasceu na Basiléia Suíça e recebeu uma educação bastante eclética Extremamente profícuo insuperável em produção matemática Euler escrevia uma média de 800 páginas por ano Em plena atividade intelectual morreu aos 76 anos sendo que os últimos 17 anos passou em total cegueira conseqüência de catarata Mesmo assim continuou ditando aos seus filhos eram 13 A partir de meados do século XIX desenvolveuse o conceito de Espaço de 4 5 n dimensões Em 1854 o jovem matemático alemão desenvolveu a idéia de uma Geometria Quadridimensional em 1915 mostrou que o nosso universo embora pareça E é na verdade E Ele dava o primeiro passo para se perceber a variedade espaçotemporal do universo Cada um dos pontos do universo é determinado por 3 coordenadas espaciais que especificam sua posição e uma quarta temporal que determina o tempo Sabemos que os gregos antigos promoveram um grande desenvolvimento à Geometria Plana e Espacial mas não dispunham de uma notação algébrica ou simbologia adequadas Até o século XVI toda a expressão matemática se fazia de uma forma excessivamente Por exemplo em 1591 para representar a equação quadrática 5A 9A 5 0 escrevia em bom latim hobby mas se o problema proposto envolve três incógnitas devese achar para satisfazer a equação não apenas um ponto ou uma curva mas toda uma superfície Cartesius verbal ou retórica Pascal Carl B Boyer As Cônicas Pierre de Fermat sistema cartesiano sistema fermatiano Descartes Leonhard Euler Bernhard Riemann Albert Einstein Viète 3 4 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 5 in A quad et 9 in A planu minus 5 aequatur 0 Na maior parte da ciências assevera 1839 1873 matemático alemão uma geração põe abaixo o que a outra construiu e o que uma estabeleceu a outra desfaz Somente na Matemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura rainha e a serva de todas as ciências Um mundo de infinita harmonia Deus eternamente geometriza 5 em A quadrado e 9 em A plano menos 5 é igual a zero Como na formação de uma estrutura geológica as descobertas matemáticas se sedimentam e se estratificam ao longo dos séculos Entretanto não se infira que a Matemática é uma ciência estática e sim em contínua evolução As formulações inicialmente tênues e difusas percor rem um espinhoso caminho até atingir a magnitude de seu desenvol vimento Apropriadamente já se definiu a Matemática como a E o apanágio de sua majestade é o rigor a lógica a harmonia e sua linguagem precisa universal e sincopada Após este epítome histórico adentremos entusiasticamente ao mundo maravilhoso da Geometria nas palavras do poeta Que faz Deus pergunta o discípulo responde sabiamente Herman Hankel Platão C A P Í T U L O Noções preliminares 1 ELEMENTOS PRIMITIVOS 2 PONTO E RETA IMPRÓPRIOS A geometria euclidiana admite como elementos primitivos os pontos as retas e os planos PONTOS letras latinasmaiúsculas Ex A B C P Q RETAS letras latinasminúsculas Ex a b c r s t PLANOS letras gregas minúsculas Ex Se duas retas r e s são paralelas entre si então elas têm a mesma direção ou mesmo ponto impróprio O ponto impróprio da reta s pode ser imaginado como o ponto no infinito de s e é o mesmo para todas as retas que são paralelas a s será indicado por P Se dois planos e são paralelos então têm a mesma jacência ou a mesma reta imprópria A reta imprópria de pode ser imaginada como a reta no infinito desse plano e é a mesma para todos os planos paralelos a será indicada por r Notação a Ponto impróprio b Reta imprópria α β γ π α β α α r s ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 5 in A quad et 9 in A planu minus 5 aequatur 0 Na maior parte da ciências assevera 1839 1873 matemático alemão uma geração põe abaixo o que a outra construiu e o que uma estabeleceu a outra desfaz Somente na Matemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura rainha e a serva de todas as ciências Um mundo de infinita harmonia Deus eternamente geometriza 5 em A quadrado e 9 emAplanomenos5éigualazero Como na formação de uma estrutura geológica as descobertas matemáticas se sedimentam e se estratificam ao longo dos séculos Entretanto não se infira que a Matemática é uma ciência estática e sim em contínua evolução As formulações inicialmente tênues e difusas percor rem um espinhoso caminho até atingir a magnitude de seu desenvol vimento Apropriadamente já se definiu a Matemática como a E o apanágio de sua majestade é o rigor a lógica a harmonia e sua linguagem precisa universal e sincopada Após este epítome histórico adentremos entusiasticamente ao mundo maravilhoso da Geometria nas palavras do poeta Que faz Deus pergunta o discípulo responde sabiamente Herman Hankel Platão C A P Í T U L O Noções preliminares 1 ELEMENTOS PRIMITIVOS 2 PONTO E RETA IMPRÓPRIOS A geometria euclidiana admite como elementos primitivos os pontos as retas e os planos PONTOS letras latinas maiúsculas Ex A B C P Q RETAS letras latinas minúsculas Ex a b c r s t PLANOS letras gregas minúsculas Ex Se duas retas r e s são paralelas entre si então elas têm a mesma direção ou mesmo ponto impróprio O ponto impróprio da reta s pode ser imaginado como o ponto no infinito de s e é o mesmo para todas as retas que são paralelas a s será indicado por P Se dois planos e são paralelos então têm a mesma jacência ou a mesma reta imprópria A reta imprópria de pode ser imaginada como a reta no infinito desse plano e é a mesma para todos os planos paralelos a será indicada por r Notação a Ponto impróprio b Reta imprópria α β γ π α β α α r s ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi O PROFESSOR ARREPENDIDO Histórias pitorescas sempre têm um pouco de fantasia principalmente quando se reportam a homens bem sucedidos Contase que na Universidade de Harvard havia um professor de Matemática extremamente rigoroso Na última avaliação do ano elaborou uma prova muito difícil e lançou um desafio a seus alunos se um de vocês tirar nota 10 nesta prova peço demissão da Universidade e serei seu assessor Era seu aluno um fedelho de 17 anos no entanto brilhante nessa disciplina con siderada a rainha e serva de todas as ciências Obteve nota 95 Até hoje o nosso caro professor lamenta ter sido tão exigente Perdeu a oportunida de de se tornar um dos homens mais ricos do Planeta Em tempo o aluno se chamava Bill Gates História de uso corrente Texto do autor OPROBLEMADAQUADRATURADOCÍRCULO Foi proposto inicialmente por Anaxágoras 499 428 aC Aprisionado em Atenas por suas idéias muito avançadas para a época afirmara que o Sol não era uma divindademasumagrandepedraincandescentemaior que o Peloponeso península do sul da Grécia e que a Lua não tinha luz própria e a recebia do Sol Anaxágoras foi professor de Péricles 490 429 aC que o libertou da prisão Ademais exerceu forte influência no primeiro dos três grandes filósofos Sócrates Platão Aristóteles dado um círculo construir um quadrado de mesma área Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria propunham solução apenas com régua sem escala e compasso No século XIX demonstrouse que nestas condições este problema é irresolúvel A solução é trivial se lançarmos mão dos recursos da Álgebra S S R Admitindo por ex R 3 3 Problema da Quadratura do Círculo π π 2 2 2 l 2 l 531 ou 3 π l l R π l R OBSERVAÇÃO Chamase ponto próprio ao ponto na sua acepção usual Assim duas retas concorrentes têm em comum um ponto próprio Analogamente dois planos concorrentes se interceptam segundo uma reta própria Cada reta própria tem um único ponto impróprio Em cada plano existe uma única reta imprópria A reta imprópria é constituída exclusivamente de pontos impróprios Duas retas impróprias têm em comum um único ponto impróprio Todos os pontos e retas impróprios do espaço pertencem a um único plano impróprio z x y Jacir J Venturi Foi proposto inicialmente por Anaxagoras 499 428 aC Aprisionado em Atenas por suas idéias muito avangadas para a poca afirmara que o Sol nao era uma divindade mas uma grande pedra incandescente maior que o Peloponeso peninsula do sul da Grécia e que aLua nao tinha luz prépria e a recebia do Sol Anaxagoras foi professor de Péricles 490 429 aC que o libertou da prisao Ademais exerceu forte influéncia no primeiro dos trés grandes fildsofos Socrates Platao Aristdteles Problema da Quadratura do Circulo dado um circulo construir um quadrado de mesma area Como os gregos desconheciam as operagées algébricas e priorizavam a Geometria propunham solugao apenas com régua sem escala e compasso No século XIX demonstrouse que nestas condigées este problema é irresoluvel Asolugao 6 trivial se langarmos mo dos recursos da Algebra RvVn So Sa mR Admitindo por exR3 n3 0 3Vn ou 531 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi PROBLEMA DA DUPLICAÇÃO DO CUBO OU PROBLEMA DELIANO Durante o cerco espartano da Guerra do Peloponeso conta uma lenda que em 429 aC uma peste dizimou um quarto da população de Atenas matando inclusive Péricles Dizse que uma plêiade de sábios fora enviada ao oráculo de Apolo em Delos para inquirir como a peste poderia ser eliminada O oráculo respondeu que o Os atenienses celeremente dobraram as medidas das arestas do cubo A peste em vez de se amainar recrudesceu Qual o erro Em vez de dobrar os atenienses octoplicaram o volume do altar Pois para a 1 V 1 1 para a 2 V 2 8 A complexidade do problema devese ao fato de que os gregos procuravam uma solução geométrica E mais um complicador com régua sem escala e compasso Ainda no século lV aC o geômetra grego Menaecmus que juntamente com Platão foi professor de Alexandre o Grande resolveu o problema com o traçado de uma parábola e de uma hipérbole Hodiernamente tal solução é facilmente compreensível através da Geometria Analítica Menaecmus obteve geometricamente o ponto de interseção da parábola x 2y com a hipérbole xy 1 A solução é Foi relativo o sucesso de Menaecmus entre os seus compatriotas não se valeu de régua sem escala e compasso altar cúbico de Apolo deveria ser duplicado ª ª cubo cubo 3 3 2 1 m 2 m 1 m a 2 X 3 2 x 126 2 a 3 apenas A solução deste problema é trivial com os recursos da Álgebra procurase a aresta a de um cubo cujo volume seja o dobro do volume de umcubo de a 1 V a a 2 x 1 cubo 3 3 3 OBSERVAÇÃO Em 1837 o francês Pierre L Wantzel demonstrou que o problema deliano não admite solução com uso de régua e compasso apenas Com somente 23 anos Wantzel engenheiro da prestigiosa Ecole Polytech nique pôs fim às discussões de quase dois milênios Em seu excelente Livro ed Makron Books Gilberto G descreve que esta limitação de apenas dois instru mentos espelhava o conceito de elegância com que os gregos tratavam das questões geométricas e tam bém a ação tipicamente helênica que eles nutriam pelos desafios intelectuais independentemente de qualquer utilidade prática O Romance das Equações Algébricas Garbi do autor Jacir J Venturi apenas Asolucao deste problema é trivial com os recursos da Algebra procurase a aresta a de um cubo cujo volume seja o dobro do volume de um cubo de a 1 V Tf Lf x x a 1m a2x1 a2 126 OBSERVACAO Em 1837 o francés Pierre L Wantzel demonstrou que o problema deliano nao admite solugao com uso de régua e compasso apenas Com somente 23 anos Wantzel engenheiro da prestigiosa Ecole Polytech nique pds fim as discuss6es de quase dois milénios Em seu excelente Livro O Romance das Equagées Algébricas ed Makron Books Gilberto G Garbi descreve que esta limitagao de apenas dois instru mentos espelhava o conceito de elegancia com que os gregos tratavam das questé6es geométricas e tam bém a agao tipicamente helénica que eles nutriam pelos desafios intelectuais independentemente de qualquer utilidade pratica do autor ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi C A P Í T U L O Relações segmentárias no espaço unidimensional O matemático e astrônomo alemãoMöbius 17901868 foi quem adotou a convenção de sinal às medidas de distâncias ângulos áreas e volumes Uma reta é orientada se esta belecermos nela um sentido de percurso como positivo o sentido contrário é negativo O sentido positivo é indicado por uma seta Um reta orientada também é chamada de eixo Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r A medida algébrica do segmento finito e orientado é um número real positivo se sua orientação for concordante com o sentido positivo da reta e é um número real negativo em caso contrário O número real que é a medida algébrica do segmento é representado por AB Ao eixo se associa uma unidade de comprimento u Exemplo AB 4u onde A é origem e B extremidade BA 4u onde B é origem e A extremidade Os segmentos orientados e têm respectivamente medidas algébricas iguais a 4 e 4 Então AB BA 0 ou AB AB AB BA AB BA 1 RETA ORIENTADA 2MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO A B r u reta reta orientada AP BP A ABP A P B r ABP A C B r P Q A r 3 1 3 BC AC ABC 3 2 6 QA PA PQA ABP AP BP B P r 3 RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS a Definição b Sinal c Exemplos 1 2 Dados os pontos A B e P de uma reta r denominamos razão simples desses pontos nessa ordem ao quociente que é simbolizado por ABP Assim A razão simples ABP será positiva se o ponto P for externo ao segmento finito Se interno a razão será negativa Assim O ponto C divide o segmento na razão simples igual a 3 O ponto A divide o segmento na razão simples igual a 3 OBSERVAÇÃO Se ABP k diremos que P divide o segmento na razão k AB AB AB PQ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi C A P Í T U L O Relações segmentárias no espaço unidimensional O matemático e astrônomo alemãoMöbius 17901868 foi quem adotou a convenção de sinal às medidas de distâncias ângulos áreas e volumes Uma reta é orientada se esta belecermos nela um sentido de percurso como positivo o sentido contrário é negativo O sentido positivo é indicado por uma seta Um reta orientada também é chamada de eixo Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r A medida algébrica do segmento finito e orientado é um número real positivo se sua orientação for concordante com o sentido positivo da reta e é um número real negativo em caso contrário O número real que é a medida algébrica do segmento é representado por AB Ao eixo se associa uma unidade de comprimento u Exemplo AB 4u onde A é origem e B extremidade BA 4u onde B é origem e A extremidade Os segmentos orientados e têm respectivamente medidas algébricas iguais a 4 e 4 Então AB BA 0 ou AB AB AB BA AB BA 1 RETA ORIENTADA 2MEDIDA ALGÉBRICA DE UMSEGMENTO A B r u reta reta orientada AP BP A ABP A P B r ABP A C B r P Q A r 3 1 3 BC AC ABC 3 2 6 QA PA PQA ABP AP BP B P r 3 RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS a Definição b Sinal c Exemplos 1 2 Dados os pontos A B e P de uma reta r denominamos razão simples desses pontos nessa ordem ao quociente que é simbolizado por ABP Assim A razão simples ABP será positiva se o ponto P for externo ao segmento finito Se interno a razão será negativa Assim O ponto C divide o segmento na razão simples igual a 3 O ponto A divide o segmento na razão simples igual a 3 OBSERVAÇÃO Se ABP k diremos que P divide o segmento na razão k AB AB AB PQ ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA d Casos particulares 1SePA arazao simples é nula PA B r ABP AP oO 0 BP BP 2SePM ponto médio arazao simples éiguala 1 A P B r tH tA M ABP AP AP BP AP 4 DIVISAO AUREA a Definigao Um ponto P divide um segmento AB em média e extrema razao se AP AB PB Dizse também queAP é 0 segmento aureo de AB OBSERVAGAO Nao prescindindo do rigor matematico devese apresentar uma segunda relacao para o segmento aureo PB AB AP b Calculo Dado o segmentoAB a calcular o seu segmento aureo AP x A P B ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi d Casos particulares 1 Se P A a razão simples é nula 2 Se P M pontomédio a razão simples é igual a 1 P A B r A P B M r A P B x a x a AP AB PB x a a x ou x ax a 0 Resolvendo a equação do 2º grau para a incógnita x Em problemas geométricos adotase a solução positiva 2 2 2 2 c Epítome histórico a retângulo áureo Le Corbusier Johannes Kepler Heródoto Na história da humanidade o assunto em epígrafe sempre mereceu a atenção de matemáticos artistas arquitetos etc pois fornece as medidas de um retângulo na proporção mais estética Para tanto basta prefixar a base e calcular a sua altura h 0618 a É o Este é encontrado no frontispício do Paternon de Atenas 5º sé culo aC na pirâmide de Quéops na pintura de Leo nardo da Vinci em grandes catedrais da Idade Média e hodiernamente em projetos do renomado arquiteto francês Também a sábia natureza como se observa em plantas animais e em medidas do corpo humano Rece beu o epíteto de secção divina e 15711630 não se conteve O historiador grego relata que os sacerdotes egípcios lhe haviam dito que as dimensões da pirâmides de Giseh haviam sido escolhidas de maneira que metade do comprimento da base e a altura da face triangular formassem a divisão áurea sectio divina a geometria tem dois tesouros Um é o teorema de Pitágoras e o outro é a divisão áurea h 0618 a a 0 BP 0 BP AP ABP 1 AP AP BP AP ABP AP AB PB 2 2 5a a x 0 618 a 2 5a a x 4 DIVISÃO ÁUREA a Definição b Cálculo Um ponto P divide umsegmento emmédia e extrema razão se Dizse também que AP é o segmento áureo de AB PB AB AP Dado o segmento AB a calcular o seu segmento áureo AP x AB OBSERVAÇÃO Não prescindindo do rigor matemático devese apresentar uma segunda relação para o segmento áureo 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi O pentagrama estrelado ao lado figurado representou a insígnia dos pita góricos o símbolo da saúde para os gre gos e aparece hoje freqüentemente em bandeiras cartazes etc Observe que A B D E C AB AC divisão áurea AD AC AE AD ED AE 0 618 B O A r 2 3 O r Então OP P P OP P P OP OP Exemplo Dadas as abscissas x 5 e x 3 calcular AB e BA Resolução AB x x 3 5 8 BA x x 5 3 8 Sejam os pontos P P e P de uma reta orientada r com abscissas x x e x respectivamente Determinar a abscissa x do ponto P que divide o segmento P P numa certa razão k Então k P P P k k 1 1 2 2 1 2 2 1 A B B A A B 1 2 1 2 1 2 1 2 P P x x 1 2 2 1 7 RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS POR SUAS ABSCISSAS O P1 P2 r x1 x2 O P1 P2 P r x1 x2 x P P 1 2 P P x x x x 1 2 5 ABSCISSAS NA RETA 6 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS O ponto O origem divide o eixo r em duas semiretas onde a semireta positiva é indicada pela seta É negativa a outra semireta Ao eixo se fixa a priori uma unidade de comprimento Chamase x de um ponto P de uma reta orientada r à medida do segmento orientado e finito OP da origem a esse ponto antecedida do sinal de ou conforme o ponto pertença à semireta positiva ou negativa Há uma correspondência bijetiva entre os números reais e os pontos de uma reta Exemplo x 3 2 Abscissa em latim significa Devese provavel mente ao fato de que a representação da abscissa na reta se faz através de um pequeno corte Sejam os pontos P e P cujas abscissas são respectivamente x e x abscissa corte incisão 1 1 1 A B 1 2 1 2 x OBSERVAÇÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi O pentagrama estrelado ao lado figurado representou a insígnia dos pita góricos o símbolo da saúde para os gre gos e aparece hoje freqüentemente em bandeiras cartazes etc Observe que A B D E C AB AC divisão áurea AD AC AE AD ED AE 0 618 B O A r 2 3 O r Então OP P P OP P P OP OP Exemplo Dadas as abscissas x 5 e x 3 calcular AB e BA Resolução AB x x 3 5 8 BA x x 5 3 8 Sejam os pontos P P e P de uma reta orientada r com abscissas x x e x respectivamente Determinar a abscissa x do ponto P que divide o segmento P P numa certa razão k Então k P P P k k 1 1 2 2 1 2 2 1 A B B A A B 1 2 1 2 1 2 1 2 P P x x 1 2 2 1 7 RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS POR SUAS ABSCISSAS O P1 P2 r x1 x2 O P1 P2 P r x1 x2 x P P 1 2 P P x x x x 1 2 5 ABSCISSAS NA RETA 6 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS O ponto O origem divide o eixo r em duas semiretas onde a semireta positiva é indicada pela seta É negativa a outra semireta Ao eixo se fixa a priori uma unidade de comprimento Chamase x de um ponto P de uma reta orientada r à medida do segmento orientado e finito OP da origem a esse ponto antecedida do sinal de ou conforme o ponto pertença à semireta positiva ou negativa Há uma correspondência bijetiva entre os números reais e os pontos de uma reta Exemplo x 3 2 Abscissa em latim significa Devese provavel mente ao fato de que a representação da abscissa na reta se faz através de umpequeno corte Sejam os pontos P e P cujas abscissas são respectivamente x e x abscissa corte incisão 1 1 1 A B 1 2 1 2 x OBSERVAÇÃO ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA Isolando o x X X kx 1k Caso particular se k 1 temse x XX 2 Onde x é a abscissa do ponto médio dePP Exemplo Achar a abscissa do ponto P que divide o segmento AB narazao 2 Dados x 3exX7 Resolucao xa XaTkee 327 4 1k 12 Oo A B Pr Figura 1 3 7 11 Portanto ABP 11 an Exercicios Que nenhum desconhecedor da geometria entre aqui Inscrigao no frontispicio da Academia de Platao 01 O ponto P divide 0 segmento PP numa certa razdo k Cal cular k conhecendose respectivamente os pontos pelas suas abscissas X3 x6 e x2 3 Resp k 5 02 Dados ABP5 x2 x5calcular x Resp 17 Isolando o x Caso particular se k 1 temse Onde x é a abscissa do pontomédiodeP P Exemplo Achar a abscissa do ponto P que divide o segmento na razão 2 Dados x 3 e x 7 Resolução Figura Portanto ABP 11 1 2 A B AB ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi x x kx 1 k 1 2 x x x 2 1 2 x x kx k A B 1 3 2 1 2 11 7 O A B P r 3 7 11 Exercícios Que nenhum desconhecedor da geometria entre aqui Inscrição no frontispício da Academia de Platão O ponto P divide o segmento P P numa certa razão k Cal cular k conhecendose respectivamente os pontos pelas suas abscissas x 3 x 6 e x 2 Resp Resp 17 1 2 1 2 Dados ABP 5 x 2 x 5 calcular x P B A 01 02 03 04 05 06 07 Obter a abscissa do ponto P tal que PA PB PC PD Considere O A B C pontos colineares onde O representa a origem Calcule a abscissa x do ponto C na igualdade Achar a distância QP tais que ABP e ABQ sen do x 2 e x 8 Sendo x 3 e x 8 calcular as abscissas dos pontos P e P que dividem em 3 partes iguais Achar as abscissas dos pontos que dividem em 4 partes iguais Dados x 2 x 0 x 3 x 5 Resp AB 2CA OB 3BC 3 Dados x 2 e x 5 Resp Resp 8 Resp Dados x 3 e x 6 Resp A B C D A B P Q A B A B 1 2 AB PQ Gigantes são os mestres nos ombros dos quais eu me elevei ISAAC NEWTON 1642 1727 físico astrônomo e matemático inglês 3 2 24 5 14 3 19 3 e 3 4 3 2 15 4 1 2 1 2 5 3 k ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA FERMAT PROMOVE 0 MAIOR DESAFIO DA MATEMATICA Jurista e magistrado por profissao Pierre de Fermat 16011665 dedicava a fa Matematica apenas suas horas de lazer e 3 mesmo assim foi considerado por Pascal o pe maior matematico de seu tempo a Coube a Fermat a entronizagao de eixos perpendiculares a descoberta das Fem equagées da reta e da circunferéncia e as Ee ae equagées mais simples de elipses parabolas Pierre de Fermat e hipérboles Por mérito as y coordenadas cartesianas deviam denominarse coordenadas fermatianas soooveeeo PE XY Cartesius é a for ma latinizada de Descartes René Foi mais fildsofo que matematico e em sua obra Discours de la Méthode 3 apéndice La Géométrie 0 x publicada em 1637 se limitou a apresentar as idéias Coordenadas cartesianas fundamentais sobre a ou fermatianas fesolugao de problemas geométricos com utilizagao da Algebra Porém é curioso obser var que o sistema hoje denominado cartesiano nao tem amparo histérico pois sua obra nada contém sobre eixos perpendicula res coordenadas de um ponto e nem mesmo a equacgao de uma reta No entanto Descartes mantém um lugar seguro na suces sao canonica dos altos sacerdotes do pensamento em virtude da témpera racional de sua mente e sua sucessdo na unidade do conhecimento Ele fez soar 0 gongo e a civilizagao ocidental tem vibrado desde entao com o espirito cartesiano de ceticismo e de indagagao que ele tornou de aceitagao comum entre pessoas educadas George Simmons Segundo ainda este proeminente autor La Géométrie foi pouco lida entao e menos lida hoje e bem merecidamente E nao ha como resistir a tentagao de expor um topico lendario da Matematica o Ultimo Teorema de Fermat Em 1637 estudando um exemplar da Aritmética de Diofanto séc Ill dC Fermat deparouse com o teorema A equagao x y z nao admite solugao para x y z inteiros e positivos quando o expoente n for inteiro positivo e maior que 2 Jacir J Venturi No livro de Diofanto Fermat anotou encontrei uma demonstragao verdadeiramente admiravel para este teorema mas a margem é muito pequena para desenvolvéla Naturalmente ha quem duvide que ele tenha dito a verdade Porém além de integro moralmente id6éneo habil na teoria dos numeros lembramos que Fermat jamais cometeu um engano ou disparate matematico Geragoes inteiras de matematicos tém maldito a falta de espaco daquela margem Por mais de trés séculos pratica mente todos os grandes expoentes da Matematica entre eles Euler e Gauss debrugaramse sobre 0 assunto Como advento dos computadores foram testados milhées de algarismos com diferentes valores para x y Ze ne aigualdade x yn z ngo se verificou Assim empiricamente se comprova que Fermat tenha razao Mas e a demonstragao Que tal um projeto para as suas proximas férias e alcangar a imortalidade Além disso um renomado empresario e matematico alemao Paul Wolfskehl na noite que decidira suicidarse em sua biblioteca depara com o Ultimo Teorema de Fermat e muda de idéia Em seu testamento deixou em 1906 a quantia de 100000 marcos para quem o demonstrasse Em 1993 Andrew Wiles matematico da Universidade de Princeton EUA apds 30 anos de fascinio interrupgdes e paciente obstinagao apresentou a sua demonstragao em 140 paginas A noticia ocupou espacgo nos noticiarios do mundo inteiro Bom demais para ser verdadeiro matematicos encontram um erro Mais uma vitima do Enigma de Fermat Em 1996 Wiles reapresenta a demonstragao e sobre a qual nao ha qualquer contestagao Cumpre esclarecer que Wiles utilizou conceitos avangadissimos com os quais Fermat nem poderia ter sonhado Assim chega o fim uma histdria épica na busca do Santo Graal da Matematica Propiciando notaveis avancos em varios ramos da matematica a saga de 359 anos de tentativas erros e acertos esta admiravelmente descrita no livro O Ultimo Teorema de Fermat do autor inglés Simon Singh com 300 paginas E o que pensa a comunidade dos matematicos a respeito de Fermat A maioria admite que ele escreveu com convicgao que a margem do livro era muito pequena porém sua demonstragao possuia erros Jocoso é 0 novaiorquino anénimo que grafitou numa estagao de metré Descobri uma demonstrag4o admiravel para este teorema porém o trem esta chegando Que pena Do autor ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi C A P Í T U L O Sistemas de coordenadas no espaço bidimensional 4243 1 y Py y O x x P Px 1 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Um sistema de eixos orto gonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y perpendiculares entre si e de mesma origem O A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas a reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das or denadas os eixos x e y são os eixos coordenados e dividem o plano em 4 partes ou quadrantes Por um ponto qualquer do plano traçamse perpendiculares sobre cada um dos eixos determinando neles os pontos P e P de tal sorte que x OP e y OP Destarte podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais Assim o ponto P fica determinado por suas ou também chamadas coordenadas retan gulares onde x é de P e y a de P Reciprocamente dado um par de números reais localizase no plano um único ponto P Há portanto uma correspondência bijetiva entre os pontos do plano e os pares de números reais a O 0 0 origem do sistema cartesiano b P x o projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas c P 0 y projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas x y x y x y coordenadas cartesianas abscissa ordenada Particularidades 2 SISTEMA CARTESIANO OBLÍQUO 3 PARES ORDENADOS OPERAÇÕES E IGUALDADE O sistema cartesiano será denominado oblíquo se o ângulo entre os eixos x e y não for de 90º Propositalmente em respeito à sim plicidade olvidamos o estudo em eixos oblíquos Tais sistemas mono tonizam a exposição e dificultam sobremaneira a dedução e memori zação de fórmulas Exemplo 2 5 1 3 3 2 Exemplo 3 5 1 15 3 Exemplo x 1 y 3 1 7 Donde x 1 1 x 2 y 3 7 y 4 a Adição x y x y x x y y b Multiplicação por umnúmero real k k x y kx ky c Igualdade de dois pares ordenados x y x y x x e y y 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 4243 1 y Py y O P Px x x P x y ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi C A P Í T U L O Sistemas de coordenadas no espaço bidimensional 4243 1 y Py y O x x P Px 1 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Um sistema de eixos orto gonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y perpendiculares entre si e de mesma origem O A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas a reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das or denadas os eixos x e y são os eixos coordenados e dividem o plano em 4 partes ou quadrantes Por um ponto qualquer do plano traçamse perpendiculares sobre cada um dos eixos determinando neles os pontos P e P de tal sorte que x OP e y OP Destarte podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais Assim o ponto P fica determinado por suas ou também chamadas coordenadas retan gulares onde x é de P e y a de P Reciprocamente dado um par de números reais localizase no plano um único ponto P Há portanto uma correspondência bijetiva entre os pontos do plano e os pares de números reais a O 0 0 origem do sistema cartesiano b P x o projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas c P 0 y projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas x y x y x y coordenadas cartesianas abscissa ordenada Particularidades 2 SISTEMA CARTESIANO OBLÍQUO 3 PARES ORDENADOS OPERAÇÕES E IGUALDADE O sistema cartesiano será denominado oblíquo se o ângulo entre os eixos x e y não for de 90º Propositalmente em respeito à sim plicidade olvidamos o estudo em eixos oblíquos Tais sistemas mono tonizam a exposição e dificultam sobremaneira a dedução e memori zação de fórmulas Exemplo 2 5 1 3 3 2 Exemplo 3 5 1 15 3 Exemplo x 1 y 3 1 7 Donde x 1 1 x 2 y 3 7 y 4 a Adição x y x y x x y y b Multiplicação por um número real k k x y kx ky c Igualdade de dois pares ordenados x y x y x x e y y 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 4243 1 y Py y O P Px x x P x y ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 4 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos P x y e P x y desejase calcular a distância d entre P e P Apli cando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo P AP temse d x x y y 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 ou y y2 y1 O x1 x2 x A x x 2 1 P1 d P2 y y 2 1 d x x y y 2 1 2 2 1 2 Exercícios O oposto do amor não é o ódio mas a indiferença Érico Veríssimo 19051975 romancista gaúcho Sendo A 2 3 e B 1 5 calcular as coordenadas cartesianas de P em Resp P 0 7 O segmento tem comprimento de 4 unidades Conhe cendose o ponto A 2 1 achar a abscissa de B cuja ordenada é 1 Resp 6 e 2 Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo eqüilátero de vértices A 3 3 B 3 3 e C Resp Dados os pontos A 2 y B 8 4 e C 5 3 determinar y para que ABC seja um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A AB 01 02 03 04 05 10 06 07 08 09 11 Encontre o ponto P x y eqüidistante dos pontos P 0 5 P 1 2 e P 6 3 Um triângulo eqüilátero tem vértices A x y B 3 1 e C 1 1 Calcular o vértice A 1 2 3 Resp P 3 1 Determinar o ponto P pertencente ao eixo das abscissas sabendo que é eqüidistante dos pontos A 1 e B 2 Resp P 1 0 Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos 1 2 e 5 6 Determine a área do quadrado Resp 26 Sejam M 2 1 M 1 2 e M 1 3 os pontos médios dos lados de umtriângulo Achar os vértices desse triângulo Resp 4 6 2 2 0 4 Conhecendose os pontos A a 0 e B 0 a achar as coordenadas do vértice C sabendose que o triângulo ABC é eqüilátero Resp Resp ou Calcular o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A 5 6 B 1 2 e C 3 4 Resp 11 2 circuncentro 1 2 3 9 6 3 3 3 3 3 2 B 2 A P Resp y 2 ou y 9 2 3a a 2 3a a C 3 1 2 3 3 1 2 3 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 4 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos P x y e P x y desejase calcular a distância d entre P e P Apli cando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo P AP temse d x x y y 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 ou y y2 y1 O x1 x2 x A x x 2 1 P1 d P2 y y 2 1 d x x y y 2 1 2 2 1 2 Exercícios O oposto do amor não é o ódio mas a indiferença Érico Veríssimo 19051975 romancista gaúcho Sendo A 2 3 e B 1 5 calcular as coordenadas cartesianas de P em Resp P 0 7 O segmento tem comprimento de 4 unidades Conhe cendose o ponto A 2 1 achar a abscissa de B cuja ordenada é 1 Resp 6 e 2 Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo eqüilátero de vértices A 3 3 B 3 3 e C Resp Dados os pontos A 2 y B 8 4 e C 5 3 determinar y para que ABC seja umtriângulo retângulo com ângulo reto no vértice A AB 01 02 03 04 05 10 06 07 08 09 11 Encontre o ponto P x y eqüidistante dos pontos P 0 5 P 1 2 e P 6 3 Um triângulo eqüilátero tem vértices A x y B 3 1 e C 1 1 Calcular o vértice A 1 2 3 Resp P 3 1 Determinar o ponto P pertencente ao eixo das abscissas sabendo que é eqüidistante dos pontos A 1 e B 2 Resp P 1 0 Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos 1 2 e 5 6 Determine a área do quadrado Resp 26 Sejam M 2 1 M 1 2 e M 1 3 os pontos médios dos lados de um triângulo Achar os vértices desse triângulo Resp 4 6 2 2 0 4 Conhecendose os pontos A a 0 e B 0 a achar as coordenadas do vértice C sabendose que o triângulo ABC é eqüilátero Resp Resp ou Calcular o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A 5 6 B 1 2 e C 3 4 Resp 11 2 circuncentro 1 2 3 9 6 3 3 3 3 3 2 B 2 A P Resp y 2 ou y 9 2 3a a 2 3a a C 3 1 2 3 3 1 2 3 5 PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA 6 BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO Seja o segmento de extremidades P x y e P x y O ponto P x y divide o segmento P P numa razão dada k Então Introduzindo as coordenadas de P P e P e Isolandose x e y e Caso particular Se k 1 então o ponto coincide com o do segmento P P Donde se infere as fórmulas e Baricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica uma força para se levantar o sistema em equilíbrio Geometricamente num triângulo o baricentro é obtido pela intersecção das medianas 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 P ponto médio a Definição 1 2 y y y y A B C 3 G Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Cálculo Dado o triângulo de vértices A x y B x y e C x y O baricentro G divide a mediana AM numa razão facilmente determiná vel Introduzindo as abscissas Mas Substituindose 2 em 1 temse Analogamente para a ordenada do baricentro obtémse A A B B C C y y2 y y1 P P1 P2 x1 x x2 x k x x x x 1 2 k y y y y 1 2 x x kx k 1 2 1 y y ky k 1 2 1 AM 3 2 AM 3 1 A G B M C ou x x x G A M 2 3 x x x x G A G M 2 1 x x x M B C 2 2 x x x x G A B C 3 Quando morreres só levarás contigo aquilo que tiveres dado Saadi 11841291 poeta persa Determinar as coordenadas dos pontos P e P que dividem o segmento A 3 1 e B 0 8 em3partesiguais Resp P 2 2 e P 1 5 1 2 1 2 01 P P P P P P P k 2 1 1 2 2 x x x 2 1 M 2 y y y 2 1 M 2 MG AG Então 2 1 2 MG AG AMG 5 PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA 6 BARICENTRO DE UMTRIÂNGULO Seja o segmento de extremidades P x y e P x y O ponto P x y divide o segmento P P numa razão dada k Então Introduzindo as coordenadas de P P e P e Isolandose x e y e Caso particular Se k 1 então o ponto coincide com o do segmento P P Donde se infere as fórmulas e Baricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica uma força para se levantar o sistema em equilíbrio Geometricamente num triângulo o baricentro é obtido pela intersecção das medianas 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 P ponto médio a Definição 1 2 y y y y A B C 3 G Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Cálculo Dado o triângulo de vértices A x y B x y e C x y O baricentro G divide a mediana AM numa razão facilmente determiná vel Introduzindo as abscissas Mas Substituindose 2 em 1 temse Analogamente para a ordenada do baricentro obtémse A A B B C C y y2 y y1 P P1 P2 x1 x x2 x k x x x x 1 2 k y y y y 1 2 x x kx k 1 2 1 y y ky k 1 2 1 AM 3 2 AM 3 1 A G B M C ou x x x G A M 2 3 x x x x G A G M 2 1 x x x M B C 2 2 x x x x G A B C 3 Quando morreres só levarás contigo aquilo que tiveres dado Saadi 11841291 poeta persa Determinar as coordenadas dos pontos P e P que dividem o segmento A 3 1 e B 0 8 em 3 partes iguais Resp P 2 2 e P 1 5 1 2 1 2 01 P P P P P P P k 2 1 1 2 2 x x x 2 1 M 2 y y y 2 1 M 2 MG AG Então 2 1 2 MG AG AMG ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA 02 Até que ponto da reta 0 segmento de extremosA11e B 4 5 deve ser prolongado no sentido de A para B para que o com primento quintuplique Resp P 16 29 03 O baricentro deum triangulo ABC o ponto G40 e M 2 3 0 ponto médio de BC Achar as coordenadas do vérticeA Resp A 8 6 04 Num triangulo ABC sao dados os vértices A 410 e B 8 1 Determinar o baricentro G e o vértice C sabendose situados respectivamente sobre os eixos ye x Resp G03eC 4 0 05 Calcular as coordenadas dos extremos Ae B do segmento que é dividido em trés partes iguais pelos pontos P 13eP1 5 Resp A 3 1eB3 7 7 SISTEMA POLAR No plano a importancia do sistema polar so é suplantada pelo sistema cartesiano E utilizado entre outras disciplinas em Calculo Diferencial e Integral onde o sistema polar apresenta préceras vantagens Mais especificamente na representacao de certas curvas e em problemas relativos a lugares geomeétricos Na pratica também empregado na navegaao aviagao etc P O sistema polar 6 carac terizado no espaco bidimensional por uma reta orientada p e um Pp ponto O pertencente a tal reta 0 p eixo polar do sistema P O pdlo do sistema ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 02 03 04 05 Até que ponto da reta o segmento de extremos A 1 1 e B 4 5 deve ser prolongado no sentido de A para B para que o com primento quintuplique Resp P 16 29 O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G 4 0 e M 2 3 o pontomédiode Achar as coordenadas do vértice A Resp A 8 6 Num triângulo ABC são dados os vértices A 4 10 e B 8 1 Determinar o baricentro G e o vértice C sabendose situados respectivamente sobre os eixos y e x Resp G 0 3 e C 4 0 Calcular as coordenadas dos extremos A e B do segmento que é dividido emtrêspartes iguais pelos pontos P 1 3 e P 1 5 Resp A 3 1 e B 3 7 BC 1 2 7 SISTEMA POLAR No plano a importância do sistema polar só é suplantada pelo sistema cartesiano É utilizado entre outras disciplinas em Cálculo Diferencial e Integral onde o sistema polar apresenta próceras vantagens Mais especificamente na representação de certas curvas e em problemas relativos a lugares geométricos Na prática também empregado na navegação aviação etc O sistema polar é carac terizado no espaço bidimensional por uma reta orientada p e um ponto O pertencente a tal reta p O O P p ρ θ p eixo polar do sistema O pólo do sistema O ponto P fica determinado no plano por suas coordenadas polares onde OP 0 é a de P 0º 2 é o ou de P Reciprocamente dado um par ordenado de números reais é possível localizar no plano um único ponto do qual aqueles números são as coordenadas polares O argumento será considerado se sua orientação for a do sentido antihorário e se no sentido horário O raio vetor é quando assinalado no lado terminal de e quando no seu prolonga mento Tenhase presente que o argumento admite múltiplas determinações 2k Na prática utilizase o em que o raio das circunferências concêntricas aumentam de 1 em 1 cm e os ângulos de 15º em 15º Compensase a ausência do papel quadriculado polar com régua milimetrada e transferidor Exemplos Representar os pontos em coordenadas polares A 5 30º B 4150º C 7 30º D 4 120º P distância polar ou raio vetor argumento anomalia ângulo polar b Convenção positivo negativo positivo negativo c Representação gráfica de pontos papel quadriculado polar ρ θ ρ ρ θ θ π θ ρ θ θ π θ OBSERVAÇÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 180º 165º 150º 135º 120º 105º 90º 75º 60º 45º 30º 15º p O 1 2 1 θ y P y O y x P x p x P y x Exercícios ρ θ OBSERVAÇÃO A curva da página anterior denominada apresenta simetria emrelação ao eixo polar p pois cos é igual a cos cardióide θ θ 8 PASSAGEM DO SISTEMA POLAR PARA O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Por vezes é oportuno passar de um referencial cartesiano para umpolar ou de umpolar para o cartesiano Fazendo o eixo polar p coincidir com o eixo cartesiano x e O concomitan temente pólo e origem dos dois sistemas Portanto P x y coordenadas cartesianas P coordenadas polares Do triângulo retângulo OP P obtémse as relações 1 x y 2 x cos 3 y sen 4 tg Além dos dois sistemas mencionados há outros menos usuais quais sejam sistema bipolar sistema pólodiretriz sistema de coordenadas baricêntricas etc ρ θ ρ ρ θ ρ θ θ x 2 2 OBSERVAÇÃO É bom ter dinheiro e as coisas que o dinheiro pode comprar Mas é bom também verificar de vez em quando se não estamos perdendo as coisas que o dinheiro não pode comprar George Horace Lorimer OBSERVAÇÃO É lícito admitirse a distância polar afetada do sinal de menos Como f haverá uma correspondente alteração para É fácil anuir na figura ao lado que os pontos C e D por exemplo podem se apresentar com outras coordenadas po lares Assim C 7330º ou C 7150º D 4240º ou D 460º A representação gráfica de uma equação em coordenadas polares se obtém arbitrandose valores para a variável independente e calculandose os correspondentes valores para Exemplo Construir o gráfico de 1 cos ρ θ θ θ ρ ρ θ d Gráfico de uma equação em coordenadas polares TABELA DE VALORES 150º 210º 240º 270º 300º 330º 0º 30º 60º 90º 120º 30º 30º B A P C D 180º O Jacir J Venturi OBSERVAGAO A curva da pagina anterior denominada cardidide apresenta simetria em relagao ao eixo polar p pois cos 0 é igual a cos 8 8 PASSAGEM DO SISTEMA POLAR PARA O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Por vezes é oportuno passar de um referencial cartesiano para um polar ou de um polar para o cartesiano y Fazendo o eixo polar p coincidir como eixo cartesiano x e O concomitan Py Q77pP temente pdlo e origem dos dois sistemas Portanto y 0 P x y coordenadas cartesianas Oo x P xp Pp9coordenadas polares Do triangulo retangulo OPP obtémse as relagées 1pixty 2xX pcosd 3y psen6 y 4 Jige OBSERVAGAO Além dos dois sistemas mencionados ha outros menos usuais quais sejam sistema bipolar sistema polodiretriz sistema de coordenadas baricéntricas etc Joe Exercicios E bom ter dinheiro e as coisas que o dinheiro pode comprar Mas é bom também verificar de vez em quando se nao estamos perdendo as coisas que o dinheiro nao pode comprar George Horace Lorimer π 3 2 A ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 01 02 03 04 Passar do sistema cartesiano para o sistema polar a Resp b B Resp c x y 3x 0 Resp 3 cos 0 d x y 3x y Resp 3 cos 2 e x y xy 5 Resp f x y 0 Resp a Resp b Resp c k sen 2 Resp x y 2k xy d cos 2 2 Resp x y 2x y Resp Resp 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ρ ρ θ ρ ρ θ ρ θ ρ θ 2 Passar do sistema polar para o sistema cartesiano Achar as coordenadas polares do ponto simétrico de em relação ao eixo polar ldem para o ponto B de coordenadas cartesianas 4 3 A 3 3 3 3 3 3 ρ θ θ 2 sen cos 3 1 3 1 2 O P y x Série B ρ θ k π 3 2 6 5 2 sen 2 1 2 1 θ ρ x y 2k arc tg 2 2 a y x semicircunferência de raio igual a 2 Resp 05 06 07 Representar 2 e 0 Transformar a equação a cos 2 do sistema polar para o sistema cartesiano Passar do sistema polar para o sistema cartesiano a k Resp x y k ρ θπ ρ θ ρ θ 2 2 2 2 2 Resp x y a x y Tal curva do 4º grau descoberta por Jacques Bernoulli é denominada Lemniscata do grego lemnisko que significa ornato laço de fita espiral de Arquimedes b Resp x y espiral hiperbólica c log k Resp espiral logarítmica 2 2 2 2 2 2 2 2 ρ θ OBSERVAÇÃO a π 6 6 π 6 2 7 Q π 6 2 P π 3 2 5 arc cos 4 5 2 x arc tg y 2 2 x tg y arc k π 3 2 A ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 01 02 03 04 Passar do sistema cartesiano para o sistema polar a Resp b B Resp c x y 3x 0 Resp 3 cos 0 d x y 3x y Resp 3 cos 2 e x y xy 5 Resp f x y 0 Resp a Resp b Resp c k sen 2 Resp x y 2k xy d cos 2 2 Resp x y 2x y Resp Resp 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ρ ρ θ ρ ρ θ ρ θ ρ θ 2 Passar do sistema polar para o sistema cartesiano Achar as coordenadas polares do ponto simétrico de em relação ao eixo polar ldem para o ponto B de coordenadas cartesianas 4 3 A 3 3 3 3 3 3 ρ θ θ 2 sen cos 3 1 3 1 2 O P y x Série B ρ θ k π 3 2 6 5 2 sen 2 1 2 1 θ ρ x y 2k arc tg 2 2 a y x semicircunferência de raio igual a 2 Resp 05 06 07 Representar 2 e 0 Transformar a equação a cos 2 do sistema polar para o sistema cartesiano Passar do sistema polar para o sistema cartesiano a k Resp x y k ρ θπ ρ θ ρ θ 2 2 2 2 2 Resp x y a x y Tal curva do 4º grau descoberta por Jacques Bernoulli é denominada Lemniscata do grego lemnisko que significa ornato laço de fita espiral de Arquimedes b Resp x y espiral hiperbólica c log k Resp espiral logarítmica 2 2 2 2 2 2 2 2 ρ θ OBSERVAÇÃO a π 6 6 π 6 2 7 Q π 6 2 P π 3 2 5 arc cos 4 5 2 x arc tg y 2 2 x tg y arc k ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi O p O p a espiral de Arquimedes c espiral logarítmica b espiral hiperbólica O p A espiral logarítmica é aplicada em Mecânica dos Solos por ser a forma admitida para as linhas de deslizamento de um maciço terroso Deduzir a fórmula da distância entre os pontos P e P em coordenadas polares Resp d x x y y Substitua x cos x cos y sen y sen 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ SUGESTÃO 2 2 2 08 OBSERVAÇÃO Apenas a título de curiosidade representamos os respectivos gráficos d 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ρ ρ ρ ρ θ θ cos 270º 240º 300º 330º 210º 180º 150º 120º 90º 60º 45º 30º p 3 4 3 O 09 Construir o gráfico de ρ 3 sen θ Resp Deus não dá fardos pesados para ombros fracos Adágio popular ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi O p O p a espiral de Arquimedes c espiral logarítmica b espiral hiperbólica O p A espiral logarítmica é aplicada em Mecânica dos Solos por ser a forma admitida para as linhas de deslizamento de um maciço terroso Deduzir a fórmula da distância entre os pontos P e P emcoordenadas polares Resp d x x y y Substitua x cos x cos y sen y sen 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ SUGESTÃO 2 2 2 08 OBSERVAÇÃO Apenas a título de curiosidade representamos os respectivos gráficos d 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ρ ρ ρ ρ θ θ cos 270º 240º 300º 330º 210º 180º 150º 120º 90º 60º 45º 30º p 3 4 3 O 09 Construir o gráfico de ρ 3 sen θ Resp Deus não dá fardos pesados para ombros fracos Adágio popular ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA BIBLIOTECA DE ALEXANDRIA A destruigao da Biblioteca de Alexandria no Egito as margens do Mar Mediterraneo talvez tenha representado o maior crime contra o saber em toda a historia da humanidade Em 48 aC envolvendose na disputa entre a voluptuosa Cledpatra e seu irmao o imperador Julio César manda incendiar a esquadra egipcia ancorada no porto de Alexandria O fogo se propaga até as dependéncias da Biblioteca queimando cerca de 500 mil rolos Restaram aproximadamente 200 mil Depois que o imperador Teodésio baixou decreto proibindo as religides pagas o Bispo Teofilo Patriarca da cidade de 385 a 412 dC determinou a queima de todas as secdes que contrariavam a doutrina crista Em 640 dC o califa Omar ordenou que fossem destruidos pelo fogo todos os livros da Biblioteca sob o argumento de que ou os livros contém o que esta no Alcorao e sao desnecessarios ou contém o oposto e nao devemos élos Todos os grandes geémetras da Antiglidade se debrugaram sobre os seus vetustos pergaminhos e papiros Euclides c325 c 265 aC fundou a Escola de Matematica narenomada Biblioteca Fazia parte de seu acervo a mais conspicua obra de Euclides Os Elementos que constitui um dos mais notaveis compéndios de Matematica de todos os tempos com mais de mil edigdes desde o advento da imprensa a primeira versao impressa apareceu em Veneza em 1482 Segundo George Simmons a obra tem sido considerada responsavel por uma influéncia sobre a mente humana maior que qualquer outro livro com excegao da Biblia A ja citada Biblioteca estava muito préxima do que se entende hoje por Universidade E se faz apropriado o depoimento do insigne Carl B Boyer em A Histéria da Matematica A Universidade de Alexandria evidentemente nao diferia muito de instituig6es modernas de cultura superior Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa outros eram melhores como administradores e outros ainda eram conhecidos pela capacidade de ensinar Pelos relatos que possuimos parece que Euclides definitivamente pertencia a ultima categoria Nenhuma nova descoberta lhe é atribuida mas era conhecido por sua habilidade de expor Essa é a chave do sucesso de sua maior obra Os Elementos Pela trigonometria um outro diretor da Biblioteca Eratéstones 276 194 aC comprovou a esfericidade da Terra e mediu com precisao e engenhosidade o perimetro de sua circunferéncia Jacir J Venturi Num dos rolos de papiro encontrou a informagao de que na cidade de Siena hoje Assua ao sul de Alexandria ao meiodia do solsticio de verao o dia mais longo do ano 21 de junho no hemisfério norte colunas verticais nao projetavam qualquer sombra ou seja 0 Sol se situava a prumo Entretanto O nosso conspicuo gedmetra observou que no mesmo dia de solsticio as colunas verticais da cidade de Alexandria projetavam uma sombra perfeitamente mensuravel Aguardou o dia 21 de junho do ano seguinte e determinou que se instalasse uma grande estaca em Alexandria e que se escavasse um pogo profundo em Siena Ao meiodia enquanto o Sol iluminava as profundezas do pogo de Siena fazia Angulo de 90 com a superficie da Terra em Alexandria Erat6éstenes mediu o angulo 6 712 ou seja 150 dos 360 de uma circun feréncia eee a Raios de Sol Estaca oS laa Ps Portanto 0 comprimento do meridiano terrestre deveria ser 50 vezes a distancia entre Alexandria e Siena Por tais calculos conjecturou que o perimetro da Terra seria de 46250 km Hoje sabemos que é de 40076 km Aproximagao notavel considerandose a época da medicao Precedeu a experiéncia um feito digno de nota Alexandria e Siena situavamse a grande porém desconhecida distancia Para medila Eratéstenes determinou que uma equipe de instrutores com seus camelos e escravos a pé seguissem em linha reta percorrendo desertos aclives declives e tendo que inclusive atravessar o rio Nilo Distancia mensurada 5000 estadios ou cerca de 925 km Ademais as cidades de Alexandria e Siena nao estao sobre 0 mesmo meridiano como supunha Eratdstenes havendo uma diferenga de quase 3 Do autor ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi C A P Í T U L O Sistemas de coordenadas no espaço tridimensional 1 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Em Geometria Analítica plana as equações contêm duas variáveis Na espacial três variáveis Nesta se exigirá maior esforço de visualização das figuras O conjunto de pontos do espaço tridimensional será indicado por E Sejam x y e z três retas orientadas mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O Destarte o triedro Ox Oy Oz é triretângulo Principais elementos ponto O origem do sistema cartesiano retas orientadas eixos cartesianos planos xy xz yz planos cartesianos Pelo ponto P traçamse três planos paralelos aos planos coordenados e juntamente com estes individualizase um paralelepípedo retângulo cujas faces interceptam os eixos x emPyemP e z em P Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla de números reais Assim o ponto P fica determinado por suas coordenadas 3 x y Z z P2 PZ P3 P z y O x Px P1 Py x y cartesianas ortogonais P x y z onde x OP y OP z OP O sistema cartesiano em estudo estabelece uma correspondência bijetora entre cada ponto do espaço e a terna de números reais Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões denominadas oitantes ou octantes a O 0 0 0 origem do sistema cartesiano b P x y 0 P x 0 z P 0 y z representam as projeções ortogonais do ponto P sobre os planos coordenados xy xz e yz c P x 0 0 P 0 y 0 P 0 0 z representam as projeções ortogonais do ponto P sobre os eixos coordenados x y e z d Não sendo os eixos mutuamente perpendiculares temos um sistema de coordenadas oblíquas São válidas as operações de soma e multiplicação por escalar com as triplas x y z e x y z bem como a condição de igualdade de 2 triplas item 3 do capítulo 3 Um verdadeiro repto à matemática hodierna foi e está sendo o estudo de espaços a 4 ou mais dimensões Einstein em sua Teoria da Relatividade apóiase em um espaço de 4 dimensões E toda a nossa estrutura mental fulcrada numa geometria euclidiana de 2 ou 3 dimensões sofre uma vigorosa transformação Por exemplo num espaço de 4 dimensões não representável geometricamente a intersecção de dois planos pode ser um único ponto Ou ainda é factível a retirada de um objeto ou um ponto do interior de um paralelepípedo sem atravessar as suas paredes Dados dois pontos P x y z e P x y z a distância d x y z 1 2 3 x y z 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 abscissa ordenada cota Particularidades 2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi C A P Í T U L O Sistemas de coordenadas no espaço tridimensional 1 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Em Geometria Analítica plana as equações contêm duas variáveis Na espacial três variáveis Nesta se exigirá maior esforço de visualização das figuras O conjunto de pontos do espaço tridimensional será indicado por E Sejam x y e z três retas orientadas mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O Destarte o triedro Ox Oy Oz é triretângulo Principais elementos ponto O origem do sistema cartesiano retas orientadas eixos cartesianos planos xy xz yz planos cartesianos Pelo ponto P traçamse três planos paralelos aos planos coordenados e juntamente com estes individualizase um paralelepípedo retângulo cujas faces interceptam os eixos x emPyemP e z em P Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla de números reais Assim o ponto P fica determinado por suas coordenadas 3 x y Z z P2 PZ P3 P z y O x Px P1 Py x y cartesianas ortogonais P x y z onde x OP y OP z OP O sistema cartesiano em estudo estabelece uma correspondência bijetora entre cada ponto do espaço e a terna de números reais Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões denominadas oitantes ou octantes a O 0 0 0 origem do sistema cartesiano b P x y 0 P x 0 z P 0 y z representam as projeções ortogonais do ponto P sobre os planos coordenados xy xz e yz c P x 0 0 P 0 y 0 P 0 0 z representam as projeções ortogonais do ponto P sobre os eixos coordenados x y e z d Não sendo os eixos mutuamente perpendiculares temos um sistema de coordenadas oblíquas São válidas as operações de soma e multiplicação por escalar com as triplas x y z e x y z bem como a condição de igualdade de 2 triplas item 3 do capítulo 3 Um verdadeiro repto à matemática hodierna foi e está sendo o estudo de espaços a 4 ou mais dimensões Einstein em sua Teoria da Relatividade apóiase em um espaço de 4 dimensões E toda a nossa estrutura mental fulcrada numa geometria euclidiana de 2 ou 3 dimensões sofre uma vigorosa transformação Por exemplo num espaço de 4 dimensões não representável geometricamente a intersecção de dois planos pode ser um único ponto Ou ainda é factível a retirada de um objeto ou um ponto do interior de um paralelepípedo sem atravessar as suas paredes Dados dois pontos P x y z e P x y z a distância d x y z 1 2 3 x y z 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 abscissa ordenada cota Particularidades 2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA entre os pontos P e P é dada pela formula d Vx x Y2 y z 2 Para a demonstragao considere d a diagonal de um paralelepipedo de vértices opostos P e P Ou mais facilmente veremos no capitulo 5 multiplicagao escalar de 2 vetores z do ZZ Pye ee J a xX X Y21 oO y x 3 PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZAO DADA A demonstragao analoga ao espaco bidimensional A determinagao das coordenadas do ponto P x y Z que divide o segmento P X Z P X Yo Z numa certa razao k se faz pelas formulas x kx y ky z kz x 2 1k a 1k Para k1 temse as coordenadas do ponto médio de P P 4 BARICENTRO DO TRIANGULO Também aqui a dedugao é analoga ao plano Consideremos o triangulo de vértices A X Ya Za B Xp Yar Ze C Xe Vor Zc O baricentro G é obtido pelas formulas ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi entre os pontos P e P é dada pela fórmula Para a demonstração considere d a diagonal de um paralelepípedo de vértices opostos P e P Ou mais facilmente veremos no capítulo 5 multiplicação escalar de 2 vetores A demonstração é análoga ao espaço bidimensional A determinação das coordenadas do ponto P x y z que divide o segmento P x y z e P x y z numa certa razão k se faz pelas fórmulas Também aqui a dedução é análoga ao plano Consideremos o triângulo de vértices A x y z B x y z e C x y z O baricentro G é obtido pelas fórmulas 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 A A A B B B C C C Para k 1 temse as coordenadas do pontomédiodeP P 1 2 3 PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA 4 BARICENTRO DO TRIÂNGULO d x x y y z z 2 1 2 2 1 2 2 1 2 d P2 z z 2 1 x x 2 1 y y 2 1 P1 O y z x x x kx 1 k 1 2 y y ky 1 k 1 2 z z kz 1 k 1 2 x x x x 3 G A B C y y y y 3 G A B C z z z z 3 G A B C Exercícios Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula SUGESTÃO SUGESTÃO JACQUES CHAPELLON Calcular a soma das arestas do tetraedro regular de vértices Provar que os pontos A 2 0 1 B 3 1 5 C 4 2 9 são colineares Achar o ponto do eixo das ordenadas eqüidistante dos pontos A 1 1 3 e B 2 2 1 Verificar se os pontos são vértices de algum triângulo retângulo A 0 1 B 0 1 C 0 2 2 e D 0 0 4 Resp Bastar verificar que d d d Resp Calcule e observe que Pitágoras AC AB BC A 2 1 2 B 1 2 1 e C 1 0 1 AB BC AC AC AB BC 2 2 2 2 2 2 01 02 03 04 3 3 2 12 3 ABC é triângulo re tângulo com o ângu lo reto em B Resp 3 0 1 0 11 12 13 14 15 16 Os pontos A B M são colineares e M é o ponto médio de Sabendose que A 1 3 5 e M 0 1 2 achar as coordenadas carte sianas do ponto B AB Resp B 1 1 1 Calcular os vértices de um triângulo onde são dados o baricentro G 2 2 3 e os pontos médios de dois lados M 1 2 4 e M 2 3 3 Resp 2 0 3 0 4 5 4 2 1 Achar o volume da pirâmide de base OABC e P o vértice supe rior Resp 12 uv A base é umquadrado cujo lado é 2 A altura h é a cota do ponto P ou seja h 9 Até que ponto se deve prolongar o segmento de reta de extremidades A 1 1 2 e B 4 5 6 para que se triplique o seu comprimento no sentido de A para B Resp 10 17 14 O ponto P pertence ao eixo z e eqüidista dos pontos A 2 3 0 e B 0 1 2 Encontrar P Resp P 0 0 2 Dados dois vértices A 9 5 12 e B 6 1 19 de umparale logramo ABCD e P 4 1 7 o ponto de intersecção de suas diagonais determinar os vértices C e D Resp 1 2 Dados O 0 0 0 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 e P 1 1 9 SUGESTÃO C 1 3 2 e D 2 3 5 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 05 06 07 08 09 10 Na figura achar as coordenadas dos pontos A B C e P Provar que o triângulo A 1 2 0 B 4 0 1 e C 2 1 2 é eqüilátero Resp A 2 4 0 B 2 0 3 C 0 4 3 P 2 4 3 Achar as coordenadas do ponto P que divide o segmento na razão 2 Dados A 2 5 1 e B 3 0 2 Resp P 4 5 3 No sistema cartesiano ortogonal determinar as distâncias do ponto P 1 4 2 aos eixos coordenados x y e z Resp Achar os pontos do plano xz cuja distância ao ponto é 2 e ao ponto B 2 0 1 é 3 Barsotti Resp Num triângulo ABC são conhecidos os vértices B 2 1 3 e C 0 5 4 e também o baricentro G 1 2 3 Calcular o vértice A Resp A 1 0 2 AB A 1 1 0 z 3 O B P A 2 4 y x C 2 5 5 17 V S OABC h 1 3 e 1 2 2 2 0 2 P 1 2 2 0 2 2 P 11 12 13 14 15 16 Os pontos A B M são colineares e M é o ponto médio de Sabendose que A 1 3 5 e M 0 1 2 achar as coordenadas carte sianas do ponto B AB Resp B 1 1 1 Calcular os vértices de um triângulo onde são dados o baricentro G 2 2 3 e os pontos médios de dois lados M 1 2 4 e M 2 3 3 Resp 2 0 3 0 4 5 4 2 1 Achar o volume da pirâmide de base OABC e P o vértice supe rior Resp 12 uv A base é um quadrado cujo lado é 2 A altura h é a cota do ponto P ou seja h 9 Até que ponto se deve prolongar o segmento de reta de extremidades A 1 1 2 e B 4 5 6 para que se triplique o seu comprimento no sentido de A para B Resp 10 17 14 O ponto P pertence ao eixo z e eqüidista dos pontos A 2 3 0 e B 0 1 2 Encontrar P Resp P 0 0 2 Dados dois vértices A 9 5 12 e B 6 1 19 de um parale logramo ABCD e P 4 1 7 o ponto de intersecção de suas diagonais determinar os vértices C e D Resp 1 2 Dados O 0 0 0 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 e P 1 1 9 SUGESTÃO C 1 3 2 e D 2 3 5 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 05 06 07 08 09 10 Na figura achar as coordenadas dos pontos A B C e P Provar que o triângulo A 1 2 0 B 4 0 1 e C 2 1 2 é eqüilátero Resp A 2 4 0 B 2 0 3 C 0 4 3 P 2 4 3 Achar as coordenadas do ponto P que divide o segmento na razão 2 Dados A 2 5 1 e B 3 0 2 Resp P 4 5 3 No sistema cartesiano ortogonal determinar as distâncias do ponto P 1 4 2 aos eixos coordenados x y e z Resp Achar os pontos do plano xz cuja distância ao ponto é 2 e ao ponto B 2 0 1 é 3 Barsotti Resp Num triângulo ABC são conhecidos os vértices B 2 1 3 e C 0 5 4 e também o baricentro G 1 2 3 Calcular o vértice A Resp A 1 0 2 AB A 1 1 0 z 3 O B P A 2 4 y x C 2 5 5 17 V S OABC h 1 3 e 1 2 2 2 0 2 P 1 2 2 0 2 2 P ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi SUGESTÃO As diagonais de um paralelogramo se bissecam em seu ponto médio 5 SISTEMA CILÍNDRICO No espaço tridimensional o sistema cartesiano reina quase soberanamente Em alguns tópicos da engenharia e em cursos de licenciatura dois outros sistemas também são usuais o sistema cilíndrico e o sistema esférico a Considere em um plano um sistema polar cujo pólo é O e cujo eixo polar é p além disso considere um eixo z de origem O e ortogonal ao plano Dado um ponto qualquer P do espaço E fazse a seguinte construção ilustrada na figura abaixo P é projetado ortogonalmente sobre o plano e sobre o eixo z P e P são as respectivas projeções Assim ficam determinados três números e z que são suas coordenadas cilíndricas onde OP 0 é a de P 0º 2 é o de P α α α ρ θ ρ θ ρ ρ θ θ π 3 z P z distância polar ou raio vetor argumento anomalia ou ângulo polar α p O z z P P Pz ρ θ y y x O α θ ρ Py Px P x p P z Pz z OP é a cota de P Reciprocamente dado um terno ordenado de números reais podese localizar um ponto no espaço do qual os números dados são as coordenadas cilíndricas portanto há uma correspondência bijetora entre o conjunto dos pontos do espaço e o conjunto de ternos ordenados de números reais que são as coordenadas cilíndricas b Considerase os dois sistemas de modo que o eixo polar coincida com o eixo das abscissas o pólo coincida com a origem e o eixo z seja comum para os dois sistemas Então P x y z emcoordenadas cartesianas P z emcoordenadas cilíndricas Observese que z é coordenada homônima para os dois sistemas O triângulo retângulo OP P do plano estabelece as fórmulas z x OBSERVAÇÃO A denominação cilíndrica provém de na figura se admitir um cilindro de base circular cujo raio é a constante no plano e cuja geratriz é PP que gira em torno de z ρ α ρ θ α Passagem do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano ortogonal ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi SUGESTÃO As diagonais de umparalelogramo se bissecam emseupontomédio 5 SISTEMA CILÍNDRICO No espaço tridimensional o sistema cartesiano reina quase soberanamente Em alguns tópicos da engenharia e em cursos de licenciatura dois outros sistemas também são usuais o sistema cilíndrico e o sistema esférico a Considere em um plano um sistema polar cujo pólo é O e cujo eixo polar é p além disso considere um eixo z de origem O e ortogonal ao plano Dado um ponto qualquer P do espaço E fazse a seguinte construção ilustrada na figura abaixo P é projetado ortogonalmente sobre o plano e sobre o eixo z P e P são as respectivas projeções Assim ficam determinados três números e z que são suas coordenadas cilíndricas onde OP 0 é a de P 0º 2 é o de P α α α ρ θ ρ θ ρ ρ θ θ π 3 z P z distância polar ou raio vetor argumento anomalia ou ângulo polar α p O z z P P Pz ρ θ y y x O α θ ρ Py Px P x p P z Pz z OP é a cota de P Reciprocamente dado um terno ordenado de números reais podese localizar um ponto no espaço do qual os números dados são as coordenadas cilíndricas portanto há uma correspondência bijetora entre o conjunto dos pontos do espaço e o conjunto de ternos ordenados de números reais que são as coordenadas cilíndricas b Considerase os dois sistemas de modo que o eixo polar coincida com o eixo das abscissas o pólo coincida com a origem e o eixo z seja comum para os dois sistemas Então P x y z em coordenadas cartesianas P z em coordenadas cilíndricas Observese que z é coordenada homônima para os dois sistemas O triângulo retângulo OP P do plano estabelece as fórmulas z x OBSERVAÇÃO A denominação cilíndrica provém de na figura se admitir um cilindro de base circular cujo raio é a constante no plano e cuja geratriz é PP que gira em torno de z ρ α ρ θ α Passagem do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano ortogonal ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 1 x y 2 x cos 3 y sen 4 tg ρ ρ θ ρ θ θ 2 2 2 x θ ρ P y Px O y x Exercícios Como pode a Matemática sendo produto do pensamento humano independente da experiência se adaptar tão admiravelmente aos objetos da realidade ALBERT EINSTEIN 18791955 físico alemão Naturalizouse cidadão norteamericano em 1940 Passar do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico a Resp b B 0 1 3 Resp c x y z x y Resp z cos 2 Efetuar a passagem do sistema cilíndrico para o sistema carte siano a Resp b B 1330º Resp c sen 2 2z Resp xy z 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 ρ ρ θ π ρ θ 01 02 A 3 3 3 2 θ ρ α β O P z Ø S P N θ α Plano equatorial Plano meridiano de Greenwich π 4 2 2 3 2 A ø P ø ρ θ 6 SISTEMA ESFÉRICO Seja O pólo um ponto do espaço E pelo qual passa uma reta orientada z eixo polar O plano é passante por z P um ponto do espaço tridimensional O semiplano de bordo z contém P Dado o ponto P ficam determinados os três números e ø que são suas coordenadas esféricas OP a de P a de P é a medida do ân gulo que o eixo z forma com OP ø a de P é a medida do ângulo que o plano forma com o semiplano Reciprocamente dado um terno ordenado de números reais é possível localizar no espaço um único ponto do qual os números do terno são as coordenadas esféricas Para que a um ponto corresponda um único terno de coordenadas esféricas costumase fazer as seguintes restrições 0 0 0 ø 2 Na figura ao lado temse uma aplicação notável do sistema esférico as coordena das geográficas de um ponto P O ângulo ø é a longitude de P e a sua colatitude Re cordese da geografia que colatitude é o complemento da latitude esta representada na figura pelo ângulo A denominação provêm do fa to de se imaginar uma superfície esférica que contém P de centro em O e cujo raio é a constante a distância polar ou raio vetor colatitude longitude ou azimute esférica 3 α β ρ θ ρ θ α β ρ θ π π θ α ρ OBSERVAÇÃO 2 2 2 1 1 A π 1 2 3 B π 2 3 6 2 A π 2 1 2 3 B ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 1 x y 2 x cos 3 y sen 4 tg ρ ρ θ ρ θ θ 2 2 2 x θ ρ P y Px O y x Exercícios Como pode a Matemática sendo produto do pensamento humano independente da experiência se adaptar tão admiravelmente aos objetos da realidade ALBERT EINSTEIN 18791955 físico alemão Naturalizouse cidadão norteamericano em 1940 Passar do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico a Resp b B 0 1 3 Resp c x y z x y Resp z cos 2 Efetuar a passagem do sistema cilíndrico para o sistema carte siano a Resp b B 1330º Resp c sen 2 2z Resp xy z 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 ρ ρ θ π ρ θ 01 02 A 3 3 3 2 θ ρ α β O P z Ø S P N θ α Plano equatorial Plano meridiano de Greenwich π 4 2 2 3 2 A ø P ø ρ θ 6 SISTEMA ESFÉRICO Seja O pólo um ponto do espaço E pelo qual passa uma reta orientada z eixo polar O plano é passante por z P um ponto do espaço tridimensional O semiplano de bordo z contém P Dado o ponto P ficam determinados os três números e ø que são suas coordenadas esféricas OP a de P a de P é a medida do ân gulo que o eixo z forma com OP ø a de P é a medida do ângulo que o plano forma com o semiplano Reciprocamente dado um terno ordenado de números reais é possível localizar no espaço um único ponto do qual os números do terno são as coordenadas esféricas Para que a um ponto corresponda um único terno de coordenadas esféricas costumase fazer as seguintes restrições 0 0 0 ø 2 Na figura ao lado temse uma aplicação notável do sistema esférico as coordena das geográficas de um ponto P O ângulo ø é a longitude de P e a sua colatitude Re cordese da geografia que colatitude é o complemento da latitude esta representada na figura pelo ângulo A denominação provêm do fa to de se imaginar uma superfície esférica que contém P de centro em O e cujo raio é a constante a distância polar ou raio vetor colatitude longitude ou azimute esférica 3 α β ρ θ ρ θ α β ρ θ π π θ α ρ OBSERVAÇÃO 2 2 2 1 1 A π 1 2 3 B π 2 3 6 2 A π 2 1 2 3 B Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano ortogonal z cos Fazse coincidir o plano com o plano xz O ponto P tem projeções sobre os eixos cartesianos ortogonais em P P e P O ponto P é a projeção de P sobre o plano cartesiano xy Emrelação aos dois sistemas temse P x y z coordenadas cartesianas de P P ø coordenadas esféricas de P Por construção observese que P P OP Do triângulo retângulo OP P obtémse P P sen e α ρ θ ρ θ ρ θ x y z z z z x α Px x O Ø P β y Py y ρ θ z z Pz P Pz P z θ ρ O x P y Px O Ø y x A 2 2 90º 315º A 9 3 3 6 tg ø O triângulo retângulo OP P fornece x OP cos ø mas OP P P sen y OP sen ø ou Dos dois triângulos retângulos em destaque OP x y P P e P P z ou x y z Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico a A 2 2 0 Resp b Resp B 5 135 45 c 5x 5y 8z Resp 5 sen cos 2 ø 8 cos a Resp x z z z ρ θ ρ θ ρ θ ρ ρ ρ ρ θ θ x sen cos ø y sen sen ø Cálculo de Transformar o sistema esférico em sistema cartesiano ortogo nal 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Grandes obras não nascem apenas de grandes idéias 01 02 2 5 2 2 2 5 5 B π π 6 12 3 A Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano ortogonal z cos Fazse coincidir o plano com o plano xz O ponto P tem projeções sobre os eixos cartesianos ortogonais em P P e P O ponto P é a projeção de P sobre o plano cartesiano xy Emrelação aos dois sistemas temse P x y z coordenadas cartesianas de P P ø coordenadas esféricas de P Por construção observese que P P OP Do triângulo retângulo OP P obtémse P P sen e α ρ θ ρ θ ρ θ x y z z z z x α Px x O Ø P β y Py y ρ θ z z Pz P Pz P z θ ρ O x P y Px O Ø y x A 2 2 90º 315º A 9 3 3 6 tg ø O triângulo retângulo OP P fornece x OP cos ø mas OP P P sen y OP sen ø ou Dos dois triângulos retângulos em destaque OP x y P P e P P z ou x y z Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico a A 2 2 0 Resp b Resp B 5 135 45 c 5x 5y 8z Resp 5 sen cos 2 ø 8 cos a Resp x z z z ρ θ ρ θ ρ θ ρ ρ ρ ρ θ θ x sen cos ø y sen sen ø Cálculo de Transformar o sistema esférico em sistema cartesiano ortogo nal 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Grandes obras não nascem apenas de grandes idéias 01 02 2 5 2 2 2 5 5 B π π 6 12 3 A ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Resp B 0 5 0 c ø 45 Resp y x Multiplique ambos os membros pela tangente d 30º Resp 3x y z Multiplique ambos os membros pelo coseno e 3 cos 0 Resp x y z 3z 0 Dadas as coordenadas esféricas de obtêlas em coordenadas cilíndricas Resp P 2 30 2 Sist esférico sist cart sist cilíndrico Do sistema cilíndrico passar para o sistema esférico Resp SUGESTÃO SUGESTÃO SUGESTÃO θ ρ ρ θ 2 2 2 2 2 2 2 03 04 P 2 2 45º 30º O RATO PLANEJADOR Dois ratos passeavam despreocupadamente O primeiro rato vangloriavase do seu doutoramento em planejamento nos EUA Fazendo tocaia um gato saltou e pôs a pata em cima do segundo rato Este aterrorizado suplicou ao rato planejador O que você faz aí parado Ajudeme Estou planejando Planejando o quê Socorro Já sei vire um pitbull Mas como Bem eu planejo você tem que executar C A P Í T U L O Vetores 1 SINOPSE HISTÓRICA 2 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS 3 DEFINIÇÕES ETIMOLOGIA E NOTAÇÕES A história da matemática raramente apresenta eventos bombásticos As formulações inicialmente tênues e difusas percorrem um espinhoso trajeto até atingir a magnitude de seu desenvolvimento O conceito de vetor surgiu na Mecânica com o engenheiro flamen go Simon Stevin o Arquimedes holandês Em 1586 apresentou em sua o problema da composição de forças e enunciou uma regra empírica para se achar a soma de 2 forças aplicadas num mesmo ponto Tal regra a conhecemos hoje como regra do paralelogramo Os vetores aparecem considerados como linhas dirigidas na obra publicada em 1797 por GasparWesselmatemático dinamarquês A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX com os trabalhos do irlandês William Hamilton notavelmente precoce aos 5 anos lia grego latim e hebraico do alemão Hermann Grassmann e do físico norteamericano Josiah Gibbs Certas grandezas ficam determinadas apenas por um número real acompanhado pela unidade correspondente Por exemplo 5 kg de massa 10 m de área 12 cm de largura Tais grandezas são chamadas de Outras grandezas necessitam além do número real também de uma direção e de um sentido Exemplificando a velocidade a aceleração omomento o peso o campomagnético etc São as grandezas DEF 1 Vetor é uma tripla constituída de uma direção um sentido e umnúmero não negativo DEF 2 Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção demesmosentido e demesmocomprimento Estática e Hidrostática Ensaio Sobre a Representação da Direção escalares vetoriais a Vetor b Vetor 2 π π 2 5 2 3 B π 4 2 6 3 A π 4 10 3 10 2 10 arc cos A ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Resp B 0 5 0 c ø 45 Resp y x Multiplique ambos os membros pela tangente d 30º Resp 3x y z Multiplique ambos os membros pelo coseno e 3 cos 0 Resp x y z 3z 0 Dadas as coordenadas esféricas de obtêlas emcoordenadas cilíndricas Resp P 2 30 2 Sist esférico sist cart sist cilíndrico Do sistema cilíndrico passar para o sistema esférico Resp SUGESTÃO SUGESTÃO SUGESTÃO θ ρ ρ θ 2 2 2 2 2 2 2 03 04 P 2 2 45º 30º O RATO PLANEJADOR Dois ratos passeavam despreocupadamente O primeiro rato vangloriavase do seu doutoramento em planejamento nos EUA Fazendo tocaia um gato saltou e pôs a pata em cima do segundo rato Este aterrorizado suplicou ao rato planejador O que você faz aí parado Ajudeme Estou planejando Planejando o quê Socorro Já sei vire umpitbull Mas como Bem eu planejo você tem que executar C A P Í T U L O Vetores 1 SINOPSE HISTÓRICA 2 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS 3 DEFINIÇÕES ETIMOLOGIA E NOTAÇÕES A história da matemática raramente apresenta eventos bombásticos As formulações inicialmente tênues e difusas percorrem um espinhoso trajeto até atingir a magnitude de seu desenvolvimento O conceito de vetor surgiu na Mecânica com o engenheiro flamen go Simon Stevin o Arquimedes holandês Em 1586 apresentou em sua o problema da composição de forças e enunciou uma regra empírica para se achar a soma de 2 forças aplicadas num mesmo ponto Tal regra a conhecemos hoje como regra do paralelogramo Os vetores aparecem considerados como linhas dirigidas na obra publicada em 1797 por Gaspar Wessel matemático dinamarquês A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX com os trabalhos do irlandês William Hamilton notavelmente precoce aos 5 anos lia grego latim e hebraico do alemão Hermann Grassmann e do físico norteamericano Josiah Gibbs Certas grandezas ficam determinadas apenas por um número real acompanhado pela unidade correspondente Por exemplo 5 kg de massa 10 m de área 12 cm de largura Tais grandezas são chamadas de Outras grandezas necessitam além do número real também de uma direção e de um sentido Exemplificando a velocidade a aceleração o momento o peso o campo magnético etc São as grandezas DEF 1 Vetor é uma tripla constituída de uma direção um sentido e um número não negativo DEF 2 Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção de mesmo sentido e de mesmo comprimento Estática e Hidrostática Ensaio Sobre a Representação da Direção escalares vetoriais a Vetor b Vetor 2 π π 2 5 2 3 B π 4 2 6 3 A π 4 10 3 10 2 10 arc cos A ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi c Imagem geométrica ou representante de um vetor imagem geométrica representante vetor imagem geométrica do veto d Etimologia da palavra vetor Vetor transportado levado e Notações de vetor I II III Na figura ao lado temse um conjunto de segmentos orientados de um único vetor O segmento orientado é um conjunto de pontos ao passo que vetor é um conjunto de segmentos orientados Cada segmento orientado é a rigor a ou o de um vetor A figura apresenta quatro segmen tos orientados ou então quatro imagens geométricas de um mesmo vetor Como abuso de linguagem em pregase a palavra em vez de r De acordo com a locução latina o abuso não tolhe o uso também nós vamos escrever ou verbalizar a palavra vetor como imagem geométrica do vetor Provém do verbo latino transportar levar é o particípio passado de signifi cando Apesar de primitiva e até bizarra a palavra vetor é pertinente o ponto A é trans portado até B Uma letra latina minúscula encimada por uma seta Exemplos a b c u v w Uma letra latina minúscula sobrelinhada Exemplos Dois pontos que são a origem e a extremidade de um repre sentante do vetor Exemplo A soma do ponto A com o vetor v é o ponto B abusus non tollit usum vehere vehere a b c u v w A B z 4 O x 1 5 y P B A v v A v B ou v B A onde A é a e B é a do vetor Esta notação é assaz vantajosa pelas aplicações das operações algébricas e é devida ao matemático alemão H Grassmann 18091877 Também bastante usual a notação v AB IV Uma terna ordenada de números reais v x y z Exemplo v 1 5 4 Na figura v P O Como abuso de notação temse ainda v P O P Usualmente quando já estiver fixado o sistema de coordenadas o representante do vetor é aquele cuja origem coincida com a origem do sistema v É o número não negativo que indica o comprimento do vetor Exemplo Então v 4 0 É o vetor de direção e sentido arbitrários e módulo igual a O vetor nulo tem coordenadas 0 0 0 e sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas origem extremidade f Módulo g Vetor nulo zero 1 1 1 OBSERVAÇÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi c Imagem geométrica ou representante de umvetor imagem geométrica representante vetor imagem geométrica do veto d Etimologia da palavra vetor Vetor transportado levado e Notações de vetor I II III Na figura ao lado temse um conjunto de segmentos orientados de um único vetor O segmento orientado é um conjunto de pontos ao passo que vetor é um conjunto de segmentos orientados Cada segmento orientado é a rigor a ou o de umvetor A figura apresenta quatro segmen tos orientados ou então quatro imagens geométricas de ummesmo vetor Como abuso de linguagem em pregase a palavra em vez de r De acordo com a locução latina o abuso não tolhe o uso também nós vamos escrever ou verbalizar a palavra vetor como imagem geométrica do vetor Provém do verbo latino transportar levar é o particípio passado de signifi cando Apesar de primitiva e até bizarra a palavra vetor é pertinente o ponto A é trans portado até B Uma letra latina minúscula encimada por uma seta Exemplos a b c u v w Uma letra latina minúscula sobrelinhada Exemplos Dois pontos que são a origem e a extremidade de um repre sentante do vetor Exemplo A soma do ponto A com o vetor v é o ponto B abusus non tollit usum vehere vehere a b c u v w A B z 4 O x 1 5 y P B A v v A v B ou v B A onde A é a e B é a do vetor Esta notação é assaz vantajosa pelas aplicações das operações algébricas e é devida ao matemático alemão H Grassmann 18091877 Também bastante usual a notação v AB IV Uma terna ordenada de números reais v x y z Exemplo v 1 5 4 Na figura v P O Como abuso de notação temse ainda v P O P Usualmente quando já estiver fixado o sistema de coordenadas o representante do vetor é aquele cuja origem coincida com a origem do sistema v É o número não negativo que indica o comprimento do vetor Exemplo Então v 4 0 É o vetor de direção e sentido arbitrários e módulo igual a O vetor nulo tem coordenadas 0 0 0 e sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas origem extremidade f Módulo g Vetor nulo zero 1 1 1 OBSERVAÇÃO ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA h Vetor unitario E ovetor de modulo igual a 1 Exemplo Vv entaoV I 1 i Versor O versor de um vetor V nao nulo é o vetor unitario que tema mesma direcdo eo mesmo sentido de Vv Vv Iv Exemplos Vv V 1 tr entao vers v y 3 vers V 2 5 wi 11H entao vers w 4 vers W O vetor unitario coincide com o seu préprio versor j Vetor oposto Dado um vetor AB o seu oposto 0 vetor BAe se indica por AB O vetor oposto de um vetor v é representado por V 12 v Exemplo oy v 4 PARALELISMO DE VETORES a Definigao Dois vetores U e V de mesma direcdo sao ditos paralelos Ipso facto suas imagens geométricas podem ser representadas sobre uma mesma reta ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 1 v w vers w vers v v v v 4 PARALELISMO DE VETORES a Definição Dois vetores u e v de mesma direção são ditos paralelos lpso facto suas imagens geométricas podem ser representadas sobre uma mesma reta v u v u Os vetores e são paralelos ou colineares u v No entanto as retas r e s são paralelas e jamais colineares v u A B r s v u v u Exemplo v v vers v 3 v então vers v 4 w então vers w Os vetores u e v são paralelos e podem ser representados colinearmente Face o exposto até aqui podemos associar ao conceito de vetor a idéia de translação Tal idéia como é sabido não se transfere para retas paralelas uma vez que estas possuem posições fixas e determinadas Exemplo Dois vetores paralelos são se de mesmo sentido Se de sentidos contrários são Exemplo Seja um escalar e v um vetor O produto do vetor v pelo número real é representado por kv Então se OBSERVAÇÃO b Vetores equiversos e contraversos equiversos contraversos a Definição k k 5 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR u e v são equiversos u e v são contraversos h Vetor unitário i Versor 1 2 j Vetor oposto É o vetor demódulo igual a 1 Exemplo Então v 1 O versor de um vetor v não nulo é o vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido de v Exemplos O vetor unitário coincide com o seu próprio versor Dado um vetor AB o seu oposto é o vetor BA e se indica por AB O vetor oposto de umvetor v é representado por v Exemplo ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi I lI b Casos particulares c Propriedades I Propriedade associativa em relação aos escalares II Propriedade distributiva em relação à adição de escalares III Propriedade distributiva em relação à adição de vetores lV Se v x y z então k 0 Os vetores v e kv são equiversos Exemplos k 0 Os vetores v e kv são contraversos Exemplo 0 v 0 kv 0 k 0 ou v 0 1 v v onde v é o oposto de v Nas expressões abaixo m e n são escalares quaisquer e v e w são vetores arbitrários mnv nmv mn v m n v mv nv mv w mv mw mv mx y z mx my mz 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 COPLANARIDADE DE VETORES Os vetores u v e w são coplanares se tiverem imagens geomé tricas paralelas ao mesmo plano Cumpre enfatizar dois vetores são sempre coplanares enquanto que três vetores podem ou não ser coplanares Exemplos O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor é coplanar a qualquer conjunto de vetores coplanares Convenção dado u u 2 1 u dado 2u u v e w são coplanares u v e w não são coplanares α β w v u α w v u 7 ADIÇÃO DE VETORES a Definição Dados dois vetores u e v para se obter a soma u v fixamos um ponto qualquer A do plano u e v e consideramos os pontos B A u e C B v conforme a figura nessas condições u v C A Denotando por diferença de pontos u v B A C B C A Donde AC é o vetor resultante obtido da adição de u com v Geometricamente a soma de n vetores sendo n um número inteiro positivo qualquer é feita considerando imagens geométricas dos C B A v u ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi I lI b Casos particulares c Propriedades I Propriedade associativa emrelação aos escalares II Propriedade distributiva emrelação à adição de escalares III Propriedade distributiva em relação à adição de vetores lV Se v x y z então k 0 Os vetores v e kv são equiversos Exemplos k 0 Os vetores v e kv são contraversos Exemplo 0 v 0 kv 0 k 0 ou v 0 1 v v onde v é o oposto de v Nas expressões abaixo m e n são escalares quaisquer e v e w são vetores arbitrários mnv nmv mn v m n v mv nv mv w mv mw mv mx y z mx my mz 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 COPLANARIDADE DE VETORES Os vetores u v e w são coplanares se tiverem imagens geomé tricas paralelas ao mesmo plano Cumpre enfatizar dois vetores são sempre coplanares enquanto que três vetores podem ou não ser coplanares Exemplos O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor é coplanar a qualquer conjunto de vetores coplanares Convenção dado u u 2 1 u dado 2u u v e w são coplanares u v e w não são coplanares α β w v u α w v u 7 ADIÇÃO DE VETORES a Definição Dados dois vetores u e v para se obter a soma u v fixamos um ponto qualquer A do plano u e v e consideramos os pontos B A u e C B v conforme a figura nessas condições u v C A Denotando por diferença de pontos u v B A C B C A Donde AC é o vetor resultante obtido da adição de u com v Geometricamente a soma de n vetores sendo n um número inteiro positivo qualquer é feita considerando imagens geométricas dos C B A v u ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor seguinte o vetor soma é o vetor que fecha a poligonal Exemplos Dados u v e w obter graficamente a soma Graficamente o vetor soma é o segmento orientado que fecha a poligonal tendo por origem a origem do primeiro vetor e por extremidade a extremidade do último vetor Dados os vetores u x y z e v x y z então u v x x y y z z u v v u Demonstração Considere as imagens geométricas dos vetores u e v representados na figura b Sob a forma de triplas c Propriedades I Comutativa 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 w v u w u u w w v u w v v w Dados a u w b v w c u v w A B D C v v u u A B C D w v u 8 SUBTRAÇÃO DE VETORES a Definição Dados os vetores u e v definimos a diferença u v por 1º membro u v B A C B C A 2º membro v u D A C D C A donde u v v u cqd u v u v Conseqüência A diagonal do paralelogramo cons truído sobre as imagens geométricas de u e v representa a soma u v Sabese que o paralelogramo apresenta duas diagonais distintas Para a regra do paralelogramo construído sobre as imagens geométricas de u e v de mesma origem A adotase a diagonal que contém o ponto A A regra do paralelogramo é muito usual na composição de forças emMecânica u v w u v w Demonstração Sejam u v e w vetores dados 1º membro u v B A C B C A u v w C A D C D A 2º membro v w C B D C D B u v w B A D B D A Então u v w u v w qed u 0 u Dado um vetor u existe um único vetor indicado por u tal que u u 0 O vetor u é o vetor oposto de u u v u w v w Regra do paralelogramo II Associativa III Elemento neutro lV Elemento oposto V Lei do cacelamento OBSERVAÇÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor seguinte o vetor soma é o vetor que fecha a poligonal Exemplos Dados u v e w obter graficamente a soma Graficamente o vetor soma é o segmento orientado que fecha a poligonal tendo por origem a origem do primeiro vetor e por extremidade a extremidade do último vetor Dados os vetores u x y z e v x y z então u v x x y y z z u v v u Demonstração Considere as imagens geométricas dos vetores u e v representados na figura b Sob a forma de triplas c Propriedades I Comutativa 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 w v u w u u w w v u w v v w Dados a u w b v w c u v w A B D C v v u u A B C D w v u 8 SUBTRAÇÃO DE VETORES a Definição Dados os vetores u e v definimos a diferença u v por 1º membro u v B A C B C A 2º membro v u D A C D C A donde u v v u cqd u v u v Conseqüência A diagonal do paralelogramo cons truído sobre as imagens geométricas de u e v representa a soma u v Sabese que o paralelogramo apresenta duas diagonais distintas Para a regra do paralelogramo construído sobre as imagens geométricas de u e v de mesma origem A adotase a diagonal que contém o ponto A A regra do paralelogramo é muito usual na composição de forças em Mecânica u v w u v w Demonstração Sejam u v e w vetores dados 1º membro u v B A C B C A u v w C A D C D A 2º membro v w C B D C D B u v w B A D B D A Então u v w u v w qed u 0 u Dado um vetor u existe um único vetor indicado por u tal que u u 0 O vetor u é o vetor oposto de u u v u w v w Regra do paralelogramo II Associativa III Elemento neutro lV Elemento oposto V Lei do cacelamento OBSERVAÇÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Denotando por diferença de pontos u v B A C A B C v u C A B A C B Graficamente a diferença de dois vetores u e v é obtida fazendose com que u e v tenham a mesma origem A diferença de vetores não é comutativa u v v u 1 Dados os vetores u v e w obter graficamente 1º caso 2º caso b Exemplos A B C v u v u A B C v u v u Dados a u w b u w c v w d v w e w v w v u w v w u w u 2 1 v 2u v 2 1 2u 2 Num paralelogramo construído sobre dois vetores u e v as diagonais são as imagens geométricas do vetor soma u v e do vetor diferença u v Exercícios v v u u u v u v Quem quer fazer alguma coisa encontra um meio Quem não quer fazer nada encontra uma desculpa Aforisma árabe Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u 2 3 1 sendo sua extremidade o ponto B 0 4 2 Resp A 2 1 3 Na figura abaixo o vetor s a b c d é igual a Resp s 0 Representados os vetores u e v na figura achar graficamente o vetor x tal que u v x 0 Resp 01 02 03 a b c d v u v u x onde x u v u v 2u 2 v 1 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Denotando por diferença de pontos u v B A C A B C v u C A B A C B Graficamente a diferença de dois vetores u e v é obtida fazendose com que u e v tenham a mesma origem A diferença de vetores não é comutativa u v v u 1 Dados os vetores u v e w obter graficamente 1º caso 2º caso b Exemplos A B C v u v u A B C v u v u Dados a u w b u w c v w d v w e w v w v u w v w u w u 2 1 v 2u v 2 1 2u 2 Num paralelogramo construído sobre dois vetores u e v as diagonais são as imagens geométricas do vetor soma u v e do vetor diferença u v Exercícios v v u u u v u v Quem quer fazer alguma coisa encontra um meio Quem não quer fazer nada encontra uma desculpa Aforisma árabe Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u 2 3 1 sendo sua extremidade o ponto B 0 4 2 Resp A 2 1 3 Na figura abaixo o vetor s a b c d é igual a Resp s 0 Representados os vetores u e v na figura achar graficamente o vetor x tal que u v x 0 Resp 01 02 03 a b c d v u v u x onde x u v u v 2u 2 v 1 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 04 05 06 Nos cubos abaixo representar a soma dos vetores indicados a b Resp a G A b E A No tetraedro e no paralelepípedo retângulo achar a soma dos vetores representados por suas imagens geométricas a b Resp a D A b E O No hexágono regular obter a B A E F F A b D A E A E B Resp a D A b D B 07 08 09 10 11 12 13 Dados u 1 2 0 v 2 1 1 e w 0 2 3 achar Resp a 0 11 13 b 1 9 7 Conhecidos A 1 3 0 B 5 5 2 e v 1 3 2 calcular Resp a 2 6 2 b 14 12 4 Sendo A 2 0 1 B 0 3 2 C 1 2 0 determinar D x y z tal que BD ABCB Resp D 3 7 7 Calcular o vetor oposto de AB sendo A 1 3 2 e B 0 2 3 Resp BA 1 5 1 Conhecendose u 1 2 0 v 0 1 3 e w 1 3 1 calcu lar os escalaresmnepemmunvpw0014 Resp m 1 n 5 p 1 Os vetores u v e w formam um triângulo conforme a figura Sendo u 1 2 0 e v 3 0 3 então w é igual a Resp 2 2 3 Determinar o vetor x tal que 5x u 2v sendo u 1 4 15 e v 3 2 5 A B C D E F G H A B C D F G H E A B D C A B C O D G E F A B C D E F w v u a 2u v 4w b3u v 22v w a A v b 2A 3B v Resp x 1 0 5 Jacir J Venturi 07 Dados U 1 2 0 V 2 1 1 ew 0 2 3 achar a 2UV 4W b3U Vv 22V W Resp a 0 11 13 b 19 7 08 ConhecidosA 1 3 0 B 5 5 2 eV1 3 2 calcular aAV b 2A3BV Resp a 2 6 2 b 14 12 4 09SendoA201 B032 C120 determinar Dxyz talque BD ABCB Resp D377 10 Calcular 0 vetor oposto de AB sendoA 13 2 eB0 2 3 Resp BA1 51 11 Conhecendose ti 1 20 V0 1 3 eW 1 3 1 calcu lar os escalares mnepemmu nv pw 0 0 14 Resp m1n5p1 12 Os vetores U V e W formam um triangulo conforme a figura Sendo U 12 0 eV 3 0 3 entao Wé igual a v 5 Zi u 13 Determinar o vetor x tal que 5x U 2V sendo U 1 4 15 e V3 25 Resp X 1 0 5 9 COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES 10 EXPRESSÃO CARTESIANA DE UM VETOR Considere os vetores u u u u e os escalares k k k k Dizse que v é de quando escritos sob a forma de Seja x y e z um sistema carte siano ortogonal Convencionouse representar por i j e k nesta ordem os versores dos eixos cartesianos ortogonais x y e z Então i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 E pela definição de versor que possuem módulo unitário temse i j k 1 1 2 3 n 1 2 3 n combinação linear a u u u u 1 2 3 n ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 14 15 Calcular P tal que Dados A 1 1 0 e B 3 5 0 Resp Sabendose que u e v são perpendiculares tais que u 5 e v 12 calcular u v e u v Resp 13 e 13 3 AB 2 AP k j i y x O z x y z z Pz Px x O y P Py v c Exemplos Do paralelepípedo retângulo obtémse A B C D G E O F 4 3 2 z y x v k u k u k u k u 1 1 2 2 3 3 n n OBSERVAÇÃO P O x i P O y j P O z k temse x y z Os versores i j e k constituem uma base ortonormal de E por ser formada de vetores unitários e mutuamente ortogonais Considerese um pontoPx y z do espaço tridimensional e i j e k os versores dos eixos carte sianos ortogonais x y e z O vetor v P O tem origem em O e extremidade em P e pode ser ex presso como de i j e k Do paralelepípedo re presentado na figura ao lado ob témse P O P O P OP O como P O v x i y j zk denominada do vetor P O onde x y e z são as x i y j e zk as do citado vetor O vetor v re presenta a diagonal do paralelepípedo reto cujas arestas são os vetores coordenadas x i y j e zk Em particular o vetor P O pode ter imagem geométrica num dos planos cartesianos Por exemplo se P O estiver no plano xy a 3ª coordenada é nula P O x i y j 3 z b combinação linear expressão cartesiana coordenadas componentes x y OBSERVAÇÃO A O 2 i C O 4 j G O 3k B O 2i 4j D O 2i 3k F O 4j 3k E O 2i 4j 3k 3 0 3 5 P 9 COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES 10 EXPRESSÃO CARTESIANA DE UMVETOR Considere os vetores u u u u e os escalares k k k k Dizse que v é de quando escritos sob a forma de Seja x y e z um sistema carte siano ortogonal Convencionouse representar por i j e k nesta ordem os versores dos eixos cartesianos ortogonais x y e z Então i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 E pela definição de versor que possuemmódulo unitário temse i j k 1 1 2 3 n 1 2 3 n combinação linear a u u u u 1 2 3 n ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 14 15 Calcular P tal que Dados A 1 1 0 e B 3 5 0 Resp Sabendose que u e v são perpendiculares tais que u 5 e v 12 calcular u v e u v Resp 13 e 13 3 AB 2 AP k j i y x O z x y z z Pz Px x O y P Py v c Exemplos Do paralelepípedo retângulo obtémse A B C D G E O F 4 3 2 z y x v k u k u k u k u 1 1 2 2 3 3 n n OBSERVAÇÃO P O x i P O y j P O z k temse x y z Os versores i j e k constituem uma base ortonormal de E por ser formada de vetores unitários e mutuamente ortogonais Considerese um pontoPx y z do espaço tridimensional e i j e k os versores dos eixos carte sianos ortogonais x y e z O vetor v P O tem origem em O e extremidade em P e pode ser ex presso como de i j e k Do paralelepípedo re presentado na figura ao lado ob témse P O P O P OP O como P O v x i y j zk denominada do vetor P O onde x y e z são as x i y j e zk as do citado vetor O vetor v re presenta a diagonal do paralelepípedo reto cujas arestas são os vetores coordenadas x i y j e zk Em particular o vetor P O pode ter imagem geométrica num dos planos cartesianos Por exemplo se P O estiver no plano xy a 3ª coordenada é nula P O x i y j 3 z b combinação linear expressão cartesiana coordenadas componentes x y OBSERVAÇÃO A O 2 i C O 4 j G O 3k B O 2i 4j D O 2i 3k F O 4j 3k E O 2i 4j 3k 3 0 3 5 P ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA 11 CONDICAO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES a Teorema Dois vetores nao nulos Ue Vv sao paralelos se e somente se existir um escalar k tal que Vku Podemos afirmar que Vv é expresso linearmente em funcao de U Demonstragao 1 Sendo U e V paralelos os seus versores s6 podem diferir quan to ao sentido versVversU ou Va4 ou vaeMG lvl Ul lul Como rad éumnumero real chamemolo de k ltl Donde V ku cad 2 Reciprocamente se V ku entdo V é paralelo a U pela defini ao de produto de vetor por escalar b Vetores representados por pontos A igualdade persiste se os vetores forem representados por pontos Seja UBA e VCD entao C D kBA Exemplos Enfatizando o paralelismo dos vetores representados por suas imagens geométricas podemos afirmar que ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 11 CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES a Teorema linearmente b Vetores representados por pontos Dois vetores não nulos u e v são paralelos se e somente se existir umescalar k tal que v ku Podemos afirmar que v é expresso emfunção de u Demonstração 1 Sendo u e v paralelos os seus versores só podem diferir quan to ao sentido vers v vers u ou Como é umnúmero real chamemolo de k Donde v ku cqd 2 Reciprocamente se v ku então v é paralelo a u pela defini ção de produto de vetor por escalar A igualdade persiste se os vetores forem representados por pontos Seja u B A e v C D então C D kB A Exemplos Enfatizando o paralelismo dos vetores representados por suas imagens geométricas podemos afirmar que Sejam u x y z e v x y z Pelo teorema u é paralelo a v se e somente se existir um número real k tal que v ku ou ainda x y z kx y z Explicitando o k obtémse a condição de para lelismo dos vetores u e v A nulidade de um dos denominadores implica na nulidade do correspondente numerador Exemplo São paralelos os vetores u 3 2 0 e v 6 4 0 Na figura ao lado u A O e v B O Observe que v 2u e que em particular os vetores u e v têm imagens geométricas no pla no xy c Vetores representados por triplas Convenção 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Q P A B M N N 3 M 2 A B Q 3P N M A 2B 1 Q P Q 2P A B x x y y z z k 2 1 2 1 2 1 x z 6 3 O 2 4 A B y u v u u v v ou u u v v ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios Sempre se ouvirão vozes em discordância expressando oposição sem alternativa discutindo o errado e nunca o certo encontrando escuridão em toda a parte e procurando exercer influência sem aceitar responsabilidades SUGESTÃO John F Kennedy 1917 1963 presidente dos EUA Determinar x sabendose paralelos os vetores a u 1 3 10 e v 2 x 20 b v 0 2 x e w 0 3 6 c u 2i 3j k e v xi 9j 3k Resp a x 6 b x 4 c x 6 Sendo A B C D vértices consecutivos de um paralelogramo calcular as coordenadas do vértice D Dados A 1 3 B 5 11 e C 6 15 Resp D 2 7 Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na or dem escrita Achar o vértice A sabendose que B 0 1 3 C 2 3 5 e D 1 0 2 Resp A 3 4 6 Provar que os pontos A 3 1 5 B 2 0 1 e C 4 2 9 são colineares Por exemplo os vetores C A e B A devem ser paralelos 01 02 03 04 05 06 07 Série B Calcular x e y sabendo que os pontos A 1 1 3 B x y 5 e C 5 13 11 são colineares Resp x 2 e y 4 Na figura abaixo obter a expressão cartesiana do vetor P O Resp P O 2i 4j k Seja o paralelepípedo representado na figura Conhecendose os vértices B 1 2 3 D 2 4 3 E 5 4 1 e F 5 5 3 pedese os vértices A e G Resp A 1 1 1 G 6 8 5 Uns nasceram para o martelo outros para a bigorna François M Voltaire 16941778 escritor francês A B C x 2 o 1 4 y P z A B C D E H F G ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios Sempre se ouvirão vozes em discordância expressando oposição sem alternativa discutindo o errado e nunca o certo encontrando escuridão em toda a parte e procurando exercer influência sem aceitar responsabilidades SUGESTÃO John F Kennedy 1917 1963 presidente dos EUA Determinar x sabendose paralelos os vetores a u 1 3 10 e v 2 x 20 b v 0 2 x e w 0 3 6 c u 2i 3j k e v xi 9j 3k Resp a x 6 b x 4 c x 6 Sendo A B C D vértices consecutivos de um paralelogramo calcular as coordenadas do vértice D Dados A 1 3 B 5 11 e C 6 15 Resp D 2 7 Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na or dem escrita Achar o vértice A sabendose que B 0 1 3 C 2 3 5 e D 1 0 2 Resp A 3 4 6 Provar que os pontos A 3 1 5 B 2 0 1 e C 4 2 9 são colineares Por exemplo os vetores C A e B A devem ser paralelos 01 02 03 04 05 06 07 Série B Calcular x e y sabendo que os pontos A 1 1 3 B x y 5 e C 5 13 11 são colineares Resp x 2 e y 4 Na figura abaixo obter a expressão cartesiana do vetor P O Resp P O 2i 4j k Seja o paralelepípedo representado na figura Conhecendose os vértices B 1 2 3 D 2 4 3 E 5 4 1 e F 5 5 3 pedese os vértices A e G Resp A 1 1 1 G 6 8 5 Uns nasceram para o martelo outros para a bigorna François M Voltaire 16941778 escritor francês A B C x 2 o 1 4 y P z A B C D E H F G 12 CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE VETORES a Teorema O vetor v é coplanar aos vetores u e u não nulos e não paralelos entre si se e somente se v k u k u 1 2 1 1 2 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi A geometria plana apresenta alguns próceros teoremas De monstreos vetorialmente O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade Faça As diagonais de um paralelogramo se bissecam donde A C B D ou A B D C Os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo subtraindose membro a membro SUGESTÃO SUGESTÃO SUGESTÃO 08 09 10 A B M N C M A C B C 2 2 e N M N A C B C A B 2 2 1 2 D P C B A P4 P3 P2 P1 A B C D P A B B C P C D A D 1 3 2 2 2 2 P P 2 4 P P A C P P A C 1 2 4 3 1 2 1 2 11 12 13 O segmento que une os pontos médios dos lados não pa ralelos de umtrapézio é paralelo às bases e igual à sua semisoma O segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e tem comprimento igual à semidiferença dos comprimentos das bases Faça M N Demonstrar vetorialmente que o baricentro G de umtriângulo ABC é G Na figura G C 2M G Porém SUGESTÃO SUGESTÃO M N A B C D M A C 2 N B D 2 A B C 3 M A B 2 A M B G 1 2 C 2 D B 2 C A P 12 CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE VETORES a Teorema O vetor v é coplanar aos vetores u e u não nulos e não paralelos entre si se e somente se v k u k u 1 2 1 1 2 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi A geometria plana apresenta alguns próceros teoremas De monstreos vetorialmente O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à suametade Faça As diagonais de um paralelogramo se bissecam donde A C B D ou A B D C Os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de umparalelogramo subtraindosemembro a membro SUGESTÃO SUGESTÃO SUGESTÃO 08 09 10 A B M N C M A C B C 2 2 e N M N A C B C A B 2 2 1 2 D P C B A P4 P3 P2 P1 A B C D P A B B C P C D A D 1 3 2 2 2 2 P P 2 4 P P A C P P A C 1 2 4 3 1 2 1 2 11 12 13 O segmento que une os pontos médios dos lados não pa ralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semisoma O segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e tem comprimento igual à semidiferença dos comprimentos das bases Faça M N Demonstrar vetorialmente que o baricentro G de um triângulo ABC é G Na figura G C 2M G Porém SUGESTÃO SUGESTÃO M N A B C D M A C 2 N B D 2 A B C 3 M A B 2 A M B G 1 2 C 2 D B 2 C A P Segue sempre quem te dá pouco e não quem muito te promete SUGESTÃO Provérbio chinês Calcular sabendose coplanares os vetores a u 1 3 0 v 2 1 4 e w 3 4 a b u ai 3j v aj k e w i j k Resp a 4 b Provar que os pontos A 4 5 1 B 4 4 4 C 0 1 1 e D 3 9 4 são coplanares O determinante das coordenadas dos vetores B A C A e D A é nulo Dados u 2i v i j k e w 2i 6j 6k exprimir w como combinação linear de u e v Resp w 4u 6v Sendo u 0 2 1 u 0 1 3 e v 0 3 0 exprimir v como combinação linear de u e u Resp Exprimir w 2 6 2 como combinação linear de u 2 0 0 e v 1 1 1 Resp impossível OBS De fato os vetores u v e w não são coplanares a 1 2 1 2 01 02 03 04 05 Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Ou seja se e somente se v for de u e u sendo k e k escalares Demonstração Sejam v u u vetores coplanares B A a imagem geométrica do vetor v Pela ori gem A conduzimos uma para lela ao vetor u e pela extremi dade B uma paralela a u C é o ponto de intersecção de tais paralelas Então C A k u B C k u Da figura B A C A B C Substituindo v k u k u qed Reciprocamente é passível de demonstração se v k u k u então os vetores v u e u são coplanares Três vetores v x y z v x y z e v x y z são coplanares se um deles for combinação linear dos outros dois lpso facto o seu determinante deve ser nulo Exemplo Os vetores u 2 3 5 v 3 0 1 e w 7 6 9 são coplanares combinação linear b Coplanaridade de vetores representados por triplas 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 u1 u1 u2 u2 v B A C x y z x y z x y z 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 13 2 SUGESTÃO w k u k v então 2 6 6 k 2 0 0 k 1 1 1 1 2 1 2 u 7 3u 3 v 2 1 Segue sempre quem te dá pouco e não quem muito te promete SUGESTÃO Provérbio chinês Calcular sabendose coplanares os vetores a u 1 3 0 v 2 1 4 e w 3 4 a b u ai 3j v aj k e w i j k Resp a 4 b Provar que os pontos A 4 5 1 B 4 4 4 C 0 1 1 e D 3 9 4 são coplanares O determinante das coordenadas dos vetores B A C A e D A é nulo Dados u 2i v i j k e w 2i 6j 6k exprimir w como combinação linear de u e v Resp w 4u 6v Sendo u 0 2 1 u 0 1 3 e v 0 3 0 exprimir v como combinação linear de u e u Resp Exprimir w 2 6 2 como combinação linear de u 2 0 0 e v 1 1 1 Resp impossível OBS De fato os vetores u v e w não são coplanares a 1 2 1 2 01 02 03 04 05 Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Ou seja se e somente se v for de u e u sendo k e k escalares Demonstração Sejam v u u vetores coplanares B A a imagem geométrica do vetor v Pela ori gem A conduzimos uma para lela ao vetor u e pela extremi dade B uma paralela a u C é o ponto de intersecção de tais paralelas Então C A k u B C k u Da figura B A C A B C Substituindo v k u k u qed Reciprocamente é passível de demonstração se v k u k u então os vetores v u e u são coplanares Três vetores v x y z v x y z e v x y z são coplanares se um deles for combinação linear dos outros dois lpso facto o seu determinante deve ser nulo Exemplo Os vetores u 2 3 5 v 3 0 1 e w 7 6 9 são coplanares combinação linear b Coplanaridade de vetores representados por triplas 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 u1 u1 u2 u2 v B A C x y z x y z x y z 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 13 2 SUGESTÃO w k u k v então 2 6 6 k 2 0 0 k 1 1 1 1 2 1 2 u 7 3u 3 v 2 1 ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA 06 Considere a figura e expresse P B como combinagao linear de ABeCB 2 1 Resp PB CBAB 3 3 SUGESTAO PA2CP onde PAPBAB e CPCBPB 07 Sendo Po ponto médio do lado BC do triangulo ABC conforme a figura exprimir P A como combinagao linear de B AeC A 1 1 RespP A B AC A 2 2 13 COMBINAGAO LINEAR DE 4 VETORES Teorema Sejam 3 vetores do espaco tridimensional u u U NAO nulos e nao coplanares entao qualquer vetor v pode ser expresso como combi nacao linear de u u e U Vv ku te kU ts ku ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 06 07 13 COMBINAÇÃO LINEAR DE 4 VETORES Considere a figura e expresse P B como combinação linear de A B e C B P A 2C P onde P A P B A B e C P C B P B Sendo P o pontomédiodoladoBCdotriânguloABCconforme a figura exprimir P A como combinação linear de B A e C A Sejam 3 vetores do espaço tridimensional u u e u não nulos e não coplanares então qualquer vetor v pode ser expresso como combi nação linear de SUGESTÃO Teorema 1 2 3 u u e u 1 2 3 Demonstração Fixemos no E um ponto A e tracemos o plano paralelamente a u e u e passante por A A imagem geométrica do vetor v é B A Por B conduzimos uma paralela ao vetor u interceptando no ponto C Do triângulo ABC B A C A B C 1 Como C A é coplanar a u e a u C A k u k u 2 Como B C é paralelo a u B C k u 3 Substituindo 2 e 3 em 1 v k u k u k u cqd 3 α α 1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 B 3 A 1 B 3 C 2 RespP B A 2C 1 A 2B 1 Resp P A A B P C B A P C v u1 u3 u2 u3 α A C B Exercícios Que o jovem de hoje se transforme em locomotiva e não em vagões em águias e não em ovelhas No paralelepípedo expressar F A como combinação linear de C D D A e E B Resp F A C D D A E B 01 B C D F G H E A v k u k u k u 1 1 2 2 3 3 ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA 02 Sendo P o vértice de uma piramide cuja base é 0 para lelogramo ABCD exprimir D P como combinagao linear de A P B P eCP Resp DPAPCP BP SUGESTAO Facaa figura onde DACB ou DPAPCPBP 03 No tetraedro OABC P 0 ponto médio de BC Exprimir P A como combinagao linear de A O BOeCO Cc Pp Resp 1 1 PA 3 B05C0AO oO B A 14 ANGULO DE DOIS VETORES O Angulo 0 6 180 de dois vetores U e V 6 0 Angulo formado entre suas direcdes levandose em consideracao os sentidos de vev Exemplos 5 Vv v A o090 U 900180 u Vv u v 9 90 u 90 u e v sao ortogonais u e v sao equiversos ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 02 03 14 ÂNGULO DE DOIS VETORES Sendo P o vértice de uma pirâmide cuja base é o para lelogramo ABCD exprimir D P como combinação linear de A P B P e C P Resp D P A P C P B P Faça a figura onde D A C B ou D P A P C P B P No tetraedro OABC P é o ponto médio de Exprimir P A como combinação linear de A O B O e C O Resp O ângulo 0º 180 de dois vetores u e v é o ângulo formado entre suas direções levandose emconsideração os sentidos de u e v Exemplos SUGESTÃO θ º BC O A O 2C 1 O 2B 1 A P A B C O P v u 0º 90º θ v u 90º 180º θ v u θ 90º u e v são ortogonais θ 0º u e v são equiversos v u θ 180º u e v são contraversos u θ v u θ 0º 90º θ v 15 MULTIPLICAÇÃO INTERNA OU ESCALAR a Símbolo b Definição c Sinal do produto interno u v A notação acima é devida ao físico norteamericano J W Gibbs 1839 1903 Representase também u x v notação em desuso O produto interno ou escalar de dois vetores u e v é o número escalar tal que Onde é a medida do ângulo formado entre os veto res u e v A operação de multiplicação escalar foi criada por Grassmann u v 0 indica que cos 0 o que ocorre quando é ângulo agu do Se u v 0 então é ângulo obtuso OBSERVAÇÃO OBSERVAÇÃO 0º 180º θ θ θ θ u v u v cos θ h Propriedades do produto escalar I Comutativa u v v u II Associativa emrelação à multiplicação por umescalar k III Distributiva emrelação à adição de vetores Seja u o versor do vetor u A última igualdade não se altera se a multiplicarmos por u A A igualdade persiste com u ou Se o ângulo entre u e v for agudo a medida algébrica da projeção será positiva Se obtuso negativa Exemplo Dados u 3 e v 2 e uv 60 achar a da projeção do vetor v sobre u B u v cos θ o medida ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi d Nulidade do produto escalar eMódulo de um vetor f Ângulo de dois vetores g Interpretação geométrica do produto escalar medida algébrica u v 0 se I um dos vetores for nulo II os dois vetores forem ortogonais pois cos 90º 0 O módulo de um vetor u pode ser calculado através do produto interno pois u u u u cos 0 Donde u u u u u u O cálculo do ângulo entre dois vetores se faz de forma trivial isolandose o cos na fórmula do produto escalar Na figura AB é a da projeção do vetor v sobre a direção do vetor u Em símbolos Do triângulo retângulo ABB º AB projuv AB AB cos v cos 2 θ θ θ v u u A A θ B B v u u 60º u v u v cos θ u v u projuv Resolução u v u v cos 60 3 2 3 o projuv u v 3 u 3 k u v ku v u kv u v w u v u w u u 2 1 projuv u v u h Propriedades do produto escalar I Comutativa u v v u II Associativa em relação à multiplicação por um escalar k III Distributiva em relação à adição de vetores Seja u o versor do vetor u A última igualdade não se altera se a multiplicarmos por u A A igualdade persiste com u ou Se o ângulo entre u e v for agudo a medida algébrica da projeção será positiva Se obtuso negativa Exemplo Dados u 3 e v 2 e uv 60 achar a da projeção do vetor v sobre u B u v cos θ o medida ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi d Nulidade do produto escalar eMódulo de umvetor f Ângulo de dois vetores g Interpretação geométrica do produto escalar medida algébrica u v 0 se I umdosvetoresfornulo II os dois vetores forem ortogonais pois cos 90º 0 O módulo de um vetor u pode ser calculado através do produto interno pois u u u u cos 0 Donde u u u u u u O cálculo do ângulo entre dois vetores se faz de forma trivial isolandose o cos na fórmula do produto escalar Na figura AB é a da projeção do vetor v sobre a direção do vetor u Em símbolos Do triângulo retângulo ABB º AB projuv AB AB cos v cos 2 θ θ θ v u u A A θ B B v u u 60º u v u v cos θ u v u projuv Resolução u v u v cos 60 3 2 3 o projuv u v 3 u 3 k u v ku v u kv u v w u v u w u u 2 1 projuv u v u Demonstração Na figura v B A e w C B e por conseqüên cia v w C A Os pontos A B e C são as projeções ortogonais de A B e C sobre uma reta paralela ao vetor u Pelo teorema de Carnot A C AB BC ou projuAC projuAB projuBC ou ainda projuv w projuv projuw Multiplicando os dois membros por u temse u projuv w u projuv u projuw igualdade que pela interpretação geométrica do produto interno pode ser escrita u v w u v u w qed Exemplo Sendo u 4 v 5 e uv 120 calcular 1 u v Resolução Resp u v o ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi u C C u w v A B A B 2 vers u v Resolução v u vers u v 120º Exercícios Sem liberdade o ser humano não se educa Sem autoridade não se educa para a liberdade Jean Piaget 1896 1980 educador e epistemologista suíço Calcular u v e o versor de u v sabendose que u 4 v 6 e uv 60 Resp Sendo u 2 v 3 w 4 uv 90 e vw 30 calcular OBS u v e w são coplanares a u v Resp b vers u v Resp c u v u v Resp 5 d u v w Resp O O O 01 02 2 7 7 e u v 2 13 13 v u 12 3 21 u v u v u v u u u v v u v v u v 2 u v cos 4 5 24 5 cos 120 21 2 2 2 2 2 O θ 21 21 vers u v u v u v u v Demonstração Na figura v B A e w C B e por conseqüên cia v w C A Os pontos A B e C são as projeções ortogonais de A B e C sobre uma reta paralela ao vetor u Pelo teorema de Carnot A C AB BC ou projuAC projuAB projuBC ou ainda projuv w projuv projuw Multiplicando os dois membros por u temse u projuv w u projuv u projuw igualdade que pela interpretação geométrica do produto interno pode ser escrita u v w u v u w qed Exemplo Sendo u 4 v 5 e uv 120 calcular 1 u v Resolução Resp u v o ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi u C C u w v A B A B 2 vers u v Resolução v u vers u v 120º Exercícios Sem liberdade o ser humano não se educa Sem autoridade não se educa para a liberdade Jean Piaget 1896 1980 educador e epistemologista suíço Calcular u v e o versor de u v sabendose que u 4 v 6 e uv 60 Resp Sendo u 2 v 3 w 4 uv 90 e vw 30 calcular OBS u v e w são coplanares a u v Resp b vers u v Resp c u v u v Resp 5 d u v w Resp O O O 01 02 2 7 7 e u v 2 13 13 v u 12 3 21 u v u v u v u u u v v u v v u v 2 u v cos 4 5 24 5 cos 120 21 2 2 2 2 2 O θ 21 21 vers u v u v u v u v e o vetor w como combinação linear de u e v Resp w u v w k u k v 1 multiplique escalarmente por u 2 multiplique escalarmente por v Determinar o ângulo uv sabendose que u v w 0 u 2 v 3 e w 4 Resp uv arc cos u v w ou u v u v w w Provar a lei dos cosenos c a b 2ab cos Seja um paralelogramo construído sobre u e v Determinar o ângulo entre as diagonais do paralelogramo Dados u v 1 e uv Resp arc cos As diagonais são u v e u v Então seu produto interno é u v u v u v u v cos SUGESTÃO SUGESTÃO SUGESTÃO SUGESTÃO 1 2 2 2 2 θ θ θ θ 03 04 05 06 07 08 09 10 Calcular o ângulo entre os vetores a 2b c e a b 2c sabendose que a b c 1 e que a b e c são mutuamente ortogo nais Resp Sendo u v e w mutuamente ortogonais demonstrar que a u v u v b u v w u v w Na figura calcular o ângulo entre os vetores b e c sendo a e b Resp Como c a b faça o produto escalar entre b e a b Na figura estão representadas as imagens geométricas dos vetores u v e w Sendo u v 2 e w 4 escrever w como combina ção linear de u e v Resp w 2u v Sabendose que os vetores u v e w formam dois a dois ângu los de 60º e tais que u 4 v 2 e w 1 Achar o módulo do vetor s u v w Resp s 2 2 2 2 2 2 2 θ SUGESTÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi a b c θ 3 π 6 5π a b c 60º w v u 120º 120º 120º c a b c c a b a b c a b 2a b c a b 2 a b cos 2 2 2 2 2 2 θ 3 3 2 4 1 7 7 2 3 6 π SUGESTÃO Desenvolva o produto interno s s u v w u v w 2 2 2 35 e o vetor w como combinação linear de u e v Resp w u v w k u k v 1 multiplique escalarmente por u 2multiplique escalarmente por v Determinar o ângulo uv sabendose que u v w 0 u 2 v 3 e w 4 Resp uv arc cos u v w ou u v u v w w Provar a lei dos cosenos c a b 2ab cos Seja um paralelogramo construído sobre u e v Determinar o ângulo entre as diagonais do paralelogramo Dados u v 1 e uv Resp arc cos As diagonais são u v e u v Então seu produto interno é u v u v u v u v cos SUGESTÃO SUGESTÃO SUGESTÃO SUGESTÃO 1 2 2 2 2 θ θ θ θ 03 04 05 06 07 08 09 10 Calcular o ângulo entre os vetores a 2b c e a b 2c sabendose que a b c 1 e que a b e c são mutuamente ortogo nais Resp Sendo u v e w mutuamente ortogonais demonstrar que a u v u v b u v w u v w Na figura calcular o ângulo entre os vetores b e c sendo a e b Resp Como c a b faça o produto escalar entre b e a b Na figura estão representadas as imagens geométricas dos vetores u v e w Sendo u v 2 e w 4 escrever w como combina ção linear de u e v Resp w 2u v Sabendose que os vetores u v e w formam dois a dois ângu los de 60º e tais que u 4 v 2 e w 1 Achar o módulo do vetor s u v w Resp s 2 2 2 2 2 2 2 θ SUGESTÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi a b c θ 3 π 6 5π a b c 60º w v u 120º 120º 120º c a b c c a b a b c a b 2a b c a b 2 a b cos 2 2 2 2 2 2 θ 3 3 2 4 1 7 7 2 3 6 π SUGESTÃO Desenvolva o produto interno s s u v w u v w 2 2 2 35 16 EXPRESSÃO CARTESIANA DO PRODUTO ESCALAR De extraordinária importância é a expressão cartesiana de u v Num sistema cartesiano ortogonal são conhecidos os vetores u e v por suas expressões cartesianas No entanto i i j j k k i j k 1 i j i k j k 0 Donde u v x x y y z z que a do produto escalar Desta também se pinça a condição de de u e v u v e também o de um vetor u u u x y z Geometricamente o módulo é a medida da diagonal de um para lelepípedo reto Dedução é expressão cartesiana ortogonalidade módulo 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x x y y z z 0 1 2 1 2 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi u x i y j z k v x i y j z k 1 1 1 2 2 2 u v x i y j z k x i y j z k x x i i x y i j x z i k x y i j y y j j y z j k x z i k y z j k z z k k 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 10 3 2 3 2 30 4 30 4 1 2 3 4 10 16 EXPRESSÃO CARTESIANA DO PRODUTO ESCALAR De extraordinária importância é a expressão cartesiana de u v Num sistema cartesiano ortogonal são conhecidos os vetores u e v por suas expressões cartesianas No entanto i i j j k k i j k 1 i j i k j k 0 Donde u v x x y y z z que a do produto escalar Desta também se pinça a condição de de u e v u v e também o de um vetor u u u x y z Geometricamente o módulo é a medida da diagonal de um para lelepípedo reto Dedução é expressão cartesiana ortogonalidade módulo 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x x y y z z 0 1 2 1 2 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi u x i y j z k v x i y j z k 1 1 1 2 2 2 u v x i y j z k x i y j z k x x i i x y i j x z i k x y i j y y j j y z j k x z i k y z j k z z k k 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 10 3 2 3 2 30 4 30 4 1 2 3 4 10 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios 01 02 03 04 05 Calcular os módulos e o produto escalar dos vetores u 3i 4j e v i j k Resp u 5 v 3 lndicar quais vetores são unitários u 1 1 1 v w 0 0 1 Resp v e w são unitários Determinar m sabendose ortogonais os vetores u 3i mj k e v i j k Resp Sendo u i 2j k e v i j achar a a medida do ângulo entre os vetores u e v Resp 150 b a medida da projeção do vetor v sobre o vetor u Resp Sabendose que u v e w são coplanares e u 2j k v j 3k e w 3j exprimir w como combinação linear de u e v Resp 2 m uc 2 6 06 07 08 09 10 11 12 Achar o ângulo entre os vetores u 10 5 0 e v 1 2 3 Resp Provar que ABC é triângulo retângulo sendo A 3 2 8 B 0 0 2 e C 3 5 10 Demonstrar vetorialmente a fórmula da distância entre os pontos Resp P P x x i y y j z z k então d P P Dados u 2i k e v 2i j calcular o vers 2u v Resp Os vetores u ai j e v 2i j 2k formam um ângulo de 45º Achar os valores de a Resp 1 e 7 Os vetores u e v são paralelos Calcular o vetor v conhecen dose u 2i j k e u v 3 Resp São ortogonais os vetores u 2 4 1 e v 1 0 2 Resp Sim θ SUGESTÃO 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 π θ x y z x y z e P P 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 z z y y x x d u v 1 7 2 2 2 0 2 2 7 v 3 7 u 9 w 3 k 2 3 j 1 3 i 2 2 k 1 2 j 1 i v ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios 01 02 03 04 05 Calcular os módulos e o produto escalar dos vetores u 3i 4j e v i j k Resp u 5 v 3 lndicar quais vetores são unitários u 1 1 1 v w 0 0 1 Resp v e w são unitários Determinar m sabendose ortogonais os vetores u 3i mj k e v i j k Resp Sendo u i 2j k e v i j achar a a medida do ângulo entre os vetores u e v Resp 150 b a medida da projeção do vetor v sobre o vetor u Resp Sabendose que u v e w são coplanares e u 2j k v j 3k e w 3j exprimir w como combinação linear de u e v Resp 2 m uc 2 6 06 07 08 09 10 11 12 Achar o ângulo entre os vetores u 10 5 0 e v 1 2 3 Resp Provar que ABC é triângulo retângulo sendo A 3 2 8 B 0 0 2 e C 3 5 10 Demonstrar vetorialmente a fórmula da distância entre os pontos Resp P P x x i y y j z z k então d P P Dados u 2i k e v 2i j calcular o vers 2u v Resp Os vetores u ai j e v 2i j 2k formam um ângulo de 45º Achar os valores de a Resp 1 e 7 Os vetores u e v são paralelos Calcular o vetor v conhecen dose u 2i j k e u v 3 Resp São ortogonais os vetores u 2 4 1 e v 1 0 2 Resp Sim θ SUGESTÃO 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 π θ x y z x y z e P P 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 z z y y x x d u v 1 7 2 2 2 0 2 2 7 v 3 7 u 9 w 3 k 2 3 j 1 3 i 2 2 k 1 2 j 1 i v O amor não garante uma boa convivência SUGESTÃO De uma psicoterapeuta na Rádio CBN Provar que as diagonais de um losango são ortogonais entre si Se as diagonais são ortogonais C A B D 0 Mas C A B A C B e B D A D B A Substituindo B A C B A D B A 0 Aplicando a propriedade distributiva B A A D 0 donde B A A D 2 2 21 19 20 Calcular o valor de para que o vetor u v seja ortogonal ao vetor w u onde u 2 1 m v m 2 5 2 e w 2m 8 m Resp 6 e 3 Os pontos A 2 1 2 B 1 2 z e C 1 0 1 são vértices de umtriângulo retângulo com ângulo reto emBCalcular z Resp 1 ou 2 O produto interno dos catetos deve ser nulo Por exemplo B A C B 0 m Série B SUGESTÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 13 14 15 16 17 18 Dado o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B de terminar a medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa Dados A 0 0 2 B 3 2 8 e C 3 5 10 Resp Seja o triângulo de vértices A 0 0 0 B 1 2 1 e C 1 1 2 Pedese o ângulo interno ao vértice A Resp 120º Achar os vetores v x y z tais que 1 v 2 v é ortogonal a u 3 3 0 3 v é ortogonal a w 0 2 1 Resp 1 1 2 Pedese o vetor u x y z sabendose que 1 u é paralelo a v 1 1 2 2 u w 15 onde w 2 1 3 Resp 3 3 6 Sendo u 2a a 2a determinar para que u seja um versor Resp Determinar para que seja de 45º o ângulo entre os vetores u 1 a 0 e j Resp a 1 AB AC a a 2 2 7 3 1 a A B C D 6 O amor não garante uma boa convivência SUGESTÃO De uma psicoterapeuta na Rádio CBN Provar que as diagonais de um losango são ortogonais entre si Se as diagonais são ortogonais C A B D 0 Mas C A B A C B e B D A D B A Substituindo B A C B A D B A 0 Aplicando a propriedade distributiva B A A D 0 donde B A A D 2 2 21 19 20 Calcular o valor de para que o vetor u v seja ortogonal ao vetor w u onde u 2 1 m v m 2 5 2 e w 2m 8 m Resp 6 e 3 Os pontos A 2 1 2 B 1 2 z e C 1 0 1 são vértices de um triângulo retângulo com ângulo reto em BCalcular z Resp 1 ou 2 O produto interno dos catetos deve ser nulo Por exemplo B A C B 0 m Série B SUGESTÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 13 14 15 16 17 18 Dado o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B de terminar a medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa Dados A 0 0 2 B 3 2 8 e C 3 5 10 Resp Seja o triângulo de vértices A 0 0 0 B 1 2 1 e C 1 1 2 Pedese o ângulo interno ao vértice A Resp 120º Achar os vetores v x y z tais que 1 v 2 v é ortogonal a u 3 3 0 3 v é ortogonal a w 0 2 1 Resp 1 1 2 Pedese o vetor u x y z sabendose que 1 u é paralelo a v 1 1 2 2 u w 15 onde w 2 1 3 Resp 3 3 6 Sendo u 2a a 2a determinar para que u seja umversor Resp Determinar para que seja de 45º o ângulo entre os vetores u 1 a 0 e j Resp a 1 AB AC a a 2 2 7 3 1 a A B C D 6 22 23 Demonstrar que num triângulo retângulo qualquer cateto é média geométrica entre sua projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa inteira Na figura a b c Multiplicando escalarmente por b a b b b b c a b cos b b c cos 90 Porém b cos m Então a m b b am Demonstrar que num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa Na figura b m h c n h Multiplicando escalarmente membro a membro Logo h mn SUGESTÃO SUGESTÃO θ θ 2 O 2 2 2 17 MULTIPLICAÇÃO VETORIAL OU EXTERNA a Símbolo b Triedro positivo c Definição terceiro vetor à direção ao sentido aomódulo u x w Os vetores u v w nesta ordem formam um triedro positivo se um observador postado em w e de frente para u e v tem à sua direita o vetor u e à sua esquerda o vetor v Ao repto de convencionar o trie dro positivo a Física utiliza a regra da mão esquerda dispõese o dedo médio na direção e sentido de u o in dicador na direção e sentido de v o polegar indicará a direção e o sentido de w O produto vetorial ou externo de dois vetores u e v não paralelos entre si é um com as seguintes características quanto 1 o vetor u x v é perpendicu lar aos vetores u e v 2 os vetores u v e u x v nesta ordem formam umtriedro positivo 3 u x v u v sen θ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi a b c m θ b m n h c a w v u α w v u v u θ α b c m h n h 0 m n m h n h h h 0 0 22 23 Demonstrar que num triângulo retângulo qualquer cateto é média geométrica entre sua projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa inteira Na figura a b c Multiplicando escalarmente por b a b b b b c a b cos b b c cos 90 Porém b cos m Então a m b b am Demonstrar que num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa Na figura b m h c n h Multiplicando escalarmente membro a membro Logo h mn SUGESTÃO SUGESTÃO θ θ 2 O 2 2 2 17 MULTIPLICAÇÃO VETORIAL OU EXTERNA a Símbolo b Triedro positivo c Definição terceiro vetor à direção ao sentido ao módulo u x w Os vetores u v w nesta ordem formam um triedro positivo se um observador postado em w e de frente para u e v tem à sua direita o vetor u e à sua esquerda o vetor v Ao repto de convencionar o trie dro positivo a Física utiliza a regra da mão esquerda dispõese o dedo médio na direção e sentido de u o in dicador na direção e sentido de v o polegar indicará a direção e o sentido de w O produto vetorial ou externo de dois vetores u e v não paralelos entre si é um com as seguintes características quanto 1 o vetor u x v é perpendicu lar aos vetores u e v 2 os vetores u v e u x v nesta ordem formam um triedro positivo 3 u x v u v sen θ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi a b c m θ b m n h c a w v u α w v u v u θ α b c m h n h 0 m n m h n h h h 0 0 onde é a medida do ângulo entre u e v 1 Como operação autônoma a multiplicação vetorial foi criada por J Gibbs 2 Merecem cuidados u v u v cos verdadeiro u x v u v sen falso u x v 0 se I um dos vetores for nulo II os dois vetores forem paralelos pois o sen 0 quando 0º ou 180º Enfatizemos que para u 0 e v 0 a o produto interno é nulo para u e v ortogonais b o produto externo é nulo para u e v paralelos Face o exposto não é factível o cancelamento do fator comum à u w u v e à u x w u x v I u x v v x u A justificativa é apresentada pela figura onde u x v v x u θ θ θ θ θ θ OBSERVAÇÕES OBSERVAÇÃO d Nulidade do produto externo e Propriedades Anticomutativa ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi v u α j i k j i k u x v w u x v u x w II ku x v ku x v u x kv III A demonstração fica postergada Está condicionada à apresen tação das propriedades do produto misto Associativa Distributiva emrelação à adição de vetores OBSERVAÇÃO i x j k i x k j k x j i k x i j f Multiplicação externa dos versores faltante i j e k Em particular os versores i j e k nesta ordem representam umtriedro positivo Na prática utilize a circunferência para efetuar o produto externo de dois desses versores cujo resultado é o versor de sinal positivo se no sentido antihorário Negativo se no sentido ho rário Exemplos Casos particulares i x i j x j k x k 0 onde é a medida do ângulo entre u e v 1 Como operação autônoma a multiplicação vetorial foi criada por J Gibbs 2Merecem cuidados u v u v cos verdadeiro u x v u v sen falso u x v 0 se I umdosvetoresfornulo II os dois vetores forem paralelos pois o sen 0 quando 0º ou 180º Enfatizemos que para u 0 e v 0 a o produto interno é nulo para u e v ortogonais b o produto externo é nulo para u e v paralelos Face o exposto não é factível o cancelamento do fator comum à u w u v e à u x w u x v I u x v v x u A justificativa é apresentada pela figura onde u x v v x u θ θ θ θ θ θ OBSERVAÇÕES OBSERVAÇÃO d Nulidade do produto externo e Propriedades Anticomutativa ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi v u α j i k j i k u x v w u x v u x w II ku x v ku x v u x kv III A demonstração fica postergada Está condicionada à apresen tação das propriedades do produto misto Associativa Distributiva em relação à adição de vetores OBSERVAÇÃO i x j k i x k j k x j i k x i j f Multiplicação externa dos versores faltante i j e k Em particular os versores i j e k nesta ordem representam um triedro positivo Na prática utilize a circunferência para efetuar o produto externo de dois desses versores cujo resultado é o versor de sinal positivo se no sentido antihorário Negativo se no sentido ho rário Exemplos Casos particulares i x i j x j k x k 0 k 35 3 j 35 5 i 35 1 35 3k 5j i n g Expressão cartesiana do produto vetorial Todo o capítulo de vetores apresenta uma importância assaz grande para a sua vida acadêmica e quiçá profissional Em especial o assunto empauta Dados u x i y j z k e v x i y j z k calcular u x v na base ortogonal i j k Fatorando em relação aos versores i j e k u x v y z y z i x z x z j x y x y k Tal expressão pode ser escrita numa forma mais mnemônica através do determinante 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 Exemplo Sendo u 2i j k e v i j 2k calcular 1 u x v Resolução 2 o vetor unitário ortogonal ao vetor u e a v ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi v n u α Exercícios i j k u x v x y z x y z 1 1 1 2 2 2 i j k u x v 2 1 1 i 5j 3k 1 1 2 u x v x i y j z k x x i y j z k 1 2 2 1 1 2 x x i x i x y i x j x z i x k 1 2 1 2 1 2 0 k j x y j x i y y j x j y z j x k 2 1 1 2 1 2 k 0 i x z k x i y z k x j z z k x k 2 1 2 1 1 2 j i 0 Resolução n vers u x v Onde u x v u x v u x v Então Se o mundo é ruim talvez não seja pela quantidade de maus mas pela mediocridade dos bons Efetuar a i x k x i x j b i x k x k x j x j x j Resp a j b 0 01 35 3 5 1 2 2 2 k 35 3 j 35 5 i 35 1 35 3k 5j i n g Expressão cartesiana do produto vetorial Todo o capítulo de vetores apresenta uma importância assaz grande para a sua vida acadêmica e quiçá profissional Em especial o assunto empauta Dados u x i y j z k e v x i y j z k calcular u x v na base ortogonal i j k Fatorando emrelação aos versores i j e k u x v y z y z i x z x z j x y x y k Tal expressão pode ser escrita numa forma mais mnemônica através do determinante 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 Exemplo Sendo u 2i j k e v i j 2k calcular 1 u x v Resolução 2 o vetor unitário ortogonal ao vetor u e a v ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi v n u α Exercícios i j k u x v x y z x y z 1 1 1 2 2 2 i j k u x v 2 1 1 i 5j 3k 1 1 2 u x v x i y j z k x x i y j z k 1 2 2 1 1 2 x x i x i x y i x j x z i x k 1 2 1 2 1 2 0 k j x y j x i y y j x j y z j x k 2 1 1 2 1 2 k 0 i x z k x i y z k x j z z k x k 2 1 2 1 1 2 j i 0 Resolução n vers u x v Onde u x v u x v u x v Então Se o mundo é ruim talvez não seja pela quantidade de maus mas pela mediocridade dos bons Efetuar a i x k x i x j b i x k x k x j x j x j Resp a j b 0 01 35 3 5 1 2 2 2 07 08 Determinar um vetor concomitantemente perpendicular aos vetores u v e 2v u sendo u i j e v 2i k Resp 3i 3j 6k Representar no triedro positivo i j e k a a 2 j x 3 i Resp b b i x 3k c c 2 j x k ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 02 03 04 05 06 Conhecidos u 2i 3j k e v i j 2k pedese a u x v Resp 7i 3j 5k b v x u Resp 7i 3j 5k c u x v Resp d v x u Resp Determinar o vetor unitário n ortogonal aos vetores u 2 3 1 e v 1 1 2 Resp n Achar o vetor w x y z tal que w 1 0 2 3 e w x 1 0 1 2 3 2 Resp w 3 2 0 Calcular o u conhecendose u x v v 2 e uv 45 Resp 4 O vetor w tem módulo 7 forma um ângulo agudo com o eixo das abscissas e é ortogonal aos vetores u i 2j e v i 4j 3k Pedese w Resp w 6i 3j 2k O 83 83 a b c x O y z a 6k b 3j c 2i 09 10 Calcular o vetor de módulo 18 e simultaneamente ortogonal a u 2 1 0 e a v 2 4 3 Resp 6 12 12 ou 6 12 12 Sendo v 1 1 1 calcular os vetores u x y z que sa tisfaçam as três condições seguintes 1 u seja ortogonal ao eixo x 2 u v 0 3 v x u Resp u 0 3 3 ou u 0 3 3 SUGESTÃO Se u é ortogonal ao eixo x u 0 y z 5 3 1 3 1 5 3 7 2 4 6 3 07 08 Determinar um vetor concomitantemente perpendicular aos vetores u v e 2v u sendo u i j e v 2i k Resp 3i 3j 6k Representar no triedro positivo i j e k a a 2 j x 3 i Resp b b i x 3k c c 2 j x k ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 02 03 04 05 06 Conhecidos u 2i 3j k e v i j 2k pedese a u x v Resp 7i 3j 5k b v x u Resp 7i 3j 5k c u x v Resp d v x u Resp Determinar o vetor unitário n ortogonal aos vetores u 2 3 1 e v 1 1 2 Resp n Achar o vetor w x y z tal que w 1 0 2 3 e w x 1 0 1 2 3 2 Resp w 3 2 0 Calcular o u conhecendose u x v v 2 e uv 45 Resp 4 O vetor w tem módulo 7 forma um ângulo agudo com o eixo das abscissas e é ortogonal aos vetores u i 2j e v i 4j 3k Pedese w Resp w 6i 3j 2k O 83 83 a b c x O y z a 6k b 3j c 2i 09 10 Calcular o vetor de módulo 18 e simultaneamente ortogonal a u 2 1 0 e a v 2 4 3 Resp 6 12 12 ou 6 12 12 Sendo v 1 1 1 calcular os vetores u x y z que sa tisfaçam as três condições seguintes 1 u seja ortogonal ao eixo x 2 u v 0 3 v x u Resp u 0 3 3 ou u 0 3 3 SUGESTÃO Se u é ortogonal ao eixo x u 0 y z 5 3 1 3 1 5 3 7 2 4 6 3 11 12 13 14 Sendo u 5 v 2 e u v 8 Calcular u x v Resp 6 Na figura abaixo obter u v u w v w v x w Resp v w Num hexágono regular a medida de cada lado vale 2 Calcular A B x C B Resp Seja um plano determinado pelos vetores u 2 1 0 e v 0 1 1 Determinar o conjunto de vetores ortogonais a Resp k 1 2 2 α α 18 ÁREA DE UM PARALELOGRAMO E DE UM TRIÂNGULO Tratarseá da interpretação geométrica do produto externo de dois vetores Seja um paralelogramo construído sobre u B A e v D A e h a sua altura Da geometria plana S ABh a Área de um paralelogramo ABCD ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 3 2 w v u A B C D E F P1 P2 P3 P5 v u A B θ h D C Mas AB u h v sen Substituindo S u v sen ou S u x v Ou seja geometricamente o módulo do produto externo de u e v coincide com a área do paralelogramo construído sobre u e v Por diferença de pontos S B A x D A Face o exposto depreendese fa cilmente que a área do triângulo ABC é obtida por S u x v Por diferença de pontos S B A x C A Conhecidos os vértices de um po lígono podemos decompôlo em triân gulos Exemplificando seja um pentá gono de vértices P xyzcom i 1 2 3 4 5 S S S S θ θ ABCD ABCD ABCD ABC ABC i i i i P1P2P3 P1P3P4 P1P4P5 b Área de umtriângulo c Área de polígono 2 1 2 1 v u A B C 11 12 13 14 Sendo u 5 v 2 e u v 8 Calcular u x v Resp 6 Na figura abaixo obter u v u w v w v x w Resp v w Num hexágono regular a medida de cada lado vale 2 Calcular A B x C B Resp Seja um plano determinado pelos vetores u 2 1 0 e v 0 1 1 Determinar o conjunto de vetores ortogonais a Resp k 1 2 2 α α 18 ÁREA DE UM PARALELOGRAMO E DE UM TRIÂNGULO Tratarseá da interpretação geométrica do produto externo de dois vetores Seja um paralelogramo construído sobre u B A e v D A e h a sua altura Da geometria plana S ABh a Área de umparalelogramo ABCD ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 3 2 w v u A B C D E F P1 P2 P3 P5 v u A B θ h D C Mas AB u h v sen Substituindo S u v sen ou S u x v Ou seja geometricamente o módulo do produto externo de u e v coincide com a área do paralelogramo construído sobre u e v Por diferença de pontos S B A x D A Face o exposto depreendese fa cilmente que a área do triângulo ABC é obtida por S u x v Por diferença de pontos S B A x C A Conhecidos os vértices de um po lígono podemos decompôlo em triân gulos Exemplificando seja um pentá gono de vértices P xyzcom i 1 2 3 4 5 S S S S θ θ ABCD ABCD ABCD ABC ABC i i i i P1P2P3 P1P3P4 P1P4P5 b Área de umtriângulo c Área de polígono 2 1 2 1 v u A B C ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 06 07 08 09 Determinar a área do paralelogramo construído sobre u e v cujas diagonais são u v 0 3 5 e u v 2 1 1 Resp No triângulo de vértices A 0 0 2 B 3 2 8 e C 3 5 10 calcular a a medida dos lados a b c Resp b a medida dos ângulos A B C Resp 45º 90º 45º c a área do triângulo Resp Os pontos 3 1 1 1 2 3 2 1 0 são os pontos médios dos lados do triângulo ABC Qual a área do triângulo ABC Resp Calcular a altura relativa ao vértice B do triângulo de vértices A 2 4 0 B 0 2 4 e C 6 0 2 Resp Exercícios Não se mede a eficiência de um administrador se problemas existem mas avaliando se esses problemas ainda são os mesmos John Foster Dulles 1888 1959 secretário de Estado norteamericano Sendo u 4 v 3 e uv 150 calcular a a área do triângulo construído sobre u e v b a área do paralelogramo construído sobre u v e 2u 3v Resp a 3 ua b 30 ua Pedese a área o paralelogramo construído sobre u 2v e u v sendo u 4 v 3 e uv 120 Resp Provar que a área do paralelogramo construído sobre a b e a b é o dobro da área do paralelogramo construído sobre a e b Calcular a área do triângulo construído sobre u 2i j k e v i j k Resp A área de um paralelogramo construído sobre u 1 1 a e v 1 1 0 é igual a Pedese o valor de a Resp a 3 O O 01 02 03 04 05 au 3 18 au 2 2 au 35 7 27 7 au 2 49 au 66 2 3 10 2 hB SUGESTÃO Área do paralelogramo sobre a b e a b S a b x a b Aplicando a propriedade distributiva S 2 b x a cqd SUGESTÃO Resolva o sistema u v 0 3 5 u v 2 1 1 obtendo u e v SUGESTÃO S ABC 2 ACh B 22 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 06 07 08 09 Determinar a área do paralelogramo construído sobre u e v cujas diagonais são u v 0 3 5 e u v 2 1 1 Resp No triângulo de vértices A 0 0 2 B 3 2 8 e C 3 5 10 calcular a a medida dos lados a b c Resp b a medida dos ângulos A B C Resp 45º 90º 45º c a área do triângulo Resp Os pontos 3 1 1 1 2 3 2 1 0 são os pontos médios dos lados do triângulo ABC Qual a área do triângulo ABC Resp Calcular a altura relativa ao vértice B do triângulo de vértices A 2 4 0 B 0 2 4 e C 6 0 2 Resp Exercícios Não se mede a eficiência de um administrador se problemas existem mas avaliando se esses problemas ainda são os mesmos John Foster Dulles 1888 1959 secretário de Estado norteamericano Sendo u 4 v 3 e uv 150 calcular a a área do triângulo construído sobre u e v b a área do paralelogramo construído sobre u v e 2u 3v Resp a 3 ua b 30 ua Pedese a área o paralelogramo construído sobre u 2v e u v sendo u 4 v 3 e uv 120 Resp Provar que a área do paralelogramo construído sobre a b e a b é o dobro da área do paralelogramo construído sobre a e b Calcular a área do triângulo construído sobre u 2i j k e v i j k Resp A área de um paralelogramo construído sobre u 1 1 a e v 1 1 0 é igual a Pedese o valor de a Resp a 3 O O 01 02 03 04 05 au 3 18 au 2 2 au 35 7 27 7 au 2 49 au 66 2 3 10 2 hB SUGESTÃO Área do paralelogramo sobre a b e a b S a b x a b Aplicando a propriedade distributiva S 2 b x a cqd SUGESTÃO Resolva o sistema u v 0 3 5 u v 2 1 1 obtendo u e v SUGESTÃO S ABC 2 ACh B 22 c Interpretação geométrica do produtomisto Convenção de sinal Os três vetores não coplanares u v e w representam arestas de umparalelepípedo Sabese da geometria es pacial que o volume do para lelepípedo é o produto da área da base pela altura Mas Como é o ângulo formado entre o vetor u x v e o vetor w temse acima a fórmula do produto interno entre os vetores u x v e w Geometricamente o produto misto u x v w representa o volume de umparalelepípedo de arestas u v e w O volume do paralelepípedo pode estar afetado pelo sinal positivo ou negativo conforme o ângulo seja agudo ou obtuso respectivamente θ θ cqd c sen C b senB a A sen a sen A b senB c C sen 19 MULTIPLICAÇÃO MISTA a Definição escalar b Nulidade do produto misto Dados os vetores u v e w o produto misto destes três vetores é o representado por u x v w Quanto à ordem das operações realizase inicialmente o produto externo e em seguida o produto interno ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 10 11 Demonstrar a lei dos senos Achar a área do quadrilátero A 1 4 0 B 5 1 0 C 0 1 0 e D 4 2 0 Resp 24 ua SUGESTÃO a b c B C A V p h A B θ D E E C u w v u x v w 0 se I pelo menos um dos vetores for nulo II u for paralelo a v pois u x v 0 III os três vetores forem coplanares S u x v h w cos do triâng retâng AEE Substituindo V u x v w cos ABCD p θ θ V u x v w p 2S a x b a x c b x c ABC ou a b sen C a c sen B b c sen A a b c ou Justificativa I Se 0 90 cos V II Se 90 180 cos V O O O O θ θ θ θ p p V S h p ABCD Jacir J Venturi c Interpretagao geométrica do produto misto Os trés vetores nao coplanares U V e W representam arestas de um paralelepipedo uxv E Bo ecrcteereeeeeesesennes Sabese da geometria es b eitasiesesreeeeeeeeezee pacial que o volume do para o a Co lelepipedo vy 0 produto da h r 2 D v area da base bela altura woreeeeeeeceeees ae 5 Vp Sascoh Mas Sasco u X Vv h Wwcos 0 do triang retang AEE Substituindo Vuxvwcos 6 Como 0 o angulo formado entre o vetor Ux Veo vetor W temse acima a formula do produto interno entre os vetores Ux VeW VUxVW Geometricamente o produto misto U x V W representa o volume de um paralelepipedo de arestas U Ve W Convengao de sinal O volume do paralelepipedo pode estar afetado pelo sinal positivo ou negativo conforme o angulo 6 seja agudo ou obtuso respectivamente Justificativa 1 Se 0690cos0OV8 Il Se 90 8 180 cos8O V0 permuta não ciclicamente seus fatores Exemplos não se altera o produto misto quando se permuta os símbolos da multiplicação interna e externa Exemplo Consideremos os vetores por suas expressões cartesianas u x i y j z k v w 1º Passo u x v x i y j z k x x i y j z k y z y z i x z x z j x y x y k 2º passo Multiplicamos escalarmente esta última expressão pelo vetor w u x v w x y z y z y x z x z z x y x y A memorização de tal expressão apresenta uma certa dificuldade Por isso fazse mister sob o aspecto mnemônico que se empregue um determinante dada a coincidência de resultados II Permuta dos símbolos f Expressão cartesiana do produtomisto 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 x i y j z k x i y j z k Procuramos a expressão cartesiana de u x v w 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 2 1 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 6 1 p t 6 V 1 V 6 u x v w 1 Vt A D A A x C 6 B 1 Vt v u w u x v θ v p u x v v p θ w v u v u w α A B C D v u w u x v w v x w u w x u v v x u w u x w v u x v w u v x w OBSERVAÇÃO Em particular se O volume do tetraedro V eqüivale a do volume de um paralelepípedo V construído sobre os mes mos vetores u v e w Então Por diferença de pontos a permuta circular ou cíclica dos fatores não altera o produto misto Por outro lado o produto misto troca de sinal quando se d Volume do tetraedro e Propriedades do produto misto I Cíclica t p a 0 V b 180 V c 90 V 0 θ θ θ O O O p p p permuta não ciclicamente seus fatores Exemplos não se altera o produto misto quando se permuta os símbolos da multiplicação interna e externa Exemplo Consideremos os vetores por suas expressões cartesianas u x i y j z k v w 1º Passo u x v x i y j z k x x i y j z k y z y z i x z x z j x y x y k 2º passo Multiplicamos escalarmente esta última expressão pelo vetor w u x v w x y z y z y x z x z z x y x y A memorização de tal expressão apresenta uma certa dificuldade Por isso fazse mister sob o aspecto mnemônico que se empregue um determinante dada a coincidência de resultados II Permuta dos símbolos f Expressão cartesiana do produto misto 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 x i y j z k x i y j z k Procuramos a expressão cartesiana de u x v w 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 2 1 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 6 1 p t 6 V 1 V 6 u x v w 1 Vt A D A A x C 6 B 1 Vt v u w u x v θ v p u x v v p θ w v u v u w α A B C D v u w u x v w v x w u w x u v v x u w u x w v u x v w u v x w OBSERVAÇÃO Emparticular se O volume do tetraedro V eqüivale a do volume de um paralelepípedo V construído sobre os mes mos vetores u v e w Então Por diferença de pontos a permuta circular ou cíclica dos fatores não altera o produto misto Por outro lado o produto misto troca de sinal quando se d Volume do tetraedro e Propriedades do produtomisto I Cíclica t p a 0 V b 180 V c 90 V 0 θ θ θ O O O p p p Planeje seu progresso cuidadosamente cada hora cada dia cada mês A ação organizada unida ao entusiasmo produz uma força irresistível P MEYER Dados os vetores u 3i 2j 6k v 3i 5j 8k e w i k calcular a a área do paralelogramo construído sobre u e v b o volume do paralelepípedo construído sobre u v e w c a altura em valor absoluto do paralelepípedo d o volume do tetraedro construído sobre u v e w Calcular o volume do tetraedro de arestas u 3i 2j 6k v 2i j e w i 3j 4k Resp Determinar x para que o ponto A pertença ao plano BCD Dados A 4 5 x B 4 4 4 C 0 1 1 D 3 9 4 Resp x 1 01 02 03 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi expressão cartesiana do produto misto 3 19 0 A D A A x C 6B 1 Faça V t Exercícios 04 05 06 07 Os vetores i 2j 3k 2i j k e 3i j 4k são coplanares Resp Sim Calcular o volume do paralelepípedo construído sobre i j k Resp 1 uv Na figura abaixo estão representados os vetores v v e v Achar o produtomistov v v 2v x v 2v Resp 6 Calcular o ângulo da diagonal do cubo com a diagonal de uma face de mesma origem Resp Sejam A O i j e P O i j k os vetores que dão as direções das diagonais Faça o produto interno 1 2 3 1 2 1 2 3 1 z O 1 1 1 y x v1 v2 v3 x A 1 O 1 z 1 y P θ 35º ou 3 6 cos θ θ u x v w SUGESTÃO 6 7 7 d 1 c 7 49 b a Resp SUGESTÃO x x x 1 2 3 y y y 1 2 3 z z z 1 2 3 Jacir J Venturi 04 Os vetores i 2j 3k 2ijk e 3ij 4k sao coplanares Resp Sim 05 Calcular o volume do paralelepipedo construido sobrei j K Resp 1uv 06 Na figura abaixo estao representados os vetores VV V3 Achar 0 produto misto V V V 2V X V 2V ZA fheeeeeeeeedep eng Resp 6 of J 3 Vv OL ferrrrrnt he Be De y oo IY 1 x 07 Calcular o Angulo da diagonal do cubo com a diagonal de uma face de mesma origem Resp cos 0 8 ou 035 Zz 1 SUGESTAO a wo Sejam A 0 7j e onda P OijK os vetores que 0 A af dao as diregdes das diagonais toe Faga o produto interno 1 A x ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 70º 3 ou 1 cos θ θ w v u α u x v u x v x w Série B Relembrando u v resulta um escalar u x v resulta um vetor u x v w resulta um escalar u x v x w resulta um vetor 08 09 Determinar o ângulo agudo formado por duas diagonais de um cubo Resp Demonstrar a propriedade distributiva do produto externo u x v w u x v u x w xx 20 DUPLA MULTIPLICAÇÃO VETORIAL a Definição Dados os vetores u v e w chamase duplo produto vetorial ou du plo produto externo ao vetor u x v x w ou ao vetor u x v x w Estes dois vetores na maioria esmagadora das vezes são distintos não se verificando a propriedade associativa É imprescindível portanto o uso dos parênte ses OBSERVAÇÃO b Representação do duplo produto externo Sem muita dificuldade po demos visualizar o vetor u x v x w Na figura represen tase u e v coplanarmente a α w não pertence ao plano u x v é um vetor ortogonal a efetuandose o produto exter no entre u x v e w temse um Em particular u x v x w u x v x w só se verifica se v for ortogo nal a u w ou u paralelo a w α α 121 vetor ortogonal a eles e em decorrência coplanar a lpso facto os veto res u v e u x v x w são coplanaresDonde se infere que o vetor u x v x w pode ser expresso como combinação linear de u e v Assim u x v x w k u k v α 1 2 Sobre todas as coisas há 3 pontos de vista o teu o meu e o correto SUGESTÃO PROV CHINÊS Sejam os vetores u 3i 2j 6k v 2i j e w i 3j 4k achar a u v Resp 8 b u x v Resp c u x v w Resp 38 d u x v x w Resp 51i 25j 6k e u x v x w Resp 62i 3j 32k a u x v x w Resp b u wv v wu Resp 2i 6j 6k c o vetor u x v x w como combinação linear de u e v Resp u x v x w 4u 6v Quanto ao item c faça u x v x w k u k v Dados os vetores u 2 0 0 v 1 1 1 e w 3 2 1 calcular 1 2 01 02 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 70º 3 ou 1 cos θ θ w v u α u x v u x v x w 181 19 2 Exercícios Série B Relembrando u v resulta um escalar u x v resulta um vetor u x v w resulta um escalar u x v x w resulta um vetor 08 09 Determinar o ângulo agudo formado por duas diagonais de um cubo Resp Demonstrar a propriedade distributiva do produto externo u x v w u x v u x w 20 DUPLAMULTIPLICAÇÃO VETORIAL a Definição vetor vetor b Representação do duplo produto externo Dados os vetores u v e w chamase duplo produto vetorial ou du plo produto externo ao u x v x w ou ao u x v x w Estes dois vetores na maioria esmagadora das vezes são distintos não se verificando a propriedade associativa É imprescindível portanto o uso dos parênte ses Semmuita dificuldade po demos visualizar o vetor u x v x w Na figura represen tase u e v coplanarmente a w não pertence ao plano u x v é umvetor ortogonal a efetuandose o produto exter no entre u x v e w temse um OBSERVAÇÃO α α α ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 03 04 Considerando os vetores u 1 2 3 v 1 1 2 a 2 4 3 e b 2 1 0 calcular a u x v a x b Resp 9 b u x v x a x b Resp 48 3 21 Demonstrar os teoremas a u x v x w u wv v wu b u x v x w u wv u vw Série B j i v k u w x y z Às pessoas famosas sempre se acrescem fatos pitorescos ou hábitos excêntricos Quanto à história abaixo se non é vero é bene trovato como dizem apro priadamente os italianos Contase que Albert Einstein 18791955 físico alemão naturalizado americano visitava diversas cidades dos EUA ministrando palestras O conspícuo físico era sistemático não variava e tam pouco aprofundava o tema da exposição teoria dos quanta e da relatividade fórmula E mc e concluía com exortações pacifistas Na platéia sempre atento estava seu fiel mo torista Adentrandose à próxima cidade Einstein foi aco metido de forte diarréia Pensou em cancelar a palestra O motorista não se fez de rogado Doutor eles conhecem o senhor Não respon deu o renomado cientista Então posso falar pelo senhor pois já memorizei todos os temas Conhecendo a loquacidade do companheiro Einstein consentiu O motorista engravatado chegou ao local da palestra e rasgou o verbo com todo o entusiasmo No fundo o cientista perplexo a tudo assistia maravilhado com a dicção postura gestual e reprodução genuína de suas palavras Era constantemente ovacio nado e a criatura superava o criador Eis que em meio à platéia alguém levantou o braço O motorista palestrante gelou mas se manteve im perturbável Pois não qual é a pergunta Feita a pergunta o palestrante obviamente des conhecendo a resposta foi enfático Com todo o respeito a sua pergunta se insere no que foi exposto em minha palestra e tão é verdade que convido meu motorista para respondêla Dito isso apon tou para Einstein no fundo da platéia 2 História de uso corrente Texto adaptado pelo autor EINSTEIN E SEU MOTORISTA SUGESTÃO Posicionandose os vetores u v e w conforme a figura u x i v x i y j w x i y j z k 1 2 2 3 3 3 Jacir J Venturi SIMBOLOS E NOTACOES MATEMATICAS Apropriadamente ja se definiu a Matematica como a rainha e a serva de todas as ciéncias E os apanagios de sua majestade so o rigor a Idgica a harmonia e sua linguagem precisa universal e sincopada Sabemos que os gregos antigos promoveram um grande desenvolvimento a Geometria Plana e Espacial mas nao dispu nham de uma notagao algébrica ou de simbologia adequadas Até o século XVI toda a expressao matematica se fazia de uma forma excessivamente verbal ou retdérica Por exemplo em 1591 Viéte para representar a equagao quadra tica 5A2 9A5 0 escrevia em bom latim 5 in A quad et 9 in A planu minus 5 aequatur 0 5 em A quadrado e 9 em A plano menos 5 é igual a zero Além da prolixidade de comunicagao entre os mate maticos havia outras dificuldades pois utilizavamse nota goes diferentes para indicar as mesmas coisas O maior responsavel por uma notagao matematica mais consistente e utilizada até hoje foi Leonhard Euler 17071783 Recordemos as principais fx para indicar fungao de x X somatoria provém da letra grega sigma que corresponde ao nosso S i unidade imaginaria igual a V1 e base do logaritmo neperiano e igual a 27182 log x para indicar o logaritmo decimal de x as letras minusculas a b c para indica rem os lados de um triangulo e as letras maiusculas A B C para os Angulos opostos Aletra x 31415 que havia sido utilizada por William Jones em 1706 teve o uso consagrado por Euler Este nasceu em Basiléia Suiga e recebeu educagao bastante eclética Matematica Medicina Teologia Fisica Astronomia e Linguas Ocidentais e Orientais Foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel Extremamente proficuo insuperavel em produgao matematica Euler escrevia uma média de 800 paginas por ano e publicou mais de 500 livros e artigos Em plena atividade intelectual morreu aos 76 anos sendo que os ultimos 17 anos passou em total cegueira consequéncia de catarata Mesmo assim continuou ditando aos seus filhos eram 13 Euler se ocupou com praticamente todos os ramos entao conhecidos da Matematica a ponto de merecer do francés Francois Arago 0 seguinte comentario Euler calcula va sem qualquer esforgo aparente como os homens respiram e as aguias se sustentam no ar ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA Em 1748 publica sua principal obra com o titulo latino Introductio in Analysis infinitorum Introdugao a Andlise Infinita considerada um dos marcos mais importan tes da Analise como disciplina sistematizada Destarte Euler recebeu a alcunha de Analise Encarnada A implementagao dos simbolos mais adequados foi acontecendo naturalmente ao longo das décadas ou dos séculos sob a égide da praticidade e do pragmatismo E evidente porém que pouco se pode afirmar com precisao nesta evolugao Alguns exemplos SiMBOLO DE O primeiro a empregar o simbolo de para a adigao em expressoes aritméticas e algébricas foi o holandés V Hoecke em 1514 Ha historiadores porém que creditam tal mérito a Stifel 14861567 Uma explicagao razoavel é que até entao a adigao de dois numeros por exemplo 3 2 era representada por 3 et 2 Com 0 passar dos anos a conjungao latina et que significa e foi sincopada para t donde se originou o sinal de SiMBOLODE Pode ter sido fruto da evolugao abaixo exposta conforme se observa nos escritos dos matematicos italianos da Renascenga 1 S5minus 2 3 minus em latim significa menos 2 5m23m éabreviatura de minus 3 52 3 sincopou se o m da notacgao m SiIMBOLOS DA MULTIPLICAGAO O simbolo de x em a x b para indicar a multiplicagao foi proposto pelo inglés William Oughthed 15741660 E provavel que seja originario de uma alteragao do simbolo de O ponto ema b foi introduzido por Leibniz 16461716 Jadr J Verrl SMBOLOS DA DIVISAO Fibonacci séc XII emprega a notação ou ab já conhecidas dos árabes A notação a b é devida a Leibniz em 1648 Já o inglês J H Rahn 16221676emprega a notação a b SMBOLO n a inicial da palavra grega 1tplcppla que significa circunferência Sabemos que n 31415926535 é um número irracional e é a razão entre o comprimento da circunferência pelo seu diâmetro O aparecimento do slmbolo n só aconteceu em 1706 e devese a Willian Jonas um amigo de Newton No entanto a consagração do uso do n devese ao matemático suíço Leonhard Euler17071783 Em 1873 como muito se discutia sobre a irracionalidade do n o inglês W Shanks calculouo com 707 casas decimais Os cálculos eram laboriosos e feitos manualmente e Shanks levou cerca de 5anos para efetuálos SIM BOLO DE V RAIZ Apareceu pela primeira vez na obra Dle Coss 1525 do matemático alemão C Rudolff Este sugeria o símbolo por sua semelhança com a primeira letra da palavra latina radlxraiz SIM BOLO DE IGUALDADE Tudo indica que o sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde 1557 pois nada é moare equae a paire de paraieles nada é mais Igual que um par de retas paralelas SIM BOLOS DE OU O inglês Thomas Harriot 15601621 foi o introdutor dos slmbolos de ou para Indicar maior ou menor respectivamente No entanto os slmbolos ou surgiram mais tarde em 1734 com o francês Pierre Bouguer ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA ALGARISMOS INDOARABICOS A palavra algarismo oriundase provavelmente do nome de um dos maiores algebristas arabes Al Khowarismi Este escreveu o livro que recebeu 0 titulo latino De numero hindorum sobre os numeros dos hindus Esta obra apresenta a morfologia de numeros muito prdoxima dos simbolos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tais simbolos haviam sido criados pelos hindus mas dado ao grande sucesso da obra em toda a Espanha ficaram conhecidos como algarismos arabicos O monge e matematico francés Gerbert dAurillac tomou conhecimento dos algarismos indoarabicos em Barcelona no ano de 980 No ano de 999 Gerbert foi eleito Papa com nome de Silvestre II e promoveu a divulgagao de tais algarismos O zero aparece pela 1 vez num manuscrito muculmano do ano de 873 Pecando por entusiasmo e exagero um matematico afirmou o zero é a maior invengao da Matematica Ou seria o maior algoz do aluno ALGARISMOS ROMANOS Estes por sua vez tiveram influéncia dos etruscos Pelos manuscritos da época concluise que os algarismos romanos se consolidaram pelo ano 30dC O simbolo que representa 0 n 1 é uma das formas mais primitivas de se representar algo e tem origem incerta Ja o X que representa o n 10 decorre da palavra latina decussatio que significa cruzamento em forma de X O numero 100 identificado pela letra C em algarismo romano provém da inicial latina centum cem O algarismo romano M decorre da palavra latina mille que significa 1000 Do autor C A P Í T U L O ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi mais tarde em1734 com o francês Pierre Bouguer É a inicial da palavra grega que significa circunferência Sabemos que 31415926535 é um número irracional e é a razão entre o comprimento da circunferência pelo seu diâmetro Apareceu pela primeira vez na obra Die Coss 1525 do matemático alemão C Rudolff Este sugeria o símbolo por sua semelhança com a primeira letra da palavra latina radix raiz Tudo indica que o sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde 1557 pois nada é nada é mais igual que um par de retas paralelas Do autor περιϕερ ια ε π moare equalle a paire de paralleles SÍMBOLO SÍMBOLO DE SÍMBOLO DE π Vetores Aplicações geométricas clássicas 1 PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM OUTRO VETOR a b Um assunto útil à Física f re presenta uma força aplicada a um bloco Nosso escopo é decompor f sobre outro ve tor ou sobre os eixos cartesianos x e y Determinar o vetor v projeção do vetor v sobre o vetor u 0 Dedução Sendo v paralelo a u v ku 1 Mas v v v 2 Substituindo 1 em 2 v ku v Multiplicando escalarmente por u u v ku u u v ou u v k u 0 k 3 Substituindo 3 em 1 1 1 1 1 2 2 2 2 v2 u f 1 f 2 f O u 2 v u u u uv v 2 1 Ninguém terá direito de ser medíocre no Séc XXI Na mesa de jogo deste século a qualidade não será mais um diferencial competitivo mas o cacife mínimo para pedir as cartas Luiz Almeida Marins Filho PhD e consultor numa palestra em Florianópolis Sendo u 5 2 5 e v 2 1 2 calcular o vetor projvu Resp 4 2 4 Dados u 5 2 5 e v 2 1 2 determinar o vetor projuv Resp O valor da medida algébrica da projeção de v 5 4 3 sobre u 0 3 0 é Resp 4 01 02 03 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi v2 Exercícios u u v u 2 vetor projuv u v u u v 1 2 1 1 02 3 u 1 1 0 2 2 2 2 2 u u u v v 2 1 1 0 2 1 3 v1 2 0 3 2 3 v1 2 v o vetor projeção de v sobre a direção ortogonal a u v v v 2 1 2 Resp v 3 a medida algébrica da projuv projuv 2 2 1 2 2 0 2 3 3 22 2 1 1 2 3 2 2 3 u u v 3 3 5 3 2 5 OBSERVAÇÕES Ou simbolicamente Fórmula que fornece o de v na direção de u ou so bre u 1 Obtido v na necessidade de calcularse v v v v v v v onde v representa a projeção do vetor v na direção ortogonal a u 2 Reiteramos o exposto na interpretação geométrica do produto interno que a do vetor projeção de v sobre u é obtida por Dados os vetores u i j e v 2i j 2k calcular 1 O vetor projeção de v so bre u Fórmula Substituindo na fórmula Resp vetor projeção c Exemplo 1 2 1 2 2 1 2 medida algébrica Ninguém terá direito de ser medíocre no Séc XXI Na mesa de jogo deste século a qualidade não será mais um diferencial competitivo mas o cacife mínimo para pedir as cartas Luiz Almeida Marins Filho PhD e consultor numa palestra em Florianópolis Sendo u 5 2 5 e v 2 1 2 calcular o vetor projvu Resp 4 2 4 Dados u 5 2 5 e v 2 1 2 determinar o vetor projuv Resp O valor da medida algébrica da projeção de v 5 4 3 sobre u 0 3 0 é Resp 4 01 02 03 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi v2 Exercícios u u v u 2 vetor projuv u v u u v 1 2 1 1 02 3 u 1 1 0 2 2 2 2 2 u u u v v 2 1 1 0 2 1 3 v1 2 0 3 2 3 v1 2 v o vetor projeção de v sobre a direção ortogonal a u v v v 2 1 2 Resp v 3 a medida algébrica da projuv projuv 2 2 1 2 2 0 2 3 3 22 2 1 1 2 3 2 2 3 u u v 3 3 5 3 2 5 OBSERVAÇÕES Ou simbolicamente Fórmula que fornece o de v na direção de u ou so bre u 1 Obtido v na necessidade de calcularse v v v v v v v onde v representa a projeção do vetor v na direção ortogonal a u 2 Reiteramos o exposto na interpretação geométrica do produto interno que a do vetor projeção de v sobre u é obtida por Dados os vetores u i j e v 2i j 2k calcular 1 O vetor projeção de v so bre u Fórmula Substituindo na fórmula Resp vetor projeção c Exemplo 1 2 1 2 2 1 2 medida algébrica 9 k 41 9 j 38 9 i 22 08 Na figura abaixo temse o triângulo retângulo de vértices ABC Considere H o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A e calcule o vetor H A Dados A 1 2 1 B 1 0 1 e C 2 1 2 Resp 04 05 06 07 Achar o vetor projeção de v 4i 5j 3k sobre um vetor perpendicular a u 2i j 2k Resp O vetor projeção de u 0 1 5 sobre o vetor v 3 5 1 é Resp 0 0 0 u e v são ortogonais Seja o triângulo retângulo em A de vértices A 3 2 8 B 0 0 2 e C 3 5 10 Calcular a BH b m c n Calcular os vetores projeção de v 3i 2j 3k sobre os eixos cartesianos x y e z Resp 3i 2j 3k 2 7 2 c 2 7 2 b 4 2 5 2 3 Resp a ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi ou o seu oposto B H C m n A B H C A 2 PROJEÇÃO DE UM PONTO SOBRE UM PLANO a Projeção oblíqua Seja um plano in dividualizado pelo ponto A e por um vetor unitário n a ele ortogonal Que remos as coordenadas de P que é a projeção do ponto P sobre o plano segundo a direção do vetor v dado Dedução O vetor P A é ortogonal a n O vetor P P é paralelo a v Donde Substituindo 2 em 1 α α v n α A P OBSERVAÇÃO P A n 0 1 e P P kv P P kv 2 P kv A n 0 ou P A n kv n 0 19 k 24 19 j 19 i 30 14 H A 9 k 41 9 j 38 9 i 22 08 Na figura abaixo temse o triângulo retângulo de vértices ABC Considere H o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A e calcule o vetor H A Dados A 1 2 1 B 1 0 1 e C 2 1 2 Resp 04 05 06 07 Achar o vetor projeção de v 4i 5j 3k sobre um vetor perpendicular a u 2i j 2k Resp O vetor projeção de u 0 1 5 sobre o vetor v 3 5 1 é Resp 0 0 0 u e v são ortogonais Seja o triângulo retângulo em A de vértices A 3 2 8 B 0 0 2 e C 3 5 10 Calcular a BH b m c n Calcular os vetores projeção de v 3i 2j 3k sobre os eixos cartesianos x y e z Resp 3i 2j 3k 2 7 2 c 2 7 2 b 4 2 5 2 3 Resp a ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi ou o seu oposto B H C m n A B H C A 2 PROJEÇÃO DE UM PONTO SOBRE UM PLANO a Projeção oblíqua Seja um plano in dividualizado pelo ponto A e por um vetor unitário n a ele ortogonal Que remos as coordenadas de P que é a projeção do ponto P sobre o plano segundo a direção do vetor v dado Dedução O vetor P A é ortogonal a n O vetor P P é paralelo a v Donde Substituindo 2 em 1 α α v n α A P OBSERVAÇÃO P A n 0 1 e P P kv P P kv 2 P kv A n 0 ou P A n kv n 0 19 k 24 19 j 19 i 30 14 H A É impossível evitar que os pássaros da dor da angústia e do desespero voem sobre nossas cabeças Mas podemos evitar que façam ninhos em nossos cabelos PROV CHINÊS Achar as coordenadas da projeção do ponto P sobre o plano determinado por A B e C segundo a direção do vetor v Dados A 2 1 0 B 0 2 1 C 0 0 2 P 0 1 0 e v i k Calcular as coordenadas da projeção ortogonal de P 0 1 0 sobre o plano determinado pelos pontos A 2 1 0 B 0 2 1 e C 0 0 2 Resp Seja um plano determinado pelos pontos A 0 0 3 B 1 1 3 e C 2 1 3 A distância entre os pontos P 1 0 1 e Q x 0 2 com x 0 é Considere Q a projeção orto gonal do ponto Q sobre o plano e P a projeção do ponto P sobre segundo a direção do ve tor v 2i j k Calcular a distância d entre os pontos P e Q α α α 01 02 03 29 40 29 9 29 30 N 7 1 10 7 10 P sp Re ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi lsolando k Substituindo 3 em 2 Para este caso basta substituir na fórmula acima o vetor v pelo ve tor n Lembrando que n n 1 ob témse onde N é denominado do ponto P sobre o plano Se o plano for determinado por três pontos A B e C o vetor n unitário e normal ao plano é obtido por b Projeção ortogonal pé da normal c Cálculo de n α α 3 nv P n A k v nv P n A P P n α A P N n α A B C Pnn A P N A A x C B A A x C B n 13 sp Re Exercícios α P v Q Q d 2 É impossível evitar que os pássaros da dor da angústia e do desespero voem sobre nossas cabeças Mas podemos evitar que façam ninhos em nossos cabelos PROV CHINÊS Achar as coordenadas da projeção do ponto P sobre o plano determinado por A B e C segundo a direção do vetor v Dados A 2 1 0 B 0 2 1 C 0 0 2 P 0 1 0 e v i k Calcular as coordenadas da projeção ortogonal de P 0 1 0 sobre o plano determinado pelos pontos A 2 1 0 B 0 2 1 e C 0 0 2 Resp Seja um plano determinado pelos pontos A 0 0 3 B 1 1 3 e C 2 1 3 A distância entre os pontos P 1 0 1 e Q x 0 2 com x 0 é Considere Q a projeção orto gonal do ponto Q sobre o plano e P a projeção do ponto P sobre segundo a direção do ve tor v 2i j k Calcular a distância d entre os pontos P e Q α α α 01 02 03 29 40 29 9 29 30 N 7 1 10 7 10 P sp Re ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi lsolando k Substituindo 3 em 2 Para este caso basta substituir na fórmula acima o vetor v pelo ve tor n Lembrando que n n 1 ob témse onde N é denominado do ponto P sobre o plano Se o plano for determinado por três pontos A B e C o vetor n unitário e normal ao plano é obtido por b Projeção ortogonal pé da normal c Cálculo de n α α 3 nv P n A k v nv P n A P P n α A P N n α A B C Pnn A P N A A x C B A A x C B n 13 sp Re Exercícios α P v Q Q d 2 c Se o plano for individualizado por três pontos A B e C é mais cômodo calcular a distância do ponto P ao plano como a altura do paralelepípedo cujas arestas são B A C A e P A α α Todos os que meditaram a arte de governar os homens se convenceram de que o destino de um país depende da educação dos jovens Aristóteles 384 aC 322 aC filósofo grego Conhecidos os pontos A 0 1 2 B 1 1 3 C 1 3 3 e D 2 1 5 achar A a altura do tetraedro ABCD relativa ao vértice A b o pé da normal baixada de A sobre o plano BCD 01 Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 04 Considere os pontos A 1 0 1 B 1 1 2 C 0 2 1 D 1 2 0 e E 3 0 0 Calcular a intersecção da reta DE orientada no sentido de D para E com o plano ABC Resp P 2 50 d P α A P cos θ n α A N θ P d P α θ α P n cos A P d Pn A dP α A A x C B A A P A x C B dP α área da base volume do paralelepípedo haltura doparalelepípedo P d α 5 5 Resp h 5 1 9 5 2 N sp Re α A B C h P 3 DISTÂNCIA DE PONTO A PLANO a b Pé da normal N Considere um plano que contém o ponto A e ortogonal ao vetor unitário n Queremos a dis tância do ponto P ao plano Dedução Do triângulo retângulo PNA O segundo membro da igualdade acima não se altera se o multiplicarmos por n que exprime o produto escalar entre os vetores A P e n Donde se infere a fórmula A dP é convencionada positiva se o segmento orientado tiver o sentido de n negativa se tiver o sentido contrário a n Tratase da fórmula da projeção ortogonal de um ponto sobre um plano deduzida no item anterior Então α α α OBSERVAÇÃO PN PN N P A P n n ou N P dP n α c Se o plano for individualizado por três pontos A B e C é mais cômodo calcular a distância do ponto P ao plano como a altura do paralelepípedo cujas arestas são B A C A e P A α α Todos os que meditaram a arte de governar os homens se convenceram de que o destino de um país depende da educação dos jovens Aristóteles 384 aC 322 aC filósofo grego Conhecidos os pontos A 0 1 2 B 1 1 3 C 1 3 3 e D 2 1 5 achar A a altura do tetraedro ABCD relativa ao vértice A b o pé da normal baixada de A sobre o plano BCD 01 Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 04 Considere os pontos A 1 0 1 B 1 1 2 C 0 2 1 D 1 2 0 e E 3 0 0 Calcular a intersecção da reta DE orientada no sentido de D para E com o plano ABC Resp P 2 50 d P α A P cos θ n α A N θ P d P α θ α P n cos A P d Pn A dP α A A x C B A A P A x C B dP α área da base volume do paralelepípedo haltura doparalelepípedo P d α 5 5 Resp h 5 1 9 5 2 N sp Re α A B C h P 3 DISTÂNCIA DE PONTO A PLANO a b Pé da normal N Considere um plano que contém o ponto A e ortogonal ao vetor unitário n Queremos a dis tância do ponto P ao plano Dedução Do triângulo retângulo PNA O segundo membro da igualdade acima não se altera se o multiplicarmos por n que exprime o produto escalar entre os vetores A P e n Donde se infere a fórmula A dP é convencionada positiva se o segmento orientado tiver o sentido de n negativa se tiver o sentido contrário a n Tratase da fórmula da projeção ortogonal de um ponto sobre um plano deduzida no item anterior Então α α α OBSERVAÇÃO PN PN N P A P n n ou N P dP n α b Cálculo do pé da normal N c N é o pé da normal do ponto A sobre a reta r Com as devidas precauções quanto ao posicionamento dos pontos e do vetor n podese empregar a fórmula do parágrafo anterior Se a reta r for determinada por dois pontos B e C a distância do ponto A à reta BC pode ser obtida O princípio mais profundamente enraizado na natureza humana é a ânsia de ser apreciado Willian James 1842 1910 filósofo norteamericano Dados os pontos A 0 1 2 B 1 1 3 C 1 3 4 deter minar a a altura do triângulo ABC relativa a A b o pé da normal baixada de A sobre a reta BC 01 4 DISTÂNCIA DE PONTO A RETA a Consideremos um ponto A e uma reta r esta individualizada por um ponto P e por um vetor unitário n que tem a sua direção Buscamos a distância do ponto A à reta r Do triângulo retângulo ANP que não se altera se multiplicarmos o 2º membro por n que expressa o módulo do produto externo entre os vetores A P e n Com efeito 02 03 Dados os pontos A 2 4 0 B 0 2 4 C 6 0 2 calcular a a altura do tetraedro OABC relativa a O origem b o pé da normal baixada de O sobre o plano ABC Achar a distância do ponto P ao plano determinado pelos pontos A B e C Dados P 5 4 8 A 2 3 1 B 4 1 2 e C 6 3 7 Resp 11 Não há ação prolongada que não surta efeito ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 5 13 2 Resp h 25 52 5 13 25 39 N sp Re n r P N A d A r C B A BxC B dAr comprimento da base área do triângulo 2 h altura do triângulo dAr A 5 14 5 1 3 N sp Re B r A C hA Exercícios 5 3 5 Resp h dA r A P sen θ dA r A P n sen θ dA r A P x n N P A P nn b Cálculo do pé da normal N c N é o pé da normal do ponto A sobre a reta r Com as devidas precauções quanto ao posicionamento dos pontos e do vetor n podese empregar a fórmula do parágrafo anterior Se a reta r for determinada por dois pontos B e C a distância do ponto A à reta BC pode ser obtida O princípio mais profundamente enraizado na natureza humana é a ânsia de ser apreciado Willian James 1842 1910 filósofo norteamericano Dados os pontos A 0 1 2 B 1 1 3 C 1 3 4 deter minar a a altura do triângulo ABC relativa a A b o pé da normal baixada de A sobre a reta BC 01 4 DISTÂNCIA DE PONTO A RETA a Consideremos um ponto A e uma reta r esta individualizada por um ponto P e por um vetor unitário n que tem a sua direção Buscamos a distância do ponto A à reta r Do triângulo retângulo ANP que não se altera se multiplicarmos o 2º membro por n que expressa o módulo do produto externo entre os vetores A P e n Com efeito 02 03 Dados os pontos A 2 4 0 B 0 2 4 C 6 0 2 calcular a a altura do tetraedro OABC relativa a O origem b o pé da normal baixada de O sobre o plano ABC Achar a distância do ponto P ao plano determinado pelos pontos A B e C Dados P 5 4 8 A 2 3 1 B 4 1 2 e C 6 3 7 Resp 11 Não há ação prolongada que não surta efeito ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 5 13 2 Resp h 25 52 5 13 25 39 N sp Re n r P N A d A r C B A BxC B dAr comprimento da base área do triângulo 2 h altura do triângulo dAr A 5 14 5 1 3 N sp Re B r A C hA Exercícios 5 3 5 Resp h dA r A P sen θ dA r A P n sen θ dA r A P x n N P A P nn Seja um plano auxiliar que contém a reta r e é paralelo à reta r Destarte a distância dr r entre as retas r e r é a distância de um ponto de r ao plano Na figura Empregando para o 2º membro a fórmula da distância de ponto a plano cujo resultado deve ser adotado em módulo Fazse mister registrar que no quociente acima temse para numerador o volume de um paralelepípedo de arestas para denominador a área de sua base Subtraindomembro a membro 1 de 2 temse α α 2 1 b Cálculo dos pés da normal comum N N 1 2 1 2 1 2 1 P P r e r O vetor N P é paralelo ao vetor r e N P é paralelo ao vetor r lmpondo a condição de paralelismo 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 02 03 Os pontos A 2 4 0 B 0 2 4 e C 6 0 2 são vértices de um triângulo Pedese a a área do triângulo b a altura relativa ao vértice B c o pé da normal baixada de B sobre a reta AC Calcular a distância do ponto P 1 2 0 à reta determinada pelos pontos A 0 1 2 e B 3 0 1 10 2 sp Re 3 10 2 sp Re 9 4 9 28 9 26 N sp Re 11 5 22 sp Re 5 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS a A reta r é passante por P e paralela ao vetor r A reta r contém o ponto P e tem a direção do vetor r Nosso escopo é obter a fórmula da distância entre as retas reversas r e r Dedução 1 1 2 1 2 1 2 2 r1 r2 r x r 1 2 r2 r1 n P2 N2 N1 P1 r1 r2 α d r r 1 2 dr r P 1 2 1 α dr r P P n 1 2 2 1 onde n vers r x r Por isto 1 2 dr r P P vers r x r 1 2 2 1 1 2 ou dr r 1 2 P P r x r r x r 2 1 1 2 1 2 N P k r N P k r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e N P k r N P k r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 N N P P k r k r 3 2 1 2 1 2 2 1 1 Jacir J Venturi Seja a um plano auxiliar que contém a reta m e é paralelo a retar Destarte a distancia dr r2 entre as retas r er 6 adistancia de um ponto der ao plano a Na figura dr 2 to P a Empregando para 0 2 membro a formula da distancia de ponto a plano dr ry P P n onde n vers r x r Por isto dr tp Pi P vers r x t ou P P XT et TRL cujo resultado deve ser adotado em méddulo Fazse mister registrar que no quociente acima temse para numerador o volume de um paralelepipedo de arestas P P r e f para denominador a area de sua base b Calculo dos pés da normal comum N Nz O vetor N P é paralelo ao vetor r e N P 6 paralelo ao vetor r lmpondo a condigao de paralelismo NPkihoNPkr e N P2 Kat NPkt Subtraindo membro a membro1 de 2 temse NN PP Kefkir Os maiores inimigos do homem estão dentro do próprio homem são as mágoas os ressentimentos De um cacique indígena As retas r e r são determinadas por 1 2 achar a a distância entre as retas r e r 1 2 b os pés da normal comum 01 Resp Resp ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Exercícios 3 2 3 sp Re 3 1 3 5 3 2 N 1 1 0 Resp N 1 2 r 1 r 2 P 0 1 1 1 r i k 1 P 1 2 1 2 r i j 2k 2 e Roteiro para o cálculo de k e k 1 2 1 Multiplicase escalarmente 3 por r 1 2 Multiplicase escalarmente 3 por r 2 3 Resolvese o sistema de duas equações do 1º grau em k e k 2 1 4 Substituise k em 1 obtendose N O k é substituído em 2 1 2 1 para se obter N 2 OBSERVAÇÃO Tendose N e N é útil enfatizar que N N d r r 1 1 1 2 2 2 1 141 Os maiores inimigos do homem estão dentro do próprio homem são as mágoas os ressentimentos De um cacique indígena As retas r e r são determinadas por achar a a distância entre as retas b os pés da normal comum 1 2 01 r e r 1 2 02 Dadas as retas sendo calcular a a distância entre as retas b as coordenadas dos pés da normal comum c as coordenadas do pé N da normal baixada de P sobre o plano por paralelo a Barsotti 1 r e r r e r r r 1 2 1 2 2 1 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 3 7 sp Re Exercícios 3 2 3 sp Re 3 1 3 5 3 2 0 1 1N sp N Re α A B D h 1 1 2 r 1 r 2 P 0 1 1 r i k 1 1 P 1 2 1 r i j 2k 2 2 e r 1 r 2 P 0 1 2 r i 2k 1 1 P 2 0 1 r j 2k 2 2 e 9 9 19 5 2 9 N 9 1 26 4 Resp N 2 1 9 9 11 5 9 14 sp N Re 6 ÁREA DE UM TRIÂNGULO OBSERVAÇÃO A critério do professor os itens 6 7 e 8 são dispensáveis a Preliminares Roteiro para o cálculo de k e k 1 2 1Multiplicase escalarmente 3 por r 2Multiplicase escalarmente 3 por r 3 Resolvese o sistema de duas equações do 1º grau emk e k 4 Substituise k em 1 obtendose N O k é substituído em 2 para se obter N Tendose N e N é útil enfatizar que N N d r r 1 2 1 2 1 1 2 2 OBSERVAÇÃO 1 2 1 2 1 2 7 ÁREA DA PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM TRIÂNGULO SOBRE UM PLANO Pedese a área da projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre umplano orientado pelo vetor n ortogonal ao plano Então Na figura o vetor B A representa o vetor soma dos vetores B B B A e A A Assim B A B B B A A A Analogamente para o vetor C A C A C C C A A A Então Aplicando ao 2º membro a propriedade distributiva do produto vetorial observase a nulidade de 8 termos resultando simplesmente o termo B A x C A o qual é substituído em 1 α B A x C A B B B A A A x C C C A A A ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Depreendese da figura que o volume do prisma de base ABC equivale à metade do volume do paralelepípedo V de base ABDC Numericamente a área do triângulo ABC coincide com o volume do prisma de base ABC desde que o admitamos de altura unitária Portanto Consideremos um plano determinado pelos pontos A B C e orientado pelo vetor n unitário e a ele ortogonal Face o exposto decorre que A área do triângulo será positiva se os vértices ABC estiverem no sentido antihorário e negativa se os vértices ABC estiverem no sentido horário Assim para um observador postado ao longo de n temse p b Área de um triângulo num plano orientado C Convenção de sinal α p prisma 2 V 1 V 1 2 V para h 1 S p ABC n α A B C A n A x C 2B 1 SABC 1 n 2 B A x C A 1 S ABC A n A x C 2B 1 S ABC n α A B C S 0 ABC n α A B C S 0 ABC n α A B C A B C Jacir J Venturi 7 AREA DA PROJEGAO ORTOGONAL DE UM TRIANGULO SOBRE UM PLANO c B no ii nC AN a Pedese a area da projecao ortogonal de um triangulo ABC sobre um plano a orientado pelo vetor fi ortogonal ao plano Entao 1 Sapo 3 BA x CAn Na figura o vetor B A representa o vetor soma dos vetores B B BA eAA Assim B A B B BA AA Analogamente para vetor C A CA CCCAAA Entao BA x CA B B BA AA x C C C A AA Aplicando ao 2 membro a propriedade distributiva do produto vetorial observase a nulidade de 8 termos resultando simplesmente o termo BA x C A o qual 6 substituido em 1 Sn ie 58A xCAn ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA que representa a formula da area da projecao ortogonal de um triangulo sobre um plano orientado pelo vetor unitario n 8 AREA DA PROJEGAO NAO ORTOGONAL DE UM TRIANGULO SOBRE UM PLANO c v B 1 7 7 B j i SA 4 4 B 1 7 1 7 n Z 1 7 7 C 4 ml H 4 A B Qa Seja a um plano orientado pelo vetor n unitario e a ele ortogonal Procurase a area da projecao do triangulo ABC sobre o plano a segundo a direcdo do vetor V representada na figura por ABC Tracemos um plano auxiliar 8 que seja normal ao vetor Vv Con forme se infere da figura ABC a area da projegao ortogonal do triangulo ABC bem como do triangulo ABC sobre B Matematicamente a area da proj ABC proj ABC Jacir J Venturi Porém do parágrafo anterior a área de donde Vimos no produto externo que u x v S ABC e por conseqüência u x v S n sendo n um vetor unitário Por analogia temse a igualda ABC de Substituindo 2 em 1 lsolando S e em ambos os membros cancelando v ABC fórmula que fornece a área da projeção de um triângulo ABC segundo a direção do vetor v x 1 v v C A x 2B A 1 proj ABC BC A v v A C x A 2B 1 proj ABC BC A β β v 1 v A C x A 2B 1 v v C A x 2B A 1 C A 2 x 2 B A 1 n S ABC v v A C x A 2 B 1 v v n S ABC v n 2 v A C x A B S ABC 2 1 2 1 146 f a altura relativa a O origem do tetraedro OABC g o pé da normal baixada de O origem sobre o plano ABC h o volume do tetraedro OABC i a área da projeção ortogonal de ABC sobre o plano orientado por r 2i 2j k e a ele ortogonal Resp j a área da projeção do triângulo ABC sobre o mesmo plano mas segundo a direção de v 3i 2j k Resp Resp Resp N 1 1 1 Resp ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios A tragédia começa quando os dois acham que tem razão Shakespeare 15641616 dramaturgo e poeta inglês Conhecendose os pontos A 0 1 2 B 1 1 3 e C 1 3 4 calcular a a área da projeção ortogonal do triângulo ABC sobre o plano orientado por u i j Resp b a área da projeção de ABC sobre o mesmo plano porém segundo a direção do vetor v 2i k Resp Sejam os pontos A 3 0 0 B 2 2 1 e C 1 1 1 deter minar a a medida do lado a Resp b a medida do ângulo A c a área do triângulo ABC d a altura relativa ao vértice A do triângulo ABC e o pé da normal baixada de A sobre a reta BC 01 02 Resp 60º Resp Resp Resp 4 3 2 2 2 uc 6 ua 2 3 3 uc 2 2 3 2 0 2 3 3 N uc 3 2 uv 3 2 ua 3 11 ua 18 9 COSENOS DIRETORES DE UMVETOR a Parâmetros diretores e os eixos cartesianos Na figura equivale aos segmentos de medidas algé bricas OA x OB y OC z São as projeções do vetor v sobr A O x x α β y B y C z z γ P f a altura relativa a O origem do tetraedro OABC g o pé da normal baixada de O origem sobre o plano ABC h o volume do tetraedro OABC i a área da projeção ortogonal de ABC sobre o plano orientado por r 2i 2j k e a ele ortogonal Resp j a área da projeção do triângulo ABC sobre o mesmo plano mas segundo a direção de v 3i 2j k Resp Resp Resp N 1 1 1 Resp ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios A tragédia começa quando os dois acham que tem razão Shakespeare 15641616 dramaturgo e poeta inglês Conhecendose os pontos A 0 1 2 B 1 1 3 e C 1 3 4 calcular a a área da projeção ortogonal do triângulo ABC sobre o plano orientado por u i j Resp b a área da projeção de ABC sobre o mesmo plano porém segundo a direção do vetor v 2i k Resp Sejam os pontos A 3 0 0 B 2 2 1 e C 1 1 1 deter minar a a medida do lado a Resp b a medida do ângulo A c a área do triângulo ABC d a altura relativa ao vértice A do triângulo ABC e o pé da normal baixada de A sobre a reta BC 01 02 Resp 60º Resp Resp Resp 4 3 2 2 2 uc 6 ua 2 3 3 uc 2 2 3 2 0 2 3 3 N uc 3 2 uv 3 2 ua 3 11 ua 18 9 COSENOS DIRETORES DE UM VETOR a Parâmetros diretores e os eixos cartesianos Na figura equivale aos segmentos de medidas algé bricas OA x OB y OC z São as projeções do vetor v sobr A O x x α β y B y C z z γ P ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Ângulos diretores c Cosenos diretores São as menores medidas dos ângulos e que o vetor v forma com os eixos cartesianos x y e z respectivamente Frizese que 0 Os cosenos dos ângulos diretores são denominados cosenos diretores quais sejam cos cos cos Das igualdades acima Relembramos que quando se expressa v xi yj zk os coefi cientes x y e z são as medidas algébricas das projeções do vetor v sobre os eixos cartesianos α β γ α βγπ α β γ d Teoremas I A soma dos quadrados dos cosenos diretores de qualquer vetor é igual à unidade Dedução Então II Os cosenos diretores de v são as coordenadas do versor de v Dedução Decorre desta última expressão que sempre que um vetor tem nulo um coeficiente tal vetor é ortogonal ao eixo homônimo da coordenada faltante pois se cos ø 0 resulta que ø 90º OBSERVAÇÃO do triângulo retângulo OCP v cos z OC do triângulo retângulo OBP v cos y OB do triângulo retângulo OAP v cos x OA se a figura que Obtém γ β α 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x z v z cos z y x y v y cos z y x x v x cos γ β α 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x z z y x y z y x x cos cos cos γ β α 1 z y x z z y x y z y x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos cos cos 2 2 2 γ β α O vetor v tem a expressão cartesiana v xi yj zk e módulo v 2 2 2 z y x Seja v xi yj zk um vetor do item c temos vers v cos i cos j cos k α β γ cos k cos j i cos v k z v j y v i x v zk yj xi v v v vers γ β α ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Ângulos diretores c Cosenos diretores São as menores medidas dos ângulos e que o vetor v forma com os eixos cartesianos x y e z respectivamente Frizese que 0 Os cosenos dos ângulos diretores são denominados cosenos diretores quais sejam cos cos cos Das igualdades acima Relembramos que quando se expressa v xi yj zk os coefi cientes x y e z são as medidas algébricas das projeções do vetor v sobre os eixos cartesianos α β γ α βγπ α β γ d Teoremas I A soma dos quadrados dos cosenos diretores de qualquer vetor é igual à unidade Dedução Então II Os cosenos diretores de v são as coordenadas do versor de v Dedução Decorre desta última expressão que sempre que um vetor tem nulo um coeficiente tal vetor é ortogonal ao eixo homônimo da coordenada faltante pois se cos ø 0 resulta que ø 90º OBSERVAÇÃO do triângulo retângulo OCP v cos z OC do triângulo retângulo OBP v cos y OB do triângulo retângulo OAP v cos x OA se a figura que Obtém γ β α 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x z v z cos z y x y v y cos z y x x v x cos γ β α 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x z z y x y z y x x cos cos cos γ β α 1 z y x z z y x y z y x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos cos cos 2 2 2 γ β α O vetor v tem a expressão cartesiana v xi yj zk e módulo v 2 2 2 z y x Seja v xi yj zk um vetor do item c temos vers v cos i cos j cos k α β γ cos k cos j i cos v k z v j y v i x v zk yj xi v v v vers γ β α Exemplificando o vetor v i 2j é perpendicular ao eixo z III Se v e v são dois vetores cujos cosenos diretores são respectivamente cos cos cos e cos cos cos então o ân gulo entre v e v é dado por cos cos cos cos cos cos cos Demonstração donde 1 2 1 2 α β γ α β γ θ θ α α 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 β β γ γ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi v x 1 O z 2 y v1 v2 x O θ z y 2 1 2 1 2 1 cos cos cos cos cos cos cos γ γ β β α α θ Exercícios Há homens que lutam por um dia e são bons há outros que lutam por um ano e são melhores há aqueles que lutam por muitos anos e são muito bons porém há homens que lutam por toda a vida Esses são imprescindíveis Bertold Brecht 18981956 escritor e teatrólogo alemão Sendo v i k calcular a os parâmetros diretores de v Resp 1 0 1 b os cosenos diretores de v Resp c os ângulos diretores de v Resp 45º 90º 135º Num vetor v são conhecidos determi nar a cos é ângulo agudo Resp b vers v Resp Os ângulos diretores de um vetor são 120º e 60º Achar Resp 45º e 135º α β γ γ γ β β 01 02 03 2 2 2 0 2 3 2 3 e cos 2 cos β α 3 1 Sejam os versores vers v cos i cos j cos k e vers v cos i cos j cos k Do produto escalar obtémse 1 1 1 1 2 α β γ α β γ 2 2 2 cos cos i cos j cos k θ α β γ 1 1 1 cos i cos j cos k α β γ 2 2 2 ou vers v vers v cos ou v v v v v v v v cos 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 θ θ 3 k 1 3 j 2 3 i 2 vers v Exemplificando o vetor v i 2j é perpendicular ao eixo z III Se v e v são dois vetores cujos cosenos diretores são respectivamente cos cos cos e cos cos cos então o ân gulo entre v e v é dado por cos cos cos cos cos cos cos Demonstração donde 1 2 1 2 α β γ α β γ θ θ α α 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 β β γ γ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi v x 1 O z 2 y v1 v2 x O θ z y 2 1 2 1 2 1 cos cos cos cos cos cos cos γ γ β β α α θ Exercícios Há homens que lutam por um dia e são bons há outros que lutam por um ano e são melhores há aqueles que lutam por muitos anos e são muito bons porém há homens que lutam por toda a vida Esses são imprescindíveis Bertold Brecht 18981956 escritor e teatrólogo alemão Sendo v i k calcular a os parâmetros diretores de v Resp 1 0 1 b os cosenos diretores de v Resp c os ângulos diretores de v Resp 45º 90º 135º Num vetor v são conhecidos determi nar a cos é ângulo agudo Resp b vers v Resp Os ângulos diretores de um vetor são 120º e 60º Achar Resp 45º e 135º α β γ γ γ β β 01 02 03 2 2 2 0 2 3 2 3 e cos 2 cos β α 3 1 Sejam os versores vers v cos i cos j cos k e vers v cos i cos j cos k Do produto escalar obtémse 1 1 1 1 2 α β γ α β γ 2 2 2 cos cos i cos j cos k θ α β γ 1 1 1 cos i cos j cos k α β γ 2 2 2 ou vers v vers v cos ou v v v v v v v v cos 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 θ θ 3 k 1 3 j 2 3 i 2 vers v 04 05 06 07 08 Dados os pontos A 4 3 1 e B 6 1 0 calcular cos cos cos do vetor v B A Resp Determinar o vetor u do espaço tridimensional sabendo que e que forma ângulos de 90º e 150º respectivamente com os eixos x e y Resp 45º 90º 135º Calcular o ângulo entre v e v Resp 90 v v Pedese os cosenos diretores do vetor u AB CD 2DA sendo A 2 1 0 B 0 3 1 C 1 3 2 e D 1 0 4 Resp Resp α β γ β γ θ θ 2 2 1 2 1 2 u 2 60º 120º e 60º são os ângulos diretores do vetor v Do vetor v são Seja o vetor v com v 4 e seus ângulos diretores 45º 60º e 120º Calcular as projeções do vetor v sobre os eixos cartesianos α β γ α α β γ 1 1 1 1 2 2 º ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 3 1 v1 v2 y x α β Série B No plano cartesiano demonstrar cos cos cos sen sen α β α β α β SUGESTÃO 09 Não há pessoas más Há pessoas que não foram suficientemente amadas João XXIII papa de 195863 SÓ UMA VEZ SÓ UMA VEZ SE NÓS Nosso filho terá 3 anos e estará doido para sentar emnosso colo Ele terá cinco anos e quererá brincar conosco Perdermos essas oportunidades nós perderemos o nosso filho e ele não terá pai SÓ UMA VEZ SÓ UMA VEZ SÓ UMA VEZ Ele terá 10 anos e desejará estar conosco em nosso traba lho Ele será adolescente e verá emnósumamigo com quem conversar Ele estará na universidade e quererá trocar idéias conosco 3 1 0 31 ou u 0 u 93 8 93 2 93 5 22 2 2 vers v cos i cos 90 1 α º j cos i sen j vers v cos i cos 90º j cos i sen j Efetuando a multiplicação interna vers v vers v cos i sen j cos i sen j cos cos cos sen sen qed α α α β β β β α α β β α β α β α β 2 1 2 04 05 06 07 08 Dados os pontos A 4 3 1 e B 6 1 0 calcular cos cos cos do vetor v B A Resp Determinar o vetor u do espaço tridimensional sabendo que e que forma ângulos de 90º e 150º respectivamente com os eixos x e y Resp 45º 90º 135º Calcular o ângulo entre v e v Resp 90 v v Pedese os cosenos diretores do vetor u AB CD 2DA sendo A 2 1 0 B 0 3 1 C 1 3 2 e D 1 0 4 Resp Resp α β γ β γ θ θ 2 2 1 2 1 2 u 2 60º 120º e 60º são os ângulos diretores do vetor v Do vetor v são Seja o vetor v com v 4 e seus ângulos diretores 45º 60º e 120º Calcular as projeções do vetor v sobre os eixos cartesianos α β γ α α β γ 1 1 1 1 2 2 º ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 3 1 v1 v2 y x α β Série B No plano cartesiano demonstrar cos cos cos sen sen α β α β α β SUGESTÃO 09 Não há pessoas más Há pessoas que não foram suficientemente amadas João XXIII papa de 195863 SÓ UMA VEZ SÓ UMA VEZ SE NÓS Nosso filho terá 3 anos e estará doido para sentar em nosso colo Ele terá cinco anos e quererá brincar conosco Perdermos essas oportunidades nós perderemos o nosso filho e ele não terá pai SÓ UMA VEZ SÓ UMA VEZ SÓ UMA VEZ Ele terá 10 anos e desejará estar conosco em nosso traba lho Ele será adolescente e verá em nós um amigo com quem conversar Ele estará na universidade e quererá trocar idéias conosco 3 1 0 31 ou u 0 u 93 8 93 2 93 5 22 2 2 vers v cos i cos 90 1 α º j cos i sen j vers v cos i cos 90º j cos i sen j Efetuando a multiplicação interna vers v vers v cos i sen j cos i sen j cos cos cos sen sen qed α α α β β β β α α β β α β α β α β 2 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi A LIÇÃO DOS GANSOS CANADENSES Uma maravilhosa lição de vida pode ser obtida dos gansos selvagens canadenses que migram do Hemisfério Norte para o Sul Como arautos de mudanças quando partem é prenúncio de frio Ao retornarem é chegado o verão Guiados pelo sol e pelo campo magnético da Terra cumprem a rota mais curta e só estabelecem grandes cur vas para evitar desertos e oceanos Neste longo vôo a formação do bando é a de um triângulo ou a rigor de um majestoso V cujo vértice está voltado para a frente Nesta formação geométrica cada pássaro da frente cria um vácuo para o de trás rendendo ao grupo quase o dobro do aproveitamento com o mesmo esforço Da mesma forma quando um conjunto de pessoas compartilha do mesmo objetivo e de forma organizada é mais leve a tarefa de cada um e os resultados são extraordinários Ao ganso da frente cabe a tarefa de dar direção ao bando E quando cansa alterna a posição de ponta com outro pássaro É o líder Em seu peito batem as rajadas do vento forte os pingos da chuva castigam seus olhos Mas é ele o líder que tem as asas fortalecidas que melhor vislumbra o horizonte que melhor contempla as belezas do sol nascente e do sol poente Os problemas são como as rajadas de vento que nos fortalecem para enfrentarmos a vida com mais determinação E Deus nunca nos dá tudo Mas também não nos priva de tudo E por maior que sejam as dificuldades não permite embates maiores que a nossa capacidade de vencêlos Os líderes sacrificam muitas vezes a si próprios por uma causa relevante cujo maior prêmio não é o triunfo mas a imensa satisfação do Ele dever cumprido E se fracassarmos resta o conforto de que mais valem as lágrimas de não ter vencido do que a vergonha de não ter lutado Quando um dos gansos é ferido ou fica doente incontinenti dois deles saem da formação e lhe dão companhia e proteção É a manifestação da solidariedade em se postar ao lado das pessoas em seus momentos difíceis Quem não tem amor e amizade em seu coração sofre da pior doença cardíaca Na formação angular os gansos que vêm atrás grasnam freneticamente para motivar os da frente Na convivência em grupo não só é importante a nossa efetiva participação mas também as palavras encorajadoras Pessoas motivadas são mais felizes e produtivas A ação organizada unida ao entusiasmo produz uma força insuperável Terás uma rota segura por conta dos bons ensinamentos que te foram transmitidos pelos pais professores e bons amigos São eles que revestiram e revestirão a tua existência com carinho dedicação e muitas vezes sacrificam os próprios sonhos em favor dos teus São eles que abrem as portas do teu futuro iluminando o teu caminho com a luz mais brilhante que puderam encontrar o estudo os bons exemplos e as lições de vida São eles que muitas vezes renunciam a tudo por ti menos a ti Educar tem raiz numa palavra latina belíssima ducere que significa conduzir marchar à frente ou mostrar o caminho A esses grandes educadores pais professores e bons amigos a nossa eterna gratidão A história dos gansos canadenses é reiteradamente verbalizada em cursos de motivação Texto do autor ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi A LIÇÃO DOS GANSOS CANADENSES Uma maravilhosa lição de vida pode ser obtida dos gansos selvagens canadenses que migram do Hemisfério Norte para o Sul Como arautos de mudanças quando partem é prenúncio de frio Ao retornarem é chegado o verão Guiados pelo sol e pelo campo magnético da Terra cumprem a rota mais curta e só estabelecem grandes cur vas para evitar desertos e oceanos Neste longo vôo a formação do bando é a de um triângulo ou a rigor de um majestoso V cujo vértice está voltado para a frente Nesta formação geométrica cada pássaro da frente cria um vácuo para o de trás rendendo ao grupo quase o dobro do aproveitamento com o mesmo esforço Da mesma forma quando um conjunto de pessoas compartilha do mesmo objetivo e de forma organizada é mais leve a tarefa de cada um e os resultados são extraordinários Ao ganso da frente cabe a tarefa de dar direção ao bando E quando cansa alterna a posição de ponta com outro pássaro É o líder Em seu peito batem as rajadas do vento forte os pingos da chuva castigam seus olhos Mas é ele o líder que tem as asas fortalecidas que melhor vislumbra o horizonte que melhor contempla as belezas do sol nascente e do sol poente Os problemas são como as rajadas de vento que nos fortalecem para enfrentarmos a vida com mais determinação E Deus nunca nos dá tudo Mas também não nos priva de tudo E por maior que sejam as dificuldades não permite embates maiores que a nossa capacidade de vencêlos Os líderes sacrificam muitas vezes a si próprios por uma causa relevante cujo maior prêmio não é o triunfo mas a imensa satisfação do Ele dever cumprido E se fracassarmos resta o conforto de que mais valem as lágrimas de não ter vencido do que a vergonha de não ter lutado Quando um dos gansos é ferido ou fica doente incontinenti dois deles saem da formação e lhe dão companhia e proteção É a manifestação da solidariedade em se postar ao lado das pessoas em seus momentos difíceis Quem não tem amor e amizade em seu coração sofre da pior doença cardíaca Na formação angular os gansos que vêm atrás grasnam freneticamente para motivar os da frente Na convivência em grupo não só é importante a nossa efetiva participação mas também as palavras encorajadoras Pessoas motivadas são mais felizes e produtivas A ação organizada unida ao entusiasmo produz uma força insuperável Terás uma rota segura por conta dos bons ensinamentos que te foram transmitidos pelos pais professores e bons amigos São eles que revestiram e revestirão a tua existência com carinho dedicação e muitas vezes sacrificam os próprios sonhos em favor dos teus São eles que abrem as portas do teu futuro iluminando o teu caminho com a luz mais brilhante que puderam encontrar o estudo os bons exemplos e as lições de vida São eles que muitas vezes renunciam a tudo por ti menos a ti Educar tem raiz numa palavra latina belíssima ducere que significa conduzir marchar à frente ou mostrar o caminho A esses grandes educadores pais professores e bons amigos a nossa eterna gratidão A história dos gansos canadenses é reiteradamente verbalizada em cursos de motivação Texto do autor 1 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO a o plano é determinado por um ponto e por dois vetores O plano contém o ponto P e é paralelo aos vetores v e v v não paralelo a v O ponto P x y z pertencerá ao plano se e somente se os vetores P P v e v forem coplanares α α O 1 2 1 2 O 1 2 x y o α z P PO v1 v2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi C A P Í T U L O O Plano no E3 O plano é determinado pelos pontos Um ponto ge nérico P x y z pertence ao pla no se e somente se os vetores P P P P e P P forem coplanares b O plano é individualizado por dois pontos e por umvetor c O plano é definido por três pontos não colineares α α 1 2 1 3 1 O plano é passante por P e P e é paralelo ao vetor v Um ponto genérico P x y z pertence ao plano se e somente se os veto res P P P P e v forem copla nares P P e P α α 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 xO x l l 2 1 O m m y y 2 1 O n n z z 0 I α O y x z P1 P2 P v P1 P2 P3 P x y O z Dados P x y z v i m j n k v i m j n k O O O O 1 2 l l 1 1 1 2 2 2 Dados P x y z P x y z v i mj nk 1 2 1 1 1 2 2 2 l Dados P x y z P x y z P x y z 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 x x x x 1 2 1 l y y y y m 1 2 1 z z z z n 1 2 1 0 II 1 EQUAÇÃOGERAL DO PLANO a o plano é determinado por umponto e por dois vetores O plano contém o ponto P e é paralelo aos vetores v e v v não paralelo a v O ponto P x y z pertencerá ao plano se e somente se os vetores P P v e v forem coplanares α α O 1 2 1 2 O 1 2 x y o α z P PO v1 v2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi C A P Í T U L O O Plano no E3 O plano é determinado pelos pontos Um ponto ge nérico P x y z pertence ao pla no se e somente se os vetores P P P P e P P forem coplanares b O plano é individualizado por dois pontos e por um vetor c O plano é definido por três pontos não colineares α α 1 2 1 3 1 O plano é passante por P e P e é paralelo ao vetor v Um ponto genérico P x y z pertence ao plano se e somente se os veto res P P P P e v forem copla nares P P e P α α 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 xO x l l 2 1 O m m y y 2 1 O n n z z 0 I α O y x z P1 P2 P v P1 P2 P3 P x y O z Dados P x y z v i m j n k v i m j n k O O O O 1 2 l l 1 1 1 2 2 2 Dados P x y z P x y z v i mj nk 1 2 1 1 1 2 2 2 l Dados P x y z P x y z P x y z 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 x x x x 1 2 1 l y y y y m 1 2 1 z z z z n 1 2 1 0 II Não basta destruir o que sobra é necessário construir o que falta Anônimo Equação geral do plano que contém o ponto A 3 0 1 e é pa ralelo aos vetores u 1 2 0 e v 0 3 1 Resp 2x y 3z 9 0 Achar a equação do plano que passa pelos pontos P 1 2 3 e Q 1 2 0 e tem a direção do vetor v 2i 3k Resp y 2 0 Obter a equação do plano que contém os pontos A 3 0 1 B 2 1 1 e C 3 2 2 Resp x y 2z 1 0 01 02 03 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi A resolução de cada determinante representado por I II ou III conduz a uma equação linear a três variáveis ax by cz d 0 cognominada equação geral do plano Exercícios 2 PERTINÊNCIA DE PONTO A PLANO 3 INTERSEÇÃO DE UM PLANO COM OS EIXOS COORDENADOS Dado um plano de equação ax by cz d 0 e um ponto P x y z a condição para P pertencer a é x y z α α O O O O O O O O ou seja a tripla deve satisfazer à equação de Exemplo O ponto A 3 1 2 pertence ao plano 2x y 3z 1 0 Seja ax by cz d 0 O plano intercepta o eixo das abscissas no ponto A x 0 0 Pa ra se determinar o ponto A basta fazer y z 0 na equação do plano O plano intercepta o eixo das ordenadas no ponto B 0 y 0 Na equação do plano fazemos x z 0 O plano intercepta o eixo das cotas no ponto C 0 0 z para obtermos suas coordenadas basta fazer x y 0 na equação do plano α α α α α α a Interseção com o eixo x b Interseção com o eixo y c Interseção com o eixo z α PO x A B y C z x x x x x x 1 2 1 3 1 y y y y 1 2 1 y y 3 1 z z z z 1 2 1 z z 3 1 0 III ax by cz d 0 O O O Não basta destruir o que sobra é necessário construir o que falta Anônimo Equação geral do plano que contém o ponto A 3 0 1 e é pa ralelo aos vetores u 1 2 0 e v 0 3 1 Resp 2x y 3z 9 0 Achar a equação do plano que passa pelos pontos P 1 2 3 e Q 1 2 0 e tem a direção do vetor v 2i 3k Resp y 2 0 Obter a equação do plano que contém os pontos A 3 0 1 B 2 1 1 e C 3 2 2 Resp x y 2z 1 0 01 02 03 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi A resolução de cada determinante representado por I II ou III conduz a uma equação linear a três variáveis ax by cz d 0 cognominada equação geral do plano Exercícios 2 PERTINÊNCIA DE PONTO A PLANO 3 INTERSEÇÃO DE UM PLANO COM OS EIXOS COORDENADOS Dado um plano de equação ax by cz d 0 e um ponto P x y z a condição para P pertencer a é x y z α α O O O O O O O O ou seja a tripla deve satisfazer à equação de Exemplo O ponto A 3 1 2 pertence ao plano 2x y 3z 1 0 Seja ax by cz d 0 O plano intercepta o eixo das abscissas no ponto A x 0 0 Pa ra se determinar o ponto A basta fazer y z 0 na equação do plano O plano intercepta o eixo das ordenadas no ponto B 0 y 0 Na equação do plano fazemos x z 0 O plano intercepta o eixo das cotas no ponto C 0 0 z para obtermos suas coordenadas basta fazer x y 0 na equação do plano α α α α α α a Interseção com o eixo x b Interseção com o eixo y c Interseção com o eixo z α PO x A B y C z x x x x x x 1 2 1 3 1 y y y y 1 2 1 y y 3 1 z z z z 1 2 1 z z 3 1 0 III ax by cz d 0 O O O ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exemplo Determinar os pontos de interseção do plano 4x 3y z 12 0 com os eixos coordenados a Interseção com o eixo x Fazendo nulos y e z na equação de 4x 12 0 x 3 A 3 0 0 b Interseção com o eixo y Fazendo x z 0 3y 12 0 y 4 B 0 4 0 c Interseção com o eixo z Fazendo x y 0 z 12 0 z 12 C 0 0 12 d Plotagem do plano no sistema cartesiano α α 4 EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DO PLANO O plano ax by cz d 0 com a b c d 0 corta os eixos car tesianos em três pontos distintos P Q e R que determinam os três segmentos OP OQ e OR lndi caremos por p q e r respectiva mente as medidas desses seg mentos Voltemos à equação de Substituindo 1 em 2 α α x A B C 3 12 4 y 4x 3y z 12 0 z x P Q y R z r q p O 1 d c z d b y d a x ou 1 d cz d by d ax dividindo por d d cz by ax 1 r z q y p x c d r 0 d cr r0 0 R b d q 0 d bq q 0 0 Q a d p 0 d ap 0 0 p P α α α 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exemplo Determinar os pontos de interseção do plano 4x 3y z 12 0 com os eixos coordenados a Interseção com o eixo x Fazendo nulos y e z na equação de 4x 12 0 x 3 A 3 0 0 b Interseção com o eixo y Fazendo x z 0 3y 12 0 y 4 B 0 4 0 c Interseção com o eixo z Fazendo x y 0 z 12 0 z 12 C 0 0 12 d Plotagem do plano no sistema cartesiano α α 4 EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DO PLANO O plano ax by cz d 0 com a b c d 0 corta os eixos car tesianos em três pontos distintos P Q e R que determinam os três segmentos OP OQ e OR lndi caremos por p q e r respectiva mente as medidas desses seg mentos Voltemos à equação de Substituindo 1 em 2 α α x A B C 3 12 4 y 4x 3y z 12 0 z x P Q y R z r q p O 1 d c z d b y d a x ou 1 d cz d by d ax dividindo por d d cz by ax 1 r z q y p x c d r 0 d cr r0 0 R b d q 0 d bq q 0 0 Q a d p 0 d ap 0 0 p P α α α 1 2 Quem aos 20 anos não é de esquerda não tem coração quem continua sendo aos 40 não tem cabeça Autoria incerta Obter a equação segmentária do plano 2x 3y 4z 24 0 Resp Obter os pontos de interseção do plano x 2y 4z 5 0 com os eixos coordenados Resp α 01 02 denominada do plano por interceptar os eixos x y e z em segmentos p q e r Exemplo Obter a equação segmentária do plano 4x 3y 2z 12 0 Solução a plano dado 4x 3y 2z 12 equação segmentária 1 6 z 4 y 3 x ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi z 6 y O 3 x 4 ou 1 12 2z 12 3y 12 4x Exercícios 03 04 05 Determinar a equação do plano que passa pelo ponto A 1 2 1 e que corta os eixos coordenados emsegmentos iguais Resp x y z 2 0 Equação geral do plano que intercepta os eixos y e z em segmentos de comprimento 2 e 2 e passa pelo ponto A 1 3 3 Resp 2x y z 2 0 Determinar o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x 2y 2z 6 0 e pelos planos coordenados Resp 3uv 5 EQUAÇÃO DO PLANOQUEPASSAPORUMPONTO E ORTOGONAL A UM VETOR Queremos a equação do plano que passa pelo ponto P x y z e seja ortogonal ao vetor n ai bj ck Observe que aqui n P P e n α O O O O O O O O é o a um plano e não necessariamente unitário DEDUÇÃO Seja P x y z umponto genérico de Então P P x x i y y j z z k e n ai bj ck Os vetores são ortogonais logo seu produto interno deve ser nulo vetor normal α O n P PO α 1 6 z 8 y 12 x 4 00 5 C 20 0 5 5 00B A Jacir J Venturi 03 Determinar a equagao do plano que passa pelo ponto A 121e que corta os eixos coordenados em segmentos iguais Respxyz20 04 Equagao geral do plano que intercepta os eixos y e z em segmentos de comprimento 2 e 2 e passa pelo ponto A 1 3 3 Resp 2xyz20 05 Determinar o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x 2y 2z60e pelos planos coordenados Resp 3uv 5 EQUAGAO DO PLANO QUE PASSA POR UM PONTO EORTOGONALAUM VETOR n Queremos a equagao do plano a que passa pelo ponto LLL Po Xo Yo Zo e seja ortogonal ELA ao vetor n ai bjck EB EES LZzZZZ Observe que aqui n é 0 74 vetor normal a um plano e nao necessariamente unitario DEDUCAO Seja P x y Z um ponto genérico de a Entao PPoxXo i YYoIZZo Kk nai bj ck Os vetores P P e fh so ortogonais logo seu produto interno deve ser nulo ou ainda ax by cz d 0 Comparando com n verificamos que os coeficientes a b e c da equação geral de um plano são nesta ordem as coordenadas de um a esse plano Exemplo Equação do plano que passa pelo ponto A 1 3 5 e seja orto gonal ao vetor n 2 4 6 Solução Equação do plano 2x 4y 6z d 0 A 1 3 5 21 43 65 d 0 d 44 Resposta 2x 4y 6z 44 0 Resp 3x 2y 5z 17 0 α α α α vetor normal a b c O poder é como violino pegase com a esquerda mas tocase com a direita Anônimo 01 Equação geral do plano que contém o ponto P 0 1 3 e seja ortogonal ao vetor n 3 2 5 O 6 CASOS PARTICULARES DA EQUAÇÃO GERAL DO PLANO A nulidade de um ou mais coeficientes na equação geral do plano fará com que este ocupe um posicionamento particular em relação aos eixos coordenados Na equação ax by cz d 0 se ax by cz 0 com a b c 0 Justificativa O ponto O 0 0 0 verifica a equação ax by cz 0 a by cz d 0 com b c d 0 Justificativa O vetor normal ao plano by cz d 0 é n que é perpendicular ao eixo x Logo o plano é paralelo ao eixo x Analogamente se a ax cz d 0 com a c d 0 c ax by d 0 com a b d 0 1º caso d 0 O plano contém a origem Se o termo independente for nulo o plano conterá a origem 2º Caso a 0 O plano é paralelo ao eixo x b 0 O plano é paralelo ao eixo y c 0 O plano é paralelo ao eixo z 0 b c 02 Determine umvetor unitário perpendicular ao plano Resp ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 2 ou o seu oposto 1 2 2 1 2 Exercícios z x y by cz d 0 P P n 0 ax x by y cz z 0 ou ax by cz ax by cz 0 O O O O O O O 4 4 4 3 4 2 1 d 0 5 y z 2x ou ainda ax by cz d 0 Comparando com n verificamos que os coeficientes a b e c da equação geral de um plano são nesta ordem as coordenadas de um a esse plano Exemplo Equação do plano que passa pelo ponto A 1 3 5 e seja orto gonal ao vetor n 2 4 6 Solução Equação do plano 2x 4y 6z d 0 A 1 3 5 21 43 65 d 0 d 44 Resposta 2x 4y 6z 44 0 Resp 3x 2y 5z 17 0 α α α α vetor normal a b c O poder é como violino pegase com a esquerda mas tocase com a direita Anônimo 01 Equação geral do plano que contém o ponto P 0 1 3 e seja ortogonal ao vetor n 3 2 5 O 6 CASOS PARTICULARES DA EQUAÇÃO GERAL DO PLANO A nulidade de um ou mais coeficientes na equação geral do plano fará com que este ocupe um posicionamento particular em relação aos eixos coordenados Na equação ax by cz d 0 se ax by cz 0 com a b c 0 Justificativa O ponto O 0 0 0 verifica a equação ax by cz 0 a by cz d 0 com b c d 0 Justificativa O vetor normal ao plano by cz d 0 é n que é perpendicular ao eixo x Logo o plano é paralelo ao eixo x Analogamente se a ax cz d 0 com a c d 0 c ax by d 0 com a b d 0 1º caso d 0 O plano contém a origem Se o termo independente for nulo o plano conterá a origem 2º Caso a 0 O plano é paralelo ao eixo x b 0 O plano é paralelo ao eixo y c 0 O plano é paralelo ao eixo z 0 b c 02 Determine um vetor unitário perpendicular ao plano Resp ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 2 ou o seu oposto 1 2 2 1 2 Exercícios z x y by cz d 0 P P n 0 ax x by y cz z 0 ou ax by cz ax by cz 0 O O O O O O O 4 4 4 3 14 2 d 0 5 y z 2x ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi EM RESUMO O plano é sempre paralelo ao eixo da coordena da ausente 3º Caso a d 0 O plano conterá o eixo x b d 0 O plano conterá o eixo y c d 0 O plano conterá o eixo z 4º Caso a b 0 O plano é paralelo ao plano xy a by cz 0 com b c 0 Justificativa O plano by cz 0 além de conter a origem pois d 0 é paralelo ao eixo x pois tem como vetor normal o n 0 b c Analogamente se b ax cz 0 com a c 0 c ax by 0 com a b 0 a cz d 0 com c d 0 Justificativa O plano cz d 0 tem como vetor normal o n que é paralelo ao eixo z lsto posto o plano intercepta o eixo z e é paralelo ao plano xy 0 0 c x O z y by cz 0 x y z cz d 0 k z c d z 0 d Se cz k y b d y 0 d Se by x 3 z z 3 y x y z 0 z k x a d x 0 d Se ax OBSERVAÇÃO OBSERVAÇÃO OBSERVAÇÃO que representa umplano paralelo ao plano xy e intercepta o eixo z no ponto k Em particular z 0 é a equação do plano coordenado xy Assim b ax d 0 com a d 0 Emparticular x 0 é a equação do plano coordenado yz c by d 0 com b d 0 Emparticular y 0 representa o plano coordenado xz b c 0 O plano é paralelo ao plano yz a c 0 O plano é paralelo ao plano xz ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi EM RESUMO O plano é sempre paralelo ao eixo da coordena da ausente 3º Caso a d 0 O plano conterá o eixo x b d 0 O plano conterá o eixo y c d 0 O plano conterá o eixo z 4º Caso a b 0 O plano é paralelo ao plano xy a by cz 0 com b c 0 Justificativa O plano by cz 0 além de conter a origem pois d 0 é paralelo ao eixo x pois tem como vetor normal o n 0 b c Analogamente se b ax cz 0 com a c 0 c ax by 0 com a b 0 a cz d 0 com c d 0 Justificativa O plano cz d 0 tem como vetor normal o n que é paralelo ao eixo z lsto posto o plano intercepta o eixo z e é paralelo ao plano xy 0 0 c x O z y by cz 0 x y z cz d 0 k z c d z 0 d Se cz k y b d y 0 d Se by x 3 z z 3 y x y z 0 z k x a d x 0 d Se ax OBSERVAÇÃO OBSERVAÇÃO OBSERVAÇÃO que representa um plano paralelo ao plano xy e intercepta o eixo z no ponto k Em particular z 0 é a equação do plano coordenado xy Assim b ax d 0 com a d 0 Em particular x 0 é a equação do plano coordenado yz c by d 0 com b d 0 Em particular y 0 representa o plano coordenado xz b c 0 O plano é paralelo ao plano yz a c 0 O plano é paralelo ao plano xz ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi EM RESUMO Se dois dos coeficientes das variáveis forem nulos a equação representa um plano paralelo ao plano das variáveis que não figuram na equação NB Exemplo Indicar o posicionamento de cada plano em relação ao sistema cartesiano a 3x y 4z 0 plano que passa pela origem b 2x 3z 3 0 plano paralelo ao eixo y c 4x 3y 0 plano que contém o eixo z d x 4z 0 plano que contém o eixo y e x 3 0 plano paralelo ao plano yz No E a equação 2x 3y 6 0 representa uma reta Entretanto no E tal equação representa um plano paralelo ao eixo z 2 3 y 2 3 x r 2x 3y 6 0 α 2x 3y 6 0 x 3 2 y z Exercícios Importa muito hoje que o candidato a uma vaga no mercado de trabalho seja comunicativo saiba trabalhar em grupo tenha conhecimento de uma especialidade e seja capaz de tomar decisões Nilson José Machado n 1947 professor da USP numa palestra em Curitiba Dado o plano 2x 3y z 3 0 perguntase se os pontos A 1 1 2 e B 2 0 1 pertencem a Resp A e α α α Β α 01 02 03 04 05 06 07 Obter a equação do plano que passa por P 1 2 1 e Q 3 1 1 e seja paralelo ao eixo y Resp x z 2 0 Calcular a equação do plano passante por P 1 3 3 e paralelo ao plano xy Resp z 3 0 Plano que contém o eixo x e o ponto A 1 3 3 Resp y z 0 Equação cartesiana do plano que passa pelos pontos A 0 1 2 e B 1 3 0 e seja paralelo ao eixo x Resp y z 3 0 Achar m para que o ponto A m 1 2 pertença ao plano x 2y z 5 0 Resp m 5 Nas figuras abaixo determine as equações dos planos sa bendose que Resp a x 2 0 b 2x y 0 c x 2z 4 0 α1 2 3 α α x 2 z y α1 x 4 2 z y α3 x z y α2 P 2 4 2 é paralelo ao eixo y c passa por P e contém o eixo z b é paralelo ao plano yz a 3 2 1 α α α ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi EMRESUMO Se dois dos coeficientes das variáveis forem nulos a equação representa um plano paralelo ao plano das variáveis que não figuram na equação NB Exemplo Indicar o posicionamento de cada plano em relação ao sistema cartesiano a 3x y 4z 0 plano que passa pela origem b 2x 3z 3 0 plano paralelo ao eixo y c 4x 3y 0 plano que contém o eixo z d x 4z 0 plano que contém o eixo y e x 3 0 plano paralelo ao plano yz No E a equação 2x 3y 6 0 representa uma reta Entretanto no E tal equação representa umplano paralelo ao eixo z 2 3 y 2 3 x r 2x 3y 6 0 α 2x 3y 6 0 x 3 2 y z Exercícios Importa muito hoje que o candidato a uma vaga no mercado de trabalho seja comunicativo saiba trabalhar em grupo tenha conhecimento de uma especialidade e seja capaz de tomar decisões Nilson José Machado n 1947 professor da USP numa palestra em Curitiba Dado o plano 2x 3y z 3 0 perguntase se os pontos A 1 1 2 e B 2 0 1 pertencem a Resp A e α α α Β α 01 02 03 04 05 06 07 Obter a equação do plano que passa por P 1 2 1 e Q 3 1 1 e seja paralelo ao eixo y Resp x z 2 0 Calcular a equação do plano passante por P 1 3 3 e paralelo ao plano xy Resp z 3 0 Plano que contém o eixo x e o ponto A 1 3 3 Resp y z 0 Equação cartesiana do plano que passa pelos pontos A 0 1 2 e B 1 3 0 e seja paralelo ao eixo x Resp y z 3 0 Achar m para que o ponto A m 1 2 pertença ao plano x 2y z 5 0 Resp m 5 Nas figuras abaixo determine as equações dos planos sa bendose que Resp a x 2 0 b 2x y 0 c x 2z 4 0 α1 2 3 α α x 2 z y α1 x 4 2 z y α3 x z y α2 P 2 4 2 é paralelo ao eixo y c passa por P e contém o eixo z b é paralelo ao plano yz a 3 2 1 α α α 7 PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS PLANOS Então n e n são respectivamente os vetores normais aos planos e e podem ser representados por 1 2 1 2 α α ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 08 09 Achar a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular ao vetor u 2 1 3 Resp 2x y 3z 0 VISSOTO LEITE A figura abaixo representa um galpão Os números representam as dimensões do galpão Determine a equações dos planos que contêm os telhados e as paredes b o volume do galpão Resp a b 2160 uv Série B Certas escolas têm cheiro de morte por matarem a criatividade dos alunos Anônimo 0 d c z b y a x 0 d c z b y a x os planos Dados 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 α α x A B C D E F G H I y 20 12 8 z 2 O 6 a Condição de paralelismo b Condição de ortogonalidade Os planos paralelos se e somente se os vetores o forem isto é se e somente se os coeficientes das variáveis homônimas forem proporcionais Em particular os planos serão coincidentes se Neste caso a equação do plano é o produto α2 e são n e n e A condição de ortogona lidade de e é a mesma con dição de ortogonalidade dos veto res n e n α α α α α α 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n2 α2 n1 α1 α2 α1 n2 n1 2 1 2 1 2 1 c c b b a a d d c c b b a a 2 1 2 1 2 1 2 1 EIFH y 3z 24 0 IHDG y 3z 36 0 ABFG x 20 0 BCDG y 12 0 OEAF y 0 OEDC x 0 n a i b j c k n a i b j c k 1 2 1 1 1 2 2 2 da equação de por uma constante k α1 a a b b c c 0 1 2 1 2 1 2 7 PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS PLANOS Então n e n são respectivamente os vetores normais aos planos e e podem ser representados por 1 2 1 2 α α ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 08 09 Achar a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular ao vetor u 2 1 3 Resp 2x y 3z 0 VISSOTO LEITE A figura abaixo representa um galpão Os números representam as dimensões do galpão Determine a equações dos planos que contêm os telhados e as paredes b o volume do galpão Resp a b 2160 uv Série B Certas escolas têm cheiro de morte por matarem a criatividade dos alunos Anônimo 0 d c z b y a x 0 d c z b y a x os planos Dados 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 α α x A B C D E F G H I y 20 12 8 z 2 O 6 a Condição de paralelismo b Condição de ortogonalidade Os planos paralelos se e somente se os vetores o forem isto é se e somente se os coeficientes das variáveis homônimas forem proporcionais Em particular os planos serão coincidentes se Neste caso a equação do plano é o produto α2 e são n e n e A condição de ortogona lidade de e é a mesma con dição de ortogonalidade dos veto res n e n α α α α α α 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n2 α2 n1 α1 α2 α1 n2 n1 2 1 2 1 2 1 c c b b a a d d c c b b a a 2 1 2 1 2 1 2 1 EIFH y 3z 24 0 IHDG y 3z 36 0 ABFG x 20 0 BCDG y 12 0 OEAF y 0 OEDC x 0 n a i b j c k n a i b j c k 1 2 1 1 1 2 2 2 da equação de por uma constante k α1 a a b b c c 0 1 2 1 2 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios A metade do mundo sempre serteá adversa se fores bom os maus combaterteão se fores mau os bons combaterteão SUGESTÃO Sabedoria árabe Calcular a e b para que os planos 2x 3y 3 0 e a 2x 6y b 1z 5 0 sejam paralelos Resp a 6 e b 1 Determinar k para que os planos 2x 3z 1 0 e 3x y kz 2 0 sejam ortogonais Resp k 2 Equação do plano que contenha P 0 1 2 e seja paralelo a 2x 3y z 5 0 Resp 2x 3y z 1 0 1 é paralelo a 2 P 20 31 2 d 0 d 1 Equação do plano que passa pelo ponto A 3 5 0 e é a paralelo ao plano 2x y 3z 1 0 b ortogonal aos planos x y 2z 2 0 e x y z 3 0 Resp α α α α α 1 2 2x 3y z d 0 1 01 02 03 04 α α α 1 1 α1 P α2 α1 n2 n1 P α 05 06 07 Obter o plano que contém P 0 1 2 e é ortogonal aos planos x y z 5 0 e 2x 2y z 1 0 Resp x y 1 0 Observe na figura que que remos um plano que passe pelo ponto P 0 1 2 e tenha a di reção dos vetores n 1 1 1 e n 2 2 1 Então α α 1 2 1 2 1 1 1 Obter a equação do plano que passa pelos pontos P 1 3 0 e P 2 0 1 e é ortogonal ao plano x y z 3 0 Resp x y 2z 4 0 Depreendese da figura que queremos um plano que passa pelo ponto P e tem a direção dos vetores P P e n Equação geral do plano que passa pelos pontos A 2 0 5 e B 0 1 0 e é perpendicular ao plano x 3y z 7 0 Resp 2x y z 1 0 1 2 1 α β α 2 1 n α P1 P2 β a 2x y 3z 11 0 b 3x y 2z 14 0 α 0 x 0 1 2 y 1 1 2 z 2 1 1 β 0 x 1 1 1 y 3 3 1 z 0 1 1 SUGESTÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios A metade do mundo sempre serteá adversa se fores bom os maus combaterteão se fores mau os bons combaterteão SUGESTÃO Sabedoria árabe Calcular a e b para que os planos 2x 3y 3 0 e a 2x 6y b 1z 5 0 sejam paralelos Resp a 6 e b 1 Determinar k para que os planos 2x 3z 1 0 e 3x y kz 2 0 sejam ortogonais Resp k 2 Equação do plano que contenha P 0 1 2 e seja paralelo a 2x 3y z 5 0 Resp 2x 3y z 1 0 1 é paralelo a 2 P 20 31 2 d 0 d 1 Equação do plano que passa pelo ponto A 3 5 0 e é a paralelo ao plano 2x y 3z 1 0 b ortogonal aos planos x y 2z 2 0 e x y z 3 0 Resp α α α α α 1 2 2x 3y z d 0 1 01 02 03 04 α α α 1 1 α1 P α2 α1 n2 n1 P α 05 06 07 Obter o plano que contém P 0 1 2 e é ortogonal aos planos x y z 5 0 e 2x 2y z 1 0 Resp x y 1 0 Observe na figura que que remos um plano que passe pelo ponto P 0 1 2 e tenha a di reção dos vetores n 1 1 1 e n 2 2 1 Então α α 1 2 1 2 1 1 1 Obter a equação do plano que passa pelos pontos P 1 3 0 e P 2 0 1 e é ortogonal ao plano x y z 3 0 Resp x y 2z 4 0 Depreendese da figura que queremos um plano que passa pelo ponto P e tem a direção dos vetores P P e n Equação geral do plano que passa pelos pontos A 2 0 5 e B 0 1 0 e é perpendicular ao plano x 3y z 7 0 Resp 2x y z 1 0 1 2 1 α β α 2 1 n α P1 P2 β a 2x y 3z 11 0 b 3x y 2z 14 0 α 0 x 0 1 2 y 1 1 2 z 2 1 1 β 0 x 1 1 1 y 3 3 1 z 0 1 1 SUGESTÃO ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA 08 Obter a equacao do plano perpendicular ao plano xy e que contenha os pontos A 4 7 1e B1 3 1 Resp 4x5y190 Série B Encantamme as pessoas que vao além do seu dever 09 Determinar as coordenadas da projecao ortogonal do ponto P0 12 sobre o plano a 4x2z20 Resp N 2 1 4 5 5 SUGESTAO oP Formula deduzida a pag 133 NPAP vers fi vers ni onde A é um dos infinitos pontos de a PorexA1 13 10 Achar a projegao ortogonal do ponto A 3 1 3 sobre o plano axtyz40 Resp N2 0 2 11 Dado o ponto P 3 6 1e um plano a xy z130 acharo ponto P simétrico de Pem relagaoa a Resp P5 8 3 8 EQUAÇÃO DO FEIXE DE DOIS PLANOS Considere dois pla nos que se interceptam segun do uma reta real r Assim no espaço tridimensional a reta r pode ser representada por Denominamos de eixo r ao conjunto de todos os planos que passam pela reta r Multipliquemos a equação de por um número real e somemos com a equação de Para cada valor de a equação representa um plano que passa pela reta interse e de Consoante o exposto a equação de um plano que passa pela interseção de dois planos pode ser determinada mediante o conhecimento de uma condição que permita calcular a constante A equação que em notação simplificada será representada por é denominada Exemplo Achar a equação do plano que contenha a reta FEIXE DE PLANOS Equação do feixe de planos equação do feixe de dois planos α λ α λ λ 2 1 e ção de e pois qualquer ponto P x y z dessa interseção satisfaz as equações de de 0 α α α α α λα 1 2 1 2 1 2 α α 1 2 08 09 10 11 Obter a equação do plano perpendicular ao plano xy e que contenha os pontos A 4 7 1 e B 1 3 1 Resp 4x 5y 19 0 Determinar as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P 0 1 2 sobre o plano 4x 2z 2 0 Resp Fórmula deduzida à pág 133 onde A é um dos infinitos pontos de Por ex A 1 1 3 Achar a projeção ortogonal do ponto A 3 1 3 sobre o plano x y z 4 0 Resp N 2 0 2 Dado o ponto P 3 6 1 e umplano x y z 13 0 achar o ponto P simétrico de P emrelação a Resp P 5 8 3 Série B Encantamme as pessoas que vão além do seu dever SUGESTÃO α α α α α N P A P vers n vers n ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 5 5 1 9 2 N N n P A r r r α α 1 2 a x b y c z d 0 a x b y c z d 0 1 1 1 1 2 2 2 2 a x b y c z d a x b y c z d 0 1 2 λ 1 1 1 2 2 2 2x y z 1 0 x y 1 0 e o ponto P 1 3 0 02 03 04 05 06 Pedese a equação do plano que passa pela origem e que contém a reta Resp 5x y z 0 Calcular a equação do plano que contém a reta e é perpendicular ao plano x 2z 3 0 Resp 2x y z 6 0 Determinar a equação do plano que passa pela reta de in terseção dos planos x 3y z 3 0 e 3x y 2z 2 0 e é perpendicular ao plano yz Resp 10y z 7 0 Equação do plano determinado pelo ponto A 0 1 1 e pela reta Resp 3x y 4z 5 0 Dado o feixe de planos x y 3z 5 2x 3y 5z 1 0 pedese a equação do plano pertencente ao feixe e que passa pela origem do sistema cartesiano Resp 9x 14y 22z 0 π λ O professor é o mais importante arquiteto Se estes constroem prédios de tijolos e concreto ferro e vidro aquele ergue templos de carne e osso SUGESTÃO João Manoel Simões n 1938 advogado e escritor português radicado no Paraná Obter a equação do plano que contém a reta Resp 2y 3z 2 0 1 Equação do feixe de planos que r x y z 3 x y 2z 5 0 ou 1 x 1 y 1 2 z 3 5 0 0 2 Se o plano deve ser paralelo ao eixo x o seu coeficiente deve ser nulo 1 0 1 λ 01 λ λ λ λ λ λ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Solução a Equação do feixe de planos 2x y z 1 x y 1 0 b P130 21 3 0 1 1 3 1 0 2 c Substituindo 2 em 2x y z 1 2x y 1 0 ou y z 3 0 resposta λ λ λ λ Exercícios x y z 0 y z 2 0 x y 3 0 x 2z 1 0 r α α 1 2 x y z 3 0 x y 2z 5 0 e seja paralelo ao eixo das abscissas x y z 8 0 2x z 4 0 r r r 02 03 04 05 06 Pedese a equação do plano que passa pela origem e que contém a reta Resp 5x y z 0 Calcular a equação do plano que contém a reta e é perpendicular ao plano x 2z 3 0 Resp 2x y z 6 0 Determinar a equação do plano que passa pela reta de in terseção dos planos x 3y z 3 0 e 3x y 2z 2 0 e é perpendicular ao plano yz Resp 10y z 7 0 Equação do plano determinado pelo ponto A 0 1 1 e pela reta Resp 3x y 4z 5 0 Dado o feixe de planos x y 3z 5 2x 3y 5z 1 0 pedese a equação do plano pertencente ao feixe e que passa pela origem do sistema cartesiano Resp 9x 14y 22z 0 π λ O professor é o mais importante arquiteto Se estes constroem prédios de tijolos e concreto ferro e vidro aquele ergue templos de carne e osso SUGESTÃO João Manoel Simões n 1938 advogado e escritor português radicado no Paraná Obter a equação do plano que contém a reta Resp 2y 3z 2 0 1 Equação do feixe de planos que r x y z 3 x y 2z 5 0 ou 1 x 1 y 1 2 z 3 5 0 0 2 Se o plano deve ser paralelo ao eixo x o seu coeficiente deve ser nulo 1 0 1 λ 01 λ λ λ λ λ λ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Solução a Equação do feixe de planos 2x y z 1 x y 1 0 b P130 21 3 0 1 1 3 1 0 2 c Substituindo 2 em 2x y z 1 2x y 1 0 ou y z 3 0 resposta λ λ λ λ Exercícios x y z 0 y z 2 0 x y 3 0 x 2z 1 0 r α α 1 2 x y z 3 0 x y 2z 5 0 e seja paralelo ao eixo das abscissas x y z 8 0 2x z 4 0 r r r ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi α1 α2 α3 P 6x 5y 2z 8 0 x 2y 2z 1 0 6x 2y 5z 1 0 n N P1 PO d P O α 9 DISTÂNCIA DO PONTO P A UM PLANO O α Com o escopo de utilizar a fór mula da página 135 consideremos um ponto genérico P x y z de e o vetor n ai bj ck orto gonal a 1 1 1 1 α α SUGESTÃO Série B estrela de planos Perde tudo quem perde o momento certo OBSERVAÇÃO Provérbio espanhol Os planos 6x 5y 2z 8 0 x 2y 2z 1 0 e 6x 2y 5z 1 0 se interceptam em um único ponto P Determineo Resp P 1 0 1 Resolva o sistema Três ou mais planos que se interceptam segundo um ponto P formam uma O ponto P é o centro da estrela α α α 1 2 3 07 Dados P x y z ax by cz d 0 O O O O α Então dP P P vers n ou em módulo dP P P vers n 1 Porém P P x x y y z z e vers n 2 Substituindo 2 em 1 dP x x y y z z ax x by y cz z ax by cz ax by cz Mas se P x y z ax by cz d 0 ou d ax by cz Conseqüentemente O O O O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O O O 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 α 1 α α α 2 2 2 c b a a b c n n 2 2 2 c b a a b c 2 2 2 c b a 2 2 2 c b a 2 2 2 c b a ax by cz d O O O dP O α ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi α1 α2 α3 P 6x 5y 2z 8 0 x 2y 2z 1 0 6x 2y 5z 1 0 n N P1 PO d P O α 9 DISTÂNCIA DO PONTO P A UM PLANO O α Com o escopo de utilizar a fór mula da página 135 consideremos um ponto genérico P x y z de e o vetor n ai bj ck orto gonal a 1 1 1 1 α α SUGESTÃO Série B estrela de planos Perde tudo quem perde o momento certo OBSERVAÇÃO Provérbio espanhol Os planos 6x 5y 2z 8 0 x 2y 2z 1 0 e 6x 2y 5z 1 0 se interceptam emumúnicopontoP Determineo Resp P 1 0 1 Resolva o sistema Três ou mais planos que se interceptam segundo um ponto P formam uma O ponto P é o centro da estrela α α α 1 2 3 07 Dados P x y z ax by cz d 0 O O O O α Então dP P P vers n ou em módulo dP P P vers n 1 Porém P P x x y y z z e vers n 2 Substituindo 2 em 1 dP x x y y z z ax x by y cz z ax by cz ax by cz Mas se P x y z ax by cz d 0 ou d ax by cz Conseqüentemente O O O O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O O O 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 α 1 α α α 2 2 2 c b a a b c n n 2 2 2 c b a a b c 2 2 2 c b a 2 2 2 c b a 2 2 2 c b a ax by cz d O O O dP O α 10 EQUAÇÕES DOS PLANOS BISSETORES Para uma melhor visualização da figura os planos estão re presentados por seus traços planos de topo Os planos possuem dois planos bissetores Considere Seja P x y z um ponto arbitrário de um plano bissetor As dis tâncias do ponto P às faces do diedro devem ser iguais DEFINIÇÃO Um plano é bissetor quando passa pela interseção de outros dois formando com estes ângulos diedros congruentes α e α 1 2 α α 1 2 e ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios O melhor lenço para uma lágrima é o sorriso da mulher amada SUGESTÃO Dito popular Calcular a distância do ponto P 1 0 1 ao plano 2x 2y 2z 3 0 Resp Os planos x y z 4 0 e 2x 2y 2z 3 0 são paralelos Determinar a distância entre eles Resp Seja P 4 0 0 um ponto qualquer de d dP Achar o ponto do eixo das cotas eqüidistante do ponto A 1 2 0 e do plano 2x 3y 6z 9 0 Resp Obter as equações dos planos paralelos ao plano 2x y 2z 1 0 e que distam 3 unidades da origem Resp 2x y 2z 9 0 O 1 2 O 1 α α α α α α α 1 2 O 2 01 02 03 04 2 3 6 3 5 13 82 0 0 2 ou P 0 0 P PO α1 α2 05 06 Quais os valores de k para que o plano x 2y 2z k 0 diste da origem 4 unidades Resp k 12 Encontrar um ponto do eixo y cuja distância ao plano x 2y 2z 2 0 é de 2 unidades Resp P 0 2 0 ou P 0 4 0 plano bissetor traço de α2 traço de α1 plano bissetor P α α 1 2 a x b y c z d 0 a x b y c z d 0 1 1 1 1 2 2 2 2 dP dP α1 α2 10 EQUAÇÕES DOS PLANOS BISSETORES Para uma melhor visualização da figura os planos estão re presentados por seus traços planos de topo Os planos possuem dois planos bissetores Considere Seja P x y z um ponto arbitrário de um plano bissetor As dis tâncias do ponto P às faces do diedro devem ser iguais DEFINIÇÃO Um plano é bissetor quando passa pela interseção de outros dois formando com estes ângulos diedros congruentes α e α 1 2 α α 1 2 e ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios O melhor lenço para uma lágrima é o sorriso da mulher amada SUGESTÃO Dito popular Calcular a distância do ponto P 1 0 1 ao plano 2x 2y 2z 3 0 Resp Os planos x y z 4 0 e 2x 2y 2z 3 0 são paralelos Determinar a distância entre eles Resp Seja P 4 0 0 um ponto qualquer de d dP Achar o ponto do eixo das cotas eqüidistante do ponto A 1 2 0 e do plano 2x 3y 6z 9 0 Resp Obter as equações dos planos paralelos ao plano 2x y 2z 1 0 e que distam 3 unidades da origem Resp 2x y 2z 9 0 O 1 2 O 1 α α α α α α α 1 2 O 2 01 02 03 04 2 3 6 3 5 13 82 0 0 2 ou P 0 0 P PO α1 α2 05 06 Quais os valores de k para que o plano x 2y 2z k 0 diste da origem 4 unidades Resp k 12 Encontrar um ponto do eixo y cuja distância ao plano x 2y 2z 2 0 é de 2 unidades Resp P 0 2 0 ou P 0 4 0 plano bissetor traço de α2 traço de α1 plano bissetor P α α 1 2 a x b y c z d 0 a x b y c z d 0 1 1 1 1 2 2 2 2 dP dP α1 α2 Nada de grandioso pode ser obtido sem entusiamo Pequenas coisas só afetam as mentes pequenas SUGESTÃO Ralph Waldo Emerson 18031882 poeta e filósofo norteamericano Benjamin Disraeli 18041881 político e escritor inglês Dados os planos x 2y 3z 1 0 e 3x y 2z 5 0 obter a a equação dos planos bissetores b o ângulo agudo entre os planos e Resp a 2x 3y 5z 4 0 e 4x y z 6 0 b Determinar o valor de k para que seja de 60º o ângulo entre os planos kx 2y 2z 1 0 e x y z 3 0 Resp Escrever as equações dos planos que contém a reta e que formam com o plano x y z 1 0 umângulo de 60º Resp 1 Equação do feixe de planos que r x z y 2 0 ou x y z 2 0 1 2 Aplique a fórmula do ângulo entre os planos 1 e α α α α α α α λ λ λ α 1 2 1 2 1 2 Série B 01 02 03 0 2 6 6y z x que representam as equações dos dois planos bissetores do diedro formado pelos planos e ou α1 2 Emparticular se 90º então cos 0 donde que obviamente indica a já conhecida condição de ortogonalidade de dois planos θ θ α α α α α Sejam n a i b j c k e n a i b j c k os vetores normais dos planos respectivamente Considere o menor ângulo entre os vetores n e n Por construção também é o menor ângulo entre os planos Do produ to escalar 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 e e θ θ a a b b c c 0 1 2 1 2 1 2 11 ÂNGULO DE DOIS PLANOS ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi n1 n2 α2 α1 θ θ 69º04 14 arc cos 5 θ Exercícios 2 6 k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 c b a d c z b y x a c b a d c z b y x a Dados a x b y c z d 0 a x b y c z d 0 α α 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 90º com 0º n n n n cos 2 1 2 1 θ θ c b a c b a c c b b a a cos 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 θ x z 0 y 2 0 r Nada de grandioso pode ser obtido sem entusiamo Pequenas coisas só afetam as mentes pequenas SUGESTÃO Ralph Waldo Emerson 18031882 poeta e filósofo norteamericano Benjamin Disraeli 18041881 político e escritor inglês Dados os planos x 2y 3z 1 0 e 3x y 2z 5 0 obter a a equação dos planos bissetores b o ângulo agudo entre os planos e Resp a 2x 3y 5z 4 0 e 4x y z 6 0 b Determinar o valor de k para que seja de 60º o ângulo entre os planos kx 2y 2z 1 0 e x y z 3 0 Resp Escrever as equações dos planos que contém a reta e que formam com o plano x y z 1 0 um ângulo de 60º Resp 1 Equação do feixe de planos que r x z y 2 0 ou x y z 2 0 1 2 Aplique a fórmula do ângulo entre os planos 1 e α α α α α α α λ λ λ α 1 2 1 2 1 2 Série B 01 02 03 0 2 6 6y z x que representam as equações dos dois planos bissetores do diedro formado pelos planos e ou α1 2 Emparticular se 90º então cos 0 donde que obviamente indica a já conhecida condição de ortogonalidade de dois planos θ θ α α α α α Sejam n a i b j c k e n a i b j c k os vetores normais dos planos respectivamente Considere o menor ângulo entre os vetores n e n Por construção também é o menor ângulo entre os planos Do produ to escalar 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 e e θ θ a a b b c c 0 1 2 1 2 1 2 11 ÂNGULO DE DOIS PLANOS ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi n1 n2 α2 α1 θ θ 69º04 14 arc cos 5 θ Exercícios 2 6 k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 c b a d c z b y x a c b a d c z b y x a Dados a x b y c z d 0 a x b y c z d 0 α α 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 90º com 0º n n n n cos 2 1 2 1 θ θ c b a c b a c c b b a a cos 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 θ x z 0 y 2 0 r 04 05 06 Calcular o ângulo entre o plano coordenado yz e o plano x y z 3 0 Resp Obter a equação do plano bissetor do diedro de ângulo agudo formado pelos planos 3x 2y 6z 7 0 e 3x 6y 2z 9 0 Resp 4y 4z 1 0 a Calcule os planos bis setores 6x 4y 4z 16 0 4y 4z 1 0 b Tome um ponto de um dos planos dados Seja P 3 0 0 Calcule as distâncias de P aos dois planos bisseto res Das duas distâncias a é a menor lpso facto é o plano bissetor do ângulo agudo Achar a equação do plano bissetor do diedro obtuso cujas faces são os planos 2x 3y 6z 9 e 2x 6y 3z 7 Resp 4x 3y 3z 16 0 α α β β α 1 2 1 2 2 2 2 SOFISMAS Como Deus é onipotente Ele pode fazer absolutamente tudo Mas Poderia modificar o passado Seria capaz de construir uma pedra tão pesada que Ele próprio não pudesse carregar É justo que Ele permita que o justo sofra por ser justo dP 2 β2 β2 OMAISNOTÁVELSÍMBOLOMATEMÁTICO Oπ Sabemos que o é uma constante obtida pela fórmula onde C é o comprimento da circunferência e D o seu diâmetro A letra é a inicial da palavra grega que significa circunferência periferia O símbolo foi implantado porWilliam Jones em 1706 porém há registros do cálculo do quociente na mais remota antigüidade babilônios egíp cios gregos Arquimedes 287 212 aC em um círculo dado ins creveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve de forma não empírica o mais acertado valor para na antigüi dade Uma metodologia absolutamente precisa para se calcular o valor de surgiu em 1671 como conseqüência da série de James Gregory e Leibniz Por essa série em 1824 orientado por Gauss o matemático Dase calculista rápido como um relâmpago calculou o número com 200 casas decimais Em 1873 o algebrista inglês W Shanks chegou manualmente a 707 casas Verificouse mais tarde que cometeu erros a partir da 528ª casa e contase que teria levado cinco anos para a execução manual dos cálculos Em 1988 o japonês Y Kanada conseguiu calcular o com 200 milhões de casas decimais O supercomputador levou apenas seis horas para fazer os cálculos Único objetivo O é um número irracional e para 8 casas decimais tem o valor 314159265 A frase a seguir representa um artifício para memorizá lo SOU O MEDO E TEMOR CONSTANTE DO MENINO VADIO onde cada palavra encerra um número de letras que coincide com cada algarismo de π π περιϕερια π π π π π π π π marketing ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 3 3 arc cos θ 17 1 68 2 dP 2 1 β 32 1 dP 2 2 β D C π D C 70 310 71 310 π 11L 1 9 1 7 1 5 1 3 1 1 4 π P2 α2 α1 β2 bissetor β1 bissetor SUGESTÃO Jacir J Venturi 0 7 NAERADAINFORMATICA No século XX surge a informatica Como se a busca pelo valor do x constituisse uma heranga genética bendita desde os antigos babilénios adivinhe qual foi um dos primeiros trabalhos realizados pelo legendario computador ENIAC Sim em 1949 suas 17468 valvulas e 30 toneladas de peso calcularam 2037 casas decimais em apenas 70h Em 1959 0 computador IBM 704 calculou 10000 casas decimais em apenas the 40min Uma experiéncia notavel foi efetivada em 1999 por dois matematicos japoneses Takahashi e Kanada Eles calcularam o x com 206158430000 digitos Estes calculos foram desenvolvidos na Universidade de Tdéquio e foi utilizado um supercomputador Hitachi O tempo gasto foi de 37h21min4s O curioso é que os matematicos japoneses utilizaram dois algoritmos distintos de GaussLegendre e de Borwein Os dois métodos s6 apresentaram diferenga nos 45 ultimos algarismos Parecia ser a pa de cal para o calculo do z Mas nao Em 2003 o pertinaz Kanada e sua equipe chegaram a 1241100000000 casas decimais Unico intuito marketing do fabricante de computadores Ja se definiu a Matematica como uma Ciéncia melancdélica Este modesto texto mostra o quanto ela é pujante criativa e engenhosa Inutil e melancélica foi a noticia dada pela Gazeta do Povo 31000 Em 1995 um japonés recitou de memoria 42000 primeiros digitos do n2 em apenas 9h Quer uma forma mneméonica para decorar o x com 11 algarismos A frase a seguir representa um artificio para memorizalo SOU O MEDO E TEMOR CONSTANTE DO MENINO VADIO BEM VADIO em que cada palavra encerra um numero de letras que coincide com cada algarismo de zx Vocé sabia que ha 0 dia internacional dedicado ao x Adivinhe qual é Resposta 314 ou seja 14de marco Do autor ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi C A P Í T U L O A Reta no E 3 1 EQUAÇÕES DA RETA Qualquer representação cartesiana de uma reta no espaço tridi mensional se faz com pelo menos duas equações S a Equações paramétricas da reta eja r uma reta passante por P x y z e paralela ao não nulo vetor r i mj nk O vetor r é denominado da reta r Um ponto P x y z perten ce à reta r se e somente se os vetores P P e r forem parale los O O O O O l ve tor diretor z x y O PO r P r Esta é a equação da reta r no E t é cha mado parâmetro vetorial paramétrica 3 lntroduzindo as coordenadas de P P e r em 1 obtémse x x t y y mt z z nt cognominadas da reta lsolandose o parâmetro t em cada uma das equações paramétri cas e igualando as expressões obtémse que são denominadas da reta r CONVENÇÃO A nulidade de um denominador implica na nulida de do correspondente numerador l Umdosdenominadores é nulo Se por exemplo n 0 z z 0 z z Neste caso a reta é paralela ao plano cartesiano xy pois o seu vetor diretor r é parale lo a tal plano Por conseguinte ou O O O O O O l equações paramétricas b Equações simétricas da reta equações simétricas Casos particulares das equações simétricas m 0 l z zO O α r y x P P tr t R O ou P P tr 1 O n z z m y y x x O O O l 0 z z m y y x x O O O l t r r onde m 0 l m y y x x z z O O O l ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi C A P Í T U L O A Reta no E 3 1 EQUAÇÕES DA RETA Qualquer representação cartesiana de uma reta no espaço tridi mensional se faz com pelomenos duas equações S a Equações paramétricas da reta eja r uma reta passante por P x y z e paralela ao não nulo vetor r i mj nk O vetor r é denominado da reta r Um ponto P x y z perten ce à reta r se e somente se os vetores P P e r forem parale los O O O O O l ve tor diretor z x y O PO r P r Esta é a equação da reta r no E t é cha mado parâmetro vetorial paramétrica 3 lntroduzindo as coordenadas de P P e r em 1 obtémse x x t y y mt z z nt cognominadas da reta lsolandose o parâmetro t em cada uma das equações paramétri cas e igualando as expressões obtémse que são denominadas da reta r CONVENÇÃO A nulidade de um denominador implica na nulida de do correspondente numerador l Um dos denominadores é nulo Se por exemplo n 0 z z 0 z z Neste caso a reta é paralela ao plano cartesiano xy pois o seu vetor diretor r é parale lo a tal plano Por conseguinte ou O O O O O O l equações paramétricas b Equações simétricas da reta equações simétricas Casos particulares das equações simétricas m 0 l z zO O α r y x P P tr t R O ou P P tr 1 O n z z m y y x x O O O l 0 z z m y y x x O O O l t r r onde m 0 l m y y x x z z O O O l ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi II Dois denominadores são concomitantemente nulos Se por exemplo m 0 e n 0 se infere que a reta é paralela ao eixo das cotas uma vez que o seu vetor diretor é r 0 0 n Assim Considere a reta r indivi dualizada por dois pontos P x y z e P x y z e seja P x y z um ponto ge nérico de tal reta Por conseguinte a reta r passa pelo ponto P e tem como vetor diretor o vetor P P que representam as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos P e P l c Equações simétricas da reta por dois pontos 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 z O xO x y yO r x y O P1 P2 P r z d Equações da reta determinada pela interseção de dois planos e Equações reduzidas da reta equações reduzidas Cumpre lembrar o já exposto no capítulo de plano que uma reta no espaço E pode ser determinada pela interseção de dois planos Das equações simétricas de uma reta r temos duas igualdades independentes entre si Isolandose a variável y em1 y p x q lsolandose a variável z em2 z p x q Destarte as de uma reta com variável independente x são representadas por 3 1 1 2 2 α α 0 d c z b y a x 0 d c z b y a x r 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n z z m y y x x o o o l 2 x x n z z 1 x x m y y o o o o l l 2 2 1 1 q p x z q p x y r α1 α2 n z z 0 y y 0 x x O O O t n z z y y x x O O O r 1 2 1 1 2 1 1 2 1 z z z z y y y y x x x x r ou r ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi II Dois denominadores são concomitantemente nulos Se por exemplo m 0 e n 0 se infere que a reta é paralela ao eixo das cotas uma vez que o seu vetor diretor é r 0 0 n Assim Considere a reta r indivi dualizada por dois pontos P x y z e P x y z e seja P x y z um ponto ge nérico de tal reta Por conseguinte a reta r passa pelo ponto P e tem como vetor diretor o vetor P P que representam as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos P e P l c Equações simétricas da reta por dois pontos 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 z O xO x y yO r x y O P1 P2 P r z d Equações da reta determinada pela interseção de dois planos e Equações reduzidas da reta equações reduzidas Cumpre lembrar o já exposto no capítulo de plano que uma reta no espaço E pode ser determinada pela interseção de dois planos Das equações simétricas de uma reta r temos duas igualdades independentes entre si Isolandose a variável y em1 y p x q lsolandose a variável z em2 z p x q Destarte as de uma reta com variável independente x são representadas por 3 1 1 2 2 α α 0 d c z b y a x 0 d c z b y a x r 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n z z m y y x x o o o l 2 x x n z z 1 x x m y y o o o o l l 2 2 1 1 q p x z q p x y r α1 α2 n z z 0 y y 0 x x O O O t n z z y y x x O O O r 1 2 1 1 2 1 1 2 1 z z z z y y y y x x x x r ou r ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Geometricamente a reta intercepta o plano yz no ponto é o seu vetor diretor Ademais cada uma das equações reduzidas da reta representa um plano e a reta é portanto determinada pela interseção de dois planos cada um dos quais paralelo a um eixo coordenado Dependendo da posição da reta r poderseà usar como variável independente não só o x como também o y ou então o z Exemplo Achar as equações reduzidas da reta com variável independente x RESOLUÇÃO b lsolandose y em 1 e z em2 A reta r representada por suas equações reduzidas é fruto da interseção dos planos Observe que os planos e são paralelos aos eixos z e y respectivamente A reta r fura o plano yz no ponto P 0 3 2 e tem como vetor diretor o α α 1 2 O P 0 q q e v 1 p p O 1 2 1 2 2 2 1 1 q p x z q p x y r 2 z 2 3 y 3 2 r x 2 2 x 2 2 z 1 2 x 3 3 y r 2 z 2 3 y 3 2 x a Resposta 2 x z 3 2 3x y r 2 x z 3 e 2 3x y 2 1 α α 2 1 1 3 v 2 α2 y PO x O 2 z α1 3 r Exercícios A Matemática é a única linguagem que temos em comum com a natureza STEPHEN HAWKING n 1942 doutor em Cambridge considerado o mais brilhante físico teórico desde Einstein Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A 1 3 0 e é paralela ao vetor v Resp Obter as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos A 1 3 2 e B 5 2 2 Resp A reta r passa pelo ponto P 1 2 0 e tem a direção do vetor v Determinar as equações reduzidas de r com variável indepen dente x Resp Estabelecer as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos P 0 4 5 e Q 1 2 2 Resp y 2x 4 z 3x 5 São dadas as equações paramétricas de Obter as equações simétricas de r Resp 01 02 03 04 05 3 4 1 3i j k 1 z 4 y 3 3 x 1 0 z 2 1 y 3 4 x 1 3 1 x z 3 5 x y 5t z 3t 2 y 2t 1 x r 5 z 3 2 y 2 x 1 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Geometricamente a reta intercepta o plano yz no ponto é o seu vetor diretor Ademais cada uma das equações reduzidas da reta representa um plano e a reta é portanto determinada pela interseção de dois planos cada um dos quais paralelo a umeixocoordenado Dependendo da posição da reta r poderseà usar como variável independente não só o x como também o y ou então o z Exemplo Achar as equações reduzidas da reta com variável independente x RESOLUÇÃO b lsolandose y em 1 e z em2 A reta r representada por suas equações reduzidas é fruto da interseção dos planos Observe que os planos e são paralelos aos eixos z e y respectivamente A reta r fura o plano yz no ponto P 0 3 2 e tem como vetor diretor o α α 1 2 O P 0 q q e v 1 p p O 1 2 1 2 2 2 1 1 q p x z q p x y r 2 z 2 3 y 3 2 r x 2 2 x 2 2 z 1 2 x 3 3 y r 2 z 2 3 y 3 2 x a Resposta 2 x z 3 2 3x y r 2 x z 3 e 2 3x y 2 1 α α 2 1 1 3 v 2 α2 y PO x O 2 z α1 3 r Exercícios A Matemática é a única linguagem que temos em comum com a natureza STEPHEN HAWKING n 1942 doutor em Cambridge considerado o mais brilhante físico teórico desde Einstein Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A 1 3 0 e é paralela ao vetor v Resp Obter as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos A 1 3 2 e B 5 2 2 Resp A reta r passa pelo ponto P 1 2 0 e tem a direção do vetor v Determinar as equações reduzidas de r com variável indepen dente x Resp Estabelecer as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos P 0 4 5 e Q 1 2 2 Resp y 2x 4 z 3x 5 São dadas as equações paramétricas de Obter as equações simétricas de r Resp 01 02 03 04 05 3 4 1 3i j k 1 z 4 y 3 3 x 1 0 z 2 1 y 3 4 x 1 3 1 x z 3 5 x y 5t z 3t 2 y 2t 1 x r 5 z 3 2 y 2 x 1 10 11 Dada a reta r como interseção de dois planos obter a sua equação simétrica Dada Resp Obtenha dois pontos P e P de r 1 fazendo por exemplo y 0 em r resulta o sistema 2 fazendo por exemplo y 1 emrresulta o sistema 3 NB Cumpre destacar que para subtraendo de cada membro do numerador da resposta adotouse o ponto P 2 0 0 No entanto poderseia adotar o ponto P 0 1 1 ou qualquer outro ponto da reta r Pedese a equação simétrica de Resp SUGESTÃO 1 2 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 06 Verificar se os pontos P 4 2 0 e Q 1 0 1 pertencem à reta Resp P r e Q r Determinar o ponto da reta que tenha ordenada 5 Pedese também o vetor diretor de r Resp O ponto A 0 x y pertence à reta determinada pelos pontos P 1 2 0 e Q 2 3 1 Achar A Resp A 0 1 1 Complete a A reta é paralela ao plano b A reta é paralela ao eixo d A reta é paralela ao plano d A reta é paralela ao eixo Resp a yz b x c xy d y P 7 5 0 e r 1 1 1 07 08 09 1 1 z 2 y 3 r x 1 4 t z 1 t y t 3 x r 1 1 z 2 y 3 0 x 1 0 z 2 0 1 y 3 1 x 2 1 z y 1 2 1 x 3 z 3t 2 y 2 x r 0 3y z 2 x 0 z 2 y x r 1 z 0 1 y 0 2 r x 2 2 0 0 P 0 z 2 x 0 x z 2 0 z 2 x 1 0 1 1 P 1 z 0 x 0 1 x z 0 z 1 x 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 z z z z y y y y x x r x x 1 z 0 1 y 0 2 x 2 r 1 z 1 1 y 1 2 x 0 r 0 3 y 5z 4x 0 3 z x 2y s 1 z 1 1 y 2 1 s x 0 r P1 P2 10 11 Dada a reta r como interseção de dois planos obter a sua equação simétrica Dada Resp Obtenha dois pontos P e P de r 1 fazendo por exemplo y 0 em r resulta o sistema 2 fazendo por exemplo y 1 em r resulta o sistema 3 NB Cumpre destacar que para subtraendo de cada membro do numerador da resposta adotouse o ponto P 2 0 0 No entanto poderseia adotar o ponto P 0 1 1 ou qualquer outro ponto da reta r Pedese a equação simétrica de Resp SUGESTÃO 1 2 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 06 Verificar se os pontos P 4 2 0 e Q 1 0 1 pertencem à reta Resp P r e Q r Determinar o ponto da reta que tenha ordenada 5 Pedese também o vetor diretor de r Resp O ponto A 0 x y pertence à reta determinada pelos pontos P 1 2 0 e Q 2 3 1 Achar A Resp A 0 1 1 Complete a A reta é paralela ao plano b A reta é paralela ao eixo d A reta é paralela ao plano d A reta é paralela ao eixo Resp a yz b x c xy d y P 7 5 0 e r 1 1 1 07 08 09 1 1 z 2 y 3 r x 1 4 t z 1 t y t 3 x r 1 1 z 2 y 3 0 x 1 0 z 2 0 1 y 3 1 x 2 1 z y 1 2 1 x 3 z 3t 2 y 2 x r 0 3y z 2 x 0 z 2 y x r 1 z 0 1 y 0 2 r x 2 2 0 0 P 0 z 2 x 0 x z 2 0 z 2 x 1 0 1 1 P 1 z 0 x 0 1 x z 0 z 1 x 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 z z z z y y y y x x r x x 1 z 0 1 y 0 2 x 2 r 1 z 1 1 y 1 2 x 0 r 0 3 y 5z 4x 0 3 z x 2y s 1 z 1 1 y 2 1 s x 0 r P1 P2 12 13 14 Equação do plano que contém a reta r e o ponto A Dados A 1 0 2 e r x 1 y 3 z Resp x 2y 3z 5 0 1 Equação de r como interseção de 2 planos 2 Equação do feixe de planos que r 0 1 3 A 1 Obter a equação do plano determinado pelo ponto A 0 1 1 e pela reta Resp 3x y 4z 5 0 Achar a equação do plano e que concomitantemente a passe pelo ponto A 0 1 2 b seja paralelo à c seja perpendicular ao plano 2x y z 2 0 Resp x 4y 2z 8 0 SUGESTÃO α λα α β 1 2 A figura mostra que o plano contém o ponto A 0 1 2 e é paralelo aos vetores r 2 0 1 e n 2 1 1 Então α Série B Qualquer professor que possa ser substituído por um computador deve ser substituído SUGESTÃO Arthur Clarke n 1918 escritor inglês e autor de 2001 Uma odisséia no espaço Calcule as medidas dos ângulos que a reta forma com os eixos coordenados Resp Calcule os cosenos diretores do vetor r 2i 3j 6k 16 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi α α 0 3 y z 0 x z 1 r 2 1 0 2z 1 x 0 y 3 x r 1 1 z 0 y 1 2 r x 15 Encontrar a projeção ortogonal da reta r x y 1 z 2 sobre o plano coordenado xy Resp Sejam P 0 1 2 e P 1 2 3 pontos da reta r e P 0 1 0 e P 1 2 0 as respectivas pro jeções ortogonais sobre o plano xy 1 2 1 2 SUGESTÃO 0 z 1 y 1 1 x r 6 z 3 y 3 2 r x 5 73º 7 2 cos α α 65º e 7 3 cos β β 31º 7 6 cos γ γ 7 2 36 9 4 2 z y x x ex cos Por 2 2 2 α P1 P2 z r O X y P1 r P2 n A α r β SUGESTÃO α 0 x 2 2 y 1 0 1 z 2 1 1 12 13 14 Equação do plano que contém a reta r e o ponto A Dados A 1 0 2 e r x 1 y 3 z Resp x 2y 3z 5 0 1 Equação de r como interseção de 2 planos 2 Equação do feixe de planos que r 0 1 3 A 1 Obter a equação do plano determinado pelo ponto A 0 1 1 e pela reta Resp 3x y 4z 5 0 Achar a equação do plano e que concomitantemente a passe pelo ponto A 0 1 2 b seja paralelo à c seja perpendicular ao plano 2x y z 2 0 Resp x 4y 2z 8 0 SUGESTÃO α λα α β 1 2 A figura mostra que o plano contém o ponto A 0 1 2 e é paralelo aos vetores r 2 0 1 e n 2 1 1 Então α Série B Qualquer professor que possa ser substituído por um computador deve ser substituído SUGESTÃO Arthur Clarke n 1918 escritor inglês e autor de 2001 Uma odisséia no espaço Calcule as medidas dos ângulos que a reta forma com os eixos coordenados Resp Calcule os cosenos diretores do vetor r 2i 3j 6k 16 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi α α 0 3 y z 0 x z 1 r 2 1 0 2z 1 x 0 y 3 x r 1 1 z 0 y 1 2 r x 15 Encontrar a projeção ortogonal da reta r x y 1 z 2 sobre o plano coordenado xy Resp Sejam P 0 1 2 e P 1 2 3 pontos da reta r e P 0 1 0 e P 1 2 0 as respectivas pro jeções ortogonais sobre o plano xy 1 2 1 2 SUGESTÃO 0 z 1 y 1 1 x r 6 z 3 y 3 2 r x 5 73º 7 2 cos α α 65º e 7 3 cos β β 31º 7 6 cos γ γ 7 2 36 9 4 2 z y x x ex cos Por 2 2 2 α P1 P2 z r O X y P1 r P2 n A α r β SUGESTÃO α 0 x 2 2 y 1 0 1 z 2 1 1 2 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS No espaço E duas reta r e r podem ser As retas r e r jazem no mes mo plano e têm a mesma dire ção Como caso particular as re tas r e r podem ser coincidentes 3 1 2 1 2 1 2 a Coplanares e paralelas α 21 22 Achar o ponto P em que a reta intercepta o plano coordenado xy Resp P 2 1 0 Dada a figura abaixo onde o plano é paralelo ao eixo z e o plano é paralelo ao plano xy A reta r é a interseção de e Pedese a equações simétricas de r b equação do feixe de planos por r Resp a b 3x 2y 6 z 4 0 ou z 4 3x 2y 6 0 α β α β λ λ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 17 18 19 20 A reta r passa pelo ponto A 1 2 3 e forma com os eixos x y e z respectivamente ângulos de 60º 90º e 30º Resp Achar a reta r obtida pela interseção do plano 2x 3y 4z 12 0 com o plano xy Resp 1 Equação segmentária de 2 Cálculo dos pontos P e Q P 6 0 0 e Q 0 4 0 3 Obter a reta PQ Equação do plano que contém o ponto A 2 1 3 e é paralelo às retas Resp 3x y 5z 10 0 Num cubo são conhecidos 4 de seus vértices P 2 2 0 P 2 4 0 P 0 4 0 e P 2 2 2 Determine os pontos onde a reta fura o cubo Resp α α 1 2 3 4 3 3 z 0 2 y 1 x 1 0 z 4 y 6 x 6 1 3 z 4 y 6 x 3 z y 2z 1 s x e 2 z 3t 1 y t 2 x r 1 z 2 2 y 2 0 r x 1 0 y 2z 1 x 0 z 3 y 2x r 0 z 4 3 y 2 r x 2 x P y z r Q 6 4 r1 r2 SUGESTÃO P122e P141 z 4 O 2 3 y x r β α 2 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS No espaço E duas reta r e r podem ser As retas r e r jazem no mes mo plano e têm a mesma dire ção Como caso particular as re tas r e r podem ser coincidentes 3 1 2 1 2 1 2 a Coplanares e paralelas α 21 22 Achar o ponto P em que a reta intercepta o plano coordenado xy Resp P 2 1 0 Dada a figura abaixo onde o plano é paralelo ao eixo z e o plano é paralelo ao plano xy A reta r é a interseção de e Pedese a equações simétricas de r b equação do feixe de planos por r Resp a b 3x 2y 6 z 4 0 ou z 4 3x 2y 6 0 α β α β λ λ ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 17 18 19 20 A reta r passa pelo ponto A 1 2 3 e forma com os eixos x y e z respectivamente ângulos de 60º 90º e 30º Resp Achar a reta r obtida pela interseção do plano 2x 3y 4z 12 0 com o plano xy Resp 1 Equação segmentária de 2 Cálculo dos pontos P e Q P 6 0 0 e Q 0 4 0 3 Obter a reta PQ Equação do plano que contém o ponto A 2 1 3 e é paralelo às retas Resp 3x y 5z 10 0 Num cubo são conhecidos 4 de seus vértices P 2 2 0 P 2 4 0 P 0 4 0 e P 2 2 2 Determine os pontos onde a reta fura o cubo Resp α α 1 2 3 4 3 3 z 0 2 y 1 x 1 0 z 4 y 6 x 6 1 3 z 4 y 6 x 3 z y 2z 1 s x e 2 z 3t 1 y t 2 x r 1 z 2 2 y 2 0 r x 1 0 y 2z 1 x 0 z 3 y 2x r 0 z 4 3 y 2 r x 2 x P y z r Q 6 4 r1 r2 SUGESTÃO P122e P141 z 4 O 2 3 y x r β α A condição de ortogonalidade entre as retas r e r coincide com a dos vetores NB Autores há que estabelecem uma acepção diferente no que tange a retas perpendiculares e retas ortogonais duas retas r e r são ortogonais se formarem entre si um ângulo reto duas retas r e s são perpendiculares se além de formarem um ângulo reto forem concorrentes b Condição de ortogonalidade 1 2 1 2 r e r 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Coplanares e concorrentes c Reversas a Condição de paralelismo As retas r e r estão contidas no mesmo plano e se intercep tam num ponto P As coordenadas de P x y z satisfazem o sistema formado por r e r As retas r e r perten cem a planos distintos e não têm ponto próprio ou impróprio em comum Conhecendose as retas r e r por suas equações simétricas 1 2 1 2 1 2 1 2 α 3 CONDIÇÕES DE PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS A reta r tem a direção do vetor r i m j n k Por sua vez a reta r tem a direção do vetor r i m j n k A condição para que as retas r e r sejam paralelas é que seus vetores diretores o sejam 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 l l P r2 r1 α1 α2 r1 r2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n z z m y y x x r n z z m y y x x r l l 0 n n m m 2 1 2 1 1 2 l l r2 α r1 α r2 α r1 α r e r são ortogonais 1 2 r e r são perpendiculares 1 2 r r 1 2 r1 r2 2 1 2 1 2 1 n n m m l l A condição de ortogonalidade entre as retas r e r coincide com a dos vetores NB Autores há que estabelecem uma acepção diferente no que tange a retas perpendiculares e retas ortogonais duas retas r e r são ortogonais se formarem entre si um ângulo reto duas retas r e s são perpendiculares se além de formarem um ângulo reto forem concorrentes b Condição de ortogonalidade 1 2 1 2 r e r 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Coplanares e concorrentes c Reversas a Condição de paralelismo As retas r e r estão contidas no mesmo plano e se intercep tam num ponto P As coordenadas de P x y z satisfazem o sistema formado por r e r As retas r e r perten cem a planos distintos e não têm ponto próprio ou impróprio em comum Conhecendose as retas r e r por suas equações simétricas 1 2 1 2 1 2 1 2 α 3 CONDIÇÕES DE PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS A reta r tem a direção do vetor r i m j n k Por sua vez a reta r tem a direção do vetor r i m j n k A condição para que as retas r e r sejam paralelas é que seus vetores diretores o sejam 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 l l P r2 r1 α1 α2 r1 r2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n z z m y y x x r n z z m y y x x r l l 0 n n m m 2 1 2 1 1 2 l l r2 α r1 α r2 α r1 α r e r são ortogonais 1 2 r e r são perpendiculares 1 2 r r 1 2 r1 r2 2 1 2 1 2 1 n n m m l l 04 4 CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS Calcular k para que as retas r e s sejam ortogonais Dadas Resp k 3 A reta r contém o ponto P x y z e tem a direção do vetor r i m j n k A reta r contém o ponto P x y z e tem a direção do vetor r i m j n k As retas r e r serão coplanares se e somente se os vetores P P r e r o forem 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 l l Dadas as retas ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios Pessoas que são boas em arranjar desculpas raramente são boas em qualquer outra coisa SUGESTÃO SUGESTÃO Benjamin Franklin 17061790 político físico e filósofo americano Equação da reta que passa por P 1 2 0 e é paralela à reta Resp Provar que as retas Obter as equações simétricas de r e s e verificar que Determinar as equações simétricas da reta r sabendose que passa pelo ponto P 3 5 2 e é concomitantemente ortogonal ao eixo x e à reta Resp 1 A reta r tem a forma 2 lmponha a condição de ortogonalidade entre r e s 01 02 03 2 1 z 0 y 3 2 r x 2 z 0 2 y 3 1 x 0 2z y x 0 1 y x r 0 1 6z 3y 3x 0 1 2y 2x s 2 1 2 1 2 1 n n m m l l 2t z t 2 y 3 t 1 x s e 3 x z 2 kx y r 1 1 z 2 3 y 0 1 s x 2 2 z 1 5 3 y x 1 1 1 1 1 1 1 n z z m y y x r x l 2 2 2 2 2 2 2 n z z m y y x r x l r1 r2 P1 P2 e são paralelas n 2 z m 5 y 0 3 x x x 2 1 1 2 l l y y m m 2 1 1 2 z z n n 2 1 1 2 0 04 4 CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS Calcular k para que as retas r e s sejam ortogonais Dadas Resp k 3 A reta r contém o ponto P x y z e tem a direção do vetor r i m j n k A reta r contém o ponto P x y z e tem a direção do vetor r i m j n k As retas r e r serão coplanares se e somente se os vetores P P r e r o forem 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 l l Dadas as retas ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios Pessoas que são boas em arranjar desculpas raramente são boas em qualquer outra coisa SUGESTÃO SUGESTÃO Benjamin Franklin 17061790 político físico e filósofo americano Equação da reta que passa por P 1 2 0 e é paralela à reta Resp Provar que as retas Obter as equações simétricas de r e s e verificar que Determinar as equações simétricas da reta r sabendose que passa pelo ponto P 3 5 2 e é concomitantemente ortogonal ao eixo x e à reta Resp 1 A reta r tem a forma 2 lmponha a condição de ortogonalidade entre r e s 01 02 03 2 1 z 0 y 3 2 r x 2 z 0 2 y 3 1 x 0 2z y x 0 1 y x r 0 1 6z 3y 3x 0 1 2y 2x s 2 1 2 1 2 1 n n m m l l 2t z t 2 y 3 t 1 x s e 3 x z 2 kx y r 1 1 z 2 3 y 0 1 s x 2 2 z 1 5 3 y x 1 1 1 1 1 1 1 n z z m y y x r x l 2 2 2 2 2 2 2 n z z m y y x r x l r1 r2 P1 P2 e são paralelas n 2 z m 5 y 0 3 x x x 2 1 1 2 l l y y m m 2 1 1 2 z z n n 2 1 1 2 0 04 05 Achar a equação do plano que contém as retas Resp 2x 3y 4z 7 0 Obter as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A 1 0 1 e que intercepta as retas e Resp 3 condição de coplanaridade entre r e r 4 condição de coplanaridade entre r e r Série B SUGESTÃO Sorte nas profissões não existe O que existe é o encontro da preparação com a oportunidade Joseph Straub consultor norte americano 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios As grandes idéias necessitam de grandes asas para os grandes vôos Mas nunca podem dispensar o trem de pouso SUGESTÃO Umberto Eco n1932 escritor italiano Provar que as retas r e s são coplanares Dadas Calcular m para que as retas r e s sejam coplanares Dadas Resp As retas r e r são coplanares Achar a equação do plano que as contém Dadas Resp 7x 6y 5z 23 0 O plano contém o ponto P e é paralelo aos vetores 1 2 1 α 01 02 03 r e r Sejam P 2 2 5 um ponto qualquer de r r 3 1 3 e r 4 3 2 Então 1 2 1 1 1 2 1 1 z 2 1 y 1 s x e 1 2 z 0 1 y 2 1 r x 3x z 1 mx s y e 3 2t z t 1 y 3t 2 x r 13 9 m 2 z 3 2 y 4 5 r x e 3 2 z 1 1 y 3 1 r x 2 1 1 1 z 2 1 y 1 x e 1 2 z 0 1 y 2 1 x α P1 r1 r2 1 x z 3 r1 y 2 z 2 x y r2 3 1 z 3 y 2 1 x 2 equações simétricas de r e r n 1 z m 0 y 1 r x 1 2 1 l 0 2 z 1 y 1 2 x r e 1 z 0 3 y 1 1 x r 2 1 r1 r2 A r x 2 3 4 y 2 1 3 z 5 3 2 0 α 04 05 Achar a equação do plano que contém as retas Resp 2x 3y 4z 7 0 Obter as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A 1 0 1 e que intercepta as retas e Resp 3 condição de coplanaridade entre r e r 4 condição de coplanaridade entre r e r Série B SUGESTÃO Sorte nas profissões não existe O que existe é o encontro da preparação com a oportunidade Joseph Straub consultor norte americano 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Exercícios As grandes idéias necessitam de grandes asas para os grandes vôos Mas nunca podem dispensar o trem de pouso SUGESTÃO Umberto Eco n1932 escritor italiano Provar que as retas r e s são coplanares Dadas Calcular m para que as retas r e s sejam coplanares Dadas Resp As retas r e r são coplanares Achar a equação do plano que as contém Dadas Resp 7x 6y 5z 23 0 O plano contém o ponto P e é paralelo aos vetores 1 2 1 α 01 02 03 r e r Sejam P 2 2 5 um ponto qualquer de r r 3 1 3 e r 4 3 2 Então 1 2 1 1 1 2 1 1 z 2 1 y 1 s x e 1 2 z 0 1 y 2 1 r x 3x z 1 mx s y e 3 2t z t 1 y 3t 2 x r 13 9 m 2 z 3 2 y 4 5 r x e 3 2 z 1 1 y 3 1 r x 2 1 1 1 z 2 1 y 1 x e 1 2 z 0 1 y 2 1 x α P1 r1 r2 1 x z 3 r1 y 2 z 2 x y r2 3 1 z 3 y 2 1 x 2 equações simétricas de r e r n 1 z m 0 y 1 r x 1 2 1 l 0 2 z 1 y 1 2 x r e 1 z 0 3 y 1 1 x r 2 1 r1 r2 A r x 2 3 4 y 2 1 3 z 5 3 2 0 α ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA 06 Equagées simétricas da reta que passa por P112eque interceptaasretasres Dadas xZ30 es 2XxZ30 2yz20 yz20 Resp x1 y z2 7 6 7 5 INTERSECGAO DE RETAE PLANO Sejam aaxtbyczd0 a XX4t risyYotmt ZZnt onde areta nao é paralela ao plano r Se o ponto P x y z 0 ponto de intersegao da reta com o plano suas coordenadas devem verificar as equacgdes do sistema formado por Ne Destarte substituemse as equacoes paramétricas da reta na equacao do plano determinando se o valor do parametro t Exemplo Calcular 0 ponto P de intersecao da reta 7 Xt8 2 2410 tcomo plano 1 2 3 a3x2y4z120 Jacir J Venturi RESOLUCAO a Equagées paramétricas der x3t my y22t z10 3t b Substituindo as equacgdes paramétricas de r na equagao do plano 33t222t4103t120 t3 c Levandose 0 valor de t 3nas equagées paramétricas P041 6 INTERSECAO DE DUAS RETAS Sejam r er duas retas concorrentes XX YOM 274 rt pata XX2 Y72 2722 fy ly mM Ny Se P x y Z 0 ponto de intersegao de r e r aS coorde nadas deste ponto satisfazem o sistema formado por e Cumpre destacar que o sistema formado por A e é composto de 4 igualdades 4 equacées para trés incdgnitas x y e z Aresolugao mais acessivel do sistema é na maioria esmagadora das vezes balizada na vivéncia pessoal do aluno Exemplo Achar o ponto P de intersegao das retas x2 4 X22 yo4 ZS gy XTyt122 3 5 2 2 4 1 04 05 06 07 Calcular o ponto de interseção das retas Resp P 1 1 2 Achar o ponto de interseção de r e r Dadas Resp P 1 1 1 Calcular as equações simétricas da reta s que passa pelo ponto A 1 1 1 e é ortogonal à reta Resp 1 Equação de s 2 Condição de ortogonalidade de r e s 3 Condição de coplanaridade de r e s A reta r passa por P 2 1 3 e é ortogonal à reta Resp 3 2 4 1 2 SUGESTÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 6 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS Sejam r e r duas retas concorrentes Se P x y z é o ponto de interseção de r e r as coordenadas deste ponto satisfazem o sistema formado por 1 e 2 1 2 1 2 1 y 1 x 4 1 y 2 1 x 5 4 y 3 2 x Sistema Exercícios Duvidar de tudo ou acreditar em tudo são atitudes preguiçosas Dispensamnos de refletir Henri Poincaré 18541912 filósofo e matemático francês Achar o ponto de interseção da reta r com o plano Dados Resp P 12 3 20 Encontrar as coordenadas do ponto de interseção de 2x 3y 4z 1 0 com a reta determinada pelos pontos P 1 0 2 e P 3 4 1 Resp As retas se interceptam num ponto P Achar as coordenadas de P Resp P 1 1 2 α α 1 2 01 02 03 0 1 z 5y 3x e 3 1 z 1 4 y 2 2 r x α 4 3 11 2 1 P 1 1 z 2 1 y 1 s x e 1 2 z 0 1 y 2 1 r x 2 z 2 1 y 1 e s x 3 1 z 3 2 y 1 r x 0 z y 0 1 y e r 0 z x 0 2 y x r 2 1 1 z 1 y 2 2 r x 2 1 z 4 1 y 1 1 x s r A n z 1 m 1 y s x 1 l 0 Achar o ponto de interseção de r e s 24 5z 2y 0 6 3z 2x s 04 05 06 07 Calcular o ponto de interseção das retas Resp P 1 1 2 Achar o ponto de interseção de r e r Dadas Resp P 1 1 1 Calcular as equações simétricas da reta s que passa pelo ponto A 1 1 1 e é ortogonal à reta Resp 1 Equação de s 2 Condição de ortogonalidade de r e s 3 Condição de coplanaridade de r e s A reta r passa por P 2 1 3 e é ortogonal à reta Resp 3 2 4 1 2 SUGESTÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 6 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS Sejam r e r duas retas concorrentes Se P x y z é o ponto de interseção de r e r as coordenadas deste ponto satisfazem o sistema formado por 1 e 2 1 2 1 2 1 y 1 x 4 1 y 2 1 x 5 4 y 3 2 x Sistema Exercícios Duvidar de tudo ou acreditar em tudo são atitudes preguiçosas Dispensamnos de refletir Henri Poincaré 18541912 filósofo e matemático francês Achar o ponto de interseção da reta r com o plano Dados Resp P 12 3 20 Encontrar as coordenadas do ponto de interseção de 2x 3y 4z 1 0 com a reta determinada pelos pontos P 1 0 2 e P 3 4 1 Resp As retas se interceptam num ponto P Achar as coordenadas de P Resp P 1 1 2 α α 1 2 01 02 03 0 1 z 5y 3x e 3 1 z 1 4 y 2 2 r x α 4 3 11 2 1 P 1 1 z 2 1 y 1 s x e 1 2 z 0 1 y 2 1 r x 2 z 2 1 y 1 e s x 3 1 z 3 2 y 1 r x 0 z y 0 1 y e r 0 z x 0 2 y x r 2 1 1 z 1 y 2 2 r x 2 1 z 4 1 y 1 1 x s r A n z 1 m 1 y s x 1 l 0 Achar o ponto de interseção de r e s 24 5z 2y 0 6 3z 2x s 7 CONDIÇÕES DE PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE RETA E PLANO Sejam O vetor n ai bj ck a bm cn 0 a Condição de paralelismo de reta e plano l é ortogo nal ao plano e r i mj nk tem a direção da reta r esta para lela ao plano lsto posto a condi ção de paralelismo entre a reta r e o plano a se faz com a aplicação da condição de ortogonalidade entre os vetores n e r α α l 11Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas e é ao mesmo tempo perpendicular a r e r Resp 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Série B You are not my first love but you are my last Canção americana Dados o ponto P 2 1 1 e a reta a a reta r que passa por P e intercepta ortogonalmente a reta t b o ponto de interseção de r e t c a distância do ponto P à reta t Resp Achar o ponto A simétrico de A 3 1 6 em relação à reta Resp A 5 1 4 A interseção das retas é o ponto P Determine a distância do ponto P ao plano 2x y 2y 1 0 Resp O O O O O α 08 09 10 1 obter z 0 y 1 2 t x 1 5 5 dP N dP t c 5 1 3 5 11 N b 2 1 z 0 1 y 1 2 r x a O O 1 4 z 0 1 y 1 3 r x e 2 2 z 3 1 y 1 3 r x 5 5 z 4 2 y 3 1 s x 3 5 2t 2 z t y t 1 x r e 3t z 2t 1 y t 2 x r 2 1 3 z 5 1 y 1 2 x n z z m y y x x r 0 d cz by ax O O O α l n α r 7 CONDIÇÕES DE PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE RETA E PLANO Sejam O vetor n ai bj ck a bm cn 0 a Condição de paralelismo de reta e plano l é ortogo nal ao plano e r i mj nk tem a direção da reta r esta para lela ao plano lsto posto a condi ção de paralelismo entre a reta r e o plano a se faz com a aplicação da condição de ortogonalidade entre os vetores n e r α α l 11Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas e é ao mesmo tempo perpendicular a r e r Resp 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Série B You are not my first love but you are my last Canção americana Dados o ponto P 2 1 1 e a reta a a reta r que passa por P e intercepta ortogonalmente a reta t b o ponto de interseção de r e t c a distância do ponto P à reta t Resp Achar o ponto A simétrico de A 3 1 6 emrelação à reta Resp A 5 1 4 A interseção das retas é o ponto P Determine a distância do ponto P ao plano 2x y 2y 1 0 Resp O O O O O α 08 09 10 1 obter z 0 y 1 2 t x 1 5 5 dP N dP t c 5 1 3 5 11 N b 2 1 z 0 1 y 1 2 r x a O O 1 4 z 0 1 y 1 3 r x e 2 2 z 3 1 y 1 3 r x 5 5 z 4 2 y 3 1 s x 3 5 2t 2 z t y t 1 x r e 3t z 2t 1 y t 2 x r 2 1 3 z 5 1 y 1 2 x n z z m y y x x r 0 d cz by ax O O O α l n α r ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Condição de ortogonalidade de reta e plano Exemplos 01 Achar as equações da reta por P 3 5 0 e ortogonal ao plano 2x 4y z 1 0 RESOLUÇÃO a Equação da reta por P 3 5 0 b Em face da condição de ortogonalidade de reta e plano a 2 m b 4 e n c 1 c Resposta 02 Obter a equação do plano por P 3 5 0 e ortogonal à reta O O O l A reta r sendo ortogonal ao plano tem a direção do vetor n ai bj ck Da condição de pa ralelismo entre dois vetores α n α r c n b m a l n 0 z m 5 y 3 r x l 1 z 4 5 y 2 3 r x 4 2 z 2 y 1 1 r x r α PO r PO RESOLUÇÃO a Pela condição de ortogonalidade de reta e plano sabemos que a 1 b m 2 e c n 4 Então 1x 2y 4z d 0 b Mas P 3 5 0 13 25 40 d 0 d 13 c Resposta x 2y 4z 13 0 l α α α O Em tempo de mudanças os dispostos a aprender sempre são os que herdarão o futuro Os que acham que já aprenderam tudo descobrirão estar preparados apenas para viver num mundo que já não mais existe Eric Haffer Verificar se a reta é paralela ao plano 2x 2z 3 0 Resp A reta é paralela ao plano Obter a equação da reta que passa por P 3 0 1 e é ortogo nal ao plano 3x 4y 2 0 Resp Determinar a equação do plano ortogonal ao segmento de extremidades P 0 3 2 e Q 2 1 4 emseupontomédio Resp x y z 2 0 α α 01 02 03 1 1 z 3 3 y 1 1 r x 0 1 z 4 y 3 3 x Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi b Condição de ortogonalidade de reta e plano Exemplos 01 Achar as equações da reta por P 3 5 0 e ortogonal ao plano 2x 4y z 1 0 RESOLUÇÃO a Equação da reta por P 3 5 0 b Em face da condição de ortogonalidade de reta e plano a 2 m b 4 e n c 1 c Resposta 02 Obter a equação do plano por P 3 5 0 e ortogonal à reta O O O l A reta r sendo ortogonal ao plano tem a direção do vetor n ai bj ck Da condição de pa ralelismo entre dois vetores α n α r c n b m a l n 0 z m 5 y 3 r x l 1 z 4 5 y 2 3 r x 4 2 z 2 y 1 1 r x r α PO r PO RESOLUÇÃO a Pela condição de ortogonalidade de reta e plano sabemos que a 1 b m 2 e c n 4 Então 1x 2y 4z d 0 b Mas P 3 5 0 13 25 40 d 0 d 13 c Resposta x 2y 4z 13 0 l α α α O Em tempo de mudanças os dispostos a aprender sempre são os que herdarão o futuro Os que acham que já aprenderam tudo descobrirão estar preparados apenas para viver num mundo que já não mais existe Eric Haffer Verificar se a reta é paralela ao plano 2x 2z 3 0 Resp A reta é paralela ao plano Obter a equação da reta que passa por P 3 0 1 e é ortogo nal ao plano 3x 4y 2 0 Resp Determinar a equação do plano ortogonal ao segmento de extremidades P 0 3 2 e Q 2 1 4 em seu ponto médio Resp x y z 2 0 α α 01 02 03 1 1 z 3 3 y 1 1 r x 0 1 z 4 y 3 3 x Exercícios Série B Quando você contrata pessoas mais inteligentes que você prova que é mais inteligente que elas Richard Hallan Grant vicepresidente da Chevrolet Motor Company Equação da reta r que passa pelo ponto A 3 2 1 é paralela ao plano x y z 2 0 e ortogonal à reta s x 2y 3z Resp α 09 08 Obter as equações da reta r tais que 1 passe por P 2 3 5 2 seja paralela ao plano 2x z 3 0 3 intercepte a reta Resp a b condição de paralelis mo de r e c condição de coplanari dade de r e s O α α SUGESTÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 04 05 06 07 Achar o ponto P simétrico de P 2 2 1 em relação plano x z 3 0 Resp P 4 2 5 Calcular as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A 1 2 5 e é paralela aos planos x y z 3 0 e x z 1 0 Resp Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto P 3 5 2 e é paralela aos planos x 2y z 3 0 e x 2y 3z 4 0 Resp Determinar a distância da reta r ao plano sendo Resp Verifique que a reta é paralela ao plano Então dr dP onde P 1 1 2 é ponto qualquer de r α α α α α α 1 2 O O SUGESTÃO 1 5 z 2 2 y 1 1 x 0 2 z 1 5 y 2 3 x 0 3 z y 4x e 2 2 z 2 1 y 1 1 r x α 3 y 2 z x s 10 5 z 6 3 y 5 2 x n 5 z m 3 y 2 r x l 2 d r α PO α r α s r PO 3 1 z 4 2 y 1 3 x Série B Quando você contrata pessoas mais inteligentes que você prova que é mais inteligente que elas Richard Hallan Grant vicepresidente da Chevrolet Motor Company Equação da reta r que passa pelo ponto A 3 2 1 é paralela ao plano x y z 2 0 e ortogonal à reta s x 2y 3z Resp α 09 08 Obter as equações da reta r tais que 1 passe por P 2 3 5 2 seja paralela ao plano 2x z 3 0 3 intercepte a reta Resp a b condição de paralelis mo de r e c condição de coplanari dade de r e s O α α SUGESTÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 04 05 06 07 Achar o ponto P simétrico de P 2 2 1 em relação plano x z 3 0 Resp P 4 2 5 Calcular as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A 1 2 5 e é paralela aos planos x y z 3 0 e x z 1 0 Resp Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto P 3 5 2 e é paralela aos planos x 2y z 3 0 e x 2y 3z 4 0 Resp Determinar a distância da reta r ao plano sendo Resp Verifique que a reta é paralela ao plano Então dr dP onde P 1 1 2 é ponto qualquer de r α α α α α α 1 2 O O SUGESTÃO 1 5 z 2 2 y 1 1 x 0 2 z 1 5 y 2 3 x 0 3 z y 4x e 2 2 z 2 1 y 1 1 r x α 3 y 2 z x s 10 5 z 6 3 y 5 2 x n 5 z m 3 y 2 r x l 2 d r α PO α r α s r PO 3 1 z 4 2 y 1 3 x 8 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA Considere r uma reta passan te por P x y z e que tem a direção do vetor r i mj nk Em tais condições a reta r tem a forma Na página 137 demonstrouse a fórmula que permite calcular a distância de um ponto A à reta r dA r A P x vers r O O O O O l 10 11 12 13 Provar que a reta r está contida no plano Dados O plano é determinado pelos pontos A 0 0 2 B 2 0 0 e C 0 1 2 A reta por Sabendose paralelos r e calcular a distância entre a reta e o plano Resp Achar a equação do plano que passa pela reta Resp 3x 2y z 4 0 Obter as equações simétricas da reta r situada no plano 2x y z 1 0 e que intercepta ortogonalmente a reta Resp α α α α Se minha Teoria da Relatividade estiver correta a Alemanha dirá que sou alemão e a França me declarará cidadão do mundo Mas se não estiver a França dirá que sou alemão e os alemães dirão que sou judeu Albert Einstein 18791955 Prêmio Nobel de Física em 1921 Calcular a distância do ponto A 1 2 0 à reta Resp Achar a distância do ponto A 1 1 3 à reta determinada pe los pontos P 4 3 2 e Q 2 2 0 Resp 01 02 7 2 z 2 y 1 s x 1 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 0 5 5z 2y 4x e 2 1 z 3 y 1 r x α t 1 z 3 t 3 y t 1 x r 2 e é paralelo à reta 0 1 y 2x 0 3 z y r x 3 z 1 2 y 1 s x 1 3 z 13 7 8 y 5 3 r x d A r r PO n z z m y y x r x O O O l 0 2 z 3y x 0 2 z y x r 3 21 2 Exercícios 8 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA Considere r uma reta passan te por P x y z e que tem a direção do vetor r i mj nk Em tais condições a reta r tem a forma Na página 137 demonstrouse a fórmula que permite calcular a distância de um ponto A à reta r dA r A P x vers r O O O O O l 10 11 12 13 Provar que a reta r está contida no plano Dados O plano é determinado pelos pontos A 0 0 2 B 2 0 0 e C 0 1 2 A reta por Sabendose paralelos r e calcular a distância entre a reta e o plano Resp Achar a equação do plano que passa pela reta Resp 3x 2y z 4 0 Obter as equações simétricas da reta r situada no plano 2x y z 1 0 e que intercepta ortogonalmente a reta Resp α α α α Se minha Teoria da Relatividade estiver correta a Alemanha dirá que sou alemão e a França me declarará cidadão do mundo Mas se não estiver a França dirá que sou alemão e os alemães dirão que sou judeu Albert Einstein 18791955 Prêmio Nobel de Física em 1921 Calcular a distância do ponto A 1 2 0 à reta Resp Achar a distância do ponto A 1 1 3 à reta determinada pe los pontos P 4 3 2 e Q 2 2 0 Resp 01 02 7 2 z 2 y 1 s x 1 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 0 5 5z 2y 4x e 2 1 z 3 y 1 r x α t 1 z 3 t 3 y t 1 x r 2 e é paralelo à reta 0 1 y 2x 0 3 z y r x 3 z 1 2 y 1 s x 1 3 z 13 7 8 y 5 3 r x d A r r PO n z z m y y x r x O O O l 0 2 z 3y x 0 2 z y x r 3 21 2 Exercícios r r r r 03 04 As retas r e r são paralelas Determinar a distância entre elas Dadas Resp dr r dA r onde A é ponto qualquer de r Obter as equações simétricas das retas que passem pelo ponto A 0 0 1 distem da origem do sistema cartesiano e sejam paralelas ao plano x y 2 0 Resp 1 2 1 2 2 1 SUGESTÃO Série B Na boca de quem não presta quem é bom não tem valia Chico Anysio n 1931 humorista ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 4 z 2 1 y 2 1 e r x 2 2 z 1 y 1 r x 2 1 3 30 r1 r2 A α1 α2 r1 r2 P1 P2 n 2 2 2 1 z 1 y 1 x d r r 1 2 N2 P2 N1 r1 P1 r2 n 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n z z m y y x x r n z z m y y x x r l l 9 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS REVERSAS E EQUAÇÕES DA NORMAL COMUM A figura ao lado mostra duas retas reversas r e r Pretendese a fórmula da distância entre elas bem como o cálculo das equações da normal comum n Isto posto Deduziuse na página 140 do presente manual que a distância dr r entre as retas reversas r e r estas reversas entre si é obtida pela fórmula 1 2 1 2 1 2 a Fórmula da distância entre duas retas reversas A reta r é passante por P x y z e é paralela ao vetor r i m j n k A reta r contém o ponto P x y z e tem a direção do vetor r i m j n k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 l l x r r x r r P P r r d 2 1 2 1 1 2 1 2 r r r r 03 04 As retas r e r são paralelas Determinar a distância entre elas Dadas Resp dr r dA r onde A é ponto qualquer de r Obter as equações simétricas das retas que passem pelo ponto A 0 0 1 distem da origem do sistema cartesiano e sejam paralelas ao plano x y 2 0 Resp 1 2 1 2 2 1 SUGESTÃO Série B Na boca de quem não presta quem é bom não tem valia Chico Anysio n 1931 humorista ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 4 z 2 1 y 2 1 e r x 2 2 z 1 y 1 r x 2 1 3 30 r1 r2 A α1 α2 r1 r2 P1 P2 n 2 2 2 1 z 1 y 1 x d r r 1 2 N2 P2 N1 r1 P1 r2 n 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n z z m y y x x r n z z m y y x x r l l 9 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS REVERSAS E EQUAÇÕES DA NORMAL COMUM A figura ao lado mostra duas retas reversas r e r Pretendese a fórmula da distância entre elas bem como o cálculo das equações da normal comum n Isto posto Deduziuse na página 140 do presente manual que a distância dr r entre as retas reversas r e r estas reversas entre si é obtida pela fórmula 1 2 1 2 1 2 a Fórmula da distância entre duas retas reversas A reta r é passante por P x y z e é paralela ao vetor r i m j n k A reta r contém o ponto P x y z e tem a direção do vetor r i m j n k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 l l x r r x r r P P r r d 2 1 2 1 1 2 1 2 2 10 ÂNGULO DE DUAS RETAS Sendo calcular a a distância entre as retas r e r b os pés da normal comum c a normal comum às retas r e r Resp Dadas as retas r e r por suas equações simétricas 1 2 1 2 1 2 O ângulo é o formado pelas retas r e r Obtêmolo pela aplicação do produto escalar entre os vetores dire tores θ menor ângulo 1 2 r e r 1 2 b Equações da normal comum A reta n normal comum às retas r e r será individualizada pelas equações da reta que passa pelos pontos N e N Corroboramos que os pontos N e N são os pés da normal comum às retas r e r A determinação de tais pontos ficou demonstrada à página 140 Subtraindomembro a membro 1 de 2 temse Os valores de k e k são obtidos multiplicandose escalarmente esta última equação por r e r 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi calcular 2 1 z 1 2 y 1 1 x r 1 1 z 0 1 y 1 x r 2 1 1 1 z 1 1 y 1 n x b 3 2 3 a d r r 2 1 z 1 0 1 0 2y r x e 1 0 y 0 2 z r x 2 1 1 2 3 z 2 1 y 1 n x 4 3 c 31 3 1 5 3 N 31 2 4 N b 3 6 dr r a 2 1 2 1 Exercícios y z x θ r2 r1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n z z m y y x x r n z z m y y x x r l l θ π θ 2 0 r r r r cos 2 1 2 1 N P k r N P k r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 N P k r N P k r 2 N N P P k r k r 2 1 2 1 2 2 1 1 Nunca na minha vida aprendi fosse o que fosse daqueles que sempre concordaram comigo Dudley F Malone Dadas as retas a a distância entre as retas r e r b a reta n perpendicular comum às retas r e r Resp 1 2 1 2 01 2 10 ÂNGULO DE DUAS RETAS Sendo calcular a a distância entre as retas r e r b os pés da normal comum c a normal comum às retas r e r Resp Dadas as retas r e r por suas equações simétricas 1 2 1 2 1 2 O ângulo é o formado pelas retas r e r Obtêmolo pela aplicação do produto escalar entre os vetores dire tores θ menor ângulo 1 2 r e r 1 2 b Equações da normal comum A reta n normal comum às retas r e r será individualizada pelas equações da reta que passa pelos pontos N e N Corroboramos que os pontos N e N são os pés da normal comum às retas r e r A determinação de tais pontos ficou demonstrada à página 140 Subtraindomembro a membro 1 de 2 temse Os valores de k e k são obtidos multiplicandose escalarmente esta última equação por r e r 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi calcular 2 1 z 1 2 y 1 1 x r 1 1 z 0 1 y 1 x r 2 1 1 1 z 1 1 y 1 n x b 3 2 3 a d r r 2 1 z 1 0 1 0 2y r x e 1 0 y 0 2 z r x 2 1 1 2 3 z 2 1 y 1 n x 4 3 c 31 3 1 5 3 N 31 2 4 N b 3 6 dr r a 2 1 2 1 Exercícios y z x θ r2 r1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n z z m y y x x r n z z m y y x x r l l θ π θ 2 0 r r r r cos 2 1 2 1 N P k r N P k r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 N P k r N P k r 2 N N P P k r k r 2 1 2 1 2 2 1 1 Nunca na minha vida aprendi fosse o que fosse daqueles que sempre concordaram comigo Dudley F Malone Dadas as retas a a distância entre as retas r e r b a reta n perpendicular comum às retas r e r Resp 1 2 1 2 01 π θ 2 0 r n n r sen Dados ax by cz d 0 Onde r tem a direção do vetor r i mj nk Considere n ai bj ck um ve tor normal ao plano O ângulo agudo entre os vetores n e r calculado através da defi nição de produto escalar Procurase no entanto o ângulo agudo entre a reta r que tem a direção do vetor r e o plano Depreendese da figura que cos sen haja visto que os ângulos e são complementares Face ao exposto α α θ α θ θ l 11 ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO Se não houver frutos valeu a beleza das flores Se não houver flores valeu a sombra das folhas Se não houver folhas valeu a intenção da semente Henfil 1944 1988 escritor e humorista mineiro Achar o ângulo entre as retas Resp Pedese o ângulo entre x y 3 0 e Resp Achar o ângulo que a reta forma com o eixo das cotas Resp α 01 02 03 04 α β Achar as equações simétricas da reta que passe pelo ponto A 1 0 2 seja paralela ao plano x z 2 0 e forme um ângulo de com o plano x y z 4 0 Resp ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi n z z m y y x x r O O O l n r 2 1 z 1 2 y 2 3 e s x 0 1 z 1 y 7 1 r x 4 rad π θ 1 2 z 2 y 1 2 r x 3 rad π 0 5 3z 4y 2x 0 1 2z 3y 2x r 3 cos 2 arc Exercícios 1 2 z 6 y 1 1 x 6 rad π r n n r cos θ Duas coisas indicam a fraqueza calarse quando é preciso falar e falar quando é preciso calarse Adágio árabe π θ 2 0 r n n r sen Dados ax by cz d 0 Onde r tem a direção do vetor r i mj nk Considere n ai bj ck um ve tor normal ao plano O ângulo agudo entre os vetores n e r calculado através da defi nição de produto escalar Procurase no entanto o ângulo agudo entre a reta r que tem a direção do vetor r e o plano Depreendese da figura que cos sen haja visto que os ângulos e são complementares Face ao exposto α α θ α θ θ l 11 ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO Se não houver frutos valeu a beleza das flores Se não houver flores valeu a sombra das folhas Se não houver folhas valeu a intenção da semente Henfil 1944 1988 escritor e humorista mineiro Achar o ângulo entre as retas Resp Pedese o ângulo entre x y 3 0 e Resp Achar o ângulo que a reta forma com o eixo das cotas Resp α 01 02 03 04 α β Achar as equações simétricas da reta que passe pelo ponto A 1 0 2 seja paralela ao plano x z 2 0 e forme um ângulo de com o plano x y z 4 0 Resp ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi n z z m y y x x r O O O l n r 2 1 z 1 2 y 2 3 e s x 0 1 z 1 y 7 1 r x 4 rad π θ 1 2 z 2 y 1 2 r x 3 rad π 0 5 3z 4y 2x 0 1 2z 3y 2x r 3 cos 2 arc Exercícios 1 2 z 6 y 1 1 x 6 rad π r n n r cos θ Duas coisas indicam a fraqueza calarse quando é preciso falar e falar quando é preciso calarse Adágio árabe ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA 05Calcule o Angulo agudo queareta X1Y3Z 3 2 6 forma como plano xy 6 Resp Oarc sen 72 59 z SUGESTAO r nr sen O n nr o 7 onde r 0 0 1e a y ao P 3 2 6 x Série B 06 Calcular as equagdes das retas r passantes pelos pontos A211 e queinterceptam a reta gX1Y12 segundo um 2 0 1 angulo de 45 Resp X2 y1 z1 ou x2 y1 z1 1 0 3 3 0 1 r SUGESTAO A 1equagaoder X2 y1z1 L m n 2 condigao de coplanaridade de res 45 y2 3cos45 Irs S Irs 05 06 Calcule o ângulo agudo que a reta forma com o plano xy Resp onde n 0 0 1 e r 3 2 6 Calcular as equações das retas r passantes pelos pontos A 2 1 1 e que interceptam a reta segundo um ângulo de 45º Resp 1 equação de r 2 3 SUGESTÃO SUGESTÃO Série B condição de coplanaridade de r e s r n n r sen ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi 6 z 2 3 y 3 1 r x 59º 7 arc sen 6 1 z 0 1 y 2 1 s x 3 1 z 0 1 y 1 2 x 1 1 z 0 1 y 3 2 ou x n 1 z m 1 y 2 x l n x y O z r r s A 45º A Matemática em muito ajuda o desenvolvimento do raciocínio Cada quebracabeça é um repto ao nosso ego uma razia à nossa inteligência e não há quem não goste de enfrentálo Existem às centenas envolvendo ou não a Matemática Pode parecer bizarra a inclusão de tal adendo Justificamos como uma homenagem especial aos nossos alunos de Licenciatura que poderão futuramente motivar suas aulas em nível de Ensino Fundamental e Médio Ademais cabe ao futuro engenheiro desenvolver o raciocínio por ser este a principal ferramenta de trabalho Já pertencentes ao domínio público tais recreações foram recriadas uma vez que possuem redação própria Em sua maioria esma gadora nos foram verbalizadas por alunos e amigos e coletados por cerca de 3 lustros Respostas na página 233 Assinale a alternativa que corresponde ao 5º símbolo da seqüência a d b e c Um tijolo pesa 2 quilos mais meio tijolo Quanto pesa um tijolo e meio O homembranco foi feito prisioneiro de uma feroz tribo indígena O cacique querendo demonstrar elevado grau de justiça remeteu a sentença à inteligência do prisioneiro I II llI A P Ê N D I C E RECRe iANDO s r r s cos45º ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Começou o cacique Você está numa cela onde existem duas portas cada uma vigiada por um guarda Existe uma porta que dá para a liberdade e outra para a morte Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair Poderá fazer uma pergunta apenas uma a um dos dois guardas que vigiam as portas Ah ia esquecendo um dos dois guardas responde sempre a verdade o outro invariavelmente responde com uma mentira Mas você desconhece qual guarda mente ou qual diz a verdade Boa sorte O homembranco pensou bastante Depois dirigiuse a um dos guardas e fez uma única pergunta Só uma E lampejamente saiu pela porta que dava para a liberdade Qual a pergunta que o homembranco fez ao guarda Um grande industrial na necessidade de ir a São Paulo chegou a seu guardanoturno e ordenou Amanhã acordeme às 6h por favor Tenho que apanhar o avião para SP Pois não chefe Pontualmente às 6h o guarda apertou a campainha da residência do industrial e tentou demovêlo da idéia de viajar Patrão disse o guarda estou com mau presságio sonhei esta noite que o Sr teria um acidente com o avião e me permita sugerir que não viaje O industrial titubeou mas mesmo assim viajou Sem incidentes chegou a SP e por telefone mandou despedir o guarda Por quê Coloque a vírgula Levar uma pedra do Rio à Europa uma andorinha não faz verão Um fazendeiro tinha um bezerro e o pai do fazendeiro também era a mãe do bezerro Um pai distribuiu um número x de maçãs a seus 3 filhos de sorte que 1 ao filho mais velho coube metade das maçãs mais meia maçã 2 ao filho do meio metade das maçãs que sobraram mais meia maçã 3 ao filho mais moço metade das maçãs que restaram das duas distribuições anteriores mais meia maçã 4 ao próprio pai coube uma maçã Calcular o número x de maçãs lV V Vl Prove quemetade de onze é seis Quando o Rei da Pérsia perguntou qual a recompensa que desejava o inventor do jogo de xadrez pediu um grão de trigo para o primeiro quadrado do tabuleiro dois para o segundo quatro para o terceiro oito para o quarto e assim por diante dobrando a quantidade para cada quadrado subseqüente Calcular o número total de grãos correspondentes aos 64 quadrados do tabuleiro Um relógio de parede dá uma badalada à uma hora duas badaladas às duas horas três badaladas às três horas e assim por diante Que horas são quando ele está dando a sua 42ª badalada do dia A torneira A enche um tanque em 3 horas e a torneira B em 4 horas Um sifão esvazia o tanque em 6 horas Funcionando os três juntos e o tanque estando vazio qual o tempo para enchêlo VlI Vlll lX X TABULEIRO DE XADREZ 1 2 4 8 16 32 64 128 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Começou o cacique Você está numa cela onde existem duas portas cada uma vigiada por um guarda Existe uma porta que dá para a liberdade e outra para a morte Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair Poderá fazer uma pergunta apenas uma a um dos dois guardas que vigiam as portas Ah ia esquecendo um dos dois guardas responde sempre a verdade o outro invariavelmente responde com uma mentira Mas você desconhece qual guarda mente ou qual diz a verdade Boa sorte O homembranco pensou bastante Depois dirigiuse a um dos guardas e fez uma única pergunta Só uma E lampejamente saiu pela porta que dava para a liberdade Qual a pergunta que o homembranco fez ao guarda Um grande industrial na necessidade de ir a São Paulo chegou a seu guardanoturno e ordenou Amanhã acordeme às 6h por favor Tenho que apanhar o avião para SP Pois não chefe Pontualmente às 6h o guarda apertou a campainha da residência do industrial e tentou demovêlo da idéia de viajar Patrão disse o guarda estou com mau presságio sonhei esta noite que o Sr teria um acidente com o avião e me permita sugerir que não viaje O industrial titubeou mas mesmo assim viajou Sem incidentes chegou a SP e por telefonemandou despedir o guarda Por quê Coloque a vírgula Levar uma pedra do Rio à Europa uma andorinha não faz verão Um fazendeiro tinha um bezerro e o pai do fazendeiro também era a mãe do bezerro Um pai distribuiu um número x de maçãs a seus 3 filhos de sorte que 1 ao filhomaisvelhocoubemetade das maçãs maismeiamaçã 2 ao filho do meio metade das maçãs que sobraram mais meia maçã 3 ao filho mais moço metade das maçãs que restaram das duas distribuições anterioresmaismeiamaçã 4 ao próprio pai coube umamaçã Calcular o número x demaçãs lV V Vl Prove que metade de onze é seis Quando o Rei da Pérsia perguntou qual a recompensa que desejava o inventor do jogo de xadrez pediu um grão de trigo para o primeiro quadrado do tabuleiro dois para o segundo quatro para o terceiro oito para o quarto e assim por diante dobrando a quantidade para cada quadrado subseqüente Calcular o número total de grãos correspondentes aos 64 quadrados do tabuleiro Um relógio de parede dá uma badalada à uma hora duas badaladas às duas horas três badaladas às três horas e assim por diante Que horas são quando ele está dando a sua 42ª badalada do dia A torneira A enche um tanque em 3 horas e a torneira B em 4 horas Um sifão esvazia o tanque em 6 horas Funcionando os três juntos e o tanque estando vazio qual o tempo para enchêlo VlI Vlll lX X TABULEIRO DE XADREZ 1 2 4 8 16 32 64 128 XV XVI XVll XVlll Três irmãos A B e C receberam de herança 17 camelos na partilha caberia a A metade da cáfila a B uma terça parte e C herdaria uma nona parte Como 17 não é múltiplo de 2 de 3 e de 9 não houve consenso entre os três irmãos Procuraram a via judicial O Juiz juntou ao espólio um de seus camelos perfazendo um total de 18 camelos e argüiu Cabe a A metade de 17 ou seja 85 camelos Com a inclusão do meu camelometade de 18 é 9 Cabe a B uma terça parte de 17 ou seja 566 camelos Tomo 18 e divido por 3 e assim B leva 6 Cabe a C uma nona parte de 17 ou seja 188 Tomo 18 e divido por 9 e a C cabe 2 Os três irmãos anuíram e a sentença foi proferida Cumpre esclarecer que 9 6 2 17 e o juiz pôde reaver o seu camelo Explique o sofisma Uma lesma deve subir um poste de 10 m de altura De dia sobe 2 m e à noite desce 1 m Emquantos dias atingirá o topo do poste Existem nove bolas de marfim e uma delas por ser falsa tem peso menor Dispondo de uma balança que em cada prato cabem no máximo 3 bolas pedese o númeromínimo de pesagens para se descobrir a bola falsa O velho pai em seu leito de morte chamou seus dois filhos e murmurou Como vocês sabem tenho uma grande extensão de terra e não pretendo dividila Pôlosei a uma prova cada um de vocês apanhe um cavalo e o dono do último cavalo que chegar à cidade de Meca ficará sozinho com a herança O velho pai morreu e o filho F tomou o cavalo C e o filho F tomou o cavalo C Naturalmente passaramse anos e nem a F e nem a F interessava chegar primeiro a Meca Embusca de uma solução procuraram um juiz Este lhes deu uma sugestão sem contrariar a proposição do velho pai e os dois saíram em disparada cada umquerendo chegar primeiro que o outro a Meca Qual a sugestão do juiz Numa redação mais primorosa e elegante você encontra o problema dos camelos porém para 34 no livro O Homem que Calculava de Malba Tahan 1 1 2 2 1 2 OBSERVAÇÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Xl 1 2 3 4 5 XlI XlII XIV Aponte o erro nas operações abaixo Seja a b multiplicando os dois membros por a a ab subtraindo b de ambos os membros a b ab b ou a b a b b ab dividindo ambos os membros por a b a b b mas a b b b b 2b b dividindo os dois membros por b 2 1 Dois pastores A e B A diz para B Dême um de seus carneiros que ficamos com igual número B diz para A Não dême um de seus carneiros que ficarei com o dobro dos seus Quantos carneiros tem A e quantos tem B Empregando apenas o algarismo 9 escrever a 10 b100 c 1000 Movendo apenas um palito do fósforo torne verdadeira a igualdade abaixo 2 2 2 2 2 XV XVI XVll XVlll Três irmãos A B e C receberam de herança 17 camelos na partilha caberia a A metade da cáfila a B uma terça parte e C herdaria uma nona parte Como 17 não é múltiplo de 2 de 3 e de 9 não houve consenso entre os três irmãos Procuraram a via judicial O Juiz juntou ao espólio um de seus camelos perfazendo um total de 18 camelos e argüiu Cabe a A metade de 17 ou seja 85 camelos Com a inclusão do meu camelometade de 18 é 9 Cabe a B uma terça parte de 17 ou seja 566 camelos Tomo 18 e divido por 3 e assim B leva 6 Cabe a C uma nona parte de 17 ou seja 188 Tomo 18 e divido por 9 e a C cabe 2 Os três irmãos anuíram e a sentença foi proferida Cumpre esclarecer que 9 6 2 17 e o juiz pôde reaver o seu camelo Explique o sofisma Uma lesma deve subir um poste de 10 m de altura De dia sobe 2 m e à noite desce 1 m Em quantos dias atingirá o topo do poste Existem nove bolas de marfim e uma delas por ser falsa tem peso menor Dispondo de uma balança que em cada prato cabem no máximo 3 bolas pedese o número mínimo de pesagens para se descobrir a bola falsa O velho pai em seu leito de morte chamou seus dois filhos e murmurou Como vocês sabem tenho uma grande extensão de terra e não pretendo dividila Pôlosei a uma prova cada um de vocês apanhe um cavalo e o dono do último cavalo que chegar à cidade de Meca ficará sozinho com a herança O velho pai morreu e o filho F tomou o cavalo C e o filho F tomou o cavalo C Naturalmente passaramse anos e nem a F e nem a F interessava chegar primeiro a Meca Em busca de uma solução procuraram um juiz Este lhes deu uma sugestão sem contrariar a proposição do velho pai e os dois saíram em disparada cada um querendo chegar primeiro que o outro a Meca Qual a sugestão do juiz Numa redação mais primorosa e elegante você encontra o problema dos camelos porém para 34 no livro O Homem que Calculava de Malba Tahan 1 1 2 2 1 2 OBSERVAÇÃO ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Xl 1 2 3 4 5 XlI XlII XIV Aponte o erro nas operações abaixo Seja a b multiplicando os doismembros por a a ab subtraindo b de ambos osmembros a b ab b ou a b a b b ab dividindo ambos os membros por a b a b b mas a b b b b 2b b dividindo os dois membros por b 2 1 Dois pastores A e B A diz para B Dême um de seus carneiros que ficamos com igual número B diz para A Não dême um de seus carneiros que ficarei com o dobro dos seus Quantos carneiros tem A e quantos tem B Empregando apenas o algarismo 9 escrever a 10 b100 c 1000 Movendo apenas um palito do fósforo torne verdadeira a igualdade abaixo 2 2 2 2 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi XlX XX XXI XXII XXlll XXIV XXV XXVI Calcular o valor de x na equação Três gatos comem três ratos em três minutos Cem gatos comem cem ratos em quantos minutos O pai do padre é filho de meu paiO que eu sou do padre Qual o dobro da metade de dois Numa lagoa há dois patos na frente de dois patos dois patos no meio de dois patos e dois patos atrás de dois patos Quantos patos há na lagoa Depois de n dias uma pessoa observa que 1 choveu 7 vezes de manhã ou à tarde 2 quando chove de manhã não chove à tarde 3 houve 5 tardes sem chuva 4 houve 6 manhãs sem chuva Calcular n O valor de é Se um bezerro pesa 75 kg mais meio bezerro quanto pesa um bezerro inteiro Questão de concurso para engenheiro de Petrobras OBSERVAÇÃO XXVII XVlll XXIX XXX XXXI XXXII Decifre 1000 1000 nós K nós você tem 1000 1000 Um avião lotado de passageiros parte do Rio de Janeiro em direção a Buenos Aires Por uma fatalidade cai na fronteira Brasil Argentina Onde serão enterrados os sobreviventes Uma pata nascida no Chile bota um ovo na divisa Brasil Chile Segundo o ltamaraty a quem pertence o ovo Quem é aquele moço pergunta Regina Débora responde O pai dele é irmão da esposa demeucunhado Qual o grau de parentesco entre o moço e Débora O é um número irracional e para 8 casas decimais tem o valor 314159265 A frase abaixo representa um artifício para memorizálo SOU O MEDO E TEMOR CONSTANTE DO MENINO VADIO Onde cada palavra encerra um número de letras que coincide em ordem com cada algarismo do Teste a sua intuição uma moeda é envolta bem ajustada em todo o seu perímetro por um barbante O mesmo se faz com a Terra considerea esférica à altura do Equador Acrescentando 1 m ao comprimento dos barbantes em ambos os casos resulta uma folga Qual folga é maior entre o barbante e a moeda ou entre o barbante e a Terra Qual dos dois casos permite a passagem de uma ratazana π π π Este problema é encontrado no livro Geometria Analítica de Boulos e Camargo OBSERVAÇÃO mo ate ax a 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi XlX XX XXI XXII XXlll XXIV XXV XXVI Calcular o valor de x na equação Três gatos comem três ratos em três minutos Cem gatos comem cem ratos emquantosminutos O pai do padre é filho demeupaiOqueeusoudopadre Qual o dobro da metade de dois Numa lagoa há dois patos na frente de dois patos dois patos no meio de dois patos e dois patos atrás de dois patos Quantos patos há na lagoa Depois de n dias uma pessoa observa que 1 choveu 7 vezes de manhã ou à tarde 2 quando chove demanhãnãochoveàtarde 3 houve 5 tardes sem chuva 4 houve 6 manhãs sem chuva Calcular n O valor de é Se um bezerro pesa 75 kg mais meio bezerro quanto pesa umbezerro inteiro Questão de concurso para engenheiro de Petrobrás OBSERVAÇÃO XXVII XVlll XXIX XXX XXXI XXXII Decifre 1000 1000 nós K nós você tem 1000 1000 Um avião lotado de passageiros parte do Rio de Janeiro em direção a Buenos Aires Por uma fatalidade cai na fronteira Brasil Argentina Onde serão enterrados os sobreviventes Uma pata nascida no Chile bota um ovo na divisa Brasil Chile Segundo o ltamaraty a quem pertence o ovo Quem é aquele moço pergunta Regina Débora responde O pai dele é irmão da esposa de meu cunhado Qual o grau de parentesco entre o moço e Débora O é um número irracional e para 8 casas decimais tem o valor 314159265 A frase abaixo representa um artifício para memorizálo SOU O MEDO E TEMOR CONSTANTE DO MENINO VADIO Onde cada palavra encerra um número de letras que coincide em ordem com cada algarismo do Teste a sua intuição uma moeda é envolta bem ajustada em todo o seu perímetro por um barbante O mesmo se faz com a Terra considerea esférica à altura do Equador Acrescentando 1 m ao comprimento dos barbantes em ambos os casos resulta uma folga Qual folga é maior entre o barbante e a moeda ou entre o barbante e a Terra Qual dos dois casos permite a passagem de uma ratazana π π π Este problema é encontrado no livro Geometria Analítica de Boulos e Camargo OBSERVAÇÃO mo ate ax a 2 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi XXXlll XXXIV XXXV De posse de um lápis e de uma folha de papel em branco escrever o número 1000 dentro de um círculo fechado com a condição de não se levantar o lápis do papel Assim 1000 Um matemático ao contar a história dos 3 porquinhos a seu filho de 5 anos começou Seja F uma floresta onde há 3 porquinhos P P e P Admitindo P P P Eis aqui um belo texto por demais conhecido A autoria é desconhecida Transcrevemolo com alguns acréscimos e alterações 1 2 3 1 2 3 A TRAGÉDIA DA MATEMÁTICA Num certo livro de Matemática um quociente apaixonouse por uma incógnita Ele o quociente é produto da notável família dos polinômios Ela uma simples incógnita resultante de um ente geométrico com uma equação literal Oh Que tremenda desigualdade Mas como todos sabem o amor não tem limites e vai do menos infinito ao mais infinito Apaixonado o quociente a olhou do ápice à base sob todos os ângulos agudos e obtusos Era linda figura ímpar com traços que a punham em evidência olhar rombóide boca elíptica seios esferóides num corpo cilíndrico de linhas senoidais Quem ésperguntou o quociente com olhar radical Sou a raiz quadrada da soma do quadrado dos catetos Mas pode me chamar de Hipotenusa respondeu ela com uma expressão algébrica de quem ama Ele fez de sua vida uma paralela à dela até que se encontraram no infinito E se amaram ao quadrado da velocidade da luz traçando ao sabor do momento e da paixão retas e curvas nos jardins da terceira dimensão Ele a amava e a recíproca era verdadeira Adoravamse na mesma razão e proporção no intervalo aberto da vida Três quadrantes depois resolveram se casar Traçaram planos para o futuro e todos lhes desejaram felicidade integral Os padrinhos foram o vetor e a bissetriz Tudo estava nos eixos O amor crescia em progressão geométrica como o marido era uma potência Hipotenusa foi fecundada quando estava em suas coordenadas positivas Tiveram um par o menino em homenagem ao padrinho chamaram de versor a menina uma linda XXXVII XXXVIII Um trem parte de uma cidade A a 110 kmh e ao mesmo tempo um outro parte da cidade B a 90 kmh Encontramse numa cidade C Qual dos dois trens estámaispróximo da cidade B Um barqueiro estando na margem A de um rio tem que atravessar para a margem B um coelho uma onça e uma caixa de cenouras Como seu barco é muito pequeno ele só pode atravessar um de cada vez Para que a onça não coma o coelho e o coelho não coma a cenoura em que seqüência o barqueiro deve proceder a travessia abscissa Nasceram de uma operação cartesiana Foram felizes até que um dia tudo se tornou uma constante Foi aí que surgiu um outro Sim um outro O Máximo Divisor Comum um freqüentador de círculos concêntricos viciosos O mínimo que o Máximo ofereceu foi uma grandeza absoluta Ela sentiuse imprópria mas amava o Máximo Sabedor deste triângulo amoroso o quociente chamoua de ordinária Sentindose um denominador resolveu aplicar a solução trivial um ponto de descontinuidade na vida deles E quando os dois amantes estavam em colóquio ele em termos menores e ela de combinação linear chegou o quociente e num giro determinante disparou o seu 45 Ela passou para o espaço imaginário e o quociente foi parar num intervalo fechado onde a luz solar se via através de pequenas malhas quadráticas Ummatemático chamado Roberto tinha 3 filhos 1 Zeroberto 2 Umberto 3 Doisberto XXXVI ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi XXXlll XXXIV XXXV De posse de um lápis e de uma folha de papel em branco escrever o número 1000 dentro de um círculo fechado com a condição de não se levantar o lápis do papel Assim 1000 Um matemático ao contar a história dos 3 porquinhos a seu filho de 5 anos começou Seja F uma floresta onde há 3 porquinhos P P e P Admitindo P P P Eis aqui um belo texto por demais conhecido A autoria é desconhecida Transcrevemolo com alguns acréscimos e alterações 1 2 3 1 2 3 A TRAGÉDIA DA MATEMÁTICA Num certo livro de Matemática um quociente apaixonouse por uma incógnita Ele o quociente é produto da notável família dos polinômios Ela uma simples incógnita resultante de um ente geométrico com uma equação literal Oh Que tremenda desigualdade Mas como todos sabem o amor não tem limites e vai do menos infinito ao mais infinito Apaixonado o quociente a olhou do ápice à base sob todos os ângulos agudos e obtusos Era linda figura ímpar com traços que a punham em evidência olhar rombóide boca elíptica seios esferóides num corpo cilíndrico de linhas senoidais Quemésperguntou o quociente com olhar radical Sou a raiz quadrada da soma do quadrado dos catetos Mas pode me chamar de Hipotenusa respondeu ela com uma expressão algébrica de quem ama Ele fez de sua vida uma paralela à dela até que se encontraram no infinito E se amaram ao quadrado da velocidade da luz traçando ao sabor do momento e da paixão retas e curvas nos jardins da terceira dimensão Ele a amava e a recíproca era verdadeira Adoravamse na mesma razão e proporção no intervalo aberto da vida Três quadrantes depois resolveram se casar Traçaram planos para o futuro e todos lhes desejaram felicidade integral Os padrinhos foram o vetor e a bissetriz Tudo estava nos eixos O amor crescia em progressão geométrica como o marido era uma potência Hipotenusa foi fecundada quando estava em suas coordenadas positivas Tiveram um par o menino em homenagem ao padrinho chamaram de versor a menina uma linda XXXVII XXXVIII Um trem parte de uma cidade A a 110 kmh e ao mesmo tempo um outro parte da cidade B a 90 kmh Encontramse numa cidade C Qual dos dois trens está mais próximo da cidade B Um barqueiro estando na margem A de um rio tem que atravessar para a margem B um coelho uma onça e uma caixa de cenouras Como seu barco é muito pequeno ele só pode atravessar um de cada vez Para que a onça não coma o coelho e o coelho não coma a cenoura em que seqüência o barqueiro deve proceder a travessia abscissa Nasceram de uma operação cartesiana Foram felizes até que um dia tudo se tornou uma constante Foi aí que surgiu um outro Sim um outro O Máximo Divisor Comum um freqüentador de círculos concêntricos viciosos O mínimo que o Máximo ofereceu foi uma grandeza absoluta Ela sentiuse imprópria mas amava o Máximo Sabedor deste triângulo amoroso o quociente chamoua de ordinária Sentindose um denominador resolveu aplicar a solução trivial um ponto de descontinuidade na vida deles E quando os dois amantes estavam em colóquio ele em termos menores e ela de combinação linear chegou o quociente e num giro determinante disparou o seu 45 Ela passou para o espaço imaginário e o quociente foi parar num intervalo fechado onde a luz solar se via através de pequenas malhas quadráticas Um matemático chamado Roberto tinha 3 filhos 1 Zeroberto 2 Umberto 3 Doisberto XXXVI ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Respostas I II lll lV V Resposta d Divida cada símbolo por uma reta vertical Assim temse à direita da reta o algarismo 1 e à esquerda o algarismo 1 invertido temse à direita da reta o algarismo 2 e à esquerda o algarismo 2 invertido O 3º símbolo corresponde ao algarismo 3 o 4º símbolo ao 4 e a resposta ao 5 Resp 6 kg É só resolver a equação peso do tijolo x Então um tijolo e meio pesa 6 kg O homembranco perguntou a um dos guardas Segundo o outro guarda qual a porta que dá para a liberdade E saiu pela porta oposta Justificativa 1 O homembranco formula a pergunta ao guarda que sempre diz a verdade Este sabendo que o outro guarda mente indicará a porta que leva à morte 2 O homembranco formula a pergunta ao guarda que sempre mente Este por ser mentiroso dirá que o outro guarda apontará a porta que leva à morte Se era guardanoturno não podia ter sonhado dormido à noite uma andorinha não faz verão um fazendeiro tinha um bezerro e o pai do fazendeiro também era a mãe do bezerro Verão não é substantivo e sim verbo verão vocês OBSERVAÇÃO Vl Vll Vlll 15maçãs Resolução 1 ao mais velho 2 ao filho domeio 3 ao maismoço 4 ao pai 1 Equação que resolvida nos conduz a x 15 Em algarismos romanos represente o Xl Horizontalmente dividao ao meio Assim A seqüência 1 2 4 8 16 32 constitui uma PG limitada onde a 1 q 2 e n 64 e pedese a soma de seus 64 termos a Cálculo de a a a q a a q 1 2 2 b Cálculo de S Resp 2 1 grãos de trigo XI VI 1 64 n 64 64 n 1 63 63 63 64 1 1 4 x 2 x 1 2 x 2 1 x 2 1 2 x 4 1 x 2 1 2 2 1 x x 8 1 x 2 1 2 4 1 x 2 1 x x x 1 8 1 x 4 1 x 2 1 x 1 2 2 1 2 1 2 S q 1 a q a S 64 63 64 1 n n ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi Respostas I II lll lV V Resposta d Divida cada símbolo por uma reta vertical Assim temse à direita da reta o algarismo 1 e à esquerda o algarismo 1 invertido temse à direita da reta o algarismo 2 e à esquerda o algarismo 2 invertido O 3º símbolo corresponde ao algarismo 3 o 4º símbolo ao 4 e a resposta ao 5 Resp 6 kg É só resolver a equação peso do tijolo x Então umtijolo e meio pesa 6 kg O homembranco perguntou a um dos guardas Segundo o outro guarda qual a porta que dá para a liberdade E saiu pela porta oposta Justificativa 1 O homembranco formula a pergunta ao guarda que sempre diz a verdade Este sabendo que o outro guarda mente indicará a porta que leva à morte 2 O homembranco formula a pergunta ao guarda que sempre mente Este por ser mentiroso dirá que o outro guarda apontará a porta que leva à morte Se era guardanoturno não podia ter sonhado dormido à noite uma andorinha não faz verão um fazendeiro tinha um bezerro e o pai do fazendeiro também era a mãe do bezerro Verão não é substantivo e sim verbo verão vocês OBSERVAÇÃO Vl Vll Vlll 15 maçãs Resolução 1 ao mais velho 2 ao filho do meio 3 ao mais moço 4 ao pai 1 Equação que resolvida nos conduz a x 15 Em algarismos romanos represente o Xl Horizontalmente dividao ao meio Assim A seqüência 1 2 4 8 16 32 constitui uma PG limitada onde a 1 q 2 e n 64 e pedese a soma de seus 64 termos a Cálculo de a a a q a a q 1 2 2 b Cálculo de S Resp 2 1 grãos de trigo XI VI 1 64 n 64 64 n 1 63 63 63 64 1 1 4 x 2 x 1 2 x 2 1 x 2 1 2 x 4 1 x 2 1 2 2 1 x x 8 1 x 2 1 2 4 1 x 2 1 x x x 1 8 1 x 4 1 x 2 1 x 1 2 2 1 2 1 2 S q 1 a q a S 64 63 64 1 n n ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi OBSERVAÇÃO Segundo Malba Tahan o celeiro que satisfaz essa condição é por exemplo aquele que tem 4 m de altura 10 m de largura e 300000000 km de comprimento ou quase o dobro de distância que separa a Terra do Sol A quantidade de trigo cujo número de grãos corresponde à expressão 2 1 cobriria toda a superfície da Terra com uma camada de trigo de 2 cm de altura 64 lX X Xl XlI 9 horas 2 horas e 24 min Resolução Empregue a fórmula onde t tempo procurado t tempo da torneira A 3h t tempo da torneira B 4h t tempo do sifão S 6h Resp t 24h 2 horas e 24minutos Observe no item 3 que a b 0 e matematicamente não se po de dividir por zero 5 e 7 Resolução número de carneiros de A x número de carneiros de B y x 1 y 1 y 1 2 x 1 Resolvendo o sistema temse x 5 e y 7 A B S XIII Basta observar que o número de camelos que emtesecaberia à soma A B C não é 17 e sim A diferença entre 17 e 1604 é 096 que ficou assim distribuído a favor de A 9 85 05 a favor de B 6 566 034 a favor de C 2 188 012 A soma das diferenças 05 034 012 perfaz 096 9 dias No nono dia a lesma sobe 2 m atinge o topo e evidentemente não desce 1 m Apenas 2 pesagens Atente para a proposição do velho pai o dono do último cavalo que chegar a Meca O Juiz simplesmente sugeriu que trocassem de cavalos Assim F montou em C e disparou em direção a Meca pois se chegasse em primeiro seu cavalo C chegaria em último Por sua vez F montou em C e também disparou em direção a Meca para que seu cavalo C chegasse emúltimo XIV XV XVI XVII XVlll 1 2 1 2 1 2 A 3h 4h S 6h B S B A t t 1 1 t 1 t 1 1000 9 9 999 c 100 9 9 99 b 10 9 9 9 a 1604 188 5 66 59 9 17 3 17 2 17 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi OBSERVAÇÃO Segundo Malba Tahan o celeiro que satisfaz essa condição é por exemplo aquele que tem 4 m de altura 10 m de largura e 300000000 km de comprimento ou quase o dobro de distância que separa a Terra do Sol A quantidade de trigo cujo número de grãos corresponde à expressão 2 1 cobriria toda a superfície da Terra com uma camada de trigo de 2 cm de altura 64 lX X Xl XlI 9 horas 2 horas e 24 min Resolução Empregue a fórmula onde t tempo procurado t tempo da torneira A 3h t tempo da torneira B 4h t tempo do sifão S 6h Resp t 24h 2 horas e 24minutos Observe no item 3 que a b 0 e matematicamente não se po de dividir por zero 5 e 7 Resolução número de carneiros de A x número de carneiros de B y x 1 y 1 y 1 2 x 1 Resolvendo o sistema temse x 5 e y 7 A B S XIII Basta observar que o número de camelos que em tese caberia à soma A B C não é 17 e sim A diferença entre 17 e 1604 é 096 que ficou assim distribuído a favor de A 9 85 05 a favor de B 6 566 034 a favor de C 2 188 012 A soma das diferenças 05 034 012 perfaz 096 9 dias No nono dia a lesma sobe 2 m atinge o topo e evidentemente não desce 1 m Apenas 2 pesagens Atente para a proposição do velho pai o dono do último cavalo que chegar a Meca O Juiz simplesmente sugeriu que trocassem de cavalos Assim F montou em C e disparou em direção a Meca pois se chegasse em primeiro seu cavalo C chegaria em último Por sua vez F montou em C e também disparou em direção a Meca para que seu cavalo C chegasse em último XIV XV XVI XVII XVlll 1 2 1 2 1 2 A 3h 4h S 6h B S B A t t 1 1 t 1 t 1 1000 9 9 999 c 100 9 9 99 b 10 9 9 9 a 1604 188 5 66 59 9 17 3 17 2 17 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi XlX XX XXI XXII XXIII XXIV XXV x amo te Algebricamente explicite o x 3 minutos Tio Dois 4 patos Entenda pela figura Resp 9 Resolução manhãs chuvosas tardes chuvosas dias chuvosos n 6 n 5 7 Resolvendo a equação n 6 n 5 7 temse n 9 Oito deitado dividido por dois resulta quatro deitado OBSERVAÇÃO XXVI XXVII XXVlll XXIX XXX XXXI XXXII XXXlll 150 kg Resolução peso do bezerro x então Cá entre nós você temmilencantos Sobrevivente não se enterra O Brasil não faz divisa com o Chile OmoçoésobrinhodeDébora x x x A folga é a mesma 16 cm Em ambos os casos a ratazana passa com a mesma facilidade Justificativa A folga independe do raio Seja R o raio de uma circunferência de C 2 R Acrescendo 1 m temse C 2 R A folga igual a 1 m é a dife rença C CMatematicamente C C 1 2 R 2 R 1 R R Dobre a borda inferior da folha de papel de forma que se sobreponham A figura ilustra siga os números de 1 a 10 π π π π a mo te x te x a mo mo te x a mo te ax a mo ate ax a 2 2 2 150 x 2 x 75 x 16 cm 2 1 π 2 3 4 8 9 10 7 6 5 1 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir J Venturi XlX XX XXI XXII XXIII XXIV XXV x amo te Algebricamente explicite o x 3minutos Tio Dois 4 patos Entenda pela figura Resp 9 Resolução manhãs chuvosas tardes chuvosas dias chuvosos n 6 n 5 7 Resolvendo a equação n 6 n 5 7 temse n 9 Oito deitado dividido por dois resulta quatro deitado OBSERVAÇÃO XXVI XXVII XXVlll XXIX XXX XXXI XXXII XXXlll 150 kg Resolução peso do bezerro x então Cá entre nós você tem mil encantos Sobrevivente não se enterra O Brasil não faz divisa com o Chile O moço é sobrinho de Débora x x x A folga é a mesma 16 cm Em ambos os casos a ratazana passa com a mesma facilidade Justificativa A folga independe do raio Seja R o raio de uma circunferência de C 2 R Acrescendo 1 m temse C 2 R A folga igual a 1 m é a dife rença C C Matematicamente C C 1 2 R 2 R 1 R R Dobre a borda inferior da folha de papel de forma que se sobreponham A figura ilustra siga os números de 1 a 10 π π π π a mo te x te x a mo mo te x a mo te ax a mo ate ax a 2 2 2 150 x 2 x 75 x 16 cm 2 1 π 2 3 4 8 9 10 7 6 5 1 ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA XXXVII XXXVIII Ambos os trens estão à mesma distância da cidade B 1 Atravessa o coelho para a margem B 2 Retorna sozinho para a margem A 3 Leva a cenoura para a margem B 4 Traz de volta o coelho para a margem A 5 Leva a onça para a margem B uma vez que a onça não come cenoura 6 Volta sozinho para a margem A 7 Finalmente retorna para a margem B com o coelho ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA XXXVII XXXVIII Ambos os trens estão à mesma distância da cidade B 1 Atravessa o coelho para a margem B 2 Retorna sozinho para a margem A 3 Leva a cenoura para a margem B 4 Traz de volta o coelho para a margem A 5 Leva a onça para a margem B uma vez que a onça não come cenoura 6 Volta sozinho para a margem A 7 Finalmente retorna para a margem B com o coelho BIBLIOGRAFIA 1 BARSOTTI Leo Curitiba Artes Gráficas e Editora Unificado 1984 3ª ed v 1 165 p 2 BOULOS Paulo CAMARGO lvan de São PauloMcGrawHill 1987 2ª ed 383 p 3 STEINBRUCH Alfredo WINTERLE Paulo São Paulo Mc GrawHill 1987 2ª ed 291 p 4 CAROLI Alésio João de CALLIOLI Carlos Alberto FEITOSA Miguel Oliva São Paulo Nobel 1968 6ª ed 212 p 5 MURDOCH David C Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1971 2ª ed 296 p 6 REIS Genésio Lima dos SILVA Valdir Vilmar da Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1984 1ª ed 227 p 7 SANTOS Nathan Moreira dos Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1979 2ª ed 152 p 8 LEITE Olímpio Rudinin Vissoto São Paulo Edições Loyola 1983 1ª ed 251 p 9 GIACAGLIA G E O São Paulo Nobel 1985 3ª ed 355 p 10 MACHADO Antônio dos Santos São Paulo Atual 1980 1ª ed 210 p 11 LEHMANN Charles H México UTEHA 1953 1ª ed 488 p 12 MAIA L P M Rio de Janeiro Latino Americana 1ª ed 111 p 13 ZÓZIMO Gonçalves Menna Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1978 1ª ed 248 p 14 CABRERA y MEDICI Buenos Aires 1947 1ª ed 456p 15 BOYER Carl B São Paulo Editora da Universidade de S Paulo 1974 1ª ed 488 p 16 SIMMONS George F São PauloMcGrawHill 1987 1ª ed v 1 829 p Geometria Analítica e vetores Geometria Analítica um tratamento vetorial Geometria Analítica Vetores Geometria Analítica teoria e exercícios Geometria Analítica com uma introdução ao cálculo vetorial e matrizes Geometria Analítica Vetores e Matrizes Geometria Analítica Espacial Vetores e Geometria Analítica Elementos de Álgebra Linear Álgebra Linear e Geometria Analítica Geometria Analítica Cálculo Vetorial Geometria Analítica Plana tratamento vetorial Geometria Analítica História da Matemática Cálculo com Geometria Analítica BIBLIOGRAFIA 1 BARSOTTI Leo Curitiba Artes Gráficas e Editora Unificado 1984 3ª ed v 1 165 p 2 BOULOS Paulo CAMARGO lvan de São PauloMcGrawHill 1987 2ª ed 383 p 3 STEINBRUCH Alfredo WINTERLE Paulo São Paulo Mc GrawHill 1987 2ª ed 291 p 4 CAROLI Alésio João de CALLIOLI Carlos Alberto FEITOSA Miguel Oliva São Paulo Nobel 1968 6ª ed 212 p 5 MURDOCH David C Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1971 2ª ed 296 p 6 REIS Genésio Lima dos SILVA Valdir Vilmar da Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1984 1ª ed 227 p 7 SANTOS Nathan Moreira dos Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1979 2ª ed 152 p 8 LEITE Olímpio Rudinin Vissoto São Paulo Edições Loyola 1983 1ª ed 251 p 9 GIACAGLIA G E O São Paulo Nobel 1985 3ª ed 355 p 10 MACHADO Antônio dos Santos São Paulo Atual 1980 1ª ed 210 p 11 LEHMANN Charles H México UTEHA 1953 1ª ed 488 p 12 MAIA L P M Rio de Janeiro Latino Americana 1ª ed 111 p 13 ZÓZIMO Gonçalves Menna Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1978 1ª ed 248 p 14 CABRERA y MEDICI Buenos Aires 1947 1ª ed 456p 15 BOYER Carl B São Paulo Editora da Universidade de S Paulo 1974 1ª ed 488 p 16 SIMMONS George F São PauloMcGrawHill 1987 1ª ed v 1 829 p Geometria Analítica e vetores Geometria Analítica um tratamento vetorial Geometria Analítica Vetores Geometria Analítica teoria e exercícios Geometria Analítica com uma introdução ao cálculo vetorial e matrizes Geometria Analítica Vetores e Matrizes Geometria Analítica Espacial Vetores e Geometria Analítica Elementos de Álgebra Linear Álgebra Linear e Geometria Analítica Geometria Analítica Cálculo Vetorial Geometria Analítica Plana tratamento vetorial Geometria Analítica História da Matemática Cálculo com Geometria Analítica