Física III - Eletromagnetismo: 12ª Edição de Sears, Zemansky e Young Freedman

I I e f fl KI K c a Tbr I I e f fl KI K c a Tbr SEARS ZEMANSKY YOUNG FREEDMAN FÍSICA III ELETROMAGNETISMO 12a EDIÇÃO I I e f fl KI K c a Tbr ISBN 9788588639300 wwwpearsoncombryoung O site de apoio oferece para professores manual de soluções em inglês e apresentações em PowerPoint com f guras e os principais conceitos do livro protegidos por senha para estudantes exercícios de múltipla escolha para ajudar na f xação de conceitos e animações em inglês com os principais temas das lições w w w p e a r s o n c o m b r SEARS ZEMANSKY SEARS ZEMANSKY SEARS ZEMANSKY YOUNG FREEDMAN YOUNG FREEDMAN YOUNG FREEDMAN FÍSICA I FÍSICA I MECÂNICA MECÂNICA 12a EDIÇÃO 12a EDIÇÃO 12a EDIÇÃO Definitivamente o mais completo conteúdo para o estudo de física esta 12a edição do Sears é uma obra de didática inovadora Com excelente abordagem educacional este livro proporciona estratégias para a solução de problemas e exemplos resolvidos com ferramentas visuais e conceituais pioneiras e didaticamente comprovadas além de recursos eficazes para o aprendizado como ilustrações com comentários testes de compreensão questões para discussão e uma biblioteca de problemas com mais de 800 novos exercícios O que há de novo nesta edição Estratégias para a solução de problemas e Exemplos resolvidos Todas as seções de estratégia para a solução de problemas seguem a abordagem ISEE do inglês Identify Set Up Execute and Evaluate Identificar Preparar Executar e Avaliar Essa abordagem ajuda o estudante a saber como começar a tratar uma situação aparentemente complexa identificar os conceitos relevantes de física decidir quais recursos são necessários para solucionar o problema executar a solução e depois avaliar se o resultado faz sentido O poder didático das figuras O poder instrutivo das figuras é potencializado por meio da comprovada técnica de anotação comentários no estilo quadronegro integrados às figuras para orientar o estudante em sua interpretação e do uso eficiente de detalhes Questões e exercícios Ao final de cada capítulo há um conjunto de questões para discussão destinadas a aprofundar e ampliar a assimilação conceitual pelo aluno Logo após vêm os exercícios e os problemas desafiadores desenvolvidos para estimular os melhores estudantes Com sua primeira edição publicada em 1949 por Sears e Zemansky Física I é considerada hoje uma obra indispensável para qualquer professor ou estudante dessa disciplina por oferecer uma profunda e rigorosa introdução à física baseada no cálculo Esta 12a edição de Física I apresenta as novas idéias extraídas de pesquisas acadêmicas realizadas recentemente na área enfatizando o ensino aprimorado por meio de recursos visuais pioneiros e um texto claro e direto que ajudam o estudante a desenvolver a intuição física e a adquirir as habilidades necessárias para a solução de problemas Além disso o livro conta com diversos ele mentos que contribuem para a fixação dos principais conceitos entre eles Objetivos de aprendizagem no início de cada capítulo Estratégia para a solução de problemas e exemplos resolvidos que fornecem aos es tudantes em quatro etapas táticas específi cas para a resolução de determinados tipos de problema Testes de compreensão com perguntas re lacionadas ao conteúdo da seção em estudo Problemas com níveis de dificuldade pro gressivos Resumo ilustrado no fim de cada capítulo com cerca de 800 novos exercícios ao longo dos quatro volumes Figuras com comentários no estilo ano tação para orientar o estudante e apri morar suas habilidades Livrotexto para os cursos de física e engenha ria entre outros este livro também é referência fundamental para quem precisa se preparar para concursos ou atualizarse no conheci mento de física Física SEARS ZEMANSKY YOUNG FREEDMAN FÍSICA I MECÂNICA 12a EDIÇÃO O site de apoio do livro traz recursos que complementam o conteúdo oferecido para professores e estudantes Exercícios de múltipla escolha Animações em inglês que simulam os principais conceitos Manual de soluções em inglês somente para professores Apresentações em PowerPoint somente para professores wwwpearsoncombryoung Outros volumes da coleção FÍSICA I MECÂNICA Física IV Ótica e física moderna Física III Eletromagnetismo Física II Termodinâmica e ondas CVRSEAR9330I12CVRindd 1 08042014 114833 cap00bOlhoqxd 180308 1616 Page ii SEARS ZEMANSKY cap00bOlhoqxd 180308 1616 Page ii FÍSICA I 2008 by Pearson Education do Brasil Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de nenhum modo ou por algum outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Diretor editorial Roger Trimer Gerente editorial Sabrina Cairo Editores Arlete Sousa e Marco Pace Preparação Marina Mourão Fanti Revisão Sílvia Garcia e Letícia Scarp Capa Rafael Mazzo sob projeto original de Yvo Riezebos Design Projeto gráfico e diagramação ERJ Composição Editorial e Artes Gráficas Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Índice para catálogo sistemático 1 Física Estudo e ensino 53007 2008 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil uma empresa do grupo Pearson Education Av Ermano Marchetti 1435 CEP 05038001 São Paulo SP Fone 11 21788686 Fax 11 21788688 email vendaspearsonedcom Young Hugh D Física I Young e Freedman tradução Sonia Midori Yamamoto revisão técnica Adir Moysés Luiz 12 ed São Paulo Addison Wesley 2008 Título original Sears and Zemanskys university physics ISBN 9788588639300 1 Física 2 Física Estudo e ensino I Freedman II Luiz Adir Moysés III Título 0710684 CDD53007 cap00bOlhoqxd 200308 846 Page iv 5a reimpressão agosto 2012 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco 26 CEP 02712100 São Paulo SP Brasil Fone 11 21788686 Fax 11 21788688 vendaspearsoncom 7a reimpressão abril 2014 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco 26 CEP 02712100 São Paulo SP Brasil Fone 11 21788686 Fax 11 21788688 vendaspearsoncom SUMÁRIO FÍSICA 1 MECÂNICA CAPÍTULO 1 Unidades Grandezas Físicas e Vetores 11 A Natureza da Física 01 12 Solução de Problemas de Física 02 13 Padrões e Unidades 04 14 Coerência e Conversão de Unidades 06 15 Incerteza e Algarismos Significativos 08 16 Estimativas e Ordens de Grandeza 10 17 Vetores e Soma Vetorial 10 18 Componentes de Vetores 15 19 Vetores Unitários 19 110 Produtos de Vetores 20 ResumoPrincipais Termos 26 QuestõesExercíciosProblemas 27 CAPÍTULO 2 Movimento Retilíneo 21 Deslocamento Tempo e Velocidade Média 35 22 Velocidade Instantânea 38 23 Aceleração Instantânea e Aceleração Média 41 24 Movimento com Aceleração Constante 45 25 Queda Livre de Corpos 51 26 Velocidade e Posição por Integração 54 ResumoPrincipais Termos 57 QuestõesExercíciosProblemas 58 CAPÍTULO 3 Movimento em Duas ou Três Dimensões 31 Vetor Posição e Vetor Velocidade 69 32 Vetor Aceleração 72 33 Movimento de um Projétil 77 34 Movimento Circular 85 35 Velocidade Relativa 89 ResumoPrincipais Termos 93 QuestõesExercíciosProblemas 95 CAPÍTULO 4 Leis de Newton do Movimento 41 Força e Interações 106 42 Primeira Lei de Newton 109 43 Segunda Lei de Newton 113 44 Massa e Peso 119 45 Terceira Lei de Newton 121 46 Exemplos de Diagramas do Corpo Livre 124 ResumoPrincipais Termos 126 QuestõesExercíciosProblemas 128 CAPÍTULO 5 Aplicações das Leis de Newton 51 Uso da Primeira Lei de Newton Partículas em Equilíbrio 135 52 Uso da Segunda Lei de Newton Dinâmica das Partículas 141 53 Forças de Atrito 148 54 Dinâmica do Movimento Circular 157 55 As Forças Fundamentais da Natureza 162 ResumoPrincipais Termos 164 QuestõesExercíciosProblemas 165 CAPÍTULO 6 Trabalho e Energia Cinética 61 Trabalho 181 62 Energia Cinética e o Teorema do TrabalhoEnergia 186 63 Trabalho e Energia com Forças Variáveis 192 64 Potência 198 ResumoPrincipais Termos 200 QuestõesExercíciosProblemas 202 CAPÍTULO 7 Energia Potencial e Conservação da Energia 71 Energia Potencial Gravitacional 213 72 Energia Potencial Elástica 222 73 Forças Conservativas e Forças Não Conservativas 228 74 Força e Energia Potencial 231 cap00bOlhoqxd 180308 1616 Page v 75 Diagramas de Energia 234 ResumoPrincipais Termos 235 QuestõesExercíciosProblemas 237 CAPÍTULO 8 Momento Linear Impulso e Colisões 81 Momento Linear e Impulso 247 82 Conservação do Momento Linear 253 83 Conservação do Momento Linear e Colisões 258 84 Colisões Elásticas 262 85 Centro de Massa 266 86 Propulsão de um Foguete 270 ResumoPrincipais Termos 272 QuestõesExercíciosProblemas 274 CAPÍTULO 9 Rotação de Corpos Rígidos 91 Velocidade Angular e Aceleração Angular 286 92 Rotação com Aceleração Angular Constante 291 93 Relações entre a Cinemática Linear e a Cinemática Angular 292 94 Energia no Movimento de Rotação 296 95 Teorema dos Eixos Paralelos 301 96 Cálculos de Momento de Inércia 302 ResumoPrincipais Termos 304 QuestõesExercíciosProblemas 306 CAPÍTULO 10 Dinâmica do Movimento de Rotação 101 Torque 316 102 Torque e Aceleração Angular de um Corpo Rígido 319 103 Rotação de um Corpo Rígido em Torno de um Eixo Móvel 323 104 Trabalho e Potência no Movimento de Rotação 329 105 Momento Angular 331 106 Conservação do Momento Angular 334 107 Giroscópios e Precessão 337 ResumoPrincipais Termos 340 QuestõesExercíciosProblemas 342 CAPÍTULO 11 Equilíbrio e Elasticidade 111 Condições de Equilíbrio 355 112 Centro de Gravidade 356 113 Soluções de Problemas de Equilíbrio de Corpos Rígidos 359 114 Tensão Deformação e Módulos de Elasticidade 364 115 Elasticidade e Plasticidade 369 ResumoPrincipais Termos 370 QuestõesExercíciosProblemas 372 APÊNDICES A Sistema Internacional de Unidades 387 B Relações Matemáticas Úteis 389 C Alfabeto Grego 390 D Tabela Periódica dos Elementos 391 E Fatores de Conversão das Unidades 392 F Constantes Numéricas 393 Respostas dos Problemas Ímpares 395 Índice Remissivo 399 Créditos das fotos 402 Sobre os autores 403 FÍSICA 2 TERMODINÂMICA E ONDAS CAPÍTULO 12 Gravitação 121 Lei de Newton da Gravitação 122 Peso 123 Energia Potencial Gravitacional 124 Movimento de Satélites 125 As Leis de Kepler e o Movimento de Planetas 126 Distribuição Esférica de Massa 127 Peso Aparente e Rotação da Terra 128 Buraco Negro ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 13 Movimento Periódico 131 Causas da Oscilação 132 Movimento Harmônico Simples 133 Energia no Movimento Harmônico Simples 134 Aplicações do Movimento Harmônico Simples vi FÍSICA I cap00bOlhoqxd 180308 1616 Page vi 135 O Pêndulo Simples 136 O Pêndulo Físico 137 Oscilações Amortecidas 138 Oscilações Forçadas e Ressonância ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 14 Mecânica dos Fluidos 141 Densidade 142 Pressão em um Fluido 143 Empuxo 144 Escoamento de um Fluido 145 Equação de Bernoulli 146 Viscosidade e Turbulência ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 15 Ondas Mecânicas 151 Tipos de Ondas Mecânicas 152 Ondas Periódicas 153 Descrição Matemática das Ondas 154 Velocidade de uma Onda Transversal 155 Energia no Movimento Ondulatório 156 Interferência de Ondas Condições de Contorno de uma Corda e Princípio da Superposição 157 Ondas Estacionárias em uma Corda 158 Modos Normais de uma Corda ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 16 Som e Audição 161 Ondas Sonoras 162 Velocidade das Ondas Sonoras 163 Intensidade do Som 164 Ondas Estacionárias e Modos Normais 165 Ressonância e Som 166 Interferência de Ondas 167 Batimentos 168 O Efeito Doppler 169 Ondas de Choque ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 17 Temperatura e Calor 171 Temperatura e Equilíbrio Térmico 172 Termômetros e Escalas de Temperatura 173 Termômetro de Gás e Escala Kelvin 174 Expansão Térmica 175 Quantidade de Calor 176 Calorimetria e Transições de Fases 177 Mecanismos de Transferência de Calor ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 18 Propriedades Térmicas da Matéria 181 Equações de Estado 182 Propriedades Moleculares da Matéria 183 Modelo CinéticoMolecular de um Gás Ideal 184 Calor Específico 185 Velocidades Moleculares 186 Fases da Matéria ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 19 A Primeira Lei da Termodinâmica 191 Sistemas Termodinâmicos 192 Trabalho Realizado Durante Variações de Volume 193 Caminhos entre Estados Termodinâmicos 194 Energia Interna e a Primeira Lei da Termodinâmica 195 Tipos de Processos Termodinâmicos 196 Energia Interna de um Gás Ideal 197 Calor Específico de um Gás Ideal 198 Processo Adiabático de um Gás Ideal ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 20 A Segunda Lei da Termodinâmica 201 Sentido de um Processo Termodinâmico 202 Máquinas Térmicas 203 Máquinas de Combustão Interna 204 Refrigeradores 205 Segunda Lei da Termodinâmica 206 O Ciclo de Carnot Sumário vii cap00bOlhoqxd 010408 923 Page vii 207 Entropia 208 Interpretação Microscópica da Entropia ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas FÍSICA 3 ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 21 Carga Elétrica e Campo Elétrico 211 Carga Elétrica 212 Condutores Isolantes e Cargas Induzidas 213 Lei de Coulomb 214 Campo Elétrico e Forças Elétricas 215 Determinação do Campo Elétrico 216 Linhas de Força de um Campo Elétrico 217 Dipolos Elétricos ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 22 Lei de Gauss 221 Carga Elétrica e Fluxo Elétrico 222 Determinação do Fluxo Elétrico 223 Lei de Gauss 224 Aplicações da Lei de Gauss 225 Cargas e Condutores ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 23 Potencial Elétrico 231 Energia Potencial Elétrica 232 Potencial Elétrico 233 Determinação do Potencial Elétrico 234 Superfícies Equipotenciais 235 Gradiente de Potencial ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 24 Capacitância e Dielétricos 241 Capacitância e Capacitores 242 Capacitores em Série e em Paralelo 243 Armazenamento de Energia em Capacitores e Energia do Campo Elétrico 244 Dielétricos 245 Modelo Molecular da Carga Induzida 246 Lei de Gauss em Dielétricos ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 25 Corrente Resistência e Força Eletromotriz 251 Corrente 252 Resistividade 253 Resistência 254 Força Eletromotriz e Circuitos 255 Energia e Potência em Circuitos Elétricos 256 Teoria da Condução em Metais ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 26 Circuitos de Corrente Contínua 261 Resistores em Série e em Paralelo 262 Leis de Kirchhoff 263 Instrumentos de Medidas Elétricas 264 Circuito RC 265 Sistemas de Distribuição de Potência ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 27 Campo Magnético e Força Magnética 271 Magnetismo 272 Campo Magnético 273 Linhas de Campo Magnético e Fluxo Magnético 274 Movimento de Partículas Carregadas em um Campo Magnético 275 Aplicações do Movimento de Partículas Carregadas 276 Força Magnética Sobre um Condutor Transportando uma Corrente 277 Força e Torque Sobre uma Espira de Corrente 278 O Motor de Corrente Contínua 279 O Efeito Hall ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas viii FÍSICA I cap00bOlhoqxd 180308 1616 Page viii CAPÍTULO 28 Fontes de Campo Magnético 281 Campo Magnético de uma Carga em Movimento 282 Campo Magnético de um Elemento de Corrente 283 Campo Magnético de um Condutor Retilíneo Transportando uma Corrente 284 Força Entre Condutores Paralelos 285 Campo Magnético de uma Espira de Corrente 286 Lei de Ampère 287 Aplicações da Lei de Ampère 288 Materiais Magnéticos ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 29 Indução Eletromagnética 291 Experiências de Indução 292 Lei de Faraday 293 Lei de Lenz 294 Força Eletromotriz Produzida pelo Movimento 295 Campos Elétricos Induzidos 296 Correntes de Rodamoinho 297 Corrente de Deslocamento e Equações de Maxwell 298 Supercondutividade ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 30 Indutância 301 Indutância Mútua 302 Indutores e AutoIndutância 303 Indutores e Energia do Campo Magnético 304 O Circuito RL 305 O Circuito LC 306 O Circuito RLC em Série ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 31 Corrente Alternada 311 Fasor e Corrente Alternada 312 Resistência e Reatância 313 O Circuito RLC em Série 314 Potência em Circuitos de Corrente Alternada 315 Ressonância em Circuitos de Corrente Alternada 316 Transformadores ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 32 Ondas Eletromagnéticas 321 Equações de Maxwell e Ondas Eletromagnéticas 322 Ondas Eletromagnéticas Planas e a Velocidade da Luz 323 Ondas Eletromagnéticas Senoidais 324 Energia e Momento Linear em Ondas Eletromagnéticas 325 Ondas Eletromagnéticas Estacionárias ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas FÍSICA 4 ÓTICA E FÍSICA MODERNA CAPÍTULO 33 Natureza e Propagação da Luz 331 Natureza da Luz 332 Reflexão e Refração 333 Reflexão Interna Total 334 Dispersão 335 Polarização 336 Espalhamento da Luz 337 Princípio de Huygens ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 34 Ótica Geométrica e Instrumentos de Ótica 341 Reflexão e Refração em uma Superfície Plana 342 Reflexão em uma Superfície Esférica 343 Refração em uma Superfície Esférica 344 Lentes Delgadas 345 Câmera 346 O Olho 347 A Lupa 348 Microscópios e Telescópios ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas Sumário ix cap00bOlhoqxd 180308 1616 Page ix CAPÍTULO 35 Interferência 351 Interferência e Fontes Coerentes 352 Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes 353 Intensidade das Figuras de Interferência 354 Interferência em Películas Finas 355 O Interferômetro de Michelson ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 36 Difração 361 Difração de Fresnel e Difração de Fraunhofer 362 Difração Produzida por uma Fenda Simples 363 Intensidade na Difração Produzida por uma Fenda Simples 364 Fendas Múltiplas 365 A Rede de Difração 366 Difração de Raios X 367 Orifícios Circulares e Poder de Resolução 368 Holografia ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 37 Relatividade 371 Invariância das Leis Físicas 372 Relatividade da Simultaneidade 373 Relatividade dos Intervalos de Tempo 374 Relatividade do Comprimento 375 As Transformações de Lorentz 376 O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnéticas 377 Momento Linear Relativístico 378 Trabalho e Energia na Relatividade 379 Mecânica Newtoniana e Relatividade ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 38 Fótons Elétrons e Átomos 381 Emissão e Absorção da Luz 382 O Efeito Fotoelétrico 383 Espectro Atômico de Linhas e Níveis de Energia 384 O Núcleo do Átomo 385 O Modelo de Bohr 386 O Laser 387 Espalhamento e Produção de Raios X 388 Espectro Contínuo 389 A Dualidade OndaPartícula ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 39 A Natureza Ondulatória das Partículas 391 Onda de De Broglie 392 Difração de Elétrons 393 Probabilidade e Incerteza 394 O Microscópio Eletrônico 395 Função de Onda e Equação de Schrödinger ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 40 Mecânica Quântica 401 Partícula em uma Caixa 402 Poço de Potencial 403 Barreira de Potencial e Efeito Túnel 404 O Oscilador Harmônico 405 Problemas em Três Dimensões ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 41 Estrutura Atômica 411 O Átomo de Hidrogênio 412 O Efeito Zeeman 413 Spin do Elétron 414 Átomos com Muitos Elétrons e o Princípio de Exclusão 415 Espectro de Raios X ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 42 Moléculas e Matéria Condensada 421 Tipos de Ligações Moleculares 422 Espectro Molecular 423 Estrutura de um Sólido 424 Bandas de Energia 425 Modelo do Elétron Livre para um Metal x FÍSICA I cap00bOlhoqxd 180308 1616 Page x 426 Semicondutores 427 Dispositivos Semicondutores 428 Supercondutividade ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 43 Física Nuclear 431 Propriedades do Núcleo 432 Ligação Nuclear e Estrutura Nuclear 433 Estabilidade Nuclear e Radioatividade 434 Atividade e MeiaVida 435 Efeitos Biológicos da Radiação 436 Reações Nucleares 437 Fissão Nuclear 438 Fusão Nuclear ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas CAPÍTULO 44 Física das Partículas e Cosmologia 441 Partículas Fundamentais uma História 442 Aceleradores de Partículas e Detectores 443 Interações Entre Partículas 444 Quarks e o Modelo com Simetria de Oito Modos 445 O Modelo Padrão e os Modelos Futuros 445 O Universo em Expansão 446 O Começo do Tempo ResumoPrincipais Termos QuestõesExercíciosProblemas Sumário xi cap00bOlhoqxd 180308 1616 Page xi cap00bOlhoqxd 180308 1616 Page xii PREFÁCIO Este livro é o resultado de meio século de liderança e inovação no ensino da Física A primeira edição do livro Física de Francis W Sears e Mark W Zemansky publicada em 1949 foi revolucionária dentre os livrostexto baseados em cálculo por dar ênfase aos princípios da Física e suas aplicações O êxito alcançado por esta obra para o uso de diver sas gerações de alunos e professores em várias partes do mundo atesta os méritos desse método e das muitas inovações introduzidas posteriormente Ao preparar esta nova edição incrementamos e desenvolvemos o livro de modo a incorporar as melhores idéias extraí das de pesquisas acadêmicas com ensino aprimorado de solução de problemas pedagogia visual e conceitual pioneira Novidades desta Edição Estratégias para a solução de problemas e Exemplos resolvidos Seções de Estratégia para a solução de problemas permeiam o livro e fornecem aos alunos táticas específicas para a resolução de determina dos tipos de problema Eles atendem às necessidades de todo estudante que já sentiu que compreende os concei tos mas não consegue resolver os problemas Todas as seções de Estratégia para a Solução de Problemas seguem a abordagem ISEE do inglês Identify Set Up Execute and Evaluate Identificar Preparar Executar e Avaliar Essa abordagem ajuda os estudantes a saber como começar a tratar uma situação aparentemente complexa identificar os conceitos rele vantes de Física decidir quais recursos são necessários para solucionar o problema executar a solução e depois avaliar se o resultado faz sentido Cada seção de Estratégia para a Solução de Problemas é seguida por um ou mais Exemplos resolvidos que ilus tram a estratégia Muitos outros Exemplos podem ser encontrados em cada capítulo Assim como as seções de Estratégia para a Solução de Problemas todos os exem plos quantitativos aplicam a abordagem ISEE Vários deles são puramente qualitativos e classificados como Exemplos Conceituais Ensino associado à prática Um recurso eficiente e sistemático de aprendizado associado à prática inclui os Objetivos de Aprendizagem disponíveis no início de cada capítulo e os Resumos dos capítulos que consoli dam cada conceito por meio de palavras fórmulas matemáticas e figuras Essa é uma idéia extraída de pesquisas acadêmi cas realizadas recentemente na área Por ser um recur so extremamente didático é muito eficiente para o aprendizado cap00bOlhoqxd 010408 1416 Page xiii Questões e exercícios No final de cada capítulo há um conjunto de Questões para discussão destinadas a aprofun dar e ampliar a assimilação conceitual pelo aluno e logo após vêm os Exercícios problemas simples que envolvem um dado conceito relacionado com seções específicas do texto Em seguida temos os Problemas que normalmente necessi tam de duas ou mais etapas não triviais e por fim os Problemas desafiadores destinados a desafiar os melhores estu dantes Os problemas abrangem aplicações a campos tão diversos quanto astrofísica biologia e aerodinâmica Muitos deles possuem partes conceituais as quais os estudantes devem discutir e explicar seus resultados As novas questões exercícios e problemas desta edição foram criados e organizados por Wayne Anderson Sacramento City College Laird Kramer Florida International University e Charlie Hibbard xiv FÍSICA I O poder didático das figuras O poder ins trutivo das figuras é potencializado por meio da comprovada técnica de anotação comen tários no estilo quadronegro integrados às figuras para orientar o estudante em sua inter pretação e do uso eficiente de detalhes Problemas em destaque ao final dos capítulos Outro reconhecido mérito desta 12a edição vai ainda mais longe ela oferece em seus quatro volumes a primeira biblioteca de problemas sistematicamente melhorados em Física com mais de 800 novos problemas que compõem o acervo total de 3700 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Estudando este capítulo você aprenderá Como descrever o movimento retilíneo em termos de veloci dade média velocidade instantânea aceleração média e ace leração instantânea Como interpretar gráficos de posição versus tempo velocida de versus tempo e aceleração versus tempo para o movi mento retilíneo Como solucionar problemas relacionados ao movimento reti líneo com aceleração constante incluindo questões de queda livre Como analisar o movimento retilíneo em caso de aceleração não constante Teste sua compreensão da Seção 22 A Figura 29 é um gráfico xt do movimento de uma partícula a Classifique os valores da velocidade vx da partícula nos pontos P Q R e S do mais positivo para o mais negativo b Em quais pontos vx é posi tiva c Em quais pontos vx é negativa d Em quais pontos vx é nula e Classifique os valores da velocidade escalar da partícu la nos pontos P Q R e S do mais rápido para o mais lento Figura 227 A posição e a velocidade de uma aeronave atravessando o Atlântico são obtidas integrandose sua aceleração em relação ao tempo Aceleração Desconhecida Velocidade A ser determinada Posição A ser determinada Destino Londres Origem Miami N L O S Organização dos capítulos A Introdução de cada capítulo fornece exemplos especí ficos do conteúdo e faz a conexão com assuntos aborda dos em capítulos anteriores Há também uma Pergunta de abertura do capítulo e uma lista de Objetivos de Aprendizagem para que o aluno reflita sobre a matéria no capítulo a seguir Para encontrar a resposta a essa pergunta procure pelo ícone A maioria das seções termina com um Teste de compreensão que apresenta perguntas simples relacionadas ao conteúdo estudado Esse recurso ajuda os alunos a testarem instantanea mente o que acabaram de aprender O final de cada capí tulo traz um Resumo visual dos princípios mais impor tantes apresentados bem como uma lista de Principais termos com referência da página na qual cada termo foi introduzido pela primeira vez As respostas à Pergunta de abertura do capítulo e do Teste de compreensão vêm na seqüência dos Principais termos cap00bOlhoqxd 010408 1416 Page xiv Parágrafos de atenção Duas décadas de pesquisa acadêmica em Física revelaram uma série de armadilhas conceituais que comumente afligem os iniciantes no estudo da Física Dentre elas as noções de que uma força é necessária para o movimento que a corrente elétrica é usada ao longo de um circuito e que o próprio produto da massa pela aceleração é uma força Os parágrafos de Atenção alertam para essas e outras armadilhas e explicam onde está o erro na abordagem que pode ter inicialmente ocorrido ao estudante de uma determinada situação Como Aprender Física Tentando para Valer Mark Hollabaugh Normandale Community College A física abrange o pequeno e o grande o velho e o novo Dos átomos até as galáxias dos circuitos elétricos até a aero dinâmica a física é parte integrante do mundo que nos cerca Você provavelmente está fazendo este curso de física baseado no cálculo como prérequisito de cursos subseqüentes que fará para se preparar para uma carreira de ciências ou de enge nharia Seu professor deseja que você aprenda física e que goste da experiência Ele está muito interessado em ajudálo a aprender essa fascinante matéria Essa é uma das razões para ter escolhido este livrotexto para o seu curso Também foi por isso que os doutores Young e Freedman me pediram para escrever esta seção introdutória Desejamos o seu sucesso O objetivo desta seção é fornecer algumas idéias que possam auxiliálo durante a aprendizagem Após uma breve abor dagem sobre hábitos e estratégias gerais de estudo serão apresentadas sugestões específicas sobre como usar o livrotexto Preparação para este Curso Caso esteja adiantado em seus estudos de física você aprenderá mais rapidamente alguns conceitos por estar fami liarizado com a linguagem dessa matéria Da mesma forma seus estudos de matemática facilitarão sua assimilação dos aspectos matemáticos da física Seu professor poderá indicar alguns tópicos de matemática que serão úteis neste curso Aprendendo a Aprender Cada um de nós possui um estilo próprio e um método preferido de aprendizagem Compreender seu estilo de aprender ajudará você a identificar as dificuldades e superálas Obviamente você preferirá dedicar mais tempo estudando os assuntos mais complicados Se você aprende mais ouvindo assistir às aulas e conferências será muito importante Caso prefira explicar o trabalho em equipe vai lhe ser útil Se a sua dificuldade está na solução de problemas gaste uma parte maior do seu tempo aprendendo a resolver problemas Também é fundamental desenvolver bons hábitos de estudo Talvez a coisa mais importante que você possa fazer por si mesmo seja estabelecer uma rotina de estudos em horários regulares e em um ambiente livre de distrações Responda para si mesmo as seguintes perguntas Estou apto para usar os conceitos matemáticos fundamentais da álgebra da geometria e da trigonometria Caso não esteja apto faça um programa de revisão com a ajuda de seu professor Em cursos semelhantes qual foi a atividade na qual tive mais dificuldade Dedique mais tempo a isso Qual foi a atividade mais fácil para mim Executea primeiro isso lhe dará mais confiança Eu entendo melhor a matéria se leio o livro antes ou depois da aula Pode ser que você aprenda melhor fazendo uma leitura superficial da matéria assistindo à aula e depois relendo o material com mais atenção Eu dedico um tempo adequado aos meus estudos de física Uma regra prática para um curso deste tipo é dedi car 2h30 de estudos para cada hora de aula Para uma semana com 5 horas de aula devese dedicar cerca de 10 a 15 horas de estudos por semana Devo estudar física todos os dias Distribua as 10 ou 15 horas de estudos durante a semana Em que parte do dia meus estudos são mais eficientes Escolha um período específico do dia e atenhase a ele Eu estudo em ambiente silencioso que favoreça minha concentração As distrações podem quebrar sua rotina de estudos e atrapalhar a assimilação de pontos importantes Trabalho em Grupo Cientistas e engenheiros raramente trabalham sozinhos e preferem cooperar entre si Você aprenderá melhor e com mais prazer estudando Física junto com outros colegas Alguns professores aplicam métodos formais de aprendizagem cooperativa ou incentivam a formação de grupos Você pode por exemplo formar seu próprio grupo de estudos com amigos da escola ou de sua vizinhança Caso possua email useo para se comunicar com outros colegas Seu grupo de estudos será especialmente importante quando estiver fazendo uma revisão para os exames Aulas e Anotações Um componente importante de seu curso são as aulas e conferências Na física isso é especialmente importante porque seu professor geralmente faz demonstrações de princípios físicos executa simulações em computador ou exibe filmes Todos esses recursos ajudam você a entender princípios fundamentais Não falte a nenhuma aula e caso por algum motivo isso seja inevitável peça as anotações de algum colega de seu grupo de estudos Faça anotações das aulas sob a forma de tópicos e deixe para completar os detalhes do conteúdo mais tarde É difí cil anotar palavra por palavra portanto anote apenas as idéias básicas O professor pode usar um diagrama do livro xvi FÍSICA I cap00bOlhoqxd 010408 1416 Page xvi Edward Adelson Ohio State University Ralph Alexander University of Missouri at Rolla J G Anderson R S Anderson Wayne Anderson Sacramento City College Alex Azima Lansing Community College Dilip Balamore Nassau Community College Harold Bale University of North Dakota Arun Bansil Northeastern University John Barach Vanderbilt University J D Barnett H H Barschall Albert Bartlett University of Colorado Paul Baum CUNY Queens College Frederick Becchetti University of Michigan B Bederson David Bennum University of Nevada Reno Lev I Berger San Diego State University Robert Boeke William Rainey Harper College S Borowitz A C Braden James Brooks Boston University Nicholas E Brown California Polytechnic State University San Luis Obispo Tony Buffa California Polytechnic State University San Luis Obispo A Capecelatro Michael Cardamone Pennsylvania State University Duane Carmony Purdue University Troy Carter UCLA P Catranides John Cerne SUNY at Buffalo Roger Clapp University of South Florida William M Cloud Eastern Illinois University Leonard Cohen Drexel University W R Coker University of Texas Austin Malcolm D Cole University of Missouri at Rolla H Conrad David Cook Lawrence University Gayl Cook University of Colorado Hans Courant University of Minnesota Bruce A Craver University of Dayton Larry Curtis University of Toledo Jai Dahiya Southeast Missouri State University Steve Detweiler University of Florida George Dixon Oklahoma State University Donald S Duncan Boyd Edwards West Virginia University Robert Eisenstein Carnegie Mellon University Amy Emerson Missourn Virginia Institute of Technology William Faissler Northeastern University William Fasnacht US Naval Academy Paul Feldker St Louis Community College Carlos Figueroa Cabrillo College L H Fisher Neil Fletcher Florida State University Robert Folk Peter Fong Emory University A Lewis Ford Texas AM University D Frantszog James R Gaines Ohio State University Solomon Gartenhaus Purdue University Ron Gautreau New Jersey Institute of Technology J David Gavenda University of Texas Austin Dennis Gay University of North Florida James Gerhart University of Washington N S Gingrich J L Glathart S Goodwin Rich Gottfried Frederick Community College Walter S Gray University of Michigan Paul Gresser University of Maryland Benjamin Grinstein UC San Diego Howard Grotch Pennsylvania State University John Gruber San Jose State University Graham D Gutsche US Naval Academy Michael J Harrison Michigan State University Harold Hart Western Illinois University Howard Hayden University of Connecticut Carl Helrich Goshen College Laurent Hodges Iowa State University C D Hodgman Michael Hones Villanova University Keith Honey West Virginia Institute of Technology Gregory Hood Tidewater Community College John Hubisz North Carolina State University M Iona John Jaszczak Michigan Technical University Alvin Jenkins North Carolina State University Robert P Johnson UC Santa Cruz Lorella Jones University of Illinois John Karchek GMI Engineering Management Institute Thomas Keil Worcester Polytechnic Institute Robert Kraemer Carnegie Mellon University Jean P Krisch University of Michigan Robert A Kromhout Andrew Kunz Marquette University Charles Lane Berry College Thomas N Lawrence Texas State University Robert J Lee Alfred Leitner Rensselaer Polytechnic University Gerald P Lietz De Paul University Gordon Lind Utah State University S Livingston Elihu Lubkin University of Wisconsin Milwaukee Robert Luke Boise State University David Lynch Iowa State University Michael Lysak San Bernardino Valley College Prefácio xvii Deixe um espaço em suas notas para inserir o diagrama depois Após as aulas revise suas anotações preenchendo as lacunas e anotando os pontos que devem ser mais desenvolvidos posteriormente Anote as referências de páginas equa ções ou seções do livro Faça perguntas em classe ou procure o professor depois da aula Lembrese de que a única pergunta tola é aquela que não foi feita Exames Fazer uma prova gera um elevado nível de estresse Contudo estar bem preparado e descansado alivia a tensão Prepararse para uma prova é um processo contínuo começa assim que termina a última prova Imediatamente depois de uma prova você deve rever cuidadosamente os eventuais erros cometidos Proceda do seguinte modo divida uma folha de papel em duas colunas Em uma delas escreva a solução correta do problema Na outra coloque sua solução e verifique onde foi que errou Caso não consiga identificar com certeza o erro consulte seu professor A física se constrói a partir de princípios básicos e é necessário corrigir imediatamente qualquer interpretação incorreta Atenção embora você possa passar em um exame deixando para estudar na última hora não conseguirá reter adequadamente os concei tos necessários para serem usados na próxima prova Agradecimentos Desejamos agradecer às centenas de revisores e colegas que ofereceram valiosos comentários e sugestões para este livro O sucesso duradouro de Física devese em grande medida às suas contribuições cap00bOlhoqxd 010408 1416 Page xvii Além disso nós dois temos agradecimentos individuais a fazer Estendo meus cordiais agradecimentos aos meus colegas da CarnegieMellon em especial aos professores Robert Kraemer Bruce Sherwood Ruth Chabay Helmut Vogel e Brian Quinn por discussões estimulantes sobre pedagogia da Física e por seu apoio e incentivo durante a elaboração das sucessivas edições deste livro Agradeço também às muitas gera ções de estudantes da CarnegieMellon por me ajudarem a entender o que é ser um bom professor e um bom escritor e por me mostrarem o que funciona ou não É sempre um prazer e um privilégio expressar minha gratidão à minha mulher Alice e minhas filhas Gretchen e Rebeca pelo amor suporte e amparo emocional durante a elaboração das sucessivas edições deste livro Quem dera todos os homens e mulheres fossem abençoados com o amor que elas me dedicam H DY Gostaria de prestar agradecimento aos meus colegas do passado e do presente da UCSB incluindo Rob Geller Carl Gwin Al Nash Elisabeth Nicol e Francesc Roig pelo dedicado apoio e pelas valiosas discussões Expresso minha gra tidão especial aos meus primeiros professores Willa Ramsay Peter Zimmerman William Little Alan Schwerttman e Dirk Walecka por me mostrarem como é claro e envolvente o ensino da Física e a Stuart Johnson por me convidar a participar deste projeto como coautor a partir da nona edição Meus especiais agradecimentos à equipe editorial da Addison Wesley e seus parceiros a Adam Black pela visão editorial a Margot Otway pelo extraordinário senso gráfico e cuidadoso desenvolvimento desta edição a Peter Murphy e Carol Reitz pela cuidadosa leitura do manuscrito a Wayne Anderson Charlie Hibbard Laird Kramer e Larry Stookey pelo trabalho nos problemas de final de capítulo e a Laura Kenney Chandrika Madhavan Nancy Tabor e Pat McCutcheon por manter a produção editorial fluindo Desejo agrade cer ao meu pai por seu amor e suporte permanentes e por reservar um espaço na estante para este livro Acima de tudo desejo expressar minha gratidão e amor à minha esposa Caroline a quem dedico minhas contribuições a este livro Alô Caroline a nova edição finalmente saiu vamos comemorar RAF xviii FÍSICA I Jeffrey Mallow Loyola University Robert Mania Kentucky State University Robert Marchina University of Memphis David Markowitz University of Connecticut R J Maurer Oren Maxwell Florida International University Joseph L McCauley University of Houston T K McCubbin Jr Pennsylvania State University Charles McFarland University of Missouri at Rolla James Mcguire Tulane University Lawrence McIntyre University of Arizona Fredric Messing CarnegieMellon University Thomas Meyer Texas AM University Andre Mirabelli St Peters College New Jersey Herbert Muether SUNY Stony Brook Jack Munsee California State University Long Beach Lorenzo Narducci Drexel University Van E Neie Purdue University David A Nordling U S Naval Academy Benedict Oh Pennsylvania State University L O Olsen Jim Pannell DeVry Institute of Technology W F Parks University of Missouri Robert Paulson California State University Chico Jerry Peacher University of Missouri at Rolla Arnold Perlmutter University of Miami Lennart Peterson University of Florida R J Peterson University of Colorado Boulder R Pinkston Ronald Poling University of Minnesota J G Potter C W Price Millersville University Francis Prosser University of Kansas Shelden H Radin Michael Rapport Anne Arundel Community College R Resnick James A Richards Jr John S Risley North Carolina State University Francesc Roig University of California Santa Barbara T L Rokoske Richard Roth Eastern Michigan University Carl Rotter University of West Virginia S Clark Rowland Andrews University Rajarshi Roy Georgia Institute of Technology Russell A Roy Santa Fe Community College Dhiraj Sardar University of Texas San Antonio Bruce Schumm UC Santa Cruz Melvin Schwartz St Johns University F A Scott L W Seagondollar Paul Shand University of Northern Iowa Stan Shepherd Pennsylvania State University Douglas Sherman San Jose State Bruce Sherwood Carnegie Mellon University Hugh Siefkin Greenville College Tomasz Skwarnicki Syracuse University C P Slichter Charles W Smith University of Maine Orono Malcolm Smith University of Lowell Ross Spencer Brigham Young University Julien Sprott University of Wisconsin Victor Stanionis Iona College James Stith American Institute of Physics Chuck Stone North Carolina AT State University Edward Strother Florida Institute of Technology Conley Stutz Bradley University Albert Stwertka US Merchant Marine Academy Martin Tiersten CUNY City College David Toot Alfred University Somdev Tyagi Drexel University F Verbrugge Helmut Vogel Carnegie Mellon University Robert Webb Texas A M Thomas Weber Iowa State University M Russell Wehr Pennsylvania State University Robert Weidman Michigan Technical University Dan Whalen UC San Diego Lester V Whitney ThomasWiggins Pennsylvania State University DavidWilley University of Pittsburgh Johnstown George Williams University of Utah John Williams Auburn University Stanley Williams Iowa State University Jack Willis Suzanne Willis Northern Illinois University Robert Wilson San Bernardino Valley College L Wolfenstein James Wood Palm Beach Junior College Lowell Wood University of Houston R E Worley D H Ziebell Manatee Community College George O Zimmerman Boston University cap00bOlhoqxd 010408 1416 Page xviii Para minimizar os danos causados por um furacão a vidas e propriedades é essencial prever o seu percurso Se um furacão se desloca a 20 kmh a 53º a nordeste quanto ele se deslocará rumo ao norte em uma hora OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá Quais são as grandezas mecânicas fundamentais e as unida des usadas pelos físicos para medilas Como não perder de vista os algarismos mais significativos nos seus cálculos A diferença entre grandezas escalares e vetores e como somar e subtrair vetores graficamente Quais são os componentes de um vetor e como usálos em cálculos O que são vetores unitários e como usálos com componen tes para descrever vetores Duas formas de multiplicar vetores UNIDADES GRANDEZAS FÍSICAS E VETORES O estudo da física é importante porque essa ciência é uma das mais fundamentais Cientistas de todas as disciplinas usam os conceitos da física desde os químicos que estudam a estrutura das moléculas até os paleontólogos que tentam reconstruir como os dinos sauros caminhavam e os climatologistas que analisam como as atividades humanas afetam a atmosfera e os oceanos A física é também a base de toda engenharia e tecnologia Nenhum engenheiro pode projetar uma tela plana de TV uma nave espacial ou mesmo uma ratoeira mais eficiente sem antes entender os princípios básicos da física O estudo da física é também uma aventura Ela poderá ser instigante algumas vezes frustrante ocasio nalmente laboriosa e com freqüência significativamen te compensadora e gratificante Ela instigará o seu senso estético e sua inteligência racional Se desejar saber por que o céu é azul como as ondas de rádio se propagam através do espaço ou como um satélite permanece em órbita você encontrará as respostas aplicando os concei tos fundamentais da física Acima de tudo você passará a encarar a física como uma elevada aquisição da mente humana na busca para compreender a nossa existência e o nosso mundo Neste capítulo inicial apresentaremos algumas pre liminares importantes que serão necessárias em nossos estudos Discutiremos a natureza da teoria física e o uso de modelos idealizados para representar sistemas físicos Introduziremos os sistemas de unidades usados para des crever grandezas físicas e discutiremos como representar a exatidão de um número Apresentaremos exemplos de pro blemas para os quais não podemos ou não desejamos encontrar uma resposta exata porém para os quais um cál culo aproximado pode ser útil e interessante Finalmente estudaremos diversos aspectos dos vetores e da álgebra vetorial Os vetores serão permanentemente necessários em nossos estudos de física para descrever e analisar gran dezas físicas tais como velocidade e força que possuem direção e sentido 11 A natureza da física A física é uma ciência experimental O físico observa fenômenos naturais e tenta achar os padrões e os princí pios que relacionam esses fenômenos Esses padrões são denominados teorias físicas ou quando bem estabelecidas e de largo uso leis e princípios físicos 1 1 cap01bqxd 010408 1418 Page 1 ATENÇÃO O significado da palavra teoria Chamar uma idéia de teoria não significa que se trata apenas de um pensa mento aleatório ou um conceito não comprovado Uma teoria é isso sim uma explicação de fenômenos naturais pautada em observação e princípios fundamentais aceitos Exemplo disso é a bem fundamentada teoria da evolução biológica resultante de extensiva pesquisa e observação por gerações de biólogos O desenvolvimento de uma teoria física requer criati vidade em todos os estágios O físico deve aprender a fazer perguntas pertinentes projetar experimentos para tentar responder a essas perguntas e tirar conclusões apro priadas dos resultados A Figura 11 mostra dois ambien tes onde foram realizadas renomadas experiências De acordo com a lenda Galileu Galileo Galilei 15641642 deixava cair objetos leves e pesados do topo da inclinada Torre de Pisa Figura 11a para verificar se a taxa de queda livre era constante ou não Galileu afirmava que somente a investigação experimental poderia respon der a essa pergunta Examinandose os resultados dessas experiências que eram na verdade muito mais sofisticadas do que as contadas na lenda ele deu o salto intuitivo para o princípio ou teoria segundo o qual a aceleração de um corpo em queda livre não depende de seu peso O desenvolvimento de uma teoria física como a de Galileu é sempre um processo de mão dupla que começa e termina com experimentos ou observações Esse desenvol vimento normalmente segue caminhos indiretos com becos sem saída suposições erradas e o abandono de teorias mal sucedidas em favor de teorias mais promissoras A física não é simplesmente uma coleção de fatos e de princípios é também o processo pelo qual chegamos a princípios gerais que descrevem como o universo físico se comporta Nunca se encara uma teoria como uma verdade final e acabada Existe sempre a possibilidade de novas obser vações exigirem a revisão ou o abandono de uma teoria Faz parte da natureza da teoria física podermos desaprovar uma teoria ao encontrarmos um comportamento que não seja coerente com ela porém nunca podemos provar que uma teoria seja sempre correta Retornando a Galileu suponha que você deixe cair uma bala de canhão e uma pena Certamente elas não caem com a mesma aceleração Isto não significa que Galileu estivesse errado significa que sua teoria estava incompleta Se deixássemos cair uma bala de canhão e uma pena no vácuo para eliminar os efeitos do ar então elas cairiam com a mesma aceleração A teoria de Galileu possui um limite de validade ela se aplica somente a objetos para os quais a força exercida pelo ar devido ao empuxo e à resistência do ar seja muito menor do que o peso do objeto Objetos como penas ou páraquedas estão claramente fora deste limite Toda teoria física possui um limite de validade fora do qual ela não pode ser aplicada Freqüentemente um novo desenvolvimento na física estende o limite de validade de um princípio A análise da queda livre de corpos feita por Galileu foi estendida 50 anos depois pela lei da gravi tação e pelas leis do movimento de Newton 12 Solução de problemas de física Em algum ponto nos seus estudos a maioria dos estu dantes de física pensa Entendo os conceitos mas não consigo resolver os problemas Em física porém com preender realmente um conceito ou princípio é o mesmo que ser capaz de aplicálo a uma variedade de problemas práticos Aprender a resolver problemas é fundamental você não sabe física a menos que você faça física Como se aprende a resolver problemas de física Em todo capítulo deste livro encontramse as Estratégias para Figura 11 Dois ambientes de pesquisa a Segundo a lenda Galileu investigava a queda livre de corpos deixandoos cair da Torre de Pisa na Itália Também se diz que ele estudou o movimento pen dular observando as oscilações de um candelabro na catedral atrás da torre b O Telescópio Espacial Hubble é o primeiro grande telescó pio a ser operado fora da atmosfera terrestre Medidas tomadas por meio desse telescópio têm contribuído para determinar a idade e a taxa de expansão do universo 2 FÍSICA I cap01bqxd 180308 1522 Page 2 a Solução de Problemas que apresentam técnicas de pre paro e solução de problemas de modo eficiente e preciso Após cada Estratégia para a solução de problemas há um ou mais Exemplos resolvidos que demonstram a aplicação dessas técnicas As Estratégias para a solução de proble mas também previnem contra o risco de se usar técnicas incorretas Há também exemplos extras que não estão associados a uma estratégia em particular Estudem essas estratégias e exemplos com atenção e resolvam por si mes mos cada exemplo num pedaço de papel Diferentes técnicas são úteis para a resolução de diversos tipos de problemas de física e por isso este livro apresenta dezenas de Estratégias para a solução de pro blemas Entretanto seja qual for o tipo de problema a solu cionar há algumas etapas essenciais a seguir As mesmas etapas são igualmente úteis para problemas de matemáti ca engenharia química e muitos outros campos Neste livro organizamos esses passos em quatro etapas de solu ção de problemas Todas as Estratégias para a solução de problemas e Exemplos deste livro seguirão esses quatro passos Em alguns casos combinaremos os dois ou três primeiros pas sos Recomendamos que você siga essas mesmas etapas quando for resolver um problema Você pode achar útil lembrarse do acrônimo I SEE eu vejo do inglês Identify Set up Execute e Evaluate Identificar Preparar Executar e Avaliar Estratégia para a solução de problemas 11 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FÍSICA IDENTIFICAR os conceitos relevantes primeiro defina quais conceitos de física são relevantes ao problema Embora esta etapa não envolva nenhum cálculo às vezes é a parte mais desa fiadora da solução do problema Mas não pule este passo esco lher a abordagem errada no começo pode tornar o problema mais difícil do que realmente é ou até induzir a uma resposta errada Neste ponto você deve também identificar a variávelalvo do problema ou seja a grandeza cujo valor se está tentando descobrir Pode ser a velocidade em que um projétil atinge o solo a intensidade do som de uma sirene ou a dimensão da ima gem produzida por uma lupa Algumas vezes o objetivo é encontrar uma fórmula matemática em vez de um valor numéri co Outras vezes também o problema terá mais de uma variável alvo A variávelalvo é o objetivo do processo de solução do problema não a perca de vista enquanto busca a solução PREPARAR o problema com base nos conceitos selecionados na etapa de Identificação escolha as equações que usará para resolver o problema e defina como vai usálas Se for o caso represente graficamente a situação descrita no problema EXECUTAR a solução neste passo entra a matemática Antes de se empolgar com os cálculos faça uma lista de todas as grandezas conhecidas e desconhecidas e observe quais são as variáveisalvo Então resolva as equações para as desconhecidas AVALIAR sua resposta o objetivo da solução de problemas de física não é só obter um número ou uma fórmula é obter uma melhor compreensão Isso significa que você deve examinar sua resposta para saber o que ela está lhe dizendo Não deixe de se perguntar Essa resposta faz sentido Se a sua variávelalvo era o raio da Terra e sua resposta foi 638 centímetros ou se sua res posta for um número negativo algo deu errado no seu proces so de solução do problema Reavalie o problema e corrija sua solução conforme necessário Modelos idealizados Na linguagem cotidiana geralmente usamos a palavra modelo para indicar uma réplica em pequena escala tal como um modelo de estrada de ferro ou uma pessoa que exibe partes do vestuário ou a ausência delas Na física um modelo é uma versão simplificada de um sistema físi co que seria complicado demais analisar com detalhes completos Por exemplo suponha que queiramos analisar o movi mento de uma bola de beisebol atirada ao ar Figura 12a Qual é a complicação deste problema A bola não é uma esfera perfeita ela possui costuras salientes e gira duran te seu movimento no ar O vento e a resistência do ar influenciam seu movimento o peso da bola varia ligeira mente com a variação da distância entre a bola e o centro da Terra etc Se tentarmos incluir todos esses fatores a análise se tornará inutilmente complexa Em vez disto criamos uma versão simplificada do problema Desprezamos a forma e o tamanho da bola considerando a um objeto puntiforme ou partícula Desprezamos a resistência supondo que ela se desloca no vácuo e consi deramos o peso constante Agora o problema se torna bas tante simples de resolver Figura 12b Analisaremos esse modelo com detalhes no Capítulo 3 Para criar um modelo idealizado do sistema devemos desprezar alguns efeitos menores e nos concentrarmos nas características mais importantes Naturalmente devemos Figura 12 Para simplificar a análise de a uma bola de beisebol arre messada ao ar usamos b um modelo idealizado Direção do movimento A bola é tratada como um objeto puntiforme partícula Sem resistência do ar A bola gira e apresenta um movimento complexo A resistência do ar e do vento exerce forças sobre a bola A força gravitacional sobre a bola depende da altitude Força gravitacional sobre a bola é constante a Arremesso real de uma bola de beisebol b Modelo idealizado da bola de beisebol Capítulo 1 Unidades grandezas físicas e vetores 3 cap01bqxd 180308 1522 Page 3 ser cautelosos para não desprezar coisas demais Se igno rarmos completamente o efeito da gravidade ao lançar mos a bola pela previsão do modelo ela seguiria uma tra jetória retilínea e desapareceria no espaço É necessário usar certa criatividade e ponderação ao construirmos um modelo que simplifique bastante o problema mantendo contudo suas características essenciais Quando usamos um modelo para antever o comporta mento de um sistema a validade de nossa previsão é limi tada pela validade do modelo Voltando a Galileu vemos que sua previsão sobre a queda livre de corpos Seção 11 corresponde a um modelo idealizado que não inclui os efeitos da resistência do ar Este modelo funciona bem para uma bala de canhão mas nem tanto para uma pena Quando aplicamos princípios físicos a sistemas com plexos na ciência física e na tecnologia sempre usamos modelos idealizados e devemos estar cientes das hipóte ses feitas De fato os próprios princípios da física são for mulados em termos de modelos idealizados falamos de massas puntiformes corpos rígidos isolantes ideais etc Os modelos idealizados desempenham um papel crucial neste livro Observeos na discussão de teorias físicas e suas aplicações em problemas específicos 13 Padrões e unidades Como aprendemos na Seção 11 a física é uma ciên cia experimental Os experimentos exigem medidas e nor malmente usamos números para descrever os resultados das medidas Qualquer número usado para descrever quantitativamente um fenômeno físico denominase gran deza física Por exemplo duas grandezas físicas para des crever você são o seu peso e a sua altura Algumas gran dezas físicas são tão fundamentais que podemos definilas somente descrevendo como elas são medidas Tal defini ção denominase definição operacional Alguns exem plos medir uma distância usando uma régua e medir um intervalo de tempo usando um cronômetro Em outros casos definimos uma grandeza física descrevendo como calculála a partir de outras grandezas que podemos medir Portanto poderíamos definir a velocidade média de um objeto em movimento como a distância percorrida medi da com uma régua dividida pelo intervalo de tempo do percurso medido com um cronômetro Quando medimos uma grandeza sempre a compa ramos com um padrão de referência Quando dizemos que um Porsche Carrera GT possui comprimento de 461 metros queremos dizer que ele possui comprimento 461 vezes maior do que uma barra de um metro a qual por definição possui comprimento igual a um metro Tal padrão define uma unidade da grandeza O metro é uma unidade de distância e o segundo é uma unidade de tempo Quando usamos um número para descrever uma grandeza física precisamos sempre especificar a unidade que estamos usando descrever uma distância simplesmen te como 461 não significa nada Para calcular medidas confiáveis e precisas necessi tamos de medidas que não variem e que possam ser repro duzidas por observadores em diversos locais O sistema de unidades usado por cientistas e engenheiros em todas as partes do mundo denominase normalmente sistema métrico porém desde 1960 ele é conhecido oficialmen te como Sistema Internacional ou SI das iniciais do nome francês Système International No Apêndice A apresentamos uma lista de todas as unidades SI bem como as definições das unidades mais fundamentais As definições das unidades básicas do sistema métri co têm evoluído no decorrer dos anos Quando o sistema métrico foi estabelecido em 1791 pela Academia de Ciências da França o metro era definido como um décimo de milionésimo da distância entre o Pólo Norte e o Equador Figura 13 O segundo era definido como o intervalo de tempo necessário para que um pêndulo de um metro de comprimento oscilasse de um lado para o outro Essas definições eram desajeitadas e difíceis de duplicar com exatidão e mediante um consenso internacional elas foram substituídas por definições mais apuradas Tempo De 1889 até 1967 a unidade de tempo era definida como certa fração do dia solar médio a média de interva los de tempo entre sucessivas observações do Sol em seu ponto mais elevado no céu O padrão atual adotado em 1967 é muito mais preciso Fundamentado em um reló gio atômico usa a diferença de energia entre os dois menores estados de energia do átomo de césio Quando bombardeado com microondas de uma dada freqüência os átomos de césio sofrem transições de um estado para outro Um segundo abreviado como s é definido como o tempo necessário para a ocorrência de 9192631770 ciclos desta radiação Figura 13 Em 1791 a distância entre o Pólo Norte e o Equador era considerada exatamente igual a 107 m Usando a definição moderna de metro esta distância é cerca de 002 maior do que 107 m O metro foi originalmente definido como 110000000 dessa distância 107 m Pólo Norte Equador 4 FÍSICA I cap01bqxd 180308 1522 Page 4 Normalmente escrevemos múltiplos de 10 ou de sua notação exponencial 100 102 1 km 103 e assim por diante Usando esta notação 1 km 103 m e 1 cm 102 m Os nomes das demais unidades são obtidos adicionandose um prefixo ao nome da unidade fundamental Alguns comprimentos típicos no universo a 1026 m Limite do universo observável b 1011 m Distância até o Sol c 107 m Diâmetro da Terra d 1 m Dimensão humana e 105 m Diâmetro de um glóbulo vermelho f 1010 m Raio de um átomo g 1014 m Raio de um núcleo atômico 1 polegada 254 cm exatamente Força 1 libra 444822161520 newtons exatamente O newton abreviado como N é a unidade de força do SI A unidade inglesa de tempo é o segundo definida da mesma forma que no SI Na física as unidades inglesas são usadas somente em mecânica e termodinâmica não há sistema inglês de unidades elétricas Neste livro usamos unidades SI para todos os exemplos e problemas Ao resolver os problemas com unidades SI pode ser que você queira convertêlas para os equivalentes aproximados ingleses caso esteja mais familiarizado com eles Avaliar embora 1 centímetro seja 102 de um metro que é 1 cm 102 m nossa pesquisa demonstra que um centímetro cúbico 1 cm³ não é igual a 106 de um metro cúbico Em vez disso o volume de um cubo cuja aresta é igual a 1 cm Logo 1 cm³ 1 cm³ 102 m³ ou 1 cm³ 106 m³ Para aplicar esses conceitos vamos supor que você queria verificar o valor de π a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro O verdadeiro valor dessa grandeza com dez dígitos é 3141592654 Para testar essa grandeza desenhe um grande círculo e meça sua circunferência e diâmetro em milímetros obtendo os valores 424 mm e 135 mm Figura 18 Como o valor de m é dado com três algarismos significativos podemos aproximar o resultado para E 819 1014 kgm²s² 819 1014 J Capítulo 1 Unidades grandezas físicas e vetores 11 a Notação manuscrita Posição final P₂ Deslocamento A Posição inicial P₁ b Trajetória P₂ P₁ O deslocamento depende somente das posições inicial e final não da trajetória c Quando o ponto final da trajetória coincide com o ponto inicial o deslocamento é igual a zero seja qual for a distância percorrida Figura 19 O deslocamento é um vetor cuja direção é sempre traçada do ponto inicial até o ponto final mesmo no caso de uma trajetória curva Contudo o vetor B na Figura 110 não é igual a A porque possui sentido contrário ao do deslocamento A Definimos um vetor negativo como um vetor que possui o mesmo módulo e direção do vetor dado mas possui sentido contrário ao sentido deste vetor O valor negativo de um vetor A é designado por A onde usamos um sinal negativo em negrito para enfatizar sua natureza vetorial Caso A seja um vetor de 87 m apontando do norte para o sul então A será um vetor de 87 m apontando do sul para o norte Logo a relação entre o vetor A e o vetor B na Figura 110 pode ser escrita como A B ou B A Quando dois vetores A e B possuem a mesma direção mas sentidos contrários possuindo ou não o mesmo módulo dizemos que são antiparalelos ATENÇÃO Módulos na soma vetorial Sendo C A B é um erro comum concluir que o módulo C é dado pela soma do módulo A com o módulo B A Figura 111 mostra que na geral essa conclusão está errada você pode notar pelo desenho que C A B Note que o módulo da soma vetorial A B depende dos módulos de A e B e do ângulo entre A e B veja o Problema 192 Somente no caso particular de A e B serem paralelos e que o módulo de C A B é dado pela soma dos módulos de A e de B Figura 112 Ao contrário quando A e B são antiparalelos o módulo de C é dado pela diferença entre os módulos de A e B Figura 112b c multiplicado pelo módulo do vetor mathbfA Supondo que c seja um número positivo o vetor mathbfA é um vetor que possui a mesma direção e sentido do vetor mathbfA caso c seja um número negativo o vetor 3mathbfA é um vetor que possui a mesma direção mas um sentido contrário ao vetor mathbfA Logo 3mathbfA é três vezes o comprimento de mathbfA aponta na direção oposta Na Seção 17 somamos vetores mediante um diagrama em escala e usamos as propriedades de um triângulo retângulo A medida direta feito no diagrama oferece uma acurácia muito pequena e os cálculos envolvendo um triângulo retângulo só funcionam quando os vetores são ortogonais Logo é necessário usar um método simples e geral para a soma vetorial Este procedimento é o método dos componentes Para definir os componentes de um vetor mathbfA começamos com um sistema cartesiano de coordenadas A seguir desenhamos o vetor considerado com o início em O a origem do sistema de coordenadas Podemos representar qualquer vetor no plano xy como a soma de um vetor paralelo ao eixo Ox com um vetor paralelo ao eixo Oy Esses vetores são designados por mathbfAx e mathbfAy eles se denominam vetores componentes do vetor mathbfA e sua soma vetorial é igual a mathbfA R Aₓ Aᵧ Az Aᵡi Aᵧj Azk R Aₓ Bₓ Cₓ Dₓ Eₓ A 104 km² 87 km² 21 km² 137 km ao longo de qualquer direção conveniente e não somente nas direções dos eixos Ox e Oy Definimos vecA cdot vecB como sendo o módulo de vecA multiplicado pelo componente de vecB paralelo ao vetor vecA Capítulo 1 Unidades grandezas físicas e vetores 21 a Desenhe o início dos vetores no mesmo ponto Capítulo 1 Unidades grandezas físicas e vetores 23 a B estendese da origem ao canto distante da caixa azul A estendese da origem ao canto próximo da caixa vermelha b C AB sen φ módulo do produto vetorial de A e B Cálculo do produto vetorial usando componentes Quando conhecemos os componentes de A e B podemos calcular os componentes do produto vetorial mediante procedimento análogo ao adotado para o produto escalar Os termos individuais também podem ser secretos na Equação 125 como Ai Bj ABi e assim por diante Portanto os componentes de C A B são Cx AyBz AzBy Cy AzBx AxBz Cz AxBy AyBx componentes de C A B Resumo Resumo Grandezas físicas e unidades as grandezas físicas fundamentais de mecânica são massa comprimento e tempo As unidades SI correspondentes são quilograma metro e segundo As unidades derivadas para outras grandezas físicas são produtos ou quocientes dessas unidades básicas As equações devem ser dimensionalmente coerentes dos termos só podem ser somados quando possuem as mesmas unidades exemplos 11 e 12 118 Faça uma estimativa do volume da gasolina consumido no Brasil durante um ano 119 Um homem normal de meia idada vai ao hospital para fazer exames de rotina A enfermeira anota a quantidade de 200 na sua ficha médica mas esquece de incluir as unidades Qual das seguintes grandezas esses número de 200 pode representar a a massa dele em quilogramas b a altura dele em metros c a altura dele em centímetros d a idade dele em meses 120 Quantas laranjas você deve esperar para obter 2 l de suco de laranja 121 Estime a ordem de grandeza do número de palavras deste livro 122 Qual é o volume de ar que uma pessoa respira em toda sua vida Compre isso em parte com um apartamento de dois quartos Estimule que para cada respiração o volume de ar aspirado é aproximadamente igual a 500 cm³ 130 Ouvindo o ruído de uma serpente você faz dois deslocamentos rápidos com módulos de 18 m e 24 m Usando diagramas aproximadamente em escala mostre como esses deslocamentos deveriam ser efetuados para que a resultante tivesse módulo igual a a 42 m b 06 m c 30 m 131 Um empregado do Correiro dirige um caminhão de entrega e faz o trajeto indicado na Figura 133 Determine o módulo a direção e o sentido do deslocamento resultante usando diagrama em escala 132 Para os vetores A e B indicados na Figura 134 use diagramas em escala para determinar a o módulo e a direção de A B b a diferença vetorial A B Use suas respostas para encontrar o módulo e a direção do c A B e d B A 133 Uma espeleóloga está pesquisando sugestão talvez seja mais interessante dizer pesquisadora estudando uma caverna uma caverna Ela percorre 180 m em linha reta de leste para oeste depois caminha 210 m em direção anterior e em sentido oposto para o leste a seguir percorre 280 m a 30 no sentido de norte para o oeste Depois de um quarto deslocamento medido ela retorna ao ponto de partida Seção 110 Produtos e vetores 152 a A 20 i 60 j e B 20 i 30 j b A 30 i 50 j e B 100 i 60 j c A 40 i 20 j e B 70 i 140 j 156 Por meio de regras simples dos produtos vetoriais apropriados demonstre que A B módulo de A vezes componente de B em relação a A ou o módulo de B vezes componente de A em relação a B 157 Para os vetores A e B indicados na Figura 134 a ache o módulo e a direção do produto vetorial A B b ache o módulo e a direção do produto vetorial B A 158 Encontre o produto vetorial A B expresso em termos dos vetores unitários dos vetores indicados no Exercício 150 Qual o módulo deste produto vetorial 159 Para os vetores indicados na Figura 135 a ache o módulo e a direção do produto vetorial A B b ache o módulo e a direção do produto vetorial B A 170 Aterrissagem de emergência Um avião parte do aeroporto de Galisteo e voa a 170 km a 68 do leste para o norte e depois muda de direção passando a voar a 230 km a 48 do sul para o leste fazendo a sequência um pouso de emergência no seu ponto Quando o aeroporto envia uma equipe de resgate em qual direção e a que distância essa equipe deverá seguir diretamente esse avião 171 Você deseja programar o movimento do braço de um robô em uma linha de montagem para mover no plano xy Seu pri 188 Para os vetores vecA e vecB desenhados na figura 137 vecB determina o módulo e a direção do produto vetorial vecA imes vecB 179 Um barco parte da ilha de Guam e navega a 285 km a 40 do norte para o oeste Em qual direção deve seguir agora e qual a distância a percorrer de modo que o deslocamento resultante seja 15 km diretamente a leste da ilha 180 Uma pedra arredondada de peso p está encaixada em uma colina que se segue a um ângulo constante em relação ao plano horizontal como demonstra a figura 142 Se peso exerce uma força sobre o paralelo ao plano e sentido verticalmente para baixo a Em termos de vecp qual é o componente do peso da pedra na direção perpendicular à superfície da colina b qual é o componente do peso na direção perpendicular à superfície da colina c Um aparelho de arcondicionado é preso a um teto seguro 189 Dados os vetores vecA e vecB desenhados a partir de um menos um ângulo de 30 entre os pontos d vecB é compreendido entre 0 e 90 195 Vamos ter os vetores vecA 50 hati 65 hatj 25 hatk Um terceiro vetor vecC está no plano xy O vetor vecC é ortogonal ao vetor vecA e o produto escalar de vecC e vecB 150 A partir dessas informações determine os componentes do vetor vecC 196 Os vetores vecA imes vecB possuem módulo de vecA 30 e de vecB 30 Se seu produto vetorial vecA imes vecB 50 hatk 20 Qual é o ângulo entre vecA e vecB Um velocista normalmente acelera no primeiro terço de uma corrida e desacelera gradualmente no restante do percurso É exato afirmar que um velocista está aceleran do enquanto diminui a velocidade nos dois terços finais da corrida OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá Como descrever o movimento retilíneo em termos de veloci dade média velocidade instantânea aceleração média e ace leração instantânea Como interpretar gráficos de posição versus tempo velocida de versus tempo e aceleração versus tempo para o movi mento retilíneo Como solucionar problemas relacionados ao movimento reti líneo com aceleração constante incluindo questões de queda livre Como analisar o movimento retilíneo em caso de aceleração não constante MOVIMENTO RETILÍNEO Q ual distância um avião deve percorrer em uma pista antes de atingir a velocidade de decolagem Quando você lança uma bola diretamente de baixo para cima que altura ela atinge Quando um copo escorrega de sua mão de quanto tempo você dispõe para segurálo antes que ele atinja o solo São estes os tipos de perguntas que você aprenderá a responder neste capítulo Estamos iniciando o estudo da física com a mecânica o estudo das relações entre movimento massa e força O objetivo deste e do próximo capítulo é o estudo da cinéti ca a parte da mecânica que trata do movimento Mais tarde estudaremos a dinâmica a relação entre o movi mento e suas causas Neste capítulo estudaremos o tipo mais simples de movimento uma partícula se deslocando ao longo de uma linha reta Para descrever esse movimento introduziremos as grandezas físicas de velocidade e aceleração Essas grandezas possuem definições simples na física contudo essas definições são mais precisas e um pouco diferentes das usadas na linguagem cotidiana Uma observação importante nas definições de velocidade e de aceleração dadas por um físico é que essas grandezas são vetores Como você aprendeu no Capítulo 1 isso significa que elas possuem módulo direção e sentido Neste capítulo esta mos apenas interessados em descrever o movimento em uma linha reta de modo que não necessitamos por enquanto do tratamento matemático completo dos vetores Porém no Capítulo 3 abordaremos o movimento em duas e em três dimensões casos em que o uso de vetores é essencial Desenvolveremos equações simples para descrever o movimento no caso especialmente importante em que a aceleração permanece constante Um exemplo é a queda livre de um corpo Também consideraremos casos nos quais a aceleração varia duran te o movimento para essa situação necessitamos do uso da integração para descrever o movimento Caso você ainda não tenha estudado integração a Seção 26 é opcional 21 Deslocamento tempo e velocidade média Suponha que em uma corrida de carros uma compe tidora dirija seu carro em um trecho retilíneo Figura 21 No estudo do movimento precisamos de um sistema de coordenadas Escolhemos o eixo Ox para nosso sistema de coordenadas ao longo do trecho retilíneo com a origem O 2 35 cap02eqxd 010408 1418 Page 35 A posição da extremidade diânetica do carro ou seja a posição da partícula é dada pela coordenada x que varia com o tempo à medida que o carro se move Um modo útil para a descrição do movimento do carro consiste em descrever como x varia em um intervalo de tempo Suponha que 10 s depois do início do movimento a extremidade diânetica do carro esteja no ponto P1 e 40 s depois do início do movimento este ponto se desloque para P2 a 277 m de origem O deslocamento da partícula é um vetor que aponta de P1 para P2 A figura 21 mostra esse vetor se posicionando ao longo do eixo x O componente x do deslocamento x é simplesmente a variação no valor de x 277 m 19 m 258 m em um intervalo de tempo 40 s 10 s 30 s Definimos a velocidade média do carro nesse intervalo de tempo como uma grandeza vetorial cujo componente x é a variação de x dividida por esse intervalo de tempo 258 m30 s 86 ms A velocidade média do carro é positiva Isso significa que durante o intervalo de tempo o deslocamento Δx é positivo e decrece em negativo e se tornar menos negativo a partícula se move no sentido do eixo OX ou vmx é positiva Quando x é positivo e decrece no negativo e se tornar mais negativo a partícula se move no sentido do eixo OX e vmx é negativa A escolha da direção positiva de x você poderia ser tentado a concluir que a velocidade média positiva necessariamente implica um deslocamento para a direita como na Figura 21 e que a velocidade média negativa necessariamente implica um deslocamento para a esquerda como na Figura 22 A velocidade média assim como a velocidade média é uma grandeza vetorial A equação 23 define seu componente x No movimento retilíneo todos os demais componentes da velocidade instantânea são nulos e neste caso costumamos dizer que v é simplesmente a velocidade instantânea Quando empregamos a velocidade instantânea normalmente queremos dizer velocidade instantânea à menos que haja alguma especificação diferente Figura 25 Mesmo quando se move para a frente a velocidade instantânea deste ciclista pode ser negativa caso ele se desloque em relação a um eixo orientado no sentido negativo do eixo Ox Figura 26 Leopardo atacando um antílope a partir de uma tocia Os animais não estão desenhados na mesma escala do eixo Figure 27 Usamos um gráfico xt para ir de a e b velocidade média para c velocidade instantânea v Em qualquer dado ponto é igual à inclinação da tangente da curva x nesse ponto Aceleração média Uma astronauta saiu de um ônibus espacial em órbita no espaço para testar uma unidade de manobra pessoal A medida que ela se move em linha reta seu companheiro a bordo do ônibus espacial mede sua velocidade a cada intervalo de 20 s começando em t 10 s o seguinte modo Aceleração instantânea no ponto P1 imaginamos que o ponto P2 da Figura 211 se aproxima continuamente do ponto P1 de modo que a aceleração média seja calculada em intervalos de tempo cada vez menores A aceleração instantânea é o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero Na linguagem do cálculo diferencial a aceleração instantânea é igual à taxa de variação da velocidade com o tempo Logo Para t 30 s v2x 60 ms 050 ms²30 s² 645 ms A variação da velocidade Δvx é dada por Δvx v2x v1x 645 ms 600 ms 40 ms durante o intervalo de tempo de Δt 30 s 10 s 20 s Capítulo 2 Movimento retilíneo 45 24 Movimento com aceleração constante Finalmente igualando a Equação 29 com a Equação 211 e simplificando o resultado obtemos Figura 219 como uma aceleração constante é afetada o gráfico xt de um corpo Exemplo 24 CÁLCULOS ENVOLVENDO ACELERAÇÃO CONSTANTE Um motociclista se dirige para o leste ao longo de uma cidade do Estado de São Paulo e acelera a moto depois de passar pela placa que indica os limites da cidade Figura 221 a Movimento com aceleração constante concomitante a um movimento com velocidade constante O exemplo mais familiar de um movimento com aceleração aproximadamente constante é a queda livre de um corpo atraído pela força gravitacional da Terra Quando t 10 s y 49 m e vy 98 ms²10 s² 98 ms depois de 1 s a moeda está 49 m abaixo da origem y é negativo e possui uma velocidade orientada para baixo vy é negativo com módulo igual a 98 ms A bola efetivamente se move em linha reta para cima e depois para baixo mostramos uma trajetória em um par maior clara t B B² 4AC 2A v₀ v₀² 4g2y y₀ 2g2 v₀ v₀² 2gy y₀ g v₀ v₀² 2gy y₀ Aceleração Desconhecida Velocidade A ser determinada Posição A ser determinada x 50 m 10 ms 20 ms²2 010 ms³t² dt 50 m 10 mst 1220 ms²t² 12010 ms³t³ mesmas equações de aceleração constante derivadas na Seção 24 sem usar a integral Aceleração média e instantânea a aceleração média aₜm em um intervalo de tempo Δt é igual à variação em velocidade Δv v₂ v₁ no intervalo de tempo dividido por Δt Movimento retilíneo com aceleração variada quando a aceleração não é constante mas é conhecida em função do tempo podemos determinar a velocidade e a posição em função do tempo integrando a função aceleração Seção 23 Aceleração instantânea e aceleração média 212 Em um teste de um novo modelo de automóvel da empresa Motores Riverside o veículo é calibrado para 20 ms em vez de kmh A série de medidas é registrado durante a aceleração a longo de uma estrada retilínea muito longa 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Velocidade ms 0 0 2 6 10 16 19 22 22 O que foi a aceleração média durante cada intervalo de 20 s A aceleração é constante Ela é constante em algum trecho do teste Seção 25 Queda livre de corpos 238 Gotas de chuva Se a resistência do ar sobre as gotas de chuva pudesse ser desprezada poderíamos considerar essas gotas objetos em queda livre a As nuvens que dão origem a chu vas estão em alturas típicas de algumas centenas de metros acima do solo Estime a velocidade de uma gota de chuva ao cair no solo se ela pudesse ser considerada um corpo em queda livre Forneça essa estimativa em ms e kmh b Estime pela sua experiência pessoal sobre chuva a velocidade real de uma gota de chuva ao cair no solo c Com base nos resultados de a e b verifique se é uma boa aproximação desprezar a resistência do ar sobre as gotas de chuva Explique 239 a Se uma pulga pode dar um salto e atingir uma altura de 0440 m qual seria sua velocidade inicial ao sair do solo b Durante quanto tempo ela permanece no ar 240 Descida na Lua Um módulo explorador da Lua está pou sando na Base Lunar I Figura 240 Ele desce lentamente sob a ação dos retropropulsores do motor de descida O motor se sepa ra do módulo quando ele se encontra a 50 m da superfície lunar e possui uma velocidade para baixo igual a 08 ms Ao se sepa rar do motor o módulo inicia uma queda livre Qual é a veloci dade do módulo no instante em que ele toca a superfície A ace leração da gravidade na Lua é igual a 16 ms2 241 Um teste simples para o tempo de reação Uma régua de medição é mantida verticalmente acima de sua mão com a extre midade inferior entre o polegar e o indicador Ao ver a régua sendo largada você a segura com esses dois dedos Seu tempo de reação pode ser calculado pela distância percorrida pela régua medida diretamente pela posição dos seus dedos na escala da régua a Deduza uma relação para seu tempo de reação em fun ção da distância d b Calcule o tempo de reação supondo uma distância medida igual a 176 cm 242 Um tijolo é largado velocidade inicial nula do alto de um edifício Ele atinge o solo em 250 s A resistência do ar pode ser desprezada de modo que o tijolo está em queda livre a Qual é a altura do edifício b Qual é o módulo da velocidade quando ele atinge o solo c Faça gráficos ayt vyt e yt para o movimento do tijolo 243 Falha no lançamento Um foguete de 7500 kg é lançado verticalmente da plataforma com uma aceleração constante no sentido de baixo para cima de 225 ms2 e não sente nenhuma resistência significativa do ar Ao atingir uma altura de 525 m seus motores falham repentinamente de modo que a única força atuando sobre ele nesse momento é a gravidade a Qual é a altu ra máxima que esse foguete atingirá a partir da plataforma de lançamento b A partir da falha no motor quanto tempo decor rerá antes que o foguete caia sobre a plataforma de lançamento e qual será sua velocidade instantes antes da queda c Faça gráfi cos ayt vyt e yt do movimento do foguete do instante do lança mento até o instante da queda 244 Um balonista de ar quente que se desloca verticalmente para cima com velocidade constante de módulo igual a 50 ms deixa cair um saco de areia no momento em que ele está a uma distân cia de 400 m acima do solo Figura 241 Após ser largado o saco de areia passa a se mover em queda livre a Calcule a posi ção e a velocidade do saco de areia 0250 s e 10 s depois de ser largado b Calcule o tempo que o saco de areia leva para atingir o solo desde o momento em que ele foi lançado c Qual é a velo cidade do saco de areia quando ele atinge o solo d Qual é a altura máxima em relação ao solo atingida pelo saco de areia e Faça gráficos ayt vyt e yt para o movimento do saco de areia 245 Um estudante no topo de um edifício joga uma bola com água verticalmente para baixo A bola deixa a mão do estudante com uma velocidade de 60 ms A resistência do ar pode ser ignorada e a bola considerada em queda livre após o lançamen to a Calcule sua velocidade depois de 20 s de queda b Qual a distância percorrida nesses 20 s c Qual o módulo da velocida de quando a bola caiu 100 m d Faça gráficos ayt vyt e yt para o movimento 246 Um ovo é atirado verticalmente de baixo para cima de um ponto próximo da cornija na extremidade superior de um edifício alto Ele passa rente da cornija em seu movimento para baixo atingindo um ponto a 500 m abaixo da cornija 50 s após deixar a mão do lançador Despreze a resistência do ar a Calcule a velocidade inicial do ovo b Qual a altura máxima atingida acima do ponto inicial do lançamento c Qual o módulo da velo cidade nessa altura máxima d Qual o módulo e o sentido da aceleração nessa altura máxima e Faça gráficos de ayt vyt e yt para o movimento do ovo 247 O Sonic Wind Vento Sônico No 2 é uma espécie de trenó movido por um foguete usado para investigar os efeitos fisiológi cos de acelerações elevadas Ele se desloca em uma pista retilínea com 1070 m de comprimento Partindo do repouso pode atingir uma velocidade de 224 ms em 0900 s a Calcule a aceleração em ms2 supondo que ela seja constante b Qual a razão entre essa aceleração e a aceleração de um corpo em queda livre g Figura 241 Exercício 244 400 m em relação ao solo v 5 50 ms Figura 240 Exercício 240 50 m Capítulo 2 Movimento retilíneo 63 cap02eqxd 180308 902 Page 63 c Qual a distância percorrida em 090 s d Um artigo publicado por uma revista afirma que no final da curva a velocidade deste minímo é 283 ms zero em 140 s e que durante este intervalo em tempo a aceleração é maior que 40 g Esses valores estão corretos 248 Uma pedra grande é expelida verticalmente de baixo para cima por um vácuo com velocidade inicial de 400 ms Despreze a resistência do ar a Qual é o tempo que a pedra leva após o lançamento para que sua velocidade seja de 200 ms de baixo para cima b Qual o tempo que a pedra leva após o lançamento para que sua velocidade seja de 200 ms de cima para baixo c Quando o deslocamento da pedra é igual a zero d Quando a velocidade da pedra é igual a zero e Qual o módulo e o sentido da aceleração enquanto a pedra i está se movendo de baixo para cima i Está no ponto mais elevado da sua trajetória f Faça gráficos at uy e t para o movimento 249 Uma rocha de 15 kg de uma posição de repouso na Terra atinge o seu condições em 175 s Quando cai da mesma altura no satélite de Saturno Enceladus ela atinge o solo em 186 s Qual é a aceleração devido a gravidade em Enceladus módulo igual a 72 kmh Para a viagem total desde Seward até a saída de York qual é a Sua velocidade escalar média B O módulo do vetor velocidade média 258 Tráfego em uma autoestrada De acordo com um artigo da revista Scientific American maio de 1990 circulam normalmen te em uma autoestrada americana cerca de 2400 veículos por hora em cada pista com velocidade de 96 kmh para um tráfego consi derado regular Depois desse limite o fluxo do tráfego começa a ficar turbulento com acelerações e paradas a Se cada veículo possui comprimento aproximadamente igual a 46 m qual é o espaçamento médio entre os veículos para a densidade do tráfego mencionado b Um sistema automático para evitar colisões que opera com sinais de radar ou sonar e que pode acelerar ou parar um veículo quando necessário poderia reduzir sensivelmente a distância entre os veículos Supondo uma distância de 92 m igual a dois comprimentos de carro quantos veículos por hora pode riam circular em cada pista com velocidade de 96 kmh 259 Um velocista pode acelerar até sua velocidade máxima em 40 s Ele então mantém esta velocidade durante o trajeto restan te em uma competição de 100 m terminando a corrida com um tempo total de 91 s a Qual a aceleração média do velocista durante os 40 s iniciais b Qual sua aceleração média durante os últimos 51 s c Qual sua aceleração média durante a corrida toda d Explique por que sua resposta do item c não é a média das respostas a e b 260 Um trenó está em repouso no alto de uma montanha e escor rega para baixo com aceleração constante Em um dado instante está a 144 m de distância do topo 20 s mais tarde ele está a 256 m de distância do topo 20 s mais tarde está a 400 m de distân cia do topo e 20 s mais tarde está a 576 m de distância do topo a Qual o módulo da velocidade média do trenó durante cada um dos intervalos de 20 s depois de passar pelo ponto a 144 m de distância do topo b Qual a aceleração do trenó c Qual a velo cidade escalar do trenó quando ele passa pelo ponto a 144 m de distância do topo d Quanto tempo ele leva para ir do topo até o ponto a 144 m de distância do topo e Qual a distância percor rida pelo trenó durante o primeiro segundo depois de passar pelo ponto a 144 m de distância do topo 261 Uma gazela está correndo em linha reta o eixo x O grá fico na Figura 245 mostra a velocidade desse animal em fun ção do tempo Nos primeiros 120 s determine a A distância total percorrida e b O deslocamento da gazela c Faça um grá fico axt demonstrando a aceleração desse animal em função do tempo para os primeiros 120 s 262 No ar ou no vácuo a luz viaja a uma velocidade constante de 30 x 108 ms Para responder a algumas das seguintes pergun tas se necessário consulte os dados astronômicos no Apêndice F a Um anoluz é definido como a distância percorrida pela luz em um ano Use essa informação para determinar quantos metros há em 1 anoluz b Qual distância em metros a luz viaja em 1 nanossegundo c Quando um brilho solar ocorre no nosso Sol em quanto tempo após sua ocorrência é possível observálo d Ao lançar raios laser de um refletor instalado na lua pelos astronautas da Apollo os astrônomos podem fazer medições exa tas da distância entre a Terra e a Lua Quanto tempo após ser enviado um desses raios laser simplesmente um raio de luz leva para retornar à Terra c A sonda Voyager que passou por Netuno em agosto de 1989 estava a cerca de 30 bilhões de milhas da Terra naquela época Fotografias e outras informações foram enviadas para a Terra através de ondas de rádio que via jam à velocidade da luz Quanto tempo essas ondas levaram para chegar à Terra a partir da Voyager 263 Use as informações no Apêndice F para responder a estas perguntas a Qual é a velocidade das Ilhas Galápagos localiza das na linha do Equador em função do giro da Terra sobre o seu próprio eixo b Qual é a velocidade da Terra em função da sua rotação em torno do Sol c Se a luz seguisse a curvatura da Terra o que não ocorre quantas vezes um raio de luz circundaria a linha do Equador em um segundo 264 Uma bola rígida que se move em linha reta o eixo x bate em uma parede e repentinamente ricocheteia por um breve ins tante O gráfico vxt na Figura 246 mostra a velocidade dessa bola em função do tempo Nos primeiros 200 s desse movimento determine a A distância total percorrida pela bola e b Seu des locamento c Faça um gráfico axt para esse movimento da bola d O gráfico apresentado é realmente vertical a 50 s Explique Figura 246 Exercício 264 100 200 2200 2100 300 O 50 100 150 200 vx ms t s Figura 245 Exercício 261 t s O 40 120 80 20 40 60 80 120 100 vx ms Figura 244 Exercício 257 Y 34 km 76 km Aurora ork Seward N E B R A S K A Capítulo 2 Movimento retilíneo 65 cap02eqxd 180308 902 Page 65 254 Em uma competição de bicicletas com percurso de 30 km você percorrer os primeiros 15 km com uma velocidade média de 12 kmh Você deve ser sua velocidade escalar média nos 15 km restantes para que sua velocidade escalar média no percurso total de 30 km seja de a 6 kmh b 18 kmh c Dada a referida velocidade média para os primeiros 15 km você poderia ao não atingir uma velocidade escalar média de 24 kmh no percurso total de 30 km Explique 255 A posição de uma partícula entre t 0 2 s e dado xt 30 ms²t 100 ms²t² 90 ms a Faça gráficos de xt uf e af para essa partícula b Para que tempost entre t 0 e t 20 s a partícula está em repouso O resultado obtido por você está de acordo como gráfico de t para a e b Para qual tempo calculado na parte b a aceleração da partícula é positiva ou negativa Mostre que em caso podemos obter uma mesma resposta pelo gráfico uf ou pela função at Para que tempos entre t 0 e 20 s a velocidade da partícula não varia instantaneamente Localize esses pontos nos gráficos at uf e t para essa parte altura em termos de H essas rochas chegariam se um vulcão em Marte as expelisse com a mesma velocidade inicial A acele ração da gravidade em Marte é de 371 ms2 e a resistência do ar pode ser desprezada em ambos os planetas b se as rochas ficam suspensas no ar por um intervalo de tempo T por quanto tempo em termos de T elas permanecerão no ar em Marte 278 Uma malabarista joga bolas ao ar enquanto realiza outras ati vidades Em um ato ela joga uma bola verticalmente para cima e enquanto a bola está no ar ela corre até uma mesa a 550 m de dis tância a uma velocidade escalar constante de 250 ms e retorna bem a tempo de apanhar a bola em queda a Qual é a velocidade inicial mínima com que ela deve jogar a bola para cima de modo a realizar esse feito b A que altura da sua posição inicial está a bola quando a malabarista chega à mesa 279 Os visitantes de um parque de diversões observam uma mer gulhadora saltar de uma plataforma situada a uma altura de 213 m de uma piscina De acordo com o apresentador a mergulhadora entra na água com velocidade de 25 ms Despreze a resistência do ar a A afirmação do apresentador está correta b É possível a mergulhadora pular diretamente da prancha em movimento ascendente de modo que passando pela prancha já em movimen to descendente ela entre na água a 250 ms Em caso afirmativo qual deveria ser sua velocidade inicial para cima Essa velocidade inicial seria fisicamente atingível 280 Um vaso de flores cai do peitoril de uma janela e passa pela janela de baixo Despreze a resistência do ar Ele leva 0420 s para passar por essa janela cuja altura é igual a 190 m Qual é a dis tância entre o topo dessa janela e o peitoril de onde o vaso caiu 281 Alguns rifles podem disparar uma bala com a velocidade escalar de 965 ms enquanto ela passa pelo cano da arma Se o cano da arma tem 700 cm de comprimento e se a bala acelera de forma uniforme dentro dele a partir do repouso a qual é a ace leração em g da bala no cano da arma e b qual é tempo em ms que ela para percorrer o cano c Se quando esse rifle é dis parado verticalmente a bala atinge uma altura máxima H qual é a altura máxima em termos de H para um rifle novo que produ za a metade da velocidade no cano desta 282 Um foguete de múltiplos estágios No primeiro estágio de um foguete de dois estágios ele é lançado de uma plataforma a partir do repouso mas com uma aceleração constante de 350 ms2 no sentido de baixo para cima Em 250 s após o lançamento o foguete aciona o segundo estágio que repentinamente aumenta a sua velocidade para 1325 ms no sentido de baixo para cima Mas essa arrancada consome todo o combustível e a única força a atuar sobre o foguete passa a ser a gravidade A resis tência ao ar pode ser desprezada a Determine a altura máxima atingida pelo foguete de dois estágios acima da plataforma b Quanto tempo após o acionamento do segundo estágio o foguete levará para cair de volta na plataforma c Com que velocidade o foguete estará se movendo assim que atingir a plataforma de lançamento 283 Atenção abaixo Sérgio arremessa uma esfera de chumbo de 7 kg de baixo para cima aplicandolhe um impulso que a ace lera a partir do repouso até 450 ms2 para um deslocamento ver tical de 640 cm Ela sai da sua mão a 220 m acima do solo Despreze a resistência do ar a Qual a velocidade da esfera ime diatamente após sair da sua mão b Qual a altura máxima atin gida pela esfera c Qual o tempo de que ele dispõe para sair da vertical antes que a esfera volte até a altura da sua cabeça situa da a 183 m acima do solo 284 Uma professora de física faz uma demonstração ao ar livre e estando em repouso repentinamente cai da beira de um penhasco alto e ao mesmo tempo grita Socorro Após 30 s da queda ela ouve o eco do seu grito que vem do fundo do vale abaixo dela A velocidade do som é 340 ms a Qual é a altura do penhasco B Desprezandose a resistência do ar a qual velo cidade ela estará se movendo quando atingir o solo A velocida de real será menor devido à resistência do ar 285 Malabarismo Um malabarista se apresenta em uma sala cujo teto está a 30 m do nível de suas mãos Ele joga uma bola para cima de modo que ela chega ao teto a Qual é a velocida de inicial da bola b Qual é o tempo necessário para a bola atin gir o teto No instante em que a primeira bola está no teto o malabarista joga a segunda bola para cima com dois terços da velocidade inicial da primeira c Quanto tempo depois que a segunda bola é lançada as duas bolas se cruzam d A que dis tância das mãos do malabarista elas se cruzam 286 Um helicóptero transportando o Dr Evil decola com uma velocidade constante e ascendente de 50 ms2 O agente secreto Austin Powers pula a bordo assim que o helicóptero deixa o solo Após os dois lutarem por 100 s Powers desliga o motor e salta do helicóptero Suponha que o helicóptero esteja em queda livre após o motor ser desligado e ignore os efeitos da resistência do ar a Qual é a altura máxima sobre o solo que o helicóptero atin ge b Powers aciona um dispositivo a jato que carrega às costas 70 s após deixar o hecóptero e depois se mantém a uma acelera ção constante descendente com módulo 20 ms2 A que distância do solo está Powers quando o helicóptero se espatifa no solo 287 Altura do edifício O Homem Aranha salta do topo de um edifício alto Ele cai em queda livre a partir do repouso até o solo por uma distância de h Ele cai uma distância de h4 no últi mo 10 s da sua queda Qual é a altura h do prédio 288 Altura do penhasco Você está escalando um penhasco quando de repente se vê envolto pela névoa Para saber a altura em que está você joga uma pedra do alto e 100 s depois ouve o som dela atingindo o solo ao pé do rochedo a Desprezandose a resistência do ar a que altura está o penhasco considerando que a velocidade do som é 330 ms b Suponha que você tenha ignorado o tempo que leva para o som chegar até você Nesse caso você teria superestimado ou subestimado a altura do penhasco Explique seu raciocínio 289 Lata em queda Um pintor está em pé em um andaime que é içado a uma velocidade escalar constante Na subida ele aci dentalmente derruba uma lata de tinta do andaime e ela despen ca 150 m até o chão Você está observando a cena e mede com o seu cronômetro que leva 325 s para a lata atingir o solo Despreze a resistência do ar a Qual é a velocidade escalar da lata quando ela chega ao solo b Outro pintor está parado no pei toril com as mãos 40 m acima do ponto da queda da lata Ele tem reflexos rápidos e se a lata passar por ele poderá apanhála Existe essa chance 290 Desejando testar a lei da gravidade um estudante pula de um arranhacéu com altura de 180 m e munido de um cronômetro inicia sua queda livre com velocidade inicial nula Cinco segun dos mais tarde o SuperHomem entra em cena e mergulha do alto do edifício para salválo O SuperHomem salta do teto com uma velocidade inicial v0 produzida por um impulso de cima para baixo com suas pernas de aço A seguir ele cai com uma acelera ção igual à de qualquer corpo em queda livre a Qual deve ser o valor de v0 para que o SuperHomem possa segurar o estudante Capítulo 2 Movimento retilíneo 67 cap02eqxd 180308 902 Page 67 265 Uma bola deixa a posição de repouso e rola colina abaixo com aceleração uniforme percorrendo 150 m no decorrer do segundo intervalo de 50 s de seu movimento Qual a distância percorrida no primeiro intervalo de 50 s do movimento 266 Colisão O maquinista de um trem de passageiros que viaja com velocidade ve 250 ms avista um trem de carga cuja trajetória se encontra a 200 m de distância de frente do trem de passageiros Figura 247 O trem de carga se desloca no mesmo sentido do trem de passageiros com velocidade ve 150 ms O maquinista imediatamente aciona o freio produzindo uma aceleração constante igual a 0100 ms² enquanto o trem de carga continua com a mesma velocidade Considere x 0 como o local onde se encontra a frente do trem de passageiros quando o freio é acionado a Você acha que as vizinhas assistiram a uma colisão b Caso a resposta anterior seja positiva em que ponto ocorrerá a colisão c Faça um gráfico simples mostrando a posição da frente do trem de passageiros e a trajetória do trem de carga Quando um carro faz uma curva a uma velocidade cons tante ele está acelerando Em caso afirmativo em qual direção ele está acelerando OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá Como representar a posição de um corpo em duas ou três dimensões usando vetores Como determinar a velocidade do vetor de um corpo a partir do que se sabe sobre sua trajetória Como achar a aceleração vetorial de um corpo e por que um corpo tem essa aceleração mesmo que sua velocidade escalar seja constante Como interpretar os componentes da aceleração de um corpo paralelo e ortogonal à sua trajetória Como descrever a trajetória em curva percorrida por um projétil Os principais conceitos sobre o movimento em uma trajetória curva seja com velocidade escalar constante seja com varia ção na velocidade escalar Como relacionar o vetor velocidade de um corpo em movi mento do ponto de vista de dois referenciais distintos MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕES Q uando um jogador de futebol chuta uma bola o que determina onde a bola vai parar Como você descreve o movimento do carro de uma monta nharussa ao longo de uma curva ou o vôo de uma águia circulando sobre um campo aberto Uma bola lançada horizontalmente de uma janela leva o mesmo tempo para atingir o solo que uma bola simplesmente largada do mesmo ponto Não podemos responder a essas questões usando as técnicas do Capítulo 2 onde consideramos partículas se movendo somente ao longo de uma linha reta Em vez disso é necessário estender a descrição do movimento para duas e três dimensões Continuaremos a usar as gran dezas vetoriais de deslocamento velocidade e aceleração porém não vamos mais considerar movimentos ao longo de uma linha reta Verificaremos que muitos movimentos importantes ocorrem somente em duas dimensões ou seja estão contidos em um plano Para esses movimentos necessitamos de duas coordenadas e dois componentes para a velocidade e para a aceleração Será necessário também considerar como o movi mento de uma partícula é descrito por observadores que possuem movimentos relativos entre si O conceito de velocidade relativa desempenhará um papel impor tante posteriormente neste livro quando estudarmos as colisões explorarmos os fenômenos eletromagnéticos e introduzirmos a teoria da relatividade especial de Einstein Este capítulo une a linguagem vetorial que aprendemos no Capítulo 1 com a linguagem cinemática do Capítulo 2 Como antes estamos interessados em descrever o movimen to e não em analisar suas causas Porém a linguagem que você aprenderá aqui será uma ferramenta essencial para capítulos posteriores quando estudarmos a relação entre força e movimento 31 Vetor posição e vetor velocidade Para descrever o movimento de uma partícula no espaço necessitamos inicialmente estar aptos a descrever a posição da partícula Considere uma partícula que esteja em um ponto P em dado instante O vetor posição da partícula nesse instante é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas até o ponto P Figura 31 r S 3 69 cap03dqxd 010408 1428 Page 69 O módulo do vetor velocidade instantânea é a velocidade escalar v da partícula no referido instante A direção e o sentido de v em qualquer instante é mesma direção e sentido em que ela se move no referido instante Podemos também obter esse resultado derivando a Equação 31 Os vetores unitários i j e k possuem módulo direção e sentidos constantes logo suas derivadas são nulas e encontramos A sua calculadora informará que a função inversa da tangente de 13 é 52 Porém como aprendemos na Seção 18 você deve examinar o gráfico do vetor para decidir sua direção e seu sentido A Figura 35 mostra que a resposta correta para α 52 180 128 72 A aceleração média é uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e sentido do vetor Δ𝑣 Figura 36c Observe que Δ𝑣 é o soma vetorial de 𝑣1 com a variação Δ𝑣 Figura 36b O componente α na Equação 38 é αav 𝑣𝑥2 𝑣𝑥1t2 t1 Δ𝑣Δ𝑡 que é exatamente a Equação 24 para a aceleração média no movimento retilíneo CÁLCULO DA ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA E DA ACELERAÇÃO MÉDIA Vamos analisar novamente os movimentos do veículo robótico mencionado no Exemplo 31 Os componentes da velocidade instantânea em função do tempo t são vx dx dt 025 ms²2 vy dy dt 10 ms 0025 ms²3 e o vetor velocidade é 𝑣 vxi vy j 050 ms²i 10 ms 0075 ms²j a Calcule os componentes do vetor aceleração média no intervalo de tempo entre t 00 s e t 20 s Ache a aceleração instantânea para t 20 s Para t 20 s os componentes da aceleração instantânea são ax 050 ms² e ay 015 ms²20 s 030 ms² O vetor de aceleração nesse instante é 𝑎 050 ms²i 030 ms²j O módulo da aceleração nesse instante é a 050 ms²² 030 ms²² 058 ms² A direção de a em relação ao sentido positivo do eixo Ox é dada pelo ângulo β onde tg β ay ax 030 ms² 050 ms² 060 β 180 31 149 Física I texto extraído Teste sua compreensão da Seção 34 Suponha que a partícula na Figura 330 possua na parte de baixo do círculo uma aceleração quatro vezes maior do que no topo do círculo Se comparado à sua velocidade escalar no topo do círculo sua velo cidade escalar na parte de baixo do círculo é i vezes maior ii 2 vezes maior iii vezes maior iv 4 vezes maior ou v 16 vezes maior 35 Velocidade relativa Certamente você já deve ter observado que um carro que se desloca para a frente parece deslocarse para trás quando você o ultrapassa Em geral quando dois observa dores medem a velocidade de um objeto que se move eles obtêm resultados diferentes se um observador se move em relação ao outro A velocidade medida por um dos obser vadores denominase velocidade relativa ao observador considerado ou simplesmente velocidade relativa A Figura 331 mostra uma situação em que a compreensão da velocidade relativa é extremamente importante Inicialmente estudaremos a velocidade relativa ao longo de uma linha reta e depois generalizaremos para a velocidade relativa em um plano Velocidade relativa em uma dimensão Uma mulher caminha com velocidade de 10 ms no interior de um trem que se move com velocidade de 30 ms Figura 332a Qual é a velocidade da mulher Tratase de uma questão bastante simples mas que não possui uma res posta única Em relação a um passageiro sentado no trem ela se move a 10 ms Uma pessoa parada em uma bicicle ta ao lado do trem vê a mulher deslocarse com velocidade 10 ms 30 ms 40 ms Um observador em outro trem movendose em sentido oposto daria ainda outra resposta É necessário especificar a velocidade relativa a um observador particular A velocidade relativa da mulher em relação ao trem é 10 ms sua velocidade relativa ao ciclista é 40 ms e assim por diante Cada observador equipado com uma régua e um cronômetro em princípio constitui um sistema de referência Logo um sistema de referência é um sistema de coordenadas acrescido de uma escala de tempo Vamos designar por A o sistema de referência do ciclista e por B o sistema de referência do trem Para um movimento retilíneo a posição de um ponto P em relação ao sistema de referência A é dada pela distância xPA posi ção de P em relação à A e a posição em relação ao siste ma de referência B é dada pela distância xPB Figura 332b A distância entre a origem de A e a origem de B posição de B em relação à A é xBA Podemos ver pela Figura 332b que 332 Isto nos informa que a distância total entre a origem de A e o ponto P é a distância entre a origem de B e o ponto P somado à distância entre a origem de A e a origem de B A velocidade relativa de P em relação à A designada por vPAx é a derivada de xPA em relação ao tempo As demais velocidades são obtidas de modo análogo Logo derivando a Equação 332 obtemos a seguinte relação entre as várias velocidades xPA 5 xPB 1 xBA Figura 332 a A mulher caminhando no interior do trem b A posi ção da mulher relativa ao sistema de referência do ciclista e ao sistema de referência do trem Referência do ciclista Referência do trem Velocidade do trem relativa ao ciclista Posição da passageira em ambas as referências a A ciclista B P passageira B trem yA yB P OB OA xA xB xPA xPB xBA vBA b Figura 331 Os pilotos de uma exibição aérea enfrentam um problema complicado de movimento relativo Eles devem considerar a velocidade relativa do ar sobre as asas para que a força de sustentação atinja valo res apropriados a velocidade relativa entre os aviões para evitar coli sões e a velocidade relativa em relação ao público para que eles pos sam ser vistos 2 2 2 Capítulo 3 Movimento em duas ou três dimensões 89 cap03cqxd 180308 1455 Page 89 da pelos fragmentos da explosão Descreva todas as hipóteses que você usar 350 Em espiral É comum ver aves de rapina ganhando altura impulsionadas por uma corrente de ar quente A trajetória que elas percorrem se assemelha a uma espiral Podese reproduzir o movimento em espiral como um movimento circular uniforme combinado com uma velocidade ascendente constante Suponha que um pássaro complete um círculo com raio de 80 m a cada 50 s e suba verticalmente a uma taxa de 30 ms Determine a a velocidade escalar do pássaro em relação ao solo b a ace leração do pássaro módulo direção e sentido e c o ângulo entre o vetor de velocidade do pássaro e a horizontal 351 Na selva um veterinário com uma arma carregada com um dardo tranqüilizante e um macaco astuto de 15 kg estão 25 m acima do solo cada qual em uma árvore a 90 m de distância uma da outra Assim que o caçador atira horizontalmente no macaco este se solta da árvore na tentativa de escapar do tiro Qual deve ser a velocidade mínima do dardo no cano da arma para que o caçador atinja o macaco antes que ele chegue ao chão 352 Uma dublê de cinema pula de um helicóptero em vôo a 300 m acima do solo com velocidade constante cujo compo nente vertical é igual a 100 ms de baixo para cima e cujo com ponente horizontal é igual a 150 ms do norte para o sul Despreze a resistência do ar a Em que lugar do solo em rela ção ao ponto onde ela abandonou o helicóptero a dublê colo cou almofadas de espuma para amortecer a queda b Faça dia gramas xt yt vxt e vyt para o movimento 353 No combate a incêndios em florestas aviões jogam água para ajudar equipes que trabalham no solo Um piloto em treina mento lança uma caixa com corante vermelho na esperança de atingir um alvo no solo Se o avião está voando horizontalmente a 900 m acima do solo com velocidade de 640 ms 143 mih a que distância horizontal do alvo o piloto deve lançar a caixa Despreze a resistência do ar 354 Um navio se aproxima do porto a 450 cms e uma importan te peça do equipamento de ancoragem precisa ser lançada para que ele possa aportar Esse equipamento é lançado a 150 ms e 600º acima da horizontal do topo de uma torre à beira da água 875 m acima do convés do navio Figura 346 Para esse equipa mento cair na frente do navio a que distância D da doca deve estar o navio quando o equipamento for lançado Despreze a resistência do ar 355 O maior alcance de uma bola de beisebol De acordo com o Guinness Book of World Records o recorde de alcance de uma bola de beisebol foi obtido em uma batida feita por Roy Dizzy Carlyle em um jogo menor de um campeonato A bola percorreu uma distância horizontal de 188 m até atingir o solo fora do campo a Supondo que a bola tenha sido lançada a 450o acima da horizontal e desprezando a resistência do ar qual era a velo cidade inicial da bola para que isso ocorresse sabendose que a bola foi batida em um ponto a 09 m acima do nível do solo Suponha que o solo seja perfeitamente plano b Em que ponto a bola passou acima da cerca de 30 m de altura sabendose que a cerca estava a uma distância de 116 m do ponto do lançamento da bola 356 Uma mangueira de água é usada para encher um grande tan que cilíndrico com diâmetro D e altura 2D O jato de água sai da mangueira a 45º acima da horizontal a partir do mesmo nível da base do tanque e está a uma distância 6D Figura 347 Para qual alcance de velocidade de lançamento v0 a água entrará no tanque Despreze a resistência do ar e expresse sua resposta em termos de D e g 357 Um projétil está sendo lançado do nível do chão sem sofrer resistência do ar Você quer evitar que ele penetre uma camada de inversão de temperatura na atmosfera a uma altura h sobre o solo a Qual velocidade de lançamento máxima você poderia aplicar nesse projétil se o lançasse diretamente de baixo para cima Expresse sua resposta em termos de h e g b Suponha que a pla taforma de lançamento disponível dispare projéteis ao dobro da velocidade de lançamento máxima calculada na parte a A que ângulo máximo sobre a horizontal você deve lançar o projétil c A que distância em termos de h da plataforma de lançamen to o projétil aterrissa na parte b 358 Chutando a gol No futebol americano após um touchdown aterrissagem nome de uma jogada vencedora o time tem a oportunidade de conquistar mais um ponto chutando a bola sobre a barra entre as traves do gol A barra fica a 100 pés acima do solo e a bola é chutada do nível do solo na direção horizontal a 360 pés da barra Figura 348 As regras do futebol americano são enunciadas em unidades inglesas mas devem ser convertidas para SI neste caso a Há um ângulo mínimo acima do solo que garante que a bola passará sobre a barra seja qual for a velocida de do chute Qual é esse ângulo b Se a bola for chutada Figura 348 Problema 358 360 pés 100 pés Figura 347 Problema 356 2 D Água 6 D v0 5 45 D Figura 346 Problema 354 450 cms 150 ms 600 875 m D 100 FÍSICA I cap03cqxd 180308 1455 Page 100 A criança em pé está empurrando a outra sentada no balanço A criança sentada está empurrando de volta Em caso afirmativo ela está empurrando com força igual ou diferente OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá O que significa o conceito de força na física e por que as for ças são vetores O significado da força resultante sobre um objeto e o que acontece quando essa força é nula A relação entre a força resultante sobre um objeto a massa do objeto e sua aceleração Como se relacionam as forças que dois corpos exercem mutuamente LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO N os dois capítulos anteriores vimos como descre ver o movimento em uma duas ou três dimen sões Mas quais são as causas subjacentes de um movimento Por exemplo como pode um rebocador rebo car um navio muito mais pesado do que ele Por que é mais difícil controlar um carro que se desloca sobre uma pista de gelo do que quando ele se desloca sobre uma pista de concreto seco As respostas a essas e outras questões semelhantes nos conduzem ao estudo da dinâmica a rela ção entre o movimento e as forças que o produzem Nos dois capítulos anteriores estudamos a cinemática a lin guagem para descrever o movimento Agora estamos aptos a entender o que faz os corpos se moverem da maneira como eles o fazem Neste capítulo usaremos dois conceitos novos força e massa para analisar os princípios da dinâmica Esses princípios podem ser sintetizados em um conjunto de três afirmações claramente estabelecidas pela primeira vez por sir Isaac Newton 16421727 que as publicou em 1687 em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathe matica Princípios Matemáticos da Filosofia Natural Essas três afirmações são conhecidas como as leis de Newton do movimento A primeira afirma que quando a força resultante que atua sobre um corpo é igual a zero o movimento do corpo não se altera A segunda lei de Newton relaciona a força com a aceleração quando a força resultante que atua sobre um corpo não é igual a zero A terceira lei é uma relação entre as forças de interação que um corpo exerce sobre o outro As leis de Newton não são o produto de derivações matemáticas mas antes uma síntese do que os físicos têm aprendido a partir de uma série de experiências sobre como os objetos se movem Newton usou idéias e obser vações de muitos cientistas que o precederam tais como Copérnico Brahe Kepler e especialmente Galileu Galilei que faleceu no mesmo ano do nascimento de Newton Essas leis são genuinamente fundamentais pois não podem ser deduzidas ou demonstradas a partir de outros princí pios As leis de Newton são o fundamento da mecânica clássica também conhecida como mecânica newtonia na aplicandoas podemos compreender os tipos mais familiares de movimento As leis de Newton necessitam de modificações somente em situações que envolvem velocidades muito elevadas próximas à velocidade da luz e dimensões muito pequenas tal como no interior de um átomo As leis de Newton podem ser enunciadas de modo muito simples embora alguns estudantes tenham dificulda 4 105 cap04eqxd 180308 951 Page 105 de para entendêlas e utilizálas A razão é que antes de estudar física durante anos você caminhou jogou bola empurrou caixas e fez dezenas de coisas que envolvem movimento Nesse período você desenvolveu um senso comumrelativo a noções sobre o movimento e suas causas Porém muitas dessas noções pautadas no senso comum não se sustentam perante uma análise lógica Grande parte da tarefa deste capítulo e do restante de nosso estudo da física consiste em ajudar você a perceber que o senso comumpode ocasionalmente induzir ao erro e a ajustar sua compreensão do mundo da física de modo a tornála com patível com o que as experiências comprovam 41 Força e interações Na linguagem cotidiana exercer uma força significa puxar ou empurrar Uma definição melhor é a de que uma força é uma interação entre dois corpos ou entre o corpo e seu ambiente Figura 41 Por isso sempre nos referimos à força que um corpo exerce sobre outro Quando você empurra um carro atolado na neve você exerce uma força sobre ele um cabo de aço exerce uma força sobre a viga que ele sustenta em uma construção e assim por diante Confor me a Figura 41 força é uma grandeza vetorial você pode empurrar ou puxar um corpo em direções diferentes Quando uma força envolve o contato direto entre dois corpos como o ato de puxar ou empurrar um objeto com a mão ela é chamada de força de contato As figuras 42a 42b e 42c mostram três tipos comuns de forças de conta to A força normal Figura 42a é exercida sobre um objeto por qualquer superfície com a qual ele tenha conta to O adjetivo normal significa que a força sempre age per pendicularmente à superfície de contato seja qual for o ângulo dessa superfície Em contraste a força de atrito Figura 42b exercida sobre um objeto por uma superfície age paralelamente à superfície na direção oposta ao des lizamento A força de puxar que uma corda esticada exer ce sobre um objeto ao qual está amarrada é chamada de força de tensão Figura 42c Um exemplo dessa força é o ato de puxar seu cachorro pela coleira Existem também forças denominadas forças de longo alcance que atuam mesmo quando os corpos estão muito afastados entre si Por exemplo a força entre um par de ímãs e também a força da gravidade Figura 42d a Terra exerce uma atração gravitacional sobre um objeto em queda mesmo que não haja nenhum contato direto entre o objeto e a Terra A atração gravitacional que a Terra exerce sobre você é o seu peso Para descrever um vetor força é necessário descre ver a direção e o sentido em que ele age bem como seu módulo que especifica quantoou a intensidadecom que a força puxa ou empurra A unidade SI do módulo de uma força é o newton abreviado por N Forneceremos uma definição precisa do newton na Seção 43 Na Tabela 41 indicamos valores típicos dos módulos de algumas forças Um instrumento comum para medir módulos de força é o dinamômetro cujo funcionamento é semelhante ao de uma balança de molas Esse instrumento é constituído por uma mola protegida no interior de uma caixa cilíndrica com um ponteiro ligado em sua extremidade Quando são aplicadas forças nas extremidades da mola ela se defor ma o valor da deformação é proporcional à força aplica da Podemos fazer uma escala para o ponteiro e calibrála Figura 42 Quatro tipos de força T S n S f S n S n S p S c Força de tensão T uma força de puxar exercida sobre um objeto por uma corda cordão etc S S b Força de atrito f além da força normal uma superfície pode exercer uma força de atrito sobre um objeto que é orientada paralelamente à superfície d Peso p a força de puxar da gravidade sobre um objeto é uma força de longo alcance uma força que age a certa distância a Força normal n quando um objeto repousa sobre uma superfície ou a empurra a superfície exerce sobre ele uma força que é orientada perpendicularmente à superfície S S Figura 41 Algumas propriedades das forças F força S F S Uma força é o ato de empurrar ou puxar Uma força é a interação entre dois objetos ou entre um objeto e seu ambiente Uma força é uma grandeza vetorial com módulo direção e sentido Empurrar Puxar F S 106 FÍSICA I cap04eqxd 180308 951 Page 106 interação entre a superfície do disco e a superfície sobre a qual ele desliza é responsável pela diminuição da veloci dade do disco a diferença entre os três casos é o módulo da força de atrito O gelo exerce uma força de atrito menor do que a força de atrito da superfície do topo da mesa de modo que o disco percorre uma distância maior antes de parar As moléculas de ar exercem a menor força de atrito entre as três Caso fosse possível eliminar completamente o atrito a velocidade do disco não diminuiria nunca e não precisaríamos de nenhuma força para mantêlo em movi mento Portanto o senso comum de que seria necessário aplicar uma força para sustentar o movimento é incorreto Experiências como as que acabamos de descrever mostram que quando a força resultante é igual a zero o corpo ou está em repouso ou se move em linha reta com velocidade constante Uma vez iniciado o movimento não seria necessária nenhuma força resultante para mantêlo Este é o enunciado da primeira lei de Newton Primeira lei de Newton Quando a força resultante sobre um corpo é igual a zero ele se move com velocidade cons tante que pode ser nula e aceleração nula A tendência de um corpo em permanecer deslocando se uma vez iniciado o movimento resulta de uma proprie dade denominada inércia Você usa essa propriedade quan do tenta se servir de ketchup sacudindo sua embalagem Inicialmente quando você movimenta a embalagem para baixo com o ketchup dentro o conteúdo tende a se mover para baixo quando você inverte o movimento o ketchup continua a moverse para a frente e vai terminar no seu hambúrguer A tendência de um corpo parado manterse em repouso é também decorrente da inércia Você já deve ter visto uma experiência na qual a louça distribuída sobre uma toalha de mesa não cai após a toalha ser puxada repen tinamente A força de atrito sobre a porcelana durante o intervalo de tempo muito curto não é suficiente para que ela se mova logo ela permanece praticamente em repouso É relevante notar que na primeira lei de Newton o que importa é conhecer a força resultante Por exemplo um livro de física em repouso sobre uma mesa horizontal pos sui duas forças atuando sobre ele uma força de cima para baixo oriunda da atração gravitacional que a Terra exerce sobre ele uma força de longo alcance que atua sempre independentemente da altura da mesa Figura 42d e uma força de baixo para cima oriunda da reação de apoio da mesa uma força normal Figura 42a A reação de apoio da mesa de baixo para cima é igual à força da gravidade de cima para baixo de modo que a força resultante que atua sobre o livro ou seja a soma vetorial das duas forças é igual a zero De acordo com a primeira lei de Newton se o livro está em repouso sobre a mesa ele deve permanecer em repouso O mesmo princípio pode ser aplicado a um disco de hóquei se deslocando sobre uma superfície horizontal sem atrito a soma vetorial da reação de apoio da superfície de baixo para cima e da força da gravidade de cima para baixo é igual a zero Uma vez iniciado o movimento do disco ele deve continuar com velocidade constante porque a força resultante atuando sobre ele é igual a zero Vejamos outro exemplo Suponha que um disco de hóquei esteja em repouso sobre uma superfície horizontal com atrito desprezível tal como um colchão de ar sobre uma mesa ou um bloco de gelo Se o disco estiver inicial mente em repouso e uma única força horizontal atuar sobre ele Figura 410a o disco começa a se mover Caso o disco já estivesse se movendo antes da aplicação da força esta produziria uma variação do módulo ou da direção da velocidade escalar ou de ambas as grandezas dependendo da direção da força aplicada Nesse exemplo a força resul tante é igual a F que não é igual a zero Existem também S 1 F S 1 Figura 49 Quanto mais lisa a superfície mais longe um disco desliza após tomar uma velocidade inicial Se ele se move em um colchão de ar sobre a mesa c a força de atrito é praticamente zero de modo que o disco continua a deslizar com velocidade quase constante a Mesa o disco desliza pouco b Gelo o disco desliza um pouco mais c Colchão de ar o disco desliza ainda mais 110 FÍSICA I cap04eqxd 180308 951 Page 110 Mencionamos apenas um sistema de referência aproximadamente inercial a superfície terrestre Mas há muitos desses sistemas Quando temos um sistema de refe rência inercial A que obedece à primeira lei de Newton então qualquer segundo sistema de referência B também será inercial se ele se move em relação à A com velocida de constante Podemos provar isso usando a relação da velocidade relativa da Equação 336 na Seção 35 Suponha que P seja um corpo que se move com velo cidade constante em relação a um sistema de referên cia inercial A Pela primeira lei de Newton a força resul tante sobre esse corpo é igual a zero A velocidade de P relativa a outro sistema de referência B possui um valor diferente Mas se a velocidade relati va dos dois sistemas for constante então também é constante Logo B também é um sistema de referência inercial a velocidade de P nesse sistema de referência é constante e a força resultante sobre P é igual a zero por tanto a primeira lei de Newton é seguida em B Observadores nos sistemas A e B discordarão sobre a velo cidade de P mas concordarão que P possui velocidade constante aceleração zero e força resultante nula atuando sobre ele Na formulação das leis de Newton não há nenhum sistema de referência inercial privilegiado Se um siste ma de referência é inercial então qualquer outro sistema que se mova em relação a ele com velocidade constante também é inercial Sob esse ponto de vista o estado de repouso e o estado de movimento com velocidade cons tante não são muito diferentes ambos ocorrem quando o vetor soma das forças que atuam sobre o corpo é igual a zero Teste sua compreensão da Seção 42 Em qual das seguintes situações a força resultante que atua sobre um corpo é igual a zero i Um vôo de avião que se desloca para o norte com altura e velocidade constantes a 120 ms ii Um carro subindo uma colina com 3o de inclinação e velocidade constante 90 kmh iii Uma águia voando em círculo a constantes 20 kmh e 15 m de altura sobre um campo aberto iv Uma caixa com superfícies lisas sem atrito transportada por um caminhão que acelera em uma estrada plana a 5 ms2 43 Segunda lei de Newton Segundo a primeira lei de Newton quando um corpo sofre uma força resultante nula ele se move com veloci dade constante e aceleração zero Na Figura 413a um disco de hóquei desliza da esquerda para a direita sobre uma superfície de gelo O atrito é desprezível portanto não há forças horizontais atuando sobre o disco a força da gravidade que atua de cima para baixo e a força normal exercida pela superfície de gelo que atua de baixo para cima somam zero Logo a força resultante que atua sobre o disco é nula o disco possui aceleração zero e sua velocidade é constante Mas o que acontece quando a força resultante é dife rente de zero Sobre um disco em movimento na Figura 413b aplicamos uma força horizontal constante na mesma direção e sentido em que ele se move Logo é constante e se desloca na mesma direção horizontal de Descobrimos que enquanto a força está atuando a veloci dade do disco varia a uma taxa constante ou seja o disco se move com aceleração constante A velocidade escalar do disco aumenta de modo que a aceleração está na mesma direção de e Na Figura 413c invertemos o sentido da força sobre o disco de modo que atue em oposição a Também nesse caso o disco possui uma aceleração o disco se move cada vez mais lentamente para a direita A acelera ção neste caso é para a esquerda na mesma direção de Como no caso anterior a experiência prova que a aceleração será constante se for constante Concluímos que uma força resultante que atua sobre um corpo faz com que o corpo acelere na mesma direção que a força resultante Se o módulo da força resultante for constante como nas figuras 413b e 413c assim será o módulo de aceleração Essas conclusões sobre força resultante e aceleração também se aplicam a um corpo que se move ao longo de uma trajetória curva Por exemplo a Figura 414 mostra um disco de hóquei que se desloca em um círculo horizon tal sobre uma superfície de gelo com atrito desprezível Uma corda que prende o disco à superfície de gelo exerce uma força de tensão de módulo constante orientado para o interior do círculo O resultado é uma força resultante e gF S gF S a S v S gF S gF S v S a S v S gF S gF S Figura 412 A partir do sistema de referência do carro parece que uma força empurra os bonecos de teste de colisão para a frente quando o carro freia repentinamente Conforme o carro pára os bonecos continuam a se mover para a frente como conseqüência da primeira lei de Newton v S PB v S BA v S PA 2 v S BA v S PB 5 v S PA v S PA 5 v S PB 1 v S BA v S BA Capítulo 4 Leis de Newton do movimento 113 cap04eqxd 180308 951 Page 113 uma aceleração que são constantes em módulo e direcio nadas para o centro do círculo A velocidade escalar do disco é constante logo identificamos um movimento cir cular uniforme como foi discutido na Seção 34 A Figura 415a mostra outra experiência para explo rar a relação entre a aceleração e a força resultante que atua sobre um corpo Aplicamos uma força horizontal constante sobre um disco de hóquei em uma superfície horizontal sem atrito usando o dinamômetro descrito na Seção 41 com a mola esticada a um valor constante Tanto na Figura 413b quanto na Figura 413c essa força hori zontal é igual à força resultante que atua sobre o disco Fazendo variar o módulo da força resultante a aceleração varia com a mesma proporção Dobrandose a força resul tante a aceleração dobra Figura 415b usandose meta de da força resultante a aceleração se reduz à metade Figura 415c e assim por diante Diversas experiências Figura 415 Para um corpo de uma dada massa m o módulo da ace leração do corpo é diretamente proporcional ao módulo da força resul tante que atua sobre o corpo x m SF 5 F1 S S SF 5 2F1 S S a S a Uma força resultante constante SF provoca uma aceleração constante a S S b Dobrandose a força resultante dobra a aceleração c A metade da força reduz pela metade a aceleração x m 2a S x m a 2 S SF 5 S F1 1 S 2 Figura 414 Visão aérea de um disco de hóquei em movimento circu lar uniforme sobre uma superfície horizontal sem atrito v S v S v S Σ F S Σ F S Σ F S a S Corda a S a S Em todos os pontos a aceleração a e a força resultante Σ F apontam no mesmo sentido sempre orientadas para o centro do círculo S S O disco se move com velocidade escalar constante em torno do círculo 114 FÍSICA I a Um disco de hóquei com velocidade constante em equilíbrio S F 5 0 a 5 0 S S b Uma força resultante constante no sentido do movimento provoca uma aceleração constante no mesmo sentido da força resultante c Uma força resultante constante no sentido oposto do movimento provoca uma aceleração constante no mesmo sentido da força resultante v S v S v S v S v S v S S F S a S v S S F S a S v S S F S a S v S S F S S F S a S v S a S v S v S v S v S v S S F S S F S a S a S S F S S F S S F S a S a S a S Figura 413 Vamos explorar a relação entre a aceleração de um corpo e a força resultante que atua sobre ele neste caso um disco de hóquei sobre uma superfície sem atrito cap04eqxd 180308 951 Page 114 partículas Contudo o conceito de massa fornece a manei ra mais fundamental para se caracterizar a quantidade de matéria contida em um corpo Segunda lei de Newton Afirmamos cuidadosamente que a força resultante que atua sobre um corpo é a responsável pela aceleração do corpo A experiência mostra que quando diversas for ças e assim por diante são aplicadas sobre um corpo ele terá a mesma aceleração módulo direção e sentido que teria se sobre ele atuasse uma única força dada pela soma vetorial Em outras palavras o princípio da superposição das forças também vale quando a força resultante que atua sobre o corpo não é zero e o corpo possui uma aceleração A Equação 45 relaciona o módulo da força resul tante que atua sobre o corpo com o módulo da aceleração que ela produz Também vimos que a força resultante pos sui a mesma direção e o mesmo sentido da aceleração tanto no caso de uma trajetória retilínea quanto no caso de uma trajetória curvilínea Newton sintetizou todas essas relações e resultados experimentais em uma única formu lação denominada segunda lei de Newton Segunda lei de Newton quando uma força resultante externa atua sobre um corpo ele se acelera A aceleração possui a mesma direção e o mesmo sentido da força resul tante O vetor força resultante é igual ao produto da massa do corpo pelo vetor aceleração do corpo Em símbolos 47 segunda lei de Newton Uma formulação alternativa é que a aceleração de um corpo possui a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante que atua sobre ele e é igual à força resultante dividida pela sua massa A segunda lei de Newton é uma lei fundamental da natureza a relação básica entre força e movimento No restante deste capítulo e em todo o capítulo seguinte vamos nos dedicar a estudar como aplicar esta lei em diversas circunstâncias A Equação 47 possui muitas aplicações práticas Figura 417 Na realidade você já a utilizou diversas vezes para medir a aceleração do seu corpo Na parte inter na do seu ouvido células ciliares microscópicas sentem o módulo a direção e o sentido da força que elas devem exercer para que pequenas membranas se desloquem com a mesma aceleração do corpo inteiro Pela segunda lei de Newton a aceleração das membranas e portanto do seu corpo inteiro é proporcional a essa força e possui a mesma direção e o mesmo sentido Desse modo você pode sentir o módulo a direção e o sentido da sua acelera ção mesmo com os olhos fechados Aplicações da segunda lei de Newton Existem pelo menos quatro aspectos da segunda lei de Newton que necessitam de atenção especial Primeiro a Equação 47 é uma equação vetorial Normalmente ela será usada mediante a forma dos componentes escreven dose separadamente uma equação para cada componente da força e a aceleração correspondente 48 segunda lei de Newton Esse conjunto de equações para cada componente é equivalente à Equação 47 Cada componente da força resultante é igual à massa vezes o componente correspon dente da aceleração Segundo a segunda lei de Newton referese a forças externas Com isso queremos dizer que essas forças são exercidas por outros corpos existentes em suas vizinhan ças É impossível um corpo afetar seu próprio movimento exercendo uma força sobre si mesmo se isso fosse possí vel você poderia dar um pulo até o teto puxando seu cinto de baixo para cima É por isso que somente forças exter nas são incluídas em todas as somas das forças indicadas nas equações 47 e 48 Terceiro as equações 47 e 48 são válidas apenas quando a massa m é constante É fácil imaginar sistemas que possuem massas variáveis como um caminhãotan que vazando líquido um foguete se deslocando ou um vagão em movimento em uma estrada de ferro sendo car regado com carvão Porém tais sistemas são mais bem estudados mediante o conceito de momento linear esse assunto será abordado no Capítulo 8 aFx 5 max aFy 5 may aFz 5 maz Figura 417 O projeto de uma motocicleta de alto desempenho depen de fundamentalmente da segunda lei de Newton Para maximizar a acele ração o projetista deve fazer a motocicleta ser o mais leve possível isto é minimizar sua massa e usar o motor mais potente possível isto é maxi mizar a força motriz Motocicleta leve m pequena Motor potente F grande a S 5 aF S m aF S 5 ma S F S 1 1 F S 2 1 F S 3 1 N F S 3 F S 2 F S 1 116 FÍSICA I cap04eqxd 180308 951 Page 116 ATENÇÃO As duas forças no par de ação e reação atuam sobre corpos diferentes Enfatizamos que as duas forças descritas na terceira lei de Newton atuam em corpos diferentes Isso é importante na solução de problemas envol vendo a primeira ou a segunda lei de Newton que dizem res peito a forças que atuam sobre um corpo Por exemplo a força resultante que atua sobre a bola da Figura 425 é a soma vetorial do peso da bola com a força que o pé exerce sobre a bola Nessa soma você não deve incluir a força porque essa força é exercida sobre o pé e não sobre a bola Na Figura 425 a ação e a reação são forças de con tato que estão presentes somente enquanto os dois corpos se tocam Porém a terceira lei de Newton também se apli ca para as forças de longo alcance que não necessitam do contato físico entre os corpos como no caso da atração gravitacional Uma bola de pinguepongue exerce sobre a Terra uma força gravitacional de baixo para cima de mesmo módulo que a força gravitacional de cima para baixo exercida pela Terra sobre a bola Quando você deixa a bola cair a bola e a Terra se aproximam O módulo da força resultante sobre cada um desses corpos é o mesmo mas a aceleração da Terra é extremamente microscópica por causa de sua massa gigantesca Contudo ela se move Exemplo conceitual 48 QUAL FORÇA É MAIOR Seu carro esportivo enguiça e você o empurra até a oficina mais próxima Quando o carro está come çando a se mover como a força que você exerce sobre o carro se compara com a força que o carro exerce sobre você Como essas forças se comparam quando você empurra o carro com velocida de escalar constante SOLUÇÃO Nos dois casos a força que você exerce sobre o carro é igual e contrária à força que o carro exerce sobre você É verdade que a força que você faz para iniciar o movimento é bem maior do que a força que você faz para deslocálo com velocidade constante Porém qualquer que seja a força que você faça sobre o carro o carro exercerá sobre você uma força igual e contrária A terceira lei de Newton sempre se aplica estejam os corpos em repouso movendose com velocidade constante ou acelerando Você poderá se perguntar como o carro sabe empurrar de volta com o mesmo módulo de força que você exerce sobre ele Talvez ajude lembrar que as forças que você e o carro exercem mutuamente são de fato interações entre os átomos na superfí cie da sua mão e os átomos na superfície do carro Essas intera ções são análogas a molas em miniatura entre átomos adjacentes e uma mola comprimida exerce forças igualmente potentes sobre ambas as extremidades Fundamentalmente porém sabemos que objetos de massas diferentes exercem forças recíprocas igualmente potentes porque a experiência nos mostra isso Nunca se esqueça de que a física não é uma mera coleção de regras e equações mais do que isso tratase de uma descrição sistemática do mundo natural baseada em experiência e observação Exemplo conceitual 49 APLICAÇÃO DA TERCEIRA LEI DE NEWTON OBJETOS EM REPOUSO Uma maçã está em repouso sobre uma mesa Quais são as forças que atuam sobre ela Quais são as forças de reação a cada uma das forças que atuam sobre ela Quais são os pares de ação e reação SOLUÇÃO A Figura 426a mostra as forças que atuam sobre a maçã No dia grama é o peso da maçã isto é a força gravitacio nal de cima para baixo exercida pela Terra primeiro índice infe rior sobre a maçã quarto índice inferior Analogamente é a força de baixo para cima exercida pela mesa primeiro índice inferior sobre a maçã quarto índice inferior Conforme a Terra puxa a maçã para baixo a maçã puxa a Terra para cima com uma força de mesma intensi dade conforme mostra a Figura 426b As forças e constituem um par de ação e reação representan do a interação mútua entre a maçã e a Terra logo F S maça sobre a Terra 5 2F S Terra sobre a maça F S Terra sobre a maça F S maça sobre a Terra F S maça sobre a Terra F S mesa sobre a maça F S Terra sobre a maça F S B em A F S A em B 122 FÍSICA I Mesa removida Fmesa sobre a maçã S Fmaçã sobre a Terra S Fmesa sobre a maçã S Fmesa sobre a maçã5 0 S FTerra sobre a maçã S FTerra sobre a maçã S Fmaçã sobre a mesa S FTerra sobre a maçã S Fmaçã sobre a Terra S Fmaçã sobre a Terra 5 2FTerra sobre a maçã S S Fmaçã sobre a mesa 5 2Fmesa sobre a maçã S S Pares de ação e reação sempre representam uma interação mútua de dois objetos diferentes As duas forças sobre a maçã NÃO PODEM ser um par de ação e reação porque atuam sobre o mesmo objeto Observamos que eliminando uma a outra permanece a As forças que atuam sobre a maçã b O par de ação e reação para a interação entre a maçã e a Terra c O par de ação e reação para a interação entre a maçã e a mesa d Eliminamos uma das forças que atuam sobre a maçã Figura 426 As duas forças em um par de ação e reação sempre atuam sobre corpos diferentes cap04eqxd 180308 951 Page 122 Exemplo conceitual 411 UM PARADOXO DA TERCEIRA LEI DE NEWTON No Exemplo 410 observamos que o pedreiro puxa com toda força a combinação cordabloco que o puxa de volta Por que então o bloco se move enquanto o pedreiro permanece estacionário SOLUÇÃO A solução para esse aparente enigma está na diferença entre a segunda lei de Newton e a terceira lei de Newton As únicas for ças envolvidas na segunda lei de Newton são aquelas que atuam sobre o corpo O vetor soma dessas forças determina como o corpo acelera e se de fato acelera Em contraposição a terceira lei de Newton relaciona as forças que dois corpos diferentes exercem mutuamente Somente a terceira lei não revela nada sobre o movimento de qualquer um dos corpos Se a combinação cordabloco está inicialmente em repouso ela começa a deslizar se o pedreiro exercer uma força que tenha módulo maior que a força de atrito exercida pelo piso sobre o bloco Figura 428 O bloco de mármore possui uma base lisa que ajuda a minimizar o atrito Logo existe uma força resultan te sobre a combinação cordabloco orientada para a direita e por isso ela acelera para a direita Em contraposição o pedreiro não se move porque a força resultante que atua sobre ele é nula Ele calça sapatos com sola antiderrapante que não escorrega no piso de modo que a força de atrito exercida pelo piso sobre ele é forte o suficiente para contrabalançar na medida exata o puxão da corda Tanto o bloco quanto o pedreiro também sentem uma força gravitacional de cima para baixo e uma força normal de baixo para cima exercida pelo piso Como elas se equilibram entre si e se anulam não as incluímos na Figura 428 Assim que o bloco começa a se mover o pedreiro não preci sa puxar com tanta força ele precisa exercer somente uma força suficiente para contrabalançar a força de atrito sobre o bloco Logo a força resultante sobre o bloco que se move é igual a zero e o bloco continua a se mover em direção ao pedreiro a uma velo cidade constante de acordo com a primeira lei de Newton Concluímos que o bloco se move enquanto o pedreiro fica parado porque diferentes valores de atrito atuam sobre eles Se o piso estivesse encerado de modo que houvesse pouco atrito entre ele e os sapatos do pedreiro o ato de puxar a corda faria o bloco deslizar para a direita e o pedreiro deslizar para a esquerda Esse exemplo ensina que ao analisar o movimento de um corpo você deve lembrar que somente as forças que atuam sobre o corpo determinam o seu movimento Sob esse ponto de vista a terceira lei de Newton é meramente uma ferramenta que pode ajudar a determinar quais são essas forças Quando um corpo como a corda indicada na Figura 427 possui forças aplicadas em suas extremidades dize mos que ele está sob tensão A tensão em qualquer ponto é o módulo da força que atua nesse ponto veja Figura 42c Na Figura 427b a tensão na extremidade direita da corda é o módulo de ou e a tensão na extremidade esquerda da corda é dada pelo módulo de ou Quando a corda está em equilíbrio e quando nenhuma força atua em suas extremidades a ten são é a mesma nas extremidades e através da corda Portanto caso seja de 50 N o módulo de cada uma das for ças e então a tensão na corda será de 50 N e não de 100 N O vetor força resultante que atua sobre a corda nesse caso é igual a zero Mais uma vez enfatizamos uma verdade fundamen tal as duas forças de um par de ação e reação nunca atuam sobre o mesmo corpo Lembrese de que esse fato simples pode ajudálo a esclarecer dúvidas sobre um par de ação e reação e sobre a terceira lei de Newton Teste sua compreensão da Seção 45 Você está dirigin do em uma estrada rural quando um mosquito se espatifa no seu párabrisa Qual força possui módulo maior a que o carro exer ce sobre o mosquito ou a que o mosquito exerce sobre o carro Ou os módulos são iguais Se são diferentes como relacionar esse fato com a terceira lei de Newton Se são iguais por que o mosquito se espatifou ao passo que o carro ficou intacto 46 Exemplos de diagramas do corpo livre As três leis de Newton contêm todos os princípios básicos necessários para a solução de uma grande varieda de de problemas de mecânica Essas leis possuem formas muito simples mas sua aplicação em situações específicas F S B em C 1 F S P em C F S P em C F S B em C F S C em B F S B em C F S C em P F S P em C F S C em P F S P em C 124 FÍSICA I FP em C FC em P Bloco 1 corda Pedreiro Força de atrito do piso no pedreiro Força de atrito do piso no bloco O pedreiro permanece em repouso se FC em P é contrabalançada pela força de atrito no pedreiro O bloco começa a deslizar se FP em C supera a força de atrito no bloco Essas forças constituem um par de ação e reação Elas possuem o mesmo módulo mas atuam em objetos diferentes S S S S Figura 428 As forças horizontais que atuam sobre a combinação blococorda à esquerda e o pedreiro à direita As forças verticais não são mostradas cap04eqxd 180308 951 Page 124 pode apresentar desafios reais Esta seção apresenta três noções e técnicas úteis na solução de quaisquer problemas referentes às leis de Newton Você aprenderá outras no Capítulo 5 que estende o uso das leis de Newton a situa ções mais complexas 1 A primeira e a segunda leis de Newton se aplicam a um corpo específico Quando você usar a primei ra lei de Newton para uma situação de equilíbrio ou a segunda lei de Newton para uma situação sem equilíbrio você deve definir logo de início o corpo sobre o qual você está falan do Isso pode parecer trivial mas não é 2 Só importam as forças que atuam sobre o corpo A soma inclui todas as forças que atuam sobre o corpo em questão Portanto depois de escolher o corpo a ser analisado você deve iden tificar todas as forças que atuam sobre ele Não confunda as forças que atuam sobre esse corpo com as forças exercidas por ele sobre outros cor pos Por exemplo para analisar uma pessoa cami nhando você deve incluir em a força que o solo exerce sobre a pessoa enquanto ela caminha mas não a força que a pessoa exerce sobre o solo Figura 429 Essas forças formam um par de ação e reação e estão relacionadas à terceira lei de Newton mas somente o membro do par que atua sobre o corpo que você está analisando é que entra em 3 Os diagramas do corpo livre são essenciais para ajudar a identificar as forças relevantes Um diagrama do corpo livre é um diagrama que mostra o corpo escolhido livre das suas vizi nhanças com vetores desenhados para mostrar o módulo a direção e o sentido de todas as forças que atuam sobre o corpo e que são resultantes de vários outros corpos que interagem com ele Já mostramos alguns diagramas do corpo livre nas figuras 418 419 421 e 426a Seja cuidadoso e não se esqueça de incluir todas as forças que atuam sobre o corpo tomando cuidado para não incluir as forças que esse corpo exerce sobre outros corpos Em particular as duas forças de um par de ação e reação nunca devem aparecer em um diagrama do corpo livre porque elas nunca atuam sobre o mesmo corpo Além disso as forças que um corpo exerce sobre si mesmo nunca devem aparecer porque forças internas não afetam o movimento do corpo ATENÇÃO Forças em diagramas do corpo livre Quando você possui um diagrama do corpo livre deve ser capaz de responder a cada uma das forças da seguinte pergunta Que outro corpo está aplicando essa força Caso você não possa responder a essa pergunta poderá estar considerando uma força inexistente Fique especialmente alerta para evitar for ças inexistentes tais como a força da aceleração ou a força discutida na Seção 43 Quando o problema envolve mais de um corpo você deve separar os corpos e desenhar um diagrama do corpo livre para cada corpo Por exemplo a Figura 427c mostra um diagrama do corpo livre separado para o caso em que a corda é considerada sem massa de modo que nenhuma força gravitacional atua sobre ela A Figura 428 também mostra diagramas para o pedreiro e para o bloco mas estes não são diagramas do corpo livre completos porque não mostram todas as forças que atuam sobre cada corpo Não mencionamos as forças verticais a força de peso exerci da pela Terra e a força normal de baixo para cima exerci da pelo piso A Figura 430 na página 126 apresenta algumas situa ções reais e os respectivos diagramas do corpo livre com pletos Note que em cada situação uma pessoa exerce uma força sobre algo que a cerca mas a força que aparece no diagrama do corpo livre dessa pessoa é a força que aquilo que a cerca exerce de volta sobre ela Teste sua compreensão da Seção 46 A força de flutua ção mostrada na Figura 430c é a metade de um par de ação e rea ção Qual é a força que completa esse par i O peso da mergu lhadora ii A força que impele para a frente iii A força que puxa para trás iv A força descendente que a mergulhadora exerce sobre a água v A força para trás que a mergulhadora exerce sobre a água com o movimento das pernas Figura 429 O simples fato de caminhar depende basicamente da ter ceira lei de Newton Para se mover para a frente você empurra o solo para trás com os pés Em reação o solo empurra seus pés e portanto todo o seu corpo com uma força para a frente de mesmo módulo Essa força externa fornecida pelo solo é que produz a aceleração de seu corpo para a frente ma S gF S gF S gF S gF S 5 ma S gF S 5 0 Capítulo 4 Leis de Newton do movimento 125 cap04eqxd 180308 951 Page 125 46 Resposta iv A força de flutuação é uma força de baixo para cima que a água exerce sobre a mergulhadora Pela tercei ra lei de Newton a outra metade do par de ação e reação é uma força de cima para baixo que a mergulhadora exerce sobre a água e possui o mesmo módulo que a força de flutuação É ver dade que o peso da mergulhadora também é orientado de cima para baixo e possui o mesmo módulo que a força de flutuação entretanto o peso atua sobre o mesmo corpo a mergulhadora que a força de flutuação e portanto essas forças não formam um par de ação e reação Questões para discussão Q41 Pode um corpo permanecer em equilíbrio quando somente uma força atua sobre ele Explique Q42 Uma bola lançada verticalmente de baixo para cima possui velocidade nula em seu ponto mais elevado A bola está em equi líbrio nesse ponto Por que sim ou por que não Q43 Um balão cheio de hélio fica suspenso no ar nem subindo nem descendo Ele está em equilíbrio Quais as forças que atuam sobre ele Q44 Quando você voa de avião em uma noite com ar calmo não tem a sensação de estar em movimento embora o avião possa estar se deslocando a 800 kmh 500 mih Como você explica isso Q45 Quando as duas extremidades de uma corda são puxadas com forças de mesmo módulo mas sentidos contrários por que a tensão na corda não é igual a zero Q46 Você amarra um tijolo na extremidade de uma corda e o faz girar em torno de você em um círculo horizontal Descreva a tra jetória do tijolo quando você larga repentinamente a corda Q47 Quando um carro pára repentinamente os passageiros ten dem a se mover para frente em relação aos seus assentos Por quê Quando um carro faz uma curva abrupta os passageiros tendem a escorregar para um lado do carro Por quê Q48 Algumas pessoas dizem que quando um carro pára repen tinamente os passageiros são empurrados para a frente por uma força de inércia ou uma força de momento linear O que existe de errado nessa explicação Q49 Um passageiro no interior de um ônibus sem janelas e em movimento observa que uma bola que estava em repouso no meio do ônibus começa a se mover para a traseira do ônibus Imagine dois modos diferentes de explicar o que ocorreu e des cubra um método para decidir qual dos dois está correto Q410 Suponha que as unidades SI fundamentais sejam força comprimento e tempo em vez de massa comprimento e tempo Quais seriam as unidades de massa em termos dessas unidades fundamentais Q411 Na Grécia Antiga alguns pensavam que o estado natural de um objeto fosse o repouso de modo que os objetos buscariam o seu estado natural ficando em repouso quando soltos Explique por que essa visão pode muito bem parecer plausível no mundo atual Q412 Por que a Terra é considerada um sistema de referência inercial apenas aproximado Q413 A segunda lei de Newton é válida para um observador no interior de um veículo que está acelerando parando ou fazendo uma curva Explique Q414 Alguns estudantes dizem que a grandeza é a força da aceleração É correto dizer que essa grandeza é uma força Em caso afirmativo onde essa força é exercida Em caso negativo qual é a melhor descrição para essa grandeza Q415 A aceleração de um corpo em queda livre é medida no inte rior de um elevador que está subindo com velocidade constante de 98 ms Que resultado é obtido Q416 Você pode brincar de segurar uma bola lançada por outra pessoa em um ônibus que se move com velocidade constante em uma estrada retilínea do mesmo modo como se o ônibus estives se em repouso Isso é possível quando o ônibus se move com velocidade constante em uma curva Explique por que sim ou por que não Q417 Alguns estudantes afirmam que a força da gravidade sobre um objeto é 98 ms2 O que há de errado nessa noção Q418 A cabeça de um martelo começa a se soltar do cabo Como você deve bater o cabo em um bloco de concreto para que a cabe ça fique firme novamente Por que isso funciona Q419 Por que um chute em uma rocha grande pode machucar mais o seu pé do que o chute em uma pedra pequena A rocha grande deve sempre machucar mais Explique Q420 Não é a queda que machuca você é a brusca parada embaixo Traduza isso usando a linguagem das leis de Newton do movimento Q421 Uma pessoa pode mergulhar na água pulando de uma altu ra de 10 m sem se machucar mas quando ela pula de uma altu ra de 10 m e cai sobre um piso de concreto sofre sérias lesões Qual é a razão dessa diferença Q422 Por que por motivo de segurança um carro é projetado para sofrer esmagamento na frente e na traseira Por que não para colisões laterais e capotagens Q423 Quando uma bala é disparada de uma arma qual é a ori gem da força que acelera a bala Q424 Quando um peso grande é suspenso por um fio no limite de sua elasticidade puxandose o fio suavemente o peso pode ser levantado porém se você puxar bruscamente o fio se rompe Explique isso usando as leis de Newton do movimento Q425 Um engradado grande é suspenso pela extremidade de uma corda vertical A tensão na corda é maior quando o engrada do está em repouso ou quando ele se move de baixo para cima com velocidade constante Quando o engradado se move na ver tical a tensão na corda é maior quando o engradado está sendo acelerado ou quando sua velocidade diminui Explique cada caso usando as leis de Newton do movimento Q426 Qual pedra sente um puxão maior devido à gravidade da Terra uma de 10 kg ou outra de 20 kg Se você as deixar cair por que a pedra de 20 kg não cai com o dobro da aceleração da pedra de 10 kg Explique seu raciocínio Q427 Por que não é correto dizer que 1 kg é igual a 98 N Q428 Um cavalo puxa uma carroça Uma vez que a carroça puxa o cavalo para trás com uma força igual e contrária à força exer cida pelo cavalo sobre a carroça por que a carroça não permane ce em equilíbrio independentemente da intensidade da força com a qual o cavalo puxa a carroça Q429 Verdadeiro ou falso você exerce uma força de empurrar P sobre um objeto e ele empurra você de volta com uma força F Se o objeto está se deslocando a uma velocidade constante então F é igual a P mas se o objeto está em aceleração então P deve ser maior que F ma S 128 FÍSICA I cap04eqxd 180308 951 Page 128 Q430 Um caminhão grande e um automóvel compacto colidem frontalmente Durante a colisão o caminhão exerce uma força sobre o automóvel e o automóvel exerce uma força sobre o caminhão As duas forças possuem o mesmo módulo ou uma delas é maior do que a outra Sua resposta depende do valor da velocidade de cada veículo antes da colisão Por que sim ou por que não Q431 Quando um carro pára em uma estrada plana qual força é responsável pela redução da velocidade Quando o carro aumenta a velocidade escalar na mesma estrada qual força é responsável pelo aumento da velocidade Explique Q432 Um carro pequeno está puxando uma caminhonete que estava enguiçada e eles se movem ao longo de uma estrada com a mesma velocidade e a mesma aceleração Quando o carro está acelerando a força que ele exerce sobre a caminhonete possui módulo maior menor ou igual à força que a caminhonete exerce sobre o carro A maior força resultante atua sobre o carro ou sobre a caminhonete ou as duas forças resultantes possuem o mesmo módulo Explique Q433 Em um cabodeguerra duas pessoas puxam as extremida des de uma corda em sentidos opostos Pela terceira lei de Newton a força que A exerce sobre B possui módulo igual ao da força que B exerce sobre A Então o que determina qual é o ven cedor Sugestão desenhe um diagrama do corpo livre para cada pessoa Q434 Na Lua g 162 ms2 Lá se um tijolo de 2 kg caísse de uma altura de 2 m sobre o seu pé causaria uma lesão maior menor ou igual à que causaria se o mesmo fato acontecesse aqui na Terra Explique Se na Lua o tijolo fosse lançado horizontal mente e atingisse você com uma velocidade de 6 ms causaria uma lesão maior menor ou igual do que a lesão causada nas mes mas circunstâncias na Terra Explique Na Lua suponha que você esteja dentro de uma cabina pressurizada e por isso não veste a roupa especial usada pelos astronautas Q435 Um manual para aprendiz de piloto contém a seguinte pas sagem Quando o avião voa em uma altitude constante sem subir nem descer a força de sustentação que atua de baixo para cima sobre suas asas é igual ao peso do avião Quando o avião está subindo com aceleração constante a força de sustentação que atua de baixo para cima sobre suas asas é maior do que o peso do avião quando o avião está descendo com aceleração constante a força de sustentação que atua de baixo para cima é menor do que o peso do avião Essas afirmações estão corretas Explique Q436 Se suas mãos estão molhadas e não há nenhuma toalha dis ponível você pode secar o excesso de umidade sacudindoas Por que esse movimento elimina a água Q437 Se você está agachado como quando está olhando os livros na prateleira de baixo de uma estante e se levanta repen tinamente você pode sentir uma tontura momentânea Como as leis de Newton explicam isso Q438 Quando um carro sofre uma colisão traseira os passagei ros podem sentir como se fossem chicoteados Use as leis de Newton para explicar as causas disso Q439 Em uma colisão frontal entre dois veículos os passageiros que não estiverem com cintos de segurança afivelados poderão ser lançados através do párabrisa Use as leis de Newton para explicar as causas disso Q440 Em uma colisão frontal entre um carro compacto de 1000 kg e outro grande de 2500 kg qual sofre a força maior Explique Qual sofre a maior aceleração Explique por quê Agora expli que por que os passageiros no carro menor têm mais chance de se ferir do que os do carro maior mesmo que a carroceria de ambos os carros seja igualmente resistente Q441 Suponha que você está em um foguete sem janelas viajan do no espaço distante de qualquer outro objeto Sem olhar para fora do foguete ou fazer qualquer contato com o mundo externo explique como você poderia determinar se o foguete está a movendose para a frente a uma velocidade constante equiva lente a 80 da velocidade da luz e b acelerando para a frente Exercícios Seção 41 Força e interações 41 Duas forças possuem o mesmo módulo F Qual é o ângulo entre os dois vetores quando a soma vetorial possui o módulo igual a a 2F b c Zero Faça um desenho dos três veto res em cada caso 42 Em vez de usar os eixos Ox e Oy da Figura 48 para analisar a situação do Exemplo 41 use um sistema de eixos girados de 370º no sentido antihorário de modo que o eixo Ox seja paralelo à força de 250 N a Para esses eixos ache os componentes x e y da força resultante que atua sobre a partícula b Partindo dos compo nentes calculados em a calcule o módulo a direção e o sentido da força resultante Compare seus resultados com o Exemplo 41 43 Um trabalhador de um armazém empurra uma caixa ao longo de um piso como indicado na Figura 431 aplicando uma força de 10 N de cima para baixo formando um ângulo de 45o abaixo da horizontal Ache os componentes horizontais e verticais da força 44 Um homem está puxando uma mala para cima ao longo da rampa de carga de um cami nhão de mudanças A rampa possui um ângulo de 200o e o homem exerce uma força para cima cuja direção forma um ângulo de 300º com a rampa Figura 432 a Qual deve ser o módulo da força F necessária para que o componente S F S Figura 431 Exercício 43 45 45 0 10 N n e w t o n s 10 5 2 F F S C em T F S T em C Capítulo 4 Leis de Newton do movimento 129 Figura 432 Exercício 44 300 200 F r cap04eqxd 180308 951 Page 129 Suponha que um pássaro em vôo é apanhado por uma corrente de ar ascendente que o faz subir a uma veloci dade uniforme Nessa situação qual destas forças possui módulo maior a força da gravidade ou a força ascenden te do ar sobre o pássaro OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá Como usar a primeira lei de Newton para resolver problemas referentes às forças que atuam sobre um corpo em equilíbrio Como usar a segunda lei de Newton para resolver problemas referentes às forças que atuam sobre um corpo em aceleração A natureza dos diversos tipos de força de atrito atrito estáti co atrito cinético atrito de rolamento e resistência de um flui do e como resolver problemas que envolvem essas forças Como resolver problemas referentes às forças que atuam sobre um corpo que se move ao longo de uma trajetória circular As principais propriedades das quatro forças fundamentais da natureza APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON V imos no Capítulo 4 que as três leis de Newton do movimento o fundamento da mecânica clássica podem ser formuladas de modo simples Porém as aplicações dessas leis em situações tais como um navio quebragelo se deslocando sobre a superfície congelada de um lago um tobogã deslizando morro abaixo ou um avião fazendo uma curva acentuada requerem habilidades analí ticas e técnicas para a solução de problemas Neste capítu lo aprofundaremos as habilidades para a solução de pro blemas que você começou a aprender no capítulo anterior Começamos com problemas envolvendo o equilíbrio nos quais o corpo está ou em repouso ou movendose com velocidade constante A seguir generalizaremos nossas técnicas para a solução de problemas que envolvem cor pos que não estão em equilíbrio para os quais precisamos considerar com exatidão as relações entre as forças e o movimento Vamos ensinar como descrever e analisar as forças de contato entre corpos em repouso ou quando um corpo desliza sobre uma superfície Finalmente estudare mos o caso importante do movimento circular uniforme no qual o corpo se desloca ao longo de uma circunferência com velocidade escalar constante Todas essas situações abrangem o conceito de força que usaremos em todos os nossos estudos de física Encerraremos o capítulo com uma breve discussão sobre a natureza fundamental da força e os tipos de força existen tes na natureza 51 Uso da primeira lei de Newton partículas em equilíbrio No Capítulo 4 aprendemos que um corpo está em equilíbrio quando está em repouso ou em movimento reti líneo uniforme em um sistema de referência inercial Uma lâmpada suspensa uma ponte pênsil um avião voando em linha reta e plana a uma velocidade escalar constante são todos exemplos de situações de equilíbrio Nesta seção vamos considerar apenas o equilíbrio de corpos que podem ser modelados como partículas No Capítulo 11 veremos o que fazer quando um corpo não pode ser mode lado como partícula O princípio físico essencial é a pri meira lei de Newton quando uma partícula está em repou so ou em movimento retilíneo uniforme em um sistema de referência inercial a força resultante que atua sobre ela isto é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre ela deve ser igual a zero 5 135 cap05gqxd 180308 910 Page 135 51 partícula em equilíbrio forma vetorial Normalmente usaremos essa relação utilizando os componentes 52 partícula em equilíbrio forma de componentes Esta seção é sobre o uso da primeira lei de Newton para resolver problemas envolvendo corpos em equilíbrio Alguns deles podem parecer complicados mas o impor tante é lembrar que todos esses problemas são resolvidos do mesmo modo As seguintes recomendações da Estratégia para a Solução de Problemas 51 devem ser seguidas para todos esses problemas Estude a estratégia com cuidado acompanhe como ela é empregada nos exemplos resolvidos e tente aplicála quando for resolver os problemas propostos Estratégia para a solução de problemas 51 PRIMEIRA LEI DE NEWTON EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA IDENTIFICAR os conceitos relevantes você deve usar a primei ra lei de Newton para qualquer problema referente às forças que atuam sobre um corpo em equilíbrio ou seja que está em repouso ou em movimento com velocidade constante Por exem plo um carro está em equilíbrio quando estacionado mas tam bém quando se desloca por uma estrada retilínea a uma velocida de escalar uniforme Se o problema envolve mais de um corpo e os corpos interagem entre si você também precisa usar a terceira lei de Newton Essa lei permite relacionar as forças que um corpo exerce sobre outro à força que o segundo corpo exerce sobre o primeiro Certifiquese que você identificou as variáveisalvo Algumas variáveisalvo comuns em problemas referentes a equilíbrio incluem o módulo de uma das forças os componentes de uma força ou a direção ângulo de uma força PREPARAR o problema usando as seguintes etapas 1 Faça um desenho com um esquema simples da situação física mostrando as dimensões e os ângulos 2 Escolha um corpo que esteja em equilíbrio e desenhe um dia grama do corpo livre para esse corpo No momento vamos considerálo como uma partícula de modo que basta um ponto grosso para representar a partícula Em seu diagrama do corpo livre não inclua os outros corpos que interagem com ele tal como uma superfície sobre a qual ele possa estar apoiado ou uma corda que o esteja puxando 3 Agora pergunte quais são os corpos que interagem com ele pelo contato ou de outra forma Em seu diagrama do corpo livre desenhe o vetor força de cada interação e assinale cada força com um símbolo representando o módulo da força Caso você saiba o ângulo da direção de uma força desenhe o ângu lo e assinale seu valor Inclua o peso do corpo exceto nos casos em que ele possua massa desprezível e portanto peso desprezível Caso a massa seja dada use p mg para deter minar o peso Uma superfície em contato com o corpo exerce uma força normal perpendicular à superfície e possivelmente uma força de atrito paralela à superfície Uma corda ou corren te exerce uma força de puxar nunca de empurrar seguindo a direção do seu comprimento 4 No diagrama do corpo livre você não deve mostrar nenhuma força exercida pelo corpo sobre outros corpos As somas indi cadas nas equações 51 e 52 incluem somente forças que atuam sobre o corpo Para cada força sobre o corpo pergunte Qual é o outro corpo que produz a força Caso você não seja capaz de responder a essa pergunta poderá estar imagi nando uma força que não existe naquele local 5 Defina um conjunto de eixos de coordenadas para que sejam incluídos em seu diagrama do corpo livre Se houver mais de um corpo no problema escolha eixos separados para cada um Assinale a direção positiva para cada eixo Quando um corpo está em repouso ou desliza ao longo de uma superfície geral mente é mais simples escolher um eixo paralelo e outro perpen dicular à superfície mesmo quando o plano for inclinado EXECUTAR a solução conforme segue 1 Ache os componentes de cada força ao longo dos eixos de coordenadas Desenhe uma linha ondulada sobre cada vetor força que tenha sido substituído pelos seus respectivos compo nentes de modo a não contar os vetores duas vezes Lembre se que o módulo de uma força é sempre positivo enquanto o componente de uma força ao longo de uma dada direção pode ser positivo ou negativo 2 Iguale a zero a soma algébrica de todos os componentes x das forças que atuam sobre o corpo Em outra equação iguale a zero a soma algébrica de todos os componentes y das forças Nunca adicione componentes x e y na mesma equação 3 Caso existam dois ou mais corpos repita as etapas acima para cada corpo Caso haja interação entre os corpos use a terceira lei de Newton para relacionar as forças mútuas entre os corpos 4 Certifiquese de que você tenha um número de equações inde pendentes igual ao número de incógnitas A seguir resolva essas equações para obter os valores das variáveisalvo AVALIAR sua resposta examine os seus resultados e pergunte se se eles fazem sentido Quando o resultado é dado por símbo los ou por fórmulas procure casos especiais valores particulares ou casos extremos das diversas grandezas para os quais você possa imaginar resultados esperados Confira o resultado verifi cando se a fórmula é válida para o caso particular imaginado Exemplo 51 EQUILÍBRIO EM UMA DIMENSÃO TENSÃO EM UMA CORDA SEM MASSA Uma ginasta com massa mG 500 kg está começando a subir em uma corda presa ao teto de um giná sio Qual é o peso da ginasta Qual força módulo e direção a corda exerce sobre ela Qual é a tensão na extremidade superior da corda Considere que a massa da corda em si é desprezível SOLUÇÃO IDENTIFICAR a ginasta e a corda estão em equilíbrio logo podemos aplicar a primeira lei de Newton em ambos os corpos Também usaremos a terceira lei de Newton para relacionar as forças que a ginasta e a corda exercem entre si As variáveisalvo aFx 5 0 aFy 5 0 aF S 5 0 136 FÍSICA I cap05gqxd 180308 910 Page 136 c Em quais situações há uma força de atrito cinético atuando sobre a caixa i A caixa está em repouso sobre uma superfície horizontal áspera ii A caixa está em repouso sobre uma super fície áspera inclinada iii A caixa está no leito plano e de superfí cie áspera na traseira de um caminhão o caminhão está se movendo a uma velocidade constante por uma estrada reta e plana e a caixa permanece no mesmo lugar no meio do leito da carroceria iv A caixa está no leito plano e de superfície áspera na traseira de um caminhão o caminhão está acelerando para cima por uma estrada reta e plana e a caixa permanece no mesmo lugar no meio do leito da carroceria v Acaixa está no leito plano e de superfície áspera na traseira de um caminhão o caminhão está subindo pela encosta de uma montanha e a caixa está deslizando em direção ao fundo do caminhão 54 Dinâmica do movimento circular Discutimos o movimento circular uniforme na Seção 34 Mostramos que quando uma partícula se desloca ao longo de uma circunferência com velocidade escalar cons tante a aceleração da partícula é sempre orientada para o centro do círculo perpendicular à velocidade instantânea O módulo arad da aceleração é constante sendo dado em termos da velocidade v e do raio R por 514 movimento circular uniforme O índice inferior rad é um lembrete de que a aceleração da partícula é sempre orientada para o centro do círculo perpendicular à velocidade instantânea Explicamos na Seção 34 por que essa aceleração é chamada aceleração centrípeta Podemos também representar a aceleração centrípeta arad em termos do período T o tempo necessário para uma revolução 515 Em termos do período arad é dada por 516 movimento circular uniforme O movimento circular uniforme como qualquer movi mento de uma partícula é governado pela segunda lei de Newton A aceleração da partícula orientada para o centro deve ser produzida por alguma força ou diversas forças tais que a soma vetorial seja um vetor sempre orienta do para o centro do círculo Figura 528 O módulo da ace leração é constante logo o módulo da força resultante Ftotal também é constante Caso a força para dentro deixe de atuar a partícula é expelida para fora do círculo descreven do uma linha reta tangente ao círculo Figura 529 O módulo da aceleração radial é dado por logo o módulo Ftotal da força resultante sobre uma partícula de massa m em um movimento circular uniforme é dado por 517 movi mento circular uniforme O movimento circular uniforme pode ser produzido por qualquer conjunto de forças desde que a força resultante seja sempre orientada para o centro do círculo e pos sua módulo constante Note que o corpo não precisa se mover em torno de um círculo completo a Equação 517 é válida para qualquer trajetória que possa ser considera da como parte de um arco circular Figura 529 O que acontece quando a força orientada para o centro deixa de atuar sobre um corpo em um movimento circular Subitamente o fio se rompe SF S SF S Nenhuma força resultante atua sobre a bola de modo que ela obedece à primeira lei de Newton ela se move em linha reta a uma velocidade constante Uma bola amarrada a um fio gira em círculo sobre uma superfície sem atrito v S v S v S a S a S v S gF S Ftotal 5 marad 5 m v2 R arad 5 v2R Figura 528 Em um movimento circular uniforme tanto a aceleração como a força resultante são orientadas para o centro do círculo Em um movimento circular uniforme tanto a aceleração como a força resultante são orientadas para o centro do círculo v S a S v S a S v S a S S ΣF S ΣF S ΣF gF S arad 5 4p2R T 2 T 5 2pR v arad 5 v2 R Capítulo 5 Aplicações das leis de Newton 157 cap05gqxd 180308 910 Page 157 Das duas classes familiares as interações gravita cionais foram as primeiras a ser estudadas com detalhes O peso de um corpo resulta da atração gravitacional que a Terra exerce sobre ele A atração gravitacional mútua entre as várias partes da Terra mantém o nosso planeta unifica do figura 538a Newton concluiu que a atração gravita cional que o Sol exerce sobre a Terra mantém a Terra em uma órbita quase circular em torno do Sol No Capítulo 12 as interações gravitacionais serão estudadas com deta lhes e analisaremos o papel vital por elas desempenhado no movimento de planetas e de satélites A segunda classe familiar as interações eletromag néticas inclui as forças elétricas e magnéticas Se você passar um pente no cabelo ele poderá ser usado para atrair fragmentos de papel ou pequenas penas essa interação decorre da carga elétrica sobre o pente Todos os átomos contêm cargas elétricas positivas e negativas de modo que os átomos e as moléculas interagem por meio de forças elétricas Figura 538b As forças de contato incluindo a força normal o atrito e a resistência de um fluido são combinações de todas essas forças exercidas pelos átomos de um corpo sobre átomos vizinhos de outro corpo As for ças magnéticas ocorrem nas interações entre ímãs ou entre um ímã e um objeto de ferro Elas aparentam constituir uma categoria diferente porém as interações magnéticas são na verdade produzidas por cargas elétricas em movi mento Por exemplo no eletroímã uma corrente elétrica passa através de uma bobina e produz interações magnéti cas Estudaremos as interações elétricas e magnéticas na segunda metade deste volume As forças gravitacionais não desempenham nenhum papel significativo em estruturas atômicas e moleculares porque as forças elétricas são extraordinariamente mais fortes A repulsão elétrica entre dois prótons é 1035 vezes maior do que a atração gravitacional entre eles Porém as cargas elétricas negativas dos astros são iguais às respecti vas cargas elétricas positivas de modo que a força elétri ca entre dois astros é igual a zero As forças gravitacionais passam então a ser dominantes no movimento dos plane tas e na estrutura interna das estrelas As outras duas classes de interações são menos fami liares Uma delas a interação forte é responsável pela força de coesão que mantém os núcleos no interior de um átomo Os núcleos contêm os nêutrons que são neutros e os prótons que são cargas positivas Os prótons se repe lem mutuamente e os núcleos não seriam estáveis caso não existisse uma força atrativa para compensar essa repulsão elétrica Por essa razão a interação forte é tam bém conhecida como força nuclear Ela só atua em distân cias mais curtas do que as distâncias da interação eletro magnética porém dentro do limite de seu alcance ela é muito mais forte A interação forte é responsável também pelas reações termonucleares que ocorrem no centro do Sol que geram o calor e a luz solares Figura 538c Figura 538 Exemplos das interações fundamentais na natureza a A Lua e a Terra são mantidas unificadas e em órbita pelas forças gravita cionais b As forças eletromagnéticas atuam entre os átomos para for mar moléculas como nesta microfotografia de força atômica do DNA do plasmídeo de uma bactéria c As forças fortes entre partículas nuclea res são responsáveis pelas reações termonucleares no centro do Sol a energia liberada nos atinge sob a forma de luz solar d As forças fra cas características de interações entre partículas subatômicas denomi nadas neutrinos desempenham um papel crucial quando uma estrela explode e se transforma em uma supernova Estrela Supernova a Forças gravitacionais mantêm os planetas unificados b Forças eletromagnéticas formam as moléculas c Interações fortes liberam energia para energizar o Sol d Interações fracas desempenham um papel na explosão de estrelas Capítulo 5 Aplicações das leis de Newton 163 cap05gqxd 180308 910 Page 163 possui módulo v2R O movimento é governado pela segunda lei de Newton exemplos 520524 514 516 Principais termos arraste do ar 154 coeficiente de atrito cinético 149 coeficiente de atrito estático 150 coeficiente de atrito de rolamento 153 força de atrito 149 força de atrito cinético 149 força de atrito estático 150 interações eletromagnéticas 163 interação forte 164 interação fraca 164 interações gravitacionais 163 peso aparente 144 resistência de um fluido 154 velocidade terminal 155 Resposta à Pergunta Inicial do Capítulo Nenhuma delas a força de baixo para cima do ar possui o mesmo módulo que a força da gravidade Embora o pássaro esteja alçan do vôo sua velocidade vertical é constante e portanto sua ace leração vertical é igual a zero Por isso a força resultante verti cal sobre o pássaro deve também ser zero e as forças verticais individuais devem se equilibrar Respostas às Perguntas dos Testes de Compreensão 51 Resposta ii Os dois cabos estão agrupados simetricamente portanto a tensão em qualquer dos cabos tem o mesmo módulo T O componente vertical da tensão de cada cabo é T sen 45º ou de forma equivalente T cos 45º Então de acordo com a primeira lei de Newton aplicada às forças verticais Logo Cada cabo suporta metade do peso do semáforo mas a tensão é maior do que p2 por que somente o componente vertical da tensão se contrapõe ao peso 52 Resposta ii Seja qual for a velocidade instantânea do cava leiro sua aceleração é constante e possui o valor encontrado no Exemplo 512 Analogamente a aceleração de um corpo em queda livre é a mesma esteja ele subindo descendo ou no ponto mais alto do seu movimento Seção 25 53 Respostas para a i iii respostas para b ii iv resposta para c v Nas situações i e iii a caixa não está acelerando portanto a força resultante sobre ela deve ser igual a zero e não há nenhuma outra força atuando em paralelo à superfície horizontal então nenhuma força de atrito se faz necessária para evitar o deslizamento Nas situações ii e iv a caixa começaria a deslizar pela superfície caso nenhum atrito estivesse presente e por isso um atrito estático deve atuar para impedir isso Na situação v a caixa está deslizando sobre uma superfície áspera portanto uma força de atrito cinético atua sobre ela 54 Resposta iii Um satélite de massa m orbitando a Terra à velocidade escalar v em uma órbita de raio r possui uma acelera ção de módulo de modo que a força resultante atuando sobre ele a partir da gravidade terrestre possui módulo Quanto mais distante o satélite estiver da Terra maior o valor de r menor o valor de v e portanto menores os valores de e de F Em outras palavras a força gravitacional da Terra diminui com o aumento da distância Questões para discussão Q51 Um homem está sentado em um assento suspenso por uma corda A corda passa por uma polia presa ao teto e o homem segura a outra extremidade da corda Qual é a tensão na corda e que força o assento exerce sobre o homem Desenhe um diagra ma do corpo livre para o homem Q52 Em geral a força normal não é igual ao peso Dê um exemplo em que os módulos dessas duas forças são iguais e pelo menos dois exemplos em que os módulos dessas duas forças não são iguais Q53 Uma corda para secar roupas é amarrada entre dois postes Por mais que você estique a corda ela sempre fica com uma con cavidade no centro Explique por quê Q54 Um carro se desloca com velocidade constante subindo uma montanha íngreme Discuta as forças que atuam sobre o carro O que empurra o carro para cima da montanha Q55 Por razões médicas é importante que um astronauta deter mine sua massa em intervalos de tempo regulares Descreva um modo de medir massas em um ambiente com peso aparente igual a zero Q56 Quando você empurra uma caixa para cima de uma rampa a força que você exerce empurrando horizontalmente é maior ou menor do que a força que você exerce empurrando paralelamen te ao plano da rampa Por quê Q57 Ao deixar cair sua bolsa em um elevador a mulher nota que a bolsa não atinge o piso do elevador Como o elevador está se movendo Q58 As balanças para pesar objetos são classificadas como as que usam molas e as que usam massas padrão para equilibrarem as massas desconhecidas Qual tipo de balança fornece medidas mais precisas em uma nave espacial E sobre a superfície da Lua Q59 Quando você aperta uma porca em um parafuso como você está aumentando a força de atrito Como funciona uma arruela de aperto Q510 Um bloco está em repouso sobre um plano inclinado que possui atrito suficiente para impedir seu deslizamento para baixo v2r F 5 mv2r v2r p2 5 071p T 5 p 12 sen 452 5 2T sen 45 2 p 5 0 arad v SF S S arad S arad S S SF S SF S v S v S arad 5 v2 R 5 4p2R T 2 gF S 5 ma S Capítulo 5 Aplicações das leis de Newton 165 cap05gqxd 180308 910 Page 165 551 Um carro de 1125 kg e uma caminhonete de 2250 kg se aproximam de uma curva na estrada que possui raio 225 m a A que ângulo o engenheiro deve inclinar essa curva de modo que veículos com deslocamento de 650 mih possam contornála com segurança seja qual for o estado dos pneus A caminhone te mais pesada deve seguir mais lentamente do que o carro mais leve b Considerando que o carro e a caminhonete fazem a curva a 650 mih ache a força normal sobre cada veículo em função da superfície da estrada 552 Um balanço gigante de um parque de diversões consiste em um eixo vertical central com diversos braços horizontais liga dos em sua extremidade superior Figura 557 Cada braço sus pende um assento por meio de um cabo de 50 m de comprimen to e a extremidade superior do cabo está presa ao braço a uma distância de 30 m do eixo central a Calcule o tempo para uma revolução do balanço quando o cabo que suporta o assento faz um ângulo de 300 com a vertical b O ângulo depende do passageiro para uma dada taxa de revolução 553 Em outra versão do balanço gigante Exercício 552o assento é conectado a dois cabos como indicado na Figura 558 uma das quais é horizontal O assento balança em um círculo horizontal a uma taxa de 320 rpm rev min Considerando que o assento pesa 255 N e uma pessoa de 825 N está sentada sobre ele ache a tensão em cada cabo 554 Um pequeno botão sobre uma plataforma circulante hori zontal com diâmetro de 0320 m gira junto com a plataforma com 400 revmin desde que o botão não esteja a uma distância maior do que 0150 m do eixo a Qual é o coeficiente de atrito estático entre o botão e a plataforma b Qual é a distância máxima ao eixo da plataforma que o botão pode ser colocado sem que ele deslize se a plataforma gira com 600 revmin 555 Estação espacial girando Um problema para a vida huma na no espaço exterior é o peso aparente igual a zero Um modo de contornar o problema seria fazer a estação espacial girar em torno do centro com uma taxa constante Isso criaria uma gravi dade artificial na borda externa da estação espacial a Se o diâ metro da estação espacial for igual a 800 m quantas revoluções por minuto seriam necessárias a fim de que a aceleração da gra vidade artificial fosse igual a 98 ms2 b Se a estação espacial fosse projetada para viajantes que querem ir a Marte seria dese jável simular a aceleração da gravidade na superfície de Marte 37 ms2 Quantas revoluções por minuto seriam necessárias nesse caso 556 Uma rodagigante no Japão possui um diâmetro de 100 m Ela faz uma revolução a cada 60 segundos a Calcule a veloci dade de um passageiro quando a rodagigante gira a essa taxa b Um passageiro pesa 882 N em uma balança no solo Qual é seu peso aparente no ponto mais alto e no ponto mais baixo da rodagigante c Qual deveria ser o tempo de uma revolução para que o peso aparente no ponto mais alto fosse igual a zero d Nesse caso qual deveria ser o peso aparente no ponto mais baixo 557 Um avião faz uma volta circular em um plano vertical um loop com um raio de 150 m A cabeça do piloto sempre aponta para o centro do círculo A velocidade do avião não é constante o avião vai mais devagar no topo do círculo e tem velocidade maior na base do círculo a No topo do círculo o piloto possui peso aparente igual a zero Qual é a velocidade do avião nesse ponto b Na base do círculo a velocidade do avião é de 280 kmh Qual é o peso aparente do piloto nesse ponto O peso real do piloto é de 700 N 558 Uma mulher de 500 kg pilota um avião mergulhando verti calmente para baixo e muda o curso para cima de modo que o avião passa a descrever um círculo vertical a Se a velocidade do avião na base do círculo for igual a 950 ms qual será o raio mínimo do círculo para que a aceleração neste ponto não supere 40g b Qual é seu peso aparente nesse ponto 559 Fique seco Uma corda é amarrada em um balde de água e o balde gira em um círculo vertical de raio 0600 m Qual deve ser a velocidade mínima do balde no ponto mais elevado do cír culo para que a água não seja expelida do balde 560 Uma bola de boliche de 712 N está presa ao teto por uma corda de 380 m A bola é empurrada para um lado e libertada ela então oscila para frente e para trás como um pêndulo Quando a corda passa pela vertical a velocidade da bola é igual a 420 ms a Qual é o módulo a direção e o sentido da aceleração da bola nesse instante b Qual é a tensão na corda nesse instante Problemas 561 Duas cordas estão conecta das a um cabo de aço que segura um peso suspenso como indica do na Figura 559 a Desenhe um diagrama do corpo livre mos trando as forças que atuam sobre o nó que liga as duas cordas ao cabo de aço Com base no diagra ma de força qual das duas cordas terá a maior tensão b Se a tensão máxima que cada corda pode sustentar sem se romper é de 5000 N determine o valor máximo do peso pendente que essas cordas podem suportar com seguran ça Ignore o peso das cordas e do cabo de aço 562 Na Figura 560 um trabalhador levanta um peso p puxando uma corda para baixo com uma força A polia superior está presa ao teto por meio de uma corrente e a polia inferior está presa ao peso por meio de outra corrente Ache em termos de p a ten F S Figura 557 Exercício 552 300 50 m 30 m 172 FÍSICA I 400 750 m Figura 558 Exercício 553 40 60 Figura 559 Problema 561 cap05gqxd 180308 910 Page 172 Quando uma espingarda é disparada a expansão de gases que ocorre no cano da arma empurra o projétil para fora De acordo com a terceira lei de Newton o projétil exerce tanta força sobre os gases quanto estes sobre o projétil Seria correto afirmar que o projétil realiza um tra balho sobre os gases OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá O que significa uma força realizar um trabalho sobre um corpo e como calcular a quantidade de trabalho realizado A definição de energia cinética energia do movimento de um corpo e o que isso significa na física Como o trabalho total realizado sobre um corpo acarreta em variação na energia cinética e como usar esse princípio para solucionar problemas de mecânica Como usar a relação entre o trabalho total e a variação na energia cinética quando as forças não são constantes o corpo segue uma trajetória curva ou ambos Como solucionar problemas envolvendo potência a taxa de realização de um trabalho TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA S uponha que você queira calcular a velocidade de uma flecha lançada de um arco Você aplica a segun da lei de Newton e as demais técnicas já aprendi das para a solução de problemas porém defrontase com uma dificuldade inesperada quando o arqueiro libera a fle cha o arco exerce uma força variável que depende da posição da flecha Em vista disso os métodos simples que você aprendeu não são suficientes para calcular a veloci dade Não se preocupe ainda não terminamos de estudar a mecânica e existem outros métodos para abordar esse tipo de problema O novo método que será aqui apresentado usa os conceitos de trabalho e energia A importância do concei to de energia reside no princípio da conservação da ener gia a energia é uma grandeza que pode ser convertida de uma forma para outra mas que não pode ser criada nem destruída No motor de um automóvel a energia química armazenada no combustível é convertida parcialmente em energia térmica e parcialmente na energia mecânica que acelera o automóvel Em um forno de microondas a ener gia eletromagnética obtida da companhia que fornece energia elétrica é convertida na energia térmica que cozi nha o alimento Nesses e em outros processos a energia total permanece constante ou seja a soma de todas as for mas de energia envolvidas permanece a mesma Nenhuma exceção à essa conclusão foi jamais encontrada Usaremos o conceito de energia no restante deste livro para estudar uma imensa variedade de fenômenos físicos Esse conceito o ajudará a compreender por que um agasalho conserva você quente como o disparador de flash de uma máquina fotográfica pode produzir um feixe instantâneo de luz e qual o significado da famosa equação de Einstein E mc2 Contudo neste capítulo concentraremos nossa aten ção na mecânica Aprenderemos a calcular uma forma importante de energia chamada energia cinética ou ener gia do movimento e como ela se relaciona com o conceito de trabalho Consideraremos também a potência definida como a taxa de variação com o tempo da realização de um trabalho No Capítulo 7 expandiremos os conceitos de tra balho e de energia cinética aprofundando os conceitos de energia e conservação da energia 61 Trabalho Você provavelmente concorda que é um trabalho árduo puxar um sofá pesado ao longo da sala levantar uma pilha de enciclopédias do chão até uma estante elevada ou 6 181 cap06fqxd 180308 1453 Page 181 6103 A Figura 640 mostra a taxa de consumo de oxigênio de um homem caminhando e correndo com diferentes velocidades O eixo vertical indica o volume de oxigênio em cm3 que um homem consome por minuto e por quilograma da massa de seu corpo Note a transição entre caminhar e correr que ocorre natu ralmente em torno de 9 kmh O metabolismo correspondente a 1 cm3 liberta cerca de 20 J de energia Usando os dados do gráfi co calcule a energia necessária para um homem de 70 kg se des locar 1 km a pé para cada uma das seguintes velocidades a 5 kmh caminhando b 10 kmh correndo c 15 kmh corren do d Qual dessas velocidades é mais eficiente ou seja qual consome a menor energia para percorrer 1 km 6104 Prova geral do teorema do trabalhoenergia Considere uma partícula que se move ao longo de uma trajetória curva no espaço de um ponto x1 y1 z1 a um ponto x2 y2 z2 No ponto inicial a partícula possui velocidade A trajetória da partícula pode ser dividida em segmentos infinitesi mais À medida que a partícula se move atua sobre ela uma força resultante Os componentes da força Fx Fy e Fz no caso geral dependem da posição Realizando as mesmas etapas usadas na dedução das equações 611 612 e 613 faça a prova geral do teorema do trabalhoenergia Ou seja prove que onde Wtot 5 3 1x2 y2 z22 1x1 y1 z12 F S dl S 5 3 1x2 y2 z22 1x1 y1 z12 1Fx dx 1 Fy dy 1 Fz dz2 Wtot 5 K2 2 K1 F S 5 Fxi 1 Fye 1 Fzk dl S 5 dxd 1 dye 1 dzk v S 5 v1xd 1 v1ye 1 v1zk Figura 640 Problema Desafiador 6103 O 10 20 20 40 60 Consumo de oxigênio cm3 kg min Velocidade kmh Andando Correndo 212 FÍSICA I cap06fqxd 180308 1453 Page 212 Quando este nadador mergulha na água a força da gra vidade realiza trabalho positivo ou negativo sobre ele E a água realiza trabalho positivo ou negativo sobre ele OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá Como usar o conceito de energia potencial gravitacional em problemas que envolvem o movimento vertical Como usar o conceito de energia potencial elástica em problemas que envolvem um corpo em movimento ligado a uma mola alongada ou comprimida A distinção entre forças conservativas e não conservativas e como solucionar problemas em que ambos os tipos de força atuam sobre um corpo em movimento Como calcular as propriedades de uma força conservativa quando você conhece a função energia potencial corres pondente Como usar diagramas de energia para entender o movimento de um objeto com deslocamento retilíneo sob influência de uma força conservativa ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Quando um mergulhador pula de um trampolim para uma piscina ele atinge a água com velocidade relativa mente elevada possuindo grande energia cinética De onde provém essa energia A resposta que aprendemos no Capítulo 6 é que a força gravitacional seu peso exerce um trabalho sobre o mergulhador durante sua queda A energia cinética do mergulhador a energia associada com seu movimento aumenta em quantidade igual ao trabalho realizado sobre ele Contudo existe um modo alternativo muito útil para estudar conceitos envolvendo trabalho e energia cinética Esse novo método se pauta no conceito de energia poten cial que é a energia associada com a posição da partícula e não com seu movimento Segundo essa abordagem exis te energia potencial gravitacional mesmo no caso de o mergulhador ficar parado sobre o trampolim Nenhuma energia é adicionada ao sistema mergulhadorTerra durante sua queda porém uma energia armazenada é transformada de uma forma energia potencial para outra forma energia cinética durante sua queda Neste capítulo estudaremos como essa transformação pode ser entendida a partir do teorema do trabalhoenergia Quando o mergulhador oscila no trampolim antes de pular a tábua encurvada acumula um segundo tipo de energia potencial denominada energia potencial elástica Discutiremos a energia potencial elástica de sistemas sim ples como o de molas comprimidas ou alongadas Um terceiro tipo importante de energia potencial está associado com a posição relativa entre cargas elétricas Esse tipo de energia potencial será estudado no Capítulo 23 Demonstraremos que em alguns casos a soma da energia potencial com a energia cinética que fornece a energia mecânica total de um sistema permanece cons tante durante o movimento do sistema Isso nos conduzirá a uma formulação geral da lei da conservação da energia um dos princípios mais fundamentais e abrangentes de todas as ciências 71 Energia potencial gravitacional Uma partícula ganha ou perde energia cinética por que ela interage com outros objetos que exercem forças sobre ela Aprendemos no Capítulo 6 que durante qualquer interação a variação da energia cinética da partícula é igual ao trabalho total realizado pelas forças que atuam sobre a partícula Em muitas situações tudo se passa como se a energia fosse armazenada em um sistema para ser recuperada pos teriormente Por exemplo você precisa realizar um trabalho para erguer uma pesada pedra acima da sua cabeça Parece 7 213 cap07gqxd 180308 924 Page 213 é o trabalho total realizado pelo atrito para o movimento desde a liberação inicial até a parada do pedaço de madeira 748 Subindo e descendo a colina Uma rocha de 280 kg se aproxima da base de uma colina com velocidade escalar de 15 ms Essa colina tem incli nação de baixo para cima a um ângulo constante de 400º acima da horizontal O coeficiente de atrito estático e o coefi ciente de atrito cinético entre a colina e a rocha são 075 e 020 respectivamente a Use a conservação de energia para determinar a altura máxima acima da base da colina atingida pela rocha b A rocha permanecerá em repouso no seu ponto mais alto ou ela vai deslizar de volta para base c Se a rocha deslizar de volta ache sua velocidade quanto ela atingir a base da colina 749 Uma pedra de 150 kg desliza de cima para baixo ao longo de uma colina coberta pela neve Figura 734 deixando o ponto A com velocidade de 100 ms Não há atrito na colina entre os pontos A e B mas há atrito no nível do solo à base da colina entre B e a parede Após penetrar na região horizontal áspera a pedra se desloca 100 m e então colide com uma mola leve porém comprida com força constante de 20 Nm Os coefi cientes de atrito cinético e está tico entre a pedra e o plano hori zontal são 020 e 080 respecti vamente a Qual é a velocida de da pedra quando ela atinge o ponto B b A que distância a pedra comprimirá a mola c A pedra se moverá novamente após ter sido parada pela mola 750 Um bloco de 28 kg desliza sobre a colina coberta de gelo e livre de atrito mostrada na Figura 735 O topo da colina é horizontal e erguese a 70 m da sua base Qual é a veloci dade escalar mínima que o bloco deve ter na base da coli na para não cair no vale do outro lado da colina 751 Bungee Jump Uma corda de bungee jump tem 300 m de comprimento e quando esticada a uma distância x exerce uma força restauradora de módulo kx Seu sogro massa de 95 kg está parado sobre uma plataforma a 450 cm do solo e uma ponta da corda é amarrada firmemente ao seu tornozelo enquanto a outra ponta é presa à plataforma Você prometeu a ele que ao saltar da plataforma ele cairá uma distância máxima de 410 m antes que a corda o pare Você tinha várias cordas para escolher e fez um teste com cada uma esticandoas prendendo uma ponta a uma árvore e puxando a outra ponta com uma força de 3800 N Ao fazer isso a que distância terá esticado a corda do bungee jump que você deve escolher 752 Rampa de salto com esqui Você está projetando uma rampa de salto em esqui para as próximas Olimpíadas de Inverno Você necessita calcular a altura vertical h do portão de partida até o final da rampa Os esquiadores empurram com força os seus esquis no início bem acima do portão de partida de modo a desenvolver uma velocidade típica de 20 ms ao chegar ao portão Por segurança os esquiadores devem ter uma veloci dade que não ultrapasse 300 ms quando chegam ao final da rampa Você determina que para um esquiador de 850 kg em boa forma o atrito e a resistência do ar realizarão um trabalho total com módulo de 4000 J sobre ele durante a descida da encos ta Qual é a altura máxima h para a qual a velocidade máxima segura não será ultrapassada 753 O Grande Sandine é um acrobata de circo com massa de 600 kg que é lançado por um canhão na realidade um canhão com molas Você não encontra muitos homens com essa bravu ra e por isso você o auxilia a projetar um novo canhão Esse novo canhão deve possuir mola muito grande com massa peque na e uma constante da mola igual a 1100 Nm que ele deve com primir com uma força de 4400 N A parte interna do cano do canhão é revestida com Teflon de modo que a força de atrito média é apenas igual a 40 N durante o trajeto de 40 m em que ele se move no interior do cano Com que velocidade ele emerge da extremidade do cano situada a 25 m acima de sua posição de equilíbrio inicial 754 Você está projetando uma rampa de descarga para engradados contendo equipamentos de ginástica Os engradados de 1470 N movemse a 18 ms no topo de uma rampa com inclinação de 220 para baixo A rampa exerce sobre cada engradado uma força de atrito cinético igual a 550 N e a força máxima de atrito estáti co também possui este valor Cada engradado comprimirá uma mola na extremidade inferior da rampa e atingirá o repouso depois de percorrer uma distância de 80 m ao longo da rampa Depois de parar o engradado não deve voltar a deslizar para trás Calcule qual deve ser a constante da mola que preencha esses requisitos para sua compressão 755 O sistema de duas latas de tinta ligadas por uma corda leve é libertado do equilíbrio quando a lata de 120 kg está a 20 m acima do solo Figura 736 Use o princípio da conservação da energia para achar a velocidade dessa lata quando ela atinge o solo Despreze o atrito e a inércia da polia 756 Um foguete de 1500 kg deve ser lançado com velocidade inicial de baixo para cima de 500 ms Para não sobrecarregar os motores os engenheiros vão lançálo do repouso sobre uma rampa que se ergue a 53º acima do plano horizontal Figura 737 Da base a rampa aponta de baixo para cima e lança o foguete verticalmente Os motores fornecem uma propulsão para frente constante de 2000 N e o atrito com a superfície da rampa é uma constante de 500 N A que distância da base da rampa o Figura 736 Problema 755 120 kg 40 kg 20 m 242 FÍSICA I Fundo áspero Madeira Figura 733 Problema 747 Áspero 15 m 20 m B A Figura 734 Problema 749 120 m 70 m 40 m 50 m Figura 735 Problema 750 cap07gqxd 180308 925 Page 242 Em um jogo de futebol americano o que pode causar um dano maior a falta cometida por um jogador leve e rápido sobre outro ou a falta de um jogador com o dobro da massa mas que se move à metade da velocidade OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá O significado do momento linear de uma partícula e como o impulso da força resultante que atua sobre uma partícula causa variação no momento linear As condições que determinam que o momento total de um sistema de partículas seja constante conservado Como solucionar problemas em que dois corpos se chocam A importante distinção entre colisão elástica inelástica e com pletamente inelástica A definição do centro de massa de um sistema e o que determina como o centro de massa se move Como analisar situações como a da propulsão de um fogue te na qual a massa de um corpo varia enquanto se desloca MOMENTO LINEAR IMPULSO E COLISÕES H á muitas questões envolvendo forças que não podem ser solucionadas com a aplicação direta da segunda lei de Newton Por exemplo quando um caminhão de dezoito rodas colide frontalmente com um carro o que determina o sentido do movimento dos destroços resultantes da colisão Num jogo de sinuca o que determina o manejo do taco para que você possa acertar a bola da vez de modo que ela empurre a bola sete para dentro da caçapa E quando um meteorito colide com a superfície terrestre quanta energia cinética do meteorito é liberada no impacto Uma observação comum nas respostas a essas per guntas é que elas envolvem forças sobre as quais pouco se sabe as forças que atuam entre o carro e o caminhão entre as duas bolas de sinuca ou entre o meteorito e a Terra Como mostraremos neste capítulo é um fato notável que você não precise conhecer nada sobre essas forças para responder a essas perguntas Em nossa abordagem usaremos dois conceitos novos o momento linear e o impulso e uma nova lei da conservação a lei da conservação do momento linear Essa lei da conser vação é tão importante quanto a lei da conservação da ener gia A lei da conservação do momento linear é útil em situa ções nas quais as leis de Newton são inadequadas como no caso de corpos que se deslocam com velocidades muito ele vadas próximas da velocidade da luz ou então para corpos microscópicos como as partículas que constituem o átomo No domínio da mecânica newtoniana a lei da conservação do momento linear nos permite analisar muitas situações que se tornariam extremamente difíceis se tentássemos usar as leis de Newton diretamente Entre essas situações estão os problemas que envolvem colisões nos quais durante uma dada colisão os corpos podem produzir uma força de intera ção mútua durante um intervalo curto de tempo 81 Momento linear e impulso No Capítulo 6 reformulamos a segunda lei de Newton em termos do teorema do trabalho energia Esse teorema nos auxiliou no tratamento de um grande número de problemas de física e nos conduziu ao princípio da conservação da energia Vamos retornar à expressão e mostrar ainda outro modo útil de reformular essa lei fundamental A segunda lei de Newton em relação ao momento linear Considere uma partícula com massa constante m Mais adiante neste capítulo mostraremos como analisar situações em que a massa da partícula varia Como pode mos escrever a segunda lei de Newton na forma a S 5 d v Sdt gF S 5 ma S gF S 5 ma S gF S 5 ma S 8 247 cap08dqxd 180308 934 Page 247 que a direção e o sentido da velocidade imediatamente após a colisão são os mesmos do momento linear e seu módulo é dado por AVALIAR essa colisão é inelástica logo é provável que a ener gia cinética total depois da colisão seja menor do que a energia cinética antes da colisão Convidamos você a fazer os cálculos você verificará que a energia cinética antes da colisão é igual a e que a energia cinética final é igual a Cerca de metade da energia cinética inicial é convertida em outras formas de energia Ainda precisamos justificar a afirmação de que podemos des prezar as forças externas sobre os veículos durante a colisão Para isso note que a massa do caminhão é igual a 2000 kg seu peso é aproximadamente igual a 20000 N e supondo um coefi ciente de atrito igual a 05 a força de atrito quando ele desliza no pavimento é cerca de 10000 N Sua energia cinética imediata mente antes da colisão é O carro engavetado percorre cerca de 02 m Para realizar um tra balho de e fazer o carro parar nessa distância seria necessário uma força de que é 50 vezes maior do que a força de atrito Portanto em comparação com as forças internas que os veículos exercem mutuamente é razoável des prezar as forças de atrito externas Classificação de colisões É importante lembrar que podemos classificar as colisões em função da energia Figura 820 Uma colisão na qual a energia cinética é conservada denominase elás tica Exploraremos esse conceito em profundidade na próxima seção Uma colisão na qual a energia cinética total diminui denominase inelástica Quando os dois cor pos possuem uma velocidade final comum dizse que a colisão é totalmente inelástica Também há casos em que a energia cinética final é maior do que o valor inicial Por exemplo o recuo de um rifle discutido no Exemplo 84 Seção 82 Por fim enfatizamos novamente que em alguns casos podemos usar a conservação do momento linear quando há forças externas atuando sobre o sistema se a força resultante externa que atua sobre os corpos em colisão for pequena em comparação com as forças internas durante a colisão como no Exemplo 89 Teste sua compreensão da Seção 83 Para cada uma das seguintes situações determine se a colisão é elástica ou inelásti ca Caso seja inelástica determine se é completamente inelásti ca a Você larga uma bola Ela colide com o piso e quica de volta ao alcance de sua mão b Você larga outra bola que coli de com o solo e quica de volta até a metade da altura de onde foi largada c Você larga uma bola de argila que pára ao colidir com o solo 84 Colisões elásticas Conforme foi discutido na Seção 83 uma colisão elástica em um sistema isolado é aquela na qual existe conservação da energia cinética e do momento linear Uma colisão elástica ocorre quando as forças que atuam entre os corpos que colidem são conservativas Quando duas bolas de bilhar colidem elas se deformam um pouco nas adjacências da superfície de contato mas recuperam a forma inicial Uma parte da energia cinética é momenta neamente armazenada sob forma de energia potencial elástica mas logo a seguir a energia elástica é reconverti da em energia cinética Figura 821 Figura 821 As bolas de bilhar se deformam muito pouco ao colidirem umas com as outras e rapidamente retornam à forma original Portanto a força de interação entre duas bolas de bilhar é quase perfeitamente con servativa e a colisão é elástica Figura 820 As colisões são classificadas em função da energia B A B A B A A B A B A B vA1 Elástica a energia cinética é conservada Inelástica parte da energia cinética é perdida Completamente inelástica os corpos possuem a mesma velocidade final S vA1 S vB1 S vA1 S vB1 S vB2 S vA2 S vB2 S vA2 S v2 S vB1 S B A B A B A 50 3 105 N 210 3 105 J 10 3 105 J 1 2 12000 kg2 110 ms2 2 5 10 3 105 J 21 3 105 J V 5 P M 5 25 3 104 kg ms 3000 kg 5 83 ms V S 262 FÍSICA I cap08dqxd 180308 934 Page 262 As equações 831 e 832 fornecem a velocidade do centro de massa em termos das velocidades das partículas individuais Prosseguindo mais um pouco tomamos a derivada em relação ao tempo dessas equações para mos trar que as acelerações são relacionadas do mesmo modo Seja a aceleração do centro de massa então podemos escrever 833 Mas é igual à soma vetorial das forças que atuam sobre a primeira partícula e assim por diante por tanto o membro direito da Equação 833 é igual à soma vetorial de todas as forças que atuam sobre todas as partículas De modo semelhante ao método usado na Seção 82 podemos classificar cada força como externa ou interna Então a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre todas as partículas é dada por Em virtude da terceira lei de Newton todas as forças inter nas se cancelam aos pares As forças que não se cancelam são apenas as forças externas portanto obtemos 834 corpo ou conjunto de partículas Quando forças externas atuam sobre um corpo ou sobre um conjunto de partículas o centro de massa se move exa tamente como se toda a massa estivesse concentrada nesse ponto e estivesse submetida a uma força igual à resultante de todas as forças que atuam sobre o sistema Esse resultado pode parecer secundário porém de fato desempenha um papel central na mecânica como um todo Na verdade você já usou esse resultado em diversas ocasiões sem ele ao aplicar as leis de Newton você não poderia representar como se fosse puntiforme um corpo com distribuição contínua de massas Ele explica por que somente forças externas podem alterar o movimento de um corpo Se você puxar o seu cinto para cima ele reage com uma força igual e contrária para baixo sobre suas mãos essas são forças internas que se cancelam e não pro duzem nenhum efeito sobre o movimento do seu corpo Suponha que um projétil disparado por um canhão esteja descrevendo uma trajetória parabólica desprezando a resistência do ar quando explode no ar separandose em dois fragmentos de massas iguais Figura 831a Os frag mentos seguem novas trajetórias parabólicas porém o centro de massa continua a descrever sua trajetória para bólica original exatamente como se toda a massa ainda estivesse concentrada no centro de massa As explosões de fogos de artifício constituem um exemplo espetacular desse efeito Figura 831b Essa propriedade do centro de massa é importante quando analisamos o movimento de um corpo rígido Descrevemos o movimento de um corpo rígido como uma combinação do movimento de translação do centro de massa e um movimento de rotação em torno de um eixo passando pelo centro de massa Voltaremos a discutir esse tópico no Capítulo 10 Essa propriedade também desem penha um papel importante no movimento dos corpos celestes Não é correto dizer que a Lua possui uma órbita em torno da Terra em vez disso a Lua e a Terra descre vem uma órbita em torno dos seus centros de massa Existe ainda mais um modo útil para descrevermos o movimento de um sistema de partículas Usando a relação podemos reescrever a Equação 833 do seguinte modo 835 Passamos a massa para dentro do sinal de derivada porque a massa total do sistema permanece constante Substituindo a Equação 835 na Equação 834 achamos 836 corpo estendido ou sistema de partículas gF S ext 5 d P S dt M a S cm 5 M d v S cm dt 5 d1M v S cm2 dt 5 dP S dt a S cm 5 d v S cmdt gF S ext 5 M a S cm gF S int 5 0 gF S 5 gF S ext 1 gF S int 5 M a S cm gF S m1 a S 1 M a S cm 5 m1 a S 1 1 m2 a S 2 1 m3 a S 3 1 N a S cm 5 d v S cmdt Capítulo 8 Momento linear impulso e colisões 269 O projétil explode Após a explosão do projétil os dois fragmentos seguem trajetórias individuais mas o centro de massa continua a seguir a trajetória original do projétil a b cm cm cm Figura 831 a Um projétil explode no ar se separando em duas partes iguais Desprezandose a resistência do ar os fragmentos seguem novas trajetórias parabólicas porém o centro de massa descreve a mesma trajetória parabólica que descrevia antes da explosão b O mesmo efeito ocorre nas explosões de fogos de artifício cap08dqxd 180308 935 Page 269 Lei da conservação do momento linear força interna é aquela exercida por uma parte de um sistema sobre outra parte do mesmo sistema Força externa é aquela exercida por algo fora de um sistema sobre uma parte do sistema Caso a força resultante externa que atua sobre um sistema seja igual a zero o momento linear total do sistema a soma vetorial dos momentos lineares de cada partícula que compõe o sistema é constante ou conser vado Cada componente do momento linear total do sistema é conservado separadamente exemplos 84 a 86 814 Se então Colisões em colisões de qualquer tipo os momentos lineares inicial e final são iguais Em uma colisão elástica entre dois cor pos a energia cinética total final também é igual à energia ciné tica total inicial e a velocidade relativa inicial possui módulo igual ao da velocidade relativa final Em uma colisão inelástica entre dois corpos a energia cinética total final é menor do que a energia cinética total inicial Quando os dois corpos possuem a mesma velocidade final a colisão é completamente inelástica exemplos 87 a 812 Centro de massa o vetor posição do centro de massa de um sis tema de partículas é uma média ponderada das posições de cada partícula O momento linear total de um siste ma é igual à massa total do sistema M multiplicada pela veloci dade do centro de massa do sistema O centro de massa de um sistema se move como se a massa total do sistema M estives se concentrada nesse ponto Quando a força externa resultante sobre um sistema é igual a zero a velocidade do centro de massa é constante Quando a força externa resultante é diferente de zero o centro de massa acelera como se fosse uma partícula de massa M sob ação da mesma força resultante externa exemplos 813 e 814 829 832 834 Propulsão de foguete na propulsão de um foguete a massa do foguete varia à medida que a massa do combustível é queimada e expelida A análise do movimento do foguete deve levar em conta o momento linear do próprio foguete bem como o momento linear do combustível queimado e expelido exemplos 815 e 816 Principais termos centro de massa 266 colisão completamente inelástica 258 colisão elástica 258 colisão inelástica 258 força externa 253 força interna 253 impulso 249 lei da conservação do momento linear 254 momento linear total 253 momento linear 248 sistema isolado 253 teorema do impulsomomento linear 249 Resposta à Pergunta Inicial do Capítulo Os dois jogadores possuem o mesmo módulo de momento linear p mv o produto da massa e da velocidade escalar mas o jogador mais rápido e leve possui o dobro da energia cinética K mv2 Portanto o jogador mais leve pode realizar o dobro de trabalho sobre o outro e causar o dobro de dano no proces so de parar uma bola veja Seção 81 Respostas às Perguntas dos Testes de Com preensão 81 Resposta v i e ii empatados em segundo lugar iii e iv empatados em terceiro lugar Usamos duas inter pretações do impulso da força resultante 1 a força resultante 1 2 sentido 1 x v 1 dv m 1 dm 2dm vcomb 5 v 2 vex O projétil explode cm cm cm gF S ext 5 Ma S cm 5 M v S cm P S 5 m1 v S 1 1 m2 v S 2 1 m3 v S 3 1 N 5 g imi r S i g imi r S cm 5 m1 r S 1 1 m2 r S 2 1 m3 r S 3 1 N m1 1 m2 1 m3 1 c v S cm v S cm P S r S 2 c r S 1 r S cm B A B A A B vA1 S vB1 S vB2 S vA2 S A B y x FB sobre A y x FA sobre B S S P 5 pA 1 pB constante S S S P S 5 constante gF S 5 0 5 mA v S A 1 mB v S B 1 N P S 5 p S A 1 p S B 1 N P S Jx 5 Fmx t2 2 t1 Fx Fmx O t t1 t2 Capítulo 8 Momento linear impulso e colisões 273 cap08dqxd 180308 935 Page 273 Todos os segmentos das pás giratórias de um helicóptero possuem a mesma velocidade angular e aceleração angular Em relação a um dado segmento da pá quantas vezes maior é a velocidade escalar linear de um segundo segmento que esteja duas vezes mais afastado do eixo de rotação Quantas vezes maior é a aceleração linear OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá Como descrever a rotação de um corpo rígido em termos da coordenada angular da velocidade angular e da aceleração angular Como analisar a rotação do corpo rígido quando a aceleração angular é constante Como relacionar a rotação de um corpo rígido à velocidade linear e à aceleração linear de um dado ponto no corpo O significado do momento de inércia de um corpo em torno de um eixo de rotação e como ele se relaciona com a energia cinética na rotação Como calcular o momento de inércia de vários corpos ROTAÇÃO DE CORPOS RÍGIDOS O que existe em comum entre os movimentos de um CD de uma roda gigante de uma serra circular e de um ventilador de teto Nenhum desses movi mentos pode ser representado adequadamente como o movimento de um ponto cada um deles envolve um corpo que gira em torno de um eixo que permanece estacionário em algum sistema de referência inercial A rotação ocorre em todas as escalas desde o movi mento de elétrons em átomos até movimentos de galáxias inteiras Precisamos desenvolver métodos genéricos para analisar o movimento de corpos que giram Neste capítulo e no próximo vamos considerar corpos com tamanho e forma definidos que no caso geral podem possuir um movimento de rotação combinado com um movimento de translação Os corpos do mundo real podem ser ainda mais com plicados as forças que atuam sobre eles podem deformálos esticandoos torcendoos e comprimindoos Por enquanto desprezamos essas deformações e supomos que o corpo possua uma forma definida e imutável Esse modelo de corpo ideal denominase corpo rígido Neste capítulo e no próximo vamos considerar a rotação de um corpo rígido Começaremos com uma linguagem cinemática para descrever o movimento de rotação A seguir examinaremos a energia cinética na rotação que é a chave para usarmos os métodos de energia no estudo do movimento de rota ção Posteriormente no Capítulo 10 desenvolveremos os princípios da dinâmica que relacionam as forças que atuam sobre um corpo com o seu movimento de rotação 91 Velocidade angular e aceleração angular Ao analisarmos o movimento de rotação vamos ini cialmente examinar a rotação do corpo rígido em torno de um eixo fixo Por eixo fixo designamos um eixo que per manece em repouso em relação a algum referencial iner cial e que não muda de direção em relação a esse eixo O corpo rígido que gira pode ser o eixo de um motor uma peça de churrasco girando no espeto ou um carrossel AFigura 91 mostra um corpo rígido neste caso o pon teiro de um velocímetro girando em torno de um eixo fixo O eixo passa através do ponto O perpendicularmente ao plano do diagrama o qual resolvemos chamar de plano xy Uma forma de descrever a rotação desse corpo é escolher um ponto específico P sobre o corpo e acompanhar os valo res de x e de y desse ponto Esse método não é muito con veniente porque requer dois números as duas coordenadas 9 286 cap09eqxd 180308 936 Page 286 Se este páraquedista não está tocando o solo como ele pode alterar sua velocidade escalar de rotação Qual prin cípio físico está em ação aqui OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá O que significa o torque produzido por uma força Como o torque resultante sobre um corpo afeta o movimento de rotação do corpo Como analisar o movimento de um corpo que gira e tam bém se move como um todo pelo espaço Como solucionar problemas que envolvem trabalho e potên cia para corpos em rotação A que se refere o momento angular de uma partícula ou de um corpo rígido Como o momento angular de um sistema varia com o tempo Por que um giroscópio em rotação passa pelo curioso movi mento chamado de precessão DINÂMICA DO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO N os capítulos 4 e 5 aprendemos que uma força resultante aplicada sobre um corpo fornece a esse corpo uma aceleração Mas o que produz acelera ção angular em um corpo Ou seja o que é necessário para fazer um corpo fixo começar a girar ou fazer um corpo em rotação parar É necessária uma força porém ela deve ser aplicada de modo a provocar uma ação gira tória ou de torção Neste capítulo vamos definir uma nova grandeza físi ca o torque que descreve a ação giratória ou o efeito de torção de uma força Verificaremos que o torque resultan te que atua sobre um corpo rígido determina sua acelera ção angular do mesmo modo que a força resultante sobre um corpo determina sua aceleração linear Examinaremos também o conceito de trabalho e de potência no movimen to de rotação para compreendermos problemas como a transmissão de energia de um eixo rotor da direção de um carro Finalmente desenvolveremos um novo princípio de conservação a lei da conservação do momento angular que é extremamente útil para entender o movimento de rotação de corpos rígidos e de corpos não rígidos Finalizaremos este capítulo estudando o giroscópio um dispositivo rotatório que parece não obedecer ao senso comum e que não deixa o objeto cair quando você pensa que ele deveria cair mas que na verdade se comporta de acordo com a dinâmica do movimento de rotação 101 Torque Sabemos que as forças que atuam sobre um corpo podem afetar seu movimento de translação ou seja o movimento do corpo como um todo pelo espaço Agora queremos aprender quais aspectos de uma força determina a sua eficácia em causar ou alterar o movimento de rota ção O módulo a direção e o sentido da força são impor tantes mas o ponto de aplicação da força também é rele vante Na Figura 101 uma chave de boca é usada para afrouxar uma porca presa firmemente A força aplica da próxima da extremidade do punho da chave é mais efi ciente do que a força aplicada nas proximidades da porca A força não ajuda em nada ela é aplicada no mesmo ponto da força e possui o mesmo módulo porém sua direção coincide com a direção do punho da chave O torque fornece a medida quantitativa de como a ação de uma força pode provocar ou alterar o movimento de rotação de um corpo dizemos que aplica um torque em torno do ponto O para a chave na Figura 101 apli ca um torque maior em torno de O e aplica torque nulo em torno de O F S c F S b F S a F S b F S c F S a F S b 10 316 cap10cqxd 180308 1434 Page 316 1014 Um balde com água de 150 kg é suspenso por uma corda enrolada em torno de um sarilho constituído por um cilindro sólido com diâmetro de 0300 m e massa igual a 120 kg O cilin dro é pivotado sobre um eixo sem atrito passando em seu centro O balde é libertado a partir do repouso no topo de um poço e cai 100 m até atingir a água Despreze o peso da corda a Qual é a tensão na corda enquanto o balde está caindo b Com que velo cidade o balde atinge a água c Qual é o tempo de queda d Enquanto o balde está caindo qual é a força exercida pelo eixo sobre o cilindro 1015 Um livro de 20 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito Uma corda amarrada ao livro passa sobre uma polia com diâmetro igual a 0150 m e sua outra extremida de está presa a outro livro suspenso com massa de 30 kg O sis tema é solto a partir do repouso e os livros se deslocam 120 m em 0800 s a Qual é a tensão em cada parte da corda b Qual é o momento de inércia da polia em torno do seu eixo de rotação 1016 Uma caixa de 120 kg em repouso sobre uma superfície horizontal e livre de atrito está atada a um peso de 50 kg por uma cabo delgado e leve que passa sobre uma polia com atrito despre zível Figura 1044 A polia possui a forma de um disco maciço e uniforme com massa de 20 kg e diâmetro de 0500 m Após o sistema ser libertado ache a a tensão no cabo sobre ambos os lados da polia b a aceleração da caixa e c os componentes hori zontal e vertical da força que o eixo exerce sobre a polia 1017 Um poste delgado e uniforme de 150 kg e 175 m de com primento é mantido na posição vertical por um cabo e está preso a uma massa de 50 kg e um pivô na sua extremidade inferior Figura 1045 O fio preso à massa de 50 kg passa sobre uma polia de massa e atrito desprezíveis e que puxa perpendicular mente ao poste De repente o cabo se rompe a Ache a acelera ção angular do poste em torno do pivô assim que o cabo se rompe b A aceleração angular no item a permanece constante enquanto o poste cai antes que atinja a polia Por quê c Qual é a aceleração da massa de 50 kg no instante em que o cabo se rompe Essa aceleração permanece constante Por quê 1018 Uma barra horizontal fina de comprimento l e massa M é articulada em torno de um eixo vertical passando em sua extre midade Uma força com módulo constante F é aplicada à outra extremidade fazendo a barra girar em um plano horizontal A força é mantida perpendicularmente à barra e ao eixo da rotação Calcule o módulo da aceleração angular da barra Seção 103 Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvel 1019 Um aro de 220 kg e 120 m de diâmetro está rolando da esquerda para a direita sem deslizar sobre um piso horizontal a constantes 30 rads a Com que velocidade o seu centro está se movendo b Qual é a energia cinética total do aro c Ache o vetor velocidade de cada um dos seguintes pontos do ponto de vista de uma pessoa em repouso sobre o chão i o ponto mais alto do aro ii o ponto mais baixo do aro ii um ponto do lado direito do aro a meio caminho entre o topo e a base d Ache o vetor velocidade para cada um dos pontos no item c só que do ponto de vista de alguém que se move com a mesma velocidade do aro 1020 Um fio é enrolado diver sas vezes em torno da periferia de um pequeno aro de raio 80 cm e massa 0180 kg A extremidade livre do fio é mantida fixa e o aro é libertado a partir do repouso Figura 1046 Após o aro cair por 750 cm calcule a a velocida de escalar angular do aro em rotação e b a velocidade esca lar no seu centro 1021 Qual fração da energia cinética total é rotacional para os seguintes objetos que rolam sem deslizar sobre uma superfície horizontal a Um cilindro maciço e uniforme b uma esfera uni forme c uma esfera oca de paredes finas d um cilindro oco com raio externo R e raio interno R2 1022 Uma casca esférica de massa igual a 20 kg rola sem desli zar ao longo de um plano inclinado de 380º a Ache a acelera ção a força de atrito e o coeficiente de atrito mínimo necessário para impedir o deslizamento b Como suas respostas do item a seriam alteradas caso a massa fosse dobrada para 40 kg 1023 Uma bola maciça é liberada do repouso e desliza para baixo pela encosta de uma colina com inclinação de 650º com o plano horizontal a Qual valor mínimo deve o coeficiente de atrito está tico entre as superfícies da colina e da bola ter para que nenhum deslizamento ocorra b O coeficiente de atrito calculado no item Figura 1045 Exercício 1017 Cabo 0500 m 50 kg Pivô Figura 1044 Exercício 1016 50 kg 120 kg Figura 1043 Exercício 1013 e Problema 1053 m 5 500 kg F 5 160 N v Capítulo 10 Dinâmica do movimento de rotação 345 00800 m Figura 1046 Exercício 1020 e Problema 1072 cap10cqxd 180308 1435 Page 345 80 kg toda a sua massa pode ser considerada concentrada em sua periferia O eixo é horizontal e a roda gira em torno do eixo com 50 revs Ache o módulo a direção e o sentido da força que cada mão exerce sobre o eixo a quando o eixo está em repouso b quan do o eixo está girando em um plano horizontal em torno do seu cen tro com 0050 revs c quando o eixo está girando em um plano horizontal em torno do seu centro com 0300 revs d Com que taxa o eixo deve girar de modo que ele possa ser suportado apenas em uma das suas extremidades 10103 Um bloco de massa m está girando com velocidade linear v1 em um círculo de raio r1 sobre uma superfície horizontal sem atri to veja a Figura 1048 O fio é puxado por baixo até que o raio do círculo no qual o bloco se move é reduzido a um valor r2 a Calcule a tensão T no fio em função de r a distância entre o bloco e o ori fício Dê sua resposta em função da velocidade inicial v1 e do raio r1 b Use a relação para calcular o trabalho rea lizado pela tensão quando r varia desde r1 até r2 c Compare o resultado do item b com a variação da energia cinética do bloco T SW 5 t2 t1 T S 1r2 d r S 354 FÍSICA I cap10cqxd 180308 1435 Page 354 Este aqueduto romano usa o princípio do arco para sus tentar o peso da estrutura e a água que ela transporta Os blocos que compõem o arco estão sendo comprimidos alongados ou uma combinação de ambos OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá As condições que devem ser atendidas para um corpo ou uma estrutura estarem em equilíbrio O que significa o centro de gravidade de um corpo e como ela se relaciona com a estabilidade do corpo Como solucionar problemas que envolvem corpos rígidos em equilíbrio Como analisar situações em que um corpo é deformado por tensão compressão pressão ou cisalhamento O que ocorre quando um corpo é tão alongado que se deforma ou se rompe EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE D edicamos muito esforço para entender por que e como os corpos se aceleram em decorrência das forças que atuam sobre eles Porém muitas vezes estamos interessados em garantir que os corpos não se acelerem Toda construção desde um arranhacéu até o mais humilde barracão deve ser projetada de modo que se evitem desabamentos Preocupações semelhantes ocorrem com uma ponte pênsil uma escada apoiada sobre uma parede ou um guindaste que suspende um recipiente cheio de concreto Um corpo modelado como uma partícula está em equilíbrio quando é nula a soma vetorial de todas as for ças que atuam sobre ele Porém para as situações que acabamos de mencionar essa condição não é suficiente Quando as forças atuam em pontos diferentes sobre um corpo com massa distribuída uma condição adicional deve ser satisfeita para garantir que o corpo não possa girar a soma dos torques em relação a qualquer ponto deve ser igual a zero Essa condição se pauta nos princí pios da dinâmica das rotações desenvolvidos no Capítulo 10 Podemos calcular o torque em função do peso de um corpo usando o conceito de centro de gravidade que será introduzido neste capítulo Um corpo rígido não se encurva não se alonga nem se deforma quando forças são aplicadas sobre ele Entretanto um corpo rígido é uma idealização todos os materiais reais são elásticos e se deformam parcialmente As propriedades elásticas dos materiais são extremamente importantes Você espera que as asas de um avião possam se encurvar ligeiramente mas elas não devem quebrar A estrutura de aço de um edifício projetado para resistir a ter remotos deve ser capaz de sofrer flexões mas não pode ultrapassar certo limite Muitos dos dispositivos encontra dos em nosso cotidiano desde fitas elásticas até uma ponte pênsil dependem das propriedades elásticas dos materiais Neste capítulo vamos introduzir os conceitos de tensão deformação e módulo de elasticidade bem como um prin cípio simples conhecido como lei de Hooke que nos aju dam a prever as deformações que podem ocorrer quando se aplicam forças a corpos reais não perfeitamente rígidos 111 Condições de equilíbrio Vimos nas seções 42 e 51 que uma partícula está em equilíbrio ou seja a partícula não se acelera em um siste ma de referência inercial quando a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a partícula é igual a zero O enunciado equivalente para um corpo com massa distribuída é que o centro de massa do corpo pos sui aceleração nula quando a soma vetorial de todas as gF S 5 0 11 355 cap11dqxd 180308 1011 Page 355 forças que atuam sobre o corpo é igual a zero conforme discutido na Seção 85 Normalmente esse enunciado é conhecido como a primeira condição de equilíbrio Em termos de vetores e componentes 111 primeira condição de equilíbrio onde a soma inclui somente forças externas Uma segunda condição para que o corpo com massa distribuída esteja em equilíbrio é que ele não possa ter nenhuma tendência a girar Essa condição tem sua base na dinâmica do movimento de rotação do mesmo modo que a primeira condição baseiase na primeira lei de Newton Um corpo rígido que em um sistema de refe rência inercial não está girando em torno de um certo ponto possui momento angular zero em torno desse ponto Para que ele não gire em torno desse ponto a taxa de variação do momento angular deve ser também igual a zero Pela discussão da Seção 105 particularmente a Equação 1029 isso significa que deve ser nula a soma dos torques produzidos por todas as forças externas que atuam sobre o corpo Um corpo rígido em equilíbrio não pode ter nenhuma tendência a girar em torno de nenhum ponto de modo que a soma dos torques externos deve ser igual a zero em relação a qualquer ponto Esta é a segun da condição de equilíbrio 112 em torno de nenhum ponto segunda condição de equilíbrio Deve ser nula a soma dos torques de todas as forças exter nas que atuam sobre um corpo em relação a qualquer ponto Neste capítulo aplicaremos a primeira e a segunda condição de equilíbrio para situações em que o corpo rígi do está em repouso sem translação nem rotação Dizse que esse corpo está em equilíbrio estático Figura 111 Porém as mesmas condições também valem quando o corpo possui movimento de translação uniforme sem rotação tal como um avião que se desloca na mesma alti tude com velocidade constante em módulo direção e sen tido Esse corpo está em equilíbrio mas esse equilíbrio não é estático Teste sua compreensão da Seção 111 Qual destas situa ções satisfaz tanto à primeira quanto à segunda condição de equi líbrio i Uma gaivota planando a um ângulo constante abaixo do plano horizontal e com velocidade escalar constante ii o virabre quim de um automóvel que gira a uma velocidade escalar angular crescente no motor de um carro estacionado iii Uma bola de bei sebol que é lançada mas não gira enquanto cruza o ar 112 Centro de gravidade Em um grande número de problemas de equilíbrio uma das forças que atuam sobre um corpo é o seu peso Precisamos ser capazes de calcular o torque dessa força O peso não atua sobre um único ponto ele age de forma dis persa sobre todos os pontos do corpo Entretanto podemos sempre calcular o torque do peso de um corpo supondo que a força total da gravidade o peso esteja concentrada em um ponto chamado centro de gravidade abreviado por cg A aceleração devida à gravidade diminui com a altitude porém se pudermos desprezar essa variação ao longo da vertical do corpo o centro de gravidade coincidi rá com seu centro de massa abreviado por cm que foi definido na Seção 85 Esse resultado foi formulado na Seção 102 sem prova e agora vamos demonstrálo Figura 111 Para estar em equilíbrio estático um corpo em repouso deve satisfazer ambas as condições de equilíbrio não pode apresentar nenhuma tendência a acelerar como um todo nem começar a girar O torque resultante em torno do eixo 0 portanto o corpo em repouso não tende a girar Força resultante 0 portanto o corpo em repouso não possui nenhuma tendência a começar a se mover como um todo O torque resultante em torno do eixo 0 portanto o corpo em repouso não tende a girar Condições para o equilíbrio Primeira condição atendida Primeira condição atendida Primeira condição NÃO atendida Há uma força resultante de baixo para cima portanto o corpo em repouso começará a se mover de baixo para cima Eixo de rotação perpendicular à figura F F F 2F l l 2F l F F l l l Segunda condição atendida Segunda condição NÃO atendida Há um torque resultante no sentido horário em torno do eixo portanto o corpo em repouso começará a girar no sentido horário Segunda condição atendida 1 2 a Este corpo está em equilíbrio estático b Este corpo não possui nenhuma tendência a acelerar como um todo mas tende a começar a girar c Este corpo possui uma tendência a acelerar como um todo mas não a começar a girar Força resultante 0 portanto o corpo em repouso não possui nenhuma tendência a começar a se mover como um todo a t S 5 0 aFx 5 0 aFy 5 0 aFz 5 0 aF S 5 0 356 FÍSICA I cap11dqxd 180308 1011 Page 356 Inicialmente vamos fazer uma revisão da definição de centro de massa Para uma coleção de partículas com mas sas m1 m2 e coordenadas x1 y1 z1 x2 y2 z2 as coordenadas xcm ycm e zcm do centro de massa são dadas por 113 centro de massa Também xcm ycm e zcm são as coordenadas do vetor posição do centro de massa de modo que as equações 113 são equivalentes à equação vetorial 114 Agora vamos considerar o torque gravitacional sobre um corpo de forma arbitrária Figura 112 Suponhamos que o módulo a direção e o sentido da aceleração da gravidade permaneçam constantes em todos os pontos do corpo Cada partícula do corpo sofre a ação da força gravitacional e o peso total do corpo é a soma vetorial de um grande núme ro de forças paralelas Uma partícula típica possui massa mi e peso Se for o vetor posição dessa partícula em relação a uma origem arbitrária O o vetor torque do peso em relação a O é pela Equação 103 O torque total produzido pelas forças gravitacionais sobre todas as partículas é Quando multiplicamos e dividimos isso pela massa total do corpo obtemos A fração indicada nessa equação nada mais é do que o vetor posição do centro de massa cujas componentes são xcm ycm e zcm conforme indicado na Equação 114 e é igual ao peso total do corpo Logo 115 O torque gravitacional total dado pela Equação 115 é obtido como se o peso total estivesse atuando no ponto dado pelo vetor posição do centro de massa que tam bém chamamos de centro de gravidade Se possui um valor constante em todos os pontos de um corpo seu centro de gravidade coincide com o seu centro de massa Note contudo que o centro de massa é definido indepen dentemente da existência de qualquer efeito gravitacional Embora o valor de varie em função da elevação a variação é extremamente leve Figura 113 Por isso neste capítulo vamos supor que o centro de massa coinci da com o centro de gravidade a menos que se diga expli citamente o contrário Determinação e uso do centro de gravidade Geralmente podemos usar considerações de simetria para determinar a posição do centro de gravidade de um corpo do mesmo modo que fizemos no caso do centro de massa O centro de gravidade de uma esfera homogênea de um cubo de um disco fino ou de uma placa retangular coincide com o centro geométrico de cada um desses cor pos O centro de gravidade de um cilindro ou de um cone se encontra sobre seus respectivos eixos de simetria g S g S r S cm p S t S 5 r S cm 3 Mg S 5 r S cm 3 p S p S Mg S r S cm t S 5 m1 r S 1 1 m2 r S 2 1 c m1 1 m2 1 c 3 Mg S 5 a i mi r S i a i mi 3 Mg S M 5 m1 1 m2 1 c5 a i mi 5 1 a i m i r S i2 3 g S 5 1m 1 r S 1 1 m 2 r S 2 1 c2 3 g S t S 5 a i ti S 5 r S 1 3 m 1 g S 1 r S 2 3 m 2 g S 1 c t S i 5 r S i 3 p S i 5 r S i 3 mi g S p S i t S i r S i p S i 5 mi g S g S r S cm 5 m1 r S 1 1 m2 r S 2 1 m3 r S 3 1 c m1 1 m2 1 m3 1 c 5 a i mi r S i a i mi r S cm zcm 5 m1 z1 1 m2 z2 1 m3 z3 1 c m1 1 m2 1 m3 1 c 5 a i mi zi a i mi ycm 5 m1 y1 1 m2 y2 1 m3 y3 1 c m1 1 m2 1 m3 1 c 5 a i mi yi a i mi xcm 5 m1 x1 1 m2 x2 1 m3 x3 1 c m1 1 m2 1 m3 1 c 5 a i mi xi a i mi Figura 112 O centro de gravidade cg e o centro de massa cm de um corpo de massa distribuída ri y x z O p 5 Mg cg 5 cm pi 5 mi g mi rcm S O torque gravitacional total em torno de O sobre o corpo todo pode ser calculado supondose que o peso do corpo esteja aplicado no cg t 5 rcm 3 p S S S O torque gravitacional em torno de O sobre uma partícula de massa mi no interior do corpo é ti 5 ri 3 pi S S S Caso g possua o mesmo valor em todos os pontos no interior do corpo cg é idêntico a cm S S S S S S Capítulo 11 Equilíbrio e elasticidade 357 cap11dqxd 180308 1011 Page 357 Q1111 Por que uma esquiadora aquática que se move com velo cidade constante se inclina para trás Qual é o fator que determi na o ângulo de sua inclinação Desenhe o diagrama do corpo livre para a esquiadora para justificar suas respostas Q1112 Nos tempos pioneiros das carroças quando uma carroça atolava na lama as pessoas seguravam firmemente os raios das rodas e tentavam girar as rodas em vez de simplesmente empur rar a carroça Por quê Q1113 O poderoso Zimbo alega que os músculos das suas pernas são tão fortes que ele pode ficar em pé e inclinar o corpo para a frente para apanhar com os dentes uma maçã sobre o chão Você pagaria para ver o desempenho dele ou desconfiaria da alegação Por quê Q1114 Por que é mais fácil manter um haltere de 10 kg em suas mãos com o braço estendido verticalmente para baixo do que mantêlo com seu braço estendido horizontalmente Q1115 Algumas características de uma pessoa tais como altura e massa são fixas ao menos por períodos relativamente longos de tempo As seguintes características também são fixas a a loca lização do centro de gravidade do corpo b o momento de inér cia do corpo em torno de um eixo que passa pelo centro de massa da pessoa Explique seu raciocínio Q1116 Durante a gravidez a maioria das mulheres desenvolve dores nas costas por inclinar o corpo para trás ao caminhar Por que elas têm que andar assim Q1117 Por que um copo de vidro de forma cônica com uma base pequena tomba com mais facilidade do que um copo de vidro cilíndrico O fato de o copo estar cheio ou vazio é importante Q1118 Quando uma geladeira alta e pesada é empurrada por um assoalho rugoso o que determina se ela escorrega ou tomba Q1119 Se um cabo de metal tem o seu comprimento duplicado e seu diâmetro triplicado qual o fator da variação do seu módulo de Young Q1120 Por que o concreto reforçado com barras de aço em seu interior é mais resistente do que o concreto puro Q1121 Um cabo de metal de diâmetro D se alonga em 0100 mm ao sustentar um peso p Se um cabo com o mesmo comprimento for usado para sustentar um peso três vezes maior qual teria de ser o seu diâmetro em termos de D de modo que ele ainda se alongue por somente 0100 mm Q1122 Compare as propriedades mecânicas de um cabo de aço feito com muitos fios entrelaçados com as propriedades de um cabo de aço maciço com o mesmo diâmetro Quais as desvanta gens de cada cabo Q1123 O material em um osso humano é essencialmente igual ao existente no osso de um elefante porém o elefante possui pernas mais grossas Explique o por quê em termos da tensão de ruptura Q1124 Existe uma pequena mas apreciável quantidade de histe rese elástica no tendão largo da parte traseira da perna de um cavalo Explique como isso pode produzir dano ao tendão quan do o cavalo corre com alta velocidade ou durante um tempo demasiado longo Q1125 Quando um bloco de borracha é usado para absorver vibrações em uma máquina por meio de histerese elástica con forme visto na Seção 115 o que acontece com a energia associa da com as vibrações Exercícios Seção 112 Centro de gravidade 111 Uma barra uniforme de 240 kg e 500 cm de comprimento possui uma pequena massa de 110 kg colada na sua extremida de esquerda e uma pequena massa de 220 kg colada na outra extremidade Você deseja equilibrar esse sistema horizontalmen te sobre um sustentáculo colocado bem abaixo do seu centro de gravidade A que distância da extremidade esquerda o sustentá culo deve ser colocado 112 A Figura 1120 indica o centro de gravidade de um objeto irregular Você necessita mover o centro de gravidade por 220 cm para a esquerda colando uma pequenina massa de 150 kg que passará a ser considerada como parte do objeto Onde você deve colar essa massa adicional 113 Uma caixa de massa desprezível está em repouso na extre midade esquerda de uma prancha de 20 m e 250 kg Figura 1121 A largura da caixa é de 750 cm e areia deve ser unifor memente distribuída dentro dela O centro de gravidade da pran cha irregular está a 500 cm da extremidade direita Qual massa de areia deve ser colocada dentro da caixa de modo que a pran cha se equilibre horizontalmente sobre o sustentáculo colocado bem abaixo do seu ponto médio Seção 113 Soluções de problemas de equilíbrio de corpos rígidos 114 Um alçapão uniforme de 300 N existente em um pavimento está articulado em um dos seus lados Encontre a força resultan te orientada de baixo para cima necessária para começar a abri lo e a força total exercida sobre essa porta pelas articulações a supondo que a força de baixo para cima seja aplicada em seu cen tro b que a força de baixo para cima seja aplicada no centro da aresta oposta à aresta da articulação 115 Levantando uma escada Uma escada transportada em um caminhão de bombeiro possui 200 m de comprimento A escada pesa 2800 N e o centro de gravidade está situado no seu centro A escada é articulada em uma extremidade A com um eixo de apoio Figura 1122 o torque devido ao atrito no eixo pode ser desprezado A escada é levantada para sua posição mediante uma força aplicada em C por um pistão hidráulico O ponto C está a 80 m do ponto A e a força exercida pelo pistão faz um ângulo de 40o com a escada Qual deve ser o módulo de para que a escada esteja na iminência de ser levantada do seu apoio no ponto B Comece com um diagrama do corpo livre para a escada F S F S Figura 1121 Exercício 113 Centro de gravidade da prancha Caixa de areia 750 cm 500 cm Figura 1120 Exercício 112 x Centro de gravidade Capítulo 11 Equilíbrio e elasticidade 373 cap11dqxd 180308 1011 Page 373 387 APÊNDICE A O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES O Sistema Internacional de Unidades abreviado por SI é o sistema desenvolvido por um congresso internacional e ado tado por quase todos os países industrializados do mundo Ele é baseado nas unidades do Sistema MKSA metroquilo gramasegundoampère O material apresentado a seguir foi adaptado de B N Taylor ed National Institute of Standards and Technology Spec Pub 811 U S Govt Printing Office Washington DC 1995 Grandeza Nome da unidade Símbolo Unidades básicas do SI comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s corrente elétrica ampère A temperatura termodinâmica kelvin K quantidade de substância mol mol intensidade luminosa candela cd Unidades Unidades derivadas do SI equivalentes área metro quadrado volume metro cúbico freqüência hertz Hz massa específica densidade quilograma por metro cúbico velocidade metro por segundo velocidade angular radiano por segundo aceleração metro por segundo ao quadrado aceleração angular radiano por segundo ao quadrado força newton N pressão tensão mecânica pascal Pa viscosidade cinemática metro quadrado por segundo viscosidade dinâmica newtonsegundo por metro quadrado trabalho energia calor joule J potência watt W Js carga elétrica coulomb C diferença de potencial força eletromotriz volt V JC WA intensidade do campo elétrico volt por metro Vm NC resistência elétrica ohm VA capacitância farad F fluxo magnético weber Wb indutância henry H densidade de fluxo magnético tesla T intensidade do campo magnético ampère por metro Am força magnetomotriz ampère A fluxo luminoso lúmen lm luminância candela por metro quadrado iluminamento lux lx número de onda um por metro entropia joule por kelvin JK calor específico joule por quilogramakelvin condutividade térmica watt por metrokelvin Wm K Jkg K m21 lmm2 cdm2 cd sr Wbm2 V sA V s A sV V A s N m N sm2 m2s Nm2 kg ms2 rads2 ms2 rads ms kgm3 s21 m3 m2 cap12Ap 180308 1013 Page 387 389 APÊNDICE B RELAÇÕES MATEMÁTICAS ÚTEIS Álgebra Logaritmos Se log então Se ln então Equação do segundo grau Se Série binomial Trigonometria No triângulo retângulo ABC Definições das funções trigonométricas Identidades Geometria Comprimento de uma circunferência de raio r Área de um círculo de raio r Volume de uma esfera de raio r Área da superfície de uma esfera de raio r Volume de um cilindro de raio r e altura h V 5 pr 2h A 5 4pr 2 V 5 4pr 33 A 5 pr 2 C 5 2pr cos a 1 cos b 5 2 cos 1 2 1a 1 b2 cos 1 2 1a 2 b2 cos1a 6 p22 5 7sen a sen a 1 sen b 5 2 sen 1 2 1a 1 b2 cos 1 2 1a 2 b2 sen1a 6 p22 5 6cos a cos 1a 6 b2 5 cos a cos b 6 sen a sen b cos12a2 5 cos a sen1a 6 b2 5 sen a cos b 6 cos a sen b sen12a2 5 2sen a cos 1 2 a 5 Å 1 1 cos a 2 sen 1 2 a 5 Å 1 2 cos a 2 5 1 2 2 sen2 a cos 2a 5 cos2 a 2 sen2 a 5 2 cos2 a 2 1 sen 2a 5 2 sen a cos a tg a 5 sen a cos a sen2 a 1 cos2 a 5 1 tg a 5 yx cos a 5 xr sen a 5 yr A C B y r x a x2 1 y2 5 r 2 1a 1 b2 n 5 an 1 nan21 b 1 n1n 2 12 an22b2 2 1 n1n 2 12 1n 2 22an23b3 3 1 c x 5 2b 6 b2 2 4ac 2a ax2 1 bx 1 c 5 0 ln1an2 5 n ln a ln a 2 ln b 5 ln1ab2 ln a 1 ln b 5 ln1ab2 a 5 e x a 5 x log1 an2 5 n log a log a 2 log b 5 log1ab2 log a 1 log b 5 log1 ab2 a 5 10x a 5 x a1x2y2 5 a x ay a1x1y2 5 axay a2x 5 1 a x cap12Ap 180308 1013 Page 389 390 Cálculo diferencial e integral Derivadas Séries de potências convergentes para os valores de x indicados Integrais ln 11 1 x2 5 x 2 x2 2 1 x3 3 2 x4 4 1 c 1 0 x 0 12 3 e ax dx 5 1 a e ax ex 5 1 1 x 1 x 2 2 1 x 3 3 1 c 1todo x2 3 cos ax dx 5 1 a tg x 5 x 1 x 3 3 1 2x 2 15 1 17x 7 315 1 c 1 0 x 0 p22 3 sen ax dx 5 21 a cos ax cos x 5 1 2 x 2 2 1 x 4 4 2 x 6 6 1 c 1todo x2 3 dx x 5 lnx sen x 5 x 2 x 3 3 1 x 5 5 2 x 7 7 1 c 1todo x2 3xn dx 5 x n11 n 1 1 1n 2 212 11 1 x2 n 5 1 1 nx 1 n1n 2 12x2 2 1 n1n 2 12 1n 2 22 3 x3 1 c 1 0 x 0 12 3 x dx 1x2 1 a22 32 5 2 1 x2 1 a2 d dx ln ax 5 1 x 3 dx 1x2 1 a22 32 5 1 a2 x x2 1 a2 d dx e ax 5 ae ax 3 dx x 2 1 a2 5 1 a arctg x a d dx cos ax 5 2a sen ax 3 dx x2 1 a2 5 ln 1x 1 x2 1 a22 d dx sen ax 5 a cos ax 3 dx a2 2 x 2 5 arcsen x a d dx xn 5 nxn21 APÊNDICE C ALFABETO GREGO Nome Maiúscula Minúscula Nome Maiúscula Minúscula Alfa Nu Beta Xi Gama Ômicron Delta Pi Épsilon Rô Zeta Sigma Eta Tau Teta Úpsilon Iota Fi Capa Qui Lambda Psi Mu Ômega v V m M c C l L x X k K f F i I y Y u U t T h H s S z Z r R P E p P d D o O g G j J b B n N a A cap12Ap 180308 1013 Page 390 393 APÊNDICE F CONSTANTES NUMÉRICAS Constantes físicas fundamentais Nome Símbolo Valor Velocidade da luz c Módulo da carga do elétron e Constante gravitacional G Constante de Planck h Constante de Boltzmann k Número de Avogadro Constante dos gases R Massa do elétron Massa do próton Massa do nêutron Permeabilidade do vácuo Permissividade do vácuo Outras constantes úteis Equivalente mecânico do calor Pressão da atmosfera padrão 1 atm Zero absoluto 0 K Elétronvolt 1 eV Unidade de massa atômica 1 u Energia de repouso do elétron 051099891844 MeV Volume de um gás ideal 2241399639 litromol Aceleração da gravidade g padrão Fonte National Institute of Standards and Technology httpphysicsnistgovcuu Os números entre parênteses indicam as incertezas dos dígitos finais dos números principais por exemplo o número 1645421 significa 16454 00021 Os valores que não possuem incertezas são exatos 980665 ms2 0C e 1 atm mec2 16605388628 3 10227 kg 16021765314 3 10219 J 227315C 101325 3 105 Pa 4186 Jcal 15 calorias 8987551787 c 3 109 N m2C2 14pP0 8854187817 c 3 10212 C2N m2 P0 5 1m0c2 4p 3 1027 WbA m m0 16749272829 3 10227 kg mn 16726217129 3 10227 kg mp 9109382616 3 10231 kg me 831447215 Jmol K 6022141510 3 1023 moléculasmol NA 1380650524 3 10223 JK 6626069311 3 10234 J s 6674210 3 10211 N m2kg2 16021765314 3 10219 C 299792458 3 108 ms cap12Ap 180308 1013 Page 393 394 Dados astronômicos Corpo Massa kg Raio m Raio da órbita m Período da órbita Sol Lua 273 d Mercúrio 880 d Vênus 2247 d Terra 3653 d Marte 6870 d Júpiter 1186 a Saturno 2945 a Urano 8402 a Netuno 1648 a Plutão 2479 a Fonte NASA Jet Propulsion Laboratory Solar System Dynamics Group httpssdjplnasagov e KENNETH SEIDELMANN P ed Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac University Science Books Mill Valley CA 1992 p 704706 Para cada corpo o raio é o seu respectivo raio no equador e o raio da órbita é a distância média entre o corpo e o Sol para os planetas ou medida a partir da Terra no caso da Lua Em agosto de 2006 o International Astronomical Union reclassificou Plutão e outros pequenos corpos na órbita do Sol como planetas anões Prefixos para as potências de dez Potência de dez Prefixos Abreviaturas locto y zepto z atto a femto f pico p nano n micro mili m centi c quilo k mega M giga G tera T peta P exa E zeta Z iota Y Exemplos 1 gigahertz 5 1 GHz 5 109 Hz 1 microkelvin 5 1 mK 5 1026 K 1 megawatt 5 1 MW 5 106 W 1 nanocoulomb 5 1 nC 5 1029 C 1 quilopascal 5 1 kPa 5 103 Pa 1 picossegundo 5 1 ps 5 10212 s 1 milivolt 5 1 mV 5 1023 V 1 femtômetro 5 1 fm 5 10215 m 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 1022 1023 m 1026 1029 10212 10215 10218 10221 10224 591 3 1012 115 3 106 131 3 1022 450 3 1012 248 3 107 102 3 1026 287 3 1012 256 3 107 868 3 1025 143 3 1012 603 3 107 568 3 1026 778 3 1011 691 3 107 190 3 1027 228 3 1011 340 3 106 642 3 1023 150 3 1011 638 3 106 597 3 1024 108 3 1011 605 3 106 487 3 1024 579 3 1010 244 3 106 330 3 1023 384 3 108 174 3 106 735 3 1022 696 3 108 199 3 1030 cap12Ap 180308 1013 Page 394 A ação e reação 121 122 123 124 125 127 128 131 137 164 253 254 320 aceleração angular 286 289293 299 316 318 319323 328 330 331 333 constante 291292 330 centrípeta 87 88 157 158 160 293 294 296 da gravidade 51 57 77 85 88 119 120 127 137 294 300 357 358 definição de 48 289 instantânea 289 290 média 289 290 torque e 319 instantânea 35 4145 48 57 73 74 75 86 média 35 4145 48 55 72 73 74 86 291 linear 286 290 291 292 293 294 316 321 322 massa e 118 radial 88 157 158 160 293 sinal da 44 45 velocidade e 44 87 acurácia 8 9 10 14 15 algarismos significativos 810 16 19 51 150 272 arraste do ar 148 154 156 atmosfera 1 2 367 atrito cinético 135 148151 152 153 154 157 195 196 229 326 328 estático 135 148151 152 156 159 328 361 362 B bola de bilhar 267 304 de boliche 234 263 327 328 de futebol 77 79 121 249 252 braço da alavanca 317 318 319 320 321 322 331 360 362 C centro de gravidade 267 355 356359 360 361 massa 247 266270 298 300 301 302 321 322 323 324 325 326 327 328 332 334 338 339 355 356 357 358 cinemática 69 105 286 290296 322 328 331 cisalhamento 355 364 365 368 369 371 coeficiente de atrito cinético 149 151 152 153 195 229 de rolamento 153 154 estático 150 151 159 196 328 361 362 coerência dimensional 6 colisões completamente inelásticas 259 elásticas 235240 em um plano horizontal 257 inelásticas 258 259 classificação de 262 conservação do momento linear e 258262 colisões elásticas 235240 com um corpo inicialmente em repouso 263 inelásticas e 258 velocidade relativa e 264 colisões inelásticas 258 259 completamente 259 conservação do momento linear e 258262 componentes de vetores 15 19 compressão 194 223 224 226 227 355 364 365 366 367 368 compressibilidade 367 368 condições de equilíbrio 140 152 355 356 359 360 362 conservação do momento angular 316 334337 da energia 181 213246 247 255 260 261 262 263 264 266 299 300 325 334 336 337 D definição operacional 4 momento de 286 296 298 299 300 301 302 303 304 319 320 322 323 324 325 327 328 330 331 332 333 334 335 337 338 339 deformação 106 193 194 222 223 225 329 355 364369 370 volumétrica 336 367 368 deslocamento angular 287 288 289 329 330 diagrama do corpo livre 125 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 151 152 153 154 155 158 159 160 161 185 186 188 190 195 197 198 217 218 220 221 319 321 322 327 328 360 361 363 dimensionalmente coerente 6 115 dina 118 dinâmica 35 105 286 326 327 da translação 322 das partículas 141148 das rotações 321 334 355 360 do movimento circular 157162 do movimento de rotação 316354 rotacional 322 segunda lei de Newton e 142 direção e sentido de aceleração 147 E Eixo instantâneo 235 de rotação 286 287 288 289 290 293 294 296 297 298 301 302 317 318 319 320 321 322 323 324 327 329 330 332 335 336 337 338 356 de simetria 267 268 303 304 326 327 332 333 338 339 elasticidade 355385 plasticidade e 369370 módulos de 364369 energia cinética na rotação 286 297 299 301 326 potencial elástica 213 222227 229 258 260 262 gravitacional 13 214 215 216 217 218 219 223 224 225 226 227 229 231 232 233 300 325 327 definição 213 energia potencial elástica e 224 equilíbrio condições de 140 152 355356 359 360 362 estável 234 235 instável 234 235 erro fracionário 8 percentual 8 estimativas de ordem de grandeza 10 F força conservativa 213 228 231 232 233 234 260 definição de 228 energia potencial e 231233 trabalho realizado por uma 228 231 força de atrito definição 148 força normal e 152 força dissipativa 229 399 ÍNDICE REMISSIVO cap14aIndiceqxd 180308 1037 Page 399 força gravitacional 3 51 78 109 119 122 123 124 125 145 185 213 214 215 219 220 224 225 228 231 232 233 252 253 254 270 357 força normal 106 110 113 117 124 125 136 139 140 142 143 144 145 146 148 149 150 151 152 153 154 158 160 161 162 163 184 185 186 187 189 196 219 220 221 229 254 321 322 328 329 338 339 360 361 362 força resultante aceleração e 113 119 constante 114 187 195 249 250 forças externas e segunda lei de Newton 116 movimento do centro de massa e 268 torque de 332 forças fundamentais da natureza 135 162164 forças internas torque de 332 forças de contato 106 122 135 148 163 329 definição 106 externas 116 126 138 147 186 191 192 254 255 258 259 260 261 262 265 268 269 270 320 321 330 332 356 internas 125 138 253 254 255 262 269 320 332 334 335 336 resultante 14 30 105 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 124 135 137 139 141 143 144 152 157 158 162 185 186 187 188 189 190 195 197 217 227 234 247 248 249 250 251 252 253 255 256 262 264 268 270 271 316 319 320 322 331 332 356 360 364 soma vetorial de todas as 107 135 185 186 188 248 269 355 G giroscópio 316 337340 grandezas vetoriais 11 12 18 20 37 69 183 250 252 337 gravidade aceleração da 51 77 85 88 119 120 294 300 357 358 centro de 267 355 356359 360 361 I inércia definição 110 lei da 112 primeira lei de Newton e 110 rotacional 297 ioiô 323 325 327 329 L lei de Hooke 193 194 233 355 364 365 367 368 369 limite de elasticidade 370 linha de ação 317 318 319 320 328 332 M massa inercial 115 120 massa aceleração e 118 centro de 247 266270 298 300 301 302 321 322 323 324 325 326 327 328 332 334 338 339 355 356 357 358 peso e 119121 mecânica clássica 105 135 módulos de elasticidade 364 365 momento angular 23 316 331333 334 335 336 337 338 339356 Ver tam bém momento linear conservação do 316 334 335 336 337 definição 331 do giroscópio 316 momento de inércia 286 296 298 299 300 301 302 303 304 319 320 322 323 324 325 327 328 330 331 332 333 334 335 337 338 339 cálculos do 302304 definição 296 momento linear total 253 254 255 256 257 258 259 261 266 267 268 270 momento linear 116 247285 331 333 334 336 338 339 Ver também momento angular conservação do 247 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 266 270 271 334 definição 247 teorema do impulsomomento linear 248250 251 movimento circular dinâmica do 157162 não uniforme 8889 162 uniforme 8588 114 135 157 158 161 164 184 337 339 movimento combinado de rotação e translação 323324 326328 movimento de um projétil 7785 87 219 286 movimento do centro de massa 267268 332 P Pascal 364 365 pêndulo balístico 260 pêndulo cônico 159 160 198 peso aparente 144 145 161 162 220 definição de 119 massa e 119121 ponte 135 355 364 366 posição angular 288 290 291 potência instantânea 198 199 201 331 média 198 199 200 330 331 precessão 316 337340 prensa hidráulica 368 primeira lei de Newton 109133 117 123 124 125 135 136 137 138 139 140 141 151 152 154 157 356 produto escalar 24 183 197 198 199 219 vetorial 20 2325 289 318 331 produtos de vetores 20 31 propulsão de um foguete 247 270272 Q quilowatt 5 198 199 200 quilowatthora 199 R radianos 197 287 288 289 293 294 297 329 335 337 regra da mão direita 23 24 25 289 318 331 332 333 339 S segunda lei de Newton 105 113119 120 121 122 123 124 125 135 141148 153 154 155 157 158 159 160 161 162 181 186 187 220 221 247 248 249 250 254 257 270 319 320 321 322 326 330 333 Sistema Internacional SI 4 métrico 4 5 118 soma de vetores 18 19 vetorial 1014 15 17 18 19 20 73 88 91 107 109 110 111 116 119 122 135 157 185 186 188 214 233 248 253 254 269 294 295 320 323 325 332 355 357 359 361 363 T tensão 143 148 355 364369 volumétrica 336 367 teorema do trabalhoenergia 186192 195 196 197 198 213 214 215 223 224 250 330 dos eixos paralelos 301302 325 terceira lei de Newton 121124 125 136 137 144 146 154 181 184 189 223 231 253 254 257 269 320 335 torque conservação do momento angular e 337 400 FÍSICA I cap14aIndiceqxd 180308 1037 Page 400 de forças externas 320 definição 316 trabalho realizado pelo 331 trabalho definição 181 e energia cinética 181212 213 total 181 182 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 199 213 215 217 219 222 224 228 230 250 251 300 329 330 V variávelalvo 3 9 22 118 121 138 142 143 144 145 146 152 154 158 159 160 161 183 195 velocidade angular 286 287 288 289 290 291 292 293 296 297 299 300 318 324 325 330 331 332 333 334 335 336 337 339 340 definição de 287289 instantânea 287 288 289 290 293 velocidade constante 6 49 50 69 73 77 78 85 86 87 90 110 111 112 113 114 122 124 135 136 140 144 151 152 153 157 161 186 198 200 264 356 velocidade relativa 69 85 8993 112 113 213 255 264 271 272 velocidade aceleração e 44 87 instantânea 35 3841 42 43 44 70 71 72 73 74 86 88 157 199 293 linear 286 288 290 292 293 299 média 4 35 36 37 38 39 40 41 43 46 51 55 70 71 72 161 200 terminal 154 155 156 vetor aceleração instantânea 43 73 74 aceleração média 42 72 73 74 posição 6972 79 91 233 266 317 318 319 331 332 357 torque 318 357 velocidade instantânea 39 70 71 72 86 velocidade média 39 70 71 72 vetores antiparalelos 12 componentes 15 19 107 108 paralelos 11 12 23 333 unitários 1 19 20 22 24 25 70 7174 81 219 233 volante 248 250 288 289 290 335 336 337 338 339 340 W watt 198 199 200 Watt James 199 Índice remissivo 401 cap14aIndiceqxd 180308 1037 Page 401 CRÉDITOS DAS FOTOS Capítulo 1 Abertura NASA Figura 11a G RossPhoto Researchers Inc Figura 11b NASA Figura 14 National Institute of Standards and Technology NIST Figura 15a R Williams STScI The HDFS Team e NASA Figura 15b SOHO ESA NASA Figura 15c cortesia da NASAJPLCaltech Figura 15d Photodisc GreenGetty Images Figura 15e Chad BakerPhotoDiscGetty Images Figura 15f Purdue University Veeco Instruments Inc Figura 15g SPLPhoto Researchers Figura 16 Pearson Addison Wesley San Francisco California Figura 17 ND ViolletRoger ViolletLiaison Agency Inc Capítulo 2 Abertura Mike HewittGetty Images Figura 24 Pete SaloutosCorbis Figura 25 DiMaggioKalishCorbis Figura 222 Richard MegnaFundamental Photographs Figura 226 Corbis Capítulo 3 Abertura SchlegelmilchCorbis Figura 38 PhotoAltoGetty Images Figura 316 Richard MegnaFundamental Photographs Figura 319a Richard Megna Fundamental Photographs Figura 319b Stuart WestmorlandGetty Images Figura 331 AFPGetty Images Capítulo 4 Abertura Balfour StudiosAlamy Figura 412 Wayne EastepGetty Images Figura 417 AFPGetty Images Figura 420 James H RobinsonAnimals Animals Figura 429 E KlaswitterCorbis Capítulo 5 Abertura Kevin SchaferPeter Arnold Figura 511 NASAPhoto Researchers Figura 516 AFPGetty Images Figura 526b Jump Run ProductionsGetty Images Figura 538b Helen Hansma University of California Santa Barbara Figura 538d fotografia de David Malin AngloAustralian Observatory Capítulo 6 Abertura Stephen DaltonPhoto Researchers Figura 61 Christina HoehnGetty Images Figura 613 Corbis Figura 626 Hulton ArchiveGetty Images Figura 627a Jeffrey H Whitesell Airliners of America Figura 627b Jeffrey H Whitesell Airliners of America Capítulo 7 Abertura Mark A JohnsonCorbis Figura 71 PurestockAlamy Figura 73a Dennis OClairGetty Images Figura 75 Joe McBrideCorbis Figura 712 Phil MislinskiOmniPhoto Communications Figura 715 Arco ImagesAlamy Figura 721 The Picture HouseAlamy Capítulo 8 Abertura Getty Images Figura 82 David WoodsCorbis Figura 84 Jim CumminsGetty Images Figura 86a Andrew Davidhazy Figura 816 Getty Images Figura 821 David LeahGetty Images Figura 829 Richard MegnaFundamental Photographs Figura 833 NASA Capítulo 9 Abertura George HallCorbis Figura 919 Jose AzelAurora Photos Figura 938 Nasa Capítulo 10 Abertura ReutersCorbis Figura 107 Corbis Figura 1014 picturesbyrobAlamy Figura 1017 Pete SaloutosCorbis Figura 1022 Lester LefkowitzGetty Images Figura 1028 Gerard LaczNatural History Photographic Agency Capítulo 11 Abertura Ruth TomlinsonGetty Images Figura 113 Jeremy WoodhouseGetty Images Figura 1112a Walter BibikowGetty Images Figura 1112b Jonathan BlairCorbis Figura 1112c Photodisc GreenGetty Images Sobre os autores Hugh D Young John P Surey 402 Cap15CredFotos 200308 849 Page 402 403 SOBRE OS AUTORES Hugh D Young é professor emérito de física na Universidade CarnegieMellon em Pittsburgh PA Ele estudou na CarnegieMellon tanto na graduação quanto na pósgraduação obtendo o título de PhD na teoria de partículas fundamentais sob a orientação do professor Richard Cutkosky Young começou a trabalhar na Faculdade CarnegieMellon em 1956 e atuou durante um ano como professor visitante na Universidade da Califórnia em Berkeley A carreira do professor Young foi centralizada inteiramente no ensino de graduação Ele escreveu diversos livros de física em nível de graduação e em 1973 tornouse coautor com Francis Sears e Mark Zemansky dos famosos livros de introdução à Física Depois que Sears e Zemansky faleceram ele assu miu toda a responsabilidade das edições consecutivas desses livros sendo que a oitava edição do livro University Physics é uma das mais recentes O professor Young é um entusiasta esquiador alpinista e excursionista Ele também foi organista associado durante diversos anos na Catedral de St Paul em Pittsburgh e nessa cidade fez inúmeros recitais de órgão O professor Young e sua mulher Alice normalmente viajam no verão para a Europa e para o deserto do Canyon no sul de Utah Roger A Freedman é conferencista de física na Universidade da Califórnia Santa Bárbara Ele fez a graduação no campus da Universidade da Califórnia em San Diego e Los Angeles e suas pesquisas para a tese de doutorado versaram sobre teoria nuclear na Universidade de Stanford sob a orientação do professor J Dirk Walecka O dr Freedman ingressou na UCSB em 1981 depois de ter tra balhado em pesquisa e ensino de física na Universidade de Washington Na UCSB lecionou no Departamento de Física bem como na College of Creative Studies um setor da universidade destinado a alunos de graduação alta mente motivados e competentes Ele publicou trabalhos de pesquisa em teoria nuclear física das partículas elementares e física do laser Também ajudou a desenvolver métodos computacionais para o ensino da física e da astronomia O dr Freedman obteve licença de piloto comercial e quando não está ensi nando nem escrevendo está voando com sua mulher Caroline A Lewis Ford é professor de física na Universidade AM do Texas Ele rece beu o grau de BA da graduação na Universidade Rice em 1968 e o título de PhD em físicoquímica na Universidade do Texas em Austin em 1972 Depois de um pósdoutorado de um ano na Universidade de Harvard ele começou a trabalhar na faculdade de física da Universidade AM do Texas em 1973 e ali permanece até hoje Suas pesquisas versam sobre física atômica teórica com especialização em colisões atômicas Na Universidade AM do Texas lecionou diversos cursos de graduação e de pósgraduação porém se dedicou mais à físi ca básica Cap16SobreAutores 200308 851 Page 403 I I e f fl KI K c a Tbr I I e f fl KI K c a Tbr SEARS ZEMANSKY YOUNG FREEDMAN FÍSICA III ELETROMAGNETISMO 12a EDIÇÃO I I e f fl KI K c a Tbr ISBN 9788588639300 wwwpearsoncombryoung O site de apoio oferece para professores manual de soluções em inglês e apresentações em PowerPoint com f guras e os principais conceitos do livro protegidos por senha para estudantes exercícios de múltipla escolha para ajudar na f xação de conceitos e animações em inglês com os principais temas das lições w w w p e a r s o n c o m b r SEARS ZEMANSKY SEARS ZEMANSKY SEARS ZEMANSKY YOUNG FREEDMAN YOUNG FREEDMAN YOUNG FREEDMAN FÍSICA I FÍSICA I MECÂNICA MECÂNICA 12a EDIÇÃO 12a EDIÇÃO 12a EDIÇÃO Definitivamente o mais completo conteúdo para o estudo de física esta 12a edição do Sears é uma obra de didática inovadora Com excelente abordagem educacional este livro proporciona estratégias para a solução de problemas e exemplos resolvidos com ferramentas visuais e conceituais pioneiras e didaticamente comprovadas além de recursos eficazes para o aprendizado como ilustrações com comentários testes de compreensão questões para discussão e uma biblioteca de problemas com mais de 800 novos exercícios O que há de novo nesta edição Estratégias para a solução de problemas e Exemplos resolvidos Todas as seções de estratégia para a solução de problemas seguem a abordagem ISEE do inglês Identify Set Up Execute and Evaluate Identificar Preparar Executar e Avaliar Essa abordagem ajuda o estudante a saber como começar a tratar uma situação aparentemente complexa identificar os conceitos relevantes de física decidir quais recursos são necessários para solucionar o problema executar a solução e depois avaliar se o resultado faz sentido O poder didático das figuras O poder instrutivo das figuras é potencializado por meio da comprovada técnica de anotação comentários no estilo quadronegro integrados às figuras para orientar o estudante em sua interpretação e do uso eficiente de detalhes Questões e exercícios Ao final de cada capítulo há um conjunto de questões para discussão destinadas a aprofundar e ampliar a assimilação conceitual pelo aluno Logo após vêm os exercícios e os problemas desafiadores desenvolvidos para estimular os melhores estudantes Com sua primeira edição publicada em 1949 por Sears e Zemansky Física I é considerada hoje uma obra indispensável para qualquer professor ou estudante dessa disciplina por oferecer uma profunda e rigorosa introdução à física baseada no cálculo Esta 12a edição de Física I apresenta as novas idéias extraídas de pesquisas acadêmicas realizadas recentemente na área enfatizando o ensino aprimorado por meio de recursos visuais pioneiros e um texto claro e direto que ajudam o estudante a desenvolver a intuição física e a adquirir as habilidades necessárias para a solução de problemas Além disso o livro conta com diversos ele mentos que contribuem para a fixação dos principais conceitos entre eles Objetivos de aprendizagem no início de cada capítulo Estratégia para a solução de problemas e exemplos resolvidos que fornecem aos es tudantes em quatro etapas táticas específi cas para a resolução de determinados tipos de problema Testes de compreensão com perguntas re lacionadas ao conteúdo da seção em estudo Problemas com níveis de dificuldade pro gressivos Resumo ilustrado no fim de cada capítulo com cerca de 800 novos exercícios ao longo dos quatro volumes Figuras com comentários no estilo ano tação para orientar o estudante e apri morar suas habilidades Livrotexto para os cursos de física e engenha ria entre outros este livro também é referência fundamental para quem precisa se preparar para concursos ou atualizarse no conheci mento de física Física SEARS ZEMANSKY YOUNG FREEDMAN FÍSICA I MECÂNICA 12a EDIÇÃO O site de apoio do livro traz recursos que complementam o conteúdo oferecido para professores e estudantes Exercícios de múltipla escolha Animações em inglês que simulam os principais conceitos Manual de soluções em inglês somente para professores Apresentações em PowerPoint somente para professores wwwpearsoncombryoung Outros volumes da coleção FÍSICA I MECÂNICA Física IV Ótica e física moderna Física III Eletromagnetismo Física II Termodinâmica e ondas CVRSEAR9330I12CVRindd 1 08042014 114833