Aula 05: Transformada de Laplace - Sistemas Dinâmicos I

PMR 3302 Sistemas Dinâmicos I AULA 05 LAPLACE Larissa Driemeier driemeieuspbr 23 de abril de 2020 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 2 23 de abril de 2020 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 3 Listas de exercícios mudança da programação comunicados gerais serão por meio do stoa Por favor verifique regularmente o site Você precisa do Octave ou do MatLab para fazer essa aula httpswwwgnuorgsoftwareoctavedownloadhtml Nessa aula será disponibilizado um Jupyter Notebook para você ele tornará mais fácil e mais rápido seu aprendizado Você precisa somente do Jupyter pode ser dentro do Anaconda Python e Octave instalados para usálo Faça os exercícios toda vez que você não concordar ou não entender o gabarito mostrado no slide pergunte NOSSA AGENDA Data Tópico 1 2102 Introdução ao modelamento e uso do software 2 0603 Introdução à programação em MatLab 3 2003 Resolução de Equações Diferenciais Sistemas Lineares e Não Lineares 4 0304 Transformada de Laplace e Funções de Transferência 5 2404 Projeto 6 1505 Diagrama de Blocos e Simulink 7 2905 Análise de Sistemas de Primeira Ordem 8 1906 Análise de Sistemas de Segunda Ordem 23 de abril de 2020 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 4 DEFINIÇÃO LAPLACE O que é Para que serve 23 de abril de 2020 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I A Transformada de Laplace é um método operacional que pode ser utilizado para converter funções comuns como senoidais exponenciais etc além de diferenciais e integrais em funções algébricas de uma variável complexa 𝑠 𝜎 𝑗𝜔 Depois de manipular as equações retornase ao domínio do tempo 𝑡 através da inversa 23 de abril de 2020 6 TRANSFORMADA DE LAPLACE O matemático francês Pierre Simon Laplace 17491827 descobriu um meio de resolver equações diferenciais que consiste em Multiplicar cada termo da equação por 𝑒𝑠𝑡 Integrar cada termo em relação ao tempo de 0 a 𝑠 é uma constante com unidade de Τ 1 𝑡 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 7 23 de abril de 2020 LAPLACE NO OCTAVE 23 de abril de 2020 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 8 syms s t especificando as variáveis simbólicas s e t yvpa125vpa35texp2tvpa125exp2t definindo yt Ylaplaceyts retorna a transformada de Laplace de yt YsimplifyY se necessário podese pedir para simplificar Por padrão a variável independente é t e a variável de transformação é s Qualquer uma das formas mostra o mesmo resultado laplacey laplaceyt laplaceyts LAPLACE NO MATLAB PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 9 syms s t y12535texp2t125exp2t Ylaplaceyts YsimplifyY prettyY 23 de abril de 2020 Temse as mesmas funções no Octave mas o MatLab é mais eficiente TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 10 syms t s Ys5ss22 yilaplaceY ysimplifyy prettyy 23 de abril de 2020 Octave MatLab EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 11 23 de abril de 2020 syms s Bb0snb1sn1bn Asna1sn1an syspartfracBA num b0 b1 bn den 1 a1 an rpk residuenumden 23 de abril de 2020 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 12 Apostila pág 95 POLOS DISTINTOS PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 13 num 2 5 3 6 den 1 6 11 6 rpkresiduenumden 23 de abril de 2020 syms s B 2s3 5s2 3s 6 A s3 6s2 11s 6 syspartfracBA Octave MatLab Octave MatLab 𝑌 𝑠 12 7 𝑠 5 5 7 𝑠 2 𝑦 𝑡 12 7 𝑒5𝑡 5 7 𝑒2𝑡 FAÇA VOCÊ 23 de abril de 2020 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 14 syms s sys1partfracs7s2 3s 10 prettysys1 OU b1 7 a1 3 10 rpk residueba 𝐵𝑠 𝐴𝑠 𝑠 7 𝑠2 3𝑠 10 POLOS DUPLOS PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 15 num1 5 den1 4 4 0 rpkresiduenumden Lêse 𝑌𝑠 125 𝑠 2 35 𝑠 2 2 125 𝑠 23 de abril de 2020 B s 5 A s3 4s2 4s syspartfracBA Octave MatLab Octave MatLab FAÇA VOCÊ 23 de abril de 2020 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 16 syms s sys1partfracs1s3 4s2 4s prettysys1 OU b1 1 a1 4 4 0 rpk residueba 𝐵𝑠 𝐴𝑠 𝑠 1 𝑠3 4𝑠2 3𝑠 𝑌 𝑠 1 4𝑠 1 4 𝑠 2 1 2 𝑠 2 2 𝑦 𝑡 1 4 1 4 𝑒2𝑡 1 2 𝑡𝑒2𝑡 EDO SOLUÇÃO POR LAPLACE O método é dividido em três etapas 1 Transformar um problema difícil em uma equação simples através da aplicação da transformada de Laplace equação subsidiária 2 Resolvese a equação subsidiária através de manipulações algébricas 3 A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida pela transformada inversa de Laplace da equação subsidiária PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 17 04 e 11 de maio de 2018 SOLUÇÃO PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 18 𝑑2 𝑑𝑡2 𝑦 𝑡 3 𝑑 𝑑𝑡 𝑦 𝑡 2𝑦 𝑡 𝑒𝑡 𝑦 0 4 𝑑 𝑑𝑡 𝑦 0 5 04 e 11 de maio de 2018 04 e 11 de maio de 2018 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 19 syms Y t s Defina as variáveis simbólicas y04 ibc dy05 ibc f expt Defina o lado direito da função F laplacefts Encontre a transformada de Laplace do rhs Y1sYy0 Transf Laplace yt Y1 s Y y0 Y2 sY1 dy0 Transf Laplace yt Y2 s Y1 y0 Defina a transformada Laplace do lado esquerdo menos o lado direito para resolver em Y SolssolveY23Y12YFY SolssimplifySols Simplifique a expressão prettySols SoltilaplaceSols Solução no domínio do tempo fhezplotSolt05 setfhColorrLineWidth4 plot Soltt no domínio de 05s PELA ODE45 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 20 x0 45 tspan 05 tx ode45myfunctspanx0 plottx1 function xbar myfunctx xbar x2 expt3x22x1 end 04 e 11 de maio de 2018 y0 45 tspan 05 ydot ty y2 expt3y22y1 ty ode45ydottspany0 plotty1 hold on fhezplotSolt05 legendLaplace ODE45 Octave MatLab PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 21 04 e 11 de maio de 2018 EXERCÍCIO Págs 103104 apostila ሷ𝑦 2 ሶ𝑦 10𝑦 𝑡2 𝑦 0 0 ሶ𝑦 0 0 04 e 11 de maio de 2018 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 22 EDO COM FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 23 04 e 11 de maio de 2018 ሷ𝑦 3 ሶ𝑦 2𝑦 𝑓𝑡 𝑦 0 2 ሶ𝑦 0 3 04 e 11 de maio de 2018 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 24 syms s t Y figure1 f1t21heavisidet32t2heavisidet6 subplot211 ezplotf010 titleut y02 dy03 Flaplacefts Y1sYy0 Y2sY1dy0 SolssolveY23Y12YFY SoltilaplaceSolsst subplot212 ezplotSolt010 titleResposta EDO FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA No domínio de Laplace portanto 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠 𝑅 𝑠 Chamamos função de transferência a relação entre a entrada e a saída do sistema considerando nulas as condições iniciais no domínio de Laplace 𝑌𝑠 𝑅𝑠 𝐻𝑠 veja que a função de transferência não depende da entrada é uma característica do sistema Fevereiro 2020 PMR 3302 SISTEMAS DINÂMICOS I 25 𝐻𝑠 𝑅𝑠 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠 𝑅𝑠 04 e 11 de maio de 2018 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 26 Os pólos e zeros tem um papel importante na determinação do comportamento dinâmico do sistema Podemos visualizar o tipo de comportamento dinâmico associado a cada tipo de pólo e esse assunto será tratado em detalhes no estudo de sistemas de primeira e segunda ordem onde zi são os zeros e pi são os pólos da função de transferência CARACTERÍSTICAS Se a FT de um sistema é conhecida a resposta do mesmo pode ser analisada para diferentes formas de excitação entrada com a finalidade de compreender a natureza e o comportamento do sistema A FT pode ser obtida experimentalmente pela introdução de sinais de entrada conhecidos e estudandose as respostas obtidas PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 27 04 e 11 de maio de 2018 EXEMPLO 04 e 11 de maio de 2018 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 28 𝑀 𝐾 𝑏 𝑦𝑡 𝑟𝑡 𝐻 𝑠 𝑌𝑠 𝑅𝑠 𝑀 𝑑2 𝑑𝑡2 𝑦 𝑡 𝑏 𝑑 𝑑𝑡 𝑦 𝑡 𝐾 𝑦 𝑡 𝑟𝑡 04 e 11 de maio de 2018 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 29 ℒ 𝑀 𝑑2 𝑑𝑡2 𝑦 𝑡 ℒ 𝑏 𝑑 𝑑𝑡 𝑦 𝑡 ℒ 𝐾 𝑦 𝑡 ℒ 𝑟𝑡 𝑀 𝑠2𝑌 𝑠 𝑠 𝑦 0 ሶ𝑦0 𝑏 𝑠𝑌 𝑠 𝑦 0 𝐾𝑌𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠2𝑌 𝑠 𝑏𝑠𝑌 𝑠 𝐾𝑌𝑠 𝑅𝑠 𝑌 𝑠 𝑀𝑠2 𝑏𝑠 𝐾 𝑅𝑠 𝑌 𝑠 𝑅𝑠 1 𝑀𝑠2 𝑏𝑠 𝐾 𝐻𝑠 Diagrama de blocos DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Comando tf num4 16 12 den 1 12 44 48 0 systfnumden Comando zpk z 3 1 p 0 60000 40000 20000 K 4 syszpkzpK PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 30 zpKtf2zpnumden numdenzp2tfzpK 04 e 11 de maio de 2018 PRINTSYS PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 31 z1111 pjjjj K05 syszpkzpK numdenzp2tfzpK printsysnumdenssó MatLab 04 e 11 de maio de 2018 Octave MatLab ZPLANE PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 32 num 1 1 den 1 1 05 systfnumden zpKtf2zpnumden zplanenumden 04 e 11 de maio de 2018 Octave MatLab RECORDANDO Aprendemos no Módulo III um método numérico para encontrar a resposta para uma entrada específica através dos comandos step impulse 04 e 11 de maio de 2018 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 33 04 e 11 de maio de 2018 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 34 num 2 den 1 2 t 033003 3 s de simulacao systfnumden y impulsesyst plotty y stepsyst plotty 04 e 11 de maio de 2018 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 35 close all clear all clc num2 den1 2 systfnumden printsysnumden zpktf2zpnumden ltiviewpzmapsys ltiview Somente MatLab 04 e 11 de maio de 2018 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 36 04 e 11 de maio de 2018 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 37 ESTUDO DE CASO 23 de abril de 2020 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 38 EXERCÍCIO 1 A função de transferência de um termômetro ou seja transformada de Laplace da saída pela transformada de Laplace da entrada é 𝐺𝑠 1 90𝑠 1 Responda às seguintes questões 1 Quanto tempo você deverá esperar para medir sua febre de 40oC 2 Em qual instante de tempo o termômetro atingiu 63 2 do real valor da febre 3 Modifique a equação para que o termômetro atinja o valor definido no item anterior duas vezes mais rápido PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 39 04 e 11 de maio de 2018 T20 s0632T delta0001 findy20s findy20sdelta y20sdelta FIM DO QUINTO MÓDULO Dilbert says The road to success is always under construction 23 de abril de 2020 PMR 3302 LABORATÓRIO DE SISTEMAS DINÂMICOS I 40