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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 07 TORÇÃO Profa Denise de Jesus Santos email denisejesussouunitcombr institucional Deformação por torção de um eixo circular Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal Se o ângulo de rotação for pequeno o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados A fórmula da torção Quando um torque externo é aplicado a um eixo ele cria um torque interno correspondente no interior do eixo Se o material for linear elástico então a lei de Hooke se aplica Uma variação linear na deformação por cisalhamento resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento correspondente ao longo de qualquer linha radial na seção transversal J T J Tc ou máx tensão de cisalhamento máxima no eixo deformação por cisalhamento torque interno resultante momento polar de inércia da área da seção transversal raio externo do eixo distância intermediária máx T J c 𝛾 Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça Se o eixo tiver uma seção transversal tubular 4 2 c J 4 4 2 i o c c J A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias como mostra a Figura 510a Determine o torque interno resultante na seção O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção aa do eixo EXEMPLO 2 Ângulo de torção Às vezes o projeto de um eixo depende de restrições à quantidade de rotação ou torção que pode ocorrer quando o eixo é submetido a um torque A ação de Tx provocará uma torção no disco de tal modo que a rotação relativa de uma de suas faces em relação à outra será d𝜙 Figura O resultado é que um elemento de material localizado em um raio arbitrário 𝜌 no interior do disco sofrerá uma deformação por cisalhamento 𝛾 O ângulo de torção para o disco é Integrando em todo o comprimento L do eixo temos Considerando que o material é homogêneo G é constante logo Se o eixo for submetido a vários torques diferentes ou se a área da seção transversal ou o módulo de cisalhamento mudar abruptamente de uma região do eixo para a seguinte L x G J x dx T 0 Φ ângulo de torção Tx torque interno Jx momento polar de inércia do eixo G módulo de elasticidade ao cisalhamento JG TL A convenção de sinal é determinada pela regra da mão direita O torque e o ângulo serão positivos desde que o polegar esteja direcionado para fora do eixo quando os dedos o envolverem para dar a tendência da rotação As engrenagens acopladas à extremidade fixa do eixo de aço estão sujeitas aos torques mostrados na Figura 520a Se o módulo de elasticidade do cisalhamento for 80 GPa e o eixo tiver diâmetro de 14 mm determine o deslocamento do dente P da engrenagem A O eixo gira livremente dentro do mancal em B O poste maciço de ferro fundido com 50 mm de diâmetro mostrado na Figura 522a está enterrado no solo até 600 mm de seu comprimento total Se for aplicado um torque em sua parte superior com uma chave de torque rígida determine a tensão de cisalhamento máxima no poste e o ângulo de torção na parte superior Considere que o torque está prestes a girar o poste e que o solo exerce uma resistência uniforme à torção t Nmm ao longo dos 600 mm de comprimento que estão enterrados G 4010³ MPa Eixos maciços não circulares Eixos cujas seções transversais não são circulares há falta de simetria em relação às respectivas linhas centrais quando o eixo sofrer torção abauladas ou entortarão A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal não circular são O eixo de alumínio 6061T6 tem área de seção transversal na forma de um triângulo equilátero Determine o maior torque T que pode ser aplicado à extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 56 MPa e o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm 002 rad Qual é a intensidade do torque que pode ser aplicado a um eixo de seção transversal circular feito com a mesma quantidade de material Gal 26 GPa EXEMPLO 5 Concentração de tensão Ocorrem em pontos de mudança repentina na área da seção transversal tal como acoplamentos rasgos de chaveta e filetes de rebaixo Quanto mais severa a mudança maior a concentração de tensão O fator de concentração de tensão por torção K é usado para simplificar a análise complexa da tensão A tensão de cisalhamento máxima é determinada pela equação J máx K Tc O eixo em degrau está apoiado nos mancais em A e B Determine a tensão máxima no eixo resultante dos torques aplicados O filete na junção de cada eixo tem raio r 6 mm EXEMPLO 6 FLEXÃO Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal são denominados vigas Vigas são classificadas de acordo com o modo como são apoiadas Diagramas de força cortante e momento fletor As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor Direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e a força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário EXEMPLO 1 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e momento fletor PESQUISAR A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se deforma por flexão Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado Deformação por flexão de um elemento reto A deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro A lei de Hooke se aplica quando o material é homogêneo O eixo neutro passa pelo centroide da área da seção transversal segmento da viga localizado à distância x ao longo do comprimento da viga com espessura x antes da deformação Por definição a deformação normal ao longo de s é determinada por Representaremos essa deformação em termos da localização y do segmento e do raio de curvatura r do eixo longitudinal do elemento Para qualquer seção transversal específica a deformação normal longitudinal variará linearmente com y em relação ao eixo neutro Ocorrerá contração 𝜖 nas fibras localizadas acima do eixo neutro y alongamento 𝜖 nas fibras localizadas abaixo do eixo y A deformação máxima ocorre na fibra mais externa localizada a distância c do eixo neutro Usando e visto que então por divisão A fórmula da flexão Premissa o material se comporta de uma maneira linear elástica de modo que a lei de Hooke se aplica Então uma variação linear da deformação normal deve ser a consequência de uma variação linear da tensão normal Logo assim como a variação da deformação normal 𝜎 variará de zero no eixo neutro do elemento até um valor máximo 𝜎𝑚á𝑥 à distância c mais afastada do eixo neutro Assim A fórmula da flexão Podemos localizar a posição do eixo neutro na seção transversal satisfazendo a condição de que a força resultante produzida pela distribuição de tensão na área da seção transversal deve ser nula A fórmula da flexão Podemos determinar a tensão na viga pelo fato de que o momento interno resultante M deve ser igual ao momento produzido pela distribuição de tensão em torno do eixo neutro A fórmula da flexão Por consequência essa equação pode ser resolvida para 𝜎𝑚á𝑥 e escrita em sua forma geral como O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro Pela regra da mão direita o sinal negativo é compressivo já que age na direção negativa de x A fórmula da flexão σ tensão normal no membro M momento interno I momento de inércia y distância perpendicular do eixo neutro Visto que a tensão normal em uma distância intermediária y pode ser O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro Pela regra da mão direita o sinal negativo é compressivo já que age na direção negativa de x A fórmula da flexão EXEMPLO 2 EXEMPLO 3 Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas O fator de transformação n é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga Vigas compostas EXEMPLO 4 CISAHLAMENTO TRANSVERSAL Quando o cisalhamento V é aplicado essa distribuição não uniforme na seção transversal fará com que ela se deforme A relação entre o momento e o cisalhamento é Cisalhamento em elementos retos V dM dx A fórmula do cisalhamento é usada para encontrar a tensão de cisalhamento na seção transversal A fórmula do cisalhamento onde y A ydA Q It VQ A τ tensão de cisalhamento no elemento V força de cisalhamento interna resultante I momento de inércia da área da seção transversal inteira t largura da área da seção transversal do elemento Para uma viga com seção transversal retangular a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com a altura A tensão de cisalhamento máxima ocorre ao longo do eixo neutro Tensões de cisalhamento em vigas Para projetar os elementos de fixação é necessário conhecer a força de cisalhamento à qual eles devem resistir ao longo do comprimento da estrutura Fluxo de cisalhamento em estruturas compostas por vários elementos I VQ q q fluxo de cisalhamento V força de cisalhamento interna resultante I momento de inércia de toda a área da seção transversal Esse carregamento quando medido como força por unidade de comprimento é denominado fluxo de cisalhamento q A viga mostrada na Figura 710a é feita de madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento cortante vertical interna resultante V 3 kN a Determine a tensão de cisalhamento na viga no ponto P e b calcule a tensão de cisalhamento máxima na viga Uma viga T de aço tem as dimensões mostradas na Figura 711a Se for submetida a uma força de cisalhamento força cortante V 80 kN a trace uma curva da distribuição da tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal da viga e b determine a força de cisalhamento à qual a alma resiste A viga mostrada na Figura 712a é feita com duas tábuas Determine a tensão de cisalhamento máxima necessária na cola para que ela mantenha as tábuas unidas ao longo da linha de junção Os apoios em B e C exercem apenas reações verticais na viga A viga é composta por quatro tábuas coladas como mostra a Figura 716a Se for submetida a um cisalhamento V 850 kN determine o fluxo de cisalhamento em B e C ao qual a cola deve resistir Referências Bibliograficas Hibbeler RC Resistência dos Materiais 7ª Ed 2009 Hibbeler RC Estática Mecânica Para Engenharia 13ª Ed 2013 Beer F P e Jonhston E Mecânica Vetorial para Engenheiros Estática Jr 5ª ed Makron Books 1995
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 07 TORÇÃO Profa Denise de Jesus Santos email denisejesussouunitcombr institucional Deformação por torção de um eixo circular Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal Se o ângulo de rotação for pequeno o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados A fórmula da torção Quando um torque externo é aplicado a um eixo ele cria um torque interno correspondente no interior do eixo Se o material for linear elástico então a lei de Hooke se aplica Uma variação linear na deformação por cisalhamento resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento correspondente ao longo de qualquer linha radial na seção transversal J T J Tc ou máx tensão de cisalhamento máxima no eixo deformação por cisalhamento torque interno resultante momento polar de inércia da área da seção transversal raio externo do eixo distância intermediária máx T J c 𝛾 Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça Se o eixo tiver uma seção transversal tubular 4 2 c J 4 4 2 i o c c J A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias como mostra a Figura 510a Determine o torque interno resultante na seção O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção aa do eixo EXEMPLO 2 Ângulo de torção Às vezes o projeto de um eixo depende de restrições à quantidade de rotação ou torção que pode ocorrer quando o eixo é submetido a um torque A ação de Tx provocará uma torção no disco de tal modo que a rotação relativa de uma de suas faces em relação à outra será d𝜙 Figura O resultado é que um elemento de material localizado em um raio arbitrário 𝜌 no interior do disco sofrerá uma deformação por cisalhamento 𝛾 O ângulo de torção para o disco é Integrando em todo o comprimento L do eixo temos Considerando que o material é homogêneo G é constante logo Se o eixo for submetido a vários torques diferentes ou se a área da seção transversal ou o módulo de cisalhamento mudar abruptamente de uma região do eixo para a seguinte L x G J x dx T 0 Φ ângulo de torção Tx torque interno Jx momento polar de inércia do eixo G módulo de elasticidade ao cisalhamento JG TL A convenção de sinal é determinada pela regra da mão direita O torque e o ângulo serão positivos desde que o polegar esteja direcionado para fora do eixo quando os dedos o envolverem para dar a tendência da rotação As engrenagens acopladas à extremidade fixa do eixo de aço estão sujeitas aos torques mostrados na Figura 520a Se o módulo de elasticidade do cisalhamento for 80 GPa e o eixo tiver diâmetro de 14 mm determine o deslocamento do dente P da engrenagem A O eixo gira livremente dentro do mancal em B O poste maciço de ferro fundido com 50 mm de diâmetro mostrado na Figura 522a está enterrado no solo até 600 mm de seu comprimento total Se for aplicado um torque em sua parte superior com uma chave de torque rígida determine a tensão de cisalhamento máxima no poste e o ângulo de torção na parte superior Considere que o torque está prestes a girar o poste e que o solo exerce uma resistência uniforme à torção t Nmm ao longo dos 600 mm de comprimento que estão enterrados G 4010³ MPa Eixos maciços não circulares Eixos cujas seções transversais não são circulares há falta de simetria em relação às respectivas linhas centrais quando o eixo sofrer torção abauladas ou entortarão A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal não circular são O eixo de alumínio 6061T6 tem área de seção transversal na forma de um triângulo equilátero Determine o maior torque T que pode ser aplicado à extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm 56 MPa e o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm 002 rad Qual é a intensidade do torque que pode ser aplicado a um eixo de seção transversal circular feito com a mesma quantidade de material Gal 26 GPa EXEMPLO 5 Concentração de tensão Ocorrem em pontos de mudança repentina na área da seção transversal tal como acoplamentos rasgos de chaveta e filetes de rebaixo Quanto mais severa a mudança maior a concentração de tensão O fator de concentração de tensão por torção K é usado para simplificar a análise complexa da tensão A tensão de cisalhamento máxima é determinada pela equação J máx K Tc O eixo em degrau está apoiado nos mancais em A e B Determine a tensão máxima no eixo resultante dos torques aplicados O filete na junção de cada eixo tem raio r 6 mm EXEMPLO 6 FLEXÃO Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal são denominados vigas Vigas são classificadas de acordo com o modo como são apoiadas Diagramas de força cortante e momento fletor As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor Direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e a força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário EXEMPLO 1 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e momento fletor PESQUISAR A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se deforma por flexão Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado Deformação por flexão de um elemento reto A deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro A lei de Hooke se aplica quando o material é homogêneo O eixo neutro passa pelo centroide da área da seção transversal segmento da viga localizado à distância x ao longo do comprimento da viga com espessura x antes da deformação Por definição a deformação normal ao longo de s é determinada por Representaremos essa deformação em termos da localização y do segmento e do raio de curvatura r do eixo longitudinal do elemento Para qualquer seção transversal específica a deformação normal longitudinal variará linearmente com y em relação ao eixo neutro Ocorrerá contração 𝜖 nas fibras localizadas acima do eixo neutro y alongamento 𝜖 nas fibras localizadas abaixo do eixo y A deformação máxima ocorre na fibra mais externa localizada a distância c do eixo neutro Usando e visto que então por divisão A fórmula da flexão Premissa o material se comporta de uma maneira linear elástica de modo que a lei de Hooke se aplica Então uma variação linear da deformação normal deve ser a consequência de uma variação linear da tensão normal Logo assim como a variação da deformação normal 𝜎 variará de zero no eixo neutro do elemento até um valor máximo 𝜎𝑚á𝑥 à distância c mais afastada do eixo neutro Assim A fórmula da flexão Podemos localizar a posição do eixo neutro na seção transversal satisfazendo a condição de que a força resultante produzida pela distribuição de tensão na área da seção transversal deve ser nula A fórmula da flexão Podemos determinar a tensão na viga pelo fato de que o momento interno resultante M deve ser igual ao momento produzido pela distribuição de tensão em torno do eixo neutro A fórmula da flexão Por consequência essa equação pode ser resolvida para 𝜎𝑚á𝑥 e escrita em sua forma geral como O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro Pela regra da mão direita o sinal negativo é compressivo já que age na direção negativa de x A fórmula da flexão σ tensão normal no membro M momento interno I momento de inércia y distância perpendicular do eixo neutro Visto que a tensão normal em uma distância intermediária y pode ser O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro Pela regra da mão direita o sinal negativo é compressivo já que age na direção negativa de x A fórmula da flexão EXEMPLO 2 EXEMPLO 3 Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas O fator de transformação n é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga Vigas compostas EXEMPLO 4 CISAHLAMENTO TRANSVERSAL Quando o cisalhamento V é aplicado essa distribuição não uniforme na seção transversal fará com que ela se deforme A relação entre o momento e o cisalhamento é Cisalhamento em elementos retos V dM dx A fórmula do cisalhamento é usada para encontrar a tensão de cisalhamento na seção transversal A fórmula do cisalhamento onde y A ydA Q It VQ A τ tensão de cisalhamento no elemento V força de cisalhamento interna resultante I momento de inércia da área da seção transversal inteira t largura da área da seção transversal do elemento Para uma viga com seção transversal retangular a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com a altura A tensão de cisalhamento máxima ocorre ao longo do eixo neutro Tensões de cisalhamento em vigas Para projetar os elementos de fixação é necessário conhecer a força de cisalhamento à qual eles devem resistir ao longo do comprimento da estrutura Fluxo de cisalhamento em estruturas compostas por vários elementos I VQ q q fluxo de cisalhamento V força de cisalhamento interna resultante I momento de inércia de toda a área da seção transversal Esse carregamento quando medido como força por unidade de comprimento é denominado fluxo de cisalhamento q A viga mostrada na Figura 710a é feita de madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento cortante vertical interna resultante V 3 kN a Determine a tensão de cisalhamento na viga no ponto P e b calcule a tensão de cisalhamento máxima na viga Uma viga T de aço tem as dimensões mostradas na Figura 711a Se for submetida a uma força de cisalhamento força cortante V 80 kN a trace uma curva da distribuição da tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal da viga e b determine a força de cisalhamento à qual a alma resiste A viga mostrada na Figura 712a é feita com duas tábuas Determine a tensão de cisalhamento máxima necessária na cola para que ela mantenha as tábuas unidas ao longo da linha de junção Os apoios em B e C exercem apenas reações verticais na viga A viga é composta por quatro tábuas coladas como mostra a Figura 716a Se for submetida a um cisalhamento V 850 kN determine o fluxo de cisalhamento em B e C ao qual a cola deve resistir Referências Bibliograficas Hibbeler RC Resistência dos Materiais 7ª Ed 2009 Hibbeler RC Estática Mecânica Para Engenharia 13ª Ed 2013 Beer F P e Jonhston E Mecânica Vetorial para Engenheiros Estática Jr 5ª ed Makron Books 1995