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Engenharia Elétrica ·
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Aula a distˆancia de Geometria Analıtica SISTEMAS LINEARES Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Vamos comecar um exemplo Para isso considere a tabela nutricional baixo dos seguintes alimentos arroz feijao in natura peito de frango suco de laranja adocado pao francˆes e margarina sem sal VDR Valores Diarios de Referˆencia arroz feijao frango suco pao margar VDR 50g 30g 80g 200ml 50g 50g Energkcal 190 100 150 120 130 45 2000 Carbog 37 16 8 30 28 0 300 Proteınag 3 7 13 1 4 0 75 Gord Totalg 0 0 6 0 15 5 55 Queremos montar uma dieta com os alimentos acima de modo que os valores diarios de referˆencia VDR sejam satisfeitas Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Vamos chamar x1 quantidade de porcoes de 50g de arroz x2 quantidade de porcoes de 30g de feijao x3 quantidade de porcoes de 80g de frango x4 quantidade de porcoes de 200ml de suco x5 quantidade de porcoes de 50g de pao x6 quantidade de porcoes de 50g de margarina Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Assim Para satisfazer so a Energia Kcal 190x1 100x2 150x3 120x4 130x5 45x6 2000 Para satisfazer somente o carboidrato g 37x1 16x2 8x3 30x4 28x5 0x6 300 Para satisfazer somente a Proteına g 3x1 7x2 13x3 1x4 4x5 0x6 75 Para satisfazer somente as Gorduras Totais g 0x1 0x2 6x3 0x4 1 5x5 5x6 55 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Cada uma destas 4 equacoes e denominada de Equacao Linear Entao como queremos satisfazer os VDR para os 4 componentes energia carboidrato etc precisamos encontrar x1 x2 x3 x4 x5 e x6 de modo que as 4 equacoes sejam satisfeitas simultaneamente isto e precisamos resolver 190x1 100x2 150x3 120x4 130x5 45x6 2000 37x1 16x2 8x3 30x4 28x5 0x6 300 3x1 7x2 13x3 1x4 4x5 0x6 75 0x1 0x2 6x3 0x4 1 5x5 5x6 55 Chamamos este problema matematico de sistema linear Note que depende dos coeficientes 190 100 150 etc Tambem apos a igualdade temos os VDR que chamamos de maneira geral de lado direito do sistema Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Agora que vimos que varios problemas da vida real podem ser colocados como o problema anterior vamos definir sistemas lineares de maneira geral Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Sistemas de Equacoes Lineares Definicao Definicao Sejam aij R i 1 m e j 1 n e bi i 1 constantes Um sistema da forma a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm 1 e chamado de sistema de equacoes lineares de ordem m n com m equacoes e n incognitas Os numeros aij R i 1 m e j 1 n sao chamados de coeficientes do sistema linear Por outro lado b1 b2 bm R sao chamados de lado direito do sistema linear Finalmente x1 x2 xn sao chamadas de incognitas ou variaveis do sistema Aula a distˆancia de Geometria Analıtica O Conjunto Solucao Definicao O conjunto formado por todas as solucao de um sistema linear sera chamado de Conjunto Solucao e denotado por S Note que o Conjunto Solucao de um sistema linear pode ser vazio nao ter solucao ou ter solucao Neste ultimo caso pode ter uma unica solucao ou ter infinitas solucoes Mais a frente daremos nomes especiais para cada caso Sistema Impossıvel ou Sistema Possıvel Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Forma Matricial de um Sistema Linear Note que o sistema de equacoes 1 pode ser escrito na forma matricial a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn x1 x2 xn b1 b2 bm ou ainda AX B 2 com X x1 x2 xn A a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn e B b1 b2 bm Exemplo Aula a distancia de eae Exemplo Xy 2x 1 2x xo 0 Xp xX21 Forma matricial 1 2 1 A2 1 x 2 e B 0 1 1 2 1 assim AX B Interpretacao Geométrica no Plano oe Considere o seguinte sistema Geometria Analitica a11X aj2Y by 1 ao1x any bo 2 Cada Equacao é uma reta no plano coordenado Geometricamente temos as seguintes possibilidades Y Y Y E é B é x x xX a EnéP b er é cee Outra interpretacdao Combinacao Linear de Vetores orn O sistema eae x 2y 5 3xy5 pode ser escrito da forma el t4y28 3 7 is 5 y 5s ea es i 4 we fi 3 a Zz e 1 es i oat 5 x Matrizes Equivalentes NEE 4 tata Definicao oman Duas matrizes A e A sao ditas matrizes equivalentes se uma delas digamos A é obtida ao fazermos operacdes elementares na outra digamos A 1 2 1 4 Exemplo A 0 O 2 1 é equivalente a 1 2 1 4 1214 A 0 0 2 1 que por sua vez é equivalente a 000 0 121 4 A 0 0 1 12 fizemos e depois 000 0 Posto e Nulidade de uma Matriz Aula a Pome COU an Dada uma matriz A de ordem m x n 0 posto da matriz denotado por pA é dado pelo numeros de linhas nao nulas de uma matriz A equivalente a A que esta na forma escalonada Definiao Dada uma matriz A R a nulidade da matriz denotada por nulA é dada por nulA n de colunas pA 1 2 Exemplo A 2 4 temos que pA 1 pois é 1 2 1 2 equivalentea A 0 O Agora nuA 211 0 0 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Exemplo Seja A R45 uma matriz que e equivalente a A 1 1 2 0 1 0 0 2 1 3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 Entao pA 3 e nulA 5 3 2 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Posto e Nulidade observacoes Propriedades a Se A e m n entao pA e o numero de pivˆos de uma matriz escalonada equivalente a A e nulA n num de pivˆos b pA minm n Conclusao Para achar pA basta contar o numero de linhas nao nulas de uma matriz escalonada equivalente a A Exemplo Se A e tal que apos algumas operacoes elementares obtemos a matriz A 2 0 1 0 0 0 0 3 3 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Entao pA 3 e nulA 2 Posto e Nulidade de uma Matriz an Responda rapido A é equivalente a A onde reais 1 2 3 3 1 0 0 0 2 0 A 0000 0 pA nulA 0 0 0 0 0 10000 00100 A 00010 pA nulA 7 000 01 1 2 1 0 21 1 1 Encontre o posto e nulidade de A 1302 4 05 3 1 Solucao NEE distancia de ea PVE infer 1 2 1 0 1 2 1 0 A 2 l1 1 1 be bh2h 0 5 3 1 7 1 3 2 1 khekk 0 5 3 1 05 3 1 05 3 1 3 b b Fa ly ly b A Logo numero de linhas n3onulas de A e nim coluna postoA Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Matrizes Equivalentes e posto Propriedade Matrizes equivalentes possuem o mesmo posto Propriedade A Rnn quadrada e inversıvel se e somente se pA n isto e A e equivalente a matriz identidade I Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Resolvendo sistemas lineares Vamos agora estudar como podemos resolver sistemas lineares arbitrarios Para isso vamos definir a matriz aumentada Definicao Dado um sistema AX B com A m n e B Rm1 definimos a matriz aumentadaampliada do sistema por Au A B de ordem m n 1 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Matrizes Equivalentes Definicao Dado um sistema AX B com A m n definimos a matriz aumentadaampliada do sistema por Au A B de ordem m n 1 Exemplo x 2y z t 1 2z 2t 2 x 2y z 2t 1 tem matriz aumentada Au 1 2 1 1 1 0 0 2 2 2 1 2 1 2 1 Sistemas Equivalentes Aula a feleTiter co reaps Definiao Dois sistemas AX B e AX B so ditos equivalentes se as matrizes aumentadas dos mesmos Ay A B e Au A B sao matrizes equivalentes Exemplo Os sistemas x2yzt1 x2yzt1 2z2t2 e zt1 x2yz2t1 t0 sao equivalentes Aula a distancia de leering ey Analitica O primeiro sistema tem matriz aumentada 1 2 1 1 Au 0 O 2 2 o outro tem matriz 1 2 1 2 12 1 1 aumentada A 0011 000 1 Note que A pode ser obtida fazendo e na matriz A Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Sistemas Equivalentes Propriedade Sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto solucao Exemplo Como ja vimos os dois sistemas abaixo sao equivalente Logo podemos escolher qualquer deles para encontrar a solucao x 2y z t 1 2z 2t 2 x 2y z 2t 1 e x 2y z t 1 z t 1 t 0 O primeiro e um pouco complicado Ja o segundo e facil t 0 z 1 e entao x 2y com y R Assim o conjunto solucao e S x y 1 0 x 2y y R 2y y 1 0 y R Aula a distˆancia de Geometria Analıtica A Eliminacao Gaussiana Metodo de Gauss Assim temos um procedimento para SIMPLIFICAR um sistema linear e portanto facilitar sua resolucao conhecida como Eliminacao Gaussiana Ideia da Eliminacao Gaussiana Dado um sistema AX B aplicar operacoes elementares em A B e obter A B escalonada Entao em vez de AX B resolvemos AX B que e mais simples pois esta escalonado Exemplo Resolva x 2y 3z 2s 4t 1 2x 5y 8z s 6t 4 x 4y 7z 5s 2t 8 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Solucao A matriz aumentada do sistema e Au 1 2 3 2 4 1 2 5 8 1 6 4 1 4 7 5 2 8 l2 l2 2l1 l3 l3 l1 1 2 3 2 4 1 0 1 2 3 2 2 0 2 4 9 2 7 l3 l3 2l2 1 2 3 2 4 1 0 1 2 3 2 2 0 0 0 2 2 3 resolvemos o sistema abaixo indo de baixo para cima Faremos s em funcao de t ou t em funcao de s x 2y 3z 2s 4t 1 y 2z 3s 2t 2 2s 2t 3 Daı resulta Proxima pagina ra Neste caso em particular precisamos deixar umas variaveis em reaps funcdo das outras s32t y 2z3542t42 2z3 32 t2t2 274 5t52 S Ss xX 2y3z2s5s4t41 22z 4 5t 52 3z232t4t19z12t e y Ss Entao temos a solucao geral Cada escolha de z e t temos uma solucao diferente Neste caso em particular o sistema admite infinitas solucdes Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Observacoes i Veja que x y e s ficaram em funcao de z e t Neste caso chamamos z e t de VARiAVEIS LIVRES VL e x y e s de VARIAVEIS BASICAS VB ii O numero de varıaveis livres e exatamente a nulidade da matriz do sistema linear num colunas postoA iii Outras escolhas para varaveis livres e basicas tambem seriam possıveis por exemplo no inıcio da resolucao poderıamos ter escolhido deixar t em funcao de s No entanto ha exemplos onde algumas variaveis tˆem necessariamente que ser basicas Para nao errar nas escolhas de quem serao VB use a seguinte regra Escolha como variaveis basicas aquelas que vˆem com os PIVˆOS e entao as demais sao variaveis livres ee No exemplo anterior o sistema admitiu infinitas solucdes Seale Entretanto existem casos onde sistemas nao tem soluao ou tem dnica solugao Por exemplo suponha que ao aplicar operacdes em um sistema linear AX B temos a matriz aumentada 12 2 4 a 0 2 1 0 00 0 0 12 4 b 02 1 00 2 No caso a temos 0 1 0 que é absurdo Logo nao admite solugado Ja no caso b podemos comegar a resolver de baixo para cima o sistema e temos ou seja a solucdo 6 unica Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Caracterizacao dos Sistemas Lineares Veremos agora como classificamos sistemas lineares de acordo com o seu conjunto solucao Como vimos anteriormente todos os casos dependem dos postos da matriz aumentada postoAu e de postoA Seja o sistema linear de m equacoes com n incognitas da forma AX B O sistema linear pode ser a Impossıvel se nao possui solucao pAu pA b Possıvel se possui solucao Neste caso pAu pA i Determinado quando a solucao e unica Neste caso pA n ii Indeterminado quando ha infinitas solucoes Neste caso pA n Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Caracterizacao dos Sistemas Lineares Exemplo Considere o sistema AX B onde A 1 2 3 1 2 0 0 2 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 45 B 2 1 1 z 41 Para qual valor de z o sistema e possıvel e impossıvel Pode ser determinado Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Graus de Liberdade Definicao Considere um sistema indeterminado AX B com A de ordem m n O numero de graus de liberdade do sistema e g n pA 0 que e o numero de variaveis livres Exemplo A 1 2 1 3 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 B 1 0 1 0 e X x1 x2 x3 x4 x5 entao g e as variaveis livres sao Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Resumindo o Metodo de Gauss Em resumo o Metodo de Gauss para sistemas lineares consiste em escalonar a matriz aumentada do sistema depois escolher variaveis livres e basicas e a partir delas encontramos as outras variaveis Exercıcio Encontre o posto nulidade graus de liberdade e o conjunto de solucoes para o sistema x 2y 3z 2s 4t 1 2x 5y 8z s 6t 4 x 4y 7z 5s 2t 8 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Comecamos escalonando a matriz aumentada 1 2 3 2 4 1 2 5 8 1 6 4 1 4 7 5 2 8 l2 l2 2l1 l3 l3 l1 1 2 3 2 4 1 0 1 2 3 2 2 0 2 4 7 2 7 l3 l3 2l2 1 2 3 2 4 1 0 1 2 3 2 2 0 0 0 1 2 3 As 5 primeiras colunas dizem respeito as colunas da matriz A Daqui ja podemos concluir que postoA 3 nulA 5 3 2 e grau de liberdade g nulA 2 ae Vamos achar agora o conjunto soludo Para isso vamos zai primeiro escolher as para serem aquelas que vem com os pivds em vermelho es Logo ze t sdoa variaveis livres Entao deixamos as variaveis basicas em funcdo das livres 2y 3z 2s 44t 1 2z 43s 2t 2 4 42t 3 s32t y 24 2z33 2t2t 7 2z 8t S Ss x 1274 2z4 8t3z23 2t 4t 21z 24t Es SS y s onde zt ER Sistemas Homogéneos Aula a distancia de Geometria Analitica ow Definiao Um sistema linear é dito Homogéneo se é da forma AX 0 isto é o lado direito B0 Notacao SLp Observacgdo Ao aplicar operagées elementares no sistema aumentado A 0 a ultima coluna vai ser sempre 0 ou seja teremos A 0 Por isso podemos aplicar operagdes elementares em A obtendo A escalonada e resolver AX 0 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Sistemas Homogˆeneos Propriedade Em um sistema AX B a solucao geral e X Xp Xh onde Xp e uma solucao particular do sistema por exemplo fazendo as variaveis livres zero e Xh e a solucao geral do sistema homogˆeneo AX 0 Exercıcio Encontre o conjunto de solucoes para o sistema homogˆeneo x 2y 3z 2s 4t 0 2x 5y 8z s 6t 0 x 4y 7z 5s 2t 0 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Note que ja resolvemos anteriormente este sistema com lado direito B diferente de zero Assim basta notar que uma solucao particular do sistema anterior e fazendo as variaveis livres z e t nulas z t 0 Neste caso temos Xp 21 7 0 3 0 Assim a solucao do sistema homogˆeneo e s 2t y 2z 8t x z 24t onde z t R
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Aula a distˆancia de Geometria Analıtica SISTEMAS LINEARES Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Vamos comecar um exemplo Para isso considere a tabela nutricional baixo dos seguintes alimentos arroz feijao in natura peito de frango suco de laranja adocado pao francˆes e margarina sem sal VDR Valores Diarios de Referˆencia arroz feijao frango suco pao margar VDR 50g 30g 80g 200ml 50g 50g Energkcal 190 100 150 120 130 45 2000 Carbog 37 16 8 30 28 0 300 Proteınag 3 7 13 1 4 0 75 Gord Totalg 0 0 6 0 15 5 55 Queremos montar uma dieta com os alimentos acima de modo que os valores diarios de referˆencia VDR sejam satisfeitas Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Vamos chamar x1 quantidade de porcoes de 50g de arroz x2 quantidade de porcoes de 30g de feijao x3 quantidade de porcoes de 80g de frango x4 quantidade de porcoes de 200ml de suco x5 quantidade de porcoes de 50g de pao x6 quantidade de porcoes de 50g de margarina Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Assim Para satisfazer so a Energia Kcal 190x1 100x2 150x3 120x4 130x5 45x6 2000 Para satisfazer somente o carboidrato g 37x1 16x2 8x3 30x4 28x5 0x6 300 Para satisfazer somente a Proteına g 3x1 7x2 13x3 1x4 4x5 0x6 75 Para satisfazer somente as Gorduras Totais g 0x1 0x2 6x3 0x4 1 5x5 5x6 55 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Cada uma destas 4 equacoes e denominada de Equacao Linear Entao como queremos satisfazer os VDR para os 4 componentes energia carboidrato etc precisamos encontrar x1 x2 x3 x4 x5 e x6 de modo que as 4 equacoes sejam satisfeitas simultaneamente isto e precisamos resolver 190x1 100x2 150x3 120x4 130x5 45x6 2000 37x1 16x2 8x3 30x4 28x5 0x6 300 3x1 7x2 13x3 1x4 4x5 0x6 75 0x1 0x2 6x3 0x4 1 5x5 5x6 55 Chamamos este problema matematico de sistema linear Note que depende dos coeficientes 190 100 150 etc Tambem apos a igualdade temos os VDR que chamamos de maneira geral de lado direito do sistema Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Agora que vimos que varios problemas da vida real podem ser colocados como o problema anterior vamos definir sistemas lineares de maneira geral Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Sistemas de Equacoes Lineares Definicao Definicao Sejam aij R i 1 m e j 1 n e bi i 1 constantes Um sistema da forma a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm 1 e chamado de sistema de equacoes lineares de ordem m n com m equacoes e n incognitas Os numeros aij R i 1 m e j 1 n sao chamados de coeficientes do sistema linear Por outro lado b1 b2 bm R sao chamados de lado direito do sistema linear Finalmente x1 x2 xn sao chamadas de incognitas ou variaveis do sistema Aula a distˆancia de Geometria Analıtica O Conjunto Solucao Definicao O conjunto formado por todas as solucao de um sistema linear sera chamado de Conjunto Solucao e denotado por S Note que o Conjunto Solucao de um sistema linear pode ser vazio nao ter solucao ou ter solucao Neste ultimo caso pode ter uma unica solucao ou ter infinitas solucoes Mais a frente daremos nomes especiais para cada caso Sistema Impossıvel ou Sistema Possıvel Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Forma Matricial de um Sistema Linear Note que o sistema de equacoes 1 pode ser escrito na forma matricial a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn x1 x2 xn b1 b2 bm ou ainda AX B 2 com X x1 x2 xn A a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn e B b1 b2 bm Exemplo Aula a distancia de eae Exemplo Xy 2x 1 2x xo 0 Xp xX21 Forma matricial 1 2 1 A2 1 x 2 e B 0 1 1 2 1 assim AX B Interpretacao Geométrica no Plano oe Considere o seguinte sistema Geometria Analitica a11X aj2Y by 1 ao1x any bo 2 Cada Equacao é uma reta no plano coordenado Geometricamente temos as seguintes possibilidades Y Y Y E é B é x x xX a EnéP b er é cee Outra interpretacdao Combinacao Linear de Vetores orn O sistema eae x 2y 5 3xy5 pode ser escrito da forma el t4y28 3 7 is 5 y 5s ea es i 4 we fi 3 a Zz e 1 es i oat 5 x Matrizes Equivalentes NEE 4 tata Definicao oman Duas matrizes A e A sao ditas matrizes equivalentes se uma delas digamos A é obtida ao fazermos operacdes elementares na outra digamos A 1 2 1 4 Exemplo A 0 O 2 1 é equivalente a 1 2 1 4 1214 A 0 0 2 1 que por sua vez é equivalente a 000 0 121 4 A 0 0 1 12 fizemos e depois 000 0 Posto e Nulidade de uma Matriz Aula a Pome COU an Dada uma matriz A de ordem m x n 0 posto da matriz denotado por pA é dado pelo numeros de linhas nao nulas de uma matriz A equivalente a A que esta na forma escalonada Definiao Dada uma matriz A R a nulidade da matriz denotada por nulA é dada por nulA n de colunas pA 1 2 Exemplo A 2 4 temos que pA 1 pois é 1 2 1 2 equivalentea A 0 O Agora nuA 211 0 0 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Exemplo Seja A R45 uma matriz que e equivalente a A 1 1 2 0 1 0 0 2 1 3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 Entao pA 3 e nulA 5 3 2 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Posto e Nulidade observacoes Propriedades a Se A e m n entao pA e o numero de pivˆos de uma matriz escalonada equivalente a A e nulA n num de pivˆos b pA minm n Conclusao Para achar pA basta contar o numero de linhas nao nulas de uma matriz escalonada equivalente a A Exemplo Se A e tal que apos algumas operacoes elementares obtemos a matriz A 2 0 1 0 0 0 0 3 3 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Entao pA 3 e nulA 2 Posto e Nulidade de uma Matriz an Responda rapido A é equivalente a A onde reais 1 2 3 3 1 0 0 0 2 0 A 0000 0 pA nulA 0 0 0 0 0 10000 00100 A 00010 pA nulA 7 000 01 1 2 1 0 21 1 1 Encontre o posto e nulidade de A 1302 4 05 3 1 Solucao NEE distancia de ea PVE infer 1 2 1 0 1 2 1 0 A 2 l1 1 1 be bh2h 0 5 3 1 7 1 3 2 1 khekk 0 5 3 1 05 3 1 05 3 1 3 b b Fa ly ly b A Logo numero de linhas n3onulas de A e nim coluna postoA Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Matrizes Equivalentes e posto Propriedade Matrizes equivalentes possuem o mesmo posto Propriedade A Rnn quadrada e inversıvel se e somente se pA n isto e A e equivalente a matriz identidade I Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Resolvendo sistemas lineares Vamos agora estudar como podemos resolver sistemas lineares arbitrarios Para isso vamos definir a matriz aumentada Definicao Dado um sistema AX B com A m n e B Rm1 definimos a matriz aumentadaampliada do sistema por Au A B de ordem m n 1 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Matrizes Equivalentes Definicao Dado um sistema AX B com A m n definimos a matriz aumentadaampliada do sistema por Au A B de ordem m n 1 Exemplo x 2y z t 1 2z 2t 2 x 2y z 2t 1 tem matriz aumentada Au 1 2 1 1 1 0 0 2 2 2 1 2 1 2 1 Sistemas Equivalentes Aula a feleTiter co reaps Definiao Dois sistemas AX B e AX B so ditos equivalentes se as matrizes aumentadas dos mesmos Ay A B e Au A B sao matrizes equivalentes Exemplo Os sistemas x2yzt1 x2yzt1 2z2t2 e zt1 x2yz2t1 t0 sao equivalentes Aula a distancia de leering ey Analitica O primeiro sistema tem matriz aumentada 1 2 1 1 Au 0 O 2 2 o outro tem matriz 1 2 1 2 12 1 1 aumentada A 0011 000 1 Note que A pode ser obtida fazendo e na matriz A Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Sistemas Equivalentes Propriedade Sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto solucao Exemplo Como ja vimos os dois sistemas abaixo sao equivalente Logo podemos escolher qualquer deles para encontrar a solucao x 2y z t 1 2z 2t 2 x 2y z 2t 1 e x 2y z t 1 z t 1 t 0 O primeiro e um pouco complicado Ja o segundo e facil t 0 z 1 e entao x 2y com y R Assim o conjunto solucao e S x y 1 0 x 2y y R 2y y 1 0 y R Aula a distˆancia de Geometria Analıtica A Eliminacao Gaussiana Metodo de Gauss Assim temos um procedimento para SIMPLIFICAR um sistema linear e portanto facilitar sua resolucao conhecida como Eliminacao Gaussiana Ideia da Eliminacao Gaussiana Dado um sistema AX B aplicar operacoes elementares em A B e obter A B escalonada Entao em vez de AX B resolvemos AX B que e mais simples pois esta escalonado Exemplo Resolva x 2y 3z 2s 4t 1 2x 5y 8z s 6t 4 x 4y 7z 5s 2t 8 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Solucao A matriz aumentada do sistema e Au 1 2 3 2 4 1 2 5 8 1 6 4 1 4 7 5 2 8 l2 l2 2l1 l3 l3 l1 1 2 3 2 4 1 0 1 2 3 2 2 0 2 4 9 2 7 l3 l3 2l2 1 2 3 2 4 1 0 1 2 3 2 2 0 0 0 2 2 3 resolvemos o sistema abaixo indo de baixo para cima Faremos s em funcao de t ou t em funcao de s x 2y 3z 2s 4t 1 y 2z 3s 2t 2 2s 2t 3 Daı resulta Proxima pagina ra Neste caso em particular precisamos deixar umas variaveis em reaps funcdo das outras s32t y 2z3542t42 2z3 32 t2t2 274 5t52 S Ss xX 2y3z2s5s4t41 22z 4 5t 52 3z232t4t19z12t e y Ss Entao temos a solucao geral Cada escolha de z e t temos uma solucao diferente Neste caso em particular o sistema admite infinitas solucdes Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Observacoes i Veja que x y e s ficaram em funcao de z e t Neste caso chamamos z e t de VARiAVEIS LIVRES VL e x y e s de VARIAVEIS BASICAS VB ii O numero de varıaveis livres e exatamente a nulidade da matriz do sistema linear num colunas postoA iii Outras escolhas para varaveis livres e basicas tambem seriam possıveis por exemplo no inıcio da resolucao poderıamos ter escolhido deixar t em funcao de s No entanto ha exemplos onde algumas variaveis tˆem necessariamente que ser basicas Para nao errar nas escolhas de quem serao VB use a seguinte regra Escolha como variaveis basicas aquelas que vˆem com os PIVˆOS e entao as demais sao variaveis livres ee No exemplo anterior o sistema admitiu infinitas solucdes Seale Entretanto existem casos onde sistemas nao tem soluao ou tem dnica solugao Por exemplo suponha que ao aplicar operacdes em um sistema linear AX B temos a matriz aumentada 12 2 4 a 0 2 1 0 00 0 0 12 4 b 02 1 00 2 No caso a temos 0 1 0 que é absurdo Logo nao admite solugado Ja no caso b podemos comegar a resolver de baixo para cima o sistema e temos ou seja a solucdo 6 unica Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Caracterizacao dos Sistemas Lineares Veremos agora como classificamos sistemas lineares de acordo com o seu conjunto solucao Como vimos anteriormente todos os casos dependem dos postos da matriz aumentada postoAu e de postoA Seja o sistema linear de m equacoes com n incognitas da forma AX B O sistema linear pode ser a Impossıvel se nao possui solucao pAu pA b Possıvel se possui solucao Neste caso pAu pA i Determinado quando a solucao e unica Neste caso pA n ii Indeterminado quando ha infinitas solucoes Neste caso pA n Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Caracterizacao dos Sistemas Lineares Exemplo Considere o sistema AX B onde A 1 2 3 1 2 0 0 2 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 45 B 2 1 1 z 41 Para qual valor de z o sistema e possıvel e impossıvel Pode ser determinado Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Graus de Liberdade Definicao Considere um sistema indeterminado AX B com A de ordem m n O numero de graus de liberdade do sistema e g n pA 0 que e o numero de variaveis livres Exemplo A 1 2 1 3 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 B 1 0 1 0 e X x1 x2 x3 x4 x5 entao g e as variaveis livres sao Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Resumindo o Metodo de Gauss Em resumo o Metodo de Gauss para sistemas lineares consiste em escalonar a matriz aumentada do sistema depois escolher variaveis livres e basicas e a partir delas encontramos as outras variaveis Exercıcio Encontre o posto nulidade graus de liberdade e o conjunto de solucoes para o sistema x 2y 3z 2s 4t 1 2x 5y 8z s 6t 4 x 4y 7z 5s 2t 8 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Comecamos escalonando a matriz aumentada 1 2 3 2 4 1 2 5 8 1 6 4 1 4 7 5 2 8 l2 l2 2l1 l3 l3 l1 1 2 3 2 4 1 0 1 2 3 2 2 0 2 4 7 2 7 l3 l3 2l2 1 2 3 2 4 1 0 1 2 3 2 2 0 0 0 1 2 3 As 5 primeiras colunas dizem respeito as colunas da matriz A Daqui ja podemos concluir que postoA 3 nulA 5 3 2 e grau de liberdade g nulA 2 ae Vamos achar agora o conjunto soludo Para isso vamos zai primeiro escolher as para serem aquelas que vem com os pivds em vermelho es Logo ze t sdoa variaveis livres Entao deixamos as variaveis basicas em funcdo das livres 2y 3z 2s 44t 1 2z 43s 2t 2 4 42t 3 s32t y 24 2z33 2t2t 7 2z 8t S Ss x 1274 2z4 8t3z23 2t 4t 21z 24t Es SS y s onde zt ER Sistemas Homogéneos Aula a distancia de Geometria Analitica ow Definiao Um sistema linear é dito Homogéneo se é da forma AX 0 isto é o lado direito B0 Notacao SLp Observacgdo Ao aplicar operagées elementares no sistema aumentado A 0 a ultima coluna vai ser sempre 0 ou seja teremos A 0 Por isso podemos aplicar operagdes elementares em A obtendo A escalonada e resolver AX 0 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Sistemas Homogˆeneos Propriedade Em um sistema AX B a solucao geral e X Xp Xh onde Xp e uma solucao particular do sistema por exemplo fazendo as variaveis livres zero e Xh e a solucao geral do sistema homogˆeneo AX 0 Exercıcio Encontre o conjunto de solucoes para o sistema homogˆeneo x 2y 3z 2s 4t 0 2x 5y 8z s 6t 0 x 4y 7z 5s 2t 0 Aula a distˆancia de Geometria Analıtica Note que ja resolvemos anteriormente este sistema com lado direito B diferente de zero Assim basta notar que uma solucao particular do sistema anterior e fazendo as variaveis livres z e t nulas z t 0 Neste caso temos Xp 21 7 0 3 0 Assim a solucao do sistema homogˆeneo e s 2t y 2z 8t x z 24t onde z t R