Álgebra Linear - 3ª Edição

ÁLGEBRA LINEAR 3ª edição CIPBrasil CatalogaçãonaFonte Câmara Brasileira do Livro SP Álgebra linear José Luiz Boldrini et al 3 ed São Paulo Harper Row do Brasil 1980 Bibliografia 1 Álgebra linear I Boldrini José Luís CONTEÚDO Prefácio à terceira edição CAPÍTULO 1 MATRIZES 1 11 Introdução 1 12 Tipos especiais de matrizes 3 13 Operações com matrizes 5 14 Exercícios 11 15 Processos aleatórios cadeias de Markov 14 16 Exercícios 26 17 Respostas 28 CAPÍTULO 2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 29 21 Introdução 29 22 Sistemas e matrizes 33 23 Operações elementares 35 24 Forma escada 37 25 Soluções de um sistema de equações lineares 41 26 Exercícios 49 27 Demonstrações 60 CAPÍTULO 3 DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA 64 31 Introdução 64 32 Conceitos preliminares 65 33 Determinante 66 34 Desenvolvimento de Laplace 69 35 Matriz adjunta matriz inversa 72 36 Regra de Cramer 77 37 Cálculo do posto de uma matriz através de determinantes 80 38 Matrizes elementares 81 39 Processo para a inversa de matrizes 86 310 Exercícios 90 CAPÍTULO 4 ESPAÇO VETORIAL 97 41 Vetores no plano e no espaço 97 42 Espaços vetoriais 103 43 Subespaços vetoriais 105 44 Combinação linear 112 45 Dependência e independência Linear 114 46 Base de um espaço vetorial 116 47 Mudança de base 123 48 Exercícios 129 49 Respostas 135 CAPÍTULO 5 TRANSFORMAÇÕES LINEARES 142 51 Introdução 142 52 Transformações do plano no plano 147 53 Conceitos e teoremas 150 54 Aplicações lineares e matrizes 157 55 Aplicações à óptica 167 56 Exercícios 171 CAPÍTULO 6 AUTOVETORES E AUTOVETORES 178 61 Introdução 178 62 Polinômio característico 185 63 Exercícios 194 CAPÍTULO 7 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES 199 71 Base de autovetores 199 72 Polinômio minimal 206 73 Diagonalização simultânea de dois operadores 210 74 Forma de Jordan 211 75 Exercícios 213 PREFÁCIO À TERCEIRA EDIÇÃO Este livro teve como origem o texto de um curso de Álgebra Linear oferecido para alunos de Engenharia Física Matemática Estatística e Computação da Universidade Estadual de Campinas O programa foi estabelecido tendo em vista que seria o único curso de Álgebra Linear que a maioria dos alunos receberei Por isso procuramos englobar os assuntos que seriam indispensáveis aos cursos que estes alunos seguissem posteriormente Ele foi ministrado numa disciplina de segundo semestre que é sequência de um curso também semestral de Geometria Analítica Os prérequisitos para a leitura deste texto são os tópicos de Matemática normalmente vistos até o curso Colegial A partir destes introduzimos e desenvolvemos razoavelmente os conceitos básicos de Álgebra Linear procurando sempre indicar aos alunos as fontes às quais eles podem recorrer para aprofundar seus conhecimentos Alunos que cursam pela primeira vez esta disciplina frequentemente julgamna muito abstrata e não vêem como podem utilizar os conceitos básicos E normalmente muitos cursos terminam sem que se mostre aos alunos uma aplicação concreta de tudo o que aprenderam Procuramos então dar aos tópicos uma abordagem com dois objetivos 1 Conseguir uma exposição prática da matéria de tal forma que a ênfase seja colocada no uso dos conceitos Neste sentido optamos por uma exposição que estes sejam introduzidos na medida do possível de forma que surja a necessidade de sua apreensão Algumas demonstrações são propostas na forma de exercícios o que permite uma influência tanto de texto quanto a aluno desenvolvêlas dentro do seu raciocínio lógico 2 Encaminar os conceitos para a solução de problemas reais que os alunos já têm sentido dificuldade Desta forma é conveniente fixar qualquer um dos capítulos Cap 11 Classificação de Cônicas e Quadráticas Cap 12 Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais Cap 13 Processos Iterativos Cap 14 Conjuntos Convexos e Programação Linear como que seja um capítulo que explique os problemas que colocamos nestes capítulos recorremos a maioria dos conceitos incorporamos em nossa visão de Álgebra Linear noções de espaço vetorial autovetores e autovalores diagonalização de operadores de modo que os alunos possam perceber a interrelação entre eles e a aplicação conjunta dos mesmos Dentro desta perspectiva poderíamos sugerir algumas sequências para o desenvolvimento de um curso de Álgebra Linear 1 Capítulos 1 a 11 2 Capítulos 1 a 8 e 12 3 Capítulos 1 a 8 e 13 4 Capítulos 1 a 11 Uma outra sugestão é que o conteúdo deste livro seja desenvolvido como já vem sendo feito em disciplinas que integram os tradicionais cursos de Cálculo Álgebra Linear e Equações Diferenciais Quanto aos assuntos didáticos gostaríamos de ressaltar que os exercícios são importantes inclusive como extensão de cada capítulo O conteúdo foi elaborado de modo a se adequar em diversos programas podendose deixar de estudar as seções assinaladas com asterisco sem prejuízo do entendimento dos tópicos abordados Por exemplo seções como Cadeia de Markov seção 15 e Ajuste de Curvas 88 que são tópicos especiais podem ou não ser incluídas de acordo com o interesse de cada aluno grupo ou classe Nesta terceira edição a antiga seção 49 foi ampliada e transformada no atual Capítulo 14 Conjuntos Convexos e Programação Linear A relativa simplicidade deste assunto e seu grande número de aplicações práticas são responsáveis por seu uso difuso e interesses nos últimos anos Anexamos a este novo capítulo uma seção de autoria do Prof Antonio Carlos Moretti que descreve o algoritmo do método simplex para programação linear e indica etapas para a programação por microcomputadores deste método A nossa experiência assim como a de outros professores tem mostrado que o núcleo de um curso introdutório de Algebra Linear é portanto o deste livro correspondendo à matéria exposta nos Capítulos de 1 a 8 podendo ser excluídas as seções 72 a 74 dependendo dos objetivos a atingir Recomendamos especial atenção aos capítulos introdutórios principalmente ao que trata de Sistemas Lineares e que fornecerá a base técnica indispensável para a boa compreensão dos demais capítulos além de conterem em si métodos fundamentais aplicáveis a muitas situações Acreditamos que as seções e capítulos alternativos permitem opções para trabalhar com os conceitos de Álgebra Linear de diferentes formas Queremos agradecer a todas as pessoas que leram e utilizaram o livro enviando sugestões e de modo especial aos professores Antonio Carlos Gilli Martins e João Frederico C A Meyer 3000 200 400 600 5000 50 200 600 8000 250 600 600 B beginpmatrix 1 3 3 2 endpmatrix B beginpmatrix 1 3 2 3 endpmatrix Se A beginpmatrix 3 2 4 3 endpmatrix ache B de modo que B2 A Seja A beginpmatrix 2 x2 2 1 endpmatrix Se A A então x a Calcule A² O vetor de probabilidades é a matriz T 14 12 34 12 15 PROCESSOS ALEATÓRIOS CADEIAS DE MARKOV Previsões a Longo Prazo Para podermos fazer previsões a longo prazo a matriz T deve cumprir certas condições Exemplo 2 Suponhamos que em uma determinada região a cada ano três por cento da população rural migra para as cidades enquanto que apenas um por cento da população urbana migra para o meio rural Se todas as demais condições permanecerem estáveis as condições políticas não mudarem e estas porcentagens de migração continuarem as mesmas qual deve ser a relação entre as populações urbana e rural desta região a longo prazo Como três por cento da população rural migra para o meio urbano a probabilidade de migração do meio rural para o meio urbano é 003 enquanto que a probabilidade de não migração é 097 Como um por cento da população urbana migra para o rural é 001 e a de não migração é 099 Denotando por U o meio urbano e por R o meio rural temos as probabilidades de transição R U R 097 001 U 003 099 Como a matriz é regular a longo prazo as probabilidades pR de viver no meio rural e pU de viver no meio urbano devem satisfazer 097 001 R pR pR pR pU 003 099 U pU onde pU 3pR e como devemos ter pU pR 1 temos pR 025 e pU 075 Ou seja a longo prazo se não houver modificações nas tendências de migração teremos 25 da população no meio rural e 75 da população no meio urbano Teorema Se a matriz T é regular então Exemplo 3 Observase experimentalmente que em condições naturais e sem ser submetida a pesca industrial a quantidade de uma certa espécie de peixes varia da seguinte forma se em um determinado ano a população diminui a probabilidade de que diminua no ano seguinte é de 06 e se em um determinado ano a população aumenta a probabilidade de que diminua no ano seguinte é de apenas 03 Entretanto observase que sendo submetida a pesca industrial quando a população aumenta num determinado ano a probabilidade de que diminua no ano seguinte seja 05 enquanto que a probabilidade de que diminua no ano se portanto é dada por PD 06 e PA 04 Como é uma matriz regular a longo prazo pD e pA são dadas por 06 03 04 07 P D P D que sendo resolvida lembrando sempre que pD pA 1 fornece pD 39 e pA 49 Portanto como a probabilidade de a população aumentar é maior em condições naturais a espécie tem a sobrevivência razoavelmente garantida Com a pesca industrial a matriz se altera para D A D 06 05 A 04 05 Assim temos pD 59 e pA 49 Como a probabilidade de a população diminuir é maior a espécie for submetida a pesca industrial sua sobrevivência será ameaçada e portanto a pesca deve ser diminuída Exemplo 1 No problema sobre previsão de clima que estávamos estudando na introdução T 14 12 34 12 é regular pois sua primeira potência é regular pois todos os elementos estritamente positivos Além disso numa população numerosa composta por uma porcentagem pD de indivíduos de características dominantes pH de indivíduos híbridos e pR de indivíduos recessivos a probabilidade de cruzamento de genes de um indivíduo dominante com outro dominante é pD 2 pD Se quisermos calcular a probabilidade de um cruzamento onde um dos indivíduos é dominante e o outro é híbrido temos que somar pD pH1 considerando que o primeiro é dominante e o segundo é híbrido a pH1 pH2 Assim a probabilidade é de 2pD pH Os outros casos seguem o mesmo raciocínio e temos então Cruzamento Probabilidade d x d pd1 pd1 d x r 2pd1 pr1 d x h 2pd ph1 r x r pr1 pr1 r x h 2pr1 ph1 h x h ph1 ph1 Estamos supondo que a característica genética analisada seja tal que não interfira no cruzamento natural Então podemos ter as porcentagens de indivíduos dominantes pD2 de indivíduos híbridos pH2 e de indivíduos recessivos pR2 da segunda geração multiplicando as matrizes pD2 pH2 pR2 pD1 pH1 1 0 0 05 025 0 0 1 05 05 0 1 0 0 025 Supondo que não haja novo cruzamento de indivíduos da primeira geração o que em geral ocorre com populações de insetos etc uma vez obtidas as porcentagens de indivíduos da segunda geração podemos obter as porcentagens da terceira geração multiplicando novamente a matriz T pelos novos da O que este teorema nos diz é que a matriz das probabilidades de transição é regular então é possível fazer previsão a longo prazo Como devemos ter pc ps 1 que é a probabilidade total temos pc 32 ps 1 ou pc 25 17 RESPOSTAS 171 Respostas de 14 2 x 1 4 Triangular inferior 6 a V b V c F d V e F f F g F h V 8 Triangular superior 12 Porque em geral o produto de matrizes não é comutativo 15 a 492 528 465 b Cr 1173600 16 a 1 1 2 3 1 0 2 2 2 2 1 0 2 1 1 0 0 1 0 2 0 17 059 028 013 044 039 017 048 036 016 172 Respostas de 16 2 As probabilidades de ganhar perder ou empatar a longo prazo são aproximadamente iguais a 13 sendo a probabilidade de ganhar ligeiramente maior 3 a probabilidade é 13 4 a 31125 b A longo prazo a probabilidade de termos dias satisfatórios é 14 e de termos dias insatisfatórios é 34 Se conseguirmos descobrir quais são os números x y z que satisfazem simultaneamente estas relações teremos aprendido um pouco mais sobre como se constroem a natureza Este procedimento que consiste em identificarmos o que permanece constante na mudança leva a um sistema de equações que precisa ser resolvido em muitos casos as equações envolvidas são lineares como no exemplo ante O x1 4x2 3x3 1 2x1 3x2 4x3 2 1 3x2 2 5 3 2 0 2 4 2 É observado que as probabilidades de um time de futebol ganhar perder e empatar uma partida depois de conseguir uma vitória são 13 e depois de ser derrotado são 25 e 35 respectivamente e depois de empatar são 12 25 e 35 respectivamente Se não melhorar nem piorar conseguir mais vitórias do que derrotas a longo prazo 3 Numa pesquisa procurase estabelecer uma correlação entre os níveis de escolaridade de pais e filhos Estabelecendo as letras P para os que concluiram o curso primário S para o curso secundário e U para o curso universitário a probabilidade de um filho pertencer a um destes grupos dependendo do grupo em que o pai está é dada pela matriz P S U P 1 2 1 3 0 S 1 1 1 1 U 0 1 2 3 3 Assim cada sistema foi obtido a partir do sistema anterior por operações que preservaram as igualdades Por esta terna x1 x2 x3 que é solução do sistema I também será solução dos sistemas seguintes Deste modo uma vez encontrados as soluções do sistema VI as soluções do sistema I se existem devem estar entre estas isto é toda solução do sistema I também é solução do sistema VI O ponto fundamental deste procedimento é que as etapas são todas reversíveis Por exemplo partindo do sistema II podemos obter o sistema I da seguinte maneira 1 x1 2 2 1 2 3 1 3 Com esta notação estamos querendo indicar que por exemplo a segunda linha 2 do sistema I é obtida multiplicandose por dois a primeira linha 1 do sistema II e somandoa a segunda linha 2 do sistema II isto é 2 2 12 De modo análogo pode obter o sistema V a partir de VI IV a partir de V III a partir de IV e II a parte III Usando o mesmo argumento anterior podemos dizer que toda solução de VI também é solução de I A partir das afirmações destacadas ainda concluímos que os sistemas I II III IV e VI têm as mesmas soluções e portanto x1 3 x2 2 e x3 2 que é a solução de VI é a única solução do sistema inicial I Você pode verificar por perturbações que não existe uma solução mas apenas como garantia para o que não estamos negando e chegamos a que é a matriz ampliada do sistema VI através de operações equivalentes as efetuadas nas equações dos sistemas Estas que serão definidas a seguir são as operações elementares sobre as linhas de uma matriz 23 OPERAÇÕES ELEMENTARES São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz i Permuta das iésima e jésima linhas Li Lj Exemplo L2 L3 ii Multiplicação da iésima linha por um escalar não nulo k Li kLi Exemplo L2 3L2 iii Substituição da iésima linha pela iésima linha mais k vezes a jésima linha Li Li kLj Exemplo L3 L3 2L1 Se A e B são matrizes m n dizemos que B é linha equivalente a A se B for obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A Notações A B ou A B Por exemplo que é linha equivalente a pois Já comentamos em 21 que as operações com linhas de um sistema produzem outro sistema equivalente ao inicial Em termos de matrizes podemos enunciar este resultado como 231 Teorema Dois sistemas que possuem matrizes amplidadas equivalentes são equivalentes A demonstração deste teorema usandose matrizes elementares está em 385 Como vimos o processo utilizado para resolver sistemas por eliminação de incógnitas corresponde a passar a matriz ampliada do sistema inicial para matrizlinha reduzida a qual amostramo e que chegamos a uma matriz conveniente que indique a solução do sistema original Você pode observar em 22 que a matriz final associada ao sistema VI tem uma forma especial Ela é um exemplo do que chamamos matrizlinha reduzida à forma escalonada O método que apresentamos aqui consiste em obter por linharedução estas matrizes por meio das operações que chegamos ao sistema de forma explícita Um outro método conhecido como o Método de Gauss reduz por linhaequivalência a matriz ampliada a uma matriz triangular Você terá a oportunidade de resolver sistemas por este método que é muito usado por suas vantagens computacionais no Exercício 17 de 26 Não perca 25 SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 252 Exemplos 243 Teorema Toda matriz Am imes n é linha equivalente a uma única matrizlinha reduzida à forma escada Portanto o sistema inicial é equivalente a x₁ 12 x₂ 0 0x₁ 0x₂ 1 Não existe nenhum valor de x₁ ou x₂ capaz de satisfazer a segunda equação Assim o sistema inicial não tem solução Dizemos que ele é incompatível impossível Vamos comparar a matriz de coeficientes e a ampliada reduzidas à forma escalonada do sistema 1 2 0 1 0 0 1 Observe que o posto da matriz dos coeficientes do sistema inicial é 1 e o posto de sua matriz ampliada é 2 253 Caso Geral Consideremos um sistema de m equações lineares com n incógnitas x₁ xₙ a₁₁x₁ a₁₂x₂ a₁ₙxₙ b₁ aₘ₁x₁ aₘ₂x₂ aₘₙxₙ bₘ cujos coeficientes aᵢⱼ e termos constantes bᵢ são números reais ou complexos Este sistema poderá ter i uma única solução ii infinitas soluções iii nenhuma solução Exemplo 3 m 3 n 3 e p 2 Temos um grau de liberdade x₁ 10 7x₃ e x₂ 6 5x₃ Exemplo 4 1 0 10 10 0 1 7 1 4 0 0 0 0 Pc Pa 2 m 3 n 4 e p 2 Temos dois graus de liberdade x₁ 10 10x₃ 2x₄ e x₂ 4 7x₃ x₄ 256 Agora depois de termos mostrado como é possível resolver sistemas de equações lineares através de matrizes podemos voltar ao problema que havíamos proposto no início do capítulo relativo à quantidade de hidrogênio e oxigênio necessária para se formar água Sabemos que x₁H₂ y₁O₂ zH₂O onde x y z devem satisfazer 2x 2z 0 2y z 0 A matriz ampliada associada ao sistema é 2 0 2 0 0 2 1 0 1 0 que reduzida à forma escalonada dá 1 0 1 0 0 0 A matriz associada é 1 2 1 1 1 3 1 2 0 que reduzida à forma escada tornase 1 0 5 1 3 0 0 0 0 Reinterpretando vemos que z e t são variáveis livres Fazendo z λ₁ e t λ₂ obtemos x 5λ₁ λ₂ 3 y 2λ₁ λ₂ 2 z λ₁ t λ₂ ou x y z t λ₁ 1 1 1 λ₂ 0 0 0 0 Compare com o exemplo 1 O que você nota 4 Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão 3 9 Foram estudados três tipos de alimentos Fixada a mesma quantidade 1 g determinese que 26 Necessitase adubar um terreno acrescendo a cada 10 m² 140 g de nitrato 190 g de fosfato e 205 g de potássio 28 Uma placa quadrada de material homogêneo é mantida com os bordos AC e BD à temperatura de 20C o bordo AB a 40C e CD a 10C com o uso de isolantes térmicos em A B C e D vide figura 29 Consideramos uma unidade de produção muito simplificada de um processo de produção industrial de um determinado composto C a partir de certos componentes A e B segundo a reação química A B C 11 x 17 3 y 5 3 z 4 3 a se p n teremos a matrizlinha reduzida à forma escada 0 0 0 c1 c2 cn A solução do sistema será x1 c1 xn cn portanto o sistema admite uma única solução b se p n então p n pois p não pode ser maior que n veja o Exercício 8 de 26 Neste caso devemos considerar as várias possibilidades para a matrizlinha reduzida à forma escada Podemos analisar inicialmente quando esta matriz de posto p n tem a forma 1 Teremos neste caso x1 c1 d1p1 a1pnx1 c1 d1p1 a1n1x1 e o sistema terá portanto infinitas soluções sendo xp1 xn variáveis livres 3 DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA 31 INTRODUÇÃO Já em 250 AC havia exemplos da resolução de sistemas de equações através de matrizes no livro chinês Nove Capítulos sobre a Arte Matematica cujo autor é desconhecido Também algumas noções ligadas a determinantes o assunto que será objeto de estudo neste Capítulo já eram conhecidas na China antiga Mas se por um lado já se utilizava a noção de determinantes no mundo Oriental há tanto tempo no Ocidente este assunto começou a ser tratado esporadicamente a partir do século XVII Nesta época surgem trabalhos de G W Leibniz 16461716 de G Cramer 17041752 que desenvolveu um método de resolução de sistemas através de determinantes conhecido por Regra de Cramer e foi publicado em 1750 provavelmente já conhecido por C Maclaurin 16981746 em 1729 e alguns resultados simétricos de J Lagrange 17361813 No século XIX é que os determinantes passaram a ser estudados mais amplamente como pelo longo tratado de A L Cauchy 17891857 em 1812 tendo sido realizados trabalhos de C G Jacobi 18041851 33 DETERMINANTE Quando nos referimos ao determinante isto é ao número associado a uma matriz quadrada A aij como na seção anterior escrevemos det A ou A ou det aij Então det a a11 a22 a33 det a11 a12 a21 a22 det a21 a22 a33 a11 a22 a33 a12 a21 a33 a12 a23 a21 a32 a13 a21 a32 a13 a22 a21 a23 Observe que aparecem todos os produtos aij a2j a3j onde i1 i2 i3 são as permutações de 1 2 e 3 Além disso vemos que o sinal do termo é negativo se a permutação tiver um número ímpar de inversões Veja a tabela acima para verificar os sinais Como generalização o determinante de uma matriz quadrada aijnxn é dado pela definição a seguir 332 Definição det aij 1ρ a1j1 a2j2 anjn onde J Jj1 jn e ρ o número de inversões da permutação j1 j2 jn e indica que a soma é estendida a todas as n permutações de 1 2 n Em relação a esta definição podemos fazer três observações i Se a permutação j1 i2 in tem um número par de inversões o coeficiente 1ρ do termo correspondente na somatória terá sinal positivo caso contrário terá sinal negativo ii Em cada termo da somatória existe um apenas um elemento da cada linha e um apenas um elemento de cada coluna da matriz iii Através de uma reordenação conveniente das colunas mostrase que é mesmo possível definir um determinante por det aij 1ρ a1j1 a2j2 anjn variando os primeiros e deixando fixos os segundos índices Verifique isto no caso 3 x 3 Propriedades i Se todos os elementos de uma linha coluna de uma matriz A são nulos det A 0 A razão disto é que pela observação ii em cada termo que aparece no cálculo do determinante há um dos elementos da linha coluna nula e portanto todos os termos se anulam e o determinante é zero ii det A det A Dado inferimos que as propriedades que são válidas para linhas também o são para colunas A prova desta propriedade é a seguinte se A aij sabemos que A bij onde bij aji Então pela definição de determinante temos det bij ρ 1j bij1 bj2 bjin ρ 1j aji1 aji2 ajin det aij pela observação iii iii Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante o determinante se fica multiplicado por esta constante Para verificarmos isto chamemos de A a matriz original e B a matriz obtida de A multiplicando uma linha de A por uma constante k Então ao calcularmos o determinante de B pela observação ii em cada termo aparece um ele mento da linha que foi multiplicada por k Podemos colocar k em evidência o que permanece é exatamente o cálculo do determinante de A Portanto det B k det A Uma vez trocada a posição de duas linhas o determinante troca de sinal A razão disto é imediata se observamos que ao trocar duas linhas de uma matriz alteramos a paridade do número de inversões dos índices e portanto trocamos o sinal do determinante O determinante de uma matriz que tem duas linhas colunas iguais é zero Mas podemos escrever esta soma como a11a22433 a22332 a12a24333 a24331 a13a21433 a21432 Ou ainda a11 a22 a23 a33 a12 a21 a23 a33 a13 a21 a22 a33 Observe que o determinante da matriz inicial 3 X 3 pode ser expresso em função dos determinantes de submatrizes 2 X 2 isto é det A a11 A11 a12 A12 a13 A13 onde Aij é a submatriz da iésima linha e jésima coluna foram retiradas Além disso se chamarmos Δij 1ijAij obtemos a expressão det A a11Δ11 a12Δ12 a13Δ13 Esta propriedade continua sendo válida para matrizes de ordem n e assim podemos expressar det Ann i1n 1ij det Aij 354 Exemplos Exemplo 1 Seja A 2 3 4 Então A1 45 35 12 52 pois A A1 I2 e A1 A I2 Verifique Exemplo 2 Seja A 6 2 11 4 Procuramos sua inversa isto é B a b c d tal que A B I2 e B A I2 Impondo a primeira condição 6 2 a b 11 4 c d 1 0 0 1 Portanto 6a 2c 1 11a 4c 0 Resolvendo os sistemas temos a 2 b 1 c 112 d 3 Teremos então 6 2 1 11 4 2 1 0 0 1 36 REGRA DE CRAMER O cálculo da inversa de uma matriz fornece um outro método de resolução de sistemas lineares de equações Este só se aplica a sistemas lineares em que o número de equações é igual ao número de incógnitas Suponhamos que desejássemos resolver o sistema linear de nequações e nincógnitas Podemos escrever este sistema na forma matricial a11 a1n x1 b1 an1 an n xn bn onde A a11 a1n é a matriz dos coeficientes e B b1 bn é a matriz dos termos independentes e X x1 xn a matriz das incógnitas Para esta equação suponhamos que det A 0 e portanto que A tenha a inversa A1 Então A1AX A1B A1AX A1B InX A1B X A1B Na forma matricial x1 a11 a1n 1 b1 361 Exemplo Dado o sistema de 3 equações e 3 incógnitas 2x 3y 7z 1 x 3z 5 2y z 0 temos 2 3 7 det 1 0 3 1 0 0 2 1 Portanto podemos usar a Regra de Cramer Então x 1 3 7 5 0 2 1 49 2 1 3 y 1 9 z 2 3 1 0 1 18 Regra de Cramer precisamos calcular n 1 determinantes de ordem n o número de operações é elevada a n 1nn que é maior que n 37 CÁLCULO DO POSTO DE UMA MATRIZ ATRAVÉS DE DETERMINANTES Exemplos 39 PROCEDIMENTO PARA A INVERSÃO DE MATRIZES Com argumentos análogos aos dados em 385 você pode provar o teorema enunciado a seguir 391 Teorema Se A é uma matriz inversível sua matriz reduzida à forma escada R é a identidade Além disso A é dada por um produto de matrizes elementares A recíproca deste resultado irá fornecer um novo processo para se calcular a inversa de uma matriz A Supomos então que ao reduzir A à forma escada linha reduzida a matriz identidade seja obtida como resultado Neste caso como a operação de operação com linhas corresponde uma multiplicação por uma matriz elementar Ei temos então I Ek Ek1 E2 E1 A Ek Ek1 E2 E1 A Mas isto quer dizer que Ek Ek1 E2 E1 A1 que podemos colocar em palavras através do teorema abaixo 392 Teorema Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade por uma sequência de operações elementares com linhas então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade aplicandose a mesma sequência de operações com linhas 393 Exemplos Exemplo 1 Seja 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Finalmente obtemos a identidade à esquerda e a inversa de A à direita 1 0 0 0 3 3 3 2 0 1 0 5 6 2 4 0 0 1 1 1 1 1 Portanto A1 3 3 3 2 5 6 2 4 4 5 4 3 1 1 1 1 Exemplo 2 Seja A 1 0 1 2 1 2 0 2 0 Partimos de 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 e fazemos operações com linhas para converter a parte esquerda que corresponde a A à forma escada linha reduzida Obtemos então 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 Como a forma escada não é a identidade a matriz A não tem inversa 394 Agora iremos demonstrar a propriedade detAB det A det B conforme nos propusemos a fazer em 33 viu 310 EXERCÍCIOS 1 Dê o número de inversões das seguintes permutações de 1 2 3 4 5 a 3 5 4 1 2 b 2 1 4 3 5 c Não determinante de uma matriz 5 X 5 que sinal negativo ou positivo precederia os termos a14a25a34a52 e a15a24a33a42a51 2 Quantas inversões tem a permutação n 1 2 1 dos números 1 2 n 1 n 3 Calcule det 2 0 1 3 0 2 4 3 7 a pela definição b em relação à segunda coluna usando o desenvolvimento de Laplace 4 Dadas as matrizes A 1 2 0 1 0 0 B 3 1 1 0 2 0 1 1 2 calcule a det A det B b det A B 5 Sejam A e B matrizes do tipo n x n Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas a AB BA b A 2 2 det A c 2A 2 det A d Aij det A3 e Se A é uma matriz 3 x 3 então a11 delta11 a12 delta12 a13 delta13 delta21 a22 delta22 a23 delta23 6 Dada A 2 1 2 3 0 0 1 2 4 calcule a A23 b A c A23 d det A 10 Se A ou B é uma matriz não inversível então A B também não é Prove isto sem usar determinantes 11 Mostre que x² 1 3 2x 1 x³ 0 0 2 Observe atentamente a igualdade acima e enuncie a propriedade que ela ilustra 12 Dada a matriz A 2 1 3 0 2 1 5 1 3 calcule a adj A b det A c A¹ 1 1 1 1 a b c a² b² c² Mostre que det A a bc a 14 Dizemos que A e B são matrizes semelhantes e existe uma matriz P tal que B P¹AP Mostre que det A det B se A e B são semelhantes 15 Verdadeiro ou falso a Se det A 1 então A A¹ b Se A e B são matrizes triangulares superior e A¹ existe então também A¹ será uma matriz triangular superior c Se A é uma matriz escalar n x N na forma kIₙ então det A kⁿ d Se A é uma matriz triangular então det A a₁₁ aₙₙ 16 Resolva o sistema usando a Regra de Cramer x y 2z 1 2x y z 1 x y 5z 4 Sugestão Para efetuar facilmente a indução multiplique cada coluna por x₁ e subtraia o mesmo da coluna imediatamente à direita partindo do lado esquerdo obtendo Vₙ xₙ x₁x₂ x₁Vₙ₁ Tal determinante é chamado determinante de Vandermonde 23 Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes Vamos associar as letras do alfabeto aos números segundo a correspondência abaixo A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Suponhamos que a nossa mensagem seja PUXA VIDA Podemos formar uma matriz 3 x 3 assim P U X A V D que usando a correspondência numérica fica 15 21 24 1 22 4 9 4 1 M Agora seja C uma matriz qualquer 3 x 3 inversível por exemplo 1 0 0 0 1 3 0 0 1 Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C obtendo M C 15 20 23 1 0 0 5 83 58 1 2 1 1 21 22 9 4 1 0 1 1 5 13 14 Transmitimos esta nova matriz na prática enviase a cadeia de números 5 83 58 1 21 22 5 13 14 Quem recebe a mensagem decodificaa através da multiplicação pela inversa M C¹ M e posterior transcrição dos números para letras C é chamada matriz chave para o código a Vocêrecebeu a mensagem 12 48 23 2 1 42 46 29 Utilizando a mesma chave traduz a mensagem 11 A derivada do determinante é a soma dos determinantes das matrizes obtidas da original diferenciando as linhas uma por uma 15 a F b V c V d F 17 a 3 b 3 c Possível e indeterminado d As linhas de A como vetores são LD 21 Considere as áreas do trapézio AXYC e dos triângulos AXB e CYB 23 b A matrizchave não tem inversa Leituras Sugeridas e Referências 1Herstein TN Tópicos de Álgebra Editora Polígono São Paulo 1970 2Hoffman K e Kunze R Álgebra Linear Editora Polígono São Paulo 1971 3Lipschutz S Álgebra Linear McGrawHill do Brasil Ltda Rio de Janeiro 1971 411 Vetores no Plano Inicialmente introduzimos a ideia de vetor restringindonos ao plano Para isto consideremos o plano cartesiano que consiste de um sistema de coordenadas dado por um par de retas ortogonais com orientação Fixada uma unidade de comprimento um ponto P do plano pode ser identificado com o par a b de números reais que são suas coordenadas Observe que a multiplicação de vetor por um número corresponde a multiplicação da matrizlinha ou coluna por esse número Assim se v a b e w kv então w ka kb Por exemplo para v 2 5 w 3v 6 15 Estas propriedades servirão para caracterizar certos conjuntos que apesar de terem natureza diferente dos vetores no espaço comportamse como eles Estes conjuntos receberão o nome de espaços vetoriais Exemplo 5 V é o conjunto dos matrizes 2 2 cujos elementos são números complexos As operações são adição de matrizes e multiplicação destas por números complexos Exemplificando Veja que a reta W funciona sozinha como espaço vetorial pois ao somarmos dois vetores de W obtemos um vetor em W Da mesma forma se multiplicamos um vetor W por um número o vetor resultante ainda estará em W Isto é o subconjunto W é fechado em relação à soma de vetores e à multiplicação destes por escalar Estas são as condições exigidas para que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja um subespaço W não é subespaço de V pois existem u em V e m em W tal que u v e ψ não pertencem a W Veja a observação B da seção 431 Este último fato é usado frequentemente para determinarmos que U e V não é subespaço de V isto é sempre que 0 U podemos afirmar que U não é subespaço de V 433 Teorema Interseção de subespaços Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V a interseção W1 W2 ainda é um subespaço de V Prova Observamos inicialmente que W1 W2 nunca é vazio pois ambos os subespaços contêm o vetor nulo de V É necessário verificar então as condições i e ii para mostrar que W1 W2 também é subespaço vetorial de V i Dados x y W1 W2 x W1 e y W2 Então x y W1 W2 sendo W1 e W2 subespaços de V Portanto x y W1 W2 ii Agora você deverá provar a segunda condição como um exercício 434 Exemplos Exemplo 1 V R3 W1 W2 é a reta da interseção dos planos W1 e W2 Exemplo 2 V Mn n W1 matrizes triangulares superiores W2 matrizes triangulares inferiores Então W1 W2 matrizes diagonais Uma vez que a interseção de dois subespaços ainda é um subespaço vetorial poderíamos esperar o mesmo da reunião Mas isto não ocorre como podemos ver no próximo exemplo Exemplo 3 V R3 435 Teorema Soma de subespaços Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V Então o conjunto W1 W2 v V v w1 w2 w1 W1 e w2 W2 é subespaço de V Prova Veja o Exercício 23 da seção 48 436 Exemplos Exemplo 4 No exemplo anterior W W1 W2 é o plano que contém as duas retas Exemplo 5 Se W1 R3 é um plano e W2 é uma reta contida neste plano ambos passando pela origem W1 W2 W1 Exemplo 6 W1 a b 0 c e W2 0 0 d 0 onde a b c d R Então W1 W2 a b 0 c M2 2 Quando W1 W2 0 0 0 0 então W1 W2 é chamado soma direta de W1 com W2 denotado por W1 W2 Os Exemplos 4 e 6 são exemplos de soma direta e um contraexemplo do Exemplo 5 Observe que tanto no Exemplo 1 como no 2 temos que o espaço gerado por V W1 W2 mas a soma não é direta 44 COMBINAÇÃO LINEAR Exemplo 2 Se v1 v2 R3 são tais que αv1 v2 para todo α R então v1 v2 será o plano que passa pela origem e contém v1 e v2 Observe que se v3 v1 v2 então v1 v2 v3 v1 v2 pois todo vetor que pode ser escrito como combinação linear de v1 v2 v3 é uma combinação linear apenas de v1 e v2 Exemplo 3 V R2 v1 1 0 v2 0 1 Logo V v1 v2 pois dado v x y V temos x y x1 0 y0 1 ou seja v v1 yv2 Exemplo 4 v1 1 0 v2 0 0 Então v1 v2 a b a b R Exemplo 4 De modo análogo vemos que para V R³ e1 1 0 0 e2 0 1 0 e e3 0 0 1 Então e1 e2 e e3 são LI Exemplo 5 V R² 1 1 1 0 1 1 é LD pois 12 1 1 12 1 1 0 0 46 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL Agora estamos interessados em encontrar dentro de um espaço vetorial V um conjunto finito de vetores tais que qualquer outro vetor de V seja uma combinação linear deles Em outras palavras queremos determinar um conjunto de vetores que quer V e tal que todos os elementos sejam realmente necessários para gerar V Se pudermos encontrar tais vetores teremos os alicerces de nosso espaço Denominaremos um conjunto de vetores desse tipo de base 461 Definição Um conjunto v1 vn de vetores de V será uma base de V se i v1 vn é LI ii v1 vn V 462 Exemplos Exemplo 1 V R² e1 1 0 e e2 0 1 ie e1 e2 é base de V conhecida como base canônica de R² Veja o Exemplo 3 da seção 422 e Exemplo 3 da seção 453 O conjunto 1 0 0 1 também é uma base de V R² De fato Se 0 0 a1 0 b0 1 a b então a b 0 Isto é 1 1 1 0 1 1 V pois dado v x y E temos x y x1 0 y0 1 ou seja todo vetor de R² é uma combinação linear dos vetores 1 1 e 0 1 Veja a Figura 461 Exemplo 2 0 1 0 2 não é base de R² pois é um conjunto LD Se 0 0 a0 1 b0 2 temos a 2b e a b não são necessariamente zero Veja a Figura 462 Exemplo 3 V R³ 1 0 0 1 0 1 0 0 1 é uma base de R³ Esta é a base canônica de R³ Podemos mostrar que i e1 e2 e3 é LI e ii x y z x e1 y e2 z e3 Exemplo 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 não é base de R³ É LI mas não gera todo R³ isto é 1 0 0 0 1 0 0 0 1 R³ Exemplo 5 V M2 2 0 0 0 0 é uma base de V Veja o Exercício 9 da seção 48 Existem espaços que não têm base finita Isto acontece principalmente quando trabalhamos com espaços de funções Nestes casos precisaremos de um conjunto infinito de vetores para gerar o espaço Isto não quer dizer que estamos trabalhando com combinações lineares finitas mas sim que cada vetor do espaço é uma combinação linear distinta daquela base infinita Ou seja para cada vetor podemos escolher uma quantidade finita de vetores base para com eles escrever o vetor dado veja o Exercício 16 da seção 48 Neste texto consideraremos sempre espaços vetoriais que tenham uma base finita A primeira questão é mais delicada e será estudada no Capítulo 11 Agora veremos como solucionar a segunda Passando a um contexto mais amplo estamos interessados na seguinte situação Em forma matricial Determine V W Observe que V 1 0 1 0 1 1 W 1 1 0 0 0 1 Então V W 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 128 ALGEBA LINEAR e1 cos θ f1 sen θ f2 e2 sen θ f1 cos θ f2 Portanto v B cos θ sen θ sen θ cos θ onde y1 cos θ sen θ y2 sen θ cos θ ou seja y1 x1 cos θ x2 sen θ y2 x1 sen θ x2 cos θ Como subexemplo quando θ π3 para v 2 3 isto é v 2e1 3e2 temos v B 2 3 e queremos determinar as coordenadas de v na base β f1 f2 129 Espaço Vetorial 48 EXERCÍCIOS 1 a Seja V o espaço vetorial Rn definido no Exemplo 2 de 422 Qual é o vetor nulo de V e o que é x1 x2 xn b Seja W M2 2 veja 422 Exemplo 3 i descreva o vetor nulo e vetor oposto 2 Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 são subespaços a W x y z t R4 x y 0 e z t 0 b U x y z t R4 2x y t 0 e z 0 3 Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M2 2 Em caso afirmativo exiba geradores a V a b com a b c R e b c c d b W a b com a b c R e b c c d 4 Considere dois vetores a b e c d no plano Se ad bc 0 mostre que eles são LD Se ad bc 0 mostre que eles são LI 5 Verifique se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais com as operações usuais No caso afirmativo exiba uma base e a dimensão a Matrizes diagonais n n b Matrizes escalares n n