Teoria das Estruturas II - Arthur Rosinski do Nascimento

Arthur Rosinski do Nascimento Teoria das Estrturas II 2016 by Universidade de Uberaba Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Universidade de Uberaba Universidade de Uberaba Reitor Marcelo Palmério PróReitor de Educação a Distância Fernando César Marra e Silva Editoração Produção de Materiais Didáticos Capa Toninho Cartoon Edição Universidade de Uberaba Av Nenê Sabino 1801 Bairro Universitário Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE Arthur Rosinski do Nascimento Possuo graduação em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Maringá 2011 Sou especialista em Gerenciamento de Projetos pela Universidade Estadual de Maringá 2013 Atualmente estou cursando mestrado em Engenharia Civil na área de Estruturas pela Universidade estadual de Maringá início em 2015 Sobre os autores Sumário Capítulo 1 Apresentação do método dos deslocamentos 9 11 Método dos deslocamentos 11 111 Exemplo de aplicação 1 MARTHA 2010 19 Capítulo 2 Método dos deslocamentos com simplificações de deslocabilidades29 21 Simplificações de deslocabilidades 30 211 Exemplo de aplicação 2 SUSSEKIND 1987 40 212 Exemplo de aplicação 3 SORIANO 2006 48 Capítulo 3 Método dos deslocamentos aplicado em pórticos planos 59 31 Exemplos de aplicação em pórticos planos 60 311 Exemplo de aplicação 4 MARTHA 2010 60 Capítulo 4 Método dos deslocamentos aplicado em grelhas 81 41 Método dos deslocamentos aplicado em grelhas 82 411 Incógnitas do problema 82 412 Número de incógnitas Deslocabilidade interna 83 413 Número de incógnitas Deslocabilidade externa 84 414 Grandezas Fundamentais 84 415 Exemplo de aplicação 5 MARTHA 2010 85 416 Exemplo de aplicação 6 SUSSEKIND 1987 98 Capítulo 5 Método dos deslocamentos aplicados em barras inclinadas e barras com rigidez infinita 115 51 Método dos deslocamentos aplicado a barras inclinadas 116 511 Exemplo de aplicação 7 MARTHA 2010 117 52 Método dos deslocamentos aplicado a barras infinitamente rígidas 127 Capítulo 6 Método dos deslocamentos aplicado em estruturas com deslocamentos prescritos 139 61 Método dos deslocamentos aplicado em estruturas com deslocamentos prescritos 140 611 Exemplo de aplicação 9 OLIVEIRA JÚNIOR 141 612 Exemplo de aplicação 10 OLIVEIRA JÚNIOR 152 Capítulo 7 Processo de cross 165 71 Processo de cross 166 711 Exemplo de aplicação 11 SORIANO 2006 178 712 Exemplo de aplicação 12 SORIANO 2006 183 Capítulo 8 Introdução à análise matricial de estrutura método da rigidez direta 189 811 Sistema de Coordenadas Generalizadas 191 81 Método da rigidez direta 191 812 Matriz de rigidez de uma barra no sistema local 192 813 Matriz de rigidez local no sistema global 195 814 Montagem da matriz de rigidez global 198 815 Montagem das cargas nodais combinadas no vetor das forças generalizadas globais 203 816 Imposição de equilíbrio aos nós isolados 208 817 Consideração das condições de apoio 209 CONCLUSÃO 212 REFERÊNCIAS 213 As estruturas hiperestáticas são estruturas indeterminadas utilizan dose somente as equações da estática Portanto a análise destas estruturas é feita utilizando técnicas mais elaboradas para que se possam calcular todas as variáveis do problema O estudo das estruturas estaticamente indeterminadas é o conteúdo que vem na sequência das estruturas isostáticas e resistência dos materiais pois os grandes métodos de aná lises de estruturas usam estruturas auxiliares isostáticas na qual é possível o cálculo das deformações para nas superpo sições de forças ou deslocamentos obter resultados da es trutura real Desta forma tornase imprescindível que o leitor tenha conhecimentos básicos destas disciplinas Os dois principais métodos de análise são o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos Este conjunto de capítulos tem a intenção de apresentar o segundo método apresentado anterior mente Tal método por sua simplicidade e única forma de solução tem sido muito utilizado em análises de estruturas feitas tanto ma nualmente quanto por computadores Assim a sequência dos assuntos abordados neste material está apresentada a seguir O primeiro capítulo apresentará os principais conceitos na qual se baseia o Método dos Deslocamentos sendo este um método de análise de estruturas hiperestáticas Apresentação O Capítulo II apresentará as simplificações permitidas nas estru turas para facilitar a análise manual podendo assim o engenhei ro avaliar o comportamento das estruturas rapidamente mediante cálculos simples apresentando exemplos de vigas hiperestáticas resolvidas O terceiro capítulo demonstrará um exemplo de análise pelo Método dos Deslocamentos de pórtico plano O quarto capítulo exporá as considerações que devem ser feitas para a análise de estruturas do tipo grelha pelo Método dos Deslo camentos utilizandose de vários exemplos resolvidos para fixação do assunto O quinto capítulo fará a análise de estruturas planas que possuem barras inclinadas ou com rigidez muito elevadas po dendo considerálas rígidas No Capítulo VI serão expostos exemplos de análise de estruturas hi perestáticas que estão submetidas a recalques de apoios O Capítulo VII abordará o Processo de Cross técnica de análise que utiliza os conceitos do Método dos Deslocamentos para o cálculo manual de estruturas sem o uso de equações de equilíbrio consistindo em um método iterativo de análise estrutural E no último capítulo será exi bido o Método da Rigidez Direta ou Análise Matricial de Estruturas desenvolvido para a implementação computacional que trata ampla mente as estruturas hiperestáticas com todos os seus graus de liber dade sem a consideração das possíveis simplificações e com suas restrições de deslocamentos impostos pelos apoios Arthur Rosinski do Nascimento Introdução Apresentação do método dos deslocamentos Capítulo 1 Este capítulo foi desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados nos livros de Martha 2010 e Soriano 2006 feitas as devidas considerações do autor deste material A análise estrutural é a etapa do projeto estrutural em que é feita a idealização do comportamento da estrutura De uma maneira geral ela tem como objetivo a determinação de esforços internos e externos e das correspondentes tensões bem como a determinação dos deslocamentos e correspondentes deformações da estrutura que está sendo projetada As metodologias de cálculo são procedimentos matemáticos que resultam das hipóteses adotadas na concepção do modelo estrutural As condições matemáticas que o modelo estrutural tem que satisfazer para representar adequadamente o comportamento da estrutura real podem ser dividas nos seguintes grupos Condições de equilíbrio Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações Condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura A imposição destas condições é a base dos métodos da análise estrutural isto é as formas como essas condições 10 UNIUBE Revisar o conteúdo de análise de estruturas isostáticas pelo Princípio dos Deslocamentos Virtuais a fim de ao concluir a disciplina o a alunoa poder ter condições de avaliar qualquer estrutura seja ela isostática ou hiperestática Apresentar alguns conceitos fundamentais do Método dos Deslocamentos Organizar a metodologia para avaliação de uma estrutura hiperestática qualquer Compreender mediante exemplos de cálculo o uso do Método dos Deslocamentos Método dos Deslocamentos Exemplo de aplicação 1 Objetivos Esquema são impostas definem as metodologias dos chamados Métodos Básicos da Análise de Estruturas Método das Forças e Método dos Deslocamentos Este capítulo está direcionado para a análise de estruturas reticuladas hiperestáticas por meio do Método dos Deslocamentos e parte do princípio que você alunoa tenha conhecimentos de análise de estruturas isostáticas e resistência dos materiais UNIUBE 11 Método dos deslocamentos 11 A metodologia de análise do método consiste em somar uma série de soluções básicas chamadas de casos básicos que satisfazem as condições de compatibilidade mas não satisfazem as condi ções de equilíbrio da estrutura original para na superposição res tabelecer as condições de equilíbrio MARTHA 2010 p299 Figura 1 Configuração deformada de um pórtico plano forma da pela superposição de configurações deformadas elementares Fonte Martha 2010 p300 Na Figura 1 a configuração deformada elementar do caso 0 iso la o efeito da solicitação externa carregamento sendo que essa configuração deformada é tal que os nós extremidades das bar ras da estrutura apresentam deslocamentos e rotações nulos A configuração deformada nesse caso corresponde à situação de engastamento perfeito da viga barra horizontal devida à carga 12 UNIUBE uniformemente distribuída aplicada As demais configurações de formadas mostradas nessa figura dos casos 1 a 7 correspon dem a imposições de deslocamentos e rotações nodais isolados A superposição de configurações deformadas mostrada na Figura 1 indica que a configuração deformada final de uma estrutura re ticulada pode ser parametrizada pelas componentes de desloca mentos e rotações dos nós da estrutura Com base nisso a seguinte definição é feita Deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que estão livres isto é que devem ser conhecidas para determinar a configu ração deformada de uma estrutura MARTHA 2010 p300 O modelo estrutural utilizado nos casos básicos é o de uma es trutura cinematicamente determinada obtida a partir da estrutura original pela adição de vínculos na forma de apoios fictícios Esse modelo é chamado de Sistema Hipergeométrico SH Os apoios fictícios adicionados à estrutura para impedir as deslocabili dades são numerados de acordo com a numeração das deslocabilida des isto é o apoio 1 impede a deslocabilidade D1 e assim por diante Figura 2 Sistema Hipergeométrico do pórtico plano da Figura 1 Fonte Martha 2010 p301 UNIUBE 13 O sistema hipergeométrico é utilizado para isolar as diversas com ponentes cinemáticas da estrutura isto é isolar os efeitos de cada uma de suas deslocabilidades A base da discretização do problema analíticoestrutural pelo método dos deslocamentos está na existência de soluções fundamentais para barras isoladas Estas soluções baseiamse no fato de que conhe cendo a configuração deformada de uma barra e a solicitação externa que atua em seu interior é sempre possível determinar os esforços internos na barra e as forças e momentos que devem atuar em suas extremidades para mantêla em equilíbrio isoladamente A configuração deformada elementar de cada caso básico é impos ta por meio de forças e momentos fictícios que atuam nas direções das deslocabilidades O equilíbrio final da estrutura é garantido im pondose na superposição dos casos básicos valores nulos para essas forças e momentos fictícios SINTETIZANDO No caso 0 as forças e momentos fictícios são os termos de car gas que equilibram a estrutura na configuração deformada de engastamento perfeito Nos casos j as forças e momentos fictícios são coeficientes de rigidez globais que equilibram a estrutura em uma configuração deformada tal que a deslocabilidade e as demais são nulas 14 UNIUBE O ponto de partida para a determinação dos termos de carga no caso 0 é a situação de engastamento perfeito em que todas as desloca bilidades são mantidas fixas O cálculo dos termos de carga é obtido mediante o Método das Forças ou por meio de tabelas de engasta mento perfeito como a Tabela 1 a seguir retirada de Pinheiro 2010 Mediante as reações de momento fletor podese a partir das equa ções de equilíbrio realizar o cálculo das reações verticais UNIUBE 15 Tabela 1 Momentos de engastamento perfeito 16 UNIUBE Tabela 01 Momentos de engastamento perfeito Fonte Pinheiro 2010 pp67 UNIUBE 17 Para a determinação dos coeficientes de rigidez globais dos casos j o ponto de partida é uma configuração deformada elementar conhecida de cada caso básico O conceito adotado para se de terminarem os coeficientes de rigidez globais de um caso básico é dada uma configuração deformada de um modelo estrutural do qual se conhecem todas as desloca bilidades é sempre possível determinar as forças e momentos que atuando nas direções das des locabilidades equilibram o modelo na configura ção deformada imposta MARTHA 2010 p332 Os coeficientes de rigidez globais de cada caso básico j são de terminados a partir de coeficientes de rigidez locais associados à configuração deformada a que cada barra é submetida na imposi ção da configuração deformada do caso básico Os coeficientes de rigidez locais são determinados a partir de soluções fundamentais para barras isoladas determinadas pelo princípio dos deslocamen tos virtuais conforme ilustra a Figura a seguir Figura 3 Coeficientes de rigidez local axial de uma barra isolada Fonte Martha 2010 p276 18 UNIUBE Figura 4 Coeficientes de rigidez local à fle xão de uma barra isolada sem articulação Fonte Martha 2010 p278 Figura 5 Coeficientes de rigidez local à torção de uma barra isolada Fonte Martha 2010 p285 Figura 6 Coeficientes de rigidez local à flexão de uma barra com articulação na esquerda Fonte Martha 2010 p281 UNIUBE 19 As equações finais do Método dos Deslocamentos expressam o equi líbrio dos nós da estrutura nas direções das deslocabilidades Por isso é conveniente introduzir uma convenção de sinais para forças e momentos que facilite a definição de condições de equilíbrio Isto vai acarretar uma nova convenção de sinais para esforços normais esforços cortantes e momentos fletores em quadros planos Tabela 2 Convenção de sinais adotada para quadros planos no Método dos Deslocamentos Fonte Martha 2010 p308 111 Exemplo de aplicação 1 MARTHA 2010 Determine o diagrama de momentos fletores do pórtico hiperestáti co sabendo que a relação entre a área e o momento de inércia das barras da estrutura é AI2 m2 20 UNIUBE Figura 7 Exemplo 10 Fonte Martha 2010 p315 O primeiro passo é identificar as deslocabilidades dos nós da estru tura e definir o Sistema Hipergeométrico A princípio temos três nós a serem analisados dois apoios e um en contro entre as duas barras Os apoios são engastes e portanto não possuem nenhuma deslocabilidade Já o nó que une a barra horizontal com a vertical não tem nenhuma restrição quanto aos deslocamen tos Por se tratar de uma estrutura plana este nó possui três desloca mentos o horizontal o vertical e a rotação sendo identificados como deslocabilidades D1 D2 e D3 respectivamente conforme Figura 8 Na mesma figura é apresentado o sistema hipergeométrico no qual se busca impedir todos os deslocamentos possíveis com a inserção de apoios fictícios O apoio de primeiro gênero horizontal impede a deslocabilidade D1 o vertical a D2 e a chapa rígida a D3 Figura 8 Exemplo 11 Fonte Martha 2010 p315 UNIUBE 21 Os casos básicos utilizam o sistema hipergeométrico como estrutu ra auxiliar por meio da qual os efeitos isolados são impostos Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH O caso 0 isola o efeito da solicitação externa isto é do carrega mento aplicado Dessa forma as cargas externas são aplicadas no SH com D10 D20 e D30 Nesse caso as forças e os momen tos que aparecem nos apoios fictícios são os termos de cargas Figura 9 Exemplo 12 Fonte adaptada de Martha 2010 O primeiro índice do termo de carga β referese ao número de or dem da deslocabilidade O segundo índice ao número do caso zero neste caso Os sentidos de orientação dos termos de carga são sempre no sentido positivo conforme Tabela 2 de convenção de sinal O sentido correto é determinado pelo sinal do termo con forme reação calculada O cálculo do termo de carga é feito mediante a tabela de momento fletor para vigas engastadas Tabela 1 seguida da aplicação das 22 UNIUBE equações de equilíbrio No caso 0 o carregamento da tabela de momentos para as duas barras corresponde à linha 9 da Tabela 1 fazendo a distância a igual a zero A parte direita da Figura 9 apresenta os valores das reações em cada apoio O valor do termo de carga é o somatório das reações na direção das deslocabilidades Neste caso o termo de carga é igual ao somatório das reações das duas barras que estão na direção da deslocabilidade D1 horizontal O mesmo raciocínio é se guido para obtenção do valor do só que para a direção de D2 vertical O é o somatório dos momentos fletores no nó em que é aplicada a chapa vínculo fictício por tratarse de um deslocamento do tipo rotação Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Figura 10 Exemplo 13 Fonte Martha 2010 p316 UNIUBE 23 O caso 1 isola o efeito da deslocabilidade D1 mantendo nulos os valores das outras Conforme indicado na Figura 10 a deslocabilidade D1 é colocada em evidência Considerase um valor unitário para D1 sendo o efeito de D11 multiplicado pelo valor final que D1 deverá ter O primeiro índice do coeficiente de rigidez global K referese ao nú mero de ordem da deslocabilidade O segundo índice ao número do caso um neste caso O sentido de orientação dos termos de carga é sempre no sentido positivo conforme tabela de convenção de sinal O sentido correto é determinado pelo sinal do termo con forme reação calculada Os coeficientes de rigidez global são obtidos em funções de coefi cientes de rigidez de barras isoladas Estes termos são chamados de coeficientes de rigidez locais calculados de acordo com as so luções fundamentais conforme apresentado nas Figuras 11 a 14 Observase na Figura 10 como os coeficientes de rigidez locais das barras contribuem para os coeficientes de rigidez globais da estrutura Por exemplo a força K11 que deve atuar na direção glo bal de D1 para dar configuração deformada onde D11 é obtida pela soma do coeficiente de rigidez axial EA6 da barra horizontal com o coeficiente de rigidez transversal 12EI4³ da barra vertical Vêse também que em nenhuma das duas barras aparecem for ças verticais no nó deslocado para dar a configuração deformada imposta Assim não há contribuição para o coeficiente de rigidez global K21 o que resulta em um valor nulo De forma análoga o coeficiente de rigidez global K31 recebe uma contribuição nula da barra horizontal pois esta sofre apenas uma deformação axial e uma contribuição do momento 6EI42 vindo da barra vertical Nos casos seguintes os coeficientes de rigidez global são calcula dos de forma análoga 24 UNIUBE Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Figura 11 Exemplo 14 Fonte Martha 2010 p317 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH Figura 12 Exemplo 15 Fonte Martha 2010 p317 UNIUBE 25 O equilíbrio da estrutura é restabelecido quando se anulam os efei tos dos apoios fictícios do SH A partir dos resultados obtidos nos casos mostrados anteriormente podese utilizar a superposição dos casos para restabelecer as condições de equilíbrio do nó in terior As resultantes de forças e momentos externos nesse nó de vem ser nulas como feito a seguir Podemse generalizar esses resultados escrevendo uma equação de equilíbrio na direção da deslocabilidade Di para uma estrutura com n deslocabilidades Esse sistema de equações resulta em soluções das deslocabilida des em função do EI 26 UNIUBE Reflita A configuração deformada final da estrutura é mostrada na Figura 13 Observase que os sinais dos deslocamentos e da rotação são consistentes D1 é positivo da esquerda para a direita D2 é nega tivo de cima para baixo e D3 é negativo sentido horário Figura 13 Exemplo 16 Fonte Martha 2010 p318 Uma vez determinados os valores das deslocabilidades os diagra mas finais de esforços da estrutura do exemplo em estudo também podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de cada um dos casos básicos Por exemplo os momentos fletores finais M podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de momentos fletores Mi dos casos básicos Sendo que M corresponde ao momento real da estrutura no nó que se deseja calcular o ao momento neste mesmo nó do caso 0 e os momentos e ao momento neste mesmo nó dos casos 1 2 e 3 respectivamente UNIUBE 27 IMPORTANTE Esse resultado pode ser generalizado para todos os esforços internos esforços normais finais N esforços cortantes fi nais Q e momentos fletores finais M de uma estrutura com n deslocabilidades Para que se possam aplicar as fórmulas anteriores é preciso em todos os casos básicos calcular as forças e momentos atuantes em todos os nós da estrutura Considerações finais O Método dos Deslocamentos apresentado neste capítulo é um dos métodos de análises de estruturas hiperestáticas mais utilizados na engenharia Como se pôde verificar é fácil a identificação das in cógnitas do problema Estas são as deslocabilidades ou graus de liberdade dos nós da estrutura Isto faz com que haja apenas um único conjunto solução para os problemas hiperestáticos uma vez que dependendo do tipo de estrutura os graus de liberdade nos nós serão sempre os mesmos 28 UNIUBE Estruturas do tipo pórticos planos possuem três graus de liberdade por extremidade de barras Já as treliças possuem dois graus de liberdade Estruturas espaciais seis graus de liberdade Isto faz com que se torne fácil a montagem dos sistemas de equilíbrios que devem ser satisfeitos Em contrapartida estruturas complexas com muitas ligações entre barras haverá muitas incógnitas na solução do problema Isto é uma das principais desvantagens do método Porém como será visto nos próximos capítulos existem técnicas para que se possam reduzir as deslocabilidades da estrutura Importante frisar que o Método dos Deslocamentos parte de casos básicos que satisfazem as condições de compatibilidade ou seja há continuidade de deslocamentos para na superposição dos efeitos retornar a condição de equilíbrio dos nós Desta forma esse método segue processos contrários ao aplicado no Método das Forças sendo assim métodos considerados duais na análise de engenharia Arthur Rosinski do Nascimento Introdução Método dos deslocamentos com simplificações de deslocabilidades Capítulo 2 Como pode ser percebida a análise de estruturas pelo Método dos Deslocamentos é feita a partir de um sistema hipergeométrico único em que são restringidas todas as deslocabilidades dos nós da estrutura Não há outro sistema hipergeométrico que possa ser atribuído ao problema Já no Método das Forças há diversos sistemas principais que solucionam a análise Devido a isto é que os programas computacionais utilizam o Método dos Deslocamentos nas análises automáticas Entretanto conforme os números de ligações entre barras aumentam os números de incógnitas do problema a ser resolvido pelo Método dos Deslocamentos também aumentam tornando os cálculos manuais muito trabalhosos Assim de forma a facilitar os cálculos manuais sem provocar resultados muito divergentes e confiáveis são adotadas algumas simplificações para conseguir reduzir o número de deslocabilidades de uma estrutura No decorrer deste capítulo serão explicadas cada uma delas e apresentados vários exemplos de aplicação para melhor compreensão do assunto Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados nos livros de Martha 2010 Sussekind 1987 e Soriano 2006 feitas as devidas considerações do autor deste material Apresentar todas as simplificações existentes que podem ser adotadas para auxiliar no cálculo manual de estruturas hiperestáticas pelo Método dos Deslocamentos Compreender a notável diferença de esforço de cálculo quando se considera ou não as simplificações possíveis Apresentar o conceito de contraventamento e como ele ajuda a identificar as deslocabilidades de uma estrutura Apresentar exemplos de aplicações da metodologia de cálculo para vigas contínuas Simplificações de Deslocabilidades Exemplo de aplicação 2 Exemplo de aplicação 3 Objetivos Esquema Simplificações de deslocabilidades 21 A aplicação do método dos deslocamentos para a resolu ção manual de uma estrutura é muito trabalhosa devido ao número excessivo de incógnitas deslocabilidades que re sulta da solução mesmo para estruturas simples e à com plexidade na consideração de barras inclinadas Para solução manual dos problemas de estruturas são introduzi das simplificações no comportamento das barras com respeito às suas deformações As simplificações adotadas são as seguintes UNIUBE 31 a Eliminação dos trechos em balanços b Consideração de barras inextensíveis c Eliminação das deslocabilidades do tipo rotação de nós quan do todas as barras adjacentes são articuladas no nó A primeira simplificação é um macete de cálculo visto que os tre chos em balanços podem ser calculados como uma estrutura isos tática engastada no ponto de contato com a estrutura Figura 14 Separação do trecho em balanço de um pórtico plano Fonte Martha 2010 p333 A segunda simplificação é muito adotada nas análises de estrutu ras assim como o Método das Forças faz Esta simplificação con sidera que as barras não se deformam axialmente Isto quer dizer que os dois nós extremos de uma barra só podem se deslocar relativamente na direção transversal ao eixo da barra ou en tão que a distância na direção do eixo indeformado entre os dois nós extremos de uma barra não se altera quando esta se deforma transversalmente 32 UNIUBE Figura 14 Redução do número de deslocabilidades para o pórtico da Figura 1 Fonte Martha 2010 p334 Seja então a barra AB indicada na Figura 15 representando uma barra genérica de uma estrutura devido aos esforços que solicitam a barra ela se deformará assumindo a posição AB A passagem da posição AB para a posição AB pode ser encarada como resul tante das seguintes deformações independentes umas das outras Figura 15 Deslocamentos em uma barra genérica da estrutura Fonte Sussekind 1987 p2 UNIUBE 33 Concluindo basta conhecer os valores de e para obter mos o diagrama de momentos fletores e a partir dele os demais diagramas solicitantes para uma barra de uma estrutura já que a translação da barra não introduz qualquer esforço na mesma A terceira simplificação pode ser adotada pois uma rótula na qual con vergem duas barras articula as seções adjacentes de ambas as barras ou seja o momento fletor em todas as extremidades em uma ligação rotulada é igual a zero Assim não é necessária a inserção do vínculo fictício do tipo chapa para impedir a rotação na ligação rotulada Aqui faremos a seguinte classificação entre os tipos de deslocabilidades a Deslocabilidades internas são do tipo rotação b Deslocabilidades externas são do tipo translação c di número de deslocabilidades internas d de número de deslocabilidades externas Seja a estrutura da Figura 16 Sabemos que as incógnitas do pro blema são as rotações e deslocamentos lineares dos nós B e C já que os engastes A e D não sofrem deformações Figura 16 Exemplo teórico Fonte Sussekind 1987 p5 34 UNIUBE No caso entretanto o nó C não apresenta deslocamentos lineares pois o apoio de primeiro gênero impede a componente vertical e o engaste D a componente horizontal consideração de barras inextensíveis de des locamento Assim a única incógnita do nó C será sua rotação Também o nó B não apresentará deslocamentos lineares pois suas componentes vertical e horizontal serão impedidas respectivamen te pelos engastes A e D consideração de barras inextensíveis de modo que a única incógnita também no nó B será a rotação Concluindo o número de incógnitas do problema é igual a dois número de nós internos rígidos não rotulados da estrutura Dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma estrutura plana é igual ao número de rotações de nós que precisamos conhecer para poder resolvêla Em outras palavras o número de deslocabilida des internas di de uma estrutura é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui não incluindo os nós extremos apoiados ou engastados e evidentemente os nós internos rotulados Seja agora a estrutura da Figura 17 Como todos os seus nós internos são rotulados não precisamos conhecer as rotações das barras nestes nós em outras palavras não há deslocabilidades internas a considerar Restanos analisar o problema dos deslocamentos lineares dos mesmos para conhecemos o número de incógnitas do problema Iniciando esta análise pelo nó D vemos que ele não terá componente vertical de deslocamento devido a presença do engaste A consideração de barras inextensíveis que despreza as deformações axiais nada impede no entanto seu deslo camento na direção horizontal que se constituirá na primei ra incógnita do problema Para caracterizar esta incógnita indicaremos um apoio do primeiro gênero em D ver parte UNIUBE 35 direita da figura a seguir mostrando que seria necessária a existência de mais um vínculo na estrutura para que o nó D não possuísse deslocabilidades lineares Figura 17 Exemplo teórico Fonte Sussekind 1987 p6 Tudo que foi feito para o nó D vale também para o nó G que pode se deslocar na direção horizontal o deslocamento vertical estando impedido pelo engaste C para caracterizar esta nova incógnita in dicaremos um apoio de primeiro gênero em G mostrando que seria necessária a existência de mais este vínculo na estrutura para que o nó C não possuísse deslocabilidades lineares Assim caso existissem os apoios adicionais de primeiro gênero 1 e 2 indicados na Figura 17 os nós D e G seriam indeslocáveis linearmente o que acarretaria também a indeslocabilidade linear dos nós E e F de acordo com os conceitos de contraventamento e as regras da triangulação que são segundo Martha 2010 1 Um nó que estiver ligado a dois nós fixos à translação por duas barras inextensíveis não alinhadas também fica fixo à translação 2 Um conjunto de barras inextensíveis agrupadas em uma trian gulação se comporta como um corpo rígido 36 UNIUBE Explicando o exemplo citado como o nó E está ligado a dois nós fixos por duas barras inextensíveis sendo o nó B fixo pelo engaste e o nó D fixo pelo engaste em A e pelo apoio fictício de primeiro gênero 1 também fica fixo à translação A mesma análise vale para o nó F que está ligado a dois nós fixos E e G por barras inextensíveis Definiremos então que número de deslocabilidades externas de de uma estrutura é igual ao número de apoios do primeiro gênero que a ela precisamos acrescentar para que todos os seus nós fi quem sem deslocamentos lineares Observações a No caso da estrutura da figura anterior os nós D E F G terão des locamentos horizontais que seriam à primeira vista as incógnitas do problema mas apenas os deslocamentos dos nós D e G são incógnitas independentes pois o deslocamento horizontal de E por estar ligado a D por uma barra horizontal será igual ao de D e o deslocamento horizontal de F por estar ligado a E e G será função dos deslocamentos destes dois pontos e portanto em última aná lise dos deslocamentos de D e G Assim o número de incógnitas independentes do problema que é o número de deslocabilidades externas da estrutura é apenas 2 b É usual chamarse às estruturas que possuem deslocabilida des externas de estruturas deslocáveis e aquelas que não as possuem mesmo tendo deslocabilidades internas de estru turas indeslocáveis Como as incógnitas do problema são as rotações dos nós internos rígidos da estrutura traduzidas pelo valor di e os deslocamentos UNIUBE 37 lineares independentes de seus nós traduzidos por de dizemos que o número total de deslocabilidades d de uma estrutura igual ao número total de incógnitas de sua resolução pelo método das deformações é dado pela soma de seu número de deslocabilida des interna di e externa de Podemos então escrever Para melhor entender os conceitos do contraventamento analisa remos os exemplos a seguir Figura 18 SH de um pórtico com dois pavimentos sem barras diagonais Fonte Martha 2010 p343 Da Figura 18 pórtico com dois pavimentos sem contraventamen to sabese que o número de deslocabilidade interna é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui não incluindo os nós extremos apoiados ou engastados e evidentemente os nós internos rotulados Assim di é igual a 4 sendo representados pelos apoios fictícios no SH mostrado na parte direita da figura Os engastes dos pilares da estrutura restringem somente o deslo camento vertical dos pilares sendo assim necessário adicionar o apoio 5 para impedir o movimento horizontal do nó da esquerda do primeiro pavimento o nó que tem a chapa 3 Isso faz com que pela regra 1 do contraventamento apresentada anteriormente o nó da direita desse pavimento não tenha deslocamento Isto é o 38 UNIUBE nó com a chapa 4 tem seus movimentos impedidos pois está ligado por duas barras inextensíveis e não alinhadas a dois nós fixos à translação o nó com o apoio 5 e o nó da base na direita formando uma triangulação Portanto não é necessário inserir mais apoios fictícios nesse pavimento Observe que o apoio 5 pode ser coloca do tanto no nó da esquerda quanto no da direita para impedir o des locamento horizontal desse pavimento os nós do pavimento não têm deslocamentos verticais pois as colunas são inextensíveis Por raciocínio análogo no segundo pavimento do pórtico da Figura 18 é necessário adicionar apenas o apoio 6 para fixar os nós des se pavimento Partese da condição de que os nós do primeiro pavimento já estão fixos Outros exemplos são apresentados a seguir com seus respectivos SH e cabe ao leitor interpretálos de acordo com as regras para determinação do número de deslocabilidades e as simplificações possíveis apresentadas até aqui Figura 19 SH de um pórtico com dois pavimen tos e uma diagonal no primeiro pavimento Fonte Martha 2010 p343 UNIUBE 39 Figura 20 SH de um pórtico com dois pavimen tos e uma diagonal em cada pavimento Fonte Martha 2010 p343 Figura 21 SH de um pórtico com dois pavimentos e con traventado em uma baia por pavimento Fonte Martha 2010 p344 Figura 22 SH de um pórtico com três painéis sem diagonais Fonte Martha 2010 p344 Figura 23 SH de um pórtico com três painéis e uma diagonal no painel central Fonte Martha 2010 p344 40 UNIUBE Figura 24 SH de um pórtico com três painéis e duas diagonais Fonte Martha 2010 p344 Figura 25 SH de um pórtico com três painéis e três diagonais Fonte Martha 2010 p344 211 Exemplo de aplicação 2 SUSSEKIND 1987 Calcular as deslocabilidades da estrutura a seguir O primeiro passo para a resolução de estruturas hiperestáticas pelo Método dos Deslocamentos é a identificação das deslocabilidades e a definição do sistema hipergeométrico SH com a inserção dos vínculos fictícios para impedir os deslocamentos possíveis em todos os nós Figura 26 Exemplo 20 Fonte Sussekind 1987 p20 UNIUBE 41 Assim o SH é apresentado conforme a Figura 27 Para impedir as rotações que aparecem no nó B e C foram inseridas chapas rígidas nos mesmos Já para o deslocamento horizontal que pode ocorrer na barra entre os nós B e C foi inserido um apoio de primeiro gênero no mesmo sentido no nó C poderia ter sido também inserido no nó B Figura 27 Exemplo 21 Fonte Sussekind 1987 p20 A diferença entre o sistema principal e a estrutura real é que exis tirá rotação dos nós B e C às quais chamemos D1 e D2 e haverá um deslocamento horizontal de barra BC ao qual chamemos D3 Assim empregando o princípio da superposição de efeitos poderí amos dizer que a resolução da estrutura real seria igual à soma dos quatro casos indicados nas figuras a seguir representando a reso lução da estrutura do sistema principal para os efeitos isolados do carregamento externo e de cada uma das deslocabilidades Como desconhecemos os valores D1 D2 e D3 arbitramos um valor por exemplo unitário para estas deformações devendo os efeitos as sim obtidos serem multiplicados pelos valores corretos que serão encontrados para D1 D2 e D3 ao fim do problema 42 UNIUBE Figura 28 Exemplo 22 Fonte adaptada de Sussekind 1987 No caso 0 parte a da Figura 28 temos a resolução de duas vigas biengastadas AB e BC para o carregamento externo cujos momentos de engastamento perfeito em B e em C indicados na UNIUBE 43 figura a seguir representam a ação das chapas 1 e 2 sobre a estru tura do sistema principal para que os nós B e C não girem dando momentos resultantes em B e C respectivamente iguais a Figura 29 Exemplo 24 Fonte adaptada de Sussekind 1987 Devido ao carregamento externo e aos momentos de engastamen to perfeito que existem nas barras aparecerão as reações de apoio FA e FB1 na barra 1 e FB2 e FC2 na barra 2 as reações FA FB2 e FC2 irão para os apoios que a estrutura possui indo a reação FB1 para o apoio do primeiro gênero fictício 3 indicado no sistema principal No caso então teríamos Nas partes b e c da Figura 28 caso 1 e caso 2 respectiva mente temos a resolução do sistema principal para rotação unitá ria de um de seus nós Aparecerão nestes nós conforme sabemos momentos iguais à sua rigidez local indo para os outros nós da barra momentos iguais ao produto desta rigidez pelo coeficiente 44 UNIUBE de transmissão Assim para o caso 1 parte b da Figura 28 temos o esquema detalhado indicado na figura a seguir quando D11 a partir do qual obtemos Figura 30 Exemplo 25 Fonte adaptada de Sussekind 1987 Para o caso 2 parte c da Figura 28 temos o esquema detalhado indicado na figura a seguir quando D21 a partir do qual obtemos Figura 31 Exemplo 26 Fonte o autor UNIUBE 45 Para o caso 3 parte d da Figura 28 temos o esquema detalhado indicado na figura a seguir quando D31 a partir do qual obtemos Figura 32 Exemplo 27 Fonte adaptada de Sussekind 1987 Voltando agora ao esquema da Figura 28 que resolve a estrutura a partir do conhecimento dos valores de D1 D2 e D3 vemos que como não existem na estrutura dada as chapas 1 e 2 e o apoio 46 UNIUBE do primeiro gênero 3 colocados no sistema principal estes valores de D1 D2 e D3 têm que ser tais que não existam ações estáticas finais das chapas e do apoio adicional do primeiro gênero sobre a estrutura do sistema principal pois assim o mesmo reproduzirá fielmente o comportamento estático e elástico da estrutura dada Assim devemos ter que o momento final exercido pelas chapas sobre os respectivos nós deve ser nulo bem como deve ser nula a força exercida pelo apoio fictício do primeiro gênero sobre a barra BC isto é não existem cargas momento aplicadas em B e C e não existe carga horizontal aplicada à estrutura dada em C Pelo emprego do princípio de superposição de efeitos o seguinte sistema de equações de compatibilidade estática do sistema prin cipal adotado com a estrutura dada é obtido Deste sistema calculase o D1 D2 e D3 Observações a O trabalho de resolução de uma estrutura pelo método das deformações conforme ilustra o exemplo anterior é o traba lho de resolução de um sistema n x n de equação lineares sendo n o número total de deslocabilidades da estrutura dada b O sistema de equações anterior pode ser escrito na forma matricial UNIUBE 47 Ou mais simplificadamente Ao vetor onde a ação do agente solicitante externo se faz sen tir chamamos vetor dos termos de carga A matriz K quadrada e simétrica por força do teorema de Betti chamamos matriz de rigidez pois transforma deslocamentos em forças ou rotações em momentos conforme o caso sendo fun ção apenas do sistema principal adotado independendo comple tamente do agente solicitante externo A resolução de uma estrutura pelo método das deformações é dada pela inversão de sua matriz de rigidez multiplicado pelo vetor dos termos de carga Roteiro para o Método dos Deslocamentos 1 Escolha do sistema principal obtido bloqueandose as des locabilidades internas com chapas rígidas e as deslocabilida des externas com apoios adicionais do primeiro gênero 2 Resolução do sistema principal para o agente solicitante ex terno obtendose o vetor e para cada uma das deforma ções incógnitas Di com o valor arbitrado inicialmente igual a 1 obtémse a matriz K 3 Cálculo das deformações incógnitas Di pela expressão 48 UNIUBE 4 Obtenção dos efeitos finais pela expressão genérica Onde E é o efeito que se deseja calcular momento esforço normal ou cortante 212 Exemplo de aplicação 3 SORIANO 2006 Fazse a determinação dos diagramas de esforços seccionais da viga representada na Figura 33 em que E21107kNm² Figura 33 Exemplo 30 Fonte Soriano 2006 p144 Determinação das deslocabilidades Inicialmente podemos simplificar o balanço de três metros à esquerda da viga Para fazer isto precisase obter um sistema de forças e mo mentos equivalentes a ele Percebese facilmente que a força vertical de 50kN pode ser transferida ao nó que apoia o balanço juntamente UNIUBE 49 com um momento fletor gerado por ela neste mesmo ponto tendo valor de 150kNm 50kN vezes o braço de alavanca de 3m Assim a viga simplificada é apresentada na Figura 34 Figura 34 Exemplo 31 Fonte Soriano 2006 p144 As deslocabilidades são obtidas conforme apresentado anteriormen te sendo as deslocabilidades internas di igual ao número de nós internos rígido com exceção dos extremos apoiados e as desloca bilidades externas de igual ao número de apoios de primeiro gênero necessário para que os nós fiquem sem deslocamentos lineares Então como só temos um nó interno rígido os outros dois são extremos e com apoios di1 existe uma rotação D1 no apoio interno a viga precisando inserir uma chapa rígida neste ponto para impedir o deslocamento existente Em contrapartida não é necessário inserir apoios de primeiro gênero nos nós da estrutu ra pois o apoio de segundo gênero à esquerda restringe todos os deslocamentos horizontais da viga uma vez que as barras são inextensíveis e os apoios verticais restringem os deslocamentos verticais em seus nós Assim definese o sistema hipergeométrico SH conforme a Figura 35 50 UNIUBE Figura 35 Exemplo 32 Fonte Soriano 2006 p144 Definido o SH é preciso resolvêlo para todos os casos básicos conforme segue Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH Neste caso considerase que todas as deslocabilidades Di são nu las fazendo atuar no SH somente o carregamento real A inserção de chapas rígidas nos nós restringe as rotações fazendoos traba lhar como se houvesse um engaste neste ponto A configuração da viga no caso 0 é ilustrada conforme figura a seguir Os momentos e reações verticais estão indicados conforme sentido positivo de cada um UNIUBE 51 Figura 36 Exemplo 33 Fonte o autor O cálculo do momento Mb1 é feito de acordo com as tabelas de momentos apresentadas anteriormente ver carregamento 9 e 16 com a viga que apresenta apoio fixo à esquerda e engaste à direita da Tabela 1 Cada carregamento gera um momento diferente no ponto do engaste na viga 1 Assim Mb1 é calculado como segue O sinal negativo indica que o momento atua no sentido contrário ao adotado inicialmente A reação horizontal no apoio A é igual a zero Assim para o cálculo das reações verticais A e B1 basta aplicar as equações de equilíbrio na barra 1 52 UNIUBE O cálculo do momento Mb2 é feito de acordo com as tabelas de mo mentos apresentadas anteriormente ver carregamento 1 com a viga que apresenta apoio fixo à direita e engaste à esquerda da Tabela 1 Para o cálculo das reações verticais B2 e C basta aplicar as equa ções de equilíbrio na barra 2 A viga apresentada a seguir mostra o resumo dos momentos fleto res calculados anteriormente Ressaltase aqui que o sinal positivo referese a momentos que atuam no sentido antihorário Figura 37 Exemplo 34 Fonte Soriano 2006 p145 O termo de carga é igual ao somatório de momentos fletores de en gastamento perfeito que atuam no nó em que foi inserido a chapa fictícia 1 Lembrando que o primeiro índice referese ao número de ordem da deslocabilidade e o segundo índice ao caso analisado Assim UNIUBE 53 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso desconsiderase todo o carregamento externo e faz se todas as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índice 1 Assim D11 atuando em seu sentido positivo antihorá rio Com este deslocamento as barras 1 e 2 da viga sofrem uma deformação conforme apresentado na Figura 38 Figura 38 Exemplo 35 Fonte Soriano 2006 p145 O cálculo do momento Mb1 é feito de acordo com as equações de finidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e apre sentado a seguir Figura 39 Exemplo 36 Fonte o autor 54 UNIUBE O caso básico destacado anteriormente referese às situações em que a viga é apoiada do lado esquerdo representado pela rótula e engastado do lado direito A rotação sofrida nesta solução básica está no sentido antihorário positivo Desta solução comparando com o trecho 1 da viga percebese que o momento da figura ante rior é igual ao momento Mb1 a reação da esquerda corresponde ao Va e a da direita igual ao Vb1 Assim temos O cálculo do momento Mb2 é feito de acordo com as mesmas equa ções definidas nas soluções básicas utilizadas no cálculo do Mb1 Devese ter atenção agora pois o engaste está do lado esquerdo e o apoio rótula do lado direito Assim basta rotacionar o caso básico 180 que a rotação ficará à direita ainda no sentido positivo A reação vertical à esquerda ficará para cima e à direita para baixo conforme Figura 49 os valores continuam os mesmos Figura 40 Exemplo 37 Fonte o autor UNIUBE 55 Assim O coeficiente de rigidez global K11 é numericamente igual à força momento para impor D11 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício Como o deslocamento é uma rotação somamse os momentos de engaste perfeito que foi calculado no apoio B Assim Pelo emprego do princípio de superposição de efeitos a seguinte equação de compatibilidade estática do sistema principal é adotado Assim Cálculo das reações de apoio Para o cálculo das reações basta aplicar a seguinte fórmula Assim 56 UNIUBE O primeiro valor entre parênteses nos cálculos anteriores são os valores das reações obtidas no caso 0 O segundo valor entre pa rênteses são os valores das reações obtidos no caso 1 somados e multiplicados pelo valor D1 A partir destas reações conseguese obter os diagramas uma vez que não há reações que não foram calculadas Figura 41 Exemplo 38 Fonte Soriano 2006 p147 Podemse obter os diagramas de momento fletor e esforço cortante e normal pela mesma equação que foi utilizada no cálculo das re ações porém com os valores destes esforços nos nós calculados nos casos básicos do método UNIUBE 57 Considerações finais A possibilidade da adoção de técnicas para redução das desloca bilidades torna o Método dos Deslocamentos uma forma fácil e rá pida para análises manuais de estruturas Ou seja o principal pro blema do método que é o grande número de incógnitas pode ser minimizado reduzindo o esforço de cálculo de quem fará o estudo A consideração de barras inextensíveis ou seja a não con sideração dos efeitos da deformação das barras para os es forços axiais não é um conceito exclusivo do Método dos Deslocamentos Isso também é feito no Método das forças no qual em cálculos manuais para pórticos planos por exemplo desprezase a componente da integral dos esforços normais virtuais que multiplicam os deslocamentos relativos internos reais por ser insignificante quando comparado com os efeitos da integral do momento fletor Importante observar também que todas as simplificações devem ser analisadas antes de serem utilizadas Por exemplo estruturas atiran tadas cujos cabos se deformam muito ao esforço axial o conceito de barra inextensível não deve ser adotado para este elemento Outra observação importante é que o conceito de barras inextensí veis é apenas uma simplificação e não uma verdade absoluta Por exemplo um pórtico contraventado como o da Figura 19 não quer dizer que não sofrerá deslocamentos horizontais mas sim que como as barras sofrem pouca deformação longitudinal a estrutura terá um deslocamento horizontal muito pequeno a ponto de poder ser desprezada esta translação Outro exemplo que pode ser apresentado aqui que explica o que foi dito no parágrafo anterior é que grandes coberturas 58 UNIUBE metálicas são contraventadas em vários vãos e não somente em um Isto porque as barras se deformam axialmente e se somado à contribuição de cada deslocamento das barras ao longo dos seus eixos este deslocamento acumulado poderá ter grandes proporções Assim para concluir uma análise bem feita dependerá muito dos conhecimentos técnicos e teóricos de cada engenheiro para que tenha resultados fiéis à situação real que está se modelando Arthur Rosinski do Nascimento Introdução Método dos deslocamentos aplicado em pórticos planos Capítulo 3 Em uma análise de estruturas é preciso adotar modelos estruturais que idealizam o comportamento de estruturas reais Por exemplo podemos analisar um prédio por meio de vigas contínuas nas quais as reações de apoios são transferidas aos pilares até os carregamentos serem transmitidos às fundações Outra forma de analisar um prédio é através de pórticos planos compostos por vigas e pilares representados por elementos de barras contidas em um mesmo plano Este pórtico recebe carregamento direto de solicitações externas ou então de reações de vigas que se apoiam neste pórtico Há ainda a possibilidade de se analisar o prédio por meio de pórticos espaciais composto por barras distribuídas nos três eixos do espaço A concepção do modelo estrutural é uma tarefa muito difícil nas análises de estruturas e são baseadas em diversos fatores como geometria comportamento dos materiais tipos de ligações entre barras tipos de solicitações etc A adoção de pórticos planos como modelo estrutural é frequentemente utilizada em construções de pequeno porte Assim este capítulo torna se importante pois explica como aplicar o Método dos Deslocamentos nas análises de pórticos planos hiperestáticos Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados no livro de Martha 2010 feitas as devidas considerações do autor deste material Aplicar a rotina de cálculo em modelos estruturais do tipo pórtico espacial Utilizar as simplificações para os cálculos dos esforços internos pelo Método dos Deslocamentos Identificar as deslocabilidades externas mediante exemplos de aplicação em pórticos planos Compreender os efeitos das deslocabilidades externas quando assumem valores iguais a 1 nos casos básicos Exemplos de Aplicação em Pórticos Planos Exemplo de aplicação 4 Objetivos Esquema Exemplos de aplicação em pórticos planos 31 311 Exemplo de aplicação 4 MARTHA 2010 Calcule os diagramas de esforços internos o pórtico plano a seguir Considere o módulo de elasticidade igual a E e momento de inércia igual a I Figura 42 Exemplo 40 Fonte Martha 2010 p354 UNIUBE 61 Determinação das deslocabilidades Parada obrigatória As deslocabilidades internas di são iguais ao número de nós internos rígidos com exceção dos extremos apoiados e as deslocabilidades externas de igual ao número de apoios de primeiro gênero necessário para que os nós fiquem sem deslocamentos lineares O único nó rígido da estrutura é o que une as três barras di1 existindo neste uma rotação D1 Desta forma tornase necessário inserir uma chapa rígida neste ponto para impedir tal deslocamento Os nós do engaste são nós fixos O nó da rótula por estar ligado ao engaste por uma barra inextensível não se desloca verticalmen te porém nada impede deste deslocarse no sentido horizontal Apesar de o nó que une as três barras estar ligado a um engaste por uma barra inextensível este apoio tampouco o de segundo gênero é capaz de impedir o deslocamento horizontal do mesmo O deslocamento vertical deste nó é impedido pelo engaste e pelo apoio de segundo gênero Assim a única deslocabilidade externa é o deslocamento horizontal D2 da barra entre a rótula e o nó que une as três barras de1 sendo necessária a inserção de um apoio de primeiro gênero nesta direção em algum destes dois nós Optouse por inserir o apoio de segundo gênero no nó da rótula definindo assim o sistema hipergeométrico SH 62 UNIUBE Figura 43 Exemplo 41 Fonte Martha 2010 p354 Definido o SH é preciso resolvêlo para todos os casos básicos conforme segue Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH Neste caso considerase que todas as deslocabilidades Di são nu las fazendo atuar no SH somente o carregamento real A inserção de chapas rígidas nos nós restringe as rotações fazendoos traba lhar como se houvesse um engaste neste ponto A configuração do pórtico no caso 0 é ilustrada conforme Figura 44 Os momentos e as reações estão indicadas conforme sentido positivo de cada um UNIUBE 63 Figura 44 Exemplo 42 Fonte o autor O cálculo do momento MA1 é feito de acordo com as tabelas de momentos apresentadas anteriormente ver carregamento 1 com a viga que apresenta apoio fixo à direita e engaste à esquerda da Tabela 1 Assim MA1 é calculado como segue O sinal positivo indica que o momento atua no sentido adotado inicialmente A reação horizontal no apoio A é igual a zero Assim para o cálculo das reações em A e B1 basta aplicar as equações de equilíbrio na barra 1 64 UNIUBE Como não há carregamento na barra 2 e na 4 não há momentos e reações nos nós deste trecho Resta então o cálculo da barra 3 O cálculo dos momentos da barra 3 é feito de acordo com as tabe las de momentos apresentadas anteriormente ver carregamento 1 com a viga biengastada da Tabela 1 como a carga distribuída de 12kNm está para a esquerda o apoio C da tabela corresponde ao apoio C da estrutura e o nó D da tabela o D da estrutura Assim Para o cálculo das reações C3 e D basta aplicar as equações de equilíbrio na barra 3 UNIUBE 65 O pórtico apresentado a seguir mostra o resumo das reações cal culadas anteriormente Figura 45 Exemplo 43 Fonte Martha 2010 p354 O termo de carga é igual ao somatório de momentos fletores de engastamento perfeito que atuam no nó em que foi inserido a chapa 1 Lembrando que o primeiro índice referese ao número de ordem da deslocabilidade e o segundo índice ao caso analisado Assim Já o termo de carga é igual ao somatório das reações que estão na direção da deslocabilidade D2 Assim O sinal negativo indica que ambas as reações estão direcionadas para a esquerda 66 UNIUBE Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso desconsiderase todo o carregamento externo e fazse todas as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índi ce 1 Assim D11 atuando em seu sentido positivo antihorário Com este deslocamento as barras 2 3 e 4 do pórtico sofrem uma deformação conforme apresentado na figura a seguir Figura 46 Exemplo 44 Fonte adaptada de Martha 2010 Pela Figura 46 é necessário calcular os coeficientes de rigidez glo bal nas barras 2 3 e 4 que sofreram deslocamentos com a rotação do nó C como indicado Assim serão apresentados a seguir os cálculos de cada barra separadamente O cálculo da barra 2 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e reapresentado a seguir Figura 47 Exemplo 45 Fonte adaptada de Martha 2010 UNIUBE 67 O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que a viga é apoiada do lado esquerdo representado pela rótula e engastado do lado direito A rotação sofrida nesta solução básica está no sentido antihorário positivo no engaste Percebese que o momento da figura anterior é igual ao momento MC2 a reação da esquerda corresponde ao VB2 e a da direita igual ao VC2 Assim temos O cálculo da barra 3 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e reapresentado na Figura 48 Figura 48 Exemplo 46 Fonte adaptada de Martha 2010 68 UNIUBE O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que a viga é bi engastada A rotação sofrida nesta solução básica está no sentido antihorário positivo no engaste de baixo Assim O cálculo da barra 4 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e reapresentado na Figura 49 Figura 49 Exemplo 47 Fonte adaptada de Martha 2010 O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que a viga é apoiada em uma extremidade e engastada em outra UNIUBE 69 A rotação sofrida nesta solução básica está no sentido antihorário positivo no engaste Assim O pórtico mostrado a seguir ilustra o resumo dos momentos e rea ções calculados no Caso 1 Figura 50 Exemplo 48 Fonte adaptada de Martha 2010 70 UNIUBE IMPORTANTE Uma informação importante a ser explicada neste exemplo é que todas as reações calculadas coeficientes de rigidez locais ou re ações de engaste perfeito que estiverem nas direções dos apoios reais da estrutura devem ser transferidas com valor e sentido cal culados para estes apoios Por exemplo a reação vertical VB2 calculada na barra 2 por estar na direção do apoio vertical do engaste da barra 1 foi transferida para este apoio sendo mantido o sentido e módulo Como outro exemplo a reação VC2 calculada também na barra 2 por estar nas direções dos apoios verticais do engaste da barra 3 e do apoio de segundo gênero da barra 4 foi transferida com o mesmo sentido porém com o módulo dividido em 2 por tratarse de dois apoios O coeficiente de rigidez global K11 e K21 é numericamente igual à forçamomento para impor D11 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inse rido o apoio fictício No nó em que foi inserida a chapa rígida soma se os momentos de engaste perfeito No nó em que foi inserido o apoio de primeiro gênero fictício somamse as reações que foram calculadas no sentido orientado pelo apoio Assim UNIUBE 71 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Neste caso desconsiderase todo o carregamento externo e fazse todas as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índice 2 Assim D21 atuando em seu sentido positivo da esquerda para a direita Com este deslocamento as barras 1 3 e 4 do pórtico sofrem uma deformação conforme apresentado na figura a seguir Figura 51 Exemplo 49 Fonte adaptada de Martha 2010 Pela Figura 51 é necessário calcular os coeficientes de rigidez glo bal nas barras 1 3 e 4 que sofreram deformações com o desloca mento horizontal da barra 2 para a direita como indicado Assim serão apresentados a seguir os cálculos de cada barra separada mente A barra 2 sofreu somente deslocamento horizontal de corpo rígido não gerando esforços internos O cálculo da barra 1 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e apresentado a seguir 72 UNIUBE Figura 52 Exemplo 410 Fonte adaptada de Martha 2010 O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que o pilar é rotulado em cima e engastado em baixo O desloca mento horizontal sofrido nesta solução básica está no sentido posi tivo da esquerda para a direita na rótula Assim temos O cálculo da barra 3 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e apresentado a seguir UNIUBE 73 Figura 53 Exemplo 411 Fonte adaptada de Martha 2010 O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que a barra é bi engastada O deslocamento sofrido nesta solução básica está no sentido positivo da esquerda para a direita no en gaste de baixo Assim O cálculo da barra 4 é feito de acordo com as equações definidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e apresentado a seguir 74 UNIUBE Figura 54 Exemplo 412 Fonte adaptada de Martha 2010 O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em que a barra é apoiada em uma extremidade inferior e engastada em outra superior O deslocamento sofrido ocorre no engaste e para a esquerda Devido o deslocamento da barra 4 ser para a direita conforme apresentado na estrutura do Caso 2 todos os sentidos apresentados na figura anterior deverão ser invertidos Assim O pórtico mostrado a seguir ilustra o resumo dos momentos e rea ções calculados no Caso 2 UNIUBE 75 Figura 55 Exemplo 413 Fonte adaptada de Martha 2010 O coeficiente de rigidez global K11 e K21 é numericamente igual à forçamomento para impor D21 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inse rido o apoio fictício No nó em que foi inserida a chapa rígida soma se os momentos de engaste perfeito No nó em que foi inserido o apoio de primeiro gênero fictício somamse as reações que foram calculadas na direção do apoio Assim Pelo emprego do princípio de superposição de efeitos a seguinte equação de compatibilidade estática do sistema principal é adotada 76 UNIUBE Assim Cálculo das reações de apoio RELEMBRANDO Para o cálculo das reações basta aplicar a seguinte fórmula Reações no engaste da barra 1 O primeiro valor entre parênteses nos cálculos anteriores são os valores das reações obtidas no caso 0 O segundo valor entre UNIUBE 77 parênteses são os valores das reações obtidas no caso 1 multi plicados pelo valor D1 O terceiro valor entre parênteses são os va lores das reações obtidas no caso 2 multiplicados pelo valor D2 Reações no engaste da barra 3 Reações no apoio da barra 4 A partir destas reações conseguese obter os diagramas uma vez que não há reações que não foram calculadas a Diagrama de momento fletor 78 UNIUBE b Diagrama de esforço cortante c Diagrama de esforço normal Figura 56 Exemplo 414 Fonte o autor Uma forma alternativa de construir os diagramas de esforços é uti lizando a fórmula do cálculo das reações mas para o esforço que se deseja conhecer em cada nó UNIUBE 79 Por exemplo para saber o momento fletor esforço cortante e esfor ço normal no nó C da barra 4 fazse como apresentado a seguir O momento é positivo no sentido antihorário O diagrama de mo mento fletor indica qual lado da seção está tracionando conforme indicado no diagrama anterior O esforço cortante é positivo conforme convenção de sinais quan do tende a girar a barra no sentido horário O esforço normal é positivo conforme convenção de sinais quan do tende a sair da barra tracionando a mesma O mesmo deve ser feito para cada nó até completar todos os diagramas Considerações finais A diferença entre os exemplos apresentados no Capítulo II e neste Capítulo é a presença das deslocabilidades externas A identifica ção dos graus de liberdade em vigas contínuas é feita facilmente uma vez que os únicos deslocamentos são as rotações nos nós internos Quando se tem barras contidas em um plano devese atentar para as possíveis deslocabilidades externas 80 UNIUBE A presença de barras rotuladas e engastadas em um plano irá con figurar as linhas deformadas nos elementos estruturais É preciso que se resolvam diversos exercícios para compreender e fixar a metodologia de cálculo para estes tipos de estruturas Um fato que é preciso ter muita atenção é a transferência das for ças reativas nas coordenadas locais aos apoios pois são por meio delas que são calculadas as reações de apoio da estrutura real Um ponto importante a se destacar aqui é como calcular os coe ficientes de rigidez dos casos básicos nas direções das desloca bilidades externas Quando se tem somente uma deslocabilidade externa o cálculo do coeficiente de rigidez na direção desta des locabilidade pode ser feito somandose as forças reativas nas bar ras que estão na mesma direção e alinhadas com o apoio fictício ou então fazendose o equilíbrio de forças que estão atuando nos apoios reais na direção desta deslocabilidade Agora quando se tem mais de uma deslocabilidade externa os coeficientes de rigidez nas direções destas só podem ser calcula dos somandose as forças reativa nas barras que estão na mesma direção e alinhadas com os apoios fictícios Arthur Rosinski do Nascimento Introdução Método dos deslocamentos aplicado em grelhas Capítulo 4 Conforme descrito no início do capítulo anterior a definição do modelo estrutural é uma das etapas mais importantes do projeto e análise estrutural Lá foram descritas algumas possibilidades de modelagem para a análise de um prédio Um modelo muito utilizado para a representação do comportamento real da estrutura é o modelo de grelhas As grelhas são estruturas planas ou seja todos os elementos estruturais estão contidos no mesmo plano porém o carregamento que solicita a estrutura possui a direção normal perpendicular a este plano Uma grelha pode representar um conjunto de vigas de todo o pavimento e que estão apoiadas simplesmente nos pilares Sendo assim este capítulo tornase importante pois fornece ao aluno mais uma alternativa diferente para a análise de estruturas hiperestáticas Para que se possam compreender os cálculos desenvolvidos neste capítulo oa alunoa deve conhecer o comportamento de grelhas isostáticas cálculo de momentos fletores e torçores transmissão de momentos nos nós rígidos de ligação entre barras etc A única diferença encontrada neste capítulo em relação ao que já foi apresentado até o momento é o aparecimento Identificar as deslocabilidades em modelos estruturais do tipo grelha Compreender a solução fundamental que relaciona a torção em torno do eixo de uma barra e calcular os coeficientes de rigidez à torção Aplicar a rotina de cálculo em modelos estruturais do tipo grelha Método dos Deslocamentos Aplicados a Grelhas Incógnitas do problema Número de incógnitas deslocabilidade interna Número de incógnitas deslocabilidade externa Grandezas fundamentais Exemplo de aplicação 5 Exemplo de aplicação 6 Objetivos Esquema dos coeficientes de rigidez à torção que só aparece em estruturas tridimensionais e em grelhas Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados nos livros de Martha 2010 e Sussekind 1987 feitas as devidas considerações do autor deste material Método dos deslocamentos aplicado em grelhas 41 411 Incógnitas do problema No caso de estruturas espaciais precisaremos conhecer a rota ção e o deslocamento linear resultantes de cada extremidade das barras que compõem a estrutura Esta rotação será dada por suas componentes nos eixos x y e z e o deslocamento linear por suas UNIUBE 83 componentes nos eixos x y e z em um total de 6 incógnitas por nó da estrutura espacial nos casos mais gerais Por hipótese uma barra de grelha não tem solicitações axiais apre sentando efeitos de flexão e cisalhamento transversais ao plano e efeito de torção A figura a seguir mostra a convenção adotada para os eixos locais e para as deslocabilidades locais de uma barra de grelha As deslocabilidades estão indicadas com seus sentidos positivos e as setas duplas indicam rotações Figura 57 Deslocabilidades em nós de uma grelha Fonte Martha 2010 p286 Para as grelhas supostas situadas no plano xy e carregadas na dire ção z precisaremos conhecer as rotações em x e y e o deslocamento linear em z em um total de 3 incógnitas por nó nos casos gerais 412 Número de incógnitas Deslocabilidade interna Para o caso de estruturas espaciais o número de deslocabilida des internas é igual ao triplo do número de nós internos rígidos que a estrutura possui pois que para cada um deles precisa mos conhecer suas componentes de rotação em torno de cada um dos eixos coordenados 84 UNIUBE Para o caso de grelhas o número de deslocabilidades internas é igual ao dobro do número de nós internos rígidos que ela possui pois supondo a grelha situada no plano xy não haverá componen te de rotação em torno do eixo z 413 Número de incógnitas Deslocabilidade externa Este número de incógnitas independentes é traduzido pelo número de apoios do primeiro gênero que precisamos acrescentar à estru tura para tornála sem deslocabilidades lineares na direção do eixo z direção dos eixos das forças 414 Grandezas Fundamentais Considere a imposição de uma rotação por torção ϕA na extremida de esquerda de uma barra isolada enquanto a rotação na outra ex tremidade é mantida nula ϕB0 tal como mostra a figura a seguir Também considere a imposição de uma rotação ϕB na extremidade da direita mantendo ϕA nula São utilizadas setas duplas para re presentar rotações e momentos torçores Os momentos torçores TA e TB que atuam nas extremidades da barra para impor essas configurações deformadas também estão indicados na figura a seguir com seus sentidos positivos Como não existe carregamento no interior da barra o momento torçor é constante ao longo da barra UNIUBE 85 Figura 58 Coeficientes de rigidez local à torção de uma barra isolada Fonte Martha 2010 p285 Definese genericamente o parâmetro Kϕ como o coeficiente de ri gidez à torção 415 Exemplo de aplicação 5 MARTHA 2010 DICAS A aplicação do método dos deslocamentos em grelhas segue a mesma metodologia do que está apresentado até o momento inclusive as simplificações possíveis de serem adotadas Uma observação a ser feita é que as considerações de barras inex tensíveis para as barras das grelhas não têm efeito algum pois não há translações possíveis no plano de atuação da estrutura uma vez que todos os carregamentos estão aplicados perpendi cularmente a este plano 86 UNIUBE Como visto anteriormente cada nó da grelha que não tem restrição aos deslocamentos tem três deslocabilidades sendo duas internas referentes aos deslocamentos do tipo rotação nos eixos x e y supon do xy o plano da estrutura e uma externa deslocabilidade no eixo z Desta forma para impedir tais deslocabilidades é necessário a inser ção de duas chapas rígidas fictícias na direção das rotações e um apoio de primeiro gênero na direção da translação sobre o eixo z Assim para exemplificar a aplicação do método dos deslocamen tos em grelhas é apresentada a situação a seguir Figura 59 Exemplo 50 Fonte adaptada de Martha 2010 p383 As deslocabilidades existentes na estrutura anterior são duas rotações nos nós internos na direção do eixo X e duas rotações também nos nós internos na direção do eixo Y Considerando que os apoios de primeiro gênero externos são rotulados são desprezadas as rotações existentes nos mesmos por simplifi cação Como não há por definição de grelhas cargas nas dire ções dos eixos X e Y não há deslocamentos translacionais nas direções dos mesmos e rotações na direção do eixo Z Desta forma o Sistema Hipergeométrico e as deslocabilidades exis tentes estão indicados na Figura 60 UNIUBE 87 Figura 60 Exemplo 51 Fonte Martha 2010 p383 Caso 0 Solicitação externa isolada no SH Como todas as cargas atuantes na estrutura estão sobre os eixos das barras não aparecerão momentos torçores nas mesmas As reações de momento estão apresentadas na Figura 61 Figura 61 Exemplo 52 Fonte adaptada de Martha 2010 88 UNIUBE RELEMBRANDO Para o cálculo do β10 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 1 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 1 Para o cálculo do β20 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 2 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 2 Para o cálculo do β30 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 3 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 3 Para o cálculo do β40 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 4 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 4 Lembrando que o vetor momento fletor atua perpendicular à barra fletida e o momento torçor atua na direção da barra torcida Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH A deslocabilidade D1 rotação em torno do eixo X é aplicada iso ladamente no sistema hipergeométrico Assim são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra como segue A primeira barra a ser considerada é a AB e tem como solução bá sica a barra a seguir UNIUBE 89 Figura 62 Exemplo 53 Fonte o autor Assim as reações das soluções fundamentais são A segunda barra a ser considerada é a barra BC Figura 63 Exemplo 54 Fonte o autor 90 UNIUBE Assim as reações das soluções fundamentais são A terceira barra a ser considerada é a barra BE A rotação D1 em torno do eixo X flete as barras AB e BC como mostrado anterior mente mas torce a barra CB Desta forma a solução fundamental para esta barra é a seguinte Figura 64 Exemplo 55 Fonte adaptada de Martha 2010 Assim UNIUBE 91 O sinal positivo do momento torçor indica que o mesmo está atuan do na direção da rotação φ As demais barras não são afetadas pela deslocabilidade D1 Desta forma apresentase na Figura 65 os valores até aqui calculados Figura 65 Exemplo 56 Fonte adaptada de Martha 2010 O coeficiente de rigidez global K11 K21 K31 e K41 são numericamente iguais à forçamomento para impor D11 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício Assim 92 UNIUBE RELEMBRANDO Para o cálculo do K11 é somado todos os momentos fletores e tor çores que estão na direção da deslocabilidade 1 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 1 Para o cálculo do K21 é somado todos os momentos fletores e tor çores que estão na direção da deslocabilidade 2 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 2 Para o cálculo do K31 é somado todos os momentos fletores e tor çores que estão na direção da deslocabilidade 3 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 3 Para o cálculo do K41 é somado todos os momentos fletores e tor çores que estão na direção da deslocabilidade 4 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 4 Lembrando que o vetor momento fletor atua perpendicular à barra fletida e o momento torçor atua na direção da barra torcida Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH A deslocabilidade D2 rotação em torno do eixo X é aplicada iso ladamente no sistema hipergeométrico Assim são calculadas as reações de momento e verticais barra semelhantemente ao que foi calculado no caso 1 tendo os coeficientes de rigidez locais apre sentados na Figura 66 UNIUBE 93 Figura 66 Exemplo 57 Fonte adaptada de Martha 2010 O coeficiente de rigidez global K12 K22 K32 e K42 são numericamente iguais à forçamomento para impor D21 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício Assim Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH A deslocabilidade D3 rotação em torno do eixo Y é aplicada iso ladamente no sistema hipergeométrico Assim são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra como segue A primeira barra a ser considerada é a BE e tem como solução bá sica a barra a seguir 94 UNIUBE Figura 67 Exemplo 58 Fonte o autor Assim as reações das soluções fundamentais são A barra AB não sofre influência da deslocabilidade D31 pois o apoio no nó A não oferece resistência à rotação por tratarse de apoio simples não possuindo assim coeficientes de rigidez locais A segunda barra a ser considerada é a BC e tem como solução básica a barra a seguir UNIUBE 95 Figura 68 Exemplo 59 Fonte o autor Assim as reações das soluções fundamentais são As demais barras não são afetadas pela deslocabilidade D3 Desta forma apresentamse na Figura 69 os valores até aqui calculados no caso 3 Figura 69 Exemplo 510 Fonte adaptada de Martha 2010 96 UNIUBE O coeficiente de rigidez global K13 K23 K33 e K43 são numericamente iguais à forçamomento para impor D31 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício Assim Caso 4 Deslocabilidade D4 isolada no SH A deslocabilidade D4 rotação em torno do eixo Y é aplicada iso ladamente no sistema hipergeométrico Assim são calculadas as reações de momento e verticais barra semelhantemente ao que foi calculado no caso 3 tendo os coeficientes de rigidez locais apre sentados na Figura 70 Figura 70 Exemplo 511 Fonte adaptada de Martha 2010 O coeficiente de rigidez global K14 K24 K34 e K44 são numericamente iguais à forçamomento para impor D21 ao sistema principal e é UNIUBE 97 obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício Assim Equações de equilíbrio Após os cálculos dos coeficientes de rigidez globais de cada caso é necessário resolver as equações de equilíbrio para obter os va lores das deslocabilidades D1 a D4 O sistema de equações de equilíbrio é o apresentado a seguir Substituindo pelos valores calculados Como solução temos os seguintes valores 98 UNIUBE Os diagramas de momentos fletores e torçores da grelha são mos trados na Figura 71 Figura 71 Exemplo 512 Fonte Martha 2010 p386 416 Exemplo de aplicação 6 SUSSEKIND 1987 Obter os diagramas de momentos fletores e torçores para a grelha da figura a seguir cujas barras têm todas EI 5 X 104 tm² e GJ 4 X 104 tm² UNIUBE 99 Figura 72 Exemplo 60 Fonte adaptada de Sussekind 1987 Sistema Hipergeométrico SH Na Figura 73 é indicado o sistema hipergeométrico obtido colo candose chapas rígidas fictícias para impedir todas as componen tes possíveis de rotação dos nós internos da grelha Na mesma fi gura é indicado também os sentidos que consideraremos positivos para rotações em torno dos eixos x e y Figura 73 Exemplo 61 Fonte adaptada de Sussekind 1987 100 UNIUBE Caso 0 Solicitação externa isolada no SH O caso 0 isola o efeito da solicitação externa isto é do carrega mento aplicado Dessa forma as cargas externas são aplicadas no SH com D10 D20 D30 e D40 O cálculo dos termos de carga é feito por meio da tabela de mo mento fletor para vigas engastadas apresentadas anteriormente Como todas as cargas atuantes na estrutura estão sobre os eixos das barras não aparecerão momentos torçores nas mesmas As reações de momento estão apresentadas na figura a seguir Figura 74 Exemplo 62 Fonte adaptada de Sussekind 1987 Portanto Para o cálculo do β10 foi somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 1 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 1 UNIUBE 101 Para o cálculo do β20 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 2 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 2 Para o cálculo do β30 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 3 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 3 Para o cálculo do β40 é somado todos os momentos fletores que estão na direção da deslocabilidade 4 e atuando no nó em que foi inserida a chapa rígida 4 Lembrando que o vetor momento fletor atua perpendicular à barra fletida e o momento torçor atua na direção da barra torcida Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH A deslocabilidade D1 rotação em torno do eixo Y é aplicada iso ladamente no sistema hipergeométrico Assim são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra como segue A primeira barra a ser considerada é a CD ou barra 3 e tem como solução básica a barra a seguir Figura 75 Exemplo 63 Fonte o autor 102 UNIUBE Assim as reações das soluções fundamentais são A segunda barra a ser considerada é a barra BC ou barra 2 torcida pela deslocabilidade 1 Figura 76 Exemplo 64 Fonte o autor Assim as reações das soluções fundamentais são UNIUBE 103 O sinal positivo do momento torçor indica que o mesmo está atuan do na direção da rotação φ As demais barras não são afetadas pela deslocabilidade 1 Figura 77 Exemplo 65 Fonte adaptada de Sussekind 1987 O coeficiente de rigidez global K11 K21 K31 e K41 são numericamente iguais à forçamomento para impor D11 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício Assim 104 UNIUBE Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH A deslocabilidade D2 rotação em torno do eixo Y é aplicada iso ladamente no sistema hipergeométrico Assim são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra como segue A primeira barra a ser considerada é a AB ou barra 1 e tem como solução básica a barra a seguir Figura 78 Exemplo 66 Fonte o autor Assim as reações das soluções fundamentais são UNIUBE 105 A segunda barra a ser considerada é a barra BC barra 2 torcida pela deslocabilidade 2 Figura 79 Exemplo 67 Fonte o autor Assim as reações das soluções fundamentais são O sinal positivo do momento torçor indica que o mesmo está atuan do na direção da rotação φ As demais barras não são afetadas pela deslocabilidade 2 106 UNIUBE Figura 80 Exemplo 68 Fonte adaptada de Sussekind 1987 O coeficiente de rigidez global K12 K22 K32 e K42 são numericamente iguais à forçamomento para impor D21 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício Assim Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH A deslocabilidade D3 rotação em torno do eixo X é aplicada iso ladamente no sistema hipergeométrico Assim são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra como segue A primeira barra a ser considerada é a BC ou barra 2 e tem como solução básica a barra a seguir UNIUBE 107 Figura 81 Exemplo 69 Fonte o autor Assim as reações das soluções fundamentais são A segunda barra a ser considerada é a barra CD barra 3 torcida pela deslocabilidade 3 Figura 82 Exemplo 610 Fonte o autor 108 UNIUBE Assim as reações das soluções fundamentais são O sinal positivo do momento torçor indica que o mesmo está atuan do na direção da rotação φ As demais barras não são afetadas pela deslocabilidade 3 Figura 83 Exemplo 611 Fonte adaptada de Sussekind 1987 O coeficiente de rigidez global K13 K23 K33 e K43 são numericamente iguais à forçamomento para impor D31 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício Assim UNIUBE 109 Caso 4 Deslocabilidade D3 isolada no SH A deslocabilidade D4 rotação em torno do eixo X é aplicada iso ladamente no sistema hipergeométrico Assim são calculadas as reações de momento e verticais barra por barra como segue A primeira barra a ser considerada é a BC ou barra 2 e tem como solução básica a barra a seguir Figura 84 Exemplo 612 Fonte o autor 110 UNIUBE Assim as reações das soluções fundamentais são A segunda barra a ser considerada é a barra AB barra 1 torcida pela deslocabilidade 4 Figura 85 Exemplo 613 Fonte o autor Assim as reações das soluções fundamentais são UNIUBE 111 O sinal positivo do momento torçor indica que o mesmo está atuan do na direção da rotação φ As demais barras não são afetadas pela deslocabilidade 4 Figura 86 Exemplo 614 Fonte adaptada de Sussekind 1987 O coeficiente de rigidez global K14 K24 K34 e K44 são numericamente iguais à forçamomento para impor D41 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o apoio fictício Assim 112 UNIUBE Equações de equilíbrio Após os cálculos dos coeficientes de rigidez globais de cada caso é necessário resolver as equações de equilíbrio para obter os va lores das deslocabilidades D1 a D4 O sistema de equações de equilíbrio é o apresentado a seguir Substituindo pelos valores calculados Como solução temos os seguintes valores Os diagramas de momentos fletores e torçores da grelha são mos trados na Figura 87 UNIUBE 113 Figura 87 Exemplo 618 Fonte Sussekind 1987 p44 Tais diagramas podem ser calculados pela equação Ou então podem ser calculadas as reações de apoio também pela mesma equação e a partir delas obter os diagramas de momentos Considerações finais Deste capítulo podese concluir várias coisas A primeira delas é o fato de por definição grelhas só receberem carregamentos perpendiculares ao plano das barras não aparecerão deslocabi lidades nas direções dos eixos que formam o plano da estrutura Porém todos os nós que não têm restrições às translações terão uma deslocabilidade no sentido de atuação das forças Outra situação a se concluir também se refere à definição de gre lhas O fato das cargas só poder atuar perpendicularmente ao plano 114 UNIUBE das barras aparecerá momentos nas duas direções que formam o plano Assim todos os nós internos da estrutura deverão ter suas rotações bloqueadas com a inserção de chapas rígidas em todas as direções das barras que concorrem nestes nós Devese ficar atentoa no cálculo dos termos de cargas e coefi cientes de rigidez para não somar coeficientes de rigidez locais que estão atuando em outras direções A regra da mão direita aju da a identificar as direções das rotações e momentos sejam eles torçor ou fletor Uma dica importante é o fato dos momentos torço res atuarem na direção axial das barras e os momentos torçores perpendiculares a elas Compreendendo estas situações a solução de grelhas não difere prati camente em nada do que já vem sendo trabalhado em vigas e pórticos Arthur Rosinski do Nascimento Introdução Método dos deslocamentos aplicados em barras inclinadas e barras com rigidez infinita Capítulo 5 Até o momento foram apresentados diversos exemplos de estruturas reticuladas representadas por vigas pórticos e grelhas estando as barras sempre nos eixos horizontais e verticais Uma análise podese tornar mais trabalhosa quando houver na composição da estrutura barras inclinadas Foi visto que as deslocabilidades estão sempre nos eixos globais da estrutura sendo estes na horizontal ou vertical Nos casos básicos do Método dos Deslocamentos as deslocabilidades são liberadas uma a uma com valor unitário Quando uma translação é liberada em um nó de uma barra inclinada este deslocamento possui componente tanto no eixo longitudinal da barra quanto perpendicular a ela Portanto irão aparecer vários coeficientes de rigidez locais em coordenadas locais que precisam ser somados ao comportamento global da estrutura Desta forma este capítulo vem apresentar uma metodologia de análise para estruturas que apresentem barras inclinadas muito comuns em projetos com arquitetura moderna Na segunda parte do capítulo serão apresentados os cálculos necessários quando há alguma barra rígida na estrutura Entendese por barra rígida um material que tenha uma rigidez muito elevada em relação às outras ou seja ela não se deforma com a ação dos esforços internos Aprender como calcular as componentes de deslocamentos nas direções dos eixos longitudinais e transversais às barras inclinadas Aprender como projetar os coeficientes de rigidez locais nas direções globais da estrutura Entender como se comporta uma barra rígida quando esta sofre deslocamentos nos casos básicos e como esta barra deslocada influencia nas barras deformáveis que estão ligadas a ela Aplicar as rotinas de cálculo do Método dos Deslocamentos em estruturas que possuem barras inclinadas e barras com rigidez infinitas Método dos Deslocamentos Aplicado a Barras Inclinadas Exemplo de aplicação 7 Método dos Deslocamentos Aplicado a Barras Infinitamente Rígidas Exemplo de aplicação 8 Objetivos Esquema Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados nos livros de Martha 2010 e Sussekind 1987 feitas as devidas considerações do autor deste material Método dos deslocamentos aplicado a barras inclinadas 51 O cálculo dos momentos e reações de apoio para as barras da estrutura no caso 0 devem ser feitas decompondo as forças em componentes perpendiculares às barras e no eixo longitudinal das mesmas podendo assim aplicar as fórmulas apresentadas na Tabela 1 momentos de engastamento UNIUBE 117 IMPORTANTE O cálculo dos coeficientes de rigidez globais dos casos básicos continua sendo feito somandose os valores dos coeficientes de rigidez locais das barras que são mobilizadas na configuração de formada imposta em cada caso Entretanto para uma barra incli nada a imposição de uma deslocabilidade na direção horizontal ou vertical acarreta deformações axiais e transversais combinadas Por outro lado esforços axiais e transversais na barra inclinada devem ser projetados para as direções horizontal e vertical para compor um coeficiente de rigidez global 511 Exemplo de aplicação 7 MARTHA 2010 Todas as barras da estrutura do exemplo têm as mesmas proprie dades elásticas e de seção transversal O material adotado tem módulo de elasticidade E12 107kNm2 A seção transversal das barras tem área A12 102m2 e momento de inércia I12 103 m4 A solicitação externa é uma carga uniformemente distribuída q 5kNm aplicada na barra horizontal Figura 88 Exemplo 70 Fonte Martha 2010 p302 118 UNIUBE O objetivo desta seção é apresentar a metodologia de análise es trutural do Método dos Deslocamentos aplicado para barras incli nadas mediante um exemplo simples Para isto não será levado em conta a simplificação que considera as barras inextensíveis Se tal simplificação fosse adotada a única deslocabilidade existente no exemplo seria a D3 e que geraria resultados finais satisfatórios Assim os nós dos apoios por serem engastados não possuem ne nhuma deslocabilidade O nó interno que liga a barra inclinada com a horizontal possui três deslocabilidades conforme apresentado na Figura 89 estabelecendo o Sistema Hipergeométrico conforme segue Figura 89 Exemplo 71 Fonte Martha 2010 p303 Caso 0 Solicitação externa isolada no SH O caso 0 isola o efeito da solicitação externa isto é do carrega mento aplicado Dessa forma as cargas externas são aplicadas no SH com D10 D20 e D30 O cálculo dos termos de carga é feito por meio da tabela de mo mento fletor para vigas engastadas apresentada anteriormente A barra AB ou barra 1 não apresenta carregamento e portanto as reações de apoios são iguais a zero A barra BC ou barra 2 UNIUBE 119 corresponde a uma viga bi engastada de comprimento 6m cujas reações são apresentadas a seguir na Figura 90 Figura 90 Exemplo 72 Fonte o autor Pelas equações de equilíbrio calculase as reações verticais portanto O termo de carga é igual ao somatório das forças reações na direção da deslocabilidade 1 Lembrando que o primeiro índice re ferese ao número de ordem da deslocabilidade e o segundo índice ao caso analisado Assim 120 UNIUBE Já o termo de carga é igual ao somatório das reações que estão na direção da deslocabilidade D2 Assim Já o termo de carga é igual ao somatório dos momentos fleto res no nó em que foi inserida a chapa 3 Assim Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso desconsiderase todo o carregamento externo e faz se todas as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índice 1 Assim D11 atuando em seu sentido positivo esquerda para direita Figura 91 Exemplo 73 Fonte adaptada de Martha 2010 O caso básico 1 da solução da estrutura da Figura 91 está deta lhado na Figura 92 Observase nessa figura que o deslocamen to horizontal D1 1 imposto quando projetado nas direções dos UNIUBE 121 eixos locais da barra inclinada tem uma componente axial igual a cosθ e uma componente transversal igual a senθ sendo θ o ân gulo que a barra inclinada faz com o eixo horizontal da estrutura Dessa forma a barra inclinada é mobilizada tanto axialmente quan to transversalmente Figura 92 Exemplo 74 Fonte adaptada de Martha 2010 Com esses deslocamentos da barra 1 axial e transversal é pos sível determinar os valores dos momentos e forças que atuam em suas extremidades mediante os coeficientes de rigidez locais das soluções fundamentais para barras isoladas soluções fundamen tais para a barra AB ilustrados na Figura 93 Estes valores estão apresentados na Figura 94 Figura 93 Exemplo 75 Fonte o autor 122 UNIUBE Figura 94 Exemplo 76 Fonte adaptada de Martha 2010 RELEMBRANDO Os coeficientes de rigidez global K11 K21 e K31 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sen tido da deslocabilidade Portanto os coeficientes de rigidez local do ponto B devem ser decompostos nos eixos horizontal e vertical para os cálculos do K11 e K12 respectivamente Assim UNIUBE 123 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Neste caso desconsiderase todo o carregamento externo e faz se todas as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índice 2 Assim D21 atuando em seu sentido positivo de baixo para cima Figura 95 Exemplo 77 Fonte adaptada de Martha 2010 As projeções nas direções dos eixos locais da barra inclinada do deslocamento vertical D2 1 resultam em uma componente axial igual a senθ e em uma componente transversal igual a cosθ Figura 96 Exemplo 78 Fonte adaptada de Martha 2010 124 UNIUBE Com esses deslocamentos da barra 1 axial e transversal é pos sível determinar os valores dos momentos e forças que atuam em suas extremidades por meio dos coeficientes de rigidez locais das soluções fundamentais para barras isoladas soluções fundamen tais para a barra AB ilustrados na Figura 97 Estes valores estão apresentados na Figura 98 Figura 97 Exemplo 79 Fonte o autor Figura 98 Exemplo 710 Fonte adaptada de Martha 2010 Os coeficientes de rigidez global K12 K22 e K32 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sen tido da deslocabilidade Portanto os coeficientes de rigidez local do ponto B devem ser decompostos nos eixos horizontal e vertical para os cálculos do K12 e K22 respectivamente UNIUBE 125 Assim Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH Neste caso desconsiderase todo o carregamento externo e fazse todas as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índi ce 3 Assim D31 atuando em seu sentido positivo antihorário Figura 99 Exemplo 711 Fonte adaptada de Martha 2010 A imposição da deslocabilidade 3 igual a um não proporciona translação do ponto B em nenhuma das direções Assim o cál culo dos coeficientes de rigidez local tornase simples como apresentado a seguir 126 UNIUBE Figura 100 Exemplo 92 Fonte adaptada de Martha 2010 Os coeficientes de rigidez global K13 K23 e K33 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sen tido da deslocabilidade Portanto os coeficientes de rigidez local do ponto B devem ser decompostos nos eixos horizontal e vertical para os cálculos do K13 e K23 respectivamente Assim UNIUBE 127 Equações de equilíbrio Com a resolução deste sistema podemse obter os valores das des locabilidades D1 D2 e D3 e a partir delas os diagramas e reações 52 Método dos deslocamentos aplicado a barras infinitamente rígidas Reflita Na análise de um prédio para cargas laterais de vento por exemplo podese considerar que o conjunto de lajes e vigas de um pavimento do prédio forma um diafragma rígido quando o pórtico se desloca lateralmente Em outras palavras em situações especiais o pavimento pode ser conside rado como um elemento infinitamente rígido em comparação com as colunas do prédio elementos estruturais que têm deformações transversais por flexão Considerando que as colunas do pórtico da Figura 101 são inex tensíveis os nós do pavimento do pórtico só podem se deslocar na direção horizontal Isso impede a rotação da viga como um corpo rígido Portanto o único movimento que a viga infinitamente rígida pode ter é o deslocamento horizontal como mostrado 128 UNIUBE Figura 101 Pórtico com uma viga infinitamente rígida Fonte adaptada de Martha 2010 Pode haver situações em que a barra infinitamente rígida esteja na posição dos pilares Nestas situações a análise deve ser feita como apresentado na Figura 102 Se o pilar estiver engastado en tão o mesmo não sofrerá qualquer rotação Figura 102 Pórtico com um pilar infinitamente rígido Fonte adaptada de Martha 2010 Várias opções poderiam ser encontradas para impedir a deslocabi lidade D1 por exemplo inserir apoio de primeiro gênero na direção da viga horizontal ou então inserir uma chapa rígida no apoio de segundo gênero na qual se apoia o pilar com rigidez infinita UNIUBE 129 521 Exemplo de aplicação 8 SUSSEKIND 1987 Obter o diagrama de momentos fletores para o quadro da Figura 103 Considerar EI6tm² A barra com espessura mais grossa e hachurada é a barra com rigidez infinita Figura 103 Exemplo 80 Fonte adaptada de Sussekind 1987 Identificação das deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico Tendo a barra AB inércia infinita fica impedida as rotações dos nós A e B desta forma a única deslocabilidade interna será a rotação do nó C Externamente a estrutura tem uma deslocabilidade que é o deslocamento horizontal da barra AB Assim sendo o sistema hipergeométrico é o da Figura 104 Levando em conta a simplifica ção que as barras são inextensíveis o ponto C tornase indeslocá vel pelos engastes em D e E 130 UNIUBE Figura 104 Exemplo 81 Fonte adaptada de Sussekind 1987 Caso 0 Solicitação externa isolada no SH O caso 0 isola o efeito da solicitação externa isto é do carrega mento aplicado Dessa forma as cargas externas são aplicadas no SH com D10 D20 e D30 O cálculo dos termos de carga é feito por meio da tabela de mo mento fletor para vigas engastadas apresentadas anteriormente A única carga da estrutura estará atuando na barra AB conforme apresentado na Figura 105 Figura 105 Exemplo 82 Fonte o autor UNIUBE 131 Portanto a única reação que ocorrerá na estrutura é a horizontal no ponto B e será igual a 3t no sentido da direita para a esquerda A figura que ilustra todas as reações e momentos calculados no caso 0 é a Figura 106 Figura 106 Exemplo 83 Fonte adaptada de Sussekind 1987 O termo de carga é igual ao somatório de momentos no ponto onde foi inserida a chapa rígida fictícia Lembrando que o primeiro índice referese ao número de ordem da deslocabilidade e o segun do índice ao caso analisado Assim Já o termo de carga é igual ao somatório das reações que estão na direção da deslocabilidade D2 Assim Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso desconsiderase todo o carregamento externo e fazse todas as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índi ce 1 Assim D11 atuando em seu sentido positivo antihorário 132 UNIUBE Neste caso será analisada barra por barra identificando em cada uma delas os coeficientes de rigidez locais A primeira barra a ser analisada será a barra AC conforme ilustra a Figura 107 Figura 107 Exemplo 104 Fonte o autor Análise da barra CE barra 4 Figura 108 Exemplo 85 Fonte o autor UNIUBE 133 Análise da barra CD barra 3 Figura 109 Exemplo 86 Fonte o autor A Figura 110 ilustra os momentos que foram calculados até o mo mento para o caso 1 134 UNIUBE Figura 110 Exemplo 87 Fonte o autor Os coeficientes de rigidez global K11 e K21 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sentido da deslocabilidade Assim Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Neste caso desconsiderase todo o carregamento externo e fazse todas as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índi ce 2 Assim D21 atuando em seu sentido positivo da esquerda para a direita UNIUBE 135 Neste caso será analisada barra por barra identificando em cada uma delas os coeficientes de rigidez locais A primeira barra a ser analisada será a barra BE conforme ilustra a Figura 111 Figura 111 Exemplo 88 Fonte o autor Análise da barra AC 136 UNIUBE Figura 112 Exemplo 89 Fonte o autor A Figura 113 ilustra os momentos e reações que foram calculados até o momento para o caso 2 Figura 113 Exemplo 810 Fonte o autor UNIUBE 137 Os coeficientes de rigidez global K12 e K22 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sentido da deslocabilidade Assim Equações de equilíbrio Com a resolução deste sistema obtêmse os valores das desloca bilidades D1 e D2 e a partir delas o diagrama de momento fletor Os momentos finais estão ilustrados pela Figura 114 Figura 114 Exemplo 811 Fonte Sussekind 1987 p65 138 UNIUBE Tais diagramas podem ser obtidos mediante a equação a seguir Ou então calcular as reações de apoio e a partir delas obter os diagramas e esforços Considerações finais Talvez as maiores dificuldades nos cálculos do Método dos Deslocamentos apareceram em estruturas com barras inclinadas eou infinitamente rígidas O maior problema em situações com barras inclinadas foi projetar os deslocamentos impostos em cada caso básico nas direções locais das barras e depois projetar os coeficientes de rigidez locais nos eixos globais da estrutura Nos problemas em que há presença de barras rígidas a grande difi culdade estava em definir as deslocabilidades e na interpretação das deformadas em cada caso básico Uma barra rígida pode impedir tan to uma deslocabilidade interna quanto uma externa assim deve ser feita uma análise minuciosa na definição do Sistema Hipergeométrico Outro ponto destacado quando se tem barras rígidas nas estrutu ras estava na identificação das deformações das barras nos casos básicos A ligação das barras deformáveis com as rígidas é que estabelecem como será a linha elástica das vigas e pilares Isto é muito importante para saber quais situações fundamentais deverão ser utilizadas nos cálculos dos coeficientes de rigidez locais Diante do exposto somente a resolução de vários exercícios po derá fazer com que oa alunoa consiga fixar e compreender o comportamento das estruturas com estas configurações Arthur Rosinski do Nascimento Introdução Método dos deslocamentos aplicado em estruturas com deslocamentos prescritos Capítulo 6 Muitas vezes somos solicitados para verificar situações em que houve algum recalque de apoios em estruturas chamados de deslocamentos prescritos que podem gerar esforços internos adicionais nos elementos da construção Quando uma estrutura é isostática por exemplo uma viga engastada que sofreu um deslocamento prescrito vertical no seu apoio não haverá acréscimo de esforços interno pois como a extremidade livre não é restringida por nenhum apoio toda a estrutura irá se deslocar no sentido do recalque ou seja houve somente um deslocamento de corpo rígido A mesma análise pode ser feita para uma viga bi apoiada porém a viga sofrerá uma rotação uma vez que os apoios são considerados ligações rotuladas Entretanto quando se consideram estruturas hiperestáticas com recalques devido às restrições de deslocamentos impostas pelos apoios a estrutura fica impedida de se deslocar nas direções dos vínculos provocando deformações na estrutura e em contrapartida tensões internas Os esforços internos inerentes dos recalques de apoios podem atingir valores tão altos combinados com os carregamentos externos que podem levar a estrutura ao colapso Devido a isto que o assunto deste capítulo tornase importante Aplicar a rotina de cálculo do Método dos Deslocamentos às estruturas que sofreram deslocamentos prescritos Compreender como os deslocamentos prescritos deformam as barras das estruturas no caso 0 Compreender que esforços internos são acrescidos à estrutura que sofre deslocamento prescrito Método dos Deslocamentos Aplicados a Estruturas com Deslocamentos Prescritos Exemplo de aplicação 9 Exemplo de aplicação 10 Objetivos Esquema Neste capítulo será apresentado alguns exemplos de aplicação que demostram como deve ser feita a análise de estruturas submetidas a recalques de apoio utilizandose do Método dos Deslocamentos Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados no livro de Sussekind 1987 e apostila do professor Oliveira Júnior da PUC de Goiás disciplina de Teoria das Estruturas II feitas as devidas considerações do autor deste material Método dos deslocamentos aplicado em estruturas com deslocamentos prescritos 61 O deslocamento prescrito pode ser linear ou de rotação e como qualquer outra ação externa pode ter seu efeito consi derado no caso 0 por meio dos cálculos dos coeficientes de rigidez locais para cada barra utilizando as soluções funda mentais apresentadas anteriormente UNIUBE 141 No caso de rotação esses coeficientes são facilmente determina dos a partir dos coeficientes de rigidez de flexão de barra que foi definido como igual ao momento para provocar rotação unitária em uma de suas extremidades da barra mantidos os demais desloca mentos de extremidades nulo No caso de deslocamento linear desprezando as deformações do esforço normal barras inextensíveis não é possível utilizar diretamente o referido procedimento Temse que determinar os deslocamentos ortogonais relativos de cada barra associado ao deslocamento prescrito linear e introduzir no caso 0 os esforços provocados por esses deslocamentos ortogonais Reflita Quando não for possível a identificação imediata desses deslocamentos ortogonais utilizase o gráfico de Williot Sussekind 1987 nos volumes II e III apresenta uma me todologia para o uso deste gráfico 611 Exemplo de aplicação 9 OLIVEIRA JÚNIOR O apoio C da viga contínua a seguir sofre um recalque para bai xo igual a 10 cm Trace os diagramas de esforços internos para o pórtico considerando que as barras AB BC e CD possuem res pectivamente rigidez à flexão EI10000kNm² EI20000kNm² e EI25000kNm² Todas as barras são inextensíveis 142 UNIUBE Figura 115 Exemplo 90 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 Identificação das deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico A identificação das deslocabilidades para um caso de recalque de apoio se dá da mesma forma que vem sendo feito até o momento ou seja definindo as deslocabilidades internas e externas Como o apoio A e D é do terceiro gênero não há nenhuma deslocabilidade nestes Já os nós B e C são apoios de segundo e primeiro gênero portanto permite a deslocabilidade do tipo rotação e por conside rar as barras inextensíveis estas deslocabilidades são as únicas da estrutura Desta forma definese o Sistema Hipergeométrico conforme Figura 116 Figura 116 Exemplo 91 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 Caso 0 Solicitação externa isolada no SH O caso 0 isola o efeito da solicitação externa isto é do carrega mento aplicado Dessa forma as cargas externas são aplicadas no SH com D10 e D20 UNIUBE 143 Como na viga não há carregamento o único efeito externo a ser calculado na estrutura é o deslocamento prescrito do nó C de 10cm para baixo Os efeitos são calculados de acordo com os desloca mentos ortogonais relativos de cada barra associado ao desloca mento prescrito linear Assim devido os nós B e D serem fixos com a inserção dos apoios fictícios as únicas barras que serão afeta das pelo recalque em C e são calculadas conforme segue Cálculo da barra BC Figura 117 Exemplo 92 Fonte o autor Cálculo da barra CD 144 UNIUBE Figura 118 Exemplo 93 Fonte o autor Resumo das reações e momentos do caso 0 Figura 119 Exemplo 94 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 O termo de carga é igual ao somatório de momentos no ponto onde foi inserida a chapa rígida fictícia 1 Assim UNIUBE 145 Já o termo de carga é igual ao somatório de momentos no pon to onde foi inserida a chapa rígida fictícia 2 Assim PARADA OBRIGATÓRIA Se houvesse carregamento atuando na estrutura deveriam ser calculados os momento e reações para o caso de engastamento perfeito e somado seus valores aos calculados para o recalque nos termos de cargas Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso desconsiderase todo a solicitação externa e fazse to das as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índice 1 Assim D11 atuando em seu sentido positivo antihorário A primeira barra a ser analisada será a barra AB conforme ilustra a Figura 120 Figura 120 Exemplo 95 Fonte o autor 146 UNIUBE Análise da barra BC barra 2 Figura 121 Exemplo 96 Fonte o autor A Figura 122 ilustra os momentos e reações que foram calculados até o momento para o caso 1 Figura 122 Exemplo 97 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 UNIUBE 147 Os coeficientes de rigidez global K11 e K21 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sentido da deslocabilidade Assim Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Neste caso desconsiderase toda a solicitação externa e fazse to das as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índice 2 Assim D21 atuando em seu sentido positivo antihorário A primeira barra a ser analisada será a barra BC conforme ilustra a Figura 123 Figura 123 Exemplo 98 Fonte o autor 148 UNIUBE Análise da barra CD barra 3 Figura 124 Exemplo 99 Fonte o autor A Figura 125 ilustra os momentos e reações que foram calculados até o momento para o caso 2 Figura 125 Exemplo 910 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 UNIUBE 149 Os coeficientes de rigidez global K12 e K22 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sentido da deslocabilidade Assim Equações de equilíbrio Com a resolução deste sistema obtêmse os valores das desloca bilidades D1 e D2 e a partir delas os diagramas e reações Os diagramas e reações finais são obtidos pela equação a seguir Cálculo dos momentos fletores 150 UNIUBE Em resumo os valores são apresentados na Figura 135 Figura 126 Exemplo 911 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 RELEMBRANDO Lembrando que os momentos são positivos no sentido antiho rário Verificar tabela de convenção de sinais apresentada no primeiro capítulo Assim o diagrama final fica configurado conforme Figura 127 Figura 127 Exemplo 912 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 UNIUBE 151 Cálculo dos esforços cortantes Em resumo os valores são apresentados na Figura 128 Lembrando que os momentos são positivos no sentido antihorário Figura 128 Exemplo 913 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 Assim o diagrama final fica configurado conforme Figura 129 Figura 129 Exemplo 914 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 152 UNIUBE 612 Exemplo de aplicação 10 OLIVEIRA JÚNIOR O apoio E do pórtico plano a seguir sofre um recalque igual a 2 cm da esquerda para a direita Determine as reações de apoio e trace os diagramas de esforços internos para o pórtico considerando que as barras possuem rigidez à flexão EI12000kNm² e são inextensíveis Figura 130 Exemplo 100 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 Identificação das deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico Como o apoio A e C é do terceiro gênero não há nenhuma deslo cabilidade nestes nós O apoio E é de segundo gênero porém está em uma extremidade sendo considerado rotulado não precisando assim considerar a deslocabilidade do tipo rotação As barras 2 e 4 entre os nós B e E tem o deslocamento horizontal travado pelo apoio em E Já os nós B e D tem o deslocamento vertical travado pelos engastes A e C respectivamente porém nada impe de destes nós rotacionarem Portanto as únicas deslocabilidades são as rotações no nós B e D Desta forma definese o Sistema Hipergeométrico conforme Figura 131 UNIUBE 153 Figura 131 Exemplo 101 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 Caso 0 Solicitação externa isolada no SH O caso 0 isola o efeito da solicitação externa isto é do carrega mento aplicado Dessa forma as cargas externas são aplicadas no SH com D10 e D20 Como na viga não há carregamento o único efeito externo a ser considerado na estrutura é o deslocamento prescrito do nó E de 2cm da esquerda para a direita Os efeitos são calculados de acor do com os deslocamentos ortogonais relativos de cada barra asso ciado ao deslocamento prescrito linear Como todas as barras são inextensíveis em específico as barras 2 e 4 as mesmas somente sofrerão deslocamento de corpo rígido não gerando esforços inter nos nas mesmas Mas devido os nós A e C serem fixos as barras que serão afetadas pelo recalque em E são as barras 1 e 3 e são calculadas conforme segue Cálculo da barra AB barra 1 154 UNIUBE Figura 132 Exemplo 102 Fonte o autor Cálculo da barra CD Figura 133 Exemplo 103 Fonte o autor UNIUBE 155 Resumo das reações e momentos do caso 0 Figura 134 Exemplo 104 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 O termo de carga é igual ao somatório de momentos no ponto onde foi inserida a chapa rígida fictícia 1 Assim Já o termo de carga é igual ao somatório de momentos no pon to onde foi inserida a chapa rígida fictícia 2 Assim 156 UNIUBE Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH Neste caso desconsiderase todo a solicitação externa e fazse to das as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índice 1 Assim D11 atuando em seu sentido positivo antihorário A primeira barra a ser analisada será a barra AB conforme ilustra a Figura 135 Figura 135 Exemplo 105 Fonte o autor Análise da barra BD barra 2 UNIUBE 157 Figura 136 Exemplo 106 Fonte o autor A Figura 137 ilustra os momentos e reações que foram calculados até o momento para o caso 1 Figura 137 Exemplo 107 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 Os coeficientes de rigidez global K11 e K21 são obtidos somando os coeficien tes de rigidez locais que estiverem atuando no sentido da deslocabilidade 158 UNIUBE Assim Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH Neste caso desconsiderase toda a solicitação externa e fazse to das as deslocabilidades iguais a zero com exceção da com índice 2 Assim D21 atuando em seu sentido positivo antihorário A primeira barra a ser analisada será a barra BD conforme ilustra a Figura 138 Figura 138 Exemplo 108 Fonte o autor UNIUBE 159 Análise da barra CD barra 3 Figura 139 Exemplo 109 Fonte o autor Análise da barra DE barra 4 Figura 140 Exemplo 1010 Fonte o autor 160 UNIUBE A Figura 141 ilustra os momentos e reações que foram calculados até o momento para o caso 2 Figura 141 Exemplo 1011 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 Os coeficientes de rigidez global K12 e K22 são obtidos somando os coeficientes de rigidez locais que estiverem atuando no sentido da deslocabilidade Assim UNIUBE 161 Equações de equilíbrio Com a resolução deste sistema obtêmse os valores das desloca bilidades D1 e D2 e a partir delas os diagramas e reações Os diagramas e reações finais são obtidos pela equação a seguir Cálculo das reações A partir destas reações podemse desenhar todos os diagramas de esforços interno como mostrados nas Figuras 142 143 e 144 res pectivamente momento fletor esforço cortante e esforço normal 162 UNIUBE Figura 142 Exemplo 1012 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 Figura 143 Exemplo 1013 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 Figura 144 Exemplo 1014 Fonte adaptada de Oliveira Júnior 2016 UNIUBE 163 Tais diagramas podem ser obtidos mediante a equação a seguir Ou então calcular as reações de apoio e a partir delas obter os diagramas e esforços Considerações finais Recalque de apoio é uma das principais causas de patologias em concreto armado junto com falhas de projetos e corrosões de ar maduras por isso a importância do estudo destas situações Quando se trata de estruturas hiperestáticas a maioria dos casos os deslocamentos prescritos nos apoios pelo fato dos deslocamentos de corpo rígido estar restringidos pelos vínculos provocarão o acrés cimo dos esforços internos na estrutura e consequentemente o au mento nas tensões normais e tangenciais podendo levar ao colapso Após verificar os exemplos de aplicação apresentados neste capí tulo percebese que os deslocamentos prescritos atuam no caso 0 considerandoo uma solicitação externa Como não são forças deixase de utilizar as tabelas de engastamento perfeito e usamse as soluções fundamentais para os cálculos das forças e momentos reativos para o cálculo dos termos de cargas Somente a situação descrita no parágrafo anterior difere as situ ações com recalques das estruturas normais Os casos básicos são calculados da mesma forma que vêm sendo calculado até este capítulo Portanto todas as conclusões feitas nos outros capítulos também valem para este Arthur Rosinski do Nascimento Introdução Processo de cross Capítulo 7 Este processo é baseado no Método dos Deslocamentos e só se aplica para estruturas sem deslocabilidades externas do tipo translação isto é ele só se aplica a estruturas com barras inextensíveis e que só tenham deslocabilidades do tipo rotação Apesar desta limitação o método criado por Hardy Cross na década de 1930 ainda é utilizado hoje para o cálculo de estruturas O processo possibilitou a solução manual de estruturas hiperestáticas em um momento em que estruturas de concreto armado estavam se tornando muito comuns O concreto armado propicia a criação de pórticos com ligações contínuas com alto grau de hiperestaticidade Neste processo não se tem a resolução explícita de um sistema de equações de equilíbrio como apresentado pelo Método dos Deslocamentos dos capítulos anteriores obtendose em procedimentos de aproximações sucessivas os momentos fletores nas extremidades das barras O Processo de Cross é facilmente implementado em planilhas do tipo Excel portanto os alunos que possuírem o domínio deste software possuirão consigo uma ferramenta poderosa para auxiliar as análises de estruturas na qual rapidamente poderão solucionar diversos tipos de problemas Definir o que é o Processo de Cross Apresentar os principais conceitos do Processo de Cross Identificar as principais diferenças com o Método dos Deslocamentos Compreender o Processo de Cross com a resolução de exemplos de aplicações Processo de Cross Exemplo de aplicação 11 Exemplo de aplicação 12 Objetivos Esquema Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados nos livros de Sussekind 1987 Martha 2010 e Soriano 2006 feitas as devidas considerações do autor deste material Processo de cross 71 Para entender o processo é preciso a compreensão da distribuição de momentos fletores em um nó Para isto partiremos do exemplo a seguir para as discussões sobre o assunto Figura 145 Aplicação de um momento externo em um nó com rotação liberada Fonte adaptada de Sussekind 1987 UNIUBE 167 Seja o nó A da estrutura representada na Figura 145 submetido à ação de uma carga momento M Devido à atuação deste momento M o nó irá girar de um ângulo D1 aparecendo então na extremida de das barras 1 2 3 e 4 os momentos de módulos iguais conforme a definição de rigidez de uma barra em um nó a Sendo Ki os coeficientes de rigidez a rotação para a barra i RELEMBRANDO De acordo com as soluções fundamentais para barras isoladas quando uma extremidade engastada sofre uma rotação têmse as seguintes situ ações apresentadas na Figura 146 rotação no engaste à direita a barra bi engastada b barra rotulada em uma extremidade Figura 146 Soluções fundamentais de uma bar ra com rotação em uma extremidade Fonte o autor 168 UNIUBE Assim temse que os coeficientes de rigidez à rotação apresenta dos anteriormente são iguais a Em resumo para barras sem articulação e para barras com articulação oposta à extremidade que sofre o giro é Evidentemente devemos ter por compatibilidade estática do es quema da Figura 145 Daí obtemos Identificando o termo entre parêntesis como a soma dos valores dos coeficientes de rigidez à rotação em A de todas as barras con correntes neste nó e à qual chamaremos simplificadamente podemos escrever Substituindo este valor nas primeiras equações apresentadas nes te capítulo temos Ou seja UNIUBE 169 IMPORTANTE Da expressão anterior podemos tirar a seguinte conclusão Uma cargamomento aplicada num nó de uma estrutura totalmen te indeslocável irá se distribuir entre as diversas barras concorren tes neste nó segundo parcelas proporcionais à rigidez neste nó de cada uma destas barras SUSSEKIND 1987 p 182 A relação simbolizando a fração do momento atuante no nó que irá para a barra i denominaremos coeficiente de distribuição de momentos para a barra i escrevendose então O que também nos permite escrever Evidentemente a soma dos coeficientes de distribuição de mo mentos em tomo de um nó é igual a 1 Assim temos os valores de momentos redistribuídos conforme ilustra a Figura 147 Figura 147 Momentos fletores finais nas extremidades das barras da estrutura Fonte adaptada de Martha 2010 170 UNIUBE Da Figura 146 percebese na parte a que o momento fletor na extremidade que não sofreu a rotação é igual à metade do momen to na outra extremidade E que na parte b o momento na rótula é igual a zero Definese então o coeficiente de transmissão de momento da barra i Coeficiente de transmissão de momento para barra com EI constante e sem articulação Coeficiente de transmissão de momento para barra com extremidade oposta articulada Da multiplicação destes coeficientes com os momentos no nó A é que são obtidos os momentos apresentados nas extremidades opostas a este nó na Figura 147 Discutiremos agora mais um caso SUSSEKIND 1987 o qual nos será por meio dele enunciar um roteiro para resolução de qual quer estrutura externamente indeslocável pelo processo de Cross Seja resolver a viga de inércia constante da Figura 148 devido ao carregamento indicado Figura 148 Viga contínua Fonte adaptada de Sussekind 1987 UNIUBE 171 Em se tratando de uma estrutura com duas deslocabilidades internas rotação dos nós B e C o sistema hipergeométrico é o da Figura 149 no qual bloqueamos as rotações existentes nestes nós com as chapas 1 e 2 surgindo nele então os momentos de engastamento perfeito indicados na mesma figura calculados pelas fórmulas apre sentadas na tabela de momentos de engastamento do Capítulo I Figura 149 Sistema principal e momentos de engastamento perfeito Fonte adaptada de Sussekind 1987 Pensando em se adotar um procedimento análogo ao do exemplo estudado anteriormente calculemos os coeficientes de distribuição de momentos em torno dos nós B e C Os coeficientes de distribui ção de momento estão indicados em cada nó na Figura 150 Os cálculos destes coeficientes para os nós são Figura 150 Coeficientes de distribuição Fonte adaptada de Sussekind 1987 Agora será apresentado o raciocínio a ser adotado nos exercícios do Processo de Cross 172 UNIUBE Figura 151 Momentos finais obtidos pelo Processo de Cross Fonte o autor O processo mostrado na Figura 151 inicia no Estágio 0 que corres ponde a uma situação de engastamento perfeito Os valores dos momentos fletores iniciais nas barras são determinados com base nas equações de engastamento perfeito Observase que existe desequilíbrio de no nó B e no nó C Estagio 1 O primeiro nó é equilibrado com a liberação da rotação na chapa 1 UNIUBE 173 DICAS No caso geral de uma estrutura com várias deslocabilidades não existe uma ordem preferencial para equilíbrio dos nós qualquer nó desequilibrado pode ser o próximo a ser equilibrado Entretanto o processo converge mais rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequilíbrio em módulo naquele instante for o nó a ser equilibrado O equilíbrio do primeiro nó resulta nas seguintes parcelas equilibrantes Invertese sempre o sinal do momento desequilibrado para equi librar o nó Por isso o sinal positivo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente Devido ao aparecimento destes momentos equilibrantes será transmitido ao nó C que está engastado pois não foi liberada a rotação da chapa 2 um momento igual a 05 X 96 48tm Para o nó A não é transmitido qualquer momento por se tratar de um nó rotulado O nó B com os momentos de 54tm e 96tm está equilibrado e colocaremos então um traço abaixo dos mesmos para caracteri zar o equilíbrio O esquema atual será então o da Figura 152 que transcreveremos para a Figura 151 174 UNIUBE Figura 152 Estágio 1 equilíbrio do nó B Fonte o autor Estágio 2 Estando equilibrado o nó B Figura 152 voltamos a co locar a chapa 1 impedindo novas rotações do mesmo a estrutura do sistema hipergeométrico não está ainda equilibrada pois o nó C não está em equilíbrio Para conseguirmos agora o equilíbrio do nó C liberamos a rotação da chapa 2 ficando o mesmo submetido a uma cargamomento de 16 48 9 118tm Esta será equilibrada por momentos iguais a Invertese sempre o sinal do momento desequilibrado para equi librar o nó Por isso o sinal negativo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente Como nas extremidades B e D estão impedidas as rotações pois nesta fase estamos liberando apenas a rotação da chapa 2 nelas aparecerão momentos iguais ao produto dos momentos equilibrantes pelos coeficientes de transmissão ti iguais no caso a 05 Assim sendo o nó C está em equilíbrio e ficamos com o esquema da Figura 153 transcrito na Figura 151 UNIUBE 175 Figura 153 Estágio 2 equilíbrio do nó C Fonte o autor Estágio 3 Tendo ficado equilibrado agora o nó C Figura 153 voltamos a colocar a chapa 2 impedindo novas rotações do mes mo O esquema da Figura 153 nos mostra entretanto que o nó B ficou desequilibrado Para equilibrálo liberamos mais uma vez a rotação da chapa 1 ficando o nó submetido a uma cargamomento de 3363 tm que é equilibrada por momentos iguais a Para o nó C da barra 2 será transmitido um momento igual a 2152 X 05 1076tm e ficamos então com o esquema da Figura 154 no qual o nó B foi mais uma vez equilibrado Figura 154 Estágio 3 equilíbrio do nó B Fonte o autor 176 UNIUBE Estágio 4 Estando equilibrado o nó B Figura 154 voltamos a co locar a chapa 1 impedindo novas rotações do mesmo a estrutura do sistema hipergeométrico não está ainda equilibrada pois o nó C não está em equilíbrio Para conseguirmos agora o equilíbrio do nó C liberamos a rota ção da chapa 2 ficando o mesmo submetido a uma cargamomen to de 1076tm Esta será equilibrada por momentos iguais a Como nas extremidades B e D estão impedidas as rotações pois nesta fase estamos liberando apenas a rotação da chapa 2 nelas aparecerão momentos iguais ao produto dos momentos equilibrantes pelos coeficientes de transmissão ti iguais no caso a 05 Assim sendo o nó C está em equilíbrio e ficamos com o esquema da Figura 155 transcrito na Figura 151 Figura 155 Estágio 4 equilíbrio do nó C Fonte o autor Assim fazse sucessivamente o equilíbrio de cada nó separada mente sempre bloqueando as rotações dos outros como foi feito nos Estágios 3 e 4 até obter a precisão que se deseja UNIUBE 177 Para a obtenção dos momentos finais devemos fazer a superpo sição soma de todos os momentos que apareceram nas diversas fases do equilíbrio da viga o que pode ser feito diretamente na Figura 151 somandose os valores indicados em coluna obtendo se os valores finais apresentados na última linha Pela convenção de sinais apresentada no Capítulo I destacada na Figura 156 podemos obter o diagrama de momento fletor como ilustrado na Figura 166 Figura 156 Convenção de sinais para momento fletor Fonte adaptada de Martha 2010 Figura 157 Diagrama de momento fletor Fonte Sussekind 1987 p195 178 UNIUBE 711 Exemplo de aplicação 11 SORIANO 2006 Determine o diagrama de momento fletor para o pórtico da Figura 158 já definido seu sistema Hipergeométrico Figura 158 Estrutura do exemplo 11 Fonte Soriano 2006 p245 Pensando em se adotar um procedimento análogo ao do exemplo estudado anteriormente calculemos os coeficientes de distribuição de momentos em torno dos nós D e E Os coeficientes de distribui ção de momento estão indicados em cada nó na Figura 159 com seus respectivos momentos de engastamento perfeito calculado a partir da Tabela 1 apresentada no Capítulo I Os cálculos destes coeficientes para os nós são UNIUBE 179 Figura 159 Coeficientes de distribuição Fonte Soriano 2006 p245 Observase que existe desequilíbrio de no nó D e no nó E No caso geral de uma estrutura com várias deslocabilidades não existe uma ordem preferencial para equilíbrio dos nós qualquer nó desequilibrado pode ser o próximo a ser equilibrado Entretanto o processo converge mais rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequilíbrio em módulo naquele instante for o nó a ser equilibrado neste caso o nó D O primeiro nó é equilibrado com a liberação da rotação na chapa 1 O equilíbrio do nó D resulta nas seguintes parcelas equilibrantes 180 UNIUBE Invertese sempre o sinal do momento desequilibrado para equi librar o nó Por isso o sinal positivo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente Devido ao aparecimento destes momentos equilibrantes será transmitido aos nós A B e E que estão engastados pois não foi liberada a rotação da chapa 2 momentos iguais a 05X21331066kNm 05X42672133kNm e 05X42672133kNm respectivamente O nó D com os momentos de 2133kNm 4267kNm e 4267kNm está equilibrado e colocaremos então um traço abaixo dos mes mos para caracterizar o equilíbrio O esquema atual será então o da Figura 160 Figura 160 Estágio 1 equilíbrio do nó D Fonte Soriano 2006 p246 Estando equilibrado o nó D Figura 160 voltamos a colocar a cha pa 1 impedindo novas rotações do mesmo a estrutura do sistema hipergeométrico não está ainda equilibrada pois o nó E não está em equilíbrio Para conseguirmos agora o equilíbrio do nó E liberamos a rotação da chapa 2 ficando o mesmo submetido a uma cargamomento de 53332133320kNm Esta será equilibrada por momentos iguais a UNIUBE 181 Invertese sempre o sinal do momento desequilibrado para equi librar o nó Por isso o sinal negativo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente Como nas extremidades D e C estão impedidas as rotações pois nesta fase estamos liberando apenas a rotação da chapa 2 nelas aparecerão momentos iguais ao produto dos momentos equilibrantes pelos coeficientes de transmissão ti iguais no caso a 05 Assim sendo o nó C está em equilíbrio e ficamos com o esquema da Figura 161 Figura 161 Estágio 2 equilíbrio do nó E Fonte Soriano 2006 p246 Uma vez realizados o equilíbrio e a transmissão anteriores o ponto D fica desequilibrado em momento igual a 8kNm que deve ser equili brado em 80X0432kNm pela barra 2 e 3 e em 80X0216kNm pela barra 1 valores estes que são transmitidos às extremidades opostas das barras em função de seus coeficientes de transmissão O equilíbrio de momentos e as respectivas transmissões continuam até 182 UNIUBE que se atinja convergência de momentos nos nós D e E com a preci são julgada adequada como representado na Figura 162 Figura 162 Equilíbrio completo de momentos Fonte Soriano 2006 p247 Uma vez que se atinja convergência desejada somamse as par celas de momentos nas extremidades das diversas barras para ob ter os momentos fletores finais nessas extremidades como mostra a Figura 162 Esses momentos e o correspondente diagrama estão representados na Figura 163 Figura 163 Momentos Fletores finais Fonte Soriano 2006 p247 UNIUBE 183 712 Exemplo de aplicação 12 SORIANO 2006 Determine o diagrama de momento fletor para o pórtico da Figura 164 pelo Processo de Cross sabendo que E21x107kNm² o mo mento de inércia para barras horizontais é I102m4 e as demais barras têm I14x102m4 Figura 164 Pórtico do exemplo 14 Fonte Soriano 2006 p249 Substituindo o balanço pelo seu efeito estático temse o modelo representado na parte esquerda da Figura 165 Na parte direita dessa mesma figura está representado o correspondente sistema hipergeométrico do método dos deslocamentos com a indicação dos momentos de engastamentos perfeito calculados por meio das fórmulas apresentadas na Tabela 1 do Capítulo I 184 UNIUBE Figura 165 Modelo de análise do sistema hipergeométrico Fonte adaptada de Soriano 2006 p249 Os coeficientes de distribuição de momento estão indicados em cada nó na Figura 166 com seus respectivos momentos de en gastamento perfeito calculado a partir da Tabela 1 apresentada no Capítulo I Os cálculos destes coeficientes para os nós são Figura 166 Coeficientes de distribuição e momentos de engastamento perfeito Fonte adaptada de Soriano 2006 UNIUBE 185 Observase que existe desequilíbrio de no nó B e no nó C No caso geral de uma estrutura com várias deslocabilidades não existe uma ordem preferencial para equilíbrio dos nós qualquer nó desequilibrado pode ser o próximo a ser equilibrado Entretanto o processo converge mais rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequilíbrio em módulo naquele instante for o nó a ser equilibrado neste caso o nó B O primeiro nó é equilibrado com a liberação da rotação na chapa 1 O equilíbrio do nó B resulta nas seguintes parcelas equilibrantes Invertese sempre o sinal do momento desequilibrado para equi librar o nó Por isso o sinal positivo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente Devido ao aparecimento destes momentos equilibrantes será transmitido ao nó C que está engastado pois não foi liberada a rotação da chapa 2 momento igual a 05X2741313706kNm 186 UNIUBE O nó B com o momento de 27413kNm 274137kNm 23041kNm e 28800kNm está equilibrado e colocaremos então um traço abaixo dos mesmos para caracterizar o equilíbrio Estando equilibrado o nó B voltamos a colocar a chapa 1 impedin do novas rotações do mesmo a estrutura do sistema hipergeomé trico não está ainda equilibrada pois o nó C não está em equilíbrio Para conseguirmos agora o equilíbrio do nó C liberamos a rotação da chapa 2 ficando o mesmo submetido a uma cargamomento de 1370610666744810024427kNm Esta será equilibrada por momentos iguais a Invertese sempre o sinal do momento desequilibrado para equi librar o nó Por isso o sinal negativo dos valores equilibrados dos momentos apresentados anteriormente Como na extremidade B C estão impedidas as rotações pois nes ta fase estamos liberando apenas a rotação da chapa 2 nela aparecerão momentos iguais ao produto do momento equilibrante pelo coeficiente de transmissão ti iguais no caso a 05 Uma vez realizados o equilíbrio e a transmissão anteriores o pon to B fica desequilibrado em momento igual a 596kNm que deve ser equilibrado em 596X02571532kNm pela barra 2 e 1 em 596X02161287kNm pela barra 3 e em 596X0279 1609kNm valores estes que são transmitidos às extremidades opostas das barras em função de seus coeficientes de transmissão O equilíbrio de momentos e as respectivas transmissões continuam até que se UNIUBE 187 atinja convergência de momentos nos nós D e E com a precisão julgada adequada como representado na Figura 167 Figura 167 Equilíbrio completo de momentos Fonte Soriano 2006 p250 Uma vez que se atinja convergência desejada somamse as par celas de momentos nas extremidades das diversas barras para ob ter os momentos fletores finais nessas extremidades como mostra a Figura 167 Esses momentos e o correspondente diagrama estão representados na Figura 168 Figura 168 Momentos Fletores finais Fonte Soriano 2006 p250 188 UNIUBE Importante atentar para a convenção de sinais apresentadas no Capítulo I para o desenho do diagrama de momentos fletores A partir destes resultados podese facilmente calcular as reações de apoio para a estrutura Considerações finais Diante dos exercícios expostos notase a grande facilidade dos cálculos realizados mediante o Processo de Cross O processo re sumese em definir os coeficientes de distribuição de momentos e o cálculo dos momentos de engastamento perfeito O desenvolvi mento do problema se faz com simples multiplicações para equilí brio dos momentos nos nós Devido a isto o Processo de Cross tornase útil nas análises de estruturas que muitas vezes exige uma solução manual para veri ficação de algum resultado uma vez que facilmente conseguese solucionar um problema sem a necessidade de montagem de um sistema de equações de equilíbrio cheio de variáveis Se for estudada uma estrutura indeslocável com muitos nós inter nos as incógnitas do problema serão todas as deslocabilidades internas A solução dele seria feita calculandose os inúmeros ca sos básicos e os respectivos coeficientes de rigidez Ao final seria necessária a montagem de um sistema composto por n equações quando houver n deslocabilidades Já Processo de Cross em um mesmo gráfico seria possível solucionar o mesmo problema com menos esforço de cálculo Arthur Rosinski do Nascimento Introdução Introdução à análise matricial de estrutura método da rigidez direta Capítulo 8 Neste capítulo será apresentado o Método da Rigidez Direta um procedimento que fornece a base para a maioria dos programas de computador utilizados para analisar estruturas O método pode ser aplicado em quase todos os tipos de estrutura por exemplo treliças vigas contínuas pórticos indeterminados placas e cascas Quando é aplicado em placas e cascas ou outros tipos de problemas que podem ser subdivididos em elementos bidimensionais e tridimensionais o método é chamado de método dos elementos finitos Este capítulo subsidiará uma transição dos métodos clássicos de análise manual como o Método dos Deslocamentos ou o Método das Forças para a análise por computador que segue um conjunto de instruções programadas Antes dos computadores as equipes de engenheiros podiam demorar vários meses para produzir uma análise aproximada de um pórtico espacial tridimensional altamente indeterminado Atualmente entretanto uma vez que o engenheiro especifique as coordenadas dos nós o tipo de nó articulado ou fixo as propriedades das barras e a distribuição das cargas aplicadas o programa de computador pode produzir uma análise exata em poucos minutos A saída do computador especifica as forças em todas as barras as reações e os Apresentar o Método da Rigidez Direta Compreender os principais conceitos da análise matricial de estruturas Comparar o Método da Rigidez Direta com o Método dos Deslocamentos Organizar o raciocínio para a montagem das matrizes de rigidez global da estrutura assim como a montagem dos vetores de deslocamentos e forças nodais Entender como é feito o cálculo das reações de apoio pelo Método da Rigidez Direta Método da Rigidez Direta Sistema de coordenadas generalizadas Matriz de rigidez de uma barra no sistema local Matriz de rigidez local no sistema global Montagem da matriz de rigidez global Montagem das cargas nodais combinadas no vetor das forças generalizadas globais Imposição de equilíbrio aos nós isolados Considerações das condições de apoio Objetivos Esquema componentes de deslocamento de nós e apoios Assim este capítulo vem apresentar uma metodologia altamente confiável baseada no Método dos Deslocamentos para análises de estruturas que podem ser implementadas em computadores para a análise estrutural Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos de aplicação apresentados no livro de Martha 2010 feitas as devidas considerações do autor deste material UNIUBE 191 Método da rigidez direta 81 811 Sistema de Coordenadas Generalizadas Uma das características mais marcantes do método dos deslocamen tos é a soma de contribuições de coeficientes de rigidez locais das barras para compor os coeficientes de rigidez globais da estrutura Entretanto para poder efetuar a soma de coeficientes de rigidez locais de várias barras é preciso que esses coeficientes estejam definidos no mesmo sistema de eixos Ocorre que os coeficientes de rigidez locais se referem a direções dos eixos locais da barra Para somar os coeficientes de rigidez locais devese projetálos previamente para um sistema de eixos único Coordenadas generalizadas são direções associadas aos graus de liberdade ou deslocabilidades de uma barra ou de uma estrutura As coordenadas generalizadas globais são as direções utilizadas para definir os graus de liberdade globais da estrutura As coorde nadas generalizadas locais do elemento de barra são as direções utilizadas para definir as deslocabilidades locais Para uma barra as coordenadas generalizadas locais podem estar associadas tan to às direções dos eixos locais ou do sistema local quanto às dire ções dos eixos globais ou do sistema global A Figura 169 ilustra a diferença entre os sistemas de coordenadas locais e globais 192 UNIUBE Figura 169 Sistema de coordenadas Fonte Martha 2010 p422 812 Matriz de rigidez de uma barra no sistema local RELEMBRANDO coeficiente de rigidez de barra no sistema local força ou momento que deve atuar em uma extremidade de uma barra iso lada na direção da deslocabilidade para equilibrála quando a deslocabilidade é imposta com valor unitário isoladamen te em uma das suas extremidades A Figura 170 no seu topo a configuração deformada de uma barra isolada e o conjunto de forças e momentos que atuam nas extremi dades da barra paralelamente a seus eixos locais para equilibrála nessa configuração Essas forças e momentos são definidos como UNIUBE 193 força generalizada de barra no sistema local força ou momento que atua na direção da deslocabilidade de uma barra quando ela é isolada Figura 170 Coeficientes de rigidez para viga bi engastada Fonte adaptada de Martha 2010 A superposição de configurações deformadas elementares mos trada na Figura 170 resulta em uma relação entre cada força no dal generalizada e as deslocabilidades da barra Por exemplo a força total é obtida pela soma das forças axiais na extremi dade esquerda da barra resultando em Analogamente a força total é obtida pela soma das forças transversais na extremidade esquerda da barra resultando em 194 UNIUBE Generalizando para todas as forças e momentos que atuam nas extremidades da barra po dese escrever a seguinte relação matricial A Equação anterior também pode ser escrita de uma forma condensada Sendo vetor das forças generalizadas de barra no sistema lo cal conjunto de forças e momentos que atuam nas extremidades de uma barra nas direções dos eixos locais para equilibrála quando isolada matriz de rigidez de uma barra no sistema local matriz dos coeficientes de rigidez locais nas direções dos eixos locais vetor das deslocabilidades de barra no sistema local con junto de deslocabilidades de uma barra nas direções dos eixos locais UNIUBE 195 813 Matriz de rigidez local no sistema global O objetivo desta seção é definir outra versão da matriz de rigidez da barra Esta versão relaciona forças e momentos que atuam nas extremidades da barra nas direções das coordenadas generaliza das globais com deslocamentos e rotações das extremidades nas mesmas direções como apresentado na Figura 171 para uma bar ra com inclinação arbitrária dada pelo ângulo θ Figura 171 Forças generalizadas e deslocabilidades no sistema global Fonte Martha 2010 p422 deslocabilidade local de barra no sistema global deslo camentos na direção de um dos eixo globais X ou Y ou rotação em extremidade de uma barra Os índices 1 e 4 estão relacionados com deslocabilidades horizon tais isto é na direção do eixo global X Os índices 2 e 5 são usados para as deslocabilidades na direção do eixo vertical Y e os índices 3 e 6 referemse às rotações nas extremidades força generalizada local de barra no sistema global força ou momento que atua na direção da deslocabilidade de uma barra para equilibrála quando ela é isolada 196 UNIUBE coeficiente de rigidez local de barra no sistema global força ou momento que deve atuar em uma extremidade de uma barra isolada na direção da deslocabilidade para equilibrála quando a deslocabilidade é imposta com valor unitário isoladamente em uma das suas extremidades De maneira análoga ao que foi feito na seção anterior temos a se guinte relação matricial A Equação anterior também pode ser escrita de uma forma condensada Sendo vetor das forças generalizadas de barra no sistema glo bal conjunto de forças e momentos que atuam nas extremidades de uma barra nas direções dos eixos globais para equilibrála quando isolada matriz de rigidez de uma barra no sistema global matriz dos coeficientes de rigidez locais nas direções dos eixos globais UNIUBE 197 vetor das deslocabilidades de barra no sistema glo bal conjunto de deslocabilidades de uma barra nas direções dos eixos globais É possível formular uma transformação da matriz de rigidez no sis tema local de uma barra genérica com qualquer inclinação para a matriz no sistema global Para tanto é preciso relacionar as deslo cabilidades da barra no sistema local com as deslocabilidades no sistema global como segue Figura 172 Deslocabilidades no sistema local e global Fonte Martha 2010 p424 Com base na figura anterior podese obter as deslocabilidades lo cais em função das globais 198 UNIUBE Essas relações podem ser representadas de forma condensada sendo o vetor das deslocabilidades da barra no sistema local e uma matriz de transformação por rotação A matriz é ortogonal ou seja Por causa disso po demos obter as deslocabilidades do sistema global da seguinte forma Uma análise semelhante pode ser feita para obtermos as forças generalizadas do sistema global da seguinte forma Com base nestas equações podemos chegar na seguinte relação muito importante para a montagem da matriz de rigidez global 814 Montagem da matriz de rigidez global O método dos deslocamentos determina a matriz de rigidez global de um modelo por superposição de casos básicos Em cada caso UNIUBE 199 básico é imposta uma configuração deformada que isola o efeito de um grau de liberdade global Podese dizer que esse procedimento faz a montagem da matriz de rigidez global por coluna pois a jésima coluna da matriz de rigidez global corresponde ao conjunto de forças e momentos que atua nas direções das coordenadas generalizadas globais para equili brar a estrutura quando se impõe uma configuração deformada com grau de liberdade A matriz de rigidez global é montada considerando todos os graus de liberdade inclusive os que podem estar com restrições de apoio O procedimento característico do método da rigidez direta é o da montagem da matriz por barra Tais procedimentos montam a ma triz de forma direta somando as contribuições das matrizes de rigidez das barras uma de cada vez o que será explicado a seguir Este raciocínio pode ser generalizado da seguinte forma os coefi cientes da matriz de rigidez de uma barra contribuem apenas para os termos da matriz de rigidez global associados às co ordenadas generalizadas globais dos nós inicial e final da barra A Figura 174 mostra um exemplo para explicar como é feito o rela cionamento entre coordenadas generalizadas locais e globais As matrizes de rigidez locais das barras no sistema global são ilus tradas para esquerda com o índice da barra identificando cada matriz Nos desenhos representativos das matrizes somente os coeficientes da rigidez locais não nulos são mostrados Na parte superior direita da mesma figura são identificadas as bar ras e as deslocabilidades sequenciais em coordenadas generaliza das globais em cada barra 200 UNIUBE A barra 1 possui as deslocabilidades 1 2 3 7 8 e 9 Como a matriz de rigidez global é montada por coluna e cada coluna corresponde ao conjunto de forças e momentos que atua nas direções das co ordenadas generalizadas globais para equilibrar a estrutura quan do se impõe uma configuração deformada com grau de liberdade então serão avaliadas somente as colunas 1 2 3 7 8 e 9 As linhas correspondem ao coeficiente de rigidez da barra 1 nas coordenadas globais quando a deslocabilidade Assim quando devemos preencher a coluna 1 da matriz de rigidez da barra 1 Impondose esta deslocabilidade no valor uni tário é necessário avaliar quais rigidezes locais em coordenadas globais aparecerão Esta análise é feita de acordo com as soluções fundamentais No caso de a solução fundamental apresen tada no Capítulo I é Figura 173 Solução fundamental Fonte Martha 2010 p278 Percebese que quando é imposto este deslocamento teremos co eficientes de rigidez local em coordenada global nas direções das deslocabilidades Desta forma as linhas 1 3 7 e 9 da coluna 1 devem ser preenchidas com os valores dos coeficien tes de rigidez apresentados na figura anterior em coordenadas ge neralizadas globais UNIUBE 201 Esta análise é feita para cada deslocabilidade da barra 1 preen chendo assim a matriz de rigidez da barra 1 Concluída a barra 1 fazse os mesmos procedimentos para as demais barras Figura 174 Matrizes de rigidez local e global Fonte Martha 2010 p428 202 UNIUBE Em uma etapa de inicialização a matriz de rigidez global é criada com todos os coeficientes nulos Em seguida a contribuição de cada uma das barras uma de cada vez é somada na matriz Ao final depois de todas as barras terem sido consideradas a matriz de rigidez global está completa Outro exemplo é apresentado a seguir para um pórtico plano Figura 175 Montagem da matriz de rigidez global Fonte Martha 2010 p430 UNIUBE 203 PARADA OBRIGATÓRIA 1 Considerando ngl o número de graus de liberdade por nó no caso de pórtico plano ou grelha ngl3 para treliças como as rotações nodais não são levadas em conta ngl2 e em pórtico espacial em que cada nó tem potencialmente três componentes de deslocamento e três componentes de rotação ngl6 2 As coordenadas generalizadas globais são numeradas se guindo a ordenação da numeração dos nós 3 A matriz está sendo montada para a estrutura solta no espaço isto é nenhum nó tem restrição de apoio e todos os graus de liberdade do modelo estão sendo considerados Dessa forma a dimensão da matriz quadrada que é igual ao número total de graus de liberdade é nnnngl sendo nn o número de nós 815 Montagem das cargas nodais combinadas no vetor das forças generalizadas globais O comportamento do modelo estrutural é representado por parâme tros associados aos nós que são os pontos de discretização Todas as solicitações desse modelo discretizado são convertidas em cargas nodais combinadas que consideram os efeitos dos carregamentos atuantes no interior das barras e as cargas nodais propriamente ditas Para generalizar Cargas nodais propriamente ditas são as cargas nodais que no carregamento original da estrutura atuam diretamente so bre os nós da discretização 204 UNIUBE Cargas equivalentes nodais são as cargas nodais que são provenientes do engastamento perfeito dos elementos de barra com sentidos invertidos Cargas nodais combinadas é resultado da combinação das car gas nodais propriamente ditas com as cargas equivalentes nodais Força nodal generalizada global é a componente de for ça ou momento que atua na direção do grau de liberdade resultante da superposição de cargas nodais combinadas e componentes de reação de apoio Vetor das forças nodais generalizadas globais é o conjunto de todas as forças nodais generalizadas globais As cargas nodais combinadas e as reações de apoio formam o vetor das forças nodais generalizadas do modelo A dimensão desse vetor é a dimensão da matriz de rigidez global completa isto é o número de termos é igual a nnnngl O procedimento se dá em duas etapas A Figura 176 ajudanos a entendêlas UNIUBE 205 Figura 176 Transformação das reações de engastamen to perfeito das barras para o sistema global Fonte Martha 2010 p432 Na primeira etapa as reações de engastamento perfeito das barras carregadas nos seus sistemas locais são transformadas para o sistema global como apresentado na figura anterior Genericamente as reações de engastamento de uma barra solici tada externamente são agrupadas em um vetor Vetor das reações de engastamento de uma barra isolada no seu sistema local é o conjunto de forças e momen tos que atua nas extremidades de uma barra nas direções dos eixos locais para equilibrála quando há uma solicitação externa e suas deslocabilidades são mantidas nulas 206 UNIUBE As reações de engastamento no sistema local podem ser converti das para o sistema global da seguinte maneira Vetor das reações de engastamento de uma barra isolada no seu sistema global é o conjunto de forças e momen tos que atua nas extremidades de uma barra nas direções dos eixos globais para equilibrála quando há uma solicita ção externa e suas deslocabilidades são mantidas nulas Na segunda etapa do procedimento de montagem das cargas no dais combinadas no vetor as reações de engastamento das barras carregadas no sistema global são convertidas para as car gas equivalentes nodais com sentidos invertidos Vetor das cargas equivalentes nodais de uma barra no sis tema global é o conjunto de forças e momentos que atua nos nós adjacentes a uma barra nas direções dos eixos globais resultante do transporte do carregamento que atua no interior da barra As cargas equivalentes nodais cor respondem a reações de engastamento perfeito da barra car regada transportadas para os nós com sentidos invertidos UNIUBE 207 Figura 177 Formação das cargas nodais combinadas Fonte Martha 2010 p434 Vetor das cargas nodais propriamente ditas no siste ma global é o conjunto de forças e momentos ex ternos que atua diretamente sobre os nós nas direções dos eixos globais De maneira informal podese escrever a seguinte expressão para a montagem das cargas nodais combinadas no vetor das forças nodais generalizadas globais 208 UNIUBE 816 Imposição de equilíbrio aos nós isolados O método da rigidez direta é apenas uma roupagem diferente para o método dos deslocamentos A relação fornece o conjunto de forças generaliza das locais que atua nas extremidades da barra nas direções dos eixos globais para equilibrála em uma dada configuração defor mada com valores arbitrários para as deslocabilidades do vetor Essas forças generalizadas representam o efeito dos nós sobre a barra O efeito da barra sobre seus dois nós é igual mas com sen tido invertido ação e reação Podese então definir como o vetor das deformações de uma barra sobre seus nós no sistema global O somatório das contribuições de de todas as barras resulta em Sendo o vetor dos efeitos das deformações de todas as barras de um modelo sobre os nós no sistema global Portanto na qual é o vetor dos graus de liberdade globais do problema discreto Para garantir o equilíbrio de forças e momentos temos Esse sistema representa o equilíbrio de todos os nós da estrutura inclusive os restritos por apoio nas direções de todos os graus de liberdade Alguns termos do vetor são conhecidos restrições de apoio Os termos correspondentes a estes do vetor são desconhecidos reações de apoio UNIUBE 209 817 Consideração das condições de apoio A multiplicação entre matrizes apresentadas na seção anterior resulta em um sistema de equações semelhantes ao apre sentado no método do deslocamento porém com solução indeter minada Para que se possam calcular as reações de apoios e obter então os diagramas de esforços internos pode seguir a seguinte metodologia de cálculo subdividindo a equação em dois sistemas e Nessas equações o subscrito l se refere a livre e o f se refere a fixo O particionamento do sistema permite a identificação dos seguintes valores vetor dos graus de liberdade globais livres são as in cógnitas do problema desconhecidas vetor das cargas nodais combinadas nas direções dos graus de liberdade livres conhecidas vetor dos graus de liberdade globais fixo são os valores impostos pelas restrições de apoio conhecidos em geral são nu los a não ser para recalques de apoio conhecidos vetor das forças nodais generalizadas nas direções dos graus de liberdade fixos são as componentes de reações de apoio desconhecidas 210 UNIUBE Assim a primeira das duas equações anteriores pode ser escrita como O lado direito desta equação tem valores conhecidos e correspon de exatamente ao sistema obtido pelo método dos deslocamentos que só considera deslocabilidades globais livres A solução desse sistema resulta na determinação dessas deslocabilidades Reflita As restrições de deslocamentos translacionais e rotacionais são dadas pelas condições de apoio do modelo Por exem plo um apoio de primeiro gênero restringe a translação na direção que está orientado Um apoio de segundo gênero restringe as translações na direção que está orientada e perpendicular a ela E um engaste restringe a rotação e as duas translações possíveis Desta forma as deslocabilidades dos nós coincidentes com os apoios de vem ser nulos conforme a restrição gerada pelos mesmos a não ser que hajam deslocamentos prescritos recalques nestas direções Nas situações em que não há recalques o termo ge ralmente corresponde a um valo nulo Assim as deslocabilidades livres são obtidas pelo sistema Calculados os valores de a segunda das duas equações citadas anteriormente fornece diretamente os valores das reações de apoio UNIUBE 211 A partir das reações de apoio podemse obter todos os diagra mas de esforços Considerações finais O Método da Rigidez Direta se faz importante para entender como são calculadas de forma generalizada as estruturas nos compu tadores e também por ser fundamental o seu entendimento para o Método dos Elementos Finitos sendo este uma técnica mais re finada para as análises estruturais Seus conceitos são praticamente idênticos aos apresentados no Método dos Deslocamentos porém tratados de forma matricial e mais generalizada sem tratar as restrições nos apoios como uma forma de reduzir as deslocabilidades ou graus de liberdade A grande dificuldade deste método está na montagem da matriz de rigidez global em que é preciso realizar as conversões de coorde nadas locais para globais para somar cada uma das contribuições nas direções das deslocabilidades Percebese que as condições de contorno dos vínculos só são le vadas em consideração depois de realizada a montagem do equi líbrio dos nós Sendo esta uma das diferenças com o Método dos Deslocamentos As situações de recalques de apoios também são inseridas depois da montagem do equilíbrio dos nós O Método da Rigidez Direta possui uma única forma de solu ção para a análise de estruturas sendo este o principal moti vo deste método ser utilizado nas programações dos softwa res de análises computacionais 212 UNIUBE CONCLUSÃO A grande maioria das estruturas de engenharia são estaticamen te indeterminadas Assim a sua compreensão e entendimento é fundamental para todos os engenheiros Os principais méto dos de análise destas estruturas são o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos O objeto de estudo deste livro foi o Método dos Deslocamentos Neste foram abordadas várias situações básicas de análises que foram escolhidas para que oa alunoa conseguisse vi sualizar o problema e a metodologia dos cálculos para chegar à solução do problema Ao final da disciplina foram abordados os conceitos básicos para uma análise matricial de estruturas que são utilizadas para implementação em programações computacionais Hoje em dia praticamente todos os escritórios de projetos fazem o uso dos softwares para análises das estruturas com a finali dade de otimização do tempo Porém os softwares são apenas uma ferramenta de auxílio para análise e dimensionamentos estruturais e não devem ter suas saí das como verdades absolutas pois como todas as máquinas elas são passíveis de erros Grandes falhas de engenharia ocorrem pela falta de verificação e alta confiança dos engenheiros nos resulta dos dos programas computacionais Um bom engenheiro estrutural deve sempre duvidar das soluções apontadas pelos softwares e realizar algumas verificações manuais Assim a aplicação do Método dos Deslocamentos tem grande utili dade nestas verificações para que se possa verificar os esforços e deslocamentos nas estruturas que forem necessárias UNIUBE 213 Referências LEET K M UANG C GILBERT A M Fundamentos da análise estrutural 3 ed Porto Alegre AMGH 2010 MARTHA L F Análise de estruturas conceitos e métodos básicos Rio de Janeiro Elsevier 2010 MOREIRA D F Análise matricial de estruturas São Paulo Editora da Universidade de São Paulo 1977 OLIVEIRA JÚNIOR L A Teoria das estruturas II Método dos deslocamen tos e Processo de Cross apostila Pontifícia Universidade Católica de Goiás Goiânia 2012 PINHEIRO L M et al Tabelas de vigas deslocamentos e momentos de engas tamento perfeito Universidade de São Paulo EESC São Carlos 2010 SORIANO H L Análise de estruturas Método das Forças e Método dos Deslocamentos 2 ed Rio de Janeiro Editora Ciência Moderna Ltda 2006 SUSSEKIND J C Curso de análise estrutural Método das Deformações e Processo de Cross 7 ed Volume III Rio de Janeiro Globo 1987 Curso de análise estrutural deformação em estruturas e Método das Forças 4 ed Volume II Rio de Janeiro Globo 1987