Aula 01: Preliminares de Lógica e Demonstrações Matemáticas

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MATO GROSSO CAMPUS JUÍNA DEPARTAMENTO DE ENSINO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ANÁLISE REAL WESTYN FERNANDO Agosto 2022 1 1 Aula 01 Prelimináres de Lógica aula 01082022 11 Tipo de demonstração Direta Resolução propriamente dita de um exercio ou demosntração Indução Finita utiliza bastante com N em sequencia Abusrdo Partir de um ponto que ja esta predefinido a não existir Contraposição Provar que A implica em B B implica em A Exaustão utiliza todos os casos possiveis 12 Exemplos 1 Prove que dado uma PG qualquer A soma de seus N primeiros termos é dada por Sn a1 qn1 q1 Testando para n 0 S0 a1 q0 1 q 1 S0 a1 1 1 q 1 S0 0 Testando para n 1 S0 a1 q1 1 q 1 S0 a1 Como a sequência é uma PG temos Sn a1 a2 a3 an Sn a1 a1 q a1 q2 a1 qn1i q Sn a1 q a1 q2 a1 qn 1 a1 qnii Subtraíndo iidei Sn q Sn a1 a1 qn Sn 1 q a1 1 qn Sn a1 1 qn 1 q 2 Sn a1 qn 1 q 1 2 Demosntre por indução finita que a desigualdade de BERNOULLI pn1 xn 1 nx com x 1 e n Z Vamos provar por indução em n po 1 x0 1 0 x 1 1 Logo p0 é verdadeiro Supondo que pk é verdadeiro vamos mostrar que pk pk1 1 xk1 1 x 1 xk com x 1 então 1 x 0 E pela hipotese de indução temos 1 xk1 1 x 1 xk 1 xk1 1 k 1 x kx2 1 k 1 x 1 xk1 1 k 1 x Então como p0 é verdadeira e pn pk 1 por indução finita pn é verdadeiro 3 Prove que 2 é um numero irracional Suponha por abusurdo que 2 Q Como 2 Q existem p Z e q Z tais que p q 1 e 2 p q p 2 q p2 2 q Como 2p2 Temos que 2p então existe K Z p 2 K Como 2p2 temos que 2q mas p q 1 gerando um abusurdo 5 Quantos anagramas podemos formar com a palavra ANA Vamos fazer por Exaustão ANA AAN NAA então a palavra ten um total de 3 anagra mas Exercicios 1 Prove que α 0 Vamos iniciar olhando para o teorema de Pitágoras 3 a2 b2 c2 Considerando os seguindes valores a 37 b 32 c 19 temos 372 322 192 1369 1024 361 1369 1385 1369 1385 Logo por absurdo não é possivel ser considerado pois α é diferente de 90 2 Mostre que todo numero impar elevado ao quadrado é impar a Por demosntração direta bPor indução a seja n impar então existe K Z talque n 2k 1 dessa forma n2 4k 2 4k 22k2 2k e 2k2 2K Z vale então que 4k2 4k é par logo podemos concluir que n2 é impar pois é sucessor de um numero par b Para todo k N vale 2k 1 é impar Base k 0 2 0 12 1 é impar Hipotese de indução considerando k m Passo indutivo Para k m 1 temos 2m 1 12 4m2 12m 9 4m2 4m 1 8m 8 8m 1 2m 12 logo 2m 1 12 2m 12 8m 1 é par Por hipotese de indução 2m 12 é impar Logo 2m 1 12 é impar completando a indução 4 2 Aula 02 Analise real aula 08082022 21 Algumas Nomenclaturas Conjetctura E uma sentenca que nao foi provada sendo verdadeira ou falsa Axioma Uma sentenga dado como verdadeira Proposigao Uma sentenca possivel de provar que traz algum resultado propriedade entre outros Teorema Uma sentenga possivel de provar mais significativa Corolario é um resultado direto de um teorema Lema Resultado utilizado para auxiliar na demosntragao de um teorema Paradoxo Pensamento proposigao direcionado do pensamento humano Conjuntos N Naturais 1234 Z inteiros 21012 Q Racionais he eZeqe x IR Irracionais Sao os ntiimeros reais que nao sao os racionais R Reais Jungao dos conjuntos anteriores Exemplo Mostre ser verdadeiro ou de um contra exemplo para cada caso a xy IRQ Sejaz V2ey V2 entdory0EQ b y IR Seja 2y entdo ry2Q c seja Z EQ entao Zxr EQ Seja Zle X V2 entio ZX 2Q Conjunto dos nimeros irracionais Trancendentes Algebricos sao raizes de polinédmios com coeficientes inteiros Conjunto dos nimeros Reais E 0 unico corpo ordenado e completo 5 Corpo R Associativa elementro neutro aditivo elemento oposto comutativi dade Distributividade em relação a adição comutatividade do produto elemento inverso ele mento unidade Tricotomia dado x y R então x y x y ou x y Completo É um conjunto talque sequência de cauchy é convergente Subconjunto dos reais União dado x A B então X A ou X B Interceção dado x A B então X A e X B X Conjunto universo Contém todos os elementos conjunto vazio Não contem nenhum elemento Ac Complementar de A X A ou XA Exercicíos Mostre que os seguintes números são racionais a0 7 10x 7 07 x 0 7 9x 7 x 7 9 b0 23 100x 25 23 99x 23 x 23 99 c 1 37 100x 137 77 x 1 37 99x 136 4 x 136 4 99 10 10 1364 990 simplificando por 2 682 495 simplificando por 11 então 62 45 6 d 0 9 0 999 x 9 999 10x 9 9x 9 9 x 1 x 7 3 Aula 03 Análise real aula 15082022 31 Injetividade Sobrejetividade e bijetividade Uma função é dada por dois conjuntos e uma regra tal que f A B para cada x A existe somente um y B tal que fx y e para todo x A existe algum y B talque fx y Função injetora Dado que fx1 fx2 então x1 x2 Se x1 x2 então fx1 fx2 Exemplo Considere f4 0 R tal que fx x2 Mostre que f é injetora Seja fx1 fx2 temos x2 1 x2 2 x2 1 x2 2 0 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 0 ou x1 x2 x2 x1 ou x2 x1 Suponha x2 x1 Se x1 0 então x2 0 x1 x2 Se x1 0 então x1 0 x2 0 8 Mas Df 4 0 ou seja x2 Df Logo fx1 fx x1 x2 Função sobrejetora Dados f A B f é sobrejetora se para qualquer y B existe x A tal que fx y Em outras palavras Imf CDf Exemplo Considere fx ax b com a 0 mostre que f R R é sobreje tora Seja y CDf R Considerando então x y b a Então temos fy b a ay b a b fy b a y b b fy b a y Logo f é sobrejetora Função bijetoraUma função f A B é bijetora se é injetora e sobrejetora Exemplo Mostre que f R R com fx x3 é uma função bijetora Seja fx1 fx2 temos x3 1 x2 1 x3 1 x2 1 0 x1 X2 x2 1 x1 x2 x2 2 0 x1 x2 0 ou x2 1 x1 x2 x2 2 0 a 1 b x2 c x2 2 x2 2 4x2 2 3x2 2 0 9 Se 0 Não possui solução real Suponha que 0 então 3x2 2 0 x2 0 x1 x2 2 0 x1 x2 Logo fx1 fx2 x1 x2 ou seja f é injetiva Seja y CDf R tomando x 3y temos que f 3y y Com isso f é sobrejetora e consequentemente bijetora Conjuntos finitos númeraveis Cardinalidadetamanho de um conjunto Seja A 1 5 3 0 a por cardinalidade de A é dada por A 4 Conjuntos Enumeraveis São conjuntos em que é possivel encontrar uma função bije tora tal que f N A ou f 1 A N Exercícios 1 Mostre que o conjunto dos números pares positivos é não enumeravel Solução Seja P o conjunto dos pares postivos e f N P tal que fx 2x Como f é um função afim temos que f é bijetora com coeficiente angular não nulo Logo P é enumeravel 2 Mostre que o conjunto dos ímpares positivos é não enumeravel Solução 3 Mostre que a composição de funções bijetoras é bijetora Solução Seja hs fgx com g A B e f B C Bijetoras Injetividade Seja x1 x2 então gx2 gx2 pois é injetora Como f também é injetora se gx2 gx2 então fgx1 fgx2 Logo x1 x2 hx1 hx2 10 Sobrejetividade Seja ce C Como f é sobrejetiva existe b B talque fb c Como g é sobrejetiva existe a B tal que ga b Logo ha fga fo Logo h é bijetora 4 Mostre que a uniao de dois conjuntos enumeraveis é enumeravel Solugao Como A é enumeravel existe bijegéo em f AN Como B é enumeravel existe bijegao em gBoN Seja X AUB definimos h AUB N tal que se x A hx fa esexe ASN B hx fx injetividade Sejam 7122 AUB tal que x7 F xo Se x e 2 A f x1 F fx2 pois f é injetora logo hx 4 ha Se x1 2 Bgx1 F gx2 pois g é injetora logo hx1 4 hx Sez Ae x ACNB entao hx fx e hx2 gx2 Demonstrar que fz 4 921 Sobrejetividade Para qualquer y N existe a A tal que fa y pois f sobrejetora mas como ha fa h é sobrejetora Logo h é bijetora 5 Mostre que Z é enumeravel Solugao Seja f N Z tal que 11 fx N 2 se N é par N 1 2 se N é par Injetividade Seja x1 x2 N tal que x1 x2 temos se um for par e o outro for ímpar fx1 fx2 Se ambos são pares fx1 fx2 Analogamente se ambos forem ímpares fx1 fx2 Sobrejetividade Seja y N um par qualquer então y 2N com N N Note que f4N 2N y Seja y N ímpar então y 2N 1 com N N Note que f4N 3 2N 1 logo f é sobrejetora Logo f é bijetora e consequentemente Z é enumeravel Desafio Prove que a raiz quadrada de P com P primo é irracional R p primo p R Como I Q R I Q p Q p I Suponha que p Q a b Z tais que p a b mdc a b 1 p a2 b a2 b2 Como p Z b2a2 n Z tal que a2 nb2 a nb ba Como ba bb bmdcab 1 b 1 p a2 b2 a2 12 a2 p não é primo abusrdo logop I Desafio Moste que os Racionais são enumeraiveis Como Z é enumeraveis ja que f1 Z N f1 2n n 0 2n 1 se n 0 é bijeção f2 Z N f2 2n 1 n 1 2n 1 se n 1 é bijeção 12 Assim Z também é enumerável Como o produto carteziano de conjuntos enumeráveis é enumerável Z Z Seja f3 Z Z Q é bijeção a b a b logo Q é enumerável 13 4 Aula 04 Análise real aula 22082022 41 Algumas propreidades dos números enumeráveis 1 Se x y são enumeráveis então x y é enumerável 2 Se y é enumerável e f x y é injetiva então x é enumerável 3 Se x é enumerável e f x y então y é enumerável 4 O produto carteziano de enumeráveis é enumerável Conjuntos Enumeráveis Um conjunto X e dito enumerável quando é finito ou quando existe uma f N X No segundo caso X e dito infinito enumerável Todo subconjunto X N é enumerável A reunião de uma família enumerável de conjuntos enumerável e enumerável 14 5 Aula 05 Analise real aula 29082022 51 Demosntragao das propriedades da aula 4 1 se A B sao enumeraveis entao AU B é enumeravel Demonstragao Como A e B sao enumeraveis existem f A Neg B Nj onde N e N sao conjuntos de nimeros naturais par e fmpar respectivamente Definindo H AUB N tal que fx sexeEA hx gx sexe ATNB Mostrando que h é um fungao bijetiva Injetividade Tomando 2122 AUB suponha x x2 e considere os seguintes casos 122 C A fx1 F fx2 fx2 hxe Logox F xo hx F hax2 102 ASN B hx1 g11 F gax2 hx2 logo x A Lo hx1 F hzx2 Suponha agora que 7 Ae AM B entao ha f1 4 gv2 hx2Note que fx 4 gx2 pois fx é par e gx2 impar Logo para qualquer y N existe x AUB tal quefx y Concluindo que h é sobre jetora e que AU B é enumeravel x Informagoes complementares Note que f A N bijetora existe pois como A é enumeravel existe f A N bijetora e como o conjunto dos nimeros naturais pares é enumeravel existe fz N N bijetora Definindo fhoh Temos que f é bijetora pois composicgao de fungoes bijetoras é bijetora 2 se y 6 enumeravel e f x y é injetiva x é enumeravel Demonstra ao Como y é enumeravel existe g y N bijetiva tomando h N C N com N IMgf e hx gf vamos mostrar que h é bijetiva Injetividade 15 x1 x2 fx1 fx2 gfx1 gfx2 hx1 hx2 Sobrejetividade Seja a IMgf existe x X tal que gfx a logo hx a Com isso tomando a N IMgf existe x X tal que hx a Como existe h x N N que é bijetora logo X é enumerável 3Se x é enumerável e g x y é sobrejetora y é enumerável Demons tração Como x é enumerável existe f N x bijetiva Tomando h N y onde N N e é tal que se gfx1 gfx2 e se x1 x2 então x1 N e x2 N e hx gfx vamos mostrar que h é bijetiva Injetividade x1 x2 N x1 x2 fx1 fx2 gfx1 gfx2 hx1 hx2 Sobrejetividade Tomando y Y querendomos provar que existe x N tal que hx y Como g é sobrejetiva existe x X tal que gx y Como f é bijetora existe x N tal que fx x hx gfx hx gx hx y Logo h é bijetiva e Y enumerável 4 x y enumerável X Y é enumerável N N é enumerável Tomando h N N N tal que ha b 2a 3b vamos mostrar que h é injetiva Seja a b hx y logo h é injetiva Como N é enumerável e h é injetiva pela propriedade 2 N N é enumerável Seja p N N x y tal que px y fx gx onde f N e g N Y são bijetivas logo p é sobrejetiva Como p é sobrejetiva e N N é enumeravel pela propriedade 3 temos que X y é enumerável 16 O conjunto dos números reais é não enumeravel A diagonal de cantor Vamos mostrar que 01 tem a mesma cardinalidade que os R Seja fx 1 π arctgx 1 0 a11 a12 a13 a1n 0 a21 a22 a23 a2n 0 a31 a32 a33 a3n 0 am1 am2 am2 amn O intervalo 01 dos números reais é não inumerável Suponha que o intervalo 01 seja inumerável desta forma existe f N 0 1 bijeção e assim podemos listar todos os valores entre 0 e 1 de modo que fi xi para todo i N x1 0 x11 x12 x13 x2 0 x11 x12 x13 xj 0 xj1 xj2 xj3 O conjunto dos números reais é não inumerável Seja R conjunto dos números reais suponha que R enumerável assim Todo subconjunto de um conjunto enumerável também é enumerável todo sub conjunto X R é enumerá vel porem pelo teorema dos intervalos 01 é não enumeravel um contradição assim o conjuntos dos numeros reais é não enumerável O conjunto dos números irracionais é não inumerável Seja R Q o conjunto dos números irracionais e suponha que R Q é inumerável desta forma como o conjunto Q dos números racionais é numerável e R Q R Q Para uma quantidade finita de conjuntos enumeráveis o produto cartesiano ainda será enumerável entretanto para os casos infinitos isso não ocorre ou seja dado infinito con juntos enumeráveis não necessariamente o cartesiano será enumerável uma contradição portanto o conjunto dos nuemros irracionais é não enumerável 17 6 Aula 06 Análise real aula 05092022 61 Conjuntos Limitados Supremo Ínfimo Máximo e Minimo Prove que o conjunto dos irracionais seja Enumerável Suponha por abusrdo que os irracionais seja Enumerável note que R Q I Q é enumerável Como a união de Enumeráveis é enumerável teriamos que R é enumerável oque é um abusurdo Logo os irracionais é não enumerável Conjuntos Limitados Definição Conjunto Superiormente limitado Dado um Conjunto X R existe m R tal que x m x X Ex A x2 1x R Note que se x A x 1 pois o maior elemento de A é igual a 1 vide o grafico Definição Conjunto limitado inferiormente Dado X R existe C R tal que x C x X Ex B x2 5x 6x R Yv 4 a Yv 1 4 Xv b 2 a Xv 5 2 18 Note que 1 x Vz B logo B é limite inferior Definigao Conjunto Limitado é um conjunto limitado superiormente e inferiormente Ex C senxx R limitado pois 2 C senx C 2Vz ER Determine se 0 conjunto B 4 n N é limitado superiormente e inferior n mente 1111 Rye 17 Note que 2 x 0 logo B é limitado Vx B 2345 Supremo O supremo de um conjunto X C R representando por supX é uma cota su perior além disso é a menor cota superior desse conjunto newline Infimo O infimo de X infx 6 a maior das cotas inferiores Maximo O maior Elemento do conjunto Minimo O menor Elemento do conjunto Teorema Todo X C R em que X é um intervalo real admite Supremo e Infimo Ex Caso que nao se admite Supremo A x 2X Q esse conjunto nao admite supremo 19 7 Aula 07 Análise real aula 12092022 71 Palestra ADM não teve aula 20 8 Aula 08 Andlise real aula 15092022 81 Sequéncias Segunda parte do contetido da primeira avaliacao Exercicios da aultima aula Dados os conjuntos determine 0 minimo maximo infimo e supremo se exis tirem 2 a A 4 44 55 3 8 7 Resolugao 3 21 2 3 2 44 114 114 11 4 11 1024 5544 11 5 114 544 114 51 114 62511 Entao 44 55 MaxA Sup A 44 2x 1 b B rer o r5 5 b 5 Yr 1 B5 ee Min e max nao existem InfB 5 SupB 5 up 5 Sequéncias 21 x x se x 0 x se x 0 x máx x x Ex 2 2 2 5 5 2 máx 2 2 2 5 máx 5 5 Desigualdade triangular Dado x y R temos x y x y Demosntração x y2 x2 2xy y2 x2 2 x y y2 x y2 x yx y2 x y x y x y Propriedades a a b a b ba b a b a b Sejam x e y números reais arbitrários Se x y então x y x y Caso contrário se x y então x y x y Logo sempre é valido que x y x y Pela Desigualdade Triangular temos x x y y x y y ou seja x y x y Temos também y y x x y x x o que resulta em y x x y como x y y x então y x x y isto é x y x y Assim temos x y x y x y Logo pela propriedade podemos concluir que a b a b 22 Portanto para quaisquer números reais a b sempre é verdade que a b a b a b c x1 x2 xn x1 x2 xn Sejam a1 a2 an números reais nãonulos com n N Então x1 x2 xn x1 x2 xn e a igualdade ocorre se e somente se a1 a2 an tiverem o mesmo sinal Usaremos o Princípio de Indução Finita para demonstrar o resultado apresentado Para n 1 temos que a1 a1 e então o resultado é verdadeiro Para n 2 segue do teorema anterior tomando a a1 e b a2 Suponhamos agora que o resultado seja válido para algum k natural maior do que 2 Desta forma para a1 a2 ak números reais nãonulos temos a1 a2 ak a1 a2 ak Tomemos agora a1 a2 ak1 números reais nãonulos Concluímos então que a1 a2 ak ak1 a1 a2 ak ak1 a1 a2 ak ak1 a1 a2 ak ak1 Usando a validade do teorema para n 2 e a hipótese de indução Sequências Dados dois números a e b com a b chamase intervalo aberto de extremos a e b denotado por ab ao conjunto a b x R a x b Se for incluído aos extremos a e b no intervalo então ele será denominado intervalo fechado e indicado o símbolo ab a b x R a x b Um intervalo também pode ser semifechado ou semi aberto com segue a seguir 3 1 x R 3 x 1 3 5 x R 3x 5 Escrevemos ann N an entre outras formas para representar uma sequência Exemplo Método de Newton Rapson 23 Dado a construimos uma sequéncia por Gn 1 an a 1 Lea f Gn 1 DefinigaoSequéncia Convergente Uma sequéncia an N converge para L se dado 0 existe No N tal que para todo N No tem se ja L Neste caso escrevemos wim Gn OU a L 00 Chamase sequéncia nula toda sequéncia que converge para zero 1 Exemplo prove que 0 n Dado 0 1 1 1 n n n 1 Tomando ng quando n no temos 1 1 1 la L jze n no a L e 24 9 Aula 09 Andlise real aula 19092022 91 Limites e sequencias Segunda parte do contetido da primeira avaliagao 2 EX Considere a sequencia an N onde a TT determine o lim a n Definicgao de limites dado 0 existeNo N tal quese N No entao a 1 Dado um 0 temos 2n 2n 2n 2 2 2 n1 n1 n1 n1 Poisn1 0 2 Tomando ng i quando N No temos 2 2 lan 2 g 52 mri 2141 la 2 e Logo an 2 Propriedades de limites 1 lim K com kK ER Dado 0 temos lan k k k O e Assim tomando np 1 se N No temos que a k logo a k k Passos e 0 N No lan 1 2 lim a b onde lim a L lim b M Dado 0 temos anbLM n1bn1bnM anLbM Pela desigualdade triangular Como a 1 existe No N tal que se N Noa Entao a 1 5 Como b M existe No N tal que se N Noy Entao b 1 5 25 Tomando No max Nog Nov se N No temos lan b L M Ja L b M a b L M e Logo a b LM 3 lima bn onde lim a Le limb n 4lim s onde lim a Le lim b n com n 4 0 2 5 Exemplo Determine lim er n 2n5 2n 5 5 n non n 9 lim2lim2502 n Teorema do confronto Dadas ay bnCn tais que an bn Cn para todo N No Ne lima lima L entao lim b L Dado 0 temos Existe No N tal que se N Nog entao ja L LeaLe Existe Nop N tal que se N Noy entao LeCLe Tomando No MAX Noa Nog temos LaboLtesLlebLte b L Logo b L Exemplo Prove que uma sequencia so pode convergir para um tnico li mite Suponha que ae b sejam limites de x Mostraremos que a b paraisso seja lim x a supondo que a b podemos tomar 0 tal que os intervalos abertos I a a e J bb sao disjuntos ba ba Como b a 0 logo 0 assim logo vemos que o intervalo INJ2 Como lim x a entao existe no N tal que n no emplica x I aa entao Vn no temos x bb pois JNJ 26 10 Aula 10 Análise real aula 21092022 101 Sequencias Monótonas Segunda parte do conteúdo da primeira avaliação Suponha lim an L Mostre que lim K an K L para qualquer K R Dado ϵ 0 K An K L K An L Como An LN0 N tal que se N N0 An L ϵ Tomando N N0 K an L K ϵa tomando ϵ K ϵa K an K L K ϵ K K an K L ϵ Teorema Toda sequência é limitada Nem toda sequência é limitada é convergente an 1n 1 1 1 1 1 1 1 1 an 2 logo an é limitada a2n 1 a2n 1 2 Logo não converge Sequência Monótona Função crescente Estritamente crescente Se ann N é tal que an1 an n N então a sequência é crescente Função decrescente Se an é tal que an1 an n N a sequencia é decrescente Função não decrescente Se an é tal que an1 an n N a sequencia é não decrescente Função não crescente Se an é tal que an1 an n N a sequencia é não crescente 27 e Teorema Se an R é uma sequéncia limitada e monotona entao an R é convergente Limite fundamental exponencial 1 elim 1 n 1 Seja ay 1 i temos n Binémio de Newton expansao ay S on y K K0 1 Qvnn1nK1 1 14 SS NN Kk K0 1 1 K1 1 1l 2 1 1 2413 eg Ele GS at S SP OSES 1 1 1 n 1 213 n 1 1 Exemplo Prove por inducao finita que K 3Ka1 para kK 1 Caso base 1 1 Hipétese de indugao 1 1 Supondo K QK1 1 1 1 1 1 K1 Lh PSD ai Ra tS Ka 3K Como K 1 entao K 1 2 1 1 Como Kk 1 2 entao Koel 5 1 1 1 1 1 1 2 K 1 K41 261 2 Qk1 QK11 ok Desafio Mostre que ay 2p i ap 28 Provando a desigualdade por indugao sobre N N se N1 entao v1 xi pois v1 21 logo x1 x1 Hipotese de indugao Suponha que para N k a desigualdade seja valida ou seja Joy a S ai eel Queremos mostrar que a desigualdade também é valida para K1 sendo Joy tee ap t epi lai rel temos r 0 Ue epi S ail ees a 2 vx41 Pela desigualdade triagular ai lan vn41 Por hipotese de indugao Logo Jy te Up epi S ail ees Portanto por indugao segue que v tn Jai anVN EN Prove que 0 n1Vn0 Devemos mostrar que dado 0 existe no N tal que n ng r 0 Rascunho aaa n1 Jn 1 eé vyn1 jn e Jnn e 2n 1 2Vn 29 1 ins 5 1 n 4 1 Demosntragao basta tomarmos n Te de fato sists 2és ces n ns 4 2 dn 2n e e e Vnn Vnl Jn Vnt1 Jn Vvn1 val evnt1vn0 6 30 11 Aula 11 Análise real aula 26092022 111 Primeira avaliação 31 12 Aula 12 Análise real aula 28092022 121 Seguda para da Primeira avaliação 32 13 Aula 13 Andlise real aula 03102022 131 Resolugao da primeira parte da avaliagao dia 26092022 1 Mostre que 7 é um ntmero irracional Demonstragao Suponhapor absurdoque p é racional Se p racional entao existem ab Z com b 0 tal que ab 1 a 2 2 Jp 3 a pb Logo a é por p Como f entao P a a Como Po existe k Z tal que a apk Assin a p0 p RP pP S0pk Com issotemos que a mas como vimos anteriormente a i PP Como ab 1 mas14e b gerando um absurdo a Logo concluimos que p é irracional 2 Considere as conjuntos A x N x é um quadrado perfeito e B x N z 6a soma dos n primeiros onde n N prove que A B Demonstragao A x N x um quadrado perfeito Se x A entao x n para aleum n N B ren e 0K 9 con nent K1 Para demonstrar que A B temos que mostrar que AC Be BCA Seja A vamos mostrar que x B Como x A entao x n para algum n N 1l2n1n 2nn 9 Consid 2h 1 n onsidere S 5 5 n K1 Logo z n S 2K 1 logo xe B K1 33 Com isso A C B Agora tomando x B temos que L S2K 1 para algum n N mas S 2K ln K1 k1 Logo x n ou seja x A Assim B C A e consequentemente A B 3 Vamos mostrar pela definigao que o conjunto NU 2 10 é um conjunto enumeravel para isso siga as instrugoes a seguir a Escreva a definigao de um conjunto enumeravel Demonstragao Um conjunto X é enumerdavel se X é finito ou se existe f X N que é bijetora b considere a fungao f N NU210 com fz x3 mostre que esta fungao é bijetora Demonstragao Vamos mostrar que f é injetora f1 ft2 38223 24 29 Logo f é injetora Vamos mostrar que f é sobrejetora Seja a NU 2 10 queremos x N tal que fx a Note quex3a2a3 Observe que se a 2r1e f1 2 Da mesma forma se a 1x4 2 e f2 1 e assim sucessivamente cConclua que NU 2 10 um conjunto enumerdavel Demonstragao Logo f é sobrejetora concluindo que f é bijetora e NU 2 10 é enumeravel 34 4 Dada as afirmações a seguir demonstre caso sejam verdadeiras ou dê um contraexemplo caso sejam falsas a O conjunto 2 n 1 n N e n 10 é um conjunto limitado Demonstração VERDADEIRO 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Note que se x A x 22 logo A é limitado b A soma de números irracionais distintos é sempre um número irracio nal Demonstração FALSO Tomando x1 2 e x2 2 note que x1 x2 e x1 x2 0 Q C A soma de números racionais quaisquer é sempre um número racional Demonstração VERDADEIRO Seja x p q e y a b com p q a b Z e q 0 e b 0 logo x y Q x y p q a b b p q a q b Como soma e produto de inteiros é inteiro b p q a Z e q b Z com q b 0 pois q 0 e b 0 assim x y Q O número 0 3267 pode ser representado por uma fração onde o numerador e o denominador são inteiros com o determinador diferente de zero e por isso temos que este número pertence ao conjunto dos números racionais Demonstração 10000x 3267 3267 x 0 3267 9999x 3267 x 3267 9999 x 1890 3333 x 630 1111 35 132 Resolugao da Segunda parte da avaliagao dia 26092022 1 Dado um conjunto M a of responda a O conjunto M é limitado Sim pois se 7 M x 2 bQual é o supremo de MV 1 c qual o infimo de M 1 d Qual o maximo de M 1 eQual o minimo de M Nao existe E possivel afirmar que para qualquer conjunto A vale que SupA MazA e InfA MinA Nao Como visto no exercicio 2Demonstre a desigualdade triangular generalizada dada por Jzr Foe ay Jay an para todo n EN pn tr an S ail en p1 ai a1 que é verdade pk é verdadeiro e montramos pk pk 1 é verdadeiro Jay te tap tei Jar lave ve41 pela desigualdade triangular Utilizando a hipdtese de inducao temos Jay Hees apy Opa lar Fee lee l opsr Hip Ind Logo pn é verdadeiro 36 3 Considere a sequéncia acny definida por a 4 mostre pela defi n nicgao de limite que a 1 Demonstragao Dado 0 n n 1 1 1 an a SOS OodL sosSCO n1 n1 n1 n1 1 Tomando np i se n Ng entao a 1 ou seja a 1 E 4 Demonstre que toda subsequéncia de uma sequéncia convergente é conver gente e seus limites sao os mesmos Demonstragao Seja a tal que a L Dado 0 como a L existe ng N tal que se n no entao ja L e Como nx 6 uma sequéncia ilimitada existe ko N tal que ngo no entao se k no Nk No consequentemente apz L Logo dnz L As 10 5 Dada a sequéncia bcx definida por b mal faga o que se pede n a Mostre que b 6 uma sequéncia limitada Demonstragao 10 10 Note que 10 pois n1 0 d a 1 n21 P Logo b limitada b Mostre que b 6 uma sequéncia estritamente decrescente Demonstragao Dn4t Dn in 10 10 n11 nl 1 c 1 n2n2 nl n1ln42n2 nn10S3neEN bo 10 c 10 mr n 1 n 1 37 bri ee 107 n2n1 atl Bn cE possivel afirmar que b 6 uma sequéncia convergente Demonstragao Como b é limitada e estritamente descrente entao b convergente 14 Aula 14 Andlise real aula 05102022 141 Sequéncia de Cauchy Dado 0 existe no N tal que mn no entdo jam an 142 Teorema de BolzanoWeierstrass Toda sequéncia limitada admite subsequéncia convergente Exemplos Toda sequéncia convergente é de Cauchy Hipdtese Sequéncia convergente Tese Se é de Cauchy Considere Xn n convergente entao dado 0 existe no N tal que se n no entao X L 5 onde X L Xm Xn Xm Xn L4L XnLX4L Xm LXn LI pela desigualdade triangular Tomando mn ng entao Xm Xn Xm L Xn LI 5 5 Informagao 5 5 Logo Xnn nN uma sequéncia Cauchy Toda sequéncia de Cauchy é uma sequéncia é uma sequéncia limitada Se X é limitada entao X M para algum MER MXnYnEN NER Considere dnnen uma sequéncia de Cauchy entao dado 0 existe no N tal que se mn No entao dm dn Qim Gn An Gm Gn para todo mn no Tomando n no1 temos que An911 Gm Gno41 para todo m no Tomando M maraq dnol noz1 no41 temos que a M para todo n E N 38 Toda sequência de Cauchy é convergente Considere an Cauchy dado ε 0 existe n0 N tal que se m n n0 então am an ε 2 Como an é Cauchy então an é limitada e como an é limitada existe subsequência annN convergente pelo Teorema de BolzanoWeirstrass Como ank é convergente ou seja ank a R então dado ε 0 então k0 N tal que se k k0 então ank a ε 2 an a an ank ank a an ank ank a pela desigualdade triângular Tomando n0 maxn0 nk0 se n n0 temos an a an ank ank a ε 2 ε 2 ε Logo an é convergente Exercícios Sejam an bn sequência de Cauchy mostre que cn R dada por cn an bn é convergente Dado ε 0 existe n0 N tal que se m n n0 então am an ε 2 e bm bn ε 2 Tomando m n n0 temos cmcn ambmanbn amanbnbm amanbnbm cmcn ε 2ε 2 ε Logo cn é de Cauchy e consequentemente convergente 39 15 Aula 15 Andlise real aula 10102022 16 Séries DefinigaoDado uma sequéncia achamamos de série 0 seguinte valor 00 dtm n1 Notagao Qn e Série convergente e Série divergente Considere 8nen tal que s S An k1 4141 Gg a1 G2 G3 a1 G2 Gn Convergentes s ER Divergentes Foo Exemplo 1 Determine se a Série S I é convergente ou divergente Vamos n t nisi todo n EN mostrar que 2 5 para odo n n n n 1 Not oe ne ntl ntn 2n 2 Assim k k n 1 k KEN d n17 a an Por fim se k 00 entao on k n nad 3 00 Concluindo que S nod é divergente Exemplo 2 Considere a sequéncia 11111 20000 00 So ay 1 1 14 1 14 20 1 n1 logo a série é convergente 161 Progressao Aritmética PA Uma PA é uma sequéncia onde dadas um primeiro termo a e uma razao r a sequén cia é descrita por 40 a1 4 7 a 2ra n1 a2 a3 an Somatoério de uma PA Considere os n primeiros temos de uma PA a141 171 n2ran1r a0 n1raytra n2r o or e eee 2a1n1r 2a1n1r gs 2an1rn 2 Sn ai am 1 2 162 Progressao Geométrica PG Uma PG é uma sequéncia onde dado a uma razao q a sequéncia é obtida por a101901a1a1q Somatoria de uma PG S alaqttaq I 2 n1 n Gd Sn a qtataq aq ID Subraindo I de II G n n a q ay q1 8 a q 1 A série sera convergente se q 1 lqj1l74lql lim S S59 lq 41 17 Aula 16 Andlise real aula 17102022 171 Série Harmé6nica Historia O estudo e entendimento da série harménica teve origeminicio no século IV aC com as experiéncias feitas pelo filosofo e matematico grego Pitagoras Pelas suas descobertas é possivel estabelecer uma relagao direta entre melodia e harmonia sendo que seus conceitos e definigdes sao utlizados até os dias atuais Pitagoras afirmou que qualquer som para ser musical teria que ter altura definida emi tido por um instrumento ou por fonte natural resultando em uma vibracgao ondulatoria regular Diz a lenda que foi observando ruidos como batidas de martelos e outros que Pitagoras percebeu uma relagao entre a musica e a matematica Pitagoras foi um matematico grego ele viveu ha cerca de 2500 anos e resolveu problemas fundamentais da matematica dizem que um certo dia ao passar pela oficina de um ferreiro Pitagoras percebeu que as batidas de martelos diferentes produziam sons diferentes logo associou isso a massa dos objetosPara estudar melhor essas relagoes ele fez um experimento usando um instrumento chamado monocérdio que funciona como o violao mas tem uma corda so e usando um cavalete de madeira pegueno debaixo da corda que ele comecou a perceber algumas relacgoes fascinantes Ele percebeu que de acordo com que mexia o cavelete ele obitia variagoes do som e obi tia sons harménicos sendo possivel encontrar outras proporgoes desse tipo que também produziam combinagdes harmoniosasA descoberta de Pitaégoras com o experimento do monocordio langa luz sobre inimeras discussoes no 4mbito da misica tedrica tendo por fundamento os conceitos matematicos de razao e de proporgao Quase 1500 anos de pois do experimento de Pitagoras gragas a um monge italiano chamado Guido dArezzo desenvolveu as notas musicais que conhecemos hoje Foi Nicole Oresme um matematico do século XIV que fez a demonstragao de que a série harménica diverge e mostra como é decisivo o papel do raciocinio l6gico para estabelecer uma verdade que jamais seria descoberta de outra maneira Fundamentos Sobre Série Harmonica Somando os 100 Primeiros termos coy ly 1 1 1425 n n 2 Pot 100 n1 n1 Somando os 1000 Primeiros termos coy 1000 1 1 144475 n n 2 1000 n1 n1 Somando os 10000 Primeiros termos Stas teay dy 98 n n 2 10000 n1 n1 42 Note que somamos varios termos e que a soma total ainda esta pequena Nicole dOresme 13231382 Provou que a série é Convergénte Tal prova foi produzida pelo matematico francés Nicole Oresme 1323 1382 em meados do século XIV Em sintese Oresme observou que 00 1 Sendo S quanto mais termos realizamos a soma maior sera a soma n n1 Teste Para a Convergéncia 00 Se a série So an Convergénte entao lim a 0 mais nao é sufuciente para que uma n OCo n1 série convirja Série Harménica 1 1 a S lim 0 defato é divergente nel nmnrwn Teste para Divergencia Se lim a 0 ou se o limite nao existir a série S dy divergente Noo n1 Note que uma série S1 nao vai para oo mas é divergente porque o limite lim 1 n OCo n1 nao existe Série Harménica s te 1 ko 2030 4 k1 Analisando a Sequéncia 1 lim 0 a sequéncia converge ko30k Série Harménica s te 1 t ko 2030 4 k1 Harm6nica rthp sg easy sy ty ty ty ty s1454 4424545444 27 3 4 5 6 7 8 9 10 SH eon ia 2termos 4termos 8termos Comparagao menores menores soitistgr tat tye no 2 4545858 887 43 1 Note que se somar os temos menores e simplificarmos teremos a razao dessa Série 5 21 41 42 8 2 a OU so itiety rte ty ty hy no 4 488 8 8 1 Note que trocando os 2 termos 4 termos 8 termos 16 termos por 5 ficando as sim Sp 15 54 5H harmonicas Sp logo diverge 172 Fracgoes Parciais Seep nn1 Yury nn 1 1 a b 1 an 1bn nn 1 n nl nn1 nn1 an 1 n n 0 onde aparecer n trocar por 0 para zerar o b a01b01a1 Trocamos o n agora por 1 para zerar 0 a a14101 15 b11 b1 Reescrevemos as fragdes como 1 1 1 1 ie nn1 n nl 1 1 1 nn1 on ntl yer nn 1 Trocamos onde aparece n por 1 na fragao 1 il 1 111 1 141 1 1 1 12 1 2 Depois usamos o 2 no lugar do n 1 1 1 23 2 3 Agora com o ntmero 3 44 1 1 1 34 3 4 E esse continua de modo infinito até chegar a um valor n que é nossa relacao 1 i 1 nn1 on ntl Para achar o valor da série basta somar os valores das expressoes 1 11 12 1 2 1 11 23 2 3 1 11 34 3 4 1 1 1 nn1 on ntl Esse seria uma somatorio de 1 1 Saga nn 1 n1 Como sabemos fazer até o n porem o n tende ao infinito minha razao 1 a se aproxima de 0 entao ficaria 101 O nome soma telescépica deriva da fungao do telescopio ou seja assim como este objeto encurta a enorme distancia entre nossos olhos e os corpos celestes esta propriedade encurta o caminho entre a soma inicial de muitas parcelas e o calculo do resultado da mesma 2 e e 1 173 Série de Maclaurin nN E um caso especifico da série de Taylor A série de Taylor é uma maneira de representar fungoes a partir de uma soma de infinitas parcelas A série de Maclaurin é muito parecida mas dizemos que ela é centrada em zero ou seja definimos para a série de Maclaurin pela formula Sf 0 a fe n0 Onde f é a derivada de ordem n da funcao f Exemplo 1 Determine a série de Maclaurin da fungao fx cosx I Primeiro vamos derivar a fungao fx senx fx cosx 45 fr sen fa cosx II Nessas derivagoes podemos notar o seguinte padrao quando a ordem de derivada é impar temos um seno e quando é par temos um cosseno fOMx 1cosx fer x 1senz IIT Com esses padré6es em mente podemos escrever a série de Maclaurin Sf 0 a cosx d E quando aplicado x 0 naqueles padroes de derivada temos f 0 1cos0 1 fer0 11sen0 Sendo assim aplicando isso na formula da serie de Maclaurin cosx d On Exemplo 2 Determine a série de Maclaurin da fungao fx e ao redor de a 1 Calculamos as primeiras derivadas de f em a 1 para conjecturar uma formula geral para fn1 Para n 0 fx fx e f1 e Para n 1 fx 2c f1 2e Para n 2 f a 4e f1 4e Para n 3 f x 8 f1 8e Para n 4 fx 16 f1 16e Em suma temos FO e FCN e PD Fe FD Be A partir desses valores podemos conjecturar que f1 2e7 para todo n 0 Portanto 46 CO n ee 9 e2 Tifx S pte 1 S e 1 n0 n0 AT 18 Aula 17 Andlise real aula 19102022 a Pelo teste da comparagao a série diverge eee 10 n0 n0 e como o termo geral 2 nao converge para zero a série diverge Na real poderiamos concluir o mesmo olhando para o termo 2 0 10 b Podemos usar o teste da razao neste problema Observe 1Rhe 12 1F14kD2 an Assim para todo t 01 0 teste da razaéo nos leva a um valor menor que 1 Portanto converge Observe que s pays 1r tte D2 12 1 Assim o limite quando n tende a zero é ye 12 1tl c Ja este tltimo item também pode ser transformado em duas somas geométricas Sou 0 Sou Sw Assim cada parcela é lu 1 2n Assim temos que 1 1 Iu n 2n n 2n du u dou dou lou Tow j ow 48 19 Aula 18 Andlise real aula 24102022 191 Propriedades Dadas S dn Ae S b B duas séries convergentes e k R temos 1 So an bn AB II Sok an k A I Seja a S ar bn S by dado o pela desigualdade triangular temos k1 k1 lan bn a b la ab b lan a b 5 Como a a existe no N tal que se n no entao ja al Deforma analoga existe no N tal que se n no entao b b Tomando no maz no No Sen No entao Ee lan by a b lan al b b 515 e Critério Do Termo Geral Dado uma série S Gn diremos que se a série é convergente entao a 0 Exemplos Determine se a série é divergente pelo critério do termo geral a 1 dy 1 note que lim 1 pois 1 le 1 1 Noo Logo S1 é divergente bS nv bn Utes 1 d du 192 Teste Da Comparagcao Sejam S Gn S b séries com ab 0 temos I Se a b para todon Ee Ne S b 6 convergente 49 I1Se a by para todonEe Ne S b divergenteentao S Gy divergente 5 Exemplo Mostre que a série S bol é divergente lim a 0 5 5 1 Note que logo d5n1 5n n SY Série harménica S S que é divergente Série harmonica bn 1 n Logo pelo teste da comparagao a série diverge 50 20 Aula 19 Anéalise real aula 26102022 201 Teste Da Comparagao Do Limite Sejam S An S b séries com termo geral an bp 0 entao Se lim i 0 entao anbas séries convergem ou ambas divergem N00 n 00 1 Exemplo meme d an 111 1 Qn qr 37 15 Seja an e by temos J an gn ni Qn 1 1 3n 2 1 1 lim lim lim 15 10 n00 Po noo0 Qn n00 Qn Pelo teste da comparagao do limite a série converge pois sabemos que 00 1 S on é convergente n1 202 Teste da Razao Seja S Gyn uma série com a 0 para n N temos c1 a série converge Qn1 Se lim c1 inconclusivo N00 An c1 a série diverge Exemplo 0O on er n n0 e ett An nent n D ertl 1 ntl en tim SAD jig 8 ty 8 1 N00 e natoen1 noton1 nt Pelo teste da razao a série é convergente 51 203 Teste Da Raiz Seja S Gyn uma série com a 0 para n N temos c1 a série converge im Van C1 inconclusivo c1 a série diverge Exemplo s 2n on 2 2 3 Seja an no temos al f 2n3 In3 n 2 3 23 lim lim lim x lim nboo 3n 2 ntoo 38n2 ntoo n 3 7 noto 3 1 Logo pelo teste da raiz a série é convergente 204 Teste Da Integral Seja S Gyn uma série com a 0 para n N temos 00 fndn convergente 1 00 S a convergente com fn dn n1 O mesmo vale caso seja divergente 00 L Exemplo Determine p R tal que S é convergente n1 me se p 0 a série diverge 1 Considere fn n temos n 00 ptl s400 n Pdn a 1 p1h Se 0 p 1a sequéncia diverge 1 00 1 Septt tog p p1neth lp A série é convergente 52 21 18 Aula 07112022 211 Teorema de Leibniz série alternada 00 Dado uma sequéncia a tal que a a2 az dn 0 entao a série S1 An n1 é convergente O erro ao aproximar a série pelos k primeiros termos é dado por e Jax 1 e Série Absolutamente Convergente é uma série tal que S a 6 convergente e Série Condicionalmente Convergente é uma série tal que S Gy converge mas S a diverge Exemplo 00 n1 1 Andalise a série nl 1 An fp a n n 00 Note que S a divergente pois se trata da série harmonica n1 00 n1 1 1 1 1 1 1 4 d n 2 3 OA 5 Perceba que a a2 an e an 0 sendo a série alternada pelo critério de Leibniz a série é convergente mais especificamente a série 6 condicionamente conver gente 1 1 1 1 14 In2 273 475 2 Exemplo 2 00 1 Analise a série 2h bn an Jn Jn 00 1 Note que S an uma psérie com p 5 1 logo pelo critério de Leibniz a série é n2 condicionamente convergente Exercicios 00 12n 5 1Dado a série faga oque se pede din Din 3 se Ode SEP 53 2n 5 a Utilizando fragoes parciais decomponha goes P P n 2n 3 bReescreva 0 somatorio na forma expandida cUtilazando o raciocinio de série telescépica para determinar o valor da série séries convergente ou divergente de acordo com o critério dado 2 Determine se cada uma das séries é convergente ou divergente de acordo com 0 critério dado 00 Inn a comparacao 1d 7 comparacao 00 1 b comparaao d Jae comparagao 00 Jn c racao d on ragao 00 dye e integral ou limite n1 00 1 e integral ou limite d monn intes 00 1 f raiz Do pe rai 54