·
Engenharia Metalúrgica ·
Probabilidade e Estatística 1
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
Por outro lado se quisermos a probabilidade de obter no máximo duas chamadas em quatro minutos teremos λ 20 chamadas em quatro minutos logo PN 2 PN 0 PN 1 PN 2 e20 1 20 200 221e20 que é um número muito próximo de zero Esse exemplo nos mostra que a probabilidade de k ocorrências num intervalo fixo de comprimento t pode ser escrita como PN k eλ λk k k 012 625 em que λ representa o número médio de ocorrências naquele intervalo Denotaremos uma va N com distribuição de Poisson de parâmetro λ por N Poisλ Apresentamos na Tabela 614 um resumo das distribuições discretas estudadas neste capítulo Para cada uma temos a fórmula que dá a probabilidade de assumir cada valor os possíveis valores os parâmetros que caracterizam cada distribuição a média e a variância Incluímos também a distribuição geométrica tratada no Problema 55 Tabela 614 Modelos para variáveis discretas Modelo PX x Parâmetros EX VarX Bernoulli px 1p1x x 0 1 p p p1p Binomial n x px 1pnx x 0 n n p np np1p Poisson eλ λx x x 0 1 λ λ λ Geométrica p1px1 x 1 2 p 1p 1pp2 Hipergeométrica N r r x N n a x b N r n n r N n N r N Nn N1 Nn N1 1 a max0 nNr b minr n Problemas 20 Para os exercícios a a e abaixo considere o enunciado Das variáveis abaixo descritas assinale quais são binomiais e para essas dê os respectivos campos de definição e função de probabilidade Quando julgar que a variável não é binomial aponte as razões de sua conclusão a De uma urna com dez bolas brancas e 20 pretas vamos extrair com reposição cinco bolas X é o número de bolas brancas nas cinco extrações b Refaça o problema anterior mas dessa vez as n extrações são sem reposição c Temos cinco urnas com bolas pretas e brancas e vamos extrair uma bola de cada urna Suponha que X seja o número de bolas brancas obtidas no final d Vamos realizar uma pesquisa em dez cidades brasileiras escolhendo ao acaso um habitante de cada uma delas e classificandoo em pró ou contra um certo projeto federal Suponha que X seja o número de indivíduos contra o projeto no final da pesquisa e Em uma indústria existem 100 máquinas que fabricam determinada peça Cada peça é classificada como boa ou defeituosa Escolhemos ao acaso um instante de tempo e verificamos uma peça de cada uma das máquinas Suponha que X seja o número de peças defeituosas 21 Se X bnp sabendose que EX 12 e σ2 3 determinar a n b p c PX 12 d PX 14 e EZ e VarZ em que Z X 12 3 f PY 14 16 em que Y X n g PY 12 16 em que Y X n 22 Numa central telefônica o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson com a média de oito chamadas por minuto Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha a dez ou mais chamadas b menos que nove chamadas c entre sete inclusive e nove exclusive chamadas 23 Num certo tipo de fabricação de fita magnética ocorrem cortes a uma taxa de um por 2000 pés Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 pés de fita magnética tenha a nenhum corte b no máximo dois cortes c pelo menos dois cortes 24 Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 02 Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso qual é a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados 25 Examinaramse 2000 ninhadas de cinco porcos cada uma segundo o número de machos Os dados estão representados na tabela abaixo Nº de Machos Nº de Ninhadas 0 20 1 360 2 700 3 680 4 200 5 40 Total 2000 a Calcule a proporção média de machos b Calcule para cada valor de X o número de ninhadas que você deve esperar se X b5 p em que p é a proporção média de machos calculada em a 26 Se X tem distribuição binomial com parâmetros n 5 e p 12 faça os gráficos da distribuição de X e da fda Fx 27 Considere agora n 5 e p 14 Obtenha o gráfico da distribuição de X Qual a diferença entre esse gráfico e o correspondente do Problema 26 O que ocasionou a diferença 28 Refaça o Problema 26 com n 6 e p 12 67 O Processo de Poisson No Exemplo 617 acima vimos uma aplicação importante da distribuição de Poisson ao problema da desintegração radioativa Lá tratamos da emissão de partículas alfa em intervalos de 75 segundos Ou seja estamos contando o número de ocorrências de um evento ao longo do tempo Na realidade consideramos o que se chama um processo estocástico Designandose por Nt o número de partículas emitidas no intervalo 0 t obteremos o que se chama de processo de Poisson para todo t 0 Nesta seção iremos partir de algumas suposições que consideramos meugurunet Eber Fernandes 20 Uma variável aleatória binomial se caracteriza por repetições sucessivas e independentes de um experimento de Bernoulli assume apenas valores de sucesso ou fracasso possuindo os parâmetros de probabilidade de sucesso de cada experimento e quantidade de repetições a Binomial b Não binomial Ao repetir o experimento do item anterior sem reposição a probabilidade de sucesso muda a cada repetição descaracterizando a variável aleatória binomial c Binomial caso a probabilidade de se retirar uma bola branca seja igual para todas as urnas Caso contrário são eventos independentes com probabilidades de sucesso diferentes descaracterizando a variável binomial d Binomial e Podemos assumir que todas as máquinas têm a mesma probabilidade de produzir uma peça defeituosa portanto a variável X é binomial 21 X b n pE X 12σ 23 a E X np12 σ 2np 1pE X 1p3 1p 3 12 p 9 123 4075 np12 n 12 07516 b p075 c P X12 k0 11 P Xk P Xk n k nk p k 1p nk P X12 16 0 075 0025 16 16 1 075 1025 15 16 10075 10025 6 16 11075 11025 5 P X1203689 d P X 14 1P X13P X12P X12 meugurunet Eber Fernandes P X 14 1 16 13075 13025 3 16 12075 12025 403689 P X 14 01971 e E Z 0 Var Z 1 f Y X n PY 14 16P X 14 01971 g PY 12 161P X1206311 22 λ8 a P X 10 1 k 0 9 P Xk 1 k0 9 e λ λ k k P X 10 1 e 88 0 0 e 88 1 1 e 88 8 8 e 88 9 9 P X 10 02834 b P X9 k0 8 e λ λ k k P X9 1P X 10P X9 P X9 05925 c P 7 X9P X7 P X8 P 7 X9e 88 7 7 e 88 8 8 P 7 X902792 23 meugurunet Eber Fernandes λ1 a P X0e 11 0 0 03679 meugurunet Eber Fernandes b P X 2 P X0 P X1P X2 P X 2 09197 c P X 2 1P X2 P X 2 1P X1P X0 P X 2 02642 24 Distribuição binomial 10 repetições com probabilidade 02 P X 1P X0 P X1 P X 1 10 0 02 008 10 10 1 02 108 9 P X 103758 Distribuição de Poisson esperança de 2 defeituosos P X 1P X0 P X1 P X 1e 22 0 2 e 22 1 1 P X 104060 As duas distribuições deram valores diferentes porém aproximados para a probabilidade desejada 25 a E X Nº demachosNº deninhadas Total deninhadas E X 0201360270036804200540 2000 E X 24machosninhada b P X0 5 0 24 5 0 124 5 5 P X000380 Nninhadas 0macho s00380200076 ninhadas meugurunet Eber Fernandes P X1 5 1 24 5 1 124 5 4 P X1 01755 Nninhadas 1macho017552000351ninhadas P X2 5 2 24 5 2 124 5 3 P X203240 Nninhadas 2machos032402000648ninhadas P X3 5 3 24 5 3 124 5 2 P X3 02990 Nninhadas 3machos 029902000598ninhadas P X4 5 4 24 5 4 124 5 1 P X4 01380 Nninhadas 4machos013802000276ninhadas P X5 5 5 24 5 5 124 5 0 P X5 00255 Nninhadas 5machos 00255200051ninhadas 26 P X0 5 005 005 5 P X000312 P X1 01562 P X203125 P X3 03125 P X4 01562 P X5 00312 meugurunet Eber Fernandes P X 000312 P X 101875 P X 2 05000 P X 3 08125 P X 4 09688 P X 5 1000 0 1 2 3 4 5 k 0 005 01 015 02 025 03 035 P PXk 0 1 2 3 4 5 k 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 P PXk 27 P X0 5 0025 0075 5 P X002373 meugurunet Eber Fernandes P X1 03955 P X202637 P X3 00879 P X4 00146 P X5 00010 P X 002373 P X 106328 P X 2 08965 P X 3 09844 P X 4 0990 P X 5 1000 0 1 2 3 4 5 k 0 005 01 015 02 025 03 035 04 P PXk 0 1 2 3 4 5 k 02 03 04 05 06 07 08 09 1 P PXk meugurunet Eber Fernandes Em comparação com o gráfico da questão anterior o da distribuição de probabilidade está menos simétrico e mais próximo do lado do zero Já a distribuição acumulada cresce de maneira mais rápida Isso ocorre porque com a redução da probabilidade a quantidade de sucessos esperada diminui 26 P X0 6 005 005 6 P X000156 P X1 00938 P X202344 P X3 03125 P X4 02344 P X5 00938 P X600156 P X 000156 P X 101094 P X 2 03438 P X 3 06562 P X 4 08906 P X 5 09844 P X 6 10000 0 1 2 3 4 5 6 k 0 005 01 015 02 025 03 035 P PXk meugurunet Eber Fernandes 0 1 2 3 4 5 6 k 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 P PXk
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
Por outro lado se quisermos a probabilidade de obter no máximo duas chamadas em quatro minutos teremos λ 20 chamadas em quatro minutos logo PN 2 PN 0 PN 1 PN 2 e20 1 20 200 221e20 que é um número muito próximo de zero Esse exemplo nos mostra que a probabilidade de k ocorrências num intervalo fixo de comprimento t pode ser escrita como PN k eλ λk k k 012 625 em que λ representa o número médio de ocorrências naquele intervalo Denotaremos uma va N com distribuição de Poisson de parâmetro λ por N Poisλ Apresentamos na Tabela 614 um resumo das distribuições discretas estudadas neste capítulo Para cada uma temos a fórmula que dá a probabilidade de assumir cada valor os possíveis valores os parâmetros que caracterizam cada distribuição a média e a variância Incluímos também a distribuição geométrica tratada no Problema 55 Tabela 614 Modelos para variáveis discretas Modelo PX x Parâmetros EX VarX Bernoulli px 1p1x x 0 1 p p p1p Binomial n x px 1pnx x 0 n n p np np1p Poisson eλ λx x x 0 1 λ λ λ Geométrica p1px1 x 1 2 p 1p 1pp2 Hipergeométrica N r r x N n a x b N r n n r N n N r N Nn N1 Nn N1 1 a max0 nNr b minr n Problemas 20 Para os exercícios a a e abaixo considere o enunciado Das variáveis abaixo descritas assinale quais são binomiais e para essas dê os respectivos campos de definição e função de probabilidade Quando julgar que a variável não é binomial aponte as razões de sua conclusão a De uma urna com dez bolas brancas e 20 pretas vamos extrair com reposição cinco bolas X é o número de bolas brancas nas cinco extrações b Refaça o problema anterior mas dessa vez as n extrações são sem reposição c Temos cinco urnas com bolas pretas e brancas e vamos extrair uma bola de cada urna Suponha que X seja o número de bolas brancas obtidas no final d Vamos realizar uma pesquisa em dez cidades brasileiras escolhendo ao acaso um habitante de cada uma delas e classificandoo em pró ou contra um certo projeto federal Suponha que X seja o número de indivíduos contra o projeto no final da pesquisa e Em uma indústria existem 100 máquinas que fabricam determinada peça Cada peça é classificada como boa ou defeituosa Escolhemos ao acaso um instante de tempo e verificamos uma peça de cada uma das máquinas Suponha que X seja o número de peças defeituosas 21 Se X bnp sabendose que EX 12 e σ2 3 determinar a n b p c PX 12 d PX 14 e EZ e VarZ em que Z X 12 3 f PY 14 16 em que Y X n g PY 12 16 em que Y X n 22 Numa central telefônica o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson com a média de oito chamadas por minuto Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha a dez ou mais chamadas b menos que nove chamadas c entre sete inclusive e nove exclusive chamadas 23 Num certo tipo de fabricação de fita magnética ocorrem cortes a uma taxa de um por 2000 pés Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 pés de fita magnética tenha a nenhum corte b no máximo dois cortes c pelo menos dois cortes 24 Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 02 Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso qual é a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados 25 Examinaramse 2000 ninhadas de cinco porcos cada uma segundo o número de machos Os dados estão representados na tabela abaixo Nº de Machos Nº de Ninhadas 0 20 1 360 2 700 3 680 4 200 5 40 Total 2000 a Calcule a proporção média de machos b Calcule para cada valor de X o número de ninhadas que você deve esperar se X b5 p em que p é a proporção média de machos calculada em a 26 Se X tem distribuição binomial com parâmetros n 5 e p 12 faça os gráficos da distribuição de X e da fda Fx 27 Considere agora n 5 e p 14 Obtenha o gráfico da distribuição de X Qual a diferença entre esse gráfico e o correspondente do Problema 26 O que ocasionou a diferença 28 Refaça o Problema 26 com n 6 e p 12 67 O Processo de Poisson No Exemplo 617 acima vimos uma aplicação importante da distribuição de Poisson ao problema da desintegração radioativa Lá tratamos da emissão de partículas alfa em intervalos de 75 segundos Ou seja estamos contando o número de ocorrências de um evento ao longo do tempo Na realidade consideramos o que se chama um processo estocástico Designandose por Nt o número de partículas emitidas no intervalo 0 t obteremos o que se chama de processo de Poisson para todo t 0 Nesta seção iremos partir de algumas suposições que consideramos meugurunet Eber Fernandes 20 Uma variável aleatória binomial se caracteriza por repetições sucessivas e independentes de um experimento de Bernoulli assume apenas valores de sucesso ou fracasso possuindo os parâmetros de probabilidade de sucesso de cada experimento e quantidade de repetições a Binomial b Não binomial Ao repetir o experimento do item anterior sem reposição a probabilidade de sucesso muda a cada repetição descaracterizando a variável aleatória binomial c Binomial caso a probabilidade de se retirar uma bola branca seja igual para todas as urnas Caso contrário são eventos independentes com probabilidades de sucesso diferentes descaracterizando a variável binomial d Binomial e Podemos assumir que todas as máquinas têm a mesma probabilidade de produzir uma peça defeituosa portanto a variável X é binomial 21 X b n pE X 12σ 23 a E X np12 σ 2np 1pE X 1p3 1p 3 12 p 9 123 4075 np12 n 12 07516 b p075 c P X12 k0 11 P Xk P Xk n k nk p k 1p nk P X12 16 0 075 0025 16 16 1 075 1025 15 16 10075 10025 6 16 11075 11025 5 P X1203689 d P X 14 1P X13P X12P X12 meugurunet Eber Fernandes P X 14 1 16 13075 13025 3 16 12075 12025 403689 P X 14 01971 e E Z 0 Var Z 1 f Y X n PY 14 16P X 14 01971 g PY 12 161P X1206311 22 λ8 a P X 10 1 k 0 9 P Xk 1 k0 9 e λ λ k k P X 10 1 e 88 0 0 e 88 1 1 e 88 8 8 e 88 9 9 P X 10 02834 b P X9 k0 8 e λ λ k k P X9 1P X 10P X9 P X9 05925 c P 7 X9P X7 P X8 P 7 X9e 88 7 7 e 88 8 8 P 7 X902792 23 meugurunet Eber Fernandes λ1 a P X0e 11 0 0 03679 meugurunet Eber Fernandes b P X 2 P X0 P X1P X2 P X 2 09197 c P X 2 1P X2 P X 2 1P X1P X0 P X 2 02642 24 Distribuição binomial 10 repetições com probabilidade 02 P X 1P X0 P X1 P X 1 10 0 02 008 10 10 1 02 108 9 P X 103758 Distribuição de Poisson esperança de 2 defeituosos P X 1P X0 P X1 P X 1e 22 0 2 e 22 1 1 P X 104060 As duas distribuições deram valores diferentes porém aproximados para a probabilidade desejada 25 a E X Nº demachosNº deninhadas Total deninhadas E X 0201360270036804200540 2000 E X 24machosninhada b P X0 5 0 24 5 0 124 5 5 P X000380 Nninhadas 0macho s00380200076 ninhadas meugurunet Eber Fernandes P X1 5 1 24 5 1 124 5 4 P X1 01755 Nninhadas 1macho017552000351ninhadas P X2 5 2 24 5 2 124 5 3 P X203240 Nninhadas 2machos032402000648ninhadas P X3 5 3 24 5 3 124 5 2 P X3 02990 Nninhadas 3machos 029902000598ninhadas P X4 5 4 24 5 4 124 5 1 P X4 01380 Nninhadas 4machos013802000276ninhadas P X5 5 5 24 5 5 124 5 0 P X5 00255 Nninhadas 5machos 00255200051ninhadas 26 P X0 5 005 005 5 P X000312 P X1 01562 P X203125 P X3 03125 P X4 01562 P X5 00312 meugurunet Eber Fernandes P X 000312 P X 101875 P X 2 05000 P X 3 08125 P X 4 09688 P X 5 1000 0 1 2 3 4 5 k 0 005 01 015 02 025 03 035 P PXk 0 1 2 3 4 5 k 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 P PXk 27 P X0 5 0025 0075 5 P X002373 meugurunet Eber Fernandes P X1 03955 P X202637 P X3 00879 P X4 00146 P X5 00010 P X 002373 P X 106328 P X 2 08965 P X 3 09844 P X 4 0990 P X 5 1000 0 1 2 3 4 5 k 0 005 01 015 02 025 03 035 04 P PXk 0 1 2 3 4 5 k 02 03 04 05 06 07 08 09 1 P PXk meugurunet Eber Fernandes Em comparação com o gráfico da questão anterior o da distribuição de probabilidade está menos simétrico e mais próximo do lado do zero Já a distribuição acumulada cresce de maneira mais rápida Isso ocorre porque com a redução da probabilidade a quantidade de sucessos esperada diminui 26 P X0 6 005 005 6 P X000156 P X1 00938 P X202344 P X3 03125 P X4 02344 P X5 00938 P X600156 P X 000156 P X 101094 P X 2 03438 P X 3 06562 P X 4 08906 P X 5 09844 P X 6 10000 0 1 2 3 4 5 6 k 0 005 01 015 02 025 03 035 P PXk meugurunet Eber Fernandes 0 1 2 3 4 5 6 k 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 P PXk