Ecuaciones Básicas en Forma Integral para un Volumen de Control

EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA UM VOLUME DE CONTROLE 0 Teorema de Transporte de Reynolds TTR Em termodinâmica e mecânica de sólidos quase sempre trabalhamos com um sistema também chamado de sistema fechado definido como uma quantidade de matéria de identidade fixa Em dinâmica dos fluidos é mais comum trabalhar com um volume de controle também chamado de sistema aberto definido como uma região no espaço selecionada para estudo O tamanho e a forma de um sistema pode mudar durante um processo mas nenhuma massa cruza suas fronteiras Um volume de controle por outro lado permite que a massa escoe para dentro ou para fora de suas fronteiras as quais são chamadas de superfície de controle Um volume de controle também pode se movimentar e deformar durante um processo mas muitas aplicações do mundo real envolvem volumes de controle fixos e não deformáveis Volume de controle no instante t t Vc permanece fixo no tempo Considere o escoamento da esquerda para a direita através de uma parte divergente em expansão de um campo de escoamento Os limites superior e inferior considerados são linhas de corrente do escoamento e consideramos o escoamento uniforme através de qualquer seção transversal entre essas duas linhas de corrente Escolhemos o volume de controle como fixo entre as seções 1 e 2 do campo de escoamento Tanto 1 quanto 2 são normais à direção do escoamento Em algum instante inicial t o sistema coincide com o volume de controle e portanto o sistema e o volume de controle são idênticos a região sombreada Sistema volume material e volume de controle no instante t região hachurada Sistema no instante t t região hachurada Escoamento para dentro durante t Escoamento para fora durante t No instante t Sis VC No instante t t Sis VC I II Um sistema móvel região hachurada e um volume de controle fixo região sombreada de uma parle divergente dc um campo de escoamento nos instantes t e t t Os limites superior e inferior são linhas de corrente do escoamento Durante o intervalo de tempo t o sistema se movimenta na direção do escoamento com velocidades uniformes V1 na seção 1 e V2 na seção 2 O sistema neste último instante é indicado pela região hachurada A região descoberta pelo sistema durante esse movimento é designada como seção I parte do VC e a região nova coberta pelo sistema é designada como seção II não é parte do VC Assim no instante t t o sistema consiste no mesmo fluido mas ocupa a região VC I II O volume de controle é fixo no espaço e portanto permanece como a região sombreada marcada VC em todos os instantes Sistema volume material e volume de controle no instante t região hachurada Escoamento para dentro durante t Escoamento para fora durante t No instante t Sis VC No instante t t Sis VC I II Volume de controle no instante t t VC permanece fixo no tempo Sistema no instante t t região hachurada Volume de controle Essa equação afirma que a taxa de variação no tempo da propriedade B no sistema é igual à taxa de variação no tempo de B no volume de controle mais o fluxo total de B fora do volume de controle pela massa que atravessa a superfície de controle Essa equação se aplica em qualquer instante onde se supõe que o sistema e o VC ocupam o mesmo espaço naquele determinado instante de tempo O fluxo de entrada 𝐵𝑖𝑛 𝑒 𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎 𝐵𝑜𝑢𝑡 da propriedade B neste caso são fáceis de determinar uma vez que existe apenas uma entrada e uma saída e as velocidades são normais às superfícies das seções 1 e 2 Em geral porém podemos ter várias entradas e saídas e a velocidade pode não ser normal à superfície de controle no ponto de entrada Da mesma forma a velocidade pode não ser uniforme Massa entrando Massa saindo Massa saindo Normal exterior Volume de controle Massa entrando Massa saindo Massa saindo Normal exterior Volume de controle A integral de b𝑉 𝑛 em uma superfície de controle dá a quantidade total da propriedade B que escoa para fora do volume de controle ou para dentro do volume de controle se for negativa por unidade de tempo se negativo o escoamento é para dentro Um aspecto importante dessa relação é que ela subtrai automaticamente o escoamento de entrada do escoamento de saída Teorema de Transporte de Reynolds TTR O teorema de transporte de Reynolds se refere à taxa de variação de uma propriedade extensiva de um fluido em um volume de controle que é expressa em termos da derivada material Seu propósito é fornecer uma ligação entre os conceitos relacionados com os volumes de controles àqueles relacionados com sistemas 9 Teorema do Transporte de Reynolds TTR para um VC Fixo Um valor positivo para dBCVdt indica um aumento de conteúdo B e um valor negativo indica uma diminuição Temos o teorema de transporte de Reynolds também conhecido como a transformação de sistema para volume de controle para um volume de controle fixo extensiva Depende da massa Não depende da massa intensiva Teorema do Transporte de Reynolds TTR alternativo para um VC Fixo TTR para escoamento permanente A quantidade da propriedade B dentro do volume de controle permanece constante no tempo Em algumas aplicações podemos querer reescrever a Equação Para cada saída Para cada entrada em termos da vazão em volume e não em massa Em tais casos fazemos mais uma aproximação Essa aproximação é exata quando a densidade do fluido é uniforme em A Para cada saída Para cada entrada O TTR aproximado para entradas e saídas bem definidas Leis de Conservação Conservação da Massa A relação de conservação de massa de um sistema fechado que passa por uma variação é expressa como msis constante ou dmsis dt 0 que é um enunciado óbvio de que a massa do sistema permanece constante durante um processo Relembrando Leis de Conservação Conservação da Massa Para um Volume de Controle o balanço de massa é expresso na forma de taxa como são as vazões totais do escoamento de massa para dentro e para fora do VC É a taxa de variação da massa dentro das fronteiras do Volume de Controle EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE Em FT a relação de conservação de massa para um VC diferencial é chamada de equação da continuidade Relembrando Leis de Conservação Conservação da Quantidade de Movimento Linear Momento linear O produto da massa m pela velocidade 𝑉 de um corpo é chamado de momento linear ou apenas de quantidade de movimento do corpo O momento de um corpo rígido de massa m movendose com uma velocidade 𝑉 é m 𝑉 Segunda lei de Newton afirma que a aceleração de um corpo é proporcional à força resultante que age sobre ele e é inversamente proporcional à sua massa e que a taxa de variação do momento de um corpo no tempo é igual à força resultante que age sobre o corpo F m a Leis de Conservação Conservação da Quantidade de Movimento Linear Princípio de conservação do momento O momento de um sistema permanece constante apenas quando a força resultante atuando sobre ele é zero e portanto a quantidade de movimento de tais sistemas é conservada Equação da quantidade de movimento linear Em FT a segunda lei de Newton é geralmente referida como a equação do momento linear Leis de Conservação Conservação de Energia Princípio da conservação da energia balanço de energia A energia pode ser transferida de ou para um sistema fechado por calor ou trabalho e 0 princípio de conservação da energia exige que a transferência de energia líquida de ou para um sistema durante um processo seja igual à variação da energia contida no sistema Volumes de controle também envolvem transferência de energia por meio do escoamento de massa Leis de Conservação Conservação de Energia Ein e Eout são as taxas totais de transferência de energia para dentro e para fora do VC respectivamente É a taxa de variação de energia dentro das fronteiras do VC Em FT geralmente limitamos nossa consideração apenas às formas de energia mecânica Conservação de Energia Conservação da Massa O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as formulações de sistema e de volume de controle é a conservação da massa É intuitivo que massa não pode ser criada nem destruída Se a vazão em massa para dentro de um VC excede aquela que sai a massa acumularseá dentro do VC Conservação da Massa Conservação de massa Massa como energia é uma propriedade conservada e não pode ser criada ou destruída durante um processo Sistemas A massa do sistema permanece constante durante um processo Volumes de controle a massa pode cruzar os limites por isso devemos manter o controle da quantidade de massa que entra e sai do volume de controle A conservação da Massa A massa assim como a energia e uma propriedade conservada e não pode ser criada nem destruída durante um processo Entretanto a massa m e a energia E podem ser convertidas entre si Processo de eletrolise a água se dissociara em 2 kg de hidrogênio e 16 kg de oxigênio A massa e conservada mesmo durante as reações Químicas A conservação da Massa Fórmula proposta por Albert Einstein 18791955 c e a velocidade da luz no vácuo que é c 29979 X 108 ms Essa equação sugere que a massa de um sistema varia quando sua energia também varia Vazão em massa e em Volume Vazão em massa 𝒎 A quantidade de massa fluindo através de uma seção transversal por unidade de tempo A vazão em massa diferencial Funções de ponto tem diferenciais exatas Funções de caminho tem diferenciais não exatas A velocidade normal Vn para uma superfície é a componente da velocidade perpendicular à superfície Velocidade Média Vazão em massa Vazão em Volume Princípio da conservação da massa O princípio da conservação da massa para um volume de controle A transferência total de massa de ou para um volume de controle durante um intervalo de tempo t é igual à variação líquida aumento ou diminuição na massa total dentro do volume de controle durante t 𝑴𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒏𝒐 𝑽𝑪 𝒅𝒖𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒕 𝑴𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒊𝒙𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒐 𝑽𝑪 𝒅𝒖𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒕 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒏𝒐 𝑽𝑪 𝒅𝒖𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒕 Princípio da conservação da massa 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑚𝑠𝑎𝑖 𝑚𝑉𝐶 kg 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑚𝑠𝑎𝑖 𝑑𝑚𝑉𝐶 𝑑𝑡 kgs O balanço de massa é aplicável a qualquer volume de controle submetido a qualquer tipo de processo 𝑴𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒏𝒐 𝑽𝑪 𝒅𝒖𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒕 𝑴𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒊𝒙𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒐 𝑽𝑪 𝒅𝒖𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒕 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒏𝒐 𝑽𝑪 𝒅𝒖𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒕 Massa total dentro do VC Taxa de variação da massa dentro do VC Componente normal da velocidade Vazão em massa diferencial Vazão total de massa Conceito de produto escalar Massa total dentro do VC Taxa de variação da massa dentro do VC Componente normal da velocidade Vazão em massa diferencial A vazão de massa através de dA é proporcional a densidade do fluido a velocidade normal Vn e a área de escoamento dA Massa total dentro do VC Taxa de variação da massa dentro do VC Componente normal da velocidade A vazão liquida para dentro ou para fora do volume de controle através de toda a superfície de controle é obtida pela integração de 𝑚 sobre toda a superfície de controle Vazão total de massa Vazão em massa diferencial Componente normal da velocidade Vazão total de massa A direção do escoamento é automaticamente discernida e a integral de superfície fornece diretamente a vazão total de massa O resultado é positivo vazão para fora do volume de controle O resultado é negativo vazão para dentro do volume de controle indica vazão total de massa para fora do volume de controle indica vazão total de massa para dentro do volume de controle Conservação Geral de massa A taxa de variação no tempo da massa dentro do volume de controle mais a vazão total em massa através da superfície de controle é igual a zero Vazão total de massa Taxa de variação da massa dentro do VC Atenção a Superfície de controle obliqua ao escoamento b Superfície de controle normal ao escoamento Existe uma flexibilidade considerável na escolha de um volume de controle ao resolver um problema Varias opções de volume de controle podem estar corretas mas o trabalho com algumas delas e mais conveniente Um volume de controle não deve introduzir complicações desnecessárias A opção adequada de um volume de controle pode facilitar bastante a solução de um problema aparentemente complicado Uma regra simples ao selecionar um volume de controle é tomar sempre que possível a superfície de controle normal ao escoamento em todos os locais nos quais ela cruza o escoamento do fluido Volumes de Controle Móveis ou Deformáveis Uma superfície de controle sempre deve ser selecionada normal ao escoamento em todos os locais onde ela cruzar o escoamento do fluido para evitar complicações embora o resultado seja o mesmo a Superfície de controle obliqua ao escoamento b Superfície de controle normal ao escoamento Assim o produto escalar tomase simplesmente a intensidade da velocidade e a integral tomase simplesmente Volumes de Controle Móveis ou Deformáveis Também são validas para volumes de controle moveis ou deformáveis desde que a velocidade absoluta 𝑉 seja substituída pela velocidade relativa 𝑉𝑟 que e a velocidade do fluido em relação a superfície de controle Volumes de Controle Móveis ou Deformáveis No caso de um volume de controle não deformável a velocidade relativa e a velocidade do fluido observado por uma pessoa que se move com o volume de controle e é expressa por Onde 𝑉 é a velocidade do fluido 𝑉𝐶𝑆 é a velocidade do volume de controle ambas relativas a um ponto externo fixo 𝑉𝑟 𝑉 𝑉𝐶𝑆 Balanço de massa para processo com escoamento estacionário permanente Durante um processo de escoamento permanente a quantidade total de massa contida em um volume de controle não muda com o tempo mVC constante Então o princípio da conservação da massa requer que a quantidade total de massa que entra em um volume de controle seja igual à quantidade total de massa que sai dele Para processos de escoamento permanente estamos interessados na quantidade de massa que escoa por unidade de tempo ou seja na vazão em massa 𝒎 Para múltiplas entradas e saídas Corrente única Caso especial escoamento incompressível A conservação das relações de massa pode ser simplificada ainda mais quando o fluido é incompressível o que normalmente é o caso dos líquidos Escoamento estacionário incompressível corrente única Escoamento estacionário incompressível Caso especial escoamento incompressível É importante lembrar que Não existe princípio de conservação de volume No entanto para escoamento permanente de líquidos as vazões em volume bem como as vazões em massa permanecem constantes uma vez que os líquidos são essencialmente substâncias incompressíveis massa específica constante EXERCÍCIO Um cilindro longo e sólido com raio 08 m com dobradiças no ponto A é usado como uma comporta automática como ilustra a figura Quando o nível de água atinge 5 m a comporta se abre girando a dobradiça no ponto A Determine a a força hidrostática que age sobre o cilindro e sua linha de ação quando a comporta se abre b O peso do cilindro por unidade de comprimento Solução do Exercício Hipóteses 1 O atrito na dobradiça é desprezível 2 A pressão atmosférica age em ambos os lados da comporta e portanto cancelase 3 Consideraremos a massa específica da água como 1000 kgm3 em todo o reservatório EXERCÍCIO Determine a a força hidrostática que age sobre o cilindro e sua linha de ação quando a comporta se abre b O peso do cilindro por unidade de comprimento Vamos considerar o diagrama de corpo livre do bloco líquido incluso na superfície circular do cilindro e suas projeções vertical e horizontal As forças hidrostáticas que agem no conjunto estão sobre as superfícies planas vertical e horizontal e o o peso do bloco de líquido 𝐹𝐻 𝐹𝑥 𝑃𝑚𝑒𝑑 𝐴 𝜌 𝑔 ℎ𝐶 𝐴 𝜌 𝑔 𝑠 𝑅 2 𝐴 𝐹𝐻 1000981 42 08 2 081 361 𝑘𝑁 Força Horizontal sobre a superfície vertical 𝐹𝑦 𝑃𝑚𝑒𝑑 𝐴 𝜌 𝑔 ℎ𝐶 𝐴 𝜌 𝑔 ℎ𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐴 𝐹𝑦 10009815 081 392 𝑘𝑁 Força Vertical sobre a superfície vertical Peso do bloco de fluido para baixo por unidade de comprimento para dentro do papel 𝑊 𝑚 𝑔 𝜌 𝑔 𝑉 𝜌 𝑔 𝑅2 𝜋𝑅2 4 1𝑚 𝑊 1000981 082 1 𝜋 4 1𝑚 13 𝑘𝑁 Assim a força vertical resultante para cima é 𝐹𝑉 𝐹𝑦 𝑊 392 13 379𝑘𝑁 Dessa forma a intensidade e a direção da força hidrostática que age sobre a superfície cilíndrica tornase 𝐹𝑅 𝐹𝐻 2 𝐹𝑉 2 3612 3792 523𝑘𝑁 𝑡𝑔𝜃 𝐹𝑉 𝐹𝐻 379 361 105 𝜃 464 Portanto a intensidade da força hidrostática que age sobre o cilindro é de 523 kN por unidade de comprimento do cilindro e sua linha de ação passa através do centro do cilindro em um ângulo de 464 com a horizontal Quando o nível de água atingir 5m de altura a comporta estará quase abrindo e portanto a força de reação na parte inferior do cilindro é zero Assim as forças além da dobradiça agindo sobre o cilindro são seu peso agindo no centro e a força hidrostática exercida pela água Tomando um momento em relação ao ponto A no local da dobradiça e igualandoo a zero temos 𝐹𝑅 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑊𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑅 0 𝑊𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝐹𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 523 𝑠𝑒𝑛464 379 𝑘𝑁 𝑊𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 379 𝑘𝑁 379 𝑚 981 𝑚𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 3863 𝑘𝑔 𝜌 𝑚𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑉 3863 𝜋 𝑟2 ℎ 𝜌 𝑚𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑉 3863 𝜋 082 1 1921 𝑘𝑔𝑚³ O peso do cilindro por unidade de comprimento é determinado como 379kN É possível demonstrar que isso corresponde a uma massa de 3863 kg por unidade de comprimento e uma massa específica de 1921 kgm3 para o material do cilindro