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Departamento de Engenharia Mecânica Prof Rafael Menezes de Oliveira ENG 1011 Fenômenos de Transporte I Slides 10 Escoamento em tubos Escoamento laminar em tubo circular Exercício 3 Escoamento laminar em tubo anular Exercício 4 Escoamento turbulento em dutos exercícios 5 e 6 AULA PASSADA ESCOAMENTO DE POISEUILLE EM TUBOS Condições de contorno EXERCÍCIO 3 Fox exemplo 84 Um viscosímetro capilar mede a vazão e a perda de carga num duto capilar Um teste para um certo líquido forneceu 1 vazão volumétrica 𝑄 880 𝑚𝑚3𝑠 2 Diâmetro do tubo 𝐷 050 𝑚𝑚 3 comprimento do tubo 𝐿 1 𝑚 4 Queda de pressão 𝑝 1 𝑀𝑝𝑎 Determine a viscosidade do líquido EXERCÍCIO 3 SOLUÇÃO Aplicação direta da relação entre vazão volumétrica e queda de pressão EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR Como no caso de um tubo circular Desejase bombear glicerina a 20 ρ 1000 𝐾𝑔𝑚3 e 𝜇 14 𝐾𝑔𝑚𝑠 em um tubo anular horizontal O diâmetro interno é 1 𝑖𝑛 e o externo é 2 𝑖𝑛 O tubo possui 2 𝑚 de comprimento Desejase uma vazão de 015 𝑚3𝑠 Qual a potência de bombeamento necessária Laminar Podemos usar a formulação diferencial EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR Precisamos resolver essa equação diferencial por separação de variáveis aplicando as seguintes condições de contorno Uma vez determinado o campo de velocidade podemos calcular a vazão volumétrica e a potência Nossa estratégia de solução é Relação entre as grandezas 𝑢 𝑄 𝑃 𝜅𝑅 raio interno onde 𝜅 𝑅𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑅𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 0 𝜅 1 𝑅 raio externo Potência que mantém gradiente de pressão necessário para que tenhamos vazão volumétrica 𝑄 EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR Aplicando condições de contorno para determinar e EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR A vazão volumétrica é Integrando o último termo por partes EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR Potência ESCOAMENTO TURBULENTO EM DUTOS O perfil de velocidade parabólico definido anteriormenteo só é válido para escoamentos laminares Em regime turbulento para determinar o perfil de velocidade médio no tempo é necessário usar um modelo de turbulência ou utilizar dados empíricos Nosso objetivo ao estudar escoamentos turbulentos em tubos é determinar a perda de carga ou o fator de atrito Como vimos a perda de carga pode ser calculada através do fator de atrito Em regime turbulento o fator de atrito depende do número de Reynolds e da rugosidade e do tubo Fator de atrito 𝑓 Rugosidade relativa Τ 𝜀 𝐷 Número de Reynolds Região completamente rugosa Tubos lisos Escoamento laminar Região de transição ESCOAMENTO TURBULENTO EM DUTOS A rugosidade relativa depende do material e do diâmetro da tubulação O fator de atrito pode ser avaliado a partir do diagrama de Moody ou pelo uso de correlações matemáticas como a expressão de Colebrook 𝑓 2 log 𝜖𝐷 37 251 𝑅𝑒 𝑓 2 ESCOAMENTO TURBULENTO EM DUTOS Para um tubo liso o perfil de velocidade pode ser aproximado pela lei de potências O expoente 𝑛 varia com o número de Reynolds mas é comum especificar o expoente 𝑛 7 independente do número de Reynolds Note que a hipótese de velocidade uniforme na seção transversal não é uma boa aproximação para o regime laminar Já para o regime turbulento essa é uma aproximação razoável especialmente para altos números de Reynolds EXERCÍCIO 5 Desejase bombear água a 20 ρ 1000 𝑘𝑔𝑚3 μ 0001 𝑃𝑎 𝑠 em um tubo circular liso O diâmetro interno é 𝐷 3 𝑐𝑚 O tubo possui 𝐿 20 𝑚 de comprimento Desejase uma vazão de ሶ𝑚 4 𝑘𝑔𝑠 Qual a potência de bombeamento necessária EXERCÍCIO 5 SOLUÇÃO No exercício 4 calculamos a potência 𝑃 𝑝𝑄 a partir do perfil de velocidade laminar obtido resolvendo equação diferencial 𝑢 𝑄 𝑃 Precisamos verificar o regime do escoamento Se laminar podemos seguir a mesma estratégia Se turbulento usamos o fator de atrito turbulento Para escoamento turbulento podemos obtemos 𝑄 a partir da vazão mássica e 𝑝 a partir da definição de fator de atrito DIAGRAMA DE MOODY Fator de atrito 𝑓 Rugosidade relativa Τ 𝜀 𝐷 Número de Reynolds Região completamente rugosa Tubos lisos Escoamento laminar Região de transição EXERCÍCIO 5 SOLUÇÃO Para obter 𝑓 consultamos o diagrama de Moody ou a equação de Colebrook EXERCÍCIO 6 Para a mesma potência disponível do exercício anterior qual a vazão se a água for substituída por um óleo com ρ 900 𝑘𝑔𝑚3 μ 01 𝑃𝑎 𝑠 EXERCÍCIO 6 SOLUÇÃO Assumindo escoamento laminar Substituindo na expressão para 𝑄 Confirmando que o escoamento é laminar 13 Porque temos um óleo viscoso no lugar de água EXERCÍCIO 6 SOLUÇÃO Alternativamente também podemos resolver de maneira análoga ao exercício 3 usando a formulação diferencial Τ Δ𝑝 𝐿 Mesmo resultado do slides anterior
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Departamento de Engenharia Mecânica Prof Rafael Menezes de Oliveira ENG 1011 Fenômenos de Transporte I Slides 10 Escoamento em tubos Escoamento laminar em tubo circular Exercício 3 Escoamento laminar em tubo anular Exercício 4 Escoamento turbulento em dutos exercícios 5 e 6 AULA PASSADA ESCOAMENTO DE POISEUILLE EM TUBOS Condições de contorno EXERCÍCIO 3 Fox exemplo 84 Um viscosímetro capilar mede a vazão e a perda de carga num duto capilar Um teste para um certo líquido forneceu 1 vazão volumétrica 𝑄 880 𝑚𝑚3𝑠 2 Diâmetro do tubo 𝐷 050 𝑚𝑚 3 comprimento do tubo 𝐿 1 𝑚 4 Queda de pressão 𝑝 1 𝑀𝑝𝑎 Determine a viscosidade do líquido EXERCÍCIO 3 SOLUÇÃO Aplicação direta da relação entre vazão volumétrica e queda de pressão EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR Como no caso de um tubo circular Desejase bombear glicerina a 20 ρ 1000 𝐾𝑔𝑚3 e 𝜇 14 𝐾𝑔𝑚𝑠 em um tubo anular horizontal O diâmetro interno é 1 𝑖𝑛 e o externo é 2 𝑖𝑛 O tubo possui 2 𝑚 de comprimento Desejase uma vazão de 015 𝑚3𝑠 Qual a potência de bombeamento necessária Laminar Podemos usar a formulação diferencial EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR Precisamos resolver essa equação diferencial por separação de variáveis aplicando as seguintes condições de contorno Uma vez determinado o campo de velocidade podemos calcular a vazão volumétrica e a potência Nossa estratégia de solução é Relação entre as grandezas 𝑢 𝑄 𝑃 𝜅𝑅 raio interno onde 𝜅 𝑅𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑅𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 0 𝜅 1 𝑅 raio externo Potência que mantém gradiente de pressão necessário para que tenhamos vazão volumétrica 𝑄 EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR Aplicando condições de contorno para determinar e EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR A vazão volumétrica é Integrando o último termo por partes EXERCÍCIO 4 ESCOAMENTO EM TUBO ANULAR Potência ESCOAMENTO TURBULENTO EM DUTOS O perfil de velocidade parabólico definido anteriormenteo só é válido para escoamentos laminares Em regime turbulento para determinar o perfil de velocidade médio no tempo é necessário usar um modelo de turbulência ou utilizar dados empíricos Nosso objetivo ao estudar escoamentos turbulentos em tubos é determinar a perda de carga ou o fator de atrito Como vimos a perda de carga pode ser calculada através do fator de atrito Em regime turbulento o fator de atrito depende do número de Reynolds e da rugosidade e do tubo Fator de atrito 𝑓 Rugosidade relativa Τ 𝜀 𝐷 Número de Reynolds Região completamente rugosa Tubos lisos Escoamento laminar Região de transição ESCOAMENTO TURBULENTO EM DUTOS A rugosidade relativa depende do material e do diâmetro da tubulação O fator de atrito pode ser avaliado a partir do diagrama de Moody ou pelo uso de correlações matemáticas como a expressão de Colebrook 𝑓 2 log 𝜖𝐷 37 251 𝑅𝑒 𝑓 2 ESCOAMENTO TURBULENTO EM DUTOS Para um tubo liso o perfil de velocidade pode ser aproximado pela lei de potências O expoente 𝑛 varia com o número de Reynolds mas é comum especificar o expoente 𝑛 7 independente do número de Reynolds Note que a hipótese de velocidade uniforme na seção transversal não é uma boa aproximação para o regime laminar Já para o regime turbulento essa é uma aproximação razoável especialmente para altos números de Reynolds EXERCÍCIO 5 Desejase bombear água a 20 ρ 1000 𝑘𝑔𝑚3 μ 0001 𝑃𝑎 𝑠 em um tubo circular liso O diâmetro interno é 𝐷 3 𝑐𝑚 O tubo possui 𝐿 20 𝑚 de comprimento Desejase uma vazão de ሶ𝑚 4 𝑘𝑔𝑠 Qual a potência de bombeamento necessária EXERCÍCIO 5 SOLUÇÃO No exercício 4 calculamos a potência 𝑃 𝑝𝑄 a partir do perfil de velocidade laminar obtido resolvendo equação diferencial 𝑢 𝑄 𝑃 Precisamos verificar o regime do escoamento Se laminar podemos seguir a mesma estratégia Se turbulento usamos o fator de atrito turbulento Para escoamento turbulento podemos obtemos 𝑄 a partir da vazão mássica e 𝑝 a partir da definição de fator de atrito DIAGRAMA DE MOODY Fator de atrito 𝑓 Rugosidade relativa Τ 𝜀 𝐷 Número de Reynolds Região completamente rugosa Tubos lisos Escoamento laminar Região de transição EXERCÍCIO 5 SOLUÇÃO Para obter 𝑓 consultamos o diagrama de Moody ou a equação de Colebrook EXERCÍCIO 6 Para a mesma potência disponível do exercício anterior qual a vazão se a água for substituída por um óleo com ρ 900 𝑘𝑔𝑚3 μ 01 𝑃𝑎 𝑠 EXERCÍCIO 6 SOLUÇÃO Assumindo escoamento laminar Substituindo na expressão para 𝑄 Confirmando que o escoamento é laminar 13 Porque temos um óleo viscoso no lugar de água EXERCÍCIO 6 SOLUÇÃO Alternativamente também podemos resolver de maneira análoga ao exercício 3 usando a formulação diferencial Τ Δ𝑝 𝐿 Mesmo resultado do slides anterior